26.3实际问题与二次函数课件

7. 有一经销商，按市场价收购了一种活蟹1000千克， 放养在塘内，此时市场价为每千克30元。据测算，此后 每千克活蟹的市场价，每天可上升1元，但是，放养一天 需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去， 假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元（放 养期间蟹的重量不变）. ⑴设x天后每千克活蟹市场价为P元，写出P关于x的 函数关系式. ⑵如果放养x天将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹 的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式。 ⑶该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大 利润，（利润=销售总额-收购成本-费用）？最大利润是 多少？
教学重难点
利用二次函数解决商品利润问题。 用二次函数的知识分析解决有关面积问 题的实际问题。 建立二次函数数学模型，函数的最值。 通过图形之间的关系列出函数解析式。
即
y 10 x 100 x 6000 (0≤x≤30)
2
y 10 x 100 x 6000 (0≤x≤30)
2
b x 5时，y最大值 10 52 100 5 6000 6250 2a
所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元
5. 某个商店的老板，他最近进了价格为30元 的书包。起初以40元每个售出，平均每个月能售 出200个。后来，根据市场调查发现：这种书包 的售价每上涨1元，每个月就少卖出10个。现在 请你帮帮他，如何定价才使他的利润最大？
解：以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y 轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。这时，屋顶的 横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴， 开口向下，所以可设它的函数关系式为： 2 （1） y ax a 0 因为y轴垂直平分AB，并交AB于点C，所 AB 2cm ，又CO＝0.8m，所以点B的坐 以 CB 2 标为(2，-0.8)。 因为点B在抛物线上，将它的坐标代入（1）， 2 所以a＝-0.2 得 0.8 a 2 因此，所求函数关系式是 y 0.2 x 2 。
涨价：
（1）设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也 随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式。涨价x元 (300-10x) 时则每星期少卖 _____件，实际卖出 ___________件,销额 10x 为_______________ 元，买进商品需付________________ 40(300-10x) (60+x)(300-10x) 元因此，所得利润为_____________________________ y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x) 元
y \元
6250 6000
0
5
30
x\元
解：设降价x元时利润最大，则每星期可多卖18x件，实 际卖出（300+18x)件，销售额为(60-x)(300+18x)元，买 进商品需付40(300-10x)元，因此，得利润
y 60 x 300 18 x 40300 18 x
教学目标
【知识与能力】
生活实际问题转化为数学问题，体验二次函数 在生活中的应用。
【过程与方法】
通过实际问题，体验数学在生活实际中的 广泛应用性，提高数学思维能力。 在转化、建模中，学会合作、交流。 通过图形间的关系，进一步体会函数，体 验运动变化的思想
【情感态度与价值观】
通过对商品涨价与降价问题的分析，感受数 学在生活中的应用，激发学习热情。 在转化、建模中，体验解决问题的方法，培 养学生的合作交流意识和探索精神。 正确面对困难，迎接挑战的坚强品质。
某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元. 根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在 某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价 每降低1元,就可以多售出200件.请你帮助分析:销售 单价是多少时,可以获利最多? 设销售价为x元(x≤13.5元),那么 销售量可表示为 : 500 20013.5 x 件;
解得：k=－1，b＝40。 所以一次函数解析为 y x 40 。 （2）设每件产品的销售价应定为 x 元，所获销售利润为 w 元。则
w x 10 x 40 x 2 50 x 400 x 25 225
2
产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利 润为225元。
y(件)
25
20
10
…
若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数。 （1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元） 的函数关系式； （2）要使每日的销售利润最大，每件产品 的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是 多少元？
b （1）设此一次函数解析式为 y kx 。
15k b 25 则 20k b 20
x500 20013.5 x 元; ; 所获利润可表示为: x 2.5500 20013.5 x元 当销售单价为 9.25 元时,可以获得最大利润,最 大利润是 9112.5 元.
销售额可表示为:
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出 300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10 件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的 进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ （1）题目中有几种调整价格的方法？ （2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？ 哪些量随之发生了变化？ 调整价格包括涨价和降价两种情况
1 2 h gt （g为定值） 2
实际问题
喷泉与二次函数
一公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于 水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心， OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流 在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形 状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达 到距水面最大高度2.25m. 如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少 m才能使喷出的水流不致落到池外？
6. 某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为 每箱40元，市场调查发现：若每箱以50 元销售,平 均每天可销售100箱. 价格每箱降低1元，平均每天 多销售25箱 ; 价格每箱升高1元，平均每天少销售4 箱。如何定价才能使得利润最大？ 若生产厂家要求每箱售价在45—55元之间。如 何定价才能使得利润最大？（为了便于计算，要求 每箱的价格为整数）
解：建立如图所示的坐标系，根据题意得，A点 坐标为(0，1.25)，顶点B坐标为(1，2.25)
y x 1 2.25
2
y
●B(1,2.25)
A (0,1.25)
● D(-2.5,0)
数学化
o
● C(2.5,0)
x
设抛物线为y=a(x-h)2+k，由待定系数法可求得抛 物线表达式为：y=－ (x-1)2+2.25. 当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0) ; 同理，点D的坐标为(-2.5,0) .
新课导入
1. 某一物体的质量为m，它运动时的能量E 与它的运动速度v之间的关系是： 1 2 E mv （m为定值） 2 2. 导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，单 位时间所产生的热量Q与物线在生 产、生活中广泛应用。 1
Q 2 RI 2（R为定值）
3. g表示重力加速度，当物体自由下落时， 下落的高度h与下落时间t之间的关系是：
10x 55 30250.
2
4. 某宾馆有50个房间供游客居住，当每个 房间的定价为每天180元时，房间会全部住满。 当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有 一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆需对 每个房间每天支出20元的各种费用.房价定为多 少时，宾馆利润最大？
解：设每个房间每天增加x元，宾馆的利润为y元 y =(50-x/10)(180+x)-20(50-x/10) y =-1/10x2+34x+8000
2
18 x 60 x 6000
(0≤x≤20)
2
b 5 5 5 当x 时，y最大 18 60 6000 6050 2a 3 3 3
1 答：定价为 58 元时，利润最大，最大利润为6050元 3
最大面积问题
在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其 中AB和AD分别在两直角边上. （1）如果设矩形的一边AD=xcm,那么AB边的长 M 度如何表示？ （2）设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大 C D 值是多少?
2x 2 4 2 2 7 2 15 7 15 225 x x x . 2 2 2 14 56 b 15 4ac b 2 225 或用公式 : 当x 1.07时, y最大值 4.02. 2a 14 4a 56
根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的 半径至少要2.5m，才能使喷出的水流不致落到池外.
跳水与抛物线
某跳水运动员进行10米跳台跳水训 练时,身体(看成一点)在空中的运动路线 是经过原点O的一条抛物线.在跳某规定 动作时,正常情况下,该运动员在空中的 最高处距水面32/3米,入水处距池边的距 离为4米,同时,运动员在距水面高度为5 米以前,必须完成规定的翻腾动作,并调 整好入水姿势,否则就会出现失误. (1)求这条抛物线的解析式； (2)在某次试跳中,测得运动员在空 中运动路线是(1)中的抛物线,且运动员 在空中调整好入水姿势时,距池边的水平 距离为18/5米,问此次跳水会不会失误？ 并通过计算说明理由.
┐ bcm
N
最多光线问题
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下 半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的 长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多 (结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少? x x 15 7 x x 解 : 1由4 y 7 x x 15.得, y . 4 2 2 x 15 7 x x x y