第一讲 微分方程模型及案例分析

N er (tt0 ) 0
（1.2）
其中N0=N(t0)为初始时刻t0时的种群数。
马尔萨斯模型的一个显著特点： 种群数量翻一番所需的时间是固定的。
令种群数量翻一番所需的时间为T，则有：2N0 N0erT 故 T ln 2
r
2009年7月13日
Chen Yiping
模型检预验测
假比如较人历口年数的真人能口保统持计每资3料4.，6年可增发加现一人倍口，增那长么的人实口际数情将况 与 以马几尔何萨级斯数模的型方的式预增报长结。果例基如本，相到符25，10例年如，，人1口96达1年2×世10界14个人， 口 大 数 量 即 而 肩数约量每使到上为每，3海2排46发.洋7成336005年现全二.年6亿增两部层增，所净加M 数生生者变了加人（以增一不物存几成。一口即aM 长l倍t太群空乎陆倍 达3故h.率a，0u大体间完地。3l6马t6不s两×h时的，全，检×模尔u1可者1才各有一每查0型s萨09能模也1）合成限致人1实5斯个7始型几，理员的，也0际模，0终假乎人，之自且只年上型只保设相口到间然按有至只是好持的同增总由资马19有不一9.常人。3长数于源氏6在完平个1数口率增有及模的群善方人，约大限食型2体的英站6为时的物计0总。尺在年2，算的%另人，活，一口人动人人实口范口的际数围数，
2009年7月13日
Chen Yiping
模型1 马尔萨斯（Malthus）模型
英国人口统计学家马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现， 人口净增长率r基本上是一常数, (r=b-d,b为出生率, d为死亡率), 即：
1 N
dN dt
r
或
dN dt
rN
（1.1）
（1.1）的解为：N (t)
关于常微分方程组的平衡点及其稳定性, 设
dx dt
f
(x, y),
dy dt
g(x,
y).
(3)
代数方程组
f (x, y) 0,
g
(
x,
y)
0.
的实根x = x0, y = y0称为方程(3)的平衡点, 记作P0 (x0, y0). 它也是方程(3)的解.
2009年7月13日
Chen Yiping
它等应原当因与，人就口可数能量发有生关生3.5 x。10存11 竞争等马尔现萨斯模型人口预测
象。
3
2.5
几何级数增长
2
N/人
1.5
1
0.5
2009年7月13日
0 1950
2000
2050 t/年
2100
2150
2200
Chen Yiping
模型2 Logistic模型
人口净增长率应当与人口数量有关，即： r=r(N)
如果
lim
t
x(t)
x0 ,
lim
t
y(t)
y0 , 则称平衡点P0是稳定的.
下面给出判别平衡点P0是否稳定的判别准则. 设
f (P0 ) f (P0 )
p
f (P0 x
)
g ( P0 y
)ห้องสมุดไป่ตู้
,
x q
g(P0 )
y g(P0 )
x
y
则当p＞0且q＞0时, 平衡点P0是稳定的； 当p＜0或q＜0时, 平衡点P0是不稳定的.
从而有： dN r(N )N
（1.3）
(1.5)式还有另dt 一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限
增恶长 化对的、马种疾群病尔个增萨体多斯，等模当原种因型群，引数出入量 生一过 率次多 将时 降项， 低（由 而竞于 死争人 亡项均 率资 却）源 会，占 提令有 高率。r(的设N)下环=降境r-a及能N环供境养
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2009年7月13日
Chen Yiping
☆ 常微分方程模型实例 例1 人口模型——Malthus模型与Logistic模型
为了保持自然资源的合理开发与利用，人类必须保持并 控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。下面以 单种群增长模型为例，以简略分析一下这方面的问题。
种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大， 世代交迭,为建立微分方程模型，可将种群数量看作连续 变量,由此引起的误差将是十分微小的。
数学建模培训
第一讲 微分方程模型及案例分析
2009年7月13日
Chen Yiping
在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常用的数学工具之一.
☆ 微分方程建模的对象
涉及“改变”、“变化”、“增加”、“减少”、“衰变”、“边 际”、“速度”、 “运动”、“追赶”、“逃跑” 等词语的确定性
☆ 微连续分问方题程。建模的基本方法
2009年7月13日
Chen Yiping
☆ 常微分方程平衡点的稳定性及判断方法
设 dx f (x)
(1)
dt
称代数方程 f (x)=0 的实根x = x0为方程(1)的平衡点(或奇 点). 它也是方程(1)的解.
如果
lim
t
x(t)
x0
,则称平衡点x0是稳定的.
由于 f (x) f (x0 )(x x0 ), 在讨论方程(1)的稳定性时,
可用
dx dt
f
(x0 )(x x0 )
(2) 来代替.
易知 x0也是方程(2)的平衡点.(2)的通解为 x(t) Ce f (x0 )t x0 ,
关于x0是否稳定有以下结论： ①若 f (x0) 0, 则x0是稳定的； ②若 f (x0) 0, 则x0是不稳定的.
2009年7月13日
Chen Yiping
（1）根据规律列方程 利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验 的规律等来建立微分方程模型。
（2）微元分析法 利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法 不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。
2009年7月13日
Chen Yiping
（3）模拟近似法
在生物、经济等学科的实际问题中，许多现 象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其 复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的 现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后 从数学上求解或分析所建方程及其解的性质， 再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、 模拟某些实际现象。