第一节导数的概念
导数的概念及运算
第一节导数的概念及运算
［最新考纲］ 1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义.2.能根据
导数定义求函数y＝C（C为常数），y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1
x，y＝x的导数.3.
能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数.能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax＋b）的复合函数）的导数.
1.导数的几何意义
函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）的几何意义是曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率.相应地，切线方程为y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0）.
2.基本初等函数的导数公式
原函数导函数
f（x）＝x n（n∈Q*）f′（x）＝nx n－1
f（x）＝sin x f′（x）＝cos x
f（x）＝cos x f′（x）＝－sin x
f（x）＝a x f′（x）＝a x ln a（a＞0）
f（x）＝e x f′（x）＝e x
f（x）＝log a x f′（x）＝
1 x ln a
f（x）＝ln x f′（x）＝1 x
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )
[g (x )](g (x )≠0)．
4.复合函数的导数
复合函数y ＝f （g （x ））的导数和函数y ＝f （u ），u ＝g （x ）的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.
新高考视角下的导数新授课：导数的概念及其意义
第一节：导数的概念与几何意义
课时1.导数的概念
一．知识梳理 1.平均变化率
一般地，函数()f x 在区间[]12,x x 上的平均变化率为：2121
()()
f x f x x x --,如果函数的自变量的“增
量”为x ∆，且21x x x ∆=-，相应的函数值的“增量”为y ∆，21()()y f x f x ∆=-，则函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率为
2121
()()
f x f x y x x x -∆=∆- 函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势．即递增或递减幅度的大小． 2. 导数的概念（瞬时变化率）
（1）函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是()()0000lim
lim
x x f x x f x y
x x
∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作()0f x '或0|x x y ='，()()()00000lim lim
x x f x x f x y
f x x x
∆→∆→+∆-∆'=∆∆＝ 导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率． （2）求导数值的一般步骤：
①求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；
②求平均变化率：
00()()
f x x f x y x x
+∆-∆=
∆∆； ③求极限，得导数：00000()()'()lim lim
x x f x x f x y
f x x x
∆→∆→+∆-∆==∆∆． 二．典例分析 例1．函数()3
第一节 导数的概念及运算 定积分
第一节 导数的概念及运算 定积分
考试要求
1．了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义.3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.4.能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数．
5．了解定积分的实际背景；了解定积分的基本思想，定积分的概念，微积分基本定理的含义．
[知识排查·微点淘金]
知识点1 导数的概念
一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处导数的定义，称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim x →0
_
f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx
＝lim x →0 Δy
Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim x →0Δy Δx ＝lim x →0_f （x 0＋Δx ）－f （x 0）
Δx
． [微思考]
f ′(x )与f ′(x 0)有什么．
提示：f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，所以[f ′(x 0)]′＝0. 知识点2 导数的几何意义
函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是：在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．
[微思考]
直线与曲线只有一个公共点，则该直线一定与曲线相切吗？为什么？
提示：不一定．因为直线与曲线的公共点个数不是切线的本质特征，直线与曲线只有一个公共点，不能说明直线就是曲线的切线，反之，直线是曲线的切线，也不能说明直线与曲线有一个公共点，但切点一定是直线与曲线的公共点．
第3章 第1节 导数的概念及其运算-2023届高三一轮复习数学精品备课(新高考人教A版2019)
(1)y＝exln x；
(2)y＝x x2＋1x＋x13 ；
[自主解答] (1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′ ＝exln x＋ex1x＝ln x＋1xex. (2)因为 y＝x3＋1＋x12， 所以 y′＝(x3)′＋(1)′＋x12′＝3x2－x23.
►考向一 导数的计算[多维探究] 命题点 1 根据求导法则求函数的导数 [例 1－1] 求下列函数的导数： (3)(y3＝)因x－为syin＝2xxc－os1s2xi；n x，(4)y＝coesx x.
教材拓展
1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.周 期函数的导数还是周期函数.
2.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋 势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化 的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.
基础自测
◇疑误辨析 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)f′(x0)与f[(x0)]′表示的意义相同.( × ) (2)求f′(x0)时，必须先求f(x0)，再求f′(x0).( × ) (3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( √ ) (4)若f(x)＝a3＋2ax＋x2，则f′(x)＝3a2＋2x.( × ) 解析 (1)f′(x0)表示函数f(x)的导数在x0处的值，而f[(x0)]′表 示函数值f(x0)的导数，其意义不同，(1)错. (2)求f′(x0)时，应先求f′(x)，再代入求值，(2)错. (4)f(x)＝a3＋2ax＋x2＝x2＋2ax＋a3.∴f′(x)＝2x＋2a，(4)错.
高数-导数的概念及求导法则
x
注：左右导数是研究分段函 数在分段点
可导与否的有效工具。
例 7.
设f x
x 2 sin 1 ,
x
,
x 0求
f 0 .
解:
f
0
lim
f
0 ,
0 x
f
0
x0
x2 lim
sin
1 x
lim x sin 1
x0
x
x0
x
x0
x
0.
例8 设f ( x)在x0处可导，
(1)证 明 ：lim x0
lim
2 cos
x
h sin 2
h 2
h0
h
h0
h
h
limcos x h sin 2 cos x
h0
2 h
即: sin x cos x 2
f (0) cos x 1, x0
f
(
2
)
cos
x
x
2
0.
类似可得: cos x sin x
例 4. 求 f x log a x a 0, a 1 的导数.
若函数 f 在区间 I 内的每一点处都可导(若I包含 端点，则在左端点右可导，右端点处左可导）， 则称函数 f 在区间I上可导。
此时对区间I内的任一点x ,都对应着 f 的一个确定的
第一节导数定义教师版
二、常用结论
1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．熟记以下结论：
(1)
1 x
1 = − x2
；
(2) (ln x ) = 1 ；
x
(3)
f
1
(x)
=
−
f f
(x) ( x)2
(
f
(x)
0)
；
(4) af ( x) bg ( x) = af ( x) bg( x) ．
（2） f ( x) = ex + ln x
（4） f ( x) = 2 x − 1 + 4 3
x
（6） f ( x) = x + cos x
x + sin x
【答案】
(1) f (x) = x2 + 4x − 4 ； (2) f ( x) = ex + 1 ；
x
(3) f ( x) = −sin x − 2x ln 2
（5） y = f 1 ； x
【答案】
（1） y = − 1 3− 2x
（2） f (x) = ln (2x +1) + 2x
2x +1
（3） f (x) = 2e2x + e−x （4） y = sin 2x + cos2 x
第一节_导数的概念
微积分
2. 几何背景 — 平面曲线的切线问题 平面曲线上切线的概念
曲线L 在点P 处点切线为 点Q 沿曲线L 趋向点P 时 割线PQ 的极限位置PT
切线：割线的极限位置。 切线：割线的极限位置。
Q
•
• • •
T
切线PT
13
切点
L
P •
•
•
微积分
定义 平面曲线 y = f (x) 的切线：
曲线在点 A(x0, y0) 处的切线 AT 为过曲线上 点 A 的任意一条割线 AA’ 当点 A’(x0+∆x, y0+ ∆y) 沿曲线趋近于点 A 时的极限位置.
f ( x ) − f ( x0 ) f ′ ( x 0 ) = lim x → x0 x − x0
用 h 代替 ∆x
差商 导数是函数变 化率的精确描 述，从数量方 面刻画了变化 率的本质
函数值之差 导数 = lim 自变量之差 → 0 自变量之差
f ( x0 − h ) − f ( x0 ) 与 f ′( x0 ) 有什么关系？ lim h→0 h f (x0 − h) − f (x0 ) f (x0 − h) − f (x0 ) lim = lim (-1) = − f ′(x0 ) 解答 h→0 h→0 h −h 19
∆y = f ( x + ∆x) − f ( x)
导数基本概念
第一节 导数的概念与运算
一、 思维导图
二、知识模块
【知识点1】导数的定义 1． 导数的概念
设函数()y f x =在0x x =附近有定义，如果0x ∆→时，y ∆与x ∆的比y
x
∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限，即
y
x
∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0'()f x 或0
'
x x y =.
即0'()f x =0000000
()()()()lim lim lim x x x x f x x f x f x f x y
x x x x ∆→∆→→+∆--∆===∆∆-.
2. 导数的物理意义：瞬时速度
设0t =时刻一车从某点出发，在t 时刻车走了一定的距离().S S t =在01~t t 时刻，车走了10()()S t S t -，这一段时间里车的平均速度为
1010
()()
S t S t t t --，当1t 与0t 很接近时，该平
均速度近似于0t 时刻的瞬时速度.若令10t t →，则可以认为10
1010
()()
lim t t S t S t t t →-=
-，即0'()S t 就
是0t 时刻的瞬时速度.
3. 思路提示：利用导数的定义，经过合理的添项、拆项与调配系数，凑成导数的极限定义的等价形式.
例1: 设0'()f x 存在，求下列各式极限.
⑴()()
000
3lim
x f x x f x x
∆→+∆-∆；⑵()()000lim h f x h f x h →--
例2: 若()()
000
2lim
13x f x x f x x
第一节 导数的概念及运算
(2)y'=
ln
x
1 x
'=(ln
x)'+
1 x
'=
1 x
-
1 x2
.
(3)∵y=xsin
2x
π 2
cos
2x
π 2
= 1 xsin(4x+π)=- 1 xsin 4x,
2
2
∴y'=- 1 sin 4x- 1 x·4cos 4x=-1 sin 4x-2xcos 4x.
2
2
2
考点突破 栏目索引
方法技巧 1.求导数的总原则:先化简函数的解析式,再求导. 2.
素养引领·情境命题 栏目索引
素养引领·情境命题 栏目索引
2.若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线垂直,
则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是 ( A )
A.y=sin x B.y=ln x
C.y=ex
D.y=x3
素养引领·情境命题 栏目索引
答案 A 设函数y=f(x)图象上的两点分别为(x1,y1),(x2,y2),且x1≠x2,则由题意
点的横坐标为x2,所以曲线y=ln
x+2的切线l:y=
1
·x+ln
x1
x1+1,曲线y=ln(x+1)的切
高中数学教材——导数篇
第三章 导数及其应用
第一节 导数的概念及运算、定积分
1．导数的概念
(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0 Δy
Δx
＝li m
Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ❶
为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′x ＝x 0，即f ′(x 0)
＝li m
Δx →0 Δy
Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx
.
函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方
向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
(2)导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)❷处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．
❷曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线.
(3)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝li m
Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )
Δx
为f (x )的导函数．
(4)f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，[f ′(x 0)]′＝0. 2．基本初等函数的导数公式
第一节导数的概念及其意义、导数的运算课件-2025届高三数学一轮复习
D.
ex
+ ln 3 ′ =
ex
1
+
3
[解析] 对于A， ′ = ，故选项A正确；对于B， ′ = ，故选项B正确；
对于C， ′ = ，故选项C正确；对于D，
+ ′ = ′ + ′ = + = ，故选项D不正确.故选D.
]′ =
g x ≠0 .
3.复合函数的定义及其导数
一般地，对于两个函数y = f u 和u = g x ，如果通过中间变量u,y可以表示成关于x
的函数，那么称这个函数为y = f u 和u = g x 的复合函数.若y = f u ，u = ax + b，
y′u ⋅ u′x
则y′x =________，即y′
[解析] 因为 = + ，所以′ = −
［对点训练2］ （1）函数y =
x−1
的图象在点
x+1
0, −1 处的切线与两坐标轴围成的封闭
图形的面积为( B )
1
A.
8
1
B.
4
[解析] ∵ =
−
，∴
+
′ =
1
C.
2
+ − −
+
=
第一节 导数的概念及运算
第一节导数的概念及运算
高考概览：1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝
x，y＝1
x，y＝x
2，y＝x3，y＝x的导数；4.能利用基本初等函数的导数
公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数)的导数．
[知识梳理]
1．导数的概念
(1)f(x)在x＝x0处的导数
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是
lim Δx→0f(x0＋Δx)－f(x0)
Δx＝lim
Δx→0
Δy
Δx，称其为函数y＝f(x)在x＝x0处的导
数，记作f′(x0)或y′|x＝x
，
即f′(x0)＝lim
Δx→0f(x0＋Δx)－f(x0)
Δx.
(2)导函数
当x变化时，f′(x)称为f(x)的导函数，则f′(x)＝y′＝lim
Δx→0 f(x＋Δx)－f(x)
Δx.
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点
P (x 0，y 0)处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f _′(x 0)(x －x 0)．
3．基本初等函数的导数公式
4.导数运算法则
(1)[f (x )±g (x )]′＝f _′(x )±g ′(x )；
(2)[f (x )·g (x )]′＝f _′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；
(3)⎣⎢⎡⎦
⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 5．复合函数的导数
第一节 导数的概念
第二章导数与微分
微分学是微积分的重要组成部分，它的基本概念是导数与微分，其中导数反映出函数相对于自变量的变化快慢的程度，而微分则指明当自变量有微小变化时，函数大体上变化多少.本章，将在函数与极限两个概念基础上来研究导数与微分.
第一节导数的概念
一、引例
微分，最早来源于牛顿先生为了描述一些物理学基本概念所设立的数学方法，它最早的应用就是用来描述直线运动速度，曲线的切线问题.
对于直线运动的速度，通常，我们在初中课本接触到的速度定义就是路程除以时间，但是，这是个非常不严格的定义.
只有在匀速直线运动中，速度=位移/时间.对于一个全过程中速度并不均匀的运动来说，需要描述每一刻的瞬时速度.因为瞬间位移和瞬间时间长相当于都是0，0/0显然是没有实际意义的，所以瞬间的速度不能用瞬间位移除以瞬间时间长来描述.
牛顿先生是第一位辩证地看待运动连续过程与运动瞬
间的联系的人.
他认为，任何的运动，瞬间的速度不是孤立的，而是取决于与之相邻的一小段连续运动的情况.
这样，牛顿先生非常创造性地把连续运动的速度=位移/时间这个等式应用到了瞬时速度上！
下面先来看第一个问题.
1、变速直线运动的瞬时速度问题
【引例1】设一物体作变速直线运动，在直线上引入原点，使直线成为数轴.取原点为测量时间的零点，则在物体运动的过程中，对于每一时刻t ，物体的相应位置可以用数轴上的一个坐标s 表示，即s 与t 之间存在函数关系：()s s t =，这个函数称为位置函数.现在我们来求物体在0t 时刻的瞬时速度.
瞬时速度本身是一个矛盾体。速度是表征质点运动快慢的物理量。如果没有时间间隔(即瞬时)， 质点就无法运动。从而，也无法体现它的速度。而瞬时速度恰恰是没有时间间隔的速度，这就是矛盾。解决矛盾要用辩证法。为了得到没有时间间隔的速度，先要给一个时间间隔，这样使得运动成为可能。（矛盾运动与辩证法）
高等数学-导数的概念-教案
在匀速直线运动中, 这个比值是常数, 但是假如质点 引入导数概念 作变速直线运动, 它的运行速度时刻都在发生改变, 为了 计算瞬时速度, 首先在时刻 任给时间一个增量 , 考虑质 点由 到 这段时间的平均速度:
lim sin(x x) sin x
x0
x
2cos x x sin x
lim
2 2
x0
x
会用定义求函 数在一点处的 导数
讲解
5mins 7mins
,Baidu Nhomakorabea
即:
类似可得:
定义 假如 存在, 则称此极限值为 f (x) 在点 x0 处的左导数, 记作 f’((x0)；同样, 假如 存在, 则称此 极限值为 f (x) 在点 x0 处的右导数, 记作 f’ +(x0) .
的作风。
教学 重点 难点
教学 资源
重点: 导数的定义。 难点: 理解导数的几何意义。 难点：理解导数的几何意义。
教材、例子（幻灯片）、课件。
教学后记
对培育方案、大纲修改看法 对授课安排修改看法 对本教案修改看法 需增加资源 其他
教研室主任:
系主任:
教务处:
教学步骤与内容
A.复习内容
高等数学 第2章 第一节 导数的概念
ex ex.
12
例5 求函数 y ln x 的导数
解： x (0,)
当x 0时, Ln(1+x)~x
(ln x)' lim ln(x x) ln x
x 0
x
ln(1 lim
x ) x
lim
x x
1
x0
x
x0 x x
即 : 对x 0, (ln x)' 1 x
例6 设 f x x sin x, 求 f 0.
6 2
解：
k
(sin x)' x 6
cos
6
3 2
切线方程：y 1 3 x
2 2 6
法线方程：y 1 2 3 x
2
3 6
16
例9 求曲线 y ln x上平行于直线y 2x的切线方程.
解： 设切点为P0(x0, y0)
则在点P0处曲线的切线斜率为y'( x0 )
（4） 若极限 lim y lim f ( x0 x) f ( x0 ) 存在,
x x0
x0
x
这极限就是切线P0T的斜率。 4
二、导数的定义
1、函数在点x0处的导数定义：
定义： 设 函 数y f ( x)在x0的 某 一 邻 域U ( x0 , )内 有 定 义 ，
自 变 量 在U ( x0 ,
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
切点 P
L
•
Q
•
•
• •
•
T
•
切线PT
定义 平面曲线 y = f (x) 的切线：
曲线在点 A(x0, y0) 处的切线 AT 为过曲线上
当A的任意一条割线AA当点Ax0 x, y0 y
沿曲线趋近于点 A 时的极限位置.
切线方程: y y0 k(x x0 ) , 其中,
k tan
lim tan x0
y f (0 x) f (0) x sin 0 x
故
f ' (0)
lim
x0
y x
lim
x0
x x
1
当△x>0 时,有
y f (0 x) f (0) sin x sin 0 sin x
故
f'
(0
lim
x0
y x
lim x0
sin x x
1
于是,由 f'(0) f'得(0) 1
则称 f (x )在 [a, b] 上可导, f (x) 称为 f (x) 在 [a, b] 上 的导函数, 简称为导数.
函数在点 x0 I 处的导数: f (x0 ) f (x) xx0
先求导、后代值.
例3.2
求函数
f
(
x)
x, sin
x,
解 当△x<0 时,有
x0 x 0 在x0处的导数.
1
lim (gt g t) gt
t 0
2
从物理学看, 当t0 时, 应该有
S(t t) S(t) 0 .
这是否也说明了一个什么问题?
2. 几何背景 — 平面曲线的切线问题
平面曲线上切线的概念
曲线 L 在点 P 处点切线为 点 Q 沿曲线 L 趋向点 P 时 割线 PQ 的极限位置 PT
第一节 导数的概念
一、导数产生的背景
二、导数的概念 三、基本初等函数的导数 四、导数的几何意义 五、函数的可导性与连续性的关系
一.导数产生的背景
1. 物理背景 2. 几何背景
1.物理背景
例1 非匀速运动物体的速度问题
在真空中, 当时间由t 变到t+t 时, 自由
落体所经过的路程为
S(t t) S(t) 1 g(t t)2 1 gt2 1 g(2tt t2)
x x0
x0
x
等价无穷小替代
lim
x 1 x x
1
lim
x
x
x
x0
x
x0 x
lim x1 x1 x0
(x ) x1
例4 (x3) 3x2.
(
x)
1
(x2 )
1
1 1
x2
1
1
x2
1
,
2
2
2x
d dx
1 x
( x 1 )
(1) x 11
x 2
1 x2
,
(x)' 1 x11 x0 1.
2
22
物体由 t 到 t + t 一段的平均速度是
V (t) S(t t) S(t) 1 g(2t t t 2 )
(t t) t 2
t
gt 1 g t 2
求物体在时刻 t 的瞬时速度 vt , 就是
令 t0 的极限过程：
Vt
lim V
t 0
(t)
lim
t 0
S (t
t) t
S (t )
自变量对其本身的导数为 1
3. 指数函数 y ax (a 0)
Q lim y lim a xx a x a x lim ax 1
x x0
x0
x
x0 x
ax lim x ln a ax ln a x0 x
lim
x0
y x
lim
x0
f (x0 x) x
f (x0 ) a
存在, 则称 a 为 f (x) 在点 x0 处的左导数. 记为
f(x0 ) a
定理
f (x0 ) a f(x0 ) f(x0 ) a
好像见过面啊！
3. 导函数
定义 若 x(a, b), 函数 f (x) 皆可导, 则说 f (x) 在
lim y lim f (x0 x) f (x0 ).
x0 x x0
x
二.导数的概念
1. 导数的定义
定义 设函数 f (x) 在 U(x0) 有定义, 且 x0+x U(x0).
如果极限lim f x0 x f x0 lim y a存在
x0
x
x0 x
则称函数 f (x) 在点 x0 处可导, 极限值 a 称为 f (x) 在
(a, b) 内可导. 这时 f (x) 是关于 x 的一个新函数,
称之为 f (x) 在 (a, b) 内的导函数. 通常我们仍称之
为 f (x) 在 (a, b) 内的导数：
f
( x)
lim
x0
y x
lim
x0
f
(x
x) x
f
(x)
f x也可记作y、dy 、df
dx dx
定义
若 f (x) 在 (a, b) 内可导, 且 f(a) , f(b) 存在,
lim y . x0 x
y y f (x)
O
A T
y AB
x
x
小结
解决与速度变化或变化率相关问题的步骤: (1) 建立一个函数关系 y = f (x) xI .
(2) 求函数由 x0 到 x0+ x 的平均变化率：
y f (x0 x) f (x0 ) ;
x
x
(3) 求 x 0 的极限：
f'(0) lim y 1 x0 x
三、基本初等函数的导数
推导一些基 本公式啊 ！
1. y = C x R ( C为常数 ) Q lim y lim C C lim 0 0 x0 x x0 x x0
(C) 0
通常说成：常数的导数为零.
2. 幂函数 y x （ R）
Q lim y lim (x x) x
点 x0 处的导数. 记为 f (x0 ) a， y'|xx0 a,
d
f (x0 ) dx
a， d y dx
x x0
a.
如果函数 f (x) 在点 x0 处可导, 则
f
'(x0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) ; x x0
f
(x0 )
lim
x0
f
(x0
x) x
f
(x0 )
有时也称f x在点x0导数为。
2.左、右导数
定义
设函数 f (x) 在 [x0 , x0+ ) 内有定义, 若
lim
x0
y x
lim
x0
f (x0 x) x
f (x0 ) a
存在, 则称 a 为 f (x) 在点 x0 处的右导数. 记为
f (x0 ) a.
定义
设函数 f (x) 在 (x0 – , x0] 内有定义, 若
f
(x0 )
lim
x0
f
(x0
x) f 2x
(x0
x)
f
(x0 )
lim
x0
f
(x0
kx) kx
f
(x0 )
k 0为常数.
若
lim
x0
y x
不
存
在
，
称
函
数f x
在
点x0
处
不
可
导
或者没有导数；x0为f x的不可导点。
若 lim ห้องสมุดไป่ตู้0
y x
时 ， 称f
x 在 点x0 导 数 不 存 在 ；