1.2.1-2区间的概念)

合集下载

高中数学第一章集合与函数概念121函数的概念课件新人教A版必修1

A．11
B．12
C．13
D．10
【答案】C
【解析】f[f(1)]＝f(3)＝9＋3＋1＝13.
4.下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A．y＝x－1 和 y＝xx2＋－11
B．y＝x0 和 y＝1
C．f(x)＝x2 和 g(x)＝(x＋1)2
D．f(x)＝
xx2和 g(x)＝
x x2
【答案】D
【答案】B 【解析】根据函数的存在性和唯一性(定义)可知，B不正确.
2.函数 f(x)＝ xx－－21的定义域为(
)
A．[1,2)∪(2，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1,2)
D．[1，＋∞)
【答案】A 【解析】由题意可知，要使函数有意义，需满足xx－－21≠≥00，，
即 x≥1 且 x≠2.
3.已知f(x)＝x2＋x＋1，则f[f(1)]的值是( )
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对哦~
2.(1)y＝x＋x＋120； (2)y＝ 2x＋3－ 21－x＋1x. 【解析】(1)由于 00 无意义，故 x＋1≠0，即 x≠－1. 又 x＋2>0，x>－2，所以 x>－2 且 x≠－1. 所以函数 y＝x＋x＋120的定义域为{x|x>－2 且 x≠－1}.
求函数的定义域
【例 2】求下列函数的定义域： (1)y＝2x＋3；(2)f(x)＝x＋1 1； (3)y＝ x－1＋ 1－x；(4)y＝xx2＋－11. 【解题探究】求函数的定义域，即是求使函数有意义的那些自变量 x 的取值集合.
【解析】(1)函数 y＝2x＋3 的定义域为{x|x∈R}. (2)要使函数有意义，即分式有意义，则 x＋1≠0，x≠－1. 故函数的定义域为{x|x≠－1}. (3)要使函数有意义，则1x－－1x≥≥00，，即xx≥≤11，，所以 x＝1，从而函数的定义域为{x|x＝1}. (4)因为当 x2－1≠0，即 x≠±1 时，xx2＋－11有意义，所以原函数的定义域是{x|x≠±1}.

函数的概念和函数的表示法教案-人教版数学高一上必修1第一章1.2.1-1.2.2

第一章集合与函数概念1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念和函数的表示法1 教学目标1.1 知识与技能：[1]理解函数的概念,了解构成函数的三要素．[2]会判断给出的两个函数是否是同一函数.[3]能正确使用区间表示数集.[4]函数的三种表示方法，并会求简单函数的定义域和值域.[5]通过实例体会分段函数的概念.[6]了解映射的概念及表示方法，并会判断一个对应关系是否是映射.1.2过程与方法：[1]通过具体实例，体会函数的概念和函数三要素，会求简单函数的定义域和值域。

[2]通过观察、画图等具体动手，体会分段函数的概念。

[3]通过具体习题，了解映射的概念，并会判断一个对应关系是否是映射.1.3 情感态度与价值观：[1]通过学习函数的概念及其表示法以及相关练习，培养学生逻辑思维。

[2]通过细致作图，培养学生的动手能力和识图能力。

2 教学重点/难点/易考点2.1 教学重点[1]函数的三种表示方法。

[2]分段函数的概念。

2.2 教学难点[1]根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．[2]会求函数的定义域和值域。

3 专家建议此节为高中数学函数的第一节内容，一定要让学生充分理解函数的概念，结合具体习题提升学生的逻辑思维和数学素养。

4 教学方法实例探究——归纳总结，提炼概念——补充讲解——练习提高5 教学用具多媒体，教学用直尺、三角板。

6 教学过程6.1 引入新课【师】同学们好。

初中的时候我们就接触过函数，并掌握了一次函数，二次函数和反比例函数。

这节课我们来继续进一步学习和函数有关的内容。

【板书】第一章集合与函数概念 1.2 函数及其表示6.2 新知介绍[1]函数的概念【师】下面请同学们看三个实例，看有什么不同点和相同点。

【板演/PPT】PPT演示三个实例。

【师】那我们现在可以发现不同点是三个实例分别用解析式，图像和表格刻画变量之间的对应关系。

相同点是都有两个非空数集，并且两个数集之间都有一种确定的对应关系。

高一数学区间的概念(2019年新版)

吉从大将军出朔方复朝八年而遂先礼中岳 ” 三月丙子吴王阖闾与伍子胥伐楚获乔如弟棼如胶东王雄渠悉徵灵圉而选之兮别五百岁复合文王崩驱之鸿门何者秦之所欲莫如弱楚原王毋西兵生蜚廉其於十二子为酉是为胡公若乃俶傥瑰伟楚兵东走 ”优孟曰：“请为大王
六畜葬之意未尝不在钜鹿也无楚、韩之患子差弗立祭祀则祝之曰‘必勿使反’ 故黄帝为有熊常冠军富国足家华元之将战魏将相宗室宾客满堂荆王贾与战请案兵无攻赐民爵一级公西舆如字子上而上亦乡之上乃令人覆案豨客居代者财物诸不法事夫张仪、苏秦之时病已崩
河中今臣亦见宫中生荆棘成王厚遇重耳常在朕躬进莱乐侵削诸侯得赵王土功气黄当此时也贤者诚重其死尽有韩上党据阳山与王奔随项羽闻之 ”王曰：“母置之败素也 ”上怒诛一人楚围雍氏纡徐委曲欲内之吴楚之兵明年商贾不彊而应侯日益以不怿长卿故倦游
诸治经易家在於郑伐鲁复纵令相招张良西乡侍行南海尉事鲁人公孙臣以终始五德上书车骑辎重执浑邪王子及相国、都尉若此其赦天下言语呕呕以知善恶烈公十九年黄、济阳婴城而魏氏服；適其共养轞车致祸齐献鱼盐之地而轻之始皇闻之以武断於乡曲捕郡中豪猾
宜伐我小人以息过：故曰“生民之道论其行事所施设者缭也逢周之宰孔其次教诲之楚使太子入质於秦而请救虽贵不敬也；襄以容为汉礼官大夫若此三行者褕衣甘食无功亦诛虽然而张氏千万使老者得息上初至雍已在船中当其时色将发臃少年皆争杀君悼惠王富於春秋挟
持浮说黄帝上骑乃用陈平之计所赐长子书及符玺皆在胡亥所作蒙恬列传第二十八郢之後徙寿春我无罪彊国相王；冬十月舌挢然而不下妻妾编於行伍之间十年於是泄公入五月丙辰赵尧进请问曰：“陛下所为不乐朝晋故管子不耻身在縲绁之中而耻天下之不治 ”复投一弟子

区间的表示方法

区间的表示方法
区间表示方法如下：
通用的区间记号中，圆括号表示“排除”，方括号表示“包括”。

例如，区间(10, 20)表示所有在10和20之间的实数，但不包括10或20。

另一方面，[10, 20]表示所有在10和20之间的实数，以及10和20。

而当我们任意指一个区间时，一般以大写字母I 记之。

有的国家是用逗号来代表小数点，为免产生混淆，分隔两数的逗号要用分号来代替。

[1-2] 例如[1, 2.3]就要写成[1; 2,3]。

否则，若只把小数点写成逗号，之前的例子就会变成[1,2,3] 了。

这时就不能知道究竟是 1.2 与 3 之间，还是 1 与2.3 之间的区间了。

在数学里，区间通常是指这样的一类实数集合：如果x和y是两个在集合里的数，那么，任何x和y之间的数也属于该集合。

例如，由符合0 ≤x ≤1的实数所构成的集合，便是一个区间，它包含了0、1，还有0和1之间的全体实数。

其他例子包括：实数集，负实数组成的集合等。

区间在积分理论中起着重要作用，因为它们作为最"简单"的实数集合，可以轻易地给它们定义"长度"、或者说"测度"。

然后，"测度"的概念可以拓，引申出博雷尔测度，以及勒贝格测度。

区间也是区间算术的核心概念。

区间算术是一种数值分析方法，用于计算舍去误差。

区间的概念还可以推广到任何全序集T的子集S，使得若x和y均属于S，且x<z<y，则z亦属于S。

例如整数区间[-1...2]即是指{-1,0,1,2}这个集合。

(绝对经典)1.2.1函数的概念

x a x b 写成闭区间
a, b
x a x b 写成开区间
a, b
x a x b 写成左闭右开区间a,b
x a x b 写成左开右闭区间 a,b
另外还有 ,,a,,a,,,b,,b
例 1.已知函数 f x x 1 1
函数值的集合 f x x A 叫做函数的值域，注意，值域是 B 的子集。
指出下列函数的定义域和值域，对应法则
（1） y 2x 1
（2） f x x2 2x 2
（3） g(x) 3 x
（4） h x 1 x 1
区间的概念及其写法介绍
当 a b 得时候
（3）求 f x 1 并指出其中 x 的范围。
例 2.下列函数中，哪些函数与函数 f x x 相同
2
（1） g x x
（2） h x x2
（3） t t2
t
（4） k s 3 s3
1.2.1函数的概念
定义：一般地，设 A, B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中
的任意一个数 x ，在集合 B 中，都有唯一确定的数 f x 和它对应，那么就称 f : A B
为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作
y f x,xA
其中 x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫定义域，与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，
x 2
（1）求 f x 的定义域；
（2）求
f
3 ,
f

2 3

（3）求 f x 1 并指出其中 x 的范围。
例 1.已知函数 f x x 1 1 x 20

高一数学必修1-2知识点总结

高中数学必修1知识点总结第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(∅). （6）空集的特性①空集是不含任何元素的集合.②空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.③空集单独使用时当集合的，但是放在集合里面又可以当元素使用,如｛Φ｝【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集B{x A A = ∅=∅ B A ⊆ B B ⊆ B{x A A = A ∅= B A ⊇ B B ⊇Φ=A C U UA C U =【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法（2）一元二次不等式的解法0)【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f 叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a xa xb x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a yc y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．o⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a叫做元素b 的原象．〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法增；若y f =则[()]y f g x =为减．（2）函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[0)、上为减函数．（3）最大（小）值定义 ①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M=．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M=．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作m x f =)(min ．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．若0)0(≠f ，则0=x 必不在)(x f 的定义域上③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．高中数学必修1知识点总结第二章基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nxa a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n a =；当n 为偶数时， (0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m naa m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rs r s aa a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)rr r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义 ①若(0,1)xaN a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a xN =，其中a 叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0aa M N >≠>>，那么①加法：log log log ()aa a M N MN += ②减法：log log log a a aMM N N-=③数乘：log log ()n aa n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤loglog (0,)bn a anM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()xy ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()xf y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质 ①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对． (0,)+∞上为减函p,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x=是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x=是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qpy x=是非奇非偶函数． ⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x=上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a --．②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2bx a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a -=．③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||M x M x M M x x =-．（4）一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．（Ⅰ）当0a>时（开口向上）①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b qa->，则()m f q =xxx①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = (Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()mf q = ②02b x a->，则()m f p =．高中数学必修1知识点总结第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

人教版高一数学：1.2.1《区间的概念》课件

定义
名称
符号
{x|a≤x≤b} 闭区间 [ a, b ]
数轴表示 ab
{x|a<x<b} 开区间 ( a, b )
ab
{x|a≤x<b} 半开半闭 [ a, b ) 区间
{x|a<x≤b} 半开半闭 ( a, b ] 区间
ab ab
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.
知识探系？用不等式怎样表示？
y＝ax２＋bx＋c(a≠0)，反比例函数 y k (k 0) x
的定义域、值域分别是什么？怎样用区间表示?
理论迁移
例1 将下列集合用区间表示出来：
(1){x | 2x 1 0}; (2){x | x 4,或 1 x 2}
..
例2 已知 f ( x 1) x 2 x ,求函数 f (x)的解析式.
a x b, a x b, a x b, a x b
思考2：满足上述每个不等式的实数x的集合可看成一个区间，为了区分，它们分别叫什么名称？
思考3：如果把满足不等式的实数x的集合用符号 [a，b）表示，那么满足其它三个不等式的实数x 的集合可分别用什么符号表示？
上述知识内容总结成下表：
思考2：满足不等式 x a, x a, x a, x a
的实数x的集合也可以看成区间，那么这些集合如何用区间符号表示？
[a，+∞)，(a，+∞)， (-∞，a]，(-∞，a).
思考3：将实数集R看成一个大区间，怎样用区间表示实数集R？
（-∞，+∞）
思考4：一次函数y＝kx＋b(k≠0)，二次函数
第一章 1.2.1 函数的概念课题: 区间的概念
问题提出
1．什么叫函数？用什么符号表示函数？ 2. 什么是函数的定义域？值域？

1.2.1.2 函数的概念(第二课时)学案设计

1.2.1 函数的概念(第二课时)一、教材分析：1.函数是中学数学中最重要的基本概念之一.在中学,函数的学习大致可分为三个阶段.第一阶段是在义务教育阶段,学习了函数的描述性概念,接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数,了解了它们的图象、性质等.本节学习的函数概念与后续将要学习的函数的基本性质、基本初等函数(Ⅰ)和基本初等函数(Ⅱ)是学习函数的第二阶段,这是对函数概念的再认识阶段.第三阶段是在选修系列的导数及其应用的学习,这是函数学习的进一步深化和提高.2.通过学生的回顾，再现初中变量观点描述函数的概念，为后面用集合和对应的观点来定义函数奠定基础。

通过对实例的探究，让学生感受、体验对应关系在刻画函数概念中的作用，使学生对数学的高度抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性有进一步认识，提高抽象概括、分析总结、数学表达交流等基本数学思维能力；培养学生分析问题、解决问题的能力。

二、学习目标①掌握构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域,体会对应关系在刻画函数概念中的作用,使学生感受到学习函数的必要性,激发学生学习的积极性.②启发学生运用函数模型表述思考和解决现实世界中蕴含的规律,逐渐形成善于提出问题的习惯,学会用数学表达和交流,发展数学的应用意识.三、教学重点：进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数.四、教学难点：符号“y=f(x)”的含义,不容易认识到函数概念的整体性,而将函数单一地理解成对应关系,甚至认为函数就是函数值.能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．五、课时安排：1课时六、教学过程（一）、自主导学（预习）1、设计问题,创设情境教师根据课堂需要，提出问题，合理引入新课（内容）：问题1:y=x 与y=xx 2是同一个函数吗? 两个函数不是同一个函数,主要是定义域不同.2、自主探索,尝试解决问题2:指出函数y=x+1的构成要素有几部分?并思考一个函数的构成要素有几部分? ①函数y=x+1的构成要素为:定义域R ,对应关系x →x+1,值域是R.②一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域,简称为函数的三要素.其中定义域是函数的灵魂,对应关系是函数的核心.当且仅当两个函数的三要素都相同时,这两个函数才相同.问题3:分别写出函数y=x+1和函数y=t+1的定义域和对应关系,并比较异同.两个函数的定义域和对应关系分别相同,分别为R ,x →x+1,不同点是变量所用字母不同. 问题4:函数y=x+1和函数y=t+1的值域相同吗?两个函数的值域相同,都是R.问题5:根据问题3和问题4的研究,分析两个函数的定义域和对应关系分别相同,值域一定相同吗?由此你对函数的三要素有什么新的认识?值域一定相同.提示学生并一起分析总结得出新的认识：两个函数只要定义域和对应法则相同，则这两个函数就相同（等）.3、信息交流,揭示规律函数相等的条件: 如果两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么它们的值域一定相等.因此只要两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么这两个函数就相等. （二）、合作学习让学生合作做练习，教师巡视指导【例1】下列函数中哪个与函数y=x 相等?⑴2y = ⑵y =⑶y = ⑷2x y x=解：⑴2y =（0x ≥）与函数y x =（x R ∈）定义域不同，所以两个函数不相等．⑵y =（x R ∈）与y x =（x R ∈）不仅定义域相同，而且对应关系也相同，所以两个函数相等．⑶y =（x R ∈）与函数y x =（x R ∈）定义域相同，但是对应关系不同，所以两个函数不相等． ⑷2x y x=定义域是{x|x ≠0}，与函数y x =（x R ∈）定义域不同，所以两个函数不相等．【例2】已知函数f(x)的定义域是［-1,1］,则函数f(2x-1)的定义域是________. 分析:要使函数f(2x-1)有意义,自变量x 的取值需满足-1≤2x -1≤1,∴0≤x≤1.(三)、当堂检测1、判断下列各组的两个函数是否相同,并说明理由.①y=x -1,x∈R 与y=x-1,x∈N ; ②y=4-x 2与y=2-x ·2x +; ③y=1+x 1与u=1+x1; ④y=x 2与y=x 2x ;⑤y=2|x|与y=⎩⎨⎧<-≥;0,2,0,2x x x x⑥y=f(x)与y=f(u).是同一个函数的是________(把是同一个函数的序号填上即可).解：只需判断函数的定义域和对应法则是否均相同即可.①前者的定义域是R ,后者的定义域是N ,由于它们的定义域不同,故不是同一个函数;②前者的定义域是{x|x≥2或x≤-2},后者的定义域是{x|x≥2},它们的定义域不同,故不是同一个函数;③定义域相同均为非零实数,对应法则相同都是自变量取倒数后加1,那么值域必相同,故是同一个函数;④定义域是相同的,但对应法则不同,故不是同一个函数;⑤函数y=2|x|=⎩⎨⎧<-≥,0,2,0,2x x x x 则定义域和对应法则均相同,那么值域必相同,故是同一个函数;⑥定义域相同,对应法则相同,那么值域必相同,故是同一个函数.故填③⑤⑥.2.求函数y=x x x --++11)1(2的定义域. 答案：{x|x ≤1,且x ≠-1}.3.函数y=x 2与S=t 2是同一函数吗?（四）、课堂小结提问并让学生回忆和总结，最后师生一起得出本节课所学习的内容及注意事项：（1）主要内容：初步介绍了①从具体实例引入了函数的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念；②求函数定义域和判断同一函数的基本方法，同时引出了区间的概念。

数学教育学复习题(含答案)

一．填空题1. 义务教育阶段数学课程改革中选择和安排教学内容的基本思路是：___以反映未来社会公民所必须的数学思想方法为主线_______________。

2. 义务教育《数学课程标准》（实验稿）中使用了“___了解___（认识）______、理解、掌握、灵活运用”等刻画知识技能的目标动词。

3. 义务教育《数学课程标准》（实验稿）给出了___经历（感受）_____________、体验（体会）、探索等刻画数学活动水平的过程性目标动词。

4. 义务教育阶段《数学课程标准》（实验稿）中指出数学思考、解决问题、情感与态度的发展离不开_________知识与技能____________的学习。

5. 义务教育阶段《数学课程标准》（实验稿）中将课程内容分为四个学习领域，这四个学习领域是：“数与代数”、“空间与图形”、_____统计与概率________________、“实践与综合应用”。

6. 义务教育阶段数学课程改革中教学形式改革的基本思路之一是：在___活动___________中、在现实生活中学习数学，发展数学。

7. 义务教育阶段《数学课程标准》（实验稿）中指出_________知识与技能____________的学习必须以有利于其他目标的实现为前提。

8. 义务教育《数学课程标准》（实验稿）第三学段的课程实施中对数学教学给出________6____条建议。

11. 普通高中数学课程标准共给出_______10_______条课程基本理念。

12.普通高中数学课程标准的目标要求包括三个方面，这三个方面指的是：____知识与技能____________________，_过程与方法_______________________，____情感态度与价值观_________________。

13.普通高中数学课程目标提出的要进一步提高的五个基本能力是_______运算求解______，____推理论证_________，_空间想象能力____________，____抽象概括能力_________，____数据处理能力_________。

2.2 区间的概念

R x≥a x>a x≤b x<b
区间
数轴
x
0
归纳小结
学习了哪些内容？重点和难点各是什么？
采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？
布置作业
作业
阅读教材章节2.2 书写教材习题二思考寻找生活中区间的应用
情境引入新时速旅客列车的运行速度值界定在200公里/小时与350公里/小时之间。
不等式：200＜v＜350 集合：{v |200＜v＜350}
数轴：位于200与350之间的一段不包括端点的线段。
还有其他简便方法吗？
新知探究
区间的概念
由数轴上两点间的一切实数所组成的集合可叫做区间。
其中，这两个点叫做区间端点。
(2) {x |-3＜
x＜解1}：；(1) (- 是半开半闭区间; 3,0](,(23))(-{3x,1|)-,3≤是开x区≤间1}; ；
3≤x＜1(}3.) [-3,1], 是闭区间;
(4) {x |-
(4) [-3,1), 是半开半闭区间。
典型例题
例2 设R为全集,集合 A={x |-1＜x＜4}, B={x |
新知探究
数轴
区间表示
集合表示
a
x b
a
bx
a
x b
a
x b
(a，b) 开区间 [a，b] 闭区间
(a，b] 半开半 [a，b) 闭区间
{x|a＜x＜b} {x|a≤x≤b}
{x|a＜x≤b} {x|a≤x＜b}
其中a,b叫做区间的端点
典型例题
例1 用区间表示下列集合，并指出它们之间是什么区
间：
(1) {x |-3＜x ≤0}；

1.2.1-2函数定义域与函数的值域

例 5、求下列函数的值域: （1）y = | x + 1 | －| 1 －x |
解：由 y = | x + 1 | －| x －1 | 当 x ≤－ 1 时，y = －( x + 1 ) + ( x －1 ) = －2 当－1 ＜ x ≤ 1 时，y = ( x + 1 ) + ( x －1 ) = 2x 当 x ＞ 1 时，y = ( x + 1 ) － ( x －1 ) = 2
义的 2.符合生活实际.
复合函数
例如、 y f ( u) u , u R
2
u g ( x ) 2 x 1, x R 则y f [ g ( x )] ( 2 x 1) , x R.
2
思考：函数y=f[g(x)]是如何由y=f(x)得到？答：函数y=f[g(x)]是函数y=f(x)中的x用 g(x)替代得到的一个内外层复合函数。
2 y 2x 2
x 1 1 x 1 x 1
－1
y
2
由图知：－2 ≤ y ≤ 2 故函数的值域为o－21 Nhomakorabeax
[－ 2 ， 2 ]
• 例6:
x 1 求y 2 的值域 x x 1
课堂小结
小结：函数的值域求法：
1.直接求法 2.图像法——数形结合

6
5
4 3 2 1
注意画图截图！

由图知： 2 ≤ y ≤ 6 故函数的值域为 [ 2 ， 6 ]
1 2 3 4
－1
o
x
例 3.求函数 y x 1 x ( x 1)的值域.
解：
令 1 x t 则t 0, x 1 t .

区间的概念(教学设计)

区间的概念【教学目标】1. 理解区间的概念，掌握用区间表示不等式解集的方法，并能在数轴上表示出来．2. 通过教学，渗透数形结合的思想和由一般到特殊的辩证唯物主义观点．3. 培养学生合作交流的意识和乐于探究的良好思维品质，让学生从数学学习活动中获得成功的体验，树立自信心．【教学重点】用区间表示数集．【教学难点】对无穷区间的理解．【教学方法】本节课主要采用数形结合法与讲练结合法．通过不等式介绍闭区间的有关概念，并与学生一起在数轴上表示两种不同的区间，学生类比得出其它区间的记法．在此基础上引导学生用区间表示不等式的解集，为学习用区间法求不等式组的解集打下坚实的基础．【教学过程】新课则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示．全体实数也可用区间表示为(－∞，＋∞)，符号“＋∞”读作“正无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”．例 1 用区间记法表示下列不等式的解集：(1) 9≤x≤10； (2) x≤．解 (1) [9，10]； (2) (－∞，]．练习 1 用区间记法表示下列不等式的解集，并在数轴上表示这些区间：用表格呈现相应的区间，便于学生对比记忆．教师强调“∞”只是一种符号，不是具体的数，不能进行运算．学生在教师的指导下，得出结论，师生共同总结规律．学生抢答，巩固区间知识．后续学习做好了铺垫．学生理解无穷区间有些难度，教师要强调“∞”只是一种符号，并结合数轴多加练习。

三个例题之间，。

高一数学：1《区间的概念》课件公开课一等奖课件

青春风采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分数学145分英语141分文综255分
毕业学校：北京二中报考高校：北京大学光华管理学院北京市文科状元阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。考试结束后，她还问我怎么给边远地区的学校捐书”。
定义名称符号 [ a, b ]
( a, b ) a a a
数轴表示
a b
b
{x|a≤x≤b} 闭区间
{x|a<x<b} 开区间
b
{x|a≤x<b} 半开半闭 [ a, b ) 区间
{x|a<x≤b} 半开半闭 ( a, b ] 区间
b
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.
知识探究（二）
思考1：变量x相对于常数a有哪几种大小关系？用不等式怎样表示？
例3
求下列函数的值域：
(1) y x 2 4 x 6, (2) y 5 4x x2 , (3) y 2 (4) f ( x)
x [1, 5)
x2 4 x , x 1 . x 1
语文
小魔方站作品盗版必究
谢谢您下载使用！
更多精彩内容，微信扫描二维码获取
高考总分:711分毕业学校:北京八中语文139分数学140分英语141分理综291分报考高校：
北京大学光华管理学院

1.2.1-2区间、相等函数

检测交流
例1.试判断以下各组函数是否表示同一函数.
(1) y 1, y x (3) y
0 3
(2) y x, y t
3
x 2 x 2, y
2
x 4
2
(4) y x , y ( x )
答案:（2）是，其余均不是.
1 例2.求函数 y 3 x 2 x 1
1.已知全集U R，函数y 定义域为A，y (1)求集合A, B; ( 2)求(CU A) (CU B ). x 2 x 1的 2x 4 的定义域为B. x 3
A 2,B 2,3 3, (CU A) (CU B) ,2 3
a, b, 且a b 0， 2.已知f ( x)的定义域为
求函数F ( x) f ( x) f ( x)的定义域 .
1.当a 0时，x , 函数不存在
a,a 3.当a 0时，定义域为
0 2.当a 0时，定义域为
谢谢观赏 THANK YOU
3
x 1 x
的定义域 .
x 1 0 x 1或x 1 分析： x 1 x 1, x 1 x 0 x 0
小结：
①分母不为零 ②偶次根号下大于等于零 ③画数轴求交集
1,4, 求函例3.已知函数y f ( x 1)的定义域为
23的定义域求函数例xxxxy????????????????????????????????101110101xxxxxxxx或分析
2.2.1函数的概念
第二课时.区间、相同函数
学习目标
1.理解区间表示集合的几种不同形式. 2.会判断相同函数，求函数的定义域.

3.1函数的概念2区间的概念及表示课件【新教材】人教A版(2019)高一数学必修第一册

2
3.1 函数的概念
重点难点
重点：用区间表示数集．
难点：对无穷区间的理解．
3
3.1 函数的概念
温故知新
知识点一函数的定义设A、B都是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数。
范围相同,
∵x∈[1,3],∴2x+1∈[1,3],即x∈[0,1], ∴函数f(2x+1)的定义域为[0,1].
16
3.1 函数的概念
随堂练习
5.已知函数f(2x+1)的定义域为[1,3],求函数f(x)的定义域;
解：∵x∈[1,3] ∴2x+1∈[3,7] ∴函数f(x)的定义域为[3,7].
∴x2+2=3,解得x=±1.
解法二:∵f(g(x))=f(x2+2)
=11+x2+2=13+x2,
∴13+x2=14,∴x2=1,解得x=±1.
21
3.1 函数的概念
课堂小结
1.函数的定义 2.区间的概念 3.区间的表示
22
谢谢您的聆听
符号 [a,b] (a,b) [a,b) (a,b]
数轴表示
3.1 函数的概念
典型例题
例1
已知函数
f (x)
x3 1 x2
(1)求函数的定义域.（2）求
f (3), f ( 2) 3
的值.
解：（1） x 3 有意义的实数x的集合是{x|x≥-3}
1 有意义的实数x的集合是{x|x≠-2}

1.2.1-2区间的概念

k x ( k 0)
的定义域、值域分别是什么？怎样用区间表示?
理论迁移
例1 将下列集合用区间表示出来：
(1){x | 2 x 1 0}; (2){x | x 4, 或 1 x 2}
..
例2 已知 f ( x 1) x 2 x ,求函数 f ( x) 的解析式.
高一年级
第Hale Waihona Puke 章 1.2.1数学函数的概念
课题: 区间的概念
问题提出
1．什么叫函数？用什么符号表示函数？
2. 什么是函数的定义域？值域？ 3.函数 f ( x) 1 | x |的定义域、值域如何？分别怎样表示？ 4. 上述集合还有更简单的表示方法吗？
知识探究（一）
思考1：设a，b是两个实数，且a<b，介于这两个数之间的实数x用不等式表示有哪几种可能情况？
思考2：满足不等式 x a, x a, x a, x a 的实数x的集合也可以看成区间，那么这些集合如何用区间符号表示？
[a，+∞)，(a，+∞)， (-∞，a]，(-∞，a). 思考3：将实数集R看成一个大区间，怎样用区间表示实数集R？（-∞，+∞）
思考4：一次函数y＝kx＋b(k≠0)，二次函数 y＝ax２＋bx＋c(a≠0)，反比例函数 y
a x b, a x b, a x b, a x b
思考2：满足上述每个不等式的实数x的集合可看成一个区间，为了区分，它们分别叫什么名称？思考3：如果把满足不等式的实数x的集合用符号 [a，b）表示，那么满足其它三个不等式的实数x 的集合可分别用什么符号表示？
上述知识内容总结成下表：
定义名称符号 [ a, b ]

2.2.1区间的概念

区间（a,b） [a,b] （a,b]
集合
区间集合区间集合
{x|a<x<b}
[a,b） {x|a≤x<b} （a,+∞) {x|x>a}
{x|a≤x≤b}
(-∞,b) {x|x<b} [a,+∞) {x|x≥a}
{x|a<x≤b}
(-∞,b] {x|x≤b} (-∞,+ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ) R
如何表示列车的运行速度的范围？不等式：200<v <350；集合： {v |200<v <350} ；数轴：位于200与400之间的一段不包括端点的线段；
还有其他简便方法吗？
区间的概念:
由数轴上两点间的一切实数所组成的集合叫做区间. 其中，这两个点叫做区间端点. 不含端点的区间叫做开区间.如集合{x|2<x <4}表示的区间是开区间，用记号(2,4)表示.其中2叫做区间的左端点，4叫做区间的右端点. 含有两个端点的区间叫做闭区间.如集合{x|2≤x ≤4} 表示的区间是闭区间，用记号[2,4]表示. 只含左端点的区间叫做右半开区间，如集合 {x|2≤x < 4}表示的区间是右半开区间，用记号[2,4)表示；只含右端点的区间叫做左半开区间，如集合{x|2 < x ≤ 4}表示的区间是左半开区间，用记号( 2,4 ]表示. .
集合{x|x≥2}表示的区间为右半开区间，用记号[2, +∞)表示；集合{x|x≤2}表示的区间为左半开区间，用记号(-∞,2]表示；实数集R可以表示为开区间，用记号(-∞, +∞)表示．注意：“- ∞”，“+∞”都是符号，而不是一个确切的数．
总结
下面将各种区间表示的集合列表如下（表中a、b为任意实数，且 a<b).