2020届高考数学一轮复习单元检测三函数概念与基本初等函数Ⅰ单元检测含解析5

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高三数学函数的概念与基本初等函数多选题知识点及练习题含答案

高三数学函数的概念与基本初等函数多选题知识点及练习题含答案一、函数的概念与基本初等函数多选题1．已知函数()f x 满足：当-<3≤0x 时，()()1xf x e x =+，下列命题正确的是（）A ．若()f x 是偶函数，则当03x <≤时，()()1xf x e x =+B ．若()()33f x f x --=-，则()()32g x f x e=+在()6,0x ∈-上有3个零点 C ．若()f x 是奇函数，则1x ∀，[]23,3x ∈-，()()122f x f x -<D ．若()()3f x f x +=，方程()()20f x kf x -=⎡⎤⎣⎦在[]3,3x ∈-上有6个不同的根，则k 的范围为2312k e e -<<- 【答案】BC 【分析】A 选项，利用函数的奇偶性求出解析式即可判断；B 选项，函数()f x 关于直线3x =-对称，利用导数研究函数的单调性作出函数图像，由函数图像可知当()6,0x ∈-时，函数()f x 与直线32y e=-有3个交点可判断；C 选项，由函数图像关于原点对称求出函数的值域进行判断；D 选项，函数周期为3，作出函数图像知方程()0f x =在[]3,3x ∈-上有两个不同的根，则2312k e e-<≤-时方程()f x k =在[]3,3x ∈-上有4个不同的根. 【详解】A 选项，若03x <≤，则30x -≤-<，()()1xf x e x --=-+，因为函数()f x 是偶函数，所以()()()1xf x f x ex -=-=-+，A 错误；B 选项，若()()33f x f x --=-，则函数()f x 关于直线3x =-对称，当-<3≤0x 时，()()2xf x e x '=+，当()3,2x ∈--时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当()2,0x ∈--时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，且()323f e -=-，()2120f e -=-<，()10f -=，作出函数大致图像如图所示，则当()6,0x ∈-时，函数()f x 与直线32y e=-有3个交点，即函数()()32g x f x e=+在()6,0x ∈-上有3个零点，B 正确；C 选项，由B 知当[3,0)x ∈-时，()2[,1)f x e -∈-，若函数()f x 为奇函数，则当[]3,3x ∈-时()()1,1f x ∈-，所以1x ∀，[]23,3x ∈-，()()122f x f x -<，C 正确；D 选项，若()()3f x f x +=，则函数()f x 的周期为3，作出函数在[]3,3x ∈-上的图像如图所示，若方程()()20f x kf x -=⎡⎤⎣⎦即()()[]0f x f x k -=在[]3,3x ∈-上有6个不同的根，因为方程()0f x =在[]3,3x ∈-上有两个不同的根，所以()f x k =在[]3,3x ∈-上有4个不同的根，又()323f e -=-，()2120f e -=-<，所以2312k e e -<≤-，D 错误. 故选：BC 【点睛】本题考查函数的图像与性质综合应用，涉及函数的单调性、奇偶性、对称性，函数的零点与方程的根，综合性较强，属于较难题.2．下列说法中，正确的有（） A ．若0a b >>，则b aa b> B ．若0a >，0b >，1a b +=，则11a b+的最小值为4 C ．己知()11212xf x =-+，且()()2110f a f a -+-<，则实数a 的取值范围为()2,1- D ．已知函数()()22log 38f x x ax =-+在[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是(]11,6--【答案】BCD 【分析】利用不等式的基本性质可判断A 选项的正误；将+a b 与11a b+相乘，展开后利用基本不等式可判断B 选项的正误；判断函数()f x 的单调性与奇偶性，解不等式()()2110f a f a -+-<可判断C 选项的正误；利用复合函数法可得出关于实数a 的不等式组，解出a 的取值范围，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，0a b >>，则1a bb a>>，A 选项错误；对于B 选项，0a >，0b >，1a b +=，()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，所以，11a b+的最小值为4，B 选项正确；对于C 选项，函数()f x 的定义域为R ，任取1x 、2x R ∈且12x x <，则21220x x >>，所以，()()()()211212121211111122021221221212121x x x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---=-=> ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭，即()()12f x f x >，所以，函数()f x 为R 上的减函数，()()()()2211112212221212xxx x xf x -+-=-==+++，则()()()()()()21212212122212221x x x x x x x xf x f x --------====-+⋅++，所以，函数()f x 为R 上的奇函数，且为减函数，由()()2110f a f a-+-<可得()()()22111f a f a f a-<--=-，所以，211a a -<-，即220a a +-<，解得21a -<<，C 选项正确；对于D 选项，对于函数()()22log 38f x x ax =-+，令238u x ax =-+，由于外层函数2log y u =为增函数，则内层函数238u x ax =-+在[)1,-+∞上为增函数，所以min 16380au a ⎧≤-⎪⎨⎪=++>⎩，解得116a -<≤-，D 选项正确.故选：BCD. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.3．狄利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一，狄利克雷函数()1,0,x Q f x x Q ∈⎧=⎨∉⎩（Q 是有理数集）的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化，从研究“算”到研究更抽象的“概念、性质、结构”．关于()f x 的性质，下列说法正确的是（）A ．函数()f x 是偶函数B ．函数()f x 是周期函数C ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=D ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x ⋅= 【答案】ABC 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；验证()()1f x f x +=，可判断B 选项的正误；分1x Q ∈、1x Q ∉两种情况讨论，结合函数()f x 的定义可判断C 选项的正误；取20x =，1x Q ∉可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，任取x Q ∈，则x Q -∈，()()1f x f x ==-；任取x Q ∉，则x Q -∉，()()0f x f x ==-.所以，对任意的x ∈R ，()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数，A 选项正确；对于B 选项，任取x Q ∈，则1x Q +∈，则()()11f x f x +==；任取x Q ∉，则1x Q +∉，则()()10f x f x +==.所以，对任意的x ∈R ，()()1f x f x +=，即函数()f x 为周期函数，B 选项正确；对于C 选项，对任意1x Q ∈，2x ∈Q ，则12x Q x +∈，()()1211f x x f x +==；对任意的1x Q ∉，2x ∈Q ，则12x x Q +∉，()()1210f x x f x +==. 综上，对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=，C 选项正确；对于D 选项，取20x =，若1x Q ∉，则()()()12101f x x f f x ⋅==≠，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于根据已知函数的定义依次讨论各选项，分自变量为无理数和有理数两种情况讨论，对于D 选项，可取1x Q ∉，20x =验证.4．已知正数,,x y z ，满足3412x y z ==，则（） A ．634z x y < D ．24xy z <【答案】AC 【分析】令34121x y z m ===>，根据指对互化和换底公式得：111log 3log 4log 12m m m x y z===，，，再依次讨论各选项即可. 【详解】由题意，可令34121x y z m ===>，由指对互化得：111,,log 3log 4log 12m m m x y z ===，由换底公式得：111log 3,log 4,log 12m m m x y z ===，则有111x y z+=，故选项B 错误；对于选项A ，124log 12log 9log 03m m m z x -=-=>，所以2x z >，又4381log 81log 64log 064m m m x y -=-=>，所以43y x >，所以436y x z >>，故选项A 正确；对于选项C ､D ，因为111x y z +=，所以xyz x y=+，所以()()()()2222222440x y xy x y xy x y z xy x y x y -+--==-<++，所以24xy z >，则()24z x y z +>，则4x y z +>，所以选项C 正确，选项D 错误；故选：AC.【点睛】本题考查指对数的运算，换底公式，作差法比较大小等，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于令34121xyzm ===>，进而得111,,log 3log 4log 12m m m x y z ===，再根据题意求解.5．已知21,1,()ln ,1,xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，则关于x 的方程2[()]()210f x f x k -+-=，下列正确的是（）A ．存在实数k ，使得方程恰有1个不同的实数解；B ．存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实数解；C ．存在实数k ，使得方程恰有3个不同的实数解；D ．存在实数k ，使得方程恰有6个不同的实数解；【答案】ACD 【分析】令()0f x t =≥，根据判别式确定方程2210t t k -+-=根的个数，作出()f x 的大致图象，根据根的取值，数形结合即可求解. 【详解】令()0f x t =≥，则关于x 的方程2[()]()210f x f x k -+-=，可得2210t t k -+-=，当58k =时，()14210k ∆=--=，此时方程仅有一个根12t =；当58k <时，()14210k ∆=-->，此时方程有两个根12,t t ，且121t t +=，此时至少有一个正根；当58k >时，()14210k ∆=--<，此时方程无根；作出()f x 的大致图象，如下：当58k =时，此时12t =，由图可知()f x t =，有3个不同的交点，C 正确；当58k <时，此时方程有两个根12,t t ，且121t t +=，此时至少有一个正根，当()10,1t ∈、()20,1∈t ，且12t t ≠时，()f x t =，有6个不同的交点，D 正确；当方程有两个根12,t t ，一个大于1，另一个小于0，此时()f x t =，仅有1个交点，故A 正确；当方程有两个根12,t t ，一个等于1，另一个等于0，()f x t =，有3个不同的交点，当58k >时，()14210k ∆=--<，此时方程无根. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题考查了根的个数求参数的取值范围，解题的关键是利用换元法将方程化为2210t t k -+-=，根据方程根的分布求解，考查了数形结合的思想，分类讨论的思想.6．已知函数()2221,021,0x x x f x x x x ⎧++≥=⎨-++<⎩,则下列判断正确的是（）A ．()f x 为奇函数B ．对任意1x ,2x R ∈,则有()()()12120x x f x f x --≤⎡⎤⎣⎦C ．对任意x ∈R ,则有()()2f x f x +-=D ．若函数()y f x mx =-有两个不同的零点,则实数m 的取值范围是()()–,04,∞+∞【答案】CD【分析】根据函数的奇偶性以及单调性判断AB 选项；对x 进行分类讨论，判断C 选项；对选项D ，构造函数，将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，即可得出实数m 的取值范围. 【详解】对于A 选项，当0x >时，0x -<，则()22()()2()121()f x x x x x f x -=--+-+=-+-≠-所以函数()f x 不是奇函数，故A 错误；对于B 选项，221y x x =++的对称轴为1x =-，221y x x =-++的对称轴为1x =所以函数221y x x =++在区间[0,)+∞上单调递增，函数221y x x =-++在区间(,0)-∞上单调递增，并且2202010201+⨯+=-+⨯+ 所以()f x 在R 上单调递增即对任意()1122,,x x x x R <∈，都有()()12f x f x <则()()()()()121212120,00x x f x f x x x f x f x ⎡⎤-<-⇒--⎣⎦，故B 错误；对于C 选项，当0x >时，0x -<，则 22()()2()121f x x x x x -=--+-+=--+ 则22()()21212f x f x x x x x +-=++--+= 当0x =时，(0)(0)1f f -==，则(0)(0)2f f -+=当0x <时，0x ->，则22()()2()121f x x x x x -=-+-+=-+ 则22()()21212f x f x x x x x +-=-+++-+= 即对任意x ∈R ,则有()()2f x f x +-=，故C 正确；对于D 选项，当0x =时，()010y f ==≠，则0x =不是该函数的零点当0x ≠时，()()0f x f x xm x m -=⇔=令函数()()g x f x x=，函数y m =由题意可知函数y m =与函数()()g x f x x=的图象有两个不同的交点因为()0f x ≥时，)1x ⎡∈+∞⎣，()0f x <时，(,1x ∈-∞-所以12,012,12)01,1(x x x x x x x x x g x ⎧++>⎪⎪⎪-++<⎨⎪⎪--<-⎩=⎪当0x >时，设1201x x ，()()()()121212121212111x x x x g x g x x x x x x x ---=+--= 因为12120,10x x x x -<-<，所以()()120g x g x ->，即()()12g x g x > 设121x x <<，()()()()1212121210x x x x g x g x x x ---=<，即()()12g x g x <所以函数()g x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增同理可证，函数()g x 在区间)12,0⎡-⎣上单调递减，在区间(),12-∞-上单调递增11241)1(g ++==函数()g x 图象如下图所示由图可知，要使得函数y m =与函数()()g x f x x=的图象有两个不同的交点则实数m 的取值范围是()()–,04,∞+∞，故D 正确；故选：CD 【点睛】本题主要考查了利用定义证明函数的单调性以及奇偶性，由函数零点的个数求参数的范围，属于较难题.7．定义在R 上的函数()(),()22(2)f x x g x g x x g x =+=--+--,若()f x 在区间[1,)-+∞上为增函数,且存在20t -<<,使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式一定成立的是( )A ．21(1)()2f t t f ++> B ．(2)0()f f t ->> C ．(2)(1)f t f t +>+D ．(1)()f t f t +>【答案】ABC【分析】先由()(),()22(2)f x x g x g x x g x =+=--+--推出()f x 关于1x =-对称，然后可得出B 答案成立，对于答案ACD ，要比较函数值的大小，只需分别看自变量到对称轴的距离的大小即可【详解】因为()(),()22(2)f x x g x g x x g x =+=--+--所以(2)2(2)2()22()()f x x g x x g x x g x x f x --=--+--=--+++=+= 所以()f x 关于1x =-对称，所以(0)(2)f f =- 又因为()f x 在区间[1,)-+∞上为增函数，20t -<< 所以(0)(2)()f f f t =-> 因为(0)()0f f t ⋅<所以()0,(2)(0)0f t f f <-=> 所以选项B 成立因为2231120224t t t ⎛⎫++-=++> ⎪⎝⎭所以21t t ++比12离对称轴远所以21(1)()2f t t f ++>，所以选项A 成立因为()()2232250t t t +-+=+>所以32t t +>+，所以2t +比1t +离对称轴远所以(2)(1)f t f t +>+，即C 答案成立因为20t -<<，所以()()222123t t t +-+=+符号不定所以2t +，1t +无法比较大小，所以(1)()f t f t +>不一定成立所以D 答案不一定成立故选：ABC 【点睛】本题考查的是函数的性质，由条件得出()f x 关于1x =-对称是解题的关键.8．下列选项中a 的范围能使得关于x 的不等式220x x a +--<至少有一个负数解的是（） A ．9,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．()2,3C ．1,2D ．0,1【答案】ACD 【分析】将不等式变形为22x a x -<-，作出函数2,2y x a y x =-=-的图象，根据恰有一个负数解时判断出临界位置，再通过平移图象得到a 的取值范围. 【详解】因为220x x a +--<，所以22x a x -<-且220x ，在同一坐标系中作出2,2y x a y x =-=-的图象如下图：当y x a =-与22y x =-在y 轴左侧相切时，22x a x -=-仅有一解，所以()1420a ∆=++=，所以94a =-，将y x a =-向右移动至第二次过点()0,2时，02a -=，此时2a =或2a =-（舍），结合图象可知：9,24a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以ACD 满足要求. 故选：ACD. 【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，着重考查数形结合的思想，难度较难.利用数形结合可解决的常见问题有：函数的零点或方程根的个数问题、求解参数范围或者解不等式、研究函数的性质等.9．已知函数12()123x x x f x x x x ++=+++++，下列关于函数()f x 的结论正确的为（） A ．()f x 在定义域内有三个零点 B ．函数()f x 的值域为R C ．()f x 在定义域内为周期函数 D ．()f x 图象是中心对称图象【答案】ABD 【分析】将函数变形为111()3123f x x x x ⎛⎫=-++⎪+++⎝⎭，求出定义域，结合导数求函数的单调性即可判断BC ，由零点存在定理结合单调性可判断A ，由()()46f x f x --=+可求出函数的对称点，即可判断D. 【详解】解：由题意知，1111()111312311123f x x x x x x x ⎛⎫=-+-+-=-++ ⎪++++++⎝⎭，定义域为()()()(),33,22,11,-∞-⋃--⋃--⋃-+∞，()()()22211()01213f x x x x '=++>+++，所以函数在()()()(),3,3,2,2,1,1,-∞------+∞定义域上单调递增，C 不正确；当1x >-时，()3371230,004111523f f ⎛⎫-=-++<=+> ⎪⎝⎭，则()1,-+∞上有一个零点，当()2,1x ∈--时，750,044f f ⎛⎫⎛⎫-<-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以在()2,1x ∈--上有一个零点，当()3,2x ∈--时，1450,052f f ⎛⎫⎛⎫-<-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以在()3,2x ∈--上有一个零点，当3x <-，()0f x >，所以在定义域内函数有三个零点，A 正确；当0x <，1x +→-时，()f x →-∞，当x →+∞时，()f x →+∞，又函数在()1,-+∞递增，且在()1,-+∞上有一个零点，则值域为R ，B 正确；()1111(4)363612311123f x f x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=+++=--++=- ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()()46f x f x --=+，所以函数图象关于()2,3-对称，D 正确；故选:ABD. 【点睛】结论点睛:1、()y f x =与()y f x =-图象关于x 轴对称；2、()y f x =与()y f x =-图象关于y 轴对称；3、()y f x =与()2y f a x =-图象关于x a =轴对称；4、()y f x =与()2y a f x =-图象关于y a =轴对称；5、()y f x =与()22y b f a x =--图象关于(),a b 轴对称.10．设函数g (x )=sinωx (ω＞0)向左平移5πω个单位长度得到函数f (x )，已知f (x )在[0，2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（）A ．f (x )的图象关于直线2x π=对称B ．f (x )在(0，2π)上有且只有3个极大值点，f (x )在(0，2π)上有且只有2个极小值点C ．f (x )在(0,)10π上单调递增 D ．ω的取值范围是[1229,510) 【答案】CD 【分析】利用正弦函数的对称轴可知，A 不正确；由图可知()f x 在(0,2)π上还可能有3个极小值点，B 不正确；由2A B x x π≤<解得的结果可知，D 正确；根据()f x 在3(0,)10πω上递增，且31010ππω<，可知C 正确. 【详解】依题意得()()5f x g x πω=+sin[()]5x πωω=+sin()5x πω=+， 2T πω=，如图：对于A ，令52x k ππωπ+=+，k Z ∈，得310k x ππωω=+，k Z ∈，所以()f x 的图象关于直线310k x ππωω=+(k Z ∈)对称，故A 不正确；对于B ，根据图象可知，2A B x x π≤<，()f x 在(0,2)π有3个极大值点，()f x 在(0,2)π有2个或3个极小值点，故B 不正确，对于D ，因为5522452525A x T ππππωωωω=-+=-+⨯=，22933555B x T ππππωωωω=-+=-+⨯=，所以2429255πππωω≤<，解得1229510ω≤<，所以D 正确；对于C ，因为1123545410T ππππωωωω-+=-+⨯=，由图可知()f x 在3(0,)10πω上递增，因为29310ω<<，所以33(1)0101010πππωω-=-<，所以()f x 在(0,)10π上单调递增，故C 正确；故选：CD. 【点睛】本题考查了三角函数的相位变换，考查了正弦函数的对称轴和单调性和周期性，考查了极值点的概念，考查了函数的零点，考查了数形结合思想，属于中档题.11．已知函数123,12 ()1,222x xf x xf x⎧--≤≤⎪=⎨⎛⎫>⎪⎪⎝⎭⎩，则下列说法正确的是（）A．若函数()=-y f x kx有4个零点，则实数k的取值范围为11,246⎛⎫⎪⎝⎭B．关于x的方程*1()0()2nf x n N-=∈有24n+个不同的解C．对于实数[1,)x∈+∞，不等式2()30xf x-≤恒成立D．当1[2,2](*)n nx n N-∈∈时，函数()f x的图象与x轴围成的图形的面积为1【答案】AC【分析】根据函数的表达式，作出函数的图像，对于A，C利用数形结合进行判断，对于B，D利用特值法进行判断.【详解】当312x≤≤时，()22f x x=-；当322x<≤时，()42f x x=-；当23x<≤，则3122<≤x，1()1222⎛⎫==-⎪⎝⎭x xf x f；当34x<≤，则3222<≤x，1()2222⎛⎫==-⎪⎝⎭x xf x f；当46x<≤，则232<≤x，11()2242⎛⎫==-⎪⎝⎭x xf x f；当68x<≤，则342<≤x，1()1224⎛⎫==-⎪⎝⎭x xf x f；依次类推，作出函数()f x的图像：对于A，函数()=-y f x kx有4个零点，即()y f x=与y kx=有4个交点，如图，直线y kx =的斜率应该在直线m , n 之间，又16m k =，124=n k ，11,246⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭k ，故A 正确；对于B ，当1n =时，1()2f x =有3个交点，与246+=n 不符合，故B 错误；对于C ，对于实数[1,)x ∈+∞，不等式2()30xf x -≤恒成立，即3()2≤f x x恒成立，由图知函数()f x 的每一个上顶点都在曲线32y x =上，故3()2≤f x x恒成立，故C 正确；对于D ，取1n =，[1,2]x ∈，此时函数()f x 的图像与x 轴围成的图形的面积为111122⨯⨯=，故D 错误；故选：AC 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.12．已知定义在R 上的函数()f x 的图象连续不断，若存在常数()t t R ∈，使得()()0f x t tf x ++=对任意的实数x 成立，则称()f x 是回旋函数.给出下列四个命题中，正确的命题是（）A ．常值函数()(0)f x a a =≠为回旋函数的充要条件是1t =-；B ．若(01)x y a a =<<为回旋函数，则1t >；C ．函数2()f x x =不是回旋函数；D ．若()f x 是2t =的回旋函数，则()f x 在[0]4030，上至少有2015个零点. 【答案】ACD 【分析】A.利用回旋函数的定义即可判断；B.代入回旋函数的定义，推得矛盾，判断选项；C.利用回旋函数的定义，令0x =，则必有0t = ，令1x =，则2310t t ++=，推得矛盾；D.根据回旋函数的定义，推得()()22f x f x +=-，再根据零点存在性定理，推得零点的个数. 【详解】A.若()f x a =，则()f x t a +=，则0a ta +=，解得：1t =-，故A 正确；B.若指数函数()01xy a a =<<为回旋函数，则0x t x a ta ++=，即0t a t +=，则0t <，故B 不正确；C.若函数()2f x x =是回旋函数，则()220x t tx ++=，对任意实数都成立，令0x =，则必有0t = ，令1x =，则2310t t ++=，显然0t =不是方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故C 正确；D. 若()f x 是2t =的回旋函数，则()()220f x f x ++=，对任意的实数x 都成立，即有()()22f x f x +=-，则()2f x +与()f x 异号，由零点存在性定理得，在区间(),2x x +上必有一个零点，可令0,2,4,...20152x =⨯，则函数()f x 在[]0,4030上至少存在2015个零点，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】本题考查以新定义为背景，判断函数的性质，重点考查对定义的理解，应用，属于中档题型.13．已知函数4()nn f x x x=+(n 为正整数)，则下列判断正确的是（） A ．函数()f x 始终为奇函数B ．当n 为偶数时，函数()f x 的最小值为4C ．当n 为奇数时，函数()f x 的极小值为4D ．当1n =时，函数()y f x =的图象关于直线2y x =对称【答案】BC 【分析】由已知得()()4()nnf x x x -=-+-，分n 为偶数和n 为奇数得出函数()f x 的奇偶性，可判断A 和；当n 为偶数时，>0n x ，运用基本不等式可判断B ；当n 为奇数时，令n t x =，则>0,>0;0,0x t x t <<，构造函数4()g t t t=+，利用其单调性可判断C ；当1n =时，取函数4()f x x x=+上点()15P ，，求出点P 关于直线2y x =对称的对称点，代入可判断D.【详解】因为函数4()nn f x x x=+(n 为正整数)，所以()()4()n n f x x x -=-+-，当n 为偶数时，()()44()()nn nn f x x x f x xx -=-+=+=-，函数()f x 是偶函数；当n 为奇数时，()4()nnf x x f x x-=-+=--，函数()f x 是奇函数，故A 不正确；当n 为偶数时，>0n x ，所以4()4n n f x x x =+≥=，当且仅当4n n x x =时，即2>0n x =取等号，所以函数()f x 的最小值为4，故B 正确；当n 为奇数时，令n t x =，则>0,>0;0,0x t x t <<，函数()f x 化为4()g t t t=+，而4()g t t t=+在()()22-∞-+∞，，，上单调递增，在()()2002-，，，上单调递递减，所以4()g t t t =+在2t =时，取得极小值4(2)242g =+=，故C 正确；当1n =时，函数4()f x x x=+上点()15P ，，设点P 关于直线2y x =对称的对称点为()000P x y ，，则000051121+5+222y x x y -⎧=-⎪-⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得00175195x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即0171955P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，而将0171955P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入4()f x x x=+不满足，所以函数()y f x =的图象不关于直线2y x =对称，故D 不正确，故选：BC ．【点睛】本题考查综合考查函数的奇偶性，单调性，对称性，以及函数的最值，属于较难题.14．已知函数1(),f x x x =+221()g x x x=+则下列结论中正确的是（） A ．()()f x g x +是奇函数 B ．()()f x g x ⋅是偶函数 C ．()()f x g x +的最小值为4 D ．()()f x g x ⋅的最小值为2【答案】BC 【分析】利用奇偶性的定义可得A 错B 对；利用均值不等式可得C 对；利用换元求导可得D 错. 【详解】2211()()f x g x x x x x+=+++ ()22221111()()()f x g x x x x x x x x x ∴-+-=-++-+=+++-- ()()()()f x g x f x g x ∴+=-+- ()()f x g x ∴+是偶函数， A 错；221(1)()x x xf x xg x ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⋅=⎭()()22221111()()f x x x x xg x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+⋅-+=+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭-⎝∴-⋅-=⎭()()()()f x g x f x g x ∴-⋅-=⋅ ()()f x g x ∴⋅是偶函数，B 对；2211()()224f x g x x x x x +=+++≥+=，当且仅当1x x =和221=x x 时，等号成立，即当且仅当21x =时等号成立，C 对；221(1)()x x xf x xg x ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⋅=⎭令1t x x=+()2t ≥，则()23()()22f t t g t t x x ⋅-=-⋅= []232()()f x g x t '∴=-⋅，令2320t ->，得3t >或3t <- 2t ∴≥时，()()f x g x ⋅单调递增∴当2t =有最小值，最小值为4，D 错故选：BC. 【点睛】本题综合考查奇偶性、均值不等式、利用导数求最值等，对学生知识的运用能力要求较高，难度较大.15．下列命题正确的有（） A ．已知0,0a b >>且1a b +=，则1222a b -<< B．34a b ==a bab+= C ．323y x x x =--的极大值和极小值的和为6-D ．过(1,0)A -的直线与函数3y x x =-有三个交点，则该直线斜率的取值范围是1(,2)(2,)4-+∞ 【答案】ACD 【分析】由等式关系、指数函数的性质可求2a b -的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求a b ab+；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与3y x x =-有三个交点，即可知2()h x x x k =--有两个零点且1x =-不是其零点即可求斜率范围. 【详解】A 选项，由条件知1b a =-且01a <<，所以21(1,1)a b a -=-∈-，即1222a b -<<；B 选项，34a b ==log a =4log b =1212112(log 3log 4)2a b ab a b+=+=+=； C 选项，2361y x x '=--中>0∆且开口向上，所以存在两个零点12,x x 且122x x +=、1213x x =-，即12,x x 为y 两个极值点，所以2212121212121212()[()3]3[()2]()6y y x x x x x x x x x x x x +=++--+--+=-；D 选项，令直线为(1)y k x =+与3y x x =-有三个交点，即2()()(1)g x x x k x =--+有三个零点，所以2()h x x x k =--有两个零点即可 ∴140(1)20k h k ∆=+>⎧⎨-=-≠⎩，解得1(,2)(2,)4k ∈-+∞故选：ACD 【点睛】本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.16．对于定义在R 上的函数()f x ，若存在正实数a ，b ，使得()()f x a f x b +≤+对一切x ∈R 均成立，则称()f x 是“控制增长函数”.在以下四个函数中是“控制增长函数”的有（）A ．()xf x e =B ．()f x =C ．()()2sin f x x=D ．()sin f x x x =⋅【答案】BCD 【分析】假设各函数是“控制增长函数”，根据定义推断()()f x a f x b +≤+对一切x ∈R 恒成立的条件，并判断,a b 的存在性，即可得出结论. 【详解】对于A. ()()f x a f x b +≤+可化为22()()11x a x a x x b ++++≤+++，22ax a a b ≤--+0a >，不等式在x ∈R 上不恒成立，所以2()1f x x x =++不是“控制增长函数”；对于B. ()()f x a f x b +≤+可化为，b ≤，即2||||2x a x b +≤++恒成立.又||||x a x a +≤+，故只需保证2||||2x a x b +≤++.20,2a bbb->≥，当220a b-≤时，b≤恒成立，()f x∴=“控制增长函数”；对于C. ()21()sin1,()()2f x x f x a f x-≤=≤∴+-≤，2b∴≥时，a为任意正数，()()f x a f x b+≤+恒成立，()2()sinf x x∴=是“控制增长函数”；对于D. ()()f x a f x b+≤+化为，()sin()sinx a x a x x b++≤+，令2aπ=，则(2)sin sin,2sinx x x x b x bππ+≤+≤，当2bπ≥时，不等式()sin()sinx a x a x x b++≤+恒成立，()sinf x x x∴=⋅是“控制增长函数”.故选：BCD【点睛】本题考查了新定义的理解，函数存在成立和恒成立问题的研究.我们可先假设结论成立，再不断寻求结论成立的充分条件，找得到就是“控制增长函数”.如果找出了反例，就不是“控制增长函数”.17．设函数2,0()12,02xe xf xx x x⎧≤⎪=⎨-++>⎪⎩，对关于x的方程2()()20f x bf x b-+-=，下列说法正确的有（）．A．当2b=-+1个实根B．当32b=时，方程有5个不等实根C．若方程有2个不等实根，则17210b<≤D．若方程有6个不等实根，则322b-+<<【答案】BD【分析】先作出函数()f x的图象，进行换元()f x t=，将方程转化成关于t的二次方程，结合()f x 函数值的分布，对选项中参数值与根的情况逐一分析判断四个选项的正误即可.【详解】函数()22,0,0()132,01,022x x e x e x f x x x x x x ⎧⎧≤≤⎪⎪==⎨⎨-++>--+>⎪⎪⎩⎩，作图如下：由图可知，3(),2f x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，令()f x t =，则3,2t ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，则方程转化为220b bt t +-=-，即222()22204b b t t b t t b b ϕ⎛⎫=--- +-=+⎪-⎝=⎭选项A 中，223b =-+时方程为(22234230t t -+-=+，即(2310t +=，故31t =，即131,12()f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭=，看图知存在三个根，使得()31f x =，故A错误；选项B 中，32b =，方程即231022t t -+=，即22310t t -+=，解得1t =或12t =，当()1f x t ==时看图可知，存在3个根，当1()2f x t ==时看图可知，存在2个根，故共5个不等的实根，B 正确；选项C 中，方程有2个不等实根，则有两种情况：（1）122bt t ==，则31,22b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭或10,22b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，此时2204b b +--=，即2480b b -+=，解得223b =-±，132b =-2）12t t ≠时，即(]123,,02t t =∈-∞或(]12,,0t t ∈-∞.①当(]123,,02t t =∈-∞时132t =，代入方程得2220332b b +⎛⎫-⋅ ⎪⎝-=⎭，解得1710b =，由123210t t b =-=，得(]21,05t =∉-∞，不满足题意，舍去；②当(]12,,0t t ∈-∞时220b bt t +-=-，则()2420b b ∆=-->，1220t t b =-≥，120t t b +=<，解得223t <--，故C 错误；选项D 中，方程有6个不等实根，则1211,1,,122t t ⎛⎤⎛⎤∈∈⎥⎥⎝⎦⎝⎦且12t t ≠，222()2422b bt t b t t b b ϕ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭+-=+-图象如下：需满足：()2193024*********b b b b b ϕϕϕ⎧⎛⎫=-> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=-≥⎨⎪⎛⎫⎪=-+-< ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：32232b -+<<，故D 正确.故选：BD. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于对方程2()()20f x bf x b -+-=进行换元()f x t =，变成关于t 的二次方程根的分布问题，结合函数()f x 图象中函数值的分布情况来突破难点.18．已知函数()2,021,0x x ax x f x x -⎧+≤=⎨->⎩，则（）A ．()f x 的值域为()1,-+∞B ．当0a ≤时，()()21f x f x >+C ．当0a >时，存在非零实数0x ，满足()()000f x f x -+=D ．函数()()g x f x a =+可能有三个零点【答案】BC 【分析】A ．考虑2a =时的情况，求解出各段函数值域再进行判断；B ．先根据条件分析()f x 的单调性，再根据21x +与x 的大小关系进行判断；C ．作出222,,y x ax y x ax y x ax =+=-+=-+的函数图象，根据图象的对称性进行分析判断；D ．根据条件先分析出()0,1a ∈，再根据有三个零点确定出a 满足的不等式，由此判断出a 是否有解，并判断结论是否正确.【详解】A ．当0x >时，21011xy -=->-=-，当0x ≤时，22224a a y x ax x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，取2a =，此时()2111y x =+-≥-，所以此时的值域为[)1,-+∞，故A 错误；B ．当0a ≤时，22224a a y x ax x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭的对称轴为02a x =-≥，所以()f x 在(],0-∞上单调递减，又因为()f x 在()0,∞+上单调递减，且200021a -+⨯=-，所以()f x 在R 上单调递减，又因为22131024x x x ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭，所以21x x +>，所以()()21f x f x >+，故B 正确；C ．作出函数22,,21x y x ax y x ax y -=+=-+=-的图象如下图所示：由图象可知：22,y x ax y x ax =+=-+关于原点对称，且2y x ax =-+与21x y -=-相交于()00,x y ，因为点()00,x y 在函数2y x ax =-+的图象上，所以点()00,x y --在函数2y x ax =+的图象上，所以()()()00000f x f x y y +-=+-=，所以当0a >时，存在0x 使得()()000f x f x -+=，故C 正确；D ．由题意知：()f x a =-有三个根，所以()f x 不是单调函数，所以0a >，又因为()211,0xy -=-∈-，所以()1,0a -∈-，所以()0,1a ∈，且22,4a y x ax ⎡⎫=+∈-+∞⎪⎢⎣⎭，若方程有三个根，则有24a a ->-，所以4a >或0a <，这与()0,1a ∈矛盾，所以函数()()g x f x a =+不可能有三个零点，故D 错误，故选：BC. 【点睛】思路点睛：函数与方程的综合问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有：（1）确定方程根的个数；（2）求参数范围；（3）求不等式解集；（4）研究函数性质.19．已知函数ln ,0()1,x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，若函数(())y f f x a =+有6个不同零点，则实数a 的可能取值是（）A ．0B ．12-C ．1-D ．13-【答案】BD 【分析】分别代入各个选项中a 的值，选解出(())0f f x a +=中的()f x ，然后再根据数形结合可得出答案. 【详解】画出函数,0,()1,0lnx x f x x x ⎧>=⎨+⎩的图象：函数(())y f f x a =+有零点，即方程(())0f f x a +=有根的问题．对于A ：当0a =时，(())0f f x =，故()1f x =-，()1f x =，故0x =，2x =-，1=x e，x e =，故方程(())0f f x a +=有4个不等实根；对于B ：当12a =-时，1(())2f f x =，故1()2f x =-，()f x =()f x =，当1()2f x =-时，由图象可知，有1个根，当()f x =2个根，当()f x=时，由图象可知，有3个根，故方程(())0f f x a +=有6个不等实根；对于C ：当1a =-时，(())1f f x =，故()0f x =，()f x e =，1()f x e=，当()0f x =时，由图象可知，有2个根，当()f x e =时，由图象可知，有2个根，当1()f x e=时，由图象可知，有3个根，故方程(())0f f x a +=有7个不等实根；对于D ：当13a =-时，1(())3f f x =，故2()3f x =-，()f x =()f x ，当2()3f x =-时，由图象可知，有1个根，当()f x =2个根，当()f x =时，由图象可知，有3个根，故方程(())0f f x a +=有6个不等实根；故选：BD ．【点睛】关键点睛：本题的关键一是将问题转化为方程问题，二是先解出()f x 的值，三是根据数形结合得到每一个新的方程的根.20．下列命题正确的是（）A ．已知幂函数21()(1)m f x m x --=+在(0,)+∞上单调递减则0m =或2m =-B ．函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，一个大于0，一个小于0的一个充分不必要条件是1m <-．C ．已知函数31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++⎪-⎝⎭，若(21)0f a ->，则a 的取值范围为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．已知函数()f x 满足()()2f x f x -+=，1()x g x x+=，且()f x 与()g x 的图像的交点为()()()112288,,,,x y x y x y 则128128x x x y y y ++⋯++++⋯+的值为8【答案】BD 【分析】根据幂函数的性质，可判定A 不正确；根据二次函数的性质和充分条件、必要条件的判定，可得判定B 是正确；根据函数的定义域，可判定C 不正确；根据函数的对称性，可判定D 正确，即可求解. 【详解】对于A 中，幂函数21()(1)m f x m x--=+，可得11m +=±，解得0m =或2m =-，当0m =时，函数1()f x x -=在(0,)+∞上单调递减；当2m =-时，函数()f x x =在(0,)+∞上单调递增，所以A 不正确；对于B 中，若函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，且一个大于0，一个小于0，则满足(0)30f m =<，解得0m <，所以1m <-是函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，且一个大于0，一个小于0的充分不必要条件，所以B 是正确；对于C 中，由函数31()sin ln()1x f x x x x +=++-，则满足101xx+>-，解得11x -<<，即函数()f x 的定义域为(1,1)-，所以不等式(21)0f a ->中至少满足1211a -<-<，即至少满足01a <<，所以C 不正确；对于D 中，函数()f x 满足()()2f x f x -+=，可得函数()y f x =的图象关于(0,1)点对称，又由11()x x g x x x-+--==-，可得()()2g x g x -+=，所以函数()y g x =的图象关于(0,1)点对称，则1281280428x x x y y y ++⋯++++⋯+⨯+==，所以D 正确.故选：BD. 【点睛】本题主要考查了以函数的基本性质为背景的命题的真假判定，其中解答中熟记函数的基本性质，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.。

2025届高考数学一轮总复习第3章函数与基本初等函数第1节函数的概念及其表示新人教A版

解析因为f(x)=
故选D.
C.5
D.4
- + 1, < 0,
2=4,
所以f(-1)=-(-1)+1=2,所以f(f(-1))=f(2)=2
选择恰当的方法.
3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.
目录索引
1 强基础固本增分
知识梳理
1.函数的概念
一般地,设A,B是非空的实数集
,如果对于集合A中
的任意一个数x ,按照某种确定的对应关系f,在集合B
概念
中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为
从集合A到集合B的一个函数
2 0232,相当于1个x值对应两个y值,不符合函数定义,即A错误;对于B选项,
取x=0和x=π,有f(g(0))=f(0)=0,f(g(π))=f(0)=π2,不符合函数定义,所以B
错误;对于 C 选项,若 f(2x-1)=x
+1
+1 2
+1 2
,令 t=2x-1,得 x= ,则 f(t)=( ) ,即 f(x)=( ) ,
选BCD.
考点二函数的定义域
例 2(1)(2024·江西赣州模拟)若函数 f(x-1)的定义域为[-2,3],则函数
f(2x-4)
g(x)= x ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ -4
的定义域为( B )
1
A.[2,3]
1
B.[2,2)∪(2,3]
C.[-1,2)∪(2,4]
D.[-6,2)∪(2,4]
解析函数 f(x-1)的定义域为[-2,3],所以由-2≤x≤3,得-3≤x-1≤2,故 f(x)的定
√
.
+ 1 > 0,

浙江省2020版高考数学第三章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第2节二次函数习题(含解析)

第2节二次函数考试要求 1.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题；2.能解决一元二次方程根的分布问题；3.能解决二次函数的最值问题.知识梳理1.二次函数表达式的三种形式 (1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).(2)顶点式：y ＝a (x ＋h )2＋k (其中a ≠0，顶点坐标为(－h ，k )).(3)零点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(其中a ≠0，x 1，x 2是二次函数的图象与x 轴的两个交点的横坐标).2.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质3.二次函数的最值问题二次函数的最值问题主要有三种类型：“轴定区间定”“轴动区间定”“轴定区间动”.解决的关键是弄清楚对称轴与区间的关系，要结合函数图象，依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，则二次函数f (x )在闭区间[m ，n ]上的最大值、最小值有如下的分布情况：4.一元二次方程根的分布设方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的不等两根为x1，x2且x1<x2，相应的二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是等价条件)表一：(两根与k的大小比较)表二：(根在区间上的分布)若两根有且仅有一根在(m ，n )内，则需分三种情况讨论：①当Δ＝0时，由Δ＝0可以求出参数的值，然后再将参数的值代入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去；②当f (m )＝0或f (n )＝0，方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，从而检验另一根是否在区间(m ，n )内；③当f (m )·f (n )<0时，则两根有且仅有一根在(m ，n )内. [常用结论与易错提醒]不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件 (1)不等式ax2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c >0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0. (2)不等式ax2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c <0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.基础自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)如果二次函数f (x )的图象开口向上且关于直线x ＝1对称，且过点(0，0)，则此二次函数的解析式为f (x )＝(x －1)2－1.( )(2)已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫120，＋∞.( )(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )不可能是偶函数.( )(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈[a ，b ])的最值一定是4ac －b24a.( )答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×2.已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)的值是( ) A.5 B.－5 C.6D.－6解析由f (1)＝f (2)＝0知方程x 2＋px ＋q ＝0的两根分别为1，2，则p ＝－3，q ＝2，∴f (x )＝x 2－3x ＋2，∴f (－1)＝6.答案 C3.若方程x 2＋(m ＋2)x ＋m ＋5＝0只有负根，则m 的取值范围是( ) A.[4，＋∞) B.(－5，－4] C.[－5，－4]D.(－5，－2)解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（m ＋2）2－4×（m ＋5）≥0，x 1＋x 2＝－（m ＋2）<0，x 1x 2＝m ＋5>0，解得m ≥4.答案 A4.已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为( ) A.[0，1] B.[1，2] C.(1，2]D.(1，2)解析画出函数y ＝x 2－2x ＋3的图象(如图)，由题意知1≤m ≤2.答案 B5.已知方程x 2＋(m －2)x ＋2m －1＝0的较小的实根在0和1之间，则实数m 的取值范围是 .解析令f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋2m －1.由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m －1>0，1＋（m －2）＋2m －1<0，解得12<m <23.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 6.若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a 的取值范围是，且函数f (x )恒过点 .解析二次函数f (x )图象的对称轴是x ＝1－a ，由题意知1－a ≥3，∴a ≤－2.由函数的解析式易得，函数f (x )恒过定点(0，2). 答案 (－∞，－2] (0，2)考点一二次函数的解析式【例1】求下列函数的解析式：(1)(一题多解)已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8；(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4，3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x ). 解 (1)法一(利用一般式解题)：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0). 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二(利用顶点式解题)：设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0). ∵f (2)＝f (－1)，∴二次函数图象的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12，∴m ＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8.∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三(利用零点式解题)：由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数的最大值是8，即4a （－2a －1）－（－a ）24a ＝8，解得a ＝－4，∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. (2)∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立， ∴f (x )的对称轴为x ＝2.又∵f (x )的图象在x 轴上截得的线段长为2， ∴f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)，又∵f (x )的图象过点(4，3)，∴3a ＝3，∴a ＝1. ∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.规律方法用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，选法如下：【训练1】若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝ .解析由f (x )是偶函数知f (x )的图象关于y 轴对称， ∴b ＝－2，∴f (x )＝－2x 2＋2a 2，又f (x )的值域为(－∞，4]，∴2a 2＝4，故f (x )＝－2x 2＋4.答案－2x 2＋4考点二二次函数的图象与性质【例2】已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4，6]. (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4，6]上是单调函数； (3)当a ＝－1时，求f (|x |)的单调区间.解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4，6]， ∴f (x )在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增， ∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4，6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4，故a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞).(3)由－4≤|x |≤6，得－6≤x ≤6，当a ＝－1时，f (|x |)＝x 2－2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3＝（x ＋1）2＋2，x ≤0，x 2－2x ＋3＝（x －1）2＋2，x >0，其图象如图所示，∴f (|x |)在[－6，6]上的单调区间有[－6，－1)，[－1，0)，[0，1)，[1，6]. 规律方法解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论； (2)要注意数形结合思想的应用.【训练2】 (1)设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )(2)若函数f (x )＝ax 2＋2x ＋3在区间[－4，6]上是单调递增函数，则实数a 的取值范围是Ｗ.解析 (1)由A ，C ，D 知，f (0)＝c <0，从而由abc >0，所以ab <0，所以对称轴x ＝－b2a >0，知A ，C 错误，D 满足要求；由B 知f (0)＝c >0，所以ab >0，所以对称轴x ＝－b2a<0，B 错误.(2)由题意可知f ′(x )＝2ax ＋2≥0在[－4，6]上恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′（－4）＝－8a ＋2≥0，f ′（6）＝12a ＋2≥0，所以－16≤a ≤14.答案 (1)D (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，14考点三二次函数的最值【例3－1】已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a 的值. 解 f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38； (3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3.综上可知，a 的值为38或－3.【例3－2】将例3－1改为：求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1，2]上的最大值. 解 f (x )＝(x ＋a )2＋1－a 2，∴f (x )的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－a ， (1)当－a <12，即a >－12时，f (x )max ＝f (2)＝4a ＋5；(2)当－a ≥12，即a ≤－12时，f (x )max ＝f (－1)＝2－2a .综上，f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋5，a >－12，2－2a ，a ≤－12.规律方法研究二次函数的性质，可以结合图象进行；对于含参数的二次函数问题，要明确参数对图象的影响，进行分类讨论.【训练3】设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值. 解 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1. 当t ＋1<1，即t <0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t >1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t <0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t >1.考点四一元二次方程根的分布多维探究角度1 两根在同一区间【例4－1】若二次函数y ＝－x 2＋mx －1的图象与两端点为A (0，3)，B (3，0)的线段AB 有两个不同的交点，求实数m 的取值范围. 解线段AB 的方程为x 3＋y3＝1(x ∈[0，3])，即y ＝3－x (x ∈[0，3])，由题意得方程组：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3－x ，y ＝－x 2＋mx －1，消去y 得x 2－(m ＋1)x ＋4＝0，①由题意可得，方程①在x ∈[0，3]内有两个不同的实根，令f (x )＝x 2－(m ＋1)x ＋4，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（m ＋1）2－16>0，0≤m ＋12≤3，f （0）＝4≥0，f （3）＝10－3m ≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m <－5或m >3，－1≤m ≤5，m ≤103，所以3<m ≤103.故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤3，103.角度2 两根在不同区间【例4－2】求实数m 的取值范围，使关于x 的方程x 2＋2(m －1)x ＋2m ＋6＝0. (1)一根大于1，另一根小于1； (2)两根α，β满足0<a <1<β<4； (3)至少有一个正根.解令f (x )＝x 2＋2(m －1)x ＋2m ＋6， (1)由题意得f (1)＝4m ＋5<0，解得m <－54.即实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－54. (2)⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝2m ＋6>0，f （1）＝4m ＋5<0，f （4）＝10m ＋14>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m >－3，m <－54，m >－75，所以－75<m <－54.故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－75，－54.(3)当方程有两个正根时，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4（m －1）2－4（2m ＋6）>0，f （0）＝2m ＋6>0，－2（m －1）>0，解得－3<m <－1.当方程有一个正根一个负根时，f (0)＝2m ＋6<0，解得m <－3. 当方程有一个根为零时，f (0)＝2m ＋6＝0，解得m ＝－3，此时f (x )＝x 2－8x ，另一根为8，满足题意. 综上可得，实数m 的取值范围是(－∞，－1). 角度3 在区间(m ，n )内有且只有一个实根【例4－3】已知函数f (x )＝mx 2－2x ＋1有且仅有一个正实数的零点，求实数m 的取值范围. 解依题意，得(1)⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝（－2）2－4m >0，无解.f （0）<0， (2)⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝（－2）2－4m >0，解得m <0.f （0）>0，(3)⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ＝（－2）2－4m ＝0. 解得m ＝1，经验证，满足题意.又当m ＝0时，f (x )＝－2x ＋1，它显然有一个为正实数的零点. 综上所述，m 的取值范围是(－∞，0]∪{1}.规律方法利用二次函数图象解决方程根的分布的一般步骤： (1)设出对应的二次函数；(2)利用二次函数的图象和性质列出等价不等式(组)； (3)解不等式(组)求得参数的范围.【训练4】 (1)已知二次函数y ＝(m ＋2)x 2－(2m ＋4)x ＋(3m ＋3)与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围.(2)若关于x 的方程x 2＋2(m －1)x ＋2m ＋6＝0有且只有一根在区间(0，3)内，求实数m 的取值范围.解 (1)令f (x )＝(m ＋2)x 2－(2m ＋4)x ＋(3m ＋3).由题意可知(m ＋2)·f (1)<0，即(m ＋2)(2m ＋1)<0，所以－2<m <－12.即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12. (2)令f (x )＝x 2＋2(m －1)x ＋2m ＋6，①⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4（m －1）2－4（2m ＋6）＝0，0<－（m －1）<3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1或m ＝5，－2<m <1，所以m ＝－1.②f (0)·f (3)＝(2m ＋6)(8m ＋9)<0，解得－3<m <－98.③f (0)＝2m ＋6＝0，即m ＝－3时，f (x )＝x 2－8x ，另一根为8∉(0，3)，所以舍去； ④f (3)＝8m ＋9＝0，即m ＝－98时，f (x )＝x 2－174x ＋154，另一根为54∈(0，3)，满足条件.综上可得，－3<m ≤－98或m ＝－1.所以实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－3，－98∪{－1}.基础巩固题组一、选择题1.已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A.a >0，4a ＋b ＝0 B.a <0，4a ＋b ＝0 C.a >0，2a ＋b ＝0D.a <0，2a ＋b ＝0解析因为f (0)＝f (4)>f (1)，所以函数图象应开口向上，即a >0，且其对称轴为x ＝2，即－b2a ＝2，所以4a ＋b ＝0.答案 A2.设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0，1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是( ) A.(－∞，0]B.[2，＋∞)C.(－∞，0]∪[2，＋∞)D.[0，2]解析 f (x )的对称轴为x ＝1，由f (x )在[0，1]上递减知a >0，且f (x )在[1，2]上递增，f (0)＝f (2)，∵f (m )≤f (0)，结合对称性，∴0≤m ≤2. 答案 D3.若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0，2]上的最大值为1，则实数a 等于( ) A.－1 B.1 C.2D.－2解析 ∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间的端点取得. ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥4－3a ，－a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1. 答案 B4.已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋b (a ，b ∈R )，记f (x )在[a －b ，a ＋b ]上的最大值为M ，最小值为m ，则M －m ( ) A.与a 有关，且与b 有关 B.与a 无关，且与b 无关 C.与a 有关，但与b 无关D.与a 无关，但与b 有关解析函数f (x )＝x 2－2ax ＋b ＝(x －a )2－a 2＋b ，所以f (x )的对称轴为x ＝a 且开口向上，因为区间[a －b ，a ＋b ]也关于x ＝a 对称，所以m ＝f (a )＝b －a 2，M ＝f (a －b )＝f (a ＋b )＝b 2－a 2＋b ，所以M －m ＝b 2，故选D. 答案 D5.(2019·嘉兴检测)若f (x )＝x 2＋bx ＋c 在(m －1，m ＋1)内有两个不同的零点，则f (m －1)和f (m ＋1)( ) A.都大于1 B.都小于1 C.至少有一个大于1D.至少有一个小于1解析设函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的两个零点为x 1，x 2，则f (x )＝(x －x 1)(x －x 2)，因为函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的两个零点在(m －1，m ＋1)内，所以f (m －1)>0，f (m ＋1)>0，又因为f (m－1)f (m ＋1)＝(m －1－x 1)(m －1－x 2)·(m ＋1－x 1)(m ＋1－x 2)＝[－(m －1－x 1)(m ＋1－x 1)]·[－(m －1－x 2)(m ＋1－x 2)]<[－（m －1－x 1）＋（m ＋1－x 1）]24·[－（m －1－x 2）＋（m ＋1－x 2）]24＝1，所以f (m－1)和f (m ＋1)至少有一个小于1，故选D. 答案 D6.若函数f (x )＝x 2＋kx ＋m 在[a ，b ]上的值域为[n ，n ＋1]，则b －a ( ) A.既有最大值，也有最小值 B.有最大值但无最小值 C.无最大值但有最小值D.既无最大值，也无最小值解析取k ＝m ＝n ＝0，f (x )＝x 2，由图象可知，显然b －a 不存在最小值.∵f (a )＝a 2＋ka ＋m ，f (b )＝b 2＋kb ＋m ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＋m ，∴（b －a ）22＝f (a )＋f (b )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤n ＋1＋n ＋1－2n ＝2，∴b －a ≤2，当b ＝2－k 2，a ＝－2＋k2时，b －a 取得最大值为2，故选B. 答案 B7.(2016·浙江卷)已知函数f (x )＝x 2＋bx ，则“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 ∵f (x )＝x 2＋bx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 22－b24，当x ＝－b 2时，f (x )min ＝－b 24.又f (f (x ))＝(f (x ))2＋bf (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫f （x ）＋b 22－b 24，当f (x )＝－b 2时，f (f (x ))min ＝－b 24，当－b2≥－b 24时，f (f (x ))可以取到最小值－b 24，即b 2－2b ≥0，解得b ≤0或b ≥2，故“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的充分不必要条件. 答案 A8.函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－b2a 对称.据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集不可能是( ) A.{1，2} B.{1，4} C.{1，2，3，4}D.{1，4，16，64}解析 ∵f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为x ＝－b2a .设方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解为f 1(x )，f 2(x )，则必有f 1(x )＝y 1＝ax 2＋bx ＋c ，f 2(x )＝y 2＝ax 2＋bx ＋c ，那么从图象上看y ＝y 1，y ＝y 2是平行x 轴的两条直线，它们与f (x )有交点，由对称性，方程y 1＝ax 2＋bx ＋c ＝0的两个解x 1，x 2应关于对称轴x ＝－b2a 对称，即x 1＋x 2＝－ba ，同理方程y 2＝ax 2＋bx ＋c ＝0的两个解x 3，x 4也关于对称轴x ＝－b2a对称，即x 3＋x 4＝－b a，在C 中，可以找到对称轴直线x ＝2.5，也就是1，4为一个方程的根，2，3为一个方程的根，而在D 中，找不到这样的组合使得对称轴一致，也就是说无论怎样分组，都没办法使得其中两个的和等于另外两个的和，故答案D 不可能. 答案 D9.(2019·衢州二中二模)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )，若存在非零实数t ，使得f (t )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＝－2成立，则a 2＋4b 2的最小值为( )A.165B.145C.16D.4 解析由f (t )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＝－2知，存在实数t ≠0，使⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ＋2b ＝0成立，又a 2＋4b 2的几何意义为坐标原点与点(a ，2b )的距离的平方，记2b ＝m ，u ＝t ＋1t，则u 2≥4.故⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2＋a ⎝⎛⎭⎪⎫t ＋1t ＋2b ＝0，即ua ＋m ＋u 2＝0，其表示动点(a ，m )的轨迹，设为直线l ，则原点与点(a ，m )的距离的最小值为原点到直线l 的距离，故a 2＋4b 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫u 2u 2＋12＝⎝⎛⎭⎪⎫u 2＋1－1u 2＋12≥165，故选A. 答案 A 二、填空题10.已知b ，c ∈R ，函数y ＝x 2＋2bx ＋c 在区间(1，5)上有两个不同的零点，则f (1)＋f (5)的取值范围是 .解析设f (x )的两个零点为x 1，x 2，不妨设1<x 1<x 2<5，则f (1)>f (x 1)＝0，f (5)>f (x 2)＝0，所以f (1)＋f (5)>0.另一方面f (x )＝(x －x 1)·(x －x 2)，所以f (1)＋f (5)＝(1－x 1)·(1－x 2)＋(5－x 1)(5－x 2)＝2x 1x 2－6(x 1＋x 2)＋26<2x 1x 2－12x 1x 2＋26＝2(x 1x 2－3)2＋8<2(25－3)2＋8＝16，所以f (1)＋f (5)的取值范围是(0，16).答案 (0，16)11.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2（x ≥t ），x （x <t ），若存在实数t ，使函数y ＝f (x )－a 有两个零点，则t 的取值范围是 .解析由题意知函数f (x )在定义域上不单调，如图，当t ＝0或t ≥1时，f (x )在R 上均单调递增，当t <0时，在(－∞，t )上f (x )单调递增，且f (x )<0，在(t ，0)上f (x )单调递减，且f (x )>0，在(0，＋∞)上f (x )单调递增，且f (x )>0.故要使得函数y ＝f (x )－a 有两个零点，则t 的取值范围为(－∞，0)∪(0，1).答案 (－∞，0)∪(0，1)12.(2019·诸暨统考)已知a ，b 都是正数，a 2b ＋ab 2＋ab ＋a ＋b ＝3，则2ab ＋a ＋b 的最小值等于 .解析设2ab ＋a ＋b ＝t ，则t >0，且3＝ab (a ＋b )＋ab ＋a ＋b ＝ab (t －2ab )＋t －ab ，故关于ab 的二次方程2(ab )2＋(1－t )ab ＋3－t ＝0的解为正数，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（1－t ）2－8（3－t ）≥0，t －12>0，3－t 2>0，解得42－3≤t <3，即2ab ＋a ＋b 的最小值等于42－3.答案 42－313.已知f (x ＋1)＝x 2－5x ＋4. (1)f (x )的解析式为；(2)当x ∈[0，5]时，f (x )的最大值和最小值分别是 . 解析 (1)f (x ＋1)＝x 2－5x ＋4，令x ＋1＝t ，则x ＝t －1， ∴f (t )＝(t －1)2－5(t －1)＋4＝t 2－7t ＋10，∴f (x )＝x 2－7x ＋10.(2)∵f (x )＝x 2－7x ＋10，其图象开口向上，对称轴为x ＝72，72∈[0，5]，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝－94，又f (0)＝10，f (5)＝0.∴f (x )的最大值为10，最小值为－94.答案 (1)x 2－7x ＋10 (2)10，－9414.(2018·浙江卷)已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ.当λ＝2时，不等式f (x )<0的解集是 .若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是 .解析若λ＝2，则当x ≥2时，令x －4<0，得2≤x <4；当x <2时，令x 2－4x ＋3<0，得1<x <2.综上可知1<x <4，所以不等式f (x )<0的解集为(1，4).令x －4＝0，解得x ＝4；令x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3.因为函数f (x )恰有2个零点，结合函数的图象(图略)可知1<λ≤3或λ>4.答案 (1，4) (1，3]∪(4，＋∞)能力提升题组15.(2019·杭州质检)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )，记M 为函数y ＝|f (x )|在[－1，1]上的最大值，N 为|a |＋|b |的最大值( ) A.若M ＝13，则N ＝3B.若M ＝12，则N ＝3C.若M ＝2，则N ＝3D.若M ＝3，则N ＝3解析由题意得|f (1)|＝|1＋a ＋b |≤M ⇒|a ＋b |≤M ＋1，|f (－1)|＝|1－a ＋b |≤M ⇒|a －b |≤M ＋1.|a |＋|b |＝⎩⎪⎨⎪⎧|a ＋b |，ab ≥0，|a －b |，ab <0，则易知N ≤M ＋1，则选项A ，B 不符合题意；当a ＝2，b ＝－1时，M ＝2，N ＝3，则选项C 符合题意；当a ＝2，b ＝－2时，M ＝3，N ＝4，则选项D不符合题意，故选C. 答案 C16.(2019·丽水测试)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，集合A ＝{x |f (x )≤0}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪f （f （x ））≤54，若A ＝B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A.[5，5]B.[－1，5]C.[5，3]D.[－1，3]解析设集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |f （f （x ））≤54＝{x |m ≤f (x )≤n }，其中m ，n 为方程f (x )＝54的两个根，因为A ＝B ≠∅，所以n ＝0且m ≤f (x )min ，Δ＝a 2－4b ≥0，于是f (n )＝f (0)＝b ＝54，则由a 2－4b ＝a 2－5≥0得a ≤－5或a ≥5，令t ＝f (x )≤0，则由f (f (x ))≤54得f (t )≤54，即t 2＋at ＋54≤54，解得－a ≤t ≤0，所以B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |f （f （x ））≤54＝{x |m ≤f (x )≤n }＝{x |－a ≤f (x )≤0}，解得m ＝－a ，所以－a ≤f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 22＋a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＋54，解得－1≤a ≤5.综上所述，实数a 的取值范围为[5，5]，故选A. 答案 A17.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx (|b |≤2|a |)，定义f 1(x )＝max{f (t )|－1≤t ≤x ≤1}，f 2(x )＝min{f (t )|－1≤t ≤x ≤1}，其中max{a ，b }表示a ，b 中的较大者，min{a ，b }表示a ，b 中的较小者，下列命题正确的是( ) A.若f 1(－1)＝f 1(1)，则f (－1)>f (1) B.若f 2(－1)＝f 2(1)，则f (－1)>f (1) C.若f 2(1)＝f 1(－1)，则f 1(－1)<f 1(1) D.若f 2(1)＝f 1(－1)，则f 2(－1)>f 2(1)解析对于A ，若f 1(－1)＝f 1(1)，则f (－1)为f (x )在[－1，1]上的最大值，∴f (－1)>f (1)或f (－1)＝f (1)，故A 错误；对于B ，若f 2(－1)＝f 2(1)，则f (－1)为f (x )在[－1，1]上的最小值，∴f (－1)<f (1)或f (－1)＝f (1)，故B 错误；对于C ，若f 2(1)＝f 1(－1)，则f (－1)为f (x )在[－1，1]上的最小值，而f 1(－1)＝f (－1)，f 1(1)表示f (x )在[－1，1]上的最大值，∴f 1(－1)<f 1(1)，故C 正确；对于D ，若f 2(1)＝f 1(－1)，由新定义可得f 1(－1)＝f 2(－1)，则f 2(1)＝f 2(－1)，故D 错误，综上所述，故选C. 答案 C18.(2019·绍兴适应性考试)已知a >0，函数f (x )＝|x 2＋|x －a |－3|在[－1，1]上的最大值是2，则a ＝ .解析由题意知f (0)≤2，即有||a |－3|≤2，又∵a >0，∴||a |－3|≤2⇒|a －3|≤2⇒1≤a≤5.又∵x ∈[－1，1]，∴f (x )＝|x 2－x －3＋a |≤2，设t ＝x 2－x －3，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－134，－1，则原问题等价于t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－134，－1时，|t ＋a |＝|t －(－a )|的最大值为2，∴a ＝3或a ＝54. 答案 3或5419.已知方程x 2＋bx ＋c ＝0在(0，2)上有两个不同的解，则c 2＋2(b ＋2)c 的取值范围是 .解析设方程x 2＋bx ＋c ＝0在(0，2)上的两个根为α，β，α≠β，则f (x )＝x 2＋bx ＋c ＝(x －α)(x －β)，0<α<2且0<β<2，所以c 2＋2(b ＋2)c ＝f (0)·f (2)＝αβ(2－α)(2－β)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋（2－α）22⎣⎢⎡⎦⎥⎤β＋（2－β）22＝1，又0<α<2且0<β<2，所以αβ(2－α)(2－β)>0，所以c 2＋2(b ＋2)c 的取值范围是(0，1]. 答案 (0，1]20.已知函数f (x )＝ax ＋3＋|2x 2＋(4－a )x －1|的最小值为2，则a ＝ .解析令g (x )＝2x 2＋(4－a )x －1＝0，Δ＝(4－a )2＋8>0，则g (x )＝0有两个不相等的实数根，不妨设为x 1，x 2(x 1<x 2)，则x 1＝a －4－（4－a ）2＋84，x 2＝a －4＋（4－a ）2＋84，当x ∈[x 1，x 2]时，f (x )＝ax ＋3－[2x 2＋(4－a )x －1]＝－2x 2＋(2a －4)x ＋4，当x ∈(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)时，f (x )＝ax ＋3＋[2x 2＋(4－a )x －1]＝2(x ＋1)2≥0，因为f (x )的最小值为2，则f (x )min ＝min{f (x 1)，f (x 2)}，即ax 1＋3＝2或ax 2＋3＝2，解得a ＝12.答案 12。

2020届高考数学一轮复习单元检测二函数概念与基本初等函数Ⅰ(提升卷)单元检测文(含解析)新人教A版

单元检测二函数概念与基本初等函数Ⅰ(提升卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间100分钟，满分130分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )＝1lg x ＋2－x 的定义域为( ) A ．(－∞，2] B ．(0，1)∪(1，2]C ．(0，2]D ．(0，2) 答案 B解析要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，lg x ≠0，2－x ≥0，解得0<x ≤2且x ≠1. 2．(2019·哈尔滨师大附中模拟)与函数y ＝x 相同的函数是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝x 2xC ．y ＝(x )2D ．y ＝log a a x (a >0且a ≠1) 答案 D解析 A 中对应关系不同；B 中定义域不同；C 中定义域不同；D 中对应关系，定义域均相同，是同一函数．3．下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是( )A ．y ＝－1xB ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x C ．y ＝x 3D ．y ＝log 2x 答案 C 解析 y ＝－1x 在其定义域内既不是增函数，也不是减函数；y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在其定义域内既不是偶函数，也不是奇函数；y ＝x 3在其定义域内既是奇函数，又是增函数；y ＝log 2x 在其定义域内既不是偶函数，也不是奇函数．4．已知f (x )＝x －x 2，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝x 2－x 4B ．f (x )＝x －x 2C ．f (x )＝x 2－x 4(x ≥0)D ．f (x )＝x －x (x ≥0) 答案 C解析因为f (x )＝(x )2－(x )4，所以f (x )＝x 2－x 4(x ≥0)．5．(2019·宁夏银川一中月考)二次函数f (x )＝4x 2－mx ＋5，对称轴x ＝－2，则f (1)的值为( )A ．－7B ．17C ．1D ．25答案 D解析函数f (x )＝4x 2－mx ＋5的图象的对称轴为x ＝－2，可得m 8＝－2，解得m ＝－16，所以f (x )＝4x 2＋16x ＋5. 则f (1)＝4＋16＋5＝25.6．若a ＝30.3，b ＝log π3，c ＝log 0.3e ，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．b >c >a 答案 A解析因为0<0.3<1，e>1，所以c ＝log 0.3e<0，由于0.3>0，所以a ＝30.3>1，由1<3<π，得0b >c .7．已知f (x ＋1)＝－ln x ＋3x －1，则函数f (x )的图象大致为( )答案 A解析由题意得f (x ＋1)＝－ln x ＋3x －1＝－ln (x ＋1)＋2(x ＋1)－2，所以f (x )＝－ln x ＋2x －2＝ln x －2x ＋2.由x －2x ＋2>0，解得定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，故排除B.因为f (－x )＝ln －x －2－x ＋2＝ln x ＋2x －2＝－ln x －2x ＋2＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，排除C.又f (3)＝ln 15<0，故排除D. 8．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ，当x ∈[m ，5]时，f (x )的值域是[－5，4]，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，2]C ．[－1，2]D ．[2，5]答案 C解析 f (x )＝－(x －2)2＋4，所以当x ＝2时，f (2)＝4.由f (x )＝－5，解得x ＝5或x ＝－1.所以要使函数f (x )在区间[m ，5]上的值域是[－5，4]，则－1≤m ≤2.9．(2018·南昌模拟)已知函数f (x )的图象关于y 轴对称，且f (x )在(－∞，0]上单调递减，则满足f (3x ＋1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，－16 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－16 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，－16 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－16 答案 B解析由函数f (x )的图象关于y 轴对称，且f (x )在(－∞，0]上单调递减，得f (x )在(0，＋∞)上单调递增．又f (3x ＋1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以|3x ＋1|<12，解得－12<x <－16. 10．(2018·孝感模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 3(x 2＋t )，x <0，2(t ＋1)x ，x ≥0，且f (1)＝6，则f (f (－2))的值为( )A ．12B ．18C.112D.118答案 A解析 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 3(x 2＋t )，x <0，2(t ＋1)x ，x ≥0，∴f (1)＝2(t ＋1)＝6，解得t ＝2.∴f (－2)＝log3(4＋2)＝log36，f (f (－2))＝12.11.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ＝DC ＝2，CB ＝2，动点P 从点A 出发，由A →D →C →B 沿边运动，点P 在AB 上的射影为Q .设点P 运动的路程为x ，△APQ 的面积为y ，则y ＝f (x )的图象大致是( )答案 D解析根据题意可得到y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 14x 2，0≤x ≤2，22x ＋1－2，2<x <4，－2＋22(x －4－2)，4≤x ≤4＋2，由二次函数和一次函数的图象可知f (x )的图象只能是D.12．定义在R 上的函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，且f (x ＋1)是偶函数．若当x ∈[0，1]时，f (x )＝sin π2x ，则函数y ＝f (x )与y ＝e －|x |的图象在区间[－2 020，2 020]上的交点个数为( )A ．2019B ．2020C ．4038D ．4040答案 D解析因为函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，所以函数y ＝f (x )图象的对称轴为直线x ＝0，故y ＝f (x )是偶函数，即f (－x )＝f (x )．又f (x ＋1)是偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)．故f (x ＋2)＝f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是周期为2的偶函数．又当x ∈[0，1]时，f (x )＝sin π2x ，作出y ＝f (x )与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e |x |的图象，如图所示．结合图象可知在每个周期内，两函数的图象有2个交点，所以在区间[－2 020，2 020]上的交点个数为2020×2＝4040.第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．幂函数f (x )＝(m 2－m －1)223m m x +-在区间(0，＋∞)内为增函数，则实数m 的值为______．答案 2解析根据题意得m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.因为当x ∈(0，＋∞)时，f (x )为增函数，所以当m ＝2时，m 2＋2m －3＝5，幂函数为f (x )＝x 5，满足题意；当m ＝－1时，m 2＋2m －3＝－4，幂函数为f (x )＝x －4，不满足题意．综上，m ＝2.14．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，且当0≤x <1时，f (x )＝2x＋a ，f (1)＝0，则f (－3)＋f (14－log 27)＝________.答案－34解析易知f (－3)＝f (1)＝0，由f (x )是奇函数，知f (0)＝0，所以20＋a ＝0，所以a ＝－1.因为log 27＝2＋log 274，所以f (14－log 27)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 274＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫log 274＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫74－1＝－34，则f (－3)＋f (14－log 27)＝0－34＝－34. 15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －a ，x ≤0，x 2－3ax ＋a ，x >0有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤49，1 解析如图，要使函数f (x )的图象和x 轴有三个交点，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，3a 2>0，9a 2－4a >0，解得49<a ≤1. 16．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数．例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f (x )＝e x1＋e x －12，则函数y ＝[f (x )]＋[f (－x )]的值域是________．答案 {－1，0} 解析因为f (x )＝e x －12(e x ＋1)，则f (－x )＝1－e x 2(1＋e x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．因为函数f (x )＝e x1＋e x －12＝12－1e x ＋1，又e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，故－12<12－1e x ＋1<12.当f (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0时，[f (x )]＝－1，[f (－x )]＝0；当f (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，[f (x )]＝0，[f (－x )]＝－1；当f (x )＝0时，[f (x )]＝0，[f (－x )]＝0.所以函数y ＝[f (x )]＋[f (－x )]的值域为{－1，0}．三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax，a 为常数，且函数的图象过点(－1，2)．(1)求常数a 的值；(2)若g (x )＝4－x －2，且存在x ，使g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值．解 (1)由已知得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a＝2，解得a ＝1.(2)由(1)知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，因为存在x ，使g (x )＝f (x )，所以4－x －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，即⎝ ⎛⎭⎪⎫14x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－2＝0，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－2＝0有解，令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝t (t >0)，则t 2－t －2＝0，即(t －2)(t ＋1)＝0，解得t ＝2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝2，解得x ＝－1，故满足条件的x 的值为－1.18．(12分)已知函数f (x )＝3x ＋7x ＋2，x ∈(－2，2)．(1)判断函数f (x )的单调性；(2)解不等式12log [f (－2m ＋3)]>12log [f (m 2)]．解 (1)任取x 1，x 2∈(－2，2)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝3x 1＋7x 1＋2－3x 2＋7x 2＋2＝(3x 1＋7)(x 2＋2)－(3x 2＋7)(x 1＋2)(x 1＋2)(x 2＋2)＝x 2－x 1(x 1＋2)(x 2＋2). ∵x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，又x 1，x 2∈(－2，2)，∴x 1＋2>0，x 2＋2>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．∴函数f (x )＝3x ＋7x ＋2，x ∈(－2，2)为减函数． (2)由(1)知函数f (x )在(－2，2)上为减函数，易知f (x )>0， ∴12log [f (－2m ＋3)]>12log [f (m 2)]等价于f (－2m ＋3)<f (m 2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2<－2m ＋3<2，－2<m 2<2，－2m ＋3>m 2，解得12<m <1. 故所求不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 19．(13分)小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为(25－x )万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)解 (1)设大货车运输到第x 年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y 万元，则y ＝25x －[6x ＋x (x －1)]－50＝－x 2＋20x －50(0<x ≤10，x ∈N *)．由－x 2＋20x －50>0，可得10－52<x <10＋5 2.又2<10－52<3，故大货车运输到第3年年底，该车运输累计收入超过总支出．(2)∵利润＝累计收入＋销售收入－总支出，∴二手车出售后，小张的年平均利润为y ＝y ＋(25－x )x ＝19－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤19－2x ×25x ＝19－10＝9，当且仅当x ＝5时，等号成立．∴小王应当在第5年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大．20．(13分)已知函数f (x )＝log 2(4x＋1)－x .(1)若函数y ＝f (x )－x －a 没有零点，求实数a 的取值范围；(2)若函数h (x )＝2f (x )＋x ＋m ·2x －1，x ∈[0，log 23]的最小值为0，求实数m 的值．解 (1)函数y ＝f (x )－x －a 没有零点，即关于x 的方程log 2(4x＋1)－2x ＝a 无实数根．令g (x )＝log 2(4x＋1)－2x ，则函数y ＝g (x )的图象与直线y ＝a 无交点．因为g (x )＝log 2(4x ＋1)－2x ＝log 2(4x ＋1)－log 24x＝log 24x ＋14x ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14x ，又1＋14x >1，所以g (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14x >0.所以实数a 的取值范围是(－∞，0]．(2)由题意得h (x )＝4x ＋m ·2x ，x ∈[0，log 23]．令t ＝2x ∈[1，3]，则φ(t )＝t 2＋mt ，t ∈[1，3]．①当－m2≤1，即m ≥－2时，φ(t )min ＝φ(1)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1； ②当1<－m2<3，即－6<m <－2时，φ(t )min ＝φ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2＝－m24＝0，解得m ＝0(舍去)．③当－m2≥3，即m ≤－6时，φ(t )min ＝φ(3)＝9＋3m ＝0，解得m ＝－3(舍去)，综上可知，实数m 的值为－1.。

2020版高考数学大一轮复习第三章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第1节函数及其表示习题含解析

第1节函数及其表示考试要求 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段).知识梳理1.函数与映射的概念2.函数的定义域、值域(1)在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数. 3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. [常用结论与易错提醒]1.由函数解析式确定定义域的原则(1)分式中，分母不为0； (2)偶次根式中，被开方数非负；(3)对于幂函数y ＝x α，如果α≤0，要求x ≠0； (4)对数函数中，真数大于0，底数大于0且不等于1； (5)指数函数的底数大于0且不等于1；(6)正切函数y ＝tan x 要求x ≠k π＋12π，k ∈Z .2.与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点.基础自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数.( )(2)与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点.( ) (3)函数y ＝x 2＋1－1的值域是{y |y ≥1}.( )(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.( )解析 (1)函数y ＝1的定义域为R ，而y ＝x 0的定义域为{x |x ≠0}，其定义域不同，故不是同一函数.(3)由于x 2＋1≥1，故y ＝x 2＋1－1≥0，故函数y ＝x 2＋1－1的值域是{y |y ≥0}. (4)若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.(必修1P25B2改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析 A 中函数定义域不是[－2，2]，C 中图形不表示函数图象，D 中函数值域不是[0，2]. 答案 B3.设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝( ) A.(1，2) B.(1，2] C.(－2，1)D.[－2，1)解析由4－x 2≥0得－2≤x ≤2，∴A ＝[－2，2]，由1－x ＞0得x ＜1，∴B ＝ (－∞，1).∴A ∩B ＝[－2，1)，故选D.答案 D4.已知a 为实数，设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a，x ≤2，log 2（x －2），x ＞2，则f (2a＋2)的值为( )A.2aB.aC.2D.a 或2解析因为2a＋2＞2，所以f (2a＋2)＝log 2(2a＋2－2)＝a ，故选B. 答案 B5.设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )＝__________. 解析由题意得g (x ＋2)＝2x ＋3＝2(x ＋2)－1， ∴g (x )＝2x －1. 答案 2x －16.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x ＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝__________，方程f (f (x ))＝1的解集为__________.解析因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12＝eln 12＝12.令f (x )＝t ，由f (t )＝1，解得t ＝0或t ＝e ，所以再解f (x )＝0及f (x )＝e ，解得x ＝1或x ＝e e ，所以方程f (f (x ))＝1的解集为{1，e e}. 答案 12{1，e e}考点一求函数的定义域【例1】 (1)(2019·金丽衢十二校联考)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________，值域是________.(2)若函数y ＝f (x )的定义域是[1，2 020]，则函数g (x )＝f （x ＋1）x －1的定义域是____________.解析 (1)由3－2x －x 2≥0，得－3≤x ≤1，所以函数y ＝3－2x －x 2的定义域为[－3，1].当x ＝－1时，y ＝3－2x －x 2取得最大值2，当x ＝1或－3时，y ＝3－2x －x 2取得最小值0，所以函数y ＝3－2x －x 2的值域为[0，2]. (2)∵y ＝f (x )的定义域为[1，2 020]，∴g (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋1≤2 020，x －1≠0.∴0≤x ≤2 019，且x ≠1.因此g (x )的定义域为{x |0≤x ≤2 019，且x ≠1}.答案 (1)[－3，1] [0，2] (2){x |0≤x ≤2 019，且x ≠1} 规律方法求函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解. (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.(3)若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域可由a ≤g (x )≤b 求出；若已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域.【训练1】 (1)(2019·杭州高级中学测试)已知函数f (x )＝x 的定义域为(1，2)，则函数f (x 2)的定义域是( )A.(1，2)B.(1，4)C.RD.(－2，－1)∪(1，2)(2)已知函数f (x )＝2x 2－2ax ＋a －1，当a ＝1时不等式f (x )≥1的解集是________；若函数f (x )的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)由题意，得1<x 2<2，解得－2<x <－1或1<x <2，即函数f (x 2)的定义域是(－2，－1)∪(1，2)，故选D.(2)当a ＝1时，f (x )≥1⇔2x 2－2x ＋1≥2，由指数函数的单调性可得x 2－2x ＋1≥1，解得不等式的解集为(－∞，0]∪[2，＋∞).若函数的定义域为R ，即不等式 2x 2－2ax ＋a ≥1恒成立，等价于x 2－2ax ＋a ≥0恒成立，只需Δ＝4a 2－4a ≤0，解得a ∈[0，1].答案 (1)D (2)(－∞，0]∪[2，＋∞) [0，1] 考点二求函数的解析式【例2】 (1)已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，f (1)＝f (2)＝1，f (3)＝f (4)＝2，则a ＝________，f (5)＝________.(2)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，则f (x )＝________；(3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·x －1，则f (x )＝________. 解析 (1)设f (x )＝a (x －1)(x －2)(x －h )＋1，则f (3)＝2a (3－h )＋1＝2，f (4)＝6a (4－h )＋1＝2，解得3－h ＝12－3h ⇒h ＝92，此时a ＝－13，f (5)＝－13(5－1)(5－2)⎝⎛⎭⎪⎫5－92＋1＝－1.(2)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1). (3)在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·x －1中，将x 换成1x ，则1x换成x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝2f (x )·1x－1，由⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f （x ）·1x－1，解得f (x )＝23x ＋13.答案 (1)－13 －1 (2)lg 2x －1(x >1) (3)23x ＋13规律方法求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(3)构造法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x ).(4)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式.【训练2】 (1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x ).若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.(3)定义在(－1，1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )＝__________. 解析 (1)令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2(t ≥1)，代入原式得f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1).(2)当－1≤x ≤0时，0≤x ＋1≤1，由已知f (x )＝12f (x ＋1)＝－12x (x ＋1).(3)当x ∈(－1，1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1).① 将x 换成－x ，则－x 换成x ，得2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1).② 由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1，1).答案 (1)x 2－1(x ≥1) (2)－12x (x ＋1)(3)23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，(－1<x <1) 考点三分段函数多维探究角度1 求分段函数的函数值【例3－1】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( ) A.3 B.6 C.9D.12解析根据分段函数的意义，f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋2＝3.又log 212>1， ∴f (log 212)＝2(log 212－1)＝2log 26＝6，因此f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9. 答案 C角度2 求参数的值或取值范围【例3－2】 (1)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2（x －1），x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A.2B.4C.6D.8(2)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x ＜2，log 3（x 2－1），x ≥2，则f (f (1))＝________；不等式f (x )＞2的解集为________.解析 (1)由已知得0＜a ＜1，∴a ＋1>1. ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2(a ＋1－1)，解得a ＝14，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2(4－1)＝6. (2)f (1)＝2e 0＝2，f (f (1))＝f (2)＝log 3(4－1)＝1.当x ＜2时，f (x )＞2即ex －1＞1＝e 0，∴x＞1，∴1＜x ＜2.当x ≥2时，f (x )＞2即为log 3(x 2－1)＞2＝log 332，∴x 2＞10，即x ＞10或x ＜－10，∴x ＞10.答案 (1)C (2)1 (1，2)∪(10，＋∞)规律方法 (1)根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.(2)已知函数值或函数值的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. 提醒当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.【训练3】 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2（x ＋1），x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A.－74B.－54C.－34D.－14(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－（x －1）2，x >0，则不等式f (x )≥－1的解集是________.解析 (1)当a ≤1时，f (a )＝2a －1－2＝－3，即2a －1＝－1，不成立，舍去；当a >1时，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，即log 2(a ＋1)＝3，解得a ＝7，此时f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74.故选A.(2)当x ≤0时，由题意得x2＋1≥－1，解之得－4≤x ≤0.当x >0时，由题意得－(x －1)2≥－1，解之得0<x ≤2，综上f (x )≥－1的解集为{x |－4≤x ≤2}. 答案 (1)A (2){x |－4≤x ≤2}基础巩固题组一、选择题1.函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( ) A.[－3，1]B.(－3，1)C.(－∞，－3]∪[1，＋∞)D.(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析使函数f (x )有意义需满足x 2＋2x －3>0，解得x >1或x <－3，所以f (x )的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞). 答案 D2.已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，则f (x )＝( ) A.x ＋1 B.2x －1 C.－x ＋1D.x ＋1或－x －1解析设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，又f [f (x )]＝x ＋2，得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2. ∴k 2＝1，且kb ＋b ＝2，解得k ＝b ＝1. 答案 A3.已知函数f (2x)＝x ·log 32，则f (39)的值为( ) A.16 B.19 C.6D.9解析令t ＝2x (t ＞0)，则x ＝log 2t ，于是f (t )＝log 2t ·log 32＝log 3t (t ＞0)，故函数f (x )＝log 3x (x ＞0)，所以f (39)＝log 339＝9，故选D. 答案 D4.f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x（x ≤0），log 3x （x >0），则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )A.－2B.－3C.9D.－9解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2， ∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9.答案 C5.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( ) A.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310C.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410D.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510解析取特殊值法，若x ＝56，则y ＝5，排除C ，D ；若x ＝57，则y ＝6，排除A ，选B. 答案 B6.已知函数f (x )＝e x ＋a ·e －x＋2(a ∈R ，e 为自然对数的底数)，若y ＝f (x )与y ＝f (f (x ))的值域相同，则a 的取值范围是( ) A.a ＜0 B.a ≤－1 C.0＜a ≤4D.a ＜0或0＜a ≤4解析 a ＝1时，f (x )＝e x＋e －x＋2≥4，此时y ＝f (x )与y ＝f (f (x ))的值域不相同，排除C ，D ；a ＜0时，y ＝f (x )与y ＝f (f (x ))的值域相同，均为R . 答案 A7.设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是( ) A.12B.14C.－25D.18解析由题意f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110，∴－12＋a ＝110，则a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.答案 C8.设P (x 0，y 0)是函数f (x )图象上任意一点，且y 20≥x 20，则f (x )的解析式可以是( )A.f (x )＝x －1xB.f (x )＝e x－1 C.f (x )＝x ＋4xD.f (x )＝tan x解析对于A 项，当x ＝1时，f (1)＝0，此时02≥12不成立.对于B 项，取x ＝－1，f (－1)＝1e －1，此时⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －12≥(－1)2不成立.在D 项中，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＝tan 54π＝1，此时12≥⎝ ⎛⎭⎪⎫54π2不成立.∴A，B ，D 均不正确.选C.事实上，在C 项中，对任意x 0∈{x |x ≠0}， y 20＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋4x 02，有y 20－x 20＝16x 20＋8>0，有y 20≥x 20成立. 答案 C9.(2019·北京石景山区一模)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头方向经过点B 跑到点C ，共用时30 s ，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步过程.设小明跑步的时间为t (s)，他与教练间的距离为y (m)，表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的()A.点MB.点NC.点PD.点Q解析由图知固定位置到点A 距离大于到点C 距离，所以舍去N ，M 点，不选A ，B ；若是P 点，则从最高点到C 点依次递减，与图1矛盾，因此取Q ，即选D. 答案 D 二、填空题10.函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________.解析要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，x ≠0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1. ∴f (x )的定义域为(0，1].答案 (0，1]11.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x ≥9，f （f （x ＋4）），x <9，则f (10)＝________；f (7)＝________. 解析 f (10)＝10－3＝7；f (7)＝f (f (7＋4))＝f (f (11))＝f (11－3)＝f (8)＝f (f (8＋4))＝f (f (12))＝f (12－3)＝f (9)＝9－3＝6.答案 7 612.已知函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋|x |＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是________. 解析根据题意知x >0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝log 2x ，则f (x )＝log 21x ＝－log 2x .答案 f (x )＝－log 2x13.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ＞3，4x －4，x ≤3，若f (a )＝f (2)，且a ≠2，则a ＝________，f (2a )＝________.解析 f (2)＝16－4＝12，故f (a )＝12，而a ≠2，故2a ＋1＝12，解得：a ＝log 211＞3，故2a ＝log 2121＞3，故f (2a )＝f (log 2121)＝2log 2121＋1＝121＋1＝122.答案 log 211 12214.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，x 2－2x ，x ≥0.若f (－a )＋f (a )≤0，则实数a 的取值范围是________. 解析依题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，（－a ）2＋2（－a ）＋a 2－2a ≤0 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，（－a ）2－2（－a ）＋a 2＋2a ≤0，解得a ∈[－2，2].答案 [－2，2]能力提升题组15.设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则( )A.|x |＝x |sgn x |B.|x |＝x sgn|x |C.|x |＝|x |sgn xD.|x |＝x sgn x解析当x >0时，|x |＝x ，sgn x ＝1，则|x |＝x sgn x ；当x <0时，|x |＝－x ，sgn x ＝－1，则|x |＝x sgn x ；当x ＝0时，|x |＝x ＝0，sgn x ＝0，则|x |＝x sgn x .答案 D16.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B.[0，1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D.[1，＋∞) 解析由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1. 当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1.综上，a ≥23. 答案 C17.记min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤y ，y ，x >y ，已知函数F (x )＝min{2x ，x 2}，( ) A.若F (a )≤b 2，则a ≤b B.若F (a )≤2b ，则a ≤bC.若F (a )≥b 2，则a ≥bD.若F (a )≥2b ，则a ≥b解析若F (a )＝a 2，则F (a )≤b 2，即为a 2≤b 2，a ，b 的大小不确定，故排除A ，同理可排除C.由F (a )＝a 2即为2a ≥a 2，所以F (a )≤2b ，即为2b ≥a 2，满足2a ≥2b ≥a 2的实数a ，b 是存在的，如a ＝1，b ＝12，故可排除B.若F (a )＝2a ，则命题D 成立.若F (a )＝a 2，则2a ≥a 2，又F (a )≥2b ，即a 2≥2b ，所以2a ≥2b，所以a ≥b ，故选D.答案 D18.已知定义域内的函数f (x )满足：f (f (x ))－x >0恒成立，则f (x )的解析式可能是( )A.f (x )＝2 019xB.f (x )＝e xC.f (x )＝x 2D.f (x )＝lg 1＋x 2 解析 A 中，f (f (x ))＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2 109x ＝x (x ≠0)恒成立，所以f (f (x ))－x >0不恒成立，A 错误；B 中，因为e x >x ，所以e e x >e x >x ，所以f (f (x ))＝e e x >x 恒成立，B 正确；C 中，f (f (x ))＝x 4＝x ，此方程有x ＝0或x ＝1两个根，所以f (f (x ))－x >0不恒成立，C 错误；D 中，x ＝0时，f (f (x ))＝x 成立，所以f (f (x ))－x >0不恒成立，D 错误.故选B.答案 B19.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg （x 2＋1），x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________.解析 ∵f (－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1，∴f (f (－3))＝f (1)＝0.当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x －3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号，此时f (x )min ＝22－3<0；当x <1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，此时f (x )min ＝0. ∴f (x )的最小值为22－3.答案 0 22－320.已知函数y ＝x ＋a x 2＋1(a ∈R )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，m ，则常数a ＝________，m ＝________. 解析 y ＝x ＋a x 2＋1⇒y (x 2＋1)＝x ＋a ⇒yx 2－x ＋(y －a )＝0.∵函数y ＝x ＋a x 2＋1(a ∈R )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，m ，∴Δ＝(－1)2－4y (y －a )≥0⇒4y 2－4ay －1≤0，∴－14，m 是方程4y 2－4ay －1＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－14＋m ＝a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－14m ＝－14⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，m ＝1. 答案 341。

浙江2020版高考数学第三章函数概念与基本初等函数Ⅰ3.3函数的奇偶性与周期性讲义(含解析)

§3.3函数的奇偶性与周期性最新考纲考情考向分析1.理解并会判断函数的奇偶性．2.了解函数的周期性、最小正周期的含义.以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，中等偏上难度.1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．概念方法微思考1．如果已知函数f(x)，g(x)的奇偶性，那么函数f(x)±g(x)，f(x)·g(x)的奇偶性有什么结论？提示在函数f(x)，g(x)公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．已知函数f(x)满足下列条件，你能得到什么结论？(1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)________．(2)f(x＋a)＝1f(x)(a≠0)________．(3)f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )________．提示 (1)T ＝2|a | (2)T ＝2|a | (3)T ＝|a －b |题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x 2，x ∈(－10，＋∞)是偶函数．( × )(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( × )(3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( √ )(4)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a >0)的周期函数．( √ )(5)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( √ ) (6)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．( √ ) 题组二教材改编2．[P39A 组T6]已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x (1＋x )，则f (－1)＝________.答案－2解析 f (1)＝1×2＝2，又f (x )为奇函数， ∴f (－1)＝－f (1)＝－2.3．[P45B 组T4]设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝______.答案 1解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1.4.[P39A 组T6]设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )＜0的解集为________．答案 (－2,0)∪(2,5]解析由题图可知，当0＜x ＜2时，f (x )＞0；当2＜x ≤5时，f (x )＜0，又f (x )是奇函数，∴当－2＜x ＜0时，f (x )＜0，当－5≤x <－2时，f (x )>0. 综上，f (x )＜0的解集为(－2,0)∪(2,5]．题型一判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3； (2)f (x )＝lg (1－x 2)|x －2|－2；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＜0，－x 2＋x ，x ＞0.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}， ∴f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. ∴f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞0，|x －2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x －2＜0，∴|x －2|－2＝－x ，∴f (x )＝lg (1－x 2)－x .又∵f (－x )＝lg[1－(－x )2]x＝lg (1－x 2)x＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(3)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )；当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知，对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )， ∴函数f (x )为奇函数．思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数)是否成立．跟踪训练1 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋sin2x B ．y ＝x 2－cos x C ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x 2＋sin x答案 D解析对于A ，f (－x )＝－x ＋sin2(－x ) ＝－(x ＋sin2x )＝－f (x )，为奇函数；对于B ，f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，为偶函数；对于C ，f (－x )＝2－x ＋12－x ＝2x＋12x ＝f (x )，为偶函数；对于D ，y ＝x 2＋sin x 既不是偶函数也不是奇函数，故选D. (2)已知函数f (x )＝x 2x－1，g (x )＝x2，则下列结论正确的是( ) A ．h (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数 B ．h (x )＝f (x )＋g (x )是奇函数 C ．h (x )＝f (x )g (x )是奇函数 D ．h (x )＝f (x )g (x )是偶函数答案 A解析易知h (x )＝f (x )＋g (x )的定义域为{x |x ≠0}．因为f (－x )＋g (－x )＝－x 2－x －1＋－x 2＝－x ·2x1－2x －x 2＝x (1－2x)－x 1－2x－x 2＝x 2x －1＋x2＝f (x )＋g (x )，所以h (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．故选A. 题型二函数的周期性及其应用1．奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为( ) A ．2B ．1C ．－1D ．－2 答案 A解析 ∵f (x ＋1)为偶函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，则f (－x )＝f (x ＋2)，又y ＝f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )＝f (x ＋2)，且f (0)＝0.从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，y ＝f (x )的周期为4. ∴f (4)＋f (5)＝f (0)＋f (1)＝0＋2＝2.2．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋2)＝1－f (x )，则f (2020)＝________.答案－2－ 3 解析由f (x ＋2)＝1－f (x )，得f (x ＋4)＝1－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，所以f (2020)＝f (4)．因为f (2＋2)＝1－f (2)，所以f (4)＝－1f (2)＝－12－3＝－2－ 3.故f (2020)＝－2－ 3.3．若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，0≤x ≤1，sinπx ，1<x ≤2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝________.答案516解析由于函数f (x )是周期为4的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2×4－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4－76 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－76＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76＝－316＋sin π6＝516.4．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2019)＝________. 答案 338解析 ∵f (x ＋6)＝f (x )，∴周期T ＝6. ∵当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x ，∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1， f (6)＝f (0)＝0，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2015)＋f (2016) ＝1×20166＝336.又f (2017)＝f (1)＝1，f (2018)＝f (2)＝2，f (2019)＝f (3)＝－1，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2019)＝338.思维升华利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．题型三函数性质的综合应用命题点1 求函数值或函数解析式例2 (1)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝______. 答案 12解析方法一令x ＞0，则－x ＜0. ∴f (－x )＝－2x 3＋x 2.∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )＝2x 3－x 2(x ＞0)． ∴f (2)＝2×23－22＝12.方法二 f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.(2)(2018·浙江省镇海中学测试)已知f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝1＋2x －x 2，则函数f (x )的解析式是________________________．答案 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2x －x 2，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋2x －1，x ＜0解析设x ＜0，则－x ＞0， ∴f (－x )＝1－2x －x 2＝－f (x )，即x ＜0时，f (x )＝－1＋2x ＋x 2，又易知f (0)＝0，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2x －x 2，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋2x －1，x ＜0.命题点2 求参数问题例3 (1)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝__________. 答案 1解析 ∵f (－x )＝f (x )，∴－x ln(a ＋x 2－x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)， ∴ln[(a ＋x 2)2－x 2]＝0.∴ln a ＝0，∴a ＝1.(2)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．答案－10解析因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12且f (－1)＝f (1)，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10. 命题点3 利用函数的性质解不等式例4(1)已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，若f (ln x )<f (2)，则x 的取值范围是( ) A ．(0，e 2) B ．(e －2，＋∞) C ．(e 2，＋∞) D ．(e －2，e 2)答案 D解析根据题意知，f (x )为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，则f (ln x )<f (2)⇔|ln x |<2，即－2<ln x <2，解得e －2<x <e 2，即x 的取值范围是(e －2，e 2)． (2)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围为______________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 解析由已知得函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (|x |)，由f (x )>f (2x －1)，可得f (|x |)>f (|2x －1|)．当x >0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x2，因为y ＝ln(1＋x )与y ＝－11＋x 2在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (|x |)>f (|2x －1|)，可得|x |>|2x －1|，两边平方可得x 2>(2x －1)2，整理得3x 2－4x ＋1<0，解得13<x <1.所以符合题意的x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1. 思维升华(1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．跟踪训练2 (1)定义在R 上的奇函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，f (x )＝12log (1－x )，则f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32内是( )A ．减函数且f (x )>0B ．减函数且f (x )<0C ．增函数且f (x )>0D ．增函数且f (x )<0答案 D解析当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，由f (x )＝12log (1－x )可知，f (x )单调递增且f (x )>0，又函数f (x )为奇函数，所以在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0上函数也单调递增，且f (x )<0.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )知，函数的周期为32，所以在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32上，函数单调递增且f (x )<0.故选D.(2)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝________.答案－12解析由题意可知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝－2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝－12.(3)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e－x －1－x ，则f (x )＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧e－x －1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x >0解析 ∵当x >0时，－x <0， ∴f (x )＝f (－x )＝ex －1＋x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e－x －1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x >0.函数的性质函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．一、函数性质的判断例1(1)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A ．f (x )在(0,2)上单调递增 B ．f (x )在(0,2)上单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称答案 C解析 f (x )的定义域为(0,2)．f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＝ln[x (2－x )]＝ln(－x 2＋2x )．设u ＝－x 2＋2x ，x ∈(0,2)，则u ＝－x 2＋2x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．又y ＝ln u 在其定义域上单调递增，∴f (x )＝ln(－x 2＋2x )在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减． ∴选项A ，B 错误；∵f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＝f (2－x )， ∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴选项C 正确；∵f (2－x )＋f (x )＝[ln(2－x )＋ln x ]＋[ln x ＋ln(2－x )] ＝2[ln x ＋ln(2－x )]，不恒为0， ∴f (x )的图象不关于点(1,0)对称， ∴选项D 错误．故选C.(2)(2018·浙江舟山中学模拟)满足下列条件的函数f (x )中，f (x )为偶函数的是( ) A ．f (e x)＝|x | B ．f (e x )＝e 2xC ．f (ln x )＝ln x 2D ．f (ln x )＝x ＋1x答案 D解析 ∵e x＞0，∴f (x )的定义域不关于原点对称，f (x )无奇偶性，A ，B 错误；令ln x ＝t ，则x ＝e t，而f (ln x )＝ln x 2，即f (t )＝2t ，f (x )＝2x 显然不是偶函数，C 错误；而f (ln x )＝x ＋1x ，则f (t )＝e t＋1e t ，即f (x )＝e x＋1ex ，此时f (－x )＝e －x ＋1e －x ＝1e x ＋e x＝f (x )，∴f (x )＝e x＋1ex 是偶函数，D 正确，故选D.(3)(2019·绍兴模拟)设f (x )的定义域是R ，则下列命题中不正确的是( ) A ．若f (x )是奇函数，则f (f (x ))也是奇函数 B ．若f (x )是周期函数，则f (f (x ))也是周期函数 C ．若f (x )是单调递减函数，则f (f (x ))也是单调递减函数 D ．若方程f (x )＝x 有实根，则方程f (f (x ))＝x 也有实根答案 C解析若f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，所以f (f (－x ))＝f (－f (x ))＝－f (f (x ))，所以f (f (x ))也是奇函数，所以A 正确；若T 是f (x )的周期，则f (x ＋T )＝f (x )，所以f (f (x ＋T ))＝f (f (x ))，所以f (f (x ))也是周期函数，所以B 正确；若f (x )是单调递减函数，则不妨取f (x )＝－x ，则f (f (x ))＝f (－x )＝x 是单调递增函数，所以C 错误；设x 0是方程f (x )＝x 的实根，则f (x 0)＝x 0，则f (f (x 0))＝f (x 0)＝x 0，即x 0是方程f (f (x ))＝x 的实根，所以D 正确．故选C. 二、函数性质的综合应用例2(1)(2018·全国Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)等于( )A ．－50B ．0C ．2D ．50 答案 C解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－x )＝－f (x －1)．∵f (1－x )＝f (1＋x )， ∴－f (x －1)＝f (x ＋1)， ∴f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数．由f (x )为奇函数且定义域为R 得f (0)＝0，又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0. 又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50) ＝0×12＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2. 故选C.(2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11) 答案 D解析因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2，2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．(3)若函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2020－a x 在[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．答案 [－1,2021)解析由已知函数y ＝x ＋2020－a x在[1，＋∞)上是增函数，且y >0恒成立． ∵y ′＝1＋a x2，令y ′≥0得a ≥－x 2(x ≥1)， ∴a ≥－1.又由当x ＝1时，y ＝1＋2020－a >0，得a <2021. ∴a 的取值范围是[－1,2021)．1．下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是( ) A ．f (x )＝x B ．f (x )＝1x2C ．f (x )＝2x＋2－xD ．f (x )＝－cos x答案 B解析函数f (x )＝1x2是偶函数，且在(1,2)内单调递减，符合题意．2．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋m ，则f (－2)等于( ) A ．－3B ．－54C.54D ．3答案 A解析由f (x )为R 上的奇函数，知f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.3．(2019·金华调研)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( ) ①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )； ④y ＝f (x )＋x . A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④答案 D解析由奇函数的定义f (－x )＝－f (x )验证， ①f (|－x |)＝f (|x |)，为偶函数；②f (－(－x ))＝f (x )＝－f (－x )，为奇函数； ③－xf (－x )＝－x ·[－f (x )]＝xf (x )，为偶函数； ④f (－x )＋(－x )＝－[f (x )＋x ]，为奇函数．可知②④正确，故选D.4．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为4，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0时，f (x )＝log 2(－3x ＋1)，则f (2021)等于( ) A ．4B ．2C ．－2D ．log 27答案 C解析 ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为4，∴f (2021)＝f (4×505＋1)＝f (1)＝－f (－1)．∵－1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0时， f (x )＝log 2(－3x ＋1)，∴f (－1)＝log 2[－3×(－1)＋1]＝2， ∴f (2021)＝－f (－1)＝－2.5．(2018·浙江“七彩阳光”新高考研究联盟期初联考)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，若实数a 满足f (log 3a )＋f (13log a )≥2f (1)，则a 的取值范围是( ) A ．(0,3]B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3 D ．[1,3]答案 C解析函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，故f (x )在(－∞，0]上单调递增．因为f (log 3a )＋f (13log a )≥2f (1)，所以f (log 3a )＋f (－log 3a )＝2f (log 3a )≥2f (1)，即f (log 3a )≥f (1)＝f (－1)，所以－1≤log 3a ≤1，解得13≤a ≤3，故选C.6．已知偶函数f (x )对于任意x ∈R 都有f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )在区间[0,1]上是单调递增的，则f (－6.5)，f (－1)，f (0)的大小关系是( ) A ．f (0)<f (－6.5)<f (－1) B ．f (－6.5)<f (0)<f (－1) C ．f (－1)<f (－6.5)<f (0) D ．f (－1)<f (0)<f (－6.5) 答案 A解析由f (x ＋1)＝－f (x )，得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，∴函数f (x )的周期是2. ∵函数f (x )为偶函数，∴f (－6.5)＝f (－0.5)＝f (0.5)，f (－1)＝f (1)． ∵f (x )在区间[0,1]上是单调递增的，∴f (0)<f (0.5)<f (1)，即f (0)<f (－6.5)<f (－1)．7．如果函数f (x )＝x 2sin x ＋a 的图象过点(π，1)且f (t )＝2，那么a ＝________，f (－t )＝________. 答案 1 0解析由已知得f (π)＝π2sinπ＋a ＝a ＝1，所以a ＝1，所以f (x )＝x 2sin x ＋1，而f (t )＝t 2sin t ＋1＝2，所以t 2sin t ＝1，所以f (－t )＝(－t )2sin(－t )＋1＝－t 2sin t ＋1＝－1＋1＝0.8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，a ，x ＝0，g (2x )，x ＜0为奇函数，则a ＝____，f (g (－2))＝________.答案 0 －25解析由题意，得a ＝f (0)＝0.设x ＜0，则－x ＞0，f (－x )＝x 2－2x ＋1＝－f (x )， ∴g (2x )＝－x 2＋2x －1，∴g (－2)＝－4， ∴f (g (－2))＝f (－4)＝－16－8－1＝－25.9．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________.答案－2解析 ∵函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且周期为2， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (1)＝－f (－1)＝－f (－1＋2)＝－f (1)， ∴f (1)＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－124＝－2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2. 10．(2018·宁波十校联考)定义：函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最大值与最小值之差为函数f (x )的极差．若定义在区间[－2b,3b －1]上的函数f (x )＝x 3－ax 2－(b ＋2)x 是奇函数，则a＋b ＝________，函数f (x )的极差为________．答案 1 4解析由f (x )在[－2b,3b －1]上为奇函数，所以区间关于原点对称，故－2b ＋3b －1＝0，b ＝1，又由f (－x )＋f (x )＝0可求得a ＝0，所以a ＋b ＝1.又f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3，易知f (x )在(－2，－1)，(1,2)上单调递增，f (x )在(－1,1)上单调递减，所以在[－2,2]上的最大值、最小值分别为f (－1)＝f (2)＝2，f (1)＝f (－2)＝－2，所以极差为4.11．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式． (1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解 ∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]， ∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8. ∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．12．设f (x )是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x . (1)判定f (x )的奇偶性；(2)试求出函数f (x )在区间[－1,2]上的表达式．解 (1)∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (－x )＝f (2＋x )．又f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (－x )＝f (x )．又f (x )的定义域为R ， ∴f (x )是偶函数．(2)当x ∈[0,1]时，－x ∈[－1,0]，则f (x )＝f (－x )＝x ；从而当1≤x ≤2时，－1≤x －2≤0，f (x )＝f (x －2)＝－(x －2)＝－x ＋2.故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ∈[－1，0]，x ，x ∈(0，1)，－x ＋2，x ∈[1，2].13．(2018·浙江杭州四中期中)设函数f (x )，g (x )的定义域为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，设h (x )＝|f (x －1)|＋g (x －1)，则下列结论中正确的是( ) A ．h (x )关于(1,0)对称 B ．h (x )关于(－1,0)对称 C ．h (x )关于x ＝1对称D ．h (x )关于x ＝－1对称解析因为函数f (x )是奇函数，所以|f (x )|是偶函数，即|f (x )|与g (x )均为偶函数，其图象关于y 轴对称，所以|f (x －1)|与g (x －1)的图象都关于直线x ＝1对称，即h (x )＝|f (x －1)|＋g (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，故选C.14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos (x ＋α)，x ≥0，sin (x ＋β)，x ＜0是偶函数，则α，β的可能取值是( )A ．α＝π，β＝π2B ．α＝β＝π3C ．α＝π3，β＝π6D ．α＝π4，β＝3π4.答案 C解析因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos (x ＋α)，x ≥0，sin (x ＋β)，x ＜0是偶函数，所以当x ＜0时，cos(－x ＋α)＝sin(x ＋β)，利用两角和差公式展开并整理，得sin x (sin α－cos β)＋cos x (cos α－sin β)＝0对x ＜0恒成立，因而⎩⎪⎨⎪⎧sin α－cos β＝0，cos α－sin β＝0，将两式两边平方后相加可得，2－2(sin αcos β＋cos αsin β)＝0，因而sin(α＋β)＝1，故α＋β＝2k π＋π2，k ∈Z ，故选C.15．(2018·宁波九校联考)已知函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )，给出下列命题： ①f (x )必是偶函数；②当f (0)＝f (2)时，f (x )的图象关于直线x ＝1对称； ③若a 2－b ≤0，则f (x )在[a ，＋∞)上是增函数； ④若a ＞0，在[－a ，a ]上f (x )有最大值|a 2－b |. 其中正确的命题序号是________．答案 ③解析对于①，当且仅当a ＝0时，函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |为偶函数，①错误；对于②，当a ＝0，b ＝－2时，满足f (0)＝2＝f (2)，此时函数图象不关于直线x ＝1对称，②错误；对于③，当a 2－b ≤0时，b －a 2≥0，所以f (x )＝x 2－2ax ＋b ，则f (x )在[a ，＋∞)上是增函数，③正确；对于④，当a ＝1，b ＝4时，满足a ＞0，此时f (x )＝|x 2－2x ＋4|在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝|(－1)2－2×(－1)＋4|＝7≠|12－4|，④错误．综上所述，正确命题的16．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (－x )＝x 2，且对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)均有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞x 1＋x 22(x 1≠x 2)．若f (4m －2)－f (2m )－6m 2＋8m －2＞0，求实数m 的取值范围．解设g (x )＝f (x )－x 22，因为g (x )＋g (－x )＝f (x )－x 22＋f (－x )－(－x )22＝0，故g (x )为奇函数．又g (x 1)－g (x 2)x 1－x 2＝f (x 1)－f (x 2)＋x 22－x 212x 1－x 2＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2－x 1＋x 22＞0，故g (x )在R 上单调递增，g (4m －2)－g (2m )＝f (4m －2)－f (2m )－12[(4m －2)2－(2m )2]＝f (4m －2)－f (2m )－6m 2＋8m －2＞0，所以g (4m －2)＞g (2m )，所以4m －2＞2m ，解得m ＞1.。

(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习第三章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第2节二次函数习题(含解析)

第2节二次函数考试要求 1.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题；2.能解决一元二次方程根的分布问题；3.能解决二次函数的最值问题.知识梳理1.二次函数表达式的三种形式 (1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).(2)顶点式：y ＝a (x ＋h )2＋k (其中a ≠0，顶点坐标为(－h ，k )).(3)零点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(其中a ≠0，x 1，x 2是二次函数的图象与x 轴的两个交点的横坐标).2.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质a >0 a <0图象定义域 R值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上递增在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上递减奇偶性 b ＝0时为偶函数，b ≠0时既不是奇函数也不是偶函数图象特点①对称轴：x ＝－b 2a ；②顶点：⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a3.二次函数的最值问题二次函数的最值问题主要有三种类型：“轴定区间定”“轴动区间定”“轴定区间动”.解决的关键是弄清楚对称轴与区间的关系，要结合函数图象，依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，则二次函数f (x )在闭区间[m ，n ]上的最大值、最小值有如下的分布情况：对称轴与区间的关系m<n <－b2a，即－b2a∈(n，＋∞)m<－b2a<n，即－b2a∈(m，n)－b2a<m<n，即－b2a∈(－∞，m)图象最值f(x)max＝f(m)，f(x)min＝f(n)f(x)max＝max{f(n)，f(m)}，f(x)min＝f⎝⎛⎭⎪⎫－b2af(x)max＝f(n)f(x)min＝f(m)4.一元二次方程根的分布设方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的不等两根为x1，x2且x1<x2，相应的二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是等价条件)表一：(两根与k的大小比较)分布情况两根都小于k即x1<k，x2<k 两根都大于k即x1>k，x2>k一个根小于k，一个大于k，即x1<k<x2大致图象(a>0)综合结论(不讨论a)a·f(k)<0 表二：(根在区间上的分布)分布情况两根都在(m，n)内两根都在区间(m，n)外(x1<m，x2>n)一根在(m，n)内，另一根在(p，q)内，m<n<p<q大致图象(a>0)综合结论(不讨论a )若两根有且仅有一根在(m ，n )内，则需分三种情况讨论：①当Δ＝0时，由Δ＝0可以求出参数的值，然后再将参数的值代入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去；②当f (m )＝0或f (n )＝0，方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，从而检验另一根是否在区间(m ，n )内；③当f (m )·f (n )<0时，则两根有且仅有一根在(m ，n )内. [常用结论与易错提醒]不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件 (1)不等式ax2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c >0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0. (2)不等式ax2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c <0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.基础自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)如果二次函数f (x )的图象开口向上且关于直线x ＝1对称，且过点(0，0)，则此二次函数的解析式为f (x )＝(x －1)2－1.( )(2)已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫120，＋∞.( )(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )不可能是偶函数.( )(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈[a ，b ])的最值一定是4ac －b24a.( )答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×2.已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)的值是( ) A.5 B.－5 C.6D.－6解析由f (1)＝f (2)＝0知方程x 2＋px ＋q ＝0的两根分别为1，2，则p ＝－3，q ＝2，∴f (x )＝x 2－3x ＋2，∴f (－1)＝6.答案 C3.若方程x 2＋(m ＋2)x ＋m ＋5＝0只有负根，则m 的取值范围是( ) A.[4，＋∞) B.(－5，－4] C.[－5，－4]D.(－5，－2)解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（m ＋2）2－4×（m ＋5）≥0，x 1＋x 2＝－（m ＋2）<0，x 1x 2＝m ＋5>0，解得m ≥4.答案 A4.已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为( ) A.[0，1] B.[1，2] C.(1，2]D.(1，2)解析画出函数y ＝x 2－2x ＋3的图象(如图)，由题意知1≤m ≤2.答案 B5.已知方程x 2＋(m －2)x ＋2m －1＝0的较小的实根在0和1之间，则实数m 的取值范围是 .解析令f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋2m －1.由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m －1>0，1＋（m －2）＋2m －1<0，解得12<m <23.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 6.若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a 的取值范围是，且函数f (x )恒过点 .解析二次函数f (x )图象的对称轴是x ＝1－a ，由题意知1－a ≥3，∴a ≤－2.由函数的解析式易得，函数f (x )恒过定点(0，2). 答案 (－∞，－2] (0，2)考点一二次函数的解析式【例1】求下列函数的解析式：(1)(一题多解)已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8；(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4，3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x ). 解 (1)法一(利用一般式解题)：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0). 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二(利用顶点式解题)：设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0). ∵f (2)＝f (－1)，∴二次函数图象的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12，∴m ＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8.∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三(利用零点式解题)：由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数的最大值是8，即4a （－2a －1）－（－a ）24a ＝8，解得a ＝－4，∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. (2)∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立， ∴f (x )的对称轴为x ＝2.又∵f (x )的图象在x 轴上截得的线段长为2， ∴f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)，又∵f (x )的图象过点(4，3)，∴3a ＝3，∴a ＝1. ∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.规律方法用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，选法如下：【训练1】若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝ .解析由f (x )是偶函数知f (x )的图象关于y 轴对称， ∴b ＝－2，∴f (x )＝－2x 2＋2a 2，又f (x )的值域为(－∞，4]，∴2a 2＝4，故f (x )＝－2x 2＋4.答案－2x 2＋4考点二二次函数的图象与性质【例2】已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4，6]. (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4，6]上是单调函数； (3)当a ＝－1时，求f (|x |)的单调区间.解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4，6]， ∴f (x )在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增， ∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4，6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4，故a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞).(3)由－4≤|x |≤6，得－6≤x ≤6，当a ＝－1时，f (|x |)＝x 2－2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3＝（x ＋1）2＋2，x ≤0，x 2－2x ＋3＝（x －1）2＋2，x >0，其图象如图所示，∴f (|x |)在[－6，6]上的单调区间有[－6，－1)，[－1，0)，[0，1)，[1，6]. 规律方法解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论； (2)要注意数形结合思想的应用.【训练2】 (1)设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )(2)若函数f (x )＝ax 2＋2x ＋3在区间[－4，6]上是单调递增函数，则实数a 的取值范围是Ｗ.解析 (1)由A ，C ，D 知，f (0)＝c <0，从而由abc >0，所以ab <0，所以对称轴x ＝－b2a >0，知A ，C 错误，D 满足要求；由B 知f (0)＝c >0，所以ab >0，所以对称轴x ＝－b2a<0，B 错误.(2)由题意可知f ′(x )＝2ax ＋2≥0在[－4，6]上恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′（－4）＝－8a ＋2≥0，f ′（6）＝12a ＋2≥0，所以－16≤a ≤14.答案 (1)D (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，14考点三二次函数的最值【例3－1】已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a 的值. 解 f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38； (3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3.综上可知，a 的值为38或－3.【例3－2】将例3－1改为：求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1，2]上的最大值. 解 f (x )＝(x ＋a )2＋1－a 2，∴f (x )的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－a ， (1)当－a <12，即a >－12时，f (x )max ＝f (2)＝4a ＋5；(2)当－a ≥12，即a ≤－12时，f (x )max ＝f (－1)＝2－2a .综上，f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋5，a >－12，2－2a ，a ≤－12.规律方法研究二次函数的性质，可以结合图象进行；对于含参数的二次函数问题，要明确参数对图象的影响，进行分类讨论.【训练3】设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值. 解 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1. 当t ＋1<1，即t <0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t >1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t <0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t >1.考点四一元二次方程根的分布多维探究角度1 两根在同一区间【例4－1】若二次函数y ＝－x 2＋mx －1的图象与两端点为A (0，3)，B (3，0)的线段AB 有两个不同的交点，求实数m 的取值范围. 解线段AB 的方程为x 3＋y3＝1(x ∈[0，3])，即y ＝3－x (x ∈[0，3])，由题意得方程组：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3－x ，y ＝－x 2＋mx －1，消去y 得x 2－(m ＋1)x ＋4＝0，①由题意可得，方程①在x ∈[0，3]内有两个不同的实根，令f (x )＝x 2－(m ＋1)x ＋4，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（m ＋1）2－16>0，0≤m ＋12≤3，f （0）＝4≥0，f （3）＝10－3m ≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m <－5或m >3，－1≤m ≤5，m ≤103，所以3<m ≤103.故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤3，103.角度2 两根在不同区间【例4－2】求实数m 的取值范围，使关于x 的方程x 2＋2(m －1)x ＋2m ＋6＝0. (1)一根大于1，另一根小于1； (2)两根α，β满足0<a <1<β<4； (3)至少有一个正根.解令f (x )＝x 2＋2(m －1)x ＋2m ＋6， (1)由题意得f (1)＝4m ＋5<0，解得m <－54.即实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－54. (2)⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝2m ＋6>0，f （1）＝4m ＋5<0，f （4）＝10m ＋14>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m >－3，m <－54，m >－75，所以－75<m <－54.故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－75，－54.(3)当方程有两个正根时，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4（m －1）2－4（2m ＋6）>0，f （0）＝2m ＋6>0，－2（m －1）>0，解得－3<m <－1.当方程有一个正根一个负根时，f (0)＝2m ＋6<0，解得m <－3. 当方程有一个根为零时，f (0)＝2m ＋6＝0，解得m ＝－3，此时f (x )＝x 2－8x ，另一根为8，满足题意. 综上可得，实数m 的取值范围是(－∞，－1). 角度3 在区间(m ，n )内有且只有一个实根【例4－3】已知函数f (x )＝mx 2－2x ＋1有且仅有一个正实数的零点，求实数m 的取值范围. 解依题意，得(1)⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝（－2）2－4m >0，无解.f （0）<0， (2)⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝（－2）2－4m >0，解得m <0.f （0）>0，(3)⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ＝（－2）2－4m ＝0.解得m ＝1，经验证，满足题意.又当m ＝0时，f (x )＝－2x ＋1，它显然有一个为正实数的零点. 综上所述，m 的取值范围是(－∞，0]∪{1}.规律方法利用二次函数图象解决方程根的分布的一般步骤： (1)设出对应的二次函数；(2)利用二次函数的图象和性质列出等价不等式(组)； (3)解不等式(组)求得参数的范围.【训练4】 (1)已知二次函数y ＝(m ＋2)x 2－(2m ＋4)x ＋(3m ＋3)与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围.(2)若关于x 的方程x 2＋2(m －1)x ＋2m ＋6＝0有且只有一根在区间(0，3)内，求实数m 的取值范围.解 (1)令f (x )＝(m ＋2)x 2－(2m ＋4)x ＋(3m ＋3).由题意可知(m ＋2)·f (1)<0，即(m ＋2)(2m ＋1)<0，所以－2<m <－12.即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12. (2)令f (x )＝x 2＋2(m －1)x ＋2m ＋6，①⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4（m －1）2－4（2m ＋6）＝0，0<－（m －1）<3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1或m ＝5，－2<m <1，所以m ＝－1.②f (0)·f (3)＝(2m ＋6)(8m ＋9)<0，解得－3<m <－98.③f (0)＝2m ＋6＝0，即m ＝－3时，f (x )＝x 2－8x ，另一根为8∉(0，3)，所以舍去； ④f (3)＝8m ＋9＝0，即m ＝－98时，f (x )＝x 2－174x ＋154，另一根为54∈(0，3)，满足条件.综上可得，－3<m ≤－98或m ＝－1.所以实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－3，－98∪{－1}.基础巩固题组一、选择题1.已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A.a >0，4a ＋b ＝0 B.a <0，4a ＋b ＝0 C.a >0，2a ＋b ＝0D.a <0，2a ＋b ＝0解析因为f (0)＝f (4)>f (1)，所以函数图象应开口向上，即a >0，且其对称轴为x ＝2，即－b2a ＝2，所以4a ＋b ＝0.答案 A2.设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0，1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是( ) A.(－∞，0]B.[2，＋∞)C.(－∞，0]∪[2，＋∞)D.[0，2]解析 f (x )的对称轴为x ＝1，由f (x )在[0，1]上递减知a >0，且f (x )在[1，2]上递增，f (0)＝f (2)，∵f (m )≤f (0)，结合对称性，∴0≤m ≤2. 答案 D3.若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0，2]上的最大值为1，则实数a 等于( ) A.－1 B.1 C.2D.－2解析 ∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间的端点取得. ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥4－3a ，－a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1. 答案 B4.已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋b (a ，b ∈R )，记f (x )在[a －b ，a ＋b ]上的最大值为M ，最小值为m ，则M －m ( ) A.与a 有关，且与b 有关 B.与a 无关，且与b 无关 C.与a 有关，但与b 无关D.与a 无关，但与b 有关解析函数f (x )＝x 2－2ax ＋b ＝(x －a )2－a 2＋b ，所以f (x )的对称轴为x ＝a 且开口向上，因为区间[a －b ，a ＋b ]也关于x ＝a 对称，所以m ＝f (a )＝b －a 2，M ＝f (a －b )＝f (a ＋b )＝b 2－a 2＋b ，所以M －m ＝b 2，故选D. 答案 D5.(2019·嘉兴检测)若f (x )＝x 2＋bx ＋c 在(m －1，m ＋1)内有两个不同的零点，则f (m －1)和f (m ＋1)( ) A.都大于1 B.都小于1 C.至少有一个大于1D.至少有一个小于1解析设函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的两个零点为x 1，x 2，则f (x )＝(x －x 1)(x －x 2)，因为函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的两个零点在(m －1，m ＋1)内，所以f (m －1)>0，f (m ＋1)>0，又因为f (m－1)f (m ＋1)＝(m －1－x 1)(m －1－x 2)·(m ＋1－x 1)(m ＋1－x 2)＝[－(m －1－x 1)(m ＋1－x 1)]·[－(m －1－x 2)(m ＋1－x 2)]<[－（m －1－x 1）＋（m ＋1－x 1）]24·[－（m －1－x 2）＋（m ＋1－x 2）]24＝1，所以f (m－1)和f (m ＋1)至少有一个小于1，故选D. 答案 D6.若函数f (x )＝x 2＋kx ＋m 在[a ，b ]上的值域为[n ，n ＋1]，则b －a ( ) A.既有最大值，也有最小值 B.有最大值但无最小值 C.无最大值但有最小值D.既无最大值，也无最小值解析取k ＝m ＝n ＝0，f (x )＝x 2，由图象可知，显然b －a 不存在最小值.∵f (a )＝a 2＋ka ＋m ，f (b )＝b 2＋kb ＋m ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＋m ，∴（b －a ）22＝f (a )＋f (b )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤n ＋1＋n ＋1－2n ＝2，∴b －a ≤2，当b ＝2－k 2，a ＝－2＋k2时，b －a 取得最大值为2，故选B. 答案 B7.(2016·浙江卷)已知函数f (x )＝x 2＋bx ，则“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 ∵f (x )＝x 2＋bx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 22－b24，当x ＝－b 2时，f (x )min ＝－b 24.又f (f (x ))＝(f (x ))2＋bf (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫f （x ）＋b 22－b 24，当f (x )＝－b 2时，f (f (x ))min ＝－b 24，当－b2≥－b 24时，f (f (x ))可以取到最小值－b 24，即b 2－2b ≥0，解得b ≤0或b ≥2，故“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的充分不必要条件. 答案 A8.函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－b2a 对称.据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集不可能是( ) A.{1，2} B.{1，4} C.{1，2，3，4}D.{1，4，16，64}解析 ∵f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为x ＝－b2a .设方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解为f 1(x )，f 2(x )，则必有f 1(x )＝y 1＝ax 2＋bx ＋c ，f 2(x )＝y 2＝ax 2＋bx ＋c ，那么从图象上看y ＝y 1，y ＝y 2是平行x 轴的两条直线，它们与f (x )有交点，由对称性，方程y 1＝ax 2＋bx ＋c ＝0的两个解x 1，x 2应关于对称轴x ＝－b2a 对称，即x 1＋x 2＝－ba ，同理方程y 2＝ax 2＋bx ＋c ＝0的两个解x 3，x 4也关于对称轴x ＝－b2a对称，即x 3＋x 4＝－b a，在C 中，可以找到对称轴直线x ＝2.5，也就是1，4为一个方程的根，2，3为一个方程的根，而在D 中，找不到这样的组合使得对称轴一致，也就是说无论怎样分组，都没办法使得其中两个的和等于另外两个的和，故答案D 不可能. 答案 D9.(2019·衢州二中二模)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )，若存在非零实数t ，使得f (t )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＝－2成立，则a 2＋4b 2的最小值为( )A.165B.145C.16D.4 解析由f (t )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＝－2知，存在实数t ≠0，使⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ＋2b ＝0成立，又a 2＋4b 2的几何意义为坐标原点与点(a ，2b )的距离的平方，记2b ＝m ，u ＝t ＋1t，则u 2≥4.故⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2＋a ⎝⎛⎭⎪⎫t ＋1t ＋2b ＝0，即ua ＋m ＋u 2＝0，其表示动点(a ，m )的轨迹，设为直线l ，则原点与点(a ，m )的距离的最小值为原点到直线l 的距离，故a 2＋4b 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫u 2u 2＋12＝⎝⎛⎭⎪⎫u 2＋1－1u 2＋12≥165，故选A. 答案 A 二、填空题10.已知b ，c ∈R ，函数y ＝x 2＋2bx ＋c 在区间(1，5)上有两个不同的零点，则f (1)＋f (5)的取值范围是 .解析设f (x )的两个零点为x 1，x 2，不妨设1<x 1<x 2<5，则f (1)>f (x 1)＝0，f (5)>f (x 2)＝0，所以f (1)＋f (5)>0.另一方面f (x )＝(x －x 1)·(x －x 2)，所以f (1)＋f (5)＝(1－x 1)·(1－x 2)＋(5－x 1)(5－x 2)＝2x 1x 2－6(x 1＋x 2)＋26<2x 1x 2－12x 1x 2＋26＝2(x 1x 2－3)2＋8<2(25－3)2＋8＝16，所以f (1)＋f (5)的取值范围是(0，16).答案 (0，16)11.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2（x ≥t ），x （x <t ），若存在实数t ，使函数y ＝f (x )－a 有两个零点，则t 的取值范围是 .解析由题意知函数f (x )在定义域上不单调，如图，当t ＝0或t ≥1时，f (x )在R 上均单调递增，当t <0时，在(－∞，t )上f (x )单调递增，且f (x )<0，在(t ，0)上f (x )单调递减，且f (x )>0，在(0，＋∞)上f (x )单调递增，且f (x )>0.故要使得函数y ＝f (x )－a 有两个零点，则t 的取值范围为(－∞，0)∪(0，1).答案 (－∞，0)∪(0，1)12.(2019·诸暨统考)已知a ，b 都是正数，a 2b ＋ab 2＋ab ＋a ＋b ＝3，则2ab ＋a ＋b 的最小值等于 .解析设2ab ＋a ＋b ＝t ，则t >0，且3＝ab (a ＋b )＋ab ＋a ＋b ＝ab (t －2ab )＋t －ab ，故关于ab 的二次方程2(ab )2＋(1－t )ab ＋3－t ＝0的解为正数，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（1－t ）2－8（3－t ）≥0，t －12>0，3－t 2>0，解得42－3≤t <3，即2ab ＋a ＋b 的最小值等于42－3.答案 42－313.已知f (x ＋1)＝x 2－5x ＋4. (1)f (x )的解析式为；(2)当x ∈[0，5]时，f (x )的最大值和最小值分别是 . 解析 (1)f (x ＋1)＝x 2－5x ＋4，令x ＋1＝t ，则x ＝t －1， ∴f (t )＝(t －1)2－5(t －1)＋4＝t 2－7t ＋10，∴f (x )＝x 2－7x ＋10.(2)∵f (x )＝x 2－7x ＋10，其图象开口向上，对称轴为x ＝72，72∈[0，5]，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝－94，又f (0)＝10，f (5)＝0.∴f (x )的最大值为10，最小值为－94.答案 (1)x 2－7x ＋10 (2)10，－9414.(2018·浙江卷)已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ.当λ＝2时，不等式f (x )<0的解集是 .若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是 .解析若λ＝2，则当x ≥2时，令x －4<0，得2≤x <4；当x <2时，令x 2－4x ＋3<0，得1<x <2.综上可知1<x <4，所以不等式f (x )<0的解集为(1，4).令x －4＝0，解得x ＝4；令x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3.因为函数f (x )恰有2个零点，结合函数的图象(图略)可知1<λ≤3或λ>4.答案 (1，4) (1，3]∪(4，＋∞)能力提升题组15.(2019·杭州质检)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )，记M 为函数y ＝|f (x )|在[－1，1]上的最大值，N 为|a |＋|b |的最大值( ) A.若M ＝13，则N ＝3B.若M ＝12，则N ＝3C.若M ＝2，则N ＝3D.若M ＝3，则N ＝3解析由题意得|f (1)|＝|1＋a ＋b |≤M ⇒|a ＋b |≤M ＋1，|f (－1)|＝|1－a ＋b |≤M ⇒|a －b |≤M ＋1.|a |＋|b |＝⎩⎪⎨⎪⎧|a ＋b |，ab ≥0，|a －b |，ab <0，则易知N ≤M ＋1，则选项A ，B 不符合题意；当a ＝2，b ＝－1时，M ＝2，N ＝3，则选项C 符合题意；当a ＝2，b ＝－2时，M ＝3，N ＝4，则选项D不符合题意，故选C. 答案 C16.(2019·丽水测试)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，集合A ＝{x |f (x )≤0}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪f （f （x ））≤54，若A ＝B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A.[5，5]B.[－1，5]C.[5，3]D.[－1，3]解析设集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |f （f （x ））≤54＝{x |m ≤f (x )≤n }，其中m ，n 为方程f (x )＝54的两个根，因为A ＝B ≠∅，所以n ＝0且m ≤f (x )min ，Δ＝a 2－4b ≥0，于是f (n )＝f (0)＝b ＝54，则由a 2－4b ＝a 2－5≥0得a ≤－5或a ≥5，令t ＝f (x )≤0，则由f (f (x ))≤54得f (t )≤54，即t 2＋at ＋54≤54，解得－a ≤t ≤0，所以B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |f （f （x ））≤54＝{x |m ≤f (x )≤n }＝{x |－a ≤f (x )≤0}，解得m ＝－a ，所以－a ≤f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 22＋a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＋54，解得－1≤a ≤5.综上所述，实数a 的取值范围为[5，5]，故选A. 答案 A17.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx (|b |≤2|a |)，定义f 1(x )＝max{f (t )|－1≤t ≤x ≤1}，f 2(x )＝min{f (t )|－1≤t ≤x ≤1}，其中max{a ，b }表示a ，b 中的较大者，min{a ，b }表示a ，b 中的较小者，下列命题正确的是( ) A.若f 1(－1)＝f 1(1)，则f (－1)>f (1) B.若f 2(－1)＝f 2(1)，则f (－1)>f (1) C.若f 2(1)＝f 1(－1)，则f 1(－1)<f 1(1) D.若f 2(1)＝f 1(－1)，则f 2(－1)>f 2(1)解析对于A ，若f 1(－1)＝f 1(1)，则f (－1)为f (x )在[－1，1]上的最大值，∴f (－1)>f (1)或f (－1)＝f (1)，故A 错误；对于B ，若f 2(－1)＝f 2(1)，则f (－1)为f (x )在[－1，1]上的最小值，∴f (－1)<f (1)或f (－1)＝f (1)，故B 错误；对于C ，若f 2(1)＝f 1(－1)，则f (－1)为f (x )在[－1，1]上的最小值，而f 1(－1)＝f (－1)，f 1(1)表示f (x )在[－1，1]上的最大值，∴f 1(－1)<f 1(1)，故C 正确；对于D ，若f 2(1)＝f 1(－1)，由新定义可得f 1(－1)＝f 2(－1)，则f 2(1)＝f 2(－1)，故D 错误，综上所述，故选C. 答案 C18.(2019·绍兴适应性考试)已知a >0，函数f (x )＝|x 2＋|x －a |－3|在[－1，1]上的最大值是2，则a ＝ .解析由题意知f (0)≤2，即有||a |－3|≤2，又∵a >0，∴||a |－3|≤2⇒|a －3|≤2⇒1≤a≤5.又∵x ∈[－1，1]，∴f (x )＝|x 2－x －3＋a |≤2，设t ＝x 2－x －3，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－134，－1，则原问题等价于t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－134，－1时，|t ＋a |＝|t －(－a )|的最大值为2，∴a ＝3或a ＝54. 答案 3或5419.已知方程x 2＋bx ＋c ＝0在(0，2)上有两个不同的解，则c 2＋2(b ＋2)c 的取值范围是 .解析设方程x 2＋bx ＋c ＝0在(0，2)上的两个根为α，β，α≠β，则f (x )＝x 2＋bx ＋c ＝(x －α)(x －β)，0<α<2且0<β<2，所以c 2＋2(b ＋2)c ＝f (0)·f (2)＝αβ(2－α)(2－β)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋（2－α）22⎣⎢⎡⎦⎥⎤β＋（2－β）22＝1，又0<α<2且0<β<2，所以αβ(2－α)(2－β)>0，所以c 2＋2(b ＋2)c 的取值范围是(0，1]. 答案 (0，1]20.已知函数f (x )＝ax ＋3＋|2x 2＋(4－a )x －1|的最小值为2，则a ＝ .解析令g (x )＝2x 2＋(4－a )x －1＝0，Δ＝(4－a )2＋8>0，则g (x )＝0有两个不相等的实数根，不妨设为x 1，x 2(x 1<x 2)，则x 1＝a －4－（4－a ）2＋84，x 2＝a －4＋（4－a ）2＋84，当x ∈[x 1，x 2]时，f (x )＝ax ＋3－[2x 2＋(4－a )x －1]＝－2x 2＋(2a －4)x ＋4，当x ∈(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)时，f (x )＝ax ＋3＋[2x 2＋(4－a )x －1]＝2(x ＋1)2≥0，因为f (x )的最小值为2，则f (x )min ＝min{f (x 1)，f (x 2)}，即ax 1＋3＝2或ax 2＋3＝2，解得a ＝12.答案 12。

高考总复习一轮数学精品课件第3章函数与基本初等函数第5节幂函数、对勾函数及一次分式函数

_______
奇函数
函数
y=x
图象
过定点
(1,1)
y=x2
y=x3
y=
y=x-1
微思考幂函数的图象可以经过第四象限吗?
提示不可以.因为当x>0时,y=xα>0,所以幂函数的图象一定经过第一象限,
不经过第四象限.
微点拨1.幂函数在(0,+∞)内都有定义.
2.当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)内单调递增.
f(x)=2+ ,所以函数的单调递增区间是(-∞,-3)和(-3,+∞).
+3
又因为 f(x)在(-∞,a)内单调递增,所以 a≤-3.
变式探究1
在本例中,所有条件不变,则函数g(x)=f(sin
1 3
[-2 , 4]
x)的值域为__________.
-5
解析 g(x)=f(sin x)=2+sin+3,由于-1≤sin x≤1,所以 2≤sin x+3≤4,
解根据题意知,要使函数 f(x)有意义,则不等式 x+a≠0 即 x≠-a,
又因为 f(x)的定义域为{x|x≠-3},所以 a=3.
(1)因为
2+1
f(x)= +3
=
2+6-5
-5
-5
=2++3,由于+3
+3
因此函数的值域为{y|y≠2}.
(2)因为
≠0,所以
-5
2++3
≠2,
-5
研考点
精准突破
考点一
幂函数的概念、图象及性质

2020衡水中学高考数学三轮冲刺单元过关检测卷：函数概念与基本初等函数I过关检测解析版

函数概念与基本初等函数I过关检测(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设f(log2x)=2x(x>0),则f(2)的值是( )A.128B.16C.8D.256【解析】选B.令t=log2x,则x=2t,所以f(t)=,f(2)=24=16.2.已知函数f(x)=x+cos x,则f′= ( )A. B. C.1- D.【解析】选A.因为f′(x)=1-sin x,所以f′=1-sin=1-=.3.下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( )A.y=cos xB.y=sin xC.y=ln xD.y=x2+1【解析】选A.由选项可知,B,C项均不是偶函数,故排除B,C项,A,D项是偶函数,但D项与x轴没有交点,即D项的函数不存在零点.4.函数y=log2(x2+2x-3)的单调递减区间为( )A.(-∞,-3)B.(-∞,-1)C.(1,+∞)D.(-3,-1)【解析】选A.由x2+2x-3>0得原函数的定义域为(-∞,-3)∪(1,+∞),函数y=log2(x2+2x-3)为复合函数,则单调递减区间即为函数y=x2+2x-3的递减区间,即(-∞,-3).5.(2020·重庆模拟)设a=,b=,c=ln,则( )A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.b<a<c【解析】选B.很明显:a>0,b>0,c<0,且==,函数f(x)= 在区间(0,e)上单调递增,则>1,ln a>ln b,a>b,据此可得:c<b<a.6.设f(x)=则不等式f(x)>2的解集为( )A.(1,2)∪(3,+∞)B.(,+∞)C.(1,2)∪(,+∞)D.(1,2)【解析】选C.或⇒或⇒1<x<2或x>.7.函数f(x)=的图象大致是( )【解析】选B.由条件知f(x)=-f(-x),函数为奇函数,由定义域得x≠±1,排除C;当0<x<1时,f(x)>0,排除D;当x>1时,f(x)<0,排除A.故选B.8.已知函数f(x)=x3-3x2+mx+n,若存在三个实数a,b,c满足,a>b>c且f(a)=f(b)=f(c),则实数m的取值范围是 ( )A.(0,3)B.(-∞,3)C.(3,+∞)D.(-3,3)【解析】选B.因为f(x)=x3-3x2+mx+n,所以f′(x)=3x2-6x+m,要使存在三个实数a,b,c满足,a>b>c且f(a)=f(b)=f(c),即该函数有两个极值点,也就是说f′(x)=3x2-6x+m有两个不同的零点,所以(-6)2-12m>0,所以m<3.9.已知P是圆(x-1)2+y2=1上异于坐标原点O的任意一点,直线OP的倾斜角为θ,若|OP|=d,则函数d=f(θ)的大致图象是( )世纪金榜导学号37680749【解析】选D.依题意得d=所以对应图象是D.10.某同学在研究函数f(x)=(x∈R)时,分别给出下面几个结论:①等式f(-x)+f(x)=0在x∈R时恒成立;②函数f(x)的值域为(-1,1);③若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2);④函数g(x)=f(x)-x在R上有三个零点.其中正确结论的序号是 ( )A.①②B.①②③C.①③④D.①②③④【解析】选B.因为f(x)=(x∈R),所以,f(-x)+f(x)=+==0,所以①正确;因为f(x)==的图象如图所示:由图象可知函数f(x)是奇函数,且在R上为单调增函数,值域为(-1,1),所以②③正确;因为g(x)=f(x)-x,所以,g(0)=f(0)-0=0,当x>0时,g(x)=f(x)-x=<0,当x<0时,g(x)=f(x)-x=>0,函数g(x)=f(x)-x在R上只有一个零点,所以④不正确.11.已知m=log a+log a3,n=log b6-log b3,若m<n,则下列结论中,不可能成立的是( ) A.0<b<a<1 B.0<b<1<aC.a>b>1D.0<a<1<b【解析】选B.m=log a+log a3=log a2,n=log b6-log b3=log b2,因为m<n,所以log a2<log b2,因此或或所以a>b>1或0<b<a<1或0<a<1<b.12.(2020·柳州模拟)已知函数f(x)=若函数h(x)=f(x)-mx+2有三个不同的零点,则实数m的取值范围是( )A.B.∪(1,+∞)C.∪[1,+∞)D.【解析】选A.函数h(x)=f(x)-mx+2有三个不同的零点,即为f(x)-mx+2=0有三个不同的实根,可令y=f(x),y=g(x)=mx-2,分别画出y=f(x)和y=g(x)的图象,A(0,-2),B(3,1),C(4,0),则g(x)的图象介于直线AB和AC之间,则k AC<m<k AB,可得<m<1.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=log0.5(-x)+x2,则f(2)=________.【解析】因为当x∈(-∞,0)时,f(x)=log0.5(-x)+x2,所以,f(-2)=log0.52+(-2)2 =-1+4=3,又因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(2)=-3.答案:-314.(2020·茂名模拟)若函数f(x)=(x+m)e x(m∈R)的图象在点(1,f(1))处的切线斜率为2e,则函数f(x)的极小值是________.【解析】因为f′(x)=e x+(x+m)e x=(x+m+1)e x,所以由导数的几何意义可得切线的斜率k=(m+2)e=2e⇒m=0,故f(x)=xe x,令f′(x)=(x+1)e x可得x=-1,则函数的极小值为f(-1)=-e-1.答案:-15.若函数f(x)=2|x-a|(a∈R)满足f(1+x)=f(1-x),且f(x)在[m,+∞)上单调递增,则实数m的最小值等于________.【解析】由f(1+x)=f(1-x)得函数f(x)关于x=1对称,故a=1,则f(x)=2|x-1|,由复合函数单调性得f(x)在[1,+∞)上单调递增,故m≥1,所以实数m的最小值等于1.答案:116.已知函数f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f′(x),且函数y=f′(x)的图象关于直线x=-对称,f′(1)=0.下列命题正确的有______(将所有正确命题的序号都填上).①a=3,b=12;②函数的单调增区间是(-∞,-2),(1,+∞),单调减区间是(-2,1);③函数的极大值是f(-2)=21,极小值是f(1)=-6;④函数的零点有3个.【解析】由已知,f′(x)=6x2+2ax+b,即f′(x)=6+b-,所以-=-,即a=3.又f′(1)=0,即6+2a+b=0得b=-12,①不正确.由上可知,f(x)=2x3+3x2-12x+1,f′(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2),令f′(x)=0即6(x-1)(x+2)=0解得x=-2或x=1,由f′(x)>0得函数的单调增区间是(-∞,-2),(1,+∞);由f′(x)<0,知单调减区间是(-2,1),②正确;进一步可知,函数的极大值f(-2)=21,极小值是f(1)=-6,③正确;通过画函数图象的草图,可知④正确.答案:②③④三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知函数f(x)=log2(a为常数)是奇函数.(1)求a的值与函数f(x)的定义域.(2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)+log2(x-1)>m恒成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)因为函数f(x)=log2是奇函数,所以f(-x)=-f(x),即log2=-log2,即log2=log2,解上式得:a=1.令>0,解得x<-1或x>1.所以函数的定义域为{x|x<-1或x>1}(2)f(x)+log2(x-1)=log2(1+x),当x>1时,x+1>2,所以log2(1+x)>log22=1,因为x∈(1,+∞),f(x)+log2(x-1)>m恒成立, 所以m≤1,所以m的取值范围是(-∞,1].18.(12分)设函数f(x)=ax2+ln x.(1)若函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线斜率是-1,求a.(2)已知a<0,若f(x)≤-恒成立,求a的取值范围.【解析】(1)由f(x)=ax2+lnx,可得f′(x)=2ax+,所以f′(1)=-1,解得a=-1.(2)f′(x)==(x>0,a<0).令f′(x)=0,则x=.当x∈时,f′(x)>0;当x∈时,f′(x)<0.故x=为函数f(x)的唯一极大值点,所以f(x)的最大值为f=-+ln.由题意有-+ln≤-,解得a≤-.所以a的取值范围为.19.(12分)(1)若函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点, 求实数a的值. (2)若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点,求实数a的取值范围.【解析】(1)若a=0,则f(x)=-x-1,令f(x)=0,即-x-1=0,得x=-1,故符合题意;若a≠0,则f(x)=ax2-x-1是二次函数,故有且仅有一个零点等价于Δ=1+4a=0,解得a=-,综上所述a=0或a=-.(2)若f(x)=|4x-x2|+a有4个零点,即|4x-x2|+a=0有四个根,即|4x-x2|=-a有四个根.令g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a. 作出g(x)的图象,由图象可知如果要使|4x-x2|=-a有四个根,那么g(x)与h(x)的图象应有4个交点.故需满足0<-a<4,即-4<a<0.所以a的取值范围是(-4,0).20.(12分)(2020·重庆模拟)已知函数f(x)=x2-(a+1)x+aln x+1.(1)若x=2是f(x)的极值点,求f(x)的极大值.(2)求实数a的范围,使得f(x)≥1恒成立.【解析】(1)f′(x)=x-(a+1)+,因为x=2是f(x)的极值点,所以f′(2)=2-(a+1)+=0解得a=2,当a=2时,f′(x)=x-3+==当x变化时,x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,+∞)f′(x) + 0 - 0 +f(x) 递增极大值递减极小值递增f(x)的极大值为f(1)=-.(2)要使得f(x)≥1恒成立,即x>0时,x2-(a+1)x+aln x≥0恒成立,设g(x)=x2-(a+1)x+aln x,则g′(x)=x-(a+1)+=,(Ⅰ)当a≤0时,由g′(x)<0得函数g(x)的单调减区间为(0,1),由g′(x)>0得函数g(x)的单调增区间为(1,+∞),此时g(x)min=g(1)=-a-≥0,得a≤-. (ⅱ)当0<a<1时,由g′(x)<0得函数g(x)的单调减区间为(a,1),由g′(x)>0得函数g(x)的单调增区间为(0,a),(1,+∞),此时g(1)=-a-<0,所以不合题意. (Ⅲ)当a=1时,g′(x)=≥0,g(x)在(0,+∞)上单调递增,此时g(1)=-a-<0,所以不合题意.(Ⅳ)当a>1时,由g′(x)<0得函数g(x)的单调减区间为(1,a),由g′(x)>0得函数g(x)的单调增区间为(0,1),(a,+∞),此时g(1)=-a-<0,所以不合题意.综上所述:a≤-时,f(x)≥1恒成立.21.(12分)(2020·遵义模拟) 已知函数f(x)=x-aln x+.(1)求函数f(x)的单调区间.(2)若存在x0∈[1,e],使得f(x0)<0成立,求a的取值范围.【解析】(1)函数f(x)=x-aln x+的定义域为(0,+∞),f′(x)=1--=,①当1+a≤0,即a≤-1时,f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上是增函数;②当1+a>0,即a>-1时,x∈(0,1+a)时,f′(x)<0;x∈(1+a,+∞)时,f′(x)>0;故f(x)在(0,1+a)上是减函数,在(1+a,+∞)上是增函数. (2)①当a≤-1时,存在x0∈[1,e],使得f(x0)<0成立可化为f(1)=1+1+a<0,解得,a<-2;②当-1<a≤0时,存在x0∈[1,e],使得f(x0)<0成立可化为f(1)=1+1+a<0,解得,a<-2;舍去③当0<a≤e-1时,存在x0∈[1,e],使得f(x0)<0成立可化为f(1+a)=1+a-aln(1+a)+1<0,无解;④当e-1<a时,存在x0∈[1,e],使得f(x0)<0成立可化为f(e)=e-a+<0,解得,a>;综上所述,a的取值范围为(-∞,-2)∪.22.(12分)(2020·深圳模拟)已知函数f(x)=e x-(a-1)x+b.(1)求函数f(x)的极小值.(2)若函数f(x)有两个零点x1,x2,求证:a>+1.【解析】(1)f′(x)=e x-a+1.当a≤1时,f′(x)>0,f(x)在R上为增函数,函数f(x)无极小值; 当a>1时,令f′(x)=0,解得x=ln(a-1).若x∈(-∞,ln(a-1)),则f′(x)<0,f(x)单调递减;若x∈(ln (a-1),+∞),则f′(x)>0,f(x)单调递增.故函数f(x)的极小值为f(ln(a-1))=(a-1)[1-ln(a-1)]+b. (2)由题可知-(a-1)x1+b=0, ①-(a-1)x2+b=0, ②①-②得--(a-1)(x1-x2)=0,所以a-1=.要证a>+1,即证<a-1=,不妨设x2>x1,只需证<,令t=x2-x1>0, 即证<,要证<,只需证->t,令F(t)=--t=()t--t,只需证F(t)>0,因为F′(t)=+-1=-1>0,所以F(t)在(0,+∞)内为增函数,故F(t)>F(0)=0,所以<成立.所以原命题成立.。

高考数学一轮复习数学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案

高考数学一轮复习数学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案一、函数的概念与基本初等函数多选题1．已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>满足()()00112f x f x =+=-，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值.则（）A ．0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭B ．若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()f x 的最小正周期为3D ．()f x 在(0,2019)上的零点个数最少为1346个【答案】AC 【分析】根据正弦函数图象的对称性可判断A ；根据已知三角函数值求角的方法，可得052,6x k k Z ωϕππ+=-∈，0(1)2,6x k k Z πωϕπ++=-∈，两式相减可求出ω，进而求得周期，从而可判断B 和C 选项；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期，为了算出零点“至少”有多少个，可取(0)0f =，进而可判断D ．【详解】解：由题意得，()f x 在()00,1x x +的区间中点处取得最小值，即0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以A 正确；因为()()00112f x f x =+=-，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值，所以不妨令052,6k k Z ωϕππ+=-∈， ()012,6x k k Z πωϕπ++=-∈，两式相减得，23πω=，所以23T πω==，即B 错误，C 正确；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期，当(0)0f =，即k ϕπ=时，()f x 在区间(0,2019)上的零点个数至少为673211345⨯-=个，即D 错误.故选:AC . 【点睛】本题考查与三角函数有关的命题的真假关系，结合三角函数的图象与性质，利用特殊值法以及三角函数的性质是解题的关键，综合性较强．2．对于函数()9f x x x=+，则下列判断正确的是（） A ．()f x 在定义域内是奇函数B ．函数()f x 的值域是(][),66,-∞-⋃+∞ C ．()12,0,3x x ∀∈，12x x ≠，有()()12120f x f x x x ->-D ．对任意()12,0,x x ∈+∞且12x x ≠，有()()1212122x x f f x f x +⎛⎫<+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭【答案】ABD 【分析】根据函数奇偶性定义判断()f x 的奇偶性，利用基本不等式求()f x 的值域，设1203x x <<<，根据解析式判断()()12,f x f x 的大小，进而确定()()1212,0f x f x x x --的大小关系，应用作差、作商法判断12122,2()()f x f x x x f +⎛⎫⎪+⎝⎭大小关系，进而确定各项的正误. 【详解】A ：由解析式知：定义域为0x ≠，99()()()f x x x f x x x-=-+=-+=--，即()f x 在定义域内是奇函数，正确； B ：当0x >时，()96f x x x =+≥=当且仅当3x =时等号成立；当0x <时有0x ->，()9[()()]6f x x x=--+-≤-=-当且仅当3x =-时等号成立；故其值域(][),66,-∞-⋃+∞，正确；C ：当1203x x <<<时，()()1212121212999()(1)f x f x x x x x x x x x -=-+-=--，而120x x -<，12910x x -<，则()()120f x f x ->，所以()()12120f x f x x x -<-，错误；D ：若120x x >>，1212123622x x f x x x x +⎛⎫=++⎪+⎝⎭，12121299()()f x f x x x x x +=+++，所以121212123699()()]2[()2f x f x x x x x x x f +⎛⎫- ⎪⎝+=-++⎭，而121221212364199()x x x x x x x x +=<++，即()()1212122x x f f x f x +⎛⎫<+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，正确；故选：ABD 【点睛】关键点点睛：综合应用函数奇偶性的证明、对勾函数值域的求法、作差(作商)法比较大小，判断各选项的正误.3．函数()()1xf x x R x=∈+，以下四个结论正确的是（） A ．()f x 的值域是()1,1- B ．对任意x ∈R ，都有()()12120f x f x x x ->-C ．若规定()()()()()11,n n f x f x f x f f x +==，则对任意的(),1n xn N f x n x*∈=+ D ．对任意的[]1,1x ∈-，若函数()2122f x t at ≤-+恒成立，则当[]1,1a ∈-时，2t ≤-或2t ≥【答案】ABC 【分析】由函数解析式可得函数图象即可知其值域、单调性；根据C 中的描述结合数学归纳法可推得结论成立；由函数不等式恒成立，利用变换主元法、一元二次不等式的解法即可求参数范围. 【详解】由函数解析式可得11,01()11,01x x f x x x⎧-≥⎪⎪+=⎨⎪-<⎪-⎩，有如下函数图象：∴()f x 的值域是()1,1-，且单调递增即()()12120f x f x x x ->-(利用单调性定义结合奇偶性也可说明)，即有AB 正确；对于C ，有()11x f x x =+，若()1,1(1)n x n N f x n x*-∈=+-， ∴当2n ≥时，11(1)||()(())1||1||1(1)||n n xx n x f x f f x x n x n x -+-===+++-，故有(),1n xn N f x n x*∈=+.正确. 对于D ，[]1,1x ∈-上max 1()(1)2f x f ==，若函数()2122f x t at ≤-+恒成立，即有211222t at -+≥，220t at -≥恒成立，令2()2h a at t =-+，即[]1,1a ∈-上()0h a ≥， ∴0t >时，2(1)20h t t =-+≥，有2t ≥或0t ≤（舍去）；0t =时，()0h a 故恒成立；0t <时，2(1)20h t t -=+≥，有2t ≤-或0t ≥（舍去）；综上，有2t ≥或0t =或2t ≤-；错误. 故选：ABC 【点睛】方法点睛：1、对于简单的分式型函数式画出函数图象草图判断其值域、单调性.2、数学归纳法：当1n =结论成立，若1n -时结论也成立，证明n 时结论成立即可.3、利用函数不等式恒成立，综合变换主元法、一次函数性质、一元二次不等式解法求参数范围.4．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相对统一的和谐美. 定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”.则下列有关说法中，正确的是（）A ．对于圆O ：221x y +=的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数B ．函数()sin 1f x x =+是圆O ：()2211x y +-=的一个太极函数C ．存在圆O ，使得()11x x e f x e -=+是圆O 的一个太极函数D ．直线()()12110m x m y +-+-=所对应的函数一定是圆O ：()()()222210x y R R -+-=>的太极函数【答案】BCD 【分析】利用“太极函数”的定义逐个判断函数是否满足新定义即可. 【详解】对于A ，如下图所示，若太极函数为偶函数，且ACEPCOPODDFBS SSS===，所以该函数平分圆O 的周长和面积，故A 错误；对于B ，()sin 1f x x =+也关于圆心(0,1) 对称，平分圆O 的周长和面积，所以函数()sin 1f x x =+是圆()22:11O x y +-=的一个太极函数；故B 正确；对于C ，()()+12121+1+1+1x x x x x e e f x e e e --===-，. ()()11111+11++1xxx x xx e e e f x f x e e e------====-，该函数为奇函数，图象关于原点对称. 所以存在圆O ：221x y +=使得()11x x e f x e -=+是圆O 的一个太极函数，如下图所示，故C 正确；对于D ，对于直线()()12110m x m y +-+-=的方程，变形为()()210m x y x y -+--=，令2010x y x y -=⎧⎨--=⎩，得21x y =⎧⎨=⎩，直线()()12110m x m y +-+-=经过圆O 的圆心，可以平分圆O 周长和面积，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查函数对称性的判定与应用，将新定义理解为函数的对称性为解题的关键，考查推理能力，属于较难题.5．已知函数()()23,03,0x x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩，以下结论正确的是（）A ．()f x 在区间[]4,6上是增函数 B ．()()220204f f -+=C ．若函数()y f x b =-在(),6-∞上有6个零点()1,2,3,4,5,6i x i =，则619ii x==∑D ．若方程()1f x kx =+恰有3个实根，则{}11,13k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭【答案】BCD 【分析】根据()f x 在[2-，0]上的单调性判断A ，根据(2020)(2)f f =-判断B ，根据图象的对称性判断C ，根据直线1y kx =+与()y f x =的图象有3个交点判断D ．【详解】解：由题意可知当3x -时，()f x 是以3为周期的函数，故()f x 在[4，6]上的单调性与()f x 在[2-，0]上的单调性相同，而当0x <时，239()()24f x x =-++，()f x ∴在[2-，0]上不单调，故A 错误；又(2020)(2)2f f =-=，故(2)(2020)4f f -+=，故B 正确；作出()y f x =的函数图象如图所示：由于()y f x b =-在(,6)-∞上有6个零点，故直线y b =与()y f x =在(,6)-∞上有6个交点，不妨设1i i x x +<，1i =，2，3，4，5，由图象可知1x ，2x 关于直线32x =-对称，3x ，4x 关于直线32x =对称，5x ，6x 关于直线92x =对称， ∴613392229222i i x ==-⨯+⨯+⨯=∑，故C 正确；若直线1y kx =+经过点(3,0)，则13k =-，若直线1y kx =+与23(0)y x x x =--<相切，则消元可得：2(3)10x k x +++=，令0∆=可得2(3)40k +-=，解得1k =-或5k =-，当1k =-时，1x =-，当5k =-时，1x =（舍)，故1k =-．若直线1y kx =+与()y f x =在(0,3)上的图象相切，由对称性可得1k =．因为方程()1f x kx =+恰有3个实根，故直线1y kx =+与()y f x =的图象有3个交点， 113k ∴-<<-或1k =，故D 正确．故选：BCD ．【点睛】本题考查了函数零点与函数图象的关系，考查函数周期性、对称性的应用，属于中档题．6．下列命题正确的是（）A ．已知幂函数21()(1)m f x m x --=+在(0,)+∞上单调递减则0m =或2m =-B ．函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，一个大于0，一个小于0的一个充分不必要条件是1m <-．C ．已知函数31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++⎪-⎝⎭，若(21)0f a ->，则a 的取值范围为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．已知函数()f x 满足()()2f x f x -+=，1()x g x x+=，且()f x 与()g x 的图像的交点为()()()112288,,,,x y x y x y 则128128x x x y y y ++⋯++++⋯+的值为8【答案】BD 【分析】根据幂函数的性质，可判定A 不正确；根据二次函数的性质和充分条件、必要条件的判定，可得判定B 是正确；根据函数的定义域，可判定C 不正确；根据函数的对称性，可判定D 正确，即可求解. 【详解】对于A 中，幂函数21()(1)m f x m x--=+，可得11m +=±，解得0m =或2m =-，当0m =时，函数1()f x x -=在(0,)+∞上单调递减；当2m =-时，函数()f x x =在(0,)+∞上单调递增，所以A 不正确；对于B 中，若函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，且一个大于0，一个小于0，则满足(0)30f m =<，解得0m <，所以1m <-是函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，且一个大于0，一个小于0的充分不必要条件，所以B 是正确；对于C 中，由函数31()sin ln()1x f x x x x +=++-，则满足101xx+>-，解得11x -<<，即函数()f x 的定义域为(1,1)-，所以不等式(21)0f a ->中至少满足1211a -<-<，即至少满足01a <<，所以C 不正确；对于D 中，函数()f x 满足()()2f x f x -+=，可得函数()y f x =的图象关于(0,1)点对称，又由11()x x g x x x-+--==-，可得()()2g x g x -+=，所以函数()y g x =的图象关于(0,1)点对称，则1281280428x x x y y y ++⋯++++⋯+⨯+==，所以D 正确.故选：BD.【点睛】本题主要考查了以函数的基本性质为背景的命题的真假判定，其中解答中熟记函数的基本性质，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.7．已知()x x f x e ke -=+（k 为常数），那么函数()f x 的图象不可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】AD 【分析】根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()xx f x e e -=+为偶函数，当1k =-时，()xx f x e e -=-为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．【详解】由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()x x f x ee -=+为偶函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=+在1) [,t ∈+∞上单调递增，故函数()xx f x ee -=+在0) [,x ∈+∞上单调递增，故选项C 正确，D 错误；当1k =-时，()xx f x e e -=-为奇函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=-在1) [,t ∈+∞上单调递减，故函数()xx f x e e -=-在0) [,x ∈+∞上单调递减，故选项B 正确，A 错误.故选:AD ．【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质与图象，本题的关键是根据函数图象的对称性，可知1k =或1k =-，再判断函数的单调性.8．狄利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一，狄利克雷函数()1,0,x Q f x x Q ∈⎧=⎨∉⎩（Q 是有理数集）的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化，从研究“算”到研究更抽象的“概念、性质、结构”．关于()f x 的性质，下列说法正确的是（）A ．函数()f x 是偶函数B ．函数()f x 是周期函数C ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=D ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x ⋅= 【答案】ABC 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；验证()()1f x f x +=，可判断B 选项的正误；分1x Q ∈、1x Q ∉两种情况讨论，结合函数()f x 的定义可判断C 选项的正误；取20x =，1x Q ∉可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，任取x Q ∈，则x Q -∈，()()1f x f x ==-；任取x Q ∉，则x Q -∉，()()0f x f x ==-.所以，对任意的x ∈R ，()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数，A 选项正确；对于B 选项，任取x Q ∈，则1x Q +∈，则()()11f x f x +==；任取x Q ∉，则1x Q +∉，则()()10f x f x +==.所以，对任意的x ∈R ，()()1f x f x +=，即函数()f x 为周期函数，B 选项正确；对于C 选项，对任意1x Q ∈，2x ∈Q ，则12x Q x +∈，()()1211f x x f x +==；对任意的1x Q ∉，2x ∈Q ，则12x x Q +∉，()()1210f x x f x +==. 综上，对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=，C 选项正确；对于D 选项，取20x =，若1x Q ∉，则()()()12101f x x f f x ⋅==≠，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于根据已知函数的定义依次讨论各选项，分自变量为无理数和有理数两种情况讨论，对于D 选项，可取1x Q ∉，20x =验证.二、导数及其应用多选题9．已知函数()21ln 2f x ax ax x =-+的图象在点()()11,x f x 处与点()()22,x f x 处的切线均平行于x 轴，则（）A ．()f x 在1,上单调递增B ．122x x +=C ．()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭D ．若163a =，则()f x 只有一个零点【答案】ACD【分析】求导，根据题意进行等价转化，得到a 的取值范围；对于A ，利用导数即可得到()f x 在()1,+∞上的单调性；对于B ，利用根与系数的关系可得121x x =+；对于C ，化简()()121212x x x x f x f x ++++，构造函数，利用函数的单调性可得解；对于D ，将163a =代入()f x '，令()0f x '=，可得()f x 的单调性，进而求得()f x 的极大值小于0，再利用零点存在定理可得解.【详解】由题意可知，函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()211ax ax ax a x x xf -+=-+='，则1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，则2124010a a x x a ⎧∆=->⎪⎨=>⎪⎩，解得4a >，当()1,x ∈+∞时，函数210y ax ax =-+>，此时()0f x '>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，故A 正确；因为1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，所以121x x =+，故B 错误；因为()()221212121112221111ln ln 22x x x x f x f x x ax ax x ax ax a ++++=+++-++- 1112111ln 1ln 22a a a a a a a a⎛⎫=+++--=--+ ⎪⎝⎭，易知函数()11ln 2h a a a a=--+在()4,+∞上是减函数，则当4a >时，()()742ln 24h a h <=--，所以()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭，故C 正确；当163a =时，()1616133f x x x '=-+，令()0f x '=，得14x =或34，则()f x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在13,44⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在14x =取得极大值，且104f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()2ln 20f =>，所以()f x 只有一个零点，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：导数几何意义的应用主要抓住切点的三个特点：①切点坐标满足原曲线方程；②切点坐标满足切线方程；③切点的横坐标代入导函数可得切线的斜率.10．关于函数()sin x f x e a x =+，(),x π∈-+∞，下列结论正确的有（）A ．当1a =时，()f x 在()0,(0)f 处的切线方程为210x y -+=B ．当1a =时，()f x 存在惟一极小值点0xC ．对任意0a >，()f x 在(),π-+∞上均存在零点D ．存在0a <，()f x 在(),π-+∞有且只有一个零点【答案】ABD【分析】逐一验证，选项A ，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程；选项B ，通过导数求出函数极值并判断极值范围，选项C 、D ，通过构造函数，将零点问题转化判断函数的交点问题.【详解】对于A ：当1a =时，()sin xf x e x =+，(),x π∈-+∞，所以(0)1f =，故切点为()0,1，()cos x f x e x '=+，所以切线斜(0)2k f '==，故直线方程为()120y x -=-，即切线方程为：210x y -+=，故选项A 正确；对于B ：当1a =时，()sin xf x e x =+，(),x π∈-+∞， ()cos x f x e x '=+，()()sin 0,,x f x e x x π''=->∈-+∞恒成立，所以()f x '单调递增，又202f π⎛⎫'=> ⎪⎝⎭，334433cos 044f e e ππππ--⎛⎫⎛⎫'-=+-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以存在03,42x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，即00cos 0x e x +=，则在()0,x π-上，()0f x '<，()f x 单调递减，在()0,x +∞上，()0f x '>，()f x 单调递增，所以存在惟一极小值点0x ，故选项B 正确；对于 C 、D ：()sin x f x e a x =+,(),x π∈-+∞，令()sin 0x f x e a x =+=得：1sin x x a e -=，则令sin ()xx F x e =，(),x π∈-+∞，)cos sin 4()x xx x x F x e e π--'==，令()0F x '=，得：4x k ππ=+，1k ≥-，k Z ∈，由函数)4y x π=-图象性质知： 52,244x k k ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭)04x π->，sin ()x x F x e =单调递减， 52,2244x k k πππππ⎛⎫∈+++ ⎪⎝⎭)04x π-<，sin ()x x F x e =单调递增，所以当524x k ππ=+，1k ≥-，k Z ∈时，()F x 取得极小值，即当35,,44x ππ=-时，()F x 取得极小值，又354435sin sin 44e e ππππ-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<< ，即3544F F ππ⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 又因为在3,4ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，sin ()x x F x e =单调递减，所以343()42F x F e ππ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭，所以24x k ππ=+，0k ≥，k Z ∈时，()F x 取得极大值，即当944x ππ=、，时，()F x 取得极大值.又9449sin sin 44e e ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<<，即()442F x F e ππ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当(),x π∈-+∞时，344()22e F x e ππ-≤≤，所以当3412e a π-<-，即34a e π>时， ()f x 在(),π-+∞上无零点，所以选项C 不正确；当341e a π-=时，即4a e π=时， 1=-y a 与sin x x y e=的图象只有一个交点，即存在0a <，()f x 在(),π-+∞有且只有一个零点，故选项D 正确.故选：ABD【点睛】本题考查函数的极值、切线、零点的问题，属于较难题.。

2020届高考数学一轮复习单元检测二函数概念与基本初等函数Ⅰ提升卷单元检测文含解析新人教A版

单元检测二函数概念与基本初等函数Ⅰ(提升卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上． 3．本次考试时间100分钟，满分130分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．函数f (x )＝1lg x ＋2－x 的定义域为( )A ．(－∞，2]B ．(0，1)∪(1，2]C ．(0，2]D ．(0，2)答案 B解析要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，lg x ≠0，2－x ≥0，解得0<x ≤2且x ≠1.2．(2019·哈尔滨师大附中模拟)与函数y ＝x 相同的函数是( ) A ．y ＝x 2B ．y ＝x 2xC ．y ＝(x )2D ．y ＝log a a x(a >0且a ≠1)答案 D解析 A 中对应关系不同；B 中定义域不同；C 中定义域不同；D 中对应关系，定义域均相同，是同一函数． 3．下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是( ) A ．y ＝－1xB ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC ．y ＝x 3D ．y ＝log 2x答案 C解析 y ＝－1x 在其定义域内既不是增函数，也不是减函数；y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在其定义域内既不是偶函数，也不是奇函数；y＝x 3在其定义域内既是奇函数，又是增函数；y ＝log 2x 在其定义域内既不是偶函数，也不是奇函数． 4．已知f (x )＝x －x 2，则函数f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－x 4B ．f (x )＝x －x 2C ．f (x )＝x 2－x 4(x ≥0) D ．f (x )＝x －x (x ≥0)答案 C解析因为f (x )＝(x )2－(x )4，所以f (x )＝x 2－x 4(x ≥0)．5．(2019·宁夏银川一中月考)二次函数f (x )＝4x 2－mx ＋5，对称轴x ＝－2，则f (1)的值为( ) A ．－7B ．17C ．1D ．25 答案 D解析函数f (x )＝4x 2－mx ＋5的图象的对称轴为x ＝－2，可得m8＝－2，解得m ＝－16，所以f (x )＝4x 2＋16x ＋5.则f (1)＝4＋16＋5＝25.6．若a ＝30.3，b ＝log π3，c ＝log 0.3e ，则( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >b D ．b >c >a答案 A解析因为0<0.3<1，e>1，所以c ＝log 0.3e<0，由于0.3>0，所以a ＝30.3>1，由1<3<π，得0b >c .7．已知f (x ＋1)＝－lnx ＋3x －1，则函数f (x )的图象大致为( )答案 A解析由题意得f (x ＋1)＝－ln x ＋3x －1＝－ln (x ＋1)＋2(x ＋1)－2，所以f (x )＝－lnx ＋2x －2＝ln x －2x ＋2.由x －2x ＋2>0，解得定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，故排除B. 因为f (－x )＝ln －x －2－x ＋2＝ln x ＋2x －2＝－lnx －2x ＋2＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，排除C. 又f (3)＝ln 15<0，故排除D.8．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ，当x ∈[m ，5]时，f (x )的值域是[－5，4]，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1，2] C ．[－1，2] D ．[2，5]答案 C解析 f (x )＝－(x －2)2＋4，所以当x ＝2时，f (2)＝4.由f (x )＝－5，解得x ＝5或x ＝－1.所以要使函数f (x )在区间[m ，5]上的值域是[－5，4]，则－1≤m ≤2.9．(2018·南昌模拟)已知函数f (x )的图象关于y 轴对称，且f (x )在(－∞，0]上单调递减，则满足f (3x ＋1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，－16B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－16C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，－16D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－16答案 B解析由函数f (x )的图象关于y 轴对称，且f (x )在(－∞，0]上单调递减，得f (x )在(0，＋∞)上单调递增．又f (3x ＋1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以|3x ＋1|<12，解得－12<x <－16.10．(2018·孝感模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x 2＋t )，x <0，2(t ＋1)x，x ≥0，且f (1)＝6，则f (f (－2))的值为( )A ．12B ．18C.112D.118答案 A解析 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x 2＋t )，x <0，2(t ＋1)x，x ≥0，∴f (1)＝2(t ＋1)＝6，解得t ＝2.∴f (－2)＝log3(4＋2)＝log36，f (f (－2))＝12.11.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ＝DC ＝2，CB ＝2，动点P 从点A 出发，由A →D →C →B 沿边运动，点P 在AB 上的射影为Q .设点P 运动的路程为x ，△APQ 的面积为y ，则y ＝f (x )的图象大致是()答案 D解析根据题意可得到y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧14x 2，0≤x ≤2，22x ＋1－2，2<x <4，－2＋22(x －4－2)，4≤x ≤4＋2，由二次函数和一次函数的图象可知f (x )的图象只能是D.12．定义在R 上的函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，且f (x ＋1)是偶函数．若当x ∈[0，1]时，f (x )＝sin π2x ，则函数y ＝f (x )与y ＝e －|x |的图象在区间[－2 020，2 020]上的交点个数为( )A ．2019B ．2020C ．4038D ．4040 答案 D解析因为函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，所以函数y ＝f (x )图象的对称轴为直线x ＝0，故y ＝f (x )是偶函数，即f (－x )＝f (x )．又f (x ＋1)是偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)．故f (x ＋2)＝f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是周期为2的偶函数．又当x ∈[0，1]时，f (x )＝sin π2x ，作出y ＝f (x )与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e |x |的图象，如图所示．结合图象可知在每个周期内，两函数的图象有2个交点，所以在区间[－2 020，2 020]上的交点个数为2020×2＝4040.第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．幂函数f (x )＝(m 2－m －1)223m m x+-在区间(0，＋∞)内为增函数，则实数m 的值为______．答案 2解析根据题意得m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 因为当x ∈(0，＋∞)时，f (x )为增函数，所以当m ＝2时，m 2＋2m －3＝5，幂函数为f (x )＝x 5，满足题意；当m ＝－1时，m 2＋2m －3＝－4，幂函数为f (x )＝x －4，不满足题意．综上，m ＝2.14．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，且当0≤x <1时，f (x )＝2x＋a ，f (1)＝0，则f (－3)＋f (14－log 27)＝________. 答案－34解析易知f (－3)＝f (1)＝0，由f (x )是奇函数，知f (0)＝0，所以20＋a ＝0，所以a ＝－1. 因为log 27＝2＋log 274，所以f (14－log 27)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 274＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 274 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫74－1＝－34，则f (－3)＋f (14－log 27)＝0－34＝－34.15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0，x 2－3ax ＋a ，x >0有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤49，1 解析如图，要使函数f (x )的图象和x 轴有三个交点，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，3a 2>0，9a 2－4a >0，解得49<a ≤1.16．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数．例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f (x )＝e x1＋e x －12，则函数y ＝[f (x )]＋[f (－x )]的值域是________．答案 {－1，0}解析因为f (x )＝e x －12(e x ＋1)，则f (－x )＝1－ex2(1＋e x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．因为函数f (x )＝e x1＋e x －12＝12－1e x＋1，又e x＋1>1，所以0<1e x＋1<1，故－12<12－1e x ＋1<12.当f (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0时，[f (x )]＝－1，[f (－x )]＝0；当f (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，[f (x )]＝0，[f (－x )]＝－1；当f (x )＝0时，[f (x )]＝0，[f (－x )]＝0.所以函数y ＝[f (x )]＋[f (－x )]的值域为{－1，0}．三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax，a 为常数，且函数的图象过点(－1，2)．(1)求常数a 的值；(2)若g (x )＝4－x－2，且存在x ，使g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值．解 (1)由已知得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a＝2，解得a ＝1.(2)由(1)知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，因为存在x ，使g (x )＝f (x )，所以4－x－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－2＝0，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－2＝0有解，令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝t (t >0)，则t 2－t －2＝0，即(t －2)(t ＋1)＝0，解得t ＝2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝2，解得x ＝－1，故满足条件的x 的值为－1. 18．(12分)已知函数f (x )＝3x ＋7x ＋2，x ∈(－2，2)． (1)判断函数f (x )的单调性；(2)解不等式12log [f (－2m ＋3)]>12log [f (m 2)]．解 (1)任取x 1，x 2∈(－2，2)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝3x 1＋7x 1＋2－3x 2＋7x 2＋2＝(3x 1＋7)(x 2＋2)－(3x 2＋7)(x 1＋2)(x 1＋2)(x 2＋2)＝x 2－x 1(x 1＋2)(x 2＋2).∵x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，又x 1，x 2∈(－2，2)， ∴x 1＋2>0，x 2＋2>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．∴函数f (x )＝3x ＋7x ＋2，x ∈(－2，2)为减函数．(2)由(1)知函数f (x )在(－2，2)上为减函数，易知f (x )>0，∴12log [f (－2m ＋3)]>12log [f (m 2)]等价于f (－2m ＋3)<f (m 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<－2m ＋3<2，－2<m 2<2，－2m ＋3>m 2，解得12<m <1.故所求不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 19．(13分)小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为(25－x )万元(国家规定大货车的报废年限为10年)． (1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出) 解 (1)设大货车运输到第x 年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y 万元，则y ＝25x －[6x ＋x (x －1)]－50 ＝－x 2＋20x －50(0<x ≤10，x ∈N *)．由－x 2＋20x －50>0，可得10－52<x <10＋5 2. 又2<10－52<3，故大货车运输到第3年年底，该车运输累计收入超过总支出． (2)∵利润＝累计收入＋销售收入－总支出， ∴二手车出售后，小张的年平均利润为y ＝y ＋(25－x )x ＝19－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤19－2x ×25x＝19－10＝9，当且仅当x ＝5时，等号成立．∴小王应当在第5年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大． 20．(13分)已知函数f (x )＝log 2(4x＋1)－x .(1)若函数y ＝f (x )－x －a 没有零点，求实数a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝2f (x )＋x＋m ·2x－1，x ∈[0，log 23]的最小值为0，求实数m 的值．解 (1)函数y ＝f (x )－x －a 没有零点，即关于x 的方程log 2(4x＋1)－2x ＝a 无实数根．令g (x )＝log 2(4x＋1)－2x ，则函数y ＝g (x )的图象与直线y ＝a 无交点．因为g (x )＝log 2(4x＋1)－2x ＝log 2(4x＋1)－log 24x＝log 24x＋14x ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14x ，又1＋14x >1，所以g (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14x >0. 所以实数a 的取值范围是(－∞，0]．(2)由题意得h (x )＝4x ＋m ·2x，x ∈[0，log 23]．令t ＝2x∈[1，3]，则φ(t )＝t 2＋mt ，t ∈[1，3]． ①当－m2≤1，即m ≥－2时，φ(t )min ＝φ(1)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1； ②当1<－m2<3，即－6<m <－2时，φ(t )min ＝φ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2＝－m 24＝0，解得m ＝0(舍去)．③当－m2≥3，即m ≤－6时，φ(t )min ＝φ(3)＝9＋3m ＝0，解得m ＝－3(舍去)，综上可知，实数m 的值为－1.。

2020届高考数学一轮复习单元检测二函数概念与基本初等函数ⅰ提升卷单元检测文含解析新人教a版

单元检测二函数概念与基本初等函数Ⅰ(提升卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间100分钟，满分130分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．函数f (x )＝1lg x＋2－x 的定义域为( ) A ．(－∞，2] B ．(0，1)∪(1，2] C ．(0，2] D ．(0，2)答案 B解析要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，lg x ≠0，2－x ≥0，解得0<x ≤2且x ≠1.2．(2019·哈尔滨师大附中模拟)与函数y ＝x 相同的函数是( ) A ．y ＝x 2B ．y ＝x 2xC ．y ＝(x )2D ．y ＝log a a x(a >0且a ≠1)答案 D解析 A 中对应关系不同；B 中定义域不同；C 中定义域不同；D 中对应关系，定义域均相同，是同一函数．3．下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是( ) A ．y ＝－1xB ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC ．y ＝x 3D ．y ＝log 2x答案 C解析 y ＝－1x 在其定义域内既不是增函数，也不是减函数；y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在其定义域内既不是偶函数，也不是奇函数；y ＝x 3在其定义域内既是奇函数，又是增函数；y ＝log 2x 在其定义域内既不是偶函数，也不是奇函数．4．已知f (x )＝x －x 2，则函数f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－x 4B ．f (x )＝x －x 2C ．f (x )＝x 2－x 4(x ≥0) D ．f (x )＝x －x (x ≥0)答案 C解析因为f (x )＝(x )2－(x )4，所以f (x )＝x 2－x 4(x ≥0)．5．(2019·宁夏银川一中月考)二次函数f (x )＝4x 2－mx ＋5，对称轴x ＝－2，则f (1)的值为( )A ．－7B ．17C ．1D ．25 答案 D解析函数f (x )＝4x 2－mx ＋5的图象的对称轴为x ＝－2，可得m8＝－2，解得m ＝－16，所以f (x )＝4x 2＋16x ＋5.则f (1)＝4＋16＋5＝25.6．若a ＝30.3，b ＝log π3，c ＝log 0.3e ，则( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >b D ．b >c >a答案 A解析因为0<0.3<1，e>1，所以c ＝log 0.3e<0，由于0.3>0，所以a ＝30.3>1，由1<3<π，得0b >c .7．已知f (x ＋1)＝－lnx ＋3x －1，则函数f (x )的图象大致为( )答案 A解析由题意得f (x ＋1)＝－ln x ＋3x －1＝－ln (x ＋1)＋2(x ＋1)－2，所以f (x )＝－ln x ＋2x －2＝ln x －2x ＋2. 由x －2x ＋2>0，解得定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，故排除B. 因为f (－x )＝ln －x －2－x ＋2＝ln x ＋2x －2＝－lnx －2x ＋2＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，排除C. 又f (3)＝ln 15<0，故排除D.8．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ，当x ∈[m ，5]时，f (x )的值域是[－5，4]，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1，2] C ．[－1，2] D ．[2，5]答案 C解析 f (x )＝－(x －2)2＋4，所以当x ＝2时，f (2)＝4.由f (x )＝－5，解得x ＝5或x ＝－1.所以要使函数f (x )在区间[m ，5]上的值域是[－5，4]，则－1≤m ≤2.9．(2018·南昌模拟)已知函数f (x )的图象关于y 轴对称，且f (x )在(－∞，0]上单调递减，则满足f (3x ＋1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，－16B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－16C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，－16D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－16答案 B解析由函数f (x )的图象关于y 轴对称，且f (x )在(－∞，0]上单调递减，得f (x )在(0，＋∞)上单调递增．又f (3x ＋1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以|3x ＋1|<12，解得－12<x <－16.10．(2018·孝感模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x 2＋t )，x <0，2(t ＋1)x，x ≥0，且f (1)＝6，则f (f (－2))的值为( )A ．12B ．18C.112D.118答案 A解析 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x 2＋t )，x <0，2(t ＋1)x，x ≥0，∴f (1)＝2(t ＋1)＝6，解得t ＝2.∴f (－2)＝log3(4＋2)＝log36，f (f (－2))＝12.11.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ＝DC ＝2，CB ＝2，动点P 从点A 出发，由A →D →C →B 沿边运动，点P 在AB 上的射影为Q .设点P 运动的路程为x ，△APQ 的面积为y ，则y ＝f (x )的图象大致是( )答案 D解析根据题意可得到y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧14x 2，0≤x ≤2，22x ＋1－2，2<x <4，－2＋22(x －4－2)，4≤x ≤4＋2，由二次函数和一次函数的图象可知f (x )的图象只能是D.12．定义在R 上的函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，且f (x ＋1)是偶函数．若当x ∈[0，1]时，f (x )＝sin π2x ，则函数y ＝f (x )与y ＝e －|x |的图象在区间[－2 020，2 020]上的交点个数为( ) A ．2019B ．2020C ．4038D ．4040 答案 D解析因为函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，所以函数y ＝f (x )图象的对称轴为直线x ＝0，故y ＝f (x )是偶函数，即f (－x )＝f (x )．又f (x ＋1)是偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)．故f (x ＋2)＝f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是周期为2的偶函数．又当x ∈[0，1]时，f (x )＝sin π2x ，作出y ＝f (x )与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e |x |的图象，如图所示．结合图象可知在每个周期内，两函数的图象有2个交点，所以在区间[－2 020，2 020]上的交点个数为2020×2＝4040.第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．幂函数f (x )＝(m 2－m －1)223m m x+-在区间(0，＋∞)内为增函数，则实数m 的值为______．答案 2解析根据题意得m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 因为当x ∈(0，＋∞)时，f (x )为增函数，所以当m ＝2时，m 2＋2m －3＝5，幂函数为f (x )＝x 5，满足题意；当m ＝－1时，m 2＋2m －3＝－4，幂函数为f (x )＝x －4，不满足题意．综上，m ＝2.14．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，且当0≤x <1时，f (x )＝2x＋a ，f (1)＝0，则f (－3)＋f (14－log 27)＝________. 答案－34解析易知f (－3)＝f (1)＝0，由f (x )是奇函数，知f (0)＝0，所以20＋a ＝0，所以a ＝－1. 因为log 27＝2＋log 274，所以f (14－log 27)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 274＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 274 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫74－1＝－34，则f (－3)＋f (14－log 27)＝0－34＝－34.15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0，x 2－3ax ＋a ，x >0有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤49，1解析如图，要使函数f (x )的图象和x 轴有三个交点，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，3a 2>0，9a 2－4a >0，解得49<a ≤1.16．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数．例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f (x )＝e x1＋e x－12，则函数y ＝[f (x )]＋[f (－x )]的值域是________．答案 {－1，0}解析因为f (x )＝e x－12(e x ＋1)，则f (－x )＝1－ex2(1＋e x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．因为函数f (x )＝e x1＋e x －12＝12－1e x＋1，又e x＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，故－12<12－1e x ＋1<12.当f (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0时，[f (x )]＝－1，[f (－x )]＝0；当f (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，[f (x )]＝0，[f (－x )]＝－1；当f (x )＝0时，[f (x )]＝0，[f (－x )]＝0.所以函数y ＝[f (x )]＋[f (－x )]的值域为{－1，0}．三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax，a 为常数，且函数的图象过点(－1，2)．(1)求常数a 的值；(2)若g (x )＝4－x－2，且存在x ，使g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值．解 (1)由已知得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a＝2，解得a ＝1.(2)由(1)知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，因为存在x ，使g (x )＝f (x )，所以4－x－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－2＝0，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－2＝0有解，令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝t (t >0)，则t 2－t －2＝0，即(t －2)(t ＋1)＝0，解得t ＝2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝2，解得x ＝－1，故满足条件的x 的值为－1. 18．(12分)已知函数f (x )＝3x ＋7x ＋2，x ∈(－2，2)． (1)判断函数f (x )的单调性；(2)解不等式12log [f (－2m ＋3)]>12log [f (m 2)]．解 (1)任取x 1，x 2∈(－2，2)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝3x 1＋7x 1＋2－3x 2＋7x 2＋2＝(3x 1＋7)(x 2＋2)－(3x 2＋7)(x 1＋2)(x 1＋2)(x 2＋2)＝x 2－x 1(x 1＋2)(x 2＋2).∵x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，又x 1，x 2∈(－2，2)， ∴x 1＋2>0，x 2＋2>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．∴函数f (x )＝3x ＋7x ＋2，x ∈(－2，2)为减函数．(2)由(1)知函数f (x )在(－2，2)上为减函数，易知f (x )>0，∴12log [f (－2m ＋3)]>12log [f (m 2)]等价于f (－2m ＋3)<f (m 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<－2m ＋3<2，－2<m 2<2，－2m ＋3>m 2，解得12<m <1.故所求不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 19．(13分)小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为(25－x )万元(国家规定大货车的报废年限为10年)． (1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)解 (1)设大货车运输到第x 年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y 万元，则y ＝25x －[6x ＋x (x －1)]－50 ＝－x 2＋20x －50(0<x ≤10，x ∈N *)．由－x 2＋20x －50>0，可得10－52<x <10＋5 2. 又2<10－52<3，故大货车运输到第3年年底，该车运输累计收入超过总支出． (2)∵利润＝累计收入＋销售收入－总支出， ∴二手车出售后，小张的年平均利润为y ＝y ＋(25－x )x ＝19－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤19－2x ×25x＝19－10＝9，当且仅当x ＝5时，等号成立．∴小王应当在第5年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大． 20．(13分)已知函数f (x )＝log 2(4x＋1)－x .(1)若函数y ＝f (x )－x －a 没有零点，求实数a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝2f (x )＋x＋m ·2x－1，x ∈[0，log 23]的最小值为0，求实数m 的值．解 (1)函数y ＝f (x )－x －a 没有零点，即关于x 的方程log 2(4x＋1)－2x ＝a 无实数根．令g (x )＝log 2(4x＋1)－2x ，则函数y ＝g (x )的图象与直线y ＝a 无交点．因为g (x )＝log 2(4x＋1)－2x ＝log 2(4x＋1)－log 24x＝log 24x＋14x ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14x ，又1＋14x >1，所以g (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14x >0. 所以实数a 的取值范围是(－∞，0]．(2)由题意得h (x )＝4x ＋m ·2x，x ∈[0，log 23]．令t ＝2x∈[1，3]，则φ(t )＝t 2＋mt ，t ∈[1，3]． ①当－m2≤1，即m ≥－2时，φ(t )min ＝φ(1)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1； ②当1<－m2<3，即－6<m <－2时，φ(t )min ＝φ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2＝－m 24＝0，解得m ＝0(舍去)．③当－m2≥3，即m ≤－6时，φ(t )min ＝φ(3)＝9＋3m ＝0，解得m ＝－3(舍去)，综上可知，实数m 的值为－1.。

2020版高考数学总复习同步测试卷(三)基本初等函数Ⅰ理(含解析)

同步测试卷理科数学(三) 【p289】（基本初等函数Ⅰ）时间：60分钟总分：100分一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知幂函数y＝f(x）的图象经过点错误!，则满足f（x）＝27的x的值为( )A．3 B.错误!C．27 D.错误!【解析】因为幂函数y＝xα的图象经过点错误!，所以（－2)α＝－错误!，所以α＝－3.又因为f(x）＝27，所以x－3＝27，所以x＝错误!。

【答案】D2．函数y＝错误!（a〉1）的图象的大致形状是（)【解析】由题意得y＝错误!（a〉1)＝错误!∵a〉1，∴当x>0时，函数为增函数；当x〈0时，函数为减函数，结合各选项可得B满足题意．【答案】B3．已知a＝20.2,b＝0。

40。

2，c＝0.40。

6，则（)A．a>b〉c B．a>c>bC．c〉a>b D．b〉c〉a【解析】因为函数f(x）＝0。

4x在R上为减函数，且0.2〈0。

6,所以0。

40.6〈0。

40。

2〈0。

40＝1.因为a＝20.2〉20＝1,所以20。

2>0.40。

2〉0.40。

6。

【答案】A4．为了得到函数y＝log2错误!的图象,可将函数y＝log2x的图象上所有的点的( )A．纵坐标缩短到原来的错误!倍，横坐标不变,再向左平移1个单位长度B．纵坐标缩短到原来的错误!倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度C．横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变，再向左平移1个单位长度D．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,再向右平移1个单位长度【解析】y＝log2x－1＝错误!log2错误!所以y＝log2x纵坐标缩短到原来的错误!倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度得到y＝log2x－1的图象．【答案】B5．已知二次函数y＝f(x）满足f（2＋x)＝f（2－x），且函数图象截x轴所得的线段长为8，则函数y＝f(x)的零点为（) A．2，6 B．2，－6C．－2，6 D．－2,－6【解析】由于函数y＝f(x）满足f(2＋x）＝f(2－x），所以x＝2为二次函数y＝f（x）的对称轴，根据二次函数图象的性质,图象与x 轴的交点必关于x＝2对称．而两交点间的距离为8,则必有x1＝2＋4＝6，x2＝2－4＝－2.故交点坐标为(6，0)和(－2，0）,则函数的零点为－2，6。

2020届高考数学一轮复习单元检测三函数概念与基本初等函数Ⅰ单元检测含解析25

单元检测三函数概念与基本初等函数Ⅰ(时间：120分钟满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设函数f (x )＝1－3x＋1log 12(2x ＋1)，则函数的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 答案 A解析由⎩⎪⎨⎪⎧1－3x≥0，2x ＋1>0，2x ＋1≠1，得－12<x <0.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12log x ，x >0，3x ，x ≤0，则f (f (4))的值为( )A ．－19B ．－9C.19D ．9答案 C解析 ∵f (4)＝log 124＝－2，∴f (f (4))＝f (－2)＝3－2＝19.3．(2018·湖州联考)设a ＝log 54－log 52，b ＝ln 23＋ln3，c ＝1lg 5210，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a log 2e>1. 所以0<1log 25<1log 2e <1，即0<a 1，故a <b <c .4．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－21＋e x sin x (其中e 为自然对数的底数)在[－2π，2π]上图象的大致形状是( )答案 A解析因为f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－21＋e x sin x ＝e x－1e x＋1sin x ， f (－x )＝e －x－1e －x ＋1sin(－x )＝1－e x 1＋e x (－sin x )＝e x－1e x＋1sin x ＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除选项C ，D ，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>0，可排除选项B.故选A.5．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ，当x ∈[m,5]时，f (x )的值域是[－5,4]，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,2] C ．[－1,2] D ．[2,5]答案 C解析 f (x )＝－(x －2)2＋4，所以当x ＝2时，f (2)＝4.由f (x )＝－5，解得x ＝5或x ＝－1.所以要使函数f (x )在区间[m,5]上的值域是[－5,4]，则－1≤m ≤2.6．已知函数f (x )的图象关于y 轴对称，且f (x )在(－∞，0]上单调递减，则满足f (3x ＋1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，－16B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－16C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，－16D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－16答案 B解析由函数f (x )的图象关于y 轴对称，且f (x )在(－∞，0]上单调递减，得f (x )在(0，＋∞)上单调递增．又f (3x ＋1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以|3x ＋1|<12，解得－12<x <－16.7．(2017·绍兴诊断)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x ≥0，a x，x <0是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ 答案 B解析若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x ≥0，a x，x <0是(－∞，＋∞)上的减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a 0≥3a ，可得0<a ≤13.8．(2018·杭州学军中学期中)已知f (x )是定义域为R 的单调函数，且对任意实数x ，都有f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )＋22x＋1＝13，则f (log 23)的值为( ) A.12 B.45 C ．1D ．0答案 A解析因为函数f (x )是R 上的单调函数，且对任意的实数x ，都有f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )＋22x ＋1＝13，所以f (x )＋22x ＋1＝a 恒成立，且f (a )＝13，即f (x )＝－22x ＋1＋a ，f (a )＝－22a ＋1＋a ＝13，解得a ＝1，所以f (x )＝－22x ＋1＋1，所以f (log 23)＝12，故选A.9．(2018·金华一模)已知点A (1,0)，若点B 是曲线y ＝f (x )上的点，且线段AB 的中点在曲线y ＝g (x )上，则称点B 是函数y ＝f (x )关于函数g (x )的一个“关联点”，已知f (x )＝|log 2x |，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则函数f (x )关于函数g (x )的“关联点”的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析令点B (x ，|log 2x |)，x >0，则AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫1＋x 2，12|log 2x |.由于点C 在函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象上，故有12|log 2x |＝1212x⎛⎫ ⎪⎝⎭＋，即|log 2x |＝2·⎝⎛⎭⎪⎫22x，故函数f (x )关于函数g (x )的“关联点”的个数即为函数y ＝|log 2x |和y ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫22x的图象的交点的个数．在同一个坐标系中画出函数y ＝|log 2x |和y ＝2·⎝⎛⎭⎪⎫22x的图象，由图象知交点个数为2，则函数f (x )关于函数g (x )的“关联点”的个数是2，故选B.10．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋16x－a (a ∈R )在区间[1,4]上的最大值为g (a )，则g (a )的最小值为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 A解析方法一令H (x )＝x 2＋16x－a ，则H ′(x )＝2x －16x 2＝2x2(x －2)(x 2＋2x ＋4)，故H (x )在[1,2]上单调递减，在(2,4]上单调递增，所以g (a )min ＝min{max{|H (1)|，|H (2)|，|H (4)|}}，即g (a )min ＝min{max{|17－a |，|12－a |，|20－a |}}，如图可知，g (a )min ＝4.方法二令t ＝x 2＋16x，则t ′＝2x －16x 2＝2x2(x －2)(x 2＋2x ＋4)，所以t ＝x 2＋16x在[1,2]上单调递减，在(2,4]上单调递增，所以t ∈[12,20]，故y ＝|t －a |在t ∈[12,20]上的最大值为g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧20－a ，a ≤16，a －12，a >16，所以g (a )min ＝4.第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)11．已知f (x ＋1)＝－x 2＋1，则f (x )＝________，y ＝1f (x )的单调递增区间为________．答案－x 2＋2x (1,2)解析当x ＋1＝t 时，x ＝t －1，所以f (t )＝－(t －1)2＋1＝－t 2＋2t ，即f (x )＝－x 2＋2x ；y ＝1f (x )＝1－x 2＋2x，定义域为(0,2)，且f (x )对称轴为x ＝1，所以函数f (x )在(0,1)上单调递增，(1,2)上单调递减，根据复合函数“同增异减”，函数y ＝1－x 2＋2x的单调增区间为(1,2)．⎩⎪g (x )，x <0，则g (－8)＝________. 答案－2解析当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 3(1－x )，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－log 3(1－x )，即g (x )＝－log 3(1－x )，x <0.故g (－8)＝－log 3[1－(－8)]＝－log 39＝－2.13．已知a >b >1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝____，b ＝____.答案 4 2解析设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝52，解得t ＝2，所以a ＝b 2，①因此a b＝b a⇒b 2b＝bb 2，②解得b ＝2，a ＝4.14．(2018·台州高级中学期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≥0，x ，x <0，则f (f (2))＝________；若f (a )＝－9，则实数a ＝________. 答案－4 －9或3解析由题意得f (f (2))＝f (－4)＝－4，若f (a )＝－9，当a ≥0时，有－a 2＝－9，即a ＝3；当a <0时，有a ＝－9，故a ＝－9或3.15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－|2x －4|＋1，x >0，－x 2＋2ax －2，x ≤0.当a ＝2时，f (f (4))＝________，若函数f (x )的最大值为a ＋1，则实数a 的值为________．答案－23 0解析当a ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－|2x －4|＋1，x >0，－x 2＋4x －2，x ≤0，所以f (f (4))＝f (－3)＝－9＋4×(－3)－2＝－23. 易知f (x )＝－|2x －4|＋1(x >0)的最大值为f (2)＝1，若a ＋1≥1，则a ≥0.当a ≥0时，f (x )＝－x 2＋2ax －2(x ≤0)的最大值为f (0)＝－2，所以a ＋1＝1，所以a ＝0.⎩⎪f (a －b －1)≥0，(a －1)2＋(b －1)2≤1所表示的图形的面积是________．答案π2＋1 解析由⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＋f (b －1)≤0，f (a －b －1)≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧f (a )≤－f (b －1)，f (a －b －1)≥0，∵f (x )是奇函数，且在R 上是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －1≥0，a －b －1≤0，作出不等式组表示的平面区域(图略)，∴(a －1)2＋(b －1)2≤1所表示的图形为以(1,1)为圆心，1为半径的半圆和一个三角形， ∴其表示的图形的面积是π2＋1.17．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 2－1，g (x )＝2x －a ，对于任意的x 1∈[－1,1]，存在x 2∈[－1,1]，使f (x 2)＝g (x 1)，则实数a 的取值范围是____________．答案 [－2，－1]解析 f (x )＝x 2－2ax ＋a 2－1＝(x －a )2－1，当x ∈[－1,1]时，若a ≤－1，则f (x )∈[a 2＋2a ，a 2－2a ]；若－1<a ≤0，则f (x )∈[－1，a 2－2a ]；若0<a ≤1，则f (x )∈[－1，a 2＋2a ]．若a >1，则f (x )∈[a 2－2a ，a 2＋2a ]．而g (x )∈[－2－a ，2－a ]，从而由条件得：①若a ≤－1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a ≤－2－a ，2－a ≤a 2－2a ，解得－2≤a ≤－1；②若－1<a ≤0，则⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤－2－a ，2－a ≤a 2－2a ，不等式组无解；③若0<a ≤1，则⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤－a －2，2－a ≤a 2＋2a ，不等式组无解；④若a >1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ≤－2－a ，2－a ≤a 2＋2a ，不等式组无解．综上所述，实数a 的取值范围是[－2，－1]．三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)18．(14分)若定义在[－2,2]上的奇函数f (x )满足当x ∈(0,2]时，f (x )＝3x9x ＋1.(1)求f (x )在[－2,2]上的解析式；(2)判断f (x )在(0,2)上的单调性，并给予证明；(3)当λ为何值时，关于x 的方程f (x )＝λ在x ∈[－2,2]上有实数解．解 (1)因为f (x )为奇函数，所以f (0)＝0. 当x ∈[－2,0)时，－x ∈(0,2]．因为f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－3－x9－x ＋1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3－x9－x＋1，－2≤x <0，0，x ＝0，3x9x＋1，0<x ≤2.(2)f (x )在(0,2)上是减函数，证明如下，任取0<x 1<x 2<2，f (x 1)－f (x 2)＝11391x x +－22391x x +＝12121212393393(91)(91)x x x x x x x x +--++ ＝1221121233(33)(33)(91)(91)x x x x x x x x -+-++ ＝211212(33)(331)(91)(91)x x x x x x --++，因为0<x 1<x 2<2，所以2133xx>，12331xx>，即21330x x >－,1233x x－1>0，12(91)(91)0x x>＋＋，所以f (x 1)－f (x 2)>0.因此，f (x )在(0,2)上单调递减．(3)方程f (x )＝λ在x ∈[－2,2]上有实数解，即λ取函数f (x )的值域内的任意值．由(2)可知，f (x )在x ∈(0,2]上是减函数，此时f (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫982，12.又因为f (x )是x ∈[－2,2]上的奇函数，所以当x ＝0时，f (x )＝0.当x ∈[－2,0)时，f (x )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，－982.因此，函数f (x )的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，－982∪{0}∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫982，12，因此，λ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，－982∪{0}∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫982，12.19．(15分)(2018·宁波九校联考)已知函数f (x )＝x |x －a |＋bx . (1)当a ＝2，且f (x )是R 上的增函数时，求实数 b 的取值范围；(2)当b ＝－2，且对任意a ∈(－2,4)，关于x 的方程f (x )＝tf (a )总有三个不相等的实数根时，求实数t 的取值范围．解 (1)f (x )＝x |x －2|＋bx ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋(b －2)x ，x ≥2，－x 2＋(b ＋2)x ，x <2.因为f (x )连续，且f (x )在R 上单调递增，等价于这两段函数分别递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－b2≤2，2＋b2≥2，得b ≥2.(2)f (x )＝x |x －a |－2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－(a ＋2)x ，x ≥a ，－x 2＋(a －2)x ，x <a ，tf (a )＝－2ta .当2≤a <4时，a －22<a ＋22≤a ，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a －22上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫a －22，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，所以f 极大(x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22＝a 24－a ＋1， f 极小(x )＝f (a )＝－2a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2a <－2ta ，a24－a ＋1>－2ta 对2≤a <4恒成立，解得0<t <1. 当－2<a <2时，a －22<a <a ＋22，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a －22上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫a －22，a ＋22上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22，＋∞上单调递增，所以f 极大(x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22＝a 24－a ＋1，f 极小(x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22＝－a 24－a －1，所以－a 24－a －1<－2ta <a 24－a ＋1对－2<a <2恒成立，解得0≤t ≤1，综上0<t <1.20．(15分)(2018·浙江9＋1高中联盟开学考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )，g (x )＝2x 2－4x －16，且|f (x )|≤|g (x )|对x ∈R 恒成立． (1)求a ，b 的值；(2)记h (x )＝－12f (x )－4，那么当k ≥12时，是否存在[m ，n ](m <n )，使得函数h (x )在[m ，n ]上的值域恰好为[km ，kn ]？若存在，请求出[m ，n ]；若不存在，请说明理由．解 (1)由g (x )＝0得x ＝4或x ＝－2.于是，当x ＝4或x ＝－2时，有⎩⎪⎨⎪⎧|16＋4a ＋b |≤0，|4－2a ＋b |≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧16＋4a ＋b ＝0，4－2a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－8.此时，|f (x )|≤|g (x )|⇔|x 2－2x －8|≤2|x 2－2x －8|，对x ∈R 恒成立，满足条件．故a ＝－2，b ＝－8.(2)∵h (x )＝－12(x －1)2＋12≤12，∴[km ，kn ]⊆⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12，∴kn ≤12，又∵k ≥12，∴n ≤12k ≤1，∴[m ，n ]⊆(－∞，1]，∴h (x )在[m ，n ]上是单调增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧h (m )＝km ，h (n )＝kn ，即⎩⎪⎨⎪⎧－12m 2＋m ＝km ，－12n 2＋n ＝kn ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0或m ＝2－2k ，n ＝0或n ＝2－2k .∵m <n ，且k ≥12，故当12≤k <1时，[m ，n ]＝[0,2－2k ]；当k >1时，[m ，n ]＝[2－2k ，0]；当k ＝1时，[m ，n ]不存在．21．(15分)(2018·杭州质检)设函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )．若f (1＋x )＝f (1－x )，f (x )的最小值为－1.(1)求f (x )的解析式；(2)若函数y ＝|f (x )|与y ＝t 相交于4个不同交点，从左到右依次为A ，B ，C ，D .是否存在实数t ，使得线段|AB |，|BC |，|CD |能构成锐角三角形，如果存在，求出t 的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以函数的对称轴为直线x ＝1，即－b 2＝1，所以b ＝－2，又因为f (x )的最小值为－1，所以4c －b 24＝－1，解得c ＝0，所以f (x )＝x 2－2x .(2)若函数y ＝|f (x )|与y ＝t 相交于4个不同交点，则0<t <1，易知x A ＝1－1＋t ，x B ＝1－1－t ， x C ＝1＋1－t ，x D ＝1＋1＋t ，所以|AB |＝|CD |＝1＋t －1－t ，|CB |＝21－t ，由题意知，线段|AB |，|BC |，|CD |构成的三角形为等腰锐角三角形，所以|BC |<2|AB |，即21－t <2(1＋t －1－t )，即(2＋2)1－t <2·1＋t ，解得22<t <1. 22．(15分)(2019·杭州学军中学模拟)已知函数f (x )＝a －1x－ln x (a ∈R )． (1)若a ＝2，求f (x )在(1，e 2)上零点的个数，其中e 为自然对数的底数；(2)若f (x )恰有一个零点，求a 的取值集合；(3)若f (x )有两个零点x 1，x 2(x 1<x 2)，求证：2<x 1＋x 2<3ea －1－1. (1)解 a ＝2时，f (x )＝2－1x－ln x ，f ′(x )＝1－x x 2，故f (x )在(1，e 2)上单调递减，所以在(1，e 2)上至多只有一个零点．又f (1)f (e 2)＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e 2<0，故函数f (x )在(1，e 2)上只有一个零点．(2)解 f ′(x )＝1－x x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝1. 当x >1时，f ′(x )<0，f (x )在(1，＋∞)上单调递减；当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )在(0,1)上单调递增，故[f (x )]max ＝f (1)＝a －1.①当[f (x )]max ＝0，即a ＝1时，因最大值点唯一，故符合题意； ②当[f (x )]max <0，即a <1时，f (x )<0恒成立，不合题意； ③当[f (x )]max >0，即a >1时，一方面，存在e a >1，f (e a )＝－1e a <0；另一方面，存在e －a <1，f (e －a )＝2a －e a ≤2a －e a <0，于是f (x )有两个零点，不合题意．综上，a 的取值集合为{1}．(3)证明先证x 1＋x 2>2.依题意有a ＝1x 1＋ln x 1＝1x 2＋ln x 2，于是x 2－x 1x 1x 2＝ln x 2x 1. 记x 2x 1＝t ，t >1，则ln t ＝t －1tx 1，故x 1＝t －1t ln t ，于是，x 1＋x 2＝x 1(t ＋1)＝t 2－1t ln t， x 1＋x 2－2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－12t －ln t ln t .记函数g (x )＝x 2－12x－ln x ，x >1. 因g ′(x )＝(x －1)22x 2>0，故g (x )在(1，＋∞)上单调递增．于是当t >1时，g (t )>g (1)＝0，又ln t >0，所以x 1＋x 2>2.再证x 1＋x 2<3e a －1－1.因f (x )＝0⇔h (x )＝ax －1－x ln x ＝0，故x 1，x 2也是h (x )的两个零点．由h ′(x )＝a －1－ln x ＝0得x ＝e a －1(记p ＝e a －1)．p 是h (x )的唯一最大值点，故有⎩⎪⎨⎪⎧ h (p )>0，x 1p 时，t (x )>t (p )＝0；当0<x 0，即x 21－(3ea －1－1)x 1＋e a －1>0. 同理得x 22－(3ea －1－1)x 2＋e a －1<0. 故x 22－(3e a －1－1)x 2＋e a －1<x 21－(3e a －1－1)x 1＋e a －1， (x 2＋x 1)(x 2－x 1)<(3ea －1－1)(x 2－x 1)，于是x 1＋x 2<3e a －1－1.综上，2<x 1＋x 2<3ea －1－1.。

浙江省2020版高考数学第三章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第7节函数的图象习题(含解析)

第7节函数的图象考试要求 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，并运用函数的图象解简单的方程(不等式)问题.知识梳理1.利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线. 2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换(2)对称变换y ＝f (x )的图象――――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象； y ＝f (x )的图象――――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象；y ＝f (x )的图象――――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象；y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象――――――――――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象. (3)伸缩变换y ＝f (x )――――――――――――――――――――→纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a（a >0）倍y ＝f (ax ).y ＝f (x )――――――――――――――――――――――→横坐标不变各点纵坐标变为原来的A (A >0)倍y ＝Af (x ).(4)翻转变换y ＝f (x )的图象――――――――――――――――――――→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象；y ＝f (x )的图象――――――――――――――――→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象.[常用结论与易错提醒]1.图象左右平移变换是针对自变量x 而言的，如从f (－2x )的图象到f (－2x ＋1)的图象是向右平移12个单位，先作如下变形f (－2x ＋1)＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，可避免出错.2.明确一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系.3.当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用.基础自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y ＝f (1－x )的图象，可由y ＝f (－x )的图象向左平移1个单位得到.( ) (2)函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称即函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称.( )(3)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝f (|x |)的图象与y ＝|f (x )|的图象相同.( )(4)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称.( ) 解析 (1)y ＝f (－x )的图象向左平移1个单位得到y ＝f (－1－x )的图象，故(1)错. (2)两种说法有本质不同，前者为函数的图象自身关于y 轴对称，后者是两个函数的图象关于y 轴对称，故(2)错.(3)令f (x )＝－x ，当x ∈(0，＋∞)时，y ＝|f (x )|＝x ，y ＝f (|x |)＝－x ，两函数图象不同，故(3)错.答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x关于y 轴对称，则f (x )的解析式为( ) A.f (x )＝ex ＋1B.f (x )＝ex －1C.f (x )＝e－x ＋1D.f (x )＝e－x －1解析依题意，与曲线y ＝e x关于y 轴对称的曲线是y ＝e －x，于是f (x )相当于y ＝ e －x向左平移1个单位的结果，∴f (x )＝e －(x ＋1)＝e－x －1.答案 D3.(2018·浙江卷)函数y ＝2|x |sin 2x 的图象可能是( )解析设f (x )＝2|x |sin 2x ，其定义域为R 关于坐标原点对称，又f (－x )＝2|－x |·sin(－2x )＝－f (x )，所以y ＝f (x )是奇函数，故排除选项A ，B ；令f (x )＝0，所以 sin 2x ＝0，所以2x ＝k π(k ∈Z )，所以x ＝k π2(k ∈Z )，故排除选项C.故选D.答案 D4.若函数y ＝f (x )在x ∈[－2，2]的图象如图所示，则当x ∈[－2，2]时，f (x )＋f (－x )＝________.解析由于y ＝f (x )的图象关于原点对称，∴f (x )＋f (－x )＝f (x )－f (x )＝0. 答案 05.若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________.解析在同一个坐标系中画出函数y ＝|x |与y ＝a －x 的图象，如图所示.由图象知当a >0时，方程|x |＝a －x 只有一个解.答案 (0，＋∞)6.已知函数f (x )＝2x，若函数g (x )的图象与f (x )的图象关于x 轴对称，则g (x )＝________；若把函数f (x )的图象向左平移1个单位，再向下平移4个单位后，所得函数的解析式为h (x )＝________.解析 ∵g (x )的图象与函数f (x )＝2x的图象关于x 轴对称，∴g (x )＝－2x.把f (x )＝2x的图象向左平移1个单位，得m (x )＝2x ＋1的图象，再向下平移4个单位，得h (x )＝2x ＋1－4的图象.答案－2x2x ＋1－4考点一作函数的图象【例1】作出下列函数的图象：(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|；(3)y ＝2x －1x －1；(4)y ＝x 2－2|x |－1.解 (1)先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象中x ≥0的部分，再作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象中x >0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象，如图①实线部分.(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图②. (3)∵y ＝2＋1x －1，故函数图象可由y ＝1x图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位即得，如图③.(4)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图④. 规律方法画函数图象的一般方法(1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 【训练1】分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg x |；(2)y ＝sin |x |.解 (1)∵y ＝|lg x |＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0<x <1.∴函数y ＝|lg x |的图象，如图①.(2)当x ≥0时，y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图象完全相同，又y ＝sin|x |为偶函数，图象关于y 轴对称，其图象如图②.考点二函数图象的辨识【例2】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝e x－e－xx2的图象大致为( )(2)(2016·浙江卷)函数y ＝sin x 2的图象是( )解析 (1)当x <0时，因为e x－e －x<0，所以此时f (x )＝e x －e－xx2<0，故排除A 、D ；又f (1)＝e －1e >2，故排除C ，选B. (2)令y ＝f (x )＝sin x 2，∵f (－x )＝sin(－x )2＝sin x 2，且x ∈R ，∴函数y ＝sin x 2为偶函数，可排除A 项和C 项；当x ＝π2时，sin x 2＝sin π24≠1，排除B项，只有D 满足. 答案 (1)B (2)D规律方法 (1)抓住函数的性质，定性分析①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从周期性，判断图象的循环往复.④从函数的奇偶性，判断图象的对称性.(2)抓住函数的特征，定量计算从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.【训练2】 (1)如图所示是函数y ＝f (x )的图象，则函数f (x )可能是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x cos x B.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x sin x C.x cos xD.cos xx(2)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2，2]的图象大致为( )解析 (1)由函数y ＝f (x )的定义域为{x |x ≠0}，由此可以排除选项C ；由函数y ＝f (x )的图象知其关于原点对称，则该函数是奇函数，由此可以排除选项B ；选项A 中，x →＋∞，f (x )的最大值f (x )max →＋∞，而选项D 中，x →＋∞，f (x )→0，由此可以排除选项D ，故选A. (2)f (x )＝2x 2－e |x |，x ∈[－2，2]是偶函数，又f (2)＝8－e 2∈(0，1)，排除选项A ，B. 设g (x )＝2x 2－e x ，x ≥0，则g ′(x )＝4x －e x. 又g ′(0)＜0，g ′(2)＞0，∴g (x )在(0，2)内至少存在一个极值点，∴f (x )＝2x 2－e |x |在(0，2)内至少存在一个极值点，排除C ，故选D. 答案 (1)A (2)D 考点三函数图象的应用多维探究角度1 研究函数的性质【例3－1】 (一题多解)(2019·绍兴调研)设函数f (x )＝min{|x －2|，x 2，|x ＋2|}，其中min{x ，y ，z }表示x ，y ，z 中的最小者.下列说法错误的是( )A.函数f (x )为偶函数B.若x ∈[1，＋∞)时，有f (x －2)≤f (x )C.若x ∈R 时，f (f (x ))≤f (x )D.若x ∈[－4，4]时，|f (x )－2|≥f (x )解析法一由f (x )＝min{|x －2|，x 2，|x ＋2|}，得f (－x )＝min{|－x －2|，(－x )2，|－x ＋2|}＝f (x )，即函数f (x )为偶函数；如图，作出函数f (x )的图象，将f (x )的图象向右平移2个单位长度，知f (x －2)的图象在[1，＋∞)上的部分位于f (x )的图象的下方，则有f (x －2)≤f (x )；令f (x )＝u ≥0，则由图象知，f (u )≤u ，由排除法，知D 错误，故选D.法二若x ∈[－4，4]，则0≤f (x )≤2，故|f (x )－2|＝2－f (x )≥f (x )等价于0≤f (x )≤1，所以当x ∈[－4，4]时，|f (x )－2|≥f (x )不恒成立.否定一个结论，只需给出一个反例即可.取x ＝4，则|f (4)－2|＝0<f (4)，D 错误，故选D. 答案 D角度2 研究函数的零点【例3－2】 (2019·台州质量评估)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x ，x >0，－x 2＋3，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－k (x ＋1)在(－∞，1]上恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是( ) A.[1，3) B.(1，3] C.[2，3)D.(3，＋∞)解析函数g (x )＝f (x )－k (x ＋1)在(－∞，1]上恰有两个不同的零点，等价于函数y ＝f (x )与y ＝k (x ＋1)的图象在(－∞，1]上恰有两个不同的交点，在同一平面直角坐标系中画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x ，x >0，－x 2＋3，x ≤0与y ＝k (x ＋1)的图象，如图所示，由于直线y ＝k (x ＋1)恒过点(－1，0)，由图知，当直线y ＝k (x ＋1)经过点(1，2)时，直线与y ＝f (x )的图象恰有两个交点，此时k ＝1；当直线经过点(0，3)时，直线与y ＝f (x )的图象恰有三个交点，此时直线y ＝k (x ＋1)的斜率为3，故直线在旋转过程中与y ＝f (x )的图象恰有两个交点时，斜率在[1，3)内变化，所以实数k 的取值范围是[1，3)，故选A.答案 A角度3 求不等式的解集【例3－3】函数f (x )是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图象如图所示，那么不等式f （x ）cos x<0的解集为________.解析当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ＝cos x >0.当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，4时，y ＝cos x <0. 结合y ＝f (x )，x ∈[0，4]上的图象知，当1＜x <π2时，f （x ）cos x <0.又函数y ＝f （x ）cos x为偶函数， ∴在[－4，0]上，f （x ）cos x <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1，所以f （x ）cos x <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎪⎫1，π2规律方法 (1)利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性. (2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解.(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.【训练3】 (1)已知定义在R 上的函数f (x )，g (x )满足f (－x )＝f (x )，且在(0，＋∞)上单调递减，g (1－x )＝g (1＋x )，且在(1，＋∞)上单调递减，设函数F (x )＝12[f (x )＋g (x )＋|f (x )－g (x )|]，则对任意x ∈R ，均有( ) A.F (1－x )≥F (1＋x ) B.F (1－x )≤F (1＋x ) C.F (1－x 2)≥F (1＋x 2)D.F (1－x 2)≤F (1＋x 2)(2)已知函数y ＝f (x )的图象是圆x 2＋y 2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式f (x )>f (－x )－2x 的解集是______.(3)已知当x ∈[0，1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是__________.解析 (1)因为F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）（f （x ）≥g （x ）），g （x ）（f （x ）<g （x ）），根据题意，F (x )的示意图可表示为如图中的实线部分，所以有F (1－x 2)≥F (1＋x 2)，故选C.(2)由图象可知，函数f (x )为奇函数，故原不等式可等价转化为f (x )>－x .在同一直角坐标系中分别画出y ＝f (x )与y ＝－x 的图象，由图象可知不等式的解集为(－1，0)∪(1，2].(3)y ＝(mx －1)2＝m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m 2，相当于y ＝x 2向右平移1m 个单位，再将函数值放大m 2倍得到的；y ＝x ＋m 相当于y ＝x 向上平移m 个单位.①若0＜m ≤1，两函数的图象如图1所示，可知两函数在x ∈[0，1]上有且只有1个交点，符合题意.②若m ＞1，两函数的大致图象如图2所示.为使两函数图象在x ∈[0，1]上有且只有1个交点，只需(m －1)2≥1＋m ，得m ≥3或m ≤0(舍去).综上，m ∈(0，1]∪[3，＋∞). 答案 (1)C (2)(－1，0)∪(1，2] (3)(0，1]∪[3，＋∞)基础巩固题组一、选择题1.为了得到函数y ＝2x －2的图象，可以把函数y ＝2x 图象上所有的点( ) A.向右平行移动2个单位长度 B.向右平行移动1个单位长度 C.向左平行移动2个单位长度 D.向左平行移动1个单位长度解析因为y ＝2x －2＝2(x －1)，所以只需将函数y ＝2x 的图象上所有的点向右平移1个单位长度即可得到y ＝2(x －1)＝2x －2的图象. 答案 B2.函数y ＝x sin x (x ∈[－π，π])的图象可能是( )解析由题易知函数为偶函数，排除B ，D ；当x ＝π2时，y ＝π2，排除A ，故选C.答案 C3.使log 2(－x )＜x ＋1成立的x 的取值范围是( ) A.(－1，0) B.[－1，0) C.(－2，0)D.[－2，0)解析在同一直角坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1，0)，故选A.答案 A 4.函数y ＝cos xln |x |的图象大致是( )解析令f (x )＝cos x ln |x |，有f (－x )＝cos （－x ）ln |－x |＝cos xln |x |＝f (x )，且定义域关于原点对称，则f (x )＝cos x ln |x |是偶函数，故排除A ，B 选项；当x ＝12时，cos 12>0，ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪12<0，则y ＝cos xln |x |<0，排除D 选项，故选C. 答案 C5.函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－x 2的大致图象是( )解析在同一平面直角坐标系内画出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与函数y ＝x 2的图象易得两函数图象有3个不同的交点，在y 轴左侧有2个交点，分别为(－4，16)，(－2，4)，在y 轴右侧且x ∈(0，1)有1个交点，所以函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －x 2有3个不同的零点，即函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－x 2的图象与x 轴有3个不同的交点，排除A ，C ；又因为f (0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120－02＝1＞0，所以排除B ，故选D.答案 D6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2（1－x ）|，x ＜1，－x 2＋4x －2，x ≥1，则方程f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －2＝1的实根个数为( )A.8B.7C.6D.5解析由f (x )的解析式可以在平面直角坐标系中画出简图，如图所示，通过图象易知f (x )＝1有四个根，分别为x ＝－1，12，1或3，即x ＋1x －2可能取该四个值，分别对应x ＋1x ＝1或52或3或5，整理得，x 2－x ＋1＝0 ①，x 2－52x ＋1＝0 ②，x 2－3x ＋1＝0 ③，x 2－5x ＋1＝0 ④，Δ1＜0，Δ2＞0，Δ3＞0，Δ4＞0，所以实根有6个，故选C.答案 C 二、填空题7.如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________.解析当－1≤x ≤0时，设解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0).则⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1，∴y ＝x ＋1. 当x >0时，设解析式为y ＝a (x －2)2－1(a ≠0). ∵图象过点(4，0)，∴0＝a (4－2)2－1，得a ＝14.答案 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14（x －2）2－1，x >0 8.设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________.解析如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞).答案 [－1，＋∞)9.函数y ＝2x－12＋1为________函数(填“奇”或“偶”)，函数f (x )＝22＋1＋1的对称中心为________.解析 y ＝2x－12x ＋1的定义域为R ，记g (x )＝2x－12x ＋1，则g (－x )＝2－x－12－x ＋1＝1－2x2x ＋1＝－g (x )，∴g (x )即y ＝2x－12x ＋1是奇函数；函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＋f (x )＝22－x ＋1＋1＋22x ＋1＋1＝2（2x＋1）2x＋1＋2＝4，故f (x )的对称中心为(0，2). 答案奇 (0，2)10.函数f (x )的定义域为[－1，1]，图象如图1所示；函数g (x )的定义域为[－2，2]，图象如图2所示.方程f (g (x ))＝0有m 个实数根，方程g (f (x ))＝0有n 个实数根，则m ＝__________，n ＝__________.解析由题图1可知，若f (g (x ))＝0，则g (x )＝－1或g (x )＝0或g (x )＝1，由题图2知，g (x )＝－1时，x ＝－1或x ＝1；g (x )＝0时，x ＝－32或x ＝0或x ＝32；g (x )＝1时，x ＝2或x ＝－2，故m ＝7.若g (f (x ))＝0，则f (x )＝－32或f (x )＝32或f (x )＝0，由题图1知，f (x )＝32与f (x )＝－32对应的x 值各有2个，f (x )＝0时，x ＝－1或x ＝1或x ＝0，故n ＝7. 答案 7 7 三、解答题11.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈（2，5].(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象；(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值. 解 (1)函数f (x )的图象如图所示.(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，0]，[2，5]. (3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1，当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3. 12.已知f (x )＝|x 2－4x ＋3|. (1)作出函数f (x )的图象；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出其单调性； (3)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}. 解 (1)当x 2－4x ＋3≥0时，x ≤1或x ≥3，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤1或x ≥3，－x 2＋4x －3，1<x <3，∴f (x )的图象为：(2)由函数的图象可知f (x )的单调区间是(－∞，1]，(2，3)，(1，2]，[3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2，3)是减区间；(1，2]，[3，＋∞)是增区间.(3)由f (x )的图象知，当0<m <1时，f (x )＝m 有四个不相等的实根，所以M ＝{m |0<m <1}.能力提升题组13.已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋a 的部分图象如图所示，则函数g (x )＝e x＋f ′(x )的零点所在的区间是( )A.(－1，0)B.(0，1)C.(1，2)D.(2，3)解析由函数f (x )的图象可知，0＜f (0)＝a ＜1，f (1)＝1－b ＋a ＝0，所以1＜b ＜2.又f ′(x )＝2x －b ，所以g (x )＝e x＋2x －b ，所以g ′(x )＝e x＋2＞0，所以g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝1－b ＜0，g (1)＝e ＋2－b ＞0，根据函数的零点存在性定理可知，函数g (x )的零点所在的区间是(0，1)，故选B. 答案 B14.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是( )A.f (x 1)＋f (x 2)<0B.f (x 1)＋f (x 2)>0C.f (x 1)－f (x 2)>0D.f (x 1)－f (x 2)<0解析函数f (x )的图象如图所示：且f (－x )＝f (x )，从而函数f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数. 又0<|x 1|<|x 2|， ∴f (x 2)>f (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)<0. 答案 D15.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2[f (x )]2－3f (x )＋1的零点个数是________.解析由2[f (x )]2－3f (x )＋1＝0得f (x )＝12或f (x )＝1.作出函数y ＝f (x )的图象.由图象知y ＝12与y ＝f (x )的图象有2个交点，y ＝1与y ＝f (x )的图象有3个交点.因此函数y ＝2[f (x )]2－3f (x )＋1的零点有5个. 答案 516.(2019·嘉兴测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x >1，(1)若对任意的x ∈R ，都有f (x )≤|k －1|成立，则实数k 的取值范围为________； (2)若存在x ∈R ，使|f (x )|≤k ，则实数k 的取值范围是________. 解析 (1)对任意x ∈R ，都有f (x )≤|k －1|成立，即f (x )max ≤|k －1|.因为f (x )的草图如图所示，观察f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x >1的图象可知，当x ＝12时，函数f (x )max ＝14，所以|k －1|≥14，解得k ≤34或k ≥54.(2)|f (x )|的图象如图所示且|f (x )|∈[0，＋∞)，∵存在x ∈R ，使|f (x )|≤k ，故k 的取值范围是[0，＋∞).答案 (1)⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞(2)[0，＋∞)17.已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0，1)对称.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x，g (x )在区间(0，2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围. 解 (1)设f (x )图象上任一点坐标为(x ，y )，∵点(x ，y )关于点A (0，1)的对称点(－x ，2－y )在h (x )的图象上， ∴2－y ＝－x ＋1－x ＋2，∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x.(2)由题意g (x )＝x ＋a ＋1x，且g (x )＝x ＋a ＋1x≥6，x ∈(0，2]. ∵x ∈(0，2]，∴a ＋1≥x (6－x )，即a ≥－x 2＋6x －1.令q (x )＝－x 2＋6x －1，x ∈(0，2]，q (x )＝－x 2＋6x －1＝－(x －3)2＋8，∴当x ∈(0，2]时，q (x )是增函数，q (x )max ＝q (2)＝7. 故实数a 的取值范围是[7，＋∞).18.已知函数f (x )＝x 2－ax －4(a ∈R )的两个零点为x 1，x 2，设x 1<x 2. (1)当a >0时，证明：－2<x 1<0；(2)若函数g (x )＝x 2－|f (x )|在区间(－∞，－2)和(2，＋∞)上均单调递增，求a 的取值范围.(1)证明令f (x )＝0解得x 1＝a －a 2＋162，x 2＝a ＋a 2＋162.∵a 2＋16>a 2＝a ，∴a －a 2＋162<0.∵a >0，∴a 2＋16<a 2＋8a ＋16＝a ＋4，∴a －a 2＋162>a －（a ＋4）2＝－2.∴－2<x 1<0.(2)解 g (x )＝x 2－|x 2－ax －4|， ∴g ′(x )＝2x －|2x －a |，∵g (x )在区间(－∞，－2)和(2，＋∞)上均单调递增， ∴g ′(x )>0，即2x >|2x －a |(x >2). 当a ＝0时，显然不成立，若a >0，作出y ＝2x 和y ＝|2x －a |的函数图象如图：∴0<a4≤2，解得0<a ≤8.若a <0，作出y ＝2x 和y ＝|2x －a |的函数图象如图：由图象可知2x<|2x－a|，故g′(x)>0不成立，不符合题意. 综上，a的取值范围是(0，8].。