第5讲 数列总复习

等差数列、等比数列
知识巩固：
1．等差、等比数列的通项公式
等差数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m)d ；等比数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1＝a m q n －m .
2．等差、等比数列的前n 项和
(1)等差数列的前n 项和为
d n n na a a n S n n 2
)1(2)(11-+=+=. 特别地，当d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，且常数项为0，即可设S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)．2,21d a b d a -==
(2)等比数列的前n 项和 S n ＝⎩⎨⎧ na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1，
特别地，若q ≠1，设a ＝
a 11－q ， 则S n ＝a －aq n .
3．等差数列、等比数列常用性质
(1)若序号m ＋n ＝p ＋q ，在等差数列中，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ；特别的，若序号m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p ；在等比数列中，则有a m ·a n ＝a p ·a q ；特别的，若序号m ＋n ＝2p ，则a m ·a n ＝a 2p ； (2)在等差数列{a n }中，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列，其公差为kd ；其中S n 为前n 项的和，且S n ≠0(n ∈N *)；在等比数列{a n }中，当q ≠－1或k 不为偶数时S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等比数列，其中S n 为前n 项的和(n ∈N *).
例题讲解：
【例1】 (2013·盐城模拟)设数列{a n }是公差不为0的等差数列，S n 为其前n 项的
和，满足：7,725242322
=+=+S a a a a
(1)求数列{a n }的通项公式及前n 项的和S n ； (2)设数列{b n }满足b n ＝2an ，其前n 项的和为T n ，当n 为何值时，有T n ＞512.
1＋S n是公比为2的等比【训练1】已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝3，{}
数列．
(1)证明：{a n}是等比数列，并求其通项；
(2)设数列{b n}满足b n＝log2a n，其前n项和为T n，当n为何值时，有T n≤2 012?【例2】已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，S n为其前n项和，且满足
a2n＝S2n－1，令b n＝1
a n·a n＋1
，数列{b n}的前n项和为T n.
(1)求数列{a n}的通项公式及数列{b n}的前n项和T n；
(2)是否存在正整数m，n(1＜m＜n)，使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，
求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．
【训练2】设{a n}是单调递增的等差数列，Sn为其前n项和，且满足4S3＝S6，a2＋2是a1，a13的等比中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)是否存在m，k∈N*，使a m＋a m＋4＝a k＋2？说明理由；
(3)若数列{bn}满足b1＝－1，b n＋1－bn＝an，求数列{bn}的通项公式．
数列求和的方法归纳
(1)转化法：将数列的项进行分组重组，使之转化为n个等差数列或等比数列，然后应用公式求和；
(2)错位相减法：适用于{an·bn}的前n项和，其中{an}是等差数列，{bn}是等比数列；
(3)裂项法：求{an}的前n项和时，若能将an拆分为
an＝bn－bn＋1，则a1＋a2＋…＋an＝b1－b n＋1；
(4)倒序相加法：一个数列倒过来与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的和容易求出，那么这样的数列求和可采用此法．其主要用于求组合数列的和．这里易忽视因式为零的情况；
(5)试值猜想法：通过对S1，S2，S3，…的计算进行归纳分析，寻求规律，猜想出Sn，然后用数学归纳法给出证明．易错点：对于Sn不加证明；
(6)并项求和法：先将某些项放在一起先求和，然后再求Sn.例如对于数列{an}：a1＝1，a2＝3，a3＝2，a n＋2＝a n＋1－an，可证其满足a n＋6＝an，在求和时，依次6项求和，再求Sn.
【例3】已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，a n＋2＝3a n＋1－2an(n∈N*)．
(1)证明：数列{a n＋1－an}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式；
【训练3】在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且a n
＋1＝(1＋q)an－qa n
－1
(n≥2，q≠0，
q≠1)．
(1)求证：数列{a n ＋1－an}为等比数列；
(2)若a 6，a 3，a 9成等差数列，问对任意的n ∈N*，a n ＋3，an ，a n ＋6是否成等差数列？说明理由．
【例4】 (2013·泰州调研)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝－1，当n ≥3，n ∈N *时，
a n n －1－a n －1n －2＝3n －1 n －2
.
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)是否存在k ∈N *，使得n ≥k 时，不等式S n ＋(2λ－1)a n ＋8λ≥4对任意实数
λ∈[0,1]恒成立？若存在，求出k 的最小值；若不存在，请说明理由．
【训练4】 (2013·广东卷)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－
1 3n 2－n－
2
3，n∈N
*.
(1)求a2的值；
(2)求数列{a n}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，有1
a1＋1
a2＋…＋
1
a n<
7
4.
例题4：解(1)∵当n≥3时，n∈N*时，
a n n－1－
a n－1
n－2
＝
3
(n－1)(n－2)
＝3
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1
n－2
－
1
n－1，
∴a n ＋3n －1＝a n －1＋3n －2.∴当n ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫a n ＋3n －1是常数列． ∴n ≥2时，a n ＋3n －1＝a 2＋32－1
＝2，a n ＝2n －5. ∴a n ＝⎩⎨⎧ 1，n ＝1，2n －5，n ≥2.
(2)S n ＝⎩⎨⎧ 1，n ＝1，n 2－4n ＋4，n ≥2.
当n ＝1时，不等式S n ＋(2λ－1)a n ＋8λ≥4可化为λ≥25
，不满足条件． 当n ≥2时，S n ＋(2λ－1)a n ＋8λ≥4可化为
2(2n －1)λ＋n 2－6n ＋5≥0.
令f (λ)＝2(2n －1)λ＋n 2－6n ＋5，由已知得，
f (λ)≥0对于λ∈[0,1]恒成立，
当且仅当⎩⎨⎧ f (0)≥0，f (1)≥0.化简得，⎩⎨⎧
n 2－6n ＋5≥0，n 2－2n ＋3≥0. 解得，n ≤1或n ≥5.
∴满足条件的k 存在，k 的最小值为5.
训练4：(1)解 2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4.
(2)解 当n ≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，
2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，
两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23，
整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n (n ＋1)，
即a n ＋1n ＋1
－a n n ＝1，又a 22－a 11＝1， 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为a 11＝1，公差为1的等差数列，
所以a n n ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝n 2.
(3)证明 1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n
＝1＋14＋132＋142＋…＋1n 2<1＋14＋12×3＋13×4＋…＋1n (n －1)
＝1＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n －1－1n ＝54＋12－1n ＝74－1n <74，
所以对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n
<74.。