上海市二模试卷第18题汇总

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年上海各区初三二模数学18题

年上海各区初三二模数学18题20１７年上海市初三二模数学汇编之18题（十六区全）1. （2０1７徐汇二模)如图,在ABC 中,(90180)ACB αα∠=<<,将ABC 绕点A逆时针旋转2β后得AED ,其中点E 、D 分别和点B 、C 对应,联结CD ,如果⊥CD ED ,请写出一个关于α与β的等量关系式 :_＿_＿＿______＿____．【考点】图形的旋转、等腰三角形【解析】根据题意：ACB ADE α∠=∠=，90CDE ∠=?，90ADC α∴∠=-?,2,BAE DAC AC BC β∠=∠==，90ACD ADC β∴∠=∠=?-，180αβ∴+=?.2. (201７黄埔二模）如图,矩形ABCD ，将它分别沿AE 和AF 折叠，恰好使点B 、C落到对角线AC 上点M 、N 处．已知2MN =,1NC =，则矩形ABCD 的面积是．【考点】图形的翻折、勾股定理【解析】设AB x =，由题意可得:2,3.AN AD x AC x ==+=+在Rt ADC 中,222AD DC AC +=,即222(2)(3)x x x ++=+．解得：1x =((319ABCDSAD DC ∴=?==+3. （2０1７静安二模）如图,A 和B 的半径分别为5和１,3AB =，点O 在直线AB 上.O 与A 、B 都内切,那么O 半径是 .【考点】圆与圆的位置关系【解析】根据题意：,A O O B OA R R OB R R =-=-,|||62|3O AB OA OB R ∴=-=-=32RO ∴=,924. （2017闵行二模)如图，在Rt ABC 中，90,8,6,C AC BC ∠=?==点D E 、分别在边AB AC 、上,将ADE 沿直线DE 翻折，点A 的对应点在边AB 上,联结'A C .如果''A C A A =,那么BD = .【考点】勾股定理、图形的翻折图（1）图（2）【解析】根据题意： 115'''5,''222A A AB AC AB AD DB A B ======= 15''2BD BA A D ∴=+=5. (2０１7普陀二模)将ABC 绕点B 按逆时针方向旋转得到EBD ,点E 、点D 分别与点A 、点C 对应，且点D 在边AC 上,边DE 交边AB 于点F ,BDCABC ，已知BC =5AC =，那么DBF 的面积等于．【考点】图形的旋转、相似、八字形【解析】223BDC ABC BC CD CA CD AD AC CD ∴=?∴==∴=-=333=588BDF BDF BDF BDEABCBDESSS AD DF DF ADFBEF EB EF SDE SS∴=∴==∴== ? 6.（2017杨浦二模)如图,在Rt ABC 中,90, 4.C CA CB ∠=?==将ABC 翻折,是得点B 与点AC 的中点M 重合,如果折痕与边AB的交点为E ，那么BE 的长为 .B BA33154588216BDFABCSS ∴==?=BA【考点】图形的翻折、勾股定理、等腰直角三角【解析】过点M 作MH AB ⊥,设BE x =，根据题意得:,AB ME BE x AH MH HE x ======，在Rt MHE 中,222222+)MH HE ME x x x +=∴=∴=（7. （2017嘉定二模）如图，在ABC 中,390,10,cos 5ACB AB A ∠=?==，将ABC 绕着点C 旋转,点A 、B 的对应点分别记为'A 、'B ,''A B 与边AB 相交于点E ,如果''A B AC ⊥那么线段'B E 的长为 .【考点】图形的旋转、母子三角形、锐角三角比【解析】根据题意：3'''cos '1065A C A B A =?=?=,318''cos '655A F A C A =?=?= 32''''5B F A B A F ∴=-=,246,55CF A AF AC CF ==∴=-= 42424''3155AEFABC EF AF B E B F EF ∴==∴=-= 8. (2017长宁、金山、青浦二模）如图，在Rt ABC 中,,AB AC D E =、是斜边BC 上两点,45DAE ∠=?,将ADC 绕点A 顺时针旋转90?后，得到AFB .设,=BD a EC b =.那么AB = .BB【考点】图形的翻折、勾股定理【解析】将ABD沿AD翻折得到ADF,联结EF.根据题意得: ,ABD AFD AEF AEC,,DF BD a EF EC b∴====．45B C DFA AFE∠=∠=∠=∠=?90DFE∴∠=DE ∴=+2BC BD DE EC a b AB+∴=+=++=9.（20１7崇明二模）如图,已知ABC中,3,4,BC AC BD==平分ABC∠，将ABC绕着点A旋转后，点B、C的对应点分别记为11B C、,如果点1B落在射线BD上.那么1CC的长度为 .【考点】图形的旋转、八字形、旋转相似【解析】1111111,//ABB CBB ABB AB B CBB AB B AB BC∠=∠∠=∠∴∠=∠∴1111111AB B D BBAD ABBB ABB ACCBC DC DB AC CC∴==∴=∴=，即154=1CC∴=10.(２0１７虹口二模）如图，在Rt ABC中, 490,10,sin,5C AB B∠=?==点D在斜边AB上,把ACD沿直线CD翻折，使得点A落在同一平面内的'A处,当'A D 平行Rt ABC的直角边时,AD的长为 .B【考点】图形的翻折、八字形【解析】图（2)根据题意12,1332AC AB ∠=∠∠=∠∴∠=∠∴⊥ 2416''''//'4455AC BC A D A ECE A E A D BC A D AD AB BC CE∴==∴=∴=∴=∴= 图（3）根据题意1238AD AC ∠=∠=∠∴==.综上:4AD =或8.11. (２0１7松江二模)如图,已知在矩形ABCD 中,4,=8AB AD =，将ABC 沿对角线AC 翻折,点B 落在点E 处，联结DE ,则DE 的长为 .【考点】图形的翻折、八字形、勾股定理【解析】根据题意:123AF CF ∠=∠=∠∴=，设AF x =，在Rt AFC中2222216(8)5AE EF AF x x x +=∴+-=∴=,//EF DF AF CF ED AC ==∴35DE EF DE AC FC ∴==∴=12. (2017宝山二模)如图，E F 、分别在正方形ABCD 的边AB 、AD 上的点，且AE AF =,联结EF ，将AEF 绕点A 逆时针旋转45?,使E 落在1E ，F 落在1F ，联结1BE 并延长交1DF 于点G ,如果1AB AE ==,则DG = .A'B【考点】图形的旋转、勾股定理、全等、八字型、A 字型【解析】根据题意:11ABE AF D ABF ADGAQB DQG AQB DQG ?∴∠=∠∠=∠∴34DG DQ DG AB BQ ∴===13. (2017奉贤二模)如图,在矩形ABCD 中，点E 是边AD 上的一点，过点E 作EF BC ⊥.垂足为点F ，将BEF 绕点E 逆时针旋转,使点B 落在边BC 上的点N处，点F 落在边DC 上的点M 处,如果点M 恰好使边DC 的中点,那么ADAB的值是 .【考点】图形的旋转、一线三等角【解析】根据题意:,EBF EFN ENM NMCDEM ENM ??设CM x =,则2,3DM CM CD AB EN x ED CN x ED ?===∴=∴==2AD MN BN MN x AB ∴=∴==∴=M１4. (201７浦东二模）如图,矩形ABCD 中,4,7AB AD ==,点E F 、分别在边AD BC 、上，且点B F 、关于过点E 的直线对称，如果以CD 为直径的圆与EF 相切,么AE = .【考点】图形的翻折、勾股定理【解析】根据题意：设AE x = ,则7DE x =-，2,72BF x FC x ==-，,7,142DEG HEG HFG CFG DE HE x CF HF x ??∴==-==-143,BE FE x ∴==-在Rt ABE 中，222AB AE BE +=,即2216(143x x +=-）解得：12153,()2x x ==舍去，故 3.AE =2x 7-2x。

2024届上海市徐汇区高三二模数学试题及答案

第12题图上海市徐汇区2024届高三二模数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.已知集合22A y y x ，集合2430B x x x ，那么A B ．2.已知复数1iz i（i 为虚数单位），则z z ．3.在ABC 中，1AC ，2C ，A，则ABC 的外接圆半径为．4.5.6.7.8.9.10.11.不与O 点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），直杆上的点P 满足OP AB ，则OAP 面积的取值范围是．12.如图所示，已知ABC 满足8BC ，3AC AB ，P 为ABC 所在平面内一点．定义点集13,3P AP AB AC R D．若存在点0P D ，使得对任意P D ，满足0AP AP恒成立，则0AP的最大值为．第11题图二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.在下列函数中，值域为R 的偶函数是（）.A 13y x ；.B lg y x ；.C x x y e e ；.D 3cos y x x ．14.为了研究y 关于x 的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）：.A ˆa.B 当x .C .D 15.）.A 若 .B 若 .C .D 若16.三棱锥90 ，二面角P BC A 的大小为45 ，则对以下两个命题，判断正确的是（）①三棱锥O ABC 的体积为83；②点P 形成的轨迹长度为．.A ①②都是真命题；.B ①是真命题，②是假命题；.C ①是假命题，②是真命题；.D ①②都是假命题．第18题图三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须写出必要的步骤】17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数 y f x ，其中 122log 2xf x x ．（1）求证： y f x 是奇函数；（2）若关于x 的方程 12log f x x k 在区间 3,4上有解，求实数k 的取值范围．18.如图，4，ABC 是底面圆O （1）（2）19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）为了解中草药甲对某疾病的预防效果，研究人员随机调查了100名人员，调查数据如右表．（单位：个）（1）若规定显著性水平0.05 ，试分析中草药甲对预防此疾病是否有效；（2）已知中草药乙对该疾病的治疗有效率数据如下：对未服用过中草药甲的患者治疗有效率为12，对服用过中草药甲的患者治疗有效率为34．若用频率估计20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知椭圆224:13x y C ，1A 、2A 分别为椭圆C 的左、右顶点，1F 、2F 分别为左、右焦点，直线l 交椭圆C 于M 、N 两点（l 不过点2A ）．（1）若Q 为椭圆C 上（除1A 、2A 外）任意一点，求直线1QA 和2QA 的斜率之积；（2）若112NF F M，求直线l 的方程；（3）若直线2MA 与直线2NA 的斜率分别是1k 、2k ，且1294k k，求证：直线l 过定点．21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题（i ）满分6分，第2小题（ii ）满分8分）已知各项均不为0的数列 n a 满足2211n n n n n a a a a a（n 是正整数），121a a ，定义函数111!nkn k y f x x k（0x ），e 是自然对数的底数．（1）求证：数列1n n a a是等差数列，并求数列 n a 的通项公式；（2）记函数 n y g x ，其中 1xn n g x e f x ；（i ）证明：对任意0x ， 3430g x f x f x ；（ii ）数列 n b 满足12n n nb a ，设n T 为数列 n b 的前n 项和．数列 n T 的极限的严格定义为：若m 满足：当n m n T 的极限T ．上海市徐汇区2024届高三二模数学试卷-简答参考答案及评分标准2024.4一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1． 3, 2.2 3.14.35.816.17.2108.79.76410.7211.12.3二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.B 14.D 15.C 16.A三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）【解】（1）证明:函数122log 2xy x 的定义域为 22D x x x 或，在D 中任取一个实数x ，都有x D ，并且1111222222()log log log ()222x x x f x f x x x x.因此，122log 2xy x 是奇函数.（2） 12()log f x x k 等价于22x x k x即24122x k x x x x在 3,4上有解．记4()12g x x x，因为()g x 在 3,4上为严格减函数，所以，max ()(3)2g x g ，min ()(4)1g x g ，故()g x 的值域为 1,2 ，因此，实数k 的取值范围为 1,2 ．18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）【解】（1）在椭圆22:143x y C 中，左、右顶点分别为12(2,0)(2,0)A A 、，设点 000,(2)Q x y x ，则12202000220000312244344QA QA x y y y k k x x x x ．（2）设 1122,,,M x y N x y ，由已知可得1(1,0) F ，122111(1,)(+1,)NF x y F M x y，，由112 NF FM 得2211(1,)2(+1,) x y x y ，化简得2121=322 x x y y 代入2222431 x y 可得22114(32)(32)1 x y ，联立2211431 x y 解得117=4=8x y 由112 NF FM 得直线l 过点1(1,0) F ，7(,4 N ，所以，所求直线方程为=(1)2y x.（3）设 3344,,,M x y N x y ，易知直线l 的斜率不为0，设其方程为x my t （2 t ），联立22143x my tx y ，可得2223463120m y mty t ，由2222364(34)(312)0m t m t ，得2234t m ．由韦达定理，得234342263123434， mt t y y y y m m ．1294k k ，34349224y y x x ．可化为 343449220 y y my t my t ，整理即得 223434499(2)9(2)0 m y y m t y y t ，222223126499(2)9(2)03434t mt m m t t m m ，由20t ，进一步得2222(49)(2)183(2)03434m t m t t m m ，化简可得16160t ，解得1t ，直线MN 的方程为1x my ，恒过定点(1,0)．21.（本题满分18分，第（1）小题满分4分，第（2）（i ）满分6分，第（2）（ii ）满分8分）（方法二）而对于任意0u ，只需22e n u 且4n 时，可得22222222222!123n n e e e u e n n u个…….故存在22max ,5e m u，当n m 时，恒有n T T u ，因而n T 的极限2T e .。

2020上海初三数学各区二模填空压轴第18题集合

2020上海各区二模填空18题2020徐汇二模182020青浦二模182020虹口二模182020宝山二模182020普陀二模182020崇明二模182020黄浦二模1818．已知⊙O 的直径AB ＝4，⊙D 与半径为1的⊙C 外切，且⊙C 与⊙D 均与直径AB 相切、与⊙O 内切，那么⊙D的半径是． 2020金山18.如图，在ABC ∆中，∠C =90°，AC =3，BC =4，把ABC ∆绕C 点旋转得到A B C '''∆，其中点A '在线段AB 上，那么A B B ''∠的正切值等于_________2020浦东二模1818.在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，60BAC ∠=︒，3BC =，D 是BC 边上一点，沿直线AD 翻折ABD △，点B 落在点E 处，如果45ABE ∠=︒，那么BD 的长为__________．2020杨浦二模1818．如图，已知在平行四边形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝15，tan ∠A ＝43，点P 是边AD 上一点，联结PB ，将线段PB 绕着点P 逆时针旋转90︒得到线段PQ ，如果点Q 恰好落在平行四边形ABCD 的边上，那么AP 的值是．CB A（第18题AB CD 第18题图图3 D A B C 2020闵行二模1818.如图，已知在△ABC 中，AB=AC=4，∠BAC=30°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转，使点B 落在点B 1处，点C 落在点C 1处，且BB 1⊥AC ．联结B 1C 和C 1C ，那么△B 1C 1C 的面积等于______．2020松江二模1818. 如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接矩形，将矩形ABCD 沿着直线BC 翻折，点A 、点D的对应点分别为A′、D′, 如果直线A′D′与⊙O 相切，那么的值为 .2020静安二模1818．如果一条直线把一个四边形分成两部分，这两部分图形的周长相等，那么这条直线称为这个四边形的“等分周长线”．在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，∠A =90°，DC =AD ，∠B 是锐角，125cot =B ，AB =17．如果点E 在梯形的边上，CE 是梯形ABCD 的“等分周长线”，那么△BCE 的周长为．2020嘉定二模1818.定义：如果三角形的两个内角∠α与∠β满足βα∠=∠2，那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”.如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为 .2020奉贤二模1818．如图3，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝35°，CD 是斜边AB 上的中线，如果将△BCD 沿CD 所在直线翻折，点B 落在点E 处，联结AE ，那么∠CAE 的度数是AB BC C O BA D （第18题图）2020长宁二模18。

2018上海中考数学二模压轴题详解

如图1，已知平行四边形ABCD 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝45°．将△ABC 沿着AC 翻折，点B 落在点E 处，联结DE ，那么DE AC的值为_________．图1动感体验请打开几何画板文件名“18松江18”，可以体验到，△ACH 是等腰直角三角形，DE 与AC 平行．答案 1．思路如下：如图2，设CE 与AD 交于点H ．由∠ACB ＝45°，可知∠BCE ＝90°．所以△ACH 是等腰直角三角形．所以===CE CB CA CH CH CH 1=EH CH．由△EAC ≌△BAC ≌△DCA ，可知A 、D 两点到AC 的距离相等．所以DE //AC ．所以1==DE EH AC CH ．图2如图1，已知抛物线y ＝ax 2＋b x 的顶点为C (1,－1)，P 是抛物线上位于第一象限内的一点，直线OP 交该抛物线于点B ，直线CP 交x 轴于点A ．（1）求该抛物线的表达式；（2）如果点P 的横坐标为m ，使用m 的代数式表示线段BC 的长；（3）如果△ABP 的面积等于△ABC 的面积，求点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“18松江24”，拖动点P 在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，△ABP 与△ABC 是同高三角形，面积比等于PH 与CE 的比．思路点拨1．函数的解析式中待定两个系数，需要知道两个点的坐标．看似缺少条件，其实解析式中隐含了抛物线经过原点．2．△ABP 与△ABC 是同高三角形，面积相等时高也相等．图文解析（1）设抛物线的顶点式为y ＝a (x －1)2－1＝ax 2－2ax ＋a －1．对照y ＝ax 2＋b x ，根据常数项相等，得a －1＝0．所以a ＝1．所以抛物线的解析式为y ＝(x －1)2－1＝x 2－2x ．（2）如图2，作PH ⊥x 轴于H ，设对称轴与x 轴交于点E ，那么E (1, 0)．已知点P 的横坐标为m ，那么PH ＝m 2－2m ．由=BE PH OE OH ，得221-=BE m m m．所以BE ＝m －2．所以BC ＝BE ＋EC ＝m －2＋1＝m －1．图2 图3（3）如图3，因为△ABP 与△ABC 是同高三角形，当它们的面积相等时，底边AP ＝AC ．此时PH ＝CE ＝1．所以点P 的纵坐标为1．解方程m 2－2m ＝1，得1=m当1=m 时，PH ＝m 2－2m ＝m (m －2)＝1)＝1．所以点P 的坐标是(1．考点伸展第（3）题可以从不同的角度认识△ABP 和△ABC ．例如，如图3，当△ABP 与△ABC 的面积相等时，△PBC 是△ABC 面积的2倍，这两个三角形有公共底边BC ，所以高EH 是高EA 的2倍．于是得到A 是EH 的中点，进一步得到P 、C 两点的纵坐标互为相反数．再如，把BA 看作△ABP 与△ABC 的公共底边，那么P 、C 两点到直线BA 的距离相等．由于两条高是平行且相等的，这样也可以得到A 是PC 的中点．例 2018年上海市松江区中考模拟第25题如图1，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝2，AC ＝3，以点C 为圆心、CB 为半径的圆交AB 于点D ，过点A 作AE //CD ，交BC 的延长线于点E ．（1）求CE 的长；（2）P 是CE 延长线上一点，直线AP 、CD 交于点Q ．①如果△ACQ ∽△CPQ ，求CP 的长；②如果以点A 为圆心，AQ 为半径的圆与⊙C 相切，求CP的长．图1动感体验请打开几何画板文件名“18松江25”，拖动点P 在CE 的延长线上运动，可以体验到，⊙A 与⊙C 可以内切，不可能外切．思路点拨1．图形中A 、B 、C 、D 、E 等5个点都是确定的，因此图1中所有线段和角都是确定的．因为点P 而动的线段CP 、EP 、AP 、AQ ，都可以用CP ＝x 来表示．2．如果△ACQ ∽△CPQ ，那么∠P ＝∠ACQ ＝∠CAE 也是确定的．3．对于⊙A 与⊙C ，⊙C 的半径和圆心距是确定的，如果两圆相切，⊙A 的半径AQ 就是确定的．图文解析（1）如图2，由DC //AE ，得 DC BC AE BE．因为DC ＝BC ，所以AE ＝BE ．设CE ＝m ，那么在Rt △ACE 中，AE ＝BE ＝2＋m ，AC ＝3．由勾股定理，得(2＋m )2＝32＋m 2．解得CE ＝m ＝54．图2 图3（2）①如图2，在Rt △ACE 中，CE ＝54，AC ＝3，所以tan ∠CAE ＝512．如图3，如果△ACQ ∽△CPQ ，那么∠ACQ ＝∠P ．又因为∠ACQ ＝∠CAE ，所以∠P ＝∠CAE ．在Rt △ACP 中，tan ∠P ＝AC CP ＝512，所以CP ＝125AC ＝365． ②对于⊙A ，r A ＝AQ ；对于⊙C ，r C ＝2；圆心距d ＝AC ＝3．当⊙A 与⊙C 内切时，AQ －2＝3，此时AQ ＝5．当⊙A 与⊙C 外切时，AQ ＋2＝3，此时AQ ＝1．如图3，在Rt △ACP 中，AC ＝3，设CP ＝x ，那么AP如图4，由DC //AE ，得555()4445==÷-=-AQ EC x AP EP x ．当AQ ＝5545=-x 45=-x ．整理，得15x 2－40x ＋16＝0．解得1 2.18=≈x （如图5所示），20.49=≈x （舍去）．当AQ ＝1545=-x ．所以45=-x ．整理，得9x 2＋40x ＋200＝0．此方程无实数根，所以⊙A 与⊙C 不可能外切．图4 图5考点伸展第（1）题求CE 的长，还可以这样解：如图6，设⊙C 的直径为BF ，那么∠B 是等腰三角形ABF 的底角．如图7，∠B 是等腰三角形CBD 和等腰三角形EBA 的公共底角．这三个等腰三角形两两相似．由=BA BF BE BA ，得2134==BA BE BF ．所以CE ＝BE －BC ＝1324-＝54．图6 图7如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜边AB＝5，则它的周长等于_________．动感体验请打开几何画板文件名“18长宁17”，拖动点C在以AB为直径的半圆O上运动，可以体验到，半高三角形有两种情况，一是等腰直角三角形，二是两条直角边的比为1∶2．答案如图1，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，CO是斜边上的中线，那么CO＝12AB＝52为定值．当CD＝12AB时，CD与CO重合，△ABC是等腰直角三角形（如图2所示）．此时△ABC的周长为5+．如图2，当AC＝2BC时，设AC＝2m，BC＝m，由勾股定理，得5m2＝52．解得m ABC的周长为5+图1 图2 图3如图1，在矩形ABCD 中，对角线BD 的长为1，点P 是线段BD 上一点，联结CP ，将△BCP 沿着直线CP 翻折，若点B 落在边AD 上的点E 处，且EP //AB ，则AB 的长等于________．图1动感体验请打开几何画板文件名“18长宁18”，拖动点A 可以改变矩形ABCD 的形状，但是对角线BD 保持不变，可以体验到，△BCP 和△ECP 关于CP 保持对称，当EP //AB 时，∠CED ＝∠ABD ．答案 12．思路如下：已知BD ＝1，设AB ＝x ，那么AD EC ＝BC ＝AD如图2，当EP //AB 时，∠DEP ＝90°．根据等角的余角相等，∠CED ＝∠ABD ．如图3，如图4，由sin ∠CED ＝sin ∠ABD ，得=DC AD EC BD．1=．整理，得x 2＋x －1＝0．解得12-=x ．图2 图3 图4如图1，在直角坐标平面内，抛物线y ＝ax 2＋bx －3与y 轴交于点A ，与x 轴分别交于B (－1, 0)、C (3, 0)两点，点D 是抛物线的顶点．（1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标；（2）联结DC ，求△ACD 的面积；（3）点P 在直线DC 上，联结OP ，若以O 、P 、C为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“18长宁24”，可以体验到，△ACD 是直角三角形．拖动点P 在直线CD 上运动，可以体验到，△OCP 与△ABC 相似存在两种情况．思路点拨1．第（2）题先证明△ACD 是直角三角形，再计算面积比较方便．2．第（3）题首先要发现并证明△OCP 与△ABC 中一组相等的角，然后根据两边对应成比例分两种情况列方程．图文解析（1）因为抛物线与x 轴交于B (－1, 0)、C (3, 0)两点，所以y ＝a (x ＋1)(x －3)．对照y ＝ax 2＋bx －3，根据常数项相等，得－3a ＝－3．解得a ＝1．所以y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4．顶点为D (1,－4)．（2）如图2，由A (0,－3)、C (3, 0)、D (1,－4)，可得AC 2＝18，AD 2＝2，CD 2＝20．所以CD 2＝AC 2＋AD 2．所以△ACD 是直角三角形，∠CAD ＝90°．所以S △ACD ＝12⋅AC AD 3．图2 图3 图4（3）第一步，先探求∠OCD ＝∠BAC ．如图3，由C (3, 0)、D (1,－4)，可得tan ∠DCO ＝42＝2．如图4，作BH ⊥AC 于H ．由OA ＝OC ，得AC ＝C ＝45°．在等腰直角三角形BCH 中，BC ＝4，所以BH ＝CH ＝在Rt △BAH 中，AH ＝tan ∠BAC ＝BHAH ＝2．所以∠OCD ＝∠BAC ．第二步，当点P 在射线CD 上时，∠OCP ＝∠BAC ，分两种情况讨论相似．如图5，作PM ⊥x 轴于M ，那么CM ＝5，PM ＝2CM ．①当=CP ABCO AC 时，3CP CP 此时CM ＝1，PM ＝2．所以P (2,－2)（如图6所示）．②当=CP ACCO AB 时，3CP CP ．此时CM ＝95，PM ＝185．所以OM ＝935-＝65，P 618(,)55-（如图7所示）．图5 图6 图7考点伸展第（2）题求△ACD 的面积方法多样．例如，如图8，用梯形ONDC 的面积减去直角三角形AOC 和直角三角形AND 的面积．再如，如图9，DF 把△ACD 分割为两个三角形，DF 是公共底边，高的和等于OC ．还可以由∠OAC ＝∠DAN ＝45°，先证明直角三角形ACD ，再计算面积．图8 图9例 2018年上海市长宁区中考模拟第25题在圆O 中，C 是弦AB 上的一点，联结OC 并延长，交劣弧AB 于点D ，联结AO 、BO 、AD 、BD ．已知圆O 的半径长为5，弦AB 的长为8．（1）如图1，当点D 是弧AB 的中点时，求CD 的长；（2）如图2，设AC ＝x ，△△ACO OBDS S ＝y ，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域；（3）若四边形AOBD 是梯形，求AD 的长．图1 图2 备用图动感体验请打开几何画板文件名“18长宁25”，拖动点C 在AB 上运动，可以体验到，△AOC 与△OBC 是同高三角形，△OBD 与△OBC 也是同高三角形．还可以体验到，四边形AOBD 的两组对边各有一个时刻平行．思路点拨1．圆中已知定弦，一般先求弦心距．2．在△ACO 个△OBD 之间，找一个相关联的△OBC ．3．按照对边平行，分两种情况讨论梯形AOBD ．图文解析（1）如图3，当点D 是弧AB 的中点时，OD 垂直平分弦AB ，垂足为C ．在Rt △OAC 中，OA ＝5，AC ＝4，所以OC ＝3．此时CD ＝OD －OC ＝5－3＝2．图3 图4 图5（2）如图5，△ACO 和△OBD 都可以与△OBC 相关联．第一步，用x 表示OC 的长．如图4，作OH ⊥AB 于H ，那么OH ＝3，CH ＝4－x ，所以OC第二步，如图5，因为△△ACO OBC S S ＝AC BC ＝8-x x ，△△OBD OBC S S ＝OD OC，所以y ＝△△ACO OBD S S ＝△△△△÷ACO OBD OBC OBC S S S S＝8-x x定义域是0＜x ＜8．（3）如图6，延长BO 交圆于点E ，那么BE 是圆的直径，AE ＝2OH ＝6．情形1，如图6，如果OA //BD ，那么∠DBA ＝∠BAO ＝∠ABO ．根据相等的圆周角所对的弧相等，相等的弧所对的弦相等，此时AD ＝AE ＝6．情形2，如图7，如果AD //BO ，那么四边形ADBE 是等腰梯形．作AM ⊥BE 于M ，作DN ⊥BE 于N ，那么AD ＝MN ．在Rt △AEM 中，AE ＝6，cos ∠E ＝35，所以EM ＝35AE ＝185．此时AD ＝MN ＝BE －2EM ＝181025-⨯＝145．图6 图7 图8考点伸展第（2）题也可以用面积公式求△ACO 的面积，用割补法求△OBD 的面积．如图8，△OBC 和△DBC 的公共底边为BC ，高OH ＝3，求高DG 也要先用x 表示OC 的长，再根据相似比求得DG 的长．在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，点E是边AB上一点（不与A、B重合），以点A 为圆心，AE为半径作⊙A，如果⊙C与⊙A外切，那么⊙C的半径r的取值范围是______．动感体验请打开几何画板文件名“18崇明17”，拖动点E在AB上运动，可以体验到，⊙C的半径CF＝AC－AE．答案8≤r＜13．思路如下：如图2，在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝12，所以AC＝13．如果⊙C与⊙A外切于点F，那么⊙C的半径r＝CF＝AC－AE＝13－AE．因为0＜AE≤5，所以8≤r＜13．图1如图1，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，联结CE ，那么线段CE 的长等于_________．图1动感体验请打开几何画板文件名“18崇明18”，可以体验到，A 、B 、C 、E 四点在以AB 为直径的圆D 上，四边形AEDB 是轴对称图形，可以计算得到对角线EB 的长，进而在直角三角形ECB 中得到CE 的长．答案如图2，在Rt △ABC 中， AB ＝6，AC ＝8，所以BC ＝10．在△ABD 中，DA ＝DB ＝5，AB ＝6，容易得到S △ABD ＝12．所以S 四边形AEDB ＝24．再由S 四边形AEDB ＝12⋅AD EB ＝52EB ＝24，得EB ＝485．如图3，在Rt △ECB 中，CE 2＝CB 2－EB 2＝224810()5-＝225048()()55-＝2221()(5048)5⨯-＝21()9825⨯⨯＝21()4945⨯⨯．所以CE ＝1725⨯⨯＝145．图2 图3如图1，已知抛物线经过点A(0, 3)、B(4, 1)、C(3, 0)．（1）求抛物线的解析式；（2）联结AC、BC、AB，求∠BAC的正切值；（3）点P是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点P作PG⊥AP交y轴于点G，当点G在点A的上方，且△APG与△ABC相似时，求点P的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“18崇明24”，拖动点P在抛物线上运动，可以体验到，△AHP 与△APG保持相似．直角三角形AHP的两条直角边的比可以为1∶3，也可以为3∶1．思路点拨1．第（1）题设抛物线的一般式列三元一次方程组比较方便．2．第（2）题先证明△ABC是直角三角形，用勾股定理的逆定理书写起来比较方便．3．第（3）题根据相似三角形的传递性，过点P作y轴的垂线段PH，转化为△AHP与△ABC相似的问题．4．根据直角边对应成比例，分两种情况讨论△AHP与△ABC相似．图文解析（1）设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c．将A(0, 3)、B(4, 1)、C(3, 0)分别代入，得3,1641, 930.=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ca b ca b c解得12=a，52=-b，c＝3．所以215322=-+y x x．（2）如图2，由A(0, 3)、B(4, 1)、C(3, 0)，得AC2＝18，BC2＝2，AB2＝20．所以AC2＋BC2＝AB2．所以△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．所以tan∠BAC＝BCAC13．图2（3）设点P 的坐标为215(,3)22-+x x x ．如图3，作PH ⊥y 轴于H ，那么△AHP ∽△APG ．如果△APG 与△ABC 相似，那么△AHP 与△ABC 也相似．分两种情况讨论△AHP 与△ABC 相似：①如图4，当3==HA CAHP CB 时，3=HA HP ．解方程21533322-+-=x x x ，得x ＝11，或x ＝0．此时P (11, 36)．②如图5，当13==HA CA HP CB 时，13=HA HP ．解方程215133223-+-=x x x ，得x ＝173，或x ＝0．此时P 1726(,)33．图3 图4 图5考点伸展如果第（3）题求点G 的坐标，也需要先求点P 的坐标．如图4，HG ＝13HP ＝113，此时OG ＝y P ＋HG ＝11363+＝1193．所以G 119(0,)3．如图5，HG ＝3HP ＝17，此时OG ＝y P ＋HG ＝26173+＝773．所以G 77(0,)3．例 2018年上海市崇明区中考模拟第25题如图1，已知△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝12，D是AC边上一点，且AB2＝AD·AC，联结BD，点E、F分别是BC、AC上两点（点E不与B、C重合），∠AEF＝∠C，AE与BD相交于点G．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）设BE＝x，CF＝y，求y与x之间的函数关系式；（3）联结FG，当△GEF是等腰三角形时，求BE的长度．图1动感体验请打开几何画板文件名“18崇明25”，可以体验到，在等腰三角形ANC中，有一个“一线三等角”模型．点击屏幕左下方的按钮“第（3）题”，拖动点E在BC运动，可以体验到，△GEF的每个顶点都可以落在对边的垂直平分线上．思路点拨1．第（1）题是典型的“平分＋平行”模型，过点A作BC的平行线交于BD的延长线于M，通过计算得到AM＝AB．2．第（2）题如果想到了“一线三等角”，就构造一个等腰△ANC，问题迎刃而解．3．第（3）题的△GEF中，cos∠GEF是定值，设法用x表示夹∠GEF的两条边，然后分三种情况列方程．图文解析（1）由AB2＝AD·AC，得26416123===ABADAC．所以1641239=÷=ADAC．所以45=ADCD．如图2，过点A作BC的平行线交BD的延长线于点M，那么45==AM ADBC CD．所以AM＝45BC＝8．所以AM＝AB．所以∠M＝∠ABM．图2 又因为∠M＝MBC，所以∠ABM＝∠MBC，即BD平分∠ABC．（2）第一段，如图3，作AH⊥BC于H，设BH＝m，那么CH＝10－m．由勾股定理，得AB2－BH2＝AC2－CH2．所以82－m2＝122－(10－m)2．解得m＝1．因此cos ∠C ＝93124==CH AC ．第二段，如图3，以AH 为对称轴，构造等腰三角形ANC ，那么NB ＝8．第三段，如图4，由∠AEC ＝∠N ＋∠NAE ，∠AEC ＝∠AEF ＋∠CEF ，∠N ＝∠C ＝ ∠AEF ，可得∠NAE ＝∠CEF ．又因为∠N ＝∠C ，所以△ANE ∽△ECF ．所以=AN EC NE CF ．所以12108-=+xx y．整理，得280212+-=x x y ．定义域是0＜x ＜10．图3 图4（3）如图5，在△GEF 中，∠GEF 是定值，cos ∠GEF ＝cos ∠C ＝34．第一步，用x 表示EG 、EF ．如图6，由8==EG BE x AG AM ，得8==+EGBE xAE AM x．所以8=+xEG AE x．如图4，由△ANE ∽△ECF ，得1012-==EFEC xAEAN ．所以1012-=xEF AE ．图5 图6第二步，分三种情况讨论等腰三角形GEF ． ①如图7所示，当EF ＝EG 时，10812-=+x x AE AE x ．整理，得x 2＋10x －80＝0．解得5=-x ．此时BE 5． ②如图8所示，当GE ＝GF 时，1324=EF EG ．所以131028412-⨯=⨯+x xx ．整理，得x 2＋16x －80＝0．解得x ＝4，或x ＝－20．此时BE ＝4． ③如图9所示，当FE ＝FG 时，1324=EG EF ．所以110321248-⨯=⨯+x xx．整理，得x 2－6x －80＝0．解得3=-x BE 3图7 图8 图9考点伸展第（1）题也可以这样思考：如图10，已知△ABC 的三边，由AB 2＝AD ·AC ，可以求得AD 的长，也可以得到△ABD ∽△ACB ．再根据对应边成比例，求得DB 的长，得到DB ＝DC ，得到∠DBC ＝∠C ．经过等量代换，得到∠ABD ＝∠DBC ．但是这个解法对第（2）、（3）题的帮助不大．图10如图1，点A、B在圆O上，弦AC与半径OB互相平分，那么∠AOC的度数为_________．图1动感体验请打开几何画板文件名“18嘉定17”，可以体验到，四边形OABC是菱形，△OAB是等边三角形．答案120°．思路如下：如图2，由弦AC与半径OB互相平分，可知四边形OABC是平行四边形．由OA＝OC，得平行四边形OABC是菱形．如图3，由OA＝OB＝AB，得△OAB是等边三角形．于是可得∠AOC＝120°．图2 图3如图1，已知△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点D 在边AB 上，且∠BDC ＝90°．如果△ACD 绕点A 顺时针旋转，使点C 与点B 重合，点D 旋转至点D 1，那么线段DD 1的长为_________．图1动感体验请打开几何画板文件名“18嘉定18”，拖动点C 1绕点A 旋转，可以体验到，△ACC 1与△ADD 1保持相似．答案4225．思路如下：如图2，作AH ⊥BC 于H ，那么BH ＝CH ＝3．所以cos ∠B ＝BHAB＝35．在Rt △BCD 中，BD ＝BC ·cos ∠B ＝365⨯＝185．所以AD ＝1855-＝75．如图3，由△ADD 1∽△ACC 1，得11=AD ACDD CC ．如图4，当C 1与B 重合时，17556=DD ．此时DD 1＝4225．图2 图3 图4例 2018年上海市嘉定区中考模拟第24题已知平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋m 经过点A (－4, 0)和点B (n , 3)．（1）求m 、n 的值；（2）如果抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A 、B ，该抛物线的顶点为P ，求sin ∠ABP 的值；（3）设点Q 在直线y ＝x ＋m 上，且在第一象限内，直线y ＝x ＋m 与y 轴的交点为D ，如果∠AQO ＝∠DOB ，求点Q 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“18嘉定24”，可以体验到，△ABP 是直角三角形．点击屏幕左下方的按钮“第（3）题”，可以体验到，△BOD ∽△BQO ．思路点拨1．第（2）题求sin ∠ABP 的值，可以先求tan ∠ABP 的值．如果准确描出A 、B 、P 三点的位置，答案就在图形中．2．第（3）题先根据题意画出示意图，如果能根据∠AQO ＝∠DOB ，发现相似三角形，那么就可以确定BQ 的长，进而求得点Q 的坐标．图文解析（1）将点A (－4, 0)代入y ＝x ＋m ，得－4＋m ＝0．解得m ＝4．将点B (n , 3)代入y ＝x ＋4，得n ＋4＝3．解得n ＝－1．（2）因为抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (－4, 0)，可设y ＝(x ＋4)(x －x 2)．代入点B (－1, 3)，得3＝3(－1－x 2)．解得x 2＝－2．所以y ＝(x ＋4)(x ＋2)＝x 2＋6x ＋8＝(x ＋3)2－1．顶点为P (－3,－1)．如图2，由A (－4, 0)、B (－1, 3)、P (－3,－1)，可知A 、B 两点间的水平距离和竖直距离都是3，A 、P 两点间的水平距离和竖直距离都是1，所以∠BAO ＝∠P AO＝45°，AB ＝AP所以在Rt △ABP 中，tan ∠ABP ＝AP AB ＝13．所以sin ∠ABP 图2（3）如图3，由y ＝x ＋4，得D (0, 4)．再由B (－1, 3)，得BO 2＝10，BD 如果∠AQO ＝∠DOB ，那么△BOD ∽△BQO ．所以=BO BQBD BO ．所以2===BO BQ BD 所以B 、Q 两点间的水平距离和竖直距离都等于5．所以Q (4, 8)．图3 图4考点伸展第（3）题也可以用等角的正切值相等来解．如图4，作BF ⊥y 轴于F ，作OE ⊥AB 于E ．在等腰直角三角形AOE 中，AO ＝4，所以OE ＝E (－2, 2)．由于tan ∠DOB ＝BF OF ＝13，所以tan ∠AQO ＝OE QE ＝13．所以QE ＝3OE ＝．所以Q 、E 两点间的水平距离和竖直距离都等于6．所以Q (4, 8)．例 2018年上海市嘉定区中考模拟第25题在圆O中，AO、BO是圆O的半径，点C在弧AB上，OA＝10，AC＝12，AC//OB，联结AB．（1）如图1，求证：AB平分∠OAC；（2）点M在弦AC的延长线上，如果△AMB是直角三角形，请你在如图2中画出点M 的位置并求CM的长；（3）如图3，点D在弦AC上，与点A不重合，联结OD与弦AB交于点E，设点D 与点C的距离为x，△OEB的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．图1 图2 图3动感体验请打开几何画板文件名“18嘉定25”，拖动点M在AC的延长线上运动，可以体验到，直角三角形ABM存在两种情况．拖动点D在AC上运动，可以体验到，△OEB与△OAB是同高三角形，y随x的增大而增大．思路点拨1．已知半径和弦，一般情况下先求弦心距．2．直角三角形ABM存在两种情况，∠AMB＝90°和∠ABM ′＝90°，两种情况的图形叠放在一起，BM就是直角三角形ABM′斜边上的高．3．第（3）题用同高三角形的面积比，运算量比较小．图文解析（1）如图4，由OA＝OB，得∠OAB＝∠OBA．由AC//OB，得∠CAB＝∠OBA．所以∠OAB＝∠CAB，AB平分∠OAC．（2）点M存在两种情况：M和M′（如图6所示）．如图5，作OH⊥AC于H，那么在Rt△OAH中，OA＝10，AH＝6，所以OH＝8．如图6，当∠AMB＝90°时，AM＝AH＋HM＝AH＋OB＝6＋10＝16．此时CM＝AM－AC＝16－12＝4．当∠AB M ′＝90°时，∠BAM＝∠M ′BM．所以'81162===M M BMBM AM．所以1'42==M M BM．此时CM ′＝8．图4 图5 图6（3）第一步，如图7，S △OAB ＝12⋅OB OH ＝11082⨯⨯＝40．第二步，如图8，由1012==-BE BO AE AD x ，得1022=-BE BA x ．第三步，如图9，由于△OEB 与△OAB 是同高三角形，所以1022△△==-OEB OAB S BE S BA x ．所以y ＝S △OEB ＝104022⨯-x ＝40022-x．定义域是0≤x ＜12．图7 图8 图9考点伸展第（3）题求△OEB 的面积的方法多样．例如，△ODB 的面积是定值，△OEB 与△ODB 也是等高三角形，底边OE 与OD 的比，同样根据OB 与AD 的比可以推导出来．再如，如果把EB 看作底边，那么高是定值，等腰三角形OAB 的高和底角、底边也是确定的，于是可以根据比例线段推导出EB 的长（用x 表示）．如果两圆的半径之比为3∶2，当这两圆内切时圆心距为3，那么当这两圆相交时，圆心距d的取值范围是_________．动感体验请打开几何画板文件名“18金山17”，拖动圆心B向右运动，可以体验到，圆A与圆B 的位置关系依次是内切、相交和外切．答案15．思路如下：设圆A的半径为3m，圆B的半径2m．如图1，当圆A与圆B内切时，圆心距d＝AB＝3m－2m＝3．解得m＝3．如图2，当圆A与圆B外切时，圆心距d＝AB＝3m＋2m＝5m＝15．如图3所示，圆A与圆B相交．图1 图2 图3如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB的中点，P是直线BC上一点，把△BDP沿PD所在的直线翻折后，点B落在点Q处，如果QD⊥BC，那么点P和点B间的距离等于_________．图1动感体验请打开几何画板文件名“18金山18”，拖动点P在直线BC上运动，可以体验到，有两个时刻，直线QD与BC垂直，此时Rt△PEQ的三边比为3∶4∶5．答案52或10．思路如下：在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10，sin∠B＝35，tan∠B＝34．如图2，设直线QD与BC交于点E，当QD⊥BC时，E为垂足．已知D为AB的中点，所以QD＝BD＝5．在Rt△BDE中，BD＝5，所以DE＝3，BE＝4．在Rt△PEQ中，∠Q＝∠B，QE＝QD－DE＝5－3＝2，所以PE＝34QE＝32．此时PB＝BE－PE＝342＝52．如图3，在Rt△PEQ中，QE＝QD＋DE＝5＋3＝8，所以PE＝34QE＝6．此时PB＝BE＋PE＝4＋6＝10．图2 图3如图1，平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A (1, 0)和点B (3, 0)，与y 轴相交于点C ，顶点为P ．（1）求这条抛物线的表达式和顶点P 的坐标；（2）点E 在抛物线的对称轴上，且EA ＝EC ，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为直线MN ，点Q 在直线MN 右侧的抛物线上，∠MEQ ＝∠NEB ，求点Q 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“18金山24”，可以体验到，当EA ＝EC 时，点E 在AC 的垂直平分线上．还可以体验到，与∠NEB 相等的∠MEQ 有两个，就是直线AE 与抛物线的两个交点，但是点A 在对称轴的左侧．思路点拨1．已知二次项系数和抛物线与x 轴的两个交点，可以直接写出交点式．2．如果EA ＝EC ，由两点间的距离公式，根据EA 2＝EC 2列整式方程．3．已知∠MEQ ＝∠NEB ，构造两个直角三角形相似，用相似比求解比较简便．图文解析（1）因为抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (1, 0)、B (3, 0)两点，所以y ＝(x －1)(x －3)＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1．顶点为P (2,－1)．（2）如图2，由y ＝x 2－4x ＋3，得C (0, 3)．设E (2, m )，已知A (1, 0)．由EA 2＝EC 2，得12＋m 2＝22＋(m －3)2．解得m ＝2．所以点E 的坐标为(2, 2)．（3）如图3，设抛物线的对称轴与x 轴交于点F ．作PH ⊥MN 于H ．设Q (x , x 2－4x ＋3)，已知B (3, 0)、E (2, 2)．由tan ∠HEQ ＝tan ∠FEB ，得=QH BF EH EF ．所以221(43)22-=-+-x x x ．整理，得x 2－6x ＋5＝0．解得x ＝5，或x ＝1（在对称轴左侧，舍去）．此时Q (5, 8)．图2 图3考点伸展第（3）题求得的x 1＝5，x 2＝1的几何意义是什么呢？由于∠FEB 是确定的，所以∠MEQ 的大小也是确定的，位置有两个．也就是说，经过点E 的直线EQ 与抛物线有两个交点，其中一个交点就是A (1, 0)．显然A 、B 两点关于抛物线的对称轴是对称的．第（2）题求得点E (2, 2)以后，通过计算可以证明，△ACE 是等腰直角三角形．常用的方法有两种，一是勾股定理的逆定理，二是相似比．方法一，由A (1, 0)、C (0, 3)、E (2, 2)，可得AE 2＝5，CE 2＝5，AC 2＝10．所以AC 2＝AE 2＋CE 2．所以△ACE 是直角三角形．方法二，如图2，由2==CG EF EG AF，得∠ECG ＝∠AEF ．由于∠ECG 与∠CEG 互余，所以∠AEF 与∠CEG 互余．于是得到∠AEC ＝90°．例 2018年上海市金山区中考模拟第25题如图1，已知在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC＝AD＝5，sin∠B＝35，P是线段BC上一点，以P为圆心、P A为半径的圆P与射线AD的另一个交点为Q，射线PQ与射线CD 相交于点E，设BP＝x．（1）求证△ABP∽△ECP；（2）如果点Q在线段AD上（与点A、D不重合），设△APQ的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△QED与△QAP相似，求BP的长．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“18金山25”，拖动点P在BC上运动，可以体验到，△APQ 的高是定值，就是梯形的高．还可以体验到，△QED与△QAP相似存在两种情况，每种情况下，△ABP、△ECP、△EDQ和△APQ都是等腰三角形．思路点拨1．过等腰梯形上底的两个顶点作双垂线，把所有的线段长都标记出来．2．△ABP、△ECP和△EDQ两两相似，△APQ是等腰三角形．如果这4个三角形中任何两个相似时，4个三角形都是等腰三角形．图文解析（1）如图2，因为四边形ABCD是等腰梯形，所以∠B＝∠C．因为P A＝PQ，所以∠1＝∠2．由AD//BC，得∠1＝∠3，∠2＝∠4．所以∠3＝∠4．所以△ABP∽△ECP．图2 图3（2）如图3，作AM⊥BC于M，作PN⊥AD于N．在Rt△ABM中，AB＝5，sin∠B＝35，所以AM＝3，BM＝4．所以AN＝MP＝BP－BM＝x－4．由P A＝PQ，PN⊥AQ，得AQ＝2AN＝2(x－4)．所以y＝S△APQ＝12⋅AQ PN＝12(4)42⨯-⨯x＝4x－16．定义域是4＜x＜132．（3）按照点Q的位置分两种情况讨论△QED与△QAP相似．情形1，如图4，点Q在AD上．由于△EDQ∽△ECP∽△ABP，当△EDQ∽△APQ时，△ABP∽△APQ．因为P A＝PQ，所以BP＝BA＝5．情形2，如图5，点Q在AD的延长线上．当△DEQ∽△APQ时，∠EDQ＝∠A．所以DC//AP．所以∠3＝∠C．又因为∠C＝∠B，所以∠3＝∠B．所以AB＝AP．所以点A在BP的垂直平分线上，此时BP＝2BM＝8．图4 图5考点伸展第（2）题求y关于x的函数关系式，事实上，不论点Q在AD上，还是点Q在AD的延长线上，都有AQ＝2AN＝2MP＝2(BP－BM)＝2(x－4)，所以关系式是一样的．这样的话，函数的定义域为4＜x≤13．当x＝132时，如图6所示；当x＝13时，如图7所示．图6 图7在平面直角坐标系中，如果对任意一点(a, b)，规定两种变换：f (a, b)＝(－a,－b)，g (a, b)＝(b,－a)，那么g [ f (1,－2)]＝_________．动感体验请打开几何画板文件名“18静安17”，拖动点P(a, b)在坐标平面内运动，可以体验到，变换f (a, b)就是作点P(a, b)关于原点的对称点；变换g (a, b)分两步，先作点P(a, b)关于直线y＝x的对称点Q，再作点Q关于x轴的对称点（如图1所示）．答案如图2，由f (a, b)＝(－a,－b)，得f (1,－2)＝(－1, 2)．由g (a, b)＝(b,－a)，得g(－1, 2)＝(2, 1)．所以g [ f (1,－2)]＝g(－1, 2)＝(2, 1)．图1 图2等腰△ABC 中，AB ＝AC ，它的外接圆⊙O 的半径为1，如果线段OB 绕点O 旋转90°后可与线段OC 重合，那么∠ABC 的余切值是_________．动感体验请打开几何画板文件名“18静安18”，可以体验到，等腰三角形ABC 与等腰直角三角形OBC 的对称轴是重合的．答案 11．思路如下：如图2，在等腰直角三角形OBC 中，OB ＝OC ＝1，所以BC设BC 的中点为H ，那么OH ⊥BC ，AH ⊥BC ．所以A 、O 、H 三点共线．如图3，在Rt △ABH 中，BH ，AH ＝1cot ∠ABC ＝BH AH 1．如图3，在Rt △ABH 中，BH ＝2，AH ＝12-，所以cot ∠ABC ＝BH AH 1．图2 图3 图4如图1，在平面直角坐标系中，已知点B(8, 0)和点C(9,－3)，抛物线y＝ax2－8ax＋c（a、c是常数，a≠0）经过点B、C，且与x轴的另一个交点为A，对称轴上有一点M，满足MA＝MC．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求四边形ABCM的面积；（3）如果坐标系内有一点D，满足四边形ABCD是等腰梯形，且AD//BC，求点D的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“18静安24”，可以体验到，四边形ABCM是梯形．还可以体验到，如果四边形ABCD是等腰梯形，那么△ADE∽△CBF．思路点拨1．第（2）题先根据两点间的距离公式列方程求得点M的坐标，再判断四边形ABCM 的形状，然后求面积．2．第（3）题中，A、B、C三点是确定的，用一个字母n表示点D的坐标，就可以列方程了．列方程的依据可以根据腰相等，也可以根据对角线相等．图文解析（1）由y＝ax2－8ax＋c，可知抛物线的对称轴是直线x＝4．点B(8, 0)关于直线x＝4的对应点是A(0, 0)．设抛物线的解析式为y＝ax(x－8)，代入C(9,－3)，得－3＝9a．解得13=-a．所以2118(8)333=--=-+y x x x x．（2）设M(4, m)．由MA2＝MC2，得42＋m2＝52＋(m＋3)2．解得m＝－3．所以M(4,－3)，MC//x轴，MC＝5．所以四边形ABCM是梯形，高为3．所以S梯形ABCM＝139(5+8)322⨯⨯=．图2 图3 （3）作等腰梯形ABCD的外接矩形AEHF．由B(8, 0)、C(9,－3)，可得tan∠CBF＝3．由∠ADE＝∠DAB＝∠CBF，得tan∠ADE＝3．设DE ＝n ，AE ＝3n ，那么D (n ,－3n )．由DC ＝AB ，得DC 2＝AB 2．所以(n －9)2＋(3n －3)2＝82．整理，得5n 2－18n ＋13＝0．解得n ＝1，或n ＝135．当n ＝1时，D(1,－3)．此时DC //x 轴//AB ，四边形ABCD 是平行四边形，不合题意．当n ＝135时，D 1339(,)55-．此时ABCD 是等腰梯形．考点伸展第（3）题解等腰梯形，设好了点D 的坐标为(n ,－3n )以后，有4种列方程的方法．上面第一种方法，由腰相等DC ＝AB ，根据DC 2＝AB 2列方程．这个方程是一元二次方程，一个解是等腰梯形，另一个解是平行四边形．也就是说，一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形或平行四边形．这是因为以C 为圆心、AB 为半径的圆与直线AD 有两个交点．第二种方法，由对角线相等DB ＝AC ，根据DB 2＝AC 2列方程．这个方程的两个解，也是等腰梯形和平行四边形．这是因为以B 为圆心、AC 为半径的圆与直线AD 有两个交点（如图4所示）．第三种方法，设BC 的中点为P ，那么P 173(,)22-，根据PD 2＝P A 2列方程．这个方程的两个解，一个是点A ，一个是点D ．这是因为以P 为圆心、P A 为半径的圆与直线AD 有两个交点（如图5所示）．第四种解法，设AD 的中点为Q ，那么Q 3(,)22-n n ，根据QB 2＝QC 2列方程．这个方程是一元一次方程，有一个解．这是因为AD 的垂直平分线与BC 有且只有一个交点（如图6所示）．图4 图5 图6第五种解法，设D (x , y )．由2222,,⎧=⎪⎨=⎪⎩DC AB DB AC 列方程组2222222(9)(3)8,(8)93，⎧-++=⎪⎨-+=+⎪⎩x y x y 一个解是平行四边形ABDC ，一个解是等腰梯形ABCD ．例 2018年上海市静安区中考模拟第25题如图1，平行四边形ABCD 中，已知AB ＝6，BC ＝9，cos ∠ABC ＝13，对角线AC 、BD 交于点O ，动点P 在边AB 上，⊙P 经过点B ，交线段P A 于点E ．设BP ＝x ．（1）求AC 的长；（2）设⊙O 的半径为y ，当⊙P 与⊙O 外切时，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果AC 是⊙O 的直径，⊙O 经过点E ，求⊙O 与⊙P 的圆心距OP 的长．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“18静安25”，拖动点P 在由B 向A 运动，可以体验到，⊙P 与⊙O 保持外切，直角三角形OPH 的直角边OH 是定值，斜边OP 和直角边PH 随PB 的增大而减小．思路点拨1．通过计算，可以发现平行四边形ABCD 中，△ABC 是等腰三角形．2．第（2）题和第（3）题的一般策略是，构造圆心距OP 为斜边的直角三角形．图文解析（1）如图2，作AF ⊥BC 于F ．在Rt △ABF 中，AB ＝6，cos ∠ABF ＝BF AB ＝13，所以BF ＝2．所以AF ＝．在Rt △ACF 中，CF ＝BC －BF ＝9－2＝7，所以AC 9．图2 图3（2）如图3，作CG ⊥AB 于G ，作OH ⊥AB 于H ，那么OH ＝12CG ．在Rt △BCG 中，BC ＝9，cos ∠GBC ＝BG BC ＝13，所以BG ＝3．所以CG ＝AG ＝3．所以OH ＝12CG ＝AH ＝12AG ＝32．。

2024年上海市杨浦区初三语文二模试卷及答案

杨浦区2023学年度第二学期初三质量调研（二）语文学科2024.4一、古诗文（35分）（一）默写与运用（13分）1.古今多少事，。

（陈与义《临江仙·夜登小阁，忆洛中旧游》）2. ，任尔东西南北风。

（郑燮《竹石》）3. ，不可知其源。

（柳宗元《小石潭记》）4.小语在电视剧《三国演义》中看到两军激战的场面时，不禁想起了《破阵子·为陈同甫赋壮词以寄之》中的诗句：“，。

（二）阅读下面选文，完成第5-10题。

（22分）【甲】先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。

然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。

诚宜……亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。

先帝在时，每与臣论此事，未尝不叹息痛恨于桓、灵也。

侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之信之，则汉室之隆，可计日而待也。

【乙】当余之从师也，负筐曳屣行深山巨谷中，穷冬烈风，大雪深数尺，足肤皲裂而不知。

至舍，四支僵劲不能动，媵人持汤沃灌，以衾拥覆，久而乃和。

……今诸生学于太学，县官日有康稍之供，父母岁有裘葛之遗，无冻馁之患矣；坐大厦之下而诵诗书，无奔走之劳矣；有司业、博士为之师，未有问而不告，求而不得者也；凡所宜有之书，皆集于此，不必若余之手录，假诸人而后见也。

其业有不精，德有不成者，非天质之卑，则心不若余之专耳，岂他人之过哉！【丙】景公信用谗佞，赏无功，罚不辜。

晏子谏曰：“臣闻明君望圣人而信其教，不闻听谗佞以诛赏。

今与左右相说颂①也，曰:‘比死者勉②为乐乎！吾安能为仁而愈黥民③耳矣！’故内宠之妾，迫夺于国，外宠之臣，矫夺于鄙，执法之吏，并荷百姓。

民愁苦约病④，而奸驱尤佚⑤，隐情奄恶，蔽谄其上，故虽有至圣大贤，岂能胜若谗哉！是以忠臣之常有灾伤也。

臣闻古者之士，可与得之，不可与失之；可与进之，不可与退之。

臣请逃之矣。

”（选自《晏子春秋》）【注释】①说颂：指逢迎取媚。

上海市2015各区初三数学二模考试第18题详细解析

1.黄浦OP r外一点，如图，点为半径的圆是以18.2??r??OPOP OPP在线段，则点上，若满足?OPP是点的反演点，如图，在称点关于圆??O?BO?4ABO?B?90BAB?2A分，圆、，Rt△的半径为中，2，如果点，??OBBAA；别是点、关于圆的反演点，那么的长是2.奉贤18．如图，已知钝角三角形ABC，∠A=35°，OC为边AB上的中线，将△AOC '''，处，A处，点落在点联结绕着点O顺时针旋转，点C落在BC边上的点ABA CC '、在同一直线上，如果点A、C A；那么∠的度数为''CBABAO（第18题图）3.普陀4杨3?BAC tan?，，18. 如图，△中，ABC?90?ABC?4，将三角形绕着点旋转，点落在直线C A4?BC??处，若、、上的点处，点落在点CC BBBAB?恰好在一直线上，则的长为；BAB5.松江A，BC=6cmAB=AC=5cm，△18．如图，在ABC中，如果将D.交AC于点BD 平分∠BDABC，D处，A沿BD翻折，点落在点A′ABD△2.的面积为△那么D A′C_______________cm CBC6.崇明F中，18．如图，在，，点是DCBABC??CA??C?90BCD与点重合，的中点，将沿着直线EF折叠，使点ABC?DABAE ，那么的值于点折痕交于点，交BED sin?ABACFE 18题图）（第．为7.浦东徐汇8闵行9.ABC点D在边BC上，将△C=90o18. 如图，已知在Rt△ABC中，∠，AC=BC=1，CB AC 1与边处，联结AC 1，直线落在点沿直线AD翻折，使点CC 1 BF= ▲的延长线相交于点F.如果∠DAB=∠BAF,那么10.静安、青浦外切、O⊙．18如图，⊙O的半径为1，O的半径为2，O＝5，⊙O分别与⊙O12121．半径内切，那么⊙O的取值范围是O与⊙r2OO 虹口11.1A2，. 18在中，，（如图）若将绕点顺时针方向旋转到的位置，．联结，则的长为D BC长宁12.ADEF如图，18.△ABC≌△（点A、、B分别与点D △，BC=6，ABC固定不动，AB=AC=5对应）E，F边从在△DEF运动，并满足点EBCB移动向C M EF DE重合）、不与（点EBC，始终经过点，A BEC是等腰三角形时，△，当MAC与边交于点AEM.BE=13金山A DM ，把矩形中，，．在矩形188AB?6ABCD?AD上的点沿直线翻折，点落在边MNABCDADEB BCN处，若，那么的长等于ENAMAE?2嘉定、宝山14.GDA上，中，，点在边18．在矩形DC15ABCD?ADE，翻折后点落到点联结，△沿直线FADEAEDAE E，如果作，垂足为点，如图5过点GAD?FGF．，那么GD3AD??DE F CB5图解析答案1.黄浦2.奉贤3.普陀4.杨浦5.松江6.崇明7.浦东徐汇89.闵行10.静安、青浦虹口11.12.长宁13.金山嘉定、宝山14.。

2020届上海市各区初三数学二模试卷压轴题--第18题图文解析汇编

如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，tan B ＝34，将△ABC 绕点B 逆时针旋转，得到 △A 1BC 1，当点C 1在线段CA 延长线上时△ABC 1的面积为 __________．图1答案 46825．思路如下：如图2，设BC 的中点为H ．在Rt △ABH 中，由AB ＝5，tan B ＝34，可得AH ＝3，BH ＝4．所以BC ＝8，S △ABC ＝12．如图3，当点C 1落在线段CA 延长线上时，△ABC ∽△BC 1C ．根据相似三角形的面积比等于对应边比的平方，得221525864ABC BC C S AB S BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△．所以S △BC 1C ＝641225⨯．所以S △ABC 1＝64121225⨯-＝391225⨯＝46825．图2 图3如图1，在平面直角坐标系中，A (8, 0)，B (8, 4)，C (0, 4)，反比例函数=ky x在第一象限内的图像分别与AB 、BC 交于点F 、E ，连结EF ．如果点B 关于EF 的对称点恰好落在OA 边上，那么k 的值为__________．图1答案 12．思路如下：如图2，作EM ⊥x 轴于M ．设E (m , 4)，F (8, n )．由4m ＝8n ＝k ，得m ＝2n ．所以882244BE m nBF n n--===--．由△EMB ′∽△B ′AF ，得''2''EM MB B E BEB A AF FB FB====．所以4'2'MB B A n==．所以B ′A ＝2，MB ′＝2n ＝m ．再由EB ＝MA ，得8－m ＝m ＋2．解得m ＝3．所以E (3, 4)．所以k ＝12．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝35°，CD是斜边AB上的中线，如果将△BCD沿CD所在直线翻折，点B落在点E处，连结AE，那么∠CAE的度数是__________．图1答案125°．思路如下：如图2，因为CD是Rt△ABC斜边上的中线，所以DA＝DC＝DB．所以∠DCB＝∠B＝35°，∠DCA＝∠DAC＝55°．所以∠ADC＝70°，∠CDB＝110°．因为△CDB与△CDE关于CD对称，所以∠CDE＝∠CDB＝110°．所以∠ADE＝110°－70°＝40°（如图3所示）．所以在等腰三角形DAE中，∠DAE＝70°．所以∠CAE＝55°＋70°＝125°．图2 图3如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 、E 分别是边BC 、AB 上一点，DE //AC ，BD ＝BDE 绕着点B 旋转得到△BD ′E ′（点D 、E 分别与点D ′、E ′对应），如果A 、D ′、E ′在同一直线上，那么AE ′的长为 __________．图1答案如图2，在Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，所以AB ＝10，tan ∠B ＝34．在Rt △EDB 中，DE ＝34BD ＝34⨯如图3，当点A 在E ′D ′的延长线上时．在Rt △ABD ′中，AB ＝10，BD ′＝AD ′＝此时AE ′＝AD ′＋D ′E ′＝如图4，当点A 在D ′E ′的延长线上时，AE ′＝AD ′－D ′E ′＝图2 图3 图4定义：如果三角形的两个内角α与β满足α＝2β，那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”．如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为 __________．答案如图1，如果α为等腰三角形的顶角，那么α＋β＋β＝4β＝180°．解得β＝45°．如图2，如果α为等腰三角形的底角，那么α＋α＋β＝5β＝180°．解得β＝36°．这个三角形是黄金三角形．如图3，设腰长AB ＝CB ＝x ，底边AC ＝1．作∠BAC 的平分线交BC 于D ，那么△BCA ∽△ACD ．由BC AC AC DC =，得111x x =-．解得x =．图1 图2 图3如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，把△ABC绕C点旋转得到△A′B′C，其中点A′在线段AB上，那么∠A′B′B的正切值等于__________．图1答案724．思路如下：如图2，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，所以AB＝5，cos∠A＝35．在等腰三角形ACA′和等腰三角形BCB′中，5''6 CA CBAA BB==．所以AA′＝65CA＝185，BB′＝65CB＝245．所以A′B＝AB－AA′＝1855-＝75．由∠A＋∠ABC＝90°，∠A＝∠1，得∠1＋∠ABC＝90°．如图3，在Rt△A′B′B中，tan∠A′B′B＝''A BBB＝724．图2 图3如果一条直线把一个四边形分成两部分，这两部分图形的周长相等，那么这条直线称为这个四边形的“等分周长线”．在直角梯形ABCD中，AB//CD，∠A＝90°，DC＝AD，∠B是锐角，cot B＝512，AB＝17．如果点E在梯形的边上，CE是梯形ABCD的“等分周长线”，那么△BCE的周长为__________．答案42．思路如下：如图1，作CH⊥AB于H，那么四边形AHCD是正方形．已知cot B＝512，AB＝17，设BH＝5m，CH＝12m，那么AB＝17m＝17．解得m＝1．所以正方形的边长为12，BC＝13．所以四边形ABCD的周长为54，周长的一半等于27．如图2，因为CD＋DA＝24，所以点E在AB上，AE＝3．此时在Rt△CEH中，EH＝12－3＝9，CH＝12，所以CE＝15．所以△BCE的周长＝15＋(9＋5)＋13＝42．图1 图2如图1，已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝30°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转，使点B 落在点B 1处，点C 落在点C 1处，且BB 1⊥AC ．连结B 1C 和C 1C ，那么△B 1C 1C 的面积等于__________．图1答案 8-如图2，当BB 1⊥AC 时，AC 垂直平分BB 1，AB 1垂直平分CC 1．此时△B 1C 1C 的面积等于△BCB 1的面积（如图3所示）．如图2，在Rt △ABE 中，AB ＝4，∠BAE ＝30°，所以BE ＝2，AE ＝所以CE ＝AC －AE ＝4-所以S △BCB 1＝112BB CE ⋅＝14(42⨯-＝8-图2 图3如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，BC D是BC边上一点，沿直线AD翻折△ABD，点B落在点E处，如果∠ABE＝45°，那么BD的长为__________．图1答案2．思路如下：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，BC AB＝2．如图2，当∠ABE＝45°时，△ABE是等腰直角三角形．此时∠BAD＝45°．如图3，作△ABD的高DH．设DH＝AH＝m，那么BH．由AB＝1)m＝2，得m1．所以BD＝2DH＝2m＝2．图2 图3小明学习完《相似三角形》一章后，发现了一个有趣的结论：在两个不相似的直角三角形中，分别存在经过直角顶点的一条直线，把直角三角形分成两个小三角形后，如果第一个直角三角形分割出来的一个小三角形与第二个直角三角形分割出来的一个小三角形相似，那么分割出来的另外两个小三角形也相似．他把这样的两条直线称为这两个直角三角形的相似分割线．如图1、图2，直线CG、DH分别是两个不相似的Rt△ABC和Rt△DEF的相似分割线，CG、DH分别与斜边AB、EF交于点G、H，如果△BCG与△DFH相似，AC＝3，AB＝5，DE＝4，DF＝8，那么AG＝__________．图1 图2答案3．思路如下：如图3，设∠A＝α，∠B＝β．已知AC＝3，AB＝5，所以BC＝4．如图4，设∠E＝γ，∠F＝θ．如果△BCG与△DFH相似，因为钝角对应相等，所以∠BCG＝∠F＝θ，∠HDF＝∠B ＝β．所以BC DFBG DH=．所以48BG DH=．设BG＝m，那么DH＝2m．根据等角的余角相等，∠ACG＝∠E＝γ，∠EDH＝∠A＝α．所以△ACG∽△DEH．所以AC DEAG DH=．所以3452m m=-．解得m＝2．所以AG＝5－m＝3．图3 图4如图1，四边形ABCD 是⊙O 的内接矩形，将矩形ABCD 沿着直线BC 翻折，点A 、点D 的对应点分别为A ′、D ′，如果直线A ′D ′与⊙O 相切，那么ABBC的值为__________．图1答案 4．思路如下：如图2，设A ′D ′与⊙O 相切于点N ，连结ON 交BC 与点M ，那么ON ⊥A ′D ′．设OM ＝m ，那么AB ＝A ′B ＝MN ＝2m ．在Rt △ABC 中，AB ＝2m ，AC ＝2ON ＝6m ，所以BC ．所以4==AB BC ．图2如图1，在平行四边形ABCD 中，AD ＝3，AB ＝5，sin A ＝45，将平行四边形ABCD 绕着点B 顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°）后，点A 的对应点是点A ′，连结A ′C ，如果A ′C ⊥BC ，那么cos θ的值是__________．图1答案 725．思路如下：如图2，已知sin A ＝sin α＝45．如图3，在Rt △A ′BC 中，A ′B ＝5，BC ＝3，所以A ′C ＝4．所以∠A ′BC ＝α．延长A ′C 交AB 的延长线于点E ．因为DA //CB ，所以∠CBE ＝∠A ＝α．于是可得BC 垂直平分A ′E ．作A ′F ⊥AB 于F ．由S △A ′BE ＝11''22A E BC BE A F ⋅=⋅，得'8324'55A E BC A F BE ⋅⨯===．于是在Rt △A ′BF 中，sin θ＝''A F A B ＝2425．所以cos θ＝725．图2 图3例 2020年上海市杨浦区中考模拟第18题如图1，已知在平行四边形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝15，tan ∠A ＝43，点P 是边AD 上一点，连结PB ，将线段PB 绕着点P 逆时针旋转90°得到线段PQ ，如果点Q 恰好落在平行四边形ABCD 的边上，那么AP 的值是__________．图1答案 6或10．思路如下：如图2，作BH ⊥AD 于H ．在Rt △ABH 中，由AB ＝10，tan ∠A ＝43，可得AH ＝6，BH ＝8．所以DH ＝9．如图3，当点Q 落在AD 上时，点P 与点H 重合，此时AP ＝6．图2 图3如图4，当点Q 落在CD 上时，作QG ⊥AD 交AD 的延长线于G ，那么△BHP ≌△PGQ ．设HP ＝GQ ＝4m ，那么DG ＝3m ．由PG ＝BH ＝8，得PD ＋DG ＝8．所以(9－4m )＋3m ＝8．解得m ＝1．此时AP ＝AH ＋HP ＝6＋4m ＝10．图4例 2020年上海市长宁区中考模拟第18题如图1，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，点D 是边BC 的中点，∠ABC ＝∠CAD ，将△ACD 沿直线AD 翻折，点C 落在点E 处，连结BE ，那么线段BE 的长为 __________．图1答案如图2，由∠ABC ＝∠CAD ，∠C 是公共角，得△CAD ∽△CBA ．所以=CA CD CB CA ．所以1=2CA CA．解得CA在Rt △ACD 中，CD ＝1，CA AD cos ∠ADC ＝CD AD 如图3，连结CE 交AD 于点F ，那么AD 垂直平分CE ．因为点D 是边BC 的中点，所以DF 是△CBE 的中位线．在Rt △FCD 中，DF ＝CD ∙cos ∠ADC ＝13 ＝3．所以BE ＝2DF图2 图3。

2017年上海中考二模18题专练(教师版)

2017年上海中考二模18题专练（教师版）1、（宝山区）如图，F E 、分别为正方形ABCD 的边AD AB 、上的点，且AF AE =，连接EF ，将△AEF 绕点A 逆时针旋转O45，使E 落在1E ，F 落在1F ，连接1BE 并延长交1DF 于点G ，如果22=AB ，1=AE ，则=DG ．【考点】R2：旋转的性质；LE ：正方形的性质．【分析】连接AC 、F1E1、DE1，F1E1交AD 于M ，延长BE1交DF1于H ，如图，先利用正方形的性质得到∠DAC=∠BAC=45°，再根据旋转的性质得∠E1AE=∠FAF1=45°，AE1=AF1=AE=AF=1，于是可判断点E1在AC 上，△AE1F1为等腰直角三角形，再证明E1F1∥AB ，作E1N ⊥AB 于N ，计算出BE1=，易证得△ABE1≌△ADE1≌△ADF1得到DE1=DF1=BE1=，∠ABH=∠ADH ，接着利用面积法计算出E1H=，然后计算出HF1=，所以DH=DF1﹣HF1=．【解答】解：连接AC 、F1E1、DE1，F1E1交AD 于M ，延长BE1交DF1于H ，如图， ∵四边形ABCD 为正方形，∴∠DAC=∠BAC=45°，∵△AEF 绕点A 逆时针旋转45°，∴∠E1AE=∠FAF1=45°，AE1=AF1=AE=AF=1， ∴点E1在AC 上，△AE1F1为等腰直角三角形， ∴∠AE1F1=45°，E1F1=，AM=，∴E1F1∥AB ，DM=，作E1N ⊥AB 于N ，如图，AN=E1N=，∴BE=AB ﹣AN=2﹣=，∴BE1==，易证得△ABE1≌△ADE1≌△ADF1，∴DE1=DF1=BE1=，∠ABH=∠ADH ，∴∠DHB=∠DAB=90°，∵DM•E1F1=•E1H•DF1，∴E1H==，在Rt △HF1E1中，HF1==，∴DH=DF1﹣HF1=．故答案为．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质和正方形的性质．2、（崇明区）如图，已知△ABC 中，o90=∠C ，3=BC ，4=AC ，BD 平分ABC ∠，将△ABC 绕着点A 旋转后，点B 、C 的对应点分别记为1B 、1C ，如果点1B 落在射线BD 上，那么1CC 的长度为．【考点】R2：旋转的性质；KQ ：勾股定理．【分析】根据勾股定理得到AB=5，根据旋转的性质得到AC1=AC=4，AB1=AB=5，∠CAC1=∠BAB1，推出AB′∥BC ，根据平行线的性质得到∠B1AC=∠ACB=90°，根据相似三角形的性质得到AD=，CD=，根据勾股定理求得BB1=4，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵∠C=90°，BC=3，AC=4，∴AB=5，∵将△ABC 绕着点A 旋转后得△AB1C1，∴AC1=AC=4，AB1=AB=5，∠CAC1=∠BAB1，∴∠AB1B=∠ABB1，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABB1=∠CBB1，∴∠AB1B=∠CBB1， ∴AB1∥BC ，∴∠B1AC=∠ACB=90°，∴△AB1D ∽△CBD ，∴==，∴AD=，CD=，∴B1D==，BD==，∴BB1=4，∵∠C1AC=∠B1AB ，AC=AC1，AB=AB1，∴△ACC1∽△ABB1，∴=，∴CC1=，故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．3、（奉贤区）如图，矩形ABCD ，点E 是边AD 上一点，过点E 作EF ⊥BC ，垂足为点F ，将△BEF 绕着点E 逆时针旋转，使点B 落在边BC 上的点N 处，点F 落在边DC 上的点M 处，如果点M 恰好是边DC 的中点，那么ABAD的值是．【考点】R2：旋转的性质；LB ：矩形的性质．【分析】根据旋转的性质得到BE=EN ，EM=EF ，MN=BF ，得到BF=FN=NM ，推出四边形EFCD是矩形，根据矩形的性质得到EF=CD，由点M恰好是边DC的中点，得到DM=CD=EM，设CN=x，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：如图，将△BEF绕着点E逆时针旋转得到△EMN，∴BE=EN，EM=EF，MN=BF，∵EF⊥BC，∴BF=FN，∴BF=FN=NM，∵EF⊥BC，∴四边形EFCD是矩形，∴EF=CD，∵点M恰好是边DC的中点，∴DM=CD=EM，∴∠DEM=30°，∴∠DME=60°，∵∠NME=90°，∴∠CMN=30°，设CN=x，∴MN=2x，CM=x，∴CD=2x，∴BF=FN=NM=2x，∴BC=5x，∴===，故答案为：．4、（虹口区）如图，在Rt △ABC 中，o90=∠C ，10=AB ，54sin =B ，点D 在斜边AB 上，把△ACD 沿直线CD 翻折，使得点A 落在同一平面内的'A 处，当D A '平行Rt △ABC 的直角边时，AD 的长为 .【解答】4或85、（黄浦区）如图，矩形ABCD ，将它分别沿AE 和AF 折叠，恰好使点B 、D 落到对角线AC 上点M 、N 处，已知2=MN ，1=NC ，则矩形ABCD 的面积是．【解答】649+6、（嘉定区）已知在△ABC 中，︒=∠90ACB ，10=AB ，53cos =A （如图3），将△ABC 绕着点C 旋转，点A 、B 的对应点分别记为A '、B '，B A ''与边AB 相交于点E ．如果B A ''⊥AC ，那么线段E B '的长为．【解答】524DNMCBAEABC图37、（静安区）如图7，⊙A 和⊙B 的半径分别为5和1，3=AB ，点O 在直线AB 上，⊙O 与⊙A 、⊙B 都内切，那么⊙O 半径是．【解答】23或298、（浦东新区）如图，矩形ABCD 中，4=AB ，7=AD ，点E ，F 分别在边AD 、BC 上，且B 、F 关于过点E 的直线对称，如果以CD 为直径的圆与EF 相切，那么=AE 3 ．【考点】MC ：切线的性质；LB ：矩形的性质；P2：轴对称的性质．【分析】设⊙O 与EF 相切于M ，连接EB ，作EH ⊥BC 于H ．由题意易知四边形AEHB 是矩形，设AE=BH=x ，由切线长定理可知，ED=EM ，FC=FM ，由B 、F 关于EH 对称，推出HF=BH=x ，ED=EM=7﹣x ，FC=FM=7﹣2x ，EF=14﹣3x ，在Rt △EFH 中，根据EF2=EH2+HF2，列出方程即可解决问题．【解答】解：如图，设⊙O 与EF 相切于M ，连接EB ，作EH ⊥BC 于H ．由题意易知四边形AEHB 是矩形，设AE=BH=x ，（第7题图）AB由切线长定理可知，ED=EM，FC=FM，∵B、F关于EH对称，∴HF=BH=x，ED=EM=7﹣x，FC=FM=7﹣2x，EF=14﹣3x，在Rt△EFH中，∵EF2=EH2+HF2，∴42+x2=（14﹣3x）2，解得x=3或（舍弃），∴AE=3，故答案为3．9、（普陀区）如图，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得到△EBD，点E、D分别与点A、点C对应，且点D在边AC上，边DE交边AB于点F，△BDC∽△ABC．已知=BC,510AC，那么△DBF的面积等于．=【考点】R2：旋转的性质；S7：相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形的性质得到，∠CBD=∠A，得到CD=2，AD=3，根据旋转的性质得到∠ABC=∠EBD，∠E=∠A，AB=BE，DE=AC，得到∠EBF=∠A，根据平行线的判定和性质得到∠ADF=∠E，等量代换得到∠E=∠EBF=∠A=∠ADF，根据等腰三角形的判定得到EF=BF，AF=DF，得到AB=DE=AC=5，根据相似三角形的性质得到=，过A 作AH⊥BC于H，于是得到结论．【解答】解：∵△BDC∽△ABC，∴，∠CBD=∠A，∴CD=，∵BC=，AC=5，∴CD=2，∴AD=3，∵将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得到△EBD，∴∠ABC=∠EBD，∠E=∠A，AB=BE，DE=AC，∴∠EBF=∠CBD，∴∠EBF=∠A，∴BE∥AC，∴∠ADF=∠E，∴∠E=∠EBF=∠A=∠ADF，∴EF=BF ，AF=DF ，∴AF+BF=EF+DF ，即AB=DE=AC=5， ∵AD ∥BE ，∴△ADF ∽△BEF ， ∴==，∴=，过A 作AH ⊥BC 于H ，∴AH==，∵S △BDE=S △ABC=××=，∴△DBF 的面积=S △ABC=．故答案为：．10、（青浦区）如图，在ABC Rt ∆中，AC AB =，E D 、是斜边BC 上两点，且o45=∠DAE .设a BE =，b DC =，那么=AB __________.（用含b a 、的式子表示AB ）【参考答案】222222a b a b +++【能力要求】空间观念/能进行几何图形的基本运动和变化【知识内容】图形与几何/图形旋转的有关概念以及有关性质图形与几何/全等三角形的判定和性质图形与几何/直角三角形的性质，勾股定理图形与几何/锐角三角比的概念，30度、45度、60度角的三角比值【难易程度】难EDBCA11、（松江区）如图，已知在矩形ABCD 中，4=AB ，8=AD ，将△ABC 沿对角线AC 翻折，点B 落在点E 处，联结DE ，则DE 的长为．【考点】PB ：翻折变换（折叠问题）；LB ：矩形的性质．【分析】先过E 作EF ⊥AD 于F ，设CG=Ax ，则DG=8﹣x ，在Rt △CDG 中，根据DG2+CD2=CG2，得到（8﹣x ）2+42=x2，求得AG=5，再根据EF==，运用勾股定理求得AF 和DF的长，即可得到DE 的长．【解答】解：如图所示，过E 作EF ⊥AD 于F ，由折叠可得，∠ACB=∠ACE ， ∵AD ∥BC ， ∴∠ACB=∠CAD ， ∴∠CAD=∠ACE ， ∴CG=AG ，设CG=Ax ，则DG=8﹣x ， ∵Rt △CDG 中，DG2+CD2=CG2， ∴（8﹣x ）2+42=x2，解得x=5， ∴AG=5， ∴Rt △AEG 中，EG==3，∵EF ⊥AG ，∠AEG=90°， ∴EF==，∴Rt △AEF 中，AF==， ∴DF=8﹣=，∴Rt△DEF中，DE==．故答案为：．【点评】本题属于折叠问题，主要考查了矩形的性质，勾股定理的综合应用，解题时注意面积法以及方程思想的运用．本题也可以运用相似三角形的性质进行求解．12、（徐汇区）如图，在△ABC中，∠ACB=α（90°＜α＜180°），将△ABC绕着点A逆时针旋转2β（0°＜β＜90°）后得△AED，其中点E、D分别和点B、C对应，联结CD，如果CD⊥ED，请写出一个关于α与β的等量关系的式子α+β=180°．【考点】R2：旋转的性质；K7：三角形内角和定理；KH：等腰三角形的性质．【分析】先过A作AF⊥CD，根据旋转的性质，得出∠ADE=∠ACB=α，AC=AD，∠CAD=2β，再根据等腰三角形的性质，即可得到Rt△ADF中，∠DAF+∠ADF=β+α﹣90°=90°，据此可得α与β的等量关系．【解答】解：如图，过A作AF⊥CD，由旋转可得，∠ADE=∠ACB=α，∵CD⊥DE，∴∠ADC=α﹣90°，由旋转可得，AC=AD，∠CAD=2β，∴∠DAF=β，∴Rt△ADF中，∠DAF+∠ADF=90°，即β+α﹣90°=90°，∴α+β=180°．故答案为：α+β=180°．【点评】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据等腰三角形三线合一的性质进行计算．13、（杨浦区）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB=4，将△ABC翻折，使得点B与边AC的中点M重合，如果折痕与边AB的交点为E，那么BE的长为．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KW：等腰直角三角形．【分析】作DG⊥AE，先根据翻折变换的性质得到△DEF≌△BEF，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到∠AED=CDF，设CF=x，则DF=FB=4﹣x，根据勾股定理求出CF，可知tan∠AED=tanCDF，在Rt△ADG和Rt△EDG分别求出DG、EG，然后根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：作DG⊥BE，∵△DEF是△BEF翻折而成，∴△DEF≌△BEF，∠B=∠EDF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠EDF=45°，由三角形外角性质得∠CDF+45°=∠AED+45°，∴∠AED=∠CDF，∵CA=CB=4，CD=AD=2，设CF=x，∴DF=FB=4﹣x，∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF2+CD2=DF2，即x2+4=（4﹣x）2，解得x=，∵∠A=45°，AD=2，∴AG=DG=，∵tan∠AED=tanCDF==，∴=，∴=，∴EG=，∴DE=BE==．故答案为：．【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质以及锐角三角函数的综合运用，涉及面较广，但难易适中．14、（长宁金山区）如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE=45°．设BE=a，DC=b，那么AB=（a+b+）（用含a、b的式子表示AB）．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．【分析】将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，只要证明△FAE≌△DAE，推出EF=ED，∠ABF=∠C=45°，由∠EBF=∠ABF+∠ABE=90°，推出ED=EF=，可得BC=a+b+，根据AB=BC•cos45°即可解决问题．【解答】解：将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB．证明：∵△DAC≌△FAB，∴AD=AF，∠DAC=∠FAB，∴∠FAD=90°，∵∠DAE=45°，∴∠DAC+∠BAE=∠FAB+∠BAE=∠FAE=45°，在△FAE和△DAE中，，∴△FAE≌△DAE，∴EF=ED，∠ABF=∠C=45°，∵∠EBF=∠ABF+∠ABE=90°，∴ED=EF=，∴BC=a+b+，∴AB=BC•cos45°=（a+b+）．故答案为（a+b+）．【点评】本题考查旋转变换、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．。

上海市2015各区初三数学二模考试第18题详细解析

18. 如图，点P 是以r 为半径的圆O 外一点，点P '在线段OP 上，若满足2OP OP r '⋅=，则称点P '是点P 关于圆O 的反演点，如图，在Rt △ABO 中，90B ∠=︒，2AB =，4BO =，圆O 的半径为2，如果点A '、B '分别是点A 、B 关于圆O 的反演点，那么A B ''的长是；18．如图，已知钝角三角形ABC ，∠A=35°，OC 为边AB 上的中线，将△AOC 绕着点O 顺时针旋转，点C 落在BC 边上的点'C 处，点A 落在点'A 处，联结'BA ，如果点A 、C 、'A 在同一直线上，那么∠''C BA 的度数为；18. 如图，△ABC 中，90ABC ∠>︒，3tan 4BAC ∠=， 4BC =，将三角形绕着点A 旋转，点C 落在直线AB 上的点C '处，点B 落在点B '处，若C 、B 、 B '恰好在一直线上，则AB 的长为；18．如图，在△ABC 中，AB=AC=5cm ，BC=6cm ，BD 平分∠A BC ，BD 交AC 于点D.如果将 △ABD沿BD 翻折，点A 落在点A′处，那么△D A′C 的面积为_______________cm2.CBOA（第18题图）ABCD18．如图，在ABC ∆中，CA CB =，90C ∠=︒，点D 是BC的中点，将ABC ∆沿着直线EF 折叠，使点A 与点D重合，折痕交AB 于点E ，交AC 于点F，那么sinBED ∠的值为．18. 如图，已知在Rt △ABC 中，∠C=90º，AC=BC=1，点D 在边BC 上，将△ABC 沿直线AD 翻折，使点C 落在点C ¹处，联结AC ¹，直线AC ¹与边CB 的延长线相交于点F.如果∠DAB=∠BAF,那么BF= ▲18．如图，⊙O 1的半径为1，⊙O 2的半径为2，O 1O 2＝5，⊙O 分别与⊙O 1外切、与⊙O 2内切，那么⊙O 半径r 18. 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC BC ==若将ABC ∆绕点A 顺时针方向旋转60︒到AB C ''∆联结C B '，则C B '的长为．18.如图，△ABC ≌△DEF （点A 、B 分别与点D 、 E 对应），AB=AC=5，BC=6，△ABC 固定不动， △DEF 运动，并满足点E 在BC 边从B 向C 移动（点E 不与B 、C 重合），DE 始终经过点A ，EF 与AC 边交于点M ，当△AEM 是等腰三角形时， BE= .BACFE D（第18题图）A18．在矩形ABCD中，6=AB，8=AD，把矩形ABCD沿直线MN翻折，点B落在边AD上的E点处，若AMAE2=，那么EN的长等于18．在矩形ABCD中，15=AD，点E在边DC上，联结AE，△ADE沿直线AE翻折后点D落到点F，过点F作ADFG⊥，垂足为点G，如图5，如果GDAD3=，那么=DE．B CD MNAA DB CGEF图5解析答案1.黄浦2.奉贤3.普陀4.杨浦5.松江6.崇明7.浦东8徐汇9.闵行10.静安、青浦11.虹口12.长宁13.金山14.嘉定、宝山。

上海市历年一模二模18题及解题思路汇总

上海市最新一模二模18题及解题思路汇总作者：***2020.1目录1.类型大纲 (3)2.思路梳理 (3)3.常用技巧 (4)1.黄金三角形2.特殊角正切值3.最新例题1.旋转 (5)2.翻折 (15)3.其他 (17)4.函数 (19)类型大纲一、三角形（伴四边形）背景（46套二模卷中，共出现35次，考察率76%）1．图形运动类1.1-旋转类（46套二模卷中，共出现17次，考察率36%）1.2-翻折类（46套二模卷中，共出现15次，考察率32%）2 . 非图形运动类（46套二模卷中，共出现3次，考察率6%）二、圆背景（46套二模卷中，共出现7次，考察率15%）1. 纯圆2. 伴三角形三、函数背景（46套二模卷中，共出现3次，考察率6%）四、其他（46套二模卷中，共出现2次，考察率4%）思路梳理做题三部曲：①分析背景、分析图形②使用尺规作图③由结论出发，分析出为得到结论所需要的其他量，目标清晰后，再将条件代入求解。

1.黄金三角形⑤18.5°：1/3，71.5°：3⑥26.5°：1/2，63.5°：2⑦74°：24/7，16°：7/24⑧18.5°+26.5°=45°旋转类1.如图，矩形ABCD中，AD=1，AB=k，将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转90°得到矩形A’B’C’D’，联结A D’，分别交边C D,A’B于E、F.如果AE=√2D’F，那么k= . (2020松江一模）1.如图，矩形ABCD中，AD=1，AB=k，将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转90°得到矩形A’B’C’D’，联结A D’，分别交边C D,A’B于E、F.如果AE=√2D’F，那么k= .（2020松江一模）大致思路：1.判断题目类型：三角形+矩形背景，旋转类2.观察图形，首先找相似，图中平行线众多，相似三角形较多。

度初三上海各区二模182425

2021 年度初三上海各区二模18-24-25〔2021 宝山、嘉定〕18．如图，点 M 的坐标为 (3,2) ，动点 P 从点 O 出发，沿y 轴以每秒 1 个单位的速度向上移动，且过点P 的直线 l ： y＝－ x＋ b 也随之移动，如果点M 关于上，设点 P 的移动时间为t，那么 t 的值可以是．l的对称点落在坐标轴24．〔此题总分值 12 分，第(1)、第 (2) 、第 (3) 小题总分值各4 分〕如图，对称轴为直线 x 1 的抛物线y ax2bx3与 x 轴交于 A 、 B 两点，与y 轴交于C点，其中A(1,0).〔1〕求点 B 的坐标及此抛物线的表达式；〔2〕点 D 为y 轴上一点，假设直线BD和直线BC的夹角为 15o，求线段CD的长度；〔3〕设点P为抛物线的对称轴当BPC 为直角三角形时，求点x 1 上的一个动点，P的坐标.第 24题图25．〔此题总分值14 分，第 (1)、第(2)小题总分值各4 分 ,第 (3) 小题总分值如图：AB 是圆 O 的直径， AB=10 ，点 C 为圆 O 上异于点BC 的中点．6 分〕A 、B 的一点，点M 为弦（1〕如果 AM 交 OC 于点 E，求 OE： CE 的值；（2〕如果 AM ⊥OC 于点 E，求∠ ABC 的正弦值；（3〕如果 AB ： BC=5 ： 4，D 为 BC 上一动点，过 D 作 DF⊥ OC，交 OC 于点 H ，与射线BO 交于圆内点 F ，请完成以下探究．探究一：设BD=x ， FO=y ，求 y 关于 x 的函数解析式及其定义域．探究二：如果点 D 在以 O 为圆心， OF 为半径的圆上，写出此时BD 的长度．A AFO OE1/ 14HPB BM C D C2021 年度初三上海各区二模18-24-25崇明18．如图 4，在△ABC中，AB AC ， BAC 30 ，将△ABC 绕着点A逆时针旋转 30 ，记点 C 的对应点为点D，AD 、BC 的延长线相交于点 E. 如果线段DE 的长为 2 ，那么边AB的长为▲．24．〔此题总分值12 分，每题总分值各 4 分〕如图 8，抛物线y x2bx c 交 x 轴于点A (1, 0)和点 B，交y轴于点C (0, 3)．（1〕求抛物线的解析式；（2〕在抛物线上找出点 P，使PC PO，求点 P 的坐标；〔3〕将直线AC 沿 x 轴的正方向平移，平移后的直线交y 轴于点M，交抛物线于点N．当四边形 ACMN 为等腰梯形时，求点M、 N 的坐标．y yC CO A B x O A B x备用图图 825．〔此题总分值14 分，其中第 (1) 、 (2) 小题总分值各 4 分，第 (3) 小题总分值 6 分〕如图 9，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB DC8， BC 12 ， cosC 3，点 E为5AB 边上一点，且BE 2 ．点F是BC边上的一个动点〔与点B、点 C 不重合〕，点 G 在射线 CD 上，且EFG B ．设 BF 的长为 x，CG 的长为．y〔1〕当点 G 在线段DC 上时，求y与 x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2〕当以点 B 为圆心， BF 长为半径的⊙ B 与以点 C 为圆心， CG 长为半径的⊙ C 相切时，求线段 BF 的长；〔3〕当△CFG为等腰三角形时，直接写出线段BF 的长．A DGE2/14 B F图9C18．如图 5，矩形 ABCD ，AD= a ，将矩形 ABCD 绕着顶点B 顺时针旋转，得到矩形 EBGF ，顶点 A 、D 、 C 分别与点 E 、F 、 G 对应〔点 D 与点 F 不重合〕．如果点D 、E 、F 在同一条直线上，那么线段DF 的长是 ▲ ．〔用含 a 的代数式表示〕D CAB24．〔此题总分值 12 分，每题总分值各 4 分〕图 5如图 9，平面直角坐标系 xOy ，抛物线 y = ax 2 + bx + 2 与 x 轴交于点 A(- 2，0)和点 B(4， 0) ．〔 1〕求这条抛物线的表达式和对称轴；〔 2〕点 C 在线段 OB 上，过点 C 作 CD ⊥ x 轴，垂足为点C ，交抛物线与点D ，E 是 BD中点，联结 CE 并延长，与 y 轴交于点 F ．①当 D 恰好是抛物线的顶点时，求点F 的坐标；y②联结 BF ，当△ DBC 的面积是△ BCF 面积的 3时，2求点 C 的坐标．A OB x图 925．〔此题总分值 14 分，第 (1)小题总分值 4 分，第 (2) 小题总分值 5 分，第 (3)小题总分值 5 分〕如图 10 ABC ， AB= 2 ，BC= 3，∠ B=45° D 在边 BC 上，联结AD，以，△，点点 A 为圆心， AD 为半径画圆，与边 AC 交于点 E ，点 F 在圆 A 上，且 AF ⊥ AD ．〔1〕设 BD 为 x ，点 D 、 F 之间的距离为 y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域；〔2〕如果 ?E 是 DF 的中点，求 BD : CD 的值；〔3〕联结 CF ，如果四边形ADCF 是梯形，求 BD 的长．FAAEBD CCB图 10备用图3/1418．如图，在矩形 ABCD 中，AB=6，点 E 在边 AD 上且 AE=4，点 F 是边 BC 上的一个动点，将四边形 ABFE 沿 EF 翻折， A、B 的对应点 A1、B1与点 C 在同一直线上， A1B1与边 AD 交于点 G，如果 DG =3，那么 BF 的长为▲．EA DB题图C第 1824．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 y ax2 + bx 8 与x轴相交于点A〔- 2，0〕和点 B〔 4， 0〕，与 y 轴相交于点C，顶点为点P．点 D 〔0， 4〕在 OC 上，联结BC、 BD ．〔1〕求抛物线的表达式并直接写出点P 的坐标；〔2〕点 E 为第一象限内抛物线上一点，如果△COE 与△ BCD 的面积相等，求点 E 的坐标；〔3〕点 Q 在抛物线对称轴上，如果△BCD ∽△ CPQ，求点 Q 的坐标．yPCDA OB x第24题图25．〔此题总分值14 分，第〔 1〕小题 5 分，第〔 2〕小题 5 分，第〔 3〕小题 4 分〕如图， AD∥ BC，∠ ABC=90 °，AD =3，AB=4 ，点 P 为射线 BC 上一动点，以 P 为圆心，BP 长为半径作⊙ P，交射线 BC 于点 Q，联结 BD 、AQ 相交于点 G，⊙ P 与线段 BD 、AQ 分别相交于点 E、 F．〔 1〕如果 BE=FQ ，求⊙ P 的半径；〔 2〕设 BP=x ， FQ=y ，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；〔 3〕联结 PE、 PF，如果四边形EGFP 是梯形，求BE 的长．A DGE FBP Q C4 /14第25题图黄浦A318．如图 3，在 ABC 中，ACB 90 ，sin B ABC 绕顶点1，将A5C 顺时针旋转，得到A1B1C，点 A、B 分别与点A1、B1对应，边 A1B1DBD分别交边 AB 、 BC 于点 D 、E，如果点 E 是边A1B1的中点，那么B1C▲ ．C BE图 3B124．〔此题总分值 12 分〕如图 7，抛物线 y ax 2bx cy经过原点 O 0,0 、 A 2,0 ，直线y2x经过抛物B线的顶点 B ，点C是抛物线上一点，且位于对称C轴的右侧，联结 BC 、OC 、AB，过点 C 作 CE ∥x E F轴，分别交线段OB、AB于点E、F.〔1〕求抛物线的表达式；〔2〕当BC CE 时，求证：BCE ∽ ABO ；〔3〕当CBA BOC 时，求点C的坐标.AO x图 725．〔此题总分值 14 分〕四边形 ABCD 中， AD ∥ BC，ABC 2 C，点E是射线AD上一点，点 F 是射线 DC 上一点，且满足BEFA.（1〕如图 8，当点 E 在线段 AD 上时，假设 AB=AD ，在线段 AB 上截取 AG=AE ，联结 GE.求证： GE=DF ；〔2〕如图 9，当点 E 在线段 AD 的延长线上时，假设AB=3 ， AD=4 ，cos A 1x ，，设 AE3DF y ，求y关于x的函数关系式及其定义域；〔3〕记 BE 与 CD 交于点 M，在〔 2〕的条件下，假设△EMF 与△ ABE 相似，求线段 AE 的长 .A ED A D EG F FB C B C图 85/14图 9静安y18．如图4，在平面直角坐标系 xOy 中， A〔 2 3 ，0〕，Q B〔 0， 6〕， M〔 0， 2〕．点 Q 在直线 AB 上，把△ BMQ B沿着直线 MQ 翻折，点 B 落在点 P 处，联结 PQ．如果直线 PQ 与直线 AB 所构成的夹角为60°，那么点 P 的坐M﹒标是▲．AO xQ图 424．在平面直角坐标系xOy 中〔如图 7〕，抛物线y ax2bx c( a 0) 经过原点，与x 轴的另一个交点为A，顶点为 P〔3， 4〕．y 〔 1〕求这条抛物线表达式；〔 2〕将该抛物线向右平移，平移后的新抛P·物线顶点为 Q，它与 y 轴交点为 B，联结 PB、PQ．设点 B 的纵坐标为 m，用含 m 的代数式1表示∠BPQ 的正切值；O 1x 〔 3〕联结 AP，在〔 2〕的条件下，射线 PB平分∠ APQ，求点 B 到直线 AP 的距离．图 725．〔此题总分值 14 分，第〔 1〕小题总分值 3 分，第〔 2〕小题总分值 6 分，第〔 3〕小题总分值 5分〕：如图 8，梯形 ABCD 中， AD∥ BC，AD= 2，AB=BC=CD =6．动点 P 在射线 BA 上，以 BP 为半径的⊙ P 交边 BC 于点 E〔点 E 与点 C 不重合〕，A D联结 PE、 PC．设 BP= x，PC= y．〔 1〕求证： PE∥ DC；〔 2〕求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域；〔 3〕联结 PD ，当∠ PDC =∠B 时，以 D 为圆心P半径为 R 的⊙D与⊙P相交，求 R 的取值范围．CB E图 86/14闵行18．如图，在△ABC中，AB = AC =5， BC 2 5，D为边AC上一点〔点 D 与点A、 C不重合〕．将△ ABC 沿直线 BD 翻折，使点 A 落在点 E 处，联结 CE．如果 CE // AB，那么C AD︰CD =▲．A B〔第 18 题图〕24．此题共 3 小题，每题各 4 分，总分值 12 分〕〔抛物线 yx2 b x c 经过点 A〔 1， 0〕、 B〔 3， 0〕，且与 y 轴的公共点为点C．〔1〕求抛物线的解析式，并求出点 C 的坐标；y〔 2〕求∠ ACB 的正切值；〔 3〕点 E 为线段 AC 上一点，过点 E 作 EF⊥BC，1垂足为点 F ．如果EF1，求△ BCE 的面积．BF4-1O1x-1〔第 24 题图〕25．〔此题共 3 小题，其中第〔1〕小题各 4 分，第〔 2〕、〔 3〕小题各5分，总分值14 分〕如图 1，点 P 为∠ MAN 的内部一点．过点 P 分别作 PB⊥ AM 、PC⊥AN，垂足分别为点B、C．过点 B 作 BD ⊥ CP，与 CP 的延长线相交于点 D ．BE⊥AP ，垂足为点 E．（1〕求证：∠ BPD =∠ MAN ；〔 2〕如果 sin MAN 3 10，AB 2 10 ， BE = BD，求 BD 的长；10〔 3〕如图 2，设点 Q 是线段 BP 的中点．联结QC、CE，QC 交 AP 于点 F．如果∠MAN = 45 °，且 BE // QC，求SPQF的值．SCEFMMB D B DQPPEF EAC N ACN〔图 1〕7〔图 2〕/ 14浦东18. 定义：如果 P 是圆 O 所在平面内的一点， Q 是射线 OP 上一点，且线段 OP 、 OQ 的比例中项等于圆 O 的半径，那么我们称点P 与点 Q 为这个圆的一对反演点，点 M 、 N 为圆 O 的一对反演点，且点 M 、 N 到圆心 O 的距离分别为 4 和 9，那么圆 O 上任意一点 A 到点M 、N 的距离之比AMAN24. 抛物线 y 1 x 2 bx c 经过点 M (3, 4) ，与 x 轴相交于点 A( 3,0) 和点 B ，与 y 轴相交于点 C .3〔1〕求这条抛物线的表达式；〔2〕如果 P 是这条抛物线对称轴上一点， PC BC ，求点 P 的坐标；〔3〕在第〔 2〕小题的条件下，当点P 在 x 轴上方时，求 PCB 的正弦值 .25. AB 是圆 O 的一条弦， P 是圆 O 上的一点，过点 O 作MNAP ，垂足为点 M ，并交射线 AB 于点 N ，圆 O 的半径为 5， AB 8 .〔1〕当 P 是优弧 AB 的中点时〔如图〕，求弦AP 的长；〔2〕当点 N 与点 B 重合时，试判断：以点 O 为圆心， 3为半径的圆与直线AP 的位置关系，并说明理由； 2〔3〕当 BNOBON ，且圆 N 与圆 O 相切时，求圆 N 的半径的长 .8/14度初三上海各区二模1824252021 年度初三上海各区二模18-24-25普陀A18.如图 7，AD是△ABC的中线，点E在边AB上，且DE⊥AD，将△ BDE 绕着点 D 旋转，使得点 B与点C重合，点 E 落在点 F处，联结 AF 交BC于点G，如果AE5，那么GF的值等于EBE2AB B D C▲．图 7224．在平面直角坐标系xOy 中，直线y x4m (m 0) 与x轴、y轴分别交于点A、 B3如图 11 所示，点C在线段AB的延长线上，且AB 2BC ．〔1〕用含字母m的代数式表示点C的坐标；y〔2〕抛物线y 1 x2bx 10 经过点A、 C ，求此抛物线3的表达式；〔3〕在第〔 2〕题的条件下，位于第四象限的抛物线上，是B否存在这样的点P ：使S△PAB2S△OBC，如果存在，求出点1P的坐标，如果不存在，试说明理由．O1A x 25．如图 12，在 Rt △ABC中，ACB 90，AB 5，cos BAC 4，点 O 是边 AC 上一个动点〔不与A、C重5图 11合〕，以点 O 为圆心， AO 为半径作⊙O ，⊙O 与射线AB交于点D；以点 C 为圆心， CD 为半径作⊙C ，设OA x．〔1〕如图13，当点D与点B重合时，求x的值；〔2〕当点D在线段AB上，如果⊙C与AB的另一个交点 E 在线段 AD 上时，设AE y ，试求 y 与x之间的函数解析式，并写出x 的取值范围；〔 3〕在点O的运动的过程中，如果⊙ C 与线段AB只有一个公共点，请直接写出x 的取值范围．B D B〔D〕C O A C O A9/14B图12图1318．我们把满足某种条件的所有点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．如图6，在Rt △ ABC 中，∠ C =90°， AC =8， BC =12，动点 P 从点 A 开始沿射线 AC 方向以 1 个单位 / 秒的速度向点 C 运动，动点 Q 从点 C 开始沿射线 CB 方向以 2 个单位 /秒的速度向点 B 运动，P 、 Q 两点分别从点 A 、 C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，在整个运动过程中，线段PQ 的中点 M 运动的轨迹长为▲． BQM24. 〔此题总分值 12 分，每题总分值各4 分〕CP A：如图 10，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线〔〕经过点图 6A 〔 6， - 3〕，对称轴是直线 x=4 ，顶点为 B ， OA 与其对称轴交于点 M ， M 、 N 关于点 B 对称．〔 1〕求这条抛物线的表达式和点B 的坐标；y〔 2〕联结 ON 、 AN ，求△ OAN 的面积；〔 3〕点 Q 在 x 轴上，且在直线x=4 右侧，OMx当∠ ANQ=45°时，求点Q 的坐标．AB N图 1025. 〔此题总分值 14 分，第〔 1〕小题 4 分，第〔 2〕小题 5 分，第〔 3〕小题 5 分〕：在 Rt △ ABC 中，∠ ACB =90°，AC=1 ，D 是 AB 的中点 . 以 CD 为直径的⊙ Q 分别交 BC 、 BA 于点 F 、 E ，点 E 位于点 D 下方，联结 EF 交 CD 于点 G ．（ 1〕如图 11，如果 BC=2 ，求 DE 的长；（ 2〕如图 12，设 BC=x ，GD=y ，求 y 关于 x 的函数关系式及其定义域； GQ（ 3〕如图 13，联结 CE ，如果 CG=CE ，求 BC 的长．BBBDFDFDFGGGQQQEE18． Rt△ ABC 中，∠ ACB= 90°，AC=8，BC=6．将△ ABC 绕点 B 旋转得到△ DBE ，点 A的对应点 D 落在射线 BC 上．直线AC 交 DE 于点 F，那么 CF 的长为 ________．24．〔此题总分值12分，第〔 1〕小题 3分，第〔 2〕小题 4 分，第〔 3〕小题 5 分〕如图，抛物线y ax24x c 过点A〔6，0〕、B〔3，3〕，与 y 轴交于点 C．联结 AB 2并延长，交 y 轴于点 D ．y〔 1〕求该抛物线的表达式；D（2〕求△ ADC 的面积；（3〕点 P 在线段 AC 上，如果△ OAP 和△ DCA 相似，求点 P 的坐标．BO A x C〔第 24 题图〕25．〔此题总分值14 分，第〔 1〕小题 4 分，第〔 2〕小题 5 分，第〔 3〕小题 5 分〕如图，Rt△ ABC 中，∠ ACB= 90°，AC= 42 ，BC= 16．点O在边BC上，以O为圆心， OB 为半径的弧经过点A． P 是弧 AB 上的一个动点．（1〕求半径 OB 的长；（2〕如果点 P 是弧 AB 的中点，联结 PC，求∠ PCB 的正切值；（3〕如果 BA 平分∠ PBC，延长 BP 、CA 交于点 D，求线段 DP 的长．A AC·B C·B O O〔第 25 题图〕〔备用图〕徐汇18．如图，在 Rt △ABC 中，∠ ACB=90 °， AB=6， cosB=2，先将△ ACBB3绕着顶点 C 顺时针旋转 90°，然后再将旋转后的三角形进行放大或缩小得到△ A'CB' 〔点 A'、 C 、B'的对应点分别是点 A 、 C 、B 〕，联结 A'A 、B'B ，如果△ AA'B 和△ AA'B' 相似，那么 A C 的长是▲．A C〔第 18 题图〕24 ．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线y1x 2 bx c 与直线 y1x 3 分别交于 x 轴、 y4 2轴上的 B 、C 两点，设该抛物线与x 轴的另一个交点为点 A ，顶点为点 D ，联结 CD 交 x 轴于点 E ．O〔 1〕求该抛物线的表达式及点 D 的坐标；（ 2〕求∠ DCB 的正切值；（ 3〕如果点 F 在 y 轴上，且∠ FBC= ∠ DBA +∠DCB ，求点 F 的坐标．25.如图，在 △ ABC 中， AC=BC= 10， cosC3，点 P 是 AC 边上一动点〔不与点A 、 C 重5合〕，以 PA 长为半径的 ⊙P 与边 AB 的另一个交点为D ，作 DE ⊥CB 于 E.BBEDCPAAC〔第 25 题图〕备用图（ 1〕当 ⊙ P 与边 BC 相切时，求 ⊙P 的半径；（ 2〕联结 BP 交 DE 于点 F ，设 AP 的长为 x ，PF 的长为 y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并直接写出 x 的取值范围；（ 3〕在〔 2〕的条件下，当以 PE 长为直径的 ⊙Q 与 ⊙P 相交于 AC 上边的点 G 时，求相交所得的公共弦的长 .杨浦A FD18．如图，在矩形ABCD 中，过点 A 的圆 O 交边 AB 于点 E，交边AD 于点 F ， AD =5， AE=2 ， AF=4. 如果以点 D 为圆心， r E 为半径的圆 D 与圆 O 有两个公共点，那么r的取值范围是▲ .B24．〔此题总分值12 分，第〔 1〕小题 4 分，第〔 2〕小题 4 分，第〔 3〕小题 4 分〕开口向下的抛物线y = ax2 - 2ax + 2 与y轴的交点为A，顶点为B，对称轴与的交点为 C，点 A 与点 D 关于对称轴对称，直线BD 与 x 轴交于点M，直线 AB 与直线Cx轴OD交于点 N.y〔 1〕求点 D 的坐标；〔 2〕求点 M 的坐标〔用含 a 的代数式表示〕；5〔 3〕当点 N 在第一象限，且∠OMB =∠ ONA 时，求 a 的值 .4321-3 -2 -1 O 1 2 3 4x-1-2-3〔第24题图〕25．〔此题总分值 14 分，第〔 1〕小题 4 分，第〔 2〕小题 5 分，第〔 3〕小题 5 分〕圆 O 的半径长为 2，点 A、 B、C 为圆 O 上三点，弦 BC=AO，点 D 为 BC 的中点 .〔 1〕如图 1，联结 AC、 OD，设∠ OAC=，请用表示∠ AOD；?A、 D 之间的距离；〔 2〕如图 2，当点 B 为AC的中点时，求点（3〕如果 AD 的延长线与圆 O 交于点 E，以 O 为圆心， AD 为半径的圆与以 BC 为直径的圆相切，求弦 AE 的长 .B B.CD C DA O A O A O〔图 1〕〔图2〕〔备用图〕〔第 25 题图〕2021 年度初三上海各区二模18-24-25长宁18.如图 3，在ABC 中， AB AC 5 ， BC 8 ，将ABC 绕着点 C 旋转，点 A、 B 的对应点分别是点A' 、 B' ，假设点 B' 恰好在线段 AA' 的延长线上，A 那么 AA'的长等于▲．B图 3交于点 A ，点 A 的横坐标为 6 ，抛物线顶点为点B．〔1〕求这条抛物线的表达式和顶点 B 的坐标；〔2〕过点O作OP // AB，在直线OP上点取一点Q，使得QAB OBA ，求点 Q 的坐标；〔 3〕将该抛物线向左平移m(m0) 个单位，所得新抛物线与y 轴负半轴相交于点 C 且顶y 点仍然在第四象限，此时点A移动到点 D 的位置，CB : DB 3 : 4 ，求m的值．1O1ACB 90 ， AC 图 625.如图 7，在Rt ABC 中，3，BC4，点P在边 AC上〔点 P与点 A 不重合〕，以点 P 为圆心， PA 为半径作⊙ P 交边 AB 于另一点 D ， ED DP ，交边BC于点 E．(1)求证： BE DE ；(2)假设BE x ， AD y ，求 y 关于 x 的函数关系式并写出定义域；(3)延长 ED 交 CA 的延长线于点F ，联结 BP ，假设BDP 与DAF相似，求线段AD 的长．BB BEDCx。

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