2019届人教A版(理科数学) 简单的线性规划问题单元测试

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2019届人教A版(理科数学)线性回归单元测试

高考数学（理）冲刺精炼（10）线性回归第1卷一、选择题1、变量x,y满足约束条件,则目标函数 =3x-y的取值范围是( )A.[-,6]B.[-,-1]C.[-1,6]D.[-6,]2、目标函数,变量满足,则有( ) A.B.,无最大值C.,无最小值D.既无最大值,也无最小值3、若，满足约束条件，则的最大值为（）A．9 B．8 C．7 D．64、设满足约束条件,若目标函数的最大值为,则的最小值为( ) A.B.C.D.5、已知点在不等式组表示的平面区域上运动,则的取值范围是( )A.B.C.D.6、已知, ,满足约束条件若的最小值为,则( )A.B.C.D.7、在平面直角坐标系中,为不等式所表示的区域上一动点,则直线斜率的最小值为( )A.B.C.D.8、设满足则( )A.有最小值2,最大值3B.有最小值2,无最大值C.有最大值3,无最小值D.既无最小值,也无最大值9、若不等式组，所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则=A．B．C．D．10、已知则的最小值是.参考答案一、选择题1.答案：A解析：作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分所示,作直线3x-y=0,并向上、下平移,由图可得,当直线过点A时, =3x-y取最大值;当直线过点B时, =3x-y取最小值.由,解得A(2,0);由,解得B(,3).∴max=3×2-0=6, min=3×-3=-.∴ =3x-y的取值范围是[-,6].2.答案：B3.答案：A解析：作出不等式组表示的可行域,当直线经过直线x+y=0与直线x=3的交点(3,-3)时, 取得最大值,最大值为.4.答案：D解析：由不等式组作出可行域如图,由,可知当直线经过点时,取得最大值,由已知得,即,所以,当且仅当,即时取得等号,故的最小值为.5.答案：C解析：作出不等式组表示的平面区域如图所示由图可知,当直线过点时截距最小,从而取最大值当直线过点时截距最大,从而取最小值所以的取值范围是考点:线性规划6.答案：B解析：作出不等式组表示的可行域,如图(阴影部分).易知直线过点时,取最小值,由得所以,解得,故选B.7.答案：C解析：直线斜率的最小值就是的最小值,由图像可知当位于可行域的点处时,的斜率最小.由解得即,此时的斜率为,故选C.8.答案：B解析：作出不等式组表示的可行域,如图所示(阴影部分).由,得,作直线,平移直线,由图可知当直线经过点时,直线的截距最小,此时的最小值,没有最大值.9.答案：C解析：作出可行域，求出点的坐标,,；恒过点，所以当直线经过的中点时，直线将平面区域分成面积相等的两部分，则，解得.考点：1.不等式组与平面区域；2.直线的方程.二、填空题10.答案：5解析：由,画出可行域,得交点A(1,2),B(3,4),则的最小值是5.。

人教A版高中数学必修五3.3.2简单的线性规划问题练习.doc

一、本节学习目标1．会利用“数形结合法”求目标函数的最优解；2．经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力．二、重难点指引重点：线性规划问题的图解法．难点：建立线性约束条件．三、学习指导本节最常用的数学思想方法就是：数形结合法，因此，做出的每条直线的相对位置关系必须准确，否则观察结果时就可能有误．四、教材多维研读 ▲ 一读教材1．线性约束条件：由y x 、的__________不等式（或方程）组成的条件组； 2．线性目标函数：关于y x 、的__________解析式；3．一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的__________或__________的问题，统称为线性规划问题．4．可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的__________叫可行解．由所有可行解组成的__________叫做可行域．5．使目标函数取得_______或________的可行解叫线性规划问题的最优解． ▲ 二读教材1．已知41,31≤≤-≤≤y x ,则y x 23+的取值范围是．2．求满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>++<++<016340440y x y x x 的整数解()y ,x 是__________．▲ 三读教材1．目标函数y x z -=2,将其看成直线方程时，z 的意义是 ( )A ．该直线的截距B ．该直线的纵截距C ．该直线纵截距的相反数D ．该直线的横截距 2．设E 为平面上以A （4，1），B （-1，-6），C （-3，2）为顶点的三角形区域（包括边界），则z=4x-3y 的最大值与最小值分别为 .3．设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+,y x ,y x ,y x 3213则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为（）A ．6B ．7C ．8D ．234．在约束条件：102,632,1052≤+-≥-≥+y x y x y x 下，求22y x z +=的最小值．五、典型例析例1 已知关于x 、y 的二元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-≤+,02,1,42x y x y x(Ⅰ)求函数u ＝3x －y 的最大值和最小值； (Ⅱ)求函数z ＝x ＋2y ＋2的最大值和最小值．例2 要将大小不同甲、乙的两种钢板截成A 、B 、C 三种不同规格的钢板，每种钢板可同甲、乙每张钢板的面积分别为1平方米、2平方米.现在需要A 、B 、C 三种钢板各12、15、27块，问各截甲、乙两种钢板各多少张，能满足需要且使所使用的甲、乙两种钢板面积和最小？例3 (2009·陕西高考)若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+2211y x y x y x ,目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是 ( )A ．(－1,2)B ．(－4,2)C ．(－4,0]D ．(－2,4)例4 如果点P 在平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-02012022y x y x y x 上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为( ) A.5－1 B.45－1 C ．22－1 D.2－1六、课后自测 ◆ 基础知识自测1．下列命题正确的是（）A ．线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的变量x 或y 的值B ．线性规划中最优解指的是使目标函数的最大值或最小值C ．线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域D ．线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解2．已知x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则z=2x+4y 的最小值为 ( )A ．5B ．－6C ．10D ．－103．某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( ) A ．5种 B ．6种 C ．7种 D ．8种4．已知⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+-≤-+10101y y x y x 且84422+--+=y x y x u ，则u 的最小值是．5．非负实数x 、y 满足y x y x y x 3,03042+⎩⎨⎧≤-+≤-+则的最大值为．◆ 能力提升训练1．完成一项装修工程，木工和瓦工的比例是2：3，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2000元，设木工x 人，瓦工y 人，请工人数的约束条件是 ( )A ．⎩⎨⎧∈≤+N y x y x 、532 B. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=≤+N y x y x y x 、3220004050 C ．⎪⎩⎪⎨⎧=≤+321004050y x y x D ．⎪⎩⎪⎨⎧=≤+3220004050y x y x 2．在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分包括周界），目标函数z=x+ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值为（） A ．3-B ． 3C ．1-D ．13．4枝牡丹花与5枝月季花的价格之和小于22元，而6枝牡丹花与3枝月季花的价格之和大于24元，则2枝牡丹花与3枝月季花的价格比较结果是（）A ．2枝牡丹花贵B ． 3枝月季花贵C ．相同D ．不确定 4．△ABC 中，三个顶点的坐标分别为A （2，4）B （-1，0）C （1，0），当点P （x,y ）在△ABC 的内部及边界上运动时，z=x-y 的最大值与最小值分别是 .5．满足约束条件,0,0625⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+y x y x y x 的点（x,y ）中使目标函数z=6x+8y 取得最大值的点的坐标是．6．设M 为平面上不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--≥+-≥++≤-+020204340634y x y x y x y x 表示的平面区域.求点(x ，y )在M 上变动时，y －2x 的最大值.◆ 智能拓展训练1．设f(x)=ax 2＋bx ，且－1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．2.在平面直角坐标系中，若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≥-+010101y ax x y x ，(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为 ( ) A ．－5 B ．1 C ．2 D ．3xyA(1,1)B(5,1)C(4,2)3.已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥m y x x y y 121，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于( )A ．7B ．5C ．4D ．3 4.某食物营养研究所想用x 千克甲种食物，y 千克乙种食物，z 千克丙种食物配成100千克的混合食物，并使混合食物至少含56000单位维生素A 和63000单位维生素B ．（Ⅰ）用x 、y 表示混合物成本C ．（Ⅱ）确定x 、y 、z 的值，使成本最低．5．已知O 为坐标原点，A(2,1)，P(x ，y)满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+≤+-012553034x y x y x ,则| |·cos ∠AOP 的最大值等于______．3.3.2简单的线性规划问题答案▲ 一读教材1．一次；.2．一次；3．最大值、最小值； 4．解（x ,y ）、集合；5．最大值、最小值． ▲ 二读教材 1．[1,17]2．整数解有:(－1,－1)、( －1,－2)、()3,1--( －2,－1)、( －2,－2)、( －3,－1) ▲ 三读教材1．C ； 2；14，-18 3． B ； 4．29100．课后自测◆ 基础知识自测1. D ；2.B ；3.C ；4. 29； 5.9 ． ◆ 能力提升自测1.B ；2.A ；3.A ；4.1,－2 ；5.(0,5) ；6. 724． ◆ 智能拓展训练 1. 解依题：⎩⎨⎧≤+≤≤-≤-4221b a b a 而()b a f 242-=-设)()()2(b a n b a m f ++-=-则⎩⎨⎧-=+-=+24n m n m ⎩⎨⎧==∴13n m10)()(31≤++-≤-∴b a b a)2(-∴f 的取值范围是：[]10,1-2. 解析：不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≥-+010101y ax x y x 所围成的区域如图所示．则A (1,0)，B (0,1)，C (1,1＋a )且a >－1，∵ABC S ∆＝2，∴12(1＋a )×1＝2，解得a ＝3.答案：D3. 解析：选B.将直线y ＝x ＋1与y ＝2x －1联立解得A (2,3)，据题意即为最优解，又点A 必在直线x ＋y ＝m 上，代入求得m ＝5.4. 解（Ⅰ）依题意：x 、y 、z 满足x+y+z=100可化为z=100-x-y ∴ 成本C=11x+9y+4z=7x+5y+400（元）（Ⅱ）依题意⎩⎨⎧≥++≥++6300050040080056000400700600z y x z y x∵ y x z --=100∴⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥-≥+0,0130316032y x y x y x作出不等式组所对应的可行域，如图所示．联立⎩⎨⎧=-=+130316032y x y x 的交点)20,50(A 作直线C y x =++40057则易知该直线截距越小，C 越小，所以该直线过)20,50(A 时，直线在y 轴截距最小，从而C 最小，此时7×50＋5×20＋400＝C ＝850元 ∴ x=50千克，z=30千克时成本最低．5. 解析：在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的可行域(如图)，由于|OP |·cos ∠AOP＝OAAOPCOS OA OP ∠⋅＝OAOAOP ⋅，而OA ＝(2,1)，OP ＝(x ，y )，所以|OP |·cos ∠AOP ＝2x ＋y5，令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，即z 表示直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，由图形可知，当直线经过可行域中的点M 时，z 取到最大值，由⎩⎨⎧=+=+-2553034y x y x 得M (5,2)，这时z ＝12，所以|OP |·cos ∠AOP ＝125＝1255，故|OP |·cos ∠AOP 的最大值等于1255.答案：1255。

2019版数学人教A版必修5训练：3.3.2 第1课时简单的线性规划问题 Word版含解析.docx

3.3.2简单的线性规划问题第1课时简单的线性规划问题课时过关·能力提升基础巩固1若x,y满足-则的最大值为A.0B.3C.4D.5解析:由不等式组可作出如图的可行域(阴影部分),将z=2x+y变形为y=-2x+z,这是斜率为-2,随z变化的一族平行直线,如图,可知当y=-2x+z经过点P时,z取最大值.由-可得P点坐标为(1,2),故z max=2×1+2=4.答案:C2设变量x,y满足约束条件---则目标函数z=3x-4y的最大值和最小值分别为()A.3,-11B.-3,-11C.11,-3D.11,3解析:画出可行域,如图中阴影所示.可知当直线z=3x-4y平移到过点A(5,3)时,目标函数z=3x-4y取得最大值3;当直线平移到过点B(3,5)时,目标函数z=3x-4y取得最小值-11.答案:A3已知x,y满足不等式组---取得最大值的可行解为A.(0,1)B.(-1,-1)C.(1,0) D解析:画出可行域如图所示的阴影部分.由图可知,当直线z=x-y平移到过点(1,0)时,目标函数z=x-y取得最大值.答案:C4设x,y满足---则z=x+y()A.有最小值2,最大值3B.有最小值2,无最大值C.有最大值3,无最小值D.既无最大值,也无最小值解析:画出可行域,如图中的阴影部分所示.作直线l0:x+y=0,平移l0,当l0过点A(2,0)时,z有最小值2,无最大值.答案:B5已知x,y满足约束条件-若z=ax+y的最大值为4,则a=()A.3B.2C.-2D.-3 解析:由约束条件画出可行域,如图阴影部分所示.线性目标函数z=ax+y,即y=-ax+z.设直线l0:ax+y=0.当-a≥1,即a≤-1时,l0过O(0,0)时,z取得最大值,z max=0+0=0,不合题意;当0≤-a<1,即-1<a≤0时,l0过B(1,1)时,z取得最大值,z max=a+1=4,∴a=3(舍去);当-1<-a<0时,即0<a<1时,l0过B(1,1)时,z取得最大值,z max=2a+1=4,∴a舍去);当-a≤-1,即a≥1时,l0过A(2,0)时,z取得最大值,z max=2a+0=4,∴a=2.综上,a=2符合题意.答案:B6若-则z=x+2y 的最大值是.解析:画出可行域,如图中阴影所示.可知当直线z=x+2y平移到过点(1,1)时,目标函数z=x+2y取得最大值1+2×1=3.答案:37设D是不等式组表示的平面区域则D中的点P(x,y)到直线x+y=10距离的最大值是.解析:画出可行域如图中阴影部分所示,从而确定点(1,1)到直线x+y=10的距离是即为所求的最大值.答案:8若实数x,y满足-求z=3x+2y的最小值.解不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示.令t=x+2y,则当直线y=经过原点O(0,0)时取最小值,即t有最小值为0,则z=3x+2y有最小值为30=1.9已知-4≤a-b≤-1,-1≤4a-b≤5,求9a-b的取值范围.解令a=x,b=y,z=9a-b,即已知-4≤x-y≤-1,-1≤4x-y≤5,求z=9x-y的取值范围,画出不等式组表示的可行域(阴影部分)如图所示.由z=9x-y,得y=9x-z,当直线过点A时z取最大值,当直线过点B时z取最小值.由---得A(3,7).由----得B(0,1).即z max=9×3-7=20,z min=-1.所以9a-b的取值范围是[-1,20].能力提升1设变量x,y满足约束条件---则目标函数z=2x+5y的最小值为()A.-4B.6C.10D.17解析:如图,作出变量x,y满足约束条件表示的可行域,为三角形ABC及其内部,点A,B,C的坐标依次为(0,2),(3,0),(1,3).由图可知,将z=2x+5y变形为y=可知当y=经过点B时,z取最小值6.故选B.答案:B2已知x,y满足约束条件---则的取值范围为A.[-2,-1]B.[-2,1]C.[-1,2]D.[1,2]解析:画出可行域,如图中的阴影部分所示.由图知,-z是直线y=x-z在y轴上的截距,当直线y=x-z经过点A(2,0)时,-z取最小值,此时x=2,y=0,则z 的最大值是x-y=2-0=2;当直线y=x-z经过点B(0,1)时,-z取最大值,此时x=0,y=1,则z的最小值是x-y=0-1=-1,所以z=x-y的取值范围为-1≤z≤2.答案:C3已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定.若M(x,y)为D上的动点,点A的坐标为1),则z的最大值为A.3B.4C.解析:z作出可行域,如图阴影部分所示.z为直线y=的纵截距,显然当直线y=经过点B2)时,z取得最大值,所以z最大=2+2=4.答案:B4设m>1,在约束条件下目标函数的最大值小于则的取值范围为A.(1,1C.(1,3)D.(3,+∞)解析:可行域如图阴影部分所示,由z=x+my得,y=∵m>1,∴∈(-1,0).∴当直线y=过点B 时,z 取最大值.由得∴z max∴1<m<1答案:A5已知x ,y 满足k 为常数),若z=x+3y 的最大值为8,则k=. 解析:画出可行域,如图中的阴影部分所示.由图知是直线y=在y 轴上的截距,当直线y=经过点 --时取最大值,此时x=则z 的最大值是x+3y=-所以k=-6. 答案:-66设x ,y 满足约束条件--- 求目标函数z=2x+3y 的最大值、最小值. 解作出可行域和直线2x+3y=0,如图中的阴影部分.由z=2x+3y,得y=因此,若直线在y轴上的截距最大,则z最大;截距最小,则z最小.因此当直线y=经过点B时,z取得最小值,经过点D时,z取得最大值.由--可得B(-3,-4),由-可得D(3,8).故z min=2×(-3)+3×(-4)=-18;z max=2×3+3×8=30.★7求z=600x+300y的最大值,式中的x,y满足约束条件且为整数解如图,可行域为四边形AOBC内(含边界)的区域.由题意,可求得A(0,126),B(100,0).由方程组解得则C点坐标为因题设要求整点(x,y),使z=600x+300y取得最大值,而整点(69,91),(70,90)都在可行域内, 将这两点坐标代入z=600x+300y,可知当时,z取得最大值,且z max=600×70+300×90=69 000.。

新课标人教A版高中数学必修五第三章第3节《简单线性规划问题》专题练习-精选教育文档

简单的线性规划问题知识点一线性规划中的基本概念知识点二线性规划问题 1.目标函数的最值线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b ，在y 轴上的截距是zb ，当z 变化时，方程表示一组互相平行的直线.当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值；当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值. 2.解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域.(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解.(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值. (4)答：写出答案.例题讲解：已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，x ≤2.(1)求2x ＋y 的最大值和最小值；(2)求x 2＋y 2的最大值和最小值；(3)求yx 的最大值和最小值.解：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，x ≤2表示的平面区域如图阴影部分所示.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴A (1，2). 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴M (2，3). 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，∴B (2，1) (1)∵z ＝2x ＋y ，∴y ＝－2x ＋z .当直线y ＝－2x ＋z 经过可行域内的点M (2，3)时，直线在y 轴上的截距最大，z 也最大，此时z max ＝2×2＋3＝7.当直线y ＝－2x ＋z 经过可行域内的点A (1，2)时，直线在y 轴上的截距最小，z 也最小，此时z min ＝2×1＋2＝4. ∴2x ＋y 的最大值为7，最小值为4.(2)过原点(0，0)作直线l 垂直于直线x ＋y －3＝0，垂足为N ，则直线l 的方程为y ＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －3＝0得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32，∴N ⎝⎛⎭⎫32，32. 点N ⎝⎛⎭⎫32，32在线段AB 上，也在可行域内，此时可行域内的点M 到原点的距离最大，点N 到原点的距离最小.又|OM |＝13，|ON |＝92，即92≤x 2＋y 2≤13， ∴x 2＋y 2的最小值为92，最大值为13.(3)∵y x 表示可行域内一点(x ，y )与定点O (0，0)连线的斜率，知k OB ≤y x ≤k OA ，即12≤yx ≤2，∴y x 的最大值为2，最小值为12. 题型一：求线性目标函数的最值问题1、已知x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5≤0x ＋3≥0y ≤2，则z ＝x ＋2y 的最大值是3解析画出可行域(如图阴影部分所示)．画直线l 0：x ＋2y ＝0，平移直线l 0到直线l 的位置，直线l 过点M ．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝0y ＝2，得点M (－1,2)．∴当x ＝－1，y ＝2时，z 取得最大值，且z max ＝－1＋2×2＝3． 2、已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥1，x －y ≤1，y －1≤0，则z ＝x －2y 的最大值为1解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥1，x －y ≤1，y －1≤0表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A (－1，1)，B (2，1)，C (1，0)，设z ＝F (x ，y )＝x －2y ，将直线l ：z ＝x －2y 进行平移，当l 经过点C 时，目标函数z 达到最大值，∴z 最大值＝F (1，0)＝13、设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为4.解析作出可行域，如图所示.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2. 当目标函数z ＝3x －y 移到(2，2)时，z ＝3x －y 有最大值4.4、已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤2，则z ＝2x ＋4y 的最大值为8.解析由不等式组表示的可行域知，目标函数z 在点A (0，2)处取得最大值8.5、设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为－7解析可行域如图阴影部分(含边界).令z ＝0，得直线l 0：y －2x ＝0，平移直线l 0知，当直线l 过D 点时，z 取得最小值.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x －y －2＝0得D (5，3).∴z min ＝3－2×5＝－7. 6、若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≤2，x ＋y ≥2，则z ＝x ＋2y 的取值范围是[2，6]解析如图，作出可行域，作直线l ：x ＋2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A (2，0)时，有最小值2，过点B (2，2)时，有最大值6，故z 的取值范围为[2，6].7、设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，x －2y ≤2，求x ＋y 的取值范围.解如图，z ＝x ＋y 表示直线过可行域时，在y 轴上的截距，当目标函数平移至过可行域A 点时，z 有最小值.联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，x －2y ＝2，解得A (2，0). z 最小值＝2，z 无最大值， ∴x ＋y ∈[2，＋∞).8、已知O 是坐标原点，点A (－1，1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是[0，2] 解析作出可行域，如图所示，因为OA →·OM →＝－x ＋y .所以设z ＝－x ＋y ，作l 0：x －y ＝0，易知过点P (1，1)时，z 有最小值，z min ＝－1＋1＝0；过点Q (0，2)时，z 有最大值，z max ＝0＋2＝2，所以OA →·OM →的取值范围是[0，2].9、设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0x －2y －1≤0x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为__－10__解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知当z ＝2x ＋3y －5经过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10．10、在△ABC 中，三个顶点分别为A (2,4)、B (－1,2)、C (1,0)，点P (x ，y )在△ABC 的内部及其边界上运动，则y －x 的取值范围为__[－1,3]__．解析画出三角形区域如图，易知k AB ＝23<1，令z ＝y －x ，则y ＝x ＋z ，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当经过点C 时，z min ＝－1，当经过点B 时，z max ＝3，题型二：非线性目标函数的最值1、变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x ＞－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为5解析作出不等式组对应的平面区域，设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2，0)的距离的平方，由图象知CD 的距离最小，此时z 最小.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即C (0，1)，此时z ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5，2、已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x ＋y ≤6，2x －y ≤6，则目标函数z ＝4y ＋4x ＋2的最大值为5解析x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x ＋y ≤6，2x －y ≤6表示的可行域如图：目标函数z ＝4y ＋4x ＋2＝4×y ＋1x ＋2，目标函数的几何意义是可行域的点与(－2，－1)连线斜率的4倍，由题意可知：DA 的斜率最大.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝6，可得A (2，4)，则目标函数z ＝4y ＋4x ＋2的最大值为：4×4＋42×2＝5.3、实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则z ＝y －1x的取值范围是[－1，1)解析作出可行域，如图所示，y －1x的几何意义是点(x ，y )与点(0，1)连线l 的斜率，当直线l 过B (1，0)时k l 最小，最小为－1.又直线l 不能与直线x －y ＝0平行，∴k l ＜1.综上，k ∈[－1，1).4、已知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0，则x 2＋y 2的最小值是5解析令z ＝x 2＋y 2，画出可行域，如图阴影部分(含边界)所示，令d ＝x 2＋y 2，即可行域中的点到原点的距离，由图得d min ＝1＋4＝5，∴z min ＝d 2＝5.5、在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0x ＋y －2≥0y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |解析本题考查不等式组表示平面区域及点到直线距离问题．不等式组所表示平面区域如图，由图可知|OM |的最小值即O 到直线x ＋y －2＝0的距离．故|OM |的最小值为|－2|2＝2．6、设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则2y ＋2x ＋1的最大值是( )解析画出可行域如图阴影部分(含边界)，z ＝2y ＋2x ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1的几何意义是点M (－1，－1)与可行域内的点P (x ，y )连线的斜率，当点P 移动到点N (0，4)时，斜率最大，最大值为4－（－1）0－（－1）＝5，∴z max ＝2×5＝10.故选D.7、已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0x ＋y －4≥02x －y －5≤0，求：(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值；(2)z ＝2y ＋1x ＋1的范围. （3）z ＝|x ＋2y －4|的最大值解析作出可行域如图，并求出顶点的坐标A (1,3)，B (3，1)，C (7,9)．(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到定点M (0,5)的距离的平方，过M 作直线AC 的垂线，易知垂足N 在线段AC 上，故z 的最小值是|MN |2＝92.(2)z ＝2y ＋1x ＋1＝2·y －⎝⎛⎭⎫－12x －－表示可行域内任一点(x ，y )与定点Q ⎝⎛⎭⎫－1，－12连线的斜率的2倍，因为k QA ＝74，k QB ＝38，故z 的范围为⎣⎡⎦⎤34，72. （3）作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．法一：z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5×5，其几何意义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0得点B 的坐标为(7,9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max ＝21.法二：由图可知，阴影区域(可行域)内的点都在直线x ＋2y －4＝0的上方，显然此时有x ＋2y －4>0，于是目标函数等价于z ＝x ＋2y －4，即转化为一般的线性规划问题．显然当直线经过点B 时，目标函数z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0得点B 的坐标为(7,9)，此时z max ＝21. 题型三：由目标函数的最值求参数的值1、已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于5解析作出不等式组对应的平面区域如图：由目标函数为z ＝x －y ，得y ＝x －z ，当z ＝－1时，函数为y ＝x ＋1，此时对应的平面区域在直线y ＝x ＋1的下方，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝2x －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即A (2，3)，同时A 也在直线x ＋y ＝m 上，即m ＝2＋3＝52、在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0x －y ≥0x ≤a (a 为正常数)表示的平面区域的面积是4，求2x＋y 的最大值．解析由题意得：S ＝12×2a ×a ＝4，∵a >0，∴a ＝2．设z ＝2x ＋y ，∴y ＝－2x ＋z ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝xx ＝2，得(2,2)，即z 在(2,2)处取得最大值6．3、在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值为-3解析若最优解有无数个，则y ＝－1a x ＋za 与其中一条边平行，三边斜率分别为13，－1，0与－1a 对照知a ＝－3或a ＝1.又因为z ＝x＋ay 取最小值，则a ＝－3.4、已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥5，x －y ＋5≥0，x ≤3，使z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为1解析如图，作出可行域，作直线l ：x ＋ay ＝0，要使目标函数z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x ＋y ＝5重合，故a ＝15、若x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1x －y ≥－12x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是(－4,2)解析作出可行域如图所示，由已知可得：－1<－a2<2，即－4<a <2．6、已知变量x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0.若目标函数z＝ax ＋y (其中a ＞0)仅在点(3,0)处取得最大值，求a 的取值范围．解析依据约束条件，画出可行域．∵直线x ＋2y －3＝0的斜率k 1＝－12，目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)对应直线的斜率k 2＝－a ，若符合题意，则需k 1＞k 2.即－12＞－a ，得a ＞12.7、x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为2或－1解析如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a ＞0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a ＜2时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.] 8、若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝－2解析如图，画出可行域，l 0：2x ＋y ＝0，当l 0：2x ＋y ＝0运动到过点A (k ，k )时，目标函数取得最小值－6，所以2k ＋k ＝－6，k ＝－2.题型四：线性规划的实际应用1、某公司计划2019年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 min 的广告，广告费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/min 和200元/min.已知甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元，问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大？最大收益是多少万元？解设公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为 x min 和y min ，总收益为z 元. 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90 000，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3 000x ＋2 000y .二元一次不等式组等价于错误!作出可行域如图阴影部分所示，当直线z ＝3 000x ＋2 000y 过点M 时，z 最大.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900得M (100，200).所以z max ＝3 000×100＋2 000×200＝700 000(元)＝70(万元). 所以该公司在甲电视台做100 min 广告，在乙电视台做200 min 广告，公司收益最大，最大值为70万元.2、某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为2 300元.解析设需租赁甲种设备x 台，乙种设备y 台，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ∈N ，y ∈N .目标函数为z ＝200x ＋300y .作出其可行域，易知当x ＝4，y ＝5时，z ＝200x ＋300y 有最小值2 300元.。

人教A版数学高三简单的线性规划问题精选试卷练习(含答案)1

y 0
30．已知
x,
y
满足约束条件
1 x 1
y 2x
3, y
2.则 x2 y2 的最大值为___________.
试卷第 4页，总 7页
31．设函数
f
(x)
x 2, x ex , x 1
1
，D
是由
x
轴和曲线
y
f
x 及该曲线在 x
0处
的切线所围成的封闭区域，则 z x 2 y 在 D 上的最大值为________.
煤 t
电 kW h
A
3
9
4
B
10
4
5
已知生产1t A 产品的利润是 7 万元，生产1t B 产品的利润是12 万元.现因条件限制，企业仅有劳动力 300 个，煤 360t ，并且供电局只能供电 200kW h ，则企业生产 A 、B 两
种产品各多少吨，才能获得最大利润？
50．已知关于 x 的一元二次函数 f (x) ax2 4bx 1.
y2
的最大值是_______
y 3
x 2y 1
35．设实数
x，y
满足
x
y
0
，则 z x 4 y 的最小值为______.
y 5
2x y 2 0
36．设 x, y 满足约束条件 8x y 4 0 x 0, y 0
，
则
3y 2x
9 1
的取值范围为____________.
2x 1
，则目标函数
z
4x
3y
的最小值为_____．
y
1
x
4
2
2x y 3
40．已知实数
x,

2019届人教A版(文科数学) 简单的线性规划单元测试

2019届人教A 版（文科数学）简单的线性规划单元测试一、选择题1．有5辆6吨的汽车，4辆4吨的汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为( )A ．＝6x ＋4yB ．＝5x ＋4yC ．＝x ＋yD ．＝4x ＋5y解析：设需x 辆6吨汽车，y 辆4吨汽车．则运输货物的吨数为＝6x ＋4y ，即目标函数＝6x ＋4y . 答案：A2．某服装制造商有10 m 2的棉布料，10 m 2的羊毛料和6 m 2的丝绸料，做一条裤子需要1 m 2的棉布料，2 m 2的羊毛料和1 m 2的丝绸料，做一条裙子需要1 m 2的棉布料，1 m 2的羊毛料和1 m 2的丝绸料，做一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产裤子x 条，裙子y 条，利润为，则生产这两种服装所满足的数关系式与目标函数分别为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，x ，y ∈N＝20x ＋40yB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥10，2x ＋y ≥10，x ＋y ≤6，x ，y ∈N ＝20x ＋40yC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，＝20x ＋40y D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，x ，y ∈N＝40x ＋20y解析：由题意可知选A. 答案：A3．当x ，y 满足条件|x |＋|y |＜1时，变量u ＝xy －3的取值范围是( )A ．(－3，3)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13解析：不等式|x |＋|y |＜1表示的平面区域如右图所示：令k ＝y －3x，则k 表示区域内的点P (x ，y )与A (0，3)的连线的斜率，|k |＞3，1|k |＜13.又x ＝0时，u ＝0，因为|u |＜13⇒－13＜u ＜13.答案：B4．已知a ＞0，x ，y 满足结束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a （x －3），若＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．2 解析：作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线＝2x ＋y 过交点A 时，取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a （x －3），得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，所以 min ＝2－2a ＝1，所以a ＝12.答案：B5．某校用800元购买A 、B 两种教用品，A 种用品每件100元，B 种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少， A 、B 两种用品应各买的件数为( )A ．2，4B ．3，3C ．4，2D ．不确定解析：设买A 种用品x 件，B 种用品y 件，剩下的钱为元，则⎩⎪⎨⎪⎧100x ＋160y ≤800，x ≥1，y ≥1，x ，y ∈N *.求＝800－100x －160y 取得最小值时的整数解(x ，y )，用图解法求得整数解为(3，3)．答案：B 二、填空题6．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：铁矿石a /b /万吨c /百万元A 50 13 B700.56某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO 2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为 (百万元)．解析：设购买铁矿石A 、B 分别为x ，y 万吨，购买铁矿石的费用为 (百万元)，则⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ＋0.7y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，x ≥0，y ≥0.目标函数＝3x ＋6y ，由⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ＋0.7y ＝1.9，x ＋0.5y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.记P (1，2)，画出可行域，如图所示，当目标函数＝3x ＋6y 过点P (1，2)时，取到最小值，且最小值为 min ＝3×1＋6×2＝15.答案：157．某公司用两种机器来生产某种产品，第一种机器每台需花3万日元及人民币50元的维护费；第二种机器则需5万日元及人民币20元的维护费．第一种机器的年利润每台有9万日元，第二种机器的年利润每台有6万日元，但政府核准的外汇日元为135万元，并且公司的总维护费不得超过1 800元，为了使年利润达到最大值，第一种机器应购买台，第二种机器应购买台．解析：设第一种机器购买x 台，第二种机器购买y 台，总的年利润为万日元，则 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ≤135，50x ＋20y ≤1 800，x ，y ∈N ，目标函数为＝9x ＋6y .不等式组表示的平面区域如图阴影部分中的整点．当直线＝9x ＋6y 经过点M ⎝⎛⎭⎪⎫63019，13519，即到达l 1位置时，取得最大值，但题目要求x ，y 均为自然数，故进行调整，调整到与M 邻近的整数点(33，7)，此时＝9x ＋6y 取得最大值，即第一种机器购买33台，第二种机器购买7台获得年利润最大．答案：33 78．某公司计划用不超过50万元的资金投资A ，B 两个项目，根据市场调查与项目论证，A ，B 项目的最大利润分别为投资的80 和40 ，而最大的亏损额为投资的40 和10 ，若要求资金的亏损额不超过8万元，且使利润最大，投资者应投资A 项目万元，投资B 项目万元．解析：设投资者对A ，B 两个项目的投资分别为x ，y 万元，则由题意得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，0.4x ＋0.1y ≤8，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，4x ＋y ≤80，x ≥0，y ≥0.投资者获得的利润设为，则有＝0.8x ＋0.4y .作出可行域如图所示，由图可知，当直线经过点B 时，取得最大值．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝50，4x ＋y ＝80，得B (10，40)．所以，当x ＝10，y ＝40时，获得最大利润，最大利润为24万元．答案：10 40 三、解答题9．某研究所计划利用“神十一”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A ， B ，要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，搭载每件产品有关数据如表：因素产品A 产品B 备注研制成本、搭载费用之和/万元2030计划最大投资金额300万元产品质量/千克 10 5 最大搭载质量110千克预计收益/万元8060——试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？解：设“神十一”宇宙飞船搭载产品A ，B 的件数分别为x ，y ，最大收益为，则目标函数为＝80x ＋60y ，根据题意可知，约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋30y ≤300，10x ＋5y ≤110，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤30，2x ＋y ≤22，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，作出可行域如图阴影部分所示，作出直线l ：80x ＋60y ＝0，并平移直线l ，由图可知，当直线过点M 时，取得最大值，解⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝30，2x ＋y ＝22，得M (9，4)，所以 max ＝80×9＋60×4＝960，即搭载A 产品9件，B 产品4件，可使得总预计收益最大，为960万元． 10．某商场为使销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对即将出售的空调和冰箱相关数据进行调查，得出下表：资金每台空调或冰箱所需资金/元月资金供应数量/元空调冰箱成本 3 000 2 000 30 000 工人工资 500 1 000 11 000 每台利润600800——问：该商场怎样确定空调或冰箱的月供应量，才能使总利润最大？最大利润是多少？解：设空调和冰箱的月供应量分别为x ，y 台，月总利润为元，则⎩⎪⎨⎪⎧3 000x ＋2 000y ≤30 000，500x ＋1 000y ≤11 000，x ，y ∈N *，＝600x ＋800y ，作出可行域(如图所示)．因为y ＝－34x ＋z 800，表示纵截距为z 800，斜率为k ＝－ 34的直线，当最大时z800最大，此时，直线y ＝－34x ＋z800必过四边形区域的顶点．由⎩⎪⎨⎪⎧3 000x ＋2 000y ＝30 000，500x ＋1 000y ＝11 000，得交点(4，9)，所以x ，y 分别为4，9时，＝600x ＋800y ＝9600(元)．所以空调和冰箱的月供应量分别为 4台、9台时，月总利润最大，最大值为9 600元．。

2019年人教A版高中数学必修五练习：3.3.2 第一课时简单的线性规划问题 Word版含解析

姓名，年级：时间：3。

3.2 简单的线性规划问题第一课时简单的线性规划问题1.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x-y的取值范围是( A ）（A）[-,6] （B）[—，—1](C)［-1，6］（D)［—6，］解析:画出可行域，如图阴影部分所示.目标函数z=3x-y可转化为y=3x—z，作l0:3x—y=0,在可行域内平移l0,可知在A点处z取最小值为—,在B点处z取最大值为6。

故选A。

2。

设变量x，y满足约束条件则z=2x+3y的最大值为( A )（A)18 （B)2(C）3 （D)0解析：由约束条件作出可行域如图,联立解得B(3,4）.由图可知,当目标函数图象过B时z有最大值。

z=2×3+3×4=18。

故选A。

3。

设变量x,y满足约束条件则目标函数z=x+6y的最大值为（ C ）(A）3 （B)4 （C）18 （D)40解析：由约束条件画出可行域如图中阴影部分所示,当动直线x+6y—z=0过点(0，3)时，z max=0+6×3=18。

故选C.4.设变量x，y满足约束条件则目标函数z=2x+3y+1的最大值为（ B )（A)11 (B)10 （C)9 （D)8.5解析：画出不等式组表示的可行域如图所示（阴影部分),当直线z=2x+3y+1平移至点A(3，1）时,目标函数z=2x+3y+1取得最大值10.故选B.5。

若变量x,y满足则x2+y2的最大值是（ C ）（A）4 (B)9 (C)10 (D）12解析:作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设P(x,y)为平面区域内任意一点,则x2+y2表示|OP|2.由解得故A(3，-1），由解得故B(0,—3）,由解得故C（0,2）。

｜OA|2=10,|OB｜2=9,｜OC｜2=4.显然,当点P与点A重合时，｜OP｜2即x2+y2取得最大值.所以x2+y2的最大值为10。

故选C.6。

若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是（ B )（A)0 （B）1 （C)（D)9解析:约束条件表示的可行域如图所示，令t=x+2y，则y=—x+t,平移直线y=-x与可行域相交，分别在点(0，0），（0,1)处t 取得最小值0,最大值2，故z=3t∈[1，9].故选B.7.某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为( C )(A）31 200元(B）36 000元（C)36 800元（D)38 400元解析:设租用A型车x辆,B型车y辆（x，y∈N）,租金为z元,则即画出可行域,如图,则目标函数z=1 600x+2 400y=800（2x+3y）在点N(5,12)处取得最小值36 800，故选C。

人教版A版高中数学必修5：简单的线性规划问题(1)

欲求最大值或求最小值的函数。若目标函数是关于变量x、y的一次解析式，则称为线性目标函数.
最优解：
使目标函数取得最大值或最小值的可行解.
模型
x y

y

2
2x y 12
y y=x
心安 B
C
A
y=2
向远 O
x
y=-2x+12
变式一
变式二
若目标函数为 z 3x y ，
代数
二元一次不等式组目标函数 z= x+y
z的最值
几何
平面区域
数形
结
直线 y= -x+z
合
y轴截距的最值
谢谢观看
问题 1.列出有序实数对 (x, y) 满足的二元一次不等式组.
问题 2.画出二元一次不等式组所代表的平面区域？
x y
2yx2y 12

x

0
y 0
y y=x
B
C
A
y=2
O
x
y=-2x+12
x y
2yx2y 12

x

0
y 0
若目标函数为 z 2x+y ，
求 z 的最大值、最小值和取值范围.
求 z 的最大值.
y y=x
B
C
A
y=2
O
x
y=-2x+12
变式三
若目标函数为 z ax y(2 a 4) ，
并且 z 的最大值为 17，求 a 的值;
y y=x
B C
A 2020 y=2
O
x
y=-2x+12

2019-2020学年高中数学人教A版必修5同步作业与测评：3.3.2.1 简单的线性规划问题 Word版含解析

3．3．2 简单的线性规划问题第24课时简单的线性规划问题知识点一求线性目标函数的最值1．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －y ＋1≥0，则x ＋y 的最大值为( )A ．9B ．157C ．1D ．715 答案 A解析画出可行域如图．令z ＝x ＋y ，则当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，z 最大．由⎩⎨⎧2x －y －3＝0，x －y ＋1＝0 得A (4，5)，∴z max ＝4＋5＝9．2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为( )A ．3，－11B ．－3，－11C ．11，－3D ．11，3 答案 A解析作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z ＝3x －4y 经过点A 时z 有最小值，经过点B 时z 有最大值．易求A (3，5)，B (5，3)．∴z 最大＝3×5－4×3＝3，z 最小＝3×3－4×5＝－11．3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3.则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为________．答案 7解析作出可行域如图所示．由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2，1)时，z 有最小值，z 的最小值为7．4．线性约束条件⎩⎨⎧x ＋3y ≥12，x ＋y ≤10，3x ＋y ≥12下，求z ＝2x －y 的最大值和最小值．解如图作出线性约束条件⎩⎨⎧x ＋3y ≥12，x ＋y ≤10，3x ＋y ≥12下的可行域，包含边界：其中三条直线中x ＋3y ＝12与3x ＋y ＝12交于点A (3，3)，x ＋y ＝10与x ＋3y ＝12交于点B (9，1)， x ＋y ＝10与3x ＋y ＝12交于点C (1，9)，作一组与直线2x －y ＝0平行的直线l ：2x －y ＝z ，即y ＝2x －z ，然后平行移动直线l ，直线l 在y 轴上的截距为－z ，当l 经过点B 时，－z 取最小值，此时z 最大，即z max ＝2×9－1＝17；当l 经过点C 时，－z 取最大值，此时z 最小，即z min ＝2×1－9＝－7．∴z max ＝17，z min ＝－7．知识点二求非线性目标函数的最值5．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎨⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．10B ．8C ．16D ．10 答案 D解析画出不等式组对应的可行域如图所示：易得A (1，1)，|OA |＝2，B (2，2)，|OB |＝22，C (1，3)，|OC |＝10．则(x 2＋y 2)max ＝|OC |2＝(10)2＝10．6．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0，则yx 的最大值为________．答案 2解析画出不等式组⎩⎨⎧x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0对应的平面区域Ω，y x ＝y －0x －0表示平面区域Ω上的点P (x ，y )与原点的连线的斜率．则点A (1，2)，B (3，0)，∴0≤yx ≤2．7．已知⎩⎨⎧2x ＋y －5≥0，3x －y －5≤0，x －2y ＋5≥0，求x 2＋y 2的最小值和最大值．解作出不等式组⎩⎨⎧2x ＋y －5≥0，3x －y －5≤0，x －2y ＋5≥0的可行域如图所示，由⎩⎨⎧x －2y ＋5＝0，2x ＋y －5＝0，得A (1，3)，由⎩⎨⎧ x －2y ＋5＝0，3x －y －5＝0，得B (3，4)，由⎩⎨⎧3x －y －5＝0，2x ＋y －5＝0，得C (2，1)，设z ＝x 2＋y 2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点B 的距离最大，注意到OC ⊥AC ，∴原点到点C 的距离最小．故z max ＝|OB |2＝25，z min ＝|OC |2＝5．8．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则 (1)z ＝yx ＋1的最大值； (2)z ＝(x ＋1)2＋y 2的最小值．解 (1)yx ＋1即过点(x ，y )与点(－1，0)的直线斜率．由图可知z ＝yx ＋1的最大值为点(0，1)与点(－1，0)的直线斜率，此时z ＝1－00＋1＝1．(2)z ＝(x ＋1)2＋y 2为点(－1，0)与点(x ，y )距离的平方．z 最小值为点(－1，0)与点(0，0)距离的平方．此时z ＝1．知识点三线性规划中的参数问题9．已知点P (x ，y )的坐标满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≤0，x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0，若z ＝x ＋3y ＋m 的最小值为6，则m ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 D解析根据题意，作出可行域(如下图)，由图可知目标函数在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12处取得最小值6，从而m ＝6－12－32＝4．故选D ．易错点忽略最值与直线截距之间的关系10．如果实数x ，y满足条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，y ＋1≥0，x ＋y ＋1≤0，那么z ＝2x －y 的最大值为________．易错分析本题目标函数整理得y ＝2x －z ，当纵截距最大时z 最大，易错得z max ＝－3．答案 1解析作出约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图易知，平移直线2x －y ＝0，当其经过直线y ＋1＝0与直线x ＋y ＋1＝0的交点(0，－1)时目标函数取得最大值，即z max ＝2×0－(－1)＝1．一、选择题1．设变量x ，y 满足约束条件 ⎩⎨⎧x ＋y ≤3，x －y ≥－1，y ≥1，则目标函数z ＝4x ＋2y 的最大值为( )A ．12B ．10C ．8D ．2 答案 B解析如图，不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，当直线z ＝4x ＋2y 经过点A 时，z 的值最大，因为点A 的坐标是(2，1)，故z 的最大值是4×2＋2×1＝10．选B ．2．设x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，x －2y ≤2，则z ＝x ＋y ( )A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最小值D ．既无最小值，也无最大值答案 B解析作出不等式组⎩⎨⎧2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，x －2y ≤2表示的可行域如下图所示：z ＝x ＋y 表示直线过可行域时，在y 轴上的截距，当目标函数平移至过可行域A 点时，z 有最小值．联立⎩⎨⎧2x ＋y ＝4，x －2y ＝2，解得A (2，0)．z 最小值＝2，z 无最大值．3．如图所示的坐标平面的可行域内(包括边界)，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为( )A ．14B ．35C ．4D ．53 答案 B解析 ∵z ＝ax ＋y ，∴y ＝－ax ＋z ，∴当－a ＝k AC 时，最优解有无穷多个． ∵k AC ＝－35，∴a ＝35．故选B ．4．在平面直角坐标系中，动点M (x ，y )满足条件⎩⎨⎧x －y ＋2≤0，x ＋y －2≤0，y －1≥0，动点Q 在曲线(x －1)2＋y 2＝12上，则|MQ |的最小值为( )A ． 2B ．322 C ．1－22 D ．5－12 答案 A解析圆(x －1)2＋y 2＝12的圆心坐标为(1，0)，半径r ＝22，则圆心到可行域的最小距离为到直线x －y ＋2＝0的距离，即d ＝|1－0＋2|2＝322，所以|MQ |的最小值为d －r ＝2．故选A ．5．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ≥a ，若x ＋2y ≥－5 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．[－1，＋∞)C ．[－1，1]D ．[－1，1) 答案 C解析由题意作出可行域，如图所示，由图易知a ≤1．x ＋2y ≥－5恒成立可化为图中的阴影部分恒在直线x ＋2y ＝－5的右上方，即点A 在直线x ＋2y ＝－5上或其右上方．易知A 点坐标为(a ，a －1)，所以a ＋2(a －1)≥－5，所以实数a 的取值范围为[－1，1]．故选C ．二、填空题6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≥x ，x ＋2y ≤2，x ≥－2，则z ＝x －3y 的最小值为________．答案－8解析在坐标平面内画出不等式组⎩⎨⎧y ≥x ，x ＋2y ≤2，x ≥－2所表示的平面区域，作出直线x －3y ＝0，平移该直线，再结合图形不难得出当直线平移到经过该平面区域内的点(－2，2)时，z ＝x －3y 取得最小值等于－2－3×2＝－8．7．已知点P (x ，y )满足⎩⎨⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y ≤25，x －1≥0，点A (2，0)，则|OP→|sin ∠AOP (O 为坐标原点)的最大值为________．答案 225解析由于|OP →|sin ∠AOP ＝|OP →|×y P |OP →|＝y P，故将不等式组表示的可行域作出如下图所示，如图易知直线3x ＋5y ＝25与直线x ＝1的交点P 的纵坐标取得最大值，解得y P ＝225．8．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧1≤x ＋y ≤4，－2≤x －y ≤2.若目标函数z ＝ax ＋y (其中a＞0)仅在点(3，1)处取得最大值，则a 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析由变量x ，y 满足约束条件1≤x ＋y ≤4，－2≤x －y ≤2，在坐标系中画出可行域，如图中的阴影部分所示，为四边形ABCD ，其中A (3，1)，k AD ＝1，k AB ＝－1．目标函数z ＝ax ＋y (其中a ＞0)中的z 表示斜率为－a 的一族平行直线在y 轴上的截距的大小，若仅在点(3，1)处取得最大值，则斜率应小于k AB ＝－1，即－a ＜－1，所以a 的取值范围是(1，＋∞)．三、解答题9．画出不等式组⎩⎨⎧ x －y ＋3≥0，x ＋y ≥0，x ≤2表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x ，y 的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？解 (1)画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示(包括边界)，结合图形可知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，2， y ∈[－2，5]．(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ －x ≤y ≤x ＋3，－32≤x ≤2，x ∈Z ，y ∈Z ，当x ＝－1时，1≤y ≤2，有2个整点；当x ＝0时，0≤y ≤3，有4个整点；当x ＝1时，－1≤y ≤4，有6个整点；当x ＝2时，－2≤y ≤5，有8个整点．所以平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＝20个．10．已知⎩⎨⎧ x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，求： (1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (2)z ＝2y ＋1x ＋1的取值范围．解 (1)作出可行域如下图，计算得点A (1，3)，B (3，1)，C (7，9)．z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到点M (0，5)的距离的平方．过点M 作AC 的垂线，易知垂足N 在AC 上，故|MN |＝|0－5＋2|1＋(－1)2＝32＝322． ∴|MN |2＝3222＝92．∴z 的最小值为92． (2)z ＝2·y －－12x －(－1)表示可行域内点(x ，y )与定点Q －1，－12连线斜率的2倍． ∵k QA ＝74，k QB ＝38．∴z 的取值范围是34，72．。

人教A版高中数学必修五练习简单的线性规划问题

3.3.2 简单的线性规划问题课后篇巩固提升基础巩固1.已知某线性规划问题中的目标函数为z=3x-y ,若将其看成直线方程,则z 的几何意义是( ) A .该直线的截距 B .该直线的纵截距 C .该直线的纵截距的相反数 D .该直线的横截距z=3x-y ,得y=3x-z ,在该方程中-z 表示直线的纵截距,因此z 表示该直线的纵截距的相反数.2. 目标函数z=x-y 在{2x -y +1≥0,x -2y -1≤0,x +y ≤1的线性约束条件下,取得最大值的可行解为( )A .(0,1)B .(-1,-1)C .(1,0)D .(12,12),当x=0,y=1时,z=-1;当x=-1,y=-1时,z=0;当x=1,y=0时,z=1;当x=12,y=12时,z=0.排除选项A,B,D,故选C .3.若变量x ,y 满足约束条件{x +y ≤3,x -y ≥-1,y ≥1,目标函数为z=4x+2y ,则有( )A.z 有最大值无最小值B.z 有最小值无最大值C.z 的最小值是8D.z 的最大值是10z=4x+2y ,得y=-2x+z.作出不等式组对应的平面区域,如图阴影部分所示. 平移直线y=-2x ,当直线y=-2x+z经过点B (0,1)时,直线y=-2x+z在y 轴上的截距最小,此时z 最小,且z min =2.当直线y=-2x+z2经过点C (2,1)时,直线y=-2x+z 2在y 轴上的截距最大,此时z 最大,且z max =4×2+2×1=10.故选D .4.若直线y=2x 上存在点(x ,y )满足约束条件{x +y -3≤0,x -2y -3≤0,x ≥m ,则实数m 的最大值为( )A.-1B.1C.32D.2,由{y =2x ,x +y -3=0得交点P (1,2).当直线x=m 经过点P 时,m 取到最大值1.5.已知实数x ,y 满足约束条件{x -y +4≥0,x +y ≥0,x ≤3,则z=2x+y 的最小值为 .z=2x+y ,所以y=-2x+z.不等式组满足的平面区域如图阴影部分所示.平移直线2x+y=0,由图形可求得z=2x+y 的最小值是-2.26.已知变量x ,y 满足{2x -y ≤0,x -3y +5≥0,则z=x+y-2的最大值为 .作出可行域,如图阴影部分所示.由图知,目标函数z=x+y-2在点A 处取得最大值. 易知A (1,2),故z max =1+2-2=1.7.铁矿石A 和B 的含铁率a 、冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表:某冶炼厂至少要生产1.9万吨的铁,若要求CO 2的排放量不超过2万吨,则购买铁矿石的最少费用为百万元.A x 万吨,铁矿石B y 万吨,购买费用为z ,则根据题意得到的约束条件为{x ≥0,y ≥0,0.5x +0.7y ≥1.9,x +0.5y ≤2,目标函数为z=3x+6y.画出约束条件表示的可行域,如图阴影部分所示.当直线3x+6y=z 经过点(1,2)时,z 取最小值,且z 最小值=3×1+6×2=15.8. 已知S 为平面上以A (3,-1),B (-1,1),C (1,3)为顶点的三角形区域(含三角形内部及边界).若点(x ,y )在区域S 上移动. (1)求z=3x-2y 的最值;(2)求z=y-x 的最大值,并指出其最优解.z=3x-2y 可化为y=32x-z 2=32x+b ,故求z 的最大值、最小值,相当于求直线y=32x+b 在y 轴上的截距b 的最小值、最大值,即b 取最大值,z 取最小值;反之亦然.①如图①,平移直线y=32x ,当y=32x+b 经过点B 时,b max =52,此时z min =-2b=-5;当y=32x+b 经过点A 时,b min =-112,此时z max =-2b=11.故z=3x-2y 的最大值为11,最小值为-5.(2)z=y-x 可化为y=x+z ,故求z 的最大值,相当于求直线y=x+z 在y 轴上的截距z 的最大值.如图②,平行移动直线y=x ,当直线y=x+z 与直线BC 重合时,z max =2,此时线段BC 上任一点的坐标都是最优解.②9.甜柚和脐橙是赣州地区的两大水果特产,一农民有山地20亩,根据往年经验,若种脐橙,则每年每亩平均产量为1 000千克;若种甜柚,则每年每亩平均产量为1 500千克.已知脐橙成本每年每亩4 000元,甜柚成本较高,每年每亩12 000元,且脐橙每千克卖6元,甜柚每千克卖10元.现该农民有120 000元,那么两种水果的种植面积分别为多少,才能获得最大收益?x 亩脐橙,y 亩甜柚时,能获得利润z 元.则z=(1 000×6-4 000)x+(1 500×10-12 000)y=2 000x+3 000y ,其中x ,y 满足条件{x +y ≤20,4 000x +12 000y ≤120 000,x ≥0,y ≥0,即{x +y ≤20,x +3y ≤30,x ≥0,y ≥0,作出可行域,如图中阴影部分所示.当直线y=-23x+z3 000经过点A (15,5),即种15亩脐橙,5亩甜柚时,每年收益最大,为45 000元. 能力提升1.若变量x ,y 满足约束条件{x +y ≤8,2y -x ≤4,x ≥0,y ≥0,且z=5y-x 的最大值为a ,最小值为b ,则a-b 的值是( )A.48B.30C.24D.16,如图阴影部分所示.由图可知,当直线y=x 5+z5经过点A 时,z 有最大值;经过点B 时,z 有最小值.联立方程组{x +y =8,2y -x =4,解得{x =4,y =4,即A (4,4).对x+y=8,令y=0,则x=8,即B (8,0), 所以a=5×4-4=16,b=5×0-8=-8, 则a-b=16-(-8)=24,故选C .2.已知正数x ,y 满足{2x -y ≤0,x -3y +5≥0,则z=22x+y 的最大值为( )A .8B .16C .32D .64t=2x+y ,可求得当直线t=2x+y 经过2x-y=0与x-3y+5=0的交点(1,2)时,t 取最大值4,故z=22x+y的最大值为16.3.已知x ,y 满足约束条件{x +y ≥0,x -y +1≤0,x +2y -2≤0,若z=x-3y+m 的最小值为4,则m=( )A .6B .8C .10D .12,如图中的阴影部分所示.由z=x-3y+m ,得y=13x-z 3+m 3,则由图可知z=x-3y+m 在点A (-2,2)处取得最小值,则有z=-2-3×2+m=4,所以m=12,故选D .4.已知变量x ,y 满足约束条件{y ≤2,x +y ≥1,x -y ≤1,则z=3|x|+y 的取值范围为( )A.[-1,5]B.[1,11]C.[5,11]D.[-7,11],由可行域可知,当x≥0时,z=3x+y的取值范围是[1,11];当x<0时,z=-3x+y的取值范围是(1,5].综上,z=3|x|+y的取值范围为[1,11].5.若变量x,y满足约束条件{2x-y≥0, x+2y≥0, 3x+y-5≤0,则z=x+y2的取值范围为.(△OAB及其内部),其中O(0,0),A(1,2),B(2,-1),因此当直线z=x+y2经过点A时,z取得最大值,即z max=1+22=2;当直线z=x+y2经过点O时,z取得最小值,即z min=0.所以z=x+y2的取值范围为[0,2].6.某公司生产甲、乙两种桶装产品,已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A,B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是元.x桶,乙产品y桶,每天利润为z元,则{x+2y≤12,2x+y≤12,x≥0,y≥0,z=300x+400y.作出可行域,如图中的阴影部分所示.作直线300x+400y=0,向右上平移,当直线经过点A时,z=300x+400y取最大值.由{x+2y=12,2x+y=12得{x=4,y=4,所以A(4,4),故z max=300×4+400×4=2 800.7.已知z=2y-2x+4,其中x ,y 满足条件{0≤x ≤1,0≤y ≤2,2y -x ≥1,求z 的最大值和最小值.{0≤x ≤1,0≤y ≤2,2y -x ≥1表示的平面区域,如图中的阴影部分所示.令2y-2x=t ,则当直线2y-2x=t 经过点A (0,2)时,z max =2×2-2×0+4=8;当直线2y-2x=t 经过点B (1,1)时,z min =2×1-2×1+4=4. 故z 的最大值为8,最小值为4.8.某公司有60万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对甲项目的投资不小于对乙项目投资的23,且对每个项目的投资不能低于5万元.对甲项目每投资1万元可获得0.4万元的利润,对乙项目每投资1万元可获得0.6万元的利润,该公司正确规划投资后,在这两个项目上一共可获得的最大利润是多少?x 万元,投资乙项目y 万元,可获得利润为z 万元,则{x +y ≤60,x ≥23y ,x ≥5,y ≥5,目标函数为z=0.4x+0.6y. 作出满足题意的可行域如图阴影部分所示. 由z=0.4x+0.6y ,得y=-23x+53z.由{3x -2y =0,x +y =60,得A (24,36).由图知,当直线y=-23x+53z 经过点A 时,53z 取得最大值,即z 取得最大值. 故z max =0.4×24+0.6×36=31.2(万元), 即一共可获得的最大利润为31.2万元.。

2019年高考数学(理科)一轮复习达标检测(二十七) 简单的线性规划问题

高考达标检测（二十七）简单的线性规划问题一、选择题1．若O 为坐标原点，实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，在可行域内任取一点P (x ，y )，则|OP |的最小值为( )A ．1 B. 3 C.22D.32解析：选C 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知|OP |的最小值为点O 到直线x ＋y ＝1的距离，所以|OP |的最小值为22.2．(2017·山东高考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≤0，3x ＋y ＋5≤0，x ＋3≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值是( )A ．0B ．2C ．5D ．6解析：选C 作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示，将直线y ＝－x 2＋z2进行平移，显然当该直线过点A 时z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＋5＝0，x ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝4，即A (－3,4)，所以z max ＝－3＋8＝5.3．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，x ≥0，y ≥0，则z ＝8－x ·⎝⎛⎭⎫12y的最小值为( )A ．1 B.324C.116 D.132解析：选D 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，而z＝8－x ·⎝⎛⎭⎫12y ＝2－3x －y ，欲使z 最小，只需使－3x －y 最小即可．由图知当x ＝1，y ＝2时，－3x －y 的值最小，且－3×1－2＝－5，此时2－3x －y最小，最小值为132.4．(2017·浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：选D 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋z 2，∴z 2是直线y ＝－12x ＋z 2在y 轴上的截距，根据图形知，当直线y ＝－12x ＋z 2过A 点时，z 2取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋y －3＝0，得x ＝2，y ＝1，即A (2,1)，此时，z ＝4， ∴z ＝x ＋y 的取值范围是[4，＋∞)． 5．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≥－1，y ≥0表示的平面区域为M ，若直线y ＝kx －3k 与平面区域M 有公共点，则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－13，0 B.⎝⎛⎦⎤－∞，13 C.⎝⎛⎦⎤0，13 D.⎝⎛⎦⎤－∞，－13 解析：选A 画出可行域如图中阴影部分所示，因为直线y ＝kx －3k 过定点(3,0)，结合图形可知该直线的斜率的最大值为k ＝0，最小值为k ＝0－13－0＝－13，所以k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－13，0.6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≤0，x －2y ＋2≥0，x ＋y －1≥0，则S ＝y ＋1x ＋1的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤1，32 B.⎣⎡⎦⎤12，1 C.⎣⎡⎦⎤12，2D ．[1,2]解析：选C 作出可行域为含边界的三角形区域(如图)，顶点分别是A (1,0)，B (0,1)，C (2，2)．S ＝y ＋1x ＋1表示可行域内的点与定点P (－1，－1)连线的斜率，则S min ＝k PA ＝12，S max ＝k PB ＝2.7．(2018·大连期末)已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是( )A ．2 6B ．4 C. 6D ．2解析：选B 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P 到圆心的距离为d ，求最短弦长，等价于求到圆心距离d 最大的点，即为图中的P 点，其坐标为(1,3)，则d ＝1＋32＝10，此时|AB |min ＝214－10＝4.8．已知点M (a ，b )与点N (0，－1)在直线3x －4y ＋5＝0的两侧，给出以下结论： ①3a －4b ＋5>0；②当a ＞0时，a ＋b 有最小值，无最大值； ③a 2＋b 2＞1； ④当a ＞0且a ≠1时，b ＋1a －1的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－94∪⎝⎛⎭⎫34，＋∞. 正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 因为点M (a ，b )与点N (0，－1)在直线3x －4y ＋5＝0的两侧，所以9(3a －4b ＋5)＜0，即3a －4b ＋5＜0，故①错误；作出可行域(如图中阴影部分，不包含边界)，当a >0时，由图知，a ＋b 无最小值，也无最大值，故②错误；3a －4b ＋5<0表示的区域是直线3x －4y ＋5＝0的左上方，a 2＋b 2表示阴影部分的点M (a ，b )和原点间的距离的平方，则d ＞532＋(－4)2＝1，故③正确；b ＋1a －1表示阴影部分的点M (a ，b )和B (1，－1)连线的斜率，由图象得b ＋1a －1＞k 1＝34或b ＋1a －1＜k AB ＝54＋10－1＝－94，故④正确，故选B.二、填空题9．(2017·北京高考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥2，y ≤x ，则x ＋2y 的最大值为________．解析：不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，是以点A (1,1)，B (3,3)，C (3，－1)为顶点的三角形及其内部．设z ＝x ＋2y ，当直线z ＝x ＋2y 经过点B 时，z 取得最大值，所以z max ＝3＋2×3＝9.答案：910．(2018·沈阳质监)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2≤0，ax －y ＋2≥0表示的平面区域的面积等于3，则a 的值为________．解析：依据不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知其表示的平面区域为△ABC ，所以S ＝12×2|AC |＝3，所以|AC |＝3，即C (2,3)，又点C 在直线ax －y ＋2＝0上，得a ＝12.答案：1211．点P (x ，y )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的平面区域内，若点P (x ，y )到直线y ＝kx－1(k >0)的最大距离为22，则实数k ＝________.解析：题中的不等式组表示的平面区域是以(0,1)，(0,3)，(1,2)为顶点的三角形区域(如图所示)，易得平面区域内的点(0,3)到直线y ＝kx－1(k >0)的距离最大，所以|0×k －3－1|k 2＋1＝22，又k >0，得k ＝1.答案：112．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为10，则a 2＋b 2的最小值为________．解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知当直线z ＝ax ＋by 过点A (4,6)时，取得最大值10，即2a ＋3b ＝5，而a 2＋b 2表示原点(0,0)与直线2a ＋3b ＝5上的点的距离的平方，显然a 2＋b 2的最小值为原点到直线2a ＋3b ＝5的距离的平方，又原点到直线2a ＋3b ＝5的距离d ＝513，所以a 2＋b 2的最小值为2513.答案：2513三、解答题13．(2017·天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解：(1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x≤2y ，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，y ≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分中的整数点．(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y . 考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一族平行直线.z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6,3)．所以电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多． 14．投资人制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，一投资人打算投资甲、乙两项目．根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为50%和40%，可能的最大亏损率分别为30%和20%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过2.4万元．设甲、乙两个项目投资额分别为x ，y 万元．(1)写出x ，y 满足的约束条件； (2)求可能盈利的最大值(单位：万元)．解：(1)x ，y 满足约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.2y ≤2.4，x ≥0，y ≥0，(2)设目标函数z ＝0.5x ＋0.4y ，上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，平移直线l 0：0.5x ＋0.4y ＝0，当经过点M 时，z ＝0.5x ＋0.4y 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.2y ＝2.4，得x ＝4，y ＝6.此时z max ＝0.5×4＋0.4×6＝4.4(万元)．1．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，5x －3y －12≥0，y ≤3，当目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)在该约束条件下取得最小值1时，(a －1)2＋(b －1)2的最小值为( )A.110 B.1010C.31010D.910解析：选D 作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示，把z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)化为y ＝－a b x ＋zb ，由图可知，当直线y ＝－a b x ＋zb 过点A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝0，5x －3y －12＝0，解得A (3,1)，所以3a ＋b ＝1，因为a ＞0，b ＞0，所以0＜a ＜13.则(a －1)2＋(b －1)2＝(a －1)2＋9a 2＝10a 2－2a ＋1＝10⎝⎛⎫a －1102＋910. 则当a ＝110时，(a －1)2＋(b －1)2取得最小值，最小值为910.2．在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y －4≥0所确定的平面区域内的动点，M ，N 是圆x 2＋y 2＝1的一条直径的两端点，则PM ―→·PN ―→的最小值为( )A ．4B ．22－1C ．4 2D ．7解析：选D 因为M ，N 是圆x 2＋y 2＝1的一条直径的两端点，所以可设M (a ，b )，N (－a ，－b )，则a 2＋b 2＝1.设P (x ，y )，则PM ―→·PN ―→＝(a －x ，b －y )·(－a －x ，－b －y )＝x 2－a 2＋y 2－b 2＝x 2＋y 2－1，设z ＝x 2＋y 2，则z 的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．则原点到直线x ＋y －4＝0的距离最小，此时d ＝|0＋0－4|2＝22，则z ＝d 2＝8，则PM ―→·P PN ―→＝x 2＋y 2－1＝8－1＝7.。

高三数学必修五简单的线性规划问题同步测试题(人教版)

高三数学必修五简单的线性规划问题同步测试题（人教版）数学是平常生活和进一步学习必不行少的基础和工具。

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一、选择题1.z=x-y 在 2x- y+1≥ 0x-2y- 1≤ 0 x+y ≤1的线性拘束条件下，获得最大值的可行解为()A.(0,1)B.(-1 ， -1)C.(1,0)D.(12 ，12)分析：选 C.能够考证这四个点均是可行解，当x=0，y=1 时，z=-1;当 x=-1 ，y=-1 时， z=0; 当 x=1 ，y=0 时， z=1;当 x=12 ，y=12 时， z=0.清除 A ， B ， D.2.(2019 年高考浙江卷 )若实数 x， y 知足不等式组x+3y- 3≥0，2x-y- 3≤0， x-y+1≥0，则 x+y 的最大值为 ()A.9B.157C.1D.715分析：选 A. 画出可行域如图：令 z=x+y ，可变成 y=-x+z ，作出目标函数线，平移目标函数线，明显过点 A 时 z 最大 .由 2x-y-3=0 ， x-y+1=0 ，得 A(4,5) ，∴ zmax=4+5=9.3.在△ ABC 中，三极点分别为A(2,4) ， B(-1,2) ， C(1,0)，点P(x，y) 在△ABC 内部及其界限上运动，则m=y-x 的取值范围为 ()A.[1,3]B.[-3,1]C.[-1,3]D.[-3 ， -1]分析：选 C.直线 m=y-x 的斜率 k1=1≥kAB=23 ，且 k1=1 ∴直线经过 C 时 m 最小，为 -1，经过 B 时 m 最大，为 3.4.已知点 P(x ，y) 在不等式组x- 2≤ 0y-1≤ 0x+2y-2≥0表示的平面地区内运动，则z=x-y 的取值范围是 ()A.[-2 ， -1]B.[-2,1]C.[-1,2]D.[1,2]分析：选 C.先画出知足拘束条件的可行域，如图暗影部分，∵z=x-y ，∴ y=x-z.由图知截距 -z 的范围为 [-2 ， 1]，∴ z 的范围为 [-1,2].5.设动点坐标 (x ，y)知足 ?x-y+1??x+y- 4?≥0，x≥3，y≥ 1则. x2+y2的最小值为 ()A.5B.10C.172D.10分析：选 D.画出不等式组所对应的平面地区，由图可知当x=3， y=1 时， x2+y2 的最小值为10.6.(2009 年高考四川卷 )某公司生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、B 原料 2 吨 ;生产每吨乙产品要用A 原料 1 吨、B 原料 3 吨 .销售每吨甲产品可获取收益 5 万元、每吨乙产品可获取收益 3 万元，该公司在一个生产周期内耗费 A 原料不超出13 吨、 B 原料不超出18 吨，那么该公司可获取的最大收益是() w w w .x k b 1.c o mA.12 万元B.20 万元C.25 万元D.27 万元分析：选 D.设生产甲产品x 吨、乙产品y 吨，则获取的收益为 z=5x+3y.由题意得x≥0， y≥0， 3x+y ≤ 13，2x+3y ≤ 18，可行域如图暗影所示.这个工作可让学生疏组负责采集整理,登在小黑板上 ,每周一换。

人教A版数学高三简单的线性规划问题精选试卷练习(含答案)4

人教 A 版数学高三简单的线性规划问题精选试卷练习（含答案)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
yx
1．若实数
x，y
满足不等式组
x
y
1，则
2x
y
的最小值是(
)
y 1
A．3
3
B．
2
C．0
D． 3
y 0
2x y 2 0
43．记不等式组 x 1
的解集为 D ，若 x 、 y D ， y a x 1 ，则实数 a
y 2
的最小值是______.
y x
44．设变量
x,
y
满足约束条件：
x
y
2
，则
z
x
3y
的最小值为__________．
x 1
45．若 x ， y 满足 x 1 y 2x ，则 3y x 的最小值为______.
15．已知实数
x,
y
满足
{ x
x
y
y
2
0
0
则
2
y
x
的最大值是(
)
A．-2 B．-1 C．1 D．2
x y 1 0
16．若实数
x，y
满足
x
y
0
，则 z 2x y 的最小值是（
）
x 0
A．1
1
B．
2
C．0
D．-1
x 1
17．如果点
P
在平面区域
y
2 上，点 M
的坐标为 (3, 0) ，那么

2019版高考数学原创单元卷第三单元不等式及简单线性规划(含答案)

第三单元测试卷本单元测试内容：不等式及简单的线性规划测试时间：50分钟，分值：80分姓名____________ 得分_____________一．选择题1．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x －2x ≤0，B ＝{0，1,2,3}，则A ∩B ＝( ) A ．{1,2} B ．{0,1,2} C ．{1} D ．{1,2,3} 2．若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |3．关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)4．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≥1，x －y ≤1，y －1≤0，则z ＝x －2y 的最大值为( )A ．－3B ．0C ．1D ．3 5．若log a (3a －1)>0，则a 的取值范围是( )A ．a <13 B.13<a <23 C ．a >1 D.13<a <23或a >16．已知x >0，y >0，lg2x ＋lg8y ＝lg2，则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 37．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋4y ≤12，则z ＝2x·⎝⎛⎭⎫12y 的最大值为( ) A ．16 B ．8 C ．4 D ．38．已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A ．1 B.35 C.12D ．29．已知a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋1a ＋1b ＝5，则a ＋b 的取值范围是( )A ．[1,4]B ．[2，＋∞)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)10．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，则(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为( )A ．1 B.92C ．5D ．911．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －3≥0，2x －y －9≤0，y ≤2，若使z ＝ax ＋y 取得最小值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是( )A ．{－2,0}B ．{1，－2}C ．{0,1}D ．{－2,0,1}12．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(1＋a )≤0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4]B ．[－4，＋∞)C ．[－4,20]D ．[－40,20) 二．填空题13．若关于x 的不等式(2a －b )x ＋(a ＋b )>0的解集为{x |x >－3}，则ba＝________.14．已知关于x 的不等式ax 2－ax －2a 2>1(a >0，a ≠1)的解集为(－a,2a )，且函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫1a x 2＋2mx －m －1的定义域为R ，则实数m 的取值范围为________．15．若x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥x ，y ≤2x ，x ＋y ≤1，若z ＝x ＋my 的最大值为53，则实数m ＝________.16．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤r 2，(r 为常数)表示的平面区域的面积为π，若x ，y 满足上述约束条件，则z ＝x ＋y ＋1x＋3的最小值为________．第三单元不等式及简单的线性规划1.A 【解析】∵A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x －2x ≤0＝{x |0<x ≤2}，∴A ∩B ＝{1,2}，故选A.2.D 【解析】由题可知b <a <0，所以A ，B ，C 正确，而|a |＋|b |＝－a －b ＝|a ＋b |，故D 错误，选D.3.C 【解析】关于x 的不等式ax －b <0即ax <b 的解集是(1，＋∞)，∴a ＝b <0，∴不等式(ax ＋b )(x －3)>0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3，∴所求不等式的解集是(－1,3)．故选C. 4.C 【解析】作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥1，x －y ≤1，y －1≤0，表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A (－1,1)，B (2,1)，C (1,0)，设z ＝F (x ，y )＝x －2y ，将直线l ：z ＝x －2y 进行平移，当l 经过点C 时，目标函数z 达到最大值．所以z max ＝F (1,0)＝1.5.D 【解析】∵log a (3a －1)>0，∴log a (3a －1)>log a 1，当a >1时，则有3a －1>1，解得a >23，∴a >1；当0<a <1时，则有⎩⎪⎨⎪⎧3a －1>03a －1<1，解得13<a <23，∴13<a <23，综上，可知a 的取值范围是a >1或13<a <23.故选D.6.C 【解析】因为lg2x＋lg8y＝lg2，所以x ＋3y ＝1，所以1x ＋13y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋13y (x ＋3y )＝2＋3y x ＋x 3y ≥4，当且仅当3y x ＝x3y，即x ＝12，y ＝16时，取等号．7.A 【解析】作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋4y ≤12，表示的平面区域如图中阴影部分所示．又z ＝2x ·⎝⎛⎭⎫12y ＝2x －y ，令u ＝x －y ，则直线u ＝x －y 在点(4,0)处u 取得最大值，此时z 取得最大值且z max ＝24－0＝16，故选A.8.C 【解析】依题意可知不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，由图可知，当y ＝－2x ＋z 经过点A (1，－2a )时，z 取得最小值1，即1＝2×1－2a ，解得a ＝12，选C.9.A 【解析】因为a ＋b ＋1a ＋1b ＝(a ＋b )(1＋1ab )＝5，又a ，b ∈(0，＋∞)，所以a ＋b ＝51＋1ab ≤51＋⎝⎛⎭⎫2a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即(a ＋b )2－5(a ＋b )＋4≤0，解得1≤a ＋b ≤4，故选A.10.B 【解析】可行域为如图所示的阴影部分，由题意可知点P (－2，－3)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－2－3＋2|2＝32，所以(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为⎝⎛⎭⎫322＝92，故选B.11.B 【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由z ＝ax ＋y 得y ＝－ax ＋z .若a ＝0，则直线y ＝－ax ＋z ＝z ，此时z 取得最小值的最优解只有一个，不满足题意；若－a >0，则直线y ＝－ax ＋z 在y 轴上的截距取得最小值时，z 取得最小值，此时当直线y ＝－ax 与直线2x －y －9＝0平行时满足题意，此时－a ＝2，解得a ＝－2；若－a <0，则直线y ＝－ax ＋z 在y 轴上的截距取得最小值时，z 取得最小值，此时当直线y ＝－ax 与直线x ＋y －3＝0平行时满足题意，此时－a ＝－1，解得a ＝1.综上可知，a ＝－2或a ＝1.故选B.12.B 【解析】不等式x 2－2x －3≤0的解集为[－1,3]，假设⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(a ＋1)≤0的解集为空集，则不等式x 2＋4x －(a ＋1)≤0的解集为集合{x |x <－1或x >3}的子集，因为函数f (x )＝x 2＋4x －(a ＋1)的图象的对称轴方程为x ＝－2，所以必有f (－1)＝－4－a >0⇒a <－4，则使⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(1＋a )≤0的解集不为空集的a 的取值范围是a ≥－4.13.54 【解析】由(2a －b )x ＋(a ＋b )>0得(2a －b )x >－(a ＋b )，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧2a －b >0，－a －b 2a －b ＝－3，∴a ＋b ＝3(2a －b )， ∴b a ＝54. 14.[－1,0] 【解析】当a >1时，由题意可得x 2－ax －2a 2>0的解集为(－a,2a )，且⎝⎛⎭⎫1a x 2＋2mx －m ≥⎝⎛⎭⎫1a 0，所以x 2＋2mx －m ≤0恒成立，这显然是不可能的．当0<a <1时，由题意可得x 2－ax －2a 2<0的解集为(－a,2a )，且⎝⎛⎭⎫1a x 2＋2mx －m ≥⎝⎛⎭⎫1a 0，即x 2＋2mx －m ≥0恒成立，故对于方程x 2＋2mx －m ＝0，有Δ＝4m 2＋4m ≤0，解得－1≤m ≤0. 15.2【解析】本题考查线性规划．在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域是以点(0,0)，⎝⎛⎭⎫12，12，⎝⎛⎭⎫13，23为顶点的三角形区域，显然m ≠0,1，当－1m ≤－1，即0<m <1时，目标函数z ＝x ＋my 在点⎝⎛⎭⎫12，12处取得最大值，则有53＝12＋12m ，解得m ＝73>1，不符合题意；当－1<－1m <0，即m >1时，目标函数z ＝x ＋my 在点⎝⎛⎭⎫13，23处取得最大值，则有53＝13＋23m ，解得m ＝2，符合题意；当－1m >0，即m <0时，目标函数z ＝x ＋my 在点⎝⎛⎭⎫12，12处取得最大值，则有53＝12＋12m ，解得m ＝73>0，不符合题意，综上所述，实数m 的值为2. 16.－75 【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由题意，知14πr 2＝π，解得r ＝2.z ＝x ＋y ＋1x ＋3＝1＋y －2x ＋3，表示可行域内的点与点P (－3,2)连线的斜率加上1，由图知当可行域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，则有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝－125或k ＝0(舍去)，所以z min ＝1－125＝－75.。

2019版高考数学(理科)一轮复习达标检测(二十七)简单的线性规划问题

高考达标检测（二十七）简单的线性规划问题一、选择题1．若O 为坐标原点，实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，在可行域内任取一点P (x ，y )，则|OP |的最小值为( )A ．1 B. 3 C.22D.32解析：选C 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知|OP |的最小值为点O 到直线x ＋y ＝1的距离，所以|OP |的最小值为22.2．(2017·山东高考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≤0，3x ＋y ＋5≤0，x ＋3≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值是( )A ．0B ．2C ．5D ．6解析：选C 作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示，将直线y ＝－x 2＋z2进行平移，显然当该直线过点A 时z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＋5＝0，x ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝4，即A (－3,4)，所以z max ＝－3＋8＝5.3．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，x ≥0，y ≥0，则z ＝8－x ·⎝⎛⎭⎫12y的最小值为( )A ．1 B.324C.116 D.132解析：选D 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，而z ＝8－x ·⎝⎛⎭⎫12y ＝2－3x －y，欲使z 最小，只需使－3x －y 最小即可．由图知当x ＝1，y ＝2时，－3x －y 的值最小，且－3×1－2＝－5，此时2－3x －y最小，最小值为132.4．(2017·浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：选D 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋z 2，∴z 2是直线y ＝－12x ＋z 2在y 轴上的截距，根据图形知，当直线y ＝－12x ＋z 2过A 点时，z 2取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋y －3＝0，得x ＝2，y ＝1，即A (2,1)，此时，z ＝4， ∴z ＝x ＋y 的取值范围是[4，＋∞)． 5．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≥－1，y ≥0表示的平面区域为M ，若直线y ＝kx －3k 与平面区域M 有公共点，则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－13，0 B.⎝⎛⎦⎤－∞，13 C.⎝⎛⎦⎤0，13 D.⎝⎛⎦⎤－∞，－13 解析：选A 画出可行域如图中阴影部分所示，因为直线y ＝kx －3k 过定点(3,0)，结合图形可知该直线的斜率的最大值为k ＝0，最小值为k ＝0－13－0＝－13，所以k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－13，0. 6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≤0，x －2y ＋2≥0，x ＋y －1≥0，则S ＝y ＋1x ＋1的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤1，32 B.⎣⎡⎦⎤12，1C.⎣⎡⎦⎤12，2D ．[1,2]解析：选C 作出可行域为含边界的三角形区域(如图)，顶点分别是A (1,0)，B (0,1)，C (2，2)．S ＝y ＋1x ＋1表示可行域内的点与定点P (－1，－1)连线的斜率，则S min ＝k PA ＝12，S max ＝k PB ＝2.7．(2018·大连期末)已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是( )A ．2 6B ．4 C. 6D ．2解析：选B 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P 到圆心的距离为d ，求最短弦长，等价于求到圆心距离d 最大的点，即为图中的P 点，其坐标为(1,3)，则d ＝1＋32＝10，此时|AB |min ＝214－10＝4.8．已知点M (a ，b )与点N (0，－1)在直线3x －4y ＋5＝0的两侧，给出以下结论：①3a －4b ＋5>0；②当a ＞0时，a ＋b 有最小值，无最大值； ③a 2＋b 2＞1； ④当a ＞0且a ≠1时，b ＋1a －1的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－94∪⎝⎛⎭⎫34，＋∞. 正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 因为点M (a ，b )与点N (0，－1)在直线3x －4y ＋5＝0的两侧，所以9(3a －4b ＋5)＜0，即3a －4b ＋5＜0，故①错误；作出可行域(如图中阴影部分，不包含边界)，当a >0时，由图知， a ＋b 无最小值，也无最大值，故②错误；3a －4b ＋5<0表示的区域是直线3x －4y ＋5＝0的左上方，a 2＋b 2表示阴影部分的点M (a ，b )和原点间的距离的平方，则d ＞532＋(－4)2＝1，故③正确；b ＋1a －1表示阴影部分的点M (a ，b )和B (1，－1)连线的斜率，由图象得b ＋1a －1＞k 1＝34或b ＋1a －1＜k AB ＝54＋10－1＝－94，故④正确，故选B.二、填空题9．(2017·北京高考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥2，y ≤x ，则x ＋2y 的最大值为________．解析：不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，是以点A (1,1)，B (3,3)，C (3，－1)为顶点的三角形及其内部．设z ＝x ＋2y ，当直线z ＝x ＋2y 经过点B 时，z 取得最大值，所以z max ＝3＋2×3＝9.答案：910．(2018·沈阳质监)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2≤0，ax －y ＋2≥0表示的平面区域的面积等于3，则a 的值为________．解析：依据不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知其表示的平面区域为△ABC ，所以S ＝12×2|AC |＝3，所以|AC |＝3，即C (2,3)，又点C 在直线ax －y ＋2＝0上，得a ＝12.答案：1211．点P (x ，y )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的平面区域内，若点P (x ，y )到直线y ＝kx －1(k >0)的最大距离为22，则实数k ＝________.解析：题中的不等式组表示的平面区域是以(0,1)，(0,3)，(1,2)为顶点的三角形区域(如图所示)，易得平面区域内的点(0,3)到直线y ＝kx －1(k >0)的距离最大，所以|0×k －3－1|k 2＋1＝22，又k >0，得k ＝1.答案：112．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为10，则a 2＋b 2的最小值为________．解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知当直线z ＝ax＋by 过点A (4,6)时，取得最大值10，即2a ＋3b ＝5，而a 2＋b 2表示原点(0,0)与直线2a ＋3b ＝5上的点的距离的平方，显然a 2＋b 2的最小值为原点到直线2a ＋3b ＝5的距离的平方，又原点到直线2a ＋3b ＝5的距离d ＝513，所以a 2＋b 2的最小值为2513.答案：2513三、解答题13．(2017·天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长(分钟) 广告播放时长(分钟) 收视人次(万)甲 70 5 60 乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解：(1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x≤2y ，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，y ≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分中的整数点．(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y . 考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一族平行直线.z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6,3)．所以电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．14．投资人制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，一投资人打算投资甲、乙两项目．根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为50%和40%，可能的最大亏损率分别为30%和20%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过2.4万元．设甲、乙两个项目投资额分别为x ，y 万元．(1)写出x ，y 满足的约束条件； (2)求可能盈利的最大值(单位：万元)．解：(1)x ，y 满足约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.2y ≤2.4，x ≥0，y ≥0，(2)设目标函数z ＝0.5x ＋0.4y ，上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，平移直线l 0：0.5x ＋0.4y ＝0，当经过点M 时，z ＝0.5x ＋0.4y 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.2y ＝2.4，得x ＝4，y ＝6.此时z max ＝0.5×4＋0.4×6＝4.4(万元)．1．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，5x －3y －12≥0，y ≤3，当目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)在该约束条件下取得最小值1时，(a －1)2＋(b －1)2的最小值为( )A.110 B.1010C.31010D.910解析：选D 作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示，把z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)化为y ＝－a b x ＋zb ，由图可知，当直线y ＝－a b x ＋zb 过点A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝0，5x －3y －12＝0，解得A (3,1)，所以3a ＋b ＝1，因为a ＞0，b ＞0，所以0＜a ＜13.则(a －1)2＋(b －1)2＝(a －1)2＋9a 2＝10a 2－2a ＋1＝10⎝⎛⎭⎫a －1102＋910. 则当a ＝110时，(a －1)2＋(b －1)2取得最小值，最小值为910.2．在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y －4≥0所确定的平面区域内的动点，M ，N 是圆x 2＋y 2＝1的一条直径的两端点，则PM ―→·PN ―→的最小值为( )A ．4B ．22－1C ．4 2D ．7解析：选D 因为M ，N 是圆x 2＋y 2＝1的一条直径的两端点，所以可设M (a ，b )，N (－a ，－b )，则a 2＋b 2＝1.设P (x ，y )，则PM ―→·PN ―→＝(a －x ，b －y )·(－a －x ，－b －y )＝x 2－a 2＋y 2－b 2＝x 2＋y 2－1，设z ＝x 2＋y 2，则z 的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．则原点到直线x ＋y －4＝0的距离最小，此时d ＝|0＋0－4|2＝22，则z ＝d 2＝8，则PM ―→·P PN ―→＝x 2＋y 2－1＝8－1＝7.。

2019-2020学年人教A版高中数学必修五习题：第三章3.3-3.3.2第1课时简单的线性规划问题 Word版含答案

第三章不等式3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.2 简单的线性规划问题第1课时简单的线性规划问题A 级基础巩固一、选择题1．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为( ) A ．－6 B ．－2 C ．0 D ．2 解析：画出可行域，如图所示，解得A (－2，2)，设z ＝2x －y ，把z ＝2x －y 变形为y ＝2x －z ，则直线经过点A 时z 取得最小值，所以z min ＝2×(－2)－2＝－6，故选A. 答案：A2．(2016·天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．17解析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中A (0，2)，B (3，0)，C (1，3)，直线z ＝2x ＋5y 过点B 时取最小值6，选B.答案：B3．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y≥－22，2x ＋3y≥9，2x≤11，x∈N*，y∈N*，则z ＝10x ＋10y 的最大值是( )A ．80B ．85C ．90D ．95解析：该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于x ，y ∈N *，计算区域内与⎝ ⎛⎭⎪⎫112，92最近的点为(5，4)，故当x ＝5，y ＝4时，z 取得最大值为90.答案：C4．(2016·浙江卷)在平面上，过点P 作直线l 的垂直所得的垂足称为点P 在直线l 的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( ) A ．22 B ．4 C ．32 D ．6解析：如图，△PQR 为线性区域，区域内的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成了线段R ′Q ′，即AB ，而R ′Q ′＝PQ ，由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0得Q (－1，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0得R (2，－2)，|AB |＝|QR |＝（－1－2）2＋（1＋2）2＝32.故选C.答案：C5．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x ＋y≤4，x ＋by ＋c≤0，目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为7，最小值为1，则b ，c 的值分别为( )A ．－1，4B ．－1，－3C ．－2，－1D ．－1，－2解析：由题意知，直线x ＋bx ＋c ＝0经过直线2x ＋y ＝7与直线x ＋y ＝4的交点，且经过直线2x ＋y ＝1和直线x ＝1的交点，即经过点(3，1)和点(1，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ＋c ＝0，1－b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－2.答案：D 二、填空题6．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y≥0，x≤0，则z ＝3x ＋2y的最小值是________．解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，设t ＝x ＋2y ，则y ＝－12x ＋t 2，当x ＝0，y ＝0时，t min ＝0，z ＝3x ＋2y的最小值为1.答案：17．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0.则x 2＋y 2的最小值是________．解析：画出满足条件的可行域(如图)，根据 x2＋y2表示可行域内一点到原点的距离，可知x 2＋y 2的最小值是|AO |2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －y ＋1＝0，得A (1， 2)，所以|AO |2＝5.答案：58．若点P (m ，n )在由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －2y ＋5≤0，2x －y ＋1≥0所确定的区域内，则n －m 的最大值为________．解析：作出可行域，如图中的阴影部分所示，可行域的顶点坐标分别为(1，3)，(2，5)，(3，4)，设目标函数为z ＝y －x .则y ＝x ＋z ，其纵截距为z ，由图易知点P 的坐标为(2，5)时，n －m 的最大值为3.答案：3 三、解答题9．已知f (x )＝(3a －1)x ＋b －a ，x ∈，若f (x )≤1恒成立，求a ＋b 的最大值．解：因为f (x )≤1在上恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （0）≤1，f （1）≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧b －a －1≤0，2a ＋b －2≤0，将a ，b 对应为平面aOb 上的点(a ，b )，则其表示的平面区域如图所示，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43，求a ＋b 的最大值转化为在约束条件下，目标函数z ＝a ＋b 的最值的线性的规划问题，作直线a ＋b ＝0，并且平移使它通过可行域内的A 点，此时z ＝a ＋b 取得的最大值为53.10．预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能地多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？解：设桌子、椅子分别买x 张、y 把，目标函数z ＝x ＋y ，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y≤2 000，y≥x，y≤1.5x，x≥0，x∈N*，y≥0，y∈N*.由⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝x 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2007，y ＝2007，所以A 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2007，2007. 由⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝1.5x 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝752，所以B 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫25，752. 所以满足条件的可行域是以A ⎝⎛⎭⎪⎫2007，2007，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫25，752，O (0，0)为顶点的三角形区域(如图)．由图形可知，目标函数z ＝x ＋y 在可行域内的最优解为x ＝25，y ＝37.所以买桌子25张，椅子37把才行．B 级能力提升1．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4 C.5 D ．2解析：法一：线性约束条件所表示的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，2x －y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以z ＝ax ＋by 在A (2，1)处取得最小值，故2a ＋b ＝25，a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝(5a －4)2＋4≥4.法二：画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x －y －1＝0与2x －y －3＝0的交点(2，1)时取得最小值，所以有2a ＋b ＝25.又因为a 2＋b 2是原点(0，0)到点(a ，b )的距离的平方，故当a2＋b2为原点到直线2a ＋b －25＝0的距离时最小，所以a2＋b2的最小值是|－25|22＋12＝2，所以a 2＋b 2的最小值是4，故选B.答案：B2．当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是____________．解析：画可行域如图所示，设目标函数z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z ，要使1≤z ≤4恒成立，则a ＞0，数形结合知，满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤2a＋1≤4，1≤a≤4即可，解得1≤a ≤32.所以a 的取值范围是1≤a ≤32.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，323．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1，x －y≥－1，2x －y≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，求a 的取值范围．解：(1)作出可行域如图所示，可求得A (3，4)，B (0，1)，C (1，0)，平移初始直线y ＝12x ，过A (3，4)时z 取得最小值－2，过C (1，0)时，z 取得最大值1.所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)由ax ＋2y ＝z ，得y ＝－a 2x ＋z 2，因为直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1＜－a 2＜2，解得－4＜a ＜2.故所求a 的取值范围为(－4，2)．。

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高三数学一轮复习试题：简单的线性规划问题导读：高考，比的不是智商高低，比的是谁的耐心好，经过一轮、二轮、三轮复习的摧残还能有几个小伙伴说自己屹立不倒的?今天查字典数学网小编末宝就给大家带来了高考数学一轮复习的同步练习，快来看看吧。

6.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车。

某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元;派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元。

该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z=( )A.4 650元B.4 700元C.4 900元D.5 000元【答案】：C(1)指出x，y的取值范围;(2)平面区域内有多少个整点?【解析】：(1)不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0上及其右下方的点的集合，x+y≥0表示直线x+y=0上及其右上方的点的集合，x≤3表示直线x=3上及其左方的点的集合。

当x=3时，-3≤y≤8，有12个整点;当x=2时，-2≤y≤7，有10个整点;当x=1时，-1≤y≤6，有8个整点;当x=0时，0≤y≤5，有6个整点;当x=-1时，1≤y≤4时，有4个整点;当x=-2时，2≤y≤3时，有2个整点;∴平面区域内的整点共有2+4+6+8+10+12=42(个)。

11.某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个和55个，所用原料为A，B两种规格金属板，每张面积分别为2 m2与3m2。

用A种规格金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个;用B种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个。

问A，B两种规格金属板各取多少张才能完成计划，并使总的用料面积最省?更多数学复习资讯，尽在查字典数学网。

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