工程流体力学幻灯片

流体平衡微分方程可以写成：
dp=ρ(ω2xdx+ω2ydy-gdz) 积分得： p=ρ(ω2x2/2+ω2y2/2-gz)+C=ρ(ω2r2/2-gz)+C 在坐标原点处，x=y=z=0,p=pa，得C=pa 绕铅垂轴等速旋转流体平衡时压强分布规律： p=pa+ρ(ω2r2/2-gz) 相对压强： p=ρ(ω2r2/2-gz) 自由液面相对压强p=0，得自由液面方程 z=ω2r2/2g
例 如图，有一盛水的开口容器以3.6m/s2的加 速度沿与水平成30º 夹角的倾斜平面向上运动， 试求容器中水面的倾角θ。 解：根据压强平衡微分方程式
dp ( Xdx Ydy Zdz )
单位质量力 X=-acos30° Y=0 Z=-g-asin30°
代入上式，得
dp=ρ(-acos30°dx-gdz-asin30°dz)
质量力：F X dxdydz / 6 x 将表面力和质量力代入前面方程，得
1 px pn dx X 0 3
当四面体无限地趋于O点时，则dx趋于0， 所以有：px=pn
类似地有：px=py=pz=pn
而n是任意选取的，所以同一点静压强大小 相等，与作用面的方位无关。
2.2 流体平衡微分方程
解：tanβ=-a/g=-0.1 α=180°-β=180°-174.25°=5.75° B点的相对压强为：
p=γ(-ax/g - z)
=9807×[-0.98×(-1.5)/9.807-(-1.0)]
=11278.05Pa B点的相对压强按自由液面计算为： p=γ(-xBtanα +h)
=9807×[1.5×tan5.75°+1.0]=11278.05Pa
液体静力学基本方程：
p p0 g ( H z) p0 gh
结论： 1）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静 压强随深度按线性规律增加。 2）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静 压强等于表面压强加上流体的容重与该点淹 没深度的乘积。
3）自由表面下深度h相等的各点压强均相 等——只有重力作用下的同一连续连通的 静止流体的等压面是水平面。
p=22.6exp[(11000-Z ) /6334] KPa
2.3.3 压强的度量
绝对压强pabs：以绝对真空作为基准表示的压强。
相对压强p：以当地大气压强(pa)作为基准表示 的压强。又叫表压。 p = pabs - pa
真空度pv ：绝对 压强低于当地大 气压强的数值。 pv = pa - pabs = - p
2 流体静力学
2.1 静止流体中压强的特性
2.1.1 静压强定义
静止流体中的压强。平衡状态 F 2（Pa） p lim N/m A 0 A
2.2.2 静压强特性
a.静压强方向沿作用面的内法线方向 b.任一点静压强的大小与作用面的方位无关
从平衡状态下的流体中 取一微元四面体OABC，如 图所示取坐标轴。
2.2.3 等压面
等压面（equipressure surface）：流体中 压强相等的各点所组成的面。 常见的等压面有：自由液面和平衡流体中互 不混合的两种流体的界面。 等压面的特性：等压面与质量力正交。 只有重力作用下的等压面应满足的条件： （1）静止；（2）连通；（3）连通的介质 为同一均质流体；（4）质量力仅有重力； （5）同一水平面。
2.4.1 等加速直线运动容器中流体的平衡
盛有液体的敞口容器以等加速a作直线运 动，如图所示。
取自由液面中心 为坐标原点。 单位质量力为： X=-ma/m=-a Y=0 Z=-mg/m=-g
代入流体平衡微分方程的全微分式中 dp=ρ(Xdx+Ydy+Zdz)=ρ(-adx-gdz) 积分得 p=ρ(-ax-gz)+C
2.3 重力场中流体静压强的分布规律
2.3.1 液体静力学基本方程
重力作用下静止流体质量力： X=Y=0，Z=-g 代入流体平衡微分方程的全微分式
dp ( Xdx Ydy Zdz ) dp gdz p gz C
在自由液面上有： z=H时,p=p0
C p0 gH 代入上式有:
=0.269 θ=15°
2.4.2 等角速度旋转容器中液体的平衡
半径为r处质量为m的流体质点所受惯性力为：
F=mv2/r=m(ωr)2/r=mω2r
单位质量流体惯性力的轴向分力为： X1=ω2x Y1=ω2y Z1=0
单位质量流体重力的轴向分力为： X2=0 Y2=0 Z2=-g 因此，单位质量力的轴向分力为： X=ω2x Y=ω2y Z=-g
将欧拉平衡微分方程的各式分别乘以dx、dy、 dz，然后相加，得
1 p p p Xdx Ydy Zdz ( dx dy dz ) x y z
因为p = p(x,y,z)
压强全微分
p p p dp dx dy dz x y z
dp ( Xdx Ydy Zdz )
y
0
，即：
p dy p dy (p )dxdz ( p )dxdz Y dxdydz 0 y 2 y 2
得
1 p Y 0 y
1 p X 0 x 1 p Y 0 y 1 p Z 0 z
同理，得流体平衡微分方程（欧拉平衡方程）：
绕铅垂轴等速旋转流体特点： 等压面为旋转抛物面，在同一水平面上，轴心 处压强最低，边缘处压强最高。
由自由液面方程可知，自由液面为通过原点 的倾斜面，与水平面的夹角为 tanβ=-a/g 自由液面确定以后，可以由自由液面求任一 点的压强，即求出该点距自由液面的垂直距 离h，按静力学基本方程计算： p=pa+ρgh 例 如图所示，一洒水车等加速度a=0.98m/s2 向右行驶，求水车内自由表面与水平面间的 夹角；若B点在运动前位于水面下深为h=1.0m， 距z轴为xB=-１.5m，求洒水车加速运动后该 点的静水压强。
例：求A、B、C三点压强。
解：以相对压强计算比较方便。 pB=0
pA=pB+ρghAB=1000×9.807 × 1.5=14710.5Pa
pC=pB-ρghBC= -1000×9.807 × 2= -19614Pa 或pVC= - pC = 19614Pa
例：已知hp=20cm,h=3.5m,求压力 表读数。
4）推广：已知某点的压强和两点间的深度 差，即可求另外一点的压强值。
p2 p1 g h
练习：如图所示的密闭容器中， 液面压强p0＝9.8kPa，A点压强 为49kPa，则B点压强为多少？ 在液面下的深度为多少？
5） 帕斯卡原理（压强的传 递性）
在密闭容器内，施加于静止液体上的压力 将以等值同时传到各点。 在水力系统中的一个活塞上施加一定的压 强，必将在另一个活塞上产生相同的压强增量。 如果第二个活塞的面积是第一个活塞的面积的 10倍，那么作用于第二个活塞上的力将增大为 第一个活塞的10倍，而两个活塞上的压强仍然 相等。水压机就是帕斯卡原理的实例。它具有 多种用途，如液压制动等。
式中C为积分常数，由边界条件确定：
在坐标原点处，x=z=0，p=pa，代入上式得C=pa
则液体作等加速直线运动相对平衡时压强分布 规律为 p=pa+ρ(-ax-gz)=pa+γ(-ax/g - z)
相对压强为 p=γ(-ax/g - z)
对于自由液面，相对压强p=0,则 Z= -ax/g 上式为等加速直线运动液体自由液面方程。
解： p0= -ρHg ghp = -0.2 × 13600 × 9.807= -26675.04Pa p=p0+ρ 水 ghp= -26675.04+1000×9.807 × 3.5 =7649.46Pa
2.3.4 水头、液柱高度和能量守恒（略）
2.3.5 压强的计量单位
法定单位:
帕斯卡，简称帕。1Pa = 1 N/m2。1MPa = 106 Pa
上式是瑞士数学家和力学家欧拉在1755年导 出的，称为欧拉平衡微分方程。 物理意义：
处于平衡状态的流体，单位质量流体所受 的表面力分量与 质量力分量彼此相等。
p p p 压强沿轴向的变化率（x , y , z
）等于轴向 单位体积上的质量力的分量（ρX，ρY， ρZ）。
2.2.2 平衡微分方程的全微分式
方程的意义
p2/ρg
p0
p1/ρg
项 p/ρg
物理意义 几何意义
1
比压能
压强水头
2
Z
比位能
位置水头
Z2
Z0
Z1
p/ρg + Z 比势能
测压管水头
结论：静止流体中，流体的比势能是守衡的，而比压能与
比位能之间可以相互转化。
2.3.2 气体静压强的计算
1）按常密度计算 p= p0+ρgh 由于ρ很小，在h不大时，可以忽略ρgh ，则 p= p0= C 2）大气层压强分布 对流层：从海平面到高程11Km处（0≤Z≤11 Km ）。 p=101.3(1-Z/44300)5.256 KPa 同温层：高程为11Km到25Km处（11≤Z≤25 Km ）。
由静力学基本方程，图中1、
2两点的静压强与自由液面 压强p0的关系为： p1= p0+ρg（Z0-Z1） p2= p0+ρg（Z0-Z2） 推导得 p1/ρg + Z1= p2/ρg + Z2
Z2 Z0 2 p2/ρg p0
p1/ρg
1
Z1
由于1、2两点是任意选取的，因此可以得出以下表达式 p/ρg + Z = C 此为流体静力学基本方程的另一种表达形式。
例：求淡水自由表面下2m 深处的绝对压强和 相对压强。 解：绝对压强：