同济六版高数 D1_7无穷小比较
1-7无穷小的比较
1 例如, 例如 当x → 0时, x , x , sin x , x sin 都是无穷小 . x 2 x 观 lim = 0, x 2比3 x要快得多 ; 察 x→0 3 x 各 sin x 极 sin x x ; = 1, lim x→0 x 限 1 2 x sin x = lim sin 1 0 lim 比. 比 . 2 x→0 x→0 x x 0 , 快 .
x
例２ 解
ex − 1 . 求 lim x →0 x
令 e x − 1 = u, 即 x = ln(1 + u),
则当 x → 0 时, 有 u → 0,
ex − 1 u = lim Q lim = lim u→ 0 x →0 u→ 0 ln(1 + u ) x
=
u→ 0
1 ln(1 + u)
1 u
这里仅证1), (2)式 (
(1)不妨设m ≥ n, ο (xm ) ο (xn ) lim = lim n + n n x→0 x →0 x x x ο (xm ) ο (xn ) = lim n + lim n x →0 x →0 x x ο (xn ) ο (xm ) xm = lim m ⋅ n + lim n = 0 + 0 = 0. x →0 x x →0 x x 因此ο ( x m ) + ο ( x n ) = ο ( x l ).l = min(m, n).
x
1 x2
sin x ⋅ tan x − sin x tan x − sin x x 2 ⋅sin x
=e .
1 2
注意 : 在求幂指函数的极限 lim f ( x ) g ( x ) 时, 可以用等价无穷小替 换指数g ( x)中的因子, 但是一般情况下不可以用等价无穷小替换 底f ( x)中的因子. 因为求幂指函数的极限 lim f ( x) g ( x ) 时, 可采用对数法转化为求极
高数同济17无穷小的比较
若 ~ , ~ 且 与 不等价 , 则 - ~ - ,
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13
常用等价无穷小:
sin x ~ x , ln( 1 + x ) ~ x ,
当x 0时,
arctan x ~ x ,
arcsin x ~ x , tan x ~ x ,
例13
x 0
lim
1 x si n x lim2 3 lim 1 x 0 x 0 2 x x
15
结束
内容小结 1. 无穷小的比较
设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且
0
是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小
1 2 e - 1 ~ x , 1 - cos x ~ x , (1 + x ) - 1 ~ x . 2
注意 对于代数和中各等价无穷小一般不能替换.
若 ~ , ~ 且 与 不等价 , 则 - ~ - ,
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12
常用等价无穷小:
sin x ~ x , ln( 1 + x ) ~ x ,
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9
常用等价无穷小:
sin x ~ x , ln( 1 + x ) ~ x ,
当x 0时,
arctan x ~ x ,
arcsin x ~ x , tan x ~ x ,
x
1 2 e - 1 ~ x , 1 - cos x ~ x , (1 + x ) - 1 ~ x . 2
例9
tan2 2 x 求 lim . x 0 1 - cos x
同济大学高数第六版基本概念及公式总结(土木数学兴趣小组)
四川建院土木1301（数学兴趣小组）目录第一章函数与极限薚……………………………………………………………………第一节函数……………………………………………………………………………….. 第二节数列的极限………………………………………………………………………………….. 第三节函数的极限…………………………………………………………………………………第四节无穷小与无穷大…………………………………………………………………………….. 第五节极限四则运算法则……………………………………………………………………………第六节极限存在准则、两个重要极限………………………………………………………………第七节无穷小的比较…………………………………………………………………………………第八节函数的连续性与间断点………………………………………………………………………第九节连续函数的运算与初等函数的连续性…………………………………………………….. 第十节闭区间上连续函数的性质……………………………………………………………………第二章导数与微分………………………………………………………………………. 第一节导数的概念……………………………………………………………………………………. 第二节函数的求导法则………………………………………………………………………………第三节初等函数的求导问题…………………………………………………………………………. 双曲函数与反双曲函数的导数…………………………………………………………………………第四节高阶导数………………………………………………………………………………………第五节隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数相关辩化率……………………………第六节函数的微分…………………………………………………………………………………….第三章中值定理与导数的应用…………………………………………………………第一节中值定理………………………………………………………………………………….. 第二节洛必达法则……………………………………………………………………………………第三节泰勒公式………………………………………………………………………………………第四节函数单调性的判定法…………………………………………………………………………第五节函数的极值与最值……………………………………………………………………………第六节曲线的凹凸与拐点……………………………………………………………………………第七节曲率……………………………………………………………………………………………第八节方程的近似解…………………………………………………………………………………第四章不定积分……………………………………………………………………….. 第一节不定积分的概念及其性质………………………………………………………………第二节不定积分的换元积分………………………………………………………………………第三节不定积分的分部积分法…………………………………………………………………….. 第四节几种特殊类型函数的积分……………………………………………………………………第五章定积分…………………………………………………………………………. 第一节定积分概念与性质…………………………………………………………………………第二节微积分基本定理………………………………………………………………………….. 第三节定积分换元积分法与分部积分法……………………………………………………..第四节广义积分……………………………………………………………………………..第六章定积分的应用……………………………………………………………….定积分的元素法……………………………………………………………………………………功水压力和引力…………………………………………………………………………………. 平均值……………………………………………………………………………………………..第七章空间解析几何与向量代数…………………………………………………. 第一节空间直角坐标系…………………………………………………………………………. 第二节向量及其加减法向量与数的乘法………………………………………………………第三节向量的坐标………………………………………………………………………………第四节数量积向量积混合积…………………………………………………………………. 第五节曲面及其方程……………………………………………………………………………第六节空间曲线及其方程………………………………………………………………………. 第七节平面及其方程…………………………………………………………………………….. 第八节空间直线及其方程………………………………………………………………………. 第九节二次曲面…………………………………………………………………………………第八章多元函数微分法及其应用…………………………………………………第一节多元函数的基本概念………………………………………………………………….第二节偏导数………………………………………………………………………………….第三节全微分………………………………………………………………………………….第四节多元复合函数的求导法则……………………………………………………………. 第五节隐函数的求导法则……………………………………………………………………第六节微分法在几何上的应用………………………………………………………………..第七节方向导数与梯度………………………………………………………………………..第八节多元函数的极值及其求法……………………………………………………………….第九章重积分………………………………………………………………………第一节二重积分的概念与性质…………………………………………………………….第二节二重积分的计算…………………………………………………………………………第三节二重积分的应用…………………………………………………………………………第四节三重积分的概念及其计算法……………………………………………………………. 第五节利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分………………………………………………第十章曲线积分与曲面积分………………………………………………………第一节对弧长的曲线积分…………………………………………………………………….第二节对坐标的曲线积分…………………………………………………………………….第三节格林公式及其应用……………………………………………………………………. 第四节对面积的曲面积分……………………………………………………………………. 第五节对坐标的曲面积分……………………………………………………………………. 第六节高斯公式通量与散度………………………………………………………………第七节斯托克斯公式环流量与旋度………………………………………………………第十一章无穷级数………………………………………………………………第一节常数项级数的概念和性质………………………………………………………….. 第二节常数项级数的申敛法…………………………………………………………………. 第三节幂级数…………………………………………………………………………………. 第四节函数展开成幂级数……………………………………………………………………第五节函数的幂级数展开式的应用…………………………………………………………第七节傅里叶级数……………………………………………………………………………. 第八节正弦级数与余弦级数…………………………………………………………………. 第九节周期为2l的周期函数的傅里叶级数………………………………………………...第十二章微分方程……………………………………………………………….. 第一节微分方程的基本概念……………………………………………………………….. 第二节可分离变量的微分方程………………………………………………………………第三节齐次方程……………………………………………………………………………第四节一阶线性微分方程…………………………………………………………………第五节全微分方程……………………………………………………………………………第六节可降阶的高阶微分方程………………………………………………………………第七节高阶线性微分方程……………………………………………………………………第八节二阶常系数齐次线性微分方程………………………………………………….. 第九节二阶常系数非齐次线性微分方程……………………………………………………第十节欧拉方程………………………………………………………………………………第十一节微分方程的幂级数解法……………………………………………………………. 第十二节常系数线性微分方程组解法举例…………………………………………………第一章 函数与极限第一节 函 数教学目的：本节主要是复习高中阶段学过的集合以及函数的概念、性质；介绍邻域、分段函数、复合函数、初等函数的概念。
高等数学(同济大学版) 课程讲解 1.6-1.7 两个重要极限 无穷小比较
课时授课计划课次序号：05一、课题：§1.6极限存在准则两个重要极限§1.7 无穷小的比较二、课型：新授课三、目的要求：1.了解极限的两个存在准则，并会利用它们求极限；2.掌握利用两个重要极限求极限的方法；3.掌握无穷小阶的概念以及利用等价无穷小替换求极限的方法.四、教学重点：利用两个重要极限以及等价无穷小替换求极限.教学难点：利用极限的存在准则求极限.五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社；2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．七、作业：习题1–6 1（1）（6），2（3）；习题1–7 1，4（3）八、授课记录：九、授课效果分析：复习1.无穷小与无穷大的概念以及它们之间的关系；2.极限运算法则：无穷小运算法则、四则运算法则、复合函数极限运算法则. 有些函数的极限不能（或者难以）直接应用极限运算法则求得，往往需要先判定极限存在，再用其他方法求得.下面先介绍判定函数极限存在的两个准则，然后介绍两个重要极限.在此基础上，进一步介绍无穷小的比较与等价无穷小的性质．第六节 极限存在准则 两个重要极限一、极限存在准则1. 夹逼准则定理1 如果数列{}{}n n y x 、及{}n z 满足下列条件： （1）()...321，，=≤≤n z x y nn n ， （2），，a z a y n n n n ==∞→∞→lim lim 那么数列{}n x 的极限存在，且a x n n =∞→lim 。
证 ,,a z a y n n →→ 使得,0,0,021>>∃>∀N N ε1,n n N y a ε>-<当时,恒有 2,n n N z a ε>-<当时,恒有},,max{21N N N =取上两式同时成立, ,εε+<<-a y a n 即 ,εε+<<-a z a n所以恒有时当,N n >,εε+<≤≤<-a z x y a n n n ,成立即ε<-a x n.lim a x n n =∴∞→例1 求⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n 22212111lim 解11112222+<++++<+n n nn n nn n ，而 11limlim22=+=+∞→∞→n n nn n n n ， 所以原式极限为1.定理1/ 设在点x 0的某去心邻域有12()()()F x f x F x ≤≤, 且0lim x x →F 1(x )= 0lim x x →F 2(x )=A ，则0lim ()x x f x →=A .证 由已知条件, ∃δ1＞0,当x ∈0U (x 0,δ1)时, 12()()()F x f x F x ≤≤.又由0lim x x →F 1(x )=0lim x x →F 2(x )=A 知: ∀ε＞0,∃δ2＞0,当x ∈0U (x 0,δ2)时,｜F 1(x )-A ｜＜ε,∃δ3＞0,当x ∈0U (x 0,δ3)时,｜F 2(x )-A ｜＜ε.取δ=min(δ1,δ2,δ3),则当x ∈0U (x 0,δ)时,得 A -ε＜12()()()F x f x F x ≤≤＜A +ε.由极限定义可知，0lim ()x x f x A →=.夹逼定理虽然只对x →x 0的情形作了叙述和证明,但是将x →x 0换成其他的极限过程,定理仍成立,证明亦相仿.例如,若∃X ＞0使x ＞X 时有12()()()F x f x F x ≤≤,且lim x →+∞F 1(x )=lim x →+∞F 2(x )=A , 则lim x →+∞f (x )=A.2. 单调有界准则定义 数列{}n x 的项若满足x 1≤x 2≤…≤x n ≤x n +1≤…，则称数列{}n x 为单调增加数列；若满足x 1≥x 2≥…≥x n ≥x n +1≥…，则称数列{}n x 为单调减少数列．当上述不等式中等号都不成立时，则分别称{}n x 是严格单调增加和严格单调减少数列．定理2 单调有界数列必有极限．该准则的证明涉及较多的基础理论，在此略去．例2 证明数列11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭收敛．证 只需证明11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭单调增加且有上界．当a ＞b ＞0时，有 a n +1-b n +1=(a -b )(a n +a n -1b +…+ab n -1+b n )＜(n +1)(a -b )a n , 即a n ［(n +1)b -na ］＜b n +1． （8）取a =1+1n ，b =1+11n +代入(8)式，得 11n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜1111n n +⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，即数列11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是单调增加的．取a =1+12n ，b =1代入(8)式，得 112nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜2，从而2112nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜4，n =1，2，…，又由于 211121n n -⎛⎫+ ⎪-⎝⎭＜2112nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜4，所以11nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜4对一切n =1，2，…成立，即数列11n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭有界，由收敛准则可知11n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭收敛．我们将11n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭的极限记为e ，即 1l i m 1nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭=e ．二、两个重要极限利用夹逼定理，可得两个非常重要的极限.1. 第一个重要极限 0sin lim1x x x→=我们首先证明0sin lim1x x x+→=.因为x →0+，可设x ∈（0，2π）.如图1－35所示，其中， EAB为单位圆弧，且OA =OB =1，∠AOB =x ，则OC =cos x ，AC =sin x ，DB =tan x ，又△AOC 的面积＜扇形OAB 的面积＜△DOB 的面积， 即 cos x sin x ＜x ＜tan x .因为x ∈（0，2π），则cos x ＞0，sin x ＞0，故上式可写为cos x ＜sin x x＜1cos x.由0lim cos 1x x →=，01lim1cos x x→=，运用夹逼定理得 0sin lim 1x x x+→=. 注意到sin x x是偶函数，从而有0sin sin()sin limlim lim 1x x z x x z xxz--+→→→-===-.图1－35综上所述，得 0s i n l i m1x x x →=.例3 证明0tan lim1x x x→=.证 0tan sin 1limlimcos x x x x xxx→→=⋅sin 1limlim1cos x x x xx→→=⋅=.例4 求21cos limx xx→-.解 22220002(sin )sin1cos 1122lim lim lim 222x x x xx x xx x →→→⎛⎫ ⎪-=== ⎪⎪⎝⎭. 例5 求3tan sin lim x x xx →-.解 33tan sin sin (1cos )limlimcos x x x xx x xx x→→--=20s i n 1c o s 11l i m c o s 2x x x x x x→-=⋅⋅=.例6 求1lim sinx x x→∞.解 令u =1x，则当x →∞时，u →0，故01sin lim sinlim1x u u x x u→∞→==.从以上几例中可以看出，0sin lim1x x x→=中的变量可换为其他形式的变量，只要在极限过程中，该变量趋于零.即如果在某极限过程中有lim ()0u x =（()u x ≠0），则sin ()lim1()u x u x =.2.第二个重要极限 1lim (1)e x x x→∞+=前面我们已证明了1lim (1)e nn n→∞+=.对于任意正实数x ，总存在n ∈N ，使n ≤x ＜n +1，故有1+11n +＜1+1x≤1+1n，及1111(1)(1)(1)1nxn n xn++<+<++.由于x →+∞时，有n →∞，而11(1)11lim (1)lime 1111n nn n n n n +→∞→∞+++==+++，1111lim (1)lim (1)(1)e n nn n nnn+→∞→∞+=++= ，由夹逼定理使得1lim (1)e xx x→+∞+=.下面证1lim (1)e xx x→-∞+=.令x =-（t +1），则x →-∞时，t →+∞，故(1)(1)11lim (1)lim (1)lim ()11xt t x t t t xt t -+-+→-∞→+∞→+∞+=+=++lim ()()e 11tt t t t t →+∞==++.综上所述，即有 1l i m (1)e xx x→∞+=.在上式中，令z =1x，则当x →∞时，z →0，这时上式变为1lim (1)e z z z →+=.为了方便地使用以上公式，常将它们记为下列形式：（1） 在某极限过程（x →x 0，x →∞，x →-∞，x →+∞）中，若lim ()u x =∞，则()1lim 1e ()u x u x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦；（2） 在某极限过程中，若lim ()0u x =，则 []1()lim 1()e u x u x +=.例7 求lim (1)xx k x→∞+（k ≠0）.解 l i m (1)l i m (1)xkxk x x k k xx →∞→∞+=+ l i m (1)ekx kkx k x →∞⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦. 例8 求1lim 2xx x x →∞+⎛⎫⎪+⎝⎭. 解 22111lim lim 1lim 1222xxx x x x x x x x +-→∞→∞→∞+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭22111lim 1lim 1e22x x x x x +--→∞→∞--⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ .例9 求0ln(1)limx x x→+.解 1ln(1)limlim ln(1)ln e =1x x x x x x→→+=+=.例10 求0e 1limxx x→-.解 令u =e x -1，则x =ln （1+u ），当x →0时，u →0，故e 11limlimlim1ln(1)ln(1)xx u u u u xu u→→→-===++.例11 求ln ln limx ax a x a→--（a ＞0）.解 令u =x -a ，则x =u +a ，当x →a 时，u →0，故ln ln ln()ln limlimx au x a u a ax au→→-+-=-011limln(1)au u u aaa→=+=.第七节 无穷小的比较同一极限过程中的无穷小量趋于零的速度并不一定相同，研究这个问题能得到一种求极限的方法，也有助于以后内容的学习.我们用两个无穷小量比值的极限来衡量这两个无穷小量趋于零的快慢速度.一、无穷小阶的概念定义 设(),()x x αβ是同一极限过程中的两个无穷小量：lim ()0,lim ()0x x αβ==.若()lim0()x x αβ=，则称()x α为()x β的高阶无穷小，记为α（x ）= o （β（x ））. 若()lim()x x αβ=∞，则称()x α为()x β的低阶无穷小，记为β（x ）= o （α（x ））. 若()lim ()x A x αβ=（A ≠0），则称()x α是()x β的同阶无穷小. 特别地，当A =1时，则称α（x ）与β（x ）是等价无穷小，记为α（x ）~β（x ）. 若在某极限过程中，α是βk的同阶无穷小量（k ＞0），则称α是β的k 阶无穷小. 例如：因为01cos lim0x xx →-=，所以当x →0时，1-cos x 是x 的高阶无穷小量，即1-cos x =o （x ） （x →0）.因为21cos 1lim2x xx→-=，所以当x →0时，1-cos x 是x 2的同阶无穷小量，即1-cos x =O （x 2）（x →0）.因为0sin lim1x x x→=，所以当x →0时，与sin x 与x 是等价无穷小量，即sin x x （x →0）.二、等价无穷小的性质等价无穷小在极限计算中有重要作用.定理1 设α ，β为同一极限过程的无穷小量，则()o αββαα⇔=+ .定理2 设,,,ααββ''为同一极限过程的无穷小量，,ααββ'' ，若limαβ存在，则 limlimααββ'='.证 因为,ααββ'' ，则lim1αα'=,lim1ββ'=，由于αααββαββ'''=',又limαβ存在，所以 l i m l i m l i ml i m l i m αααβαβαβββ''==''. 定理2表明,在求极限的乘除运算中，无穷小量因子可用其等价无穷小量替代，这个结论可写为以下的推论.推论1 设,ααββ'',若()lim f x αβ存在或为无穷大量，则 ()()limlimf x f x ααββ'='.推论2 设αα' ，若lim ()f x α存在或为无穷大，则 lim ()lim ()f x f x αα'=. 在极限运算中，常用的等价无穷小量有下列几种：当x →0时，sin ,tan ,arcsin ,arctan ,x x x x x x x x ，1-cos x ~212x ，ex-1~x ，ln （1+x ）~x，1~2x ，(1)a x +-1~αx （α∈R ）.例1 当x →0时,22~2x x x -,232~x x x -, 2sin ~x x x +, c o s ~2x x .例2 求0tan 7limsin 5x x x→.解 因为x →0时，tan7x ~7x ，sin5x ~5x ，所以 00tan 777limlimsin 555x x x x xx→→==.例3 求0eelimsin sin axbxx ax bx→-- (a ≠b ).解 ()0e ee [e 1]limlimsin sin 2cossin22axbxbx a b xx x a ba b ax bxx x-→→--=+--()0e e1limlim cos2sin22bx a b xx x a b a b xx-→→-=+- 0()lim1()22x a b x a b x→-==- .例4 求223lim ln(1)x x x→∞+. 解 当x →∞时，2233ln(1)xx+，故222233lim ln(1)lim 3x x x x xx→∞→∞+== .例5 当x →0时，tan x -sin x 是x 的几阶无穷小量？解 23330tan sin tan (1cos )12limlimlim2x x x xx x xx x xxx →→→⋅--===， 所以，当x →0时，tan x -sin x 是x 的三阶无穷小量. 例6求21limsin 2x x x→+.解211~()~22x x x +，2sin 2~sin 2~2x x x x +，所以20112limlim sin 224x x xx xx →→==+. 课堂总结1.极限的存在准则：夹逼准则、单调有界准则；2.两个重要极限：1sin 1lim1,lim (1)e lim (1)e xx x x x x x xx→→∞→=+=+=或；3.无穷小的比较：高阶、低阶、同阶、等价、k 阶；4.等价无穷小替换求极限的方法.。
1-7无穷小的比较
所以
lim
( x ) ( x )
lim ((xx)) ((x x))((xx))
lim
(x) (x)
类似可证(2), (3).
例1. 求lx im0stign25xx.
解: 由于当x0, tgx ~ x,从而tg2x ~ 2x.
当x0, sinx ~ x, 从而sin5x ~ 5x.
故,
lim
特,若 别 lim [((xx))k]A0,
则称 (x)是(x)的k阶无穷小量.
记作 (x) O (k(x))
(3)若lim((xx))1,
则称(x)和(x)是等价无穷小量, 记作, (x) ~ (x) 显然, 若(x) ~ (x), 则 (x)和(x)是同阶
无穷小量, 但反之不对.
比如,
(i) 因 lx i0x m x 2 0 . 所 ,x2以 o (x )(.x 0 ) (ii) 因 l x 0 i 1 m x c 2x o 1 2 .所 s ,1 c以 x o O ( x s 2 )( x . 0 )
1-7无穷小的比较
单/击/此/处/添/加/副/标/题/内/容
§1－7 无穷小的比较
一般, 无穷小量的商有下列几种情形.
(1)当 x 0时 , 3 x x 3(非 0常)数 (2)当 x 0时 , xx2 0 (3)当 x0时 , xx2 (4)当n时, (1)1n1n(. 设lim(x)=0, lim(x)=0.
(1)若lim((xx))0,
则称(x)是比(x)高阶的无穷小量, 记作, (x)=o((x)) 或称(x)是比(x)低阶的无穷小量,
即, 若lim((xx))
则称(x)是比(x)低阶的无穷小量.
(2)若 lim ((xx))A0,
同济大学高等数学第一章无穷小比较
n
n
～
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定理1.
证:
～
o( )
lim 1 lim( 1) 0, 即 lim 0
～
o( ) , 即 o( )
例如, x 0 时,
～
tan x ～x , 故
tan x x o( x)
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说明: 设对同一变化过程 , , 为无穷小 , 由等价
无穷小的性质, 可得简化某些极限运算的下述规则.
(1) 和差取大规则: 若 = o() , 则 ~ 1 x sin x lim 例如, lim 3 3 x 0 3 x x 0 x 3 x (2) 和差代替规则: 若 ~ , ~ 且 与 不等价 , lim , 则 ~ , 且 lim
x 0 时,
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定理2 . 设
且
存在 , 则
lim
证:
lim lim lim lim lim lim
例如,
2x 2 tan 2 x lim lim x 0 5 x 5 x 0 sin义. 设 , 是自变量同一变化过程中的无穷小,
若 lim 0 , 则称 是比 高阶的无穷小, 记作 o( ) 若 lim , 则称 是比 低阶的无穷小; 若 lim C 0 , 则称 是 的同阶无穷小;
若 lim k C 0 , 则称 是关于 的 k 阶无穷小; 若 lim 1, 则称 是 的等价无穷小, 记作 ~ 或 ~
同济高等数学第七版 第六版区别
同济高等数学是一部备受推崇的数学教材，广泛应用于高校的数学教学中。
在不同版本的同济高等数学教材中，可能会存在一些区别。
本文将就同济高等数学第七版与第六版的区别进行探讨，并详细分析两个版本在内容、格式、知识点等方面的差异，希望对读者有所帮助。
1. 内容方面的区别同济高等数学第六版主要包括微积分部分、无穷级数部分、多元函数微分学与积分学以及偏微分方程等内容。
在第七版中，作者在原有内容的基础上进行了一定的完善和修改，并在微积分部分增加了一些新的知识点，强调了一些重要概念和定理。
第七版对一些知识点的表述方式也进行了修订，更加清晰易懂。
在微积分中，第七版对定积分的定义和性质做了更加详细的讲解，以及对定积分的计算方法也进行了扩充和补充。
在多元函数微分学与积分学中，第七版对偏导数和全微分的概念、性质和应用做了更加系统和深入的讲解。
2. 格式方面的区别第六版和第七版在版式和排版方面也存在一些差异。
第七版的排版更加整洁，版面设计更加美观，行文更加流畅。
第七版在插图和图表的选择上，也更加直观，更容易理解和掌握。
在内容安排上，第七版也对知识点的结构和逻辑关系进行了重新梳理，使得整本书的结构更加合理，更具系统性。
3. 新知识点的加入在同济高等数学第七版中，作者对一些新的数学理论和知识点进行了补充和完善。
比如在微积分部分，对于微分中值定理和泰勒公式的证明和应用，第七版做了更详细的分析和解释。
另外，在多元函数微分学与积分学中，对于偏微分方程和多元函数极值与条件极值的判定也做了更全面的讲解。
4. 知识点的重点与难点在第七版中，作者对一些重点和难点知识进行了更加明确的标注和强调。
这有利于读者更好地把握重点，理解难点。
比如在微积分部分，对于定积分的性质和应用，在第七版中都进行了详细的分析和强调。
在多元函数微分学与积分学中，对于偏导数和全微分的求法、性质和应用也进行了深入讲解。
在总体上看，同济高等数学第七版相较于第六版来说，在内容、格式、知识点等方面都进行了一定的改进与完善。
同济版高数课件ch1-7
α
定理 1 β 与 α 是等价无穷小的充分必 要条件 的主要部分． 为 β = α + o(α ).称 α 是 β 的主要部分．
注： 由此定理知
1) 若 β ~ α , 则 β − α = o(α ).
2) 若 β = α + o(α ), 则 β ~ α .
如
β = x 3 + x 4 , ( x → 0) . α = x3
x
1− 1− x + x 5. lim x →0 x
3
2
cos x(e sin x − 1)2 ; 6. lim x →0 tan 2 x
;
1 + cos πx 7. lim ; 2 x →1 ln x
第一章
第七节 无穷小的比较
一、无穷小的比较
1 例如, 例如 当x → 0时, x , x , sin x , x sin 都是无穷小. x 2 x 观 lim = 0, x 2比3 x要快得多 ; 察 x→0 3 x 各 sin x 极 sin x x ; = 1, lim x→0 x 限 1 2 x sin x = lim sin 1 0 lim 比. 比 . 2 x→0 x→0 x x 0 , 快 .
故当 x → +∞ 时 f ( x ) 和 g ( x ) 不能比较 不能比较.
练习
求极限： 求极限：
2
1 − 2x − 1 ; 2. 1. lim x →0 x ln(1 − x )
3. lim x →0
x arcsin x e− x − 1
2
;
ln(1 + 3 ) lim ; x x →−∞ ln(1 + 2 ) 1 x arcsin x ⋅ sin x ; 4. lim x→ x →0 sin x
1-7无穷小的比较
意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式．
例如, 当x 0时, sin x ~ x ,
sin x x o( x ), 1 2 1 cos x x o( x 2 ). 2
常用等价无穷小: 当x 0时,
1 2 1 cos x ~ x . 2
y 1 2 x 2
y 1 cos x
x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 x ) 1 2 x ~ e 1, 1 cos x ~ x , (1 x ) a 1 ~ ax (a 0) 2
x
定理２(等价无穷小代换定理)
设 ~ , ~ 且 lim 存在, 则 lim lim .
证明： （必要性） 设 ~ ， lim lim 1 0， o()，即 o()． （充分性）设 o()．
o( ) o( ) lim （１＋ ） 1， lim lim ~ ．
ln 1 ( x 1) ln x x 1 （2）lim lim ln[1 ( x 1)] 1 x 1 x 1 x 1 ( x 1)
1 ( x 1) sin x 1 lim sin 1 （3）lim 不存在. x 1 x 1 x 1 x 1
lim( ) 证明： lim lim lim lim lim .
tan 2 x 例4 求 lim x 0 sin 5 x
解： x 0 时， tan 2 x ~ 2 x,
sin 5 x ~ 5 x .
tan 2 x 2x 2 故 lim . lim x 0 sin 5 x 5 x 0 5 x
经典高等数学课件D1-6两个重要极限;1-7无穷小的比较
1 例1. 证明:当x 0时, 1 x 1 x . n
n
证:
= lim
x 0
( n 1 x )n 1 1 n x[ (1 x )n1 n (1 x )n 2 1] n
lim
n (1 x )n1 n (1 x )n 2 1
7
arcsin x 例4. 求 lim . x 0 x t arcsin x lim t 解： 式 原 t 0
x sin t
sin t
arcsin x lim 1 x 0 x
1 1 si nt lim t 0 t
0 经验：含有三角函数,反三角函数的 型的极限问题常用 0 第一个重要极限解决.
2
第六节 极限存在准则
一、极限存在准则 夹逼准则 ；单调有界准则 二、两个重要极限
两个重要极限
sin x lim 1 x 0 x
1 x lim(1 ) e x x
3
一、极限存在准则 1. 夹逼准则
准则I： yn xn zn ( n 1, 2, ) (1)
(2) lim yn lim zn a
1 1 ln e
即有等价关系: e x 1 ~ x ( x 0) 说明: 1)上述证明过程也给出了关系: ln(1 x ) ~ x ( x 0) 2) 常用等价无穷小:当x 0时, sin x ~ x , tan x ~ x, arcsin x ~ x, arctan x ~ x , ln(1 x ) ~ x, 1 2 x e 1 ~ x, 1 cos x ~ x , (1 x)a 1 ~ ax (a 0) 2
x 0 n
1
1 则 当x 0时, 1 x 1 x . n
高等数学1-7-无穷小的比较_OK
lim
1 cos x
x0 (1 cos x)x(1 cos x)
x2
lim x0 (1
2 cos x)x (
x)2
2
lim
1
1 函数与极限
29
x0 (1 cos x ) 2
三、小结
1.无穷小的阶的比较
反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但 并不是所有的无穷小都可进行比较. 高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 同阶无穷小.
1
1 函c数o与s极x限~
x2 2
等价无穷小 6
2
（5） lim ln(1 x) x0 x
lim
ln(1
x)
lim
ln(1
x)
1 x
ln[lim
(1
x)
1 x
]
x0 x
x0
x0
ln e 1. 故 ln(1 x) ~ x(x 0) 等价无穷小
（6）
ex 1 lim
x0 x
令 ex 1 u,
ex 1
lim sin x(1 cos x) 1 x0 (1 sin x) cos x x3
lim sin x 1 cos x
1
x x0
x2 (1 sin x) cos x
1 2
1
原式 e2.
函数与极限
27
【例7 】求
lim 1 x sin x 1 x0 x arctan x
解 因为当x→0
1 xsin x 1 ~ xsin x ,arctanx ~ x 2
x0
x
x0 x(1 cos x)
lim sin2 x lim sin x sin x
x0 x(1 cos x) x0 x 1 cos x
1-7无穷小的比较
常用的等价无穷小.
当x0时,
sinx ~ x,
tgx ~ x,
arctgx ~ x,
arcsinx ~ x,
ex–1 ~ x,
ln(1+x) ~ x,
1
cos
x
~
x2 2
(1 x)k 1 ~ kx, (k R, k 0)
事实上, 当 y > 0时, y = elny. 从而,
lim
一般, 设变量u从初值u0变到终值u1, 记u=u1u0, 称为变量u的增量(改变量).
u可正, 可负, 还可为0. 另外, u1 = u0+ u
设f (x)在U(x0)有定义, xU(x0), 记 x =xx0 称为自变量x在x0处增量(改变量). 且 x = x0 + x
记 y = f (x) f (x0) = f (x0 + x) f (x0) 称为y在x0处相应于x的增量(改变量).
sin
a
2
1) bx
1 2
lim
x0
(a a
2
b)x bx
=1
例3.
求
lim
x
x2
ln(1
3 x3
).
解:
lim x2 ln(1
x
3 x3
)
lim
x
x
2
3 x3
lim
x
3 x
=0
或,
lim x2 ln(1
x
3 x3
)
lim
x
3 x
如图
y f (x) = |x|
o
x
无穷小比较精选全文完整版
第一章
第七节
无穷小的比较
二 等价无穷小在极限运算中的应用
一 无穷小的比较
一 无穷小的比较
定义
设
10
若
则称
和
是（当
时的）
同阶无穷小。
特别地当
时，
称它们为等价无穷小,
记成
进一步若
则称
是
k 阶无穷小。
20
若
则称
是比高阶的ຫໍສະໝຸດ 穷记成小量。类似地，
等价无穷大、高阶的无穷大等相应概念。
对无穷大量我们也可以定义同阶无穷大、
例1: 证明
提示 即证明
(2)
证明
故
例当
～
时
～
～
例
故
时
是x2 的同阶无穷小.
～
例2. 证明: 当
时,
～
证:
～
注 :
时
记住以下等价无穷小
(1)三角函数
(2)指数函数
(3)对数函数
(4)幂函数
注 :
时
(1)三角函数
(2)指数函数
(3)对数函数
(4)幂函数
～
～
定理1.
证:
即
即
例如,
～
～
故
定理2 . 设
例
解:
加减时不能直接用。
(
法则）
(A) 和差取大规则：
例
注意到若
与
不等价，
不妨设
则有
(B) 和差代替规则:
若
且
故有
与
不等价，
则
(3)
内容小结
1. 无穷小的比较
设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且
高数上D1_8无穷小比较
例如 , 当
～
时
～
～
又如 ，
故
时
是关于 x 的二阶无穷小,
～
且
例1. 证明: 当
时,
～
证:
～
～
～
定理1.
证:
即
即
例如,
～
～
故
定理2 . 设
且
存在 , 则
证:
例如,
因式代替规则:
界, 则
例如,
例1. 求
解: 业
习题1-8 P62页 2, 4, 5
第一章
都是无穷小,
第八节
引例 .
但
可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .
无穷小的比较
定义.
若
则称 是比 高阶的无穷小,
若
若
若
若
或
设
是自变量同一变化过程中的无穷小,
记作
则称 是比 低阶的无穷小;
则称 是 的同阶无穷小;
则称 是关于 的 k 阶无穷小;
则称 是 的等价无穷小,
内容小结
1. 无穷小的比较
设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且
是 的高阶无穷小
是 的低阶无穷小
是 的同阶无穷小
是 的等价无穷小
是 的 k 阶无穷小
2. 等价无穷小替换定理
～
～
～
～
～
Th 2
常用等价无穷小 :
1.7无穷小的比较
n
1x
n 1 x
1 . ( 当 x 1 时 ,lix m 2 n 1 0 .)
1 x
n
14
练习2 求下列极限：
(1 )li( m sx i n 1 six n )
x
(2) xl im1s1inx2x
提示: (1 )six n 1 six n
2 six n 1xcox s1x
2
2
证 lim lim()
lim lim lim lim .
8
说明: 设对同一变化过程 , , 为无穷小 , 由等价
无穷小的性质, 可得简化某些极限运算的下述规则.
(1) 和差取大规则: 若 = o() , 则 ~
例如,
lim
x0
sinx x3 3x
lim x x0 3x
1
lim
x0
1
2ex
4
1ex
sin x
x
lim
x0
1
2ex
4
1ex
sinx x
1
原式 = 1
19
三、小结
1.无穷小的比较:
反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度 快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶.
2.等价无穷小的替换:
求极限的又一种方法, 注意适用条件.
界, 则 lim (x)lim (x)
例如, lia m rc xssi1 i n n lix m si1 n 0
x 0
xx 0 x
10
例4 求limtan22x. x0 1coxs
解 当 x 0 时 ,1 cx o ~ 1 x s 2 , ta 2 x ~ n 2 x . 2
高等数学《无穷小的比较》课件
(3)若lim ( x) C 0,则称 ( x)与( x)是同阶无穷小, (x)
记作 ( x) O(( x));
3
(4)若 lim
(x) k ( x)
C
0, 则称
(
x )是关于 (
x)的
k阶无穷小;
(5)若lim ( x) 1,则称 ( x)与( x)是等价无穷小, (x)
1.7 无穷小的比较
1.7.1 无穷小比较的定义 1.7.2 重要的等价无穷小关系 1.7.2 等价无穷小替代定理
1
1.7 无穷小的比较
当x 0时, 3x, x2 , sin x, tan x 都是无穷小,
而 lim x2 0, x0 3x
3x
lim
x0
x2
,
sin x lim 1, x0 x
x 1 2x
2
另解：原式 lim x0
2 x3
0 ? 错!
注 等价无穷小替换 , 只用于乘、除因子, 不能 用于加、减中!
11
例5
求：(1)
lim
x0
1 cos x sin2 x
解
1 x2
原式
lim
x0
2 x2
1 2
x4 x3
(2) lim x0
sin
x 2
3
解
原式
lim
x0
x4 x3
推论 设 ~ ,若lim f (x)存在， 则 lim f (x) lim f (x)
10
1
sin x sin 2x
例4 lim x0
2 tan3 x
b2 4ac
高数同济六版bai-D1_7无穷小比较
例1. 证明: 当
时,
～
证:
an bn (a b) (an1 an2b bn1)
～
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例2. 证明: 证:
因此
即有等价关系: 说明: 上述证明过程也给出了等价关系:
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定理1. ～ 证: ～
o()
lim 1
lim(
1)
(3) 因式代替规则: 若 ~ , 且 (x) 极限存在或有
界, 则 例如,
lim (x) lim (x)
lim arcsin xsin 1 lim xsin 1 0
x0
x x0
x
例3.
求
lim
x0
tan
x sin x3
x.
解: 原式
lim
x0
x
1 2
x
2
x3
原式
lim
x0
x x3
x
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作业 P59 3 ; 4 (2) , (3) , (4) ; 5 (3)
第八节 目录 上页 下页 返回 结束
0,
即
lim
0
o(), 即 o()
例如, x 0 时, x 0 时,
～ tan x～x, 故
tan x x o(x)
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定理2 . 设
且
存在 , 则
lim
证: lim lim
lim
lim
lim
lim
1
例4. 求 lim (1 x2 )3 1. x0 cos x 1
解:
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例如 , 当 x →0 时
x3= o( 6x2 ) ; sin x～ x ; tan x ～ x arcsin x～x
又如 ，
1 cos x lim x→0 x2
故 时
2x 2sin 2 = lim x 2 x→0 4( ) 2
1 = 2
是关于 x 的二阶无穷小, 且
1 x2 1 cos x～ 2
β lim =1 α β β α lim( 1) = 0, 即 lim =0 α α
β α = o(α), 即 β =α + o(α)
例如, 例如 x →0时 ,
～
tan x～x, 故
tan x = x + o(x)
x →0时 ,
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定理2 定理 . 设
且
存在 , 则
β lim α
lim α(x) = lim β(x) 1 1 limarcsin xsin = lim xsin = 0 x→0 x x→0 x
tan x sin x . 例3. 求 lim 3 x→0 x
解: 原式
xx 原 = lim 3 式 x→0 x
= lim x 1 x2 2 x3
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β 若 lim = 0, 则称 β 是比 α 高阶 高阶的无穷小, 记作 α β = o(α) β 若 lim = ∞, 则称 β 是比 α 低阶 低阶的无穷小; α β 若 lim =C ≠ 0, 则称 β 是 α 的同阶 同阶无穷小; 同阶 α
β 若 lim k =C ≠ 0, 则称 β 是关于 α 的 k 阶无穷小; α β 若 lim =1, 则称 β 是 α 的等价 等价无穷小, 记作 α ~ β 等价 α 或 β ~α
x→0
1 . 例4. 求 lim x→0 cos x 1
解:
1 (1+ x2 )3
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例5. 证明: 当 证:
时,
ln(1+ x) ~ x
ln(1 x) = ln(1+ ( x)) ~ ( x)
ln(1 x) 与 1+ x)不等价 ln(
利用和差代替与取大规则 和差代替与取大规则
2x x tan 2x sin x = lim 1 例如, lim =2 1+ x 1 x→0 x→0 x 2
γ
γ
注 α~β时 结 未 成 ！ 意 此 论 必 立 (见下页例3)
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(3) 因式代替规则 若α ~ β , 且(x) 极 存 或 因式代替规则: 限 在 有 界, 则 例如,
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例1. 证明: 当 证:
时,
～
(ab) (an1 + an2b ++ bn1) a b =
n n
～
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例2. 证明: 证: 因此
即有等价关系: 说明: 说明 上述证明过程也给出了等价关系:
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定理1. 定理 证:
～ ～
β =α + o(α)
说明
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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内容小结
1. 无穷小的比较 设 α , β 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 α ≠ 0
β 是 α 的高阶无穷小 β 是 α 的低阶无穷小 β 是 α 的同阶无穷小 β 是 α 的等价无穷小 β 是 α 的 k 阶无穷小
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常用等价无穷小 :
2. 等价无穷小替换定理
第七节 无穷小的比较
sin x 1 x2 lim = , lim = 0, x→0 3x 3 x→0 3x sin x lim 2 = ∞, x→0 x
可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .
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第一章
x →0时, 3x, x2 , sin x 都是无穷小, 但 引例 .
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定义. 定义 设 α , β 是自变量同一变化过程中的无穷小,
Th 2
思考与练习
P59 题1 , 2
作业 P59 3 ; 4 (2) , (3) , (4) ; 5 (3)
第八节 目录 上页 下页 返回 结束
证:
β β′ α′ β lim = lim α β′ α′ α β β′ β′ α′ = lim lim lim = lim β′ α′ α′ α
例如, 例如
2x 2 tan 2x = lim = lim x→0 5x 5 x→0 sin 5x
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说明: 说明 设对同一变化过程 , α , β 为无穷小 , 由等价 无穷小的性质, 可得简化某些极限运算的下述规则. (1) 和差取大规则 若 β = o(α) , 则α ± β ~ α 和差取大规则: x 1 sin x = = lim 例如, lim 3 3 x→0 3x x→0 x + 3x (2) 和差代替规则: 若α ~ α′, β ~ β′ 且 β 与α 不 价, 和差代替规则 等 α β α′ β ′ = lim . 则α β ~ α′ β′, 且lim