浙江省鉴湖中学高三数学1月模拟试题理(含解析)新人教a版
2020年1月浙江省普通高中学业水平考试数学模拟试题AWord版含解析
2020年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟试题 A · 解析版选择题部分一、选择题(本大题共18小题,每小题3分,共54分,每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分)1.已知集合{|13}M x x =≤<,{1,2}N =,则M N =A .{1}B .{1,2}C .0D .[1,2]1.【答案】B【解析】由交集定义可得:{}1,2MN =,故选B .2.不等式(1)(2)0x x +-≤的解集为 A .{|12}x x -≤≤ B .{|12}x x -<< C .1{|2x x >-或1}x ≤- D .}{|21x x x ><-或2.【答案】A【解析】由二次函数()()12y x x =+-的图象可知,不等式(1)(2)0x x +-≤的解是12x ≤≤-,故选A . 3.若1sin 3α=,则cos2α= A .89 B .79C .79-D .89-3.【答案】B【解析】227cos 212sin 199αα=-=-=,故选B . 4.圆224210x y x y +--+=的圆心在 A .第一象限 B .第二象限C .第三象限D .第四象限4.【答案】A【解析】化简224210x y x y +--+=得到22(2)(1)4x y -+-=,圆心为(2,1),在第一象限,故选A .5.双曲线方程为x 2−2y 2=1,则它的左焦点的坐标为A .,0)B .0)C .0)D .0)5.【答案】C【解析】由2222211121x y x y ⇒-=-=,可得21a =,212b =,由22213+1=22c a b =+=,得c =,所以左焦点坐标为0).故选C . 6.已知向量,a b 满足||1=a ,||2=b,||+=a b ⋅=a b A .12B .1 CD .26.【答案】A【解析】由||+=a b 2()6+=a b ,即2226+⋅+=a a b b ,又||1=a ,||2=b ,则12⋅=a b .所以本题答案为A .7.若变量x ,y 满足约束条件11y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩………,则z =2x +y 的最大值是A .2B .3C .4D .57.【答案】B【解析】如图,先根据约束条件画出可行域,当直线z =2x +y 过点A (2,﹣1)时,z 最大,最大值是3,故选B .8.若平面α和直线a ,b 满足a A α=,b α⊂,则a 与b 的位置关系一定是 A .相交 B .平行C .异面D .相交或异面8.【答案】D【解析】当A b ∈时,a 与b 相交;当A b ∉时,a 与b 异面.故答案为D. 9.过点(0,2)且与直线0x y -=垂直的直线方程为A .20x y +-=B .20x y --=C .20x y ++=D .20x y -+=9.【答案】A【解析】由0x y -=可得直线斜率11k =,根据两直线垂直的关系得121k k ⋅=-,求得21k =-,再利用点斜式,可求得直线方程为1(0)2y x =--+,化简得20x y +-=,故选A. 10.函数32()log (||1)f x x =-的大致图象是A .B .C .D .10.【答案】B【解析】由函数32()log (||1)f x x =-,可知函数()f x 是偶函数,排除C ,D ;定义域满足:10x ->,可得1x <-或1x >.当1x >时,32()log (||1)f x x =-是递增函数,排除A.故选B .11.设a b ,都是不等于1的正数,则“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件11.【答案】B【解析】若333a b >>,则1a b >>,从而有log 3log 3a b <,故为充分条件.若log 3log 3a b <不一定有1a b >>,比如133a b ==,,从而333a b >>不成立.故选B . 12.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A .12πB .64π3C .32π3D .16π12.【答案】C【解析】该几何体为半个圆柱与半个圆锥形成的组合体,故22141148π32ππ()4π()48π2223233V =⋅⨯+⨯⋅⨯=+=,故选C . 13.等差数列{}n a 中,已知611||||a a =,且公差0d >,则其前n 项和取最小值时的n 的值为A .6B .7C .8D .913.【答案】C【解析】因为等差数列{}n a 中,611||||a a =,所以6116111150,0,,2a a a a a d <>=-=-,有2[(8)64]2n dS n =--,所以当8n =时前n 项和取最小值.故选C . 14.将函数π()cos(2)6f x x =-的图象向左平移π3个单位,得到函数()y g x =的图象,那么下列说法正确的是A .函数()g x 的最小正周期为2πB .函数()g x 是奇函数C .函数()g x 的图象关于点π(,0)12对称 D .函数()g x 的图象关于直线π3x =对称 14.【答案】B【解析】将函数π()cos(2)6f x x =-的图象向左平移π3个单位,得到函数()y g x = 2ππcos(2)sin 236x x =+-=-的图象,故()g x 为奇函数,且最小正周期为2ππ2=,故A 错误,B 正确;令2πx k =,k ∈Z ,得π2k x =,k ∈Z ,则函数()g x 的图象关于点π(,0)2k ,k ∈Z 对称,故C 错误; 令π2π2x k =+,k ∈Z ,得ππ24k x =+,k ∈Z ,则函数()g x 的图象关于直线ππ24k x =+,k ∈Z 对称,故D 错误. 故选B .15.在三棱锥P ABC -中,,3,2PB BC PA AC PC ====,若过AB 的平面α将三棱锥P ABC -分为体积相等的两部分,则棱PA 与平面α所成角的余弦值为A .13B C .23D【解析】如图所示,取PC 中点为D ,连接,AD BD ,因为过AB 的平面α将三棱锥P ABC -分为体积相等的两部分,所以α即为平面ABD.又因为PA AC =,所以PC AD ⊥,又PB BC =,所以PC BD ⊥,且AD BD D =,所以PC ⊥平面ABD ,所以PA 与平面α所成角即为PAD ∠,因为2PC =,所以1PD =,所以1sin 3PD PAD PA ∠==,所以cos 3PAD ∠==,故选D . 16.已知直线10x +=与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>交于,A B 两点,且线段AB 的中点为M ,若直线OM (O 为坐标原点)的倾斜角为150︒,则椭圆C 的离心率为 A .13B .23CD16.【答案】D【解析】设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ,∵点,A B 在椭圆22221x y a b +=上,∴2222112222221,1x y x y a b a b+=+=,两式相减整理得2121221212y y y y b x x x x a +-⋅=-+-,∴20122012y y y b x x x a -⋅=--,即22OM AB b k k a⋅=-,∴221tan1503b a==-=-,∴2213b a =,∴椭圆C的离心率为3e ===.故选D . 17.已知数列{}n a 满足11202122,1,1n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩,若167a =,则2020a =A .17B .37C .57D .67【解析】数列{}n a 满足11202122,1,1n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩,167a =,21324653362121,21,2,77777a a a a a ∴=-=⨯-==-==⨯=3n n a a +∴=,202067331167a a a ⨯+∴===.故选D . 18.如图,在Rt ABC △中,6AB BC ==,动点D ,E ,F 分别在边BC ,AC ,AB 上,四边形BDEF 为矩形,剪去矩形BDEF 后,将剩余部分绕AF 所在直线旋转一周,得到一个几何体,则当该几何体的表面积最大时,BD =A .2B .3C .4D.18.【答案】B【解析】设BD x =,BF y =,其中,(0,6)x y ∈,由题易得666x y -=, 所以6x y +=,则所求几何体的表面积为:212π6π62π2S xy =⨯⨯⨯⨯+236π2π36π2π()54π2x y xy +=++≤++⨯=+,当且仅当3x y ==,即3BD =时等号成立.故选B.非选择题部分二、填空题(本大题共4小题,每空3分,共15分)19.已知直线1:10l x y -+=与2:30l x ay ++=平行,则a =________,1l 与2l 之间的距离为________. 19.【答案】−1【解析】由两直线平行,得1a =-,在直线1:10l x y -+=上任取一点(0,1),到直线2:30l x y -+=的距离为d=.故答案为−1.20.函数0()(2)f x x =-的定义域为________.20.【答案】[)()0,22,+∞【解析】因为21020x x ⎧-≥⎨-≠⎩,所以02x x ≥⎧⎨≠⎩,则定义域为[)()0,22,+∞,故答案为[)()0,22,+∞.21.我国南宋著名数学家秦九韶在《数学九章》的“田域类”中写道:问沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,…,欲知为田几何.意思是已知三角形沙田的三边长分别为13,14,15里,求三角形沙田的面积.请问此田面积为________平方里. 21.【答案】84【解析】由题意画出图象:且AB =13里,BC =14里,AC =15里,在△ABC 中,由余弦定理得,cos B =2222AB BC AC AB BC +-⋅=22213141521314+-⨯⨯=513, 所以sin B=1213, 则该沙田的面积即△ABC 的面积S =12AB •BC •sin B =1121314213⨯⨯⨯=84.故答案为84. 22.已知函数22()23,()1f x x x ag x x =-+=-.若对任意1[03]x ∈,,总存在2[23]x ∈,,使得12|()|()f x g x ≤成立,则实数a 的值为________.22.【答案】13-【解析】不等式12|()|()f x g x ≤可化为:()()()212g x f x g x -≤≤,若对任意1[03]x ∈,,总存在2[23]x ∈,,使得12|()|()f x g x ≤成立,则min minmax max [()]()()()g x f x f x g x -≤⎧⎨≤⎩,当[]23x ∈,时,()21g x x =-的最大值为()22221g ==-; 当[]03x ∈,时,()223f x x x a =-+的最大值为()23323333f a a =-⨯+=+,最小值为()21121313f a a =-⨯+=-+,所以min min max max[()]()()()g x f x f x g x -≤⎧⎨≤⎩可化为231332a a -≤-⎧⎨+≤⎩,解得1133a -≤≤-.故13a =-.三、解答题(本大题共3小题,共31分) 23.(本小题满分10分)在ABC △中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,若π3B =,且3(7())a b c a b c bc -++-=, (Ⅰ)求cos A 的值; (Ⅱ)若5a =,求b . 23.(本小题满分10分)【解析】(Ⅰ)由3(7( ))a b c a b c bc -++-=,可得22222()327a b c a b c bc bc ----+==,即222117a b c bc =+-,即222117b c a bc +-=,(3分) 由余弦定理可得22211cos 214b c a A bc +-==.(5分)(Ⅱ)由(Ⅰ)及三角函数的基本关系式,可得sin A ==7分) 在ABC △中,由正弦定理可得sin sin b a B A =,所以5sin 275sin a B b A ===.(10分) 24.(本小题满分10分)已知抛物线2:2(0)E y px p =>,过其焦点F 的直线与抛物线相交于11(,)A x y ,22(,)B x y 两点,满足124y y =-.(Ⅰ)求抛物线E 的方程;(Ⅱ)已知点C 的坐标为(2,0)-,记直线CA 、CB 的斜率分别为1k ,2k ,求221211k k +的最小值. 24.(本小题满分10分)【解析】(Ⅰ)因为直线AB 过焦点(,0)2pF ,设直线AB 的方程为2p x my =+, 将直线AB 的方程与抛物线E 的方程联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩,消去x 得2220y mpy p --=, 所以有2124y y p =-=-,0p >,2p ∴=,因此,抛物线E 的方程为24y x =.(4分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知抛物线的焦点坐标为()1,0F ,则直线AB 的方程为1x my =+, 联立抛物线的方程得2440y my --=,所以124y y m +=,124y y =-, 则有1113m k y =+,2213m k y =+,(6分) 因此22222221212121211331111()()=26()9()m m m m k k y y y y y y +=+++++++ ()212122122212122269y y y y y y m m y y y y +-+=+⋅+⋅ ()222484926954162m mm m m +=+⋅+⋅=+-.(9分) 因此,当且仅当0m =时,221211k k +有最小值92.(10分) 25.(本小题满分11分)已知定义域为R 的函数2()21g x x x m -++=在[1,2]上有最大值1,设()()g x f x x=. (Ⅰ)求m 的值;(Ⅱ)若不等式33log 2log 0()x k f x -≥在[3,9]x ∈上恒成立,求实数k 的取值范围;(Ⅲ)若函数()|e 1|(|e 1|e 32)|1|x x x x f k k h -⋅--=-⋅+有三个不同的零点,求实数k 的取值范围(e 为自然对数的底数). 25.(本小题满分11分)【解析】(Ⅰ)因为()()21g x x m =-+在[1,2]上是增函数, 所以()()()2max 2211g x g m ==-+=,解得0m =.(2分) (Ⅱ)由(Ⅰ)可得()12f x x x=+-, 所以不等式()33log 2log 0f x k x -≥在[3,9]x ∈上恒成立等价于()2331221log log k xx ≤-+在[3,9]x ∈上恒成立.(3分) 令31log t x =,因为[]3,9x ∈,所以1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 则有2221k t t ≤-+在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.(4分)令()221s t t t =-+,1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则()()min 10s t s ==,所以20k ≤,即0k ≤,所以实数k 的取值范围为(],0-∞.(6分) (Ⅲ)因为()()2e 1e 13221x x h x k k -+-+-⋅+=,令e 1xq =-,由题意可知[0,)q ∈+∞,令()()23221H q q k q k =-+++,[0,)q ∈+∞,(7分)则函数()()2e 1e 13221x x h x k k -+-+-⋅+=有三个不同的零点等价于()()23221H q q k q k =-+++在[0,)q ∈+∞上有两个不同的零点,(8分)当0q =时12k =-,此时方程()100,2H q q q =⇒==,此时关于x 的方程有三个零点,符合题意; 当0q ≠时,记方程()0H q =的两根为1q ,2q ,且12q q <,101q <<,21q ≥,所以()()00100H H >⎧⎪≤⎨⎪∆>⎩,解得0k >.综上,实数k 的取值范围是(0,)+∞1{}2-.(11分)。
浙江省普通高中2021年高中数学1月学业水平考试仿真模拟试题(一)(含解析)
浙江省普通高中2021年高中数学1月学业水平考试仿真模拟试题(一)(含解析)一、选择题(本大题共18小题,每小题3分,共54分,每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分) 1.函数()f x )A .[1,)+∞B .(1,)+∞C .(,1]-∞D .(,1)-∞ 解析:选C 由10x -≥可得1x ≤,所以函数的定义域为(,1]-∞.故选C . 2.若数列{}n a 是等比数列,且233,6a a ==-,则4a =( )A .12B .12-C .2D .2- 解析:选 A 因为数列{}n a 是等比数列,且233,6a a ==-,所以可知322a q a ==-,所以4312a a q ==.3.直线220x y -+=的斜率为( )A .12B .12- C .2 D .2-解析:选C 2Ak B =-=. 4.已知角θ满足1sin 2θ=,则cos 2θ=( )A .12-B .12C .34D .34-解析:选B 因为1sin 2θ=,所以2211cos 212sin 1222θθ⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭.5.若平面向量(1,0),(3,2)a b =-=,则()a a b ⋅-=( )A .2B .3-C .4-D .4 解析:选D 因为(1,0),(3,2)a b =-=,所以2()134a a b a a b ⋅-=-⋅=+=.6.如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正视图 侧视图正方形,俯视图是一个圆,则这个几何体的体积为( )A .πB .2πC .3πD .4π解析:选B 由三视图可知该几何体是一个底面半径的1,高为2的圆柱,所以该圆柱的体积为2V π=.7.若正数,a b 满足1ab =,则14ab+的最小值为( )A .1B .2C .3D .4 解析:选 D 因为1ab =,所以14142244a b a b+≥⋅==.当且仅当14a b =,1,22a b ==时取等号.8.下列函数中是奇函数且在(0,)+∞上单调递增的是( )A .2y x =B .3y x =-C .1y x=- D .2log y x = 解析:选C 由题可得,函数2y x =是偶函数,且在(0,)+∞上单调递增,所以排除A ;函数3y x =-是奇函数,且在(0,)+∞上单调递减,所以排除B ;函数1y x=-是奇函数,且在(0,)+∞上单调递增,所以C 满足条件;函数2log y x =是非奇非偶函数,且在(0,)+∞上单调递增,所以排除D .故选C .9.实数,x y 满足约束条件1,3415,x x y y a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若该约束条件满足的可行域的面积为15,则实数a的值为( )A .3-B .1-C .1D .3 解析:选 A 由题可得,该约束条件表示的平面区域是如图所示的三角形区域,该三角形的三个顶点分别为(1,3),(1,),(5,)3aa a -,因为该区域的面积为15,所以1341523aS a =⨯-⨯-=,由3a <,解得3a =-.故选A .10.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若3,30b c B ===,则a =( ) A .6 B .3 C .6或3 D .6或4解析:选 C 因为3,30b c B ===,由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可知,29180a a -+=,解得6a =或3a =.故选C .11.双曲线2213y x -=的两条渐近线的夹角为( )A .30B .60C .90D .120解析:选B 由题可得,双曲线的渐近线方程为y =,其与x 轴的夹角为60,所以由夹角的定义可知,这两条渐近线的夹角为60.故选B . 12.已知函数()3sin(2)6f x x π=+,则下列说法正确的是( )A .图象关于点(,0)6π对称 B .图象关于点(,0)3π对称C .图象关于直线6x π=对称 D .图象关于直线3x π=对称解析:选C 由题可得,设26x k ππ+=,解得212k x ππ=-,所以可知函数的对称中心为(,0)212k ππ-()k Z ∈.设262x k πππ+=+,解得26k x ππ=+,所以可知函数的对称中心为()26k x k Z ππ=+∈,通过对比选项可知,图象关于直线6x π=对称成立.故选C .13.已知:23p x ->,:5q x >,则q 是p 的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A 由23x ->可得1x <-或5x >,所以q 是p 的充分不必要条件.故选A . 14.已知直线//l 平面α,动直线m 与直线l 所成角的大小为3π,则平面α截动直线l 运动所成的轨迹得到的图形是( )A .圆B .椭圆C .双曲线D .抛物线解析:选C 由题可得,动直线按条件运动所得轨迹被平面α截得的图形是双曲线.故选C .15.已知点(1,2,5),(3,4,1)A B --,若点C 在x 轴上,且满足AC BC =,则点C 的横坐标为( ) A .2- B .2 C . 12D . 12-解析:选D 设(,0,0)C a ,因为AC BC =,所以22222(1)25(3)(4)1a a +++=-+-+,化简得12a =-.故选D .16.曲线214y x =+-与直线(2)4y k x =-+有两个交点,则实数k 的取值范围是( ) A .53(,]124 B . 53(,)124 C .13(,)34 D .5(0,)12 解析:选 A 由题可得,曲线214y x =+-对应的图象是如图的半圆,要使曲线214y x =+-与直线(2)4y k x =-+有两个交点,则直线(2)4y k x =-+过点(2,1)-,代入可得34k =,且处于切线的临界点,此时512k =,所以实数k 的取值范围是53(,]124.故选A .17.若向量,a b 满足22a a b =+=,则a 在b 方向上投影的最大值是( ) A .1 B .1- C .3 D .3-解析:选 D 设(2,0),(,)a b x y ==.由22a b +=可得22(4)4x y ++=.所以a 在b 方向上的投影为222cos 23a b xx a x x y b θ⋅===--+.令23t x =--,则232t x +=-,所以原式为2332t t+-≤-.故选D .18.如图,在棱长为1的正四面体D ABC -中,O 为ABC ∆的中心,过点O 作做直线分别与线段,AB AC 交于,M N (可以是线段的端点),连接DM ,点P 为DM 的中点,则以下说法正确的是()A .存在某一位置,使得NP DAC ⊥面B .DMN S ∆的最大值为34C .22tan tan DMN DNM ∠+∠的最小值为12D .D MNC D MNBA V V --的取值范围是4,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析:选D 本题考查空间几何体的综合问题.由题可得,选项A 中,当线段MN 变化时,MN DN ≠,所以排除;1663226624DMN S MN DO MN ∆=⋅=≤⨯=,所以排除B ;对于选项D ,因为34ABC S ∆=,3398MNC S ∆≤≤,又因为MNBA ABC MNC S S S ∆∆=-,所以4[,1]5D MNC MNC MNC D MNBA MNBA ABC MNC V S S V S S S -∆∆-∆∆==∈-.故选D .二、填空题(本大题共4小题,每空3分,共15分)19.设全集为R ,若集合(0,2]P =,[1,1]Q =-,则P Q = ,()R P Q = . 解析:[1,2]-;[1,0]- 因为(0,2]P =,[1,1]Q =-,[1,2]P Q =-,又因为(,0](2,)RP =-∞+∞,所以()[1,0]R P Q =-.20.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若972S =,则5a = . 解析:8 因为数列是等差数列,所以95972S a ==,解得58a =.21.已知直线l 过圆22(1)(2)4x y -+-=的圆心,当原点到直线l 距离最大时,该直线l 的方程为 .解析:250x y +-= 设圆心为(1,2)A ,要使原点到直线l 距离最大时,则OA l ⊥,所以112l OA k k =-=-.所以直线l 的方程为12(1)2y x -=--,即250x y +-=.22.若至少存在一个0x >,使得关于x 的不等式22x x a <--成立,则实数a 的取值范围是 .解析:92,4⎛⎫- ⎪⎝⎭要使不等式成立,即22x a x -<-成立,令2(),()2f x x a g x x =-=-,函数()f x x a =-与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)a .当函数()f x x a =-的左支与y 轴交于点(0,)a ,此时有0a <,若2a ≥,解得2a ≥或2a ≤-,则当2a ≤-时,在y 轴右侧,函数()f x x a =-的图象在函数2()2g x x =-的上方,不合题意;在y 轴右侧,当函数()f x x a =-的左支与曲线2()2g x x =-相切时,函数()f x x a =-左支图象对应的解析式为y a x =-,将y a x =-代入22y x =-,得22a x x -=-,即2(2)0x x a -+-=,由判别式为零可得940a -=,解得94a =,则当94a ≥时,如图(一)所示,在y 轴右侧,函数()f x x a =-的图象在函数2()2g x x =-的上方或相切,则不等式22x a x -≥-在(0,)+∞上恒成立,不合于题意;当924a -<<时,如图(二)所示,在y 轴右侧,函数()f x x a =-的图象的左支或右支与函数()22g x x =-相交,在y 轴右侧,函数()f x 的图象中必有一部分图象在函数()22g x x =-的下方,即存在0x >,使得不等式22x a x -<-成立,故实数a 的取值范围是92,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.图一 图二 三、解答题(本大题共3小题,共31分)23.(本小题满分10分)在等差数列{}n a 中,13a =,其前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的各项均为正数,11b =,公比为q ,且2212b S +=,22S q b =. (Ⅰ)求n a 与n b ;(Ⅱ)证明:1211123n S S S +++<. 解:(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ,因为222212,b S S q b +=⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以612,6q d d q q ++=⎧⎪+⎨=⎪⎩] 解得3q =或4q =-(舍去),3d =. 所以33(1)3n a n n =+-=,13n n b -=. (II )因为3n a n =,所以(33)2n n n S +=, 所以12211()3(1)31n S n n n n ==-++, 所以12111nS S S +++ 21111111(1)3223341n n =-+-+-++-+ 212(1)313n =-<+. 24.(本小题满分10分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>短轴的一个端点与椭圆C 的两个焦点构成面积为3的直角三角形. (I )求椭圆C 的方程;(II )过圆22:2E x y +=上任意一点P 作圆E 的切线l ,若l 与椭圆C 相交于,A B 两点.求证:以AB 为直径的圆恒过坐标原点O . 解:(I )设椭圆C 的焦距为2c ,由题意得2222,13,2b c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2226,3a b c ===.所以椭圆C 的方程为22163x y +=.(II )圆E 的方程为222x y +=,设O 为坐标原点,当直线l 的斜率不存在时,不妨设直线AB方程为x =则A B ,所以2AOB π∠=.此时,以AB 为直径的圆过坐标原点.当直线l 的斜率存在时,设其方程设为y kx m =+,设1122(,),(,)A x y B x y . 因为直线l 与圆E相切,所以d ==2222m k =+.联立方程组22,26y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消元化简得222(12)4260k x kmx m +++-= 22222164(12)(26)8(41)0k m k m k ∆=-+-=+>,由韦达定理得2121222426,1212km m x x x x k k -+=-=++,所以2222121212122(1)(26)(1)()12k m OA OB x x y y k x x km x x m k+-⋅=+=++++=+ 2222222436601212k m m k m k k---+==++. 所以OA OB ⊥,此时,以AB 为直径的圆恒过坐标原点O . 综上可知,以AB 为直径的圆恒过坐标原点O . 25.(本小题满分11分) 已知函数2()()f x x ax a R =+∈.(I )若()f x 在[0,1]上单调递增,求实数a 的取值范围; (II )记()M a 为()f x 在[0,1]上的最大值,求()M a 的最小值. 解:(I )因为[0,1]x ∈.当0a ≥时,2()f x x ax =+在区间[0,1]上单调递增;当0a <时,222(),0,(),x ax x a f x x ax x ax x a ⎧-+≤<-=+=⎨+>-⎩所以要使()f x 在[0,1]上单调递增,则需12a-≥,即2a ≤-.所以满足条件的实数a 的取值范围是(,2][0,)-∞-+∞.(II )由(I )知,当2a ≤-或0a ≥时,()f x 在[0,1]上单调递增, 则()(1)1M a f a ==+.当20a -<<时,2()max (),(1)max ,124a a M a f f a ⎧⎫⎧⎫=-=+⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭.在20a -<<时解不等式214a a >+,解得22(1a -<<,所以此时2,22(14()1,2(10a a M a a a ⎧-<<-⎪=⎨⎪+-<<⎩综上可知,2,22(14()1,22(1a a M a a a a ⎧-<<⎪=⎨⎪+≤-≥-⎩或所以当22(1a a ≤-≥或时,()213M a ≥-=-当22(1a -<<时,21()(234M a ≥-=- 所以()M a的最小值为3-.。
浙江省普通高中2021年高中数学1月学业水平考试仿真模拟试题三含解析
浙江省普通高中2021年高中数学1月学业水平考试仿真模拟试题(三)(含解析)一、选择题(本大题共18小题,每小题3分,共54分.每小题列出的四个备选项中只有一个符合题目要求,不选、多选、错选均不给分.) 1.函数22101y x x -+的值域为 A .(0,)+∞B .(1,)+∞C .[0,)+∞D .[4,)+∞解析:选D 因为222101(1)914y x x x -+=-+≥,所以函数22101y x x -+的值域为[4,)+∞,故选D .2.1和4的等比中项为( )A.2B.2-C.2±D.4±解析:选C 由题可得,设等比中项为a ,则24a =,解得2a =±.故选C.3.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若222a b c bc =++,则角A 的大小为( )A.60B.120C.45D.135解析:选B 由余弦定理可知222222cos a b c bc A b c bc =+-=++,所以1cos 2A =-,因为0180A <<,所以120A =.故选B.4.若某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( ) A.23π B.2π C.223πD.π解析:选 A 由题可得,该几何体是半个圆锥.所以其体积为1122232V ππ=⨯⨯=.故选A. 5.要得到函数sin y x =的图象,只需将函数sin()3y x π=+的图象( )A.向左平移3π个单位长度 B.向右平移3π个单位长度 C.向左平移6π个单位长度 D.向右平移6π个单位长度解析:选 B 将函数sin()3y x π=+的图象向右平移3π个单位长度即可得到函数sin y x =的图象.故选B.6.已知经过(2,1),(1,)A B m 两点的直线的倾斜角为锐角,则实数m 的取值范围是( ) A.1m < B.1m >- C.11m -<< D.1m >或1m <- 解析:选A 因为经过(2,1),(1,)A B m 两点的直线的倾斜角为锐角,所以1012AB m k -=>-,解得1m <.故选A.7.设平面向量(2,),(3,1)a x b ==-,若//a b ,则实数x 的值为( ) A.32 B.23 C.32- D.23-解析:选D 因为//a b ,所以230x +=,解得23x =-.故选D.8.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知6636,324,144(6)n n S S S n -===>,则n 为( )A.16B.17C.18D.19 解析:选C因为6324,144(6)n n S S n -==>,所以612345n n n n n n n n S S a a a a a a -------=+++++180=,所以6616()36180216n n n S S S a a -+-=+=+=,所以136n a a +=.所以1()3632422n n n a a nS +===,解得18n =.故选C. 9.已知抛物线2:C y x =的焦点为00,(,)F A x y 是C 上一点,032AF x =,则0x =( ) A.14 B.12C.1D.2 解析:选 B 由题可得,抛物线的准线方程为14x =-.因为032AF x =,由抛物线的定义可知,001342x AF x +==,解得012x =.故选B.10.点(3,1,5),(4,3,1)A B -的中点坐标为( )A.1(,2,3)2 B.7(,1,2)2- C.(12,3,5)-D.14(,,2)33解析:选B 设中点为P ,则其坐标满足341351(,,)222-+++,即为1(,2,3)2.故选B.11.若x、y满足约束条件36022x yx yy+-≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则22x y+的最小值为A.5B.4C.2D.2解析:选C 由不等式组做出可行域如图,目标函数22x y+可视为可行域内的点与原点距离的平方,故其最小值为原点到直线2x y+=的距离的平方,由点到直线的距离公式可知,原点到直线2x y+=的距离为22d==,所以所求最小值为2.故选 B.12.设,a b R∈,则“4a b+>”是“2a>且2b>”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选B 当2a>且2b>时,4a b+>成立,所以是必要条件,当4,1a b==时,4a b+>,但2a>,2b<,所以是不充分条件.所以是必要不充分条件.故选B.13.在正方体1111ABCD A BC D-中,下列几种说法正确的是()A.11AC AD⊥ B.11DC AB⊥ C.1AC与DC成45角 D.11AC与1B C成60角解析:选D 由题可得,设1AB=,以D为坐标原点,1,,DA DC DD 分别为,,x y z轴,建立空间直角坐标系D xyz-.则111(0,0,0),(0,0,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)D D A A B B,1(0,1,0),(0,1,1)C C.所以11(1,1,0),(1,0,0)AC AD=-=-,因为1110AC AD⋅=≠,所以选项A错误;11(0,1,0),(0,1,0)AB DC==,因为1110AB DC⋅=≠,所以选项B错误;因为1(1,1,1),(0,1,0)AC DC=-=,所以6cos632θ==⨯,所以1AC与DC不成45角,故选项C 错误.所以正确的选项是D.14.设,0a b >,则4(1)(1)b aa b++的最小值为( ) A.5 B.7 C.9 D.13解析:选C 444(1)(1)14529b a b a b a a b a b a b++=+++≥+⋅=.故选C. 15.设,l m 是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( ) A.若,l m m α⊥⊂,则l α⊥ B.若,//l l m α⊥,则m α⊥ C.若//,l m αα⊂,则//l m D.若//,//l m αα,则//l m解析:选B 由直线与平面垂直的判定定理可知,选项A 错误;直线与平面平行,则直线与平面内的直线没有交点,则是平行或异面,故选项C 错误;平行于同一个平面的两条直线不一定平行,故选项D 错误.故选B. 16.下列四个命题中正确的是( )A.若,a b R ∈,则a b a b -<+B.若,a b R ∈,则a b a b -<+C.若实数,a b 满足a b a b -=+,则0ab ≤D.若实数,a b 满足a b a b -<+,则0ab <解析:选C 当2,0a b ==时,a b a b -=+,a b a b -=+,所以A,B 均不成立;当0,2a b ==时,a b a b -<+,但0ab =,所以D 不成立,故选C.17.已知F 是双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的左焦点,E 是该双曲线的右顶点,过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点,若ABE ∆是锐角三角形,则该双曲线的离心率e 的取值范围为( )A.(1,)+∞B.(1,2)C.(1,12)+D.(2,12)+解析:选B 如图,因为2b AF BF a==,EF a c =+,要使ABE ∆是锐角三角形,则只需AEB ∠为锐角,故45AEF ∠<,所以AF EF <,即22c a a c a -<+,化简得220e e --<,解得12e -<<.因为1e >,所以12e <<.故选B.18.如图所示,平行四边形ABCD 中,4,2AB AD ==,60DAB ∠=.,E F 在边CD ,CB 上,且满足CD CE CD=,CB CF CB=.若将CEF ∆沿EF 折起,使得平面CEF 与平面ABFED 垂直.则直线AC 与直线BE 所成角的余弦值为( )A.35 B.25 C.110 D.310解析:选 D 如图所示,设CO EF ⊥,则CO ⊥平面ABFED .因为CA CO OE ED DA =+++,所以53CA CO OE ED DA =+++=,3BE =.设直线AC与直线BE 所成角为θ,则5315cos 3cos cos 22CA BE CA BE θθθ⋅=⋅=⨯=|()CO OE ED DA =+++(BC ⋅)|CE +OE BC OE CE ED BC ED CE DA BC DA CE =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅11|3324=+-+941|4-+=,所以3cos 10θ=.即直线AC 与直线BE 所成角的余弦值为310.故选D.二、填空题(本大题共5小空,每空3分,合计15分)19.已知集合{}{}21,2,,3A B a a ==+,若{}1AB =,则实数a = ,A B = .解析:{}1;1,2,4 因为{}1AB =,且233a +≥,所以1a =,所以{}1,4B =,所以{}1,2,4A B =.20.在ABC ∆中,AB AC ⊥,2,4AB AC ==,则AB BC ⋅= . 解析:4- 因为AB AC ⊥,所以AB BC ⋅=24AB -=-.21.若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=恒有公共点,则实数a 的取值范围是 .解析:[3,1]- 将直线与圆方程联立,消去y ,化简得222(22)10x a x a +-+-=,由方程有解可知,22(22)8(1)0a a ∆=---≥,即2230a a +-≤,解得31a -≤≤.故选C.22.已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()3xf xg x +=.若对[1,2]x ∈,恒有()(2)0af x g x +≥,则实数a 的取值范围是 .解析:41[,)12-+∞ 因为()f x 是奇函数,所以()()f x f x -=-,()g x 是偶函数,所以()()g x g x -=.因为()()3x f x g x +=,所以可知()33x x f x -=-,()33x x g x -=+.所以()(2)af x g x +22(33)(33)0x x x xa --=-++≥对[1,2]x ∈恒成立,即22233(33)23333x x x x x x x xa ----+-+≥-=--- 23333x x x x--=-+-对[1,2]x ∈恒成立,令88033[,]39x xt -=-∈,所以2()a t t≥-+对880[,]39t ∈恒成立,所以4112a ≥-.所以实数a 的取值范围是41[,)12-+∞.三、(本大题共3小题,共31分.)23.在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若222b ac ac =+-.(1)求角B 的大小;(2)求sin sin A C +的取值范围.解:(1)由余弦定理可得,222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-,所以有1cos 2B =. 因为0B π<<. 所以3B π=.(2)因为3B π=,所以23A C π+=,即23C A π=-,且203A π<<.所以23sin sin sin sin()sin )3226A C A A A A A ππ+=+-=+=+. 因为203A π<<,所以5666A πππ<+<.所以当62A ππ+=,3A C π==max )6A π+=当566A ππ+=或66A ππ+=,即23A π=或0A =min )6A π+=.所以sin sin (2A C +∈.24.已知椭圆2222:1(0)x y C m n m n +=<<的离心率为2,且经过点2P .(1)求椭圆C 的方程;(2)设直线:(0)l y kx t k =+≠交椭圆C 于,A B 两点,D 为AB 的中点,OD k 为直线OD 的斜率,求证:OD k k ⋅为定值.解:(1)根据题意有222223,43114n m n m n ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得221,4m n ==,所以椭圆C 的方程为2214y x +=. (2)联立方程组22,44y kx t x y =+⎧⎨+=⎩消去y ,化简得:222(4)240k x ktx t +++-=. 设1122(,),(,)A x y B x y ,AB 中点坐标为00(,)D x y . 则有120224x x kt x k +==-+,00244ty kx t k =+=+. 所以004OD y k x k==-, 所以44OD k k k k⋅=-⋅=-为定值. 25.已知函数2()()1x af x a R x +=∈+. (1)当1a =时,解不等式()1f x >;(2)对任意的(0,1)b ∈,当(1,2)x ∈时,()bf x x>恒成立,求实数a 的取值范围. 解:(1)因为1a =,所以21()1x f x x +=+. 所以21()11x f x x +=>+,即为211x x +<+. 即210,11x x x +≥⎧⎨+<+⎩或210,1(1)x x x +<⎧⎨+<-+⎩ 解得01x <<.所以不等式的解集为(0,1).(2)2()1x a b f x x x+=>+恒成立等价于1()x a b x x +>+恒成立, 即1()x a b x x+>+或1()x a b x x+<-+恒成立.所以有(1)b a b x x >-+或(1)ba b x x <-+-恒成立. 所以21a b ≥-或5(2)2a b ≤-+对任意(0,1)b ∈恒成立,解得1a ≥或92a ≤-.所以实数a 的取值范围是9(,][1,)2-∞-+∞.。
普通高中学业水平模拟考试数学仿真模拟试题-A(解析版)
2021年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟试题A ⦁解析版考生须知:1.本试题卷分选择题和非选择题两局部,共4页,总分值100分,考试时间80分钟。
2.考生答题前,务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
3.选择题的答案须用2B 铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如要改动,须将原填涂处用橡皮擦净。
4.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内,作图时可先使用2B 铅笔,确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑,答案写在本试题卷上无效。
选择题局部一、选择题〔本大题共18小题,每题3分,共54分,每题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多项选择、错选均不得分〕1.集合{1,2}P =,{2,3}Q =,全集{1,2,3}U =,那么()UP Q 等于A .{3}B .{2,3}C .{2}D .{1,3}2.圆2246110x y x y +-++=的圆心和半径分别是A .(2,3)-B .(2,3)-;2C .(2,3)-;1D .(2,3)-3.向量(0,1),(k ==-=a b c ,假设(2)-⊥a b c ,那么k =A .B .2C .3-D .14.假设π1cos()123θ-=,那么5πsin()12θ+=A .13 B .3C .13-D .3-5,那么()f x 的定义域是 A .[1,2)- B .[1,)-+∞ C .(2,)+∞ D .[1,2)(2,)-+∞6.假设双曲线221x y a-=的一条渐近线方程为3y x =,那么正实数a 的值为 A .9B .3C .13D .197.假设直线l 过点(1,2)-且与直线2340x y -+=垂直,那么l 的方程为A .3210x y +-=B .2310x y +-=C .3210x y ++=D .2310x y --=8.(1,1,0)AB =-,(0,1,2)C -,假设2CD AB =,那么点D 的坐标为 A .(2,3,2)-- B .(2,3,2)- C .(2,1,2)- D .(2,1,2)--9.平面α,β和直线m ,直线m 不在平面α,β内,假设α⊥β,那么“m ∥β〞是“m ⊥α〞的A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件10.将函数πsin(2)3y x =+的图象经怎样平移后,所得的图象关于点π(,0)12-成中心对称 A .向左平移π12个单位 B .向右平移π12个单位C .向左平移π6个单位D .向右平移π6个单位11.ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,假设π3C =,7c =,3b a =,那么ABC △的面积为A .234- B .334 C .2 D .2+3412.函数331x x y =-的图象大致是A .B .C .D .13.假设实数x ,y 满足约束条件22390x y x y x +≤-≤≥⎧⎪⎨⎪⎩,那么22z x y =+的最大值是A .10B .4C .9D .1014.等差数列{}n a 的前n 项和是n S ,公差d 不等于零,假设236,,a a a 成等比数列,那么A .130,0a d dS >>B .130,0a d dS ><C .130,0a d dS <>D .130,0a d dS <<15.如下图,在正三角形ABC 中,,,D E F 分别为各边的中点,,,,G H I J 分别为,,,AF AD BE DE 的中点.将ABC △沿,,DE EF DF 折成三棱锥以后,HG 与IJ 所成角的度数为A .90︒B .60︒C .45︒D .0︒16.图中的网格是由边长为1的小正方形组成的,一个几何体的三视图如图中的粗实线和粗虚线所示,那么这个几何体的体积为A .64B .643C .1283D .12817.过抛物线2(0)y mx m =>的焦点作直线交抛物线于,P Q 两点,假设线段PQ 中点的横坐标为3,5||4PQ m =,那么m = A .8 B .6 C .12D .1018.函数2(4)log (01)a y x bx x a a =+->≠且,假设对任意0x >,恒有0y ≤,那么a b 的取值范围是A .[1,3)B .(1,3]C .(0,3)D .(1,3)非选择题局部二、填空题〔本大题共4小题,每空3分,共15分〕19.设公比不为1的等比数列{}n a 满足12318a a a =-,且243,,a a a 成等差数列,那么公比q =___________,数列{}n a 的前4项的和为___________. 20.设函数()()f x x ∈R 满足2213|(),|()144||f x x f x x -≤+-≤,那么(1)f =___________.21.假设半径为10的球面上有A 、B 、C O 到平面ABC 的距离为___________.22.动点P 是边长为2的正方形ABCD 的边上任意一点,MN 是正方形ABCD 的外接圆O 的一条动弦,且MN ,那么PM PN ⋅的取值范围是___________.三、解答题〔本大题共3小题,共31分〕 23.〔本小题总分值10分〕ABC △的三个内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .假设222sin sin sin sin sin A B C A B +-=.〔1〕求角C 的大小;〔2〕假设ABC △的面积为c =ABC △的周长. 24.〔本小题总分值10分〕如图,直线l 与椭圆C :22142x y +=交于M ,N 两点,且|MN |=2,点N 关于原点O 的对称点为P.〔1〕假设直线MP 的斜率为12-,求此时直线MN 的斜率k 的值; 〔2〕求点P 到直线MN 的距离的最大值. 25.〔本小题总分值11分〕 函数2()(1)||f x x x x a =+-⋅-. 〔1〕假设0a =,解方程()3f x =;〔2〕假设函数()f x 在R 上单调递减,求实数a 的取值范围;〔3〕假设函数()f x 在[2,2]a a +的最小值为()g a ,求()g a 的解析式.精品文档11欢送下载。
浙江高三高中数学月考试卷带答案解析
浙江高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名:___________ 分数:___________一、选择题1.三个数,,的大小顺序是()A.B.C.D.2.下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是()A.f(x)=3-x B.f(x)=x2-3xC.f(x)= D.f(x)=3.已知命题:若则、全为;命题:若,则.给出下列四个复合命题:①p且q,②p或q,③④,其中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.44.,,则()A.B.C.D.5.一种商品售价上涨2﹪后,又下降2﹪,则商品售价在两次调价后比原价()A.没有变化B.变高了C.变低了D.变高还是变低与原价有关6.如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,则f(x)在区间[-7,-3]上是()A.增函数且最大值为-5B.增函数且最小值为-5C.减函数且最小值为-5D.减函数且最大值为-57.集合A={()½ =||},B={()|+},C=A∩B,且集合C为单元素集合,则实数的取值范围是()A.||≤1B.||>1或0<||<C.>D.>或<8.已知二次函数和一次函数,则“”是“这两个函数的图象有两个不同交点”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.函数()的零点的个数为()A.3B.2C.1D.010.不等式<0,在(0,)内恒成立,实数的取值范围是()A.B.C.D.二、填空题1.二次函数在区间上的值域是2.用列举法表示集合________3.若函数,则的对称中心是4.函数的值域为_________5.不等式的解集为__________6.定义在[-2,2]上的偶函数时,单调递减,若则实数m的取值范围是7.函数在上恒有,则的取值范围是三、解答题1.已知R为全集,A=, B =,(1)求A , B(2)求2.已知奇函数f(x)=(1)求实数m的值,并在给出的直角坐标系中画出y=f(x)的图象;(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,试确定a的取值范围.3.已知函数。
浙江省杭州市高三数学1月普通高中会考模拟考试试题新人教A版
1月 普通高中会考模拟考试高三数学试题卷考生须知:1.全卷分试卷Ⅰ、Ⅱ和答卷Ⅰ、Ⅱ.试卷共6页,有四大题,42小题,其中第二大题为选做题,其余为必做题,满分为100分.考试时间120分钟.2.本卷答案必须做在答卷Ⅰ、Ⅱ的相应位置上,做在试卷上无效.3.请用铅笔将答卷Ⅰ上的准考证号和学科名称所对应的括号或方框内涂黑,请用钢笔或圆珠笔将姓名、准考证号分别填写在答卷Ⅰ、Ⅱ的相应位置上.4.参考公式:球的表面积公式:S =4R2球的体积公式:334R V π=(其中R 为球的半径)试 卷 Ⅰ一、选择题(本题有26小题,每小题2分,每小题3分,共58分.选出各题中一个符合题意的正确选项,不选、多选、错选均不给分) 1.设全集U ={1,2,3,4,5},则集合A ={1, 3,5},则C U A = (A){1, 4} (B){3, 4} (C){2, 4} (D){2, 3}2.函数x x f +=1)(的定义域是 (A)),1[+∞(B)(0,+∞)(C)),0[+∞(D)(∞,+∞)3.直线032=++y x 的斜率是 (A) 21- (B)21(C) 2-(D) 24.以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是 (A)球 (B)圆锥 (C)圆柱 (D)圆台 5.已知角α的终边与单位圆相交于点),21,23(-P 则αsin 等于(A)23- (B)21- (C) 23 (D) 216.已知函数11)(+=x x f ,g (x )=x 2+1,则f [g (0)]的值等于(A )0 (B )21(C )1 (D )27.椭圆192522=+y x 的焦点坐标是 (A)(3,0),(3,0) (B)(4,0),(4,0) (C)(0,4),(0,4) (D)(0,3),(0,3) 8.在等差数列{}n a 中,首项,21=a 公差2=d ,则它的通项公式是(A) n a n 2= (B) 1+=n a n (C) 2+=n a n (D) 22-=n a n9.函数)62cos()(π-=x x f ,x ∈R 的最小正周期为(A)4π (B)2π(C)(D)210.函数xx x f 2)(+= (A)是奇函数,但不是偶函数 (B)是偶函数,但不是奇函数 (C)既是奇函数,又是偶函数 (D)既不是奇函数,又不是偶函数 11.右图是某职业篮球运动员在连续11场比赛中得分的茎叶统计图,则该组数据的中位数是 (A)36 (B)35 (C)32 (D)31 12.已知向量),4,(),2,1(x ==且⊥,则实数x 的值是(A)2- (B)2 (C)8 (D) 8- 13.若非零实数a , b 满足a >b ,则(A)b a 11< (B)2211ba > (C)a 2>b 2 (D)a 3>b 314.同时抛掷两枚质地均匀的硬币,出现两枚都是正面朝上的概率为(A)41 (B)31(C) 21 (D) 4315.若x x x f 2ln )(+=的零点个数是(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 16.已知=+-=-∈)4tan(,54sin ),0,2(πααπα则 (A)71(B)71- (C) 7 (D) 7- 17.在空间直角坐标系中,设A (1,2,a ),B (2,3,4),若|AB |=3,则实数a 的值是(A)3或 5 (B)3或 5 (C)3或 5 (D)3或518.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(A)π34(B)2 (C)π38(D)π31019.空间中,设n m ,表示直线,γβα,,表示平面,则下列命题正确的是(A)若,,γβγα⊥⊥ 则α∥β (B)若 ,,βα⊥⊥m m 则 α∥β1 2 3 4 5 2 55 46 5 1 9 77 1(第11题)正视图俯视图侧视图2(C),,βαβ⊥⊥m 则 m ∥α (D) ,,α⊥⊥n m n 则 m ∥α 20.函数f (x )=log 2(1x )的图象为21.如图,在三棱锥S -ABC 中,SA =SC =AB =BC ,则直线SB 与AC 所成角的大小是 (A)30º (B)45º (C)60º(D)90º22.数列{}n a 中,),(1.,41,212221*++∈=++==N n a a a a a a n n n n 则65a a +等于(A) 43 (B) 65 (C) 127(D)151423.若log 2x +log 2y =3,则x +2y 的最小值是(A)24(B)8(C)10(D)1224.右图是某同学用于计算S =sin1+sin2+sin3+…+sin2012值的程序框图,则在判断框中填写(A)k <2011?(B)k <2012?(C)k >2011? (D)k >2012?25.设圆C :(x 5)2+(y 3)2=5,过圆心C 作直线l 与圆交于A ,B 两点,与x 轴交于P 点,若A 恰为线段BP 的中点,则直线l 的方程为 (A) x 3y +4=0,x +3y 14=0 (B)2x y 7=0,2x +y 13=0(C) x 2y +1=0,x +2y 11=0(D)3x y 12=0,3x +y 18=026.在平面直角坐标系中,不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤--≥+-0012012a y x y x y x,所围成的平面区域面(A)(第23题)ACS(第20题)积为23,则实数a 的值是 (A)3(B)1(C)1(D)3二、选择题(本题分A 、B 两组,任选一组完成,每组各4小题,选做B 组的考生,填涂时注意第27-30题留空;若两组都做,以27-30题记分. 每小题3分,共12分,选出各题中一个符合题意的正确选项,不选、多选、错选均不给分)A 组27.在复平面内,设复数33i 对应点关于实轴、虚轴的对称点分别是A ,B ,则点A ,B 对应的复数和是(A)0(B)6(C)32-i (D)632-i28.设x ∈R ,则“x >1”是“x 2>x ”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件29.直线y =kx +1与双曲线191622=-y x 的一条渐近线垂直,则实数k 的值是(A)54或54- (B)45或45- (C)43或43- (D)34或34- 30.已知函数b xaax x f ++=)((a ,b ∈R )的图象在点(1,f (1))处的切线在y 轴上的截距为3,若f (x )>x 在(1,+∞)上恒成立,则a 的取值范围是(A)]1,0((B)]891[,(C)),89(+∞(D)),1[+∞B 组31.若随机变量X 分布如右表所示, X 的数学期望EX =2,则实数a 的值是(A)0 (B)31 (C)1 (D)2332.函数y =x sin2x 的导数是 (A)y '=sin2x x cos2x (B)y '=sin2x 2x cos2x (C)y '=sin2x x cos2x(D)y '=sin2x +2x cos2x(第33题)33.二项式6(x 展开式中的常数项为 (A)240- (B)160 (C)160- (D)24034.在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 是BC 的中点,P , Q 是正方体内部及面上的两个动点,则⋅的最大值是 (A)21 (B) 1(C)23 (D)45 试 卷 Ⅱ请将本卷的答案用钢笔或圆珠笔写在答卷Ⅱ上. 三、填空题(本题有5小题,每小题2分,共10分) 35.不等式x2x-6<0的解集是 ▲36.某校对学生在一周中参加社会实践活动时间进行调查,现从中抽取一个容量为n 的样本加以分析,其频率分布直方图如图所示,已知时间不超过2小时的人数为12人,则n = ▲37.已知非零向量b a ,满足|a |=1,3||=-b a ,a 与b 的夹角为120º,则|b |= ▲38.已知函数00,1,)(2≤>⎩⎨⎧-=x x x x x f ,则f (x )的值域是 ▲39.把椭圆C 的短轴和焦点连线段中较长者、较短者分别作为椭圆C '的长轴、短轴,使椭圆C变换成椭圆C ',称之为椭圆的一次“压缩”. 按上述定义把椭圆C i (i =0,1,2,…)“压缩”成椭圆C i +1,得到一系列椭圆C 1,C 2,C 3,…,当短轴长于截距相等时终止“压缩”. 经研究发现,某个椭圆C 0经过n (n ≥3)次“压缩”后能终止,则椭圆C n 2的离心率可能是:①23,②510,③33,④36中的 ▲ (填写所有正确结论的序号) 四、解答题(本题有3小题,共20分)40.(本题6分)在锐角ABC 中,角A , B , C 所对的边分别为a , b , c . 已知b =2,c =3,sin A =322. 求ABC 的面积及a 的值.(第37题)41.(本题6分)如图,由半圆)0(122≤=+y y x 和部分抛物线)0,0)(1(2>≥-=a y x a y 合成的曲线C 称为“羽毛球形线”,且曲线C 经过点(2,3)。
2022年浙江省新高三一诊考试数学试卷含解析
2021-2022高考数学模拟试卷含解析注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知()32z i i =-,则z z ⋅=( )A .5B .5C .13D .132.20世纪产生了著名的“31x +”猜想:任给一个正整数x ,如果x 是偶数,就将它减半;如果x 是奇数,则将它乘3加1,不断重复这样的运算,经过有限步后,一定可以得到1.如图是验证“31x +”猜想的一个程序框图,若输入正整数m 的值为40,则输出的n 的值是( )A .8B .9C .10D .113.过抛物线22(0)y px p =>的焦点作直线交抛物线于A B ,两点,若线段AB 中点的横坐标为3,且8AB =,则抛物线的方程是( )A .22y x =B .24y x =C .28y x =D .210y x =4.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三视图的长、宽、高分别为2,a ,b ,且()520,02a b a b +=>>,则此三棱锥外接球表面积的最小值为( )A .174πB .214πC .4πD .5π5.某几何体的三视图如图所示,图中圆的半径为1,等腰三角形的腰长为3,则该几何体表面积为( )A .7πB .6πC .5πD .4π6.正ABC ∆的边长为2,将它沿BC 边上的高AD 翻折,使点B 与点C 间的距离为3,此时四面体A BCD -的外接球表面积为( )A .103πB .4πC .133πD .7π7.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若0n a >,1q >,3520a a +=,2664a a =,则5S =( )A .48B .36C .42D .318.设集合{|3}{|02}A x x B x x x =<=,或,则A B ⋂=( )A .()0-∞,B .()23,C .()()023-∞⋃,, D .()3-∞, 9.设集合{}1,2,3A =,{}220B x x x m =-+=,若{3}A B ⋂=,则B =( )A .{}1,3-B .{}2,3-C .{}1,2,3--D .{}3 10.若,则( )A .B .C .D .11.已知1cos ,,32πααπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭,则()sin πα+= ( ) A 22 B .22 C .22 D .1312.《聊斋志异》中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”:222233=333388=44441515=55552424=以上规律,若10101010n n =“穿墙术”,则n =( ) A .48 B .63 C .99 D .120二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
浙江省鉴湖中学高三数学1月高考模拟试题 理
(第3题图) 2 4 2高三数学限时训练(理)一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 1.设集合}{{}2|11,|M x x N x x x =-<<=≤,则M N =I ( ) A .[)0,1B .(]1,1-C .[)1,1-D .(]1,0-2.若函数f (x ) (x ∈R )是奇函数,则( )A .函数f (x 2)是奇函数 B .函数 [f (x ) ]2是奇函数C .函数f (x )⋅x 2是奇函数D .函数f (x )+x 2是奇函数3.若某几何体的三视图 (单位:cm) 如图所示, 则此几何体的体积是A .35π cm 3B .π3106cm 3 C .70π cm 3D .π3212 cm 34. 已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+u r r,若()()m n m n +⊥-u r r u r r ,则=λ( )A .4-B .3-C .2-D .-15.已知0a >,,x y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若2z x y =+的最小值为1,则a =( )A .14B .12C .1D .26.在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x (单位m )的取值范围是 ( )(A) [15,20] (B) [12,25] (C) [10,30] (D) [20,30]7.已知圆()()221:231C x y -+-=,圆()()222:349C x y -+-=,,M N 分别是圆12,C C 上的动点,P 为x 轴上的动点,则PM PN +的最小值为( )A .524-B .171-C .622-D .178.设n n n A B C ∆的三边长分别为,,n n n a b c ,n n n A B C ∆的面积为n S ,1,2,3,n =L ,若11111,2b c b c a >+=,111,,22n n nnn n n n c a b a a a b c +++++===,则( )A.{S n }为递减数列B.{S n }为递增数列C.{S 2n -1}为递增数列,{S 2n }为递减数列D.{S 2n -1}为递减数列,{S 2n }为递增数列 9.设函数()x f x e x a =+-(a R ∈,e 为自然对数的底数).若曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得00(())f f y y =,则a 的取值范围是( )(A)[1,]e (B)1[,-11]e -, (C)[1,1]e + (D)1[-1,1]e e -+ 10.如图,某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练,已知点A 到墙面的距离为AB ,某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动,此人为了准确瞄准目标点P ,需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小,(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角)若m AB 15=,m AC 25=,︒=∠30BCM ,则θtan 的最大值是( ) A .530 B .1030 C .934 D .935二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分。
《精编》浙江省嘉兴一中高三数学上学期入学摸底试卷 理 新人教A版.doc
嘉兴一中高三教学摸底测试理科数学 试题卷本卷须知:1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答.答题前,请在答题卷的规定处填写姓名、考号等指定内容;2.本试题卷分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部,共4页,全卷总分值150分,考试时间120分钟.第I 卷〔选择题 共50分〕一、选择题:本大题共10小题,每题5分,共50分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1.集合}2log |{},2|1||{2<=<-=x x B x x A ,那么=B AA .)3,1(-B .)4,0(C .)3,0(D .)4,1(-2.假设复数iia 213-+〔i R a ,∈为虚数单位〕是纯虚数,那么实数a 的值为 A .2- B .4 C .6- D .63.函数)22sin(2x y -=π是A .最小正周期为π的奇函数B . 最小正周期为2π的奇函数 C .最小正周期为π的偶函数 D .最小正周期为2π的偶函数4.等差数列}{n a 中,121-=a ,013=S ,使得0>n a 的最小正整数n 为A .7B .8C .9D .105.ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且B b C a C c A a sin sin 2sin sin =-+. 那么=∠B A .6πB .4πC .3πD .43π6.某三棱锥的三视图如所示,该三棱锥的体积为A .20B .340 C .56 D .60〔第12题〕7.设n m ,是空间两条直线,α,β是空间两个平面,那么以下选项中不正确的选项是....... A .当α⊂m 时,“α//n 〞是“n m //〞的必要不充分条件 B .当α⊂m 时,“β⊥m 〞是“βα⊥〞的充分不必要条件 C .当α⊥n 时, “β⊥n 〞是“α∥β〞成立的充要条件 D .当α⊂m 时,“α⊥n 〞是“n m ⊥〞的充分不必要条件 8.以下命题中,真命题是A .存在,0R x ∈ 使得00≤x eB .任意22,x R x x >∈C .假设1>ab ,那么b a ,至少有一个大于1D .),(3sin 2sin 22Z k k x xx ∈≠≥+π9.函数x x x f sin 2)(-=的零点个数为A .1B .2C .3D .410.记实数n x x x ,,,21 中的最大数为max{n x x x ,,,21 } , 最小数为min{n x x x ,,,21 } 那么max{min{6,1,12+-+-+x x x x }}=A .43 B .1 C .3 D .27第II 卷〔非选择题局部 共100分〕二、填空题:本大题共7小题,每题4分,共28分.11.用0,1,2,3,4,5这六个数字,可以组成 ▲ 个没有重复数字且能被5整除的五位数〔结果用数值表示〕.12.如图是一个算法流程图,那么输出的S 的值是 ▲ .13.x ,y 均为正数,)2,4(ππθ∈,且满足y x θθcos sin =,)(310sin cos 222222y x y x +=+θθ,那么yx的值为 ▲ . 14.函数x x x f 2)(2-=,点集}2)()(|),{(≤+=y f x f y x M ,}0)()(|),{(≥-=y f x f y x N ,那么N M 所构成平面区域的面积为▲ .15题图15.如图,21,F F 是双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的左、右焦点,过1F 的直线与双曲线的左、右两支分别交于B A ,两点.假设5:4:3||:||:||22=AF BF AB ,那么双曲线的离心率为 ▲ .16.在平面四边形ABCD 中,点F E ,分别是边BC AD ,的中点,且2=AB ,1=EF ,3=CD .假设15=⋅BC AD ,那么BD AC ⋅的值为 ▲ .17.记定义在R 上的函数)(x f y =的导函数为)('x f .如果存在],[0b a x ∈,使得))((')()(0a b x f a f b f -=-成立,那么称0x 为函数)(x f 在区间],[b a 上的“中值点〞.那么函数x x x f 3)(3-=在区间[-2,2]上“中值点〞的为 ▲ . 三、解答题:本大题共5小题,共72分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.〔此题总分值14分〕数列}{n a 满足)(33,3*11N n a a a n n n ∈=-=+,数列}{n b 满足nn n a b 3=.〔Ⅰ〕证明数列}{n b 是等差数列并求数列}{n b 的通项公式; 〔Ⅱ〕求数列}{n a 的前n 项和n S .19.〔此题总分值14分〕一个口袋中有红球3个,白球4个.〔Ⅰ〕从中不放回地摸球,每次摸2个,摸到的2个 球中至少有1个红球那么中奖,求摸2次恰好第2次中 奖的概率;〔Ⅱ〕每次同时摸2个,并放回,摸到的2个球中至少有1个红球那么中奖,连续摸4次,求中奖次数X 的数学期望E(X). 20.〔此题总分值15分〕正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直, CD AB CD AD //,⊥,221===CD AD AB ,点M 在线段EC 上且不与C E ,重合。
高三数学1月一模考试试题 理含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学1月一模考试试题理〔含解析〕本套试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两卷.总分值是150分,考试时间是是120分钟. 本卷须知:2.选择题在选出答案以后,需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答在套本套试卷上无效.其他试题用黑色水性笔答在答题卡上,写在套本套试卷上无效.3.在在考试完毕之后以后,考生将答题卡交回.第I 卷〔选择题一共60分〕一、选择题:〔本大题一一共12小题,每一小题5分,一共60分,在每一小题给出的四个选项里面,只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕{0,1,2,3,4,5}A =,{}2|2B x x =≤,那么A B =〔〕 A.{1,0,1}- B.{0,1} C.{0} D.{0,1,2}【答案】B 【解析】 【分析】先解不等式得集合B ,再根据交集定义求结果.【详解】{}2|2[B x x B =≤∴=应选:B【点睛】此题考察一元二次不等式以及交集定义,考察根本分析求解才能,属根底题.:(0,)p x ∀∈+∞,1135x x=,那么p ⌝为〔〕A.(0,)x ∃∈+∞,1135x x≠B.(0,)x ∀∈+∞,1135x x ≠ C.(,0)x ∃∈-∞,1135x x≠D.(,0)x ∀∈-∞,1135x x ≠【答案】A 【解析】 【分析】 .【详解】:(0,)p x ∀∈+∞,1135x x=,p ∴⌝:(0,)x ∃∈+∞,1135x x ≠应选:A .z 满足0z z-=,且4z z ⋅=,那么z =〔〕A.2B.2iC.2±D.2i ±【答案】C 【解析】 【分析】根据一共轭复数概念以及复数乘法列方程,解得结果. 【详解】设(,)zx yi x y R =+∈,那么z x yi =-,0z z -=,且4z z ⋅=,200yi y ∴=⇒=,且22422x y x z +=⇒=±∴=±.应选:C【点睛】此题考察一共轭复数概念以及复数乘法,考察根本分析求解才能,属根底题. 4.,a b 均为单位向量,假设,a b 夹角为23π,那么||a b -=〔〕【答案】D 【解析】 【分析】先求,a b 数量积,再求模的平方,最后得结果. 【详解】2111cos32a b π⋅=⨯⨯=- 应选:D【点睛】此题考察向量数量积以及向量的模,考察根本分析求解才能,属根底题.x ,y 满足不等式组222010y x y x y ≥-⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩,那么2z x y =+的最大值为〔〕A.4B.23C.-6D.6【答案】A 【解析】 【分析】先作可行域,再根据目的函数所表示的直线,结合图象确定最优解,代入得结果. 【详解】作可行域如图,那么直线2z x y =+过点(3,2)A -时z 取最大值4,应选:A【点睛】此题考察线性规划求最值,考察根本分析求解才能,属根底题. 6.,122b =,3log 2c =,那么a ,b ,c 的大小关系为〔〕A.a b c <<B.b a c <<C.c a b <<D.c b a <<【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数、对数函数的单调性判断三个数大小. 【详解】11111066613629,28,981138a b a b ===>>=∴>=>应选:D【点睛】此题考察利用幂函数、对数函数单调性比较大小,考察根本分析判断才能,属根底题.7.垃圾分类是一种新时尚,为推进这项工作的施行,开展了“垃圾分类进小区〞的评比活动.现对甲、乙两个小区进展评比,从中各随机选出20户家庭进展评比打分,每户成绩总分值是为100分.评分后得到如下茎叶图.通过茎叶图比较〕 A.x x <甲乙,22s s <甲乙 B.x x >甲乙,22s s <甲乙 C.x x <甲乙,22s s >甲乙D.x x >甲乙,22s s >甲乙【答案】C 【解析】 【分析】根据茎叶图数据分布,比较最小值与最大值以及中间数值可以确定平均值大小,根据数据分布集中情况确定方差大小,即可选择.【详解】因为甲的最大值比乙小,甲的最小值比乙小,甲的中间数值没乙的中间数值大,所以x x <甲乙;因为甲的数据没有乙的数据集中,所以22s s >甲乙.应选:C【点睛】此题考察根据茎叶图判断平均值与方差大小,考察根本分析判断才能,属根底题. 8.a ,b 为两条不同的直线,α,β,γ为三个不同的平面,那么以下说法中正确的选项是〔〕 ①假设//a α,//αβ,那么//αβ②假设//αβ,//βγ,那么//αγ ③假设a α⊥,b α⊥,那么//a b ④假设αγ⊥,βγ⊥,那么αβ⊥A.①③B.②③C.①②③D.②③④【答案】B 【解析】 【分析】根据线面位置关系逐一判断,即可选择.【详解】假设//a α,//αβ,a 可以和两个相交平面的交线平行,这样也能保证//a α,//αβ; 假设//αβ,//βγ,那么//αγ; 假设a α⊥,b α⊥,那么//a b ; 假设αγ⊥,βγ⊥,那么αβ⊥或者//αβ;应选:B .9.新高考的HY 方案开场施行后,某地学生需要从化学,生物,政治,地理四门学科中选课,每名同学都要选择其中的两门课程.甲同学选了化学,乙与甲没有一样的课程,丙与甲恰有一门课一样,丁与丙也没有一样课程.那么以下说法正确的选项是〔〕 A.丙没有选化学 B.丁没有选化学C.乙丁可以两门课都一样D.这四个人里恰有2个人选化学【答案】D 【解析】 【分析】根据题意合理推理,并作出合理的假设,最终得出正确结论.【详解】根据题意可得,∵甲选择了化学,乙与甲没有一样课程,∴乙必定没选化学;又∵丙与甲有一门课一样,假设丙选择了化学,而丁与丙无一样课程,那么丁一定没选化学; 假设丙没选化学,又∵丁与丙无一样课程,那么丁必定选择了化学.综上,必定有甲,丙或者甲,丁这两种情况下选择化学,故可判断A ,B 不正确,D 正确.假设乙丁可以两门课都一样,由上面分析可知,乙丁都没有选择化学,只能从其它三科中选两科.不妨假设选的是生物、政治,那么甲选的是化学和地理,而丙和甲一共同选择了化学,另一门课丙只能从生物、政治中选一科,这样与“丁与丙也没有一样课程〞矛盾,故假设不成立,因此C 不正确. 【点睛】此题主要考察学生的逻辑推理才能.2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别为直线1l 与2l ,假设点A ,B 为直线1l 上关于原点对称的不同两点,点M 为直线2l上一点,且AMBM k k a⋅=,那么双曲线C 的离心率为〔〕A.1C.2【答案】C 【解析】 【分析】先求渐近线方程,再设,,A B M坐标,根据斜率公式化简条件,即得离心率.【详解】2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>渐近线方程为b y x a =±,不妨设12:,:,b b l y x l y x a a==-那么可设111122(,),(,),(,)b b bA x xB x x M x x a a a---因此2121221212()(),22AM BMb bx x x x b a a k k b c a e x x x x a +-+⋅=⋅====∴=---应选:C【点睛】此题考察双曲线渐近线以及离心率,考察根本分析求解才能,属中档题.y x x =+的图象向右平移02πθθ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位得到函数3sin cos (0)y x a x a =+<的图象,那么tan θ的值是〔〕A.2B.12C.13D.3【答案】A 【解析】【分析】先根据左右平移不改变最值求得a,再根据平移规律列θ等量关系,最后根据两角差正切公式解得结果.2101a a a=<∴=-因为)4y x x xπ==+,向右平移θ个单位得到)cos()sin sin()cos444y x x xπππθθθ=-+=--,而3sin cos3sin cosy x a x x x=+=-,cos()sin()144ππθθ-=-=-,即1tan()43πθ-=-从而11()3)]tan ta211()3n[(44ππθθ--+-==-=-应选:A【点睛】此题考察三角函数图象变换以及两角差正切公式,考察综合分析求解才能,属中档题.()f x是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的偶函数,当(0,)x∈+∞时,2(1),02()1(2),22x xf xf x x⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩,那么函数2()8()6()1g x f x f x=-+的零点个数为〔〕A.20B.18C.16D.14【答案】C【解析】【分析】先解()0g x=,再作图,结合图象确定交点个数,即得零点个数.【详解】21()8()6()10()2g x f x f x f x=-+=∴=或者1()4f x=根据函数解析式以及偶函数性质作()f x图象,零点个数为61016+=,应选:C【点睛】此题考察函数零点以及函数综合性质,考察数形结合思想方法以及综合分析求解才能,属中档题.第II卷〔非选择题一共90分〕本卷包括必考题和选考题两局部,第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题和第23题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:〔本大题一一共4小题,每一小题5分,一共20分〕221(6)36x y m m m +=>+-,那么其焦距为________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据椭圆方程求c ,即得焦距.【详解】2221(6)3(6)93,2 6.36x y m c m m c c m m +=>∴=+--=∴==+- 故答案为:6【点睛】此题考察根据椭圆方程求焦距,考察根本分析求解才能,属根底题.{}n a 的前n 项和为n S ,且1310a a +=,972S =.数列{}n b 中,12b =,12n n b b +=-.那么72020a b =________.【答案】10- 【解析】 【分析】先根据条件解得等差数列{}n a 公差与首项,即得7a ;再根据12n n b b +=-解得{}n b 通项公式,即得2020b ,最后求积得结果.【详解】设等差数列{}n a 公差为d,那么由1310a a +=,972S =得112210,93672a d a d +=+=,1714,1610a d a a d ∴==∴=+=因为12b =,所以1222020211b b b b =-⇒=-∴=-故答案为:10-【点睛】此题考察等差数列通项公式以及由递推关系求通项公式,考察根本分析求解才能,属根底题. 15.“学习强国〞学习平台是由中宣部主管,以深化学习宣传HYHY 中国特色HY 思想为主要内容,立足全体HY 员、面向全社会的优质平台,现已日益成为老百姓理解国家动态,紧跟时代脉搏的热门app.该款软件主要设有“阅读文章〞和“视听学习〞两个学习板块和“每日答题〞、“每周答题〞、“专项答题〞、“挑战答题〞四个答题板块.某人在学习过程中,将六大板块依次各完成一次,那么“阅读文章〞与“视听学习〞两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有________种.【答案】432 【解析】 【分析】先分间隔一个与不间隔分类计数,再根据捆绑法求排列数,最后求和得结果. 【详解】假设“阅读文章〞与“视听学习〞两大学习板块相邻,那么学习方法有552240A =种;假设“阅读文章〞与“视听学习〞两大学习板块之间间隔一个答题板块的学习方法有14442192C A =种;因此一共有240192432+=种. 故答案为:432【点睛】此题考察排列组合实际问题,考察根本分析求解才能,属根底题.ABCD 中,假设1AD DCAC CB ====,那么当四面体ABCD 的体积最大时,其外接球的外表积为________. 【答案】73π 【解析】 【分析】先根据底面ACD 面积为定值,确定四面体ABCD 的体积最大时,CB ⊥平面ACD ,再确定外接球球心位置,解得球半径,代入球的外表积公式得结果. 【详解】因为1AD DC AC ===,所以底面ACD 面积为定值,因此当CB ⊥平面ACD 时,四面体ABCD 的体积最大.设ACD 外接圆圆心为1O ,那么四面体ABCD 的外接球的球心O 满足1OO //BC ,且112OO =,因此外接球的半径R 满足22217()212R =+= 从而外接球的外表积为2743R ππ=故答案为:73π 【点睛】此题考察四面体外接球的外表积,考察综合分析求解才能,属中档题.三、解答题:〔本大题一一共6小题,一共70分,解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕17.ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,cos cos 7a Bb A ac +=,sin2sin A A =. 〔1〕求A 及a ;〔2〕假设2b c -=,求BC 边上的高.【答案】〔1〕3a A π==,〔2 【解析】 【分析】〔1〕根据正弦定理化简可得a ;根据二倍角正弦公式化简可得A ; 〔2〕先根据余弦定理求得bc ,再根据三角形面积公式求BC 边上的高.【详解】〔1〕cos cos sin cos sin cos sin a B b A A B B A C +=∴+= 1sin 2sin 2sin cos sin cos (0,)23A A A A A A A A ππ=∴=∴=∈∴=;〔2〕由余弦定理得2222222cos 7,7(),74,3a b c bc A b c bc b c bc bc bc =+-∴=+-=-+∴=+=,设BC 边上的高为h .11333113sin 3.722242214ABCABCSbc A Sah h h ∴==⨯⨯==∴⨯==.即BC 【点睛】此题考察正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式,考察综合分析求解才能,属中档题. 18.如图,ABC ∆为等边三角形,ABD ∆为等腰直角三角形,AB BD ⊥,平面ABC ⊥平面ABD ,点E与点D 在平面ABC 的同侧,且CE BD ,2BD CE =.点F 为AD 中点,连接EF .〔1〕求证:EF平面ABC ;〔2〕求二面角C AE D --的余弦值.【答案】〔1〕见解析;〔2〕 【解析】 【分析】〔1〕取AB 中点为O ,连接OC 、OF ,证明四边形OCEF 为平行四边形,EF ∥OC ,然后证明EF ∥平面ABC ; 〔2〕以O 为坐标原点,分别以OA 、OC 、OF 的方向为x 、y 、z 轴正方向,建立空间直角坐标系.不妨令正三角形ABC 的边长为2,求出相关的的坐标,求出平面AEC 的法向量,平面AED 的法向量,利用空间向量的公式求解即可.【详解】〔1〕证明:取AB 中点为O ,连接OC 、OF ,∵O 、F 分别为AB 、AD 中点,∴OF ∥BD 且BD =2OF ,又CE ∥BD 且BD =2CE ,∴CE ∥OF 且CE =OF ,∴四边形OCEF 为平行四边形,∴EF ∥OC , 又OC ⊂平面ABC 且EF ⊄平面ABC ,∴EF ∥平面ABC .〔2〕∵三角形ABC 为等边三角形,O 为AB 中点,∴OC ⊥AB ,∵平面ABC ⊥平面ABD 且平面ABC ∩平面ABD =AB ,又BD ⊥AB 且BD ⊂平面ABD ,∴BD ⊥平面ABC ,又OF ∥BD ,∴OF ⊥平面ABC ,以O 为坐标原点,分别以OA 、OC 、OF 的方向为x 、y 、z 轴正方向,建立空间直角坐标系. 不妨令正三角形ABC 的边长为2,那么O 〔0,0,0〕,A 〔1,0,0〕,C,E ,D 〔﹣1,0,2〕,∴(AC =-,(AE =-,设平面AEC 的法向量为()111,,m x y z =,那么111110x x z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩,不妨令12y =,那么32m⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,设平面AED 的法向量为()222,,n x y z =,同理求得()1,0,1n =,∴3cos ,4m n <>==,又∵二面角C ﹣AE ﹣D 为钝二面角, ∴所求二面角C ﹣AE ﹣D的余弦值为.【点睛】此题考察线面平行断定定理、面面垂直性质定理以及利用空间向量求二面角,考察综合分析论证与求解才能,属于中档题.2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点(2,2)A ,点B 在抛物线C 上,且满足2OF FB FA =-〔O 为坐标原点〕.〔1〕求抛物线C 的方程;〔2〕过焦点F 任作两条互相垂直的直线l 与D ',直线l 与抛物线C 交于P ,Q 两点,直线D '与抛物线C 交于M ,N 两点,OPQ △的面积记为1S ,OMN 的面积记为2S ,求证:221211S S +为定值.【答案】〔1〕24y x =〔2〕见解析【解析】【分析】 〔1〕先根据条件解得B 点坐标,代入抛物线方程解得p ,即得结果;〔2〕先设直线方程,与抛物线方程联立,利用韦达定理以及弦长公式求得1S 与2S ,最后代入化简221211S S +得结果.【详解】〔1〕设11(,)B x y 11(,0),2(,0)(4,4)222p p p F OF FB FA x p y ∴=-⇒=--+- 因为点B 在抛物线C 上,2242424p p y x ∴=⋅∴=∴=〔2〕由题意得直线l 的斜率存在且不为零,设:1l xmy =+,代入24y x =得2440y my --=,所以1212124,4||y y m y y y y +==-∴-==因此1211||1S 2y y =-⨯=2S = 因此22222212211111114(1)4(1)4(1)44(1)m S S m m m m +=+=+=++++ 【点睛】此题考察抛物线方程以及直线与抛物线位置关系,考察综合分析求解才能,属中档题.20.在2021年女排世界杯中,中国女子排球队以11连胜的优异战绩成功夺冠,为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼.排球比赛采用5局3胜制,前4局比赛采用25分制,每个队只有赢得至少25分,并同时超过对方2分时,才胜1局;在决胜局〔第五局〕采用15分制,每个队只有赢得至少15分,并领先对方2分为胜.在每局比赛中,发球方赢得此球后可得1分,并获得下一球的发球权,否那么交换发球权,并且对方得1分.现有甲乙两队进展排球比赛:12,求甲队最后赢得整场比赛的概率; 25,乙发球时甲赢1分的概率为35(4)x x ≤个球后甲赢得整场比赛,求x 的取值及相应的概率p 〔x 〕. 【答案】〔1〕34〔2〕x 的取值为2或者4,4(2),25p =72(4)625p =.【解析】【分析】〔1〕先确定甲队最后赢得整场比赛的情况,再分别根据HY 事件概率乘法公式求解,最后根据互斥事件概率加法公式得结果;〔2〕先根据比赛规那么确定x 的取值,再确定甲赢得整场比赛的情况,最后根据HY 事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式得结果.【详解】〔1〕甲队最后赢得整场比赛的情况为第四局赢或者第四局输第五局赢, 所以甲队最后赢得整场比赛的概率为11132224+⨯=, 〔2〕根据比赛规那么,x 的取值只能为2或者4,对应比分为16:14,17:15.两队打了2224(2)5525p =⨯=; 333222272(4)555555523565p =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. 【点睛】此题考察HY 事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式,考察综合分析求解才能,属中档题.1()ln 1x f x x a x -⎛⎫=- ⎪+⎝⎭. 〔1〕讨论函数()f x 的单调性;〔2〕假设函数1()ln 1x f x x a x -⎛⎫=- ⎪+⎝⎭有三个零点,务实数a 的取值范围. 【答案】〔1〕见解析〔2〕2a>【解析】【分析】 〔1〕先求导数,再根据二次函数图象分类讨论导函数符号变化规律,进而确定单调性;〔2〕根据函数单调性确定零点个数,并用零点存在定理加以论证.【详解】〔1〕222112(22)1()ln ()1(1)(1)x a x a x f x x a f x x x x x x -+-+⎛⎫'=-∴=-= ⎪+++⎝⎭当2(22)40,02a a ∆=--≤≤≤时,()0f x '≥,即()f x 在(0,)+∞上单调递增;当0a <时,()0f x '>,即()f x 在(0,)+∞上单调递增;当2a >时,(0,1(1)x a a ∈--++∞时()0f x '>,即()f x 在(0,1a -和(1)a -+∞上单调递增;(11x a a ∈--时()0f x '<,即()f x 在(11a a --上单调递减;综上:当2a ≤时,()f x 在(0,)+∞上单调递增;当2a >时,()f x 在(0,1a -和(1)a -+∞上单调递增;在(11a a --上单调递减;〔2〕因为单调函数至多一个零点,所以2a>,因为(1)0,111f a a =-<<-所以(10,(10,f a f a ->-+<因为0,();,()x f x x f x →→-∞→+∞→+∞而()f x 在(0,1a -和(1)a -+∞上单调递增;在(11a a --上单调递减;所以()f x 在(0,1a -上有且仅有一个零点,在(11a a --上有且仅有一个零点〔即1〕,在(1)a -++∞上有且仅有一个零点, 所以当2a >时,函数1()ln 1x f x x a x -⎛⎫=- ⎪+⎝⎭有三个零点. 【点睛】此题考察利用导数研究函数单调性以及利用导数研究函数零点,考察综合分析求解才能,属较难题. 请考生在22、23两题中任选一题答题,假设多做,那么按所做的第一题记分.做答时,需要用2B 铅笔在答题卡把所选题目对应的标号涂黑.22.在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线:4cos C ρθ=,直线l 的参数方程为:321x t y t =+⎧⎨=-+⎩〔t 为参数〕,直线l 与曲线C 分别交于M ,N 两点. 〔1〕写出曲线C 和直线l 的普通方程;〔2〕假设点(3,1)P -,求11||||PM PN -的值.【答案】〔1〕22(2)4x y -+=,250x y --=〔2〕± 【解析】【分析】〔1〕根据222,cos x y x ρρθ==+将曲线C 极坐标方程化为直角坐标方程,利用消元法化直线l 的参数方程为普通方程〔2〕先化直线l 的参数方程为HY 式,再代入曲线C 方程,最后根据参数几何意义求解【详解】〔1〕222224cos 4cos 4(2)4x y x x y ρθρρθ=∴=∴+=∴-+=〔2〕33211x x t y t y ⎧=+⎪=+⎧⎪∴⎨⎨=-+⎩⎪=-⎪⎩代入224x y x +=得21212202t t t t t -=∴+==- 【点睛】此题考察极坐标方程化直角坐标方程、参数方程化普通方程以及直线参数方程,考察根本分析求解才能,属中档题.()|23||1|f x x x =+--.〔1〕求不等式()3f x ≤的解集;〔2〕假设不等式()2|33|f x a x >--对任意x ∈R 恒成立,务实数a 的取值范围. 【答案】〔1〕1[7,]3-〔2〕52a < 【解析】【分析】 〔1〕根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组,分别求解,最后求并集得结果;〔2〕先化简不等式,再根据绝对值三角不等式性质求最值,即得结果.【详解】〔1〕|23||1|3x x +--≤12313x x x ≥⎧∴⎨+-+≤⎩或者3122313x x x ⎧-<<⎪⎨⎪++-≤⎩或者322313x x x ⎧≤-⎪⎨⎪--+-≤⎩11x x ≥⎧∴⎨≤-⎩或者31213x x ⎧-<<⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩或者327x x ⎧≤-⎪⎨⎪≥-⎩ 即不等式()3f x ≤的解集为1[7,]3-. 〔2〕()2|33||23||1|2|33||23||22|2f x a x x x a x x x a >--∴+-->--∴++->【点睛】此题考察绝对值定义以及绝对值三角不等式,考察根本分析求解才能,属根底题.。
2021年高三1月模拟数学理试题 含解析
2021年高三1月模拟数学理试题含解析一、选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知i为虚数单位,复数对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】试题分析:因为,所以对应的点的坐标是,所以在第二象限,故选B.考点:1、复数的乘法运算;2、复平面.2.已知集合,,则()A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析:使有意义,必须满足,,,故选B.考点:1、函数的定义域;2、集合的交集运算.3.设向量,, 若方向相反, 则实数的值是()A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意得:,解得:,当时,,,此时,方向相同,不符合题意,舍去;当时,,,此时,方向相反,符合题意.所以实数的值是,故选D.试题分析:考点:1、向量的坐标运算;2、平行向量(共线向量).4.一算法的程序框图如图1,若输出的, 则输入的的值可能为( )A .B .C .D .【答案】C【解析】试题分析:由程序框图知:.当时,,解得:(舍去);当时,,解得:()或(),当时,或(舍去),所以输入的的值可能是,故选C .考点:1、框图;2、分段函数.5.将函数的图象向左平移个单位,再向上平移个单位,所得图象的函数解析式是( )A .B .C .D .【答案】A【解析】试题分析:将函数的图象向左平移个单位,得到函数sin 2sin 2cos 2662y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象,再向上平移个单位,得到函数的图象.所得函数的函数解析式是,故选A .考点:1、三角函数的图象变换;2、诱导公式;3、倍角公式.6.用,,表示空间中三条不同的直线, 表示平面, 给出下列命题:① 若, , 则∥; ② 若∥, ∥, 则∥;③ 若∥, ∥, 则∥; ④ 若, , 则∥.其中真命题的序号是( )A .① ②B .② ③C .① ④D .② ④【答案】D【解析】试题分析:若, , 则∥或与相交或与异面,所以①是假命题;平行于同一直线的两条直线平行,所以②是真命题;若∥, ∥, 则∥或与相交或与异面,所以③是假命题;若两条直线垂直于同一个平面,则这两条直线平行,所以④是真命题.故选D .考点:空间点、线、面的位置关系.7.已知双曲线的左,右焦点分别为,,过点 的直线与双曲线的右支相交于,两点,且点的横坐标为,则△的周长为( )A .B .C .D .【答案】A【解析】试题分析:因为,所以,因为点的横坐标为,所以轴,由,解得,所以,因为点、在双曲线上,所以,,所以1122F QF F QF Q P +=P +=P ==,所以△的周长为11F QF Q P ++P ==,故选A . 考点:1、双曲线的定义;2、双曲线的弦长;3、焦点三角形的周长.8.已知映射.设点,,点是线段上一动点,.当点在线段上从点开始运动到点结束时,点的对应点所经过的路线长度为( )A .B .C .D .【答案】B【解析】试题分析:因为点,,所以线段的方程为(),设,则,因为点是线段上一动点,所以(),所以点的对应点的轨迹是一段圆弧,且圆心角为,所以点的对应点所经过的路线长度为,故选B . 考点:1、映射;2、轨迹方程;3、弧长.二、填空题(本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分)(一)必做题(9~13题)9.不等式的解集是 .【答案】【解析】当,即时,不等式恒成立;当,即时,不等式可化为,化简得,解得或,或,故所求不等式的解集是.试题分析:考点:绝对值不等式10.已知数列是等差数列,且,则的值为.【答案】28【解析】试题分析:因为,所以,所以.考点:等差数列的性质11.在平面直角坐标系中,设不等式组所表示的平面区域是,从区域中随机取点,则的概率是.【答案】【解析】试题分析:作出可行域如图所示:不等式组所表示的平面区域是图中正方形,则正方形的面积是.从区域中随机取点,使,则点落在图中阴影部分.在中,,,所以阴影部分的面积是,故所求的概率是.考点:1、线性规划;2、几何概型.12.由,,,…,这十个数字组成的无重复数字的四位数中,十位数字与千位数字之差的绝对值等于的四位数的个数是.【答案】280【解析】试题分析:当十位数字为,千位数字为时,四位数的个数是;当十位数字与千位数字为,时,四位数的个数是;当十位数字与千位数字为,时,四位数的个数是,故所求的四位数的个数是.考点:排列与组合13.已知函数, 则12340292015201520152015f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为. 【答案】-8058【解析】试题分析:因为()()()2sin 32sin 23f x f x x x x x ππ+-=+-+-+--⎡⎤⎣⎦ ,所以12340292015201520152015f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()4029140294029480582201520152f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+=⨯-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 考点:1、函数值;2、推理与证明.(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)14.(几何证明选讲选做题)如图2,圆的直径,直线与圆相切于点,于点D ,若,设,则______.OD EC BA【答案】 【解析】试题分析:因为直线与圆相切于点,所以,因为是圆的直径,所以,在中,,在中,,所以,故.考点:1、弦切角;2、直径所对的圆周角.15.(坐标系与参数方程选讲选做题)在极坐标系中,设曲线与的交点分别为,,则线段的垂直平分线的极坐标方程为 .【答案】【解析】试题分析:曲线的普通方程为,曲线的普通方程为,所以的方程为,又易知的垂直平分线斜率为,经过圆的圆心,所以的垂直平分线的方程为,即为,或化成.考点:1、极坐标方程与直角坐标方程互化;2、两圆的公共弦所在直线方程. 三、解答题 (本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)16.(本小题满分12分)已知函数R,是函数的一个零点.(1)求的值,并求函数的单调递增区间;(2)若,且,,求的值.【答案】(1),Z;(2).【解析】试题分析:(1)由是函数的一个零点得,代入,用辅助角公式化简,得,利用正弦函数的单调递增区间即可求出函数的单调递增区间;(2)先将已知条件进行化简,再利用求出和的值,进而展开,代入数值.试题解析:(1)解:∵是函数的一个零点,∴ . …………………………………………1分∴ . ………………………………………………2分∴………………………………………………3分. ………………………………………………4分由,Z,得,Z,………………………………………………5分∴ 函数的单调递增区间是Z. …………………6分(2)解:∵,∴.∴ . ………………………………………………7分∵ ,∴ . ………………………………………………8分∵,∴.∴ . ………………………………………………9分∵ ,∴ . ……………………………………………10分∴ …………………………………………11分. ………………………………………………12分考点:1、函数的零点;2、辅助角公式;3、三角函数的单调性;4、诱导公式;5、同角三角函数的基本关系;6、两角和的正弦公式.17.(本小题满分12分)广州某商场根据以往某种商品的销售记录,绘制了日销售量的频率分布表(如表)和频 率分布直方图(如图).图3日销售量/个a a a a a表1将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1)求,的值.(2)求在未来连续3天里,有连续..2天的日销售量都高于100个且另1天的日销售量不高于50个的概率;(3)用表示在未来3天里日销售量高于100个的天数,求随机变量的分布列和数学期望.【答案】(1),;(2);(3)分布列见解析,.【解析】试题分析:(1)利用计算出,的值;(2)计算日销售量都高于100个与日销售量不高于50个的概率,即可求出在未来连续3天里,有连续..2天的日销售量都高于100个且另1天的日销售量不高于50个的概率;(3)先分析确定随机变量的所有可能取值,再计算各个取值的概率,即可得其分布列,利用数学期望公式求数学期望.试题解析:(1)解:,. …………………………2分(2) 解:设表示事件“日销售量高于100个”,表示事件“日销售量不高于50个”,表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量高于100个且另1天销售量不高于50个”.,,. ………………………………………………………5分(3)解:依题意,的可能取值为,,,,且. ……………………6分,,,,…………10分∴的分布列为……………………………………11分∴. ……………………………………12分考点:1、频率分布直方图;2、频率分布表;3、概率;4、离散型随机变量的分布列与数学期望.18.(本小题满分14分)如图,四边形是正方形,△与△均是以为直角顶点的等腰直角三角形,点是的中点,点是边上的任意一点.(1)求证:;(2)求二面角的平面角的正弦值.图4E FD C BAP【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】试题分析:(1)由已知可得,,,先证平面,得到,再证平面,得到,进而证平面,即可得;(2)先建立空间直角坐标系,再计算平面和平面的法向量,进而可算出二面角的平面角的余弦值,利用,即可得二面角的平面角的正弦值.试题解析:(1)证明:∵是的中点,且,∴ . ……………………………………………1分∵ △与△均是以为直角顶点的等腰直角三角形,∴ ,.∵ ,平面,平面,∴ 平面.∵ 平面,∴ . ……………………………………2分∵ 四边形是正方形,∴ .……………………………………3分∵ ,平面,平面,∴ 平面.∵ 平面,∴ .………………………………………………………4分∵ ,平面,平面,∴ 平面. ………………………………………………………5分∵ 平面,∴ .………………………………………………………6分HEF D C BAP(2)解法1:作于,连接,∵ ⊥平面,平面∴ .………………………………………………………7分∵ ,平面,平面,∴ ⊥平面. ………………………………………………………8分∵ 平面,∴ .……………………………………………………9分∴∠为二面角的平面角. …………………………………………………10分设正方形的边长为,则,,在Rt△中,,…………………11分在Rt△中,,,………………12分在Rt△中, . ………………………………………………13分∴ 二面角的平面角的正弦值为. ……………………………………14分zyxEFD CBAP解法2:以为坐标原点,分别以所在直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,设,则,,,.……………7分∴,.设平面的法向量为,由得…………………8分令,得,∴ 为平面的一个法向量. …………………………………………9分∵ 平面,平面,∴ 平面平面.连接,则.∵ 平面平面,平面,∴ 平面. ………………………………………………10分∴ 平面的一个法向量为. ………………………………………………11分设二面角的平面角为,则. ……………………………………………12分∴.………………………………………………13分∴ 二面角的平面角的正弦值为. ……………………………………14分考点:1、线线垂直、线面垂直;2、二面角.19.(本小题满分14分)已知数列的前项和满足:,为常数,且,.(1)求数列的通项公式;(2)若,设,且数列的前项和为,求证:.【答案】(1);(2)证明见解析.【解析】试题分析:(1)利用,即可得数列的通项公式;(2)先将代入,化简,再放缩,进而得到,即可得与的大小关系.试题解析:(1)解:∵,∴ . ………………………………………1分当时,, ………………………………………3分得, ………………………………………………4分 ∴ 数列是首项为,公比也为的等比数列. ………………………………………5分 ∴. ……………………………………………6分(2)证明:当时,, ………………………………………………7分∴. …………………………8分由,, ………………………………………………10分∴. …………………………………………… 11分 ∴ 122231111111333333n n n n T b b b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++<-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.…………13分 ∵ ,∴ ,即. …………………………………………………14分考点:1、数列的通项公式;2、数列求和;3、不等式证明;4、放缩法.20.(本小题满分14分)已知椭圆的离心率为,且经过点.圆.(1)求椭圆的方程;(2)若直线与椭圆C 有且只有一个公共点,且与圆相交于两点,问是否成立?请说明理由.【答案】(1);(2)不成立.【解析】试题分析:(1)由离心率为,可得:,由椭圆经过点,可得:,即可得椭圆的方程;(2)先将直线的方程与椭圆的方程联立,可得,利用,可得,再求出点的坐标,进而可得点不是线段的中点,即可得不成立.试题解析:(1)解:∵ 椭圆过点,∴ . …………………………………………1分 ∵, …………………………………………2分∴.…………………………………………3分∴椭圆的方程为. …………………………………………4分(2)解法1:由(1)知,圆的方程为,其圆心为原点. ………………………5分∵直线与椭圆有且只有一个公共点,∴方程组(*)有且只有一组解.由(*)得.……………………………………6分从而,化简得.① …………………7分,. ……………9分∴ 点的坐标为. ……………………………………10分由于,结合①式知,∴. ……………………………………11分∴ 与不垂直. ……………………………………12分∴ 点不是线段的中点. ……………………………………13分∴不成立. ……………………………………14分解法2:由(1)知,圆的方程为,其圆心为原点. ………………………5分∵直线与椭圆有且只有一个公共点,∴方程组(*)有且只有一组解.由(*)得.……………………………………6分从而,化简得.① …………………7分,…………………………………………………8分由于,结合①式知,设,线段的中点为,由消去,得.………………………………9分∴ . ……………………………………10分若,得 ,化简得,矛盾. ………………………………11分∴点与点不重合. ……………………………………12分∴ 点不是线段的中点. ……………………………………13分∴不成立. ……………………………………14分考点:1、椭圆的方程;2、直线与圆锥曲线.21.(本小题满分14分)已知函数,R .(1)讨论函数的单调性;(2)若函数有两个极值点,, 且, 求的取值范围;(3)在(2)的条件下, 证明:.【答案】(1)当时, 函数在上单调递减, 在上单调递增;当时, 函数在上单调递增, 在上单调递减, 在上单调递增;当时, 函数在上单调递增.(2);(3)证明见解析.【解析】试题分析:(1)先求函数的定义域,再对函数求导,进而令导函数为零,得到方程,对方程是否有实数根进行讨论,即可得函数的单调性;(2)将函数有两个极值点,转化为方程在有两不等实根,结合(1),即可得的取值范围;(3)先将化简,再令, ,进而可证,即可得. 试题解析:(1)解: 函数的定义域为,, ………………………………………………1分令, 得, 其判别式,① 当,即时, ,, 此时,在上单调递增;………………………2分② 当, 即时, 方程的两根为,,………………………3分若, 则, 则时, , 时, ,此时, 在上单调递减, 在上单调递增; ………………………4分若,则, 则时, ,时, ,时, ,此时, 在上单调递增, 在上单调递减, 在上单调递增. ……5分综上所述, 当时, 函数在上单调递减, 在上单调递增;当时, 函数在上单调递增, 在上单调递减, 在上单调递增;当时, 函数在上单调递增. ………………………6分(2) 解:由(1)可知, 函数有两个极值点,,等价于方程在有两不等实根, 故. ………………………7分(3) 证明: 由(1), (2)得, , 且, . ………8分()22222222222212ln 12ln 1x x f x x x x x x x x -+-+=---+=--, …………………9分 令, ,则, ………………………………………………10分由于, 则, 故在上单调递减. ………………………11分故. ………………………………………………12分∴. ………………………………………………13分∴. ………………………………………………14分考点:1、用导数判断函数的单调性;2、参数的取值范围;3、用导数证明不等式.728162 6E02 渂34135 8557 蕗 32180 7DB4 綴331287 7A37 稷26014 659E 斞G24590 600E 怎22888 5968 奨S36283 8DBB 趻Y35390 8A3E 訾。
2020年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真卷A(附解析)
2020年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真卷A (附解析)选择题部分一、选择题(本大题共18小题,每小题3分,共54分,每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分) 1.已知集合{|13}M x x =≤<,{1,2}N =,则M N =A .{1}B .{1,2}C .0D .[1,2] 2.不等式(1)(2)0x x +-≤的解集为 A .{|12}x x -≤≤ B .{|12}x x -<<C .1{|2x x >-或1}x ≤- D .}{|21x x x ><-或 3.若1sin 3α=,则cos2α= A .89 B .79 C .79- D .89- 4.圆224210x y x y +--+=的圆心在A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 5.双曲线方程为x 2−2y 2=1,则它的左焦点的坐标为A .(−2,0) B .(−2,0) C .(−20) D .0)6.已知向量,a b 满足||1=a ,||2=b ,||+=a b ⋅=a bA .12B .1 CD .2 7.若变量x ,y 满足约束条件11y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩………,则z =2x +y 的最大值是A .2B .3C .4D .58.若平面α和直线a ,b 满足a A α=,b α⊂,则a 与b 的位置关系一定是 A .相交 B .平行 C .异面 D .相交或异面 9.过点(0,2)且与直线0x y -=垂直的直线方程为A .20x y +-=B .20x y --=C .20x y ++=D .20x y -+= 10.函数32()log (||1)f x x =-的大致图象是A .B .C .D .11.设a b ,都是不等于1的正数,则“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件 12.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A .12πB .64π3 C .32π3D .16π 13.等差数列{}n a 中,已知611||||a a =,且公差0d >,则其前n 项和取最小值时的n 的值为A .6B .7C .8D .914.将函数π()cos(2)6f x x =-的图象向左平移π3个单位,得到函数()y g x =的图象,那么下列说法正确的是A .函数()g x 的最小正周期为2πB .函数()g x 是奇函数C .函数()g x 的图象关于点π(,0)12对称 D .函数()g x 的图象关于直线π3x =对称 15.在三棱锥P ABC -中,,3,2PB BC PA AC PC ====,若过AB 的平面α将三棱锥P ABC -分为体积相等的两部分,则棱PA 与平面α所成角的余弦值为A .13 B C .23 D16.已知直线10x +=与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>交于,A B 两点,且线段AB 的中点为M ,若直线OM (O 为坐标原点)的倾斜角为150︒,则椭圆C 的离心率为A .13 B .23 CD17.已知数列{}n a 满足11202122,1,1n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩,若167a =,则2020a = A .17 B .37 C .57 D .6718.如图,在Rt ABC △中,6AB BC ==,动点D ,E ,F 分别在边BC ,AC ,AB上,四边形BDEF 为矩形,剪去矩形BDEF 后,将剩余部分绕AF 所在直线旋转一周,得到一个几何体,则当该几何体的表面积最大时,BD =A .2B .3C .4 D.非选择题部分二、填空题(本大题共4小题,每空3分,共15分)19.已知直线1:10l x y -+=与2:30l x ay ++=平行,则a =________,1l 与2l 之间的距离为________.20.函数0()(2)f x x =-的定义域为________.21.我国南宋著名数学家秦九韶在《数学九章》的“田域类”中写道:问沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,…,欲知为田几何.意思是已知三角形沙田的三边长分别为13,14,15里,求三角形沙田的面积.请问此田面积为________平方里.22.已知函数22()23,()1f x x x ag x x =-+=-.若对任意1[03]x ∈,,总存在2[23]x ∈,,使得1|()|f x ≤2()g x 成立,则实数a 的值为________. 三、解答题(本大题共3小题,共31分) 23.(本小题满分10分)在ABC △中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,若π3B =,且3(7( ))a b c a b c bc -++-=,(Ⅰ)求cos A 的值; (Ⅱ)若5a =,求b .24.(本小题满分10分)已知抛物线2:2(0)E y px p =>,过其焦点F 的直线与抛物线相交于11(,)A x y ,22(,)B x y 两点,满足124y y =-.(Ⅰ)求抛物线E 的方程;(Ⅱ)已知点C 的坐标为(2,0)-,记直线CA 、CB 的斜率分别为1k ,2k ,求221211k k +的最小值.25.(本小题满分11分)已知定义域为R 的函数2()21g x x x m -++=在[1,2]上有最大值1,设()()g x f x x=. (Ⅰ)求m 的值;(Ⅱ)若不等式33log 2log 0()x k f x -≥在[3,9]x ∈上恒成立,求实数k 的取值范围;(Ⅲ)若函数()|e 1|(|e 1|e 32)|1|x x xx f k k h -⋅--=-⋅+有三个不同的零点,求实数k 的取值范围(e 为自然对数的底数).2020年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真卷A (解析)一、选择题(本大题共18小题,每小题3分,共54分,每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分) 1.已知集合{|13}M x x =≤<,{1,2}N =,则M N =A .{1}B .{1,2}C .0D .[1,2] 1.【答案】B【解析】由交集定义可得:{}1,2MN =,故选B .2.不等式(1)(2)0x x +-≤的解集为A .{|12}x x -≤≤B .{|12}x x -<<C .1{|2x x >-或1}x ≤- D .}{|21x x x ><-或 2.【答案】A【解析】由二次函数()()12y x x =+-的图象可知,不等式(1)(2)0x x +-≤的解是12x ≤≤-,故选A .3.若1sin 3α=,则cos2α= A .89 B .79 C .79- D .89- 3.【答案】B【解析】227cos 212sin 199αα=-=-=,故选B . 4.圆224210x y x y +--+=的圆心在A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 4.【答案】A【解析】化简224210x y x y +--+=得到22(2)(1)4x y -+-=,圆心为(2,1),在第一象限,故选A .5.双曲线方程为x 2−2y 2=1,则它的左焦点的坐标为A .,0)B .,0)C .0)D .0) 5.【答案】C【解析】由2222211121x y x y ⇒-=-=,可得21a =,212b =,由22213+1=22c a b =+=,得c =0).故选C .6.已知向量,a b 满足||1=a ,||2=b ,||+=a b ,则⋅=a bA .12B .1 CD .2 6.【答案】A【解析】由||+=a b 2()6+=a b ,即2226+⋅+=a a b b ,又||1=a ,||2=b ,则12⋅=a b .所以本题答案为A . 7.若变量x ,y 满足约束条件11y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩………,则z =2x +y 的最大值是A .2B .3C .4D .5 7.【答案】B【解析】如图,先根据约束条件画出可行域,当直线z =2x +y 过点A (2,﹣1)时,z 最大,最大值是3,故选B . 8.若平面α和直线a ,b 满足aA α=,b α⊂,则a 与b 的位置关系一定是A .相交B .平行C .异面D .相交或异面 8.【答案】D【解析】当A b ∈时,a 与b 相交;当A b ∉时,a 与b 异面.故答案为D. 9.过点(0,2)且与直线0x y -=垂直的直线方程为 A .20x y +-= B .20x y --= C .20x y ++= D .20x y -+= 9.【答案】A【解析】由0x y -=可得直线斜率11k =,根据两直线垂直的关系得121k k ⋅=-,求得21k =-,再利用点斜式,可求得直线方程为1(0)2y x =--+,化简得20x y +-=,故选A.10.函数32()log (||1)f x x =-的大致图象是A .B .C .D .10.【答案】B【解析】由函数32()log (||1)f x x =-,可知函数()f x 是偶函数,排除C ,D ;定义域满足:10x ->,可得1x <-或1x >.当1x >时,32()log (||1)f x x =-是递增函数,排除A.故选B .11.设a b ,都是不等于1的正数,则“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件11.【答案】B【解析】若333a b >>,则1a b >>,从而有log 3log 3a b <,故为充分条件.若log 3log 3a b <不一定有1a b >>,比如133a b ==,,从而333a b >>不成立.故选B .12.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A .12πB .64π3 C .32π3D .16π 12.【答案】C【解析】该几何体为半个圆柱与半个圆锥形成的组合体,故22141148π32ππ()4π()48π2223233V =⋅⨯+⨯⋅⨯=+=,故选C . 13.等差数列{}n a 中,已知611||||a a =,且公差0d >,则其前n 项和取最小值时的n 的值为A .6B .7C .8D .9 13.【答案】C【解析】因为等差数列{}n a 中,611||||a a =,所以6116111150,0,,2a a a a a d <>=-=-,有2[(8)64]2n dS n =--,所以当8n =时前n 项和取最小值.故选C . 14.将函数π()cos(2)6f x x =-的图象向左平移π3个单位,得到函数()y g x =的图象,那么下列说法正确的是A .函数()g x 的最小正周期为2πB .函数()g x 是奇函数C .函数()g x 的图象关于点π(,0)12对称 D .函数()g x 的图象关于直线π3x =对称 14.【答案】B【解析】将函数π()cos(2)6f x x =-的图象向左平移π3个单位,得到函数()y g x = 2ππcos(2)sin 236x x =+-=-的图象,故()g x 为奇函数,且最小正周期为2ππ2=,故A 错误,B 正确;令2πx k =,k ∈Z ,得π2k x =,k ∈Z ,则函数()g x 的图象关于点π(,0)2k ,k ∈Z 对称,故C 错误;令π2π2x k =+,k ∈Z ,得ππ24k x =+,k ∈Z ,则函数()g x 的图象关于直线ππ24k x =+,k ∈Z 对称,故D 错误.故选B .15.在三棱锥P ABC -中,,3,2PB BC PA AC PC ====,若过AB 的平面α将三棱锥P ABC -分为体积相等的两部分,则棱PA 与平面α所成角的余弦值为A .13 B C .23 D 15.【答案】D【解析】如图所示,取PC 中点为D ,连接,AD BD ,因为过AB 的平面α将三棱锥P ABC -分为体积相等的两部分,所以α即为平面ABD .又因为PA AC =,所以PC AD ⊥,又PB BC =,所以PC BD ⊥,且ADBD D =,所以PC ⊥平面ABD ,所以PA 与平面α所成角即为PAD ∠,因为2PC =,所以1PD =,所以1sin 3PD PAD PA ∠==,所以cos PAD ∠==D .16.已知直线10x -+=与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>交于,A B 两点,且线段AB 的中点为M ,若直线OM (O 为坐标原点)的倾斜角为150︒,则椭圆C 的离心率为A .13 B .23 CD16.【答案】D【解析】设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ,∵点,A B 在椭圆22221x y a b +=上,∴2222112222221,1x y x y a b a b+=+=,两式相减整理得2121221212y y y y b x x x x a +-⋅=-+-,∴20122012y y y b x x x a -⋅=--,即22OM AB b k k a⋅=-,∴221tan1503b a ==-=-,∴2213b a =,∴椭圆C的离心率为e ===D . 17.已知数列{}n a 满足11202122,1,1n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩,若167a =,则2020a =A .17 B .37 C .57 D .6717.【答案】D【解析】数列{}n a 满足11202122,1,1n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩,167a =,21324653362121,21,2,77777a a a a a ∴=-=⨯-==-==⨯=3n n a a +∴=,202067331167a a a ⨯+∴===.故选D .18.如图,在Rt ABC △中,6AB BC ==,动点D ,E ,F 分别在边BC ,AC ,AB上,四边形BDEF 为矩形,剪去矩形BDEF 后,将剩余部分绕AF 所在直线旋转一周,得到一个几何体,则当该几何体的表面积最大时,BD =A .2B .3C .4D .18.【答案】B【解析】设BD x =,BF y =,其中,(0,6)x y ∈,由题易得666x y -=,所以6x y +=,则所求几何体的表面积为:212π6π62π2S xy =⨯⨯⨯+⨯+236π2π36π2π()54π2x y xy +=++≤++⨯=+,当且仅当3x y ==,即3BD =时等号成立.故选B.非选择题部分二、填空题(本大题共4小题,每空3分,共15分)19.已知直线1:10l x y -+=与2:30l x ay ++=平行,则a =________,1l 与2l 之间的距离为________.19.【答案】−1【解析】由两直线平行,得1a =-,在直线1:10l x y -+=上任取一点(0,1),到直线2:30l x y -+=的距离为.故答案为−1.20.函数0()(2)f x x =+-的定义域为________. 20.【答案】[)()0,22,+∞【解析】因为21020x x ⎧-≥⎨-≠⎩,所以02x x ≥⎧⎨≠⎩,则定义域为[)()0,22,+∞,故答案为[)()0,22,+∞.21.我国南宋著名数学家秦九韶在《数学九章》的“田域类”中写道:问沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,…,欲知为田几何.意思是已知三角形沙田的三边长分别为13,14,15里,求三角形沙田的面积.请问此田面积为________平方里. 21.【答案】84【解析】由题意画出图象:且AB =13里,BC =14里,AC =15里,在△ABC 中,由余弦定理得,cos B =2222AB BC AC AB BC +-⋅=22213141521314+-⨯⨯=513,所以sin B =1213,则该沙田的面积即△ABC 的面积S =12AB •BC •sin B =1121314213⨯⨯⨯=84.故答案为84.22.已知函数22()23,()1f x x x ag x x =-+=-.若对任意1[03]x ∈,,总存在2[23]x ∈,,使得12|()|()f x g x ≤成立,则实数a 的值为________.22.【答案】13-【解析】不等式12|()|()f x g x ≤可化为:()()()212g x f x g x -≤≤,若对任意1[03]x ∈,,总存在2[23]x ∈,,使得12|()|()f x g x ≤成立,则min minmax max [()]()()()g x f x f x g x -≤⎧⎨≤⎩, 当[]23x ∈,时,()21g x x =-的最大值为()22221g ==-; 当[]03x ∈,时,()223f x x x a =-+的最大值为()23323333f a a =-⨯+=+,最小值为()21121313f a a =-⨯+=-+,所以min min max max[()]()()()g x f x f x g x -≤⎧⎨≤⎩可化为231332a a -≤-⎧⎨+≤⎩,解得1133a -≤≤-.故13a =-.三、解答题(本大题共3小题,共31分) 23.(本小题满分10分)在ABC △中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,若π3B =,且3(7( ))a b c a b c bc -++-=,(Ⅰ)求cos A 的值; (Ⅱ)若5a =,求b . 23.(本小题满分10分)【解析】(Ⅰ)由3(7())a b c a b c bc -++-=,可得22222()327a b c a b c bc bc ----+==,即222117a b c bc =+-,即222117b c a bc +-=,(3分) 由余弦定理可得22211cos 214b c a A bc +-==.(5分)(Ⅱ)由(Ⅰ)及三角函数的基本关系式,可得sin A ==7分)在ABC △中,由正弦定理可得sin sin b a B A =,所以sin 7sin a B b A ===.(10分)24.(本小题满分10分)已知抛物线2:2(0)E y px p =>,过其焦点F 的直线与抛物线相交于11(,)A x y ,22(,)B x y 两点,满足124y y =-.(Ⅰ)求抛物线E 的方程;(Ⅱ)已知点C 的坐标为(2,0)-,记直线CA 、CB 的斜率分别为1k ,2k ,求221211k k +的最小值.24.(本小题满分10分)【解析】(Ⅰ)因为直线AB 过焦点(,0)2p F ,设直线AB 的方程为2p x my =+, 将直线AB 的方程与抛物线E 的方程联立222p x my y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩,消去x 得2220y mpy p --=,所以有2124y y p =-=-,0p >,2p ∴=,因此,抛物线E 的方程为24y x =.(4分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知抛物线的焦点坐标为()1,0F ,则直线AB 的方程为1x my =+,联立抛物线的方程得2440y my --=,所以124y y m +=,124y y =-,则有1113m k y =+,2213m k y =+,(6分) 因此22222221212121211331111()()=26()9()m m m m k k y y y y y y +=+++++++ ()212122122212122269y y y y y y m m y y y y +-+=+⋅+⋅ ()222484926954162m mm m m +=+⋅+⋅=+-.(9分)因此,当且仅当0m =时,221211k k +有最小值92.(10分) 25.(本小题满分11分)已知定义域为R 的函数2()21g x x x m -++=在[1,2]上有最大值1,设()()g x f x x=. (Ⅰ)求m 的值;(Ⅱ)若不等式33log 2log 0()x k f x -≥在[3,9]x ∈上恒成立,求实数k 的取值范围;(Ⅲ)若函数()|e 1|(|e 1|e 32)|1|x x xx f k k h -⋅--=-⋅+有三个不同的零点,求实数k 的取值范围(e 为自然对数的底数). 25.(本小题满分11分)【解析】(Ⅰ)因为()()21g x x m =-+在[1,2]上是增函数,所以()()()2max 2211g x g m ==-+=,解得0m =.(2分)(Ⅱ)由(Ⅰ)可得()12f x x x=+-, 所以不等式()33log 2log 0f x k x -≥在[3,9]x ∈上恒成立等价于()2331221log log k xx ≤-+在[3,9]x ∈上恒成立.(3分) 令31log t x =,因为[]3,9x ∈,所以1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 则有2221k t t ≤-+在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.(4分)令()221s t t t =-+,1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则()()min 10s t s ==, 所以20k ≤,即0k ≤,所以实数k 的取值范围为(],0-∞.(6分)(Ⅲ)因为()()2e 1e 13221x x h x k k -+-+-⋅+=, 令e 1x q =-,由题意可知[0,)q ∈+∞,令()()23221H q q k q k =-+++,[0,)q ∈+∞,(7分)则函数()()2e 1e 13221x x h x k k -+-+-⋅+=有三个不同的零点等价于()()23221H q q k q k =-+++在[0,)q ∈+∞上有两个不同的零点,(8分) 当0q =时12k =-,此时方程()100,2H q q q =⇒==,此时关于x 的方程有三个零点,符合题意;当0q ≠时,记方程()0H q =的两根为1q ,2q ,且12q q <,101q <<,21q ≥,所以()()00100H H >⎧⎪≤⎨⎪∆>⎩,解得0k >. 综上,实数k 的取值范围是(0,)+∞1{}2-.(11分)。
浙江省普通高中2021年高中数学1月学业水平考试仿真模拟试题二含解析
浙江省普通高中2021年高中数学1月学业水平考试仿真模拟试题(二)(含解析)一、选择题(本大题共18小题,每小题3分,共54分.每小题列出的四个备选项中只有一个符合题目要求,不选、多选、错选均不给分.)1.已知集合{}2|320A x x x =-+=,集合{}|05,B x x x N =<<∈,则AB =( )A.{}1,2B.{}1C.{}2,3D.{}1,4 解析:选A因为{}{}2|3201,2A x x x =-+==,{}{}|05,1,2,3,4B x x x N =<<∈=,所以A B ={}1,2.故选A.2.若[1,1]x ∈-,则函数22x y =-的值域为( )A.[1,1]-B.[2,0]-C.3[,0]2- D.[1,0]-解析:选C 因为[1,1]x ∈-,所以12[,2]2x ∈,所以322[,0]2x-∈-.故选C. 3.已知等差数列{}n a 满足7916a a +=,若41a =,则12a =( )A.64B.31C.24D.15解析:选 D 因为数列是等差数列,所以79412a a a a +=+,所以1216115a =-=.故选D.4.经过点(1,2)A -且垂直于直线2340x y -+=的直线l 的方程为( )A.3210x y ++=B.3210x y +-=C.2350x y -+=D.2380x y -+=解析:选B 由题可得,设垂直于直线2340x y -+=的直线l 的方程为320x y c ++=,因为直线过点(1,2)A -,所以340c -++=,解得1c =-,所以直线l 的方程为3210x y +-=.故选B.5.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> )A.y =B.y =C.y x =D.32y x =±解析:选 A 因为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为3,所以3ca =,即223c a =22a b =+,解得2b a =,所以2ba=,所以双曲线的渐近线方程为2by x x a=±=±.故选A. 6.函数111y x =+-的图象是下列图象中的( )解析:选B 由题可得,函数111y x =+-的图象可由函数1y x=的图象向右平移一个单位长度,再向上平移一个单位长度得到,结合函数1y x=的图象可知,选项B 满足条件,故选B.7.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知1,3,60c b B ===,则C 的大小为( )A.30B.45C.150D.30或150 解析:选 A 因为1,3,60c b B ===,所以由正弦定理sin sin b cB C=可得sin 1sin 2c B C b ==.因为b c >,所以B C >,知90C <,解得30C =.故选A. 8.已知向量(,2),(1,1)a b λλ=-=+,则“1λ=”是“a b ⊥”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:A 因为(,2),(1,1)a b λλ=-=+,且a b ⊥,所以(1)20a b λλ⋅=+-=,解得1,2λ=-.所以可知是充分不必要条件.故选A.9.若实数,x y 满足约束条件5630,32,1x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则3z x y =+的最小值是( )A.10B.3C.272 D.113解析:选 B 由题可得,约束条件表示的平面区域如图所示,是一个以2251020(1,),(1,),(,)3639为顶点的三角形及其内部区域.由线性规划的特点可知,目标函数3z x y =+在点2(1,)3处取得最小值,其最小值为3.故选B.10.已知某个几何体的三视图如图所示,根据图中所给的数据,可得该几何体的体积为( ) 52332解析:选D 由题可得,结合三视图可知,该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱,所以其体积为13(12)1122V =⨯+⨯⨯=.故选D . 11.已知函数1()2(0)f x x x x=+-<,则()f x 有( ) A.最大值0 B.最小值0 C.最大值4- D.最小值4-解析:选C 因为0x <,所以0x ->,所以111()2()2()x x x x x x -+=-+≥-⋅=--,所以12x x +≤-,所以124x x +-≤-.当且仅当1x x=,1x =-时,()f x 有最大值4-.故选C.12.若点G 为ABC ∆的重心(三角形三边中线的交点),设,BG a GC b ==,则AB =( ) A.3122a b - B.3122a b + C.2a b - D.2b a - 解析:选 D 因为点G 为ABC ∆的重心,所以有0GA GB GC ++=.因为,BG a GC b ==,所以GA BG GC a b=-=-,所以22AB GB GA GC BG b a =-=-=-.故选D.13.已知3sin 5α=,且α是第二象限角,则tan(2)4πα+的值为( ) A.195- B.519- C.3117- D.1731-解析:选 D 因为3sin 5α=,且α是第二象限角,所以可得3tan 4α=-,所以22tan tan 21tan ααα=-324297116-==--,所以241tan 21177tan(2)2441tan 23117πααα-++===--+.故选D. 14.已知,,m n l 为三条不同的直线,,αβ为两个不同的平面,则下列命题中正确的是( ) A.//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ B.//,l l αβαβ⊥⇒⊥ C.,//m m n n αα⊥⊥⇒ D.,//l l βαβα⊥⊥⇒解析:选B 对于选项A ,由两平行平面内的各一条直线平行或异面可知,选项A 错误,排除;对于选项C ,,m m n α⊥⊥可以得到//n α或n α⊂,选项C 错误,排除;对于选项D ,,l βαβ⊥⊥可以得到//l α或l α⊂,选项D 错误,排除;对于选项B ,//,l l αβαβ⊥⇒⊥成立,故选B.15.已知数列{}n a 满足0n a >,221114n n n n a a a a ++++=+,且112a =,则该数列的前2020项的和为( )A.30272 B.1514 C.30292 D.1515解析:选D 因为2211111,24n n n n a a a a a ++=++=+,所以当1n =时,解得21a =;当2n =时,解得312a =;所以可知该数列是以2为周期的周期数列,所以该数列的前2020项和为202011010101015152S =+⨯=.故选D.16.已知正数,x y 满足1x y +=,则1114x y++的最小值为( ) A.73 B.2 C.95 D.43解析:选C 由题可得,()414144141141144145x y x y x y x y ⎛⎫+⋅++ ⎪+⎝⎭+=+=++4(14)441941455y xx y +++++=≥=,当且仅当4(14)4414y x x y+=+,51,66x y ==时取得好.故选C.17.设椭圆M 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>,若斜率为1的直线与椭圆M 相切同时也与圆2:C x2()(y b b +-为椭圆的短半轴)相切,设椭圆的离心率为e ,则2e 的值为( )A.322- B.21- C.122+ D.323+ 解析:选A 设直线方程为y x m =+,因为直线与椭圆相切,所以代入椭圆方程,可得22222222()20b a x a mx a m a b +++-=,所以由0∆=可得222m a b =+.又因为直线与圆相切,所以2b m b -=,解得(12)m b =+,所以2222(12)b a b +=+,由222b ac =-,所以有22(221)(222)a c +=+,解得222222322221c e a +-===+.故选A. 18.已知矩形ABCD 中,4,2,,AB BC E F ==分别为边,AB CD 的中点.现沿直线DE 将ADE ∆翻折成PDE ∆,在点P 从A 到F 的运动过程中,CP 的中点G 的轨迹长度为( )A.2πB.2πC.22π D.12π 解析:选C 连接AF 交DE 于点O ,由已知条件易知AF DE ⊥,翻折后可得PO DE ⊥,且2OP =,所以有DE ⊥平面POA ,所以点P 的轨迹是在平面POA 内的半圆.连接OC ,取OCD 中点,连接GH ,由中位线可得1//,2GH PO GH PO =,所以点G 是GH 为半径的半圆轨迹.因为1222GH PO ==,所以其半圆的圆弧长为22.故选C.二、填空题(本大题共5小空,每空3分,合计15分)19.已知圆C 的方程为22240x y x y +--=,则该圆的圆心坐标为 ,该圆的面积为 .解析:(1,2);5π 由题可得,22(1)(2)5x y -+-=,所以可知该圆的圆心为(1,2),半径为5r =25r ππ=.20.若函数21()(27)(0)m f x m m xm -=-->是幂函数,则实数m = .解析:4 因为函数是幂函数,所以2271m m --=,解得4m =或2-.因为0m >,所以4m =.21.如图所示,在侧棱垂直于底面的三棱柱111ABC A B C -中,P 是棱BC 上的动点.记直线1A P 与平面ABC 所成的角为1θ,与直线BC 所成的角为2θ,则1θ 2θ(填“>”、“=”或“<”).解析:< 连接AP ,则11A PA θ∠=,12A PC θ∠=或2πθ-,设APC θ∠=,则122sin sin sin sin θθθθ=<,所以12θθ<.22.已知函数2()()323x n f x m x nx =-++,函数()y f x =的零点构成的集合为A ,函数[()]y f f x =的零点构成的集合为B ,若A B =,则m n +的取值范围是 .解析:8[0,)3 设()t f x =,()y f t =,因为A B =,所以()0f t =时,0t =,即(0)0f =,所以03n m -=,所以3n m =,所以43nm n +=.因为2()2(2)f x x nx x x n =+=+,由()0f t =得0,2t t n ==-,而()2f x n =-无解,即2220x nx n ++=无解,所以2480n n ∆=-<,解得02n <<.又0n =时符合题意.综上可知02n ≤<,所以48[0,)33n m n +=∈. 三、(本大题共3小题,共31分.) 23.已知函数()sin()sin f x x x π=+. (1)求()12f π的值;(2)若3()10f α=-,04πα<<.求()8f πα+的值. 解:1()sin()sin sin cos sin 22f x x x x x x π=+=-=-.(1)所以11()sin 12264f ππ=-=-.(2)因为13()sin 2210f αα=-=-,所以3sin 25α=.因为04πα<<,所以022πα<<.所以4cos 25α=.所以()sin 2()sin(2)884f πππααα+=-+=-+sin 2coscos 2sin44ππαα=--324272525210=-⨯-⨯=-. 24.已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ,直线220x y -+= 交抛物线C 于,A B 两点,P 是线段AB 的中点,过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q . (1)若直线AB 过焦点F ,求AF BF ⋅的值;(2)是否存在实数p ,使ABQ ∆是以Q 为直角顶点的直角三角形?若存在,求出p 的值;若不存在,说明理由. 解:(1)因为()0,2F ,4p =, 所以抛物线方程为y x 82=,与直线22y x =+联立消去y 得:016162=--x x ,设),(),,(2211y x B y x A ,则16,162121-==+x x x x , 所以1212||||(2)(2)(24)(24)AF BF y y x x ⋅=++=++=80.(2)假设存在,由抛物线py x 22=与直线22y x =+联立消去y 得:0442=--p px x 设),(),,(2211y x B y x A ,则p x x p x x 4,42121-==+, 可得),2,2(p p Q由0=⋅得:0)2)(2()2)(2(2121=--+--p y p y p x p x , 即0)22)(222()2)(2(2121=-+-++--p x p x p x p x , 所以0488))(64(522121=+-++-+p p x x p x x , 代入得01342=-+p p ,解得14p =或1p =-(舍). 25.已知函数2()(0,1)ax f x a b x b =>>+满足(1)1f =,且()f x 在R 上有最大值324. (1)求()f x 的解析式;(2)当[1,2]x ∈时,不等式23()(2)mf x x x m≤+-恒成立,求实数m 的取值范围.解:(1)(1)11af b==+,所以1a b =+. 因为当0x >时,2()ax a f x b x b x x==≤=++所以1b +=,解得2b =或12b =.因为1b >,所以2b =,所以3a =. 所以23()2xf x x =+. (2)因为23(2)mx x m+-在[1,2]上恒有意义,所以1m <或2m >. 问题即为22332(2)x mx x x m≤++-对[1,2]x ∈恒成立, 即mx x m≤-对[1,2]x ∈恒成立, 所以有m m x m x x-≤-≤. (i)当1x =时显然成立,当1x ≠时,21x m x ≤-,所以4m ≤(ii)对于21x m x ≥+对[1,2]x ∈恒成立,等价于2max1x m x ⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭.令1t x =+,则1[2,3]x t =-∈,所以22(1)121x t t x t t -==+-+,其在[2,3]上单调递增, 所以2max4=13x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭,即43m ≥. 综上可得,实数m 的取值范围是(2,4].。
《精编》浙江省嘉兴一中高三数学上学期入学摸底试卷 文 新人教A版.doc
嘉兴一中2021学年第一学期学科测试高三数学〔文科〕 试题卷总分值[150]分 ,时间[120]分钟 8月选择题局部〔共50分〕本卷须知:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 2.每题选出答案后,用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,不能答在试题卷上.一、选择题:本大题共10小题,每题5分,共50分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1.集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,假设{}0,1,2,4,16AB =,那么a 的值为〔 〕A .0B .1C .2D .4 2.设2lg ,(lg ),a e b e c === ( )A .a b c >>B .a c b >>C .c a b >>D .c b a >> 3.如果执行右边的程序框图,那么输出的S = 〔 〕 A .2450 B .2500 C .2550 D .2652 4.设,,αβγ是三个互不重合的平面,,m n 是两条不重合的直线,那么以下命题中正确的选项是〔 〕 A .假设,αββγ⊥⊥,那么αγ⊥ B .假设//αβ,m β⊄,//m α,那么//m β C .假设αβ⊥,m α⊥,那么//m β D .假设//m α,//n β,αβ⊥,那么m n ⊥5.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,假设3613S S =,那么612SS =〔 〕A .310B .13C .18D .196.假设“01x <<〞是“()[(2)]0x a x a --+≤〞的充分而不必要条件,那么实数a 的取值范围是( )A .[1,0]-B . (1,0)-C .(,0][1,)-∞+∞D . (,1)(0,)-∞-+∞7.向量(cos ,sin )a θθ=,向量(3,1)b =,那么2a b -的最大值和最小值分别为〔 〕 A. B .4,0 C .16,0 D.8.假设2222(0)a b c c +=≠,那么直线0ax by c ++=被圆221x y +=所截得的弦长为 ( )A .12B .1C .22D .2 9.抛物线x y 42=的焦点F 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点重合,它们在第一象限内的交点为T ,且TF 与x 轴垂直,那么椭圆的离心率为〔 〕A . 23-B .21C .21-D .2210.假设函数2()f x x ax b =++有两个零点cos ,cos αβ,其中,(0,)αβπ∈,那么在(1),(1)f f -两个函数值中 ( )A .只有一个小于1B .至少有一个小于1C .都小于1D .可能都大于1非选择题局部 (共100分)二、 填空题: 本大题共7小题, 每题4分, 共28分.11.假设(2)a i i b i -=-,其中,a b R ∈,i 是虚数单位,那么复数a bi += 12.如图是某抽取的n 个学生体重的频率分布直方图,图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3,第3小组的频数为18,那么的值n 是 . 13.一个几何体的三视图如右图所示,正视图是一个边长为2的正三角形,侧视图是一个等腰直角三角形,那么该几何体的体积为 .14.直线1:(3)(5)10l k x k y -+-+=与2:2(3)230l k x y --+=垂直,那么k 的值是15.假设正数y x ,满足3039422=++xy y x ,那么xy 的最大值是 16.定义在R 上的奇函数()f x 满足:当0x >时,2012()2012log x f x x =+,那么在R 上,函数()f x 零点的个数为17.以下四个命题:①在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且B a A b cos sin =,那么4π=B ;②设b a ,是两个非零向量且→→→→=⋅b a b a ,那么存在实数λ,使得a b λ=;③方程0sin =-x x 在实数范围内的解有且仅有一个;④,a b R ∈且3333a b b a ->-,那么a b >;其中正确的选项是三、解答题:本大题共5小题,共72分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.〔此题总分值14分〕在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c .a =2c ,且A-C =2π. (Ⅰ) 求的值C cos ;(Ⅱ) 当b=1时,求△ABC 的面积S 的值.19.〔此题总分值14分〕设数列{}n a 满足12a =,21132n n n a a -+-=⋅ (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)令n n b na =,求数列{}n b 的前n 项和n S .20.〔此题总分值14分〕如图,在矩形ABCD 中,2AB BC =,点M 在边CD 上,点F 在边AB 上,且DF AM ⊥,垂足为E ,假设将ADM ∆沿AM 折起,使点D 位于D '位置,连接B D ',C D '得四棱锥ABCM D -'. 〔Ⅰ〕求证:F D AM '⊥;〔Ⅱ〕假设3π='∠EF D ,直线F D '与平面ABCM 所成角的大小为3π,求直线D A '与平面ABCM 所成角的正弦值.21.〔此题总分值15分〕函数2()ln f x x ax x =+-,a R ∈; (Ⅰ)假设函数()f x 在[1,2]上是减函数,求实数a 的取值范围;(Ⅱ)令2()()g x f x x =-,是否存在实数a ,当(0,]x e ∈ (e 是自然对数的底数)时,函数()g x 的最小值是3.假设存在,求出a 的值;假设不存在,说明理由.22.〔此题总分值15分〕点11(,)A x y ,22(,)B x y 是抛物线24y x =上相异两点,且满足122x x +=.〔Ⅰ〕假设AB 的中垂线经过点(0,2)P ,求直线AB 的方程; 〔Ⅱ〕假设AB 的中垂线交x 轴于点M ,求AMB ∆的面积的最大值及此时直线AB 的方程.嘉兴一中2021学年第一学期学科测试高三数学〔文科〕 参考答案及评分标准一、选择题:本大题共10小题,每题5分,共50分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1.集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,假设{}0,1,2,4,16AB =,那么a 的值为〔 D 〕A .0B .1C .2D .4 2.设2lg ,(lg ),a e b e c === ( B )A .a b c >>B .a c b >>C .c a b >>D .c b a >> 3.如果执行下面的程序框图,那么输出的S = 〔 C 〕 A .2450 B .2500 C .2550 D .2652 4.设,,αβγ是三个互不重合的平面,,m n 是两条不重合的直线,那么以下命题中正确的选项是〔 B 〕 A .假设,αββγ⊥⊥,那么αγ⊥B .假设//αβ,m β⊄,//m α,那么//m βC .假设αβ⊥,m α⊥,那么//m βD .假设//m α,//n β,αβ⊥,那么m n ⊥5.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,假设3613S S =,那么612SS =〔 A 〕A .310B .13C .18D .196.假设“01x <<〞是“()[(2)]0x a x a --+≤〞的充分而不必要条件,那么实数a 的取值范围是( A )A .[1,0]-B . (1,0)-C .(,0][1,)-∞+∞D . (,1)(0,)-∞-+∞7.向量(cos ,sin )a θθ=,向量(3,1)b =,那么2a b -的最大值和最小值分别为〔 B 〕 A. B .4,0 C .16,0 D.8.假设2222(0)a b c c +=≠,那么直线0ax by c ++=被圆221x y +=所截得的弦长为 ( D )A .12B .1CD9.抛物线x y 42=的焦点F 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点重合,它们在第一象限内的交点为T ,且TF 与x 轴垂直,那么椭圆的离心率为〔 C 〕A. 23- B .21C1 D .2210.假设函数2()f x x ax b =++有两个零点cos ,cos αβ,其中,(0,)αβπ∈,那么在(1),(1)f f -两个函数值中 ( B )A .只有一个小于1B .至少有一个小于1C .都小于1D .可能都大于1 非选择题局部 (共100分)二、 填空题: 本大题共7小题, 每题4分, 共28分.11.假设(2)a i i b i -=-,其中,a b R ∈,i 是虚数单位,那么复数a bi +=12i -+12.如图是某抽取的n 个学生体重的频率分布直方图,图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3,第3小组的频数为 1 8,那么的值n 是 48 .13.一个几何体的三视图如右图所示,正视图是一个边长为2的正三角形,侧视图是一个等腰直角三角形,那么该几何体的体积为 4 .14.直线1:(3)(5)10l k x k y -+-+=与2:2(3)230l k x y --+=垂直,那么k 的值是 1或415.假设正数y x ,满足3039422=++xy y x ,那么xy 的最大值是 2 16.定义在R 上的奇函数()f x 满足:当0x >时,2012()2012log x f x x =+,那么在R 上,函数()f x 零点的个数为 317.以下四个命题:①在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且B a A b cos sin =,那么4π=B ;②设b a ,是两个非零向量且→→→→=⋅b a b a ,那么存在实数λ,使得a b λ=;③方程0sin =-x x 在实数范围内的解有且仅有一个;④b a a b b a R b a >->-∈则且33,33;其中正确的选项是 ①②③④三、解答题:本大题共5小题,共72分。
2021年浙江省新高考测评卷数学(第一模拟)(含答案解析)
(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性;
(4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.
7.C
【分析】
求得 的表达式,由此确定AB选项的正确性.求得 的表达式,利用差比较法确定CD选项的正确性.
【详解】
由题意可知 , , ,所以 ,所以 ,故选项A,B错误.
由方差的计算公式得 ,所以 .因为 ,所以 , ,所以 , ,故选项C正确,选项D错误.
19.如图,在四棱锥 中,已知 , , , , , , 为 上的动点.
(1)探究:当 为何值时, 平面 ?
(2)在(1)的条件下,求直线 与平面 所成角的正弦值.
20.已知递增的等差数列 的前 项和是 ,且满足 , 是 与 的等比中项.
(1)求数列 的通项公式;
(2)若 ,求证: .
21.如图,已知抛物线 ,过点 的直线交抛物线于 , 两点,过点 作抛物线的切线交 轴于点 ,过点 作 平行 交 轴于点 ,交直线 于点 .
A.3B. C.1D.
4.若实数 , 满足不等式组 ,且 ,则 ()
A.4B.3C.2D.1
5.已知a,b是实数,则“ 且 ”是“ ”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
6.已知函数 的图象如图所示,则 的解析式可能是()
A. B.
C. D.
7.已知随机变量 的分布列是()
【详解】
由题意可知函数 的定义域为 ,其图象关于坐标原点对称,故函数 是奇函数,而选项A中的函数是偶函数,故排除选项A;又 ,故可排除选项B;又当 时, ,当 时, ,故排除选项C.
故选:D.
【点睛】
思路点睛:函数图象的辨识可从以下方面入手:
2021年1月浙江普通高中学考数学试卷(教师用卷,含答案)
2021年1月浙江普通高中学考试卷数学学科一、选择题(本大题共18小题,每小题3分,共54分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分.) 1. 已知集合{4,5,6},{3,5,7}A B ==,则A B =( )A. ∅B. {5}C. {4,6}D. {3,4,5,6,7}【答案】B【解析】因为{4,5,6},{3,5,7}A B ==,所以{}5A B =.故选:B.2. 函数1()2f x x =+的定义域是( ) A. [3,)-+∞ B. (3,)-+∞C. [3,2)(2,)---+∞D. [3,2)(2,)-⋃+∞【答案】C【解析】根据题意可得3020x x +≥⎧⎨+≠⎩,所以[)()3,22,x ∈---+∞.故选:C.3. 33log 18log 2-=( ) A. 1 B.2 C. 3D.4【答案】B【解析】333318log 18log 2log log 922-===. 故选:B.4. 以(2,0),(0,4)A B 为直径端点的圆方程是( ) A. 22(1)(2)20x y +++=B. 22(1)(2)20x y -+-=C. 22(1)(2)5x y +++=D. 22(1)(2)5x y -+-=【答案】D【解析】解:根据题意得AB 的中点即为圆心坐标,为()1,2, 半径r ==,所以以(2,0),(0,4)A B 为直径端点的圆方程是22(1)(2)5x y -+-=.故选:D.5. 某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A. 2B. 4C.23D.43【答案】C【解析】如图,由三视图可知该几何体是一个平放的三棱柱,底面三角形的底边长为2,高为1,几何体的高为2,所以三棱柱的体积为11121223323V Sh ==⨯⨯⨯⨯=.故选:C.6. 不等式|1|24x -<的解集是( ) A. (1,3)- B. (,1)(3,)-∞-+∞C. (3,1)-D. (,3)(1,)-∞-⋃+∞【答案】A的【解析】解:由指数函数2xy =在R 上单调递增,12242x -<=, 所以12x -<,进而得212x -<-<,即13x .故选:A.7. 若实数,x y 满足不等式组3,1,1,x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩,则2x y +的最大值是( )A. 2B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】由实数,x y 满足约束条件3,1,1,x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩,画出可行域如图所示阴影部分:将2z x y =+,转化为2y x z =-+,平移直线2y x =-, 当直线经过点()2,1A 时,直线在y 轴上的截距最大, 此时目标函数取得最大值,最大值是5, 故选:C8. 若直线1:3410l x y 与2:320()l x ay a -+=∈R 平行,则1l 与2l 间的距离是( ) A.15B.25C.35D.45【答案】C【解析】因为1l 与2l 平行,所以3120a -+=,得4a =,所以2:3420l x y -+=,所以1l与2l 间的距离为35d ==.故选:C.9. 在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若2sin b A =,则B =( ) A.6π B.6π或56πC.3πD.3π或23π【答案】D【解析】因为在ABC 中,2sin b A =,所以2sin sin B A A = 因为sin 0A ≠,所以sin B =, 因为则()0,B π∈,B =3π或23π故选:D10. 已知平面,αβ和直线l ,则下列说法正确的是( ) A. 若//,//l l αβ,则//αβ B. 若//,l l αβ⊂,则//αβ C. 若,l l αβ⊥⊂,则αβ⊥ D. 若,l l αβ⊥⊥,则αβ⊥【答案】C【解析】解:对于A 选项,若//,//l l αβ,则//αβ或相交,故A 选项不正确; 对于B 选项,若//,l l αβ⊂,则//αβ或相交,故B 选项不正确;对于C 选项,若,l l αβ⊥⊂,则αβ⊥,为面面垂直的判定定理,故C 选项正确; 对于D 选项,若,l l αβ⊥⊥,则//αβ,故D 选项不正确. 故选:C.11. 若,a b ∈R ,则“14ab ≥”是“2212a b +≥”( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解:当14ab ≥,由于,a b ∈R ,22112242a b ab +≥≥⨯=,故充分性成立;当,a b ∈R ,不妨设1,1a b =-=,2212a b +≥成立,114ab =-≥不成立,故必要性不成立. 故“14ab ≥”是“2212a b +≥”的充分不必要条件. 故选:A. 12. 函数()2sin ()ln 2xf x x =+的图象大致是( )A. B.C. D.【答案】A【解析】因为()()()()()22sin sin ln +2ln 2x xf x f x x x ---===-⎡⎤-+⎣⎦,且()f x 的定义域为R 关于原点对称,所以()f x 是奇函数,所以排除BC , 又因为当0x >且x 较小时,可取0.1x =,所以()()()sin 0.10.10ln 20.01f =>+,所以排除D ,故选:A.13. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足*1112,1,n na a n a +=-=-∈N ,则( )A. 40100a a <B. 40100a a >C. 40100S S <D. 40100S S >【答案】D 【解析】211312a a =-=,321113a a =-=,43112a a =-=-,541312a a =-=,…… 所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列,前三项和316S =-, 40313112a a a ⨯+∴===-,100333112a a a ⨯+===-,所以40100a a =, 4034025136S S a =+=-,100310015332S S a =+=-,所以40100S S >. 故选:D14. 如图,正方体1111ABCD A B C D -中,,E F 分别为棱1111,C D A D 的中点,则异面直线DE 与AF 所成角的余弦值是( )A.45B.35C.D.10【答案】A【解析】取11A B 的中点N ,连接,,EN FN AN由,E N 分别为1111,C D A B 的中点,则11//EN A D 且11EN A D =在正方体中11//AD A D 且11AD A D =,所以//EN AD 且EN AD = 所以四边形ANED 为平行四边形,所以//AN DE 则FAN ∠(或其补角)为异面直线DE 与AF 所成角.设正方体的棱长为2,则在ANF 中,1112NF D B ==AN AF === 所以2224cos25AF AN FN FAN AF AN +-∠===⋅ 故选:A15. 某简谐运动的图象如图所示.若,A B 两点经过x 秒后分别运动到图象上,E F 两点,则下列结论不一定成立的是( )A. AB GB EF GB ⋅=⋅B. AB AG EF AG ⋅>⋅C. AE GB BF GB ⋅=⋅D. AB EF BF AG ⋅>⋅【答案】B【解析】设()sin f x A x ω=, 由图知1A =,24T πω==,解得2πω=,所以()sin2f x x π=,假设00,sin2E x x π⎛⎫ ⎪⎝⎭,则()001,sin 12F x x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭即001,cos 2F x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭,()1,1AB =,()1,0GB =,001,cos sin 22EF x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()0,1AG =,00,sin 2AE x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭,00,cos 12BF x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于选项A :11101AB GB ⋅=⨯+⨯=,00cos si 110n 212EF x G x B ππ⎛⎫-=⎪⎝⎭⋅=⨯+⨯,所以AB GB EF GB ⋅=⋅,故选项A 成立; 对于选项B :10111AB AG ⋅=⨯+⨯=,000cossin2224x x F AG x E ππππ⋅=⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭显然EF AG ⋅,AB AG EF AG ⋅>⋅不成立,故选项B 不成立;对于选项C :0AE GB x ⋅=,0BF GB x ⋅=,所以AE GB BF GB ⋅=⋅,故选项C 成立; 对于选项D :0coss 221inx AB EF x ππ⋅=+-,0cos12F x B AG π-⋅=所以00cossincos 12sin 21222x x AB EF AG x x BF ππππ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭⋅-⋅=+, 因为sin12x π≤,所以2sin02x π->,即0AB EF BF AG ⋅-⋅>,所以AB EF BF AG ⋅>⋅,故选项D 成立, 故选:B16. 已知函数()21ln ,02,0x x f x x x x x ⎧->⎪=⎨⎪+≤⎩,则函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数是( )A.2 B. 3C.4 D. 5【答案】D【解析】令()()21ln 1,011,0x x x t f x x x ⎧-+>⎪=+=⎨⎪+≤⎩. ①当0t >时,()1ln f t t t=-,则函数()f t 在()0,∞+上单调递增, 由于()110f =-<,()12ln 202f =->, 由零点存在定理可知,存在()11,2t ∈,使得()10f t =;②当0t ≤时,()22f t t t =+,由()220f t t t =+=,解得22t =-,30t =.作出函数()1t f x =+,直线1t t =、2t =-、0t =的图象如下图所示:由图象可知,直线1t t =与函数()1t f x =+的图象有两个交点; 直线0t =与函数()1t f x =+的图象有两个交点; 直线2t =-与函数()1t f x =+的图象有且只有一个交点. 综上所述,函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数为5. 故选:D.17. 如图,椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为,,F A B 分别为椭圆的上、下顶点,P 是椭圆上一点,//,||||AP BF AF PB =,记椭圆的离心率为e ,则2e =( )A.B.C.12D.【答案】B【解析】()()0,,,0B b F c -,则BF b k c =,所以直线:bAP y x b c=+,与椭圆方程联立()222220a c x a cx ++=,所以点P 的横坐标是2222a c x a c =-+,322b y a c =-+,即2322222,a c b P a c a c ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,222322222222a c b PB a b a a c a c ⎛⎫⎛⎫=⇒+-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭,整理为:6244264321c a c a c a --+=,两边同时除以6a 得:64243210e e e --+=,()()2421410ee e -+-=,210e -≠,所以42410e e +-=,得218e -=,或218e -=(舍). 故选:B18. 如图,在三棱锥D ABC -中,AB BC CD DA ===,90,,,ABC E F O ︒∠=分别为棱,,BC DA AC 的中点,记直线EF 与平面BOD 所成角为θ,则θ的取值范围是( )A. 0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由AB BC =,90ABC ︒∠=,将底面补全为正方形ABCG ,如下图示,O 为ABCG 对角线交点且GB AC ⊥,又CD DA =有DO AC ⊥,DO GB O ⋂=, ∴AC ⊥面GDB ,而AC ⊂面ABCG ,故面GDB ⊥面ABCG ,若H 为DG 的中点,连接FH ,又,E F 为棱,BC DA 的中点,则//FH AG 且2AG FH =, 而//BC AG ,2BC AG EC ==,有,EC FH 平行且相等,即ECHF 为平行四边形.∴可将EF 平移至HC ,直线EF 与平面BOD 所成角为(0,)2CHO πθ∠=∈,且Rt CHO△中90COH ∠=︒,令2AB BC CD DA ====,OC =22tan tan OC BD OH θθ===, ∴△ABD 中,2222cos AB BD AB BD DAB BD +-⋅⋅∠=,即21cos 1tan DAB θ∠=-, ∵DAB DAG DCB DCG ≅≅≅,即(0,)2DAB π∠∈,∴21011tan θ<-<,解得tan 1θ>(tan 1θ<-舍去),综上有(,)42ππθ∈,故选:C二、填空题(本大题共4小题,每空3分,共15分.)19. 设等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S .若141,64a a ==,则q =____,3S =____. 【答案】 (1). 4 (2). 21【解析】因为34164a q a ==,所以4q =. 33142114S -==-.故答案为:4;2120. 已知平面向量,a b 满足||2,||1,1a b a b ==⋅=-,则||a b +=______.【解析】因为||2,||1,1a b a b ==⋅=-, 所以()2||a b a b+=+,222a a b b =+⋅+,==21. 如图,正方形内的图形来自中国古代的太极图.勤劳而充满智慧的我国古代劳动人民曾用太极图解释宇宙现象.太极图由正方形的内切圆(简称大圆)和两个互相外切且半径相等的圆(简称小圆)的半圆弧组成,两个小圆与大圆均内切.若正方形的边长为8,则以两个小圆的圆心(图中两个黑白点视为小圆的圆心)为焦点,正方形对角线所在直线为渐近线的双曲线实轴长是_______.【答案】【解析】解:以两焦点所在直线为y 轴,两焦点所在线段的中垂线为x 轴建立直角坐标系, 设双曲线焦距为2c ,由题意得双曲线的渐近线方程为y x =±,48c =,所以,2a b c ==,进而得a =故双曲线的实轴长为:.故答案为:22. 已知,0a b ∈>R ,若存在实数[0,1)x ∈,使得2||bx a b ax --成立,则ab的取值范围是________.【答案】11,2+-⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】解:因为0b >,故不等式两边同除以b ,得21a a x x b b -≤-,令at b=∈R ,即不等式21x t tx -≤-在[0,1)x ∈上有解.去绝对值即得2211tx x t tx -≤-≤-,即2211tx x t x t tx ⎧-≤-⎨-≤-⎩ 即22111111x t x x t x x +⎧≤⎪⎪+⎨--⎪≥=⎪-+⎩在[0,1)x ∈上有解,设1()1f x x -=+,21()1x g x x +=+,[0,1)x ∈,即min ()t f x ≥且max ()t g x ≤即可, 由1()1f x x -=+在[0,1)x ∈上,1[1,2)x +∈,11,112x ⎛⎤∈ ⎥+⎝⎦,即()11,2f x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭,故min ()1t f x ≥=-;由()()()22111()211221121x x g x x x x x x ++===+++-+++-+,利用基本不等式()211x x ++≥+211x x +=+即,)11[0x ∈=时等号成立,故1()2g x ≤=,即max ()g x =t ≤综上:t 的取值范围是1t -≤≤,即a b 的取值范围是1b a -≤≤.故答案为:11,2+-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.三、解答题(本大题共3小题,共31分.)23. 已知函数1()cos 2626f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,x ∈R . (1)求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值; (2)求函数()f x 的最小正周期; (3)当20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求函数()f x 的值域.【答案】(1)2;(2)2π;(3)[0,1].【解析】(1)1cos 322222f πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭,即32f π⎛⎫=⎪⎝⎭.(2)1()cos sin sin 2626663f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 故()f x 的最小正周期2T π=. (3)因为20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以,33x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦, 当3x ππ+=,即23x π=时,min ()sin 0f x π==; 当32x ππ+=,即6x π=时,max ()1f x =,故()f x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[0,1]. 24. 如图,直线l 与圆22:(1)1E x y ++=相切于点P ,与抛物线2:4C x y =相交于不同的两点,A B ,与y 轴相交于点(0,)(0)T t t >.(1)若T 是抛物线C 的焦点,求直线l 的方程;(2)若2||||||TE PA PB =⋅,求t 的值.【答案】(1)1y =+;(2)12. 【解析】(1)因为(0,)(0)T t t >是抛物线2:4C x y =的焦点,所以1t =,即(0,1)T ,设直线l 的方程为1y kx =+,由直线l 与圆E1=,即k =,所以,直线l的方程为1y =+.(2)设直线l 的方程为y kx t =+,()00,P x y ,()11,A x y ,()22,B x y , 由24y kx tx y=+⎧⎨=⎩,得2440x kx t --=,124x x k +=,124x x t ⋅=-,∴1020||||PA PB x x ⋅=--()()221201201kx xx x x x ⎡⎤=+-++⎣⎦()()220014k x kx t ⎡⎤=+-+⎣⎦()()220014k x y =+-. 由直线l 与圆E1=,即221(1)k t +=+.由||1TE t =+,2||||||TE PA PB =⋅,得()()2220014(1)kxy t +-=+.所以20041x y -=,又()220011x y ++=,解得03y =-+.由直线l 与PE 互相垂直,得0011PE xk k y =-=-+, 200001i x t y kx y y =-=++220000001112x y y y y y ++-===++. 25. 设[]0,4a ∈,已知函数24(),1x af x x x -=∈+R .(1)若()f x 是奇函数,求a 的值; (2)当0x >时,证明:()22af x x a ≤-+; (3)设12,x x ∈R ,若实数m 满足()()212f x f x m ⋅=-,证明:1()(1)8f m a f --<. 【答案】(1)0a =;(2)证明见解析;(3)证明见解析.【解析】解:(1)由题意,对任意x ∈R ,都有()()f x f x -=-,即224()4()11x a x ax x ---=--++,亦即44x a x a --=-+,因此0a =;(2)证明:因为0x >,04a ≤≤,()222421422121a x a x a x x a a x a x x ⎛⎫---++ ⎪-⎛⎫⎝⎭--+= ⎪++⎝⎭()()()22212142121ax x x x x x ⎡⎤=--++-+⎣⎦+()221(4)(1)021ax x x =-+-≤+. 所以,()22af x x a ≤-+. (3)设4t x a =-,则222416()1216x a ty t x t at a -==∈++++R , 当0t =时,0y =;当0t ≠时,216162y a t at=+++;max ()0f x =>,min ()0 f x =<,()f x ≤≤由()()212f x f x m ⋅=-得2max min ()()4 m f x f x -⋅=-≥,即22m -≤≤.①当0m a -≤时,()0f m a -≤,4(1)02a f -=≥,所以1()(1)8f m a f --<;②当0m a ->时,由(2)知,4()(1)()222a a f m a f m a a ---≤--+-1(1)(1)228a a m a a =--≤-≤,等号不能同时成立综上可知1()(1)8f m a f --<. .。
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2015年浙江省绍兴市绍兴县鉴湖中学高考数学模拟试卷(理科)试卷分析报告一级考点二级考点三级考点分值比例代数集合1E:交集及其运算 5 3.33% 函数33:函数的定义域及其求法 4 2.67%3B:分段函数的解析式求法及其图象的作法 4 2.67%3K:函数奇偶性的判断 5 3.33% 函数的应用57:函数与方程的综合运用 5 3.33%不等式75:一元二次不等式的应用 5 3.33%7C:简单线性规划 5 3.33%7H:一元二次方程的根的分布与系数的关系16 10.67% 数列82:数列的函数特性 5 3.33%84:等差数列的通项公式 4 2.67%8B:数列的应用16 10.67%8F:等差数列的性质 4 2.67% 平面向量9R:平面向量数量积的运算18 12.00%9T:数量积判断两个平面向量的垂直关系 5 3.33% 三角函数三角函数HJ:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 4 2.67%HP:正弦定理 5 3.33%HR:余弦定理12 8.00% 平面解析几何直线与方程IR:两点间的距离公式 5 3.33%IS:两点间距离公式的应用 4 2.67% 立体几何空间几何体L!:由三视图求面积、体积 5 3.33%LM:异面直线及其所成的角14 9.33% 2015年浙江省绍兴市绍兴县鉴湖中学高考数学模拟试卷(理科)一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.1.(5分)设集合M={x|﹣1<x<1},N={x|x2≤x},则M∩N=()A.[0,1)B.(﹣1,1] C.[﹣1,1)D.(﹣1,0]【考点】:交集及其运算.【专题】:集合.【分析】:求出N中不等式的解集确定出N,求出M与N的交集即可.【解析】:解:由N中的不等式变形得:x(x﹣1)≤0,解得:0≤x≤1,即N=[0,1],∵M=(﹣1,1),∴M∩N=[0,1).故选:A.【点评】:此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2.(5分)若函数f(x)(x∈R)是奇函数,则()A.函数f(x2)是奇函数B.函数[f(x)]2是奇函数C.函数f(x)•x2是奇函数D.函数f(x)+x2是奇函数【考点】:函数奇偶性的判断.【专题】:函数的性质及应用.【分析】:根据函数奇偶性的定义进行判断即可.【解析】:解:f((﹣x)2)=f(x2),则函数f(x2)是偶函数,故A错误,[f(﹣x)]2=[﹣f(x)]2,则函数[f(x)]2是偶函数,故B错误,函数f(﹣x)•(﹣x)2=﹣f(x)•x2,则函数f(x)•x2是奇函数,故C正确,f(﹣x)+(﹣x)2≠f(x)+x2,且f(﹣x)+(﹣x)2≠﹣f(x)﹣x2,则函数f(x)+x2是奇函数错误,故D错误,故选:C【点评】:本题主要考查函数奇偶性的判断,根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键.3.(5分)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是()A.35πcm3 B.cm3 C.70πcm3 D.cm3【考点】:由三视图求面积、体积.【专题】:空间位置关系与距离.【分析】:由已知的三视图可得:该几何体是一个圆台与半球的组合体,分别计算半球与圆台的体积,相加可得答案.【解析】:解:由已知的三视图可得:该几何体是一个圆台与半球的组合体,球的半径与圆台的上底面半径均为4cm,故半球的体积为:××π×43=cm3,圆台的上底面半径为2cm,高为3cm,故圆台的体积为:π(42+4×2+22)×3=cm3,故组合体的体积V=+=cm3,故选:D【点评】:本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积,解决本题的关键是得到该几何体的形状.4.(5分)已知向量,,若,则实数λ的值为()A.﹣4 B.﹣3 C.﹣2 D.﹣1【考点】:数量积判断两个平面向量的垂直关系.【专题】:平面向量及应用.【分析】:直接利用向量的垂直的充要条件列出方程求解即可.【解析】:解:向量,,若,=(2λ+3,3),=(﹣1,﹣1)则:(2λ+3)(﹣1)+3(﹣1)=0,解得λ=﹣3.故选:B.【点评】:本题考查向量垂直的充要条件的应用,基本知识的考查.5.(5分)已知a>0,x,y满足约束条件,若z=2x+y的最小值为1,则a=()A.B.C.1 D.2【考点】:简单线性规划.【专题】:不等式的解法及应用.【分析】:先根据约束条件画出可行域,设z=2x+y,再利用z的几何意义求最值,只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时,从而得到a值即可.【解析】:解:先根据约束条件画出可行域,设z=2x+y,将最大值转化为y轴上的截距,当直线z=2x+y经过点B时,z最小,由得:,代入直线y=a(x﹣3)得,a=故选:B.【点评】:本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属中档题.借助于平面区域特性,用几何方法处理代数问题,体现了数形结合思想、化归思想.线性规划中的最优解,通常是利用平移直线法确定.6.(5分)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位m)的取值范围是()A.[15,20] B.[12,25] C.[10,30] D.[20,30]【考点】:简单线性规划;一元二次不等式的应用.【专题】:应用题;压轴题.【分析】:设矩形的高为y,由三角形相似可得,且40>x>0,40>y>0,xy≥300,再由,得y=40﹣x,代入xy≥300得到关于x的二次不等式,解此不等式即可得出答案.【解析】:解:设矩形的高为y,由三角形相似得:,且40>x>0,40>y>0,xy≥300,由,得y=40﹣x,∴x(40﹣x)≥300,解得10≤x≤30.故选C.【点评】:此题考查一元二次不等式及三角形相似等基本知识,属于综合类题目.7.(5分)已知圆C1:(x﹣2)2+(y﹣3)2=1,圆C2:(x﹣3)2+(y﹣4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为()A.5﹣4 B. 1 C.6﹣2D.【考点】:圆与圆的位置关系及其判定;两点间的距离公式.【专题】:直线与圆.【分析】:求出圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A,以及半径,然后求解圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和,即可求出|PM|+|PN|的最小值.【解析】:解:如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A(2,﹣3),半径为1,圆C2的圆心坐标(3,4),半径为3,|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和,即:=5﹣4.故选A.【点评】:本题考查圆的对称圆的方程的求法,两个圆的位置关系,两点距离公式的应用,考查转化思想与计算能力.8.(5分)设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn,△AnBnCn的面积为Sn,n=1,2,3…若b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,,,则()A.{Sn}为递减数列B.{Sn}为递增数列C.{S2n﹣1}为递增数列,{S2n}为递减数列D.{S2n﹣1}为递减数列,{S2n}为递增数列【考点】:数列递推式;数列的函数特性.【专题】:压轴题;等差数列与等比数列;点列、递归数列与数学归纳法.【分析】:由an+1=an可知△AnBnCn的边BnCn为定值a1,由bn+1+cn+1﹣2a1=及b1+c1=2a1得bn+cn=2a1,则在△AnBnCn中边长BnCn=a1为定值,另两边AnCn、AnBn的长度之和bn+cn=2a1为定值,由此可知顶点An在以Bn、Cn为焦点的椭圆上,根据bn+1﹣cn+1=,得bn﹣cn=,可知n→+∞时bn→cn,据此可判断△AnBnCn的边BnCn 的高hn随着n的增大而增大,再由三角形面积公式可得到答案.【解析】:解:b1=2a1﹣c1且b1>c1,∴2a1﹣c1>c1,∴a1>c1,∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1>0,∴b1>a1>c1,又b1﹣c1<a1,∴2a1﹣c1﹣c1<a1,∴2c1>a1,∴,由题意,+a1,∴bn+1+cn+1﹣2a1=,∴bn+cn﹣2an=0,∴bn+cn=2an=2a1,∴bn+cn=2a1,又由题意,bn+1﹣cn+1=,∴=a1﹣bn,∴bn+1﹣a1=,∴bn﹣a1=,∴,cn=2a1﹣bn=,∴[][]=[﹣]单调递增(可证当n=1时>0)故选B.【点评】:本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式,综合考查学生分析解决问题的能力,有较高的思维抽象度,是本年度全国高考试题中的“亮点”之一.9.(5分)设函数(a∈R,e为自然对数的底数),若曲线y=sinx上存在点(x0,y0)使得f(f(y0))=y0,则a的取值范围是()A.[1,e] B.[e﹣1﹣1,1] C.[1,e+1] D.[e﹣1﹣1,e+1]【考点】:函数与方程的综合运用.【专题】:综合题;压轴题;转化思想;函数的性质及应用.【分析】:考查题设中的条件,函数f(f(y0))的解析式不易得出,直接求最值有困难,考察四个选项,发现有两个特值区分开了四个选项,0出现在了B,D两个选项的范围中,e+1出现在了C,D两个选项所给的范围中,故可通过验证参数为0与e+1时是否符合题意判断出正确选项【解析】:解:曲线y=sinx上存在点(x0,y0)使得f(f(y0))=y0,则y0∈[﹣1,1]考查四个选项,B,D两个选项中参数值都可取0,C,D两个选项中参数都可取e+1,A,B,C,D四个选项参数都可取1,由此可先验证参数为0与e+1时是否符合题意,即可得出正确选项当a=0时,,此是一个增函数,且函数值恒非负,故只研究y0∈[0,1]时f (f(y0))=y0是否成立由于是一个增函数,可得出f(y0)≥f(0)=1,而f(1)=>1,故a=0不合题意,由此知B,D两个选项不正确当a=e+1时,此函数是一个增函数,=0,而f(0)没有意义,故a=e+1不合题意,故C,D两个选项不正确综上讨论知,可确定B,C,D三个选项不正确,故A选项正确故选A【点评】:本题是一个函数综合题,解题的关键与切入点是观察出四个选项中同与不同点,判断出参数0与e+1是两个特殊值,结合排除法做题的技巧及函数的性质判断出正确选项,本题考查了转化的思想,观察探究的能力,属于考查能力的综合题,易因为找不到入手处致使无法解答失分,易错10.(5分)如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练,已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角θ的大小(仰角θ为直线AP与平面ABC所成的角).若AB=15m,AC=25m,∠BCM=30°,则tanθ的最大值是()A.B.C.D.【考点】:正弦定理;解三角形的实际应用.【专题】:三角函数的求值;解三角形.【分析】:在直角三角形ABC中,由AB与AC的长,利用勾股定理求出BC的长,过P作PP′⊥BC,交BC于点P′,连接AP′,利用锐角三角函数定义表示出tanθ=,设BP′=m,则CP′=20﹣m,利用锐角三角函数定义表示出PP′,利用勾股定理表示出AP′,表示出tanθ,即可确定出tanθ的值.【解析】:解:∵AB=15cm,AC=25cm,∠ABC=90°,∴BC=20cm,过P作PP′⊥BC,交BC于P′,连接AP′,则tanθ=,设BP′=x,则CP′=20﹣x,由∠BCM=30°,得PP′=CP′tan30°=(20﹣x),在直角△ABP′中,AP′=,∴tanθ=•,令y=,则函数在x∈[0,20]单调递减,∴x=0时,取得最大值为=,若P′在CB的延长线上,PP′=CP′tan30°=(20+x),在直角△ABP′中,AP′=,∴tanθ=•,令y=,则y′=0可得x=时,函数取得最大值,则tanθ的最大值是.【点评】:此题考查了正弦定理,锐角三角函数定义,以及解三角形的实际应用,弄清题意是解本题的关键.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分.11.(4分)设数列{an}满足a1=1,an+1=an+3,则a5=13.【考点】:等差数列的通项公式.【专题】:等差数列与等比数列.【分析】:由已知可得数列{an}是以1为首项,3为公差的等差数列,利用等差数列的通项公式即可得出.【解析】:解:由数列{an}满足a1=1,an+1=an+3,可知数列{an}是以1为首项,3为公差的等差数列,∴a5=a1+(5﹣1)d=1+4×3=13.故答案为13.【点评】:本题主要考查等差数列的定义和通项公式的应用,属于基础题.12.(4分)函数f(x)=的定义域为(1,1+e).【考点】:函数的定义域及其求法.【专题】:函数的性质及应用.【分析】:令分母不为0,被开方数大于等于0,真数大于0,得到不等式组,求出x的范围写出区间形式.【解析】:解:要使函数有意义,需满足,即解得1<x<1+e故答案为:(1,1+e).【点评】:本题主要考查函数定义域的求法,同时考查对数的性质,属于基础题.13.(4分)已知函数f(x)=,若f(f(0))=4a,则实数a=2.【考点】:函数的值;分段函数的解析式求法及其图象的作法.【专题】:计算题.【分析】:本题考查的分段函数的函数值,由函数解析式,我们可以先计算f(0)的值,然后将其代入,由此可以得到一个关于a的一元一次方程,解方程即可得到a值.【解析】:解:∵f(0)=2,∴f(f(0))=f(2)=4+2a=4a,所以a=2故答案为:2.【点评】:分段函数分段处理,这是研究分段函数图象和性质最核心的理念,具体做法是:分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集,分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证;分段函数的最大值,是各段上最大值中的最大者.14.(4分)将函数f(x)=sin(x﹣)图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半(纵坐标不变),再将它的图象向左平移φ个单位(φ>0),得到了一个偶函数的图象,则φ的最小值为.【考点】:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【专题】:三角函数的图像与性质.【分析】:由条件根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得所得函数为y=sin(2x+2φ﹣),再根据y=sin(2x+2φ﹣)为偶函数,可得2φ﹣=kπ+,k∈z,由此求得φ的最小值.【解析】:解:将函数f(x)=sin(x﹣)图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半(纵坐标不变),可得函数y=sin(2x﹣)图象;再将它的图象向左平移φ个单位(φ>0),可得函数y=sin[2(x+φ)﹣]=sin(2x+2φ﹣)的图象,再根据y=sin(2x+2φ﹣)为偶函数,可得2φ﹣=kπ+,k∈z,即φ=+,则φ的最小值为,故答案为:.【点评】:本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数、余弦函数的图象的对称性,属于基础题.15.(4分)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若S4≥10,a3≤3,a4≥3,则a7的取值范围为[3,7].【考点】:等差数列的性质.【专题】:等差数列与等比数列.【分析】:【分析】:先将给的条件都用a7和公差d的表示出来,构造出关于a7和d的不等式组,通过化简求出a7的范围.【解析】:解:因为S4≥10,a3≤3,a4≥3,所以,即,由第二、三个式子可得,d≥0,所以a7≥3d+3≥3;由第一、二个式子得,解得d≤1,所以a7≤3+4d≤7;所以3≤a7≤7.故答案为:[3,7].【点评】:本题考查了等差数列的通项公式及求和公式,求解的关键是用d和a7将所给的条件表示出来,在求解不等式;同时考查了基本量思想,以及化归思想.16.(4分)已知点M(4,0),点P在曲线y2=8x上运动,点Q在曲线(x﹣2)2+y2=1上运动,则的最小值是4.【考点】:两点间距离公式的应用;轨迹方程.【专题】:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】:设圆心为F,则容易知道F为抛物线y2=8x的焦点,并且最小时,PM经过圆心F,设P(x,y),则:|PM|2=(x﹣4)2+y2=(x﹣4)2+8x=x2+16,|PQ|=x+2+1=x+3,所以,求的最小值即可.【解析】:解:如下图,设圆心为F,则F为抛物线y2=8x的焦点,该抛物线的准线方程为x=﹣2,设P(x,y),由抛物线的定义:|PF|=x+2,要使最小,则|PQ|需最大,如图,|PQ|最大时,经过圆心F,且圆F的半径为1,∴|PQ|=|PF|+1=x+3,且|PM|==;∴,令x+3=t(t≥3),则x=t﹣3,∴,当t=5时取“=“;∴.故答案为:4.【点评】:考查抛物线的标准方程,焦点坐标公式,准线方程,及抛物线的定义,圆的标准方程,利用基本不等式:a+b求函数的最值.17.(4分)在三角形ABC中,AB=2,,,点D、E分别在边AC,BC上,且,则的最大值为﹣.【考点】:平面向量数量积的运算.【专题】:平面向量及应用.【分析】:首先,根据余弦定理,得到A的余弦值,然后,根据共线条件并结合平面向量基本定理,求解.【解析】:解:△ABC中,由余弦定理,得cosA=,设=λ,(0<λ<1),则,,∴,,∴,=﹣4+3×+=﹣,y=﹣,故(7+y)λ2+(2y+1)λ+1+y=0,设f(x)=(7+y)λ2+(2y+1)λ+1+y,∴,∴λ≤﹣,故答案为:.【点评】:本题重点考查了平面的概念、运算和平面向量基本定理等知识,属于中档题.三、解答题18.(12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2acosA=bcosC+ccosB.(Ⅰ)求A的大小;(Ⅱ)求cosB﹣sinC的取值范围.【考点】:余弦定理.【专题】:计算题;解三角形.【分析】:(Ⅰ)由正弦定理与三角函数间的关系式可求得cosA=,从而可求得A的大小;(Ⅱ)由C=﹣B,再结合辅助角公式即可求得cosB﹣sinC的取值范围.【解析】:解:(Ⅰ)∵△ABC中,2acosA=bcosC+ccosB,∴由正弦定理===2R得:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,∴2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB,即sin2A=sin(B+C)=sin(π﹣A)=sinA,∴2sinAcosA﹣sinA=0,∴sinA(2cosA﹣1)=0,而sinA≠0,∴cosA=,又A∈(0,π)∴A=…7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知C=﹣B,故cosB﹣sinC=cosB﹣sin(﹣B)=cosB﹣[sin cosB﹣cos sinB]=cosB﹣cosB+(﹣)sinB=﹣cosB﹣sinB=﹣sin(B+),∵0<B<,∴<B+<,<sin(B+)≤1,∴﹣1≤﹣sin(B+)<﹣.∴cosB﹣sinC的取值范围是[﹣1,﹣)…14分【点评】:本题主要考查正、余弦定理及三角运算等基础知识,同时考查运算求解能力,属于中档题.19.(14分)如图,平面ABCD⊥平面ADEF,其中ABCD为矩形,ADEF为梯形,AF∥DE,AF ⊥FE,AF=AD=2,DE=1.(Ⅰ)求异面直线EF与BC所成角的大小;(Ⅱ)若二面角A﹣BF﹣D的平面角的余弦值为,求CF的长.【考点】:二面角的平面角及求法;异面直线及其所成的角.【专题】:空间位置关系与距离;空间角.【分析】:(Ⅰ)延长AD,FE交于Q,由已知得∠AQF是异面直线EF与BC所成的角,由此能求出异面直线EF与BC所成角.(Ⅱ)设AB=x.取AF的中点G.由题意得DG⊥AF,AB⊥DG,CD⊥DF,从而DG⊥平面ABF.过G作GH⊥BF,垂足为H,连接DH,则∠DHG为二面角A﹣BF﹣D的平面角.由此能求出CF.【解析】:解:(Ⅰ)延长AD,FE交于Q.∵ABCD是矩形,∴BC∥AD,∴∠AQF是异面直线EF与BC所成的角.在梯形ADEF中,由DE∥AF,AF⊥FE,AF=2,DE=1,得∠AQF=30°.即异面直线EF与BC所成角为30°.(Ⅱ)设AB=x.取AF的中点G.由题意得DG⊥AF.∵平面ABCD⊥平面ADEF,AB⊥AD,∴AB⊥平面ADEF,∴AB⊥DG.∵ABCD为矩形,∴CD⊥DF,∴DG⊥平面ABF.过G作GH⊥BF,垂足为H,连接DH,则DH⊥BF,∴∠DHG为二面角A﹣BF﹣D的平面角.在直角△AGD中,AD=2,AG=1,得DG=.在直角△BAF中,由=sin∠AFB=,得=,∴GH=.在直角△DGH中,DG=,GH=,得DH=2.∵cos∠DHG==,得x=,∴AB=.∵AF⊥FE,AF=AD=2,DE=1,∴AF=AD=DF=2,∴CF===.【点评】:本题考查异面直线所成角的大小的求法,考查线段长的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.20.(14分)(2015•秦安县一模)如图,F1,F2是椭圆C:+y2=1的左、右焦点,A,B是椭圆C上的两个动点,且线段AB的中点M在直线l:x=﹣上.(1)若B的坐标为(0,1),求点M的坐标;(2)求•的取值范围.【考点】:椭圆的简单性质;平面向量数量积的运算.【专题】:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】:(1)先求得A点的横坐标为﹣1,代入椭圆方程+y2=1,解得y的值,可得A 的纵坐标,再根据中点公式求得M的坐标.(2)当AB垂直于x轴时,易得•的值.当AB不垂直于x轴时,设AB的斜率为k,M(﹣,m),由可得k=,可得AB的方程为y=x+①.把①代入椭圆方程化简利用韦达定理,由判别式大于零,求得m2的范围,化简•为.令t=1+8m2,则1<t<8,再根据函数的单调性求得•=[3t+]的范围.【解析】:解:(1)∵B的坐标为(0,1),且线段AB的中点M在直线l:x=﹣上,∴A点的横坐标为﹣1,代入椭圆方程+y2=1,解得y=±,故点A(﹣1,)或点A(﹣1,﹣).∴线段AB的中点M(﹣,+)或(﹣,﹣).(2)由于F1(﹣1,0),F2(1,0),当AB垂直于x轴时,AB的方程为x=﹣,点A(﹣,﹣)、B(﹣,),求得•=.当AB不垂直于x轴时,设AB的斜率为k,M(﹣,m),A(x1,y1 ),B (x2,y2),由可得(x1+x2)•2(y1+y2)•=0,∴﹣1=4mk=0,即k=,故AB的方程为y﹣m=(x+),即y=x+①.再把①代入椭圆方程+y2=1,可得x2+x+•=0.由判别式△=1﹣>0,可得0<m2<.∴x1+x2=﹣1,x1•x2=,y1•y2=(•x1+)(x2+),∴•=(x1﹣1,y1 )•(x2﹣1,y2)=x1•x2+y1•y2﹣(x1+x2)+1=.令t=1+8m2,则1<t<8,∴•==[3t+].再根据[3t+]在(1,)上单调递减,在(,8)上单调递增求得[3t+]的范围为[,).综上可得,[3t+]的范围为[,).【点评】:本题主要考查本题主要考查椭圆的定义、标准方程,以及简单性质的应用,两个向量的数量积公式的应用,直线和二次曲线的关系,考查计算能力,属于难题.21.(16分)设数列a1,a2,…,a2015满足性质P:a1+a2+a3+…+a2015=0,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2015|=1.(Ⅰ)(ⅰ)若a1,a2,…,a2015是等差数列,求an;(ⅱ)是否存在具有性质P的等比数列a1,a2,…,a2015?(Ⅱ)求证:.【考点】:数列与不等式的综合;数列的应用.【专题】:等差数列与等比数列.【分析】:(Ⅰ)(ⅰ)由题意得,从而a1008=0,由此结合已知条件能求出an;(ⅱ)当q=1时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2015|=|a1+a2+a3+…+a2015|=0.当q≠1时,.由此能求出不存在满足性质P的等比数列.(Ⅱ)由条件知,必有ai>0,也必有aj<0 (i,j∈{1,2,…,2015},且i≠j ),由条件得ai1+ai2+…+ail=,aj1+aj2+…+ajm=﹣.由此能证明.【解析】:(Ⅰ)(ⅰ)解:设等差数列a1,a2,…,a2015的公差为d,则.由题意得,所以a1+1007d=0,即a1008=0.当d=0时,a1=a2=…=a2015=0,所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2015|=0与性质P矛盾;当d>0时,由,a1008=0,得d=,.所以.当d<0时,由,a1008=0,得,.所以.综上所述,或.(ⅱ)解:设a1,a2,…,a2015是公比为q的等比数列,则当q=1时,a1=a2=…=a2015,则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2015|=|a1+a2+a3+…+a2015|=0,与性质P矛盾.当q≠1时.与性质P矛盾.因此不存在满足性质P的等比数列a1,a2,…,a2015.(Ⅱ)证明:由条件知,必有ai>0,也必有aj<0 (i,j∈{1,2,…,2015},且i≠j ).设为所有ai中大于0的数,为所有ai中小于0的数.由条件得ai1+ai2+…+ail=,aj1+aj2+…+ajm=﹣.所以===.∴.【点评】:本题考查数列的通项公式的求法,考查是否存在具有性质P的等比数列的判断与求法,考查不等式的证明,解题时要认真审题,注意等差数列和等比数列的性质的合理运用.22.(16分)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)﹣x=0的两个根x1,x2满足0<x1<x2<.(1)当x∈(0,x1)时,证明x<f (x)<x1;(2)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称,证明x0<.【考点】:一元二次方程的根的分布与系数的关系;不等式的证明.【专题】:证明题;压轴题;函数思想;方程思想;作差法.【分析】:(1)方程f(x)﹣x=0的两个根x1,x2,所以构造函数,当x∈(0,x1)时,利用函数的性质推出x<f (x),然后作差x1﹣f(x),化简分析出f(x)<x1,即可.(2).方程f(x)﹣x=0的两个根x1,x2,函数f(x)的图象,关于直线x=x0对称,利用放缩法推出x0<;【解析】:证明:(1)令F(x)=f(x)﹣x.因为x1,x2是方程f(x)﹣x=0的根,所以F(x)=a(x﹣x1)(x﹣x2).当x∈(0,x1)时,由于x1<x2,得(x﹣x1)(x﹣x2)>0,又a>0,得F(x)=a(x﹣x1)(x﹣x2)>0,即x<f(x).x1﹣f(x)=x1﹣[x+F(x)]=x1﹣x+a(x1﹣x)(x﹣x2)=(x1﹣x)[1+a(x﹣x2)]因为所以x1﹣x>0,1+a(x﹣x2)=1+ax﹣ax2>1﹣ax2>0.得x1﹣f(x)>0.由此得f(x)<x1.(2)依题意知因为x1,x2是方程f(x)﹣x=0的根,即x1,x2是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的根.∴,因为ax2<1,所以.【点评】:本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识,考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.。