大学物理上 磁高斯 环路定理.
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关于静电场的高斯定理和静电场的环路定理
关于静电场的高斯定理和静电场的环路定理静电场的高斯定理和静电场的环路定理是库仑定律的推论，所以称之为定理。
由于库仑定律是静电场的基本规律，适用于静电场，所以库仑定律的推论也适用于静电场。
电场有许多种：静电场（由静止电荷激发）、恒定电场（由运动然而空间分布不随时间改变的电荷体系激发的电场）、位电场（可以在其中建立电位函数的电场，位电场的电场强度等于电位的负梯度，分为恒定的与时变的，静电场和恒定电场就属于恒定的位电场）、涡旋电场。
静电场的高斯定理的文字表述是：静电场中，电场强度穿出闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包围的总电量除以真空电容率。
静电场的高斯定理的数学表述式是：in 0d i S qE S ε⋅=∑⎰ 。
英国著名物理学家麦克斯韦首先假设静电场的高斯定理的数学表示式in 0d i S q E S ε⋅=∑⎰ 适用于一切电场，也就是说，实际的电场强度（即总电场强度）穿出闭合曲面的通量等于闭合曲面内的总电量除以真空电容率。
这个假设后来被实验证实了。
正因为这个原因，数学表示式in 0d i S qE S ε⋅=∑⎰ 也叫做高斯定律。
由于德国数学家高斯根据库仑定律推出的这个静电场规律的数学表示式是普遍适用的，这让高斯在电磁学中享有很高的声誉。
in 0d i S q E S ε⋅=∑⎰ 有好几个称谓：高斯定理、高斯通量定理、电场的高斯定理、电场的高斯通量定理、高斯定律、高斯通量定律、电场的高斯定律、电场的高斯通量定律。
对于静电场，这个规律叫做静电场的高斯定理，或者静电场的高斯通量定理。
高斯在数学方面有一项重要成就，叫做高斯公式（也可以叫做高斯通量公式或者高斯散度公式）。
高斯公式的数学表示式是d d S Vf S f V ⋅=∇⋅⎰⎰ 。
其含义是：矢量场穿出闭合曲面的通量等于矢量场的散度在闭合曲面所包围的空间区域内的体积分。
高斯定理是电（磁）学规律，高斯公式是纯粹数学规律，两者截然不同。
但是把两者结合起来，就可以推出0E ρε∇⋅= 。
7.5-6.磁通量 磁场的高斯定理 安培环路定理
(1)
B dl 20 I
L1
(2)
(3) (4)
B dl 0 I B d l I 0
L3 L2
L2
I
2I
L1 L 3 L4
18
B dl 0 I
L4
B dl 0
L
④ 穿过 L 的电流： 对 B 和 LB dl 均有贡献 不穿过 L 的电流： 对 L 上各点 B 有贡献 对 LB dl 无贡献 B : 与空间所有电流有关
B
I
1
2
b
c
a
线密绕： B外 0 作矩形安培环路如图，规定
d
b c d a LB dl a B dl b B dl c B dl d B dl B cos ab 0 0 0 Bab 无限长直螺
I
l
l
r
与 I 成右螺旋
0 I 0 I B dl rd d 2π r 2π 0 I 2 l B dl 2 0 d 0 I
12
电流在回路之外
d
B1
I
B2 0 I 0 I B2 dl2 r2d d 2 r2 2π dl 2 dl1 B1 dl1 B2 dl2 0 r1 r2
1. 闭合 2. 互不相交 3. 与载流回路互相套联
4
二 磁通量 磁场的高斯定理
磁通量 通过磁场中某一给定面的磁感应线的总 条数叫做通过该面的磁通量。
S B
N B S
5
s
面积元范 围内B 视 为均匀
s
B
B dl 20 I
L1
(2)
(3) (4)
B dl 0 I B d l I 0
L3 L2
L2
I
2I
L1 L 3 L4
18
B dl 0 I
L4
B dl 0
L
④ 穿过 L 的电流： 对 B 和 LB dl 均有贡献 不穿过 L 的电流： 对 L 上各点 B 有贡献 对 LB dl 无贡献 B : 与空间所有电流有关
B
I
1
2
b
c
a
线密绕： B外 0 作矩形安培环路如图，规定
d
b c d a LB dl a B dl b B dl c B dl d B dl B cos ab 0 0 0 Bab 无限长直螺
I
l
l
r
与 I 成右螺旋
0 I 0 I B dl rd d 2π r 2π 0 I 2 l B dl 2 0 d 0 I
12
电流在回路之外
d
B1
I
B2 0 I 0 I B2 dl2 r2d d 2 r2 2π dl 2 dl1 B1 dl1 B2 dl2 0 r1 r2
1. 闭合 2. 互不相交 3. 与载流回路互相套联
4
二 磁通量 磁场的高斯定理
磁通量 通过磁场中某一给定面的磁感应线的总 条数叫做通过该面的磁通量。
S B
N B S
5
s
面积元范 围内B 视 为均匀
s
B
大学物理电磁学知识点总结
大学物理电磁学知识点总结篇一：大学物理电磁学知识点总结大学物理电磁学总结一、三大定律库仑定律：在真空中，两个静止的点电荷q1和q2之间的静电相互作用力与这两个点电荷所带电荷量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比，作用力的方向沿着两个点电荷的连线，同号电荷相斥，异号电荷相吸。
uuurqqurF21=k122errurur高斯定理：a)静电场：Φe=EdS=∫s∑qiiε0（真空中）b)稳恒磁场：Φm=uurrBdS=0∫s环路定理：a)静电场的环路定理：b)安培环路定理：二、对比总结电与磁∫LurrLEdl=0∫urrBdl=0∑Ii（真空中）L电磁学静电场稳恒磁场稳恒磁场电场强度：E磁感应强度：B定义：B=ururF定义：E=(N/C)q0基本计算方法：1、点电荷电场强度：E=urrurdF（dF=Idl×B）(T)Idlsinθ方向：沿该点处静止小磁针的N极指向。
基本计算方法：urqurer4πε0r21ruruIdl×er0r1、毕奥-萨伐尔定律：dB=24πr2、连续分布的电流元的磁场强度：2、电场强度叠加原理：urnur1E=∑Ei=4πε0i=1rqiuueri∑r2i=1inrururur0Idl×erB=∫dB=∫4πr23、安培环路定理（后面介绍）4、通过磁通量解得（后面介绍） 3、连续分布电荷的电场强度：urρdVurE=∫ev4πεr2r0urdSururλdlurE=∫er,E=∫es4πεr2l4πεr2r004、高斯定理（后面介绍）5、通过电势解得（后面介绍）几种常见的带电体的电场强度公式：几种常见的磁感应强度公式：1、无限长直载流导线外：B=2、圆电流圆心处：电流轴线上：B=ur1、点电荷：E=qurer4πε0r210I2R0I2πr2、均匀带电圆环轴线上一点：urE=B=3、圆rqxi22324πε0(R+x)R2IN2(x2+R2)3210α23、均匀带电无限大平面：E=2ε0（N为线圈匝数）4、无限大均匀载流平面：B=4、均匀带电球壳：E=0(r<R)（α是流过单位宽度的电流）urE=qurer(r>R)4πε0r25、无限长密绕直螺线管内部：B=0nI（n是单位长度上的线圈匝数）6、一段载流圆弧线在圆心处：B=（是弧度角，以弧度为单位）7、圆盘圆心处：B=rurqr(rR)20I4πR0ωR2（是圆盘电荷面密度，ω圆盘转动的角速度）6、无限长直导线：E=λ2πε0xλ0(r>R)2πε0r7、无限长直圆柱体：E=E=λr(r<R)4πε0R2电场强度通量：N·m2·c-1）（磁通量：wb）（sΦe=∫dΦe=∫EcosθdS=∫ssururEdS通量uurrΦm=∫dΦm=∫BdS=∫BcosθdSsss若为闭合曲面：Φe=∫sururEdS若为闭合曲面：uurrΦm=BdS=BcosθdS∫∫ss均匀电场通过闭合曲面的通量为零。
大学物理11.3 磁场中的高斯定理
11.3 磁场的高斯定理
一、磁场线(磁感应线 1. 规定 磁力线）
(1) 磁场线切线方向为磁感应强度 B 的方向 (2) 垂直 B 的单位面积上穿过的磁场线条数为磁感 应强度 B 的大小
B dN dS
2. 磁场线的特征 (1) 无头无尾的闭合曲线 (2) 磁场线不相交
二、磁通量 磁通量定义： 通过磁场中某一曲面的磁感应线的数目，用Фm表示。
环路上各点B 的大小相等 L
r
I
LB d l B Ld l
B 2r 0 I
圆柱体外
(r R )
I
B
I
圆柱体内
0I
2r
dl
dI '
dB
dB '
o
r
r
dI
P
(r R )
I R
2
I
r
2
B
0I
2R
2
r
B B dl Bdl
二、 安培环路定理的应用
例
解 求无限长圆柱体电流的磁场分布。 电流分布具有轴对称性，故磁场分布也是轴对 称的
R
P
r
L
L
B dl
LB d l B Ld l
I
B 2r 0 I
圆柱体外
(r R )
I
B
B
I
圆柱体内
0I
2r
(r R )
a
d
b
c
解
螺线管内部磁力线是一族平行于轴的直线 内部：
L
B dl
ab
B dl
d
一、磁场线(磁感应线 1. 规定 磁力线）
(1) 磁场线切线方向为磁感应强度 B 的方向 (2) 垂直 B 的单位面积上穿过的磁场线条数为磁感 应强度 B 的大小
B dN dS
2. 磁场线的特征 (1) 无头无尾的闭合曲线 (2) 磁场线不相交
二、磁通量 磁通量定义： 通过磁场中某一曲面的磁感应线的数目，用Фm表示。
环路上各点B 的大小相等 L
r
I
LB d l B Ld l
B 2r 0 I
圆柱体外
(r R )
I
B
I
圆柱体内
0I
2r
dl
dI '
dB
dB '
o
r
r
dI
P
(r R )
I R
2
I
r
2
B
0I
2R
2
r
B B dl Bdl
二、 安培环路定理的应用
例
解 求无限长圆柱体电流的磁场分布。 电流分布具有轴对称性，故磁场分布也是轴对 称的
R
P
r
L
L
B dl
LB d l B Ld l
I
B 2r 0 I
圆柱体外
(r R )
I
B
B
I
圆柱体内
0I
2r
(r R )
a
d
b
c
解
螺线管内部磁力线是一族平行于轴的直线 内部：
L
B dl
ab
B dl
d
7-5 磁通量 磁场的高斯定律7-6 安培环路定理
l
r R, B d l 0 I
l
例5、同轴电缆的内导体圆柱半径为 R1，外导体圆筒内外 半径分别为R2、 R3，电缆载有电流I，求磁场的分布。 解：同轴电缆的电流分布具有轴对称 R3 I
R1
R2
性在电缆各区域中磁力线是以电缆轴线为
对称轴的同心圆。 r < R1时, 取沿半径 r 的磁感应线为环路
一、安培环路定理
1、内容
在真空稳恒电流的磁场中，磁感应强 度B沿任何闭合回路L的线积分，等 于穿过这回路的所有电流强度代数和 的μ 0倍，数学表达式：
I n 1
L
I2
B dl o Ii
L i
I1
Ii
I nk
电流正负的规定––– 按右手螺旋法则。
2、证明
(1)在围绕单根载流导线的垂直平面内的圆形回路。
0 I 0 d l l B dl 2 π Rdl cos0 o R l 0 I l B dl 2π R l dl 设闭合回路 l 为圆形 B d l I 0 l 回路（ l 与 I成右螺旋）
0 I B 2π R
I
B
I
o
2 2
Bz
o R2 I
3
2
7-5 磁通量 磁场的高斯定理
一、磁感应线
1．磁感应线
•用来描述磁场分布的曲线。
•磁感应线上任一点切线的方向——B的方向。
•B的大小可用磁感应线的疏密程度表示。 磁感应线密度：在与磁感应线垂直的单位面积上的穿过 的磁感应线的数目。
dN B＝ dS
2、几种典型的磁感应线
B
R
若回路绕向化为顺时针时，则
dl
r R, B d l 0 I
l
例5、同轴电缆的内导体圆柱半径为 R1，外导体圆筒内外 半径分别为R2、 R3，电缆载有电流I，求磁场的分布。 解：同轴电缆的电流分布具有轴对称 R3 I
R1
R2
性在电缆各区域中磁力线是以电缆轴线为
对称轴的同心圆。 r < R1时, 取沿半径 r 的磁感应线为环路
一、安培环路定理
1、内容
在真空稳恒电流的磁场中，磁感应强 度B沿任何闭合回路L的线积分，等 于穿过这回路的所有电流强度代数和 的μ 0倍，数学表达式：
I n 1
L
I2
B dl o Ii
L i
I1
Ii
I nk
电流正负的规定––– 按右手螺旋法则。
2、证明
(1)在围绕单根载流导线的垂直平面内的圆形回路。
0 I 0 d l l B dl 2 π Rdl cos0 o R l 0 I l B dl 2π R l dl 设闭合回路 l 为圆形 B d l I 0 l 回路（ l 与 I成右螺旋）
0 I B 2π R
I
B
I
o
2 2
Bz
o R2 I
3
2
7-5 磁通量 磁场的高斯定理
一、磁感应线
1．磁感应线
•用来描述磁场分布的曲线。
•磁感应线上任一点切线的方向——B的方向。
•B的大小可用磁感应线的疏密程度表示。 磁感应线密度：在与磁感应线垂直的单位面积上的穿过 的磁感应线的数目。
dN B＝ dS
2、几种典型的磁感应线
B
R
若回路绕向化为顺时针时，则
dl
大学物理-8第八讲运动电荷的磁场磁场的高斯定理与安培环路定理-精品文档
§19-4
匀速运动点电荷的磁场
电流的磁场实质上就是大量运动电荷产生的磁场的 总和，故由电流的磁场可反推出运动电荷的磁场。
ˆ Id l r I d l d B d B 4 r2
设Idl截面积为S，运动电荷体密 度为n，每个粒子带电量为q，以 相同速率v运动，则电流强度:
dl + +
+ ++ +
7
如果回路L'与L绕行方向刚好相反，则
L L
B d l B d l I
0
I
L
R
对闭合回路为任意形状的情况 1.电流在回路之内 若环路L与I成右手螺旋关系
L
B
L
B d l B c o s d l
L
I
B N
d
r
L
P.12
I
d r
R
1m
2R
I I 0 0 d r l n 2 B d SB d S 2 2 2 R 2 r 2
2 R
I I 0 0 l n 2 1 2 4 2
6
二、安培环路定理
静 电 场 ： E d l 0 , E 是 保 守 场 。
2
平面线圈的磁矩矢量
P n m IS
大小： P m IS 方向：与线圈电流成右旋关系 ◎当有N 匝线圈时
n
s
I
IS P N I S n P m N m
I
n
Pm
3
例：依波尔模型，氢原子中电子以速率v = 2.2106m/s 在半径为r = 0.5310-8cm的圆周上运动，求电子在轨 道中心所产生的磁感应强度及磁矩。
匀速运动点电荷的磁场
电流的磁场实质上就是大量运动电荷产生的磁场的 总和，故由电流的磁场可反推出运动电荷的磁场。
ˆ Id l r I d l d B d B 4 r2
设Idl截面积为S，运动电荷体密 度为n，每个粒子带电量为q，以 相同速率v运动，则电流强度:
dl + +
+ ++ +
7
如果回路L'与L绕行方向刚好相反，则
L L
B d l B d l I
0
I
L
R
对闭合回路为任意形状的情况 1.电流在回路之内 若环路L与I成右手螺旋关系
L
B
L
B d l B c o s d l
L
I
B N
d
r
L
P.12
I
d r
R
1m
2R
I I 0 0 d r l n 2 B d SB d S 2 2 2 R 2 r 2
2 R
I I 0 0 l n 2 1 2 4 2
6
二、安培环路定理
静 电 场 ： E d l 0 , E 是 保 守 场 。
2
平面线圈的磁矩矢量
P n m IS
大小： P m IS 方向：与线圈电流成右旋关系 ◎当有N 匝线圈时
n
s
I
IS P N I S n P m N m
I
n
Pm
3
例：依波尔模型，氢原子中电子以速率v = 2.2106m/s 在半径为r = 0.5310-8cm的圆周上运动，求电子在轨 道中心所产生的磁感应强度及磁矩。
磁场的高斯定理和安培环路定律
0I
是否成立？？？
设任意回路L在垂直于导线的平面内，与电流
成右手螺旋。
l B dl Bdl cos
0I
2πr
dlc
os
d
B
I
dl
r
0I
2πr
rd
0I
2π
d
l
B dl
l
0I
dl cos rd
闭合回路不环绕电流时
B1
0I
2 π r1
B2
0I
2 π r2
B1
B2
d
I
dl1
r1
dl2
I
I
解：取垂直纸面向里为法
B
线方向，以导线1所在位
置为坐标原点，建立如图 所示的坐标轴。
x
l
取细长条面元，面元内为
均匀磁场
a aa
B
0I 2x
2
0I
3a
x
o
x
窄条形面元的元磁通为
dm B dS BdS Bldx I
通过矩形面积内的磁通量
m
dm
2a
Bldx
a1
2a
a
0I 2x
2
0I
o
B 0I
2π x
B // S
x
方向垂直于纸面向里
dΦ BdS 0I ldx I
2π x
B
Φ
S
B dS
0Il
2π
d2
d1
dx x
l
Φ 0Il ln d2
2π d1
d1 d2
o
x
例2 两平行的无限长直导线通有电流 I , 相距3a，
矩形线框宽为a，高为l与直导线共面，求通过线框的
4.2 磁场的高斯定理与环路定理(1) 大学物理
主讲：张国才
4.2 磁场的高斯定理与环路定理 基础物理学
10
B dl B (d l d l// )
L L
L L
如果闭合路径不在垂直于 导线的平面内：
I
dl
dl
dl//
L
B cos 90 dl B cos dl//
0 B cos dl//
设环上线圈的总匝数为N， 电流为I。
B //d l
L
B l B d l d
L
r2
r1 O
P
B2r
主讲：张国才
0 NI 0 NI r2 r1 r B 2r
B = m0 nI
L
I
15
B dl 0 I
r
I
B
Q
L
B d l B2 r
L
R
r
B
P
当 rR
B
B2r 0 I 0 I B 2 r
主讲：张国才
长圆柱形载流导线外的 磁场与长直载流导线激 发的磁场相同！
o
R
r
当 r R ，且电流均匀 分布在圆柱形导线表面层时 当 r R ，且电流均匀 分布在圆柱形导线截面上时
4.2 磁场的高斯定理与环路定理 基础物理学
1
一、磁场的高斯定理 1、磁感应线
为形象描述磁场分布情况,用一些假想的有方向 的闭合曲线--磁感应线代表磁场的强弱和方向。
I I
I
直电流
主讲：张国才 圆电流 螺线管电流
I
4.2 磁场的高斯定理与环路定理 基础物理学 磁感应线的性质 与电流套链 闭合曲线 互不相交 方向与电流成右手螺旋关系
4.2 磁场的高斯定理与环路定理 基础物理学
10
B dl B (d l d l// )
L L
L L
如果闭合路径不在垂直于 导线的平面内：
I
dl
dl
dl//
L
B cos 90 dl B cos dl//
0 B cos dl//
设环上线圈的总匝数为N， 电流为I。
B //d l
L
B l B d l d
L
r2
r1 O
P
B2r
主讲：张国才
0 NI 0 NI r2 r1 r B 2r
B = m0 nI
L
I
15
B dl 0 I
r
I
B
Q
L
B d l B2 r
L
R
r
B
P
当 rR
B
B2r 0 I 0 I B 2 r
主讲：张国才
长圆柱形载流导线外的 磁场与长直载流导线激 发的磁场相同！
o
R
r
当 r R ，且电流均匀 分布在圆柱形导线表面层时 当 r R ，且电流均匀 分布在圆柱形导线截面上时
4.2 磁场的高斯定理与环路定理 基础物理学
1
一、磁场的高斯定理 1、磁感应线
为形象描述磁场分布情况,用一些假想的有方向 的闭合曲线--磁感应线代表磁场的强弱和方向。
I I
I
直电流
主讲：张国才 圆电流 螺线管电流
I
4.2 磁场的高斯定理与环路定理 基础物理学 磁感应线的性质 与电流套链 闭合曲线 互不相交 方向与电流成右手螺旋关系
大学物理学：高斯定理和安培环路定律
B 2r 0 I
R3
R1 R2
I I
r
R1< r < R2 , 同理
B dl 0 I
B 2r 0 I
B 0I 2r
R3
R1 R2
I I
r
R2< r < R3 ,
B dl 0 I
R3
R1 R2
I I
r
R2< r < R3 ,
B dl 0 I
B 2r
0 I
I (r 2 ( R32
I l
电流为负
2、说明
•符号规定：电流方向与L的环绕方向服从右手关系的 I为正，否 则为负。 •安培环路定律对于任一形状的闭合回路均成立。 •B的环流与电流分布有关，但路径上B仍是闭合路径内外电流的 合贡献。 •物理意义：磁场是非保守场，不能引入势能。
二、安培环路定理的应用
1.分析磁场的对称性：根据电流的分布来分析； 2.过场点选取合适的闭合积分路径； 3.选好积分回路的取向，确定回路内电流的正负； 4.由安培环路定理求出B。
B dS 0
S
二、 高斯定律
1、内容
通过任意闭合曲面的磁通量必等于零。
B dS 0
S
2、解释
磁感应线是闭合的，因此 有多少条磁感应线进入闭 合曲面，就一定有多少条 磁感应线穿出该曲面。
B
S
B
4 安培环路定理
安培 (Ampere, 1775-1836)
法国物理学家，电动力学的创始人。1805年 担任法兰西学院的物理教授，1814年参加了 法国科学会，1818年担任巴黎大学总督学， 1827年被选为英国皇家学会会员。他还是柏 林科学院和斯德哥尔摩科学院院士。
安培在电磁学方面的贡献卓著，发现了一系 列的重要定律、定理，推动了电磁学的迅速 发展。1827年他首先推导出了电动力学的基 本公式，建立了电动力学的基本理论，成为 电动力学的创始人。
R3
R1 R2
I I
r
R1< r < R2 , 同理
B dl 0 I
B 2r 0 I
B 0I 2r
R3
R1 R2
I I
r
R2< r < R3 ,
B dl 0 I
R3
R1 R2
I I
r
R2< r < R3 ,
B dl 0 I
B 2r
0 I
I (r 2 ( R32
I l
电流为负
2、说明
•符号规定：电流方向与L的环绕方向服从右手关系的 I为正，否 则为负。 •安培环路定律对于任一形状的闭合回路均成立。 •B的环流与电流分布有关，但路径上B仍是闭合路径内外电流的 合贡献。 •物理意义：磁场是非保守场，不能引入势能。
二、安培环路定理的应用
1.分析磁场的对称性：根据电流的分布来分析； 2.过场点选取合适的闭合积分路径； 3.选好积分回路的取向，确定回路内电流的正负； 4.由安培环路定理求出B。
B dS 0
S
二、 高斯定律
1、内容
通过任意闭合曲面的磁通量必等于零。
B dS 0
S
2、解释
磁感应线是闭合的，因此 有多少条磁感应线进入闭 合曲面，就一定有多少条 磁感应线穿出该曲面。
B
S
B
4 安培环路定理
安培 (Ampere, 1775-1836)
法国物理学家，电动力学的创始人。1805年 担任法兰西学院的物理教授，1814年参加了 法国科学会，1818年担任巴黎大学总督学， 1827年被选为英国皇家学会会员。他还是柏 林科学院和斯德哥尔摩科学院院士。
安培在电磁学方面的贡献卓著，发现了一系 列的重要定律、定理，推动了电磁学的迅速 发展。1827年他首先推导出了电动力学的基 本公式，建立了电动力学的基本理论，成为 电动力学的创始人。
物理-环路定理
三、电势
1、定义
说明：
U E p
“0” E dr
q
A
（1）对有限带电体，通常 选 无限 远为电势零点
U A
E dl
A
但在工程技术中，取大地、仪器外壳等为电势零点；
（2）电场的电势分布确定后，电场力做功
W势
2、电势的计算 (1) 点电荷的电势
Q
dq
e
带电体
r
A
UdUA
? dq
4 0r
dq
U A Q 4πε0r
三、电势
例2 求一均匀带电细圆环，半径为R，带正电
荷量Q。求圆环轴线上任意点P 的电势。
dU p
z
r
O
R dl
三、电势
例3 求均匀带电薄圆盘轴线上任意点P 的电
势。设圆盘半径为R，盘上电荷面密度为 σ 。
dUp
dq 4πε0(r 2
即：静电场是无 旋场。 E 0
二、静电势能
(1) 电势能是电荷与静电场
B
所构成的系统共有的。
L1
(2) 某点电势能的大小与势
能零点的选取有关。
q
A
L2
E
但任意两点间的电势能差 与势能零点选取无关。
“0”
E pA A Fe dr
1E8pA11E年pB泊 松W把eA势B 能
(3) 库用 电仑于 学力静 的F电 解与e 学 析电， 理势发论能E展。p的了关静系：
q+
A
积分至无穷远
E
r
U(r) q
4πε0r
三、电势
(2) 点电荷系的电势
U A
推广：
i
qi 4 π ε0ri
磁场中的高斯定理及安培环路定理
0
l
l
μI
Ñl 2π0R dl
R
l
v B
r
μI 0
2πR＝μ
I
2πR
0
若l 绕行方向与图示方向相反，则
B 0I 2R
dl
v
Ñ B
v dl
Ñ Bdl
cos
π＝μ 0
(
I
)
Ñ l
l
赋予电流代数含义，则
v B
dlv＝μ
I
0
l
2. 无限长直电流通过垂直平面内的任一回路
r
Ñ B
r dl
Ñ B
cosθdl
若 R1、R2 R2 R1
n N N
2 R1 2 r
则
B
μ 0
nI
B 0 NI 2 r
I
R2
R1
例题3 ：
设在无限大导体薄板中有均匀电流沿平面流动， 在垂直于电流方向的单位长度上流过的电流为i （电流密度）。求此电流产生的磁场。
a
b
B
eeeeeeeeeeeee
d
c
讨论
关于安培环路定理的应用
BdS
0 I
adx
d x
2 x
通过矩形线圈的磁通量为:
dx
d
d b
0I adx
0Ia ln d b
d 2 x
2 d
15.4 安培环路定理
rv
一. 引言：稳恒磁场的环流 Ñl B dl ?
二. 定理推导
1. 无限长直电流通过圆形回路圆心且垂直于该回路
I
v
Ñ B
v dl
Ñ Bdl
cos
当电流分布以至于磁场分布具有高度对称性时， 可以应用安培环路定理计算磁感应强度的分布。
大学物理(上册)_运动电荷间的相互作用和稳恒磁场(3)
L
B dl B 2r 0 I内
r R:
B外
I
内
I
B内 P
B外
0 I 1 2r r
L
L
o
r
I
R
P
r R:
2 I Ir 2 I r 2 内 R2 R
B
0 Ir B内 r 2 2R
r
o
R
1 r
r
L
保守场Biblioteka 稳恒磁场 B dS 0
S
无源场
B dl ?
L
？
二.稳恒磁场的安培环路定理
1.导出： 可由毕 — 沙定律出发严格推证
采用： 以无限长直电流的磁场为例验证
推广到任意稳恒电流磁场（从特殊到一般）
1）选在垂直于长直载流导线的平面内，以导线与 平面交点o为圆心，半径为 r 的圆周路径 L，其指向 与电流成右旋关系。
与环路绕行方向成右旋关系的电流对环流的贡献为 正，反之为负。 如果规定 与L 绕向成右旋关系 I 0 与L 绕向成左旋关系 I 0
统一为：
L
B dl 0 I
2）选择在垂直于导线平面内围绕电流的任意闭合路径
L L
I
d
r
B
I
Ⅹ
dl
d
r
B
2
I
无源场
非保守场、无势场 （涡旋场）
三 .安培环路定理的应用 ——求解具有某些对称性的磁场分布
L
B dl 0
(穿 过L )
I
i
适用条件：稳恒电流的磁场 求解条件：电流分布（磁场分布）具有某些对称性， 以便可以找到恰当的安培环路 L ，使积分
13-3 磁场中的高斯定理和安培环路定理(南京信息工程大学 大学物理)
=
m0I 2p r
19
例2 无限长载流圆柱面的磁场
教练习：求同轴Bv的的两分筒布状。导线通有等值反向的电流I,
L1
r
IR
L2 r
m0I B
理 2π R 物o R r
(1) r > R2 , B = 0
R2
(2)
R1
<
r
<
R2 ,
B
=
m0I 2pr
I
R1
rI
学 ò 解
0<r <R,
Bv
×
d
v l
=
0
l
R
oR r
电场、磁场中典型结论的比较
长直线
长 直
内
圆
柱外
面
长 直
内
圆
电荷均匀分布
飞 E
=
l 2pe 0 r
徐 E = 0
电流均匀分布
B
=
m0I 2p r
B=0
byE
=
l 2pe 0 r
E
=
lr 2pe 0 R 2
B
=
m0I 2p r
B
=
m 0 Ir 2p R 2
17
案柱 外
体
E
=
l 2pe 0 r
B
dj
I1
多电流情况
I2
I3
byL
Bv = Bv1 + Bv2 + Bv3
飞 Ñò L Bv ×d lv = m0(I2 - I3 ) 徐以上结果对任意形状
的闭合电流（伸向无限远 的电流）均成立.
L
L 与 I 成右螺旋
Ñò L Bv × dlv = m0 I
川大大学物理课件74 磁场的高斯定理和安培环路定理
I4
第七章 恒定电流和恒定磁场
10
大学
§7.4 磁场的高斯定理和安培环路定理
物理学
B
2. 安培环路定理的举例(非证明)：
无限长直电流的磁场
B dl L
0
Ii
I
i
B :由毕-萨定律: B 0I 方向如图
2πr
L
d B
dl
L:在围 绕载 流导线的垂直平面内的圆回路 B dl Bdl cos Bdl Brd
0 r R,
l
B
d
l
0
r R, l B d l 0I
B0 B 0I
2π r
第七章 恒定电流和恒定磁场
16
大学
§7.4 磁场的高斯定理和安培环路定理
物理学
三、 密绕载流螺绕环内外的磁场
解 （1） 对称性分析：
在与环共轴的圆周上磁感应强度
的大小相等，方向沿圆周的切线
2
大学
§7.4 磁场的高斯定理和安培环路定理
物理学
磁感应线的特点
（1）磁感应线密集的地方磁场强，稀疏的地方磁场弱。
（2）磁感应线是一些无头无尾的闭合的曲线
（3）磁感应线的方向与电流的方向相互服从
右手螺旋定则
第七章 恒定电流和恒定磁场
3
大学
§7.4 磁场的高斯定理和安培环路定理
物理学
2 磁通量
S B
方向。磁感线是与环共轴的一系
列同心圆。
xd
R
B
第七章 恒定电流和恒定磁场
17
大学
§7.4 磁场的高斯定理和安培环路定理
物理学 （2）选回路: 半径为R的圆
大学物理电磁学部分14磁场的高斯定理和安培环路定理
dB' dB
dB''
L B d l B 2 lojl dl '
B o j 方向如图所示。
2
结果
p
l
dc
o dl''
ab
在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都为均 匀磁场，并且大小相等，但方向相反。
14
大学物理电磁学部分14磁场的高斯定理和安培环路定理
一、磁场的高斯定理
1.磁力线
为形象的描绘磁场分布的而引
BA
BB
入的一组有方向的空间曲线。 1.规定
AB
•方向：磁力线上某点的切线方向为该点磁场方向。
•大小：通过磁场中某点垂直于磁
感应强度的单位面积的磁力线根数 等于该点磁感应强度的大小。
dm
dS
B2r0NIB
0NI 2r
d1
ΦmSBdS
2 d2
Bhdr
r
dr r
d2
h
d1
0NIh
2
d1
2 d2
2
2
dr r
0N I 2
h
ln
d1 d2
10
例3：圆柱形载流导体半径为 R ，通有电流为 I ，电 流在导体横载面上均匀分布，求圆柱体内、外的磁感 应强度的分布。
解：导体内外的磁场是以中心轴线为对称分布的。 1.圆柱体内部 r < R 区域选取半径为 r 的环路， I 环路内电流代数和为：
(3)要求环路上各点 B大小相等，B的方向与环路方向
一致，
目的是将: LBdl0 I写成
或B的方向与环路方向垂直，
B
0 I
dl
B d l,co 0 s Bdl 0
§2.3环路定理§2.4高斯定理 磁矢势
安培在电磁学方面的贡献卓著，发现了一系 列的重要定律、定理，推动了电磁学的迅速 发展。1827年他首先推导出了电动力学的基 本公式，建立了电动力学的基本理论，成为 电动力学的创始人。
一、安培环路定理
1、内容 B
在真空中的稳恒电流磁场中，磁感应 强度沿任何闭合回路L的线积分，等 于穿过这回路的所有电流强度代数和 的μ0倍.
r
P
r
P
P
0 I rQ A(r ) A(r ) ln 2 rP rQ 0 I A(rP ) A(rQ ) ln 2 r
P Q
rQ rP 0 I rP 0 I ln ln 两式相加,得: A(rP ) A(rQ ) 2 rP rQ 2 rP
磁感应线密度：在与磁感应线垂直的单位面积上的穿过
的磁感应线的数目。
2、几种典型的磁感应线
I
B
B
S
N
3、磁感应线特性
•磁感应线是环绕电流的无头尾的闭合曲线，无起点无终点； •磁感应线不相交。
二、磁通量
1、磁通量定义： dm B dS B cosdS 单位:韦伯(Wb)
(2)管外 : 零.
c
∞
取回路efbae同理可证，无限长直螺线管外任一点的磁场为
B外 0
小 结
• 安培环路定理 • 安培环路定理 • 安培环路定理的应用
作业:2-17，2-19，2-22
§4. 磁场的高斯定理 磁矢势
一、磁感应线的特点
1．磁感应线：
•磁感应线上任一点切线的方向即为磁感应强度的方向。 •磁感应强度的大小可用磁感应线的疏密程度表示。
此判断环路上的B为零；
2.若环路上的B处处为零,只能说明环路内电 流代数和 为零；不能由此得出环路内无电流.
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一个以
v 运动的电荷的磁场
I dq dt =nqvS
•电流元
IdL nqvSdL
0 qv r0 B 2 4 r
11
练习：如图示，两正电荷q1和q2，相距为a, 求此时q1和q2 所在处的磁场。 解： q2处磁场由 q1产生
q1 v1 q v 0 1 1 大小 B a 2 v 2 4 a
L
L
19
二、定理意义讨论 B d 0 I
1. 安培环路定理揭示了磁场是涡漩场。 2. 公式中的B是环路上的总磁场，由闭合 回路内、外所有电流共同产生。 铰链 3. B的环流仅与闭合回路L内所包围的电流 的代数和有关，与环路形状、环路外的 电流均无关。 注意： 两个概念
复习 毕－萨定律及其应用
IdL sin 大小： 0 方向： IdL r 2
4 r
•磁场叠加
0 IdL r0 dB 2 4 r
B dB
L
P·
r
★各dB方向不一致时 一定要分解后再积
•重要结果:直线,圆环
r0
I
IdL
1
有限长载流导线的磁场 延长线上B＝0 p 0I •
s
B dS
dS1 1 B1
对封闭曲面S
dS2
2
B2
磁高斯定理 16 说明磁场是无源场
m B dS 0
规定外法向为正
例2 如图载流长直导线的电流为 I , 试求通过矩形面积S的磁通量φ. 分析:磁场B在S上非均匀 分割S→dS, dΦ 积分求Φ B 0 I B // S B 2π x 0 I x dx l I dΦ BdS ldx
⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ d B ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ θ ⊙ ⊙
o
y
θ
dB
μ 0dI dB = 2π R 等效电流 I I dI = d = dθ πR π x
各dB不同向，必须分解
俯视图
μ 0I dB x = dB sinθ = 2 sinθ dθ 2π R π μ I 0 B B x dB x = 方向＋ x 2 π R 0
E d 0,
L
B d ?
L
2.长直线的B沿任一环线环流
I B d 0
L
3.闭合环路不包围电流时环流 B d 0
L 综上推广： B d 0I
L
安培环路定理
18
一.安培环路定理
dBy dB cos
dB 0 y
4
例4 载流直螺线管的磁场 p.248 如图，真空中一载流密绕直螺线管, 长l , 半径R,总匝数N，通电流I. 求管内轴 线上一点处的磁感强度.
R
x ++ ++++ ++ +++ ++
o * p
dx
+
x
2 2
R 0 dI 0 IR B 解: 圆电流磁场 dB 2 2 3/ 2 （ 2 x R）
d m B dS
B
I
15
s
s
B
B
dS
en
B
B均匀 m B cos S B S
B非均匀
磁通量Φm－通过S面的磁感应线数
B
dm B cos dS B dS
分割S,取面元dS
s
B
S
曲面S m sd m s
2
dB
0
R 2 Indx
2 3/ 2
x Rcot
B
0 nI
2
2
1
R3csc2 d 0 nI 3 3 2 R csc d
2
1
sin d
6
讨 论
0 nI cos 2 cos 1 B 2
（1）P点位于管内轴线中点
cos 1 cos 2
d1 d2
o
x
0 Il Φ B dS S 2π 0 Il d 2
Φ 2π ln d1
2π x
dx d1 x
d2
17
s 分析: 1.长直线的B沿任一B线环流
§7-6 安培环路定理 q 电 场: E dS 0 S 磁场 : B dS 0,
L
L
I2
I3
I⊙
P ·
a
⊙I
注意：L回路上的磁感应强度B
是由I1, I2 ,I3,, I4共同产生的
23
三 安培环路定理的应用
L
－求对称性磁场 I B d 0
•根据I的分布 →分析B的对称性 B为常数， • 选合适的回路L →使L上 θ＝定值 (0,2 ) L好积
R
S
S内
S外
27
试求
L1
无限长载流圆柱面的磁场
I
L2
R
r r
0 I 2π R
B
B0 0 I r R, B d l 0 I B l 2π r 若有两个同轴无限长载流圆柱(体)面,磁场？ 28
2
10
例：试由毕萨定律推出运动电荷的磁场
q v
J
S
0 IdL r0 dB 2 4 r
•代入
vdt
• 电流元SdL中电量
dq= dN q = nSdLq
• 产生的电流
0 nSdLqv r0 dB 2 4 r
SdL中电荷数dN
L
I B d 0
I0
R
I
环流方向
I －回路L所包围的电流的代数和
I
环流方向
B d B d cos B d 0 I
L
电流正负的规定 I0 积分回路L的环绕方向 与I的流向成右旋关系, R I为正。否则I为负.
代入
0
0 nI cos 2 cos 1 B 2
1 0 nI 2
1 B 0 nI 2
0 nI
x
8
B O
例5
在半径为 R 的半球型木制 骨架上密绕 N R 匝线圈，线圈 o 内通有电流 I， 求：球心 o 点 处的磁感应强 度 B 。 分析：可视为
y
R y O ⊙
⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙⊙⊙
x
x
0I R B＝ i 2 2 32 2 (R x )
2
9
半径不同的圆电流轴线上磁场的叠加
解：建坐标
R d y O ⊙
2 0I R B＝ i 2 2 3 2 2 (R x )
I B d B cos L 0
L
B
24
例1 载流长直圆柱体内外的磁场
R
I
r L r R L
0 Ir B内＝ 2 2R
分析：I沿轴向均布→B轴对称 选任一磁力线为积分回路L 解： B d B2r
I 2 r I j S 2 R 2
方向 ⊙
q2
q1处磁场由 q2产生
v 2 ∥ r2
B0
12
例 半径为 R 的带电薄圆盘的电荷面密度为 为 ,并以角速度 绕通过盘心垂直于盘面 的轴转动 ，求圆盘中心的磁感强度. 解法一 圆电流的磁场 d I 0 0 R dB d r o 2r 2 r dq 2 π rdr dI rdr dr T 2 π/
L
B
总磁场 L B的环流 铰链－ I穿过以L为边界的任意曲面
20
B d
I1
I2
I3
试求图示回路l 的环流 B d l 0 ( I 2 I 3 )
l
l
1.式中 B B1 B2 B3
2.电流 I 正负的规定 ： 3. 电流I代数和的含义
L4
22
9 I B d L 0 0
L1
L1
I0 L4
( I I 2 I ) B d 0 1 2 3
2 如图所示：P为中点求
L
练习：1 试写出图示L回路的环流
I1
L 回路
I4
BP 0 I B d 0
0dI y dB ＝ 2 2 32 2 (y x ) ⊙ x x x R cos ⊙ ⊙ ⊙ dx dL ⊙ ⊙ y R sin ⊙ ⊙ dl Rd ⊙ ⊙ ⊙⊙⊙ 0 NI 2 NI dB ＝ sin d dI dL 等效电流 1 R R 2 NI NI 2 2 0 0 B dB ＝ ( i ) sin d ＝ I 0 R 4R
26
I
R
试求穿过图示面积的磁通量
I Ir 0 0 R B B内＝ 外 2 2 r h 2R o r dr 解： dm BdS Bhdr m BdS B内dS B外dS
2R I 0 Ir 0 h dr h dr 2 R 2r 0 2R 0I 0I h l n2 h 2 4
B 0 nI cos 2
cos 2
1 π 2
l/2