2014北京西城高考一模数学理

北京市西城区2014年高三一模试卷 数学（理科） 2014．4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U =R ，集合2{|0}A x x =<≤，{|1}B x x =<，则集合()U A B = ð（ ） （A ）(,2]-∞ （B ）(,1]-∞ （C ）(2,)+∞ （D ）[2,)+∞2．已知平面向量(2,1)=-a ，(1,1)=b ，(5,1)=-c ．若()//k +a b c ，则实数k 的值为（ ） （A ）2（B ）12（C ）114（D ）114-3．在极坐标系中，过点π(2,)2且与极轴平行的直线方程是（ ） （A ）2ρ=（B ）2θπ=（C ）cos 2ρθ= （D ）sin =2ρθ4．执行如图所示的程序框图，如果输入2,2a b ==，那么输出的a 值为（ ） （A ）4 （B ）16 （C ）256 （D ）3log 165．下列函数中，对于任意x ∈R ，同时满足条件()()f x f x =-和(π)()f x f x -=的函数是（ ） （A ）()sin =f x x （C ）()cos =f x x （B ）()sin cos =f x x x （D ）22()cos sin =-f x x x6． “8m <”是“方程221108x y m m -=--表示双曲线”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件开始 b a a =3log 4a >输出a结束否是输入a , b7．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产．第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元．设该设备使用了()n n *∈N 年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（ ） （A ）3（B ）4（C ）5（D ）68．如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ ） （A ）4个（B ）6个（C ）10个（D ）14个第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．设复数1ii 2ix y -=++，其中,x y ∈R ，则x y +=______．10．若抛物线2:2C y px =的焦点在直线240x y +-=上，则p =_____；C 的准线方程为_____．11．已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，那么它的侧（左）视图面积的最小值是________．12．若不等式组1,0,26,ax y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≥≥≤≤表示的平面区域是一个四边形，则实数a 的取值范围是_______．13．科技活动后，3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念（每名教师只指导一名学生），要求6人排成一排，且学生要与其指导教师相邻，那么不同的站法种数是______．（用数字作答）14．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB =，1CD =，(0)BC a a =>，P 为线段AD （含端点）上一个动点，设AP xAD =，PB PC y ⋅=，对于函数()y f x =，给出以下三个结论：①当2a =时，函数()f x 的值域为[1,4]； ②(0,)a ∀∈+∞，都有(1)1f =成立；③(0,)a ∀∈+∞，函数()f x 的最大值都等于4． 其中所有正确结论的序号是_________．A BD C PBADC. P三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知222b c a bc+=+．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）如果6cos3=B，2b=，求△ABC的面积．16．（本小题满分13分）在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下．根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品．寿命（天）频数频率[100,200) 20 0.10 [200,300) 30 a [300,400) 700.35 [400,500) b0.15 [500,600)50 0.25 合计2001（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a ，b 的值；（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了()*∈n n N 个，如果这n 个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分．．．．．．层抽样．．．所得的结果相同，求n 的最小值； （Ⅲ）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X 表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X 的分布列和数学期望．ABA 1B 1D CED 1 C 117．（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，E 是CD 的中点，1D E CD ⊥，22AB BC ==．（Ⅰ）求证：1⊥BC D E ； （Ⅱ）求证：1B C // 平面1BED ；（Ⅲ）若平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为π3，求线段1D E 的长度．18．（本小题满分13分）已知函数2ln ,,()23,,x x x a f x x x x a >⎧⎪=⎨-+-⎪⎩≤其中0a ≥．（Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有12()()f x f x <，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆2212x W y +=：，直线l 与W 相交于,M N 两点，l 与x 轴、y 轴分别相交于C 、D 两点，O为坐标原点．（Ⅰ）若直线l 的方程为210x y +-=，求OCD ∆外接圆的方程；（Ⅱ）判断是否存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．20．（本小题满分13分）在数列{}n a 中，1()n a n n*=∈N ．从数列{}n a 中选出(3)k k ≥项并按原顺序组成的新数列记为{}n b ，并称{}n b 为数列{}n a 的k 项子列．例如数列1111,,,2358为{}n a 的一个4项子列．（Ⅰ）试写出数列{}n a 的一个3项子列，并使其为等差数列；（Ⅱ）如果{}n b 为数列{}n a 的一个5项子列，且{}n b 为等差数列，证明：{}n b 的公差d 满足108d -<<；（Ⅲ）如果{}n c 为数列{}n a 的一个(3)m m ≥项子列，且{}n c 为等比数列，证明：1231122m m c c c c -++++-≤．北京市西城区2014年高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学（理科） 2014．4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．C 2．B 3．D 4．C 5．D 6．A 7．A 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．25-10．84x =- 11．23 12．(3,5)13．48 14．○2，○3注：第10题第一问2分，第二问3分．第14题若有错选、多选不得分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．其他正确解答过程，请参照评分标准给分． 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为222b c a bc +=+，所以2221cos 22b c a A bc +-==，……………………………… 3分又因为(0,π)∈A ，所以π3A =．……………………………… 5分 （Ⅱ）解：因为6cos 3=B ，(0,π)∈B ， 所以23sin 1cos 3B B =-=．……………………………7分 由正弦定理sin sin =a bA B ，………………………………9分 得sin 3sin ==b Aa B．……………………………10分 因为222b c a bc +=+， 所以2250--=c c ， 解得16=±c ， 因为0>c ，所以61=+c ．……………………………11分 故△ABC 的面积1323sin 22S bc A +==．……………………………13分 16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：0.15a =，30b =．……………………………… 2分（Ⅱ）解：由表可知：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个，所以优等品、正品和次品的比例为50:100:501:2:1=．……………………………… 4分 所以按分层抽样法，购买灯泡数24()*=++=∈n k k k k k N ，所以n 的最小值为4．……………………………… 6分 （Ⅲ）解：X 的所有取值为0,1,2,3．…………………………… 7分由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为0.10.150.25+=，……………… 8分 从本批次灯泡中购买3个，可看成3次独立重复试验，所以033127(0)C (1)464P X ==⨯-=， 1231127(1)C (1)4464P X ==⨯⨯-=， 2213119(2)C ()(1)4464P X ==⨯-=，33311(3)C ()464P X ==⨯=．……………………………… 11分 所以随机变量X 的分布列为：0 1 2 32764 2764 964 164………………………………12分所以X 的数学期望2727913()0123646464644E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………………………13分（注：写出1(3,)4X B ，3311()C ()(1)44kkkP X k -==-，0,1,2,3k =．请酌情给分）17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 和侧面11BCC B 是矩形，所以BC CD ⊥，1BC CC ⊥， 又因为1= CD CC C ，所以BC ⊥平面11DCC D ，………………………………2分 因为1D E ⊂平面11DCC D ， 所以1BCD E ⊥．………………………………4分（Ⅱ）证明：因为1111//, BB DD BB DD =，所以四边形11D DBB 是平行四边形．连接1DB 交1D B 于点F ，连接EF ，则F 为1DB 的中点． 在1∆B CD 中，因为DE CE =，1DF B F =， 所以1//EF B C ．………………………………6分 又因为1⊄B C 平面1BED ，⊂EF 平面1BED ， 所以1//B C 平面1BED ．………………………………8分X P ABA 1B 1D CE D 1 C 1zyxF G（Ⅲ）解：由（Ⅰ）可知1BC D E ⊥， 又因为1D E CD ⊥，BC CD C = ，所以1D E ⊥平面ABCD ．………………………………9分设G 为AB 的中点，以E 为原点，EG ，EC ，1ED 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴 如图建立空间直角坐标系，设1D E a =，则11(0,0,0), (1,1,0), (0,0,), (0,1,0), (1,2,), (1,0,0)E B D a C B a G ． 设平面1BED 法向量为(,,)x y z =n ，因为1(1,1,0), (0,0,)EB ED a ==，由10,0,EB ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0,0.x y z +=⎧⎨=⎩令1x =，得(1,1,0)=-n ．……………………………11分 设平面11BCC B 法向量为111(,,)x y z =m ，因为1(1,0,0), (1,1,)CB CB a ==，由10,0,CB CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 得11110,0.x x y az =⎧⎨++=⎩ 令11z =，得(0,,1)a =-m ．……………………………12分由平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为π3，得2||π|cos ,|cos321a a ⋅<>===⋅+m n m n m n，………………………………13分 解得1a =．……………………………14分 18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得()(ln )ln 1f x x x x ''==+，其中0x >，……………………………… 2分所以(1)1f '=， 又因为(1)0f =，所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-．……………………………… 4分 （Ⅱ）解：先考察函数2()23g x x x =-+-，x ∈R 的图象， 配方得2()(1)2g x x =---，……………………………… 5分所以函数()g x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞单调递减，且max ()(1)2g x g ==-．……………………………… 6分因为对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有12()()f x f x <成立， 所以1a ≤．…………………………… 8分 以下考察函数()ln h x x x =，(0,)x ∈+∞的图象，则()ln 1h x x '=+，令()ln 10h x x '=+=，解得1e=x ．…………………………… 9分 随着x 变化时，()h x 和()h x '的变化情况如下：x1(0,)e1e 1(,)e+∞ ()'h x-+()h x↘↗即函数()h x 在1(0,)e上单调递减，在1(,)e +∞上单调递增，且min 11()()e e==-h x h ．… 11分 因为对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有12()()f x f x <成立， 所以1e≥a ．……………………………… 12分因为12e->-（即min max ()()h x g x >）， 所以a 的取值范围为1,e[1]．……………………………… 13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为直线l 的方程为210x y +-=，所以与x 轴的交点(1,0)C ，与y 轴的交点1(0,)2D ．………………………… 1分 则线段CD 的中点11(,)24，215||1()22CD =+=，…………………………… 3分 即OCD ∆外接圆的圆心为11(,)24，半径为15||24CD =， 所以OCD ∆外接圆的方程为22115()()2416x y -+-=．…………………………… 5分（Ⅱ）解：结论：存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点．理由如下：由题意，设直线l 的方程为(0)y kx m km =+≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ， 则(,0)mC k-，(0,)D m ，……………………………… 6分 由方程组2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(12)4220k x kmx m +++-=，……………………………… 7分 所以2216880k m ∆=-+>，（*）……………………………… 8分由韦达定理，得122412km x x k -+=+，21222212m x x k-=+．………………………… 9分由,C D 是线段MN 的两个三等分点，得线段MN 的中点与线段CD 的中点重合． 所以1224120km x x k mk-+==+-，………………………………10分 解得22k =±．………………………… 11分 由,C D 是线段MN 的两个三等分点，得||3||MN CD =．所以222121||3()m k x x m k+-=+，……………………………… 12分 即221222422||()43||1212km m mx x k k k---=-⨯=++， 解得55m =±．…………………………… 13分 验证知（*）成立．所以存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点，此时直线l 的方程为2525y x =±，或2525y x =-±．……………………………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：答案不唯一．如3项子列12，13，16；……………………………… 2分 （Ⅱ）证明：由题意，知1234510b b b b b >>>>>≥， 所以210d b b =-<．……………………………… 3分 若11b =，由{}n b 为{}n a 的一个5项子列，得212b ≤， 所以2111122d b b =--=-≤． 因为514b b d =+，50b >，所以515411d b b b =-=->-，即14d >-． 这与12d -≤矛盾． 所以11b ≠．所以112b ≤，……………………………… 6分因为514b b d =+，50b >，所以51511422d b b b =-->-≥，即18d >-，综上，得108d -<<．………………………… 7分 （Ⅲ）证明：由题意，设{}n c 的公比为q ，则211231(1)m m c c c c c q q q -++++=++++ ．因为{}n c 为{}n a 的一个m 项子列， 所以q 为正有理数，且1q <，111()c a a*=∈N ≤． 设(,Kq K L L *=∈N ，且,K L 互质，2L ≥）． 当1K =时，因为112q L =≤，所以211231(1)m m c c c c c q q q -++++=++++211111()()222≤-++++ m ， 112()2-=-m ，所以112312()2m m c c c c -++++- ≤．……………………………… 10分当1K ≠时，因为11111m m m m K c c q a L---==⨯是{}n a 中的项，且,K L 互质，所以1*()-=⨯∈m a K M M N ，所以211231(1)m m c c c c c q q q -++++=++++1232111111()----=++++ m m m m M K K L K L L． 因为2L ≥，*K M ∈N ，， 所以21112311111()()2()2222m m m c c c c --++++++++=- ≤． 综上，1231122m m c c c c -++++- ≤．…………………………… 13分。