(完整)新北师大版_八年级数学上册_第四章一次函数知识点总结和典型例题分析(星辰出品),推荐文档
第4章一次函数 题型全解8 一次函数与几何综合题型-北师大版八年级数学上册
《一次函数》题型解读8 一次函数与几何综合题型
【题型与方法解读】
2.解题技巧：
（1）求关键点的坐标：
①用“x=0或y=0”分别求与坐标轴交点；
②用二元一次方程组求两线段的交点坐标；
③代入法求点的坐标；
④作x、y轴的垂线，求垂线段的长度求点的坐标；
（2）求关键线的解析式
①常用“等定系数法”求某条线段所在直线的解析式；
②也可以通过以下两个技巧设或求解析式：
若两直线平行，则它们的K值相同；若两直线垂直，则它们的K值为负倒数；
（3）已知或求面积问题：解题思路-----先明确面积方法：①公式法；②外补法（面积差）或内割法（面积和）（4）注意几何图形中隐藏的数学典型模型或典型图形
①“一线三垂直或二垂或一垂模型”；②“双垂直模型”；③“一线三等角模型”；
④“角平分线+平行线=等腰”模型；⑤“两圆一线”的解题方法；⑥“将军饮马问题”求线段和最小值；（5）常用的补充公式：
①中点坐标公式：若，，则AB的中点O的坐标为
②两点之间的距离公式：若，，则AB=
③求面积的三种方法：公式法；补割法；等底等高面积相等；
【典型例题】
例1.如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C为线段OB上一点，将沿着直线AC翻折，点B恰好落在x轴上的D处，则的面积为______．
解：直线，当时，，当时，，点A的坐标为，点B的坐标为，，，，将沿着直线AC翻折，点B恰好落在x轴上的D 处，，，设，则，，，，，解得，，即，，的面积为：，
例2.如图,直线
2
2+
=x
y与x轴、y轴分别交于A、B两点,点C是第二象限内一点,连接CB,若∠CBA=45°,则直线
(完整)北师大版八年级数学上册一次函数
数学专题复习：一次函数
【基础知识回顾】
一、 一次函数的定义:
一般的：如果y= （ ）即y 叫x 的一次函数
特别的：当b= 时，一次函数就变为y-kx(k ≠0)，这时y 叫x 的 【名师提醒：正比例函数是一次函数，反之不一定成立，只有当b=0时，它才是正比例函数】
二、一次函数的同象及性质：
1、一次函数y=kx+b 的图象是经过点（0，b ）（-b
k
，0）的一条
正比例函数y= kx 的图象是经过点 和 的一条直线
2、正比例函数y= kx(k ≠0)当k >0时，其图象过 、 象限，此时y 随x 的增大而 当k<0时，其图象过 、 象限，此时y 随x 的增大而
3、 一次函数y= kx+b ，图象及函数性质 ① k >0 b >0过 象限 k >0 b<0过 象限
② k<0 b >0过 象限
k<0 b >0过 象限
4、若直线l 1: y= k 1x+ b 1与l 2: y= k 2x+ b 2平行，则k 1 k 2，
若k 1≠k 2，则l 1与l 2
三、用系数法求一次函数解析式：
关键：确定一次函数y= kx+ b 中的字母 与 的值
步骤：1、设一次函数表达式 2、将x ，y 的对应值或点的坐标代入表达式
3、解关于系数的方程或方程组
4、将所求的系数代入等设函数表达式中
四、一次函数与一元一次方程，一元一次不等式和二元一次方程组
1、一次函数与一元一次方程：一般地将x= 或y 解一元一次方程求直
线与坐标轴的交点坐标，代入y= kx+ b 中
北师大版八年级数学上册 第四章 一次函数 知识点总结及练习
k>0，撇一三象限
Y
从左到右上升
Y
Y 随 x 的增大而增大
K<0，捺二四象限
X
X
从左到右下降
这条直线就是正比例函数 y=kx（k≠0）的图象．
6. 待定系数法确定一次函数解析式：根据已知的自变量与函数的对应值，或函数图像直线上的点坐 标。步骤： a、写出函数解析式的一般形式，其中包括未知的系数（需要确定这些系数，•因此叫做待定系数）． b、把自变量与函数的对应值（可能是以函数图象上点的坐标的形式给出）即 x、y 的值代入函数解析 式中，得到关于待定系数的方程或方程组．（有几个待定系数，就要有几个方程） c、解方程或方程组，求出待定系数的值，从而写出所求函数的解析式．
K<0，捺 b<0，与 y 轴交点在 x 轴下方 二三四象限 从左到右下降 Y 随 x 的增大而减小
5.画一次函数图像的最简单方法： （1）先选取两点，通常选出点（0，b）与点（- b ，0）； k （2）在坐标平面内描出点（0，0）与点（1，k）； （3）过点（0，b）与点（- b ，0）做一条直线． k
北师大版本八年级数学上一次函数知识点总结
数学：第四章_一次函数课件(北师大版八年级讲课用)
的正比例函数. （2）圆的面积y (厘米2 )与它的半径x ( 厘米) 之间的关系.
解：由圆的面积公式，得y= πx2, y不是x的正比 例函数，也不是x的一次函数.
（3）一棵树现在高5 0 厘米，每个月长高2 厘米， x 月后这棵树的高度为y 厘米. 解：由题意得y=50+2x,y是x的一次函数，但不
下课了!
结束寄语
时间是一个常数,但对勤奋者来说,是一个 “变数”. 你在学业上的收获与你平时的付出是成正 比的.
试一试
3
例2 某地区电话的月租费为25元,在此基础上, 可免费打50次市话(每次3分钟),超过50次后,每次 0.2元. (1)写出每月电话费y(元)与通话次数x(x＞50) 的函数关系式； (2)求出月通话150次的电话费； (3)如果某月通话费为53.6元,求该月通话的次 数.
某同学离家3000m，他骑自行车的速度是300m/min （1）完成下表：
x/min y/m
0 1 2 3 4 5
已走的路程 0
300
600
900
1200 1500
（2）你能写出y和x之间的关系式吗？ Y=300 x （3）你能写出剩下的路程z和x之间的关系式吗？
z=3000-300 x
做一做
2
应用拓展： 1.已知y=2x+2m-1是正比例函数,则m = 1 变式一： y=mx-2m+1是一次函数，则 2 m( ) 变式二：y=mx-2k+1是一次函数，则m， ≠0 k的值是什么？
北师大版八年级数学上册-第四章一次函数(同步+复习)精品讲义课件
一次函数
八年级（上）
第一单元：函数
一．常量与变量
1. 2. 定义：在一个 变化过程中，发生变化的量 为 变量，数值保持不变的量为常量。 理解：
① ② 常量与变量是相对的。抓住变与不变准确辨识。 变量用字母表示，常量根据具体问题可以是数， 可以是字母。关键是在所给的变化过程中变还是 不病。 过程-变量-常量-关系-范围-几个要素描述一个完 整的变化。 前提是必须有一个变化过程。
领先一步，步步领先！
【练习】已知：正方形 ABCD的边长为1，E 是CD的中点，P是正方形边上的一个动点， P点从A出发，沿A→B→C→D的方向运动， 若P点经过的路程为x ,△APE的面积为y， 1 写出y 与x的函数关系式，并求y= —时， x 3 的值。 A D
动点问题：分情况 讨论：P的三种情 况 如图所示—— P E
2.
函数值：
①
② ③
【例4】做一做
1. 求当x=-2时，函数 y=x2-√x2的函数值. 3x 2. 函数y= —— 中，求自变量 x的取值范围。 √x-2 3. 当x取（ 意义。 ）时，函数y= ————有
√x -2 4x
五． （补充）函数的图象
1. 定义：把一个函数的自变量的每一个值与对应的函数值分别 做为点的横坐标与纵坐标，在平面直角坐标系中描出所有对 应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 作法：列表（选值计算画表）；描点（对应值为点的坐标）； 连线（平滑的直线或曲线）。画出的是近似图象。 作用（学会看图象）：
北师大版八年级数学上册第四章一次函数专题一次函数的应用课件
2．已知一次函数y=kx-4,当x=2时，y= -3. （1）求一次函数的关系式. （2）将该函数的图象向上平行移动6个单位，求平行移 动后的图象与x轴交点的坐标.
【解析】（1）将x=2 , y=-3代入y=kx-4，
得-3=2k-4， 得k = 1 .
2
所以一次函数的关系式为
y 1 x 4.
(3)由题意得 S＝200.①当 0≤x≤145时，
－160x＋600＝200，解得 x＝52，y1＝60x＝150 (km)；②当145<x≤6，160x－600 ＝200，解得 x＝5，y1＝60x＝300 (km)；③当 6<x≤10 时，60x>200(舍)．答：A 加油站离甲地 150 km 或 300 km
1．某通讯公司推出①②两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费， 另一种无月租费，且两种收费方式的通讯时间x(分钟)与收费y(元)之间的函 数关系如图所示：
(1)有月租费的收费方式是_____①_(填“①”或“②”)，月租费是_____3_0元； (2)分别求出①②两种收费方式中y与x之间的函数关系式； (3)请你根据用户通讯时间的多少，给出经济实惠的选择建议． 解：(2)设y有＝k1x＋30，y无＝k2x，由题意得500k1＋30＝80，k1＝0.1； 500k2＝100，k2＝0.2.故所求的关系式为y有＝0.1x＋30；y无＝0.2x (3)由y有 ＝y无，得0.2x＝0.1x＋30，解得x＝300.当x＝300时，y有＝y无＝60.故由图可 知当通话时间在300分钟内，选择通讯收费方式②实惠；当通话时间超过 300分钟时，选择通讯收费方式①实惠；当通话时间在300分钟时，选择通 讯收费方式①，②一样实惠
北师大版八年级上册第四章一次函数辅导讲义
专题一：函数
知识点精讲：
1. 一般地，假如在一个变化过程中有两个变量x 和y ，而且对于变量x 的每一个值，变量y 都有的值与它对应，那么我们称y 是x的函数，此中x 是自变量。
典型例题：
【例1】以下四个图像中，不行能是函数图像的是( )
【习题1】以下各图象中，哪一个不行能是函数图象（）
A B C D
规律与小结：
1.函数中，x 的值有独一的y 值与它对应，也就是说能够多个x 对应同一个y 值，但不能够一个x 对应多个y 值。
2.函数必定是方程，但方程不必定是函数。
专题二：正比率函数与一次函数
知识点精讲：
1. 若两个变量x, y间的对应关系能够表示成（ k , b 为常数，k 0）的形式，则称 y 是x的一次函数。特别地，当 b0 时，称 y 是x的正比率函数。
典型例题：
【例 1】以下函数是一次函数的是（）
A．=-8x B．y= 8
．x2．8
C y=-8+2
+2 D
x x
【习题 1】设圆的面积为，半径为，那么以下说法正确的选项是（）
S R
A．S是R的一次函数B． S是 R的正比率函数
2
D．以上说法都不正确
C．S与R成正比率关系
【例 2】函数=m 1 +（-1 ）是一次函数，则值（）
y m x m m
A． m≠0B．m=2C． m=2或4D． m＞2
【习题 2】若函数y=（k-1） x+k2-1是正比率函数，则k 的值是（）
A． -1B． 1C．-1或1D．随意实数
【例 3】若某地打长途电话 3 分钟以内收费元， 3 分钟此后每增添 1 分钟（不到 1 分钟按 1 分钟计算）加收元，当
北师大版八年级上册数学[一次函数的应用(基础版)知识点整理及重点题型梳理]
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北师大版八年级上册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
一次函数的应用（基础）
【学习目标】
1. 能从实际问题的图象中获取所需信息；
2. 能够将实际问题转化为一次函数的问题并准确的列出一次函数的解析式；
3. 能利用一次函数的图象及其性质解决简单的实际问题；
4. 提高解决实际问题的能力．认识数学在现实生活中的意义，发展运用数学知识解决实际
问题的能力．
【要点梳理】
要点一、数学建模的一般思路
数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.
要点二、正确认识实际问题的应用
在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.
要点诠释：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.
要点三、选择最简方案问题
分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.
【典型例题】
类型一、简单的实际问题
1、如图，是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y（元）与销售量x（件）之间
的函数图象．下列说法：①售2件时甲、乙两家售价一样；②买1件时买乙家的合算；③买3件时买甲家的合算；④买乙家的1件售价约为3元，其中正确的说法是（）
第4章一次函数 题型全解7 一次函数应用题-北师大版八年级数学上册
《一次函数》题型解读7 一次函数应用题
【题型与方法梳理】
1.求解两个变量间的一次函数关系式，再代入法解题；
2.涉及最值的应用题，往往结合一元一次不等式及一次函数的增减性解题；
【典型例题】
例1.小明从深圳往广州邮寄一件包裹,邮资收费标准为每干克0.9元,并每件另加收手续费3.5元。
(1)求总邮资y (元)与包裹重量x (干克)之间的函数关系式；
(2)若小明的包裹重量为5千克,则小明应付的总邮资为多少?
(3)若小明所付总邮资为12.5元,则小明的包裹重量为多少?
解析：考查一次函数的应用，基础简单题。
（1）依等量关系式“总邮资=包裹重量×每千克邮资收费+手续费”，∴y=0.9x+3.5；
（2）当x=5时,y=8,即小明应付的总邮资为8元；
（3）当y=12.5时，x=10,即小明的包裹重量为10千克；
例2.某地区为了鼓励市民节约用水，计划实行生活用水按阶梯式水价计费，每月用水量不超过10吨（含10吨）时，每吨按基础价收费；每月用水量超过10吨时，超过的部分每吨按调节价收费。例如，第一个月用水16吨，需交水费17.8元，第二个月用水20吨，需交水费23元。
（1）求每吨水的基础价和调节价；
（2）设每月用水量为x 吨，应交水费y 元，写出y 与x 之间的函数关系式；
（3）若某月用水12吨，应交水费多少元？
解：（1）设每吨水的基础价为a 元，调节价为b 元， 根据题意得：⎩
⎨⎧=+=+2310108.17610b a b a ， 解得：3.1,1==b a ，
则每吨水的基础价和调节价分别为1元和1.3元；
北师大版八年级上册数学[一次函数的图象和性质--知识点整理及重点题型梳理](基础版)
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北师大版八年级上册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
一次函数的图象和性质—知识讲解（基础）
【学习目标】
1. 理解函数图象及一次函数的概念，理解一次函数y kx b =+的图象与正比例函数y kx =的图象之间的关系；
2. 能正确画出一次函数y kx b =+的图象．掌握一次函数的性质．利用函数的图象解决与一次函数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题．
3. 对分段函数有初步认识，能运用所学的函数知识解决实际问题．
【要点梳理】
要点一、函数图象及一次函数的定义
1.函数图象的概念
把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.
2.一次函数的定义
一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，k ≠0）的函数，叫做一次函数.
要点诠释：当b ＝0时，y kx b =+即y kx =，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数k ，b 的要求，一次函数也被称为线性函数.
3.画函数图象的一般步骤
总结归纳一下描点法画函数图象的一般步骤
第一步：列表．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格．
第二步：描点．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点．
第三步：连线．按照自变量由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来．
要点二、一次函数的图象与性质
1.函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图象是一条直线 ；
新北师大版八年级数学上册《一次函数与正比例函数》课件
解：(1)y＝105－10t (2)蚊香燃尽时，即y＝0.由(1)得105－ 10t＝0，即t＝10.5，所以该盘蚊香可使用10.5 h
16．(2014·哈尔滨)李大爷要围成一个长方形菜园，菜园的一边 利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长恰好为24米，要 围成的菜园是如图所示的长方形ABCD，设BC边的长为x米， AB边的长为y米．
第4章 一次函数 4．2 一次函数与正比例函数
一般地，如果两个变量x与y之间的函数关系可以表示为__— _y_＝_k__x_＋__b_(k_≠__0_) _的形式，那么称y是x的一次函数．特别地，当 ___b_＝__0___时，y叫做x的正比例函数．
知识点一：一次函数与正比例函数的概念 1．下列函数：①y＝2x2；②y＝3＋4x；③y＝12；④y＝ax(a≠0， a 为常数)；⑤xy＝3；⑥2x＋3y－1＝0.其中 y 是 x 的一次函数 的有__②__④__⑥____．(填正确序号) 2．对于函数 y＝(k－3)x＋k＋3，当 k＝__－__3__时，它是正 比例函数；当 k__≠_3_____时，它是一次函数． 3．如果 y＝(k＋4)x|k|－3＋2 是一次函数，那么 k 的值是__4__．
知识点二：根据实际问题列一次函数的关系式 6．在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升 7.5 元，总价从 0 元开始随着加油量的变化而变化，则总价 y(元)与 加油量 x(升)之间的函数关系式是___y_＝__7_.5_x_____． 7．一根弹簧原长是 12 cm，它能挂的质量不能超过 15 kg，并 且每挂 1 kg，就伸长12 cm，写出挂物后的弹簧长度 y(cm)与物体的 质量 x(kg)之间的函数关系式为___y_＝__1_2_＋__12_x_(0_≤__x_≤__1_5_)___．
北师大版八年级上册 一次函数 复习与巩固
b>0 在y轴的
正半轴
b=0 在原点 b<0 在y轴的
负半轴
一、二、四象限 y随x
二、四象限
增大 而
减小
二、三、四象限
11
3. 在平面直角坐标系中，若直线y=kx+b经过第一三四象限， 则直线y=bx+k不经过的象限是（C） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4. 对于函数y=-3x+1，下列结论正确的是（D） A. 它的图形必经过点（- 13，0） B. y的值随x的增大而增大 C. 它的图像经过第二、三、四象限 D. 当y=1时，x=0
解：(1)设 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝kx＋b.
将(0,3)，(2,7)代入 y＝kx＋b，
得
b2＝ k＋3， b＝7，解得
k＝2， b＝3.
∴y 与 x 之间的函数关系式为 y＝2x＋3．
(2)当 x＝4 时，y＝2x＋3＝2×4＋3＝11．
16
9．已知y与x＋3成正比例，并且x＝1时，y＝8，那么y与x之间的函数
12
5. 一次函数y=(m-2)x+3的图象如图所示，则m的取值范围是 ( A ) A. m<2 B. 0<m<2 C. m<0 D. m>2
6．已知一次函数y＝kx－m－2x的图象与y轴的负半轴相交，且函
八年级数学上册 第四章 一次函数 4.3 一次函数的图象(第2课时)课件 (新版)北师大版
.长度而得到
k相等， 直线平行
y
y=x+2
y=x
y=x-2
o2
x
平行移动几个单位 要看与y轴的交点
y
想一想
一次函数关系y=kx+b(k, b是
常数，k≠0)中，图象经过哪
个特殊点？k，b的正负对函 y=x+1
数图象有什么影响？
2 ·· o··1
y=2x-1
图象经过点（0，b）. 当k>0时，y的值随着x的增大而增大；
B.k 0, b 0
D. k 0,b 0
4.已知一次函数 y=(1-2m)x+m-1 , 求满足下列条件的m的值：
（1）函数值y随x的增大而增大.
（2）函数图象与y轴的负半轴相交.
（3）函数的图象过第二、三、四象限.
（4）函数的图象过原点.
检测反馈
1.B
2.B
3.D
4.解:(1)1 2m 0
Fra Baidu bibliotek
x y=x–3 y=－2x+1
–2 –1
0
1
2
–5 –4 –3 –2 –1
5
3
1
–1 –3
描点、 连线
y y=－2x＋1
5 4
一次函数的图象 是什么？
3 2
1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
2021秋北师大版八年级年级数学上册第四章一次函数课件：全章热门考点整合应用
y乙＝3.6x＋800，当y甲＝y乙时， 3.8x＋200＝3.6x＋800， 解得x＝3 000， 所以当x＝3 000时，到两家林场购买所需费用一样； 取特殊值检验可知， 当y甲<y乙时，x<3 000， 当y甲>y乙时，x>3 000，
返回
考点 5 一个方法——待定系数法
13．如图，一个正比例函数图象与一个一次函 数图象交于点A(3，4)，且一次函数的图象 与y轴相交于点B(0，－5)．求：
(1)这两个函数的表达式； (2)△AOB的面积．
解： (1)设正比例函数的表达式为y＝k1x，一次函数的表达 式为y＝k2x＋b. 把点A(3，4)的坐标代入y＝k1x， 得k1＝ ； 把点A(3，4)，B(0，－5)的坐标分别代入y＝k2x＋b， 解得k2＝3，b＝－5.
因为函数图象与y轴的交点位于原点上方， 所以4－k>0，得k<4. 所以k的取值范围为2<k<4. 所以满足条件的正整数k的值为3.
返回
考点 4 两个关系
1关0．系下1 列一函次数函中数，与哪正些比是例一函次数函的数关？系哪些是正比例函数？
①y＝－2x－1；②y＝ x；③y＝
；
④y＝－x2－1；⑤2x－y＝0；⑥y＝－2(x－1)． 解：一次函数：①②⑤⑥；
函数图象如图所示，请求出点A，B，C的坐标； (3)请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算
第4章一次函数 题型全解5 一次函数图像及行程问题结合题型-北师大版八年级数学上册
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。——高斯
《一次函数》题型解读5 一次函数图像及行程问题结合题型
【知识解读】
解题关键：数形结合，能结果题目条件理解清楚图形中：横轴、纵轴、各线段、各折点所代表的意义
解题方法：（1）从行程问题的角度思考解题，所涉及的公式有：
①单一物体的运动：路程=速度×时间；
②两人的相遇问题：路程和=速度和×相遇时间；
③两人的追及问题：路程差=速度差×追及时间；
④注：路程差为速度快的物体比速度慢的物体多走的路程，若是同时到达出发，则路程差指的是出发时两物体
相距的距离；如果在圆周上相遇或追及，每相遇一次，路程和即一个周长；每追上一次，路程差也是一个周长。
（2）从一次函数解析式及交点坐标的角度思考解题----求出图中重要线段的解析式及重要交点的坐标，结合这些
点的坐标的现实意义解题。
【典型例题解读】
例1.甲、乙两人从学校出发,沿相同的线路跑向体育馆,甲先跑一段路程后,乙开始出发,当乙超过甲150米时,乙停在此地等候甲,两人相遇后,乙和甲一起以甲原来的速度跑向体育馆,如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程y(米)与甲出发的时间x(秒)的函数图象,请根据题意解答下列问题:
(1)在跑步的全过程中,甲共跑了_____米,甲的速度为_______米秒；
(2)乙最早出发时跑步的速度为_______米秒,乙在途中等候甲的时间为_______秒；
(3)乙出发______秒后与甲第一次相遇.
解析：解决函数应用的题型，最关键是要理解和明确图形中横、纵轴表示的意义、图中线段、线段间的折点表示的意义或线段的解析式。此图中，横轴表示甲出发的时间、纵轴表示甲乙行走的路程，点A表示乙出发的时间，线段OD表示甲的距离与时间关系线、线段AB、BC、CD表示乙的路程与时间关系、线段BC表示乙等候甲、线段CD表示两人相遇后,乙和甲一起以甲原来的速度跑向体育馆, 点O出甲出发点，点A为乙出发点，时间为甲出发后的100秒、线段AB与OD的交点E表示乙追上甲， B点为乙领先甲150米开始等甲的点方、点C与他们第二次相遇的地方，时间为甲出发后的500秒、点D为终点体育馆，距离出发点900米，时间为甲出发后的600秒。如果此题我们能从图上理解出这些信息，题目不管怎么出题，都十拿九稳。
北师大版八年级上册数学第四章一次函数4.2一次函数与正比例函数(无答案)
4.2一次函数与正比例函数
一、一次函数的概念
1.一次函数：若两个变量x 、y 间的对应关系可以表示成)0,(≠+=k b k b kx y 为常数，的 形式，则称y 是x 的一次函数。
※注意：（1）x 、y 的次数为1；（2）k ≠0.
2.正比例函数：一次函数)0,(≠+=k b k b kx y 为常数，，当b=0时，变为kx y =，这时y 叫做x 的正比例函数。
※注意：（1）x 、y 的次数为1；（2）k ≠0；（3）b=0.
切记！！！
正比例函数是特殊的一次函数，正比例函数是一次函数，但是一次函数不一定是正比例函数。
二、根据条件列一次函数关系式
基本步骤：1、认真分析，理解题意；
2、同列方程解应用题的思路，找出等量关系；
3、写出一次函数的关系式；
4、注意自变量的取值范围。
★对应训练
知识点一、一次函数与正比例函数的定义
1、已知函数4)1(2+++=-n x m y m
。
（1）当m ，n 为何值时，此函数是一次函数？ （2）当m ，n 为何值时，此函数是正比例函数？
2、已知函数)1()1(2
-++=m x m y 。 （1）当m 取什么值时，y 是x 的正比例函数； （2）当m 取什么值时，y 是x 的一次函数。
知识点二、根据条件列一次函数关系式
3、某下岗职工购进一批苹果到农贸市场零售。已知卖出的苹果数量x （kg ）与收入y （元）的关系如下表：
数量x （kg ） 1 2 3 4 5 …… 收入y （元）
2+0.1
4+0.2
6+0.3
8+0.4
10+0.5
……
则收入y （元）与卖出数量x （kg ）之间的函数关系式是____________。
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新北师大版 八年级数学上册
第四章 一次函数
一、函数
1、函数的概念（重点）
一般的，如果在一个变化过程中有两个变量和，并且对于变量的每一个值，变量都有一个唯一的x y x y 值与它对应，那么我们就称是的函数，其中是自变量，是因变量。
y x x y 理解函数的关键四点：
（1）有两个变量；（2）一个变量变化，另一个随之变化；（3）对于自变量每一个确定的值，函数x 有且仅有一个值与之对应；（4）函数不是数，是过程中、的变量关系。
y x y 2、函数的三种表示方法（难点）
（1）列表法
（2）关系式法
（3）图像法
3、函数的值及自变量的取值范围（重点）
（1）对于自变量在取值范围内的一个确定的值，函数有唯一确定的对应值，称为自变量等于时的函a a 数值。
（2）使得函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围。
确定自变量取值范围两点：一是必须使含有自变量的代数式有意义，二是必须满足实际问题的意义。
二、一次函数与正比例函数
1、一次函数的概念（重点）
若两个变量、间的对应关系可以表示成（、为常数，）的形式，则成是的一x y y kx b =+k b 0k ≠y x 次函数。
2、正比例函数的概念（重点）
对于一次函数（），当时，变为，这是把叫做的正比例函数。
y kx b =+0k ≠0b =y kx =y x 3、根据条件列一次函数的关系式（难点）
认真分析，探究实际问题中的有关信息，再次基础上建立数学模型，从而解决问题。
步骤：
（1）认真分析，理解题意；
（2）找出等量关系；
（3）写出一次函数关系式；
（4）确定自变量的取值范围，实际问题实际分析。
三、一次函数的图像
1、函数的图像（重点）
把一个函数的自变量的值和与之对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出相应的点，所有这些点组成的图形就叫做函数的图象。
注：一次函数的图像是一条直线，所以只需描出两个点即可画出图象。
2、正比例函数的图像和性质（重点）
,(0)y kx k =≠（1）正比例函数的图像是经过、两点的直线。
,(0)y kx k =≠(0,0)(1,)k （2）当时，图象经过一三象限，且随的增大而增大；当时，图象经过二四象限，且随0k >y x 0k x 3、一次函数图象的特点及性质（重点） 一次函数的图像和性质： ,(0)y kx b k =+≠ 特点：一次函数的图像是一条直线，因此作函数图象时，只需要确定两个点，即可连接,(0)y kx b k =+≠两点做出函数图象，函数图象也成直线。 y kx b =+性质： （1）图象经过点。当时，随增大而增大，当时，随增大而减小。 (0,)b 0k >y x 0k 0b >0k <0b <（3）两条直线位置关系：当相等，不等时，两直线平行；当相等，相等时，两直线重合；当不k b k b k 等时，两直线相交；当不等，相等时，两直线相交于轴； k b y 四、一次函数的应用 1、确定正比例函数的表达式（重点） 正比例函数只有一个待定系数，只需要除原点之外的任意一点的坐标，即可求出值，进 y kx =k (0,0)k 而求出函数表达式。 注：一次函数的图像是一条直线，所以只需描出两个点即可画出图象。 2、用待定系数法确定一次函数的表达式（难点） 一次函数有两个待定系数和，所以只需求出二者的值，即可求出函数表达式。,(0)y kx b k =+≠k b 待定系数法：首先设函数；其次将两个已知点的坐标带人表达式，列出、的方程；最后求y kx b =+k b 解方程。 3、一次函数与一元一次方程的关系（重难点） （1）从“数”的方面看：一次函数函数值为某一数值时，自变量的值即为方程的解。 y kx b =+x （2）从“形”的方面看：函数与轴的交点的横坐标即为方程的解。 x 0kx b +=4、利用图象信息解决实际问题（重难点） 两方面分析图象： （1）根据函数图象可判断函数类型，注意特殊的点 （2）从轴、轴的实际意义去理解函数图象上的点的坐标的实际意义 x y 类型一：正比例函数与一次函数定义 1、当m 为何值时，函数是一次函数？28(3)(4)m y m x m -=++-举一反三： 【变式1】如果函数是正比例函数，那么（）.3(2)m y x m -=+-A ．m=4或m=2 B ．m=4 C ．m=1 D ．m=2 【变式2】已知y-3与x 成正比例，且x=2时，y=7.（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）当x=4时，求y 的值；（3）当y=4时，求x 的值． 类型二：待定系数法求函数解析式 2、求图象经过点（2，-1），且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式． 举一反三： 【变式1】已知弹簧的长度y （cm ）在一定的弹性限度内是所挂重物的质量x （kg ）的一次函数，现已测得不挂重物时，弹簧的长度为6cm ，挂4kg 的重物时，弹簧的长度是7.2cm ，求这个一次函数的表达式． 【变式2】已知直线y=2x+1． （1）求已知直线与y 轴交点M 的坐标；