2013版高考数学考前3个月(上)专题复习课件专题九第一讲三角函数

第一讲
题型突破
第一讲
第一步：根据已知条件,计算三角函数值或者三角函数式子的值；
本 讲
第二步：通过对角进行“拆”或“添”变形,确定已知角、未知角的
栏 关系；
目
开 第三步：对所求三角函数式子进行化简,并将已知代入；
关 第四步：反思回顾,对结果估算.
题型突破
第一讲
变式训练 1 已知－π2<x<0,sin x＋cos x＝15,求 cos x－sin x 的值.
本 讲
解 (1)f(x)＝121＋cos2x＋6π,
栏 目
因为 x＝x0 是函数 y＝f(x)图象的一条对称轴,
开 关
所以 2x0＋π6＝kπ (k∈Z),即 2x0＝kπ－π6 (k∈Z).
所以 g(x0)＝1＋12sin 2x0＝1＋12sinkπ－π6.
当 k 为偶数时,g(x0)＝1＋12sin－6π＝1－14＝34. 当 k 为奇数时,g(x0)＝1＋12sin 6π＝1＋14＝54.
题型一 三角函数的概念及三角恒等变换
目 开
三角函数的概念和公式是三角变换的基础,主要考查和角公式的
关 正用、逆用和变形使用,运用公式进行化简求值是必考内容,要注意角
的范围及公式使用的条件,灵活使用公式及其变形.
题型突破
例1
已知函数
1＋ f(x)＝
si2ncoxs＋2π2x－π4.
n＝(cos B,sin B),求|3m－2n|的取值范围.
本 解 因为 3(tan A－tan B)＝1＋tan A·tan B,
讲
栏 目 开
所以1t＋antaAn－At·atannBB＝
33,即
tan(A－B)＝
3 3,
关
又△ABC
为锐角三角形,则
ππ 0<A<2,0<B<2,
所以－π2<A－B<2π,所以 A－B＝6π.
所以 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝12.
又 A∈(0°,180°),所以 A＝60°.
(2)∵A＋B＋C＝180°,∴B＋C＝180°－60°＝120°.
由 sin B＋sin C＝ 3,得 sin B＋sin(120°－B)＝ 3.
所以 sin B＋sin 120°cos B－cos 120°sin B＝ 3,
栏 故|3m－2n|的取值范围是(1, 7).
目
开
关
第一讲
题型突破
第一讲
第一步：进行三角变换,求出某个角的值或者范围；
本 讲
第二步：脱去向量的外衣,利用向量的运算将所求的式子转化为一个
栏 角的三角函数问题；
目 开
第三步：得到函数的单调性或者角、函数值的范围,规范写出结果；
关 第四步：反思回顾,检查公式使用是否有误,结果估算是否有误.
目 开
某一环节上卡住时，可以承接这一结论，往下推，或直接利用前
关
面的结论做下面的．
4．模板作答：针对不少同学答题格式不规范，出现“会而不对，对
而不全”的问题，规范每种题型的万能答题模板，按照规范的解
题程序和答题格式分步解答，实现答题步骤的最优化．
考情分析
第一讲 三角函数
第一讲
本
讲
栏
目 开
三角函数、平面向量和三角形中的正余弦定理是高考中考查的热
【考情预测】
预测今年各省市高考数学解答题，有以下几个特点：
1．和前几年一样，虽略有差别，但总体上高考五至六个解答题的模
本 讲
式基本不变，分别为三角函数与平面向量、概率与统计、立体几
栏 目
何、数列与不等式、解析几何、函数与导数及不等式．
开 关
2．一般来说，前三题属于中低档题，第四题属中档偏难题，后两题
讲 关键是利用向量知识(数量积应用最多)将条件转化到三角函数,再利
栏 目
用三角函数的图象与性质处理.
开
关
题型突破
第一讲
例 3 在锐角△ABC 中,已知内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,且 3(tan A－tan B)＝1＋tan A·tan B,又已知向量 m＝(sin A,cos A),
解 由 sin x＋cos x＝15两边平方得
本 讲 栏
sin2x＋cos2x＋2sin xcos x＝215,
目 开
即 2sin xcos x＝－2245,
关 所以(cos x－sin x)2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x＝4295.
又－π2<x<0,所以 sin x<0,cos x>0.
第一讲
题型突破
第一讲
题型四 三角函数与三角形
解三角形是历年高考的热点,以三角形为载体,将三角形中的问
本 题转化为代数或方程问题,小题中考查正弦定理、余弦定理的直接应
讲 用,在解答题中常与三角函数的图象、性质结合；解题是要从边角关
栏 目
系入手,灵活进行边角互化.
开
关
题型突破
第一讲
例 4 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2asin A＝(2b－
题型突破
第一讲
变式训练 3 (2012·湖北)已知向量 a＝(cos ωx－sin ωx,sin ωx),b＝
(－cos ωx－sin ωx,2 3cos ωx),设函数 f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的图象关于直线
x＝π 对称,其中 ω,λ 为常数,且 ω∈12，1.
(1)求函数 f(x)的最小正周期；
由直线 x＝π 是 y＝f(x)图象的一条对称轴, 可得 sin2ωπ－π6＝±1, 所以 2ωπ－6π＝kπ＋2π(k∈Z),即 ω＝2k＋13(k∈Z).
题型突破
又 ω∈12，1,所以 k＝1,故 ω＝56. 所以 f(x)的最小正周期是65π.
本 讲 栏
(2)由 y＝f(x)的图象过点π4，0,得 fπ4＝0, 即 λ＝－2sin56×π2－π6＝－2sin 4π＝－ 2.
本 (1)求 f(x)的定义域；
讲 栏 目
(2)若角 α 在第一象限,且 cos α＝35,求 f(α).
开 关
解 (1)由 sinx＋π2≠0,得 x＋2π≠kπ,k∈Z,
即 x≠kπ－2π (k∈Z).
故 f(x)的定义域为{x|x≠kπ－2π,k∈Z}.
第一讲
题型突破
(2)因为角 α 在第一象限
所以 cos x－sin x＝75.
题型突破
第一讲
题型二 三角函数的图象和性质
三角函数的图象和性质是高考的重点考查内容,求函数的周期、
本 讲
单调性、奇偶性、值域是命题的方向,图象以五点法作图和图象变换
栏 目
为主.解决这类问题要注意数形结合,将函数的性质、图象结合起来.
开
关
题型突破
第一讲
例 2 已知函数 f(x)＝cos2x＋1π2,g(x)＝1＋12sin 2x. (1)设 x＝x0 是函数 y＝f(x)的图象的一条对称轴,求 g(x0)的值； (2)求函数 h(x)＝f(x)＋g(x)的单调递增区间.
关 点,主要以中低档题目的形式出现.选择、填空题以考查三角函数性质及
公式应用为主,解答题会以向量或三角形为载体,考查三角函数的图象
和性质或者与函数的奇偶性、周期性、最值相结合,以小型综合题的形
式出现.
考情分析
第一讲
解决三角函数问题的基本思想是脱掉向量或者其他知识的外衣,抓
住三角函数问题的实质,灵活实现问题的转化.最后往往通过三角变换
所以 sin2x－4π∈－ 22，1, 1＋ 2sin2x－4π∈[0,1＋ 2].
所以函数 f(x)的最大值为 1＋ 2.
题型突破
第一讲
题型三 三角函数与向量
向量与三角函数的结合是高考命题的热点,向量具有代数与几何
本 的双重身份,是中学知识的交汇点之一.这类问题以向量为背景,解决
目 开
故 f(x)＝2sin53x－π6－ 2.
关 由 0≤x≤35π,有－π6≤53x－π6≤56π,
所以－12≤sin53x－6π≤1,
得－1－ 2≤2sin53x－6π－ 2≤2－ 2,
故函数 f(x)在0，35π上的取值范围为[－1－ 2,2－ 2].
又|3m－2n|2＝9m2＋4n2－12m·n ＝13－12sin(A＋B)＝13－12sin2B＋6π.
题型突破
又 0<C＝π－(A＋B)<π2,0<A＝π6＋B<π2,
所以π6<B<3π,所以π2<2B＋π6<56π.
本 讲
所以 sin2B＋π6∈12，1,所以|3m－2n|2∈(1,7).
c)sin B＋(2c－b)sin C.
(1)求角 A 的大小；
(2)若 sin B＋sin C＝ 3,试判断△ABC 的形状.
本
讲 解 (1)由 2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C,
栏 目
得 2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c,整理得 b2＋c2－a2＝bc,开 关Fra bibliotek题型突破
(2)h(x)＝f(x)＋g(x) ＝12[1＋cos2x＋π6]＋1＋12sin 2x
本
＝12
3 2 cos
2x＋12sin
2x＋32
讲 栏 目
＝12sin2x＋3π＋32.
开 关
当 2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋2π (k∈Z),
即 kπ－51π2≤x≤kπ＋1π2(k∈Z)时, 函数 h(x)＝12sin2x＋3π＋32是增函数.
开 等式,求角的范围或函数值的范围；
关
第三步：得到函数的单调性或者角、函数值的范围,规范写出结果；
第四步：反思回顾,检查公式使用是否有误,结果估算是否有误.
题型突破
第一讲
变式训练 2 已知函数 f(x)＝2sin x(sin x＋cos x),x∈0，π2,求函数 f(x) 的最大值.
属难题．其中，三角函数与平面向量、概率与统计、立体几何在
前三题中出现的概率较高，掌握这几类题的解法是大多数学生成
功的关键．
【解题策略】
1．审题要慢，解答要快．审题时，必须充分搞清题意，综合所有条
件，提炼全部线索，形成整体认识．
本 2．确保运算准确，立足一次成功．
讲 栏
3．缺步解答：面对难题，讲究策略，争取多得分．解题过程在其中
故函数 h(x)的单调递增区间为
kπ－51π2，kπ＋1π2 (k∈Z).
第一讲
题型突破
第一讲
第一步：三角函数式的化简,一般化成 y＝Asin(ωx＋φ)＋h 的形式,即
本 讲
化为“一角、一次、一函数”的形式；
栏 目
第二步：由 y＝sin x、y＝cos x 的性质,将 ωx＋φ 看做一个整体,解不
本 讲 栏 目 开 关
【题型解读】
数学解答题是高考数学试题中的一类重要题型，这些题涵盖了
本 讲
中学数学的主要内容，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、
栏 目
突显数学思想方法的运用以及要求考生有一定的创新意识和创新能
开 力等特点，解答题综合考查运算能力、逻辑思维能力、空间想象能
关
力和分析问题、解决问题的能力．
sin α＝ 1－cos2α＝ 1－352＝45.
本 讲 栏 目
从而
1＋ f(α)＝
2cos2α－π4 sinα＋2π
开
关
1＋ ＝
2cos 2αcos π4＋sin 2αsin cos α
π 4
＝1＋cosc2oαs＋α sin 2α＝2(cos α＋sin α)＝154.
解 f(x)＝2sin x(sin x＋cos x)＝2sin2x＋2sin xcos x
本 ＝1－cos 2x＋sin 2x
讲 栏 目
＝1＋

2sin 2xcos

π4－cos 2xsin
π 4
开 关
＝1＋ 2sin2x－4π
因为 x∈0，2π,所以 2x－π4∈－4π，34π,
题型突破
即32sin B＋ 23cos B＝ 3,所以 sin(B＋30°)＝1. 又 0°<B<120°,所以 30°<B＋30°<150°. 本 所以 B＋30°＝90°,所以 B＝60°.
本 归结到函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质,要注意题目中隐含的角的限
讲
栏 制条件,做到推理严谨、计算准确、表达确切.解答题往往放在 17、18
目 开
题的位置,但是根据历年的阅卷情况,本题的得分率并不是太高,主要是
关 审题不严谨、答题不规范导致失分,希望引起同学们注意.
题型突破
第一讲
本
讲 栏
本 讲 栏
(2)若 y＝f(x)的图象经过点π4，0,求函数 f(x)在区间0，35π上的取值范围.
目 开
解
(1)因为 f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2 3sin ωx·cos ωx＋λ
关 ＝－cos 2ωx＋ 3sin 2ωx＋λ
＝2sin2ωx－π6＋λ.