第1讲 立体几何初步(答案版)
2020高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.1 构成空间几何体的基本元素练习(含解析)2
1．1．1 构成空间几何体的基本元素知识点一平面的概念1．下列有关平面的说法正确的是( ）A．平行四边形是一个平面B．任何一个平面图形都是一个平面C．平静的太平洋面就是一个平面D．圆和平行四边形都可以表示平面答案D解析我们用平行四边形表示平面，但不能说平行四边形就是一个平面,故A错误；平面图形和平面是两个概念，平面图形是有大小的，而平面无法度量，故B错误；太平洋面是有边界的，不是无限延展的，故C错误；在需要时，除用平行四边形表示平面外，还可用三角形、梯形、圆等来表示平面，故D正确．2．下列说法正确的是（)A．水平放置的平面是大小确定的平行四边形B．平面ABCD即平行四边形ABCD的四条边围起来的部分C．一条直线和一个平面一定会有公共点D．平面是光滑的，可向四周无限延展答案D解析平面可以用平行四边形来表示，但平行四边形只是平面的一部分，不能理解为平面,A错误；平面是一个抽象的概念,是无限延展的,没有大小、厚薄之分,B错误；直线和平面可以没有公共点，此时直线和平面平行,C错误．故选D．知识点二构成几何体的基本元素3．试指出下图中各几何体的基本元素．解（1）中几何体有6个顶点，12条棱和8个面;（2)中几何体有12个顶点，18条棱和8个面；（3)中几何体有6个顶点，10条棱和6个面；(4）中几何体没有顶点和棱，有3个面．知识点三空间中点、线、面的位置关系4．如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是线段C1D1，A1D1,BD1，BC的中点，给出下面四个说法：①MN∥平面APC;②B1Q∥平面ADD1A1；③A，P，M三点共线；④平面MNQ∥平面ABCD．其中正确的序号为（)A．①② B．①④ C．②③ D．③④答案A解析平面APC即为平面ACC1A1，很容易看出MN与平面ACC1A1无公共点，即MN∥平面ACC1A1；同理B1Q与平面ADD1A1也没有公共点,故B1Q∥平面ADD1A1；A1，P,M三点不共线;平面MNQ 与平面ABCD是相交的，故选A．5．把棱长为1 cm的正方体表面展开要剪开________条棱，展开成的平面图形周长为________ cm．答案7 14解析正方体共有12条棱，展开图中6个面相连，有5条棱相连,所以要剪开7条棱．由于正方体6个面对应的正方形的周长之和为4×6＝24（cm)，展开图中相连的棱有5条，所以展开成的平面图形周长为24－2×5＝14（cm）．对应学生用书P1一、选择题1．下列说法：①任何一个几何体都必须有点、棱和面；②一个几何体可以没有顶点；③一个几何体可以没有棱；④一个几何体可以没有面．其中正确的个数是( ）A．1 B．2 C．3 D．4答案B解析球只有一个曲面围成,故①错误,②③正确,由于几何体是空间图形,故一定有面，④错误．2．下列空间图形的画法中错误的是( )答案D解析被遮住的地方应该画成虚线（或不画）．3．一个正方体去掉一个“角”后减少了一个顶点，这个空间几何图形是（）答案C解析正方体共有8个顶点，去掉一个“角”后减少了一个顶点即有7个顶点．故选C．4．下图是一个正方体的展开图,将其折叠起来,变成正方体后的图形是（）答案B解析∵在这个正方体的展开图中与有圆的面相邻的三个面中都有一条直线，当变成正方体后,这三条直线应该互相平行,∴选B．5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，与棱A1A既不平行也不相交的棱有( )A．1条B．2条C．3条D．4条答案D解析与棱A1A平行的棱有3条，相交的有4条,故既不平行也不相交的有4条．二、填空题6．如图所示，长方体ABCD—A1B1C1D1中，下列说法正确的有________（填序号）．①长方体的顶点一共有8个;②线段AA1所在的直线是长方体的一条棱;③矩形ABCD所在的平面是长方体的一个面；④长方体由六个平面围成．答案①解析长方体一共有8个顶点,故①正确；长方体的一条棱为线段AA1，故②错误；矩形ABCD为长方体的一个面,故③错误；长方体由六个矩形（包括它的内部）围成，故④错误．7．一个平面将空间分成______部分，两个平面将空间分成________部分，三个平面将空间分成________部分．答案 2 3或4 4或6或7或8解析一个平面将空间分成2部分．两个平面平行时将空间分成3部分；相交时分成4部分．三个平面平行时，如图所示,将平面分成4部分；三个平面相交于同一条交线时,将空间分成6部分；当两个平面平行,第三个平面与它们相交时将空间分成6部分；当三个平面两两相交且有三条交线时,将空间分成7部分;当有两个平面相交，第三个平面截两个相交平面时，将空间分成8部分．8．下列说法正确的是________．(1）长方体是由六个平面围成的几何体；(2)长方体两底面之间的棱互相平行且等长；（3)长方体一个面上任一点到对面的距离相等；(4）点运动的轨迹是线，一条线运动的轨迹可以是面．答案(2）(3)（4）解析(1）错误．因为长方体是由六个矩形(包括它的内部）围成，注意“平面”与“矩形”的本质区别．(2）正确．（3）正确．（4)正确．三、解答题9．在下列图中添加辅助线，使它们产生立体感．解10．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4 cm,BC＝3 cm，BB1＝5 cm,有一只蚂蚁从A点出发沿表面爬行至C1点，它的最短行程是多少？解欲求最短行程,必须找出蚂蚁的各种爬行路线，每条路线均需经过长方体的两个面，共有六条路线．路线1:沿面AB1和面A1C1，如图(1);路线2：沿面AC和面DC1，如图(2);路线3:沿面AD1和面DC1，如图（3）；路线4:沿面AB1和面BC1，如图(4）;路线5：沿面AD1和面A1C1,如图(5）；路线6：沿面AC和面BC1，如图(6）．由长方体的性质知，路线1、路线2长度相等，为d1＝错误!＝错误!（cm）；路线3、路线4长度相等，为d2＝错误!＝错误!(cm）；路线5、路线6长度相等,为d3＝错误!＝错误!（cm)．经比较，沿路线3和路线4可得最短行程为错误!cm．。
高中数学必修2(人教B版)第一章立体几何初步1.1知识点总结含同步练习题及答案
D．棱柱
如图所示，是一个三棱台 ABC − A ′ B ′ C ′ ，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部 分都是一个三棱锥．
解：如图，过 A ′ ，B ，C 三点作一个平面，再过 A ′ ，B ，C ′ 作一个平面，就把三棱台 ABC − A ′ B ′ C ′ 分成三部分，形成的三个三棱锥分别是 A ′ − ABC，B ′ − A ′ BC ′ ， A ′ − BC C ′ ．
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轴截面为正三角形的圆锥叫做等边圆锥．已知某等边圆锥的轴截面面积为 √3 ，求该圆锥的底面 半径、高和母线长． 解：
如图所示，作出等边圆锥的轴截面 P AB，设圆锥的底面半径为 r ，高为 h ，母线长为 l ，则 在轴截面 P AB 中，有 OB = r，P O = h，P B = l，且∠P BO = 60∘ ．在 Rt△POB 中， h = √3 r ，l = 2r ，所以
2.空间几何体的结构特征
描述： 多面体 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻 两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点；连接不在同一个面上的两 个顶点的线段叫做多面体的对角线． 按多面体的面数可把多面体分为四面体、五面体、六面体⋯ ⋯．其中，四个面均为全等的正三 角形的四面体叫做正四面体． 旋转体 由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．这条定直 线叫做旋转体的轴． 棱柱的结构特征 一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的多面体叫做棱柱（prism）．棱柱中，两个互相平行的面叫做底面，简称底；其 余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧棱与底面的公共顶点叫做棱柱的 顶点． 底面是三角形、四边形、五边形⋯ ⋯的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱⋯ ⋯，可以用表 示底面各顶点的字母或一条对角线端点的字母表示棱柱，如下图的六棱柱可以表示为棱柱 ABCDEF − A ′ B ′ C ′ D ′ E ′ F ′ 或棱柱 A ′ D ．
第一讲 立体几何初步
第一讲立体几何初步一、学习要求：1.学会用运动、变化、联系的观点了解柱、锥、台的联系和区别.2.了解与正方体、球有关的简单组合体．3.能根据条件判断几何体的类型, 提高观察、分析、抽象、归纳等认知能力，体会分类、类比等思想方法．4.能识别长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱以及它们的简单组合的三视图所表示的空间几何体．5.理解三视图和直观图的联系，并能进行转化；理解斜二侧画法是一种特殊的平行投影画法．6. 会利用球、柱体、锥体、台体及简单组合体的三视图、直观图求球、柱体、锥体、台体及简单组合体的表面积和体积.7.掌握把多面体或圆台的侧面展成平面图形的方法，初步体会把空间图形化归为平面图形解决问题的思想．二、知识梳理1．简单几何体2．几种常用的多面体：(1)棱柱：一般地，有两个在面互相平行，其余各面都有是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫棱柱；棱柱中互相平行的面叫棱柱的______;简称底；其余各面叫做棱柱的______,相邻侧面的公共边叫做棱柱的_______,侧面与底面的公共点称为棱柱的______按底面多边形边数棱柱可分为，，，六棱柱等。
按侧棱与底成是否垂直可分为和。
斜棱柱：；直棱柱：；正棱柱：；底面是的四棱柱叫平行六面体；的平行六面体叫直平行六面体；底面是的直平行六面体叫长方体；底面是的长方体叫正四棱柱；的长方体叫正方体；(2)棱锥：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共点的三角形，由这些面围成的几何体叫做_______,这个多边形面叫做______；有公共顶点的各个三角形面叫_____;各侧面的公共顶点叫________;相邻侧面的公共边叫做_________。
正棱锥的两个本质特征：①；②。
正棱锥的性质：①，，。
②；。
(3)棱台可由的平面截棱锥得到，棱台上下底面的两个多边形，各侧棱延长线。
3、旋转体的结构特征 (请结合右图分析)(1)圆柱可以由矩形绕其_______旋转得到(2)圆锥可以由直角三角形绕其____(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由_______的平面截圆锥得到．(4)球可以由半圆或圆绕其______4、空间几何体的三视图三视图包括正视图、侧视图、俯视图。
2020高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.2.2 棱锥和棱台练习(含解析)2
第2课时棱锥和棱台对应学生用书P5知识点一棱锥概念的理解1①棱柱的侧面都是平行四边形;②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；③多面体至少有四个面．其中,假命题的个数是( ）A．0 B．1 C．2 D．3答案A解析显然命题①②均是真命题．对于命题③，显然一个图形要成为空间几何体，则它至少需有四个顶点，因为三个顶点只围成一个平面图形是三角形，当有四个顶点时，易知它可围成四个面，因而一个多面体至少应有四个面,而且这样的面必是三角形，故命题③是真命题．2．能保证棱锥是正棱锥的是（）A．底面为正多边形B．各侧棱都相等C．侧面与底面都是全等的正三角形D．各侧面都是等腰三角形答案C解析由正棱锥的定义逐一判断．知识点二棱台及其相关概念3①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台;②两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个B．1个C．2个D．3个答案A解析利用棱台的定义和特殊几何体加以说明．①中的平面不一定平行于底面，故①错误．②③可用反例图去检验，②③错误．知识点三棱锥中基本量的运算4．已知正三棱锥的底面周长为3,侧棱长为2，则该三棱锥的高为________．答案错误!解析由题意，可得侧棱长为2，底面边长为1，则底面正三角形外接圆的半径为r＝错误!，所以正三棱锥的高为h＝错误!＝错误!．知识点四棱台中基本量的运算5．正三棱台的上、下底面的边长分别为3，6，高为1，求这个棱台的侧棱长和斜高．解如图所示的正三棱台ABC－A1B1C1，设上、下两底面的中心分别是O1，O，连接O1O,则O1O为棱台的高,O1O＝1．连接A1O1，AO并延长分别与B1C1和BC相交于点D1，D，由平面几何的知识，得D1,D分别是B1C1和BC的中点，连接D1D，则D1D为棱台的斜高，∵B1C1＝3，BC＝6，∴A1O1＝3×错误!×错误!＝错误!,O1D1＝错误!，AO ＝6×错误!×错误!＝2错误!，OD＝错误!．在直角梯形AOO1A1中,A1A＝错误!＝2；在直角梯形DOO1D1中，D1D＝错误!＝错误!．故这个棱台的侧棱长为2，斜高为错误!．对应学生用书P5一、选择题1．观察如图所示的四个几何体,其中判断不正确的是( ）A．①是棱柱B．②不是棱锥C．③不是棱锥D．④是棱台答案B解析结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱,②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B错误．2．如图所示，在三棱台A′B′C′－ABC中，截去三棱锥A′－ABC，则剩余部分是( )A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．四棱柱答案B解析剩余部分是四棱锥A′－BB′C′C,故选B．3．在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有( ）A．1个B．2个C．3个D．4个答案D解析在长方体ABCD－A1B1C1D1中,取四棱锥A1－ABCD，则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形．4．下列命题中，真命题的个数是( )①棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③棱台的相对侧棱延长后交于一点．A．0 B．1 C．2 D．3答案C解析棱柱被平行于底面的平面分成的两部分都是棱柱,故①正确；在三棱锥P－ABC中，若有AB＝BC＝AC＝PA＝PB＝2，PC＝1，满足底面ABC是等边三角形，侧面都是等腰三角形，但它不是正三棱锥，故②错误；棱台可以“还原”成棱锥，即侧棱延长一定相交，故③正确．5．一个正四面体的各条棱长都是a，那么这个正四面体的高是( ）A．错误!a B．错误!a C．错误!a D．错误!答案B解析正四面体底面外接圆的半径为错误!a，故正四面体的高是h ＝错误!＝错误!a．二、填空题6．下列命题中正确的是________．(1)棱柱的底面一定是平行四边形;(2）棱锥的底面一定是三角形;(3）棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥；（4)棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱．答案（4)解析根据棱柱、棱锥的性质及截面性质判断．7．棱台的上、下底面面积分别为9 cm2，16 cm2，则它的中截面面积为________(注：中截面特指经过高的中点且平行于底面的几何体的截面）．答案错误!cm2解析设棱台上、下底面面积分别为S1，S2,中截面面积为S0．由上下底面、中截面的相似性及梯形中位线定理可知2错误!＝错误!＋错误!,从而S0＝错误!2＝错误!cm2．8．在侧棱长为2错误!的正三棱锥P－ABC中，∠APB＝40°，E，F分别是PB,PC上的点,过点A，E，F作截面AEF，则△AEF周长的最小值是________．答案6解析将正三棱锥的三个侧面展开．如图．则当E，F为AA1与PB，PC交点时，△AEF的周长最小,最小值为2AP·cos30°＝2×2错误!×错误!＝6．三、解答题9．如图，正六棱锥的底面周长为24,H是BC的中点,∠SHO＝60°．求：（1)棱锥的高；（2）斜高;(3）侧棱长．解∵正六棱锥的底面周长为24，∴正六棱锥的底面边长为4．在正六棱锥S－ABCDEF中，∵H是BC的中点，∴SH⊥BC．(1)在Rt△SOH中，OH＝错误!BC＝2错误!，∵∠SHO＝60°，∴高SO＝OH·tan60°＝6．（2)在Rt△SOH中，斜高SH＝2OH＝4错误!．（3)如图，连接OB，在Rt△SOB中，SO＝6,OB＝BC＝4，∴侧棱长SB＝SO2＋OB2＝2错误!．10．正三棱台A′B′C′－ABC上底面面积为4,下底面面积为64，上底面中心为O′，下底面中心为O，过O′O的三等分点分别作平行于底面的截面,求各截面面积．解将棱台A′B′C′－ABC还原为棱锥S－ABC,则有错误!＝错误!＝错误!2．∴错误!＝错误!，∴O′O＝错误!SO．设平面A1B1C1，平面A2B2C2将O′O三等分．则易得S△A1B1C1＝16，S△A2B2C2＝36．即各截面面积分别为16，36．。
名师辅导 立体几何 第1课 平面的概念与性质(含答案解析)
名师辅导立体几何第1课平面的概念与性质（含答案解析）●考试目标主词填空1.平面（1）平面是理想的、绝对的平且无限延展的.（2）平面是由它内部的所有点组成的点集，其中每个点都是它的元素.2.平面的基本性质（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.（2）公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.（3）公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.●题型示例点津归纳【例1】在空间内，可以确定一个平面的条件是 ( )A.两两相交的三条直线B.三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交C.三个点D.三条直线，它们两两相交，但不交于同一点E. 两条直线【解前点津】 A中的两两相交的三条直线，它们可能相交于同一点，也可能不交于同一点；若交于同一点，则三直线不一定在同一个平面内.∴应排除A.B中的另外两条直线可能共面，也可能不共面，当另外两条直线不共面时，三条直线是不能确定一个平面的.∴应排除B.对于C来说，三个点的位置可能不在同一直线上，也可能在同一直线上，只有前者才能确定一个平面，后者是不能的.∴应排除C.条件E中的两条直线可能共面，也可能不共面.∴应排除E.只有条件D中的三条直线，它们两两相交且不交于同一点，可确定一个平面.【规范解答】 D.【解后归纳】平面的基本性质（三个公理及公理3的三个推论）是研究空间图形性质的理论基础，必须认真理解，熟练地掌握本题主要利用公理3及其推论来解答的.【例2】把下列用文字语言叙述的语句，用集合符号表示，并画直观图表示.(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，点A、B都在直线l上；(2)平面α与平面β相交于直线l，直线a在平面α内且平行于直线l.【解前点津】注重数学语言(文字语言、符号语言、图形语言)间的相互转化训练，有利于提高分析问题、解决问题的能力.正确使用⊂、⊄、∈、∉、⋂等符号表示空间基本元素之间的位置关系是解决本题的关键.【规范解答】 (1)A ∈α,B ∉α,A ∈l ,B ∈l ,如图(1)；(2)α∩β=l ,a ⊂α,a ∥l ,如图(2).例2题解图【例3】 如图，已知：l 不属于α,A 、B 、C …∈l ,AA 1⊥α,BB 1⊥α,CC 1⊥α.求证：AA 1、BB 1、CC 1…共面.【解前点津】 证明n 条直线共面，首先，选择适当的条件，确定一个平面，然后分别证明直线都在此平面内.【规范解答】 证法一 ∵AA 1⊥α,CC 1⊥α,∴AA 1∥CC 1.∴AA 1与CC 1确定平面β,且β⊥α.∵AC ⊂β,即l ⊂β,而B ∈l,∴B ∈β,又知BB 1⊥α,∴BB 1⊂β.∴AA 1、BB 1、CC 1…共面.证法二 反证法由证法1得β⊥α于A 1C 1，假设BB 1不属于β,在β内作BB ′⊥A 1C 1(如图).∴BB ′⊥α,已知BB 1⊥α,与过一点引面的垂线，有且只有一条矛盾.∴BB 1不属于β是不可能的,∴BB 1⊂β,∴AA 1、BB 1、CC 1…共面.【解后归纳】 证明共面的一般方法有直接法和间接法两种.【例4】 设平行四边形ABCD 的各边和对角线所在的直线与平面α依次相交于A 1,B 1,C 1,D 1,E 1,F 1六点，求证:A 1,B 1,C 1,D 1,E 1,F 1六点在同一条直线上.【规范解答】 设平行四边形ABCD 所在平面为α,∵A ∈β,B ∈β,∴AB ⊂β,又A 1∈AB,∴A 1∈β,又A 1∈α∴A 1在平面α与平面β的交线上,设交线为l ,则A 1∈l ,同理可证B 1,C 1,D 1,E 1,F 1都在直线l 上,∴A 1,B 1,C 1,D 1,E 1,F 1六点在同一条直线上.【解后归纳】 证明点共线通常证明这些点都在两平面的交线 上,或先由某两点作一条直线再证明其他点也在这条直线上,选此题的意图，就是使学生掌握证点共线的一般方法.●对应训练 分阶提升一、基础夯实1.α、β是两个不重合的平面，在α上取4个点,在β上取3个点,则由这些点最多可以确定平面的个数为 ( ).32 C 例3题图例4题图2.下列说法正确的是 ( )A.如果两个平面α、β有一条公共直线a ，就说平面α、β相交，并记作α∩β＝aB.两平面α、β有一公共点A ，就说α、β相交于过A 的任意一条直线C.两平面α、β有一个公共点，就说α、β相交于A 点，并记作α∩β＝AD.两平面ABC 与DBC 交于线段BC3.下列命题正确的是 ( )A.一点和一条直线确定一个平面B.两条直线确定一个平面C.相交于同一点的三条直线一定在同一平面内D.两两相交的三条直线不一定在同一个平面内4.设α、β是不重合的两个平面，α∩β＝a ，下面四个命题：①如果点P ∈α，且P∈β，那么P ∈a ；②如果点A ∈α，点B ∈β，那么AB α；③如果点A ∈α，那么点B ∈β；④如果线段AB α，且AB β，那么AB a .其中正确命题的个数是 ( ).1 C5.空间四点A 、B 、C 、D 共面但不共线，那么这四点中 ( )A.必有三点共线B.必有三点不共线C.至少有三点共线D.不可能有三点共线6.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 ( ) A.221+ B. 222+ C.21+ D.22+ 7.已知△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，那么原三角形ABC 的面积为 ( )A.223aB. 243aC. 223a D.26a 8.两条相交直线l 、m 都在平面α内且都不在平面β内.命题甲：l 和m 中至少有一条与β相交，命题乙：平面α与β相交，则甲是乙的什么条件 ( )A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.不充分不必要二、思维激活9.如果一条直线上有一个点不在平面上，则这条直线与这个平面的公共点最多有 个.10.不重合的三个平面把空间分成n 个部分，则n 的可能值为 .11.四条线段首尾相连，它们最多确定平面的个数是 .12.与空间不共面四点距离相等的平面为 个.13.四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝BD ＝１，则成为空间四面体时，AC 的取值范围是 .三、能力提高14.如图，已知l 1∥l 2∥l 3，l ∩l 1＝Ａ,l ∩l 2＝Ｂ，l ∩l 3＝C .求证：l １、l 2、l 3、l 共面.第14题图15.四个点不共面，证明它们中任何三点都不在同一条直线上.它的逆命题正确吗 已知：A 、B 、C 、D 是不共面四点.求证：它们中任何三点都不共线.16.已知△ABC 的三个顶点都不在平面α上，它的三边AB 、AC 、BC 的延长线交平面α于P 、R 、Q 三点．求证：P 、R 、Q 三点共线．17.已知空间四边形ABCD ，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且32==CD CG CB CF .求证：直线EF 、GH 、AC 交于一点.18.已知直线a,b,c ,其中b,c 为异面直线,试就a 与b,c 的不同位置关系,讨论可以确定平面的情况.第1课 平面的概念与性质习题解答C 24C 13+C 23C 13+2=32. 排除法.有三个交点或只有一个交点.②③错在条件不充分.分有三点共线和只有两点共线两类.第17题图根据平面图形斜二测直观图的画法，所求平面图形为四边形，由“横不变”知，四边形为梯形，且上底边长为1．容易求得下底边长为1+2，由直观图的底角为45°知这个梯形为直角梯形．再由“竖取半”知，直腰长为2，∴S=2211++·2=2+2． 按斜二测画法还原.充分性根据公理2进行判断，必要性用反证法得到证明.公共点最多1个，否则直线在平面内，得知直线上所有的点在平面内.,6,7,8.个 可确定C 24-2=4个．个 这四点构成一个四面体，当平面平行于四个面中某一个面时有四个；当平面平行于三对异面直线时有三个.13.(0，3) AC>0，ABCD 为菱形时AC ＝3.14.由l 1∥l 2，知l 1与l 2确定一个平面α，同理l 2、l 3确定一个平面β，由A ∈l 1,l 1α，知A ∈α，同理B ∈α，又A 、B ∈l ，故l α，同理l β.由上知l ∩l 2＝Ｂ，且l 、l 2α,l 、l 2β，因两相交直线l 、l 2确定一个平面，故α与β重合，所以l 1、l 2、l 3、l 共面.15.证明：假设其中有三点共线，如A 、B 、C 在同一直线a 上，点D ∉a .∴点D 和a 可确定一平面α，∴A 、B 、C 、D ∈α.与A 、B 、C 、D 不共面矛盾.逆命题是：如果四点中任何三点都不共线，那么这四点不共面.逆命题不正确.16.如图，∵AP ∩AR =A ,∴AP 与AR 确定平面APR又P 、R ∈α，∴α∩平面APR =PR .又B ∈平面APR ，C ∈平面APR ，∴BC 平面APR ，即Q ∈平面APR ．又Q ∈α，∴Q ∈α∩平面APR =PR .∴P 、Q 、R 三点共线．点评：欲证三点共线，可以证明某点在经过其余两点的直线上即可．17.∵E 、H 分别是AB 、AD 的中点，∴EH ∥BD ，EH ＝21BD ， ∵F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且32==CD CG CB CF ， ∴EH ∥FG ，EH ≠FG ，∴四边形EFGH 为梯形，则EF 与GH 必相交，设交点为P .∵EF 平面ABC ，∴P ∈平面ABC .又P ∈平面DAC ，平面BAC ∩平面DAC ＝AC .故P ∈AC ，即EF 、GH 、AC 交于一点P .18.(1)若a 与b,c 都相交,a 与b ,a 与c 都能确定平面,故可确定两个平面.(2)若a 与b ,c 之一相交，不妨设a 与b 相交.①a ∥c ,a 与b ,a 与c 都可确定平面故可确定两个平面.②a 与c 不平行，只a 与b 确定平面，故可确定一个平面.(3)若a 与b ,c 都不相交. 第16题图解①若a与b,c之一平行,不妨设a与b平行，只a与b可确定平面,故确定一个平面.②若a与b,c都不平行，又因为都不相交，故不能确定平面.点评：此题应用启发、引导、归纳法讲解,这样才能达到使学生建立空间概念，加强严密的逻辑思维，并达到复习，巩固“分类讨论”的思想方法.本资料来源于《七彩教育网》。
2018-2019数学新学案同步必修二人教B版(鲁京辽)讲义：第一章 立体几何初步1.1.6 Word版含答案
1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积学习目标 1.理解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积的概念，了解它们的侧面展开图.2.掌握直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积公式，并会求它们的表面积.3.掌握球的表面积公式并会求球的表面积．知识点 直棱柱、正棱锥、正棱台和旋转体的表面积其中c ′，c 分别表示上、下底面周长，h 表示高，h ′表示斜高，R 表示球的半径．1．多面体的表面积等于各个面的面积之和．( √ )2．斜三棱柱的侧面积也可以用cl 来求解，其中l 为侧棱长，c 为底面周长．( × ) 3．球的表面积等于它的大圆面积的2倍．( × )类型一 柱、锥、台的侧(表)面积 命题角度1 多面体的侧(表)面积例1 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积．解 如图，设底面对角线AC ＝a ，BD ＝b ，交点为O ，对角线A 1C ＝15，B 1D ＝9，∴a 2＋52＝152，b 2＋52＝92， ∴a 2＝200，b 2＝56.∵该直四棱柱的底面是菱形，∴AB 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋⎝⎛⎭⎫BD 22＝a 2＋b 24＝200＋564＝64， ∴AB ＝8.∴直四棱柱的侧面积为4×8×5＝160. 反思与感悟 多面体表面积的求解方法(1)棱锥、棱台的表面积为其侧面积与底面积之和，底面积根据平面几何知识求解，求侧面积的关键是求斜高和底面周长．(2)斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等，往往可以构成直角三角形(或梯形)，利用好这些直角三角形(或梯形)是解题的关键．跟踪训练1 已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6，其侧面积等于两底面面积之和，则该正四棱台的高是( ) A ．2 B.52 C ．3 D.72答案 A解析 如图，E 、E 1分别是BC 、B 1C 1的中点，O 、O 1分别是下、上底面正方形的中心，则O 1O 为正四棱台的高，连接OE 、O 1E 1，作E 1H ∥O 1O ，由题意，得(3＋6)EE 12×4＝9＋36，∴EE 1＝52，在Rt △EHE 1中，E 1H 2＝EE 21－EH 2＝254－94＝4， ∴E 1H ＝2，∴O 1O ＝2，故选A. 命题角度2 圆柱与圆锥的侧(表)面积例2 (1)若圆锥的母线长为2 cm ，底面圆的周长为2π cm ，则圆锥的表面积为________ cm 2. 答案 3π解析 因为底面圆的周长为2π cm ，所以底面圆的半径为1 cm ，所以圆锥的底面积为π cm 2，圆锥的侧面积为12×2×2π＝2π(cm 2)，所以圆锥的表面积为3π cm 2.(2)已知圆柱与圆锥的高、底面半径分别相等．若圆柱的底面半径为r ，圆柱的侧面积为S ，则圆锥的侧面积为________． 答案4π2r 4＋S 22解析 设圆柱的高为h ，则2πrh ＝S ，∴h ＝S 2πr. 设圆锥的母线为l ，∴l ＝r 2＋h 2＝r 2＋S 24π2r2.∴圆锥的侧面积为πrl ＝πrr 2＋S 24π2r2＝4π2r 4＋S 22. 反思与感悟 由圆柱、圆锥的侧面积公式可知，要求其侧面积，必须已知(或能求出)它的底面圆的半径和它的母线长．跟踪训练2 轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( ) A ．4倍 B ．3倍 C.2倍 D ．2倍 答案 D解析 设圆锥底面半径为r ， 由题意知母线长l ＝2r ， 则S 侧＝πr ×2r ＝2πr 2， ∴S 侧S 底＝2πr 2πr2＝2. 类型二 简单组合体的表面积例3 牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如图所示(单位：m)，请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少篷布？(精确到0.01 m 2)解 上部分圆锥体的母线长为1.22＋2.52 m ，其侧面积为S 1＝π×52×1.22＋2.52(m 2)．下部分圆柱体的侧面积为S 2＝π×5×1.8(m 2)． ∴搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为 S ＝S 1＋S 2＝π×52×1.22＋2.52＋π×5×1.8≈50.05(m 2)．反思与感悟 (1)组合体的侧面积和表面积问题，首先要弄清楚它是由哪些简单几何体组成，然后再根据条件求各个简单组合体的基本量，注意方程思想的应用．(2)在实际问题中，常通过计算物体的表面积来研究如何合理地用料，如何节省原材料等，在求解时应结合实际，明确实际物体究竟是哪种几何体，哪些面计算在内，哪些面实际没有． 跟踪训练3 有两个相同的直三棱柱，高为2a ，底面三角形的边长分别为3a,4a,5a (a >0)．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，求a 的取值范围．解 两个相同的直棱柱拼成一个三棱柱或四棱柱，有四种情况：四棱柱有一种，边长为5a 的边重合在一起，表面积为24a 2＋28.三棱柱有三种，边长为4a 的边重合在一起，表面积为24a 2＋32；边长为3a 的边重合在一起，表面积为24a 2＋36；两个相同的直三棱柱竖直放在一起，表面积为12a 2＋48. 最小的是一个四棱柱，即24a 2＋28<12a 2＋48， 即a 2<53，又a >0，∴0<a <153.∴a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，153. 类型三 球的表面积例4 有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比． 解 设正方体的棱长为a .(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面正方形的中心，经过四个切点及球心作截面，如图①，所以有2r 1＝a ，r 1＝a 2，所以S 1＝4πr 21＝πa 2.(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图②，2r 2＝2a ，r 2＝22a ，所以S 2＝4πr 22＝2πa 2. (3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图③，所以有2r 3＝3a ，r 3＝32a ， 所以S 3＝4πr 23＝3πa 2.综上可得S 1∶S 2∶S 3＝1∶2∶3.反思与感悟 (1)在处理球和长方体的组合问题时，通常先作出过球心且过长方体对角面的截面图，然后通过已知条件求解．(2)球的表面积的考查常以外接球的形式出现，可利用几何体的结构特征构造熟悉的正方体，长方体等，通过彼此关系建立关于球的半径的等式求解．跟踪训练4 已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为________． 答案 92π解析 如图，设球O 的半径为R ，则由AH ∶HB ＝1∶2，得HA ＝13·2R ＝23R ，∴OH ＝R 3.∵截面面积为π＝π·(HM )2， ∴HM ＝1.在Rt △HMO 中，OM 2＝OH 2＋HM 2， ∴R 2＝19R 2＋HM 2＝19R 2＋1，∴R ＝324.∴S 球＝4πR 2＝4π·⎝⎛⎭⎫3242＝92π.1．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是( ) A.1＋2π2π B.1＋4π4π C.1＋2ππ D.1＋4π2π考点 柱体、锥体、台体的表面积 题点 柱体的表面积 答案 A解析 设圆柱底面半径、母线长分别为r ，l ，由题意知l ＝2πr ，S 侧＝l 2＝4π2r 2. S 表＝S 侧＋2πr 2＝4π2r 2＋2πr 2＝2πr 2(2π＋1)， S 表S 侧＝2πr 2(2π＋1)4π2r 2＝1＋2π2π. 2．若正三棱锥的斜高是高的233倍，则该正三棱锥的侧面积是底面积的________倍． 答案 2解析 ∵h ′h ＝233，OMh ′＝h ′2－h 2h ′＝1－h 2h ′2 1－34＝12.设底面边长为a ，正三棱锥的侧面积为3·12h ′a ，正三棱锥的底面积为3·12·OM ·a ，则正三棱锥的侧面积与底面积的比为h ′∶OM ＝2， 故该正三棱锥的侧面积是底面积的2倍．3．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，则该圆柱的表面积为________． 答案 6π解析 设圆柱的底面半径为r ，高为h . 由2πr ＝2π，得r ＝1，∴S 圆柱表＝2πr 2＋2πrh ＝2π＋4π＝6π.4．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________． 答案 2解析 设圆锥的母线为l ，圆锥底面半径为r . 则12πl 2＋πr 2＝3π，πl ＝2πr ， ∴r ＝1，即圆锥的底面直径为2.1．多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和．棱柱的表面积等于它的侧面积加两个底面积；棱锥的表面积等于它的侧面积加底面积；棱台的表面积等于它的侧面积加两个底的面积．2．有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．一、选择题1．圆柱的一个底面积是S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( ) A ．4πS B ．2πS C ．πS D.233πS答案 A解析 底面半径是Sπ，所以正方形的边长是2πSπ＝2πS ，故圆柱的侧面积是(2πS )2＝4πS .2．正三棱锥的底面边长为a ，高为66a ，则此棱锥的侧面积等于( ) A.34a 2 B.32a 2 C.334a 2 D.332a 2答案 A 解析 侧棱长为⎝⎛⎭⎫66a 2＋⎝⎛⎭⎫33a 2＝22a ， 斜高为⎝⎛⎭⎫22a 2－⎝⎛⎭⎫a 22＝a 2， ∴S 侧＝12×3×a ×a 2＝34a 2.3．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两球的半径之差为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 C解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4πR 2－4πr 2＝48π，2πR ＋2πr ＝12π，即⎩⎪⎨⎪⎧R 2－r 2＝12，R ＋r ＝6，∴R －r ＝2，故选C. 4．正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) A ．1∶ 3 B ．1∶3 C ．1∶3 3 D ．1∶9 答案 C解析 设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为12，外接球的直径为正方体的体对角线， ∴外接球的半径为32， ∴其体积比为43π×⎝⎛⎭⎫123∶43π×⎝⎛⎭⎫323＝1∶3 3. 5．正六棱台的上，下两底面的边长分别是1 cm,2 cm ，高是1 cm ，则它的侧面积为( ) A.972 cm 2B.872 cm 2C ．97 cm 2D ．87 cm 2答案 A解析 正六棱台的侧面是6个全等的等腰梯形，上底长为1 cm ，下底长为2 cm ，高为正六棱台的斜高．又边长为1 cm 的正六边形的中心到各边的距离是32cm ，边长为2 cm 的正六边形的中心到各边的距离是 3 cm ，则梯形的高为 12＋⎝⎛⎭⎫3－322＝72(cm)，所以正六棱台的侧面积为6×12×(1＋2)×72＝972(cm 2)．6．一个直角三角形的直角边分别为3与4，以其直角边为旋转轴，旋转而成的圆锥的侧面积为( ) A ．15π B ．20π C ．12π D ．15π或20π答案 D解析 以直角三角形的直角边为旋转轴，旋转而成的圆锥，有以下两种情况： 根据圆锥的侧面积计算公式S 侧面积＝πr ×l 母线长．①以直角边3为旋转轴时，旋转而成的圆锥的侧面积S ＝4π×5＝20π； ②以直角边4为旋转轴时，旋转而成的圆锥的侧面积S ＝3π×5＝15π. 故选D.7．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( ) A ．160 B ．80 C ．40 D ．240 答案 A解析 设底面边长是a ，底面的两条对角线分别为l 1，l 2，所以l 21＝152－52，l 22＝92－52. 又l 21＋l 22＝4a 2，即152－52＋92－52＝4a 2，所以a ＝8， 所以S 侧面积＝ch ＝4×8×5＝160.8．若一个圆台的轴截面如图所示，则其侧面积等于( )A ．35π B.5π C ．32π D.2π 答案 A解析 ∵圆台的母线长为(2－1)2＋22＝5，∴S 圆台侧＝π(1＋2)·5＝35π. 二、填空题9．若一个圆锥的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的底面面积与侧面积的比是________． 答案 1∶2解析 设该圆锥体的底面半径为r ，母线长为l ，根据题意得2πr ＝πl ，所以l ＝2r ， 所以这个圆锥的底面面积与侧面积的比是 πr 2∶12πl 2＝r 2∶12(2r )2＝1∶2.10．如图(1)所示，已知正方体面对角线长为a ，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图(2)所示的几何体，那么此几何体的表面积为________．答案 (2＋2)a 2解析 由已知可得正方体的边长为22a ，新几何体的表面积为S 表＝2×22a ×a ＋4×⎝⎛⎭⎫22a 2＝(2＋2)a 2.11.有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，则该塔形几何体的表面积为________．答案 36解析 易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，2，1，∴S 表＝2×22＋4×[22＋(2)2＋12]＝36.∴该几何体的表面积为36.12．如图所示，在棱长为4的正方体上底面中心位置打一个直径为2、深为4的圆柱形孔，则打孔后的几何体的表面积为________．答案 96＋6π解析 由题意知，所打圆柱形孔穿透正方体，因此打孔后所得几何体的表面积等于正方体的表面积，再加上一个圆柱的侧面积，同时减去两个圆的面积，即S ＝6×42＋4×2π－2π×12＝96＋6π.三、解答题13．已知一个表面积为120 cm 2的正方体的四个顶点在半球的球面上，四个顶点在半球的底面上，求半球的表面积．解 如图所示为过正方体对角面的截面图．设正方体的棱长为a ，半球的半径为R ，由6a 2＝120，得a 2＝20，在Rt △AOB 中，AB ＝a ，OB ＝22a ， 由勾股定理，得R 2＝a 2＋⎝⎛⎭⎫2a 22＝3a 22＝30.所以半球的表面积为S ＝2πR 2＋πR 2＝3πR 2＝3×30π＝90π(cm 2)．四、探究与拓展14．已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为________．答案 7解析 设圆台较小底面的半径为r ，则另一底面的半径为3r .由S 侧＝3π(r ＋3r )＝84π，解得r ＝7.15.如图，一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个半径为x 的内接圆柱．(1)试用x 表示圆柱的高；(2)当x 为何值时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积是多少？解 (1)设所求的圆柱的底面半径为x ，它的轴截面如图，BO ＝1，PO ＝3，圆柱的高为h ，由图，得x 1＝3－h 3，即h ＝3－3x (0＜x ＜1)． (2)∵S 圆柱侧＝2πhx ＝2π(3－3x )x ＝6π(x －x 2)，当x ＝12时，圆柱的侧面积取得最大值为32π. ∴当圆柱的底面半径为12时，它的侧面积最大为32π.。
第1讲 立体几何初步(文科答案版)
当前形势立体几何在近五年北京卷（文）考查19－24分高考要求内容要求层次具体要求A B C柱、锥、台、球及其简单组合体√认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．三视图，斜二测法画简单空间图形的直观图√能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型；通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图．北京高考解读2009年2010年（新课标）2011年（新课标）2012年（新课标）2013年（新课标）第4题5分第16题14分第5题5分第16题14分第5题5分第17题14分第7题5分第16题14分第8题5分第10题5分第17题14分新课标剖析满分晋级第1讲立体几何初步立体几何5级空间向量与立体几何立体几何6级立体几何初步立体几何7级立体几何之平行问题<体积的求法，本板块进行简单的回顾．1．下列说法正确的是（ ）A ．有一个面是多边形，其余各面是三角形的多面体是棱锥B ．有两个面互相平行，其余各面均为梯形的多面体是棱台C ．有两个面互相平行，其余各面均为平行四边形的多面体是棱柱D ．棱柱的两个底面互相平行，侧面均为平行四边形 【解析】 D2．将一个长方体沿从同一个顶点出发的三条棱截去一个棱锥，棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为（ ）A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．1:5暑期知识回顾空间几何体的基本元素：点、线、面．平面：无限延展、平滑且无厚度的面，通常用一个平行四边形表示．用αβγ ，，命名，或用大写字母表示：如平面ABCD 或平面AC ． 多面体：由若干个平面多边形所围成的几何体，其中这些多边形称为多面体的面，相邻两个面的公共边叫棱，棱的公共点叫顶点，连结不在同一个面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线．截面：一个几何体与一个平面相交所得到的平面图形（包括平面图形的内部）． 棱柱的定义，相关概念、性质、分类、记法及特殊的四棱柱； S ch =直棱柱侧面积，Sh V =直棱柱，其中c 为直棱柱的底面周长，S 为底面积，h 为高； 棱锥的定义、相关概念、特征、记法和分类，以及正棱锥的性质；1122S nah ch ''==正棱锥侧，13V Sh =锥体，a 为底面边长，c 为底面周长，h '为斜高； 棱台的定义、相关概念、记法、以及正棱台的性质；（h 为高，h '为斜高） 11()()22S n a a h c c h =''''+=+正棱台侧，1()3V h S S '=台体．（S S '，为底面面积） 旋转体的基本概念：轴、高、底面、侧面、侧面的母线； 圆柱的定义，记法和性质，2πV r h =圆柱；r 为底面半径，h 为高； 圆锥的定义，记法和性质，21π3V r h =圆锥；r 为底面半径，h 为高； 圆台的定义，记法和性质，221π()3V h r rr r =''++圆台．r r '，为底面半径，h 为高；【解析】 D3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．3 【解析】 A 4．两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三部分，则圆锥被分成的三部分的体积的比是（ ） A ．1:2:3 B ．1:7:19 C ．3:4:5 D ．1:8:27 【解析】 B5．一个底面棱长为2的正四棱锥，连接两个相邻侧面的重心E 、F ，则线段EF 的长为_______．【解析】6．等体积的球和正方体，它们的表面积的大小关系是S 球___S 正方体．【解析】 <7．一个长方体的全面积是220cm ，所有棱长的和是24cm ，则长方体的对角线长为______． 【解析】 4．8．在半径为6的球的内部有一点，该点到球心的距离为4，过该点作球的截面，则截面面积的最小值是（ ）A ．11πB ．20πC ．27πD ．32π 【解析】 B考点1：多面体和旋转体的表面积及体积11.1空间几何体的表面积及体积知识点睛<教师备案>多面体的表面都可以都可以展开成平面图形，求多面体的表面积可转化为求平面图形的面积．多面体的体积的推导是用“祖暅原理”，充分体现了空间与平面相互转化的思想．本版块重点是表面积和体积公式的应用．三棱锥又称为四面体，它的每一个面都可当作底面来处理，此方法叫做等积法，求体积的时候要注意灵活选择底面．212R 表示球的半径．<教师备案>圆柱、圆锥和圆台的表面也可以展开成平面图形，重点仍然是表面积和体积公式的应用．提高班学案1【铺1】⑴已知六棱锥P ABCDEF-的底面是边长为2的正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心，且3PA=，则该四棱锥的表面积为_____________，体积为_________．⑵正棱锥的高增为原来的n倍，底面边长缩为原来的1n，那么体积（）A．缩为原来的1nB．增为原来的n倍C．没有变化D．以上结论都不对【解析】⑴⑵A；【例1】⑴）A B C D．23⑵如图，点E、F分别在单位正方体1111ABCD A B C D-的1AA、1B C上，则三棱锥1D EDF-的体积为________．⑶已知三个球的半径1R、2R、3R满足12323R R R+=，则它们的表面积1S、2S、3S满足的等量关系是__________经典精讲FED1C1B1A1D CBA⑷已知平行四边形两邻边的长a 和b ，当它分别绕边a ，b 旋转一周时，所形成的几何体的体积之比为（ ）A ．b aB ．a bC ．3b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．3a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭【追问】三角形三条边长分别为a b c ，，，当它分别饶三边旋转一周时，所形成的几何体的体积之比为（ ）A ．::a b cB ．222::a b cC ．333::a b cD ．111::a b c【解析】 ⑴ B ；⑵ 16；⑶⑷ A【追问】D ．考点2：几何体的表面积体积综合<教师备案>求几何体的表面积和体积，很多时候只需要知道简单的公式就行了，属于中、低档题，因此在高考中比较常见．提高班学案2【铺1】如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ，则Rr= ．【解析】；【例2】 ⑴圆柱形容器内部盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图①所示），则球的半径是 cm ．⑵如图②所示，一个正三棱柱形容器，高为2a ，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图③所示，这时水面恰好过棱1111AC BC AC B C ，，，的中点，则图②中水面的高度是_________．经典精讲C1B1A1CBABACB1C1A1图①图②图③【解析】⑴4；⑵32a；尖子班学案1【拓2】有一个圆锥形容器正放，它的高为h，圆锥内水面的高度为1h，113h h=，将圆锥倒置，求倒置的水面高度2h．【解析】2h=．目标班学案1【拓3】如图1所示，在直三棱柱形的筒里装着水，这个直三棱柱的展开图如图2所示：现在，如图1所示，将直三棱柱的A面作为底面，放在水平的桌面上，水面高度是2cm；若将直三棱柱的B面作为底面，放在水平的桌面上，则水面高为厘米．【解析】32；【备选】如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有V升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图2）．有下列四个命题：A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点PD．若往容器内再注入V升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是： （写出所有真命题的代号）．PP图2图1【解析】 B 、D ；1．简单组合体：由柱体、锥体、台体和球体等简单几何体组合而成的几何体．2．简单组合体构成的基本形式：由简单几何体拼接而成；由简单几何体截去或挖去一部分而成．<教师备案>组合体是空间几何体的难点，特别是球体与其它几何体的组合，首先要了解它是由哪些基本几何体构成，明确切点（内切）或接点（外接）的位置，确定有关元素间的数量关系，然后通过相关截面分析和解决问题．对于球与旋转体的组合，一般作轴截面的图进行分析；对于球体与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或切点（接点）作截面图来分析，将立体几何问题转化为平面几何问题来解决．考点3：简单几何体的内切球与外接球【例3】 ⑴一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为123，，，则此球的表面积等于 ．⑵正方体全面积为24，求它的外接球、内切球以及与它的各条棱都相切的球的表面积．⑶圆台的内切球半径为R ，且圆台的全面积和球的表面积之比为218，求圆台的上，下底面半径12r r ，（12r r <）．【解析】 ⑴ 14π；⑵ 它的内切球的表面积为24π14π⋅=，外接球的表面积为24π12π=，与各棱相切的球的表面积为24π8π=．【点评】 正方体的外接球的球心与正方体的中心重合除了通过对称性考虑外，可以严格的推导，因为正方体的八个顶点都在球面上，故球心到这八个点的距离都相等，从而它必在过各个面的中心的垂线上，从而只能是正方体的中心．这对长方体的外接球也同样适用．同样可考虑正方体的内切球球心，它与正方体六个面的距离都相等．⑶ 12Rr =，22r R =．1.2组合体经典精讲尖子班学案2【拓2】，则其外接球的表面积是．【解析】9π；目标班学案2【拓3】一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，那么这个球的体积为_________．【解析】43π；考点4：正四面体的内切球与外接球【例4】⑴如果正四面体ABCD的外接球的体积为，则四面体的体积为_______．⑵如果正四面体ABCD的内切球的体积为，则四面体的体积为_______．【追问】如果与正四面体的各条棱都相切的球的体积为，求四面体的体积．⑴83；⑵72；【追问】【探究】正四面体的内外切球与正四面体棱长的关系：当正四面体的棱长为a时，求它的内切球半径r与外接圆半径R．由正四面体的对称性知，内切球与外接球的球心重合，都为正四面体的中心，记为O．法一：如图3，将正四面体ABCD置于正方体中，正四面体的外接球即为正方体的外接球，正方体的体对角线为球的直径，2R==，故R=．正四面体的体积34π3R R=⇒=，33311432V⎫⎫=-⨯⨯⨯=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，经典精讲图3DCBA从而正四面体的高h满足：2313h h =⇒=． 利用体积法直接求内切球的体积：将正四面体ABCD 分割成以球心O 为顶点，以正四面体的四个面为底面的四个相同的三棱锥，它们的底面与正四面体的底面相同，高为内切球的半径r，故14r h ==． 故外接球可以利用R r h +=知，34R h =．法二：如图1，1O 为底面BCD △的中心，1DO =，高1h AO ==，O 一定在1AO 上，∴AO DO R ==，1OO r h R R ==-=-， ∴在1Rt OO D △中，22211OD OO O D =+，即22213R R a ⎫=-+⎪⎪⎝⎭，解得R =，r =-=． 法三：如图2，1O 为底面BCD △的中心，则O 一定在1AO 上，AE 为球的大圆直径． 故AE ⊥1O D ，AD ⊥DE ，设AD a =，则123O D ==，故1AO =，1122O E R AO R =-=． 由平面射影定理知，2111O D AO O E =⋅，即223a R ⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭，解得R =，r =-=． 综上，我们知当正四面体ABCD 的棱长为a3，外接球半径为．考点5：空间几何体的直观图1．直观图：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图． 2．画法：斜二测画法和正等测画法： ⑴斜二测画法规则：①在已知图形所在的空间中取水平平面，作相互垂直的轴Ox ，Oy ，再作Oz 轴，使90xOz ∠=︒，1.3空间几何体的直观图与三视图知识点睛图2图1O1O DC BA90yOz ∠=︒．（三维空间中）②画直观图时，把Ox ，Oy ，Oz 画成对应的轴O x O y O z ''''''，，，使45x O y '''∠=︒或135︒，90x O z '''∠=︒，x O y '''所确定的平面表示水平平面．（二维平面上） ③已知图形中，平行于x 轴，y 轴或z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x '轴，'y 轴或z ' 轴的线段．并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．④已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．⑵正等测画法：在立体几何中，常用正等测画法画圆的直观图，它的依据还是平行投影，圆的直观图是椭圆，具体画法不要求掌握．<教师备案>正等测画法主要应用于工程及机械专业的绘图．斜二测画法和三视图都是在平行投影下画出来的空间图形，斜二测画法的作图规则可以简单的概括为：“竖直或水平方向放置的线段画出时方向、长度都不变，前后方向放置的线段画出时方向与水平方向成45︒或135︒角，长度为原长的一半”．斜二测画法是画几何体直观图的主要方法，只要求能够运用画图规则正确的画图和看图，不要求表达作图过程．【例5】 ⑴正三角形ABO △的边长为a ，在画它的水平放置的直观图时，建立如下左图所示的直角坐标系xOy ，则它的直观图的面积是__________． ⑵如下右图，正方形O A B C ''''的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图．请画出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的周长与面积．【解析】 ⑴⑵ 周长为8，面积为考点6：空间几何体的三视图<教师备案>研究在平面上用图形表示形体和解决空间几何问题的理论和方法的学科，叫做画法几何．在平面图上表达出空间原物体各部分的大小和位置，画法几何在绘画和建筑上有着广泛的应用．画法几何起源于欧洲文艺复兴时期，达芬奇在他的绘画中，笛沙格在空间几何体的透视像画法中都应用过，以及在平面图中计算空间几何体的尺寸和大小，但都没有系统的理论．法国数学家蒙日，经过深入研究，提出用多面正投影图表达空间形体，为画法几何奠定了理论基础，因为在军事上应用的关系，在保密了15年后才出版公开．三视图：在画正投影时，常选取三个互相垂直的平面作为投射面，一个投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到这个面内的图形叫做俯视图； 知识点睛经典精讲一个投射面放置在正前方，叫直立投射面，投射到此平面内的图形叫做主（正）视图；和水平投射面、直立投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，通常把这个平面放在直立投射面的右面，投射到这个平面内的图形叫做左（侧）视图．样构成的图形叫做空间图形的三视图．<教师备案>三视图分别是从三个方向看到的物体轮廓线的正投影所围成的平面图形．画三视图时，可以把垂直投影面的视线想象成平行光线从不同方向射向几何体，体会可见的轮廓线（包括被遮档，但是可以经过想象透视到的轮廓线）的投影就是所要画出的视图．三视图的排列规则．．．．．．．．是：俯视图放在主视图的下面，长度与主视图一样；左视图放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样；三视图满足“长对正，宽平齐，高相等”的基本特征或说“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”．提高班学案3【铺1】设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）．则该几何体的体积为3m．【解析】4【例6】⑴一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（）A．372 B．360 C．292 D．280⑵一个体积为则这个三棱柱的左视图的面积为（）A．B．8C．D．12⑶某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8π3B．3πC．10π3D．6π经典精讲俯视图侧(左)视图正(主)视图俯视图左视图正视图俯视图侧视图正视图第⑴题 第⑵题 第⑶题【解析】 ⑴ B⑵ A ⑶ B ；尖子班学案3【拓2】 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A．2π+ B．4π+C．2π+ D．4π+【解析】 C目标班学案3【拓3】 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：2cm ）为（ ）A．48+ B．48+ C．36+ D．36+【解析】 A【例7】 ⑴一个几何体按比例绘制的三视图如图所示，则它的体积为（ ）A ．2B ．92C ．3D ．94俯视图俯俯视图侧视图正视图111111⑵在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大值为（）A ．B ．C ．4D ．【解析】 ⑴ C ；⑵ C；将半径都为1的4个球完全放入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（ ）AB ．2C ．4+ D【解析】 C 四个球心构成一个正四面体（如图），其棱长为2，故其高4O H =设装入四个钢球的正四面体容器为D ABC -（如图）， 球心4O 在其高DE 上，且4411O E O H =+=+． 下面求4O D ．设M 为球4O 与平面BCD 的切点，则M 在BCD △中线DF 上，41O M =，4DMO DEF △∽△． ∴4431O D DF O M EF ==．∴43O D=． ∴444DE O D O E=+=C ．【演练1】设A 表示平行六面体，B 表示直平行六面体，C 表示长方体，D 表示正四棱柱，E 表示正方体，则A ，B ，C ，D ，E 的关系是（ ）实战演练32OA ．ABCDE ⊂⊂⊂⊂ B ．A B D C E ⊂⊂⊂⊂ C ．E D C B A ⊂⊂⊂⊂ D ．E C D B A ⊂⊂⊂⊂【解析】 C ；【演练2】如图⑴、⑵、⑶、⑷为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为（ ）A ．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B ．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C ．三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台D ．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台【解析】 Ｃ．【演练3】半径为a 的球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，那么球心到墙角顶点的距离为 ． 【解析】 3a ；【演练4】圆台上下底面面积之比为1:9，则圆台中截面分圆台所成两部分的体积之比12:V V =_____．（其中12V V <）【解析】7:19；【演练5】一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 2cm ． 【解析】422；【演练6】已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形． ⑴ 求该几何体的体积V ； ⑵ 求该几何体的侧面积S ． 【解析】 ⑴ 64V =；68⑵40S =+四面体ABCD 的对边长分别相等，AB CD a ==，AC BD b ==，AD BC c ==，求这个四面体外接球的直径．【解析】 同正四面体类似，本题思路也是构造一个和四面体具有相同外接球的长方体．如图所示，作长方体AEBF GCHD -，使得AB CD a ==，AC BD b ==，AD BC c ==，则这个长方体和四面体具有相同的外接球，长方体的体对角线就是外接球的直径d ． 设长方体的长宽高分别为x ，y ，z ，则222222222x y ay z b z x c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，三式相加可得：22222222a b c d x y z ++=++=，∴d =大千世界H G F ED C B A。
立体几何(一)答案
立体几何（一）答案1、【解析】（Ⅰ)连结AF,因为EF ∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，EF∩ＦＧ=F,所以平面EFG ∥平面ABCD,又易证EFG ∆∽ABC ∆, 所以12FG EF BC AB ==,即12FG BC =,即12FG AD =,又M 为AD 的中点,所以12AM AD =,又因为ＦＧ∥ＢＣ∥ＡD ，所以ＦＧ∥ＡM,所以四边形AMGF 是平行四边形,故GM ∥FA,又因为ＧＭ⊄平面ＡＢＦＥ,FA ⊂平面ＡＢＦＥ,所以ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ.（Ⅱ）取AB 的中点O,连结CO,因为ＡＣ＝ＢＣ,所以CO ⊥AB,又因为ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，CO ⊂平面ＡＢＣＤ,所以ＥＡ⊥CO,又ＥＡ∩AB=A,所以CO ⊥平面ＡＢＦＥ,在平面ABEF 内,过点O 作OH ⊥BF 于H,连结CH,由三垂线定理知: CH ⊥BF,所以CHO ∠为二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的平面角.设ＡＢ=２ＥＦ=2a ,因为∠ ACB=90︒，ＡＣ＝ＢＣ,CO=a ,2AE a =,连结FO,容易证得FO ∥EA 且2FO =,所以2BF a =,所以OH=2a =3a ,所以在Rt COH ∆中,tan ∠ CHO=CO OH =故∠ CHO=60 ,所以二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小为60 .2、【解析】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。
满分15分法一：（Ⅰ）证明：如图，以O 为原点，以射线OP 为x 轴的正半轴，建立空间直角坐标系o xyz -，则(0,0,0)O ，(0,3,0)A -，(4,2,0)B ，(4,2,0)C -，(0,0,4)P ，(0,3,4)AP = ，(8,0,0)BC =- 由此可得0AP BC ⋅= ，所以AP BC ⊥ ，即A P B C ⊥ （Ⅱ）解：设,1PM PA λλ=≠ ，则(0,3,4)PM λ=-- ，BM BP PM BP PA λ=+=+ (4,2,4)=--(0,3,4)λ+--(4,23,44)λλ=--+-，(4,5,0)AC =- ，(8,0,0)BC =-设平面BMC 的法向量1111(,,)n x y z = ，平面APC 的法向量2222(,,)n x y z =由1200BM n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得11114(23)(44)080x y z x λλ--++-=⎧⎨-=⎩ 即11102344x z y λλ=⎧⎪+⎨=⎪-⎩，可取123(0,1,)44n λλ+=- 由2200AP n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即2222340450y z x y +=⎧⎨-+=⎩得22225434x y z y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 可取2(5,4,3)n =- ，由120n n ⋅= 得2343044λλ+-⋅=-解得45λ= ，故3AM = 综上所述，存在点M 符合题意，3AM =法二（Ⅰ）证明：,AB AC D BC =为中点,,AD BC ∴⊥又,PO ABC ⊥平面PO BC ∴⊥因为PO AD O ∴= 所以BC ⊥平面PAD 故BC PA ⊥（Ⅱ）如图，在平面PAB 内作,BM AP M ⊥于连结CM,由（Ⅰ）知P ⊥BC A,得P ⊥A 平面BMC ，又P ⊂A 平面PAC,所以平面BMC ⊥平面PAC,在Rt ADB 中，22241AB AD BD =+=得AB =在Rt POD 中，222PD PO OD =+，在Rt PDB 中，222PB PD BD =+所以222236PB PO OD BD =++=得6PB =， 在Rt POA 中，22225PA AO OP =+=得5PA =又2221cos 23PA PB AB BPA PA PB +-∠==⋅ 从而cos 2PM PB BPA =∠=，所以3AM PA PM =-=综上所述，存在点M 符合题意，3AM =.3、解：如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D —xyz.（I ）依题意有Q （1，1，0），C （0，0，1），P （0，2，0）.则(1,1,0),(0,0,1),(1,1,0).DQ DC PQ ===-所以0,0.PQ DQ PQ DC ⋅=⋅=即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC.故PQ ⊥平面DCQ.又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ. …………6分（II ）依题意有B （1，0，1），(1,0),(12,1).C B B P ==--设(,,)n x y z =是平面PBC 的法向量，则0,0,20.0,n CB x x y z n BP ⎧⋅==⎧⎪⎨⎨-+-=⋅=⎩⎪⎩ 即 因此可取(0,1,2).n =--设m 是平面PBQ 的法向量，则0,0.m BP m PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可取(1,1,1).cos ,5m m n =<>=-所以 故二面角Q —BP —C的余弦值为5- ………………12分 分析：（1）要证明线线垂直只要证明线面垂直或者用向量去证明；（2）求二面角的余弦只需建立适当的坐标系，有空间向量来完成。
立体几何01立体几何初步【解析版】
第九章 立体几何第一节 立体几何初步1.【广东省十校2014届高三第一次联考（理）】一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是（ ）A ．21B ．1C ．23D ．22.【广东省广州市越秀区2014届高三入学摸底考试（理）】一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是底边长为6、腰长为5的等腰三角形，则这个几何体的全面积为 （ ）A.12πB.15πC.21πD.24π【答案】D【解析】试题分析：由三视图知，该几何体是一个圆锥，且圆锥的底面直径为6，母线长为5，用r 表示圆锥的底面半径，l 表示圆锥的母线长，则263r r =⇒=，5l =，故该圆锥的全面积为()()335S r r l ππ=+=⨯⨯+24π=.考点：1.三视图；2.圆锥的表面积3.【广东省汕头市金山中学2014届高三上学期摸底考试（理）】已知b a ,为异面直线,⊥a 平面α,⊥b 平面β.直线l 满足βα⊄⊄⊥⊥l l b l a l ,,,,则（ ）A. α与β相交,且交线平行于lB. βα//,且α//lC. α与β相交,且交线垂直于lD. βα⊥,且β⊥l4.【广东省惠州市2014届高三年级第一次调研考试（理）】对于平面α、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是( )A.若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂,则a α⊥B.若//,a b b α⊂,则//a αC.若//,,,a b αβαγβγ==则//a b D.若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βα【答案】C【解析】试题分析：对于平面α、β、γ和直线a 、b ,真命题是“若//αβ，a αγ=，b βγ=，则//a b ”.考点：考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系.5.【广东省汕头四中2014届高三第一次月考（理）】已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形则此三棱锥的体积等于 ．6.【广东省惠州市2013届高三第一次模拟考试（理）】已知集合A B C 、、，A ={直线}，B ={平面}，C A B =．若,,a A b B c C ∈∈∈，给出下列四个命题：①//////a b a c c b ⎧⇒⎨⎩ ②//a b a c c b ⊥⎧⇒⎨⊥⎩ ③//a b a c c b ⎧⇒⊥⎨⊥⎩④//a b a c c b⊥⎧⇒⊥⎨⎩ 其中所有正确命题的序号是 .7.【广东省佛山市南海区2014届高三8月质检（理）】一个几何体的三视图如左下图所示，则该几何体的表面积为 ．8.【广东省惠州市2013届高三第一次模拟考试（理）】如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为 （ ）A. 363(2)π+B. 363(2)π+C. 1083πD. 108(32)π+【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知几何体是由截面相同的半个圆锥与半个三棱锥组合而成的.圆椎底面半径为6，椎体底面边长为12，高为63．1111366312663363(2)3232V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+故选B ． 考点：三视图和几何体的体积.9.【广东省韶关市2014届高三摸底考试（理）】某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是( )A ．203 B.43 C.6 D.410.【广东省珠海市2014届高三9月摸底考试（理）】一简单组合体的三视图及尺寸如图(1)示（单位: cm ）则该组合体的体积为（ ）A. 720003cmB. 640003cmC. 560003cmD. 440003cm【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知，这个几何体是由两个四棱柱组成的简单组体，体积604010204050V =⨯⨯+⨯⨯＝640003cm .考点：1.空间几何体的三视图的识别；2.空间几何体体积的求法.11.【广东省东莞市2013届高三模拟考试一（理）】一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．9B ．10C ．11D ．232所以所求几何体体积=直四棱柱体积-三棱锥体积，即11223(21)31132⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=.考点：三视图，几何体的体积计算.12. 【广东省中山市高三级2013-2014学年第一学期期末统一考试】把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面⊥ABD 平面CBD ，形成三棱锥ABD C -的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为 （ ）13.【广东省佛山市普通高中2014届高三教学质量检测一】某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图1所示,其中俯视图是中心角为60︒的扇形,则该几何体的体积为（ ）A ．3π B ．23π C ．π D ．2π14.【广东省华附、省实、广雅、深中2014届高三上学期期末联考】某几何体的三视图如图所示,其中正（主）视图与侧（左）视图的边界均为直角三角形，俯视图的边界为直角梯形，则该几何体的体积为 .【答案】8【解析】 试题分析：由三视图可知该几何体是一个四棱锥,根据“正侧等高，正俯等长，侧俯等宽”的规则，其体积为11(24)428.32V =⨯+⨯⨯= 考点：三视图和几何体的体积.15.【广东省揭阳市2014届高三学业水平考试】图（1）中的网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了一四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为（ ）_俯视图 _侧视图 _ 正视图 _2 _2 _4_2A.4B.8C.16D.2016.【广东省珠海市2013-2014学年第一学期期末高三学生学业质量监测】一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是（ ） A.12 B.1 C.23D.2第7题图11俯视图侧视图正视图【答案】B【解析】 试题分析：由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，其底面为一个直角梯形，底面积为()112232S =+⨯=，高为1，所以该四棱锥的体积为1131133V Sh ==⨯⨯=，故选B. 考点：1.三视图；2.空间几何体的体积17.【广东省揭阳市2014届高三3月第一次模拟考试】设平面α、β，直线a 、b ，a α⊂，b α⊂，则“//a β，//b β”是“//αβ”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件18.【广东省揭阳市2014届高三3月第一次模拟考试】一简单组合体的三视图如图（1）所示，则该组合体的体积为（ ）A.16π-B.124π-C.122π-D.12π-19.【广东省梅州市2014届高三3月质检】已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A .12B .16C .112D .11820.【广东省韶关市2014届高三调研考试】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．1C ．32D ．3【答案】C【解析】 试题分析：由三视图易知，该几何体是底面积为32，高为3的三棱锥，由锥体的体积公式得1333322V =⨯⨯=.选C2 11 33正视图侧视图 俯视图 21考点：三视图 三棱锥体积21.【广东省肇庆市2014届高三3月第一次模拟考试】某四棱锥的三视图如图1所示（单位：cm ），则该四棱锥的体积是( )A ．273cmB ．93cmC ．323cmD ．3 3cm22.【2014年广东省广州市普通高中毕业班综合测试一】一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图3所示，则这个四棱锥的体积是 .图3俯视图侧（左）视图正（主）视图451122【答案】4.【解析】试题分析：由正视图知，该四棱锥的高22543h =-=，底面菱形的两条对角线的长度分别为2和4，且两条对角线相互垂直平分，彼此分成四个全等的直角三角形，且直角三角形的两条直角边的长度分别为1和2，因此其底面积141242S=⨯⨯⨯=，故该四棱锥的体积1143433V Sh==⨯⨯=.考点：1.三视图；2.锥体的体积23.【广东省汕头市2014届高三3月模拟考试】某个长方体被一个平面所截，截得的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A.4B.C.D.8ABCD。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.1 构成空间几何体的基本元素同步练习(含解析)新人教B版必修
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构成空间几何体的基本元素1．下列叙述中，一定是平面的是（）．A．一条直线平行移动形成的面B．三角形经过延展得到的平面C．组成圆锥的面D．正方形围绕一条边旋转形成的面2．下列说法正确的是( )．A．生活中的几何体都是由平面组成的B．曲面都是有一定大小的C．直线是无限个点组成的,而线段是由有限个点组成的D．许多平行直线也可以组成曲面3．以下结论中不正确的是（）．A．平面上一定有直线B．平面上一定有曲线C．曲面上一定无直线D．曲面上一定有曲线4．垂直于同一个平面的两个平面的位置关系是（)．A．互相平行 B．互相垂直C．相交但不一定垂直 D．可能相交，也可能平行5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AB1D1和平面BC1D的位置关系是______．6．下列说法：①长方体是由六个平面围成的几何体;②长方体可以看作一个矩形ABCD(水平放置)上各点沿铅垂线方向向上移动相同距离到矩形A′B′C′D′所形成的几何体;③长方体一个面上任意一点到对面的距离相等．其中正确命题的序号是________．7．按照要求完成类比：直线上一点把这条直线分成两部分．（1）把直线改为平面，把点改为直线;(2）把直线改为空间,把点改为平面．8．给出两块相同的正三角形硬纸板，请你将其中一块折成三棱锥，另一块拼折成三棱柱．你能想出几种拼折法？许切三刀，那么西瓜可能分成多少块呢?”参考答案1。
2018年苏教版必修2高中数学第1章《立体几何初步》word章末总结含答案
第一章章末总结一、空间几何体的画法及表面积、体积计算立体图形和平面图形的转化是立体几何主要的考点．一方面，由几何体能够画出其平面图，如三视图、直观图等；另一方面，由三视图能够想象出几何体的形状，并能研究其表面积、体积等．例1一几何体的三视图如图所示，尺寸如图中所示．(1)说出该几何体的结构特征并画出直观图；(2)计算该几何体的体积与表面积．变式训练1 若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为____________．例2梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图(斜二测)，若A1D1∥O1y1，A1B1∥C1D1，A1B1＝2，C1D1＝3，A1D1＝1，则ABCD的面积是________．变式训练2 等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝2，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为______．二、平面基本性质的应用1．关于多点共线问题往往需证明这些点在某两个平面的交线上．2．多线共点问题的证明往往让其他线都过某两条线的交点．3．多点共面问题的证明往往让其他点在某三点或四点确定的平面上．4．多线共面问题的证明往往让其他线在某两条直线确定的平面内．例3如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2．求证：(1)E、F、G、H四点共面；(2)GE与HF的交点在直线AC上．变式训练3 如图，四边形ABB′A′，BCC′B′，CAA′C′都是梯形．求证：三直线AA′，BB′，CC′相交于一点．三、直线、平面的位置关系1．空间平行关系的判定方法：(1)判定线线平行的方法．①利用线线平行的定义证共面而且无公共点(结合反证法)；②利用平行公理4；③利用线面平行性质定理；④利用线面垂直的性质定理(若a⊥α，b⊥α，则a∥b)；⑤利用面面平行性质定理(若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b)．(2)判断线面平行的方法：①线面平行的定义(无公共点)；②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；③面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；④面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．(3)面面平行的判定方法有：①平面平行的定义(无公共点)；②判定定理(若a∥β，b∥β，a、b⊂α，且a∩b＝A，则α∥β)；③判定定理的推论(若a∥a′，b∥b′，a⊂α，b⊂α且a∩b＝A，a′⊂β，b′⊂β，且a′∩b′＝A′，则α∥β)；④线面垂直性质定理(若a⊥α，a⊥β，则α∥β)；⑤平面平行的性质(传递性：α∥β，β∥γ⇒α∥γ)．平行关系的转化是：2．空间垂直关系的判定方法：(1)判定线线垂直的方法有：①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角)；②线面垂直的性质(若a⊥α，b⊂α，则a⊥b)；③面面垂直的定义：若两平面垂直，则两平面相交形成的二面角的平面角为90°．(2)判定线面垂直的方法有：①线面垂直定义(一般不易验证任意性)；②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c＝M⇒a⊥α)；③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α)；④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α)；⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ)．(3)面面垂直的判定方法有：①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°)；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．垂直关系的转化是：例4如图所示，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，过A，D，N的平面交PC于M，E为AD的中点．求证：(1)EN∥平面PDC；(2)BC⊥平面PEB；(3)平面PBC⊥平面ADMN．变式训练4 如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，过E 点作EF⊥PB 交PB 于点F ．求证：(1)PA∥平面EDB ； (2)PB⊥平面EFD ．第一章 章末总结 答案例1解 (1)由三视图知该几何体是由一个圆柱与一个等底圆锥拼接而成的组合体，其直观图如图所示．(2)由三视图中尺寸知，组合体下部是底面直径为8 cm ，高为20 cm 的圆柱，上部为底面直径为8 cm ，母线长为5 cm 的圆锥．易求得圆锥高h ＝52－42＝3(cm )，∴体积V ＝π·42·20＋13π·42·3＝336π(cm 3)，表面积S ＝π·42＋2π·4·20＋π·4·5＝196π(cm 2)．∴该几何体的体积为336π cm 3，表面积为196π cm 2．点评 三视图画法：它包括主视图、左视图、俯视图三种．画图时要遵循“高平齐、长对正、宽相等”的原则，同时还要注意被挡住的轮廓线画成虚线．变式训练1 36 3解析 观察三视图得棱柱底面正三角形的高和侧棱长．注意图中数据33是底面正三角形的高，不是边长．棱柱的侧棱长为4，底面正三角形的高为33，设边长为a ，则32a ＝33，所以a ＝6．所以底面积为34a 2＝93．所以棱柱的体积为93×4＝363． 例2 5解析 把图还原，ABCD 为直角梯形，AB ＝A 1B 1＝2，CD ＝C 1D 1＝3，AD ＝2A 1D 1＝2．∴S 梯ABCD ＝＋2＝5．点评 斜二测画法：主要用于水平放置的平面图画法或立体图形的画法．它的主要步骤：①画轴；②画平行于x ，y ，z 轴的线段分别为平行于x′，y′，z′轴的线段；③截线段，平行于x ，z 轴的线段的长度不变，平行于y 轴的线段的长度变为原来的一半．变式训练2 22解析∵OE＝22－1＝1，∴O′E′＝12，E′F＝24，∴直观图A′B′C′D′的面积为S′＝12×(1＋3)×24＝22．例3 证明 (1)∵BG∶GC＝DH∶HC， ∴GH∥BD，又EF∥BD，∴EF∥GH， ∴E、F 、G 、H 四点共面．(2)∵G，H 不是BC 、CD 的中点，∴EF≠GH． 又EF∥GH，∴EG 与FH 不平行，则必相交，设交点为M ．⎭⎪⎬⎪⎫EG ⊂面ABC HF ⊂面ACD ⇒M∈面ABC 且M∈面ACD ⇒M 在面ABC 与面ACD 的交线上 ⇒M∈AC．∴GE 与HF 的交点在直线AC 上．点评 证明线共点、点共线、线共面问题，重要是应用平面的基本性质，先证部分元素共点、共线、共面，再利用公理1,2,3证明其他元素也具有这个性质，要熟练地掌握这三个公理．变式训练3 证明 梯形ABB′A′中，A′B′∥AB．∴AA′，BB′在同一平面A′B 内． 设直线AA′，BB′相交于点P ，同理BB′、CC′同在平面BC′内，CC′、AA′同在平面A′C 内．∵P∈AA′，AA′⊂平面A′C， ∴P∈平面A′C．同理点P∈平面BC′．根据公理2，点P 在平面A′C 与平面BC′的交线上，而平面A′C∩平面BC′＝CC′，故点P ∈直线CC′，即三直线AA′、BB′、CC′相交于一点．例4 证明 (1)因为AD∥BC，BC ⊂平面PBC ， AD ⊄平面PBC ，所以AD∥平面PBC ， 又平面ADMN∩平面PBC ＝MN ， 所以AD∥MN，所以MN∥BC．因为N 为PB 的中点，所以M 为PC 的中点，所以MN∥BC，且MN ＝12BC ．又E 为AD 的中点，所以四边形DENM 为平行四边形． 所以EN∥DM．又EN ⊄平面PDC ，DM ⊂平面PDC ， 所以EN∥平面PDC ．(2)因为ABCD 为边长为2的菱形，且∠BAD＝60°， 所以BE⊥AD．又因为PE⊥AD，PE∩BE＝E ， 所以AD⊥平面PEB ．因为AD∥BC，所以BC⊥平面PEB ． (3)由(2)知AD⊥PB．又因为PA ＝AB 且N 为PB 的中点， 所以AN⊥PB，又AD∩AN＝A ， 所以PB⊥平面ADMN ．又PB ⊂平面PBC ，所以平面PBC⊥平面ADMN ．点评 立体几何的证明，我们要牢牢抓住“转化”这一思想，线与线，线与面，面与面之间的垂直与平行都可互相转化，转化的理论依据是这三种平行与垂直的判定定理、性质定理等．变式训练4 证明 (1)如图所示，连结AC 交BD 于O ，连结EO ．∵底面ABCD 是正方形， ∴点O 是AC 的中点．在△PAC 中，EO 是中位线， ∴PA∥EO．而EO ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB ， ∴PA∥平面EDB ．(2)∵PD⊥底面ABCD ，且DC ⊂平面ABCD ， ∴PD⊥DC．∵PD＝DC ，∴△PDC 是等腰直角三角形．又DE 是斜边PC 的中线，∴DE⊥PC． ① 由PD⊥底面ABCD ，得PD⊥BC． ∵底面ABCD 是正方形，∴DC⊥BC． ∴BC⊥平面PDC ．又DE ⊂平面PDC ，∴BC⊥DE． ② 由①和②推得DE⊥平面PBC ．而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB．又EF⊥PB，且DE∩EF＝E，∴PB⊥平面EFD．。
第一章立体几何答案.doc
期末复习必修一第二章函数班级_________ 小组_______ 姓名___________第I卷（选择题）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1•一个棱柱的底面是正六边形，侧面都是正方形，用至少过该棱柱三个顶点（不在同一侧面或同一底血内）的平面去截这个棱柱，所得截血的形状不可以是（）（A）等腰三角形（B）等腰梯形（C）五边形（D）正六边形1.【答案】D2.下列说法屮正确的是（）A.棱柱的侧血可以是三角形正方体和长方体都是特殊的四棱柱C .棱柱的各条棱都相等D .所有的儿何休的表面都展成平面图形2.【答案】B3.一个儿何体的三视图如图所示，其中主（正）视图是边长为2的正三角形，俯视图是正方形，那么该几何体的左（侧）视图的面积是（）A. 2A/3B. >/3C. 4D. 23.【答案】B【解析】由题意可知左视图与主视图形状完全一样是正三角形，面积5 = —X22=A/34答案为B.4.某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表血积为（）【解析】【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2由于正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，所以此四面体一定可以放在正方体 中，所以我们可以在正方体屮寻找此四面体.如图所示,四面体ABCD 满足题意，所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球, 由题意可知，正方体的棱长为1,所以外接球的半径为R 二 所以此四面体的外接球表面积S=4IX （¥）2g 【思路点拨】由于正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的止方形，所以此四面体一定可 以放在棱长为1的正方体中，所以此四面体的外接球即为此止方体的外接球，由此能求出 此四面体的外接球表而积.5. 将边长为1的正方形ABCD 沿对角线4C 折起，使AABQ 为正三角形，则三棱锥 A-BCD 的体积为 （）V32A. -B.丄C・匣 D.—6 12 12 125.【答案】D6.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得儿何体的侧面积为（）A. 4龙B. 3兀C. 2兀D.兀6.【答案】C7.到空间不共面的四点距离相等的平面个数为（）A. 1 个；B. 4 个；C. 7 个；D. 8 个7.【答案】C&如图，在透明塑料制成的长方体ABCD-A I B I C J D I容器内灌进一些水，将容器底面一边EC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，冇下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③棱AiDi始终与水而EFGH平行；④当EGAA,时，AE+BF是定值.B.①③C.①②③④D.①③④-其中止确说法是（）8.【答案】D9.下列说法正确的是A.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行B.若一个平而内有三个点到另一个平而的距离相等，则这两个平而平行C.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行9.【答案】A10.直线如图，正方体ABCD_A\BCU的棱线长为1,线段BQ上有两个动点E, F,A£F=-,则下列结论中错误的是（）2A. AC 丄BEB. EF〃平面ABCDC.三棱锥A-BEF的体积为定值D.AAEF的而积与ABEF的而积相等10.【答案】D11.如图,在正三角形ABC中,D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的屮点.将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以示，GH与IJ所成角的度数为（）A. 90°B. 60°C. 45°D. 0°11.【答案】B12.如图，AB是圆0的直径，PA垂直于関0所在的平面，C是圆周上不同于A, B的任意一点，AOBC二4, PA = 4伍,、半卡7 D、丰第II卷（非选择题）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.已知圆锥底而圆的半径为1,侧而展开图是一个圆心角为莎的扇形，则该圆锥的侧而3积是__________ .13.【答案】3龙14.将长、宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折起，得到四面体A - BCD,则四血体A - BCD的外接球的体积为_____ .14.【答案】丄生兀615.如图，等腰直角AABC 中，AB=2, D、E、F 分别在边AB、BC、CA ±, fl.DE〃AC, EF〃AB,现沿DE折叠，使平面BDE丄平面ADEF,若此时棱锥B - ADEF的体积最大,则BD的长为AB = iA£) = 2>/3, BC = 3,CD = 2, ZABC = ZDCB =-,16.在四面体ABCD 'I',2则二面角A-BC-D的大小为 ____________ .16.【答案】60°。
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1第1讲·提高-尖子-目标·教师版当前形势空间几何体在近五年北京卷（理）考查10分高考 要求内容要求层次 具体要求A B C 柱、锥、台、球及其简单组合体 √认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构． 三视图，斜二侧法画简单空间图形的直观图√能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型；通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图．北京 高考 解读2009年 2010年 （新课标） 2011年 （新课标） 2012年 （新课标） 2013年 （新课标） 第4题 5分 第16题5分第5题 5分 第16题5分第7题 5分 第16题5分第7题 5分 第16题5分第14题 5分 第16题5分备注：北京高考第16题一般都是14分，第一问考查空间几何体中的平行与垂直关系．新课标剖析满分晋级第1讲立体几何初步立体几何5级 空间向量 与立体几何立体几何6级 立体几何初步立体几何7级 立体几何之 平行问题2第1讲·提高-尖子-目标·教师版<教师备案> 暑期学过空间几何体的概要，初步了解了柱、锥、台和球的结构特征以及它们的表面积和体积的求法，本板块进行简单的回顾．1．下列说法正确的是（ ）A ．有一个面是多边形，其余各面是三角形的多面体是棱锥B ．有两个面互相平行，其余各面均为梯形的多面体是棱台C ．有两个面互相平行，其余各面均为平行四边形的多面体是棱柱D ．棱柱的两个底面互相平行，侧面均为平行四边形【解析】 D2．将一个长方体沿从同一个顶点出发的三条棱截去一个棱锥，棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为（ ） 暑期知识回顾空间几何体的基本元素：点、线、面．平面：无限延展、平滑且无厚度的面，通常用一个平行四边形表示．用αβγ，，命名，或用大写字母表示：如平面ABCD 或平面AC ．多面体：由若干个平面多边形所围成的几何体，其中这些多边形称为多面体的面，相邻两个面的公共边叫棱，棱的公共点叫顶点，连结不在同一个面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线．截面：一个几何体与一个平面相交所得到的平面图形（包括平面图形的内部）． 棱柱的定义，相关概念、性质、分类、记法及特殊的四棱柱；S ch =直棱柱侧面积，Sh V =直棱柱，其中c 为直棱柱的底面周长，S 为底面积，h 为高； 棱锥的定义、相关概念、特征、记法和分类，以及正棱锥的性质；1122S nah ch ''==正棱锥侧，13V Sh =锥体，a 为底面边长，c 为底面周长，h '为斜高；棱台的定义、相关概念、记法、以及正棱台的性质；（h 为高，h '为斜高）11()()22S n a a h c c h =''''+=+正棱台侧，1()3V h S S '=+台体．（S S '，为底面面积） 旋转体的基本概念：轴、高、底面、侧面、侧面的母线；圆柱的定义，记法和性质，2πV r h =圆柱；r 为底面半径，h 为高；圆锥的定义，记法和性质，21π3V r h =圆锥；r 为底面半径，h 为高；圆台的定义，记法和性质，221π()3V h r rr r =''++圆台．r r '，为底面半径，h 为高；3第1讲·提高-尖子-目标·教师版A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．1:5【解析】 D3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．3 【解析】 A 4．两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三部分，则圆锥被分成的三部分的体积的比是（ ） A ．1:2:3 B ．1:7:19 C ．3:4:5 D ．1:8:27 【解析】 B5．一个底面棱长为2的正四棱锥，连接两个相邻侧面的重心E 、F ，则线段EF 的长为_______．【解析】6．等体积的球和正方体，它们的表面积的大小关系是S 球___S 正方体．【解析】<7．一个长方体的全面积是220cm ，所有棱长的和是24cm ，则长方体的对角线长为______．【解析】 4．8．在半径为6的球的内部有一点，该点到球心的距离为4，过该点作球的截面，则截面面积的最小值是（ ）A ．11πB ．20πC ．27πD ．32π 【解析】 B考点1：多面体和旋转体的表面积及体积11.1空间几何体的表面积及体积知识点睛4第1讲·提高-尖子-目标·教师版<教师备案>多面体的表面都可以都可以展开成平面图形，求多面体的表面积可转化为求平面图形的面积．多面体的体积的推导是用“祖暅原理”，充分体现了空间与平面相互转化的思想．本版块重点是表面积和体积公式的应用．三棱锥又称为四面体，它的每一个面都可当作底面来处理，此方法叫做等积法，求体积的时候要注意灵活选择底面．212R 表示球的半径．<教师备案>圆柱、圆锥和圆台的表面也可以展开成平面图形，重点仍然是表面积和体积公式的应用．提高班学案1【铺1】⑴已知六棱锥P ABCDEF -的底面是边长为2的正六边形，点P 在底面的投影是正六边形的中心，且3PA =，则该四棱锥的表面积为_____________，体积为_________．⑵正棱锥的高增为原来的n 倍，底面边长缩为原来的1n，那么体积（ ）A ．缩为原来的1nB ．增为原来的n 倍C ．没有变化D ．以上结论都不对【解析】 ⑴⑵ A ；【例1】 ⑴）A B C D ．23⑵如图，点E 、F 分别在单位正方体1111ABCD A B C D -的1AA 、经典精讲F ED 1C 1B 1A 1D CB A5第1讲·提高-尖子-目标·教师版1B C 上，则三棱锥1D EDF -的体积为________．⑶已知三个球的半径1R 、2R 、3R 满足12323R R R +=，则它们的 表面积1S 、2S 、3S 满足的等量关系是__________⑷已知平行四边形两邻边的长a 和b ，当它分别绕边a ，b 旋转一周时，所形成的几何体的体积之比为（ ）A ．b aB ．a bC ．3b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭【追问】三角形三条边长分别为a b c ，，，当它分别饶三边旋转一周时，所形成的几何体的体积之比为（ ）A ．::a b cB ．222::a b cC ．333::a b cD ．111::a b c【解析】 ⑴ B ；⑵ 16；⑶=⑷ A 【追问】D ．考点2：几何体的表面积体积综合<教师备案>求几何体的表面积和体积，很多时候只需要知道简单的公式就行了，属于中、低档题，因此在高考中比较常见．提高班学案2【铺1】如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ，则Rr= ．【解析】【例2】 ⑴圆柱形容器内部盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图①所示），则球的半径是 cm ．⑵如图②所示，一个正三棱柱形容器，高为2a ，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作经典精讲6第1讲·提高-尖子-目标·教师版为底面，如图③所示，这时水面恰好过棱1111AC BC AC B C ，，，的中点，则图②中水面的高度是_________．C 1B 1A 1CB ABA CB 1C 1A 1图① 图② 图③【解析】 ⑴ 4；⑵ 32a ；尖子班学案1【拓2】 有一个圆锥形容器正放，它的高为h ，圆锥内水面的高度为1h ，113h h =，将圆锥倒置，求倒置的水面高度2h ． 【解析】2h =．目标班学案1【拓3】 如图1所示，在直三棱柱形的筒里装着水，这个直三棱柱的展开图如图2所示：现在，如图1所示，将直三棱柱的A 面作为底面，放在水平的桌面上，水面高度是2cm ；若将直三棱柱的B 面作为底面，放在水平的桌面上，则水面高为 厘米． 【解析】 32；【备选】如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有V升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P ．如果将容器倒置，水面也恰好过点P （图2）．有下列四个命题：A ．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B ．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P7第1讲·提高-尖子-目标·教师版C ．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点PD ．若往容器内再注入V 升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是： （写出所有真命题的代号）．PP图2图1【解析】 B 、D ；1．简单组合体：由柱体、锥体、台体和球体等简单几何体组合而成的几何体．2．简单组合体构成的基本形式：由简单几何体拼接而成；由简单几何体截去或挖去一部分而成．<教师备案>组合体是空间几何体的难点，特别是球体与其它几何体的组合，首先要了解它是由哪些基本几何体构成，明确切点（内切）或接点（外接）的位置，确定有关元素间的数量关系，然后通过相关截面分析和解决问题．对于球与旋转体的组合，一般作轴截面的图进行分析；对于球体与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或切点（接点）作截面图来分析，将立体几何问题转化为平面几何问题来解决．考点3：简单几何体的内切球与外接球【例3】 ⑴一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为123，，，则此球的表面积等于 ．⑵正方体全面积为24，求它的外接球、内切球以及与它的各条棱都相切的球的表面积．⑶圆台的内切球半径为R ，且圆台的全面积和球的表面积之比为218，求圆台的上，下底面半径12r r ，（12r r ）． 【解析】 ⑴ 14π；1.2组合体经典精讲8第1讲·提高-尖子-目标·教师版⑵ 它的内切球的表面积为24π14π⋅=，外接球的表面积为24π12π=，与各棱相切的球的表面积为24π8π=．【点评】 正方体的外接球的球心与正方体的中心重合除了通过对称性考虑外，可以严格的推导，因为正方体的八个顶点都在球面上，故球心到这八个点的距离都相等，从而它必在过各个面的中心的垂线上，从而只能是正方体的中心．这对长方体的外接球也同样适用．同样可考虑正方体的内切球球心，它与正方体六个面的距离都相等． ⑶ 12Rr =，22r R =．尖子班学案2【拓2】，则其外接球的表面积是 ． 【解析】 9π；目标班学案2【拓3】 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，那么这个球的体积为_________．【解析】 43π；考点4：正四面体的内切球与外接球【例4】 ⑴如果正四面体ABCD的外接球的体积为，则四面体的体积为_______． ⑵如果正四面体ABCD的内切球的体积为，则四面体的体积为_______．【追问】如果与正四面体的各条棱都相切的球的体积为，求四面体的体积．⑴ 83；⑵ 72；【追问】 经典精讲【探究】正四面体的内外切球与正四面体棱长的关系：当正四面体的棱长为a时，求它的内切球半径r与外接圆半径R．由正四面体的对称性知，内切球与外接球的球心重合，都为正四面体的中心，记为O．法一：如图3，将正四面体ABCD置于正方体中，正四面体的外接球即为正方体的外接球，正方体的体对角线为球的直径，2R==，故R=．正四面体的体积34π3R R=⇒33311432V⎫⎫=-⨯⨯⨯=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，从而正四面体的高h满足：2313h h=⇒=．利用体积法直接求内切球的体积：将正四面体ABCD分割成以球心O为顶点，以正四面体的四个面为底面的四个相同的三棱锥，它们的底面与正四面体的底面相同，高为内切球的半径r，故14r h==．故外接球可以利用R r h+=知，34R h=．法二：如图1，1O为底面BCD△的中心，1DO=，高1h AO==，O一定在1AO上，∴AO DO R==，1OO r h R R==-=-，∴在1Rt OO D△中，22211OD OO O D=+，即22213R R a⎫=-+⎪⎪⎝⎭，解得R=，r=．法三：如图2，1O为底面BCD△的中心，则O一定在1AO上，AE为球的大圆直径．故AE⊥1O D，AD⊥DE，设AD a=，则123O D=，故1AO，1122O E R AO R=-=．由平面射影定理知，2111O D AO O E=⋅，即223aR⎛⎫=⋅-⎪⎪⎝⎭，解得R=，r=．图2图3DCBA图1O1ODCBA9第1讲·提高-尖子-目标·教师版综上，我们知当正四面体ABCD的棱长为a3，外接球半径为．考点5：空间几何体的直观图1．直观图：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图．2．画法：斜二测画法和正等测画法：⑴斜二测画法规则：Ox，Oy，再作Oz轴，使90xOz∠=︒，90yOz∠=︒．（三维空间中）②画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的轴O x O y O z''''''，，，使45x O y'''∠=︒或135︒，90x O z'''∠=︒，x O y'''所确定的平面表示水平平面．（二维平面上）③已知图形中，平行于x轴，y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴，'y轴或z'轴的线段．并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．④已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．⑵正等测画法：在立体几何中，常用正等测画法画圆的直观图，它的依据还是平行投影，圆的直观图是椭圆，具体画法不要求掌握．<教师备案>正等测画法主要应用于工程及机械专业的绘图．斜二测画法和三视图都是在平行投影下画出来的空间图形，斜二测画法的作图规则可以简单的概括为：“竖直或水平方向放置的线段画出时方向、长度都不变，前后方向放置的线段画出时方向与水平方向成45︒或135︒角，长度为原长的一半”．斜二测画法是画几何体直观图的主要方法，只要求能够运用画图规则正确的画图和看图，不要求表达作图过程．【例5】⑴正三角形ABO△的边长为a，在画它的水平放置的直观图时，建立如下左图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是__________．⑵如下右图，正方形O A B C''''的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图．请画出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的周长与面积．1.3空间几何体的直观图与三视图经典精讲知识点睛10 第1讲·提高-尖子-目标·教师版【解析】⑴2；⑵周长为8，面积为考点6：空间几何体的三视图<教师备案>研究在平面上用图形表示形体和解决空间几何问题的理论和方法的学科，叫做画法几何．在平面图上表达出空间原物体各部分的大小和位置，画法几何在绘画和建筑上有着广泛的应用．画法几何起源于欧洲文艺复兴时期，达芬奇在他的绘画中，笛沙格在空间几何体的透视像画法中都应用过，以及在平面图中计算空间几何体的尺寸和大小，但都没有系统的理论．法国数学家蒙日，经过深入研究，提出用多面正投影图表达空间形体，为画法几何奠定了理论基础，因为在军事上应用的关系，在保密了15年后才出版公开．三视图：在画正投影时，常选取三个互相垂直的平面作为投射面，一个投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到这个面内的图形叫做俯视图；一个投射面放置在正前方，叫直立投射面，投射到此平面内的图形叫做主（正）视图；和水平投射面、直立投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，通常把这个平面放在直立投射面的右面，投射到这个平面内的图形叫做左（侧）视图．样构成的图形叫做空间图形的三视图．<教师备案>三视图分别是从三个方向看到的物体轮廓线的正投影所围成的平面图形．画三视图时，可以把垂直投影面的视线想象成平行光线从不同方向射向几何体，体会可见的轮廓线（包括被遮档，但是可以经过想象透视到的轮廓线）的投影就是所要画出的视图．三视图的排列规则．．．．．．．．是：俯视图放在主视图的下面，长度与主视图一样；左视图放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样；三视图满足“长对正，宽平齐，高相等”的基本特征或说“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”．提高班学案3 经典精讲知识点睛【铺1】 设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m ）．则该几何体的体积为 3m ．【解析】 4【例6】 ⑴一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（ ） A ．372 B ．360 C ．292 D ．280⑵一个体积为的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为（ ）A． B ．8 C． D ．12 ⑶某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8πB ．3πC ．10π3 D ．6π俯视图侧(左)视图正(主)视图俯视图左视图正视图俯视图侧视图正视图第⑴题 第⑵题 第⑶题【解析】 ⑴B⑵ A ⑶ B ；尖子班学案3【拓2】 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．2π+B ．4π+C ．2πD ．4π+【解析】 C 俯视图俯正(主)视图目标班学案3【拓3】 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：2cm ）为（ ）A ．48122+B ．48242+C ．36122+D ．36242+ 【解析】 A【例7】 ⑴一个几何体按比例绘制的三视图如图所示，则它的体积为（ ）A ．2B ．92C ．3D ．94俯视图侧视图正视图111111⑵某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大值为（ ）A ．22B ．23C ．4D ．25【解析】 ⑴ C ；⑵ C ；将半径都为1的4个球完全放入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（ ）A 326+B ．262+C ．264+D 4326+【解析】 C 四个球心构成一个正四面体（如图），其棱长为2，故其高426O H =设装入四个钢球的正四面体容器为D ABC -（如图）， 球心4O 在其高DE 上， 且442611O E O H =++． 33443H O 3O 2O 1O 4下面求4O D ．设M 为球4O 与平面BCD 的切点，则M 在BCD △中线DF 上，41O M =，4DMO DEF △∽△． ∴4431O D DF O M EF ==．∴43O D =．∴444DE O D O E =+=．选C ．【演练1】设A 表示平行六面体，B 表示直平行六面体，C 表示长方体，D 表示正四棱柱，E 表示正方体，则A ，B ，C ，D ，E 的关系是（ ） A ．A B C D E ⊂⊂⊂⊂ B ．A B D C E ⊂⊂⊂⊂ C ．E D C B A ⊂⊂⊂⊂ D ．E C D B A ⊂⊂⊂⊂ 【解析】 C ；【演练2】如图⑴、⑵、⑶、⑷为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为（ ）A ．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B ．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C ．三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台D ．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台【解析】 Ｃ．【演练3】半径为a 的球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，那么球心到墙角顶点的距离为 ． 【解析】； 实战演练【演练4】圆台上下底面面积之比为1:9，则圆台中截面分圆台所成两部分的体积之比12:V V =_____．（其中12V V <）【解析】 7:19；【演练5】一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 2cm ． 【解析】2；【演练6】已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形． ⑴ 求该几何体的体积V ； ⑵ 求该几何体的侧面积S ． 【解析】 ⑴ 64V =； ⑵40S =+四面体ABCD 的对边长分别相等，AB CD a ==，AC BD b ==，AD BC c ==，求这个四面体外接球的直径．【解析】 同正四面体类似，本题思路也是构造一个和四面体具有相同外接球的长方体．如图所示，作长方体AEBF GCHD -，使得AB CD a ==，AC BD b ==，AD BC c ==，则这个长方体和四面体具有相同的外接球，长方体的体对角线就是外接球的直径d ．设长方体的长宽高分别为x ，y ，z ，则222222222x y a y z b z x c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，三式相加可得：22222222a b c d x y z ++=++=，∴d大千世界H G FEDCBA。