§1.3__概率的公理化定义与概率的性质
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§1.3 概率的公理化定义及概率的加法公式
P( ABC )
0.2 0.3 0.4 0 0.1 0.2 0 0.6.
18
Baidu Nhomakorabea
P A B C
B
C
A
P( A) P( B) P(C ) P( AB) P( AC ) P( BC )
P ( ABC ) .
16
定理1.3 (概率的一般加法公式) 对任意
n n 2 个事件 A1 , A2 ,
, An , 有
P Ai P Ai P Ai A j
n i 1 i 1 1 i j n
n
1 i j k n
P Ai Aj Ak
An .
17
1
n 1
P A1 A2
例1.7 设 P A 0.2 , P B 0.3 ,
P C 0.4 ,
P AB 0, P AC 0.1 ,
12
例1.5 由长期统计资料得知，某一地区在 ４月份每天下雨的概率为4/15，刮风的概率为 7/15，既刮风又下雨的概率为1/10，求４月份 的任一天下雨或刮风至少有一种发生的概率． 解 在４月份中任取一天，令A={下雨}， B={刮风}，则
P A 4 15 , P B 7 15, P AB 1 10 . P A B P( A) P(B) P( AB)
0.2 0.3 0.4 0 0.1 0.2 0 0.6.
18
Baidu Nhomakorabea
P A B C
B
C
A
P( A) P( B) P(C ) P( AB) P( AC ) P( BC )
P ( ABC ) .
16
定理1.3 (概率的一般加法公式) 对任意
n n 2 个事件 A1 , A2 ,
, An , 有
P Ai P Ai P Ai A j
n i 1 i 1 1 i j n
n
1 i j k n
P Ai Aj Ak
An .
17
1
n 1
P A1 A2
例1.7 设 P A 0.2 , P B 0.3 ,
P C 0.4 ,
P AB 0, P AC 0.1 ,
12
例1.5 由长期统计资料得知，某一地区在 ４月份每天下雨的概率为4/15，刮风的概率为 7/15，既刮风又下雨的概率为1/10，求４月份 的任一天下雨或刮风至少有一种发生的概率． 解 在４月份中任取一天，令A={下雨}， B={刮风}，则
P A 4 15 , P B 7 15, P AB 1 10 . P A B P( A) P(B) P( AB)
概率定义与性质
独立性的数学表达
如果两个事件A和B满足$P(A cap B) = P(A) times P(B)$，则称事件A和B是独立的。
3
独立性的性质
独立性具有传递性，即如果A与B独立，B与C独 立，那么A与C也独立。
独立事件的概率
独立事件的概率计算
条件概率与独立性
对于两个独立事件A和B，其同时发生 的概率是各自概率的乘积，即$P(A cap B) = P(A) times P(B)$。
概率的取值范围
01
根据概率的公理化定义，概率的取 值范围是[0,1]，包括0和1两个端 点。
02
当概率值为0时，表示事件不可能 发生。
当概率值为1时，表示事件一定会 发生。
03
在实际应用中，概率值通常用小 数或百分比表示，例如P(A)=0.7 表示事件A发生的概率为70%。
04
02
概率的性质
概率的加法性质
03
条件概率
条件概率的定义
条件概率是指在某一事件B已经发生 的情况下，另一事件A发生的概率， 记作P(A|B)。
条件概率可以通过以下公式计算： P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。其中， P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生 的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率的性质
非负性
概率的加法性质
如果事件A和B是互斥的，即A和B不能同时发生，那么 P(A+B) = P(A) + P(B)。
如果两个事件A和B满足$P(A cap B) = P(A) times P(B)$，则称事件A和B是独立的。
3
独立性的性质
独立性具有传递性，即如果A与B独立，B与C独 立，那么A与C也独立。
独立事件的概率
独立事件的概率计算
条件概率与独立性
对于两个独立事件A和B，其同时发生 的概率是各自概率的乘积，即$P(A cap B) = P(A) times P(B)$。
概率的取值范围
01
根据概率的公理化定义，概率的取 值范围是[0,1]，包括0和1两个端 点。
02
当概率值为0时，表示事件不可能 发生。
当概率值为1时，表示事件一定会 发生。
03
在实际应用中，概率值通常用小 数或百分比表示，例如P(A)=0.7 表示事件A发生的概率为70%。
04
02
概率的性质
概率的加法性质
03
条件概率
条件概率的定义
条件概率是指在某一事件B已经发生 的情况下，另一事件A发生的概率， 记作P(A|B)。
条件概率可以通过以下公式计算： P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。其中， P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生 的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率的性质
非负性
概率的加法性质
如果事件A和B是互斥的，即A和B不能同时发生，那么 P(A+B) = P(A) + P(B)。
概率论与数理统计 第一章 1.3等可能概型
S
P ( A) = P ( AB ) + P ( AB );
A
AB
B
A∩ B ∩
概率论
等可能概型(古典概型) 第三节 等可能概型(古典概型)
古典概型的定义 古典概率的求法举例 小结 布置作业
概率论
我们首先引入的计算概率的数学模型， 我们首先引入的计算概率的数学模型 ， 是在概率论的发展过程中最早出现的研究 对象， 对象，通常称为
, P(B)=6/10
静态
这里实际上是从“比例” 这里实际上是从“比例” 转化为“概率” 转化为“概率”
动态 8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
当我们要求“摸到红球” 当我们要求“摸到红球”的概 率时， 率时，只要找出它在静态时相应的 比例. 比例
概率论
设古典概率E 的样本空间为S = {e1 , e2 , L, en} .
古典概型
概率论
一、古典概型
假定某个试验有有限个可能的结果
e1, e2, …，eN , ，
假定从该试验的条件及实施方法上去分析， 假定从该试验的条件及实施方法上去分析， 我们找不到任何理由认为其中某一结果例如 ei，比 ， 任一其它结果， 更有优势， 任一其它结果，例如 ej, 更有优势，则我们只好认 为所有结果在试验中有同等可能的出现机会， 为所有结果在试验中有同等可能的出现机会，即 1/N的出现机会 的出现机会. 的出现机会
P ( A) = P ( AB ) + P ( AB );
A
AB
B
A∩ B ∩
概率论
等可能概型(古典概型) 第三节 等可能概型(古典概型)
古典概型的定义 古典概率的求法举例 小结 布置作业
概率论
我们首先引入的计算概率的数学模型， 我们首先引入的计算概率的数学模型 ， 是在概率论的发展过程中最早出现的研究 对象， 对象，通常称为
, P(B)=6/10
静态
这里实际上是从“比例” 这里实际上是从“比例” 转化为“概率” 转化为“概率”
动态 8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
当我们要求“摸到红球” 当我们要求“摸到红球”的概 率时， 率时，只要找出它在静态时相应的 比例. 比例
概率论
设古典概率E 的样本空间为S = {e1 , e2 , L, en} .
古典概型
概率论
一、古典概型
假定某个试验有有限个可能的结果
e1, e2, …，eN , ，
假定从该试验的条件及实施方法上去分析， 假定从该试验的条件及实施方法上去分析， 我们找不到任何理由认为其中某一结果例如 ei，比 ， 任一其它结果， 更有优势， 任一其它结果，例如 ej, 更有优势，则我们只好认 为所有结果在试验中有同等可能的出现机会， 为所有结果在试验中有同等可能的出现机会，即 1/N的出现机会 的出现机会. 的出现机会
1-3概率的公理化体系及性质
a
针的中点M到最近的一条平行 直线的距离, 表示针与该平行直线的 夹角.
M x
那么针落在平面上的位 置可由( x , )完全确定.
投 针 试 验 的 所 有 可 能果 结 与矩形区域 a {( x , ) | 0 x ,0 } 2 中的所有点一一对应 .
于是所求概率为
P ( AB ) 1 { P ( A) P ( B ) P ( AB )}
83 3 333 250 1 . 2000 2000 2000 4
三、小结
1. 频率 (波动) n 概率(稳定). 2. 两个基本概率模型 古典概型：各样本点等可能出现，样本空间只有 有限个样本点。 m P ( A) n 几何概型：各样本点等可能出现，样本空间具有几 何度量。 L A P( A) L
C 2 8 P( A) 4 21 C10
则 P( A) 1 P( A )
8 13 1 21 21
4 5 4
例3 在1~2000的整数中随机地取一个数,问取到 的整数既不能被6整除, 又不能被8整除的概率是 多少 ? 解 设 A 为事件“取到的数能被6整除”,B为事件
P ( A B ). “取到的数能被8整除”则所求概率为 P ( AB ) P ( A B ) 1 P ( A B )
P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) P ( A1 A2 ) P ( A2 A3 ) P ( A1 A3 ) P ( A1 A2 A3 ).
§1.3 概率的公理化定义及概率的加法公式
概率的公理化体系迅速获得举世公认，是 概率论发展史上的一个里程碑．有了这个公理 化定义后，概率论得到很快的发展．
二、概率的基本性质
性质1.1 P() 0 性质1.2(有限可加性) 若A1, A2 , , An两两互斥,则
n n
P Ai P( Ai ) i1 i1
性质1.3 对任意事件A,有P( A) 1 P( A) 性质1.4 若A B,则P(B A) P(B) P( A) 性质1.5 若A B,则P( A) P(B) 性质1.6 对任意事件A,有0 P( A) 1 性质1.7 对任意事件A, B,有P( A B) P( A) P( AB)
1 n1 P A1A2 An .
我们也称这个公式为“多除少补原理”．
例1.5 由长期统计资料得知，某一地区在 ４月份每天下雨的概率为4/15，刮风的概率为 7/15，既刮风又下雨的概率为1/10，求４月份 的任一天下雨或刮风至少有一种发生的概率．
第三节 概率的公理化定义及概率的 加法公式
事件的频率与概率 一．概率的公理化定义 二．概率的基本性质 三．概率的加法公式
事件的频率与概率
定义 在相同的条件下进行 n 次试验,其中事件 A 发生的
次数nA称为频数,比值
nA n
称为频率, 记为
fn ( A),
即
fn ( A)
nA n
先看看历史上有名的实验，然后在总结频率 的性质，进而加以抽象
二、概率的基本性质
性质1.1 P() 0 性质1.2(有限可加性) 若A1, A2 , , An两两互斥,则
n n
P Ai P( Ai ) i1 i1
性质1.3 对任意事件A,有P( A) 1 P( A) 性质1.4 若A B,则P(B A) P(B) P( A) 性质1.5 若A B,则P( A) P(B) 性质1.6 对任意事件A,有0 P( A) 1 性质1.7 对任意事件A, B,有P( A B) P( A) P( AB)
1 n1 P A1A2 An .
我们也称这个公式为“多除少补原理”．
例1.5 由长期统计资料得知，某一地区在 ４月份每天下雨的概率为4/15，刮风的概率为 7/15，既刮风又下雨的概率为1/10，求４月份 的任一天下雨或刮风至少有一种发生的概率．
第三节 概率的公理化定义及概率的 加法公式
事件的频率与概率 一．概率的公理化定义 二．概率的基本性质 三．概率的加法公式
事件的频率与概率
定义 在相同的条件下进行 n 次试验,其中事件 A 发生的
次数nA称为频数,比值
nA n
称为频率, 记为
fn ( A),
即
fn ( A)
nA n
先看看历史上有名的实验，然后在总结频率 的性质，进而加以抽象
概率统计知识点
一.随机事件和概率1、概率的定义和性质
（1）概率的公理化定义
设Ω为样本空间，A 为事件，对每一个事件A 都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：
1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =1
3° 对于两两互不相容的事件1A ，2A ，…有
∑∞=∞==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛1
1)(i i i i A P A P Υ常称为可列（完全）可加性。 则称P(A)为事件A 的概率。
（2）古典概型（等可能概型）
1° {}n ωωωΛ
21,=Ω，
2° n
P P P n 1
)()()(21===ωωωΛ。
设任一事件A ，它是由m ωωωΛ21,组成的，则有
P(A)={}
)()()(21m ωωωΥΛΥΥ=)
()()(21m P P P ωωω+++Λn m =基本事件总数
所包含的基本事件数A =2、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯）
(1)加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)(2)减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当B ⊂ A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A=Ω时，P(B )=1- P(B)
（3）条件概率和乘法公式
定义 设A、B 是两个事件，且P(A)>0，则称
)
()
(A P AB P 为事件A 发生条件下，事件B 发生的条件概率，记为
=
)/(A B P )
()
(A P AB P 。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
（4）全概公式
设事件B 1, B 2,Λ , B n 满足1
°
B 1, B 2,Λ , B n
概率论--公理化定义及其性质
已知P（A）=0.3,P(B)=0.6,试在下列两种
情形下分别求出P(A-B)与P(B-A)
(1) 事件A,B互不相容 (2Biblioteka Baidu 事件A,B有包含关系
解
(1) 由于 AB , 因此 A B A, B A B
P( A B) P( A) 0.3 P( B A) P( B) 0.6
P( B AB) P( B) P( AB)
三个随机事件的和
P( A B C ) P( A) P( B) P(C ) P( AB) P( BC ) P( AC ) P( ABC )
A
B
C
逆事件的概率
P( A ) 1 P( A)
证明
由于Ａ与其对立事件互不相容，由性质2有
P ( Ai )
i 1
n
性质3 （差事件的概率）
若A
A
B，则 P (B － A) = P(B) － P(A)
B A ( B A)
B
P( B) P( A ( B A)) P( A) P( B A)
移项得，P( B A) P(B) P( A)
2
A
所包含的样本点为
1,1 , 1,2 , 2,1 , 5,6 , 6,5, 6,6
所以
概率论与数理统计1.3
常见模型
1 不返回抽样
2 返回抽样
3 盒子模型 4 配对模型
例 将r个球置于n个箱中（每个球以1/n的概率被置入某一特 定箱中）,若n≥r,试求任一箱内的球数均不超过1的概率.
事件A 解：先计算样本空间总数 （同时定义样本点）
1 1 1 1 1 1 1 1 第一个球置于一箱中， 1 2 3 … n-1 n 共有n种放法; 相继将每一个球置于一箱中都有n种放法； 这样放完r个球构成一个可能的结果（样本点）， 1 r 2 3 6 由乘法原理，r个球的不同的放法有 4 5 n×n × n× … ×n = nr 再计算事件A所包含的样本点数： 第一个球置于一箱中，共有n种放法; 第二个球由于不能放到第一个球所在箱，所以只有n – 1种放法 第r 个球不能放到前r – 1个球所在箱，所以只有n – r + 1种放法 …… 事件A所包含的样本点数 n( n 1)...( n r 1) n r
5 2 种方式 95 1 种方式
从95件正品中抽出1件
5 95 2 1 P ( A) 100 3
M件 次品
100件产品 N 件产品
M N M k n k P ( A) N n
?从5件次品中抽出2件?从95件正品中抽出1件2955?????????种方式1???种方式59521pa1003??????????????????次品5件次品m件这是一种无放回抽样情形有放回抽样时pa
概率及其性质
第一章 随机事件与概率
1.3 概率及其性质
研究随机现象，不仅需要关心试验中会出 现哪些事件，更需要知道这些事件出现的 可能性.
如何刻画事件的可能性？
概率是随机事件 发生可能性大小 的度量
事件发生的可能性 越大，概率就 越大！
1.3节需要弄清楚下述问题：
1、频率的定义、计算方法、性质是什么？ 2、概率的统计定义与公理化定义各是什么？ 3、概率的性质有哪些？运用时需注意哪些条件？ 4、古典概率的定义及计算方法？
这种说法正确吗？为什么？
概率的减法公式：PA B
三、概率的性质
性质1：P() 0, P() 1
性质2：对任意事件 A ，0 P( A) 1 性质3：对任意两个事件 A与 B ，有
P( A B) P( A) P(B) P( AB)
称该性质为概率的加法公式.
推广：若对任意三个事件 A, B, C ，有 P(A B C) P(A) P(B) P(C)
0.65 0.7 0.85 0.5
A发生B不发生。
(2)P(AB ) P(A B ) P(A) P(AB ) 0.15
A B A AB AB
(3)P(A B ) P(AB ) 1 P(AB )
1 0.5 0.5 德摩根定理
例2：设事件 A, B 发生的概率分别为 1 , 1 ，试依据
解：设A=“甲城市下雨”，B=“乙城市下雨”，则：
1.3 概率及其性质
研究随机现象，不仅需要关心试验中会出 现哪些事件，更需要知道这些事件出现的 可能性.
如何刻画事件的可能性？
概率是随机事件 发生可能性大小 的度量
事件发生的可能性 越大，概率就 越大！
1.3节需要弄清楚下述问题：
1、频率的定义、计算方法、性质是什么？ 2、概率的统计定义与公理化定义各是什么？ 3、概率的性质有哪些？运用时需注意哪些条件？ 4、古典概率的定义及计算方法？
这种说法正确吗？为什么？
概率的减法公式：PA B
三、概率的性质
性质1：P() 0, P() 1
性质2：对任意事件 A ，0 P( A) 1 性质3：对任意两个事件 A与 B ，有
P( A B) P( A) P(B) P( AB)
称该性质为概率的加法公式.
推广：若对任意三个事件 A, B, C ，有 P(A B C) P(A) P(B) P(C)
0.65 0.7 0.85 0.5
A发生B不发生。
(2)P(AB ) P(A B ) P(A) P(AB ) 0.15
A B A AB AB
(3)P(A B ) P(AB ) 1 P(AB )
1 0.5 0.5 德摩根定理
例2：设事件 A, B 发生的概率分别为 1 , 1 ，试依据
解：设A=“甲城市下雨”，B=“乙城市下雨”，则：
1.3 概率的公理化定义与性质
(3-5)
此性质称为概率的单调性． 此性质称为概率的单调性．
证
及概率的非负性， 由性质 4 及概率的非负性， 知 P ( B − A) = P ( B ) − P ( A) ≥ 0 ．
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推论 2
对任意事件 A ，有 P ( A) ≤ 1 ．
证 因 A ⊂ S ，由推论 1 得
P ( A) ≤ P ( S ) = 1 ．
1≤i < j < k ≤ n
推论2 推论 设 Ai (i = 1, 2,L, n) 为任意 个事件，则有 为任意n个事件 个事件， P ( U Ai ) ≤ ∑ P( Ai )．
i =1 i =1 n n
(3-9)
P [例 3-2] 设事件 A、 AU B 的概率分别为 p、 、， P ( AB) ， ( A B ) ， 例 B、 q、 求 、 r，
P (U Ai ) = ∑ P( Ai )
的概率． 则称函数P(A)为事件A的概率．
i =1 i =1
∞
∞
(3-1)
首页 尾页
二、概率的性质 性质1 性质1 P (Φ ) = 0． 证 令 An = Φ (n = 1, 2,L) ，则
UA
n −1
∞
n
=，且 Φ
Ai A j = ， Φ
i ≠ j , i, j = 1, 2,，由概率的可列可加性(3-1)得 L
概率的定义及其性质
公理：
公理1 非负性P： A 0
公理2 规范 P 1
性： 公理3
可列可加性：对两两不相容的A事kk件1
列
，
有
P
U
k 1
Ak
k 1
P
Ak
13
概率的性质
性质1：P 0
证明：设 Ak k 1,2,3,L
则 U Ak 且 Ai Aj , i j, i, j 1,2,3L
k 1
由概率的可列可加性得
故 1 P A P AUB 1
从而 1 P AUB P A PB P AB
24
进而 PB P AB
小结
1. 概率的定义 统计学定义 公理化定义
2. 概率的性质 三条公理 7 条性质
25
作业
课本 P24
三、 5
作业题： P A 0.4, P AUB 0.7 A
设 B
PB ?
，若
与 互不相容，则
8
由上述两例可知，频率具有下列 特点：
随机波动性—对相同或不同的试验次数， 同一事件的频数不一定相同，从而所得的频 率也不一定相同，因而无法用频率来度量事 件发生的可能性的大小；
频率稳定性—随着试验次数的无限增大， 事件的频率逐渐稳定于某个常数，因而可用 该常数来度量事件发生的可能性的大小。
9
概率的统计学定义
的数量指标称为该事件的概 率。 如何定义概率?
公理1 非负性P： A 0
公理2 规范 P 1
性： 公理3
可列可加性：对两两不相容的A事kk件1
列
，
有
P
U
k 1
Ak
k 1
P
Ak
13
概率的性质
性质1：P 0
证明：设 Ak k 1,2,3,L
则 U Ak 且 Ai Aj , i j, i, j 1,2,3L
k 1
由概率的可列可加性得
故 1 P A P AUB 1
从而 1 P AUB P A PB P AB
24
进而 PB P AB
小结
1. 概率的定义 统计学定义 公理化定义
2. 概率的性质 三条公理 7 条性质
25
作业
课本 P24
三、 5
作业题： P A 0.4, P AUB 0.7 A
设 B
PB ?
，若
与 互不相容，则
8
由上述两例可知，频率具有下列 特点：
随机波动性—对相同或不同的试验次数， 同一事件的频数不一定相同，从而所得的频 率也不一定相同，因而无法用频率来度量事 件发生的可能性的大小；
频率稳定性—随着试验次数的无限增大， 事件的频率逐渐稳定于某个常数，因而可用 该常数来度量事件发生的可能性的大小。
9
概率的统计学定义
的数量指标称为该事件的概 率。 如何定义概率?
1-3概率公理化定义及性质
由 AB ⊂ B ， 由包含公式代入上式即得. 推论 1.3.2（半可加性） 对任意两个 事件 A 和 B，有
P ( A ∪ B ) ≤ P ( A) + P ( B ) .
云师大数学学院 第 8 页 2011-10-05
推论 1.3.3（三事件加法公式） 意三个事件 A，B 和 C，有
对任
P ( A ∪ B ∪ C ) = P ( A) + P ( B ) + P (C ) − P ( AB ) − P ( AC ) − P ( BC ) + P ( ABC )
云师大数学学院 第 3 页 2011-10-05
性质 1.3.2（有限可加性） 斥的有限个事件 A1 , A2 , , An ，有
⎛ n ⎞ n P ⎜ ∪ Ai ⎟ = ∑ P ( Ai ) . ⎝ i =1 ⎠ i =1
对两两互
证明
因为 ∪ A = A ∪ A ∪
i 1 2 i =1
n
∪ An ∪ ∅ ∪ ∅ ∪
云师大数学学院 第 15 页 2011-10-05
这n个事件的并的概率： P ( A1 ∪ A2 ∪ ∪ A10 ) . 由古典概率定义分别有
P( A1 ) = P( A2 ) = = P( A10 ) = 1 10
；
P( A1 A2 ) = P( A1 A3 ) =
第3节概率的公理化定义及其性质
P(BC ) P(AC ) P(ABC )
特例，当A, B,C两两互斥时，则有
P( A B C ) P( A) P(B) P(C )
目 录 前一页 后一页 退 出
(2) 一般地，对任意 n个事件A1 , A2 , , An，有
P
n i1
Ai
n i1
P( Ai )
n i j
n
P ( Ai Aj ) P ( Ai Aj Ak )
缺点：
不易计算
目 录 前一页 后一页 退 出
二、概率的性质及运算法则
我们用 P( A) 表示事件 A发生的概率，
事件发生的可能 性最小是零，此 时概率为0.
(1) P ( A) 0
(非负性)
事件发生的可能性最 大是百分之百，此时
概率为1.
0 P(A) 1
(2) P() 1
(规范性)
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于是 P ( A B ) P ( A) 0.3
P (B A) P (B ) 0.6
(2) 由已知及性质3可得必定是 A B , 因此 P ( A B ) P ( ) 0
P (B A) P (B ) P ( A) 0.6 0.3 0.3
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例3 设 A, B是两个随机事件，P ( A) 0.5, P ( B ) 0.7, 求 P ( A B )的最大值与最小值. 解：显然 P ( A B )的最大值为1.
特例，当A, B,C两两互斥时，则有
P( A B C ) P( A) P(B) P(C )
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(2) 一般地，对任意 n个事件A1 , A2 , , An，有
P
n i1
Ai
n i1
P( Ai )
n i j
n
P ( Ai Aj ) P ( Ai Aj Ak )
缺点：
不易计算
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二、概率的性质及运算法则
我们用 P( A) 表示事件 A发生的概率，
事件发生的可能 性最小是零，此 时概率为0.
(1) P ( A) 0
(非负性)
事件发生的可能性最 大是百分之百，此时
概率为1.
0 P(A) 1
(2) P() 1
(规范性)
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于是 P ( A B ) P ( A) 0.3
P (B A) P (B ) 0.6
(2) 由已知及性质3可得必定是 A B , 因此 P ( A B ) P ( ) 0
P (B A) P (B ) P ( A) 0.6 0.3 0.3
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例3 设 A, B是两个随机事件，P ( A) 0.5, P ( B ) 0.7, 求 P ( A B )的最大值与最小值. 解：显然 P ( A B )的最大值为1.
概率论与数理统计_ 随机事件及概率_ 概率定义及概率的性质_
概率论与数理统计
实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做
7 遍, 观察正面出现的次数及频率.
试验 序号
1 2 3 4 5 6 7
n5
n 50
n 500
nH
f
nH
f
nH
2
0.4
31随n的增00..62 大,
22
0.44
251
在 25 1 处波0动 .50 较大 249
频率2f 呈现出稳定性
k 1
P( A1) P( A2 ) P( An ).
概率论与数理统计
(3) 设 A, B 为两个事件,且 A B,则 P( A) P(B), P(B A) P(B) P( A).
证明 因为 A B, 所以 B A (B A). 又 (B A) A ,
B A
得 P(B) P( A) P(B A).
P( A1 A2 An ) P( A1) P( A2 ) P( An ).
概率的有限可加性
证明 令 An1 An2 , Ai Aj , i j, i, j 1,2,.
由概率的可列可加性得
P(A1
A2
An )
P(
Ak )
P( Ak )
n
P( Ak ) 0
k 1
k 1
(1) 非负性 : 对于每一个事件 A, 有 P( A) 0; (2) 规范性 : 对于必然事件,有 P() 1; (3) 可列可加性 : 设 A1, A2 ,是两两互不相容的 事件,即对于 i j, Ai Aj , i, j 1, 2,,则有
§1.3 概率的公理化定义及概率的加法公式
5
在概率论发展的历史上， 在概率论发展的历史上，有许多关于概率 的定义 其中包括在下一节的概率的古典定义 的定义，其中包括在下一节的概率的古典定义 概率的几何定义， 和概率的几何定义，这些定义各适合一类随机 现象． 现象．概率的公理化定义既概括了历史上几种 概率定义中的共同特性， 概率定义中的共同特性，又避免了各自的局限 性和含混之处，不管什么随机现象， 性和含混之处，不管什么随机现象，只有满足 定义中的三条公理 才能说它是概率． 三条公理， 定义中的三条公理，才能说它是概率． 概率的公理化体系迅速获得举世公认， 概率的公理化体系迅速获得举世公认，是 迅速获得举世公认 概率论发展史上的一个里程碑． 概率论发展史上的一个里程碑．有了这个公理 化定义后，概率论得到很快的发展． 化定义后，概率论得到很快的发展．
P ( A) ≤ P ( B ) .
性质1.6 对任意事件A 性质1.6 对任意事件A，有
0 ≤ P ( A) ≤ 1 .
性质1.7 概率的减法公式) 性质1.7 (概率的减法公式) 对任意两 个事件A 个事件A和B，有
P ( A − B ) = P ( A) − P ( AB ) .
11
是两个事件， P 例1.4 设A和B是两个事件， ( A) = 0.8 ,
12
P ( AB ) ≤ 0.6 .
可见， 可见，当 P ( B ) = 0.6 时上述不等式中的 取到它的最大值， ＂＝＂号成立，此时 P ( AB ) 取到它的最大值， ＂＝＂号成立， 号成立 最大值是0.6． 最大值是0.6． 0.6 另外， 另外，当 B ⊂ A 时，上述不等式中的 “＝”号也成立，所以 ⊂ A 也是 P ( AB ) 号也成立， B 取到它的最大值0.6的一个充分条件． 取到它的最大值0.6的一个充分条件． 0.6的一个充分条件
在概率论发展的历史上， 在概率论发展的历史上，有许多关于概率 的定义 其中包括在下一节的概率的古典定义 的定义，其中包括在下一节的概率的古典定义 概率的几何定义， 和概率的几何定义，这些定义各适合一类随机 现象． 现象．概率的公理化定义既概括了历史上几种 概率定义中的共同特性， 概率定义中的共同特性，又避免了各自的局限 性和含混之处，不管什么随机现象， 性和含混之处，不管什么随机现象，只有满足 定义中的三条公理 才能说它是概率． 三条公理， 定义中的三条公理，才能说它是概率． 概率的公理化体系迅速获得举世公认， 概率的公理化体系迅速获得举世公认，是 迅速获得举世公认 概率论发展史上的一个里程碑． 概率论发展史上的一个里程碑．有了这个公理 化定义后，概率论得到很快的发展． 化定义后，概率论得到很快的发展．
P ( A) ≤ P ( B ) .
性质1.6 对任意事件A 性质1.6 对任意事件A，有
0 ≤ P ( A) ≤ 1 .
性质1.7 概率的减法公式) 性质1.7 (概率的减法公式) 对任意两 个事件A 个事件A和B，有
P ( A − B ) = P ( A) − P ( AB ) .
11
是两个事件， P 例1.4 设A和B是两个事件， ( A) = 0.8 ,
12
P ( AB ) ≤ 0.6 .
可见， 可见，当 P ( B ) = 0.6 时上述不等式中的 取到它的最大值， ＂＝＂号成立，此时 P ( AB ) 取到它的最大值， ＂＝＂号成立， 号成立 最大值是0.6． 最大值是0.6． 0.6 另外， 另外，当 B ⊂ A 时，上述不等式中的 “＝”号也成立，所以 ⊂ A 也是 P ( AB ) 号也成立， B 取到它的最大值0.6的一个充分条件． 取到它的最大值0.6的一个充分条件． 0.6的一个充分条件
1.3 概率的一般定义
B
A B-A
A
B
AB
性质4. 对任一事件 A, P ( A) 1 P ( A).
性质5. 对任意两事件 A, B有 P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB).
AB
B-AB
B
A
证： A B A （B AB），
且A （B AB） ，
B A BA B
应用例1
1 (2) P(B－A)=P(B)－P(A)= 4 3 (3) P(B－A)=P(B)－P(AB)=
8
P(B－A)=P(B)=1/2
例8一只口袋中有45只白球，5只黑球，今从中任取 3只球，求其中有黑球的概率. 解 以A表示“取出的3只球中有黑球”, A i分别表示 “取出的3只球中有i只黑球”, i=1, 2, 3,
P(B A ) P(B ) P( A );
P(B) P( A).
一般地有: P(B-A)=P(B)-P(AB).
来自百度文库19
证： A B， 有B A (B A)，
且A (B A) ，
P(B)=P(A)+P(B-A),
即 P(B-A)=P(B)-P(A). 一般地 ∵B-A=B-AB, 且BAB, ∴ P(A-B) =P(B-AB) =P(B)-P(AB). 即 事件B发生而事件A不发生 的概率为P(B)-P(AB)
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习题课 概率定义及性质
一 随机事件及运算
1 随机试验 2 样本点 3 样本空间 4 随机事件
5 基本事件 6 必然事件 7 不可能事件
二 事件的概率及性质
1 定义 1） 古典概率
3）统计概率
P( A) k n
f ( A) A
n
2） 几何概率
P( A) SA S
5） 概率的公理化定义
2 概率的性质 （加法公式）
三 概率空间
设 --样本空间
F—事件域
P—概率
称三元总体（ , F , ）为概率空间.
四 概率的性质
1 P() 0
………（1）
n
n
2 P( Ai ) P( Ai )
i 1
i 1
Ai Aj (1 i j n)
……..（2）
3 对任意事件A有, P( A) 1 P( A) (3)
1 ( 5)4 , 1 (35)24
6
36
1
A162 126
谢谢观看！ 2020
例1
设P（A） P（B） P（C） 1/ 4，P（AB） 0，P（AC） P（BC） 1/ 16
则A,B,C中至少发生一个的概率是多少？ A,B,C都不发生的概率 是多少？
例2 生日问题
1）500个人中至少有一人的生日在7月1日的概率是多少？ 2）n个人中至少有两个人生日相同的概率是多少？
n 10
15
§1.3 概率的公理化定义及概率的性质
一 事件域
1. -代数 设事件集合F 满足：
1o F 2o 若A F ,则 A F
3o
若Ai F , i 1,2, ,则 Ai F
i 1
则称 F为-代数（域）
2. 事件域 若F由样本空间的一些子集构成一个域，则
称 它为事件域。 F中的元素称为事件。
三 概率模型
概率空间
( F P)
例题分析
例1 同时掷两枚骰子，求事件A为出现的点数之和等于3 的概率。
解 （1）设 i 表示 出现的点数之和为i
{2 ,3 , ,12 }
P( A) 1 11
A {3 }
错误解法
解 2）掷两枚骰子可能出现的点数为（1，1）（1，2）…
（1，6） （2，1）（2，2）…（2，6）…（6，1）…（6， 6）.
求 P（AB）
b）P（A） a，P（B） 2a，P（C） 3a，
P（AB） P（AC） P（BC） b
证明：
a
1 4
b1 4
2 、一赌徒认为掷一颗骰子4次至少出现一次6点与掷 两颗骰子24次至少出现一次双6点的机会是相等的。 你认为如何？
3、 一间宿舍内有6位同学，求他们之中至少有2人的 生日在同一月份的概率。（设每个人生日在每个月 份的概率相同.
解 设Ai 表示i 号球与抽取顺序相同. 利用公式
n
n
P（ Ai） P（Ai）
P（Ai Aj）
P（Ai Aj Ak）
i 1
i 1
1i <j n
1i<j<k N
（1）n1P（A1 An） （6）
例4 将长度为a 线段任意折成三段，试求此三段能构成三 角形的概率。
补充习题
1 a）设P（A） 0 4，P（B） 0 来自百度文库3，P（A B） 0 6，
推广：设A1，A2， ，An F，则有：
n
n
P（ Ai） P（Ai） P（Ai Aj） P（Ai Aj Ak）
i 1
i 1
1i〈jn
1i〈j〈k N
（ 1）n1P（A1 An） （6）
推论： 设Ai F（i 1，2， ），则有
n
n
P（ Ai） P（Ai）
i 1
i 1
（7）
6 概率的连续性
20
23
50 55
p 0.12 0.25 0.41 0.51 0.97 0.99
例3 从1-9这9个数字中有放回地抽取n个数字，求:这n个数字
的乘积能被10整除的概率.
例4 从一副扑克牌（52张）中任取10张，求下列事件的概率： A1 : 至少有一张A。 A2 : 至多有两张A
例5（配对问题）
在一个有n个人参加的晚会上，每个人带了一件礼物，假设每 个人带的礼物都不相同，晚会期间各人从放在一起的礼物中随 机地抽取一件，问 1）至少有一个人抽到自己的礼物的概率是多少？ 2）恰好有r 个人拿到自己礼物的概率是多少？
4 若A B, 则1o P( A B) P( A) P(B) (4) 2o P( A) P(B)
A AB B
A
B AB
A
B
5 对任意两个事件A，B 有：
P( A B) P( A) P(B) P( A B) (5)
特别当A与B互不相容时，P(A B) P(A) P(B) ——加法公式
所以 n=36 k=2
由古典概型概率计算公式：
P( A) 2 1 36 18
例2 n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求 ①甲、乙两人坐在一起的概率。 ②甲、乙、丙坐在一起的概率。
P(A) (n 2)! n 2! 2
n!
n 1
P(B) (n 3)! n 3!
6
n!
(n 1)(n 2)
例3 袋中有编号为1，2，3，4的4个球，现从袋中 不放回地取4次，每次取一个球，求没有一个球的号码 数与抽取顺序相同的概率。
二 概率的公理化定义
1） 定义在事件域F上的集合函数P称为概率，如果满足：
（P.1）非负性： P( A) 0
（P.2）规范性： P() 1
（P.3）可列可加性：若
Ai F , i 1,2, Ai Aj (i j) , 则 P( Ai ) P( Ai )
i 1
i 1
2） 概率是定义在事件域上非负 规范可列可加的集合函数
定义： 对于 F上集合函数P，若对于F中的任一单调
不减(增）的事件序列 { A均n}成立:
lim
n
P( An )
P( lim
n
An )
(8)
则称函数为下（上）连续的.
性质：若P是F上的非负、规范的集函数，则P具有可列可
加性的充要条件是 1) P是有限可加的；
2）P在F上是下连续的.
六、应用概率性质计算概率