2015年清华大学金秋营数学进阶试题及解答

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清华北大真题集

2015年清华大学领军计划测试（物理）

注意事项：

1.2016清华领军计划测试为机考，全卷共100分，考试时间与数学累积120分钟：

2.考题全部为不定项选择题，本试卷为回忆版本，故有些问题改编为填空题。

1、在α粒子散射实验中，以下1到5五个区域哪个可能是中心原子存

在的区域？

2、质量为m，电阻为R的圆环在如图的磁场中下落，稳定时速度为v。求匀速下落时电动势，有以下两种计算方案。

方法一：由受力平衡

BLv

有结论mgRv

方法二：由功能关系

mgv

有结论mgvR

问：关于以上哪种方法说法正确的是（）

A.都正确

B.都不正确

C.只有方案一正确

D.只有方案二正确

3、理想气体做kV

p=的准静态过程，已知定容比热V C和R，求该过程的比热C

4、如图所示，光滑且不计电阻的导轨上有一金属棒，金属棒电阻为R，初速度为s

=，空间中有恒定的垂直于导轨平面的磁场，磁感应强度为B，当金

属棒减速到

v时，用时

s1，速度识别器最低记录是s

001

，求

总共记录的该导体棒运动时间为多少？

5、高为H出平抛一物体，同时在其正下方水平地面斜抛一物体，二者同时落到同地，

则斜抛物体的射高为。

6、有一厚度为D的透明玻璃砖，一束白光以入射角60°角射入。

（1）求最早射出色光的折射率（玻璃折射率最小值为

n）

m in

（2）若白色只有红黄绿三种颜色（并给出折射率）问那种色光最先射出？7、小磁铁在铝制空心杆中运动（无裂缝、有裂缝、有交错的矩形裂孔），则先落地的一

个是哪一个？

8、均匀带电半圆环，一半带正电，一半带负电，电荷密度为λ，求P 点的场强和电势。

2015年清华大学夏令营试题解析

一质量为m 、长为L 的柔软绳自由悬垂，下端恰与一台秤的秤盘接触，如图1所示.某时刻放开柔软绳上端，求台秤的最大读数.

解析设t 时刻落到秤盘的绳长为x ，此时绳速为v =在(0)t t ∆∆→时间内，有质量为m x ρ∆=∆的绳落到盘秤上，其中ρ为绳的线密度.取向上为正方向，根据动量定理，有

0()F t m v x v ρ∆=--∆⋅=∆⋅（忽略微元段绳本身的重力冲量）.

解得

22x

F v

v gx t

ρρρ∆===∆. 故

3N F gx gx ρρ=+=.

所以台秤的最大读数为3mg ，出现在软绳将要全部掉到盘秤上时.

单位面积带电量为σ的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为R 的圆板，如图2所示.求圆孔轴线上任意一点Q （坐标为x ）的电场强度.

解析无限大平板挖去一个圆板所产生的场强E 可以等效为一个无限大平板产生的场强1E 减去一个半径为R 的圆板产生的场强2E .

根据高斯定理，有

2E σε=

. 由积分可求得带电圆板产生的场强为

20(12E σε=

. 所以合场强为

120001222E E E σσσεεε⎛⎫=-=

-= ⎝.

如图3所示，一对等量异号点电荷q +和q -的间距为l ，求两电荷延长线上一点1P 和中垂面上一点2P 的场强，1P 和2P 到两电荷连线中点O 的距离都是r .

解析 1P 点的场强为

12211()()22E kq l l r r ⎡⎤

⎢⎥

⎢⎥⎢-+⎥

⎣

⎦ 2P 点的场强为

2222

222

2cos 24

2015基础阶段联考测试题(数三)答案

2015春季集训入营测试题（数三）

本试卷满分150分，测试时间180分钟

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上. 1. 设函数()f x 有二阶连续导数，且

0()1

lim

01cos x f x x →-=-，01x →''=，则( ) ()A ()f x 在点0x =处取极大值 ()

B ()f x 在点0x =处取极小值

()C 点(0,(0))f 是曲线()y f x =

的拐点

()D 点0x =不是()f x 的极值点，点(0,(0))f 也不是()y f x =的拐点【答案】：B ．【分析】：由0()1

lim

01cos x f x x →-=-，0lim(1cos )0x x →-=，得0

lim(()1)0x f x →-=，而由()f x ''连续知()f x 连续，

所以0

lim ()(0)1x f x f →==.

于是2

200()(0)()11cos (0)lim lim 01cos x x f x f f x x x f x x x x

→→---'==⋅⋅=-，所以0x =是()f x 的驻点.

又由

1x →''=，0

1)0x →=，

得0

lim(()1)(0)10x f x f →''''-=-=，即(0)10f ''=>，

所以()f x 在点0x =处有(0)0f '=，(0)10f ''=>，故点0x =是()f x 的极小值.应选（B). 2．设函数(,)f x y 在全平面上都有(,)

2015年清华大学夏令营试题解析

一质量为m 、长为L 的柔软绳自由悬垂，下端恰与一台秤的秤盘接触，如图1所示.某时刻放开柔软绳上端，求台秤的最大读数.

0()F t m v x v ρ∆=--∆⋅=∆⋅（忽略微元段绳本身的重力冲量）.

解得

22x

F v

v gx t

ρρρ∆===∆. 故

3N F gx gx ρρ=+=.

所以台秤的最大读数为3mg ，出现在软绳将要全部掉到盘秤上时.

单位面积带电量为σ的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为R 的圆板，如图2所示.求圆孔轴线上任意一点Q （坐标为x ）的电场强度.

解析无限大平板挖去一个圆板所产生的场强E 可以等效为一个无限大平板产生的场强1E 减去一个半径为R 的圆板产生的场强2E .

根据高斯定理，有

2E σε=

. 由积分可求得带电圆板产生的场强为

20(12E σε=

. 所以合场强为

120001222E E E σσσεεε⎛⎫=-=

-= ⎝.

如图3所示，一对等量异号点电荷q +和q -的间距为l ，求两电荷延长线上一点1P 和中垂面上一点2P 的场强，1P 和2P 到两电荷连线中点O 的距离都是r .

解析 1P 点的场强为

12211()()22E kq l l r r ⎡⎤

⎢⎥

⎢⎥⎢-+⎥

⎣

⎦ 2P 点的场强为

2222

222

2cos 24

清华大学2015年自主招生数学试题及答案解析

绝密★启用前

清华大学2015年自主招生考试

数学试题

一、选择题

1.设复数z=cos 23π+isin 23

π,则2

111-1z z +-=（） (A)0 (B)1 (C)12 (D)32 2.设数列{}n a 为等差数列,p,q,k,l 为正整数,则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”的( )条件

(A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要

3.设A 、B 是抛物线y=2

x 上两点,O 是坐标原点,若OA ⊥OB,则( )

(A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥

(C)直线AB 过抛物线y=2

x 的焦点 (D)O 到直线AB 的距离小于等于1 4.设函数()f x 的定义域为(-1,1),且满足：①()f x >0,x ∈(-1,0)；②

()f x +()f y =()1x y f xy

++,x 、y ∈(-1,1),则()f x 为 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数

5.如图,已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点,则F(x)=f (x)−kx 有（）

(A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点

6.△ABC 的三边分别为a 、b 、c ．若c=2,∠C=3

π,且sinC+sin(B −A)−2sin2A=0,则有（）

(A)b=2a (B)△ABC 的周长为 (C)△ABC (D)△ABC 的外接圆半径为

7.设函数2()(3)x f x x e =-,则（）

清华北大真题答案

2015年清华大学领军计划测试物理答案

1 4

α粒子散射是一个有心力场的运动，与天体运动不同的是其受到的斥力的作用。由轨迹我们可知在距离中心原子最近的地方散射粒子的速度不为零，即其角动量不为零。由角动量守恒知中心粒子只能处于3，4，5三个区域中。又由对称性可知，中心粒子必处于4区域中。 2 A

当速度达到稳定时，必然存在受力平衡。同时功能平衡也是受力平衡的必然要求。因此两种方案都是正确的。

3 dT

C =

dW dU dQ += kVdV pdV dW ==

由理想气体状态方程RT pV = 取微分RdT kVdV =2 即2

C C v += 4

设导轨宽度为L ，t 时刻速度v ，则

BLv =ε，R

BLv

R I ==ε

金属棒受力大小为R

L B BIL F 22-=-=负号表示F 方向与v 方向相反由牛顿第二定

律，可得

dv m

ma F == 即R v L B dt dv m 22-=，m R

L B dt dv 22-=

积分⎰⎰-=1002200

1v v t mR

dt L B v dv ⎰

⎰-=10000220

2v v t mR

dt L B v dv （其中s t 11=，2t 即为要求的时间）即101101110

1220n n v nv m R t L B v

===-

10311000110001110

2220

n n n v nv m R t L B v

====-

所以s t t 3312== 5

平抛运动中H gt =221，斜抛中达到最大高度所用时间为2t ，故有h t g =⎪

2015年清华自主选拔数学试题及答案

29、从 1,2,3,4,5 中挑出三个不同数字组成五位数，其中有两个数字各用两次，例如 12231，
则能得到的不同的五位数有（
）
A．300 个
B．450 个
C．900 个
D．1800 个
30、设曲线 L 的方程为 y4 2x2 2 y2 x4 2x2 0 ，则（
）
A． L 是轴对称图形
C．
2
6
D．
3
x y 2,
13、设不等式组
y
2
k
x
1,
所表示的区域为
D
，其面积为
S
，则（
）
A．若 S 4 ，则 k 的值唯一 B．若 S 12 ，则 k 的值有 2 个 C．若 D 为三角形，则 0 k 2
3 D．若 D 为五边形，则 k 4
14、 ABC 的三边长是 2,3,4，其外心为 O ，则 OA AB OB BC OC CA （）
D． f x 1, x ,0
26、在直角坐标系中，已知 A1,0，B1,0 ．若对于 y 轴上的任意 n 个不同点 P1, P2 ,, Pn ，
总存在两个不同点
Pi , Pj
，使得
sin APi B sin APj B
1 3
，则 n 的最小值为（
）
A．3
B．4
C．5

2015清华大学数理体验营数学试题及解答

111AF F B λ=,222AF F C λ=

1）求椭圆L 的方程； 2）求λ1+λ2的值；

3）求△F 1AC 的面积S 的最大值．、已知数列{a n }满足：a n >0，a n +a n 12n i 对于

A=(a 1,a 2,⋯,a n )∈S n ,B=(b 1,b 2,⋯,b n )∈S n ,

定义A 与B 的差为

A −B=(|a 1−b 1|,|a 2−b 2|,⋯,|a n −b n |),

且A 与B 之间的距离为

(,)n

i i

d A B a b

=∑-

2015清华大学数理体验营数学试题解答

即可，解得

综上所述，若不等式f(x)>0对∀x∈[1,+∞)恒成立，则a的取值范围是(−∞,

（2）根据二项分布的计算方式，可得分布列为

4、（1）椭圆L 的方程为2

212

x y +=

（2）设A 点坐标为(x 1,y 1)，B 点坐标为(x 2,y 2)，C 点坐标为(x 3,y 3)．由

可得

由椭圆的焦准性质可知，112+2=

2x x λ+，将1

1=1x x λ+-

-代入上式，可得λ1=2x 1+3；同理，1232=

2x x λ--，将1

1x x λ-+代入上式，可得λ2=−2x 1+3．所以λ1+λ2=6．

（3）当直线AC 的方程为x=1时，△F 1AC 的面积S 取到最大值2．

5、（1）若∃k ∈N+，使得0

矛盾．所以a n >a n+1(n=1,2,⋯)．（2）显然0

所以a n >1/3．

由于数列{a n }单调递减有下界，所以n →∞时，数列{a n }的极限存在．设

2015年清华大学金秋营数学进阶试题及解答

2015年清华大学金秋营数学进阶试题

在清华大学金秋营比赛中，来自全国众多竞赛优秀学子获得了一等奖降至一本线、二等奖降60分、三等奖降40分的2016年自主招生降分优惠。下面为清华大学数学金秋营数学进阶试题。

本试卷共六题，其中第1，2，3，4题每题15分，第5，6题每题20分．

1、给定正整数n，设实数a1,a2,⋯,a n；x1,x2,⋯,x n；y1,y2,⋯,y n满足

a⩽a i⩽b, i=1,2,⋯,n,

且

证明：

2、设凸五边形A1A2A3A4A5的面积为S，三角形△A5A1A2，△A1A2A3，△A2A3A4，△A3A4A5，△A4A5A1的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，证明：S1+S2+S3+S4+S5>S．

3、给定正整数n．设实数x1,x2,⋯,x n满足

,∀i≠j,|xi−xj|⩾1,

证明：所有n3个表达式x i x j+x k（其中1⩽i,j,k⩽n）至少能取到n(n−1)/2个不同的值．

4、设a,b,n与n!/a!b! 都是正整数，证明

a+b<n+1+2log2n.

5、给定正整数n．称集合{1,2,⋯,n}的子集族D是“向下封闭”的，如果它满足如下条件：如果A是子集族D的成员，B是A的子集，则B也是D的成员．对于“向下封闭”的子集族（集合的一个子集族是指由若干个的子集所构成的集合），求表达式

所能取到的最大值．

6．设p>5是素数且p≡1(mod4)．对于整数a，如果存在整数x使得

x2≡a(mod p),

则称a是“模p二次剩余的”．证明：对每个整数a，存在整数b, c，使得a=b+c且b, c都不是“模p二次剩余的”．

2015年北京大学清华大学自主招生高中数学试题汇编之北京大学博雅计划数学试卷

2015年北京⼤学博雅计划数学试卷

⼀、选择题（共5⼩题；在每⼩题的四个选项中，只有⼀项符合题⺫要求，把正确选项的代号填在括号中，选对得10分，选错扣5分，不选得0分．）

1.已知n 为不超过2015的正整数且1n +2n +3n +4n 的个位数为0，则满⾜条件的正整数n 的个数为(

)A.1511

B.1512

C.1513

D.前三个答案都不对

解析B ．n 模4余1,2,3均可．

2.在内切圆半径为1的直⾓三⾓形ABC 中，∠C =90◦，∠B =30◦，内切圆与BC 切于D ，则A 到D 的距离AD 等于()A.√4+2√3

B.√3+3√3

C.√3+4√3

D.前三个答案都不对解析D ．

利用面积确定三边长，答案为√5+2√3．

3.正⽅形ABCD 内部⼀点P 满⾜AP :BP :CP =1:2:3，则∠AP B 等于()

A.120◦

B.135◦

C.150◦

D.前三个答案都不对解析

B.4.满⾜1x +1y =12015

，x ⩽y 的正整数对(x,y )的个数为()A.12 B.15 C.18

D.前三个答案都不对

解析 D.(x −2015)(y −2015)=20152=52·132·312，因此(x,y )共有14对．

5.已知a,b,c ∈Z ，且(a −b )(b −c )(c −a )=a +b +c ，则a +b +c 可能为(

)A.126

B.144

C.162

D.前三个答案都不对

解析 C.⼆、填空题（共5⼩题；请把每⼩题的正确答案填在横线上，每题10分．）

6.设α为复数，α表⽰α的共轭，已知|α−α|=2√3且αα2为纯虚数，则|α|的值为．解析2√3或√3．由题意， r sin Åkπ3+π6ã =√3，其中r 为|α|，k ∈Z ，因此r =2√3或r =√3，对应的α=3+√3i 或α=√3i ．

清华大学历届金秋营试题

两栖动物适应陆地生活的特点

鱼鳔的作用

群落

生态型的概念

各维生素的作用

海洋硬骨鱼肾小囊和肾小管的发达程度糖类与氨基酸间的转化关系

鸟氨酸循环

氨基酸间的转化关系

生酮氨基酸

增加尿液排酮的氨基酸

消化酶对氨基酸序列的相对选择性

谷氨酸等电点处形成螺旋结构

转录因子的作用

限制酶

PCR

圆二色谱仪的作用波长

固氮酶

疟原虫的生活周期及习性

神经干电位

细胞培养

丙酮酸脱羧14C标记

癌细胞的特征

真核基因载体基本组成

载体选择及宿主选择

基因分离定律

基因互作

基因频率

将外源基因导入受体细胞的途径

光反应

southern杂交

酶活力

酶促进反应公式及抑制剂

米氏常数（三道题，两英文一中文）

哪个不是生态型：A. 建群种 B. 优势种 C. 特有种 D. 亚优势种？

能增加尿液排酮的氨基酸是哪一种？

维持蛋白质三级结构的键是哪个？

如果一个人体蛋白在昆虫体内同源表达效果不好，需要截短，截断依据是什么？某同学pcr效果不好，跑出来的片段比预期的小，如何改进？

送外源基因入酵母方法有哪些？

圆二色性最常用波长是哪个范围？

后口、成对附肢、颌、背神经管哪个是最先在鱼类中出现的？

两栖动物适应陆地环境的特征是什么？

蛋白聚糖的糖可能是什么糖？

鳔和肺算不算同源器官？

两栖动物有没有荐椎？

英文题：

蛋白质primary structure取决于什么？

CNBr的作用是什么？

L-氨基酸组成的右手螺旋，换成D-氨基酸将是什么螺旋？

计算题：

最后的计算题，题目中会给出公式，中英文均有。

给出蛋白质a 螺旋的螺距和每圈aa数，问长度一定的 a 螺旋所需aa 数。

对米氏方程的全面考察，给出km 值后速度与底物浓度的互推。

2015-2017清华北大自主招生真题集含领军计划

2
可达到 x 轴上与 x1 相距尽可能远的 x2 x2 x1 位置，最后给出你所得的初始位置和初始速度以及方向。
2016 年清华大学领军计划测试物理学科
注意事项： 1.2016 清华领军计划测试为机考，全卷共 100 分，考试时间与数学累积 180 分钟； 2. 考题全部为不定项选择题，本试卷为回忆版本，故有些问题改编为填空题； 3.2016 清华领军计划测试，物理共 35 题，本回忆版本共 26 题，仅参考。
后，其电荷完全被Hale Waihona Puke Baidu属球吸引。求金属球电势的最大值。
6、如图，质量为 M 的足够长金属导轨 abcd 放在光滑的绝缘水平面上。一电阻不计，质量为 m 的导体棒 PQ 放置在导轨上，始终与导轨接触良好， PQbc 构成矩形。棒与导轨间动摩擦因数为，棒左侧有两个固定于水平面的立柱。导轨 bc 段长为 L ，开始时 PQ 左侧导轨的总电阻为 R ，右侧导轨单位长度的电阻为 R0 。以 ef 为界，其左侧匀强磁场方向竖直向上，右侧匀强磁场水平向左，磁感应强度大小均为 B 。在 t 0 时，一水平向左的拉力 F 垂直作用在导轨的 bc 边上，使导轨由静止开始做匀加速直线运动，加速度为 a。（1）求回路中感应电动势及感应电流随时间变化的表达式；（2）经过多长时间拉力 F 达到最大值，拉力 F 的最大值为多少？（3）某过程中回路产生的焦耳热为 Q ，导轨克服摩擦力做功为 W ，求导轨动能的增加量。

清华北大真题集

2015年清华大学领军计划测试（物理）

注意事项：

1.2016

清华领军计划测试为机考，全卷共100分，考试时间与数学累积120分钟：

2.考题全部为不定项选择题，本试卷为回忆版本，故有些问题改编为填空题。

1、在α粒子散射实验中，以下1到5五个区域哪个可能是中心原子存

在的区域？

2、质量为m ，电阻为R 的圆环在如图的磁场中下落，稳定时速度为v 。求匀速下落时电动势，有以下两种计算方案。方法一：由受力平衡

L B mg 22=

有结论 mgRv =ε 方法二：由功能关系 mgv P R = R

P R 2

ε=

有结论 mgvR =ε

问：关于以上哪种方法说法正确的是（）

A.都正确

B.都不正确

C.只有方案一正确

D.只有方案二正确

3、理想气体做kV p =的准静态过程，已知定容比热V C 和R ，求该过程的比热C

4、如图所示，光滑且不计电阻的导轨上有一金属棒，金属棒电阻为R ，初速度为s m v /10=，

空间中有恒定的垂直于导轨平面的磁场，磁感应强度为B ，当金

属棒减速到

v 时，用时s 1，速度识别器最低记录是s m /001.0，求总共记录的该导体棒运动时间为多少？

5、高为H出平抛一物体，同时在其正下方水平地面斜抛一物体，二者同时落到同地，则斜抛物体的射高为。

6、有一厚度为D的透明玻璃砖，一束白光以入射角60°角射入。

（1）求最早射出色光的折射率（玻璃折射率最小值为

m in

n）

（2）若白色只有红黄绿三种颜色（并给出折射率）问那种色光最先射出？7、小磁铁在铝制空心杆中运动（无裂缝、有裂缝、有交错的矩形裂孔），则先落地的一个是哪一个？

2015年清华大学自主招生数学试题

2015年清华大学自主招生试题

注所有选择题均为不定项选择题．

1、已知非负实数\(x,y,z\)满足\(4x^2+4y^2+z^2+2z=3\)，求\(5x+4y+3z\)的最大值．

2、已知\(x^2+y^2\leqslant 1\)，求\(\left|x^2+2xy-y^2\right|\)的最大值．

3、如图所示，已知函数\(f(x)\)与直线\(y=kx+m\)有两个切点，则\(g(x)=kx-f(x)\)有（）

A．\(3\)个极大值点

B．\(2\)个极小值点

C．\(2\)个极大值点

D．\(4\)个极小值点

4、已知\(x,y,z\in\mathcal Z\)，且\(xy+yz+zx=1\)，则

\(\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)\)的值可能是

（）

A．\(16900\)

B．\(17900\)

C．\(18900\)

D．以上都不对

5、一个以\(O\)为圆心的圆上的整数格点（横纵坐标都是整数）的点的个数可能是（）

A．\(4\)

B．\(6\)

C．\(8\)

D．\(12\)

6、已知\(2x+y=1\)，求\(x+\sqrt{x^2+y^2}\)的最值．

7、\(50\)个黑球和\(49\)个白球排成一排，则（）

A．必有一个黑球右侧白球的数量等于黑球的数量

B．必有一个白球右侧白球的数量等于黑球的数量

C．必有一个黑球右侧黑球的数量比白球的数量多\(1\)

D．必有一个白球右侧黑球的数量比白球的数量多\(1\)

8、已知\(P=\left\{(x,y)\left|x^2+y^2=r^2\right.\right\}\)，

清华大学考试题及答案数学

清华大学考试题及答案数学清华大学数学考试题及答案

一、选择题（每题3分，共30分）

1. 下列哪个选项是最小的正整数？

A. 0

B. 1

C. 2

D. -1

答案：B

2. 函数f(x) = x^2在x=2处的导数是：

A. 2

B. 4

C. 6

D. 8

答案：A

3. 不等式x^2 + 3x + 2 > 0的解集是：

A. (-∞, -2)

B. (-2, -1)

C. (-1, ∞)

D. (1, 2)

答案：C

4. 圆的方程为(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25，该圆的半径是：

A. 5

B. 10

D. 20

答案：A

5. 极限lim (x->0) [sin(x)/x]的值是：

A. 0

B. 1

C. ∞

D. 不存在

答案：B

6. 方程组

x + y = 5

2x - y = 1

的解是：

A. (1, 4)

B. (2, 3)

C. (3, 2)

D. (4, 1)

答案：C

7. 集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∪B是：

A. {1, 2, 3}

B. {1, 2, 3, 4}

C. {2, 3}

D. {1, 4}

答案：B

8. 已知数列1, 4, 7, 10, ...的第n项是3n-2，那么该数列的第5项是：

A. 10

C. 16

D. 19

答案：B

9. 如果一个平面图形的周长是固定的，要使其面积最大，该图形应该是：

A. 正方形

B. 长方形

C. 圆形

D. 三角形

答案：C

10. 微分方程dy/dx = x/y的通解是：

A. y^2 = x^2 + C

B. y^2 = 2x + C

C. x^2 = y^2 + C