【创新大课堂】高考数学(理)大一轮复习活页作业：11.1数系的扩充与复数的引入(含答案解析)
2019版高考数学创新大一轮复习人教A版全国通用(课件+讲义)第5节 数系的扩充与复数的引入
解析
(1)因为 z＝i(1＋i)＝－1＋i，
(2)(1－i)(aபைடு நூலகம்i)＝a＋1＋(1－a)i 的对应点在第二象限，
故复数 z＝i(1＋i)在复平面内所对应 点的坐标为(－1，1)．
则a1＋ －1a<>00， ，∴a<－1. 答案 (1)D (2)B
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考点二 复数的几何意义
1 A.2
2 B. 2
C. 2
D．2
(3)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i 是虚数单位)，则 a，b 的值分别等于( )
A．3，－2 B．3，2 C．3，－3 D．－1，4
解析 (1)由(1＋i)2＝2i 为纯虚数知选 C. (2)z＝12＋i i＝（12＋i（i）1－ （i1）－i）＝2i＋2 2＝i＋1，
解析
(2)(1＋i)(a＋i)＝(a－1)＋(a＋1)i， 由已知得 a＋1＝0， 解得 a＝－1. 答案 (1)D (2)－1
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考点三 复数的运算
[例 3] (1)(2017·全国Ⅱ卷)31＋ ＋ii＝(
)A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i
(2)(2018·日照质检)若 a 为实数，且21＋＋aii＝3＋i，则 a 等于(
解析
(1)由题图知复数 z＝3＋i，
∴1＋z i＝31＋ ＋ii＝（ （31＋ ＋ii） ）（ （11－ －ii） ） ＝4－2 2i＝2－i. ∴表示复数1＋z i的点为 H.
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考点二 复数的几何意义
[训练 2] (2)(2016·北京卷)设 a∈R，若复数(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点位于 实轴上，则 a＝________．
2021版新高考数学一轮复习讲义：第四章第五讲数系的扩充与复数的引入(含解析)
＝
＝
1＋ i 1＋ i 1－ i
2 ＝－ 1－ i.
z 4．(选修 1－ 2P105T3 改编 )若 i 为虚数单位， 图中复平面内点 Z 表示复数 z，则表示复数 1＋ i 的点是 ( D )
A．E C． G
B．F D ．H
z 3＋i 3＋ i 1－ i
z
[解析 ] 由图知复数 z＝ 3＋ i，则 ＝ ＝
C．原点是实轴与虚轴的交点
D．若 a∈ C ，则 |a|2＝ a2
题组二 走进教材
2．(必修 1－ 2P106A 组 T2 改编 )若复数 (a2－3a＋ 2)＋ (a－ 1)i 是纯虚数，则实数
(B )
A．1
B．2
a 的值为
C． 1 或 2
D ．－ 1
[解析 ] 依题意，有
a2－ 3a＋ 2＝0， a－ 1≠0，
i，则
z·z
＝(
B
)
A．4
B．5
C． 6
D ．8
4i
4i 1＋i
[解析 ] (1) ∵z(1－ i) ＝4i ，∴z＝ ＝
＝ 2i(1 ＋ i) ＝2i －2，∴z 的共轭复数是－ 2
1－ i 1－ i 1＋ i
－ 2i，故选 A ．
1－ i
1－i 2
1－ 2i－ 1
(2)∵z＝ ＋ 2i＝
＋ 2i＝
1＋ i
1＋ i 1－ i
2
＋ 2i＝ i ，∴|z|＝ |i|＝ 1，故选 C．
(3)由 4 ＝1－ i，得 z＝ 4 －1＝ 1＋ 2i，则 z·z ＝ |z|2＝ 5，故选 B ．
1＋ z
1－ i
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复数运算的技巧
统考版2022届高考数学一轮复习第十一章11.2数系的扩充与复数的引入课时作业理含解析
课时作业67 数系的扩充与复数的引入[基础达标]一、选择题1．[2021·黄冈中学，华师附中等八校联考]设i 是虚数单位，若复数a ＋5i1＋2i (a ∈R )是纯虚数，则a ＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．22．[2021·某某省某某市高三调研试题]复数1－3i(1－i )(1＋2i )＝( )A.35－iB.35－45i C ．－1D ．－i3．[2021·某某市高三学情调研测试试题]设z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2，则z 的共轭复数为( ) A ．－1B ．1 C ．iD ．－i4．[2021·某某市高三年级摸底测试卷]复数z 满足1＋iz＝1－i ，则|z |＝( )A ．2iB ．2C ．iD ．15．[2021·某某市高三调研性检测]已知i 是虚数单位，复数z ＝1－3i 1＋i 在复平面内对应的点位于( )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限6．[2021·某某省示X 高中名校高三联考]已知i 为虚数单位，z ＝3＋ii ，则z 的虚部为( )A ．1B ．－3C ．iD ．－3i7．[2021·某某市高三调研考试试题]已知复数z 满足(1－i)z ＝2＋i(其中i 为虚数单位)，则z 的共轭复数是( )A ．－12－32iB.12＋32iC ．－12＋32iD.12－32i8．[2021·某某市四校高三年级模拟考试]已知复数z ＝(1＋i )2i (1－i )，则下列结论正确的是( )A ．z 的虚部为iB ．|z |＝2C ．z 的共轭复数z －＝－1＋i D ．z 2为纯虚数9．[2021·某某省七校联合体高三第一次联考试题]已知复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称，若z 1＝1－2i ，则z 1z 2＝( )A.35－45iB ．－35＋45i C ．－35－45iD.35＋45i10．[2021·某某市高三年级摸底考试]已知p ，q ∈R,1＋i 是关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，其中i 为虚数单位，则p ·q ＝( )A ．－4B ．0C ．2D ．4 二、填空题11．[2020·某某卷]已知i 是虚数单位，则复数z ＝(1＋i)·(2－i)的实部是________． 12．[2021·某某学业质量抽测]已知复数z 1＝1＋2i ，z 1＋z 2＝2＋i ，则z 1·z 2＝________. 13．[2021·某某检测]已知复数z 满足z －(3＋4i)＝4＋3i ，则|z |＝________.14．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A ，B 对应的复数分别是z 1，z 2，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 22z 1＝________.[能力挑战]15．[2021·某某市高三调研考试试题]设6＋x ＋(3－2x )i ＝3＋(y ＋5)i(i 为虚数单位)，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|等于( )A ．5B.13 C ．22D ．216．[2021·某某市高三模拟考试]在复平面内，复数a ＋i1＋i 对应的点位于直线y ＝x 的左上方，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，1)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)17．[2021·某某某某三中检测]已知m ∈R ，p ：方程x 22＋y 2m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；q：在复平面内，复数z＝1＋(m－3)i对应的点在第四象限，若p∧q为真命题，则m的取值X围是________．课时作业671．解析：由已知，得a＋5i1＋2i＝a＋5i(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝a＋2＋i，由题意得a＋2＝0，所以a＝－2.故选C.答案：C2．解析：1－3i(1－i )(1＋2i )＝1－3i 3＋i ＝(1－3i )(3－i )(3＋i )(3－i )＝－10i10＝－i ，故选D.答案：D3．解析：解法一 z ＝(1＋i )2(1－i )2＝2i －2i＝－1，所以z －＝－1，故选A.解法二 z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝12＝－1，所以z －＝－1，故选A. 答案：A4．解析：解法一 z ＝1＋i 1－i ＝2i2＝i ，则|z |＝1.解法二 |z |＝|1＋i||1－i|＝22＝1.答案：D5．解析：因为z ＝1－3i 1＋i ＝(1－3i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝－1－2i ，所以z 在复平面内对应的点的坐标为(－1，－2)，该点位于第三象限，故选B.答案：B6．解析：z ＝3＋i i ＝(3＋i )(－i )i (－i )＝1－3i ，所以z 的虚部为－3，故选B.答案：B7．解析：∵(1－i)z ＝2＋i ，∴z ＝2＋i 1－i ＝(2＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋3i 2，∴z 的共轭复数z －＝12－32i ，故选D.答案：D8．解析：z ＝(1＋i )2i (1－i )＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2(1＋i )2＝1＋i ，则z 的虚部为1，所以选项A错误；|z |＝12＋12＝2，所以选项B 错误；z 的共轭复数z －＝1－i ，所以选项C 错误；z 2＝(1＋i)2＝2i 是纯虚数，所以选项D 正确．故选D.答案：D9．解析：由题意可知z 1＝1－2i ，z 2＝－1－2i ，则z 1z 2＝1－2i －1－2i ＝(1－2i )(－1＋2i )(－1－2i )(－1＋2i )＝35＋45i.故选D. 答案：D10．解析：通解 因为1＋i 是关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，所以(1＋i)2＋p (1＋i)＋q ＝0，即p ＋q ＋(p ＋2)i ＝0，根据复数相等得p ＋q ＝0且p ＋2＝0，所以p ＝－2，q ＝2，所以pq ＝－4，故选A.优解 方程x 2＋px ＋q ＝0是实系数的一元二次方程，且1＋i 是方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，则另一个根为1－i ，由根与系数的关系得，q ＝(1＋i)(1－i)＝2，－p ＝1＋i ＋1－i ＝2，所以p ＝－2，所以pq ＝－4.答案：A11．解析：复数z ＝(1＋i)(2－i)＝3＋i ，实部是3. 答案：312．解析：由已知条件得z 2＝2＋i －z 1＝2＋i －(1＋2i)＝1－i ，所以z 1·z 2＝(1＋2i)(1－i)＝3＋i.答案：3＋i13．解析：解法一 因为z －＝4＋3i 3＋4i ＝(4＋3i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝2425－725i ，所以z ＝2425＋725i ，所以|z |＝1.解法二 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z －＝x －y i ，所以(x －y i)(3＋4i)＝4＋3i,3x ＋4y ＋(4x－3y )i ＝4＋3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝4，4x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2425，y ＝725.所以|z |＝1.解法三 由z －(3＋4i)＝4＋3i ，得|z －(3＋4i)|＝|4＋3i|，即5|z －|＝5，所以|z |＝1. 答案：114．解析：由题意，z 1＝i ，z 2＝2－i ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 22z 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(2－i )2i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－4i i ＝|3－4i||i|＝5.答案：515．解析：由6＋x ＋(3－2x )i ＝3＋(y ＋5)i ，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 6＋x ＝33－2x ＝y ＋5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝4，所以|x ＋y i|＝(－3)2＋42＝25＝5，选A.答案：A16．解析：因为a ＋i 1＋i ＝(a ＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝(a ＋1)＋(1－a )i2，复数a ＋i1＋i对应的点在直线y ＝x 的左上方，所以1－a >a ＋1，解得a <0.故实数a 的取值X 围是(－∞，0)，选A.答案：A17．解析：p ：方程x 22＋y 2m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m >2.q ：在复平面内，复数z ＝1＋(m －3)i 对应的点在第四象限，则m <3，若p ∧q 为真命题，则2<m <3.答案：(2,3)。
高考数学一轮复习作业数系的扩充与复数的引入北师大版
数系的扩充与复数的引入一、选择题1．(2021·新高考卷Ⅰ)已知z ＝2－i,则z (z ＋i)＝( ) A ．6－2i B ．4－2i C ．6＋2iD ．4＋2iC [因为z ＝2－i,所以z (z ＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝6＋2i,故选C ．] 2．(2021·浙江高考)已知a ∈R ,(1＋a i)i ＝3＋i(i 为虚数单位),则a ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－3D ．3C [法一：因为(1＋a i)i ＝－a ＋i ＝3＋i,所以－a ＝3,解得a ＝－3．故选C ． 法二：因为(1＋a i)i ＝3＋i,所以1＋a i ＝3＋ii ＝1－3i,所以a ＝－3．故选C ．]3．(2019·全国卷Ⅱ)设z ＝－3＋2i,则在复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限C [∵z ＝－3＋2i,∴z ＝－3－2i,∴在复平面内,z 对应的点为(－3,－2),此点在第三象限．] 4．(1－i)4＝( )A ．－4B ．4C ．－4iD ．4i A [(1－i)4＝(－2i)2＝－4,故选A ．]5．若复数z ＝a1＋i ＋1为纯虚数,则实数a ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 A [因为复数z ＝a1＋i＋1＝a 1－i1＋i1－i＋1＝a ＋22－a2i,∵z 为纯虚数,∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋22＝0，－a 2≠0，∴a ＝－2．] 6．已知1－i2z＝1＋i(i 为虚数单位),则复数z 等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－iD [由题意,得z ＝1－i21＋i ＝－2i1＋i＝－1－i,故选D ．] 7．已知z ＝a ＋i2 021,且|z ＋i|＝3,则实数a 的值为( )A ．0B ．1C ．± 5D ． 6 C [∵z ＝a ＋i2 021＝a ＋i,∴|z ＋i|＝|a ＋2i|＝a 2＋4＝3．∴a ＝±5,故选C ．]8．设复数z 1,z 2在复平面内对应的点关于实轴对称,z 1＝2＋i,则z 1z 2＝( ) A ．1＋i B ．35＋45i C ．1＋45iD ．1＋43iB [因为复数z 1,z 2在复平面内对应的点关于实轴对称,z 1＝2＋i,所以z 2＝2－i,所以z 1z 2＝2＋i 2－i ＝2＋i 25＝35＋45i,故选B ．] 二、填空题9．设复数z 满足z ＝|1－i|＋i(i 为虚数单位),则复数z ＝________． 2－i [复数z 满足z ＝|1－i|＋i ＝2＋i,则复数z ＝2－i ．]10．已知i 是虚数单位,则复数z ＝(1＋i)(2－i)的实部是________,虚部是________． 3 1 [z ＝(1＋i)(2－i)＝3＋i,故实部是3,虚部是1．]11．－3＋2i 是方程2x 2＋px ＋q ＝0的一个根,且p ,q ∈R ,则p ＋q ＝________． 38 [由题意得2(－3＋2i)2＋p (－3＋2i)＋q ＝0, 即2(5－12i)－3p ＋2p i ＋q ＝0, 即(10－3p ＋q )＋(－24＋2p )i ＝0,所以⎩⎪⎨⎪⎧10－3p ＋q ＝0，－24＋2p ＝0.所以p ＝12,q ＝26,所以p ＋q ＝38．]12．已知复数z ＝4＋2i1＋i2(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x －2y ＋m ＝0上,则m ＝________．－5 [z ＝4＋2i 1＋i 2＝4＋2i2i ＝4＋2i i2i2＝1－2i,复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,－2),将其代入x －2y ＋m ＝0,得m ＝－5．]1．若(1－m i)(m ＋i)＜0,其中i 为虚数单位,则m 的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．－3 D ．－4A [因为(1－m i)(m ＋i)＝2m ＋(1－m 2)i ＜0,所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＜0，1－m 2＝0，解得m ＝－1,故选A ．]2．(2021·合肥质检)欧拉公式e i θ＝cos θ＋isin θ把自然对数的底数e,虚数单位i,三角函数cos θ和sin θ联系在一起,充分体现了数学的和谐美,被誉为“数学的天桥”,若复数z 满足(e i π＋i)·z ＝i,则|z |＝( )A ．1B ．22 C ．32D ． 2 B [由题意知e i π＝cos π＋isin π＝－1． ∴z ＝i －1＋i ＝i －1－i －1＋i －1－i ＝12－12i,∴|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝22,故选B ．]。
高考数学 大一轮复习 第11章 第4节 数系的扩充与复数的引入课时提升练 文 新人教版
课时提升练(五十七)数系的扩充与复数的引入一、选择题1．实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 根据复数的几何意义直接求解．由题意可得复数z ＝－2＋i ，故在复平面内对应的点为(－2,1)，在第二象限，故选B.【答案】 B2．i 为虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝( ) A ．－1B.1 C ．－i D ．i 【解析】 利用复数的四则运算法则计算．⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝1－i 21＋i 2＝－2i 2i ＝－1. 【答案】 A3．满足z ＋i z＝i(i 为虚数单位)的复数z ＝( ) A.12＋12i B.12－12i C ．－12＋12i D ．－12－12i 【解析】 根据复数的乘、除法运算法则求解．∵z ＋i z＝i ，∴z ＋i ＝z i ，∴i ＝z (i －1)． ∴z ＝i i －1＝i －1－i －1＋i －1－i ＝1－i 2＝12－i 2. 【答案】 B4．若复数z 满足i z ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( )A ．(2,4)B ．(2，－4)C ．(4，－2)D ．(4,2)【解析】 法一 因为i z ＝2＋4i ，所以z ＝2＋4i i＝2＋4i －i i －i ＝4－2i.在复平面内，复数z 对应的点的坐标为(4，－2)，选C.法二 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由i z ＝2＋4i ，得i(a ＋b i)＝2＋4i ，即－b ＋a i ＝2＋4i ，故⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－2，即z ＝4－2i ，故复数z 对应的点的坐标为(4，－2)，选C.法三 因为i z ＝2＋4i ，所以(－i)i z ＝(－i)(2＋4i)＝4－2i ，即z ＝4－2i ，故复数z 对应的点的坐标为(4，－2)，选C.【答案】 C5．复数z ＝2－i 2i (i 为虚数单位)，则|z |＝( ) A ．25 B.41 C ．5D. 5 【解析】 ∵z ＝2－i 2i＝4－4i ＋i 2i ＝3－4i i ＝－4－3i ， ∴|z |＝－42＋－32＝25＝5.【答案】 C6．若复数a ＋3i 1＋2i(a ∈R ，i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．－2B.4 C ．－6D ．6 【解析】a ＋3i 1＋2i ＝a ＋3i 1－2i 1＋2i 1－2i ＝a ＋65＋3－2a 5i ， ∵a ＋3i 1＋2i 是纯虚数，∴a ＋65＝0且3－2a 5≠0， ∴a ＝－6.【答案】 C7．复数21＋i的实部与虚部之和为( ) A ．－1B.2 C ．1D ．0 【解析】21＋i ＝21－i 1＋i 1－i ＝1－i ，实部为1，虚部为－1，所以实部与虚部的和为0.【答案】 D8．已知复数z ＝2－i 1＋i，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 z ＝2－i 1＋i ＝2－i 1－i 1＋i 1－i ＝1－3i 2＝12－32i ，从而z ＝12＋32i ，因此z 在复平面内对应的点在第一象限．【答案】 A9．，设复数z ＝12＋32i ，则z z＝( ) A ．zB.z C ．－z D ．－z【解析】 ∵z ＝12＋32i ，∴z ＝12－32i ，∴z z ＝12＋32i 12－32i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i ＝14＋32i －34＝－12＋32i ＝－z . 【答案】 D10．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假．命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22 【解析】 A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，真命题；B ，z 1＝z 2⇒z 1＝z 2＝z 2，真命题；C ，|z 1|＝|z 2|⇒|z 1|2＝|z 2|2⇒z 1·z 1＝z 2·z 2，真命题； D ，当|z 1|＝|z 2|时，可取z 1＝1，z 2＝i ，显然z 21＝1，z 22＝－1，即z 21≠z 22，假命题．【答案】 D11．原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假 【解析】 原命题正确，所以逆否命题正确．模相等的两复数不一定互为共轭复数，同时因为逆命题与否命题互为逆否命题，所以逆命题和否命题错误．故选B.【答案】 B12．对任意复数ω1，ω2，定义ω1]2，其中ω2是ω2的共轭复数，对任意复数z 1，z 2，z 3有如下四个命题：①(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1]( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 由题意得(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1＋z 2)z 3＝z 1z 3＋z 2z 3＝z 1])＝z 1z 2＋z 1z 3＝(z 1] z 3，而z 1]，故③错误；z 1]，而z 2]，故④不正确．故选B.【答案】 B二、填空题13．i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.【解析】 (2，－3)关于原点的对称点是(－2,3)，∴z 2＝－2＋3i.【答案】 －2＋3i14．复数(3＋i)m －(2＋i)对应的点在第四象限内，则实数m 的取值范围是________．【解析】 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ 3m －2＞0，m －1＜0，解得23＜m ＜1 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 15．已知虚数z 满足等式2z －z ＝1＋6i ，则z ＝________.【解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则2z －z ＝2(a ＋b i)－(a －b i)＝a ＋3b i ＝1＋6i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，3b ＝6，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2，即z ＝1＋2i.【答案】 1＋2i16．若(1＋2a i)i ＝1－b i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝________.【解析】 由(1＋2a i)i ＝1－b i 得－2a ＋i ＝1－b i∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＝1－b ＝1∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－12b ＝－1∴|a ＋b i|＝a 2＋b 2＝52. 【答案】52。
2021年高考数学大一轮复习 第十一章 第1节 数系的扩充与复数的引入课时冲关 理 新人教A版
2021年高考数学大一轮复习 第十一章 第1节 数系的扩充与复数的引入课时冲关 理 新人教A 版对应学生用书课时冲关理五十七/第343页 文四十九/第297页一、选择题1．(xx·福建高考)复数(3＋2i)i 等于( ) A ．－2－3i B ．－2＋3i C ．2－3iD ．2＋3i解析：(3＋2i)i ＝3i ＋2i 2＝－2＋3i ，故选B. 答案：B2．(xx·湖北高考)i 为虚数单位，⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝( ) A ．1 B ．－1 C ．iD ．－i解析：⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝1－i 21＋i2＝－2i 2i＝－1. 答案：B3．(xx·石家庄模拟)复数z ＝1－i ，则1z＋z 对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：∵z ＝1－i ，∴1z ＋z ＝32－i2，∴1z＋z 对应的点所在的象限是第四象限．答案：D4．(xx·浙江名校联考)已知i 是虚数单位，且复数z 1＝3－b i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2是实数，则实数b 的值为( )A ．6B ．－6C ．0D.16解析：∵z 1z 2＝3－b i 1－2i ＝3＋2b 5＋6－b i 5，当6－b 5＝0时，z 1z 2是实数，∴b ＝6.答案：A5．若a1－i ＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|等于( ) A. 5 B.2 C. 3D ．1解析：由a 1－i＝1－b i 得a ＝2，b ＝－1，所以a ＋b i ＝2－i ，所以|a ＋b i|＝ 5.答案：A6．定义：若z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋b i 的平方根．根据定义，则复数－3＋4i 的平方根是( )A ．1－2i 或－1＋2iB ．1＋2i 或－1－2iC ．－7－24iD ．7＋24i解析：设(x ＋y i)2＝－3＋4i ， 则⎩⎨⎧x 2－y 2＝－3，xy ＝2，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－2.答案：B7．(文)(xx·山东高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a ＋i ＝2－b i ，则(a ＋b i)2＝( )A ．3－4iB ．3＋4iC ．4－3iD ．4＋3i解析：因为a ＋i ＝2－b i ，所以a ＝2，b ＝－1，所以(a ＋b i)2＝(2－i)2＝3－4i.答案：A7．(理)(xx 山东高考，1)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i互为共轭复数，则(a＋b i)2＝( )A．5－4i B．5＋4iC．3－4i D．3＋4i解析：根据已知得a＝2，b＝1，所以(a＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i.答案：D8．(xx·陕西高考)已知复数z＝2－i，则z·z－的值为( )A．5 B. 5 C．3 D.3解析：∵z＝2－i，∴z－＝2＋i，∴z·z－＝(2＋i)(2－i)＝4＋1＝5.答案：A9．(xx·萍乡模拟)复数1＋2i2＋i1－i2等于( )A.52B．－52C.52i D．－52i解析：1＋2i2＋i1－i2＝2＋4i＋i＋2i2－2i＝5i－2i＝－52.答案：B10．(文)(xx·安徽高考)设i是虚数单位，复数i3＋2i1＋i等于( )A．－i B．iC．－1 D．1解析：i3＋2i1＋i＝－i＋2i1－i2＝－i＋i－i2＝1.答案：D10．(理)(xx·安徽高考)设i是虚数单位，z－表示复数z的共轭复数，若z＝1＋i，则zi＋i·z－等于( )A．－2 B．－2i C．2 D．2i解析：zi ＋i·z－＝1＋ii＋i·(1－i)＝1－i＋i＋1＝2.答案：C11．(理)(xx·新课标高考全国卷Ⅰ)1＋i31－i2等于( )A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i解析：1＋i31－i2＝1＋i3＋3i＋3i2－2i＝－2＋2i－2i＝1－ii＝i＋1－1＝－1－i.答案：D11．(文)(xx·新课标高考全国卷Ⅰ)设z＝11＋i＋i，则|z|等于( )A.12B.22C.32D ．2解析：z ＝11＋i ＋i ＝1－i 1＋i 1－i ＋i ＝1－i ＋2i 2＝1－i 2＝12＋12i ，|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22.答案：B12．(xx·长沙模拟)已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫i ，i 2，1i ，1＋i2i，i 是虚数单位，Z 为整数集，则集合Z ∩M 中的元素个数是( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个解析：由已知得M ＝{i ，－1，－i,2}，Z 为整数集，∴Z ∩M ＝{－1,2}，即集合Z ∩M 中有2个元素．答案：B 二、填空题13.⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 014＝________.解析： 因为1＋i1－i ＝1＋i 22＝i ，所以⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 014＝i 2 014＝ (－1)1 007＝－1. 答案：－114．(xx·浙江高考)已知i 是虚数单位，计算1－i 1＋i2＝________.解析：1－i 1＋i2＝1－i2i ＝1－i i－2＝i ＋1－2＝－12－12i. 答案：－12－12i15．(xx·湖南高考)复数3＋ii 2(i 为虚数单位)的实部等于________．解析：因为3＋i i 2＝3＋i－1＝－3－i ，所以实部为－3.答案：－316．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx的最大值为________．解析：∵|z －2|＝x －22＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3.答案：3[备课札记]28695 7017 瀗28779 706B 火L31458 7AE2 竢34053 8505 蔅40750 9F2E 鼮22975 59BF 妿30203 75FB 痻39411 99F3 駳:o23868 5D3C 崼p33691 839B 莛。
新高考一轮复习人教版 数系的扩充与复数的引入 作业
专题十二 数系的扩充与复数的引入基础篇 固本夯基考点一 复数的概念与几何意义1.(2022届T8联考,2)已知z=2i1−i-1+2i,则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 B2.(2022届辽宁六校期初联考,2)复数z 满足z(1+i)=2021-i(i 为虚数单位),则复数z 的虚部为( ) A.1011 B.1011i C.-1011 D.-1011i 答案 C3.(2022届湖北部分重点中学开学联考,2)已知i 是虚数单位,则复数z=2(1−i)2的共轭复数为( )A.2iB.-2iC.iD.-i 答案 D4.(2022届湘豫名校8月联考,3)已知复数z 在复平面内对应的点在直线y=-x 上,且|z|=√2,则z(1+i)=( ) A.2 B.-2 C.±2 D.2i 答案 C5.(2022届山东日照开学校际联考,4)若复数z 满足|z-2-3i|=5,则复数z 的共轭复数不可能为 ( ) A.5+2i B.-2-6iC.5-7i D.2-8i 答案 A6.(2022届湖南岳阳一中入学考,2)已知复数z 1=21+i,z 2=a+i(a ∈R),若z 1,z 2在复平面内对应的向量分别为OZ ⃗⃗⃗⃗ 1,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点),且|OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,则a=( )A.1B.-3C.1或-3D.-1或3 答案 C7.(2022届湖北九师联盟10月质检,2)已知复数z=2−i1+i,则下列说法正确的是( ) A.z 的模为√102B.z 的虚部为-32i C.z 的共轭复数为-12-32iD.z 的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限 答案 A8.(2022届江苏如皋中学月考,5)已知复数z 满足|z-1|=|z-i|,则在复平面上z 对应的点的轨迹为( ) A.直线 B.线段 C.圆 D.等腰三角形 答案 A9.(多选)(2022届湖北九师联盟10月质检,10)设z 1,z 2是复数,则( ) A.z 1−z 2=z 1-z 2 B.若z 1z 2∈R,则z 1=z 2 C.若|z 1-z 2|=0,则z 1=z 2D.若z 12+z 22=0,则z 1=z 2=0答案 AC10.(2020课标Ⅲ理,2,5分)复数11−3i的虚部是( ) A.-310 B.-110C.110 D.31011.(2021北京朝阳一模,2)如果复数2+bii(b∈R)的实部与虚部相等,那么b=() A.-2 B.1C.2D.4答案A12.(2021石家庄二模,1)已知i为虚数单位,复数z=1−i 2 0211−i2 018,则z的虚部为()A.1 2B.-12i C.-12D.12i答案C13.(2019课标Ⅱ理,2,5分)设z=-3+2i,则在复平面内z对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案C14.(2020浙江,2,4分)已知a∈R,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a=()A.1B.-1C.2D.-2答案C15.(2021河北唐山三模,2)已知i是虚数单位,a∈R,若复数a−i1−2i为纯虚数,则a=()A.-2B.2C.-12D. 1 2答案A16.(2021广东珠海一模,2)设i是虚数单位,复数z1=i2021,复数z2=|4−3i|4+3i,则z1+z2在复平面上对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限17.(2020北京,2,4分)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,2),则i·z=()A.1+2iB.-2+iC.1-2iD.-2-i答案B18.(2021新高考Ⅱ,1,5分)在复平面内,复数2−i对应的点位于()1−3iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案A-(iz)2在复平面内对应的点在() 19.(2021湖北九师联盟质检,2)设复数z=1+i(i是虚数单位),则复数zA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案A20.(2019课标Ⅰ理,2,5分)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.(x+1)2+y2=1B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1答案C21.(2020课标Ⅰ文,2,5分)若z=1+2i+i3,则|z|=()A.0B.1C.√2D.2答案C22.(2021河北唐山二模,5)设复数z满足|z-2i|=1,在复平面内z对应的点到原点距离的最大值是()A.1B.√3C.√5D.323.(2017课标Ⅰ理,3,5分)设有下面四个命题:p1:若复数z满足1z∈R,则z∈R;p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=z2;p4:若复数z∈R,则z∈R.其中的真命题为()A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4答案B24.(2021辽宁丹东二模,3)在复平面内,O为坐标原点,复数z,z+1对应的点都在单位圆O上,则z的实部为()A.-√32B.-12C.12D.√32答案B25.(2021湖北黄冈中学三模,3)已知复数z满足z2+4i=0,则|z|=()A.4B.2C.√2D.1答案B26.(多选)(2021广东湛江一模,9)若复数z=√3-i,则()A.|z|=2B.|z|=4C.z的共轭复数z=√3+iD.z2=4-2√3i答案AC27.(多选)(2021山东德州二模,9)已知复数z1=2−1+i(i为虚数单位),下列说法正确的是()A.z1对应的点在第三象限B.z1的虚部为-1C.z 14=4D.满足|z|=|z 1|的复数z 对应的点在以原点为圆心,2为半径的圆上 答案 AB28.(多选)(2021江苏无锡二模,9)设复数z=a+bi,a ∈R,b ∈R(i 为虚数单位),则下列说法正确的是( ) A.若a=0,b=1,则∑k=12 021z k =iB.若a=-12,b=-√32,则z 2=zC.“z ∈R ”的充要条件是“z=|z|”D.若a=cos θ,b=sin θ(0<θ<π),则复数z 在复平面上对应的点在第一或第二象限 答案 AB29.(2021江苏常州一模,14)已知复数z 对应的点在复平面第一象限内,甲、乙、丙、丁四人对复数z 的陈述如下(i 为虚数单位):甲:z+z =2;乙:z-z =2√3i;丙:z ·z =4;:z =z 22.在甲、乙、丙、丁四人的陈述中,有且只有两个人的陈述正确,则复数z= . 答案 1+i30.(2021辽宁抚顺二模,14)已知|z+√5i|+|z-√5i|=6,则复数z 在复平面内所对应的点P(x,y)的轨迹方程为 .答案 y 29+x 24=1考点二 复数的运算1.(2022届长沙长郡中学第一次月考,2)设复数z 满足z=2i−1+i,则|z|=( ) A.1 B.√2 C.12D.√22答案 B2.(2021新高考Ⅰ,2,5分)已知z=2-i,则z(z +i)=( )A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i答案C3.(2020新高考Ⅰ,2,5分)2−i=()1+2iA.1B.-1C.iD.-i答案D4.(2021全国乙理,1,5分)设2(z+z)+3(z-z)=4+6i,则z=()A.1-2iB.1+2iC.1+iD.1-i答案C5.(2021全国乙文,2,5分)设iz=4+3i,则z=()A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i答案C6.(2020课标Ⅱ文,2,5分)(1-i)4=()A.-4B.4C.-4iD.4i答案A7.(2020课标Ⅲ文,2,5分)若z(1+i)=1-i,则z=()A.1-iB.1+iC.-iD.i答案D,则|z|=()8.(2019课标Ⅰ文,1,5分)设z=3−i1+2iA.2B.√3C.√2D.1答案C9.(2019北京,文2,理1,5分)已知复数z=2+i,则z·z=()A.√3B.√5C.3D.5 答案 D10.(2021上海,1,4分)已知z 1=1+i,z 2=2+3i,则z 1+z 2= . 答案 3+4i11.(2018天津文(理),9,5分)i 是虚数单位,复数6+7i1+2i= . 答案 4-i12.(2021福建厦门三模)若复数z=a+bi(a,b ∈R,i 为虚数单位)满足|z-2i|=|z|,写出一个满足条件的复数:z= . 答案 1+i(答案不唯一)综合篇 知能转换考法 复数代数形式的四则运算的解题方法1.(2022届重庆巴蜀中学月考(一),3)已知i 是虚数单位,z 为复数,2+1i=z(3+i),则在复平面内z 对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 答案 D2.(2022届福建泉州科技中学月考,4)若z=1+i,则(z )2 020+(z z)2 021的虚部为( )A.iB.-iC.1D.-1 答案 D3.(2022届广东深圳光明第一次调研,2)已知z=2−i2+i,则z =( ) A.45+35i B.45-35i C.35+45i D.35-45i4.(2022届广东深圳龙岗一中期中,3)已知复数z 满足z(2+i)=|3+4i|(其中i 为虚数单位),则复数z =( ) A.2-i B.-2+i C.2+i D.-2-i 答案 C5.(多选)(2022届山东烟台莱州一中开学考,12)1487年,瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系,并写下公式:e i θ=cos θ+isin θ,这个公式在复变函数中有非常重要的地位,即著名的“欧拉公式”,被誉为“数学中的天桥”,据欧拉公式,则( ) A.e πi 2=i B.|e πi4|=1C.(1−√3i 2)3=1 D.cos π4=e πi 4+e −πi42答案 ABD6.(2021浙江,2,4分)已知a ∈R,(1+ai)i=3+i(i 为虚数单位),则a=( ) A.-1 B.1 C.-3 D.3 答案 C7.(2020课标Ⅰ理,1,5分)若z=1+i,则|z 2-2z|= ( ) A.0 B.1 C.√2 D.2 答案 D8.(2021广东肇庆二模,2)在复平面内,复数z =5i3−4i(i 为虚数单位),则z 对应的点的坐标为 ( ) A.(3,4) B.(-4,3) C.(45,−35) D.(−45,−35) 答案 D9.(2017天津文(理),9,5分)已知a ∈R,i 为虚数单位,若a−i2+i为实数,则a 的值为 .10.(2020课标Ⅱ理,15,5分)设复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 2|=2,z 1+z 2=√3+i,则|z 1-z 2|= . 答案 2√311.(2021天津一中5月模拟,13)若复数z=(1+i)23+4i,则z= .答案 8+6i25。
(新课标)2020高考数学大一轮复习第11章第5节数系的扩充与复数的引入课时作业理
课时作业（七十五）数系的扩充与复数的引入、选择题1 . （2020 •新课标全国I A. 1 + i C. — 1 + i答案： D解析：3221十i 1十i1十i + 2i 斗…2 = 2 • (1 十 i) = 2 (1 十i) =- 1-i ，故应选 D.2. （2020 •济宁模拟）已知i 是虚数单位，复数z = （1 - :'3i ） •（'3-i ） , 1是z 的共 轭复数，则z 的虚部为（）A . 4 C. 2答案：A解析：z = .-'3 + ：3i 2— 3i -i =- 4i ,••• z = 4i ，虚部为 4.故应选A.3.复数 z 满足(z - i)(2 - i) = 5,则 z =( )A . - 2 - 2i B.— 2+ 2i C. 2 - 2iD. 2 + 2i答案：D故应选D.24.下面是关于复数 z = —的四个命题：-1 + i2P 1： | z | = 2; P 2： z = 2i ;P 3： z 的共轭复数为1 + i ；P 4： z 的虚部为一1.其中的真命题为（）A . P 2, P 3B. P 1, P 2C. P 2, P 4D. P 3, P 4答案：C2解析：T z ==— 1 — i ,—I 十iB. 1 - i D.— 1-iB.— 4 D.— 2解析：由题意知,z 」+ i =2 - i+ i = 2 + 2i.= '2, z 2 = （ — 1 — i ） 2= （1 + i ） 2= 2i , z 的共轭复数为一1 + i , z 的虚部为一1，综上可知P 2 , p 4是真命题.故应选C.5.在复平面内，复数z = cos 3 + isin 3（i是虚数单位）对应的点位于（）A .第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限答案：B解析： ,,n因为2<3<n ,所以 cos 3<0 , sin 3>0 ,故点（cos 3 , sin 3）在第二象限，即复数 z = cos 3 + isin 3 对应的点位于第二象限.故应选B.6 .若复数z 满足z （2 — i ） = 11 + 7i （i 为虚数单位），则z 为（ ）A . 3 + 5iA . E B. FC. GD. H答案： D解析：z 3 + i 3+ i 1 — i 4 — 2i依题意，得z - 3 + i ,— ——— 2 — i ，该复数对1 + i 1 + i 1 + i1 — i2应的点的坐标是（2 , — 1），由图知为点 H故应选D.B.- 41D. 5答案： A解析： 11 + 7i11 + 7i2+ i 15+ 25i因为z ==== 3 + 5i ，故应选A.2 — i 55C. — 3 + 5iD.— 3— 5iZ 表示复数z ,则表示复数*台的点是（ B. 3 — 5i 7 .若i 为虚数单位，图中复平面内点 & （2020 •山东）复数z =(i 为虚数单位），则| z | =（ A . 25 C. 5答案： C 解析：4— 4i — 1 3 — 4i3— 4i i 4 + 3i-z == == =— 4 —3i ,•i—= ' — 4 2 +— 3 2= 5,故应选 C.1 + a i9. （2020 •青岛质检）设i 是虚数单位，复数 为纯虚数，则实数 a 的值为（）2— iA . 2 B.— 2 C.答案：A•- a= 2.故应选A.10.对于任意的两个数对（a , b ）和（c , d ），定义运算（a , b ）*（ c , d ） = ad — be ,若（1 ,—1）*（ z , z i ） = 1— i ，则复数 z 为（）A . 2 + i C. 1答案：D解析： 由已知条件所给出的定义，得(1 , — 1)*( z , z i) = z i + z = 1 —1 — i解得 z = =— i ,故应选D. 二、填空题11•已知复数z =记分（i 是虚数单位），则|z | =答案：：53+ b i12.若 一 =a + b i （ a , b 为实数，i 为虚数单位），则a + b = ___________________1 — i答案：3D.解析:1+ a i 1 + a i 2 + i 2— i _2—i 2+T2a + 12 — a ~T~ = 0,2a + 1 5B. 2 — i D.— i解析:5i1+ 2i 5i 1 — 2i 1 + 2i 1 — 2i=2+ i ，所以 | z | = ■ 5.解得 b = 3, a = 0，所以 a + b = 3.1i=(—i) —=— i —=— 2i.—i — i •i14. (2020 •济南模拟)若复数z 满足z — 1= cos 0 + isin e ，则| z |的最大值为 ________________ .答案：2解析：■/ z — 1 = cos e + isin 0 ,••• z = (1 + cos e ) + isin 0 , /• | z | = :'1 + cos 02+ sin 2 0 = -'2 1 + cos 0w 2X 2= 2.15. 在复平面内，复数1 + i 与一1 + 3i 分别对应向量6A 和O B 其中O 为坐标原点，则|云BI = __________ .答案： 2 .'2解析： 由题意知 OA= (1,1) , OB= ( — 1,3),故 | AB = /— 1 — 1 2+3 — 1 2= 2 2. 116.已知复数2 + i 与复数3—在复平面内对应的点分别是A 与B,则/ AO= __________3十i答案：24解析：点A 的坐标为(3 , a )，则| OA >3,又O F = X OA 则O P, A 三点共线，|孤 OP=72,则|6p = ——，设OP 与x 轴夹角为0,则OP 在x 轴上的投影长度为|6p cos 0 = |O PI 3A3 216|==^^W 24,即线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为 24.|OA I OA 2三、解答题217 .已知关于 x 的方程x — (6十i) x + 9十a i = 0( a € R)有实数根b . (1)求实数a , b 的值；⑵ 若复数满足| z — a — b i| — 2|z | = 0,求z 为何值时，| z |有最小值，并求出|z |的最答案： —2i 2 2解析：z — 2zz — 1 — 11一一 z 113.已知复数z =1—i ，则解析:3+ b i 1— i3+ b i1 + iii+T3— b +23+ b' =a + b i ,得 a =竽，b =爭,2z — 2z小值.2解：(1) T b 是方程x - (6 + i) x+ 9 + a i = 0( a € R)的实根,•'• ( b —6b+ 9) + (a —b)i = 0,b —6b+ 9 = 0,•解得a= b= 3.a= b,⑵设z = s+ t i( s, t € R)，其对应点为Z(s, t), 由| 7 —3—3i| = 2|z| ,2 2 2 2得(s —3) + (t + 3) = 4(s + t ),即(s + 1) + (t —1) = 8,•••点Z的轨迹是以当点Z在00的连线上时，| z|有最大值或最小值.•••|00 = ：2,半径r = 2 2,•••当z= 1—i 时，|z| 有最小值且|z|min= ；'2.18•已知z是复数，z+ 2i , J均为实数（i为虚数单位），且复数（z + a i）2在复平面上2 —i对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.解：设z = x+ y i( x, y € R),• z + 2i = x+ (y+ 2)i ,由题意得y=—2,z x—2i 1•••旷厂=5(x—2i)(2+i)1 1=5(2 x + 2) + 5(x —4)i.由题意得x= 4, • z= 4—2i.2 2•(z + a i) = (12 + 4a—a) + 8(a—2)i ,2由于(z + a i)在复平面上对应的点在第一象限,212+ 4a—a >0,•解得2<a<6,8 a—2 >0,•实数a的取值范围是（2,6）。
2019高考数学一轮复习 第十四章 数系的扩充与复数的引入练习 理
第十四章数系的扩充与复数的引入命题探究解答过程答案:B解析:解法一:对于命题p1,设z=a+bi(a,b∈R),由==∈R,得b=0,则z∈R成立,故命题p1正确;对于命题p2,设z=a+bi(a,b∈R),由z2=(a2-b2)+2abi∈R,得a·b=0,则a=0或b=0,复数z可能为实数或纯虚数,故命题p2错误;对于命题p3,设z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R),由z1·z2=(ac-bd)+(ad+bc)i∈R,得ad+bc=0,不一定有z1=,故命题p3错误;对于命题p4,设z=a+bi(a,b∈R),则由z∈R,得b=0,所以=a∈R成立,故命题p4正确.故选B.解法二:p1:复数z满足∈R,则z∈R,故命题p1为真命题;p2:复数z=i满足z2=-1∈R,但z∉R,故命题p2为假命题;p3:复数z1=i,z2=2i满足z1z2=-2∈R,但z1≠,故命题p3为假命题;p4:若复数z∈R,则=z,∴∈R,故命题p4为真命题.∴其中的真命题为p1,p4,故选B考纲解读2017年高考“最后三十天”专题透析分析解读 1.掌握复数、纯虚数、实部、虚部、共轭复数、复数相等等相关概念,会进行复数代数形式的四则运算.考查学生运算求解能力.2.复数的概念及运算是高考必考点.本章在高考中以选择题为主,分值约为5分,属容易题.五年高考考点一复数的概念及几何意义1.(2017课标全国Ⅲ,2,5分)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=( )A. B. C. D.2答案 C2.(2016课标全国Ⅰ,2,5分)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=( )A.1B.C.D.2答案 B3.(2016课标全国Ⅱ,1,5分)已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是( )A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1,+∞)D.(-∞,-3)答案 A4.(2015湖北,1,5分)i为虚数单位,i607的为( )A.iB.-iC.1D.-1答案 A5.(2017浙江,12,5分)已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2= ,ab= .答案5;2教师用书专用(6—14)6.(2014重庆,1,5分)复平面内表示复数i(1-2i)的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 A7.(2014大纲全国,1,5分)设z=,则z的共轭复数为( )A.-1+3iB.-1-3iC.1+3iD.1-3i答案 D8.(2013四川,2,5分)如图,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是()A.AB.BC.CD.D答案 B9.(2013山东,1,5分)复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位),则z的共轭复数为( )A.2+iB.2-iC.5+iD.5-i答案 D10.(2013湖北,1,5分)在复平面内,复数z=(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 D2好教育云平台——教育因你我而变11.(2017江苏,2,5分)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是.答案12.(2016江苏,2,5分)复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是.答案 513.(2016北京,9,5分)设a∈R.若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a= .答案-114.(2015天津,9,5分)i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为.答案-2考点二复数的四则运算1.(2017课标全国Ⅱ,1,5分)=( )A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i答案 D2.(2017山东,2,5分)已知a∈R,i是虚数单位.若z=a+i,z·=4,则a=( )A.1或-1B.或-C.-D.答案 A3.(2016课标全国Ⅲ,2,5分)若z=1+2i,则=( )A.1B.-1C.iD.-i答案 C4.(2015课标Ⅰ,1,5分)设复数z满足=i,则|z|=( )A.1B.C.D.2答案 A5.(2015课标Ⅱ,2,5分)若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=( )A.-1B.0C.1D.2答案 B6.(2014课标Ⅱ,2,5分)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=( )A.-5B.5C.-4+iD.-4-i答案 A教师用书专用(7—22)7.(2016山东,1,5分)若复数z满足2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z=( )A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i答案 B8.(2015湖南,1,5分)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=( )A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i答案 D9.(2015北京,1,5分)复数i(2-i)=( )A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i答案 A10.(2015山东,2,5分)若复数z满足=i,其中i为虚数单位,则z=( )A.1-iB.1+iC.-1-iD.-1+i答案 A11.(2015广东,2,5分)若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位),则= ( )32017年高考“最后三十天”专题透析A.2-3iB.2+3iC.3+2iD.3-2i答案 A12.(2014天津,1,5分)i是虚数单位,复数=( )A.1-iB.-1+iC.+iD.-+i答案 A13.(2014湖南,1,5分)满足=i(i为虚数单位)的复数z=( )A.+iB.-iC.-+iD.--i答案 B14.(2014广东,2,5分)已知复数z满足(3+4i)z=25,则z=( )A.-3+4iB.-3-4iC.3+4iD.3-4i答案 D15.(2014安徽,1,5分)设i是虚数单位,表示复数z的共轭复数.若z=1+i,则+i·=()A.-2B.-2iC.2D.2i答案 C16.(2014江西,1,5分)是z的共轭复数,若z+=2,(z-)i=2(i为虚数单位),则z=( )A.1+iB.-1-iC.-1+iD.1-i答案 D17.(2013课标全国Ⅱ,2,5分)设复数z满足(1-i)z=2i,则z=( )A.-1+iB.-1-iC.1+iD.1-i答案 A18.(2013陕西,6,5分)设z1,z2是复数,则下列命题中的假．命题是( )A.若|z1-z2|=0,则=B.若z1=,则=z2C.若|z1|=|z2|,则z1·=z2·D.若|z1|=|z2|,则=答案 D19.(2016天津,9,5分)已知a,b∈R,i是虚数单位.若(1+i)(1-bi)=a,则的值为.答案 220.(2015重庆,11,5分)设复数a+bi(a,b∈R)的模为,则(a+bi)(a-bi)= .答案 321.(2013重庆,11,5分)已知复数z=(i是虚数单位),则|z|= .答案22.(2013天津,9,5分)已知a,b∈R,i是虚数单位.若(a+i)(1+i)=bi,则a+bi= .答案1+2i三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一复数的概念及几何意义1.(2018湖北沙市中学1月月考,2)若复数z=(i为虚数单位)为纯虚数,则实数a的值是( )A.-3B.-3或1C.3或-1D.1答案 D好教育云平台——教育因你我而变42.(2017安徽黄山二模,2)复数z=(a+1)+(a2-3)i(i为虚数单位),若z<0,则实数a的值是( )A. B.1 C.-1 D.-答案 D3.(2017湖北重点高中联合协作体期中,2)复数z=(i是虚数单位),则z的虚部是( )A.1B.-1C.iD.-i答案 B4.(2017江西南昌摸底,2)已知复数z=(i是虚数单位),那么z的共轭复数是( )A.1-2iB.1+2iC.-1-2iD.-1+2i答案 A考点二复数的四则运算5.(2018广东茂名化州高考数学二模,2)设复数z=1+i(i是虚数单位),则z2+=( )A.-1-iB.-1+iC.1+iD.1-i答案 C6.(2018四省名校第一次大联考,2)已知i是虚数单位,是z的共轭复数,z(1+i)=,则的虚部为( )A. B.- C.i D.-i答案 A7.(2017广东汕头第三次质检,1)已知i为虚数单位,则=( )A.-1B.1C.-iD.i答案 AB组2016—2018年模拟·提升题组(满分:35分时间:30分钟)选择题(每小题5分,共35分)1.(2018安徽皖南八校第二次联考,2)已知i是虚数单位,若z=是纯虚数,则实数a=( )A.1B.-1C.2D.-2答案 A2.(2018安徽淮南第二中学、宿城第一中学第四次考试,1)已知复数z=,则下列命题中错误的是( )A.|z|=B.=1-iC.z的虚部为iD.z在复平面上的对应点在第一象限答案 C3.(2018湖南师大附中月考,1)设i是虚数单位,则-1+i-i2+i3-i4+…-i100=( )A.1B.0C.-1D.i答案 C4.(2017江西红色七校第一次联考,2)复数z=|(-i)i|-i5(i为虚数单位),则复数z的共轭复数为( )A.2-iB.2+iC.4-iD.4+i答案 B5.(2017湖北华中师大附中期中,2)已知i是虚数单位,复数z=(a∈R)在复平面内对应的点在直线x+2y=0上,则a=( )A.2B.C.-2D.-答案 C6.(2017广东韶关1月调研,2)已知复数z=(t-1)+(t+1)i(i为虚数单位),t∈R,则|z|的最小值是( )A.1B.2C.D.3答案 C52017年高考“最后三十天”专题透析7.(2016安徽江南十校3月联考,2)若复数z满足z(1-i)=|1-i|+i,则z的实部为( )A. B.-1 C.1 D.答案 AC组2016—2018年模拟·方法题组方法1 复数的概念及几何意义1.(2018四川德阳三校联考,2)若(x+2i)i=y-(x,y∈R),则x+y=( )A.-1B.1C.3D.-3答案 A2.(2017河南百校联考,2)设i是虚数单位,若复数a+(a∈R)是纯虚数,则a=( )A.4B.3C.2D.1答案 C3.(2016山东日照模拟,3)在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是( )A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i答案 C方法2 复数的四则运算解题方法4.(2018四川南充一诊,2)已知复数z满足=+,则复数z的虚部是( )A. B.i C.- D.-i答案 C5.(2017河南百校联盟4月模拟,2)已知复数z的共轭复数为,若(1-2i)=5-i(i为虚数单位),则在复平面内,复数z所对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 A6.(2017湖北黄石调研,3)若复数z满足z(2+i)=(i为虚数单位),则z的共轭复数=( )A.1+3iB.1-3iC.3+iD.3-i答案 A好教育云平台——教育因你我而变6。
2021年高考数学大一轮总复习 第11篇 第1节 数系的扩充与复数的引入课时训练 理 新人教A版
2021年高考数学大一轮总复习 第11篇 第1节 数系的扩充与复数的引入课时训练 理 新人教A 版一、选择题1．(xx 年高考辽宁卷)复数2－i2＋i 等于( )A ．35－45iB.35＋45i C ．1－45iD ．1＋35i解析：2－i2＋i ＝2－i 22＋i 2－i＝3－4i 5＝35－45i. 故选A. 答案：A2．(xx 安徽省黄山市高中毕业班质检)若复数a －3i 1＋2i(a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为( )A ．6B ．－6C ．5D ．－4解析：a －3i1＋2i ＝a －3i1－2i5＝a －6－2a ＋3i5为纯虚数，故a －65＝0，－2a ＋35≠0，∴a ＝6，故选A.答案：A3．(xx广东高三联考)复数－i＋1－i1＋i等于( )A．－2i B．1 2 iC．0 D．2i解析：－i＋1－i1＋i＝－i－i＝－2i，选A.答案：A4．( xx广州高三调研)已知i为虚数单位，则复数i(2－3i)对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：i(2－3i)＝2i－3i2＝3＋2i，其对应的点为(3,2)，位于第一象限，故选A.答案：A5．若(x－i)i＝y＋2i，x、y∈R，则复数x＋y i等于( )A．－2＋i B．2＋iC．1－2i D．1＋2i解析：∵(x－i)i＝x i＋1.又∵(x －i)i ＝y ＋2i.由复数相等可知⎩⎨⎧x ＝2y ＝1，所以x ＋y i ＝2＋i. 故选B. 答案：B6．(xx 哈尔滨市第六中学上学期期末考试)复数z ＝32－a i ，a ∈R ，且z 2＝12－32i ，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．12D ．14解析：∵z ＝32－a i ， ∴z 2＝34－a 2－3a i ＝12－32i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧34－a 2＝12，－3a ＝－32，∴a ＝12，故选C.二、填空题7．(xx 年高考重庆卷)已知复数z ＝5i1＋2i(i 是虚数单位)，则|z |＝________. 解析：|z |＝5i 1＋2i ＝5i1－2i 5＝|i ＋2|＝ 5. 答案：58．设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________.解析：由纯虚数定义知， ⎩⎨⎧m 2＋m －2＝0，m 2－1≠0，∴m ＝－2. 答案：－29．若定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc (a ，b ，c ，d 为复数)，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪2i 3i3i i 3－2i (i 为虚数单位)的实部为________．解析：由定义可得⎪⎪⎪⎪⎪⎪2i 3i3i i 3－2i ＝2i·i(3－2i)－3i·3i＝3＋4i.故其实部为3.10．复数z ＝11＋i (i 是虚数单位)的共轭复数在复平面上对应的点位于第______象限．解析：由题意得z ＝11＋i＝1－i 1＋i 1－i＝12－12i ，所以其共轭复数z ＝12＋12i ，在复平面上对应的点位于第一象限． 答案：一 三、解答题11．已知i 是虚数单位，若实数x 、y 满足(1＋i)(x ＋y i)＝(1－i)(2＋3i)，试判断点P (x ，y )所在的象限．解：已知等式可化为(x －y )＋(x ＋y )i ＝5＋i ， 根据两复数相等的条件得， ⎩⎨⎧x －y ＝5，x ＋y ＝1，解得x ＝3，y ＝－2， 所以点P 在第四象限．12．已知关于x 的方程：x 2－(6＋i )x ＋9＋a i ＝0(a ∈R )有实数根b . (1)求实数a ，b 的值．(2)若复数满足|z －a －b i|－2|z |＝0，求z 为何值时，|z |有最小值，并求出|z |的最小值．解：(1)∵b 是方程x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0(a ∈R )的实根， ∴(b 2－6b ＋9)＋(a －b )i ＝0， ∴⎩⎨⎧b 2－6b ＋9＝0，a ＝b ，解得a ＝b ＝3.(2)设z ＝s ＋t i(s ，t ∈R )，其对应点为Z (s ，t )， 由|z －3－3i|＝2|z |，得(s －3)2＋(t ＋3)2＝4(s 2＋t 2)， 即(s ＋1)2＋(t －1)2＝8，∴Z 点的轨迹是以O 1(－1,1)为圆心，22为半径的圆，如图所示，当Z 点在OO 1的连线上时，|z |有最大值或最小值． ∴|OO 1|＝2，半径r ＝22， ∴当z ＝1－i 时，|z |有最小值且|z |min ＝ 2.36257 8DA1 趡38127 94EF 铯 m 28666 6FFA 濺)28304 6E90 源40360 9DA8 鶨34555 86FB 蛻626518 6796 枖e250946206 戆Z。
高考新课标数学(理)大一轮复习课时作业31数系的扩充与复数的引入 Word版含解析
课时作业数系的扩充与复数的引入
一、选择题
．(·福建卷)若集合＝{，，，}(是虚数单位)，＝{，－}，则∩等于( )
．{－} ．{}
．{，－} ．∅
解析：因为＝{，，，}＝{，－，－，}，＝{，－}，所以∩＝{－，}．答案：
．(·湖北卷)为虚数单位，的共轭复数为( )
．．－
．．－
解析：＝()·＝(－)·＝－，则其共轭复数为.
答案：
．(·北京卷)复数(－)＝( )
．＋．－
．－＋．－－
解析：(－)＝－＋＝＋.
答案：
．(·全国卷Ⅱ)若为实数，且(＋)(－)＝－，则＝( )
．－．
．．
解析：因为(＋)(－)＝－＋＋＝＋(－)＝－，解得＝.
答案：
．若复数＝－＋(＋)(∈)是纯虚数，则的虚部为( )
．－．－
解析：由题意得所以＝，所以＝＝＝－，根据虚部的概念，可得的虚部为－.
答案：
．满足＝(为虚数单位)的复数＝( )
＋－
．－＋．－－
解析：由题可得＝⇒＋＝⇒(－)＝－⇒＝＝－，故选.
答案：
．设复数满足(－)(－)＝，则＝( )
．＋．－
．＋．－
解析：－＝＝＝＝＋，故＝＋，从而选.
答案：
．在复平面内，复数，
(为虚数单位)对应的点分别为，，若点为线段的中点，则点对应的
复数为( )
．
．
解析：∵＝＝－，＝＝＋，则(，－)，(，)，∴线段的中点(，)，故点对应的复数为，选.
答案：
二、填空题
．复数＝．
解析：＝＝－.。
2022版高考数学大一轮复习课时作业30《数系的扩充与复数的引》 原卷版
2022版高考数学大一轮复习课时作业30《数系的扩充与复数的引》一、选择题1.若集合A={i ，i 2，i 3，i 4}(i 是虚数单位)，B={1，－1}，则A ∩B 等于( )A.{－1}B.{1}C.{1，－1}D.∅2.已知i 是虚数单位，复数z 满足11＋i －11－i =1＋z 1－z ，则|z|=( ) A.1 B. 2 C. 3 D.23.已知复数z=|(3－i)i|＋i 5(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数为( )A.2－iB.2＋iC.4－iD.4＋i4.设复数z 满足i(z ＋1)=－3＋2i(i 是虚数单位)，则复数z 对应的点位于复平面内( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.已知i 为虚数单位，若复数z=1－ai 1＋i(a ∈R)的虚部为－3，则|z|=( ) A.10 B.2 3 C.13 D.56.若复数m(3＋i)－(2＋i)在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m 取值范围为( )A.m>1B.m>23C.m<23或m>1D.23<m<1 7.若复数z=a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R)是纯虚数，则1z ＋a的虚部为( ) A.－25 B.－25i C.25 D.25i 8.已知复数z=1＋2i 1－i，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 015=( ) A.1＋i B.1－i C.i D.09.如图所示的网格纸中小正方形的边长是1，复平面内点Z 对应的复数z 满足(z 1－i)·z=1，则复数z 1=( )A.－25＋45iB.25＋45iC.25－45iD.－25－45i 10.已知复数z=x ＋yi(x ，y ∈R)满足|错误!未找到引用源。
|≤1，则y ≥x ＋1的概率为( )A.34－12πB.14－12πC.34＋12πD.14＋12π二、填空题11.已知i 是虚数单位，复数6＋7i 1＋2i= . 12.若复数z 满足i ·z=1＋2i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 .13.已知a ＋2i i=b ＋i(a ，b ∈R)，其中i 为虚数单位，则a ＋b= . 14.在复平面上，复数32－i2对应的点到原点的距离为 .15.已知m 为实数，i 为虚数单位，若m ＋(m 2－4)i>0，则m ＋2i 2－2i = .。
2021-2022年高考数学大一轮复习精品讲义 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入(含解析)
2021-2022年高考数学大一轮复习精品讲义第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入（含解析）对应学生用书P62基础盘查一向量的有关概念(一)循纲忆知1．了解向量的实际背景；2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3．理解向量的几何表示．(二)小题查验1．判断正误(1)向量与向量是相等向量( )(2)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小( )(3)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量( )(4)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关( )答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2.(人教A版教材例题改编)如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与，，相等的向量．解：＝＝；＝＝；＝＝＝.基础盘查二向量的线性运算(一)循纲忆知1．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；2．掌握向量数乘的运算及其几何意义；3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．(二)小题查验1．判断正误(1)两个向量的差仍是一个向量( )(2)＝－ ( )(3)向量a－b与b－a是相反向量( )(4)两个向量相加就是两个向量的模相加( )答案：(1)√(2)√(3)√(4)×2．(人教A版教材习题改编)化简：(1)(＋)＋＋＝________.(2)＋＋－＝________.答案：(1) (2)0基础盘查三共线向量定理(一)循纲忆知理解两个向量共线的含义，掌握向量的共线定理及应用．(二)小题查验 1．判断正误(1)若向量a ，b 共线，则向量a ，b 的方向相同( ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ( )(3)向量与向量是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上( )(4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√2．已知a 与b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 答案：－13对应学生用书P62[必备知识](1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．[题组练透]1．给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则＝是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是( ) A ．②③ B ．①② C ．③④D ．④⑤解析：选A ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵＝，∴||＝||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则∥且||＝||，因此，＝.③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时，既使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a ∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．⑤不正确．考虑b＝0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是②③.故选A.2．设a0为单位向量，下述命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a 与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是( ) A．0 B．1C．2 D．3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.[类题通法]平面向量有关概念的核心(1)向量定义的核心是方向和长度．(2)非零共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的核心是方向相同且长度相等．(4)单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度．(5)零向量的核心是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线．考点二向量的线性运算(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．向量的加法定义：求两个向量和的运算．运算法则(几何意义)：如图运算律：(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ； (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． 2．向量的减法定义：向量a 加上向量b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a ＋(－b )＝a －b .求两个向量差的运算叫做向量的减法．运算法则(几何意义)：如图3．向量的数乘定义：实数λ与向量a 的积运算，即λa .运算法则(几何意义)：如图，λa 的长度与方向规定如下： (1)|λa |＝|λ|·|a |.(2)当λ＞0时，λa 与a 的方向相同； 当λ＜0时，λa 与a 的方向相反； 当λ＝0时，λa ＝0. 运算律：λ(μa )＝(λμ)a ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb .[提醒] (1)实数和向量可以求积，但不能求和或求差； (2)λ＝0或a ＝0⇔λa ＝0.[典题例析]1．(xx·新课标全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则＋＝( ) A ． B.12 C ．D.12解析：选A ＋＝12(＋)＋12(＋)＝12(＋)＝，故选A. 2．(xx·江苏高考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若＝λ1＋λ2 (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：＝＋＝12＋23＝12＋23(＋)＝－16＋23，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.答案：12[类题通法]1．向量线性运算的解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．2．两个结论(1)P 为线段AB 的中点⇔＝12(＋)；(2)G 为△ABC 的重心⇔＋＋＝0.[演练冲关]1．(xx·聊城二模)在△ABC 中，＝c ，＝b .若点D 满足＝2，则＝( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c 解析：选A 如图，可知＝＋＝＋23(－)＝c ＋23(b －c )＝23b ＋13c .故选A.2．若典例2条件变为：若＝2，＝13＋λ，则λ＝________.解析：∵＝＋，＝＋， ∴2＝＋＋＋. 又∵＝2， ∴2＝＋＋13＝＋＋13(－)＝23＋43. ∴＝13＋23，即λ＝23.答案：23考点三 共线向量定理的应用(题点多变型考点——全面发掘)[必备知识]共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得b ＝λa . [提醒] 限定a ≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性．[一题多变][典型母题]设两个非零向量e 1和e 2不共线．如果＝e 1＋e 2，＝2e 1－3e 2，＝3e 1－k e 2，且A ，C ，F 三点共线，求k 的值．[解] ∵＝e 1＋e 2，＝2e 1－3e 2， ∴＝＋＝3e 1－2e 2. ∵A ，C ，F 三点共线，∴∥，从而存在实数λ，使得＝λ. ∴3e 1－2e 2＝3λe 1－λk e 2， 又e 1，e 2是不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝3λ，－2＝－λk ，因此k ＝2.∴实数k 的值为2.[题点发散1] 在本例条件下，试确定实数k ，使k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线． 解：∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，∴存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)， 即k e 1＋e 2＝λe 1＋λk e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝λk ，解得k ＝±1.[题点发散2] 在本例条件下，如果＝e 1－e 2，＝3e 1＋2e 2，＝－8e 1－2e 2，求证：A ，C ，D 三点共线．证明：∵＝e 1－e 2，＝3e 1＋2e 2，∴＝＋＝4e1＋e2，又＝－8e1－2e2，∴＝－2，∴与共线．又∵与有公共点C，∴A，C，D三点共线．[类题通法]1．共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值．(2)若a，b不共线，则λa＋μb＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．2．证明三点共线的方法若＝λ，则A，B，C三点共线．对应A本课时跟踪检测二十五一、选择题1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零．④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误的命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选C ①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.④错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．故选C.2．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝( )A．a B．bC ．cD ．0解析：选D 依题意，设a ＋b ＝m c ，b ＋c ＝n a ，则有(a ＋b )－(b ＋c )＝m c －n a ，即a －c ＝m c －n a .又a 与c 不共线，于是有m ＝－1，n ＝－1，a ＋b ＝－c ，a ＋b ＋c ＝0，选D.3．(xx·福建四地六校联考)已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2＝2＋，则( )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上解析：选B 因为2＝2＋，所以2＝，所以点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B. 4．设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与 ( ) A ．反向平行 B ．同向平行 C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直解析：选A 由题意得＝＋＝＋13，＝＋＝＋13，＝＋＝＋13，因此＋＋＝＋13(＋－)＝＋23＝－13，故＋＋与反向平行．5．在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE 与AC 相交于点F ，若＝m ＋n (m ，n ∈R )，则m n的值为( )A ．－2B ．－12C ．2D.12解析：选A 设＝a ，＝b ，则＝m a ＋n b ，＝－＝12b －a ，由向量与共线可知存在实数λ，使得＝λ，即m a ＋n b ＝12λb －λa ，又a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－λ，n ＝12λ，所以mn＝－2.6．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且＋＋2＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B ∵D 为AB 的中点， 则＝12(＋)，又＋＋2＝0，∴＝－，∴O 为CD 的中点， 又∵D 为AB 中点， ∴S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ，则S △ABCS △AOC＝4. 二、填空题7．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝________. 解析：由|＋|＝|－|可知，⊥， 则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线， 因此，||＝12||＝2.答案：28．(xx·江门模拟)已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足＋＋＝0，＝λ，则实数λ的值为________．解析：如图所示，由＝λ且＋＋＝0，则P 为以AB ，AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此＝－2，则λ＝－2.答案：－29．已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量，，，满足等式＋＝＋，则四边形ABCD 的形状为________．解析：∵＋＝＋，∴－＝－，∴＝，BA 綊CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形． 答案：平行四边形10．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且＝a ，＝b ，给出下列命题：①＝12a －b ；②＝a ＋12b ；③＝－12a ＋12b ；④＋＋＝0.其中正确命题的个数为________．解析：＝a ，＝b ，＝12＋＝－12a －b ，故①错；＝＋12＝a ＋12b ，故②正确；＝12(＋)＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ， 故③正确；∴＋＋＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0.∴正确命题为②③④. 答案：3 三、解答题11．已知a ，b 不共线，＝a ，＝b ，＝c ，＝d ，＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，＝d －c ＝2b －3a ，＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得＝k ，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．12.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，＝23，＝a ，＝b .(1)用a ，b 表示向量，，，，； (2)求证：B ，E ，F 三点共线． 解：(1)延长AD 到G ，使＝12，连接BG ，CG ，得到平行四边形ABGC ， 所以＝a ＋b ， ＝12＝12(a ＋b )，＝23＝13(a ＋b )， ＝12＝12b ， ＝－＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )，＝－＝12b －a ＝12(b －2a )．(2)证明：由(1)可知＝23，又因为，有公共点B ， 所以B ，E ，F 三点共线．第二节平面向量的基本定理及坐标表示对应学生用书P64基础盘查一 平面向量基本定理 (一)循纲忆知了解平面向量的基本定理及其意义． (二)小题查验 1．判断正误(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底( ) (2)在△ABC 中，向量，的夹角为∠ABC ( ) (3)同一向量在不同基底下的表示是相同的( )(4)设a ，b 是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√2．(人教A 版教材复习题改编)设M 是▱ABCD 的对角线的交点，O 为任意一点，则＋＋＋＝________.答案：4基础盘查二 平面向量的坐标运算 (一)循纲忆知1．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； 2．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． (二)小题查验 1．判断正误(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同( ) (2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标( ) (3)已知点A (2,1)，B (－1,3)，则＝(－3,2)( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．(人教A 版教材例题改编)已知a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，则3a ＋4b ＝________. 答案：(－6,19)基础盘查三 平面向量共线的坐标表示 (一)循纲忆知理解用坐标表示的平面向量共线的条件． (二)小题查验 1．判断正误(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2( ) (2)已知向量a ＝(4，x )，b ＝(－4,4)，若a ∥b ，则x 的值为－4( ) 答案：(1)× (2)√2．O 是坐标原点，＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k )，当k ＝________时，A ，B ，C 三点共线？答案：－2或11对应学生用书P65考点一 平面向量基本定理及其应用(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．[题组练透]1．如果e 1，e 2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )A ．e 1与e 1＋e 2B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2C ．e 1＋e 2与e 1－e 2D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 1解析：选D 选项A 中，设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，1＝0，无解；选项B 中，设e 1－2e 2＝λ(e 1＋2e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，－2＝2λ，无解；选项C 中，设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，1＝－λ，无解；选项D 中，e 1＋3e 2＝12(6e 2＋2e 1)，所以两向量是共线向量．2．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设＝a ，＝b ，试用a ，b 为基底表示向量，，.解：＝＋＋＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，＝＋＝－16b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13b －a ＝16b －a ，＝＋＝－12b －⎝ ⎛⎭⎪⎫16b －a ＝a －23b . [类题通法](1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．考点二 平面向量的坐标运算(基础送分型考点——自主练透)[必备知识](1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2); (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则＝(x 2－x 1，y 2－y 1)； (3)若a ＝(x ，y )，则λa ＝(λx ，λy )；|a |＝x 2＋y 2.[题组练透]1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝( )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)解析：选D 12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，32b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，故12a －32b ＝(－1,2)． 2．(xx·昆明一中摸底)已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若＝－3a ，则点N 的坐标为( )A ．(2,0)B ．(－3,6)C ．(6,2)D ．(－2,0)解析：选A ＝－3a ＝－3(1，－2)＝(－3,6)， 设N (x ，y )，则＝(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －5＝－3，y ＋6＝6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，选A.3．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设＝a ，＝b ，＝c ，且＝3c ，＝－2b ， (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，∵＝－＝3c ， ∴＝3c ＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)． 又∵＝－＝－2b ，∴＝－2b ＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)，∴＝(9，－18)．[类题通法]平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．考点三 平面向量共线的坐标表示(题点多变型考点——全面发掘)[必备知识]设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.[一题多变][典型母题]平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .[解] (1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， 由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0. ∴k ＝－1613.[题点发散1] 在本例条件下，若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d . 解：设d ＝(x ，y )，d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2,4)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4x －4－2y －1＝0，x －42＋y －12＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.∴d ＝(3，－1)或d ＝(5,3)．[题点发散2] 在本例条件下，若m a ＋n b 与a －2b 共线，求mn的值． 解：m a ＋n b ＝(3m －n,2m ＋2n )，a －2b ＝(5，－2)， 由题意得－2(3m －n )－5(2m ＋2n )＝0.∴m n ＝－12. [题点发散3] 若本例条件变为：已知A (3,2)，B (－1,2)，C (4,1)，判断A ，B ，C 三点能否共线．解：＝(－4,0)，＝(1，－1)， ∵－4×(－1)－0×1≠0，∴，不共线．∴A ，B ，C 三点不共线．[类题通法]1．向量共线的两种表示形式设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)：①a ∥b ⇒a ＝λb (b ≠0)；②a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.2．两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．对应B 本课时跟踪检测二十六一、选择题1.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且＝a ，＝b ，则＝( ) A ．b －12aB ．b ＋12aC ．a ＋12bD ．a －12b解析：选A ＝＋＋＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a .2．已知平行四边形ABCD 中，＝(3,7)，＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，5B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－5 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5 解析：选D ＝＋＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)．∴＝12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5.∴＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5.故选D.3．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则D 点的坐标为( )A ．(0，－2)B ．(－4,2)C ．(16,14)D ．(0,2)解析：选A 设D (x ，y )，由题意知＝＋，即(x －6，y －8)＝(－8，－8)＋(2，－2)＝(－6，－10)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －6＝－6，y －8＝－10，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－2.故选A.4．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ＝( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)解析：选D 设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6,20)，2(a －c )＝(4，－2)，又4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x ，y )＝(0,0)，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．5．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )A ．k ＝－2B ．k ＝12C ．k ＝1D ．k ＝－1解析：选C 若点A ，B ，C 不能构成三角形， 则向量，共线，∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， ＝－＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)， ∴1×(k ＋1)－2k ＝0，解得k ＝1.6．(xx·山西四校联考)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且＝3，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若＝x ＋(1－x )，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 解析：选D 依题意，设＝λ，其中1<λ<43，则有＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.又＝x ＋(1－x )，且，不共线，于是有x ＝1－λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，即x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0.二、填空题7．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b .因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2.由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝－13.答案：23 －138．已知两点A (1,0)，B (1,1)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝135°，设＝－＋λ (λ∈R )，则λ的值为________．解析：由∠AOC ＝135°知，点C 在射线y ＝－x (x <0)上，设点C 的坐标为(a ，－a )，a <0，则有(a ，－a )＝(－1＋λ，λ)，得a ＝－1＋λ，－a ＝λ，消掉a 得λ＝12.答案：129．在△ABC 中，点P 在BC 上，且＝2，点Q 是AC 的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则＝________.解析：＝－＝(－3,2)， ∴＝2＝(－6,4)． ＝＋＝(－2,7)， ∴＝3＝(－6,21)． 答案：(－6,21)10．(xx·九江模拟)P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．解析：P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎪⎨⎪⎧－1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7.此时a ＝b ＝(－13，－23)． 答案：{}－13，－23三、解答题11．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．求： (1)|a ＋3b |；(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？ 解：(1)因为a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，所以a ＋3b ＝(7,3)， 故|a ＋3b |＝72＋32＝58.(2)k a －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7,3)， 因为k a －b 与a ＋3b 平行， 所以3(k －2)＋7＝0，即k ＝－13.此时k a －b ＝(k －2，－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－1， a ＋3b ＝(7,3)，则a ＋3b ＝－3(k a －b )，即此时向量a ＋3b 与k a －b 方向相反．12．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，＝t 1＋t 2. (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线．解：(1)＝t 1＋t 2＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)．当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0. (2)证明：当t 1＝1时，由(1)知＝(4t 2,4t 2＋2)． ∵＝－＝(4,4)，＝－＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2， ∴A ，B ，M 三点共线．第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例对应学生用书P66基础盘查一 平面向量的数量积 (一)循纲忆知1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义； 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． (二)小题查验 1．判断正误(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量( )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量( )(3)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2( )答案：(1)√ (2)√ (3)×2．(人教A 版教材例题改编)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则a ·b ＝________答案：－10基础盘查二 平面向量数量积的性质及其坐标表示 (一)循纲忆知1．掌握数量积的性质及坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；2．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． (二)小题查验 1．判断正误(1)由a ·b ＝0，可得a ＝0或b ＝0( )(2)两向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0( )(3)若a ·b ＞0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b ＜0，则a 和b 的夹角为钝角( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．(人教A 版教材复习题改编)已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为30°，则|a －b |＝________.答案：13．已知向量a ＝(1,2)，向量b ＝(x ，－2)，且a ⊥(a －b )，则实数x 等于________． 答案：9基础盘查三 平面向量数量积的运算律 (一)循纲忆知掌握向量数量积的运算律，并能进行相关计算． (二)小题查验 1．判断正误(1)(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )( ) (2)a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则b ＝c ( ) 答案：(1)× (2)×2．(人教A 版教材习题改编)已知单位向量e 1，e 2的夹角为60°，则向量a ＝2e 1＋e 2与b ＝2e 2－3e 1的夹角为______．答案：150°对应学生用书P67考点一 平面向量的数量积的运算(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做a 和b 的数量积(或内积)，记作a·b .即a·b ＝|a||b|cos θ，规定0·a ＝0.2．向量数量积的运算律 (1)a·b ＝b·a .(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c . 3．平面向量数量积的几何意义数量积a ·b 等于a 的模|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． [提醒] 投影和两向量的数量积都是数量， 不是向量．[题组练透]1．(xx·云南统一检测)设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( )A ．－72B ．－12C.32D.52解析：选D a ＋2b ＝(－1＋2m,4)，2a －b ＝(－2－m,3)，由题意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以a ·b ＝－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2×1＝52. 2.(xx·湖北高考)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量在方向上的投影为( )A.322B.3152C ．－322D ．－3152解析：选A ＝(2,1)，＝(5,5)，由定义知在方向上的投影为·||＝1552＝322.3．(xx·重庆高考)已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________.解析：因为a ＝(－2，－6)， 所以|a |＝－22＋－62＝210，又|b|＝10，向量a 与b 的夹角为60°，所以a ·b ＝|a|·|b|·cos 60°＝210×10×12＝10.答案：104．(xx·东北三校联考)已知正方形ABCD 的边长为2，＝2，＝12(＋)，则·＝________.解析：如图，以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系．则B (0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23，D (2,2)．由＝12(＋)知F 为BC 的中点，故＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23，＝(－1，－2)，∴·＝－2－43＝－103.答案：－103[类题通法]向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos a ，b ． (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.[提醒] (1)在向量数量积的运算中，若a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则不一定得到b ＝c . (2)实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a ·b )·c 不一定等于a ·(b ·c )．考点二 平面向量数量积的性质(常考常新型考点——多角探明)[必备知识]已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)：结论 几何表示 坐标表示 模 |a |＝a·a |a |＝x 21＋y 21 夹角cos θ＝cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22[多角探明]平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题．归纳起来常见的命题角度有：(1)平面向量的模； (2)平面向量的夹角； (3)平面向量的垂直. 角度一：平面向量的模1．已知平面向量a ，b 的夹角为π6，且|a |＝3，|b |＝2，在△ABC 中，＝2a ＋2b ，＝2a －6b ，D 为BC 中点，则||等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选 A 因为＝12(＋)＝12(2a ＋2b ＋2a －6b )＝2a －2b ，所以||2＝4(a －b )2＝4(a 2－2b ·a ＋b 2)＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2×2×3×co s π6＋4＝4，则||＝2.2．(xx·北京高考)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________.解析：∵|a |＝1，∴可令a ＝(cos θ，sin θ)， ∵ λa ＋b ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧λcos θ＋2＝0，λsin θ＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－2λ，sin θ＝－1λ.由sin 2θ＋cos 2θ＝1得λ2＝5，得|λ|＝ 5. 答案： 5角度二：平面向量的夹角3．向量a ，b 均为非零向量，(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析：选B (a －2b )·a ＝|a |2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝|b |2－2a ·b ＝0，所以|a |2＝|b |2，即|a |＝|b |，故|a |2－2a ·b ＝|a |2－2|a |2cos 〈a ，b 〉＝0，可得cos 〈a ，b 〉＝12，又因为0≤〈a ，b 〉≤π，所以〈a ，b 〉＝π3.4．(xx·江西高考)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.解析：因为a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9－2×3×2×cos α＋4＝9，所以|a |＝3，b 2＝(3e 1－e 2)2＝9－2×3×1×cos α＋1＝8，所以|b |＝22，a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22＝9－9×1×1×13＋2＝8，所以cos β＝a ·b |a |·|b |＝83×22＝223.答案：223角度三：平面向量的垂直5．(xx·重庆高考)已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3D.152解析：选C 因为2a －3b ＝(2k －3，－6)，(2a －3b )⊥c ，所以(2a －3b )·c ＝2(2k －3)－6＝0，解得k ＝3，选C.6．在直角三角形ABC 中，已知＝(2,3)，＝(1，k )，则k 的值为________________． 解析：①当A ＝90°时， ∵⊥，∴·＝0.∴2×1＋3k ＝0，解得k ＝－23.②当B ＝90°时，∵⊥，又＝－＝(1，k )－(2,3)＝(－1，k －3)， ∴·＝2×(－1)＋3×(k －3)＝0， 解得k ＝113.③当C ＝90°时，∵⊥，∴1×(－1)＋k (k －3)＝0，即k 2－3k －1＝0.∴k ＝3±132.答案：－23或113或3±132.[类题通法]平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos θ＝a ·b|a |·|b |，要注意θ∈[0，π]．(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： ①a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . ②|a ±b |＝a ±b2＝a 2±2a ·b ＋b 2.③若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.考点三 平面向量与三角函数的综合(重点保分型考点——师生共研)[典题例析](xx·江苏高考)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． 解：(1)证明：由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1.由此得，cos α＝cos (π－β)， 由0<β<π，得0<π－β<π.又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1， 得sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6.[类题通法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．[演练冲关]已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，sin x 2，c ＝(3，－1)，其中x ∈R ，(1)当a ·b ＝12时，求x 的取值集合；(2)设函数f (x )＝(a －c )2，求f (x )的最小正周期及其单调递增区间．解：(1)∵a ·b ＝cos 3x 2cos x 2＋sin 3x 2sin x 2＝cos x ＝12，∴x ＝2k π±π3(k ∈Z )．∴所求x 的取值集合为xx ＝2k π±π3，k ∈Z .(2)∵a －c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2－3，sin 3x 2＋1， ∴f (x )＝(a －c )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3x 2＋12＝5－23cos 3x 2＋2sin 3x 2＝5＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 3x 2－32cos 3x 2＝5＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－π3. ∴最小正周期为T ＝2π32＝4π3.由2k π－π2≤3x 2－π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得4k π3－π9≤x ≤4k π3＋5π9(k ∈Z )． ∴单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π3－π9，4k π3＋5π9(k ∈Z )．对应A 本课时跟踪检测二十七一、选择题1．(xx·惠州调研)已知向量p ＝(2，－3)，q ＝(x,6)，且p ∥q ，则|p ＋q |的值为( ) A. 5 B.13 C ．5D ．13解析：选 B 由题意得2×6＋3x ＝0⇒x ＝－4⇒|p ＋q |＝|(2，－3)＋(－4,6)|＝|(－2,3)|＝13.2．(xx·长春调研)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)，若λ为实数，(b ＋λa )⊥c ，则λ的值为( )A ．－311B ．－113C.12D.35解析：选A b ＋λa ＝(1,0)＋λ(1,2)＝(1＋λ，2λ)，c ＝(3,4)，又(b ＋λa )⊥c ，∴(b ＋λa )·c ＝0，即(1＋λ，2λ)·(3,4)＝3＋3λ＋8λ＝0，解得λ＝－311，故选A.3．已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，且|a |＝|b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( )A.3π4B.π4C.π3D.2π3解析：选C 因为(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，|a |＝|b |＝1， 所以6a ·b －8＋5＝0，即a ·b ＝12.又a ·b ＝|a ||b |cos θ＝cos θ，所以cos θ＝12，因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.4．在△ABC 中，(＋)·＝||2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C 由(＋)·＝||2，得·(＋－)＝0，即·(＋＋)＝0,2·＝0，∴⊥，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到||＝||，故△ABC 一定是直角三角形．5．(xx·东北三校联考)已知△ABC 中，||＝10，·＝－16，D 为边的中点，则||等于( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3解析：选D 由题知＝12(＋)，·＝－16，∴||·||cos∠BAC ＝－16.在△ABC 中由余弦定理得， ||2＝||2＋||2－2||||cos ∠BAC ，∴102＝||2＋||2＋32，||2＋||2＝68，∴||2＝14(2＋2＋2·)＝14(68－32)＝9，∴||＝3，故选D.6．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则·的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32 D.[]0，1解析：选 C 将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E (x,0)，0≤x ≤1.又M ⎝⎛⎭⎪⎫1，12，C (1,1)，所以＝⎝⎛⎭⎪⎫1－x ，12，＝(1－x,1)，所以·＝⎝⎛⎭⎪⎫1－x ，12·(1－x,1)＝(1－x )2＋12.因为0≤x ≤1，所以12≤(1－x )2＋12≤32，即·的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32. 二、填空题7．(xx·北京东城质量检测)已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________.解析：由题意可得a ·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a ·b )b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)， ∴|c |＝82＋－82＝8 2.答案：8 28．(xx·山西四校联考)圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若＋＝2，且||＝||，则向量在向量方向上的投影为________．解析：∵＋＝2，∴O 是BC 的中点，故△ABC 为直角三角形．在△AOC 中，有||＝||，∴∠B ＝30°.由定义，向量在向量方向上的投影为||cos ∠B ＝23×32＝3. 答案：39．单位圆上三点A ，B ，C 满足＋＋＝0，则向量，的夹角为________． 解析：∵A ，B ，C 为单位圆上三点， ∴||＝||＝||＝1， 又＋＋＝0， ∴－＝＋，∴2＝(＋)2＝2＋2＋2·，可得cos 〈，〉＝－12，∴向量，的夹角为120°. 答案：120°10．(xx·江苏高考)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．解析：因为＝＋＝＋14，＝＋＝－34，所以·＝⎝⎛⎭⎪⎫＋14 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－34 ＝||2－316||2－12·＝2，将AB ＝8，AD ＝5代入解得·＝22. 答案：22 三、解答题11．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |； (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )．解：由已知得，a ·b ＝4×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－16.(1)①∵|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a ＋b |＝4 3. ②∵|4a －2b |2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768， ∴|4a －2b |＝16 3.(2)∵(a ＋2b )⊥(k a －b )，∴(a ＋2b )·(k a －b )＝0， ∴k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2×64＝0.∴k ＝－7. 即k ＝－7时，a ＋2b 与k a －b 垂直．12．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1,2)，又点A (8,0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.(1)若⊥a ，且||＝5||，求向量；精品文档(2)若向量与向量 a 共线，当 k＞4，且 tsin θ 取最大值 4 时，求·. 解：(1)由题设知＝(n－8，t)， ∵⊥a，∴8－n＋2t＝0.又∵ 5||＝||， ∴5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，得 t＝±8. 当 t＝8 时，n＝24；t＝－8 时，n＝－8，∴＝(24,8)或＝(－8，－8)． (2)由题设知＝(ksin θ－8，t)， ∵与 a 共线，∴t＝－2ksin θ＋16， tsin θ＝(－2ksin θ＋16)sin θ＝－2ksin θ－4k2＋3k2. ∵k＞4，∴0＜4k＜1，∴当 sin θ＝4k时，tsin θ 取得最大值3k2.32 由 k ＝4，得k＝8，此时 θ＝π6 ，＝(4,8)．∴·＝(8,0)·(4,8)＝32.第四节数系的扩充与复数的引入对应学生用书P69基础盘查一 复数的有关概念 (一)循纲忆知 1．理解复数的基本概念； 2．理解复数相等的充要条件． (二)小题查验 1．判断正误 (1)已知 z＝a＋bi(a，b∈R)，当 a＝0 时复数 z 为纯虚数( ) (2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为 bi( ) (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小( ) 答案：(1)× (2)× (3)×实用文档精品文档2．(人教 A 版教材例题改编)如果(x＋y)＋(y－1)i＝(2x＋3y)＋(2y＋1)i，则 x＝________，y＝________.答案：4 －2基础盘查二 复数的几何意义(一)循纲忆知了解复数的代数表示法及其几何意义．(二)小题查验1．判断正误(1)原点是实轴与虚轴的交点( )(2)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模( )答案：(1)√ (2)√2．(人教 A 版教材习题改编)ABCD 是复平面内的平行四边形，A，B，C 三点对应的复数分别是 1＋3i，－i,2＋i，则点 D 对应的复数为________．答案：3＋5i基础盘查三 复数的运算(一)循纲忆知1．会进行复数代数形式的四则运算；2．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．(二)小题查验1．判断正误(1)若复数 z1，z2 满足 z1－z2＞0，则 z1＞z2( ) (2)复数的减法不满足结合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立( ) (3)两个复数的积与商一定是虚数( )(4)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√2．(人教 A 版教材习题改编)计算：2i5 4＋i 2(1)2－i＝________，(2) i 2＋i ＝________.答案：(1)－25＋45i (2)1－38i对应学生用书P69考点一 复数的有关概念(基础送分型考点——自主练透)实用文档精品文档[必备知识]1．复数的概念形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中 a，b 分别是它的实部和虚部．若 b＝0，则 a＋bi 为实数；若 b≠0，则 a＋bi 为虚数；若 a＝0 且 b≠0，则 a＋bi 为纯虚数．2．复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c 且 b＝d(a，b，c，d∈R)．3 共轭复数a＋bi 与 c＋di 共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．4．复数的模向量的模 r 叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2.[题组练透] 1．(xx·湖北八校联考)设 x∈R，则“x＝1”是“复数 z＝(x2－1)＋(x＋1)i 为纯虚数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 C 由纯虚数的定义知：x2－1＝0， x＋1≠0，⇒ x＝1，选 C.2．(xx·安徽“江南十校”联考)若 a＋bi＝1＋52i(i 是虚数单位，a，b∈R)，则 ab＝()A．－2B．－1C．1D．2解析：选 A a＋bi＝1＋52i＝1－2i，所以 a＝1，b＝－2，ab＝－2.3．设 i 是虚数单位， z 表示复数 z 的共轭复数．若 z＝1＋i，则zi＋i· z ＝()A．－2B．－2iC．2D．2i解析：选 C 因为 z＝1＋i，所以zi＋i· z ＝－i＋1＋i＋1＝2.4．(xx·洛阳统考)设复数 z＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为 z ，则|(1－z)·－z|＝( ) A. 10 C. 2B．2 D．1实用文档精品文档解析：选 A 依题意得(1－z)·－z ＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i，则|(1－z)·－z |＝|－3＋i|＝ －3 2＋12＝ 10.[类题通法]解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． (2)解题时一定要先看复数是否为 a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．考点二 复数的几何意义(基础送分型考点——自主练透)[必备知识] (1)复数 z＝a＋bi 复平面内的点 Z(a，b)(a，b∈R)． (2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.[题组练透]1．(xx·新课标全国卷Ⅱ)设复数 z1，z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则 z1z2＝( )A．－5B．5C．－4＋iD．－4－i解析：选 A 由题意可知 z2＝－2＋i，所以 z1z2＝(2＋i)·(－2＋i)＝i2－4＝－5.2．(xx·山西四校联考)复数 z＝i －2－i2(i 为虚数单位)，z 在复平面内所对应的点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选 A因为 z＝i －2－iiii2＝4＋4i－1＝3＋4i＝3－4i 25＝245＋235i，所以 z在复平面内所对应的点245，235在第一象限，故选 A. 3．已知复数 z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为 A，B，C，若＝λ＋μ，(λ，μ∈R)，则 λ＋μ 的值是________．解析：由条件得＝(3，－4)，＝(－1,2)，＝(1，－1)， 根据＝λ＋μ 得 (3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴－2λλ－＋μμ＝＝－3，4， 解得λμ＝ ＝－ 2.1，实用文档。
2023版高考数学一轮总复习13数系的扩充与复数的引入课件
原式=i.故选A.
答案 (1)B (2)A
1)(1±i)2=±2i;1 i =i;1 i =-i;
1i 1i
2)-b+ai=i(a+bi)(a,b∈R); 3)i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1,i4n+1+i4n+2+i4n+3+i4n+4=0,n∈N.
例 (1)(2021全国甲,3,5分)已知(1-i)2z=3+2i,则z= ( )
专题十三 数系的扩充与复数的引入
1.复数的有关概念
内容
考点一 复数的概念与几何意义
概念
复数 复数相等 复数的模
形如a+bi的数叫做复数,其中a为实部,b为虚部 a+bi=c+di⇔a=c且b=d 向量 OZ的长度叫做复数z=a+bi的模,记作|z|或|a+ bi|,即|z|=|a+bi|= a2 b2
共轭复数
其中,a,b,c,d∈R,i为虚数单位.
复数z=a+bi的共轭复数为a-bi,记为 z,即 z=a-bi
2.复数的几何意义 其中,a,b∈R,i为虚数单位.
考点二 复数的运算 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 z1±z2=(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i; z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;
3 2
i.故选B.
解法二:设z=a+bi(a,b∈R),由(1-i)2z=3+2i得(1-i)2(a+bi)=3+2i,∴-2i(a+bi)=2
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课时活页作业（六十四）
[基础训练组]
1. (2016·石家庄模拟)复数z ＝1－i ，则1
z ＋z 对应的点所在的象限为( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
[解析] ∵z ＝1－i ，∴1z ＋z ＝32－i
2，
∴1
z ＋z 对应的点所在的象限是第四象限． [答案] D
2．(2016·浙江名校联考)已知i 是虚数单位，且复数z 1＝3－bi ，z 2＝1－2i ，若z 1
z 2
是实数，
则实数b 的值为( )
A ．6
B ．－6
C ．0
D.16
[解析] ∵z 1z 2＝3－bi 1－2i ＝3＋2b
5＋
－5
，当6－b 5＝0时，z 1
z 2
是实数，∴b ＝6.
[答案] A
3．若a
1－i ＝1－bi ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋bi|等于( )
A. 5
B. 2
C. 3
D ．1
[解析] 由a
1－i ＝1－bi 得a ＝2，b ＝－1，所以a ＋bi ＝2－i ，所以|a ＋bi|＝ 5.
[答案] A
4．定义：若z 2＝a ＋bi(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋bi 的平方根．根据定义，则复数－3＋4i 的平方根是( )
A ．1－2i 或－1＋2i
B ．1＋2i 或－1－2i
C ．－7－24i
D ．7＋24i
[解析] 设(x ＋yi)2
＝－3＋4i ，则⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－y 2＝－3，
xy ＝2，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2或⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝－1，y ＝－2..
[答案] B
5．(2015·陕西高考)设复数z ＝(x －1)＋yi(x ，y ∈R)，若|z|≤1，则y≥x 的概率为( )
A.34＋12π
B.12＋1π
C.14－12π
D.12－1π
[解析] 由|z|≤1可得(x －1)2＋y 2≤1，表示以(1,0)为圆心，半径为1的圆及其内部，满足y≥x 的部分为如图阴影所示，
由几何概型概率公式可得所求概率为：P ＝14π×12－12×12π×r 2＝π4－12π＝
1
4－1
2π
[答案] C
6. (2015·天津高考) i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________．
[解析] (1－2i)(a ＋i)＝a ＋(1－2a)i ＋2＝(a ＋2)＋(1－2a)i ，由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＋2＝0，1－2a≠0，∴a ＝
－2.
[答案] －2
7．(2016·湖北七市联考)若i 为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z 表示复数z ，则复数z
1－2i
的共轭复数是________．
[解析] z
1－2i ＝2＋i 1－2i ＝－2i 2＋i 1－2i ＝i ，其共轭复数为－i.
[答案] －i
8．(2015·重庆高考)设复数a ＋bi(a ，b ∈R)的模为3，则(a ＋bi)(a －bi)＝________. [解析] ∵|a ＋bi|＝a 2＋b 2＝3，∴a 2＋b 2＝3 ∴(a ＋bi)·(a －bi)＝a 2＋b 2＝3 [答案] 3
9．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝2
1－a ＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值．
解：z 1＋z 2＝
3a ＋5＋(a 2－10)i ＋2
1－a
＋(2a －5)i ＝⎝⎛⎭⎫3a ＋5＋2
1－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝
a －13＋
－
＋(a 2＋2a －15)i.
∵z 1＋z 2是实数，∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝
3.
∵a ＋5≠0，∴a≠－5，故a ＝3.
10．复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．
解：如图，z 1，z 2，z 3分别对应点A ，B ，C.
∴AB →＝OB →－OA →.
∴AB →
所对应的复数为z 2－z 1＝(－2＋i)－(1＋2i)＝－3－i. 在正方形ABCD 中，DC →＝AB →
， ∴DC →
所对应的复数为－3－i.
又DC →＝OC →－OD →，∴OD →＝OC →－DC →
所对应的复数为z 3－(－3－i)＝(－1－2i)－(－3－i)＝2－i ，∴第四个顶点对应的复数为2－i.
[能力提升组]
11．(2015·高考新课标全国卷Ⅰ)设复数z 满足1＋z
1－z ＝i ，则|z|＝( )
A ．1
B. 2
C. 3
D ．2
[解析] 由1＋z 1－z ＝i 得z ＝－1＋i
1＋i ＝i.所以|z|＝1，故选A.
[答案] A
12．(2014·新课标高考全国卷Ⅰ)＋3
＋
2等于(
)
A ．1＋i
B ．1－i
C ．－1＋i
D ．－1－i
[解析] ＋
3
＋
2＝1＋i 3＋3i ＋3i 2－2i ＝－2＋2i －2i ＝1－i i ＝i ＋1
－1
＝－1－i. [答案] D
13．(2016·新乡、许昌、平顶山调研)复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R)，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( )
A ．[－1,1] B.⎣⎡⎦⎤－9
16，1 C.⎣⎡⎦
⎤－9
16，7 D.⎣⎡⎦⎤916，7
[解析] 由复数相等的充要条件可得⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＝2cos θ，
4－m 2
＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2 θ－3sin θ＝4⎝
⎛⎭⎫sin θ－3
8
2
－9
16
，因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin 2θ－3sin θ∈⎣⎡⎦⎤－916，7. [答案] C
14．已知复数z ＝x ＋yi ，且|z －2|＝3，则y
x 的最大值为________．
[解析] ∵|z －2|＝
－
2
＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝⎛⎭⎫y x max ＝3
1＝ 3.
[答案]
3
15．设复数z ＝－3cos θ＋2isin θ. (1)当θ＝4
3
π时，求|z|的值；
(2)若复数z 所对应的点在直线x ＋3y ＝0上，求2cos 2θ2
－1
2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4的值．
解：(1)∵θ＝43π，∴z ＝－3cos 43π＋2isin 43π＝3
2－3i.∴|z|＝
⎝⎛⎭
⎫322＋－32
＝
212
. (2)由条件得－3cos θ＋3×2sin θ＝0，∴tan θ＝1
2.
原式＝cos θsin θ＋cos θ＝1tan θ＋1＝2
3.。