【世纪金榜】高考数学(文科,全国通用)一轮总复习练习：2.11.1利用导数研究函数的单调性(含答案解析)
高考数学(文科)总复习考点解析及试题第二章函数导数及其应用
高考数学（文科）总复习考点解析及试题（解析版）第二章 函数、导数及其应用本章是高考复习中十分重要的一章，共有13个考点如下：考点1 函数及其表示 考点2 函数的定义域和值域考点3 函数的单调性考点4 函数的奇偶性与周期性考点5 二次函数与幂函数 考点6 指数与指数函数 考点7 对数与对数函数 考点8 函数的图象 考点9 函数与方程 考点10 函数模型及其应用考点11 变化率与导数、导数的计算考点12 导数的应用(一) 考点13 导数的应用(二)考点测试1 函数及其表示高考概览高考在本考点的常考题型为选择题和填空题，分值5分，中高等难度 考纲研读1．了解构成函数的要素，了解映射的概念2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数3．了解简单的分段函数，并能简单应用一、基础小题1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f [g (π)]的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．π 答案 B解析 因为g (π)＝0，所以f [g (π)]＝f (0)＝0，故选B ． 2．下列图象中，不可能成为函数y ＝f (x )图象的是( )答案 A解析 函数图象上一个x 值只能对应一个y 值．选项A 中的图象上存在一个x 值对应两个y 值，所以其不可能为函数图象，故选A ．3．下列各组函数中是同一个函数的是( ) ①f (x )＝x 与g (x )＝(x )2； ②f (x )＝x 与g (x )＝x 2； ③f (x )＝x 2与g (x )＝x 4；④f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1． A ．①② B ．①③ C ．③④ D ．①④ 答案 C解析 ①中f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为[0，＋∞)，故f (x )，g (x )不是同一个函数；②中g (x )＝x 2＝|x |，故f (x )，g (x )不是同一个函数．故选C ．4．若点A (0，1)，B (2，3)在一次函数y ＝ax ＋b 的图象上，则一次函数的解析式为( ) A ．y ＝－x ＋1 B ．y ＝2x ＋1 C ．y ＝x ＋1 D ．y ＝2x －1 答案 C解析 将点A ，B 代入一次函数y ＝ax ＋b 得b ＝1，2a ＋b ＝3，则a ＝1．故一次函数的解析式为y ＝x ＋1．故选C ．5．已知反比例函数y ＝f (x )．若f (1)＝2，则f (3)＝( ) A ．1 B ．23 C ．13 D ．－1答案 B解析 设f (x )＝k x (k ≠0)，由题意有2＝k ，所以f (x )＝2x ，故f (3)＝23．故选B ．6．已知f (x ＋1)＝x 2＋2x ＋3，则f (x )＝( ) A ．x 2＋4x ＋6 B ．x 2－2x ＋2 C ．x 2＋2 D ．x 2＋1 答案 C解析 解法一：由f (x ＋1)＝(x ＋1)2＋2得f (x )＝x 2＋2．故选C ．解法二：令x ＋1＝t ，则x ＝t －1，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＋3＝t 2＋2，故f (x )＝x 2＋2．故选C ．7．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的公共点个数可能是( ) A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2 答案 C解析 函数的图象与直线有可能没有交点．如果有交点，那么对于x ＝1，f (x )仅有一个函数值与之对应．故选C ．8．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用s 1，s 2分别表示乌龟和兔子所行的路程(t 为时间)，则下图与故事情节相吻合的是( )答案 B解析 兔子的速率大于乌龟，且到达终点的时间比乌龟长，观察图象可知，选B ． 9．下列从集合A 到集合B 的对应中是映射的是( ) A ．A ＝B ＝N *，对应关系f ：x →y ＝|x －3|B ．A ＝R ，B ＝{0，1}，对应关系f ：x →y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1(x ≥0)，0(x <0)C ．A ＝Z ，B ＝Q ，对应关系f ：x →y ＝1xD ．A ＝{0，1，2，9}，B ＝{0，1，4，9，16}，对应关系f ：a →b ＝(a －1)2答案 B解析 A 项中，对于集合A 中的元素3，在f 的作用下得0，但0∉B ，即集合A 中的元素3在集合B 中没有元素与之对应，所以这个对应不是映射；B 项中，对于集合A 中任意一个非负数在集合B 中都有唯一元素1与之对应，对于集合A 中任意一个负数在集合B 中都有唯一元素0与之对应，所以这个对应是映射；C 项中，集合A 中的元素0在集合B 中没有元素与之对应，故这个对应不是映射；D 项中，在f 的作用下，集合A 中的元素9应该对应64，而64∉B ，故这个对应不是映射．故选B ．10．若函数f (x )如下表所示：则f [f (1)]＝________． 答案 1解析 由表格可知，f (1)＝2，所以f [f (1)]＝f (2)＝1．11．已知函数g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝2x 2－x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________．答案831解析 令1－2x ＝12，得x ＝14，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2×142－116＝123116＝831．12．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14(x －2)2－1，x >0解析 当－1≤x ≤0时，设解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，由图象得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1.∴y ＝x ＋1．当x >0时，设解析式为y ＝a (x －2)2－1(a ≠0)， ∵图象过点(4，0)，∴0＝a (4－2)2－1，解得a ＝14．综上，函数f (x )在[－1，＋∞)上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14(x －2)2－1，x >0.13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12 答案 C解析 ∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝3； ∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6． ∴f (－2)＋f (log 212)＝9．14．存在函数f (x )满足：对于任意x ∈R 都有( ) A ．f (sin2x )＝sin x B ．f (sin2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1| D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1| 答案 D解析 对于A ，令x ＝0，得f (0)＝0；令x ＝π2，得f (0)＝1，这与函数的定义不符，故A 错误．在B 中，令x ＝0，得f (0)＝0；令x ＝π2，得f (0)＝π24＋π2，与函数的定义不符，故B 错误．在C 中，令x ＝1，得f (2)＝2；令x ＝－1，得f (2)＝0，与函数的定义不符，故C 错误．在D 中，变形为f (|x ＋1|2－1)＝|x ＋1|，令|x ＋1|2－1＝t ，得t ≥－1，|x ＋1|＝t ＋1，从而有f (t )＝t ＋1，显然这个函数关系在定义域[－1，＋∞)上是成立的，故选D ．15．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x，x ≥1.则满足f [f (a )]＝2f (a )的a 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1B ．[0，1]C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞) 答案 C解析 解法一：①当a <23时，f (a )＝3a －1<1，f [f (a )]＝3(3a －1)－1＝9a －4，2f (a )＝23a －1，显然f [f (a )]≠2f (a )．②当23≤a <1时，f (a )＝3a －1≥1，f [f (a )]＝23a －1，2f (a )＝23a －1，故f [f (a )]＝2f (a )．③当a ≥1时，f (a )＝2a>1，f [f (a )]＝22a，2f (a )＝22a ，故f [f (a )]＝2f (a )．综合①②③知a ≥23．故选C ．解法二：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x，x ≥1，而f [f (a )]＝2f (a )，∴f (a )≥1，∴有⎩⎪⎨⎪⎧a <1，3a －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，2a≥1，解得23≤a <1或a ≥1，∴a ≥23，即a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞，故选C ． 16．函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0<x ≤2，x ＋12，－2<x ≤0，则f [f (15)]的值为________． 答案22解析 ∵f (x ＋4)＝f (x )，∴函数f (x )的周期为4， ∴f (15)＝f (－1)＝12，f 12＝cos π4＝22，∴f [f (15)]＝f 12＝22．17．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ 解析 由题意知，可对不等式分x ≤0，0＜x ≤12，x ＞12三段讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12＞1，解得x ＞－14，∴－14＜x ≤0．当0＜x ≤12时，原不等式为2x＋x ＋12＞1，显然成立．当x ＞12时，原不等式为2x＋2x －12＞1，显然成立．综上可知，x ＞－14．18．设f ，g 都是由A 到A 的映射，其对应关系如下：映射f 的对应关系映射g 的对应关系则f [g (1)]的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 根据映射g 的对应关系，可得g (1)＝4，再根据映射f 的对应关系，可得f (4)＝1，故选A ．19．下列函数为同一函数的是( ) A ．y ＝x 2－2x 和y ＝t 2－2t B ．y ＝x 0和y ＝1C ．y ＝(x ＋1)2和y ＝x ＋1 D ．y ＝lg x 2和y ＝2lg x 答案 A解析 对于A ：y ＝x 2－2x 和y ＝t 2－2t 的定义域都是R ，对应关系也相同，∴是同一函数；对于B ：y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}，而y ＝1的定义域是R ，两函数的定义域不同，∴不是同一函数；对于C ：y ＝ (x ＋1)2＝|x ＋1|和y ＝x ＋1的定义域都是R ，但对应关系不相同，∴不是同一函数；对于D ：y ＝lg x 2的定义域是{x |x ≠0}，而y ＝2lg x 的定义域是{x |x >0}，两函数的定义域不同，∴不是同一函数．故选A ．20．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1(x ≥2)，log 2x (0<x <2)，若f (m )＝3，则实数m 的值为( )A ．－2B ．8C ．1D ．2 答案 D解析 当m ≥2时，由m 2－1＝3，得m 2＝4，解得m ＝2；当0<m <2时，由log 2m ＝3，解得m ＝23＝8(舍去)．综上所述，m ＝2，故选D ．21． 某工厂八年来某种产品总产量y 与时间t (年)的函数关系如图，下列四种说法：①前三年中，产量的增长速度越来越快； ②前三年中，产量的增长速度越来越慢； ③第三年后，这种产品停止生产；④第三年后，年产量保持不变．其中说法正确的是( ) A ．②③ B ．②④ C ．①③ D ．①④ 答案 A解析 由函数图象可知，在区间[0，3]上，图象凸起上升，表明年产量增长速度越来越慢；在区间(3，8]上，图象是水平直线，表明总产量保持不变，即年产量为0，所以②③正确．故选A ．22．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋λ，x <1(λ∈R )，2x，x ≥1，若对任意的a ∈R 都有f [f (a )]＝2f (a )成立，则λ的取值范围是( )A ．(0，2]B ．[0，2]C ．[2，＋∞) D．(－∞，2) 答案 C解析 当a ≥1时，2a ≥2，∴f [f (a )]＝f (2a )＝22a ＝2f (a )，∴λ∈R ；当a <1时，f [f (a )]＝f (λ－a )＝2λ－a，∴λ－a ≥1，即λ≥a ＋1，由题意知λ≥(a ＋1)max ，∴λ≥2．综上，λ的取值范围是[2，＋∞)．故选C ．23．已知函数f (x )＝ax －b (a >0)，f [f (x )]＝4x －3，则f (2)＝________． 答案 3解析 由题意，得f [f (x )]＝a (ax －b )－b ＝a 2x －ab －b ＝4x －3，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，－ab －b ＝－3，因为a >0，所以解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以f (x )＝2x －1，则f (2)＝3．24．已知函数f (x )＝22x ＋1＋sin x ，则f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＝________．答案 5解析 ∵f (x )＋f (－x )＝22x ＋1＋sin x ＋22－x ＋1－sin x ＝22x ＋1＋2x ＋11＋2x ＝2，且f (0)＝1，∴f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＝5．25．已知f (1－cos x )＝sin 2x ，则f (x 2)的解析式为________． 答案 f (x 2)＝－x 4＋2x 2，x ∈[－2，2]解析 f (1－cos x )＝sin 2x ＝1－cos 2x ，令1－cos x ＝t ，t ∈[0，2]，则cos x ＝1－t ，所以f (t )＝1－(1－t )2＝2t －t 2，t ∈[0，2]，则f (x 2)＝－x 4＋2x 2，x ∈[－2，2]．二、高考大题1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx ＋1，0<x <c ，2－xc 2＋1，c ≤x <1，且f (c 2)＝98．(1)求常数c ； (2)解方程f (x )＝98．解 (1)∵0<c <1，∴c 2<c ， ∴f (c 2)＝c 3＋1＝98，即c ＝12．(2)由(1)得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，0<x <12，2－4x ＋1，12≤x <1.由f (x )＝98得⎩⎪⎨⎪⎧0<x <12，12x ＋1＝98或⎩⎪⎨⎪⎧12≤x <1，2－4x＋1＝98，解得x ＝14或x ＝34．2．已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x 且f (0)＝1． (1)求f (x )的解析式；(2)在区间[－1，1]上，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋m 的图象上方，试确定实数m 的取值范围．解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，得c ＝1，所以f (x )＝ax 2＋bx ＋1． 因为f (x ＋1)－f (x )＝2x ，所以a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，所以f (x )＝x 2－x ＋1．(2)由题意得x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1，1]上恒成立， 即x 2－3x ＋1－m >0在[－1，1]上恒成立．设g (x )＝x 2－3x ＋1－m ， 其图象的对称轴为直线x ＝32，所以g (x )在[－1，1]上单调递减．故只需g (1)>0，即12－3×1＋1－m >0，解得m <－1． 故实数m 的取值范围是(－∞，－1)．3．已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝－2f (x ＋1)，且f (x )在区间[0，1)上有表达式f (x )＝x 2．(1)求f (－1)，f (1．5)；(2)写出f (x )在区间[－2，2]上的表达式．解 (1)由题意知f (－1)＝－2f (－1＋1)＝－2f (0)＝0，f (1．5)＝f (1＋0．5)＝－12f (0．5)＝－12×14＝－18．(2)当x ∈[0，1)时，f (x )＝x 2； 当x ∈[1，2)时，x －1∈[0，1)，f (x )＝－12f (x －1)＝－12(x －1)2， f (2)＝－12f (1)＝14f (0)＝0；当x ∈[－1，0)时，x ＋1∈[0，1)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2(x ＋1)2；当x ∈[－2，－1)时，x ＋1∈[－1，0)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2]＝4(x ＋2)2．所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＝2，－12(x －1)2，x ∈[1，2)，x 2，x ∈[0，1)，－2(x ＋1)2，x ∈[－1，0)，4(x ＋2)2，x ∈[－2，－1).4．某公司研发出一款产品，批量生产前先在某城市销售30天进行市场调查．调查结果发现：日销量f (t )与天数t 的对应关系服从图①所示的函数关系：每件产品的销售利润h (t )与天数t 的对应关系服从图②所示的函数关系．图①由抛物线的一部分(A 为抛物线顶点)和线段AB 组成．(1)设该产品的日销售利润Q (t )(0≤t ≤30，t ∈N )，分别求出f (t )，h (t )，Q (t )的解析式；(2)若在30天的销售中，日销售利润至少有一天超过8500元，则可以投入批量生产，该产品是否可以投入批量生产，请说明理由．解 (1)f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－110t 2＋4t ，0≤t ≤20，－t ＋60，20<t ≤30，h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧20t ，0≤t ≤10，200，10<t ≤30.由题可知，Q (t )＝f (t )h (t )， ∴当0≤t ≤10时，Q (t )＝－110t 2＋4t 20t ＝－2t 3＋80t 2；当10<t ≤20时，Q (t )＝－110t 2＋4t ×200＝－20t 2＋800t ；当20<t ≤30时，Q (t )＝(－t ＋60)×200＝－200t ＋12000．∴Q (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2t 3＋80t 2，0≤t ≤10，－20t 2＋800t ，10<t ≤20，－200t ＋12000，20<t ≤30(t ∈N )．(2)该产品不可以投入批量生产，理由如下： 当0≤t ≤10时，Q (t )max ＝Q (10)＝6000， 当10<t ≤20时，Q (t )max ＝Q (20)＝8000， 当20<t ≤30时，Q (t )<Q (20)＝8000， ∴Q (t )的最大值为Q (20)＝8000<8500．∴在一个月的销售中，没有一天的日销售利润超过8500元，不可以投入批量生产．考点测试2 函数的定义域和值域高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度 考纲研读会求一些简单函数的定义域和值域一、基础小题1．函数y ＝1log 2x －2的定义域为( )A ．(0，4)B ．(4，＋∞)C ．(0，4)∪(4，＋∞) D．(0，＋∞) 答案 C解析 由条件可得log 2x －2≠0且x >0，解得x ∈(0，4)∪(4，＋∞)．故选C ． 2．函数y ＝x (3－x )＋x －1的定义域为( ) A ．[0，3] B ．[1，3] C ．[1，＋∞) D．[3，＋∞) 答案 B解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x (3－x )≥0，x －1≥0，解得1≤x ≤3．故选B ．3．函数f (x )＝－2x 2＋3x (0<x ≤2)的值域是( ) A ．－2，98 B ．－∞，98C ．0，98D ．98，＋∞答案 A解析 f (x )＝－2x －342＋98(x ∈(0，2])，所以f (x )的最小值是f (2)＝－2，f (x )的最大值是f 34＝98．故选A ．4．已知函数f (x )＝2＋log 3x ，x ∈181，9，则f (x )的最小值为( )A ．－2B ．－3C ．－4D ．0 答案 A解析 由函数f (x )在其定义域内是增函数可知，当x ＝181时，函数f (x )取得最小值f 181＝2＋log 3 181＝2－4＝－2，故选A ．5．已知函数f (x )的定义域为(－1，1)，则函数g (x )＝f x2＋f (x －1)的定义域为( ) A ．(－2，0) B ．(－2，2) C ．(0，2) D ．－12，0答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1<x 2<1，－1<x －1<1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <2，0<x <2，∴0<x <2，∴函数g (x )＝f x2＋f (x－1)的定义域为(0，2)，故选C ．6．函数y ＝x ＋2－x 的值域为( ) A ．94，＋∞ B．94，＋∞ C ．－∞，94 D ．－∞，94答案 D解析 令t ＝2－x ≥0，则t 2＝2－x ，x ＝2－t 2，∴y ＝2－t 2＋t ＝－t －122＋94(t ≥0)，∴y ≤94，故选D ．7．已知函数f (x )＝1x ＋1，则函数f [f (x )]的定义域是( ) A ．{x |x ≠－1} B ．{x |x ≠－2}C ．{x |x ≠－1且x ≠－2}D ．{x |x ≠－1或x ≠－2} 答案 C 解析 f [f (x )]＝1f (x )＋1＝11x ＋1＋1，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，11＋x＋1≠0，解得x ≠－1且x ≠－2．故选C ．8．若函数y ＝f (x )的值域是[1，3]，则函数F (x )＝1－f (x ＋3)的值域是( ) A ．[－8，－3] B ．[－5，－1] C ．[－2，0] D ．[1，3]答案 C解析 ∵1≤f (x )≤3，∴－3≤－f (x ＋3)≤－1，∴－2≤1－f (x ＋3)≤0，即F (x )的值域为[－2，0]．故选C ．9．函数y ＝16－4x的值域是( )A ．[0，＋∞) B．[0，4] C ．[0，4) D ．(0，4) 答案 C解析 由已知得0≤16－4x<16，0≤ 16－4x<16＝4，即函数y ＝16－4x的值域是[0，4)．故选C ．10．函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2，5)，则其值域是( ) A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2 B ．(－∞，2] C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪(2，＋∞) D．(0，＋∞) 答案 A解析 当x <1时，x －1<0，此时y ＝2x －1<0；当2≤x <5时，1≤x －1<4，此时14<1x －1≤1，12<2x －1≤2，即12<y ≤2，综上，函数的值域为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2．故选A ．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，－2≤x ≤0，1x，0<x ≤3，则函数f (x )的值域是________．答案 －14，＋∞解析 当－2≤x ≤0时，x 2＋x ＝x ＋122－14，其值域为－14，2；当0<x ≤3时，1x 的值域为13，＋∞，故函数f (x )的值域是－14，＋∞． 12．函数f (x )＝x －1x ＋1的值域为________． 答案 [－1，1) 解析 由题意得f (x )＝x －1x ＋1＝1－2x ＋1，∵x ≥0，∴0<2x ＋1≤2，∴－2≤－2x ＋1<0，∴－1≤1－2x ＋1<1，故所求函数的值域为[－1，1)．13．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x答案 D 解析 函数y ＝10lg x的定义域、值域均为(0，＋∞)，而y ＝x ，y ＝2x的定义域均为R ，排除A ，C ；y ＝lg x 的值域为R ，排除B ．故选D ．14．函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________． 答案 [2，＋∞)解析 由题意可得log 2x －1≥0，即log 2x ≥1，∴x ≥2．∴函数的定义域为[2，＋∞)． 15．函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________． 答案 [－3，1]解析 若函数有意义，则需3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，解得－3≤x ≤1． 16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x－3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x <1，则f [f (－3)]＝________，f (x )的最小值是________． 答案 0 22－3解析 由题知，f (－3)＝1，f (1)＝0，即f [f (－3)]＝0．又f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝min{f (0)，f (2)}＝22－3．17．已知函数f (x )＝a x＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________． 答案 －32解析 ①当a >1时，f (x )在[－1，0]上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．②当0<a <1时，f (x )在[－1，0]上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32．18．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．答案 (1，2]解析 当x ≤2时，f (x )＝－x ＋6，f (x )在(－∞，2]上为减函数，∴f (x )∈[4，＋∞)．当x >2时，若a ∈(0，1)，则f (x )＝3＋log a x 在(2，＋∞)上为减函数，f (x )∈(－∞，3＋log a 2)，显然不满足题意，∴a >1，此时f (x )在(2，＋∞)上为增函数，f (x )∈(3＋log a 2，＋∞)，由题意可知(3＋log a 2，＋∞)⊆[4，＋∞)，则3＋log a 2≥4，即log a 2≥1，∴1＜a ≤2．19．函数f (x )＝12－x＋ln (x ＋1)的定义域为( )A ．(2，＋∞) B．(－1，2)∪(2，＋∞) C ．(－1，2) D ．(－1，2] 答案 C解析 函数的定义域应满足⎩⎪⎨⎪⎧2－x >0，1＋x >0，∴－1<x <2．故选C ．20．已知函数f (x )＝x ＋2x－a (a >0)的最小值为2，则实数 a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 答案 B解析 由2x－a ≥0得x ≥log 2a ，故函数的定义域为[log 2a ，＋∞)，易知函数f (x )在[log 2a ，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (log 2a )＝log 2a ＝2，解得a ＝4．故选B ．21．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2(x ≤1)，ln x (x >1)，那么函数f (x )的值域为( )A ．(－∞，－1)∪[0，＋∞) B．(－∞，－1]∪(0，＋∞) C ．[－1，0) D ．R 答案 B解析 函数y ＝x －2(x ≤1)的值域为(－∞，－1]，函数y ＝ln x (x >1)的值域为(0，＋∞)，故函数f (x )的值域为(－∞，－1]∪(0，＋∞)．故选B ．22．已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z )，值域是[0，1]，那么满足条件的整数数对(a ，b )共有( )A ．2个B ．3个C ．5个D ．无数个 答案 C解析 ∵函数f (x )＝4|x |＋2－1的值域是[0，1]，∴1≤4|x |＋2≤2，∴0≤|x |≤2，∴－2≤x ≤2，∴[a ，b ]⊆[－2，2]．又由于仅当x ＝0时，f (x )＝1，当x ＝±2时，f (x )＝0，故在定义域中一定有0，且2，－2中必有其一，故满足条件的整数数对(a ，b )有(－2，0)，(－2，1)，(－2，2)，(－1，2)，(0，2)共5个．故选C ．23．函数y ＝3|x |－1的定义域为[－1，2]，则函数的值域为________．答案 [0，8]解析 当x ＝0时，y min ＝30－1＝0，当x ＝2时，y max ＝32－1＝8，故值域为[0，8]． 24．若函数f (x ＋1)的定义域是[－1，1]，则函数f (log 12x )的定义域为________．答案 14，1解析 ∵f (x ＋1)的定义域是[－1，1]，∴f (x )的定义域是[0，2]，则f (log 12x )的定义域为0≤log 12x ≤2，∴14≤x ≤1．二、高考大题1．已知a ≥3，函数F (x )＝min{2|x －1|，x 2－2ax ＋4a －2}，其中min{p ，q }＝⎩⎪⎨⎪⎧p ，p ≤q ，q ，p >q .(1)求使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围； (2)①求F (x )的最小值m (a )；②求F (x )在区间[0，6]上的最大值M (a )． 解 (1)由于a ≥3，故当x ≤1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝x 2＋2(a －1)(2－x )>0， 当x >1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝(x －2)(x －2a )．所以，使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围为[2，2a ]． (2)设函数f (x )＝2|x －1|，g (x )＝x 2－2ax ＋4a －2． ①f (x )min ＝f (1)＝0，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋4a －2， 所以，由F (x )的定义知m (a )＝min{f (1)，g (a )}，即m (a )＝⎩⎨⎧0，3≤a ≤2＋2，－a 2＋4a －2，a >2＋ 2.②当0≤x ≤2时，F (x )≤f (x )≤max{f (0)，f (2)}＝2＝F (2)，当2≤x ≤6时，F (x )≤g (x )≤max{g (2)，g (6)}＝max{2，34－8a }＝max{F (2)，F (6)}．所以，M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧34－8a ，3≤a <4，2，a ≥4.2．已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1，9]，试求函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的值域． 解 ∵f (x )＝2＋log 3x 的定义域为[1，9]，要使[f (x )]2＋f (x 2)有意义，必有1≤x ≤9且1≤x 2≤9，∴1≤x ≤3，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为[1，3]． 又y ＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2＝(log 3x ＋3)2－3． ∵x ∈[1，3]，∴log 3x ∈[0，1]，∴y max ＝(1＋3)2－3＝13，y min ＝(0＋3)2－3＝6． ∴函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的值域为[6，13]．3．已知函数f (x )＝ax ＋1a(1－x )(a >0)，且f (x )在[0，1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值．解 f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫a －1a x ＋1a，当a >1时，a －1a>0，此时f (x )在[0，1]上为增函数，∴g (a )＝f (0)＝1a；当0<a <1时，a －1a<0，此时f (x )在[0，1]上为减函数，∴g (a )＝f (1)＝a ；当a ＝1时，f (x )＝1，此时g (a )＝1．∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0<a <1，1a，a ≥1，∴g (a )在(0，1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数， 又a ＝1时，有a ＝1a＝1，∴当a ＝1时，g (a )取得最大值1． 4．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3．(1)当a ＝2，x ∈[－2，3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[1，3]上的最大值为1，求实数a 的值． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3＝x ＋322－214，又x ∈[－2，3]，所以f (x )min ＝f －32＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，所以所求函数的值域为－214，15．(2)对称轴为x ＝－2a －12．①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，所以6a ＋3＝1，即a ＝－13，满足题意；②当－2a －12≥3，即a ≤－52时，f (x )max ＝f (1)＝2a －3，所以2a －3＝1，即a ＝2，不满足题意； ③当1<－2a －12<3，即－52<a <－12时，此时，f (x )max 在端点处取得，令f (1)＝1＋2a －1－3＝1，得a ＝2(舍去)， 令f (3)＝9＋3(2a －1)－3＝1，得a ＝－13(舍去)．综上，可知a ＝－13．考点测试3 函数的单调性高考预览：本考点是高考的常考知识点，常与函数的奇偶性、周期性相结合综合考查。
世纪金榜高考数学(文科,全国通用)一轮总复习课时提升作业：第二章 函数、导数及其应用 四 2.1
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课时提升作业四函数及其表示(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列所给图象是函数图象的个数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.①中当x>0时,每一个x的值对应两个不同的y值,因此不是函数图象;②中当x=x0时,y的值有两个,因此不是函数图象;③④中每一个x的值对应唯一的y值,因此是函数图象.2.(2016·莱芜模拟)函数f(x)=错误！未找到引用源。
的定义域为( )A.(1,3]B.(-∞,3]C.(0,3]D.(1,3)【解析】选A.由题意错误！未找到引用源。
解得1<x≤3.【加固训练】设f(x)=错误！未找到引用源。
则f(f(2))=__________. 【解析】f(2)=log3(22-1)=1,f(f(2))=f(1)=e1-1=e0=1.答案:13.(2016·聊城模拟)已知函数f(x)=错误！未找到引用源。
若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于( )A.-3B.-1C.1D.3【解析】选A.当a>0时,由f(a)+f(1)=0得2a+2=0,可见不存在实数a 满足条件;当a≤0时,由f(a)+f(1)=0得a+1+2=0,解得a=-3,满足条件. 【一题多解】本题还可以采用如下解法:选A.方法一:由指数函数的性质可知:2x>0,又因为f(1)=2,所以a≤0,所以f(a)=a+1,即a+1+2=0,解得a=-3.方法二:验证法,把a=-3代入f(a)=a+1=-2,又因为f(1)=2,所以f(a)+f(1)=0,满足条件,从而选A.【加固训练】若函数f(x)=错误！未找到引用源。
则f(f(10))= ( ) A.lg101 B.2 C.1 D.0【解析】选B.f(10)=lg10=1,故f(f(10))=f(1)=12+1=2.4.现向一个半径为R的球形容器内匀速注入某种液体,下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h随时间t变化的函数关系的是( )【解析】选C.从球的形状可知,水的高度开始时增加的速度越来越慢,当超过半球时,增加的速度又越来越快.5.已知[x]表示不超过实数x的最大整数(x∈R),如:[-1.3]=-2,[0.8]=0, [3.4]=3.定义{x}=x-[x],则错误！未找到引用源。
【世纪金榜】高考数学(文科,全国通用)一轮总复习练习：1.1集 合(含答案解析)
课时提升作业一集合(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.下列结论正确的是()A.0∈N*B.0∈∅C.{0}⊆N*D.∅⊆N*【解析】选D.集合N*表示正整数集,∅中不含任何元素,所以A,B,C都不正确,∅是任何集合的子集,故D正确.2.(2015·全国卷Ⅱ)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<3},则A∪B=()A.(-1,3)B.(-1,0)C.(0,2)D.(2,3) 【解析】选A.因为A={x|-1<x<2},B={x|0<x<3},所以A∪B=.3.(2016·德州模拟)若集合M={x|-2<x<3},N={y|y=x2+1,x∈R},则集合M∩N=()A.(-2,+∞)B.(-2,3)C.[1,3)D.R 【解析】选C.因为y=x2+1≥1,所以N={y|y≥1},所以M∩N={x|1≤x<3}.4.已知A={x|x2<4},B为自然数集,则A∩B=()A.{-2,-1,0,1,2}B.{-1,0,1}C.{0,1}D.{1} 【解析】选C.因为A={x|-2<x<2},B是自然数集,所以A∩B={0,1}.【误区警示】解答本题易误选D,出错的原因是对自然数集的定义理解不到位.【加固训练】已知集合A={x|(x+1)(x-2)≤0},B为整数集,则A∩B=()A.{-2,-1,0,1}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0}D.{0,1} 【解析】选B.因为A={x|-1≤x≤2},B为整数集,所以A∩B={-1,0,1,2}.5.(2016·滨州模拟)已知集合A={log2a,3},B={a,b},若A∩B={0},则A∪B=()A.{0,3}B.{0,1,3}C.{0,2,3}D.{0,1,2,3} 【解析】选B.因为A∩B={0},所以0∈A,且0∈B,即log2a=0,b=0,a=1,b=0,所以A∪B={0,1,3}.6.(2016·临沂模拟)已知集合A={0,x},B={x2,-x2,|x|-1},若A⊆B,则实数x的值为()A.1或-1B.1C.-1D.2 【解析】选A.验证法,当x=1时,A={0,1},B={1,-1,0},满足A⊆B,当x=-1时,A={0,-1},B={1,-1,0},满足A⊆B,当x=2时,A={0,2},B={4,-4,1},不满足A⊆B.故选A.【一题多解】解答本题还可采用如下方法:选A.因为A⊆B,所以0∈B,因为x≠0,所以|x|-1=0,即x=±1,经验证,易知x=±1满足题意.7.(2016·泰安模拟)已知集合A,B均为全集U={1,2,3,4}的子集,且(A∪B)={4},B={1,2},则A∩B=()A.{3}B.{4}C.{3,4}D.∅【解析】选A.由U={1,2,3,4},(A∪B)={4},知A∪B={1,2,3},又B={1,2},所以A中一定有元素3,没有元素4,所以A∩B={3}.【一题多解】本题还可用Venn图求解如下:如图,由图及已知易得A∩B={3}.【加固训练】已知A={x|x+1>0},B={-2,-1,0,1},则(A)∩B=()A.{-2,-1}B.{-2}C.{-2,0,1}D.{0,1}【解析】选A.由x+1>0⇒x>-1,所以A={x|x≤-1},故得(A)∩B={-2,-1}.二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知集合A={x|x2-2015x-2016≤0},B={x|x<m+1},若A⊆B,则实数m的取值范围是.【解析】因为A={x|-1≤x≤2016},B={x|x<m+1},A⊆B,所以m+1>2016,即m>2015.答案:(2015,+∞)9.(2014·重庆高考)设全集U=,A=,B=,则∩B=.【解析】由题意知A=,B=,故∩B=.答案:10.若集合A={x∈R|(a2-1)x2+(2a+1)x+1=0}中只有一个元素,则实数a的值构成的集合为.【解题提示】按二次项系数是否为0分类讨论.【解析】当a2-1=0,即a=1或a=-1时,方程分别为3x+1=0或-x+1=0,方程都有一个根,满足题意. 当a2-1≠0时,Δ=(2a+1)2-4(a2-1)=0,即4a+5=0,a=-.此时方程有两个等根,满足题意.故a的值构成的集合为.答案:(20分钟35分)1.(5分)(2015·浙江高考)已知集合P={x|x2-2x≥3},Q={x|2<x<4},则P∩Q= ()A.[3,4)B.(2,3]C.(-1,2)D.(-1,3]【解析】选A.由题意得,P={x|x≥3或x≤-1},所以P∩Q=[3,4).【加固训练】某校高三(1)班50个学生选择选修模块课程,他们在A,B,C三个模块中进行选择,且至少需要选择1个模块,具体模块选择的情况如下表:则三个模块都选择的学生人数是.【解题提示】设三个模块都选择的学生人数是x,用Venn图表示三个两两相交的集合,把每一部分的学生数用x表示出来,再根据总数为50列方程求解.【解析】设三个模块都选择的学生人数为x,则各部分的人数如图所示,则有(1+x)+(5+x)+(2+x)+(12-x)+(13-x)+(11-x)+x=50,解得x=6.答案:62.(5分)(2016·菏泽模拟)设全集U={1,2,3,4,5,6},用U的子集可表示由0,1组成的6位字符串,如{2,4}表示的是第2个字符为1,第4个字符为1,其余均为0的6位字符串010100,并规定空集表示的字符串为000000.(1)若M={2,3,6},则M表示的6位字符串为.(2)若A={1,3},集合A∪B表示的字符串为101001,则满足条件的集合B的个数是. 【解题提示】(1)先求出M表示的6位字符串,从而求出M表示的6位字符串.(2)由A={1,3},集合A∪B表示的字符串为101001,求出集合B,从而得到答案.【解析】(1)M表示的6位字符串是011001;则M表示的6位字符串为100110.(2)若A={1,3},集合A∪B表示的字符串为101001,所以集合B可能是{6},{1,6},{3,6},{1,3,6},共4个.答案:(1)100110(2)43.(12分)已知集合A={x|(x-1)(x-3)<0},集合B={x|2m<x<1-m}.(1)当m=-1时,求A∪B.(2)若A⊆B,求实数m的取值范围.(3)若A∩B=∅,求实数m的取值范围.【解析】(1)当m=-1时,B={x|-2<x<2},A={x|1<x<3},则A∪B={x|-2<x<3}.(2)由A⊆B知解得m≤-2,即实数m的取值范围为(-∞,-2].(3)由A∩B=∅,得①当2m≥1-m,即m≥时,B=∅,符合题意;②当2m<1-m,即m<时,需或得0≤m<或∅,即0≤m<.综上知m≥0,即实数m的取值范围为[0,+∞).【加固训练】已知全集U=R,集合A={x|x2-x-6<0},B={x|x2+2x-8>0}, C={x|x2-4ax+3a2<0},若(A∪B)⊆C,求实数a的取值范围.【解析】A={x|-2<x<3},B={x|x<-4,或x>2},A∪B={x|x<-4,或x>-2}, (A∪B)={x|-4≤x≤-2},而C={x|(x-a)(x-3a)<0}.①当a>0时,C={x|a<x<3a},显然不成立.②当a=0时,C=∅,不成立.③当a<0时,C={x|3a<x<a},要使(A∪B)⊆C,只需即-2<a<-.4.(13分)已知集合A={x|x2+4x=0,x∈R},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R,x∈R}.若A∪B=A,试求实数a的取值范围.【解析】因为A∪B=A,所以B⊆A,易知A={0,-4}.(1)当A=B={0,-4}时,0,-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两根,所以所以a=1.(2)当B A时,有B≠∅和B=∅两种情况.①当B≠∅时,B={0}或B={-4},所以方程x2+2(a+1)x+a2-1=0有相等的实数根0或-4,所以Δ=4(a+1)2- 4(a2-1)=0,所以a=-1,所以B={0}满足条件.②当B=∅时,Δ<0,a<-1.综上知实数a的取值范围是{a|a≤-1或a=1}.。
高考数学一轮复习导数及其应用多选题复习题含答案
高考数学一轮复习导数及其应用多选题复习题含答案一、导数及其应用多选题1．关于函数()2ln f x x x=+，下列判断正确的是（ ）A ．2x =是()f x 的极大值点B ．函数yf xx 有且只有1个零点C ．存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则124x x +> 【答案】BD 【分析】对于A ，利用导数研究函数()f x 的极值点即可； 对于B ，利用导数判断函数y f xx 的单调性，再利用零点存在性定理即得结论；对于C ，参变分离得到22ln xk x x <+，构造函数()22ln x g x x x=+，利用导数判断函数()g x 的最小值的情况；对于D ，利用()f x 的单调性，由()()12f x f x =得到1202x x <<<，令()211x t t x =>，由()()12f x f x =得21222ln t x x t t-+=，所以要证124x x +>，即证2224ln 0t t t -->，构造函数即得． 【详解】A ：函数()f x 的定义域为0,，()22212x f x x x x-'=-+=，当()0,2x ∈时，0f x，()f x 单调递减，当()2,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递增，所以2x =是()f x 的极小值点，故A 错误．B ：()2ln y f x x x x x=-=+-，22221210x x y x x x -+'=-+-=-<，所以函数在0,上单调递减．又()112ln1110f -=+-=>，()221ln 22ln 210f -=+-=-<，所以函数yf xx 有且只有1个零点，故B 正确．C ：若()f x kx >，即2ln x kx x +>，则22ln x k x x <+．令()22ln x g x x x=+，则()34ln x x xg x x-+-'=．令()4ln h x x x x =-+-，则()ln h x x '=-，当()0,1∈x 时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,∈+∞x 时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以()()130h x h ≤=-<，所以0g x ，所以()22ln x g x x x=+在0,上单调递减，函数无最小值，所以不存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立，故C 错误． D ：因为()f x 在()0,2上单调递减，在2,上单调递增，∴2x =是()f x 的极小值点．∵对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则1202x x <<<． 令()211x t t x =>，则21x tx =，由()()12f x f x =，得121222ln ln x x x x +=+， ∴211222ln ln x x x x -=-，即()2121212ln x x x x x x -=，即()11121ln t x t x tx -=⋅，解得()121ln t x t t -=，()2121ln t t x tx t t-==，所以21222ln t x x t t-+=．故要证124x x +>，需证1240x x +->，需证22240ln t t t -->，需证2224ln 0ln t t tt t-->． ∵211x t x =>，则ln 0t t >， ∴证2224ln 0t t t -->．令()()2224ln 1H t t t t t =-->，()()44ln 41H t t t t '=-->，()()()414401t H t t t t-''=-=>>，所以()H t '在1,上是增函数．因为1t →时，()0H t '→，则()0H t '>，所以()H t 在1,上是增函数．因为1t →时，()0H t →，则()0H t >，所以2224ln 0ln t t tt t-->， ∴124x x +>，故D 正确． 故选：BD ． 【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数的单调性、极值点，结合零点存在性定理判断A 、B 的正误；应用参变分离，构造函数，并结合导数判断函数的最值；由函数单调性，应用换元法并构造函数，结合分析法、导数证明D 选项结论.2．函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠有两个极值点1x 、()212x x x <，则下列结论正确的是（ ） A ．230b ac ->B ．()f x 在区间()12,x x 上单调递减C ．若()10af x <，则()f x 只有一个零点D ．存在0x ，使得()()()1202f x f x f x +=【答案】ACD 【分析】利用极值点与导数的关系可判断A 选项的正误；取0a <，利用函数的单调性与导数的关系可判断B 选项的正误；分0a >、0a <两种情况讨论，分析函数()f x 的单调性，结合图象可判断C 选项的正误；计算出函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称，可判断D 选项的正误. 【详解】()()320f x ax bx cx d a =+++≠，则()232f x ax bx c '=++.对于A 选项，由题意可知，关于x 的二次方程()23200ax bx c a ++=≠有两个不等的实根，则24120b ac ∆=->，可得230b ac ->，A 选项正确；对于B 选项，当0a <时，且当()12,x x x ∈时，()0f x '>，此时函数()f x 在区间()12,x x 上单调递增，B 选项错误；对于C 选项，当0a >时，由()0f x '>，可得1x x <或2x x >；由()0f x '<，可得12x x x <<.所以，函数()f x 的单调递增区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递减区间为()12,x x ， 由()10af x <，可得()10<f x ，此时，函数()f x 的极大值为()10<f x ，极小值为()2f x ，且()()210f x f x <<，如下图所示：由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内； 当0a <时，由()0f x '<，可得1x x <或2x x >；由()0f x '>，可得12x x x <<. 所以，函数()f x 的单调递减区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递增区间为()12,x x ，由()10af x <，可得()10f x >，此时，函数()f x 的极小值为()10f x >，极大值为()2f x ，且()()210f x f x >>，如下图所示：由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内，C 选项正确； 对于D 选项，由题意可知，1x 、2x 是方程2320ax bx c ++=的两根， 由韦达定理可得1223bx x a +=-，123c x x a=， ()()()()()()()()3232f t x f t x a t x b t x c t x d a t x b t x c t x d ⎡⎤⎡⎤-++=-+-+-++++++++⎣⎦⎣⎦()()()()()(322322322322332332a t t x tx x b t tx x c t x d a t t x tx x b t tx x c ⎡⎤⎡=-+-+-++-+++++++++⎣⎦⎣()()322223222a t tx b t x ct d =+++++，取3bt a=-，则322223222333333b b b b b b f x f x a x b x c d a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+=-+⨯-+-++⋅-+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦32222223333b b b b a b c d fa a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⋅-+⋅-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称， 1223bx x a+=-，()()1223b f x f x f a ⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.3．已知：()f x 是奇函数，当0x >时，()'()1f x f x ->，(1)3f =，则（ ）A ．(4)(3)f ef >B ．2(4)(2)f e f ->-C ．3(4)41f e >-D ．2(4)41f e -<--【答案】ACD 【分析】由已知构造得'()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，令()()+1x f x g x e =，判断出函数()g x 在0x >时单调递增，由此得()()4>3g g ，化简可判断A ；()()4>2g g ，化简并利用()f x 是奇函数，可判断B ；()()4>1g g ，化简可判断C ；由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，可判断D.【详解】 因为当0x >时，()'()1fx f x ->，所以()'()10f x f x -->，即()[]'()+10xf x f e x ->，所以'()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦， 令()()+1xf xg x e=，则当0x >时，()'>0g x ，函数()g x 单调递增， 所以()()4>3g g ，即43(4)+1(3)+1>f f e e，化简得(4)(3)1>(3)f f e e ef >+-，故A 正确；()()4>2g g ，即42(4)+1(2)+1>f f e e，化简得222(4)(2)1>(2)f f e e e f >+-，所以2(4)(2)e f f -<-，又()f x 是奇函数，所以2(4)(2)e f f -<-，故B 不正确；()()4>1g g ，即4(4)+1(1)+1>f f e e，又(1)3f =，化简得3(4)41f e >-，故C 正确； 由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，所以2(4)41f e -<--，又()f x 是奇函数，所以2(4)41f e -<--，故D 正确, 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解决本题中令有导函数的不等式，关键在于构造出某个函数的导函数，得出所构造的函数的单调性，从而可比较函数值的大小关系.4．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（L.E.Brouwer ）简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（ ） A ．函数()sin f x x =有3个不动点B ．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠至多有两个不动点C ．若定义在R 上的奇函数()f x ，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数D ．若函数()f x =[0,1]上存在不动点，则实数a 满足l a e ≤≤（e 为自然对数的底数） 【答案】BCD 【分析】根据题目中的定义，结合导数、一元二次方程的性质、奇函数的性质进行判断即可. 【详解】令()sin g x x x =-，()1cos 0g x x '=-≥， 因此()g x 在R 上单调递增，而(0)0g =， 所以()g x 在R 有且仅有一个零点， 即()f x 有且仅有一个“不动点”，A 错误；0a ≠，20ax bx c x ∴++-=至多有两个实数根，所以()f x 至多有两个“不动点”，B 正确；()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，函数()-y f x x =为定义在R 上的奇函数，显然0x =是()f x 的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，个数和为偶数， 因此()f x 一定有奇数个“不动点”，C 正确；因为()f x 在[0,1]存在“不动点”，则()f x x =在[0,1]有解，x =⇒2x a e x x =+-在[0,1]有解，令2()xm x e x x =+-，()12x m x e x '=+-，令()12x n x e x '=+-，()20x n x e '=-=，ln 2x =，()n x 在(0,ln 2)单调递减，在(ln 2,1)单调递增，∴min ()(ln 2)212ln 232ln 20n x n ==+-=->， ∴()0m x '>在[0,1]恒成立，∴()m x 在[0,1]单调递增，min ()(0)1m x m ==，max ()(1)m x m e ==，∴1a e ≤≤，D 正确，. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.5．设函数()()1x af x a x a =->的定义域为()0,∞+，已知()f x 有且只有一个零点，下列结论正确的有（ ） A ．a e =B ．()f x 在区间()1,e 单调递增C ．1x =是()f x 的极大值点D ．()f e 是()f x 的最小值【答案】ACD 【分析】()f x 只有一个零点，转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，即ln ln x ax a=只有一个正根．利用导数研究函数ln ()xh x x=的性质，可得a e =，判断A ，然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质，求出()'f x ，令()0f x '=，利用新函数确定()'f x 只有两个零点1和e ，并证明出()'f x 的正负，得()f x 的单调性，极值最值．判断BCD ．【详解】()f x 只有一个零点，即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，x a a x =，取对数得ln ln x a a x =，即ln ln x ax a=只有一个正根． 设ln ()x h x x =，则21ln ()x h x x-'=，当0x e <<时，()0h x '>，()h x 递增，0x →时，()h x →-∞，x e >时，()0h x '<，()h x 递减，此时()0h x >，max 1()()h x h e e==． ∴要使方程ln ln x ax a =只有一个正根．则ln 1a a e =或ln 0a a<，解得a e =或0a <，又∵1a >，∴a e =．A 正确；()x e f x e x =-，1()x e f x e ex -'=-，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．设()(1)ln 1p x e x x =--+，1()1e p x x-'=-，当01x e <<-时，()0p x '>，()p x 递增，1x e >-时，()0p x '<，()p x 递减，(1)p e -是极大值，又(1)()0p p e ==， 所以()p x 有且只有两个零点，01x <<或x e >时，()0p x <，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，1e x ex e -<，()0f x '>，同理1x e <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增，在(1,)e 上递减，所以极小值为()0f e =，极大值为(1)f ，又(0)1f =，所以()f e 是最小值．B 错，CD 正确． 故选：ACD ． 【点睛】关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性．解题关键是确定()'f x 的零点时，利用零点定义解方程，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．然后证明方程只有这两个解即可．6．已知函数()sin xf x x=，(]0,x π∈，则下列结论正确的有（ ） A ．()f x 在区间(]0,π上单调递减B ．若120x x π<<≤，则1221sin sin x x x x ⋅>⋅C ．()f x 在区间(]0,π上的值域为[)0,1 D ．若函数()()cos g x xg x x '=+，且()1g π=-，()g x 在(]0,π上单调递减【答案】ACD 【分析】先求出函数的导数，然后对四个选项进行逐一分析解答即可， 对于选项A ：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，可得()0f x '<，可得()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()0f x '<，可得()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，最后作出判断； 对于选项B ：由()f x 在区间(]0,π上单调递减可得()()12f x f x >，可得1212sin sin x x x x >，进而作出判断； 对于选项C ：由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==，进而作出判断；对于选项D ：()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，可得()()sin xg x f x x''==，然后利用导数研究函数()g x '在区间(]0,π上的单调性，可得()()0g x g π''≤=，进而可得出函数()g x 在(]0,π上的单调性，最后作出判断.【详解】()2cos sin x x xf x x-'=， (]0,x π∈， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，由三角函数线可知tan x x <， 所以sin cos xx x<，即cos sin x x x <，所以cos sin 0x x x -<， 所以()0f x '<，所以()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos 0x ≤，sin 0x ≥，所以cos sin 0x x x -<，()0f x '<， 所以()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()f x 在区间(]0,π上单调递减，故选项A 正确； 当120x x π<<≤时，()()12f x f x >， 所以1212sin sin x x x x >，即1221sin sin x x x x ⋅<⋅，故选项B 错误； 由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==， 所以当(]0,x π∈时，()[)0,1f x ∈，故选项C 正确；对()()cos g x xg x x '=+进行求导可得： 所以有()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，所以()()sin xg x f x x''==，所以()g x ''在区间(]0,π上的值域为[)0,1， 所以()0g x ''≥，()g x '在区间(]0,π上单调递增，因为()0g π'=， 从而()()0g x g π''≤=，所以函数()g x 在(]0,π上单调递减，故选项D 正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：本题考查导数的综合应用，对于函数()sin xf x x=的性质，可先求出其导数，然后结合三角函数线的知识确定导数的符号，进而确定函数的单调性和极值，最后作出判断，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.7．设函数()ln xf x x=，()ln g x x x =，下列命题，正确的是（ ） A ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减 B ．不等关系33e e ππππ<<<成立C ．若120x x <<时，总有()()()22212122a x x g x g x ->-恒成立，则1a ≥D ．若函数()()2h x g x mx =-有两个极值点，则实数()0,1m ∈【答案】AC 【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A 选项的正误；由函数()f x 在区间(),e +∞上的单调性比较3π、e π的大小关系，可判断B 选项的正误；分析得出函数()()22s x g x ax=-在()0,∞+上为减函数，利用导数与函数单调性的关系求出a 的取值范围，可判断C 选项的正误；分析出方程1ln 2xm x+=在()0,∞+上有两个根，数形结合求出m 的取值范围，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，函数()ln x f x x =的定义域为()0,∞+，则()21ln xf x x -'=. 由()0f x '>，可得0x e <<，由()0f x '>，可得x e >.所以，函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减，A 选项正确； 对于B 选项，由于函数()ln xf x x=在区间(),e +∞上单调递减，且4e π>>， 所以，()()4f f π>，即ln ln 44ππ>，又ln 41ln 213ln 22043236--=-=>， 所以，ln ln 4143ππ>>，整理可得3e ππ>，B 选项错误； 对于C 选项，若120x x <<时，总有()()()22212122a x x g x g x ->-恒成立，可得()()22112222g x ax g x ax ->-，构造函数()()2222ln s x g x ax x x ax =-=-，则()()12s x s x >，即函数()s x 为()0,∞+上的减函数，()()21ln 20s x x ax '=+-≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 即1ln x a x +≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 令()1ln x t x x +=，其中0x >，()2ln x t x x'=-. 当01x <<时，()0t x '>，此时函数()t x 单调递增；当1x >时，()0t x '<，此时函数()t x 单调递减. 所以，()()max 11t x t ==，1a ∴≥，C 选项正确；对于D 选项，()()22ln h x g x mx x x mx =-=-，则()1ln 2h x x mx '=+-， 由于函数()h x 有两个极值点，令()0h x '=，可得1ln 2x m x+=， 则函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点，当1x e>时，()0t x >，如下图所示：当021m <<时，即当102m <<时，函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点.所以，实数m 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，D 选项错误.故选：AC.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.8．若方程()2110x m x -+-=和()120x m e x -+-=的根分别为()1212,x x x x <和3x ，()434x x x <，则下列判断正确的是（ ）A ．3201x x <<<B ．1310x x -<<C ．(),1m ∈-∞-D．1112x ⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭ 【答案】ABD【分析】根据题意将问题转化为，1x ，2x 和3x ，4x 分别是y m =与11y x x =--和12x x y e -=-交点的横坐标，再用导数研究函数11y x x =--和12x x y e -=-的单调性与取值情况，作出函数图象，数形结合即可解决问题.【详解】解：由题，1x ，2x 和3x ，4x 分别是11m x x =--和12x x m e -=-的两个根， 即y m =与11y x x =--和12x x y e -=-交点的横坐标. 对于函数11y x x =--，定义域为{}0x x ≠，21'10y x=+>，所以函数在(),0-∞和()0,∞+上单调递增，且1x =时，1y =-； 对于函数12x xy e -=-，11'x x y e--=，所以函数在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞单调递减，且当,2x y →+∞→-，0x =时，2y =-，1x =时，1y =-； 故作出函数11y x x =--，12x x y e-=-的图像如图所示， 注意到：当()0,1x ∈时，11122x x x x x e ---<-<-， 由图可知，3201x x <<<，()2,1m ∈--， 从而()11112,1x x --∈--，解得11,12x ⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以选项AD 正确，选项C 错误，又121310x x x x -=<<.故选：ABD .本题考查利用导数研究函数的零点问题，考查化归转化思想与数形结合思想，是中档题.。
【世纪金榜】高考数学(文科,全国通用)一轮总复习练习：1.2命题及其关系(含答案解析)
课时提升作业二命题及其关系、充分条件与必要条件(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知命题:若a>2,则a2>4,其逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中真命题的个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选B.原命题显然是真命题,其逆命题为“若a2>4,则a>2”,显然是假命题,由互为逆否命题的等价性知,否命题是假命题,逆否命题是真命题.2.(2016·济南模拟)命题“若a2+b2=0,a,b∈R,则a=b=0”的逆否命题是()A.若a≠b≠0,a,b∈R,则a2+b2=0B.若a=b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0C.若a≠0且b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0D.若a≠0或b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0【解析】选D.“a2+b2=0”的否定为“a2+b2≠0”,“a=b=0”的否定为“a≠0或b≠0”,故选D.【误区警示】解答本题易误选C,出错的原因是对a=b=0的否定出错,a=b=0是a=0且b=0的意思,其否定应为a≠0或b≠0.3.(2016·莱芜模拟)设集合M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么“a∈M”是“a∈N”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.a∈N,则必有a∈M,反之不成立,故选B.【加固训练】(2016·长沙模拟)“1<x<2”是“x<2”成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.若1<x<2,则x<2显然成立,反之不成立.4.(2014·浙江高考)设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.“四边形ABCD为菱形”⇒“AC⊥BD”,由“AC⊥BD”推不出“四边形ABCD 为菱形”,所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件.5.使a>0,b>0成立的一个必要不充分条件是()A.a+b>0B.a-b>0C.ab>1D.>1 【解析】选A.因为a>0,b>0⇒a+b>0,反之不成立,而由a>0,b>0不能推出a-b>0,ab>1,>1,故选A.【加固训练】下面四个条件中,使a>b成立的充分不必要条件是()A.a>b+1B.a>b-1C.a2>b2D.a3>b3【解析】选A.a>b+1⇒a>b;反之,例如a=2,b=1满足a>b,但a=b+1,即由a>b推不出a>b+1,故a>b+1是a>b成立的充分不必要条件.6.(2015·北京高考)设a,b是非零向量,“a·b=|a||b|”是“a∥b”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题提示】结合向量共线的定义及向量的数量积的运算进行判断.【解析】选A.由a·b=|a||b|得cos<a,b>=1,<a,b>=0,所以a与b同向.而a∥b包括同向与反向两种情况.7.(2016·济南模拟)若a=log2x,b=,则“a>b”是“x>1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.函数a=log2x,b=的图象如图所示,由图象可知,若a>b,则x>2,即x>1成立,反之,若x>1,当x=时,a<b.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2016·日照模拟)命题“若x2-1=0,则x=1或x=-1”的否命题是________.【解析】因为“x=1或x=-1”的否定是“x≠1且x≠-1”.所以否命题为“若x2-1≠0,则x≠1且x≠-1”.答案:若x2-1≠0,则x≠1且x≠-19.(2016·临沂模拟)已知P={x|a-4<x<a+4},Q={x|x2-4x+3<0},若x∈P是x∈Q的必要条件,则实数a的取值范围是__________.【解析】由题意知,Q={x|1<x<3},Q⇒P,所以解得-1≤a≤5.所以实数a的取值范围是[-1,5].答案:[-1,5]【加固训练】已知“命题p:(x-m)2>3(x-m)”是“命题q:x2+3x-4<0”成立的必要不充分条件,则实数m的取值范围为________.【解析】p:x>m+3或x<m,q:-4<x<1,因为p是q成立的必要不充分条件.则{x|-4<x<1}{x|x>m+3或x<m},所以m+3≤-4或m≥1,即m≤-7或m≥1,故m的取值范围为(-∞,-7]∪[1,+∞).答案:(-∞,-7]∪[1,+∞)10.设n∈N*,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=________.【解析】由Δ=16-4n≥0,得n≤4,又n∈N*,则n=1,2,3,4.方程x2-4x+n=0的根为x=.当n=1,2时,方程没有整数根,当n=3时,方程有整数根1,3,当n=4时,方程有整数根2,综上知n=3或4.答案:3或4(20分钟35分)1.(5分)已知p:x2≤x,q:≥1,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题提示】先解不等式化简p,q,再进行判断.【解析】选B.x2≤x⇔x2-x≤0⇔0≤x≤1,即p:0≤x≤1.≥1⇔-1≥0⇔≥0⇔≤0⇔0<x≤1,即q:0<x≤1.因为{x|0<x≤1}{x|0≤x≤1},所以p是q的必要不充分条件.【误区警示】解答本题易误选A,出错的原因是误解不等式≥1为x≤1.【加固训练】1.(2016·烟台模拟)已知a,b,c是实数,则b2≠ac是a,b,c不成等比数列的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题提示】从正、反两个方面推理时,可用与其等价的逆否命题的真假进行判断.【解析】选A.因为命题“若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列”的逆否命题为“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”,是真命题,所以b2≠ac是a,b,c不成等比数列的充分条件;因为“若b2=ac,则a,b,c成等比数列”是假命题,所以“若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac”是假命题,即b2≠ac不是a,b,c不成等比数列的必要条件.2.已知a>0,b>0,则“a2+b2<1”是“ab+1>a+b”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.满足条件a2+b2<1的点M(a,b)在以原点为圆心,1为半径的圆内,又因为a>0,b>0,所以0<a<1,0<b<1.又由ab+1>a+b得ab+1-a-b>0,(a-1)b+(1-a)>0,(a-1)(b-1)>0,所以a>1,b>1或a<1,b<1.又因为a>0,b>0,所以a>1,b>1或0<a<1,0<b<1,所以a2+b2<1⇒ab+1>a+b,反之不成立.【一题多解】本题还可采用如下解法:选 B.因为a>0,b>0,若a2+b2<1,则a2+2ab+b2<1+2ab<1+2ab+(ab)2,即(a+b)2< (1+ab)2,所以a+b<1+ab成立;反之,当a=b=2时,有1+ab>a+b成立,但a2+b2<1不成立,所以“a2+b2<1”是“ab+1>a+b”的充分不必要条件.2.(5分)(2016·滨州模拟)以下命题中,正确命题的序号是________.①△ABC中,A>B的充要条件是sinA>sinB;②函数y=f(x)在区间(1,2)上存在零点的充要条件是f(1)·f(2)<0;③在等比数列{a n}中,a1=1,a5=16,则a3=±4;④把函数y=sin(2-2x)的图象向右平移2个单位后,得到的图象对应的解析式为y=sin(4-2x). 【解题提示】利用各相关知识逐一判断.【解析】由正弦定理=知A>B⇔a>b⇔sinA>sinB,所以①正确;若函数y=f(x)在区间(1,2)上的图象不连续,即使f(1)f(2)<0,f(x)在(1,2)上也可能不存在零点,故②不正确;因为在等比数列中,所有的奇数项同号,所以③不正确;由函数图象的平移法则知,平移后的解析式为y=sin[2-2(x-2)]=sin(6-2x),所以④不正确.答案:①3.(12分)已知p:x2-7x+12≤0,q:(x-a)(x-a-1)≤0.(1)是否存在实数a,使p是q的充分不必要条件,若存在,求实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.(2)是否存在实数a,使p是q的充要条件,若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.【解析】因为p:3≤x≤4,q:a≤x≤a+1.(1)因为p是q的充分不必要条件,所以p⇒q,且q p,所以q⇒p,且p q,即q是p的充分不必要条件,故{x|a≤x≤a+1}{x|3≤x≤4},所以或无解,所以不存在实数a,使p是q的充分不必要条件.(2)若p是q的充要条件,则{x|a≤x≤a+1}={x|3≤x≤4},所以解得a=3.故存在实数a=3,使p是q的充要条件.【加固训练】已知集合若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数m的取值范围.【解析】y=x2-x+1=+,因为x∈,所以≤y≤2,所以A=.由x+m2≥1,得x≥1-m2,所以B={x|x≥1-m2}.因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件,所以A⊆B,所以1-m2≤,解得m≥或m≤-,故实数m的取值范围是∪.4.(13分)已知函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,a,b∈R,对命题“若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”.(1)写出否命题,判断其真假,并证明你的结论.(2)写出逆否命题,判断其真假,并证明你的结论.【解析】(1)否命题:已知函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,a,b∈R,若a+b<0,则f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b).该命题是真命题,证明如下:因为a+b<0,所以a<-b,b<-a.又因为f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.所以f(a)<f(-b),f(b)<f(-a),因此f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),所以否命题为真命题.(2)逆否命题:已知函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,a,b∈R,若f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),则a+b<0. 真命题,可通过证明原命题为真来证明它.因为a+b≥0,所以a≥-b,b≥-a,因为f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,所以f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a),所以f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),故原命题为真命题,所以逆否命题为真命题.。
【世纪金榜】高考数学(文科,全国通用)一轮总复习练习：单元评估检测(一)(含答案解析)
单元评估检测(一)第一章(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知下列结论:①-2∈Z;②π∉Q;③N⊆N*;④Q R.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.因为Z,Q,N,N*,R分别表示整数集、有理数集、自然数集(包括0),正整数集,实数集,又因为-2是整数,π是无理数,所以①正确;②正确;③不正确;④正确.2.(2016·济宁模拟)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x(x-2)<0},则A∩B=()A.{0}B.{-1}C.{1}D.{0,-1,1}【解析】选C.因为B={x|0<x<2},所以A∩B={1}.【一题多解】解答本题还可用如下方法:选C.验证法:当x=0时,x(x-2)=0<0不成立;当x=-1时,x(x-2)=3<0不成立;当x=1时,x(x-2)=-1<0成立.结合答案选项可知选C.3.命题“∃x0∈∁R Q,∈Q”的否定是()A.∃x0∉∁R Q,∈QB.∃x0∈∁R Q,∉QC.∀x∉∁R Q,x2∈QD.∀x∈∁R Q,x2∉Q 【解析】选D.“∃x0∈∁R Q”的否定为“∀x∈∁R Q”,“∈Q”的否定为“x2∉Q”.【加固训练】已知命题p:∃x 0>1,-1>0,那么p是()A.∀x>1,x2-1>0B.∀x>1,x2-1≤0C.∃x0>1,-1≤0D.∃x0≤1,-1≤0【解析】选B.“∃x0>1,-1>0”的否定为“∀x>1,x2-1≤0”.4.(2016·青岛模拟)设A=,B={x|x≥a}.若A⊆B,则实数a的取值范围是()A.a<B.a≤C.a≤1D.a<1【解析】选C.A={1,2,3,4},由A⊆B得a≤1.【误区警示】本题易误选A或B,出现错误的原因是忽视了集合A中“x∈Z”这一条件及对端点值的验证.5.(2016·临沂模拟)使x2>4成立的充分不必要条件是()A.2<x<4B.-2<x<2C.x<0D.x>2或x<-2 【解题提示】要分清谁是谁成立的充分不必要条件.【解析】选A.因为x2>4的解集为{x|x>2或x<-2},故A选项正确.6.已知集合M=,N={x|x≤-3},则集合{x|x≥1}=()A.M∩NB.M∪NC.∁R(M∩N)D.∁R(M∪N)【解题提示】先解不等式,化简集合M,再数形结合求解.【解析】选D.<0⇔(x+3)(x-1)<0⇔-3<x<1,即M={x|-3<x<1},由图易知{x|x≥1}=∁R(M∪N).7.(2016·聊城模拟)p:x>1,y>1,q:x+y>2,xy>1,则p是q的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由不等式的结论可得p⇒q,但x=100,y=0.1,满足x+y>2,xy>1,但不满足p,故p是q的充分而不必要条件.8.设等差数列{a n}的公差为d,则a1d>0是数列{}为递增数列的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】选 A.数列{}为递增数列⇔>⇔>1⇔>1⇔>1⇔a1d>0.【加固训练】“sinα≠sinβ”是“α≠β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.α=β⇒sinα=sinβ,但sinα=sinβα=β.因此α=β是sinα=sinβ的充分不必要条件,从而“sinα≠sinβ”是“α≠β”的充分不必要条件.9.已知命题p:∃x 0∈R,x0<+1,命题q:∀x∈R,sin4x-cos4x≤1,则p∨q,p∧q,p∨q,p∧(q)中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.因为x2-x+1>0对∀x∈R恒成立,即x<x2+1恒成立,所以p真;因为sin4x-cos4x=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)=sin2x-cos2x=-cos2x≤1恒成立,所以q真.故p假,q假,所以p∨q真,p∧q真,p∨q真,p∧(q)假.10.(2016·淄博模拟)已知函数f(x)=x2+bx+c,则“c<0”是“∃x0∈R,使f(x0)<0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题提示】把问题转化为方程x2+bx+c=0有根的情况解答.【解析】选A.若c<0,则Δ=b2-4c>0,所以∃x0∈R,使f(x0)<0成立.若∃x0∈R,使f(x0)<0,则有Δ=b2-4c>0,即b2-4c>0即可,所以当c=1,b=3时,满足Δ=b2-4c>0,所以“c<0”是“∃x0∈R,使f(x0)<0”的充分不必要条件.【误区警示】解答本题易误选C,出错的原因就是不能进行合理转化,尤其反推时,不知道举反例,而导致误选C.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2016·合肥模拟)对于集合M,N,定义M-N={x|x∈M,且x∉N},M⊕N=(M-N)∪(N-M).设A={y|y=x2-3x,x∈R},B={y|y=-2x,x∈R},则A⊕B等于__________.【解题提示】先化简集合A,B,再按新定义计算.【解析】因为A=,B={y|y<0},所以A-B={y|y≥0},B-A=,A⊕B=(A-B)∪(B-A)=.答案:∪[0,+∞)12.命题:已知x∈R,若x<1,则x2<1的逆否命题是__________________________.【解析】已知x∈R是大前提,所以原命题的逆否命题是:已知x∈R,若x2≥1,则x≥1.答案:已知x∈R,若x2≥1,则x≥113.已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},定义集合A×B={(x,y)|x∈A,y∈B},集合A×B中属于集合{(x,y)|log x y∈N}的元素的个数是________.【解析】由定义可知A×B中的元素为(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8).其中使log x y∈N的有(2,2),(2,4),(2,8),(4,4)共4个.答案:414.(2016·枣庄模拟)下列3个命题:①“函数f(x)=tan(x+φ)为奇函数”的充要条件是“φ=kπ(k∈Z)”;②“如果x2+x-6≥0,则x>2”的否命题;③在△ABC中,“A>30°”是“sinA>”的充分不必要条件.其中真命题的序号是________.【解析】当φ=时,f(x)=tan==(x≠kπ,k∈Z),f(-x)===-f(x),即f(x)为奇函数,所以①为假命题;命题“如果x2+x-6≥0,则x>2”的否命题是“若x2+x-6<0,则x≤2”,因为x2+x-6<0⇔-3<x<2,所以②为真命题;在△ABC 中,当A=160°时,sinA=sin160°=sin20°<sin30°=.所以③为假命题.答案:②15.(2016·北京模拟)设集合A={x|x2+2x-3>0},集合B={x|x2-2ax-1≤0,a>0}.若A∩B中恰含有一个整数,则实数a的取值范围是____________.【解题提示】先化简集合A,再结合二次函数的图象求解.【解析】A={x|x2+2x-3>0}={x|x>1或x<-3},因为函数y=f(x)=x2-2ax-1的对称轴为x=a>0,f(0)=-1<0,根据对称性可知要使A∩B中恰含有一个整数,则这个整数为2,所以有f(2)≤0且f(3)>0,即所以即≤a<.答案:【加固训练】(2015·大连模拟)若命题“∀x∈R,ax2-a2x-2≤0”是真命题,则实数a的取值范围是________.【解析】当a=0时,-2≤0成立,当a≠0时,由题意,得解得-2≤a<0,综上所述,a∈[-2,0].答案:[-2,0]三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)已知集合A={x|x2-1<0},B={x|x+a>0}.(1)若a=-,求A∩B.(2)若A∩B=A,求实数a的取值范围.【解析】A={x|-1<x<1}.(1)当a=-时,B==,所以A∩B=.(2)若A∩B=A,则A⊆B,因为B={x|x>-a},所以-a≤-1,即a≥1.17.(12分)设集合A={x|x2+ax-12=0},B={x|x2+bx+c=0},且A≠B,A∪B={-3,4},A∩B={-3},求a,b,c的值.【解析】因为A∩B={-3},所以-3∈A,且-3∈B,所以(-3)2-3a-12=0,解得a=-1,A={x|x2-x-12=0}={-3,4}.因为A∪B={-3,4},且A≠B,所以B={-3},即方程x2+bx+c=0有两个等根为-3,所以即b=6,c=9.综上a,b,c的值分别为-1,6,9.18.(12分)(2016·临沂模拟)已知命题p:函数y=log0.5(x2+2x+a)的定义域为R,命题q:函数y=-(5-2a)x是减函数,若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数a的取值范围.【解析】由函数y=log0.5(x2+2x+a)的定义域为R得x2+2x+a>0恒成立,所以Δ=4-4a<0,a>1,由函数y=-(5-2a)x是减函数,得5-2a>1,所以a<2.因为p∨q为真命题,p∧q为假命题,所以p,q必为一真一假,当p真q假时,所以a≥2.当p假q真时,所以a≤1.综上所述,a的取值范围是a≥2或a≤1.【加固训练】已知命题p:方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实根,命题q:不等式4x2+4(m-2)x+1>0的解集为R.若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数m的取值范围.【解析】命题p为真时,实数m满足Δ1=m2-4>0且-m<0,解得m>2;命题q为真时,实数m满足Δ2=16(m-2)2-16<0,解得1<m<3.p∨q为真命题,p∧q为假命题,等价于p真q假或者p假q真.若p真q假,则实数m满足解得m≥3;若p假q真,则实数m满足解得1<m≤2.综上可知,所求m的取值范围是(1,2]∪[3,+∞).19.(12分)(2016·青岛模拟)已知p:x2≤5x-4,q:x2-(a+2)x+2a≤0.(1)求p中对应x的取值范围.(2)若p是q的必要不充分条件,求a的取值范围.【解析】(1)因为x2≤5x-4,所以x2-5x+4≤0,即(x-1)(x-4)≤0,所以1≤x≤4,即p中对应x的取值范围为1≤x≤4.(2)设p对应的集合为A={x|1≤x≤4}.由x2-(a+2)x+2a≤0,得(x-2)(x-a)≤0.当a=2时,不等式的解为x=2,对应的解集为B={2};当a>2时,不等式的解为2≤x≤a,对应的解集为B={x|2≤x≤a};当a<2时,不等式的解为a≤x≤2,对应的解集为B={x|a≤x≤2}.若p是q的必要不充分条件,则B A,当a=2时,满足条件;当a>2时,因为A={x|1≤x≤4},B={x|2≤x≤a},要使B A,则满足2<a≤4;当a<2时,因为A={x|1≤x≤4},B={x|a≤x≤2},要使B A,则满足1≤a<2.综上,1≤a≤4.20.(13分)已知集合A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B=.(1)若A∩B=∅,求a的取值范围.ðA)∩B.(2)当a取使不等式x2+1≥ax恒成立的a的最小值时,求(R【解题提示】(1)先化简集合A,B,再由题意列关于a的不等式组求解.(2)先由题意确定a的值,再求解.【解析】A={y|y<a或y>a2+1},B={y|2≤y≤4}.(1)当A∩B=∅时,解得≤a≤2或a≤-.即a∈(-∞,-]∪[,2].(2)由x2+1≥ax,得x2-ax+1≥0,依题意Δ=a2-4≤0,即-2≤a≤2.所以a的最小值为-2.当a=-2时,A={y|y<-2或y>5}.所以∁R A={y|-2≤y≤5},故(∁R A)∩B={y|2≤y≤4}.21.(14分)求证:方程ax2+2x+1=0有且只有一个负数根的充要条件为a≤0或a=1.【解题提示】充分性与必要性分两步证明→充分性:a≤0或a=1作为条件,必要性:ax2+2x+1=0有且只有一个负数根作为条件.【证明】充分性:当a=0时,方程为2x+1=0,其根为x=-,方程只有一负根.当a=1时,方程为x2+2x+1=0,其根为x=-1,方程只有一负根.当a<0时,Δ=4(1-a)>0,方程有两个不相等的根,且<0,方程有一正一负两个根.所以充分性得证.必要性:若方程ax2+2x+1=0有且只有一负根.当a=0时,符合条件.当a≠0时,方程ax2+2x+1=0有实根,则Δ=4-4a≥0,所以a≤1,当a=1时,方程有一负根x=-1.当a<1时,若方程有且只有一负根,则所以a<0.所以必要性得证.综上,方程ax2+2x+1=0有且只有一个负数根的充要条件为a≤0或a=1.。
世纪金榜高考数学(文科,全国通用)一轮总复习课时提升作业：第二章 函数、导数及其应用 十四 2.1
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课时提升作业十四利用导数研究函数的单调性(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数f(x)=x-lnx的单调递减区间为( )A.(0,1)B.(0,+∞)C.(1,+∞)D.(-∞,0)∪(1,+∞)【解析】选A.函数的定义域是(0,+∞),且f′(x)=1-错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,令f′(x)<0,解得0<x<1,所以单调递减区间是(0,1).2.(2016·聊城模拟)若函数f(x)=x3-ax2-x+6在(0,1)内单调递减,则实数a的取值范围是( )A.a≥1B.a=1C.a≤1D.0<a<1【解析】选A.因为f′(x)=3x2-2ax-1,又f(x)在(0,1)内单调递减,所以不等式3x2-2ax-1<0在(0,1)内恒成立,所以f′(0)≤0,且f′(1)≤0,所以a≥1.3.对于实数集R上的可导函数f(x),若满足(x2-3x+2)f′(x)<0,则在区间[1,2]上必有( )A.f(1)≤f(x)≤f(2)B.f(x)≤f(1)C.f(x)≥f(2)D.f(x)≤f(1)或f(x)≥f(2)【解析】选A.由(x2-3x+2)f′(x)<0知,当x2-3x+2<0,即1<x<2时,f′(x)>0,所以f(x)是区间[1,2]上的单调递增函数,所以f(1)≤f(x)≤f(2).4.(2016·青岛模拟)已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能是( )A.f(x)=错误！未找到引用源。
-x3B.f(x)=错误！未找到引用源。
+x3C.f(x)=错误！未找到引用源。
-x3D.f(x)=-错误！未找到引用源。
-x3【解析】选A.根据函数的定义域可以排除选项C,D,对于选项B:f′(x)=错误！未找到引用源。
【世纪金榜】高考数学(文科,全国通用)一轮总复习阶段滚动月考卷(五)解析几何(含答案解析)
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阶段滚动月考卷(五)解析几何(时间:120分钟分值:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(滚动单独考查)设i为虚数单位,若=b-i(a,b∈R),则a+b= ( )A.1B.2C.3D.42.(滚动交汇考查)(2016·莱芜模拟)设点P(x,y),则“x=2且y=-1”是“点P在圆(x-2)2+y2=1上”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.(2016·合肥模拟)若圆(x-3)2+(y+5)2=r2上有且只有两个点到直线4x-3y=2的距离等于1,则半径r的取值范围是( )A.(4,6)B.[4,6)C.(4,6]D.[4,6]4.(滚动单独考查)(2016·邢台模拟)若a>b>c,则使+≥恒成立的最大的正整数k为( )A.2B.3C.4D.55.(滚动单独考查)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,为了得到g(x)=sin2x的图象,则只需将f(x)的图象( )A.向右平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D.向左平移个长度单位6.(2016·滨州模拟)已知A,B是圆O:x2+y2=1上的两个点,P是线段AB上的动点,当△AOB的面积最大时,则·-的最大值是( )A.-1B.0C.D.7.(滚动交汇考查)如图,已知点D为△ABC的边BC上一点,=3,E n(n∈N*)为边AC上的一列点,满足=a n+1-(3a n+2),其中实数列{a n}中a n>0,a1=1,则数列{a n}的通项公式为( )A.a n=2·3n-1-1B.a n=2n-1C.a n=3n-2D.a n=3·2n-1-28.(2016·聊城模拟)已知点F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点,若△ABF2是锐角三角形,则该椭圆的离心率e的取值范围是( )A.(0,-1)B.(-1,1)C.(-1,+∞)D.(-1,1)9.曲线的方程为+=2,若直线l:y=kx+1-2k与曲线有公共点,则k的取值范围是( )A. B.C.∪[1,+∞)D.∪(1,+∞)10.(2016·南充模拟)已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C:-=1(a>0,b>0)渐近线的距离为,点P是抛物线y2=8x上的一动点,P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3,则该双曲线的方程为( ) A.-=1 B.y2-=1C.-x2=1D.-=1二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(滚动单独考查)若实数x,y满足则z=x+2y的最小值是.12.(2016·衡水模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为.13.(滚动单独考查)用[x]表示不大于实数x的最大整数,方程lg2x-[lgx]-2=0的实根个数是.14.若对任意α∈R,直线l:xcosα+ysinα=2sin+4与圆C:(x-m)2+(y-m)2=1均无公共点,则实数m的取值范围是.15.已知F1,F2为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线,垂足为M,且满足||=3||,则此双曲线的渐近线方程为.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(滚动单独考查)已知函数f(x)=sin+cos+2cos2x-1.(1)求函数f(x)的最小正周期.(2)若α∈且f(α)=,求cos2α.17.(12分)(滚动单独考查)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形,侧面PAB是正三角形,AB=2,BC=,PC=.点E,H分别为PA,AB的中点.(1)求证:PH⊥AC.(2)求三棱锥P-EHD的体积.18.(12分)(2016·滨州模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点M(-2,-1),离心率为.过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C 交于异于M的另外两点P,Q.(1)求椭圆C的方程.(2)试判断直线PQ的斜率是否为定值,证明你的结论.19.(12分)(2016·泰安模拟)已知各项都不相等的等差数列{a n}的前六项和为60,且a6为a1与a21的等比中项.(1)求数列{a n}的通项公式a n及前n项和S n.(2)若数列{b n}满足b n+1-b n=a n(n∈N*),且b1=3,求数列的前n项和T n.20.(13分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右顶点、上顶点分别为A,B,坐标原点到直线AB的距离为,且a= b.(1)求椭圆C的方程.(2)过椭圆C的左焦点F1的直线l交椭圆于M,N两点,且该椭圆上存在点P,使得四边形MONP(图形上的字母按此顺序排列)恰好为平行四边形,求直线l的方程.21.(14分)(滚动单独考查)已知函数f(x)=ax+(1-a)lnx+(a∈R).(1)当a=0时,求f(x)的极值.(2)当a<0时,求f(x)的单调区间.(3)方程f(x)=0的根的个数能否达到3,若能,请求出此时a的范围,若不能,请说明理由.答案解析1.C 因为=b-i(a,b∈R),所以a+2i=bi+1,所以a=1,b=2,则a+b=3.2.A 当x=2且y=-1时,(x-2)2+y2=(2-2)2+(-1)2=1,满足点在圆上,当x=1,y=0时,满足(x-2)2+y2=1但x=2且y=-1不成立,即“x=2且y=-1”是“点P在圆(x-2)2+y2=1上”的充分不必要条件.【加固训练】(2016·兰州模拟)如果直线ax+by=4与圆C:x2+y2=4有两个不同的交点,那么点(a,b)和圆C的位置关系是( )A.在圆外B.在圆上C.在圆内D.不能确定A 因为直线ax+by=4与圆C:x2+y2=4有两个不同的交点,所以圆心(0,0)到直线ax+by-4=0的距离d=<2,所以a2+b2>4,所以点(a,b)在圆C的外部.3.A 因为圆心(3,-5)到直线4x-3y=2的距离等于=5,由|5-r|<1得4<r<6.4.C 因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,a-c>0,且a-c=a-b+b-c.又因为+=+=2++≥2+2=4,当且仅当b-c=a-b,即a+c=2b时取等号.所以k≤+,k≤4,故k的最大正整数为4.5.A 由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象可得A=1,=·=-,求得ω=2.因为题干中图象过点,且|φ|<,所以2×+φ=π,所以φ=,f(x)=sin.故把f(x)=sin的图象向右平移个长度单位,可得y= sin=sin2x=g(x)的图象.6.C 由题意知:△AOB的面积S=||||sin∠AOB=×1×1×sin∠AOB=sin∠AOB,当∠AOB=时,S取最大值,此时⊥,如图所示,不妨取A(1,0),B(0,1),设P(x,1-x),所以·-=·(-)=·=(x-1,1-x)·(-x,x-1)=-x(x-1)+(1-x)(x-1)=(x-1)(1-2x)=-2x2+3x-1,x∈[0,1],当x=-=时,上式取最大值.7.A 因为=3,所以=+=+=+(+)=-+, 设m=,因为=a n+1-(3a n+2),-+=a n+1-(3a n+2),所以-m=a n+1,m=-(3a n+2),所以a n+1=(3a n+2),所以a n+1+1=3(a n+1),因为a1+1=2,所以{a n+1}是以2为首项,3为公比的等比数列,所以a n+1=2·3n-1,所以a n=2·3n-1-1.8.B 因为点F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点,所以F1(-c,0),F2(c,0),A,B,因为△ABF2是锐角三角形,所以∠AF2F1<45°,所以tan∠AF2F1<1,所以<1,整理,得b2<2ac,所以a2-c2<2ac,两边同时除以a2,并整理,得e2+2e-1>0,解得e>-1,或e<--1(舍),又因为0<e<1,所以椭圆的离心率e的取值范围是(-1,1).【误区警示】解答本题易出现以下错误:一是没有注意椭圆离心率的范围,而选错答案;二是运算错误得出错误选项.9.A 方程+=2表示的是动点P(x,y)到点A(-1,0),B(1,0)的距离之和为2,即有P的轨迹为线段AB:y=0(-1≤x≤1),直线l:y=kx+1-2k为恒过定点C(2,1)的直线,k AC==,k BC==1,直线l:y=kx+1-2k与曲线有公共点,等价为k AC≤k≤k BC,即为≤k≤1. 【误区警示】解答本题易出现如下错误:一是不能观察曲线方程,造成不会解题;二是没有注意x的取值范围,误将线段当作直线去做,造成结果错误.10.【解题提示】确定抛物线的焦点坐标,双曲线的渐近线方程,进而可得b与a的关系,再利用抛物线的定义,结合P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3,可得FF1的值,从而可求双曲线的几何量,从而得出双曲线的方程.C 抛物线y2=8x的焦点F(2,0),双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为ax-by=0,因为抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C:-=1(a>0,b>0)渐近线的距离为,所以=,所以a=2b.因为P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3,所以FF1=3,所以c2+4=9,所以c=,因为c2=a2+b2,a=2b,所以a=2,b=1,所以双曲线的方程为-x2=1.11.【解析】由实数x,y满足作出可行域如图:因为z=x+2y,作出直线y=-x,当直线y=-x过点O时z取得最小值,所以z=x+2y的最小值是0.答案:012.【解析】因为双曲线的一个焦点在直线l上,令y=0,可得x=-5,即焦点坐标为(-5,0),所以c=5,因为双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,所以=2,因为c2=a2+b2,所以a2=5,b2=20,所以双曲线的方程为-=1.答案:-=113.【解题提示】先进行换元,令lgx=t,则得t2-2=[t],作y=t2-2与y=[t]的图象可得解的个数.【解析】令lgx=t,则得t2-2=[t].作y=t2-2与y=[t]的图象,知t=-1,t=2,及1<t<2内有一解.当1<t<2时,[t]=1,所以t=.故得:x=,x=100,x=1,即共有3个实根.答案:314.【解题提示】求出圆心到直线的距离大于半径,结合对任意α∈R恒成立,即可求得实数m的取值范围.【解析】由题意,圆心到直线的距离d=|mcosα+msinα-2sin-4|>1,所以|(2m-2)sin-4|>1,所以(2m-2)sin-4>1或(2m-2)sin-4<-1,所以-<m<.答案:-<m<15.【解析】根据题意由双曲线的性质:焦点到渐近线的距离等于b可得:||=b,则||=3b,||=a,||=c,cos∠F1OM=cos(π-∠MOF2)=-cos∠MOF2=-,在△MF1O中,由余弦定理可知=-,又因为c2=a2+b2,所以a2=2b2,即=,所以双曲线的渐近线方程为y=±x.答案:y=±x【加固训练】若点P是椭圆+y2=1上的动点,则点P到直线l:y=x+1的距离的最大值是.【解析】设P(cosθ,sinθ),则点P到直线l:y=x+1的距离为= .所以点P到直线l:y=x+1的距离的最大值是=.答案:16.【解析】(1)因为f(x)=sin2x-cos2x+cos2x+sin2x+cos2x=sin2x+cos2x=sin.所以函数f(x)的最小正周期T==π.(2)因为f(α)=,所以sin=,所以sin=,因为α∈,所以≤2α+≤,所以cos=-,所以cos2α=cos=cos cos+sin sin=-×+×=-.17.【解题提示】(1)根据勾股定理的逆定理得BC⊥PB,由四边形ABCD 为矩形,得BC⊥AB,从而BC⊥平面PAB,进而平面PAB⊥平面ABCD,由此能证明PH⊥平面ABCD,从而可得PH⊥AC.(2)由V P-EHD=V D-PEH,利用等积法能求出三棱锥P-EHD的体积.【解析】(1)因为PAB为正三角形,AB=2,所以PB=AB=2,因为BC=,PC=,所以PC2=BC2+PB2,所以根据勾股定理的逆定理得BC⊥PB,因为四边形ABCD为矩形, 所以BC⊥AB,因为PB,AB⊂平面PAB且交于点B,所以BC⊥平面PAB,因为BC⊂平面ABCD,所以平面PAB⊥平面ABCD.因为点H为AB的中点,△PAB为正三角形,所以PH⊥AB,所以PH⊥平面ABCD,因为AC⊂平面ABCD,所以PH⊥AC.(2)由(1)知DA⊥平面PEH,DA=BC=,S△PEH=S△PAB=×××2=,所以三棱锥P-EHD的体积V P-EHD=V D-PEH=×DA×S△PEH=××=.18.【解析】(1)因为椭圆C:+=1(a>b>0)经过点M(-2,-1),离心率为.所以+=1,①且=,②由①,②解得a2=6,b2=3,所以椭圆C的方程为+=1.(2)直线PQ的斜率为定值,证明如下:由题意可得直线MP,MQ的斜率都存在.设P(x1,y1),Q(x2,y2).直线MP的方程为y+1=k(x+2),与椭圆C的方程联立,得(1+2k2)x2+(8k2-4k)x+8k2-8k-4=0,因为-2,x1是该方程的两根,所以-2x1=,即x1=.设直线MQ的方程为y+1=-k(x+2),同理得x2=.因为y1+1=k(x1+2),y2+1=-k(x2+2),所以k PQ====1,因此直线PQ的斜率为定值.19.【解题提示】(1)设等差数列{a n}的公差为d,由题意建立方程组,求得d和a1,根据等差数列的通项公式和求和公式,分别求得a n及前n 项和S n.(2)由(1)中的a n和S n,根据迭代法得:b n=(b n-b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b2-b1)+b1,结合条件化简后求得b n,再利用裂项法求得,代入前n项和T n再相消后化简即可.【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d,则解得所以a n=2n+3,S n==n(n+4).(2)因为b n+1-b n=a n,所以b n-b n-1=a n-1=2n+1(n≥2,n∈N*),当n≥2时,b n=(b n-b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b2-b1)+b1=a n-1+a n-2+…+a1+b1=S n-1+b1=(n-1)(n-1+4)+3=n(n+2),对b1=3也适合,所以b n=n(n+2)(n∈N*),所以==,则T n===.20.【解析】(1)设直线AB的方程为bx+ay-ab=0,坐标原点到直线AB 的距离为=,=,又因为a=b,解得a=4,b=2,故椭圆的方程为+=1.(2)由(1)可求得椭圆的左焦点为F1(-2,0),易知直线l的斜率不为0,故可设直线l:x=my-2,点M(x1,y1),N(x2,y2), 因为四边形MONP为平行四边形,所以,=+=(x1+x2,y1+y2)⇒P(x1+x2,y1+y2).联立⇒(m2+2)y2-4my-8=0,则y1+y2=,x1+x2=m(y1+y2)-4,所以x1+x2=,因为点P(x1+x2,y1+y2)在椭圆上,所以(x1+x2)2+2(y1+y2)2=16⇒+2=16⇒m=±,那么直线l的方程为x=±y-2.21.【解题提示】(1)代入a的值,求出定义域,求导,利用导数求出单调区间,即可求出极值.(2)直接对f(x)求导,根据a的不同取值,讨论f(x)的单调区间.(3)由第二问的结论,即函数的单调区间来讨论f(x)的零点个数.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞).当a=0时,f(x)=lnx+,f′(x)=-=.令f′(x)=0,解得x=1,当0<x<1时,f′(x)<0;当x>1时,f′(x)>0.所以f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞);所以x=1时,f(x)有极小值为f(1)=1,无极大值.(2)f′(x)=a--==(x>0),令f′(x)=0,得x=1或x=-,当-1<a<0时,1<-,令f′(x)<0,得0<x<1或x>-,令f′(x)>0,得1<x<-;当a=-1时,f′(x)=-≤0.当a<-1时,0<-<1,令f′(x)<0,得0<x<-或x>1,令f′(x)>0,得-<x<1;综上所述:当-1<a<0时,f(x)的单调递减区间是(0,1),,单调递增区间是;当a=-1时,f(x)的单调递减区间是(0,+∞);当a<-1时,f(x)的单调递减区间是,(1,+∞),单调递增区间是.(3)当a≥0时,f′(x)=(x>0),f′(x)=0(x>0)仅有1解,方程f(x)=0至多有两个不同的解.由(2)知-1<a<0时,极小值f(1)=a+1>0,方程f(x)=0至多在区间上有1个解.a=-1时f(x)单调,方程f(x)=0至多有1个解;a<-1时,f<f(1)=a+1<0,方程f(x)=0仅在区间内有1个解;故方程f(x)=0的根的个数不能达到3.关闭Word文档返回原板块。
世纪金榜高考数学(文科,全国通用)一轮总复习课时提升作业：第二章 函数、导数及其应用 九 2.6
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课时提升作业九幂函数与二次函数(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知幂函数f(x)=xα的图象过点(4,2),若f(m)=3,则实数m的值为( )A.错误！未找到引用源。
B.±错误！未找到引用源。
C.±9D.9【解析】选D.由函数f(x)=xα过点(4,2),可得4α=22α=2,所以α=错误！未找到引用源。
,所以f(x)=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,故f(m)=错误！未找到引用源。
=3⇒m=9.2.(2016·德州模拟)设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是( )【解析】选D. A项,因为a<0,-错误！未找到引用源。
<0,所以b<0.又因为abc>0,所以c>0,由图知f(0)=c<0,故A错;B项,因为a<0,-错误！未找到引用源。
>0,所以b>0,又因为abc>0,所以c<0,而f(0)=c>0,故B错;C项,因为a>0,-错误！未找到引用源。
<0,所以b>0,又因为abc>0,所以c>0,而f(0)=c<0,故C 错;D项,因为a>0,-错误！未找到引用源。
>0,所以b<0,又因为abc>0,所以c<0,由图知f(0)=c<0.【加固训练】设b>0,二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象为下列之一,则a 的值为( )A.错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
C.1D.-1【解析】选D.因为b>0,故对称轴不可能为y轴,由给出的图可知对称轴在y轴右侧,故a<0,所以二次函数的图象为第三个图,图象过原点,故a2-1=0,a=±1,又a<0,所以a=-1.3.设a=0.错误！未找到引用源。
【世纪金榜】高考数学(文科,全国通用)一轮总复习练习：单元评估检测(八)(含答案解析)
单元评估检测(八)第八章(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.过点P(1,2)的直线l平分圆C:x2+y2+4x+6y+1=0的周长,则直线l的斜率为()A. B.1 C. D.【解析】选A.圆的方程可化为(x+2)2+(y+3)2=12.因为l平分圆C的周长,所以l过圆C的圆心(-2,-3),又因为l过点P(1,2),所以k l==.2.(2016·济宁模拟)抛物线x2=ay的准线方程是y=1,则实数a的值为()A.-4B.4C.D.-【解析】选A.由条件知-=1,所以a=-4.3.(2016·枣庄模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离为c(c为双曲线的半焦距长),则双曲线的离心率为()A. B. C. D.3【解析】选C.由条件知,=c,所以=,所以4b2=5a2,因为a2+b2=c2,所以4c2=9a2,所以e==.4.点P是抛物线y2=4x上一点,P到该抛物线焦点的距离为4,则点P的横坐标为()A.2B.3C.4D.5【解析】选B.设点P的横坐标为x0,抛物线的准线为x=-1,根据抛物线的定义可知,P到该抛物线焦点的距离等于P到该准线的距离,即x0-(-1)=4,所以x0=3,即点P的横坐标为3.5.(2016·莱芜模拟)已知圆C:(x+1)2+(y-1)2=1与x轴切于A点,与y轴切于B点,设劣弧AB 的中点为M,则过点M的圆C的切线方程是()A.y=x+2-B.y=x+1-C.y=x-2+D.y=x+1-【解析】选A.由已知得M,又切线斜率为1,故切线方程为y+-1=x-+1,即y=x+2-.6.(2016·泰安模拟)已知实数1,m,9成等比数列,则圆锥曲线+y2=1的离心率为()A. B.2 C.或2 D.或【解析】选C.根据条件可知m2=9,所以m=±3,当m=3时,e==,当m=-3时,e=2,所以正确选项为C.【加固训练】(2016·长春模拟)如图,F1,F2是双曲线C1:x2-=1与椭圆C2的公共焦点,点A 是C1,C2在第一象限的公共点,若|F1F2|=|F1A|,则C2的离心率是()A. B. C.或 D.【解析】选B.设椭圆方程为+=1(a>b>0),由题意得,|AF1|=|F1F2|=2c=2=4,所以c=2,|AF1|-|AF2|=2,所以|AF2|=2,所以2a=|AF1|+|AF2|=6,所以a=3,所以e==.7.(2016·聊城模拟)若F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,M是椭圆上的任意一点,且△MF1F2的内切圆的周长为3π,则满足条件的点M的个数为()A.2B.4C.6D.不确定【解题提示】由内切圆的周长为3π可确定内切圆的半径,然后利用面积相等确定点M的纵坐标,进而确定M点的个数.【解析】选A.由△MF1F2的内切圆的周长为3π得,内切圆的半径r=,所以△MF1F2的面积为(|MF1|+|MF2|+|F1F2|)r=|F1F2|×|y M|,即(10+6)×=6×|y M|,得|y M|=4,所以满足条件的点M是短轴的2个端点.【加固训练】(2016·赣州模拟)设集合A=,B={(x,y)|y=3x},则A∩B的子集的个数是()A.4B.3C.2D.1【解析】选A.指数函数y=3x的图象与椭圆+=1有两个交点,所以A∩B中有2个元素,所以其子集有22=4个.8.已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于两点A,B(A,B异于原点),抛物线的焦点为F.若双曲线的离心率为2,|AF|=7,则p=()A.3B.6C.12D.42【解题提示】由双曲线的离心率可求出双曲线的渐近线方程,从而可求出A,B两点的坐标,然后利用抛物线的定义可求p的值.【解析】选B.因为双曲线的离心率为2,所以e2===4,即b2=3a2,所以双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±x,代入y2=2px(p>0),得x=p或x=0,故x A=x B=p,又因为|AF|=x A+=p+=7,所以p=6.9.(2016·烟台模拟)已知圆O:x2+y2-4=0,圆C:x2+y2+2x-15=0,若圆O的切线l交圆C于A,B两点,则△OAB面积的取值范围是()A.[2,2]B.[2,8]C.[2,2]D.[2,8]【解析】选A.圆O的切线l交圆C于A,B两点,则△OAB的面积S=AB·r,圆O:x2+y2-4=0的半径为r=2,AB是圆C:x2+y2+2x-15=0的弦长,圆C:x2+y2+2x-15=0的圆心C(-1,0),半径为4,圆心C到AB的距离最小时,AB最大,圆心C到AB的距离最大时,AB最小,如图,AB的最小值为:2=2;AB的最大值为:2=2;所以△OAB面积的最小值为:×2×2=2.△OAB面积的最大值为:×2×2=2.所以△OAB面积的取值范围是[2,2].10.我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F1,F2是一对“相关曲线”的焦点,P是它们在第一象限的交点,当∠F1PF2=60°时,这一对“相关曲线”中双曲线的离心率是()A. B. C. D.2【解析】选A.设椭圆的长半轴为a1,椭圆的离心率为e1,则e1=,a1=.双曲线的实半轴为a,双曲线的离心率为e,e=,a=.设|PF1|=x,|PF2|=y(x>y>0),则由余弦定理得4c2=x2+y2-2xycos60°=x2+y2-xy,当点P看成是椭圆上的点时,有4c2=(x+y)2-3xy=4-3xy,当点P看成是双曲线上的点时,有4c2=(x-y)2+xy=4a2+xy,两式联立消去xy得4c2=+3a2,即4c2=+3,所以+3=4,又因为=e,所以e2+=4,整理得e4-4e2+3=0,解得e2=3,所以e=,即双曲线的离心率为.【加固训练】(2016·孝感模拟)已知点F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右两焦点,若双曲线左支上存在点P与点F2关于直线y=x对称,则双曲线的离心率为()A. B. C.2D.【解析】选D.过焦点F2且垂直渐近线y=x的直线方程为:y-0=-(x-c),联立渐近线方程y=x与y-0=-(x-c),解得x=,y=,故对称中心的点坐标为,由中点坐标公式可得点F2的对称点P的坐标为,将其代入双曲线的方程可得-=1,化简可得c2=5a2,故可得e==.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2016·菏泽模拟)直线kx+y+k+1=0与圆x2+y2+2x-2y-2=0相切,则k=.【解析】圆心到直线的距离为d==2,解得k=0.答案:012.以抛物线y2=20x的焦点为圆心,且与双曲线-=1的两条渐近线都相切的圆的方程为.【解析】由已知可以知道,抛物线的焦点坐标为(5,0),双曲线的渐近线方程为y=±x,则所求圆的圆心为(5,0),利用圆心到直线3x-4y=0的距离为半径r,则有r==3,故圆的方程为(x-5)2+y2=9.答案:(x-5)2+y2=913.(2015·浙江高考)椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是.【解题提示】利用已知条件求出点Q的坐标,从而求出a,b,c的关系.【解析】设F(c,0)关于直线y=x的对称点为Q(m,n),则有解得m=,n=,所以Q在椭圆上,即有+=1,解得a2=2c2,所以离心率e==.答案:【加固训练】已知椭圆C:+=1,点M与椭圆C的焦点不重合.若M关于椭圆C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在椭圆C上,则|AN|+|BN|=.【解析】如图,设MN的中点为P,由题意可知,PF1,PF2分别为△AMN,△BMN的中位线,所以|AN|+|BN|=2(|PF1|+|PF2|)=2×4=8.答案:814.抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则p的值为.【解析】设△OFM的外接圆圆心为O1,则|O1O|=|O1F|=|O1M|,所以O1在线段OF的中垂线上,又因为☉O1与抛物线的准线相切,所以O1在抛物线上,所以O1,又因为圆面积为36π,所以半径为6,所以+p2=36,所以p=8.答案:815.若方程+=1所表示的曲线C,给出下列四个命题:①若C为椭圆,则1<t<4;②若C为双曲线,则t>4或t<1;③曲线C不可能是圆;④若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则1<t<.其中正确的命题是.(把所有正确命题的序号都填在横线上)【解析】若C为椭圆,则有4-t>0,t-1>0且4-t≠t-1,解得1<t<4且t≠,所以①不正确;若C为双曲线,则有(4-t)(t-1)<0,解得t>4或t<1,所以②正确;若t=时,该曲线表示为圆,所以③不正确;若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则4-t>t-1>0,解得1<t<,所以④错误.答案:②三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(2016·青岛模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P(4,0).(1)设Q是抛物线C上的动点,求|PQ|的最小值.(2)过点P的直线l与抛物线C交于M,N两点,若△FMN的面积为6,求直线l的方程.【解题提示】(1)设Q(x,y),则|PQ|===,利用单调性即可得出.(2)设直线l:x=my+4,M(x1,y1),N(x2,y2),与抛物线方程联立可得根与系数的关系,再利用△FMN 的面积为6即可求出.【解析】(1)设Q(x,y),则|PQ|===,当x=2时,|PQ|min=2.(2)设直线l:x=my+4,M(x1,y1),N(x2,y2),焦点F(1,0).联立消去x得y2-4my-16=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-16,所以S△FMN=|PF|·|y1-y2|=×3×=×=6=6,所以m=±1,所以直线l的方程为:x+y-4=0或x-y-4=0.17.(12分)已知圆心在x轴上的圆C过点(0,0)和(-1,1),圆D的方程为(x-4)2+y2=4.(1)求圆C的方程.(2)由圆D上的动点P向圆C作两条切线分别交y轴于A,B两点,求|AB|的取值范围.【解题提示】(1)求出过两点(0,0)和(-1,1)的直线的垂直平分线方程,得到其与x轴的交点坐标,即圆C的圆心坐标,进一步求得半径,代入圆的标准方程即可.(2)设出P点坐标,然后求出切线方程,得到切线在y轴上的截距,利用换元法和配方法求得|AB|的取值范围.【解析】(1)过两点(0,0)和(-1,1)的直线的斜率为-1,则线段AB的垂直平分线方程为:y-=1×,整理得:y=x+1.取y=0,得x=-1.所以圆C的圆心坐标为(-1,0),半径为1,所以圆C的方程为:(x+1)2+y2=1.(2)设P(x0,y0),A(0,a),B(0,b),则直线PA方程为=,整理得:(y0-a)x-yx0+ax0=0.因为直线PA与圆C相切,可得=1,化简得(x0+2)a2-2y0a-x0=0,同理可得PB方程(x0+2)b2-2y0b-x0=0,所以a,b为方程(x0+2)x2-2y0x-x0=0的两根,所以|AB|=|a-b|===2·,令t=x0+2∈[4,8],则|AB|=2·,求得|AB|min=,|AB|max=.|AB|的取值范围是.18.(12分)已知椭圆+=1(a>b>0),离心率e=,且过点.(1)求椭圆方程.(2)Rt△ABC以A(0,b)为直角顶点,边AB,BC与椭圆交于B,C两点,求△ABC面积的最大值. 【解析】(1)由e=,即=,又a2-b2=c2,得a=3b,把点代入椭圆方程可得:+=1⇒b=1,所以椭圆方程为:+y2=1.(2)不妨设直线AB的方程为y=kx+1,则直线AC的方程为y=-x+1,由得(1+9k2)x2+18kx=0⇒x B=,把k用-代换,可得x C=,从而有|AB|=,|AC|=,于是S△ABC=|AB||AC|=162=162.令t=k+≥2,有S△ABC==≤,当且仅当t=>2时,(S△ABC)max=.19.(12分)(2016·烟台模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,右焦点为F,右顶点A 在圆F:(x-1)2+y2=r2(r>0)上.(1)求椭圆C和圆F的方程.(2)已知过点A的直线l与椭圆C交于另一点B,与圆F交于另一点P.请判断是否存在斜率不为0的直线l,使点P恰好为线段AB的中点,若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由. 【解析】(1)由题意可得c=1,又由题意可得=,所以a=2,所以b2=a2-c2=3,所以椭圆C的方程为+=1,所以椭圆C的右顶点为A(2,0),代入圆F的方程,可得r2=1,所以圆F的方程为(x-1)2+y2=1.(2)假设存在直线l:y=k(x-2)(k≠0)满足条件,由得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.设B(x1,y1),则2+x1=,可得中点P,由点P在圆F上可得+=1,化简整理得k2=0,又因为k≠0,所以不存在满足条件的直线l.【一题多解】解决本题(2)还有如下方法:假设存在直线l满足题意,由(1)可得OA是圆F的直径,所以OP⊥AB.由点P是AB的中点,可得|OB|=|OA|=2.设点B(x1,y1),则由题意可得+=1.又因为直线l的斜率不为0,所以<4,所以|OB|2=+=+3=3+<4,这与|OA|=|OB|矛盾,所以不存在满足条件的直线l.20.(13分)(2015·湖南高考)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:+=1(a>b>0)的一个焦点.C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D 两点,且与同向.(1)求C2的方程.(2)若︱AC︱=︱BD︱,求直线l的斜率.【解题提示】(1)由题意可得F的坐标为(0,1),又因为F也是椭圆C2的一个焦点,可得a2-b2=1,根据C1与C2的公共弦长为2,C1与C2都关于y轴对称可得+=1,然后得到对应曲线方程即可.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)根据=,可得(x3+x4)2-4x3x4=(x1+x2)2-4x1x2,设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1,联立直线与抛物线方程、直线与椭圆方程、利用根与系数的关系进行计算即可得到结果.【解析】(1)由C1:x2=4y知其焦点F的坐标为(0,1),因为F也是椭圆C2的一个焦点,所以a2-b2=1①;又C1与C2的公共弦长为2,C1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为:x2=4y,由此易知C1与C2的公共点的坐标为,所以+=1②,联立①②得a2=9,b2=8,故C2的方程为+=1.(2)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),因为与同向,且|AC|=|BD|,所以=,从而x3-x1=x4-x2,即x3-x4=x1-x2,于是(x3+x4)2-4x3x4=(x1+x2)2-4x1x2③,设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1,由得x2-4kx-4=0,由x1,x2是这个方程的两根,所以x1+x2=4k,x1x2=-4④,由得(9+8k2)x2+16kx-64=0,而x3,x4是这个方程的两根,所以x3+x4=-,x3x4=-,⑤将④,⑤代入③,得16(k2+1)=+.即16(k2+1)=,所以(9+8k2)2=16×9,解得k=±,即直线l的斜率为±.21.(14分)一种画椭圆的工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN 通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3.当栓子D 在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕O转动,M处的笔尖画出的椭圆记为C.以O为原点,AB 所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1)求椭圆C的方程.(2)设动直线l与两定直线l1:x-2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.【解析】(1)因为|OM|≤|MN|+|NO|=3+1=4,当M,N在x轴上时,等号成立;同理|OM|≥|MN|-|NO|=3-1=2,当D,O重合,即MN⊥x轴时,等号成立.所以椭圆C的中心为原点O,长半轴长为4,短半轴长为2,其方程为+=1.(2)当直线l的斜率不存在时,直线l为x=4或x=-4,都有S△OPQ=×4×4=8.当直线l的斜率存在时,设直线l:y=kx+m,由消去y,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,所以Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-16)=0,即m2=16k2+4.①又由可得P,同理可得Q.由原点O到直线PQ的距离为d=和|PQ|=|x P-x Q|,可得S△OPQ=|PQ|·d=|m||x P-x Q|=·|m|=.②将①代入②得,S△OPQ==8.当k2>时,S△OPQ=8=8>8;当0≤k2<时,S△OPQ=8=8.因0≤k2<,则0<1-4k2≤1,≥2,所以S△OPQ=8≥8,当且仅当k=0时取等号.所以当k=0时,S△OPQ的最小值为8.综上可知,当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时,△OPQ的面积取得最小值8.。
世纪金榜高考数学(文科全国通用)一轮总复习课时提升作业：第二章 函数、导数及其应用 十五 2.11.2
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课时提升作业十五利用导数研究函数的极值、最值(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.当函数y=x·2x取极小值时,x= ( )A.错误！未找到引用源。
B.-错误！未找到引用源。
C.-ln 2D.ln 2【解析】选B.令y′=2x+x·2x ln2=0,解得x=-错误！未找到引用源。
.2.(2016·济宁模拟)函数f(x)=错误！未找到引用源。
x2-lnx的最小值为( )A.错误！未找到引用源。
B.1C.0D.不存在【解析】选A.f′(x)=x-错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,且x>0,令f′(x)>0,得x>1;令f′(x)<0,得0<x<1,所以f(x)在x=1处取得极小值也是最小值,且f(1)=错误！未找到引用源。
-ln1=错误！未找到引用源。
.3.(2016·潍坊模拟)已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值是( )A.-37B.-29C.-5D.以上都不对【解析】选A.因为f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),因为f(x)在(-2,0)上为增函数,在(0,2)上为减函数,所以当x=0时,f(x)=m最大.所以m=3,从而f(-2)=-37,f(2)=-5.所以最小值为-37.4.(2015·陕西高考)对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零常数),四位同学分别给出下列结论,其中有且仅有一个结论是错误的,则错误的结论是( )A.-1是f(x)的零点B.1是f(x)的极值点C.3是f(x)的极值D.点(2,8)在曲线y=f(x)上【解题提示】根据选项假设A错误,利用导数推导函数的极值点及极值,与其余的选项相符,假设正确,从而确定答案.【解析】选A.若选项A错误,则选项B,C,D正确.f′(x)=2ax+b,因为1是f(x)的极值点,3是f(x)的极值,所以错误！未找到引用源。
【世纪金榜】高考数学(文科)一轮总复习阶段滚动月考卷(一)集合与常用逻辑用语、函数与导数(含答案解析)
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阶段滚动月考卷(一)集合与常用逻辑用语、函数与导数(时间:120分钟分值:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合P={x|x2-x-2≥0},Q=,则P∩Q= ( )A.{m|-1≤m<2}B.{m|-1<m<2}C.{m|m≥2}D.{-1}2.(2016·德州模拟)已知集合A={x|4≤2x≤16},B=[a,b],若A B,则实数a-b的取值范围是( )A.(-∞,-2]B.[-2,+∞)C.(-∞,2]D.[2,+∞)3.(2016·潍坊模拟)已知幂函数f(x)的图象过点,则f(8)的值为( )A. B.64 C.2 D.4.“a≤-2”是“函数f(x)=|x-a|在[-1,+∞)上单调递增”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(2016·烟台模拟)已知函数f(x)=lnx,则函数g(x)=f(x)-f ′(x)的零点所在的区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)6.设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的极小值点,以下结论一定正确的是( )A. x∈R,f(x)≥f(x0)B.-x0是f(-x)的极大值点C.-x0是-f(x)的极小值点D.-x0是-f(-x)的极大值点7.(2016·青岛模拟)设a=20.3,b=0.32,c=log x(x2+0.3)(x>1),则a,b,c 的大小关系是( )A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a8.过函数f(x)=3x-x3图象上一点A(2,-2)的切线方程为( )A.y=-2B.y=2C.9x+y-16=0D.9x+y-16=0或y=-29.(2015·北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同的路程,三辆汽车中,甲车消耗汽油量最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该城市用丙车比用乙车更省油10.(2016·大连模拟)已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≤0时,f(x)=(x+1)3e x+1,那么函数f(x)的极值点的个数是( )A.5B.4C.3D.2二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2016·北京模拟)曲线y=x3+mx+c在点P(1,n)处的切线方程为y=2x+1,其中m,n,c∈R,则m+n+c= .12.(2016·烟台模拟)已知f(x)是定义在R上的函数,且满足f(x+2)=-,当2≤x≤3时,f(x)=x,则f= .13.f(x)=log2a[(a2-3a)x]在(-∞,0)上是减函数,则实数a的取值范围是.14.(2016·绍兴模拟)已知函数f(x)满足f(x+1)=-,且f(x)是偶函数,当x∈[-1,0]时,f(x)=x2,若在区间[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-log a(x+2)有4个零点,则实数a的取值范围是. 15.(2016·莱芜模拟)已知定义域为R的函数f(x),对于x∈R,满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x,设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0,则实数x0的值为.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(2016·泰安模拟)已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈R}, B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}.(1)若A∩B=[0,3],求实数m的值.(2)若AðB,求实数m的取值范围.R17.(12分)设a>0,且a≠1,已知函数f(x)=log a是奇函数.(1)求实数b的值.(2)求函数f(x)的单调区间.(3)当x∈(1,a-2)时,函数f(x)的值域为(1,+∞),求实数a的值. 18.(12分)某地拟建一座长为640米的大桥AB,假设桥墩等距离分布,经设计部门测算,两端桥墩A,B造价总共为100万元,当相邻两个桥墩的距离为x米时(其中64<x<100),中间每个桥墩的平均造价为万元,桥面每1米长的平均造价为万元.(1)试将桥的总造价表示为x的函数f(x).(2)为使桥的总造价最低,试问这座大桥中间(两端桥墩A,B除外)应建多少个桥墩?19.(12分)(2016·济宁模拟)已知函数f(x)=--ax(a∈R).(1)当a=时,求函数f(x)的单调区间.(2)若函数f(x)在[-1,1]上为单调函数,求实数a的取值范围.20.(13分)已知函数f(x)=lnx+-x(a>0).(1)求f(x)的极值.(2)若曲线y=f(x)上总存在不同两点P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2)),使得曲线y=f(x)在P,Q两点处的切线互相平行,证明x1+x2>2.21.(14分)(2016·威海模拟)已知函数f(x)=lnx-ax2+x,a∈R.(1)若关于x的不等式f(x)≤ax-1恒成立,求整数a的最小值.(2)若a=-2,正实数x1,x2满足f(x1)+f(x2)+x1x2=0,证明:x1+x2≥.答案解析1.C P={x|x≥2或x≤-1},又x∈P时,y=x2-1∈,故Q=,故P∩Q={m|m≥2}.2.【解题提示】先化简A,注意运用指数函数的单调性解不等式,再根据集合的包含关系,求出a,b的范围,运用不等式的性质,求出a-b的取值范围.A 集合A={x|4≤2x≤16}={x|22≤2x≤24}={x|2≤x≤4}=[2,4],因为A B,B=[a,b],所以a≤2,b≥4,所以a-b≤2-4=-2,即a-b的取值范围是(-≦,-2].3.A 因为函数f(x)为幂函数,所以设f(x)=xα,因为其图象过点,所以=4α,解得α=-,所以f(x)=,所以f(8)==.4.A 函数f(x)=|x-a|=则f(x)的单调增区间是[a,+≦).而函数f(x)=|x-a|在[-1,+≦)上单调递增⇔a≤-1,所以“a≤-2”是“函数f(x)=|x-a|在[-1,+≦)上单调递增”的充分不必要条件.5.B 由题意可知g(x)=lnx-,因为g(1)=-1<0,g(2)=ln2-=ln2-ln>0.所以函数g(x)的零点所在区间是(1,2).6.D 因为x0是f(x)的极小值点,y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点对称,所以-x0是y=-f(-x)的极大值点.7.B 因为x>1,所以c=log x(x2+0.3)>log x x2=2,又因为1<a<2,0<b<1,所以b<a<c.8.D 设切点为P(x0,y0),f′(x)=3-3x2,所以切线斜率k=3-3,切线方程为y-(3x0-)=(3-3)(x-x0),又因为点A(2,-2)在切线上,所以-2-(3x0-)=(3-3)(2-x0),解之得x0=2或x0=-1,所以k=-9或k=0,所以切线方程为9x+y-16=0或y=-2.【加固训练】若曲线y=e-ax+1在点(0,2)处的切线与直线x+2y-1=0垂直,则a=( ) A.-2 B.2 C.- D.A 依题意知y′=-ae-ax,所以曲线在点(0,2)处的切线斜率k=-a,又其切线与直线x+2y-1=0垂直,所以(-a)〓=-1,即a=-2.9.D 选项A,问的是纵坐标最大值.选项B,消耗1升油甲走最远,则反过来路程相同甲最省油.选项C,此时甲走过了80千米,消耗8升汽油.选项D,80千米/小时以下丙“燃油效率”更高,更省油.10.C 当x≤0时,f′(x)=3(x+1)2e x+1+(x+1)3e x+1=(x+1)2e x+1(x+4),解f′(x)=0,得x=-4或x=-1.因为x∈(-≦,-4)时,f′(x)<0;x∈(-4,-1)时,f′(x)>0;x∈(-1,0)时,f′(x)>0,则f(x)在区间x∈(-≦,-4)上单调递减,在区间x∈(-4,0)上单调递增.又因为f(x)是定义域为R的偶函数,由其对称性可得,f(x)在区间x∈(0,4)上单调递减,在区间x ∈(4,+≦)上单调递增,所以函数f(x)在x=〒4或x=0处取得极值.11.【解析】y′=3x2+m,由题意知所以所以m+n+c=5.答案:512.【解析】由f(x+2)=-可得,f(x+4)=-=f(x),所以函数f(x)是以4为周期的周期函数,f=f=f=.答案:13.【解析】由x∈(-≦,0)可得a2-3a<0,得0<a<3,所以y=(a2-3a)x在(-≦,0)上是减函数,又f(x)=log2a[(a2-3a)x]在(-≦,0)上是减函数,所以2a>1,故<a<3.答案:14.【解析】由于f(x+1)=-,则有f(x+2)=f(x),即f(x)是周期为2的周期函数,又f(x)是偶函数,当x∈[-1,0]时,f(x)=x2,则有当x∈[0,1]时,f(x)=x2,故当x∈[-1,1]时,f(x)=x2,那么当x∈[1,3]时,f(x)=(x-2)2,而函数g(x)=f(x)-log a(x+2)有4个零点,故函数y=f(x)的图象与y=log a(x+2)有4个交点,数形结合可得1≥log a(3+2),解得a≥5.答案:[5,+≦)15.【解析】因为对任意x∈R,有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)=x0所以对任意x∈R,有f(x)-x2+x=x0,在上式中令x=x0,有f(x0)-+x0=x0,又因为f(x0)=x0,所以x0-=0,故x0=0或x0=1,若x0=0,则f(x)-x2+x=0,即f(x)=x2-x,但方程x2-x=x有两个不相同实根,与题设条件矛盾.故x0≠0,若x0=1,则有f(x)-x2+x=1,即f(x)=x2-x+1,此时f(x)=x有且仅有一个实数1,综上,x0=1.答案:116.【解析】由已知得:A={x|-1≤x≤3},B={x|m-2≤x≤m+2}.(1)因为A∩B=[0,3],所以所以所以m=2.(2)ðB={x|x<m-2或x>m+2}.R因为AðB,所以m-2>3或m+2<-1,R所以m>5或m<-3,所以m的取值范围为(-≦,-3)∪(5,+≦).17.【解题提示】(1)由函数f(x)是奇函数可得f(-x)=-f(x),代入函数f(x)的解析式可解得实数b的值.(2)首先求出函数f(x)的定义域,再求出其导函数f′(x),最后分别令f′(x)>0和f′(x)<0即可求出函数f(x)的单调增区间和单调减区间.(3)由a-2>1得a>3,结合(2)可得,f(x)在(1,a-2)上单调递减,于是可得f(a-2)=1,解之即可得到实数a的值.【解析】(1)因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).从而f(-x)+f(x)=0,即log a+log a=0,于是,(b2-1)x2=0,由x的任意性知b2-1=0,解得b=-1或b=1(舍),所以b=-1.(2)由(1)得f(x)=log a,(x<-1或x>1),f′(x)=.当0<a<1时,f′(x)>0,即f(x)的增区间为(-≦,-1),(1,+≦);当a>1时,f′(x)<0,即f(x)的减区间为(-≦,-1),(1,+≦).(3)由a-2>1得a>3,所以f(x)在(1,a-2)上单调递减,从而f(a-2)=1,即log a=1,又a>3,得a=2+.18.【解析】(1)由桥的总长为640米,相邻两个桥墩的距离为x米,知中间共有个桥墩,于是桥的总造价f(x)=640++100,即f(x)=+-+1380=+-+1380(64<x<100).(2)由(1)可求f′(x)=--,整理得f′(x)=(9x2-80x-640〓80),由f′(x)=0,解得x1=80,x2=-(舍去),又当x∈(64,80)时,f′(x)<0;当x∈(80,100)时,f′(x)>0,所以当x=80时桥的总造价最低,此时桥墩数为-1=7.19.【解析】(1)当a=时,f(x)=--x,f′(x)=[(e x)2-3e x+2]=(e x-1)(e x-2),令f′(x)=0,得e x=1或e x=2,即x=0或x=ln2,令f′(x)>0,则x<0或x>ln2,令f′(x)<0,则0<x<ln2,所以f(x)在(-≦,0],[ln2,+≦)上单调递增,在(0,ln2)上单调递减.(2)f′(x)=+-a,令e x=t,由于x∈[-1,1],所以t∈.令h(t)=+,h′(t)=-=,所以当t∈时h′(t)<0,函数h(t)为单调减函数; 当t∈(,e]时h′(t)>0,函数h(t)为单调增函数,所以≤h(t)≤e+.因为函数f(x)在[-1,1]上为单调函数,所以若函数f(x)在[-1,1]上单调递增,则a≤+对t∈恒成立,所以a≤;若函数f(x)在[-1,1]上单调递减,则a≥+对t∈恒成立,所以a ≥e+,综上可得a≤或a≥e+.20.【解析】(1)f′(x)=--1=-=-(x>0).当a>1时,0<<a,f(x)的单调递减区间是,(a,+≦),单调递增区间是.f(x)极小值=f=ln+a-=-lna+a-,f(x)极大值=f(a)=lna-a+.当a=1时,f′(x)=-≤0,f(x)无极值.当0<a<1时,0<a<,f(x)的单调递减区间是(0,a),,单调递增区间是.f(x)极大值=f=-lna+a-,f(x)极小值=f(a)=lna-a+.(2)依题意知,f′(x1)=--1=f′(x2)=--1,故a+=+=.由x1+x2>2得x1x2<,故>,故存在x1,x2使a+=>,即x1+x2>.当a>0时,a+≥2,当且仅当a=1时取等号.所以x1+x2>=2.即x1+x2>2.21.【解析】(1)令g(x)=f(x)-(ax-1)=lnx-ax2+(1-a)x+1,所以g′(x)=-ax+(1-a)=,当a≤0时,因为x>0,所以g′(x)>0,所以g(x)在(0,+≦)上是递增函数,又因为g(1)=ln1-a〓12+(1-a)+1=-a+2>0,所以关于x的不等式f(x)≤ax-1不能恒成立.当a>0时,g′(x)==-,令g′(x)=0,得x=.所以当x∈时,g′(x)>0;当x∈时,g′(x)<0, 因此函数g(x)在x∈是增函数,在x∈是减函数.故函数g(x)的最大值为g=ln-a〓+(1-a)〓+1=-lna.令h(a)=-lna,因为h(1)=>0,h(2)=-ln2<0,又因为h(a)在a∈(0,+≦)是减函数,所以当a≥2时,h(a)<0,所以整数a的最小值为2.【一题多解】本题还可以采用以下方法由f(x)≤ax-1恒成立,得lnx-ax2+x≤ax-1在(0,+≦)上恒成立,问题等价于a≥在(0,+≦)上恒成立.令g(x)=,只要a≥g(x)max,因为g′(x)=.令g′(x)=0,得-x-lnx=0.设h(x)=-x-lnx,因为h′(x)=--<0,所以h(x)在(0,+≦)上单调递减,不妨设-x-lnx=0的根为x0.当x∈(0,x0)时,g′(x)>0;当x∈(x0,+≦)时,g′(x)<0,所以g(x)在x∈(0,x0)上是增函数;在x∈(x0,+≦)上是减函数.所以g(x)max=g(x0)===,因为h=ln2->0,h(1)=-<0,所以<x0<1,此时1<<2,即g(x)max∈(1,2).所以a≥2,即整数a的最小值为2.(2)当a=-2时,f(x)=lnx+x2+x,x>0,由f(x1)+f(x2)+x1x2=0,即lnx1++x1+lnx2++x2+x1x2=0,从而(x1+x2)2+(x1+x2)=x1·x2-ln(x1·x2)令t=x1·x2,则由φ(t)=t-lnt得,φ′(t)=,可知,φ(t)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+≦)上单调递增.所以φ(t)≥φ(1)=1,所以(x1+x2)2+(x1+x2)≥1,因此x1+x2≥成立.关闭Word文档返回原板块。
【世纪金榜】高考数学(文科,全国通用)一轮总复习练习：单元评估检测(三)(含答案解析)
单元评估检测(三)第三章(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.给出下列命题:①第二象限角大于第一象限角;②不论用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形所对半径的大小无关;③若sinα=sinβ,则α与β的终边相同;④若cosθ<0,则θ是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选 A.由于第一象限角370°不小于第二象限角100°,故①错;②正确;由于sin=sin,但与的终边不相同,故③错;当θ=π,cosθ=-1<0时既不是第二象限角,又不是第三象限角,故④错.综上可知只有②正确.2.如图,角α的终边与单位圆(圆心在原点,半径为1)交于第二象限的点P,则cosα+sinα=()A. B.- C. D.-【解析】选B.由三角函数的定义,得sinα=,又α是第二象限的角,所以cosα=-=-=-,故cosα+sinα=-.【加固训练】已知点P落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为()A. B. C. D.【解析】选D.由sin>0,cos<0知角θ在第四象限,因为tanθ==-1,θ∈[0,2π),所以θ=.3.(2015·泰安模拟)函数f(x)=sin2x+cos2x图象的一条对称轴方程是()A.x=-B.x=C.x=D.x=【解析】选D.依题意得f(x)=2sin,且f=2sin=-2,因此其图象关于直线x=对称.4.设函数f(x)=(x∈R),则f(x)()A.在区间上是增函数B.在区间上是减函数C.在区间上是增函数D.在区间上是减函数【解析】选A.先画出y=的图象,再向左平移个单位长度,就得到y=的图象,如图,所以选A.5.(2016·菏泽模拟)在不等边△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中a为最大边,如果sin2(B+C)<sin2B+sin2C,则角A的取值范围为()A. B.C. D.【解析】选D.因为B+C=π-A.所以sin2(B+C)=sin2A,所以sin2A<sin2B+sin2C,由正弦定理,得a2<b2+c2,cosA=>0.所以A为锐角,即0<A<,又a为最大边,所以△ABC是锐角三角形,又△ABC为不等边三角形,所以A>B,A>C,A+B+C<3A,所以3A>π,即A>,故<A<.【加固训练】在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,则A的取值范围是()A. B.C. D.【解析】选C.由正弦定理得a2≤b2+c2-bc,所以由余弦定理得cosA=≥,因为0<A<π,所以0<A≤.6.(2016·枣庄模拟)在△ABC中,若a=8,b=7,cosC=,则最大角的余弦值是()A.-B.-C.-D.-【解析】选C.由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=82+72-2×8×7×=9,所以c=3,故a最大,所以最大角的余弦值为cosA===-.【加固训练】锐角三角形ABC中,若C=2B,则的范围是()A.(0,2)B.(,2)C.(,)D.(,2)【解析】选C.由正弦定理得===2cosB,因为三角形ABC为锐角三角形,所以C=2B∈,A=π-C-B=π-3B∈,所以B∈,所以2cosB∈.7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则“a=2bcosC”是“△ABC是等腰三角形”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.依题意,由a=2bcosC及正弦定理,得sinA=2sinBcosC,sin(B+C)-2sinBcosC=sinBcosC+cosBsinC-2sinBcosC=sin(C-B)=0,C=B,△ABC是等腰三角形;反过来,由△ABC是等腰三角形不能得知C=B,a=2bcosC.因此,“a=2bcosC”是“△ABC是等腰三角形”的充分不必要条件.8.若0<α<,-<β<0,cos=,cos=,则cos=() A. B.- C. D.-【解析】选C.对于cos=cos=cos cos+sin sin,而+α∈,-∈,因此sin=,sin=,则cos=×+×=.9.将函数y=f(x)·sinx的图象向右平移个单位长度后,再作关于x轴对称变换,得到函数y=1-2sin2x的图象,则f(x)可以是()A.sinxB.cosxC.2sinxD.2cosx【解析】选D.逆向变换,函数y=1-2sin2x=cos2x作关于x轴对称变换,得y=-cos2x,再向左平移个单位长度得y=-cos2=sin2x=2sinxcosx,所以f(x)=2cosx.10.设运算a⊕b=对于函数f=sinx⊕cosx,x∈R.下列命题正确的是()A.该函数的值域是[-1,1]B.当且仅当x=2kπ+(k∈Z)时,函数取得最大值1C.该函数是以π为周期的周期函数D.当且仅当2kπ+π<x<2kπ+(k∈Z)时,f(x)<0【解析】选D.根据题意得f=所以根据在上的正弦曲线和余弦曲线,如图(实线部分),得该函数的值域是,所以A错误;该函数在x=2kπ,以及x=2kπ+,k∈Z时取得最大值,所以B错误;该函数的最小正周期为2π,所以C错误;当且仅当2kπ+π<x<2kπ+(k∈Z)时,f(x)<0.所以D正确.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2015·长沙模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,c=2,1+=,则C=__________.【解题提示】切化弦化简已知条件求A,由正弦定理求sinC,进而求C.【解析】因为1+=,所以1+=,所以===,所以=,即cosA=,所以A=,因为a=2,c=2,由正弦定理,得sinC===,因为c<a,所以C<A=,故C=.答案:12.若将函数f=sin的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是__________.【解题提示】平移后的函数是余弦函数.【解析】将函数f=sin的图象向右平移φ个单位,所得函数为f(x)=sin=sin,其图象关于y轴对称,则f(x)=±cos2x,所以-2φ=+kπ(k∈Z),当k=-1时φ的最小正值是.答案:13.(2016·临沂模拟)在△ABC中,A=60°,最大边与最小边是方程x2-9x+8=0的两个实根,则边BC长为__________.【解析】因为A=60°,所以可设最大边与最小边分别为b,c.又b+c=9,bc=8,所以BC2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2bc-2bccosA=92-2×8-2×8×cos60°=57,所以BC=.答案:【加固训练】已知△ABC中,AC=2,BC=3,AB边上的中线CD=2,则AB的长为________. 【解析】根据平行四边形的对角线的平方和等于它的四条边的平方和得AB2+=2,所以AB2=10,AB=.答案:14.(2016·莱芜模拟)如图,某城市的电视台发射塔CD建在市郊的小山上,小山的高BC为35米,在地面上有一点A,测得A,C间的距离为91米,从A观测电视发射塔CD的视角(∠CAD)为45°,则这座电视台发射塔的高度CD为__________.【解析】AB==84,tan∠CAB===,由=tan(45°+∠CAB)==,得CD=169(米).答案:169米15.若cos(α+β)=,cos(α-β)=,则tanα·tanβ=__________.【解析】由题意得cosαcosβ-sinαsinβ=,cosαcosβ+sinαsinβ=,两个式子相加得2cosαcosβ=,两个式子相减得2sinαsinβ=,相除得tanαtanβ=.答案:三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(2016·青岛模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=,cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB.(1)求角C的大小.(2)若sinA=,求△ABC的面积.【解题提示】(1)先利用三角恒等变换公式化简已知的表达式,再利用三角函数的性质得到方程,解方程求解.(2)先利用正弦定理求a,再利用三角恒等变换公式,求sinB,最后求面积.【解析】(1)由题意得-=sin2A-sin2B,即sin2A-cos2A=sin2B-cos2B,sin=sin.由a≠b,得A≠B,又A+B∈(0,π),得2A-+2B-=π,即A+B=,所以C=.(2)由c=,sinA=,=,得a=.由a<c,得A<C,从而cosA=,故sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=,所以,△ABC的面积为S=acsinB=.17.(12分)(2015·重庆高考)已知函数f(x)=sin sinx-cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值.(2)讨论f(x)在上的单调性.【解题提示】(1)化简函数f(x)的解析式即可求出函数f(x)的最小正周期及最大值.(2)利用正弦函数的图象和性质求解即可.【解析】(1)由题意知f(x)=sin sinx-cos2x=cosxsinx-(1+cos2x)=sin2x-cos2x-=sin-,因此f(x)的最小正周期为π,最大值为.(2)当x∈时,0≤2x-≤π,从而当0≤2x-≤,即≤x≤时,f(x)单调递增,当<2x-≤π,即<x≤时,f(x)单调递减,综上可知,f(x)在上单调递增,在上单调递减.18.(12分)(2015·安徽高考)已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+cos2x.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.【解题提示】应用三角函数的有关公式和性质化简求值.【解析】(1)因为f(x)=(sinx+cosx)2+cos2x=1+sin2x+cos2x=sin+1,所以f(x)的最小正周期为T==π.(2)当x∈时,2x+∈,所以sin∈,所以f(x)在区间上的最大值为1+,最小值为0.19.(12分)设函数f=2cos2+sin-1.(1)求f(x)的最小值,并求使f(x)取得最小值的x的集合.(2)不画图,说明函数y=f(x)的图象可由y=sinx的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到. 【解题提示】将函数y=f(x)化成一个角的三角函数的形式,根据三角函数的图象及性质与三角函数图象的变换解答.【解析】(1)因为f=2cos2+sin-1=cos2+sin=sin2x+sin2x+cos2x=sin,所以当2x+=2kπ-,k∈Z,即当x=kπ-,k∈Z时,f(x)取得最小值-,此时x的取值集合为.(2)先将y=sinx图象上的所有点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变),得y=sinx的图象,再将y=sinx的图象向左平移个单位,得y=sin的图象;最后把y=sin图象上的所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,就得到y=f(x)的图象.20.(13分)设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且,,成等差数列.(1)求角A的值.(2)若a=,b+c=5,求△ABC的面积.【解析】(1)由已知2×=+,===,cosA=,A=60°.(2)a2=10=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc=52-3bc,所以bc=5,所以S△ABC=bcsinA=.21.(14分)(2016·淄博模拟)已知函数f(x)=sin.(1)求f(x)的单调递增区间.(2)若α是第二象限角,f=cos cos2α,求tanα的值.【解题提示】(1)由3x+“占”正弦函数的增区间,解不等式求解.(2)利用三角恒等变换公式解方程求解.【解析】(1)因为函数y=sinx的增区间为,k∈Z,由2kπ-≤3x+≤2kπ+(k∈Z)⇒-≤x≤+(k∈Z),所以f(x)的单调增区间为(k∈Z). (2)由已知,有sin=cos cos2α所以sinαcos+cosαsin=即sinα+cosα=(cosα-sinα)2(cosα+sinα),当sinα+cosα=0时,由α是第二象限角,知tanα=-1.当sinα+cosα≠0时,有(cosα-sinα)2=,由α是第二象限角,知cosα-sinα<0,所以cosα-sinα=-.代入平方关系得+sin2α=1,解得sinα=或sinα=,所以tanα=-4-或tanα=-4+综上所述tanα的值为-1,-4-,-4+.【加固训练】(2016·常熟模拟)已知函数f(x)=4cosωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值.(2)讨论f(x)在区间上的单调性.【解析】(1)f(x)=4cosωx·sin=2sinωx·cosωx+2cos2ωx=(sin2ωx+cos2ωx)+=2sin+,因为f(x)的最小正周期为π,且ω>0,所以有=π,故ω=1.(2)由(1)知f(x)=2sin+,若0≤x≤,则≤2x+≤,当≤2x+≤,即0≤x≤时,f(x)单调递增;当≤2x+≤,即≤x≤时,f(x)单调递减.综上所述f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.。
世纪金榜高考数学(文科,全国通用)一轮总复习课时提升作业：第二章 函数、导数及其应用 十三 2.1
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课时提升作业十三变化率与导数、导数的计算(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数y=x2cosx在x=1处的导数是( )A.0B.2cos1-sin1C.cos1-sin1D.1【解析】选 B.因为y′=(x2cosx)′=(x2)′cosx+x2(cosx)′=2xcosx-x2sinx,所以y′|x=1=2cos1-sin1.2.(2016·济宁模拟)已知f(x)=x(2014+lnx),f′(x0)=2015,则x0= ( )A.e2B.1C.ln2D.e【解析】选B.由题意可知f′(x)=2014+lnx+x·错误！未找到引用源。
=2015+lnx.由f′(x0)=2015,得lnx0=0,解得x0=1.3.已知函数f(x)=e x,则当x1<x2时,下列结论正确的是( )A.错误！未找到引用源。
>错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
<错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
>错误！未找到引用源。
D.错误！未找到引用源。
<错误！未找到引用源。
【解析】选C.设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),则错误！未找到引用源。
表示曲线f(x)=e x在B点处的切线的斜率,而错误！未找到引用源。
表示直线AB的斜率,由数形结合可知:错误！未找到引用源。
>错误！未找到引用源。
.4.(2016·聊城模拟)直线f(x)=错误！未找到引用源。
x+b是曲线g(x)=lnx(x>0)的一条切线,则b=( ) A.2 B.ln2+1C.ln2-1D.ln2【解析】选C.因为g′(x)=错误！未找到引用源。
,所以错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,解得x=2,所以切点为(2,ln2),将其代入直线f(x)=错误！未找到引用源。
【世纪金榜】高考数学(文科,全国通用)一轮总复习练习：3.2同角三角函数的基本关系(含答案解析)
课时提升作业十八同角三角函数的基本关系及诱导公式(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.cos的值是()A.-B.C. D.-【解析】选C.cos=cos=cos=.2.已知tan140°=k,则sin 140°=()A. B.C.-D.-【解析】选C.因为k=tan140°=tan(180°-40°)=-tan40°,所以tan40°=-k,所以k<0,sin 40°=-kcos40°,sin140°=sin(180°-40°)=sin 40°,因为sin240°+cos240°=1,所以k2cos240°+cos240°=1,所以cos40°=,所以sin40°=.【方法技巧】1.诱导公式用法的一般思路(1)化大角为小角.(2)角中含有加减的整数倍时,用公式去掉的整数倍.2.常见的互余和互补的角(1)常见的互余的角:-α与+α;+α与-α;+α与-α等.(2)常见的互补的角:+θ与-θ;+θ与-θ等.3.三角函数式化简的方向(1)切化弦,统一名.(2)用诱导公式,统一角.(3)用因式分解将式子变形,化为最简.3.设f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中a,b,α,β都是非零实数,若f(2015)=-1,那么f(2016)等于()A.-1B.0C.1D.2【解析】选C.因为f(2015)=asin(2015π+α)+bcos(2015π+β)=-asinα-bcosβ=-1,所以f(2016)=asin(2016π+α)+bcos(2016π+β)=asinα+bcosβ=1.4.若tanα=2,则的值是()A.-B.-C. D.【解析】选A.由tanα=2,则==-.5.若角α的终边落在直线x+y=0上,则+=()A.-2B.2C.-2或2D.0【解析】选D.由题意得α在第二或第四象限,所以+=+=0.6.已知α为第一象限角,且=3+2,则cosα=()A. B.C. D.【解析】选B.由题意得tanα==,又因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=,又因为α为第一象限角,所以cosα=.7.设θ是三角形的内角,若函数f=x2cosθ-4xsinθ+6对一切实数x都有f>0,则θ的取值范围是()A. B.C. D.【解析】选D.由题意得解得cosθ>,所以θ的取值范围是.二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知sin(α-3π)=2cos(α-4π),则=.【解析】由已知得,-sinα=2cosα,即tanα=-2,所以===-.答案:-9.sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=.【解析】因为sin=cosα,所以当α+β=90°时,sin2α+sin2β=sin2α+cos2α=1, 设S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°,则S=sin289°+sin288°+sin287°+…+sin21°两个式子相加得2S=1+1+1+…+1=89,S=44.5.答案:44.510.已知函数f(x)=sinx-cosx且f ′(x)=2f(x),f ′(x)是f(x)的导函数,则=.【解析】因为f ′(x)=cosx+sinx,f ′(x)=2f(x),所以cosx+sinx=2(sinx-cosx),所以tanx=3,所以====-.答案:-【加固训练】(2014·安徽高考)设函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sinx,当0≤x<π时,f(x)=0,则f=()A. B.C.0D.-【解题提示】由函数f(x)满足的关系式,逐步降角,直到把π转化到区间[0,π)上,再利用当0≤x<π时,f(x)=0求值.【解析】选A.由f(x+π)=f(x)+sinx,得f(x+2π)=f(x+π)+sin(x+π)=f(x)+sinx-sinx=f(x),所以f=f=f=f=f+sinπ.因为当0≤x<π时,f(x)=0.所以f=0+=.(20分钟40分)1.(5分)(2016·滨州模拟)已知tanx=sin,则sinx=()A. B.C. D.【解析】选C.因为tanx=sin,所以tanx=cosx,所以sinx=cos2x,sin2x+sinx-1=0,解得sinx=,因为-1≤sinx≤1,所以sinx=.2.(5分)(2016·烟台模拟)若sin(π+α)=,α∈,则tanα=.【解析】由已知得sinα=-,又α∈,所以cosα==,因此tanα==-.答案:-3.(5分)已知sinα+cosα=,则sinα-cosα=.【解析】由sinα+cosα=,平方得1+2sinαcosα=2①,设sinα-cosα=t,平方得1-2sinαcosα=t2②由①②相加得2=2+t2,所以t2=0,t=0.答案:0【加固训练】(2015·上海崇明模拟)若tan=,则sinθcosθ=. 【解析】tan==,得tanθ=,所以sinθcosθ====.答案:4.(12分)在△ABC中,若sin=-sin,cos=-cos,求这个三角形的内角.【解析】由题意得sinA=sinB,①cosA=cosB,②由①②两边平方,然后相加得sin2A+3cos2A=2,所以sin2A=,由②知cosA,cosB同号,又因为在△ABC中,所以cosA>0,cosB>0,所以A,B都是锐角,所以sinA=,A=,代入②得cosB=,B=,所以C=π-B-A=.所以三个内角分别为A=,B=,C=.5.(13分)已知θ是三角形中的最小角,并且满足关于θ的方程cos2θ+2msinθ-2m-2=0有实数解,求实数m的取值范围.【解析】因为θ是三角形中的最小角,所以0<θ≤,0<sinθ≤,设t=sinθ,则t∈,所以cos2θ+2msinθ-2m-2=0等价于-t2+2mt-2m-1=0,即2m=,t∈;构造函数f=,t∈,求导数f′==<0,所以f在上是减函数,所以f∈,所以实数m的取值范围为.。
锁定新高考新课标文科数学一轮总复习练习2.11导数的应用(一)(含答案详析)
A 组 基础达标（时间： 30 分钟满分： 50 分）若时间有限，建议选讲 3，5，9一、 选择题（每题5 分，共 25 分）（ 2014 ·中山模拟）函数f （ x ）＝（ x －3 ）e x的单一增区间是（ D ）A. （－∞，－ 2）B. （0，3）C. （1，4）D. （2，＋∞）f ′（x ）＝（ x －3）′e x ＋（ x －3 ）（e x ）′＝（x －2） e x ，令 f ′（x ）＞ 0，解得 x ＞2 ，应选 D.（ 2013 ·镇江模拟）若函数y ＝f （x ）的导函数在区间 [a ， b] 上是增函数，则函数 y ＝ f （x ）在区间 [a ， b] 上的图像可能是（A ）∵函数 y ＝ f （x ）的导函数 y ＝ f ′x （）在区间 [a ，b] 上是增函数，即在区间[a ， b] 上各点处的斜率 k 是递加的，由图易知选 A.ln a ＋ ln x（ 2014 ·湛江调研）已知函数f （x ）＝在[1 ，＋∞）上为减函数，x则实数 a 的取值范围是（ D ）1 B. （0 ，e]A. 0，eC. （－∞， e]D. [e ，＋∞）1· x －ln （a ＋ln x ） x 1－（ ln a ＋ ln x ） f ′（x ）＝ ，∵f （x ）在 [1 ，＋∞） x 2 ＝x 2上为减函数，故 f ′（x ）≤0在[1 ，＋∞）上恒建立，即 ln a ≥ 1ln －x 在[1 ，＋∞）上恒建立 .设 φ（ x ）＝ 1 －ln x ， φ（x ）max ＝1，故 ln a ≥1，a ≥e ，选 D.（ 2014 ·绍兴模拟）已知对随意x ∈ R ，恒有 f （－ x ）＝－ f （x ），g （－ x ）＝ g （ x ），且当 x ＞0 时， f ′（x ）＞ 0，g ′（x ）＞ 0，则当 x ＜0 时有（ B ）A. f ′（x ）＞ 0，g ′（x ）＞ 0B. f′x ）（＞ 0 ，g ′（x ）＜ 0C. f ′x ）（＜ 0 ，g ′（x ）＞ 0D. f′x ）（＜ 0，g ′（x ）＜ 0由 f （－ x ）＝－ f （ x ），g （－ x ）＝ g （x ），知 f （x ）为奇函数， g （x ）为偶函数 .又 x ＞0 时， f ′（x ）＞ 0 ，g ′（x ）＞ 0，由奇、偶函数的性质知，当x ＜0 时， f ′（x ）＞ 0 ，g ′（x ）＜ 0.（ 2014 ·仙桃模拟设） a ＜b ，函数 y ＝（x －a ）2（x －b ）的图像可能是（C ）a ＋2by ′＝（x －a ）（3x － a － 2b ），由 y ′＝0 得 x ＝a ，x ＝ ，∴当 x ＝a 时，3a ＋ 2by 取极大值 0 ，当 x ＝时， y 取极小值且极小值为负 .应选 C.3二、 填空题（每题5 分，共 15 分）x 2＋a （ 2014 ·常州模拟若）函数 f （x ）＝在 x ＝ 1 处取极值，则 a ＝ 3 Ｗ.x ＋12x （ x ＋ 1）－（ x 2＋ a ） ，∴f ′（1）＝ 3－ a∵ f ′x ）（＝ ＝ 0? a ＝ 3.（x ＋1 ）24（ 2013 ·湖州模拟）已知函数f （x ）＝－ x 3 ＋ax 在区间（－ 1， 1）上是增函数，则实数 a 的取值范围是[3 ，＋∞）Ｗ .由题意应有 f ′（x）＝－ 3x 22＋ a ≥ 0在，区间（－ 1 ，1）上恒建立，则 a ≥ 3x，x ∈（－ 1，1 ）恒建立，故 a ≥ 3.（ 2013 ·大连模拟）已知函数f（x）＝x 3＋mx 2＋（ m ＋6 ）x＋1 既存在极大值又存在极小值，则实数 m 的取值范围是（－∞，－3）∪（6，＋∞）Ｗ.f ′（x）＝ 3x2＋2mx ＋m ＋ 6＝ 0 有两个不等实根，即＋ 6）＞ 0. ∴ m6＞或 m ＜－ 3.三、解答题（共 10 分）＝ 4m 2－12 ×（m（2014 ·静安模拟）设函数f（x）＝ ln x － 2ax.（1 ）若函数 y＝ f（x）的图像在点（ 1 ，f （1））处的切线为直线l ，且直线l与圆（ x＋1 ）2＋y2＝1 相切，求 a 的值；（2 ）当 a＞0 时，求函数 f（ x）的单一区间 .1（1 ）依题意有 f ′（x）＝－2a，（2分）x所以过点（ 1 ， f （1 ））的直线的斜率为1 －2a ，又 f（1 ）＝－ 2a ，∴过点（1 ， f（1 ））的直线方程为 y＋2a ＝（ 1 －2a ）（x－ 1 ），即（ 2a －1）x ＋y＋1 ＝0，（4 分）又已知圆心为（－ 1 ，0），半径为 1 ，|1－2a ＋1|1∴＝1 ，解得 a＝ .（ 5 分）（2a －1）2＋12（2 ）依题意知 f（ x）＝ ln x －2ax 的定义域为（ 0 ，＋∞），1又知 f ′（x）＝－2a ，x11∵a＞0，x ＞0，令－2a＞0，则0＜x＜，（7分）x2a∴在x ∈0，1时， f （x）＝ ln x －2ax 是增函数，2a在 x ∈1，＋∞ 时， f （x）＝ ln x － 2ax 是减函数 .（10 分）2aB 组提优操练（时间： 30 分钟满分：50分）若时间有限，建议选讲2，5，9一、选择题（每题 5 分，共 20 分）2（2012 ·陕西高考）设函数f（x）＝＋ln x ，则（D ）x11A. x ＝为 f（ x）的极大值点B. x ＝为 f （x）的极小值点22C. x＝2 为 f （x）的极大值点D. x＝2 为 f （x）的极小值点221∵f （x）＝x＋ ln x （x＞0），∴f′（x）＝－x2＋x .由 f ′（x）＝ 0 解得 x＝2.当 x＞ 2 时， f ′（x）＞ 0，当 x＜2 时， f ′（x）＜0.故x＝2 为 f （x）的极小值点 .（ 2014 ·长对联考）已知定义在R 上的函数 f （x），其导函数f′（x）的大概图像如下图，则以下表达正确的选项是（C）A.f （b ）＞ f （ c）＞ f（ d）B.f （b ）＞ f （a）＞ f （ e）C.f （c）＞ f （b ）＞ f（a）D.f （c）＞ f（e）＞ f （d ）依题意得，当 x ∈（－∞，c）时， f ′（x）＞ 0；当 x ∈（c，e）时， f ′（x）＜0；当 x ∈（e，＋∞）时， f′（x）＞ 0.所以，函数 f（ x）在（－∞， c）上是单一增函数，在（ c， e）上是单一减函数，在（ e，＋∞）上是单一增函数，又a＜b ＜c，∴f （c）＞ f （b ）＞ f（a），选 C.1（2012 ·长春调研）若a＞ 2，则函数 f（ x）＝ x3－ax 2＋1 在（ 0 ，2）内3零点的个数为（ C）A.3B.2C.1D.0依题意得 f ′（x）＝ x2－2ax ，由 a＞2 可知，f′（x）在 x ∈（0 ，2 ）时恒11为负，即 f（ x）在（ 0，2 ）内单一递减，又 f （0 ）＝ 1＞0 ， f （2）＝－4a3＜ 0，所以 f （x）在（ 0，2 ）内只有一个零点，应选 C.定义域为（－∞， 0 ）∪（ 0，＋∞）的偶函数 f（x）在区间（ 0，＋∞）上的图像如下图，则不等式 f （x）f ′（x）＞ 0 的解集是（B）A.（－∞， 0）∪（ 0，1）B. （－1，0）∪（ 1，＋∞）C. （－∞，－ 1）∪（ 1，＋∞）D. （－1，0）∪（ 0，1）f （x）的图像如图，当x＞ 0， f ′（x）＞ 0，若 f（x）· fx′）（＞ 0 ，则只需 f（ x）＞ 0 ，由图得 x ∈（1，＋∞） .当 x＜0， f ′（x）＜ 0 ，若 f （x）·f′（x）＞ 0，则只要 f （ x）＜ 0，由图得 x ∈（－ 1 ，0）.综上， x∈（－ 1，0 ）∪（ 1，＋∞） .二、 填空题（每题 5 分，共 15 分）（ 2014 ·长春模拟）已知函数f （x ）＝x 3＋3mx 2 ＋nx ＋ m 2 在 x ＝－ 1 时有极值 0，则 m ＋ n ＝11 Ｗ.∵ f ′（ x ）＝3x 2 ＋ 6mx ＋ n ， ∴ 由 已 知 可得f （－ 1 ）＝（－ 1 ）3 ＋ 3m ×（－1 ） 2＋ n ×（－1 ）＋ m 2 ＝0 ，m ＝ 1， f ′（－1）＝3 ×（－1）2＋ 6m ×（－1）＋ n ＝0， ∴或n ＝3m ＝2 ， m ＝1 ，n ＝9. 当 时， f ′（x ）＝ 3x 2 ＋6x ＋3＝3 （x ＋1）2≥0 恒建立与 x ＝n ＝ 3m ＝2 ，－ 1 是极值点矛盾，当时， f ′（x ）＝ 3x 2＋12x ＋9 ＝3（x ＋1 ）·（x ＋n ＝93 ），明显 x ＝－ 1 是极值点，切合题意，∴ m ＋n ＝11.（ 2014 ·枣庄模拟）已知函数f （x ）＝ aln x ＋ x 在区间 [2 ，3] 上单一递加，则实数 a 的取值范围是[－2，＋∞） Ｗ.aa ∵ f （x ）＝aln x ＋ x ，∴f ′（x ）＝ ＋ 1.又 f （x ）在[2 ，3] 上单一递加，∴ ＋xx 1 ≥0在 x ∈ [2 ，3] 上恒建立 . ∴ a ≥x （）－max ＝－ 2.∴a ∈ [－2 ，＋∞） .已知函数 f （x ）＝－ x 3 ＋ax 2 －4 在 x ＝2 处获得极值，若 m ∈ [ －1，1] ，则 f （ m ）的最小值为－4 Ｗ.求导得 f ′x （）＝－3x 2＋ 2ax ，由 f （x ）在 x ＝ 2 处获得极值知 f ′2（）＝0 ，即－ 3 × 4 ＋ 2a ×02，＝故 a ＝3.由此可得 f （ x ）＝－ x 3 ＋3x 2 －4， f ′（x ）＝－3x 2＋ 6x.由此可得 f （ x ）在（－ 1 ，0 ）上单一递减，在（ 0 ，1 ）上单一递加，∴对 m ∈ [ －1，1] 时， f （ m ）min ＝f （ 0 ）＝－ 4.三、 解答题（共 15 分）（7分）（ 201413·张家口模拟）设f（x）＝ aln x ＋＋ x＋ 1 ，此中 a∈R，2x2曲线 y＝f （x）在点（ 1， f （1））处的切线垂直于 y 轴.（1 ）求 a 的值；（2 ）求函数 f （x）的极值 .13a13（1 ）∵ f x（）＝ aln x ＋2x＋2x＋ 1，故 f ′（x）＝x－2x2 ＋2.（2 分）因为曲线 y＝ f（x ）在点（ 1， f （1））处的切线垂直于y 轴，故该切线斜13（4率为 0，即 f ′（1）＝0 ，进而 a－＋＝ 0，解得 a＝－ 1.分）221311（2 ）由（ 1）知 f （x）＝－ ln x ＋＋ x＋ 1（ x＞ 0 ）， f′（x）＝－－2x 22x2x3 3x 2－2x －1 （3x ＋1）（ x－1 ）＋＝＝2x 2.22x 21令 f ′（x）＝ 0 ，解得 x1＝1 ， x2＝－（舍去） . 3当 x ∈（0 ，1）时， f ′（x）＜ 0，故 f （x）在（ 0， 1 ）上为减函数；当 x ∈（1 ，＋∞）时， f′（x）＞ 0，故 f （x）在（ 1 ，＋∞）上为增函数 .故 f（x）在 x＝1 处获得极小值 f （1）＝ 3.（ 7 分）3x（8 分）（ 2014 ·镇江模拟）已知函数f（x）＝－2x2＋ln x，此中a为常a数 .（1 ）若 a＝1 ，求函数 f （x）的单一区间；（2 ）若函数 f （x）在区间 [1 ， 2] 上为单一函数，求a 的取值范围 .（1 ）若 a＝ 1，则 f （x）＝ 3x －2x2＋ln x ，定义域为（ 0，＋∞）， f ′（x）1 － 4x2 ＋3x ＋1－（ 4x ＋1 ）（ x － 1）＝ － 4x ＋3＝ ＝ （x ＞0 ）.（ 2分） x xx当 f ′（x ）＞ 0 ，x ∈（ 0，1 ）时，函数 f （x ）＝ 3x － 2x 2 ＋ln x 单一递加 . 当 f ′（x ）＜ 0 ，x ∈（ 1，＋∞）时，函数 f （x ）＝ 3x －2x 2＋ ln x 单一递减 .故函数 f （x ）的单一增区间为（ 0 ，1 ），单一减区间为（ 1 ，＋∞） .（ 4 分）3 1（2 ） f ′x （）＝ － 4x ＋ ，若函数 f （x ）在区间 [1 ，2] 上为单一函数，即在a x3 1 3 1 3[1 ， 2] 上， f ′（x ）＝ － 4x ＋ ≥0或 f ′（x ）＝ a －4x ＋ ≤0恒建立，即 ≥ 4xa x x a 1 3 1－ 或 ≤ 4x －在[1 ， 2] 上恒建立 .（6 分）x a x13 3 令 h （ x ）＝ 4x － ，∵函数 h （x ）在 [1 ，2] 上单一递加，∴ ≥h （2）或 ≤hxa a3 15 3 2（1），即 ≥ 或 ≤ 3 ，解得a ＜0 或 0＜ a ≤或 a ≥ 1.a 2 a 52即 a 的取值范围为（－∞， 0）∪ 0， ∪[1 ，＋∞） .（8 分）5。
高考一轮总复习高考数学(文科,新课标版)一轮总复习课件+训练手册+阶段测试卷：第2章+函数、导数及其
第二章 函数、导数及其应用 (时间：120分钟 满分：150分)一、 选择题(每小题5分，共60分)1. (2014·潍坊质检)函数f(x)＝lg(x －1)的定义域是(B) A. (2，＋∞) B. (1，＋∞) C. [1，＋∞) D. [2，＋∞) 由对数的定义知x －1＞0，故x ＞1.2. (2013·珠海模拟)函数f(x)＝log 2(3x ＋1)的值域为(A) A. (0，＋∞) B. [0，＋∞) C. (1，＋∞) D. [1，＋∞) ∵3x ＋1＞1，∴log 2(3x ＋1)＞0.3. (2013·北京东城模拟)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ＜0，3＋log 2x ，x ＞0，则 f(f(－1))等于(D)A. －2B. 2C. －4D. 4 f(－1)＝－2－1＝2，∴f(f(－1))＝3＋log 2 2＝3＋1＝4.4. (2013·烟台诊断)函数f(x)＝－cos x lg |x|的部分图像是(A)∵函数为偶函数，∴图像关于y 轴对称，∴排除B ，D.当 x →0时，f(x)＞0，排除C.5. (2013·山东师大附中模拟)函数f(x)＝x ＋sin x(x∈R)(D) A. 是偶函数，且在(－∞，＋∞)上是减函数 B. 是偶函数，且在(－∞，＋∞)上是增函数 C. 是奇函数，且在(－∞，＋∞)上是减函数 D. 是奇函数，且在(－∞，＋∞)上是增函数∵f(－x)＝－x －sin x ＝－f(x)，且定义域关于原点对称，∴函数为奇函数．函数的导数 f ′(x)＝1＋cos x≥0，∴函数在(－∞，＋∞)上是增函数．6. (2013·北京东城模拟)根据表格中的数据，可以断定函数 f(x)＝ln x －3x 的零点所在的区间是(C)A. (1，2) C. (e ，3) D. (3，5)∵f(e)＝ln e －3e ＝1－1.10＝－0.1＜0, f(3)＝ln 3－33＝1.10－1＝0.1＞0，∴可以断定函数f(x)＝ln x －3x的零点所在的区间是(e ，3)，选C.7. (2013·北京房山模拟)为了得到函数y ＝lg x10的图像，只需把函数y ＝lg x 的图像上(B)A. 所有点向右平移1个单位长度B. 所有点向下平移1个单位长度C. 所有点的横坐标缩短到原来的110(纵坐标不变) D. 所有点的纵坐标缩短到原来的110(横坐标不变) ∵y＝lgx10＝lg x －lg 10＝lg x －1，∴只需把函数y ＝lg x 的图像上所有点向下平移1个单位长度．8. (2013·乐陵一中月考)定义在R 上的函数f(x)在(－∞，2)上是增函数，且f(x ＋2)的图像关于y 轴对称，则(A)A. f(－1)＜f(3)B. f(0)＞f(3)C. f(－1)＝f(3)D. f(0)＝f(3)∵函数f(x ＋2)的图像关于y 轴对称，∴f(x)关于直线x ＝2对称，∵函数f(x)在(－∞，2)上是增函数，∴在(2，＋∞)上是减函数，∴f(－1)＝f(5)＜f(0)＝f(4)＜f(3)．9. 若函数f(x)＝x 2＋ax ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，＋∞是增函数，则a 的取值范围是(D)A. [－1，0]B. [－1，＋∞)C. [0，3]D. [3，＋∞)由条件知f′(x)＝2x ＋a －1x 2≥0在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，＋∞上恒成立，即 a ≥1x 2－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，＋∞上恒成立，函数y ＝1x 2－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，＋∞上为减函数，y max ＜1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122－2×12＝3⇒a ≥3.10. 已知函数f(x)是R 上的奇函数，若对于x≥0，都有f(x ＋2)＝f(x)，当x∈[0，2)时，f(x)＝log 2(x ＋1)，则f(－2 013)＋f(2 012)的值为(B)A. －2B. －1C. 1D. 2由f(x ＋2)＝f(x)知，函数f(x)的周期为2，∴f(－2 013)＋f(2 012)＝－f(2 013)＋f (1 006×2)＝－f(1 006×2＋1)＋f(0)＝－f(1)＋f(0)＝－1.11. (2013·乐陵一中月考)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，则不等式x[f(x)－f(－x)]＜0的解集为(D)A. {x|－1＜x ＜0或x ＞1}B. {x|x ＜－1或0＜x ＜1}C. {x|x ＜－1或x ＞1}D. {x|－1＜x ＜0或0＜x ＜1}∵奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(－x)＝－f(x)，x[f(x)－f(－x)]＜0，∴xf(x)＜0，又f(1)＝0，∴f(－1)＝0，从而有函数f(x)的图像如图，则不等式 x[f(x)－f(－x)]＜0的解集为{x|－1＜x ＜0或0＜x ＜1}．12. (2013·北京朝阳模拟)已知函数f(x)＝a·2|x|＋1(a≠0)，定义函数F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，－f （x ），x ＜0.给出下列命题： ①F(x)＝|f(x)|; ②函数F(x)是奇函数；③当a ＜0时，若mn ＜0，m ＋n ＞0，总有F(m)＋F(n)＜0成立．其中所有正确命题的序号是(C) A. ② B. ①③ C. ②③ D. ①②①∵|f(x)|＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≥0，－f （x ），f （x ）＜0， 而F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，－f （x ），x ＜0.∴F(x)＝|f(x)|不成立；②∵f(x)是偶函数．若x ＞0，则－x ＜0，∴F(－x)＝－f(－x)＝－f(x)＝－F(x)．若x＜0，则－x ＞0，∴F(－x)＝f(－x)＝f(x)＝－F(x)，∴函数F(x)是奇函数，∴②正确；③a ＜0时，函数F(x)＝f(x)在(0，＋∞)上是减函数，若mn ＜0，m ＋n ＞0，则m ＞－n ＞0或n ＞－m ＞0，∴F(m)＜F(－n)＝－F(n)或F(n)＜F(－m)＝－F(m)，即F(m)＋F(n)＜0，∴③正确．∴正确的是②③.二、 填空题(每小题5分，共20分)13. (2013·北京东城模拟)若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m]，值域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－254，－4，则m 的取值范围是__⎣⎢⎦⎥⎥⎤32，3__． y ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －322－254.结合图像，当x ＝32时，y ＝－254；当 x ＝0或x ＝3时，y ＝－4.由x∈[0，m]时，y ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－254，－4，知m∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32，3.14. (2013·北京丰台模拟)若函数f(x)＝a x (a ＞0，a ≠1)在[－2，1]上的最大值为4，最小值为m ，则m 的值是__12或116__．若a ＞1，则有f(1)＝a ＝4，f(－2)＝a －2＝m ，解得m ＝1a 2＝116.若0＜a ＜1，则有f(1)＝a ＝m ，f(－2)＝a －2＝4，解得m ＝a ＝12.∴m ＝12或m ＝116.15. 设点P 在曲线y ＝12e x 上，点Q在曲线y ＝ln(2x)上，则PQ 的最小值为－ln_2)__．∵y＝12e x与y ＝ln(2x)的图像关于直线y ＝x 对称，∴可转化为y ＝12e x 图像上的点P ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ，12e x 到直线y ＝x 距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪12e x －x 2的最小值．设g(x)＝12e x －x ，则g ′(x)＝12e x －1.∴g(x)min ＝1－ln 2，d min ＝1－ln 22，∴PQ min ＝2×1－ln 22＝2(1－ln 2)．16. (2013·潍坊联考)已知函数f(x)的定义域为[－1，5]，部分对应值如下表，f(x)的导函数y ＝f′(x)的图像如图所示．下列关于函数f(x)①函数f(x)的值域为[1，2]； ②函数f(x)在[0，2]上是减函数；③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当1＜a ＜2时，函数y ＝f(x)－a 最多有4个零点． 其中正确命题的序号是__①②④__．由导数图像可知，当－1＜x ＜0或2＜x ＜4时，f ′(x)＞0，函数单调递增，当0＜x ＜2或4＜x ＜5，f ′(x)＜0，函数单调递减，当x ＝0和x ＝4时，函数取得极大值f(0)＝2，f(4)＝2，当x ＝2时，函数取得极小值f(2)，又f(－1)＝f(5)＝1, ∴函数的最大值为2，最小值为1，值域为[1，2]，①正确；②正确；∵在当x ＝0和x ＝4，函数取得极大值f(0)＝2, f(4)＝2，要使当x∈[－1，t]时，函数f(x)的最大值是2，则0≤t≤5，∴t 的最大值为5，∴③不正确；由f(x)＝a 知，∵极小值f(2)＝1.5，极大值为f(0)＝f(4)＝2，∴当1＜a ＜2时，y ＝f(x)－a 最多有4个零点，∴④正确，∴正确命题的序号为①②④.三、 解答题(共70分)17. (10分)(2014·铜陵模拟)函数f(x)是R 上的偶函数，且当x ＞0时，函数的解析式为f(x)＝2x－1.(1)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上是减函数； (2)求当x ＜0时，函数的解析式．(1)设0＜x 1＜x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 1－1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－1＝2（x 2－x 1）x 1x 2，∵0＜x 1＜x 2，∴x 1x 2＞0，x 2－x 1＞0，∴f(x 1)－f(x 2)＞0，即 f(x 1)＞f(x 2)，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．(4分)(2)设x ＜0，则－x ＞0，∴f(－x)＝－2x －1，(6分)又f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝－2x－1，(8分)即f(x)＝－2x－1(x ＜0)．(10分)18. (10分)(2013·诸城一中模拟)已知f(x)＝2＋log 3 x ，x ∈[1，9]，求函数y ＝[f(x)]2＋f(x 2)的值域．∵f(x)＝2＋log 3 x ，x ∈[1，9]，∴y ＝[f(x)]2＋f(x 2)的定义域满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x≤9，1≤x 2≤9，解得1≤x≤3，即定义域为[1，3]．(4分)∴0≤log 3 x ≤1.∵y ＝[f(x)]2＋f(x 2)＝(log 3 x ＋2)2＋log 3 x 2＋2＝(log 3 x)2＋6log 3 x ＋6＝(log 3 x ＋3)2－3，(6分)又0≤log 3 x ≤1，∴当log 3 x ＝0，即x ＝1时，y min ＝9－3＝6，当log 3 x ＝1，即x ＝3时，y max ＝42－3＝13.∴y 的值域为[6，13]．(10分)19. (12分)(2014·潍坊一中模拟)已知函数 f(x)＝log 4(4x ＋1)＋kx(x∈R)是偶函数．(1)求k 的值；(2)若方程f(x)－m ＝0有解，求m 的取值范围． (1)由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)． ∴log 4(4x ＋1)＋kx ＝log 4(4－x ＋1)－kx. (2分)即log 44x ＋14－x ＋1＝－2kx ，log 44x ＝－2kx ，∴x ＝－2kx 对一切x∈R 恒成立．(4分)∴k ＝－12.(6分)(2)∵m＝f(x)＝log 4(4x ＋1)－12x ， ∴m ＝log 44x ＋12x ＝log 4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋12x . (8分)∵2x ＋12x ≥2, ∴m ≥12.(10分)故要使方程f(x)－m ＝0有解，m 的取值范围为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，＋∞. (12分)20. (12分)(2014·长春模拟)已知函数f(x)＝1－2a －2ax ＋2x 2(－1≤x ≤1)的最小值为f(a)．(1)求f(a)的表达式；(2)若a∈[－2，0]，求f(a)的值域．(1)函数f(x)＝1－2a －2ax ＋2x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －a 22－a 22－2a ＋1，其对称轴为直线x ＝a 2.(2分)①当a2＜－1，即a ＜－2时， f(x)的最小值为f(－1)＝3；②当－1≤a2≤1，即－2≤a≤2时， f(x)的最小值为 f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2＝－a 22－2a ＋1;③当a 2＞1，即a ＞2时， f(x)的最小值为f(1)＝3－4a. 综上所述，f(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧3，a ∈（－∞，－2），－a22－2a ＋1，a ∈[－2，2]，3－4a ，a ∈（2，＋∞）.(8分)(2)当a∈[－2，0]时， f(a)＝－a 22－2a ＋1＝－12(a ＋2)2＋3，其对称轴为直线a ＝－2，∴f(a)在[－2，0]上单调递减．∴f(a)max ＝f(－2)＝3, f(a)min ＝f(0)＝1.∴f(a)∈[1，3]．(12分)21. (12分)(2014·吉林模拟)某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．(1)设一次订购x 件，服装的实际出厂单价为p 元，写出函数p ＝f(x)的表达式； (2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？ (1)当0＜x≤100时，p ＝60；当100＜x≤600时，p ＝60－(x －100)×0.02＝62－0.02x.∴p＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0＜x≤100，62－0.02x ，100＜x≤600.(4分)(2)设利润为y 元，则当0＜x≤100时，y ＝60x －40x ＝20x ；当100＜x≤600时，y ＝(62－0.02x)x －40x ＝22x －0.02x 2.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ，0＜x≤100，22x －0.02x 2，100＜x≤600.(8分)当0＜x≤100时，y ＝20x 是单调增函数，当x ＝100时，y 最大，此时 y ＝20×100＝2 000；当100＜x≤600时，y＝22x－0.02x2＝－0.02(x－550)2＋6 050，∴当x＝550时，y最大，此时y＝6 050.显然6 050＞2 000.∴当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元．(12分)22. (14分)(2014·淄博模拟)已知f(x)＝ax－ln x，a∈R.(1)当a＝2时，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若f(x)在x＝1处有极值，求f(x)的单调递增区间；(3)是否存在实数a，使f(x)在区间(0，e]的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．(1)由已知得f(x)的定义域为(0，＋∞)，∵f(x)＝ax－ln x，∴f′(x)＝a－1 x ，当a＝2时，f(x)＝2x－ln x，∴f(1)＝2，∵f′(x)＝2－1x，∴f′(1)＝2－11＝1 .(2分)∴曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－2＝f′(1)(x－1)，即x－y＋1＝0.(4分)(2)∵f(x)在x＝1处有极值，∴f′(1)＝0，由(1)知f′(1)＝a－1，∴a＝1，经检验，a ＝1时f(x)在x＝1处有极值．(6分)∴f(x)＝x－ln x，令f′(x)＝1－1x＞0，解得x＞1或x＜0; ∵f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴f′(x)＞0的解集为(1，＋∞)，即f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)．(8分)(3)假设存在实数a，使f(x)＝ax－ln x(x∈(0，e])有最小值3，①当a≤0时，∵x∈(0，e]，∴f′(x)＜0，∴f(x)在(0，e]上单调递减，f(x)min＝f(e)＝ae－1＝3，解得a＝4e(舍去)．(10分)②当0＜1a＜e时，f(x)在⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，1a上单调递减，在⎝⎛⎦⎥⎥⎤1a，e上单调递增，f(x)min＝f⎝⎛⎭⎪⎪⎫1a＝1＋ln a＝3，解得a＝e2，满足条件．(12分)③当1a≥e时，∵x∈(0，e]，∴f′(x)＜0，∴f(x)在(0，e]上单调递减，f(x)min＝f(e)＝ae－1＝3，解得a＝4e(舍去)．综上，存在实数a＝e2，使得当x∈(0，e]时，f(x)有最小值3.(14分)。
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课时提升作业十四利用导数研究函数的单调性(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数f(x)=x-lnx的单调递减区间为()A.(0,1)B.(0,+∞)C.(1,+∞)D.(-∞,0)∪(1,+∞)【解析】选A.函数的定义域是(0,+∞),且f′(x)=1-=,令f′(x)<0,解得0<x<1,所以单调递减区间是(0,1).2.(2016·聊城模拟)若函数f(x)=x3-ax2-x+6在(0,1)内单调递减,则实数a的取值范围是()A.a≥1B.a=1C.a≤1D.0<a<1 【解析】选A.因为f′(x)=3x2-2ax-1,又f(x)在(0,1)内单调递减,所以不等式3x2-2ax-1<0在(0,1)内恒成立,所以f′(0)≤0,且f′(1)≤0,所以a≥1.3.对于实数集R上的可导函数f(x),若满足(x2-3x+2)f′(x)<0,则在区间[1,2]上必有()A.f(1)≤f(x)≤f(2)B.f(x)≤f(1)C.f(x)≥f(2)D.f(x)≤f(1)或f(x)≥f(2)【解析】选A.由(x2-3x+2)f′(x)<0知,当x2-3x+2<0,即1<x<2时,f′(x)>0,所以f(x)是区间[1,2]上的单调递增函数,所以f(1)≤f(x)≤f(2).4.(2016·青岛模拟)已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能是()A.f(x)=-x3B.f(x)=+x3C.f(x)=-x3D.f(x)=--x3【解析】选A.根据函数的定义域可以排除选项C,D,对于选项B:f′(x)=+3x2,当x>时,f′(x)不可能恒小于0,即函数不可能恒为减函数,故不符合. 5.已知f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)为f(x)的导函数,且满足f(x)<-xf′(x),则不等式f(x+1)>(x-1)·f(x2-1)的解集是()A.(0,1)B.(1,+∞)C.(1,2)D.(2,+∞)【解析】选D.因为f(x)+xf′(x)<0,所以(xf(x))′<0,xf(x)在(0,+∞)上为减函数,又因为(x+1)f(x+1)>(x2-1)·f(x2-1),所以0<x+1<x2-1,得x>2.二、填空题(每小题5分,共15分)6.函数f(x)=的单调递减区间是.【解析】f′(x)=,令f′(x)<0得所以0<x<1或1<x<e,故函数的单调递减区间是(0,1)和(1,e).答案:(0,1)和(1,e)7.(2016·济南模拟)若函数y=-x3+ax有三个单调区间,则a的取值范围是.【解析】因为y′=-4x2+a,且y有三个单调区间,所以方程y′=-4x2+a=0有两个不等的实根,所以Δ=02-4×(-4)×a>0,所以a>0.答案:(0,+∞)8.(2015·济宁模拟)已知函数f(x)=-2x2+lnx(a>0).若函数f(x)在[1,2]上为单调函数,则a的取值范围是.【解析】f′(x)=-4x+,若函数f(x)在[1,2]上为单调函数,即f′(x)=-4x+≥0或f′(x)=-4x+≤0在[1,2]上恒成立,即≥4x-或≤4x-在[1,2]上恒成立.令h(x)=4x-,则h(x)在[1,2]上单调递增,所以≥h(2)或≤h(1),即≥或≤3,又a>0,所以0<a≤或a≥1.答案:∪[1,+∞)【加固训练】已知函数f(x)=-x2+4x-3lnx在[t,t+1]上不单调,则t的取值范围是. 【解析】由题意知f′(x)=-x+4-==-,由f′(x)=0得函数f(x)的两个极值点为1,3,则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,函数f(x)在区间[t,t+1]上就不单调,由t<1<t+1或t<3<t+1,得0<t<1或2<t<3.答案:(0,1)∪(2,3)三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016·菏泽模拟)已知函数f(x)=a(x-1)2+lnx,a∈R.(1)当a=-时,求函数y=f(x)的单调区间.(2)当a=时,令h(x)=f(x)-3lnx+x-.求h(x)在[1,e]上的最大值和最小值.【解析】(1)当a=-时,f(x)=-(x-1)2+lnx(x>0),f′(x)=-x++=-,①当0<x<2时,f′(x)>0,f(x)在(0,2)上单调递增;②当x>2时,f′(x)<0,f(x)在(2,+∞)上单调递减;所以函数f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+∞).(2)当a=时,h(x)=f(x)-3lnx+x-=x2-2lnx,所以h′(x)=x-,令h′(x)=0,解得x=,当x∈[1,]时,h′(x)≤0,当x∈[,e)时,h′(x)≥0,故x=是函数h(x)在[1,e]上唯一的极小值点,故h(x)min=h()=1-ln2,又h(1)=,h(e)=e2-2>,所以h(x)max=e2-2.10.设函数f(x)=alnx+,其中a为常数.(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.(2)讨论函数f(x)的单调性.【解题提示】(1)当a=0时,求出函数f(x)的导函数f′(x),进而求出切线的斜率,即可求出切线方程.(2)结合函数的导函数,对a进行分情况讨论,判断导函数的符号,进而确定其单调性.【解析】(1)由题意知a=0时,f(x)=,x∈(0,+∞),此时f′(x)=,可得f′(1)=,又f(1)=0,所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为x-2y-1=0.(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞).f′(x)=+=.当a≥0时,f′(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,当a<0时,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a,Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1).①当a=-时,Δ=0,f′(x)=≤0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.②当a<-时,Δ<0,g(x)<0,f′(x)<0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.③当-<a<0时,Δ>0,设x1,x2(x1<x2)是函数g(x)的两个零点,则x1=,x2=.由于x1==>0,所以当x∈(0,x1)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,当x∈(x1,x2)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,当x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数f(x)单调递减.综上可得:当a≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a≤-时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;当-<a<0时,f(x)在,上单调递减,在上单调递增.(20分钟40分)1.(5分)(2016·南昌模拟)函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为()A.(-1,1)B.(-1,+∞)C.(-∞,-1)D.(-∞,+∞) 【解题提示】构造函数F(x)=f(x)-(2x+4),利用导数求解.【解析】选B.设F(x)=f(x)-(2x+4),则F(-1)=f(-1)-(-2+4)=2-2=0,对任意x∈R,f′(x)>2,所以F′(x)=f′(x)-2>0,即F(x)在R上单调递增,则F(x)>0的解集为(-1,+∞),即f(x)>2x+4的解集为(-1,+∞).2.(5分)已知函数f(x)=x3-x2-x,则f(-a2)与f(-1)的大小关系为()A.f(-a2)≤f(-1)B.f(-a2)<f(-1)C.f(-a2)≥f(-1)D.f(-a2)与f(-1)的大小关系不确定【解析】选A.由题意可得f′(x)=x2-2x-,令f′(x)=(3x-7)(x+1)=0,得x=-1或x=.当x<-1时,f′(x)>0,f(x)为增函数;当-1<x<0时,f′(x)<0,f(x)为减函数.所以f(-1)是函数f(x)在(-∞,0]上的最大值,又因为-a2≤0,所以f(-a2)≤f(-1).【加固训练】若f(x)=xsinx+cosx,则f(-3),f,f(2)的大小关系为.【解析】函数f(x)为偶函数,因此f(-3)=f(3).又f′(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx,当x∈时,f′(x)<0.所以f(x)在区间上是减函数,所以f>f(2)>f(3)=f(-3).答案:f(-3)<f(2)<f3.(5分)(2016·济宁模拟)已知向量a=,b=(1,t),若函数f(x)=a·b在区间(-1,1)上存在增区间,则t的取值范围为.【解析】f(x)=e x+-tx,x∈(-1,1),f′(x)=e x+x-t,函数在(-1,1)上存在增区间,则f′(x)>0在(-1,1)上能成立,故e x+x>t在(-1,1)上能成立,故e+1>t.答案:(-∞,e+1)4.(12分)设函数f(x)=x2+e x-xe x.(1)求f(x)的单调区间.(2)若当x∈[-2,2]时,不等式f(x)>m恒成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=x+e x-(e x+xe x)=x(1-e x).若x<0,则1-e x>0,所以f′(x)<0;若x>0,则1-e x<0,所以f′(x)<0;若x=0,则f′(x)=0.所以f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,即f(x)的单调减区间为(-∞,+∞).(2)由(1)知f(x)在[-2,2]上单调递减,所以[f(x)]min=f(2)=2-e2.所以当m<2-e2时,不等式f(x)>m恒成立.即实数m的取值范围是(-∞,2-e2).5.(13分)(2016·青岛模拟)已知函数f(x)=(e为自然对数的底数).(1)若a<1,求函数f(x)的单调区间.(2)若a=1,函数φ(x)=xf(x)+t f ′(x)+,存在实数x1,x2∈[0,1],使2φ(x1)<φ(x2)成立,求实数t 的取值范围.【解析】(1)因为函数的定义域为R,f′(x)=.①当a=0时,f′(x)<0,f(x)的单调递减区间是(-∞,+∞);②当a<0时,由f′(x)=0,得x=.所以f(x)的单调递减区间是,单调递增区间是;③当0<a<1时,由f′(x)=0,得x=;所以f(x)的单调递减区间是,单调递增区间是.(2)假设存在x1,x2∈[0,1],使得2φ(x1)<φ(x2)成立,则2[φ(x)]min<[φ(x)]max.因为φ(x)=xf(x)+tf′(x)+e-x=,所以φ′(x)==-.①当t≥1时,φ′(x)≤0,φ(x)在[0,1]上单调递减,所以2φ(1)<φ(0),即t>3->1.②当t≤0时,φ′(x)≥0,φ(x)在[0,1]上单调递增,所以2φ(0)<φ(1),即t<3-2e<0,③当0<t<1时,若x∈[0,t),则φ′(x)<0,φ(x)在[0,t)上单调递减;若x∈(t,1],φ′(x)≥0,φ(x)在(t,1]上单调递增,所以2φ(t)<max{φ(0),φ(1)},即2<max,(*),又g(t)=2在[0,1]上单调递减,故≤2·≤2,而<<,所以不等式(*)无解.综上所述,存在t∈(-∞,3-2e)∪,使得命题成立.。