广西桂林市2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)

桂林市2019~2020学年度上学期期未质量检测高二年级数学（理科）一、选择题：1.下列各点中，在二元一次不等式10x y -+<所表示的平面区域内的是（ ） A. ()0,0 B. ()0,1C. ()0,2D. ()2,0【答案】C 【解析】 【分析】根据二元一次不等式,代入各个点的坐标,即可判断是否在不等式表示的平面区域内.【详解】对于A,将()0,0代入不等式10x y -+<可得10<不成立,所以()0,0不在不等式10x y -+<所表示的平面区域内,所以A 错误;对于B,将()0,1代入不等式10x y -+<可得00<不成立,所以()0,1不在不等式10x y -+<所表示的平面区域内,所以B 错误;对于C,将()0,2代入不等式10x y -+<可得10-<成立,所以()0,2在不等式10x y -+<所表示的平面区域内,所以C 正确;对于D,将()2,0代入不等式10x y -+<可得30<不成立,所以()2,0不在不等式10x y -+<所表示的平面区域内,所以D 错误;综上可知,C 表示的点在不等式10x y -+<表示的区域内 故选:C【点睛】本题考查了二元一次不等式表示的平面区域与点的关系,属于基础题. 2.等差数列{}n a 中，126a a +=，238a a +=，则{}n a 的公差为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列性质可得方程组,求得公差.【详解】等差数列{}n a 中,126a a +=,238a a +=,由通项公式可得1111628a a d a d a d ++=⎧⎨+++=⎩ 解得1d = 故选:B【点睛】本题考查了等差数列通项公式的简单计算,属于基础题. 3.若x y >，a ∈R ，则下列不等式正确的是（ ） A. x a y a +>+B. a x a y ->-C. ax ay >D.a ax y> 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式性质,可判断四个选项即可. 【详解】x y >,a R ∈对于A,由不等式性质“不等式两边同时加上或减去同一个数或式子,不等式成立”,可知A 正确; 对于B,若x y >,则x y -<-,则a x a y -<-成立,所以B 错误; 对于C,若x y >,当0a >时,ax ay >;当0a ≤时ax ay ≤,所以C 错误; 对于D,若x y >,当0a =时不等式不成立,所以D 错误. 综上可知,正确的为A 故选:A【点睛】本题考查了根据不等式性质判断不等式是否成立,属于基础题. 4.命题p ：x ∀∈R ，2210x x -+>，则p ⌝为（ ）A. 0x ∃∈R ，200210x x -+>B. x ∀∈R ，2210x x -+<C. 0x ∃∈R ，200210x x -+≤D. x ∀∈R ，2210x x -+≤ 【答案】C 【解析】 【分析】根据含有量词命题的否定,可得结果. 【详解】命题p ：x ∀∈R ,2210x x -+>由全称命题的否定可知,p ⌝为0x ∃∈R ,200210x x -+≤故选:C【点睛】本题考查了全称命题的否定,属于基础题. 5.命题“若1x =，则22x <”的否命题是（ ） A. “若22x <，则1x =” B. “若21x ≥，则1x ≠” C. “若1x =，则22x >” D. “若1x ≠，则22x ≥” 【答案】D 【解析】 【分析】根据否命题的定义,可得选项. 【详解】命题“若1x =,则22x <”根据否命题定义,可知其否命题为: “若1x ≠,则22x ≥” 故选:D【点睛】本题考查了命题及其否命题的写法,属于基础题.6.抛物线24y x =上一点P 到其焦点的距离为5．则点P 的横坐标为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线定义,即可求得点P 的横坐标. 详解】抛物线24y x = 则准线方程1x =-因为P 到其焦点的距离为5,则到其准线的距离也为5 所以P 点的横坐标为4 故选:C【点睛】本题考查了抛物线的定义及简单应用,属于基础题. 7.“1x <-是21x >”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】因为1x <-，必要21x >，若21x >，则1x <- 或1x > ，即1x <-不一定成立，所以 “1x <-是21x >”成立的充分不必要条件，故选A.8.已知ABC V的等比数列，则其最大角的余弦值为（ ））A. 4-B.4C.3D. 3-【答案】A 【解析】根据题意设三角形的三边长分别为a）2a ）∵2a a >>）∴2a 所对的角为最大角，设为θ）则根据余弦定理得222cos 4θ==-） 本题选择A 选项.9.若x ，y 满足110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值是（ ）A. 1B. -1C. 2D. -2【答案】C 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线在y 轴上的截距最小值即可． 【详解】解：画出可行域（如图），z ＝x ﹣2y ⇒y 12=x 12-z ， 由图可知，当直线l 经过点A （0，﹣1）时，z 最大，且最大值为z max ＝0﹣2×（﹣1）＝2． 故选C ．【点睛】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力，以及利用几何意义求最值，属于基础题．10.设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()4232a a a =+，则74S S 等于（ ） A.74B.145C. 7D. 14【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列性质,2314a a a a +=+.结合等差数列前n项和公式可得()7441234147,2,S a S a a a a a a ==+++=+即可代入求值.【详解】公差不为零的等差数列{}n a 中,()4232a a a =+ 由等差数列性质可知2314a a a a +=+则()4142a a a =+由等差数列前n 项和公式可知()7441234147,2,S a S a a a a a a ==+++=+所以()()()147441414727722a a S a S a a a a ⨯+===++ 故选:C【点睛】本题考查了等差数列的性质应用,等差数列前n 项和公式的应用,属于基础题.11.已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，不过F 的直线与C 的交点为A ，B ，与C 的准线的交点为D ．若2BF =，BDF ∆与ADF ∆的面积之比为45，则AF =（ ） A.52B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】根据题意画出图形,结合BDF ∆与ADF ∆的面积之比为45,可得45DB DA =.由抛物线定义即可求得AF . 【详解】根据题意,画出抛物线如下图所示:过A 作AN 垂直准线并交准线于N,过B 作BM 垂直于准线并交准线于M. 由抛物线定义可知,2BF =,则2BM BF == 因为BDF ∆与ADF ∆的面积之比为45则45DB DA =所以在DBM ∆与DAN ∆中,45DB BM DA AN == 由2BM =,代入可得52AN =根据抛物线定义可得52AF AN == 故选:A【点睛】本题考查了抛物线定义的简单应用,直线与抛物线的位置关系应用，抛物线到准线距离比的关系,属于中档题.12.第一象限内的点P 在双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线1l ：b y x a =上，1F 、2F 为双曲线的左、右焦点，12PF PF ⊥，2PF 平行于另一条渐近线2l ，则双曲线的离心率是（ ）A.B. 2C.D. 3【答案】B 【解析】 【分析】由P 在渐近线1l 上可设出P 点坐标.结合2PF 平行于另一条渐近线2l 可求得2cm =,代入求得P 点坐标.再根据12PF PF ⊥,结合两点间斜率公式及垂直直线的斜率关系即可求得离心率. 【详解】根据题意,画出几何图形如下图所示:因为P 在渐近线1l :b y x a =上,设,bm P m a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1F 、2F 为双曲线的左、右焦点,所以()1,0F c -,()2,0F c由2PF 平行于另一条渐近线2l 则2PF bmb a k mc a ==--,化简可得2cm = 所以,22c bc P a ⎛⎫⎪⎝⎭因为12PF PF ⊥ 则121PF PF k k ⨯=-所以()212bc b aca c ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭--,化简可得223b a =在双曲线中满足222b c a =- 所以224c a =即2c e a ===故选:B【点睛】本题考查了双曲线性质的简单应用,渐近线方程的应用,两点间斜率公式及垂直直线的斜率关系,属于中档题.二、填空题：本大题共4小题．13.若三个正数1，b ，16成等比数列，则b =______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据等比中项定义,可求得b 的值. 【详解】三个正数1,b ,16成等比数列 由等比中项定义可得2116b =⨯ 解得4b =± 由题正数4b = 故答案为: 4【点睛】本题考查了等比中项的性质及简单应用,属于基础题.14.ABC ∆中，角A ，B 的对边分别为a ，b ，已知4a =，b =45A =o ，则sin B 等于______． 【答案】12【解析】 【分析】根据正弦定理,可直接求得sin B . 【详解】由正弦定理可得sin sin a bA B=代入可得4sin sin 45B=o可得4512sin 442B ===o故答案为:12【点睛】本题考查了正弦定理的简单应用,属于基础题. 15.若不等书11a x x ≤+-对()1,x ∈+∞恒成立，则实数a 的最大值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】构造基本不等式,即可求得a 的最大值. 【详解】令()11f x x x =+- 变形可得()1111f x x x =+-+-,()1,x ∈+∞由基本不等式可得()111131f x x x =+-+≥=- 当且仅当111x x =--,即2x =时取等号 而11a x x ≤+-对()1,x ∈+∞恒成立 所以3a ≤即a 的最大值为3 故答案为:3【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用,利用基本不等式求参数的最值,属于基础题.16.如图，1F ，2F 为椭圆22143x y +=的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆交于其中一点P ，与y 轴交于M点，且22F P PM =u u u u v u u u u v.直线1F P 与12F MF ∠的外角平分线交于Q 点，则MPQ ∆的周长为_____．【答案】3 【解析】 分析】由题意先得12P F F n 与PQM n 相似，由22F P PM=u u u u v u u u u v确定相似比，再结合椭圆定义即可求出结果. 【详解】由题意可得1221OM OM F PF QPM F F ∠∠∠=∠=，，MQ 是12F MF ∠的外角平分线，所以12PF F PQM ∠=∠，所以12P ~PQM F F n n ，又22F P PM =u u u u v u u u u v ，所以12121P 2MQ PQ PM F F F PF ===， 又由椭圆的方程22143x y +=可得：121242PF PF F F +==，， 所以MPQ ∆的周长为()1212132MQ PQ PM PF PF F F ++=++=. 故答案为3 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，由两三角形相似确定相似比，结合椭圆的定义即可求解.三、解答题：本大题共6小题，解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤.17.设命题p ：()()320m m +-<，命题q ：关于x 的方程()244210x m x +-+=无实根.（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）32m -<<（2）(][)3,12,3-U【解析】【【分析】（1）解一元二次不等式,即可求得当p 为真命题时m 的取值范围;（2）先求得命题q 为真命题时m 的取值范围.由p q ∧为假命题,p q ∨为真命题可知p ,q 两命题一真一假.分类讨论,即可求得m 的取值范围.【详解】（1）当p 为真命题时,()()320m m +-<解不等式可得32m -<<；（2）当q 为真命题时,由()2162160m ∆=--<, 可得13m <<,∵p q ∧为假命题,p q ∨为真命题,∴p ,q 两命题一真一假,∴3213m m m ≤-≥⎧⎨<<⎩或或3231m m m -<<⎧⎨≥≤⎩或, 解得23m ≤<或31m -<≤,∴m 的取值范围是(][)3,12,3-U .【点睛】本题考查了根据命题真假求参数的取值范围,由复合命题真假判断命题真假,并求参数的取值范围,属于基础题.18.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为31200m ，深3m ．如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为150元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？【答案】将水池的底面设计成边长为20m 的正方形时，总造价最低，最低总造价是116000元【解析】【分析】设出底面长为x ,宽为y ,根据总容积求得x 与y 的等量关系.表示出总的造价后,将式子转化为关于x 的等式,结合基本不等式可求得最低总造价及底面的长和宽的值.【详解】设底面的长为x m ,宽为y m ,水池总造价为z 元,容积为3200m 1,可得31200xy =,因此400xy =,根据题意, 池底每平方米的造价为200元,池壁每平方米的造价为150元,有()()2001502323200900z xy x y xy x y =+⨯+⨯=++,由基本不等式及不等式性质,可得()8000090080000900z x y =++≥+⨯,即80000900116000z ≥+⨯=,当且仅当20x y ==时,等号成立.所以,将水池的底面设计成边长为20m 的正方形时,总造价最低,最低总造价是116000元.【点睛】本题考查基本不等式在实际问题中的应用,根据基本不等式求最值,注意等号成立的条件,属于基础题.19.已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项和记为n S ，121n n a S +=+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设31log n n b a +=，求数列{}n n a b +的前n 项和n T ．【答案】（1）13-=n n a （2）n T 2312n n n ++-= 【解析】【分析】（1）利用递推公式及1n n n a S S -=-,可证明数列{}n a 为等比数列,求得首项后,即可求得数列{}n a 的通项公式.（2）将1n a +代入{}n b 中求得数列{}n b .可知{}n n a b +为等比与等差数列的和,即可利用分组求和法求得前n 项和n T .【详解】（1）由题意得121n n a S +=+,121n n a S -=+（2n ≥）,两式相减得()1122n n n n n a a S S a +--=-=（2n ≥）,13n n a a +=又∵21121213a S a =+=+=,213a a =, ∴13n na a +=（n *∈N ）, ∴{}n a 是首项为1,公比为3的等比数列,∴13-=n n a .（2）由（1）可知13-=n n a则13n n a +=所以313log log 3n n n b a n +===,所以13n n n a b n -+=+为等比数列与等差数列的和.利用分组求和法可得()()()()01213132333n n T n -=++++++++L()()01213333123n n -=+++++++++L L()113132n n n +-=+- 2312n n n ++-=. 【点睛】本题考查了递推公式及1n n n a S S -=-的应用,等比数列的证明及等比数列通项公式的求法,等差数列与等比数列前n 项和公式的应用,分组求和法的应用,属于基础题.20.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin cos 0a C c A +=．（1）求A ；（2）若a =，sin B C =，求ABC ∆的面积．【答案】（1）34A π=（2）32【解析】【分析】（1）根据正弦定理,将边转化为角,即可求得角A .（2）根据正弦定理与余弦定理,可求得,b c .再由三角形面积公式即可得解.【详解】（1）由正弦定理及已知得sin sin sin cos 0A C C A +=,∵0C π<<,∴sin 0C ≠,∴sin cos 0A A +=,∴tan 1A =-,∵0A π<<,∴34A π=； （2sin B C =,c =,由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得2215222b b b ⎛=+-⨯- ⎝⎭,即23b =,解得b =c = ∴13sin 22ABC S bc A ∆==. 【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的综合应用,属于基础题.21.数列{}n a 中，11a =，12n n n a a +-=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2312233412222n nn n S a a a a a a a a +=+++⋯+，对n *∈N 都有1n n n a S ma ≥+恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）21n n a =-（2）1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）利用递推公式及累加法,结合首项即可求得数列{}n a 的通项公式.（2）先求得12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的表达式,并进行化简变形,由裂项法求和得n S .代入不等式后,分离参数,结合数列的单调性即可求得m 的取值范围．【详解】（1）由12n n n a a +-=及11a =,有()()1211n n n a a a a a a -=+-+⋯+-211222n -=+++⋯+21n =-∴21n n a =-,（2）因为()()()()()()1111121212211212121212121n n n n n n n n n n n n a a +++++---===-------, ∴2231111111212121212121n n n S +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 11121n +=--,又因为对任意的n *∈N ,都有1n n n a S ma ≥+,210n n a =->, ∴1n nm S a ≤-, ∴11112121n n m +≤----恒成立, 只需1min 1112121n n m +⎛⎫≤-- ⎪--⎝⎭, ∵数列11112121n n +⎧⎫--⎨⎬--⎩⎭是递增数列, ∴当1n =时,13m ≤-, ∴m 的取值范围是1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了累加法求数列通项公式,裂项求和法的应用,根据数列单调性求参数的取值范围,属于中档题. 22.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦距等于短轴的长，椭圆的右顶点到左焦点1F1． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l ：y kx m =+（0k ≠）与椭圆C 交于A 、B 两点，在y 轴上是否存在点()0,M t ，使得MA MB =，且2AB =，若存在，求实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212x y +=（2）存在，0,22⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 【解析】【分析】（1）由题意可得,,a b c 的关系,解方程组求得,,a b c ,即可得椭圆的标准方程.（2）设()11,A x y ,()22,B x y ,联立直线与椭圆方程,用韦达定理表示出12x x +,12x x ,利用弦长公式表示出2AB =.化简后用k 表示出m ,再通过判别式判断出k 的取值范围. 设出AB 中点()00,D x y 的坐标,由点斜式表示出直线MD 的方程,并令0x =求得t 的表达式及取值范围即可.【详解】（1）依题意椭圆的焦距等于短轴的长,椭圆的右顶点到左焦点1F1可得2221b c a c a b c =⎧⎪+=⎨⎪=+⎩,解得1a b c ⎧=⎪⎨==⎪⎩, 所以所求椭圆方程为2212x y +=； （2）设()11,A x y ,()22,B x y , 由2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩, 得()()222124210k x mkx m +++-=,()()()2222221681218210m k k m k m ∆=-+-=+->, ∵122412mk x x k -+=+,()21222112m x x k-=+, 假设存在点()0,M t 满足题意,AB =2==, 化简整理得()2221221k m k +=+, 此时()()222221282182121k k m k k ⎡⎤+⎢⎥∆=+-=+-+⎢⎥⎣⎦()()2218211021k k ⎡⎤⎢⎥=+->+⎢⎥⎣⎦恒成立, 所以R k ∈且0k ≠,设AB 中点()00,D x y , 则12022212x x km x k +==-+,0212m y k =+, 由MA MB =,则()0,M t 在线段AB 的中垂线上.因为0k ≠,直线MD 的方程为22121212m km y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭, 令0x =,则212m t k-=+, ∴()()()2222221212112m t k k k ==+++,∵0k ≠,∴20k >,∴()()221211kk ++>, ∴2102t <<,∴02t -<<或02t <<, 综上,存在t ⎛⎫⎛∈ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭U 满足题意.【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法,直线与椭圆位置关系的综合应用,弦长公式及直线过定点的问题综合应用,属于难题.。