2014-2015学年江西省抚州市临川一中高一(上)期末数学试卷(解析版)

2014-2015学年江西省抚州市临川一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分．每小题只有一个正确答案）1．（5.00分）cos（﹣300°）的值是（）A．﹣ B．C．﹣D．2．（5.00分）函数f（x）=+lg（1+x）的定义域是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，+∞）3．（5.00分）已知a=0.70.8，b=log20.8，c=1.10.8，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a4．（5.00分）将函数的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小值为（）A．B．C． D．5．（5.00分）设函数，则f（f（﹣1））的值为（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣26．（5.00分）已知向量=（1，3），=（2，0），若+与+λ垂直，则λ的值等于（）A．﹣6 B．﹣2 C．6 D．27．（5.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，当x∈[0，]时，满足f（x）=1的x的值为（）A．B．C． D．8．（5.00分）已知tan（α+β）=，tan（α+）=﹣，则tan（β﹣）=（）A．2 B．C．1 D．9．（5.00分）在北京召开的第24届国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小的锐角记作θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin2θ﹣cos2θ的值等于（）A．1 B．C．D．﹣10．（5.00分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．11．（5.00分）若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似根（精确度为0.05）可以是（）A．1.25 B．1.375 C．1.42 D．1.512．（5.00分）已知函数f（x）=|lgx|﹣（）x有两个零点x1，x2，则有（）A．x1x2＜0 B．x1x2=1 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分．）13．（5.00分）计算：=．14．（5.00分）若等边△ABC的边长为，平面内一点M满足=+，所以•的值为．15．（5.00分）已知映射f：A→B，其中A=[﹣1，1]，B=R，对应法则是f：x→log（2﹣x2），对于实数k∈B，在集合A中存在原像，则k的取值范围是．16．（5.00分）甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程f i（x）（i=1，2，3，4）关于时间x（x≥0）的函数关系式分别为，，f3（x）=x，f4（x）=log2（x+1），有以下结论：①当x＞1时，甲走在最前面；②当x＞1时，乙走在最前面；③当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为（把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10.00分）（1）设全集为R，A={x|3＜x＜7}，B={x|4＜x＜10}，求∁R（A∪B）及（∁R A）∩B．（2）C={x|a﹣4≤x≤a+4}，且A∩C=A，求a的取值范围．18．（10.00分）已知向量=（1，2），=（cosα，sinα），设=﹣t（t为实数）．（1）t=1 时，若∥，求2cos2α﹣sin2α的值；（2）若α=，求||的最小值，并求出此时向量在方向上的投影．19．（12.00分）已知函数f（x）=lg（x+1），g（x）=2lg（2x+t）（t为参数）．（1）写出函数f（x）的定义域和值域；（2）当x∈[0，1]时，如果f（x）≤g（x），求参数t的取值范围．20．（12.00分）已知f（x）=2cos2+sinwx+a的图象上相邻两对称轴的距离为．（1）若x∈R，求f（x）的递增区间；（2）若x∈[0，]时，f（x）的最大值为4，求a的值．21．（13.00分）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且=（sinA+sinB+sinC，sinC），=（sinB，sinB+sinC﹣sinA），若（1）求A的大小；（2）设为△ABC的面积，求的最大值及此时B的值．22．（13.00分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f （x），则称f（x）为“局部奇函数”．（Ⅰ）已知二次函数f（x）=ax2+2x﹣4a（a∈R），试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；（Ⅱ）若f（x）=2x+m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若f（x）=4x﹣m•2x+1+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．2014-2015学年江西省抚州市临川一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分．每小题只有一个正确答案）1．（5.00分）cos（﹣300°）的值是（）A．﹣ B．C．﹣D．【解答】解：cos（﹣300°）=cos（﹣300°+360°）=cos60°=，故选：B．2．（5.00分）函数f（x）=+lg（1+x）的定义域是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，+∞）【解答】解：根据题意，使f（x）=+lg（1+x）有意义，应满足，解可得（﹣1，1）∪（1，+∞）；故选：C．3．（5.00分）已知a=0.70.8，b=log20.8，c=1.10.8，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a【解答】解：∵0＜a=0.70.8＜0.70=1，b=log20.8＜log21=0，c=1.10.8＞1.10=1，∴b＜a＜c．故选：B．4．（5.00分）将函数的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小值为（）A．B．C． D．【解答】解：∵的图象平移后所得图象关于y轴对称，∴=kπ（k∈z），解得∅=+kπ（k∈z），∵φ＞0，∴φ的最小值是．故选：B．5．（5.00分）设函数，则f（f（﹣1））的值为（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：由分段函数可知，f（﹣1）=，f（）==﹣2，故选：D．6．（5.00分）已知向量=（1，3），=（2，0），若+与+λ垂直，则λ的值等于（）A．﹣6 B．﹣2 C．6 D．2【解答】解：由题意可得+=（3，3），+λ=（1+2λ，3），∵+与+λ垂直，∴（+）•（+λ）=（3，3）•（1+2λ，3）=3+6λ+9=0，求得λ=﹣2，故选：B．7．（5.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，当x∈[0，]时，满足f（x）=1的x的值为（）A．B．C． D．【解答】解：由题意可得A=2，其周期T=2×[]=π，所以ω=2，则f（x）=2sin（2x+φ），由f（﹣）=0得2sin（﹣+φ）=0，又|φ|＜，所以φ=，故f（x）=2sin（2x+），由得2x+，由f（x）=1即2sin（2x+）=1得sin（2x+）=，所以2x+=，解得x=，故选：B．8．（5.00分）已知tan（α+β）=，tan（α+）=﹣，则tan（β﹣）=（）A．2 B．C．1 D．【解答】解：∵tan（α+β）=，tan（α+）=﹣，则tan（β﹣）=tan[（α+β）﹣（α+）]===1．故选：C．9．（5.00分）在北京召开的第24届国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小的锐角记作θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin2θ﹣cos2θ的值等于（）A．1 B．C．D．﹣【解答】解：设三角形短直角边为x∵S小正方形=∴小正方形边长=∴直角三角形另一条直角边为x+∵S大正方形=1∴大正方形边长=1根据勾股定理，x2+（x+）2=12解得x=∴sinθ=，cosθ=∴sin2θ﹣cos2θ=﹣故选：D．10．（5.00分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：函数是非奇非偶的，故可排除C、D，对于选项A、B，当x趋向于正无穷大时，函数值趋向于0，故可排除B，故选：A．11．（5.00分）若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似根（精确度为0.05）可以是（）A．1.25 B．1.375 C．1.42 D．1.5【解答】解：由表格可得，函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的零点在（1.4375，1.40625）之间；结合选项可知，方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似根（精确度为0.05）可以是1.42；故选：C．12．（5.00分）已知函数f（x）=|lgx|﹣（）x有两个零点x1，x2，则有（）A．x1x2＜0 B．x1x2=1 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1【解答】解：f（x）=|lgx|﹣（）x有两个零点x1，x2即y=|lgx|与y=2﹣x有两个交点由题意x＞0，分别画y=2﹣x和y=|lgx|的图象发现在（0，1）和（1，+∞）有两个交点不妨设x1在（0，1）里x2在（1，+∞）里那么在（0，1）上有2﹣x1=﹣lgx1，即﹣2﹣x1=lgx1…①在（1，+∞）有2﹣x2=lg x2…②①②相加有2﹣x2﹣2﹣x1=lgx1x2∵x2＞x1，∴2﹣x2＜2﹣x1即2﹣x2﹣2﹣x1＜0∴lgx1x2＜0∴0＜x1x2＜1故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分．）13．（5.00分）计算：=1．【解答】解：原式===1．故答案为1．14．（5.00分）若等边△ABC的边长为，平面内一点M满足=+，所以•的值为﹣．【解答】解：等边△ABC的边长为，则•=||•||•cos60°==，由=+，则•=（﹣）•（﹣）=（﹣）•（﹣）=﹣﹣+=﹣×3﹣+=﹣．故答案为：﹣．15．（5.00分）已知映射f：A→B，其中A=[﹣1，1]，B=R，对应法则是f：x→log（2﹣x2），对于实数k∈B，在集合A中存在原像，则k的取值范围是[﹣1，0] ．【解答】解：∵设y=log（2﹣x2），∴x∈[﹣1，1]，1≤2﹣x2≤2，∴﹣1≤log（2﹣x2）≤0，即y∈[﹣1，0]，∴对于实数k∈B，在集合A中存在原像，k的取值范围是[﹣1，0]，故答案为：[﹣1，0]．16．（5.00分）甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程f i（x）（i=1，2，3，4）关于时间x（x≥0）的函数关系式分别为，，f3（x）=x，f4（x）=log2（x+1），有以下结论：①当x＞1时，甲走在最前面；②当x＞1时，乙走在最前面；③当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为③④⑤（把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分）．【解答】解：路程f i（x）（i=1，2，3，4）关于时间x（x≥0）的函数关系是：，，f3（x）=x，f4（x）=log2（x+1），它们相应的函数模型分别是指数型函数，二次函数，一次函数，和对数型函数模型．当x=2时，f1（2）=3，f2（2）=4，∴命题①不正确；当x=4时，f1（5）=31，f2（5）=25，∴命题②不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而可知当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面，命题③正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴命题⑤正确．结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，命题④正确．故答案为：③④⑤．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10.00分）（1）设全集为R，A={x|3＜x＜7}，B={x|4＜x＜10}，求∁R（A∪B）及（∁R A）∩B．（2）C={x|a﹣4≤x≤a+4}，且A∩C=A，求a的取值范围．【解答】解：（1）因为A={x|3＜x＜7}，B={x|4＜x＜10}，所以A∪B={x|3＜x＜10}，C R A={x|x≤4或x≥10}，则C R（A∪B）={x|x≤3或x≥10}，…（4分）（C R A）∩B={x|7≤x＜10}，…（8分）（2）由A∩C=A得，A⊆C，所以，解得3≤a≤7…（12分）18．（10.00分）已知向量=（1，2），=（cosα，sinα），设=﹣t（t为实数）．（1）t=1 时，若∥，求2cos2α﹣sin2α的值；（2）若α=，求||的最小值，并求出此时向量在方向上的投影．【解答】解：（1）t=1，=﹣t=（1﹣cosα，2﹣sinα）．∵∥，∴cosα（1﹣sinα）﹣sinα（1﹣cosα）=0，∴tanα=2；∴2cos2α﹣sin2α===﹣．（2）α=，||===，当t=时，=．当t=时，时，=﹣=（1，2）﹣=．∴向量在方向上的投影===．19．（12.00分）已知函数f（x）=lg（x+1），g（x）=2lg（2x+t）（t为参数）．（1）写出函数f（x）的定义域和值域；（2）当x∈[0，1]时，如果f（x）≤g（x），求参数t的取值范围．【解答】解：（1）定义域为（﹣1，+∞））值域为：R；（2）由f（x）≤g（x），得lg（x+1）≤2lg（2x+t），得x+1≤（2x+t）2在x∈[0，1]恒成立，得t≥﹣2x在x∈[0，1]恒成立，令u=（u∈[1，]），解得x=u2﹣1，得h（x）=﹣2x=﹣2u2+u+2（u∈[1，]）最大值为1，故t的取值范围是[1，+∞）．20．（12.00分）已知f（x）=2cos2+sinwx+a的图象上相邻两对称轴的距离为．（1）若x∈R，求f（x）的递增区间；（2）若x∈[0，]时，f（x）的最大值为4，求a的值．【解答】解：已知f（x）=sinwx+coswx+a+1=2sin（wx+）+a+1由，则T=π=，∴w=2∴f（x）=2sin（2x+）+a+1（1）令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ则﹣+kπ≤x≤+kπ故f（x）的增区间是[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（2）当x∈[0，]时，≤2x+≤∴sin（2x+）∈[﹣，1]，∴f max（x）=2+a+1=4，∴a=1．21．（13.00分）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且=（sinA+sinB+sinC，sinC），=（sinB，sinB+sinC﹣sinA），若（1）求A的大小；（2）设为△ABC的面积，求的最大值及此时B的值．【解答】解：（1）∵∥，∴（sinA+sinB+sinC）（sinB+sinC﹣sinA）=sinBsinC根据正弦定理得（a+b+c）（c+b﹣a）=bc，即a2=b2+c2+bc，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得cosA=﹣，又A∈（0，π），∴A=；（2）∵a=，A=，∴由正弦定理得====2，∴b=2sinB，c=2sinC，∴S=bcsinA=×2sinB×2sinC×=sinBsinC，∴S+cosBcosC=sinBsinC+cosBcosC=cos（B﹣C），∴当B=C时，即B=C=时，S+cosBcosC取最大值．22．（13.00分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f （x），则称f（x）为“局部奇函数”．（Ⅰ）已知二次函数f（x）=ax2+2x﹣4a（a∈R），试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；（Ⅱ）若f（x）=2x+m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若f（x）=4x﹣m•2x+1+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．【解答】解：f（x）为“局部奇函数”等价于关于x的方程f（﹣x）=﹣f（x）有解．（Ⅰ）当f（x）=ax2+2x﹣4a（a∈R），时，方程f（﹣x）=﹣f（x）即2a（x2﹣4）=0，有解x=±2，所以f（x）为“局部奇函数”．…（3分）（Ⅱ）当f（x）=2x+m时，f（﹣x）=﹣f（x）可化为2x+2﹣x+2m=0，因为f（x）的定义域为[﹣1，1]，所以方程2x+2﹣x+2m=0在[﹣1，1]上有解．…（5分）令，则．设g（t）=t+，则g'（t）=1﹣，当t∈（0，1）时，g'（t）＜0，故g（t）在（0，1）上为减函数，当t∈（1，+∞）时，g'（t）＞0，故g（t）在（1，+∞）上为增函数．…（7分）所以t∈[]时，g（t）．所以，即．…（9分）（Ⅲ）当f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3时，f（﹣x）=﹣f（x）可化为4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2m2﹣6=0．t=2x+2﹣x≥2，则4x+4﹣x=t2﹣2，从而t2﹣2mt+2m2﹣8=0在[2，+∞）有解即可保证f（x）为“局部奇函数”．…（11分）令F（t）=t2﹣2mt+2m2﹣8，1°当F（2）≤0，t2﹣2mt+2m2﹣8=0在[2，+∞）有解，由当F（2）≤0，即2m2﹣4m﹣4≤0，解得1﹣；…（13分）2°当F（2）＞0时，t2﹣2mt+2m2﹣8=0在[2，+∞）有解等价于解得．…（15分）（说明：也可转化为大根大于等于2求解）综上，所求实数m的取值范围为．…（16分）。