专题7 数列--《2021届新高考地区优质数学试卷分项解析01》【解析版】

专题7 数列一、单选题1．（2021届河北衡水中学高三月考）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2121a a +=，2a 与4a 的等差中项为2，则4S 的值为（ ） A ．6 B ．-2 C ．-2或6 D ．2或6【答案】C 【解析】设{}n a 公差为d ，则由2122414a a a a ⎧+=⎨+=⎩得()()()21111134a a d a d a d ⎧++=⎪⎨+++=⎪⎩，解得101a d =⎧⎨=⎩或185a d =-⎧⎨=⎩，10,1a d ==时，401236S =+++=， 18,5a d =-=时，48(3)272S =-+-++=-．故选：C ．2．（2021届江苏南京·高三期中）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”你的计算结果是（ ） A ．80里 B ．86里C ．90里D ．96里【答案】D 【解析】由题意可知此人每天走的步数构成12为公比的等比数列， 由题意和等比数列的求和公式可得611[1()]2378112a -=-，解得1192a =，∴此人第二天走1192962⨯=里， ∴第二天走了96里，故选：D ．3．（2021届江苏苏州·高三期中）等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（ ）A ．160B ．180C ．200D ．220【答案】B 【解析】由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=， 所以1201203()54,18a a a a +=∴+=. 所以2012020()10181802S a a =+=⨯=. 故选：B4．（2021届山东济宁·高三其他模拟）设n S 是等差数列{}n a （*n N ∈）的前n 项和，且141,16a S ==，则7a =（ ）A ．7B ．10C ．13D ．16【答案】C 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，141,16a S ==，41464616S a d d ∴=+=+=，2d ∴=， 71613a a d ∴=+=.故选：C5．（2021届河北高三月考）已知数列{}n a ，{}n b ，{}n c 均为等差数列，且1111a b c ++=，2223a b c ++=，则202020202020a b c ++=（ ） A ．4037 B ．4039C ．4041D ．4043【答案】B 【解析】数列{}n n n a b c ++是以1为首项，2为公差的等差数列，所以2020202020201201924039a b c ++=+⨯=. 故选：B ．6．（2021届山东高三期中）已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且521n n S n T n +=-，则76a b =（ ） A ．67B ．1211C ．1825D ．1621【答案】A 【解析】因为等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且521n n S n T n +=-， 所以可设(5)n S kn n =+，(21)n T kn n =-， 所以77618a S S k =-=，66521b T T k =-=，所以7667a b =. 故选：A7．（2021届山东德州·高三期中）正整数的排列规则如图所示，其中排在第i 行第j 列的数记为,i j a ，例如4,39a =，则645a ，等于（ ）12345678910A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022【答案】C 【解析】根据题意，第1行第1列的数为1，此时111(11)112a ⨯-=+=，， 第2行第1列的数为2，此时212(21)122a ⨯-=+=，， 第3行第1列的数为4 ,此时313(31)142a ⨯-=+=，，据此分析可得:第64行第1列的数为64164(641)120172a ⨯-=+=，，则6452021a =，，故选：C.8．（2021届山东高三月考）等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】设数列{}n a 的公差为d ，则由1510a a +=，47a =，可得12410a d +=，137a d +=， 解得2d =. 故选：B ．9．（2021届河北衡水中学高三月考）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，*1(1),N 2n n n n S a n =--∈，则12100S S S +++=（ ）A ．10011132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ B ．9811132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦C ．5011132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦D ．4911132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】由*1(1),2nn a n S a n =--∈N ， 当1n =时，1112S a =--，得114a =-； 当2n ≥时，111111(1)(1)22----=-=----+nn n n n n n n n a S S a a ，即11(1)(1)2n nn n n na a a -=-+-+. 当n 为偶数时，11(2)2n n a n -=-≥，所以112n n a +=-（n 为正奇数），当n 为奇数时，11111112(2)2222n n n n n n a a -+-⎛⎫=-+=--+= ⎪⎝⎭，所以12n n a =（n 为正偶数），所以122211,22a a -==，所以412342411112,,2222a a a a -+=⨯=-==， 所以34991004310010011112,,,2222a a a a -+=⨯=⋯-==，所以991001009911222a a -+=⨯=.因为123100S S S S ++++()()()()12345699100a a a a a a a a =-++-++-+++-+-2100111222⎛⎫+++⎪⎝⎭359911112222=++++2100111222⎛⎫-+++= ⎪⎝⎭501001111112422111142⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=--10011132⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：A10．（2021届江苏南京师大附中高三期中）音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的32，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的34，得到“商”；……．依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得（ ） A ．“宫、商、角”的频率成等比数列 B ．“宫、徵、商”的频率成等比数列 C ．“商、羽、角”的频率成等比数列 D ．“徵、商、羽”的频率成等比数列【答案】A 【解析】设“宫”的频率为a ，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率是32a ； “徵”经过一次“益”，可得“商”的频率是98a ，“商”经过一次“损”，可得“羽”的频率是2716a ；最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率是8164a ， 由于981,,864a a a 成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列． 故选：A ．11．（2021届江苏徐州·高三期中）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,)33，记为第一次操作；再将剩下的两个区间1[0,]3，2[,1]3分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n 的最小值为（ ）（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C 【解析】第一次操作去掉的区间长度为13；第二次操作去掉两个长度为19的区间，长度和为29；第三次操作去掉四个长度为127的区间，长度和为427；…第n 次操作去掉12n -个长度为13n 的区间，长度和为123n n -，于是进行了n 次操作后，所有去掉的区间长度之和为1122213933nn n n S -⎛⎫=++⋅⋅⋅+=- ⎪⎝⎭，由题意，902131n⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即21lg lg1031n ≤=-，即()lg3lg21n -≥，解得：115.679lg3lg 20.47710.3010n ≥=≈--，又n 为整数，所以n 的最小值为6. 故选：C .12．（2021届张家港市外国语学校高三期中）等差数列{}n a 中，已知70a >，390a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为（ ） A ．4S B ．5S C ．6S D ．7S【答案】C 【解析】∵等差数列{}n a 中，390a a +<，∴39620a a a +=<，即60a <.又70a >，∴{}n a 的前n 项和n S 的最小值为6S . 故答案选C 二、多选题13．（2021届河北高三月考）等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，151115,a S S ==，则以下正确的是（ ）A ．1d =-B ．413a a =C ．n S 的最大值为8SD ．使得0n S >的最大整数15n = 【答案】BCD 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意，1115411105112215a d a d a ⨯⨯⎧+=+⎪⎨⎪=⎩，所以1215d a =-⎧⎨=⎩，故A 错误； 所以1131439,129a a d a d a =+==+=-，所以413a a =，故B 正确； 因为()()2211168642n n n a n d n n n S -=+=-+=--+，所以当且仅当8n =时，n S 取最大值，故C 正确； 要使()28640n S n =--+>，则16n <且n N +∈， 所以使得0n S >的最大整数15n =，故D 正确. 故选：BCD.14．（2021届山东临沂·高三期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a p =，122n n S S p --=（2n ≥，p 为非零常数），则下列结论正确的是（ ）A ．{}n a 是等比数列B ．当1p =时，4158S =C ．当12p =时，m n m n a a a +⋅= D ．3856a a a a +=+【答案】ABC 【解析】由122(2)n n S S p n --=≥，得22p a =. 3n ≥时，1222n n S S p ---=，相减可得120n n a a --=，又2112a a =，数列{}n a 为首项为p ，公比为12的等比数列，故A 正确；由A 可得1p =时，44111521812S -==-，故B 正确； 由A 可得m n m n a a a +⋅=等价为2121122m nm np p ++⋅=⋅，可得12p =，故C 正确； 38271133||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭，56451112||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭，则3856a a a a +>+，即D 不正确； 故选：ABC.15．（2021届山东德州·高三期中）已知等比数列{}n a 公比为q ，前n 项和为n S ，且满足638a a =，则下列说法正确的是（ ） A ．{}n a 为单调递增数列 B ．639S S =C ．3S ，6S ，9S 成等比数列D ．12n n S a a =-【答案】BD 【解析】由638a a =，可得3338q a a =，则2q，当首项10a <时，可得{}n a 为单调递减数列，故A 错误；由663312912S S -==-，故B 正确； 假设3S ，6S ，9S 成等比数列，可得2693S S S =⨯， 即6239(12)(12)(12)-=--不成立，显然3S ，6S ，9S 不成等比数列，故C 错误； 由{}n a 公比为q 的等比数列，可得11122121n n n n a a q a a S a a q --===--- 12n n S a a ∴=-，故D 正确；故选：BD ．16．（2021届吕叔湘中学高三月考）已知等比数列{}n a 的公比为q ，前4项的和为114a +，且2a ，31a +，4a 成等差数列，则q 的值可能为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】AC 【解析】因为2a ，31a +，4a 成等差数列， 所以2432(1)a a a +=+，因此，12341313214a a a a a a a +++=+=++， 故34a =．又{}n a 是公比为q 的等比数列， 所以由2432(1)a a a +=+，得331()2(1)a q a q +=+，即152q q +=，解得2q或12． 故选：AC ．17．（2021届河北高三月考）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且3201911111a a e e +≤++，则（ ）A ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≥B ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≤C ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T >D ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T < 【答案】AC 【解析】 由3201911111a a e e +≤++，可得32019111101212a a e e -+-≤++，令()1112x f x e =-+，()()1111101111xx x x x e f x f x e e e e --+=+-=+-=++++，所以()1112x f x e =-+是奇函数，且在R 上单调递减，所以320190a a +≥， 所以当数列{}n a 为等差数列时，()320192*********a a S +=≥；当数列{}n a 为等比数列时，且3a ，1011a ，2019a 同号，所以3a ，1011a ，2019a 均大于零， 故()2021202110110T a =>.故选：AC18．（2021届江苏南通·高三期中）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（ ） A ．若数列{}n a 的前n 项和2(n S an bn c a =++，b ，c 为常数）则数列{}n a 为等差数列B ．若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则数列{}n a 为等差数列C ．数列{}n a 是等差数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯仍为等差数列D ．数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯仍为等比数列； 【答案】ABD 【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，若数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，若0c =，由等差数列的性质可得数列{}n a 为等差数列， 若0c ≠，则数列{}n a 从第二项起为等差数列，故A 不正确；对于B ，若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，可得1422a =-=，2218224a S S =-=--=，33216268a S S =-=--=， 则1a ，2a ，3a 成等比数列，则数列{}n a 不为等差数列，故B 不正确；对于C ，数列{}n a 是等差数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，即为12n a a a ++⋯+，12n n a a ++⋯+，213n n a a ++⋯+，⋯，即为22322n n n n n n n S S S S S S S n d --=---=为常数，仍为等差数列，故C 正确；对于D ，数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯不一定为等比数列， 比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列.故D 不正确. 故选：ABD .19．（2021届江苏苏州·高三期中）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则（ ） A ．若59S >S ，则150S > B ．若59S =S ，则7S 是n S 中最大的项 C ．若67S S >， 则78S S > D ．若67S S >则56S S >.【答案】BC 【解析】A 错：67895911415000S a a a a a S a S ⇒+++<>⇒+<⇒<；B 对：n S 对称轴为n =7；C 对：6770S S a >⇒<，又10a >，887700a S a d S ⇒⇒<<⇒<>；D 错：6770S S a >⇒<，但不能得出6a 是否为负，因此不一定有56S S >． 故选：BC ．20．（2021届河北衡水中学高三月考）（多选题）等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选择项正确的是（ ） A ．0d >B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为8 【答案】ABD 【解析】由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，因为753a a =，可得()11634a d a d +=+，解得13a d =-，又由等差数列{}n a 是递增数列，可知0d >，则10a <，故,A B 正确； 因为22172222n d d d dS n a n n n ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，由7722d nn d -=-=可知，当3n =或4时n S 最小，故C 错误， 令27022n d dS n n =->，解得0n <或7n >，即0n S >时n 的最小值为8，故D 正确. 故选：ABD 三、填空题21．（2021届湖北高三期中）已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理数，若11a b d ==，且124123a a ab b b ++++是正整数，则q =______.【答案】12【解析】由已知()*124221232471a a a d d d t t N b b b d dq dq q q ++++===∈++++++， 270tq tq t ++-=，∵0q >∴2328t t t q -+-+=，且23280t t -+≥，∴*280,3t t N ≤≤∈， ∴1,2,3,4,5,6,7,8,9t =， 又q 为小于1的正有理数， ∴2328t t -+是一个完全平方数， 可得1t =或4t =或7t =或9t =，则2q （舍）或12q =或0q =（舍）或13q =-（舍） ∴12q =. 故答案为：12. 22．（2021届山东济宁·高三其他模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，()112n n a S n -=+≥，则4a =_________．【答案】12 【解析】当2n =时，2113a S =+=；当3n ≥时， 由11n n a S -=+可得121n n a S --=+，两式相减得11n n n a a a ---=，即12n n a a -=， 所以，数列{}n a 是从第二项开始成以2为公比的等比数列，24223412a a ∴=⨯=⨯=.故答案为：12.23．（2021届江苏苏州·高三期中）在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续.预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为________元.（取111.27.5=，121.29=）【答案】40000 【解析】设一月月底小王手中有现款为1(120%)10000100011000a =+⨯-=元，n 月月底小王手中有现款为n a ，1n +月月底小王手中有现款为1n a +，则1 1.21000n n a a +=-，即()15000 1.25000n n a a +-=-， 所以数列{}5000n a -是以6000为首项，1.2为公比的等比数列，111250006000 1.2a -=⨯，即11126000 1.2500050000a =⨯+=元.年利润为500001000040000-=元. 故答案为：40000.24．（2021届河北衡水中学高三月考）已知等比数列{}n a 的前n 项和2n n S a b =+⋅，且52,9,a a 成等差数列，则-a b 的值为___________. 【答案】-2 【解析】因为等比数列{}n a 的前n 项和2n n S a b =+⋅，当2n ≥时；()()111222n n n n n n a S S a b a b b ---=-=+⋅-+⋅=⋅； 当1n =时，01122a S a b b ==+=⋅， 所以0a b +=①， .又52,9,a a 成等差数列，所以2518a a +=，即42218b b +⋅=② .由①②解得1,1a b =-=， 所以2a b -=-. 故答案为：-225．（2021届河北高三月考）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若点(),n n S a 在直线21y x =+上，则5a =__________.【答案】1- 【解析】由题意知21n n a S =+， 当2n ≥时，1121n n a S --=+， 两式相减，得12n n n a a a --=， 即1n n a a -=-， 当1n =时，11a =-，所以数列{}n a 是首项为1-，公比为1-的等比数列， 则()()45111a =-⨯-=-. 故答案为：-126．（2021届辽宁朝阳·高三月考）已知数列{}n a 是首项为32的正项等比数列，n S 其前n 项和，且755314S S S S -=-，若()421k k S ≤⋅-，则正整数k 的最小值为______.【答案】4 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，由题意得2755314S S q S S -==-，所以12q =， 从而()1321216414211212k kk kS ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-≤-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-， 化简得()()212160kk--≥，解得4k ≥或0k ≤（舍去），即k 的最小值为4. 故答案为：4 四、双空题27．（2021届山东临沂·高三期中）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数6，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需要8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列{}n a 满足：1a m =（m为正整数），1,,231,.nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时当13m =时，试确定使得1n a =需要______步雹程；若71a =，则m 所有可能的取值所构成的集合M =______. 【答案】9 {}1,8,10,64 【解析】当13m =时，即113a =，由1,,231,.nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，可得2313140a =⨯+=，23202a a ==，304102a a ==，4552aa ==，653116a a =+=，6782a a ==，7842a a ==，8922a a ==，91012aa ==，因此使得1n a =需要9步雹程；由题意，n a 为正整数，若71a =，由66766,,231,.a a a a a ⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，解得62a =；当62a =时，由55655,,231,.a a a a a ⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，解得54a =，当54a =时，由44544,,231,.a a a a a ⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时解得41a =或48a =；当41a =时，由33433,,231,.a a a a a ⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，解得32a =；当48a =时，由33433,,231,.a a a a a ⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，解得316a =；当32a =时，由22322,,231,.a a a a a ⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，解得24a =；当316a =时，由22322,,231,.a a a a a ⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时解得232a =或25a =；当24a =时，由11211,,231,.a a a a a ⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时解得18a =或11a =；当232a =时，由11211,,231,.a a a a a ⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时解得164a =；当25a =时，由11211,,231,.a a a a a ⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时解得110a =，综上，m 所有可能的取值为1,8,10,64，因此{}1,8,10,64M =. 故答案为：9；{}1,8,10,64. 五、解答题28．（2021届湖北高三期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2，n a ，n S 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n b n a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）2nn a =；（2）1(1)22n n T n +=-⋅+.【解析】（1）由题意知2，,n n a S 成等差数列，所以22n n a S =+①， 可得11222()n n a S n --=+≥②①-②得12(2)n n a a n -=≥，又11122,2a a a =+=，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，∴2n n a = （2）由（1）可得2nn b n =⋅，用错位相减法得：23422232422n n T n =+⨯+⨯+⨯++⨯①2312222(1)22n n n T n n +=+⨯++-⨯+⨯②①-②可得1(1)22n n T n +=-⋅+.29．（2021届山东德州·高三期中）已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，满足213a b ==，5926a a += ，314b a =.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-，3n n b =；（2）()1313n n T n +=+-⋅.【解析】（1）设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为()0q q >，由题知259326a a a =⎧⎨+=⎩，即11321226a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：112a d =⎧⎨=⎩，所以，()1121n a a n d n =+-=-，又1314327b b a =⎧⎨==⎩，解得29q =，又0q >，所以3q =，113n n n b b q -∴=⋅=；（2）()213n n n a b n ⋅=-⋅，()23133353213n n T n =⋅+⋅+⋅++-⋅，①()()23131333233213n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+-⋅②①-②得()()()()2123113132323332133221313n n n n n T n n -++--=++++--⋅=+⋅--⋅-()()1113392136223n n n n n +++=+---⋅=-+-⋅，所以()1313n n T n +=+-⋅.【点睛】30．（2021届山东德州·高三期中）已知数列{}n a 前n 项和n S 满足113,144,2n n n S a a n -=⎧=⎨++≥⎩. （1）设12n n n b a a +=-，求数列{}n b 的通项公式； （2）若2n log 52n C =，数列11n n C C +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为nT ，求证：432n T <. 【答案】（1）110252n n n b -=⋅=⋅；（2）证明见解析.【解析】（1）由题意，当1n =时，13a = ，2114419S a a =++= ，所以22116a S a =-=121210b a a =-=．当2n ≥时，11114444n n n n S a a S a a -+=++⎧⎨=++⎩①②②-①得：1144n n n a a a +-=-()11222n n n n a a a a +--=-即()122n n b b n -=⋅，又110b =所以数列{}n b 是首项为10，公比为2的等比数列． 即110252n n n b -=⋅=⋅（2）12221log log 2252n n C n -===- 1111111112222n n C C n n n n +==-⋅⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 121111111111111222222n n n T C C C C +=++=-+-+⋅-+-+11111211111122222n n n n +-=-=--+-++ 因为1n ，所以120132n <+ 所以4122132n -<+，即432n T < 31．（2021届山东临沂·高三期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-． （1）求{}n a 的通项公式；（2）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，在数列{}n d 中是否存在3项m d ，k d ，p d （其中m ，k ，p 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2n n a =；（2）不存在，理由见解析.【解析】（1）由22n n S a =-可得1122n n S a ++=-，两式相减可得12n n a a +=，故数列{}n a 是以2为公比的等比数列．又1122a a =-，得12a =，∴111222n n nn a a q --==⨯=． （2）由（1）知2nn a =，112n na ，由题意()121n n n a a n d +=++-，即()1221n nn n d +=++，∴21nn d n =+．假设在数列{}n d 中存在三项m d ，k d ，p d （其中m ，k ，p 成等差数列）成等比数列，则()2k m p d d d =⋅，即2222111k m pk m p ⎛⎫=⋅ ⎪+++⎝⎭．化简得()()()242111k m p m p k +=+++． 又因为m ，k ，p 成等差数列，∴2m p k +=，∴()224241211kk k mp m p mp k k ==++++++，得()211k mp m p +=+++，∴2k mp =，又∵2m p k +=，∴22m p mp +⎛⎫= ⎪⎝⎭， 即()20m p -=，∴m p =，即m p k ==，这与题设矛盾．所以在{}n d 中不存在三项m d ，k d ，p d （其中m ，k ，p 成等差数列）成等比数列．32．（2021届山东济宁·高三其他模拟）已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，它的前n 项和为n S ，且137,,a a a 成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列12n S n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）22n a n =+；（2）1nn +. 【解析】 （1）数列{}n a 是公差为2的等差数列，且137,,a a a 成等比数列137,,a a a 成等比数列，2317a a a ，则2111412a a a ，解得14a =，41222na n n ；（2）由（1）可得242232nn n S n n ，211111211n S nn n n n nn ，因此111122111111131n n T n n n n =-+-++-=-=+++. 结论点睛：裂项相消法求数列和的常见类型： （1）等差型111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列； （2n k nn n k+-=++（3）指数型()11nn n a a a a +-=-；（4）对数型11log log log n aa n a n na a a a ++=-. 33．（2021届山东高三期中）设等差数列{}n n ab -的公差为2，等比数列{}n n a b +的公比为2，且12a =，11b =．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}22nn a +的前n 项和nS．【答案】（1）121322n n n a --+⨯=（2）n S =2525n n ⨯+- 【解析】（1）因为12a =，11b =，所以111a b -=，113a b +=，依题意可得，()12121n n a b n n -=+-=-， 132n n n a b -+=⨯，故121322n n n a --+⨯=；（2）由（1）可知，1222152n n n a n -+=-+⨯，故()()113215122n n S n -=+++-+⨯+++()()21215215252n n n n n +-=+⨯-=⨯+-.34．（2021届江苏徐州·高三期中）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足123n n S a a =-，且2a ，32a +，48a -成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）13-=n n a ；（2）1923443n n n T -+=-⨯． 【解析】（1）当2n ≥时，1122233n n n n n a S S a a --=-=-，即13n n a a -=， 由2a ，32a +，48a -成等差数列可知，3242(2)8a a a +=-+， 即2222(32)98a a a +=-+，解得23a =，所以11a =， 则{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以{}n a 的通项公式为13-=n n a ． （2）由（1）知，13n n n n nb a -==， 则01211233333n n n T -=++++， 123111231333333n n n n n T --=+++++， 两式相减得，123121111(1)333333n n n nT -=+++++- 1131313n n n -=--332223n n +=-⨯， 所以1923443n n n T -+=-⨯． 35．（2021届江苏南京师大附中高三期中）已知函数f (x )=x a ( a 为常数，a >0且a ≠1 )（1）在下列条件中选择一个条件___ (仅填序号)，使得依次条件可以推出数列{a n }为等差数列，并说明理由;①数列{f (n a )}是首项为4，公比为2的等比数列; ②数列{f (n a )}是首项为4，公差为2的等差数列;③数列{f (n a )}是首项为4 ，公比为2的等比数列的前n 项和构成的数列;（2）在（1）的选择下，若a =2，b =12n⎛⎫ ⎪⎝⎭(n ∈*N )，求数列{n a .n b }的前n 项和n S ， 【答案】(1) 选①，理由见解析（2）332nn +- 【解析】（1）②③不能推出数列{a n }为等差数列，①能推出数列{a n }为等差数列. 若选①，数列{f (n a )}是首项为4，公比为2的等比数列， 所以f (n a )1+1422n a n n a -==⨯=， 解得1log 2(1)log 2n n a a a n +==+，故数列{a n }为等差数列，若选②，数列{f (n a )}是首项为4，公差为2的等差数列， 所以()42(1)22n f a n n =+-=+，即22na a n =+，解得log 22)a n a n =+（，故数列{a n }不为等差数列，若选③，数列{f (n a )}是首项为4 ，公比为2的等比数列的前n 项和构成的数列，因为首项为4 ，公比为2的等比数列的前n 项和为4(12)4(21)12n n n S -==--，所以()4(21)na n n f a a==-，解得log 4(21)nn a a =-，显然数列{a n }不为等差数列. (2)由（1）及a =2可得1n a n =+，所以11(1)22nn n n n a b n +⎛⎫=+⋅= ⎪⎝⎭， 234345n+112222n n S =+++++， 345111345n+1222222n n S +∴=+++++， 两式相减可得：23451111111112222222n n n n S ++∴=++++++-1111142211212n n n +-⨯+=+-- 13322n n ++=-， 332n n n S +∴=-36．已知等比数列{}n a 的前n 项和为()*234,2,,4n S n N S S S ∈-成等差数列，且2341216a a a ++=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2(2)log n a n b n =-+，求数列1{}nb 的前n 项和n T . 【答案】(1) 12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2) 32342(1)(2)n n T n n +=-++ 【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ， 由23424,,S S S -成等差数列知，324224S S S =-+，所以432a a =-，即12q =-. 又2341216a a a ++=，所以231111216a q a q a q ++=，所以112a =-，所以等差数列{}n a 的通项公式12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）由（1）知1()22(2)log(2)n n b n n n =-+=+ ，所以11111(2)22n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和： 11111111111224511233n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111112212n n ⎡⎤=+--⎢⎥++⎣⎦32342(1)(2)n n n +=-++ 所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和32342(1)(2)n n T n n +=-++37．（2021届江苏苏州·高三期中）已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，且满足1135723162,a 30,a b a a b b a bb ==++==.(1)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；(2)设数列{}n a ，{}n b 的前n 项相分别为n S ，n T .①是否存在正整数k .使得132k k k T T b +=++成立?若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由； ②解关于n 的不等式.n n S b ≥【答案】（1）2,2nn n a n b ==；（2）①存在，5；②{}1,2,3,4.【解析】（1）设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ， 则3575330a a a a ++==，所以1542410a a d d +=+==，解得2d =，所以()112n a a n d n =+-=，所以231632b b a ==即2131432q q b b q =⋅=，解得2q ，所以112n nn b b q -==；（2）①假设存在正整数k 满足132k k k T T b +=++，则132k k b b +=+，所以12232k k +=+，所以232k =，解得5k =， 所以存在正整数5k =满足题意； ②由题意，()112nn a a S n n n +=⋅=+， 所以()12nn n +≥，即()210nn n -+≤令()()21,nf n n n n N +=-+∈，则()()()()()()11121221221n n n f n f n n n n n n +-⎡⎤+-=-++-++=-+⎣⎦，当且仅当3n ≥时，()()10f n f n +-≥，所以()()()()()()123456f f f f f f >>=<<⋅⋅⋅， 又()()10,44f f ==-，()52f =， 所以当且仅当1,2,3,4n =时，()0f n ≤， 所以不等式n n S b ≥的解集为{}1,2,3,4.38．（2021届江苏南京·高三期中）阅读本题后面有待完善的问题，在下列三个关系①1112n n a a +=+，②12n n a a +=+，③21n n S a =-中选择一个作为条件，补充在题中横线标志的__________处，使问题完整，并解答你构造的问题．（如果选择多个关系并分别作答，在不出现逻辑混乱的情况下，按照第一个解答给分） 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，对任意的*N n ∈，都有_________；等比数列{}n b 中，对任意的*N n ∈，都有0n b >，2123n n n b b b ++=+，且11b =，问：是否存在*N k ∈，使得：对任意的*N n ∈，都有n k k n a b a b ≤？若存在，试求出k 的值；若不存在，试说明理由． 【答案】答案见解析 【解析】设等比数列{}n b 的公比为q ．因为对任意的*n ∈N ，都有2123n n n b b b ++=+， 所以223q q =+，解得1q =-或32. 因为对任意的*n ∈N ，都有0n b >，所以0q >，从而32q =． 又11b =，所以132n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭.显然，对任意的*n ∈N ，0n b >．所以，存在*n ∈N ，使得对任意的*n ∈N ，都有n k k n a b a b ≤，即n kn ka ab b ≤． 记nn na cb =，*n ∈N ．下面分别就选择①②③作为条件进行研究．①因为对任意的*n ∈N ，都有1112n n a a +=+，即()11222n n a a +-=-．又11a =，即1210a -=-≠，所以20n a -≠，从而12122n n a a +-=-， 所以数列{}2n a -是等比数列，公比为12，得1122n n a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即1122n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以1123n n n n n a c b --==，从而()1112321n n n n c c ++-=-． 由()1121122132n nn n +--≤⇔≥⇔≥，得：12c c =，当1n ≥时，1n n c c +<， 所以，当1n =或2时，n c 取得最大值，即nna b 取得最大值． 所以对任意的*n ∈N ，都有2121n n a a a b b b ≤=，即11n n a b a b ≤，22n n a b a b ≤， 所以存在1k =，2，使得：对任意的*n ∈N ，都有n k k n a b a b ≤. ②因为对任意的*n ∈N ，都有12n n a a +=+，即12n n a a +-=， 所以数列{}n a 是等差数列，公差为2． 又11a =，所以12(1)21n a n n =+-=-.所以12(21)03n n n n a c n b -⎛⎫==-> ⎪⎝⎭，从而12(21)3(21)n n c n c n ++=-． 由2(21)51253(21)2n n n n +≤⇔≥⇔≥-，得：当2n ≤时，1n n c c +>；当3n ≥时，1n n c c +<，所以，当3n =时，n c 取得最大值，即nna b 取得最大值． 所以对任意的*n ∈N ，都有33n n a a b b ≤，即33n n a b a b ≤． 所以存在3k =，使得对任意的*N n ∈，都有n k k n a b a b ≤.③因为对任意的*N n ∈，都有21n n S a =-，所以1121n n S a ++=-，从而()1111212122n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=---=-，即12n n a a +=．又110a =>，所以0n a >，且12n na a +=， 从而数列{}n a 是等比数列，公比为2，得12n na .所以1304n n n n a c b -⎛⎫==> ⎪⎝⎭，从而1314n n c c +=<，所以1n n c c +<， 所以，当1n =时，n c 取得最大值，即nna b 取得最大值． 所以对任意的*N n ∈，都有11n n a a b b ≤，即11n n a b a b ≤． 所以存在1k =，使得对任意的*N n ∈，都有n k k n a b a b ≤.39．（2021届河北衡水中学高三月考）已知数列{}n a 的前n 项和为1,1,0n n S a a =>2211n n n S a S λ++=-,其中λ为常数.(1)证明: 12n n S S λ+=+；(2)是否存在实数λ,使得数列{}n a 为等比数列,若存在,求出λ;若不存在,说明理由. 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解析】 （1）11n n n a S S ++=-，2211n n n S a S λ++=-，()2211n n n n S S S S λ++∴=--，()1120n n n S S S λ++∴--=，10,0n n a S +∴>∴>， 120n n S S λ+∴--=； 12n n S S λ+∴=+，（2）12n n S S λ+=+，()122n n S S n λ+=+≥，相减得：()122n n a a n +=≥，{}n a ∴从第二项起成等比数列，212S S λ=+即2112a a a λ+=+， 210a λ∴=+>得1λ>-，()21,12,n n a λ-+⎧∴=⎨⎩,1,2,n n =≥ 若使{}n a 是等比数列则2132a a a =，()()2211λλ∴+=+，1λ∴=-（舍）或1λ=经检验得符合题意．40．（2021届河北衡水中学高三月考）甲､乙两名同学在复习时发现他们曾经做过的一道数列题目因纸张被破坏导致一个条件看不清，具体如下等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知____________， （1）判断123,,S S S 的关系并给出证明. （2）若133a a -=，设12n n n b a =，{}n b 的前n 项和为n T ，证明43n T <.甲同学记得缺少的条件是首项1a 的值，乙同学记得缺少的条件是公比q 的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是132,,S S S 成等差数列.如果甲､乙两名同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题.【答案】补充条件见解析；（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）补充的条件为12q =-， 123,,S S S 的关系为132,,S S S 成等差数列.证明如下： 若12q =-则11S a =，2121111122S a a a a a =+=-=，31231111113244S a a a a a a a =++=-+=，可得1232S S S +=，因此132,,S S S 成等差数列. （2）证明：由133a a -=，可得11134a a -=， 解得1114,42n n a a -⎛⎫==⨯- ⎪⎝⎭11241212232n n n nn n nb a -⎛⎫==⨯-=⋅ ⎪⎝⎭， 则1232111112332222n nT n ⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅⎪⎝⎭， 2341121111123232222n n T n +⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅⎪⎝⎭， 上面两式相减可得234111111211111121221232222223212n n n n n T n n ++⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎢⎥=+++++-⋅=-⋅ ⎪⎝⎭⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. 整理可得12242213232n n n n n T +++⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为*12N ,112n n n ++∈-<，所以43n T <.41．（2021届河北高三月考）已知各项均不相等的等比数列{}n a 中，n S 为其前n S 项和，12a =，在①36S =；②637S S =-；③2354,,a a a 成等差数列，这三个条件中任选一个补充为条件，并作答： （1）求n a ； （2）设1(1)n n n b na -=-，求{}n b 的前n 项和n T .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】条件选择见解析；（1）()112n n n a -=-⋅；（2）1(1)22n n T n +=-⋅+.【解析】（1）解：设等比数列{}n a 的公比为q ，且1q ≠，选①；231232(1)6,(2)(1)0S a a a q q q q =++=++=∴+-=，()11,2,22n n q q a -≠∴=-∴=-()112n n n a -∴=-⋅ 选②；633363331(1)(1)11,17111q S q q q q q q S qq-+--≠∴===+=----， ()12,22n n q a -∴=-∴=-， ()112n n n a -∴=-⋅选③；24332511124,24,240a a a a q a q a q q q =+∴=+∴-+=，2(2)(22)0q q q ∴+-+=，()12,22n n q a -∴=-∴=-()112n n n a -∴=-⋅（2）()112n n n n b na n -=-=⋅123231122232221222(1)22nn n n n T n T n n +∴=⋅+⋅+⋅++⋅=⋅+⋅++-⋅+⋅ 两式相减得，23111122222222(1)22n n n n n n n T n n T n ++++-=++++-⋅=--⋅∴=-⋅+ 42．（2021届河北高三月考）2020年是充满挑战的一年，但同时也是充满机遇､蓄势待发的一年.突如其来的疫情给世界带来了巨大的冲击与改变，也在客观上使得人们更加重视科技的力量和潜能.某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.假设该企业第一年年初有资金5000万元，并将其全部投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金(2500)t t 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元 （1）判断{}2n a t -是否为等比数列？并说明理由；（2）若企业每年年底上缴资金1500t =，第()m m N *∈年年底企业的剩余资金超过21000万元，求m 的最小值.(lg 20.3010;lg30.4771)≈≈【答案】（1）答案见解析；（2）6.【解析】（1）由题意得，15000(150%)7500,a t t =+-=- 13(150%)2n n n a a t a t +=+-=-. 当2500t <时，即12750030a t t -=->时，133232222n n n n a t a t a t a t +--∴==--{}2n a t ∴-是以1275003a t t -=-为首项，32为公比的等比数列. 当2500t =，即120a t -=时， {}2n a t -不是等比数列（2）当1500t =时，由（1）知，133********n n a -⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭ 133000()3000210002m m a -∴=+>，即1362m -⎛⎫> ⎪⎝⎭， 法一：易知32x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递增， 又4381()6216=<，53243()6232=>， 15m ∴-≥，6m ≥， m ∴的最小值为6法二：32lg 6lg 2lg30.30100.47710.77811log 6 4.423lg3lg 20.47710.30100.1761lg 2m ++∴->==≈=≈--， 6m ≥，m ∴的最小值为6.43．（2021届务川仡佬族苗族自治县汇佳中学高二期中）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，26a 为3a ，4a 的等差中项.（1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，设31323log log log n n b a a a =+++，求数列11n b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.【答案】（1）3；（2）21n n +. 【解析】 （1）设{}n a 的公比为q ，又26a 为3a ，4a 的等差中项， ∴23412a a a =+，∴2120q q +-=，∵0q >，∴3q =.（2）由（1）可知13-=n n a ，∴()1012312n n n b n -=+++++-=. 设11n b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，()11211211n b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， ∴11111112212233411n n S n n n ⎛⎫=-+-+-++-= ⎪++⎝⎭. 44．（2021届河北高三月考）已知数列{}n a 的首项为0，112320n n n n a a a a +++++=.（1）证明数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）已知数列{}n b 的前n 项和为n S ，且数列{}n b 满足21n n n b a =+，若不等式()1132n n n S λ+-<+⨯对一切n N +∈恒成立，求λ的取值范围.【答案】（1）证明见解析，2221n n a n -=-；（2）1438λ-<<. 【解析】（1）证明：∵112320n n n n a a a a +++++=，∴()()112110n n n n a a a a +++++-=， ∴()()()()11211110n n n n a a a a ++++++-+=，∴111211n n a a +-=++，∴数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列. ∴()1121211n n n a =+-=-+，∴12212121n n a n n -=-=--. （2）由题可知()212n n b n =-⨯，()123123252212n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯， ()23412123252212n n S n +=⨯+⨯+⨯++-⨯， 两式相减得()123112222222212n n n S n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯， ∴()12236n n S n +=-+. ∴()2126n n n λ+-<⋅+，若n 为偶数，则226n n λ+<⋅+，∴38λ<；若n 为奇数，则226n n λ+-<⋅+，∴14λ-<，∴14λ>-. 综上，1438λ-<<.45．（2021届辽宁朝阳·高三月考）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，已知()0n b n N *>∈，111a b ==，233a b a +=，()5325S T b =+. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）求和：1212231n n n b b b TT T T T T ++++. 【答案】（1）43n a n =-，12n n b -=；（2）1111221n +⎛⎫- ⎪-⎝⎭. 【解析】（1）由233a b a +=，111a b ==，得332b a a =-，得2q d =. ①又()533255S a T b ==+，所以332a T b =+，即21212d q q +=++. ②由①②得220q q -=，解得2q，4d =.所以43n a n =-，12n n b -=.。