高中数学 第2章 统计 2.3 总体特征数的估计 2.3.1 平均数及其估计目标导引素材 苏教版必修3
高中数学第2章统计2.3总体特征数的估计讲义苏教版必修3
2.3 总体特征数的估计1．众数一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数的众数． 2．中位数把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于中间位置的那个数称为这组数据的中位数．当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大的顺序排列的中间的那个数．当数据个数为偶数时，中位数是按从小到大的顺序排列的最中间两个数的平均数．3．平均数(1)若给定一组数据a 1，a 2，…，a n ，则称a ＝1n ∑i ＝1n a i ＝a 1＋a 2＋…＋a n n为这n 个数据的平均数或均值．(2)若一组数据中取值为a 1，a 2，…，a n 的频率分别为p 1，p 2，…，p n ，则其平均数为a 1p 1＋a 2p 2＋…＋a n p n .4．方差与标准差一般地，设样本数据分别是x 1，x 2，…，x n ，样本的平均数为x ，则称s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n－x )2]为这个样本的方差，其算术平方根s ＝分别简称样本方差、样本标准差． 5．极差一组数据的最大值与最小值的差称为极差．1．下面是高一(8)班十位同学的数学测试成绩：82,91,73,84,98,99, 101,118,98,110，则该组数据的中位数是________．98 [将这组数据从小到大排列为73,82,84,91,98,98,99, 101,110,118，则最中间的两个数为98,98，故中位数为98.]2．在一段时间里，一个学生记录了其中10天他每天完成家庭作业所需要的时间(单位：分钟)，结果如下：80,70,70,70,60,60,80,60,60,70.在这段时间里，该学生平均每天完成家庭作业所需时间是________分钟． 68 [平均每天所需时间为80×2＋70×4＋60×410＝68.]3．某老师从星期一到星期五收到的信息数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s 2＝________.3．2 [5个数据的平均数x ＝10＋6＋8＋5＋65＝7.所以s 2＝15[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝3.2.]4．已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本的标准差为________． 2 [平均数x ＝15(1＋2＋3＋4＋5)＝3，所以s ＝15[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2] ＝ 2.]178,178,182,182,178,180,178,180,181,180,181,180,180,182.则这个球队的队员平均身高是________cm(精确到1 cm)．(2)有容量为100的样本，数据分组及各组的频数、频率如下：[12.5,14.5)，6,0.06；[14.5,16.5)，16,0.16；[16.5，18.5)，18,0.18；[18.5,20.5)，22,0.22；[20.5,22.5)，20,0.20；[22.5,24.5)，10,0.10；[24.5,26.5]，8,0.08.则该样本数据的平均数为________．(1)180 (2)19.42 [(1)法一：利用平均数的定义计算： 平均身高x ＝114(178＋178＋182＋182＋178＋180＋178＋180＋181＋180＋181＋180＋180＋182)＝114×2 520＝180(cm)．法二：利用加权平均数公式计算： 平均身高x ＝114(178×4＋182×3＋180×5＋181×2)＝114×2 520＝180(cm)． 法三：利用新数据法进行计算：取a ＝180，将各数据同时减去180，得到一组新数据： －2，－2,2,2，－2,0，－2,0,1,0,1,0,0,2. 这组新数据的平均数为x ′＝114(－2×4＋2×3＋0×5＋1×2)＝0，所以平均身高x ＝a ＋x ′＝180＋0＝180(cm)．(2)利用频率平均数公式计算：样本数据平均数x ＝13.5×0.06＋15.5×0.16＋17.5×0.18＋19.5×0.22＋21.5×0.20＋23.5×0.10＋25.5×0.08＝19.42.]1．一般情况下，要计算一组数据的平均数，可使用平均数公式x ＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )来计算．2．如果x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，…，mx n ＋a 的平均数是m x ＋A ．当数据较大，且大部分数据在某一常数左右波动时，本例中“法三”可以减少运算量，故此法比较简便．3．一般地，如果在n 个数中，x 1出现的频数为f 1，x 2出现的频数为f 2，…，x k 出现的频数为f k (其中f 1＋f 2＋…＋f k ＝n )，那么x ＝1n(x 1f 1＋x 2f 2＋…＋x k f k )＝1n i ＝1kx i f i 叫做这n 个数的频数平均数，也称加权平均数，其中f 1，f 2，…，f k 叫做权．4．一般地，若取值为x1，x2，…，x n的频率分别为p1，p2，…，p n，那么其平均数为x＝x1p1＋x2p2＋…＋x n p n.如本例(2)中求平均数方法．提醒：当条件给出某几个范围内的数据的频率或频数时，可用组中值求平均数．1．某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量(单位：克)分别为150,152,153,149,148,146,151,150,152,147，由此估计这车苹果单个重量的平均值是________．149．8克[平均数为x＝150＋152＋153＋149＋148＋146＋151＋150＋152＋14710＝149.8(克)．]2．将一组数据同时减去3.1，得到一组新数据，若原数据的平均数为x，则新数据的平均数是________．x－3.1 [设原来数据为a1，a2，…，a n，则a1＋a2＋…＋a n＝n x，从而新数据的平均数为(a1－3.1)＋(a2－3.1)＋…＋(a n－3.1)n＝n x－3.1nn＝x－3.1.](1)极差；(2)方差；(3)标准差．[解] (1)该组数据中最大值为9，最小值为5，故该组数据的极差为9－5＝4.(2)求方差可以有三种方法：法一：因为x＝110(7×4＋6×2＋8×2＋5＋9)＝7，所以s2＝110×[(7－7)2＋(6－7)2＋…＋(7－7)2]＝1.2，法二：同“法一”，求得x＝7，所以s2＝110[(72＋62＋82＋…＋72)－10×72]＝1.2，法三：将各数据减去7，得一组新数据：0，－1,1,1，－2,2,0,0，－1,0，则x′＝0，所以x ＝x ′＋7＝7.所以s 2＝110[02＋(－1)2＋12＋…＋02]－10×02＝1.2.(3)由(2)知，标准差s ＝s 2＝ 1.2＝305.1．极差是数据的最大值与最小值的差，它反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感．2．方差的计算(1)s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]；(2)s 2＝1n (x 21＋x 22＋…＋x 2n －n x 2)； (3)s 2＝1n(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－x 2. 3．方差的性质(1)数据x 1，x 2，…，x n 与数据x 1＋a ，x 2＋a ，…，x n ＋a 的方差相等．(2)若数据x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2，则数据ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的方差为a 2s 2(a ，b ∈R )．(3)标准差、方差的范围为[0，＋∞)． 4．标准差的计算方差的算术平方根即标准差，要求标准差先求出方差，再开方取其算术平方根即可． 提醒：方差、标准差的单位不一致要注意区别．3．若一组样本数据2,3,7,8，a 的平均数为5，则该组数据的标准差s ＝________. 1305 [由平均数为5，得a ＝5×5－(2＋3＋7＋8)＝5，则s 2＝15(32＋22＋22＋32＋02)＝265，s ＝265＝1305.] 4．已知样本x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的方差为3，则样本4x 1＋1,4x 2＋1,4x 3＋1,4x 4＋1,4x 5＋1的标准差是________．4 3 [根据方差的性质知4x 1＋1,4x 2＋1,4x 3＋1,4x 4＋1,4x 5＋1的方差为42×3＝48.所以其标准差为48＝4 3.]8次选拔比赛，他们的成绩(单位：m)如下：甲：1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.73,1.68,1.67； 乙：1.60,1.73,1.72,1.61,1.62,1.71,1.70,1.75.经预测，成绩超过1.65 m 就很有可能获得冠军，该校为了获取冠军，可能选哪位选手参赛？若预测成绩超过了1.70 m 方可获得冠军呢？思路点拨：[解] 甲的平均成绩和方差：x 甲＝18×(1.70＋1.65＋…＋1.67)＝1.69，s 2甲＝18×[(1.70－1.69)2＋(1.65－1.69)2＋…＋(1.67－1.69)2]＝0.000 6.乙的平均成绩和方差：x 乙＝18×(1.60＋1.73＋…＋1.75)＝1.68，s 2乙＝18×[(1.60－1.68)2＋(1.73－1.68)2＋…＋(1.75－1.68)2]＝0.003 15.显然，甲的平均成绩高于乙的平均成绩，而且甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩比乙稳定，由于甲的平均成绩高于乙，且成绩稳定，所以若成绩超过1.65 m 就很可能获得冠军，应派甲参赛．在这8次选拔比赛中乙有5次成绩在1.70 m 以上，虽然乙的平均成绩不如甲，成绩的稳定性也不如甲，但当成绩超过1.70 m 方可获得冠军时，应派乙参加比赛．在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值的离散程度(方差或标准差)，方差(标准差)越大，说明取值分散性越大，方差(标准差)越小，说明取值分散性越小，取值比较集中、稳定．5．假定以下数据是甲、乙两个供货商的交货天数： 甲：10,9,10,10,11,11,9,11,10,10； 乙：8,10,14,7,10,11,10,8,15,12.根据以上数据估计两个供货商的交货情况：哪个供货商交货时间短一些？哪个供货商是比较具有一致性与可靠性的供货商？思路点拨：先分别计算出甲、乙两组数据的平均数及方差，再作判断．[解] x甲＝110(10＋9＋…＋10)＝10.1，s2甲＝110(102＋92＋…＋102)－10.12＝0.49；x乙＝110(8＋10＋…＋12)＝10.5，s2乙＝110(82＋102＋…＋122)－10.52＝6.05>s2甲.从交货天数的平均值来看，甲供货商的交货时间短一些；从方差来看，甲供货商的交货时间较稳定．因此甲供货商是比较具有一致性与可靠性的供货商．6．从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高如下(单位：cm)：甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42；乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40.问：(1)哪种玉米的苗长得高？(2)哪种玉米的苗长得齐？思路点拨：看哪种玉米的苗长得高，只要比较甲、乙两种玉米的平均高度即可；要比较哪种玉米的苗长得齐，只要看两种玉米高的方差即可，因为方差是体现一组数据波动大小的特征数．[解] (1)x甲＝110(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝30(cm)，x乙＝110(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝31(cm)，因为x甲<x乙．故乙种玉米苗长得高．(2)s2甲＝110[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝104.2(cm2)．s2乙＝110[(27－31)2＋(16－31)2＋(44－31)2＋(27－31)2＋(44－31)2＋(16－31)2＋(40－31)2＋(40－31)2＋(16－31)2＋(40－31)2]＝128.8(cm2)．因为s2甲<s2乙，所以甲种玉米的苗长得齐．1．本节课的重点是会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差，难点是理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法．2．本节课要掌握以下几类问题(1)当平均数大于中位数时，说明数据中存在较大的极端值；反之，说明数据中存在较小的极端值．(2)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小.1．已知1,2,3,4，x 1，x 2，x 3的平均数是8，那么x 1＋x 2＋x 3的值是( ) A ．56 B ．48 C ．46 D ．24C [由条件知，1＋2＋3＋4＋x 1＋x 2＋x 3＝8×7， 所以x 1＋x 2＋x 3＝46.]2．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4. 则：(1)平均命中环数为________； (2)命中环数的标准差为________． (1)7 (2)2 [(1)x ＝110(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7. (2)s 2＝110[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，所以s ＝s 2＝4＝2.]3．已知一个样本为1,3,2,5，x ，它的平均数是3，则这个样本的标准差是________． 2 [x ＝1＋3＋2＋5＋x5＝3，∴x ＝4. 由方差公式有：s 2＝15[(1－3)2＋(3－3)2＋(2－3)2＋(5－3)2＋(4－3)2]＝2，∴s ＝ 2.]4．有两位射击运动员在一起射击，测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲：8,7,9,7,5,4,10,9,7,4； 乙：5,9,8,7,7,6,6,8,7,7.如果这是一次选拔性考核，应当选择谁？思路点拨：平均数反映总体的平均水平，而方差反映了总体的稳定程度，我们可用平均数与方差从不同的方面估计总体．[解] x 甲＝110(8＋7＋9＋7＋5＋4＋10＋9＋7＋4)＝7，x 乙＝110(5＋9＋8＋7＋7＋6＋6＋8＋7＋7)＝7.s2甲＝110[(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(7－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(10－7)2＋(9－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4.s2乙＝110[(5－7)2＋(9－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2]＝1.2.由x甲＝x乙知两个射击运动员的平均成绩是一样的．由s2甲>s2乙知，甲的成绩不如乙的成绩稳定．综合考虑，应选择乙．。
高中数学第2章统计2.3总体特征数的估计2.3.2方差与标准差教案苏教版必修3
2.3.2 方差与标准差整体设计教材分析“方差与标准差〞这节课在上节课平均数根底上，从实例“有甲、乙两种钢筋，检查它们抗拉强度〞中平均数不是反映总体质量、水平唯一特征数，在平均值相差不大情况下，数据稳定程度可以作为评价对象质量上下又一重要因素，从而说明引入方差、标准差必要性，同时使学生养成从多个角度看问题习惯，锻炼了学生创造性思维.为了让学生充分体会“稳定性〞意义，教材中用数轴表示两组数据，形象地表现出数据“聚散〞程度，并用极差反映数据稳定性.当两组数据极差相差不大时，就不适宜用极差来表示稳定性，这时可用“方差与标准差〞作为比拟数据稳定性特征数.初中已学过方差概念，现在教学不能停留在原有水平上，要将用方差刻画数据稳定程度理由讲清楚，充分提醒用方差作为比拟数据稳定性水平特征数思维过程.通过方差单位与原数据单位比拟,通过实际问题分析,让学生了解到用方差反映稳定性水平缺乏之处是与原数据单位不一致,且平方后可能夸张偏差程度等,从而引入“标准差〞概念,这一过程应让学生在形成问题和解决问题过程中加以探索.三维目标1.通过对具体案例分析掌握样本数据平均数、方差与标准差根本概念和计算方法，培养学生分析问题和解决问题能力,激发学生探究数学问题兴趣和动机.2.在解决统计问题过程中，进一步体会用样本估计总体思想，形成对数据处理过程进展初步评价意识.3.引导学生对一些生活中实际问题学习, 进一步培养学生数学素养和增强学生数学应用意识及认真、耐心、细致学习态度和学习习惯.4.渗透数学来源于实践，反过来又作用于实践观点.重点难点教学重点：1.通过实例理解样本数据方差与标准差意义和作用,学会计算数据样本方差与标准差.2.根据方差与标准差对事件进展科学决策，形成对数据处理过程进展初步评价意识.教学难点：1.方差与标准差计算方法及运算准确性.2.用样本根本数字特征估计总体根本数字特征,从中进一步理解统计根本思想.课时安排1课时教学过程导入新课平均数向我们提供了样本数据重要信息，但是，平均数有时也会使我们作出对总体片面判断.某地区统计报表显示，此地区年平均家庭收入是10万元，给人印象是这个地区家庭收入普遍比拟高.但是，如果这个平均数是从200户贫困家庭和20户极富有家庭收入计算出来，那么它就既不能代表贫困家庭年收入，也不能代表极富有家庭年收入.因为这个平均数掩盖了一些极端情况.而这些极端情况显然是不能被无视.因此，只有平均数还难以概括样本数据实际情况.举例：有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个样本〔如下表〕检查他们抗拉强度〔单位：kg/mm2〕，通过计算发现，两个样本平均数均为125.哪种钢筋质量较好？两种钢筋平均数都是125，那么,它们有没有什么差异呢推进新课作出图形，作直观比拟：直观上看，还是有差异.乙强度比拟分散，甲强度相对集中.因此，我们还需要从另外角度来考察这两组数据.例如，在作统计图、表时提到过极差甲强度极差＝135-110=25,乙强度极差＝145-100=45.它在一定程度上说明了样本数据分散程度，与平均数一起，可以给我们许多关于样本数据信息，显然，极差对极端值非常敏感，注意到这一点，我们可以得到一种“去掉一个最高分，去掉一个最低分〞统计谋略.新知探究1.方差(variance)概念：考察样本数据分散程度大小，最常用统计量是方差，一般用s2表示.假设样本数据是x1,x2,…,x n，x表示这组数据平均数.结合上节课有关离差讨论可知,离差越小,稳定性就越高. 因此，通常用如下公式计算方差：.因为方差与原始数据单位不同,且平方后可能夸张了离差程度,因此将其算术平方根作为样本标准差〔standard deviation〕,分别简称样本方差、样本标准差.1,x2,…,x n标准差算法是：S1 算出样本数据平均数x；S2 算出每个样本数据与样本平均数差x i-x(i=1,2,…，n)；S3 算出S2中x i-x(i=1,2,…，n)平方；S4 算出S3中n个平方数平均数；S5 算出S4中平均数算术平方根，即为样本标准差.关于方差、标准差一点说明：〔1〕方差、标准差是用来描述样本数据离散程度，它反映了各个样本数据聚集于样本平均数周围程度.方差与标准差越小，说明各个样本数据在样本平均数周围越集中；反之，方差标准差越大，说明各个样本数据在样本平均数周围越分散.〔2〕在实际应用中，方差与标准差常被理解为稳定性.例如在上面比拟两种钢筋抗拉强度时，方差与标准差越小意味着该产品质量越稳定；在描述成绩时，方差与标准差越小，说明成绩越稳定.〔3〕学生思考“标准差取值范围是什么？标准差为0样本数据有什么特点？〞由标准差定义容易得出标准差是非负；标准差为0意味着所有样本数据都相等特性，且与样本平均数也相等，可以构造一个样本容量为2样本：x1,x2(x1<x2)，这样可以体会出两个样本数据分散程度与样本标准差之间关系.应用例如例1 根据以下四组样本数据，说明它们异同点.(1) 5 5 5 5 5 5 5 5 5；(2) 4 4 4 5 5 5 6 6 6；(3) 3 3 4 4 5 6 6 7 7；(4) 2 2 2 2 5 8 8 8 8.分析：从数据数字特征出发.解：四组数据平均数都是5.0，标准差分别是0.00，0.82，1.49，2.83.虽然它们有一样平均数，但是它们有不同标准差，说明数据分散程度是不一样.点评：样本方差、标准差能说明数据分散程度.例2 甲、乙两种水稻试验品种连续5年平均单位面积产量如下〔单位：t/hm2〕,试根据这组数据估计哪一种水稻品种产量比拟稳定.分析：稳固求方差和标准差方法.解：甲品种样本平均数为10，样本方差为［(9.8-10)2+(9.9-10)2+(10.1-10)2+(10-10)2+(10.2-10)2］÷5=0.02,乙品种样本平均数也为10，样本方差为［(9.4-10)2+(10.3-10)2+(10.8-10)2+(9.7-10)2+(9.8-10)2］÷5=0.24.因为0.24>0.02，所以，由这组数据可以认为甲种水稻产量比拟稳定.点评：x甲=x乙，易产生这两种水稻产量一样稳定错觉.这说明在实际问题中，仅靠期望值〔即平均数〕不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值离散程度〔及方差或标准差〕：标准差大说明取值分散性大，标准差小说明取值分散性小或者说取值比拟稳定、集中.2.要对“根据这组数据估计…〞统计意义作必要说明：第一，统计研究是以一定样本为依据，对于确定样本得到确定统计结果；第二，统计结果具有随机性，选择不同样本可能得到不同统计结果.最后还可让学生思考除了品种优劣，影响水稻产量还有哪些因素？根据一组数据得到结果是否可靠？这些问题提出会激发学生对统计学理论兴趣.例3 为了保护学生视力，教室内日光灯在使用了一段时间后必须更换.某校使用100只日光灯在必须换掉前使用天数如下，试估计这种日光灯平均使用寿命和标准差.分析：用每一个区间内组中值作为相应日光灯使用寿命，再求平均使用寿命.解：各组中值分别为165.5，195.5，225.5，255.5,285.5，315.5，345.5，375.5，由此算得平均数约为165.5×1%+195.5×11%+225.5×18%+255.5×20%+285.5×25%+315.5×16%+345.5×7%+375.5×2%=268.4≈268〔天〕.这些组中值方差为1001×［1×(165.5-268.4)2+11×(195.5-268.4)2+18×(225.5-268.4)2+20×(255.5-268.4)2+ 25×(285.5-268.4)2+16×(315.5-268.4)2+7×(345.5-268.4)2+2×(375.5-268.4)2］=2 128.60(天2)，故所求标准差约为6.2128≈46〔天〕.答：估计这种日光灯平均寿命约为268天，标准差约为46天.点评：此例目是：掌握连续性随机变量平均值和标准差一种估计方法，即组中值估计法.因为前一节例3已介绍了连续性随机变量平均值估计方法，所以处理此例时应让学生回忆前例并主动探索解决问题方法.例4 容量是40样本中各数据与30差平方和是250，样本标准差是1.5，求样本平均数.分析：根据样本平均数、样本方差、样本标准差公式解题.解：∵(x 1-30)2+(x 2-30)2+…+(x 40-30)2=250,所以(x 12+x 22+…+x 402)-60(x 1+x 2+…+x 40)+40×302=250.即(x 12+x 22+…+x 402)-60×40x +40×900=250， ① 又∵140［(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x 40-x )22=2.25， 即(x 12+x 22+…+x 402)-2x(x 1+x 2+…+x 40)+40x 2=90， 即(x 12+x 22+…+x 402)-80x 2+40x 2=90，② ①-②得40x 2-2 400x+40×900=160， 即x 2-60x +896=0,( x -32)( x -28)=0， 所以，x =32或x =28.点评：理解样本方差含义，抓住关键点：x 1+x 2+…+x 40=40x ，通过数形结合，结合消元x 1+x 2+…+x 40合理解决问题.例5 一组数据方差是s 2，将这组数据每个数据都加上10，求所得新数据方差.分析：利用方差公式解题.解：设原数据：x 1,x 2,…,x n ，平均数是x ，方差是s 2， 那么新数据为：x 1+10,x 2+10,…,x n +10，平均数为那么方差为n1［(x 1+10-x -10)2+(x 2+10-x -10)2+…+(x n +10-x -10)2］=n1［(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2］=s 2.变式训练某班有50名学生，某次数学考试成绩经计算得到平均分数是70分，标准差是s ，后来发现登记有误，某甲得70分却记为40分，某乙50分误记为80分，更正后重新计算得标准差为s 1，那么s 与s 1之间大小关系是〔 〕A.s=s 1B.s<s 1C.s>s 1解析：由题意，平均数不变，所以只要看与平均数离差平方变化情况.因为方差刻画了数据相对于平均值平均偏离程度.s 中有：(40-70)2+(80-70)2=1 000，s 1中有：(70-70)2+(50-70)2=400所以s>s 1.答案：C点评：由本例及变式可推理归纳方差性质：〔1〕假设给定一组数据x 1,x 2,…,x n ，方差为s 2，那么ax 1,ax 2,…,ax n 方差为a 2s 2；〔2〕假设给定一组数据x 1,x 2,…,x n ，方差为s 2，那么ax 1+b,ax 2+b,…,ax n +b 方差为a 2s 2，特别地，当a=1时，那么有x 1+b,x 2+b,…,x n +b 方差为s 2，这说明将一组数据每一个数据都减去一样一个常数，其方差是不变，即不影响这组数据波动性；〔3〕方差刻画了数据相对于平均值平均偏离程度.对于不同数据集，当离散程度越大时，方差越大；〔4〕方差单位是原始测量数据单位平方，对数据中极值较为敏感.知能训练课本本节练习解答：1.甲、乙两个班样本平均数为160，但甲班极差为3，乙班极差为30，故甲班波动较小.2. s 2=3=81［(k 1-k )2+(k 2-k )2+…+(k 8-k )2］， 而883)...(28)3(2...)3(2)3(2821821⨯-+++=-+-+-k k k k k k =2k -3, s 12=18［(2k 1-6-2k+6)2+(2k 2-6-2k+6)2+…+(2k 8-6-2k+6)2］=4s 2=12.3.甲较稳定.4.甲平均值为10，方差为0.055；乙平均值为10，方差为0.105.点评：从练习中再次体会数据离散程度影响对事件客观判断，体会从平均数、离散程度角度对事件作出科学判断方法.课堂小结1.数据离散程度影响对事件客观判断，体会从平均数、离散程度角度对事件作出科学判断方法，方差与标准差越小，说明各个样本数据在样本平均数周围越集中；反之，方差与标准差越大，说明各个样本数据在样本平均数两边越分散；2.衡量离散程度常用计算方法——方差与标准差，熟悉用计算器计算方差与标准差方法，切实掌握相关计算公式、方法、步骤并对有关数据进展合理解释；3.样本有效选择对判断有重要影响，知道影响判断、决策因素是多方面，在对总体作出判断之前，要充分考虑各种因素，切实体会统计思想方法；4.样本数据既具有随机性又具有规律性，在很广泛条件下，简单随机抽样样本数字特征如众数、中位数、平均数、方差与标准差随样本容量增加及时稳定于总体相应数字特征，总体数字特征是一定，不存在随机性.作业课本习题2.3 3、5、7.设计感想本节课一定要让学生体会平均数反映是一组数据平均水平，而方差和标准差那么反映了一组数据波动大小.在实际学习、工作中用得非常多，比方选择运发动参加大型比赛时，要看他以前每次测试平均成绩，但成绩稳定性也非常重要；学习上也是如此，稳定了可以给最后考试提供稳定心理.用这种与生活息息相关性激发学生学数学无限兴趣就是教师最大收获.习题详解1. x =301(2×5.1+3×5.2+6×5.3+8×5.4+7×5.5+3×5.6+1×5.7)≈5.39. 该厂这个月平均日产值约为5.39万元.2.在全部数据中找出最小值4.0和最大值7.4，两者之差为3.4，确定全距为3.5，以组距0.5将区间［4.0,7.5］分成7个组.x =1001(4.25×1+4.75×2+5.25×15+5.75×28+6.25×33+6.75×18+7.25×3)=6.03，估计试验田里麦穗平均长度约为6.0 cm.3.〔1〕甲机床次品数平均值为1.5，乙机床次品数平均值为1.2，故乙机床次品数平均值较小；〔2〕甲方差为1.65，乙方差为0.82，故乙机床生产状况较为稳定.4.估计甲机床平均次品率约为(0×0.7+1×0.1+2×0.1+3×0.1)÷1 000=0.06%，乙机床平均次品率约为(0×0.5+1×0.3+2×0.2+3×0)÷1 000=0.07%，故甲机床产品质量较好.5.〔1〕此样本中金属棒平均长度约为5.99；〔2〕频率分布表如下：频率直方图如下：〔3〕6×(1-0.2%)≈5.99，6×(1+0.2%)≈6.01，故合格金属棒有15根，合格率约为15÷40≈37.5%.6.〔1〕频率分布表如下：频率分布直方图如下：(2)由组中值估计总体平均数为 (57×5+65×14+73×25+81×11+89×5)×601=72.6，约73次. 实际总体平均数约为72，误差约为1.20.52 kg ，未施新化肥土地平均每块土地产量为17.36 kg ，且施了新化肥土地产量方差约为83.33，未施新化肥土地产量方差约为154.88，说明用了新化肥不仅平均产量高，而且产量稳定，故可认为新化肥取得了成功.。
高中数学苏教版教材目录(必修+选修)
高中数学苏教版教材目录(必修+选修)苏教版-----------------------------------必修1-----------------------------------第1章集合1.1集合的含义及其表示1.2子集、全集、补集1.3交集、并集第2章函数2.1函数的概念2.1.1函数的概念和图象2.1.2函数的表示方法2.2函数的简单性质2.2.1函数的单调性2.2.2函数的奇偶性2.3映射的概念第3章指数函数、对数函数和幂函数3.1指数函数3.1.1分数指数幂3.1.2指数函数3.2对数函数3.2.1对数3.2.2对数函数3.3幂函数3.4函数的应用3.4.1函数与方程3.4.2函数模型及其应用-----------------------------------必修2-----------------------------------第1章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1棱柱、棱锥和棱台1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球1.1.3中心投影和平行投影1.1.4直观图画法1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质1.2.2空间两条直线的位置关系1.平行直线2.异面直线1.2.3直线与平面的位置关系1.直线与平面平行2.直线与平面垂直1.2.4平面与平面的位置关系1.两平面平行2.平面垂直1.3空间几何体的表面积和体积1.3.1空间几何体的表面积1.3.2空间几何体的体积第2章平面解析几何初步2.1直线与方程2.1.1直线的斜率2.1.2直线的方程1.点斜式2.两点式3.一般式2.1.3两条直线的平行与垂直2.1.4两条直线的交点2.1.5平面上两点间的距离2.1.6点到直线的距离2.2圆与方程2.2.1圆的方程2.2.2直线与圆的位置关系2.2.3圆与圆的位置关系2.3空间直角坐标系2.3.1空间直角坐标系2.3.2空间两点间的距离-----------------------------------必修3-----------------------------------第1章算法初步1.1算法的意义1.2流程图1.2.1顺序结构1.2.2选择结构1.2.3循环结构1.3基本算法语句1.3.1赋值语句1.3.2输入、输出语句1.3.3条件语句1.3.4循环语句1.4算法案例第2章统计2.1抽样方法2.1.1简单随机抽样1.抽签法2.随机数表法2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样2.2总体分布的估计2.2.1频率分布表2.2.2频率分布直方图与折线图2.2.3茎叶图2.3总体特征数的估计2.3.1平均数及其估计2.3.2方差与标准差2.4线性回归方程第3章概率3.1随机事件及其概率3.1.1随机现象3.1.2随机事件的概率3.2古典概型3.3几何概型3.4互斥事件-----------------------------------必修4-----------------------------------第1章三角函数1.1任意角、弧度1.1.1任意角1.1.2弧度制1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数1.2.2同角三角函数关系1.2.3三角函数的诱导公式1.3三角函数的图象和性质1.3.1三角函数的周期性1.3.2三角函数的图象与性质1.3.3函数y=Asin(ωx+ψ)的图象1.3.4三角函数的应用第2章平面向量2.1向量的概念及表示2.2向量的线性运算2.2.1向量的加法2.2.2向量的减法2.2.3向量的数乘2.3向量的坐标表示2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的坐标运算2.4向量的数量积2.5向量的应用第3章三角恒等变换3.1两角和与差的三角函数3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切 3.2二倍角的三角函数 3.3几个三角恒等式-----------------------------------必修5----------------------------------- 第1章 解三角形 1．1正弦定理 1．2余弦定理1．3正弦定理、余弦定理的应用 第2章 数列 2．1数列2．2等差数列2.2.1等差数列的概念2.2.2等差数列的通项公式2.2.3等差数列的前n 项和2．3等比数列2.3.1等比数列的概念2.3.2等比数列的通项公式2.3.3等比数列的前n 项和 第3章 不等式 3．1不等关系3．2一元二次不等式3．3二元一次不等式组与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式表示的平面区域3.3.2二元一次不等式组表示的平面区域3.3.3简单的线性规划问题3．4基本不等式2b a ab +≤)0,0(≥≥b a 3.4.1基本不等式的证明3.4.2基本不等式的应用-----------------------------------选修1-1----------------------------------- 第1章 常用逻辑用语1．1命题及其关系1.1.1四种命题1.1.2充分条件和必要条件 1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定 第2章 圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线2．2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2．3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质 2．4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质 2．5圆锥曲线的共同性质 第3章 导数及其应用3．1导数的概念3.1.1平均变化率3.1.2瞬时变化率——导数3．2导数的运算3.2.1常见函数的导数3.2.2函数的和、差、积、商的导数 3．3导数在研究函数中的应用3.3.1单调性3.3.2极大值和极小值3.3.3最大值和最小值3．4导数在实际生活中的应用-----------------------------------选修1-2----------------------------------- 第1章 统计案例 1．1独立性检验 1．2回归分析第2章 推理与证明2．1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.1.3推理案例欣赏 2．2直接证明与间接证明2.2.1直接证明2.2.2间接证明 第3章 数系的扩充与复数的引入 3．1数系的扩充3．2复数的四则运算 3．3复数的几何意义 第4章 框图 4．1流程图 4．2结构图-----------------------------------选修2-1----------------------------------- 第1章 常用逻辑用语1．1命题及其关系1.1.1四种命题1.1.2充分条件和必要条件 1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定 第2章 圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线2．2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2．3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质 2．4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质 2．5圆锥曲线的统一定义2．6曲线与方程2.6.1曲线与方程2.6.2求曲线的方程2.6.3曲线的交点 第3章 空间向量与立体几何3．1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其线性运算3.1.2共面向量定理3.1.3空间向量基本定理3.1.4空间向量的坐标表示3.1.5空间向量的数量积3．2空间向量的应用3.2.1直线的方向向量与平面的法向量3.2.2空间线面关系的判定3.2.3空间的角的计算-----------------------------------选修2-2-----------------------------------第一章导数及其应用1．1导数的概念1.1.1平均变化率1.1.2瞬时变化率——导数1．2导数的运算1.2.1常见函数的导数1.2.2函数的和、差、积、商的导数1.2.3简单复合函数的导数1．3导数在研究函数中的应用1.3.1单调性1.3.2极大值和极小值1.3.3最大值和最小值1．4导数在实际生活中的应用1．5定积分1.5.1曲边梯形的面积1.5.2定积分1.5.3微积分基本定理第二章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.1.3推理案例欣赏2．2直接证明与间接证明2.2.1直接证明2.2.2间接证明2．3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充3．2复数的四则运算3．3复数的几何意义-----------------------------------选修2-3-----------------------------------第一章计数原理1．1两个基本原理1．2排列1．3组合1．4计数应用题1．5二项式定理1.5.1二项式定理1.5.2二项式系数的性质及用第二章概率2．1随机变量及其概率分布2．2超几何分布2．3独立性2.3.1条件概率2.3.2事件的独立性2．4二项分布2．5随机变量的均值与方差2.5.1离散型随机变量的均值2.5.2离散型随机变量的方差与标准差2．6正态分布第三章统计案例3．1独立性检验3．2回归分析-----------------------------------选修4-1-----------------------------------1.1 相似三角形的进一步认识1.1.1平行线分线段成比例定理1.1.2相似三角形1.2 圆的进一步认识1.2.1圆周角定理1.2.2圆的切线1.2.3圆中比例线段1.2.4圆内接四边形1.3 圆锥截线1.3.1球的性质1.3.2圆柱的截线1.3.3圆锥的截线学习总结报告-----------------------------------选修4-2-----------------------------------2.1 二阶矩阵与平面向量2.1.1矩阵的概念2.1.2二阶矩阵与平面列向量的乘法2.2 几种常见的平面变换2.2.1恒等变换2.2.2伸压变换2.2.3反射变换2.2.4旋转变换2.2.5投影变换2.2.6切变变换2.3 变换的复合与矩阵的乘法2.3.1矩阵乘法的概念2.3.2矩阵乘法的简单性质2.4 逆变换与逆矩阵2.4.1逆矩阵的概念2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组2.5 特征值与特征向量2.6 矩阵的简单应用学习总结报告-----------------------------------选修4-4-----------------------------------4.1 直角坐标系4.1.1直角坐标系4.1.2极坐标系4.1.3球坐标系与柱坐标系4.2 曲线的极坐标方程4.2.1曲线的极坐标方程的意义4.2.2常见曲线的极坐标方程4.3 平面坐标系中几种常见变换4.3.1平面直角坐标系中的平移变换4.3.2平面直角坐标系中的伸缩变换4.4 参数方程4.4.1参数方程的意义4.4.2参数方程与普通方程的互化4.4.3参数方程的应用4.4.4平摆线与圆的渐开线学习总结报告-----------------------------------选修4-5-----------------------------------5.1 不等式的基本性质5.2 含有绝对值的不等式5.2.1含有绝对值的不等式的解法5.2.2含有绝对值的不等式的证明5.3 不等式的证明5.3.1比较法5.3.2综合法和分析法5.3.3反证法5.3.4放缩法5.4 几个著名的不等式5.4.1柯西不等式5.4.2排序不等式5.4.3算术-几何平均值不等式5.5 运用不等式求最大（小）值5.5.1运用算术-几何平均值不等式求最大（小）值5.5.2运用柯西不等式求最大（小）值5.6 运用数学归纳法证明不等式学习总结报告感谢您使用本店文档您的满意是我们的永恒的追求！（本句可删）------------------------------------------------------------------------------------------------------------。
「精品」高中数学第2章统计2.3总体特征数的估计2.3.1平均数及其估计教学案苏教版必修3
2．3.1 平均数及其估计[新知初探]1．平均数的概念一组数据的总和除以数据的个数所得的商就是这组数据的平均数(或均值)，一般记为：a ＝a 1＋a 2＋…＋a nn.[点睛](1)平均数反映了一组数据的集中趋势，它是一组数据的“重心”，是度量一组数据波动大小的基准．(2)用样本平均数可估计总体平均数．(3)用平均数可以比较两组数据的总体情况，如成绩、产量等． 2．平均数的计算(1)定义法：已知x 1，x 2，x 3，…，x n 为某样本的n 个数据，则这n 个数据的平均数为x ＝x 1＋x 2＋x 3＋…＋x nn.(2)利用平均数性质：如果x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，…，mx n ＋a 的平均数是m x ＋a .(3)加减常数法：数据x 1，x 2，…，x n 都比较大或比较小，且x 1，x 2，…，x n 在固定常数a 附近波动，将原数据变化为x 1±a ，x 2±a ，…，x n ±a ，新数据的平均数为x ′，则所求原数据的平均数为x ′±a .(4)加权平均数法：样本中，数据x 1有m 1个，x 2有m 2个，…，x k 有m k 个，则x ＝m 1x 1＋m 2x 2＋…＋m k x km 1＋m 2＋…＋m k.(5)频率法：一般地，若取值为x 1，x 2，…，x n 的频率分别为p 1，p 2，…，p n ，则其平均数x ＝p 1x 1＋p 2x 2＋…＋p n x n .(6)组中值法：若样本为n 组连续型数据，则样本的平均数＝组中值与对应频率之积的和．[小试身手]1．(江苏高考)已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为________． 解析：x ＝4＋6＋5＋8＋7＋66＝6.答案：62．若数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数为2，则数据2x 1－1,2x 2－1,2x 3－1，…，2x n －1的平均数为________．答案：33．数据2,2，－4，－4，－4,3,3,3,3的平均数为________． 答案：49[典例] (1)某班45名同学的年龄(单位：岁)如下： 14 15 14 16 15 17 16 15 16 16 15 15 17 13 14 15 16 16 15 14 15 15 14 15 16 17 16 15 15 15 16 15 13 16 15 15 17 14 15 16 16 15 14 15 15， 求全班的平均年龄．(2)从高三年级中抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图所示的频率分布直方图．试利用频率分布直方图估计高三年级学生的平均成绩． [解] (1)法一：利用平均数的公式计算．x ＝145×(14＋15＋…＋15)＝145×684＝15.2(岁)．法二：利用平均数的简化公式计算． 取a ＝15，将已知各数减去15，得－1 0 －1 1 0 2 1 0 1 1 0 0 2 －2平均数的计算－1 0 1 1 0 －1 0 0 －1 0 1 2 1 0 0 0 1 0 －2 1 0 0 2 －1 0 1 1 0 －1 0 0x′＝145×(－1＋0＋…＋0)＝145×9＝0.2(岁)．x＝x′＋a＝0.2＋15＝15.2(岁)．法三：利用加权平均数公式计算．x＝145×(13×2＋14×7＋15×20＋16×12＋17×4)＝145×684＝15.2(岁)．即全班的平均年龄是15.2岁．(2)样本平均数是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均数，取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形的面积再求和即可．故平均成绩为45×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.02×10)＋75×(0.03×10)＋85×(0.024×10)＋95×(0.016×10)＝76.2.[活学活用]1．某医院的急诊中心的记录表明以往到这个中心就诊的病人需等待的时间的分布如下：则到这个中心就诊的病人平均需要等待的时间估计为________．解析：x＝2.5×0.2＋7.5×0.4＋12.5×0.25＋17.5×0.1＋22.5×0.05＝9.5.答案：9.52．某班进行一次考核，满分5分，3分(包括3分)以上为合格，得1分，2分，3分，4分，5分的人数占该班人数的比例分别为5%,10%,35%,40%和10%，试求该班的平均得分．解：由于本题没有给出该班同学的人数，故无法用定义法求解．而题中给出了相应分数及所占比例，故可用频率平均数公式计算．x ＝1×0.05＋2×0.10＋3×0.35＋4×0.40＋5×0.10＝3.4，故该班的平均分数为3.4分.[典例] 若x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，数据y 1，y 2，…，y n 的平均数为y ，求下列几组数据的平均数．(1)2x 1,2x 2，…，2x n ；(2)kx 1＋a ，kx 2＋a ，…，kx n ＋a ； (3)x 1＋y 1，x 2＋y 2，…，x n ＋y n .[解] 据题意x ＝1n(x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n )，y ＝1n(y 1＋y 2＋…＋y n )，设第一组数据平均数为z ，第二组数据平均数为甲，第三组数据平均数为乙. (1)z ＝1n (2x 1＋2x 2＋…＋2x n )＝2·1n(x 1＋x 2＋…＋x n )＝2x ，(2)甲＝1n[(kx 1＋a )＋(kx 2＋a )＋…＋(kx n ＋a )]＝1n[k (x 1＋x 2＋…＋x n )＋na ]＝k ·1n(x 1＋x 2＋…＋x n )＋a ＝k x ＋a .(3)乙＝1n[(x 1＋y 1)＋(x 2＋y 2)＋…＋(x n ＋y n )]＝1n [(x 1＋x 2＋…＋x n )＋(y 1＋y 2＋…＋y n )]＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )＋1n(y 1＋y 2＋…＋y n )＝x ＋y .平均数的性质[活学活用]已知数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为12，数据y 1，y 2，y 3，…，y n 的平均数为2，则数据2x 1＋3,2x 2＋3，…，2x n ＋3的平均数为________，数据ax 1＋by 1，ax 2＋by 2，…，ax n ＋by n 的平均数为________．答案：4 12a ＋2b层级一 学业水平达标1．已知1,2,3,4，a ，b ，c 的平均数是8，则a ＋b ＋c ＝________. 解析：据题意17(1＋2＋3＋4＋a ＋b ＋c )＝8，∴a ＋b ＋c ＝46. 答案：462．已知2,4,2x,4y 四个数的平均数是5，而5,7,4x,6y 四个数的平均数是9，则xy 的值是________．解析：据题意⎩⎪⎨⎪⎧14＋4＋2x ＋4y ＝5，14＋7＋4x ＋6y ＝9，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.∴xy ＝6. 答案：63．在一次知识竞赛中，抽取40名选手，成绩分布如下：则选手的平均成绩是________．解析：x ＝140(6×2＋7×5＋8×7＋9×11＋10×15)＝8.8.答案：8.81． 一位同学种了甲、乙两种树苗各1株，分别观察了9次、10次后，得到树苗高度的数据的茎叶图如图(单位：厘米)．则甲种树苗高度平均为________；乙种树苗的高度平均为________；甲、乙两种树苗高度平均为________．解析：根据茎叶图可得，观察甲树苗9次得到的树苗高度分别为：14,20,21,23,24,30,32,33,37；观察乙树苗10次得到的树苗高度分别为：10,11,14,24,26,30,44,46,46,47，易得甲树苗高度平均为2349＝26，乙树苗高度平均为29810＝29.8，甲、乙两种树苗高度平均为119(234＋298)＝28.答案：26 29.8 285．50名同学参加数学竞赛，成绩的分组及各组的频数如下：(单位：分)[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100]，8.列出样本的频率分布表并求这50名同学的平均分．解：频率分布表如下：法一：总成绩约为45×2＋55×3＋65×10＋75×15＋85×12＋95×8＝3 810(分)，故50名同学的数学平均分约为3 810÷50＝76.2(分)．法二：求组中值与对应频率之积的和．45×0.04＋55×0.06＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.24＋95×0.16＝76.2(分)．层级二应试能力达标1．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是________．答案：－32．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是________.答案：91.5,91.53．一个企业，30%的员工年收入为1万元，65%的员工年收入为3万元，5%的员工年收入为11万元，则这个企业员工的年平均收入是________万元，年收入的中位数是________万元．解析：年平均收入为1×0.3＋3×0.65＋11×0.05＝2.8，中位数为3. 答案：2.8 34．已知x 是x 1，x 2，…，x 100的平均数，a 是x 1，x 2，…，x 40的平均数，b 是x 41，x 42，…，x 100的平均数，则下列各式正确的是________．(填序号)①x ＝40a ＋60b 100；②x ＝60a ＋40b100；③x ＝a ＋b ；④x ＝a ＋b2.答案：①5．已知数据x 1，x 2，…，x 8的平均数为6，则数据2x 1－6,2x 2－6，…，2x 8－6的平均数为________． 答案：66．已知样本数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为h ，y 1，y 2，…，y m 的平均数为k ，则把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为____________．答案：nh ＋mk n ＋m7．一个高中研究性学习小组对本地区2014年至2016年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图(如图)，根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭________万盒．解析：2014年：30×1.0＝30(万)，2015年：45×2.0＝90(万)，2016年：90×1.5＝135(万)，x ＝13(30＋90＋135)＝85(万)．答案：858．某餐厅共有7名员工，所有员工的工资情况如下表：解答下列问题：(1)餐厅所有员工的平均工资是________．(2)所有员工工资的中位数是________．(3)用平均数还是用中位数描述该餐厅员工工资的一般水平比较恰当？________.(4)去掉经理的工资后，其他员工的平均工资是________，是否也能反映该餐厅员工工资的一般水平？________.(填“能”或“不能”)解析：(1)平均工资为(3 000＋700＋500＋450＋360＋340＋320)÷7＝810.(2)由表格可知中位数为450.(3)用中位数描述该餐厅员工工资的一般水平比较恰当．(4)去掉经理的工资后，其他员工的平均工资为(700＋500＋450＋360＋340＋320)÷6＝445.平均工资能反映该餐厅员工工资的一般水平．答案：(1)810 (2)450 (3)中位数(4)445 能9．为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52．5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3．2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41．6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？解：(1)设A 药观测数据的平均数为x ，B 药观测数据的平均数为y . 由观测结果可得x ＝120×(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，y ＝120×(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上计算结果可得x >y ，因此可看出A 药的疗效更好． (2)由观测结果可绘制如下茎叶图：以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎2,3上，而B 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎0,1上，由此可看出A 药的疗效更好．10．有一组数据：x 1，x 2，…，x n (x 1<x 2<…<x n )的算术平均数为10，若去掉其中最大的一个，余下数据的算术平均数为9；若去掉其中最小的一个，余下数据的算术平均数为11.(1)求出第一个数x 1关于n 的表达式及第n 个数x n 关于n 的表达式；(2)若x 1，x 2，…，x n 都是正整数，试求第n 个数x n 的最大值，并举出满足题目要求且x n 取到最大值的一组数据．解：(1)依条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＋…＋x n ＝10n ， ①x 1＋x 2＋…＋x n －1＝n －， ②x 2＋x 3＋…＋x n ＝n －， ③由①－②得x n ＝n ＋9.又由①－③得x 1＝11－n .(2)由于x 1是正整数，故x 1＝11－n ≥1⇒1≤n ≤10，故x n ＝n ＋9≤19.当n ＝10时，x 1＝1，x 10＝19，x 2＋x 3＋…＋x 9＝80，此时，x 2＝6，x 3＝7，x 4＝8，x 5＝9，x 6＝11，x 7＝12，x 8＝13，x 9＝14.。
2018-2019学年高中数学第2章统计2.3总体特征数的估计课件苏教版必修
3．某老师从星期一到星期五收到的信息数分别为 10,6,8,5,6，则该组数 据的方差 s2＝________.
10＋6＋8＋5＋6 3．2 [5 个数据的平均数 x ＝ ＝7. 5 1 所以 s ＝5[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝3.2.]
3．平均数
a1＋a2＋„＋an 1 n (1)若给定一组数据 a1，a2，„，an，则称 a＝n ai＝________________
n i＝1
为这 n 个数据的平均数或均值． (2)若一组数据中取值为 a1，a2，„，an 的频率分别为 p1，p2，„，pn， a1p1＋a2p2＋„＋anpn 则其平均数为___________________.
1 [解] (1) x 甲＝6×(5＋17＋25＋24＋7＋6)＝14， 1 x 乙＝6×(10＋15＋20＋17＋12＋10)＝14. (2)极差：甲地温度极差＝25－5＝20； 乙地温度极差＝20－10＝10.
(3)标准差： s甲＝ s乙＝ 1 2 2 2 × [ 5 － 14 ＋ „ ＋ 7 － 14 ＋ 6 － 14 ]≈8.4， 6 1 2 2 2 × [ 10 － 14 ＋ „ ＋ 12 － 14 ＋ 10 － 14 ]≈3.5. 6
[解析] 看哪种玉米的苗长得高，只要比较甲、乙两种玉米的平均高度 即可；要比较哪种玉米的苗长得齐，只要看两种玉米高的方差即可，因为方 差是体现一组数据波动大小的特征数．
1 [ 解 ] (1) x 甲 ＝ 10 (25 ＋ 41 ＋ 40 ＋ 37 ＋ 22 ＋ 14 ＋ 19 ＋ 39 ＋ 21 ＋ 42) ＝ 30(cm)， 1 x 乙＝10(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝31(cm)， 因为 x 甲< x 乙．故乙种玉米苗长得高．
高中数学 第2章 统计 2.3 总体特征数的估计 2.3.2 方差与标准差目标导引素材 苏教版必修3
1 2.3.
2 方差与标准差
一览众山小
诱学·导入
材料：平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是，平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断.例如，某地区的年平均家庭收入是10万元，给人的印象是这个地区的家庭收入普遍较高.但是，如果这个平均数是从200户贫困家庭和20户极富有家庭收入计算出来的，那么，它就既不能代表贫困户家庭的年收入，也不能代表极富有家庭的年收入.在这里众数、中位数可能更为客观.在日常生活中，存在着很多混用这些描述平均位置的统计术语进行误导的现象.这是因为平均数掩盖了一些极端情况.又如前面所说的在很多比赛中，采用的“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的统计策略就是为了避免极端情况对平均数的影响，但事实上，这些极端情况是不能忽视的.因此，要较准确地概括样本数据的实际状况，只有平均数是很难做到的.
问题：用什么方法能考查各个数据的差距大小(即离散程度)的情况呢？
导入：可以有多种方法描述样本数据的离散程度，最常用的就是标准差(方差）.这一节我们就研究样本的方差与标准差.它的作用是能判断样本数据的波动大小和稳定程度，从另一个方面来分析样本数据信息.
温故·知新
什么是样本平均值？什么是样本方差？
设样本数据为x 1，x 2，…，x n ，则样本平均值为n
x x x x n +++=
Λ21， 设样本数据为x 1，x 2，…，x n ，则样本方差为： s 2=n x x x x x x n 2
2221)()()(-++-+-Λ.。
苏教版数学必修三：2.3.1《平均数及其估计》ppt课件
栏 目 链 接
数．中位数不受几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)
典 例 剖 析 (2)2012 年又对该县一次性木质筷子的用量以同样 的方式做了抽样调查，调查结果是10家饭店平均每天使用 一次性筷子2.42盒，求该县2011年、2012年这两年一次性
要 点 导 航
的影响，容易计算．它仅利用了数据中排在中间的数据的
信息．当样本数据质量比较差 ，即存在“一些错误数
据”(如数据的录入错误或测量错误等 )时，应该用抗极端 数据强的中位数表示数据的中心值． 3．平均数是频率分布直方图的“重心”．由于平 均数与样本的每一个数据都有关，所以任何一个样本数据
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典 例 剖 析
题型二
平均数的应用
例2为了估计一次性筷子的用量，2010年某县从 600 家高、中、低档饭店中抽取10家，得到这些饭店每天消
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耗的一次性筷子的数据如下 (单位：盒)；0.6，3.7，2.2，
1.5，2.8，1.7，1.2，2.1，3.2，1.0. (1)通过对样本数据的计算，估计该县2010年共消耗 了多少盒一次性筷子(每年按350个营业日计算)．
关数据如下表： 每周做家务的 时间/小时 人数
0 2
1 1.5 2 2.5 2 6 8 12
3 13
3.5 4 4 3
栏 目 链 接
根据上表中的数据，回答下列问题： (1)该班学生每周做家务劳动的平均时间是多少小时？
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苏教版-----------------------------------必修1----------------------------------- 第1章集合1.1集合的含义及其表示1.2子集、全集、补集1.3交集、并集第2章函数2.1函数的概念2.1.1函数的概念和图象2.1.2函数的表示方法2.2函数的简单性质2.2.1函数的单调性2.2.2函数的奇偶性2.3映射的概念第3章指数函数、对数函数和幂函数3.1指数函数3.1.1分数指数幂3.1.2指数函数3.2对数函数3.2.1对数3.2.2对数函数3.3幂函数3.4函数的应用3.4.1函数与方程3.4.2函数模型及其应用-----------------------------------必修2----------------------------------- 第1章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1棱柱、棱锥和棱台1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球1.1.3中心投影和平行投影1.1.4直观图画法1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质1.2.2空间两条直线的位置关系1.平行直线2.异面直线1.2.3直线与平面的位置关系1.直线与平面平行2.直线与平面垂直1.2.4平面与平面的位置关系1.两平面平行2.平面垂直1.3空间几何体的表面积和体积1.3.1空间几何体的表面积1.3.2空间几何体的体积第2章平面解析几何初步2.1直线与方程2.1.1直线的斜率2.1.2直线的方程1.点斜式2.两点式3.一般式2.1.3两条直线的平行与垂直2.1.4两条直线的交点2.1.5平面上两点间的距离2.1.6点到直线的距离2.2圆与方程2.2.1圆的方程2.2.2直线与圆的位置关系2.2.3圆与圆的位置关系2.3空间直角坐标系2.3.1空间直角坐标系2.3.2空间两点间的距离-----------------------------------必修3----------------------------------- 第1章算法初步1.1算法的意义1.2流程图1.2.1顺序结构1.2.2选择结构1.2.3循环结构1.3基本算法语句1.3.1赋值语句1.3.2输入、输出语句1.3.3条件语句1.3.4循环语句1.4算法案例第2章统计2.1抽样方法2.1.1简单随机抽样1.抽签法2.随机数表法2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样2.2总体分布的估计2.2.1频率分布表2.2.2频率分布直方图与折线图2.2.3茎叶图2.3总体特征数的估计2.3.1平均数及其估计2.3.2方差与标准差2.4线性回归方程第3章概率3.1随机事件及其概率3.1.1随机现象3.1.2随机事件的概率3.2古典概型3.3几何概型3.4互斥事件-----------------------------------必修4----------------------------------- 第1章三角函数1.1任意角、弧度1.1.1任意角1.1.2弧度制1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数1.2.2同角三角函数关系1.2.3三角函数的诱导公式1.3三角函数的图象和性质1.3.1三角函数的周期性1.3.2三角函数的图象与性质1.3.3函数y=Asin(ωx+ψ)的图象1.3.4三角函数的应用第2章平面向量2.1向量的概念及表示2.2向量的线性运算2.2.1向量的加法2.2.2向量的减法2.2.3向量的数乘2.3向量的坐标表示2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的坐标运算2.4向量的数量积2.5向量的应用第3章三角恒等变换3.1两角和与差的三角函数3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3.2二倍角的三角函数3.3几个三角恒等式-----------------------------------必修5----------------------------------- 第1章解三角形1．1正弦定理1．2余弦定理1．3正弦定理、余弦定理的应用第2章数列2．1数列2．2等差数列2.2.1等差数列的概念2.2.2等差数列的通项公式2.2.3等差数列的前n项和2．3等比数列2.3.1等比数列的概念2.3.2等比数列的通项公式2.3.3等比数列的前n项和第3章不等式3．1不等关系3．2一元二次不等式3．3二元一次不等式组与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式表示的平面区域3.3.2二元一次不等式组表示的平面区域 3.3.3简单的线性规划问题3．4基本不等式2b a ab +≤)0,0(≥≥b a 3.4.1基本不等式的证明3.4.2基本不等式的应用-----------------------------------选修1-1-----------------------------------第1章 常用逻辑用语1．1命题及其关系1.1.1四种命题1.1.2充分条件和必要条件 1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定 第2章 圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线2．2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2．3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质 2．4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质 2．5圆锥曲线的共同性质 第3章 导数及其应用3．1导数的概念3.1.1平均变化率3.1.2瞬时变化率——导数3．2导数的运算3.2.1常见函数的导数3.2.2函数的和、差、积、商的导数 3．3导数在研究函数中的应用3.3.1单调性3.3.2极大值和极小值3.3.3最大值和最小值3．4导数在实际生活中的应用-----------------------------------选修1-2-----------------------------------第1章 统计案例 1．1独立性检验 1．2回归分析第2章 推理与证明2．1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.1.3推理案例欣赏 2．2直接证明与间接证明2.2.1直接证明2.2.2间接证明 第3章 数系的扩充与复数的引入 3．1数系的扩充 3．2复数的四则运算 3．3复数的几何意义 第4章 框图 4．1流程图 4．2结构图-----------------------------------选修2-1-----------------------------------第1章 常用逻辑用语1．1命题及其关系1.1.1四种命题1.1.2充分条件和必要条件 1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定 第2章 圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线2．2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2．3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质 2．4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质 2．5圆锥曲线的统一定义2．6曲线与方程2.6.1曲线与方程2.6.2求曲线的方程2.6.3曲线的交点 第3章 空间向量与立体几何3．1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其线性运算3.1.2共面向量定理3.1.3空间向量基本定理3.1.4空间向量的坐标表示3.1.5空间向量的数量积 3．2空间向量的应用3.2.1直线的方向向量与平面的法向量3.2.2空间线面关系的判定3.2.3空间的角的计算-----------------------------------选修2-2-----------------------------------第一章 导数及其应用1．1导数的概念1.1.1平均变化率1.1.2瞬时变化率——导数1．2导数的运算1.2.1常见函数的导数1.2.2函数的和、差、积、商的导数1.2.3简单复合函数的导数1．3导数在研究函数中的应用1.3.1单调性1.3.2极大值和极小值1.3.3最大值和最小值 1．4导数在实际生活中的应用1．5定积分1.5.1曲边梯形的面积1.5.2定积分1.5.3微积分基本定理 第二章 推理与证明2．1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.1.3推理案例欣赏 2．2直接证明与间接证明2.2.1直接证明2.2.2间接证明 2．3数学归纳法第三章 数系的扩充与复数的引入 3．1数系的扩充 3．2复数的四则运算 3．3复数的几何意义-----------------------------------选修2-3-----------------------------------第一章 计数原理 1．1两个基本原理 1．2排列 1．3组合1．4计数应用题1．5二项式定理1.5.1二项式定理1.5.2二项式系数的性质及用第二章概率2．1随机变量及其概率分布2．2超几何分布2．3独立性2.3.1条件概率2.3.2事件的独立性2．4二项分布2．5随机变量的均值与方差2.5.1离散型随机变量的均值2.5.2离散型随机变量的方差与标准差2．6正态分布第三章统计案例3．1独立性检验3．2回归分析-----------------------------------选修4-1----------------------------------- 1.1 相似三角形的进一步认识1.1.1平行线分线段成比例定理1.1.2相似三角形1.2 圆的进一步认识1.2.1圆周角定理1.2.2圆的切线1.2.3圆中比例线段1.2.4圆内接四边形1.3 圆锥截线1.3.1球的性质1.3.2圆柱的截线1.3.3圆锥的截线学习总结报告-----------------------------------选修4-2----------------------------------- 2.1 二阶矩阵与平面向量2.1.1矩阵的概念2.1.2二阶矩阵与平面列向量的乘法2.2 几种常见的平面变换2.2.1恒等变换2.2.2伸压变换2.2.3反射变换2.2.4旋转变换2.2.5投影变换2.2.6切变变换2.3 变换的复合与矩阵的乘法2.3.1矩阵乘法的概念2.3.2矩阵乘法的简单性质2.4 逆变换与逆矩阵2.4.1逆矩阵的概念2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组2.5 特征值与特征向量2.6 矩阵的简单应用学习总结报告-----------------------------------选修4-4----------------------------------- 4.1 直角坐标系4.1.1直角坐标系4.1.2极坐标系4.1.3球坐标系与柱坐标系4.2 曲线的极坐标方程4.2.1曲线的极坐标方程的意义4.2.2常见曲线的极坐标方程4.3 平面坐标系中几种常见变换4.3.1平面直角坐标系中的平移变换4.3.2平面直角坐标系中的伸缩变换4.4 参数方程4.4.1参数方程的意义4.4.2参数方程与普通方程的互化4.4.3参数方程的应用4.4.4平摆线与圆的渐开线学习总结报告-----------------------------------选修4-5----------------------------------- 5.1 不等式的基本性质5.2 含有绝对值的不等式5.2.1含有绝对值的不等式的解法5.2.2含有绝对值的不等式的证明5.3 不等式的证明5.3.1比较法5.3.2综合法和分析法5.3.3反证法5.3.4放缩法5.4 几个著名的不等式5.4.1柯西不等式5.4.2排序不等式5.4.3算术-几何平均值不等式5.5 运用不等式求最大（小）值5.5.1运用算术-几何平均值不等式求最大（小）值5.5.2运用柯西不等式求最大（小）值5.6 运用数学归纳法证明不等式学习总结报告。
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高中数学苏教版教材目录(必修+选修)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN苏教版-----------------------------------必修1-----------------------------------第1章集合1.1集合的含义及其表示1.2子集、全集、补集1.3交集、并集第2章函数2.1函数的概念2.1.1函数的概念和图象2.1.2函数的表示方法2.2函数的简单性质2.2.1函数的单调性2.2.2函数的奇偶性2.3映射的概念第3章指数函数、对数函数和幂函数3.1指数函数3.1.1分数指数幂3.1.2指数函数3.2对数函数3.2.1对数3.2.2对数函数3.3幂函数3.4函数的应用3.4.1函数与方程3.4.2函数模型及其应用-----------------------------------必修2-----------------------------------第1章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1棱柱、棱锥和棱台1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球1.1.3中心投影和平行投影1.1.4直观图画法1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质1.2.2空间两条直线的位置关系 1.平行直线2.异面直线1.2.3直线与平面的位置关系1.直线与平面平行2.直线与平面垂直1.2.4平面与平面的位置关系1.两平面平行2.平面垂直1.3空间几何体的表面积和体积1.3.1空间几何体的表面积1.3.2空间几何体的体积第2章平面解析几何初步2.1直线与方程2.1.1直线的斜率2.1.2直线的方程1.点斜式2.两点式3.一般式2.1.3两条直线的平行与垂直2.1.4两条直线的交点2.1.5平面上两点间的距离2.1.6点到直线的距离2.2圆与方程2.2.1圆的方程2.2.2直线与圆的位置关系2.2.3圆与圆的位置关系2.3空间直角坐标系2.3.1空间直角坐标系2.3.2空间两点间的距离-----------------------------------必修3-----------------------------------第1章算法初步1.1算法的意义1.2流程图1.2.1顺序结构1.2.2选择结构1.2.3循环结构1.3基本算法语句1.3.1赋值语句1.3.2输入、输出语句1.3.3条件语句1.3.4循环语句1.4算法案例第2章统计2.1抽样方法2.1.1简单随机抽样1.抽签法2.随机数表法2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样2.2总体分布的估计2.2.1频率分布表2.2.2频率分布直方图与折线图2.2.3茎叶图2.3总体特征数的估计2.3.1平均数及其估计2.3.2方差与标准差2.4线性回归方程第3章概率3.1随机事件及其概率3.1.1随机现象3.1.2随机事件的概率3.2古典概型3.3几何概型3.4互斥事件-----------------------------------必修4-----------------------------------第1章三角函数1.1任意角、弧度1.1.1任意角1.1.2弧度制1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数1.2.2同角三角函数关系1.2.3三角函数的诱导公式1.3三角函数的图象和性质1.3.1三角函数的周期性1.3.2三角函数的图象与性质1.3.3函数y=Asin(ωx+ψ)的图象1.3.4三角函数的应用第2章平面向量2.1向量的概念及表示2.2向量的线性运算2.2.1向量的加法2.2.2向量的减法2.2.3向量的数乘2.3向量的坐标表示2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的坐标运算2.4向量的数量积2.5向量的应用第3章三角恒等变换3.1两角和与差的三角函数3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3.2二倍角的三角函数3.3几个三角恒等式-----------------------------------必修5-----------------------------------第1章解三角形231．1正弦定理 1．2余弦定理1．3正弦定理、余弦定理的应用 第2章 数列 2．1数列2．2等差数列2.2.1等差数列的概念2.2.2等差数列的通项公式2.2.3等差数列的前n 项和2．3等比数列2.3.1等比数列的概念2.3.2等比数列的通项公式2.3.3等比数列的前n 项和 第3章 不等式 3．1不等关系3．2一元二次不等式3．3二元一次不等式组与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式表示的平面区域3.3.2二元一次不等式组表示的平面区域 3.3.3简单的线性规划问题3．4基本不等式2b a ab +≤)0,0(≥≥b a 3.4.1基本不等式的证明3.4.2基本不等式的应用-----------------------------------选修1-1-----------------------------------第1章 常用逻辑用语1．1命题及其关系1.1.1四种命题1.1.2充分条件和必要条件 1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定 第2章 圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线2．2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2．3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质 2．4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质 2．5圆锥曲线的共同性质 第3章 导数及其应用3．1导数的概念3.1.1平均变化率3.1.2瞬时变化率——导数3．2导数的运算3.2.1常见函数的导数3.2.2函数的和、差、积、商的导数 3．3导数在研究函数中的应用3.3.1单调性3.3.2极大值和极小值3.3.3最大值和最小值3．4导数在实际生活中的应用-----------------------------------选修1-2-----------------------------------第1章 统计案例1．1独立性检验 1．2回归分析第2章 推理与证明2．1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.1.3推理案例欣赏 2．2直接证明与间接证明2.2.1直接证明2.2.2间接证明 第3章 数系的扩充与复数的引入 3．1数系的扩充 3．2复数的四则运算 3．3复数的几何意义 第4章 框图 4．1流程图 4．2结构图-----------------------------------选修2-1-----------------------------------第1章 常用逻辑用语1．1命题及其关系1.1.1四种命题1.1.2充分条件和必要条件 1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定 第2章 圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线2．2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2．3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质 2．4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质 2．5圆锥曲线的统一定义2．6曲线与方程2.6.1曲线与方程2.6.2求曲线的方程2.6.3曲线的交点 第3章 空间向量与立体几何3．1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其线性运算3.1.2共面向量定理3.1.3空间向量基本定理3.1.4空间向量的坐标表示3.1.5空间向量的数量积 3．2空间向量的应用3.2.1直线的方向向量与平面的法向量3.2.2空间线面关系的判定3.2.3空间的角的计算-----------------------------------选修2-2-----------------------------------第一章 导数及其应用1．1导数的概念1.1.1平均变化率1.1.2瞬时变化率——导数1．2导数的运算1.2.1常见函数的导数1.2.2函数的和、差、积、商的导数1.2.3简单复合函数的导数1．3导数在研究函数中的应用1.3.1单调性1.3.2极大值和极小值1.3.3最大值和最小值1．4导数在实际生活中的应用1．5定积分1.5.1曲边梯形的面积1.5.2定积分1.5.3微积分基本定理第二章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.1.3推理案例欣赏2．2直接证明与间接证明2.2.1直接证明2.2.2间接证明2．3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充3．2复数的四则运算3．3复数的几何意义-----------------------------------选修2-3-----------------------------------第一章计数原理1．1两个基本原理1．2排列1．3组合1．4计数应用题1．5二项式定理1.5.1二项式定理1.5.2二项式系数的性质及用第二章概率2．1随机变量及其概率分布2．2超几何分布2．3独立性2.3.1条件概率2.3.2事件的独立性2．4二项分布2．5随机变量的均值与方差2.5.1离散型随机变量的均值2.5.2离散型随机变量的方差与标准差2．6正态分布第三章统计案例3．1独立性检验3．2回归分析-----------------------------------选修4-1-----------------------------------1.1 相似三角形的进一步认识1.1.1平行线分线段成比例定理1.1.2相似三角形1.2 圆的进一步认识1.2.1圆周角定理1.2.2圆的切线1.2.3圆中比例线段1.2.4圆内接四边形1.3 圆锥截线1.3.1球的性质1.3.2圆柱的截线1.3.3圆锥的截线学习总结报告-----------------------------------选修4-2-----------------------------------2.1 二阶矩阵与平面向量2.1.1矩阵的概念2.1.2二阶矩阵与平面列向量的乘法2.2 几种常见的平面变换2.2.1恒等变换2.2.2伸压变换2.2.3反射变换2.2.4旋转变换2.2.5投影变换2.2.6切变变换2.3 变换的复合与矩阵的乘法2.3.1矩阵乘法的概念2.3.2矩阵乘法的简单性质2.4 逆变换与逆矩阵2.4.1逆矩阵的概念2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组2.5 特征值与特征向量2.6 矩阵的简单应用学习总结报告-----------------------------------选修4-4-----------------------------------4.1 直角坐标系4.1.1直角坐标系4.1.2极坐标系4.1.3球坐标系与柱坐标系4.2 曲线的极坐标方程4.2.1曲线的极坐标方程的意义4.2.2常见曲线的极坐标方程4.3 平面坐标系中几种常见变换4.3.1平面直角坐标系中的平移变换4.3.2平面直角坐标系中的伸缩变换4.4 参数方程44.4.1参数方程的意义4.4.2参数方程与普通方程的互化4.4.3参数方程的应用4.4.4平摆线与圆的渐开线学习总结报告-----------------------------------选修4-5-----------------------------------5.1 不等式的基本性质5.2 含有绝对值的不等式5.2.1含有绝对值的不等式的解法5.2.2含有绝对值的不等式的证明5.3 不等式的证明5.3.1比较法5.3.2综合法和分析法5.3.3反证法5.3.4放缩法5.4 几个著名的不等式5.4.1柯西不等式5.4.2排序不等式5.4.3算术-几何平均值不等式5.5 运用不等式求最大（小）值5.5.1运用算术-几何平均值不等式求最大（小）值5.5.2运用柯西不等式求最大（小）值5.6 运用数学归纳法证明不等式学习总结报告5。
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苏教版高中数学目录篇一：苏教版高中数学教材目录必修一第一章集合1.1集合的含义及其表示1.2子集、全集、补集1.3交集、并集第二章函数2.1函数的概念和图象2.2指数函数2.3对数函数2.4幂函数2.5函数与方程2.6函数模型及其应用必修二第一章立体几何初步1.1空间几何体1.2点、线、面之间的位置关系1.3空间几何体的表面积和体积第二章平面解析几何初步2.1直线与方程2.2圆与方程2.3空间直角坐标系必修三第一章算法初步1.1算法的含义1.2流程图1.3基本算法语句1.4算法案例第二章统计2.1抽样方法2.2总体分布的估计2.3总体特征数的估计2.4线性回归方程第三章概率3.1随机事件及其概率3.2古典概型3.3几何概型3.4互斥事件第一章三角函数1.1任意角、弧度1.2任意角的三角函数1.3三角函数的图象与性质第二章平面向量2.1向量的概念与表示2.2向量的线性运算2.3向量的坐标表示2.4向量的数量积2.5向量的应用第三章三角恒等变换3.1两角和与差的三角函数3.2二倍角的三角函数3.3几个三角恒等式必修五第一章解三角形1.1正弦定理1.2余弦定理1.3正弦定理、余弦定理的应用2.1数列2.2等差数列2.3等比数列第三章3.1不等关系3.2一元二次不等式 3.3二元一次不等式组与简单线性规划3.4《基本不等式》选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.2双曲线2.3抛物线第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的计算3.3导数在研究函数中的应用3.4生活中的优化问题举例选修1-2第一章统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用1.2独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.2直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.2复数代数形式的四则运算第四章框图4.1流程图4.2结构图选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.2椭圆2.3双曲线2.4抛物线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.2立体几何中的向量方法选修2-2第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.2导数的计算1.3导数在研究函数中的应用1.4生活中的优化问题举例1.5定积分的概念1.6微积分的基本定理1.7微积分的简单应用第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.2直接证明与间接证明2.3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.2复数代数形式的四则运算选修2-3第一章计数原理1.1分类加法技术原理与分步乘法计数原理1.2排列与组合1.3二项式定理第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.2二项分布及其应用2.3离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用3.2独立性检验的基本思想及其初步应用篇二：苏教版高中数学目录数学1第1章集合1.1集合的含义及其表示1.2子集、全集、补集1.3交集、并集第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.1函数的概念和图象函数的概念和图象函数的表示方法函数的简单性质映射的概念2.2指数函数分数指数幂指数函数2.3对数函数对数对数函数 2.4幂函数2.5函数与方程二次函数与一元二次方程用二分法求方程的近似解 2.6函数模型及其应用数学2第3章立体几何初步 3.1空间几何体棱柱、棱锥和棱台圆柱、圆锥、圆台和球中心投影和平行投影直观图画法空间图形的展开图柱、锥、台、球的体积3.2点、线、面之间的位置关系平面的基本性质空间两条直线(来自: 小龙文档网:苏教版高中数学目录)的位置关系直线与平面的位置关系平面与平面的位置关系第4章平面解析几何初步 4.1直线与方程直线的斜率直线的方程两条直线的平行与垂直两条直线的交点平面上两点间的距离点到直线的距离 4.2圆与方程圆的方程直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系 4.3空间直角坐标系空间直角坐标系空间两点间的距离数学3第5章算法初步 5.1算法的意义 5.2流程图5.3基本算法语句 5.4算法案例第6章统计6.1抽样方法6.2总体分布的估计 6.3总体特征数的估计 6.4线性回归方程第7章概率7.1随机事件及其概率 7.2古典概型 7.3几何概型7.4互斥事件及其发生的概率数学4第8章三角函数 8.1任意角、弧度8.2任意角的三角函数8.3三角函数的图象和性质第9章平面向量 9.1向量的概念及表示 9.2向量的线性运算 9.3向量的坐标表示 9.4向量的数量积 9.5向量的应用第10章三角恒等变换 10.1两角和与差的三角函数 10.2二倍角的三角函数 10.3几个三角恒等式数学5第11章解三角形 11．1正弦定理 11．2余弦定理11．3正弦定理、余弦定理的应用第12章数列 12．1等差数列 12．2等比数列12．3数列的进一步认识第13章不等式 13．1不等关系113．2一元二次不等式13．3二元一次不等式组与简单的线性规2．3双曲线 2．4抛物线划问题13．4基本不等式选修系列1 1-1第1章常用逻辑用语 1．1命题及其关系1．2简单的逻辑联结词 1．3全称量词与存在量词第2章圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线 2．2椭圆 2．3双曲线 2．4抛物线2．5圆锥曲线与方程第3章导数及其应用 3．1导数的概念3．2导数的运算3．3导数在研究函数中的应用 3．4导数在实际生活中的应用1-2第1章统计案例 1．1假设检验 1．2独立性检验 1．3线性回归分析 1．4聚类分析第2章推理与证明2．1合情推理与演绎推理 2．2直接证明与间接证明 2．3公理化思想第3章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充3．2复数的四则运算 3．3复数的几何意义第4章框图4．1流程图 5．2结构图选修系列2 2-1第1章常用逻辑用语 1．1命题及其关系1．2简单的逻辑连接词 1．3全称量词与存在量词第2章圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线 2．2椭圆2．5圆锥曲线的统一定义 2．6曲线与方程第3章空间向量与立体几何 3．1空间向量及其运算 3．2空间向量的应用 2-2第1章导数及其应用 1．1导数的概念 1．2导数的运算1．3导数在研究函数中的应用 1．4导数在实际生活中的应用1．5定积分第2章推理与证明2．1合情推理与演绎推理 2．2直接证明与间接证明 2．3数学归纳法 2．4公理化思想第3章数系的扩充与复数的引入 6．1数系的扩充3．2复数的四则运算 3．3复数的几何意义 2-3第1章计数原理 1．1两个基本原理 1．2排列 1．3组合1．4计数应用题 1．5二项式定理第2章概率2．1随机变量及其概率分布 2．2超几何分布 2．3独立性2．4二项分布2．5离散型随机变量的均值与方差2．6正态分布第3章统计案例 3．1假设检验 3．2独立性检验 3．3线性回归分析4．4聚类分析2篇三：苏教版高中数学目录（苏教版）高中数学目录高中数学必修教材目录必修一必修二必修三必修四必修五高中数学选修教材目录选修1-1选修1-2选修2-1选修2-2选修。
高中数学第2章统计2.3总体特征数的估计2.3.1平均数及其估计教材梳理导学案苏教版必修3
2.3.1 平均数及其估计庖丁巧解牛知识·巧学一、平均数公式样本数据a 1，a 2，…，a n 的平均数或均值：na a a a n a n ni i +++==∑= 2111.在总体中抽取样本求出样本的平均数，这样就可以用它来估计总体的平均水平，应注意到样本平均数只是总体平均数的近似.在样本频率分布直方图中，平均数是直方图的“重心”，即平衡点.学法一得 求和符号∑=ni ia1的使用：“∑”希腊字母，表示求和的意思，读作“西格马”，a i 中i 是变量,i 从1到n,即a 1，a 2，…，a n ，∑=ni ia1只是一个符号,表示a 1,a 2,…，a n 相加，因此，∑=ni ia1=a 1+a 2+…+a n ，用它书写比较方便.再如∑=ni ia12，∑=-ni ia x12)(等等.在统计学及高等数学中普遍使用这个符号. 二、平均数的性质（1）若给定一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，则ax 1，ax 2，…，ax n 的平均数为a x ； （2）若给定一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，则ax 1+b ，ax 2+b ，…，ax n +b 的平均数为a x +b ；（3）若给定的一组数据x 1，x 2，…，x n 较大，直接求平均数较为烦琐时，可以将每个数据都减去常数a ，得到一组新数据x 1′，x 2′，…，x n ′，计算出新数据组的平均数为x '，则原数据组的平均数为x '+a ；（4）若M 个数的平均数是X ，N 个数的平均数是Y ，则这M+N 个数的平均数是NM NYMX ++.如果两组数x 1，x 2，…，x n 和y 1，y 2，…，y n 的样本平均数分别是x 和y ，那么一组数x 1+y 1,x 2+y 2, …,x n +y n 的平均数是2yx +. 三、众数，中位数，平均数各自的作用（1）众数体现了样本数据的最大集中点，容易计算，但它只能表达样本数据中很少一部分信息，显然对其他数据信息的忽略使得无法客观地反映总体特征.（2）中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，容易计算，它仅利用了数据中排在中间数据的信息.但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点.（3）由于平均数与每一个样本的数据有关，“越离群”的数据，对平均数的影响也越大，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数都不具有的性质.也正因为这个原因，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息.但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低. 联想发散 如在体育、文艺等各种比赛的评分中，使用的是平均数，计分过程中采用“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的方法，就是为了防止个别裁判的人为因素而给出过高或过低的分数，对选手的得分造成较大的影响，从而降低误差，尽量保证公平性. 四、加权平均数一般地，若取值x 1,x 2, …，x n ，其频率分别为p 1,p 2, …，p n ， 则平均数为a =x 1p 1+x 2p 2+…+x n p n .证明：设总体为n ，样本x 1,x 2, …，x n 出现的次数为m 1,m 2, …，m n ， 则p 1=n m 1,p 2=n m2，…，p n =nm n ，∴nm x m x m x a nn +++=2211=x 1p 1+x 2p 2+…+x n p n .使用此公式可简化计算. 典题·热题知识点一 样本平均数的基本概念例1 若s 2=∑=-1012)15(101i i x ，写出其展开式. 思路分析：原式是求x 1-15,x 2-15,…，x 10-15共10项的平方和的101. 解：s 2=101［（x 1-15）2+（x 2-15）2+…+（x 10-15）2］. 例2 若a 、b 、c 的平均数是x ，则2a+1，2b-1，2c+3的平均数是（ ）A.2aB.x +1C.3cb a ++ D.2x +1 思路解析：［(2a+1)+(2b-1)+（2c+3）］/3=23cb a +++1.答案：D知识点二 利用众数、中位数、平均数对总体进行分析例3 被誉为“杂交水稻之父”的中国科学院院士袁隆平，为得到良种水稻，进行了大量的试估计哪个品种的平均产量更高一些?思路分析：需要计算甲、乙两个品种的平均亩产量. 解：甲、乙两个品种的样本平均数分别是甲x =（390+409+…+432）÷10=418.1， 乙x =（404+386+…+412）÷10=384.1.由甲x ＞乙x 可以估计,甲种水稻的平均产量比乙种水稻的平均产量要高一些.巧解提示 本题解法中计算平均数较繁,一般地,可以以400为常数a,所有各数分别减去400得出一组新数据,再求10个新数据的平均数x′,从而求出平均数x=x′+400,这样计算过程较为简便.（1）指出这个问题中的众数、中位数、平均数；（2）在这个问题中，平均数能客观地反映该工厂的工资水平吗？为什么？思路分析：本题应着眼于众数、中位数、平均数各自的特点及适应对象.众数是数据中出现次数最多的数.中位数是指如果将一组数据按从小到大的顺序依次排列，当数据有奇数个时，处在最中间的一个数；当数据有偶数个时，处在最中间两个数的平均数，是这组数据的中位数.一组数据的总和除以数据的个数所得的商就是平均数. 解：（1）由表格数据可知众数为200.∵2 200+1 500=3 700>1 100+2 000+100=3 200，∴中位数为250. 平均数为（2 200+1 500+1 100+2 000+100）÷23=300. （2）虽然平均数为300元/周，但由表格中所列出的数据可以看出，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平.误区警示 该题进一步说明平均数受数据中的极端值的影响较大，妨碍了对总体估计的可靠性，这时平均数反而不如众数、中位数更客观. 问题·探究 思想方法探究问题 我们常用算术平均数∑=ni i a n 11〔其中a i (i=1,2, …,n)为n 个实验数据〕作为数据a 1,a 2, …,a n 的“最理想”的近似值，它的依据是什么呢？探究过程：处理实验数据的原则是使这个近似值与实验数据之间的离差最小. 设这个近似值为x ，那么它与n 个实验值a i (i=1,2, …,n)的离差分别为x-a 1，x-a 2，x-a 3，…，x-a n .由于上述离差有正有负，故不宜直接相加. 可以考虑离差的平方和，即(x-a 1)2+(x-a 2)2+…+(x-a n )2=nx 2-2(a 1+a 2+…+a n )x+a 12+a 22+…+a n 2， 所以当x=na a a n+++ 21时，离差的平方和最小，故可用na a a n+++ 21作为表示这个物理量的理想近似值.探究结论：平均数最能代表一个样本数据的集中趋势，也就是说它与样本数据的离差最小.。
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苏教版-----------------------------------必修1----------------------------------- 第1章集合1.1集合的含义及其表示1.2子集、全集、补集1.3交集、并集第2章函数2.1函数的概念2."1.1函数的概念和图象2."1.2函数的表示方法2.2函数的简单性质2."2.1函数的单调性2."2.2函数的奇偶性2.3映射的概念第3章指数函数、对数函数和幂函数3.1指数函数3."1.1分数指数幂3."1.2指数函数3.2对数函数3."2.1对数3."2.2对数函数3.3幂函数3.4函数的应用3."4.1函数与方程3."4.2函数模型及其应用-----------------------------------必修2----------------------------------- 第1章立体几何初步1.1空间几何体1."1.1棱柱、棱锥和棱台1."1.2圆柱、圆锥、圆台和球1.1."3中心投影和平行投影1."1.4直观图画法1.2点、线、面之间的位置关系1."2.1平面的基本性质1.2."2空间两条直线的位置关系1."平行直线2."异面直线1.2."3直线与平面的位置关系1."直线与平面平行2."直线与平面垂直1.2."4平面与平面的位置关系1."两平面平行2."平面垂直1.3空间几何体的表面积和体积1."3.1空间几何体的表面积1."3.2空间几何体的体积第2章平面解析几何初步2.1直线与方程2."1.1直线的斜率2."1.2直线的方程1."点斜式2."两点式3."一般式2.1."3两条直线的平行与垂直2."1.4两条直线的交点2."1.5平面上两点间的距离2.1."6点到直线的距离2.2圆与方程2."2.1圆的方程2."2.2直线与圆的位置关系2."2.3圆与圆的位置关系2.3空间直角坐标系2."3.1空间直角坐标系2."3.2空间两点间的距离-----------------------------------必修3----------------------------------- 第1章算法初步1.1算法的意义1.2流程图1."2.1顺序结构1."2.2选择结构1."2.3循环结构1.3基本算法语句1."3.1赋值语句1."3.2输入、输出语句1."3.3条件语句1.3."4循环语句1.4算法案例第2章统计2.1抽样方法2."1.1简单随机抽样1."抽签法2."随机数表法2."1.2系统抽样2."1.3分层抽样2.2总体分布的估计2."2.1频率分布表2."2.2频率分布直方图与折线图2."2.3茎叶图2.3总体特征数的估计2."3.1平均数及其估计2."3.2方差与标准差2.4线性回归方程第3章概率3.1随机事件及其概率3."1.1随机现象3."1.2随机事件的概率3.2古典概型3.3几何概型3.4互斥事件-----------------------------------必修4-----------------------------------第1章三角函数1.1任意角、弧度1."1.1任意角1."1.2弧度制1.2任意角的三角函数1."2.1任意角的三角函数1."2.2同角三角函数关系1.2."3三角函数的诱导公式1.3三角函数的图象和性质1."3.1三角函数的周期性1."3.2三角函数的图象与性质1.3."3函数y=Asin(ωx+ψ)的图象1."3.4三角函数的应用第2章平面向量2.1向量的概念及表示2.2向量的线性运算2."2.1向量的加法2."2.2向量的减法2."2.3向量的数乘2.3向量的坐标表示2."3.1平面向量基本定理2."3.2平面向量的坐标运算2.4向量的数量积2.5向量的应用第3章三角恒等变换3.1两角和与差的三角函数3.1."1两角和与差的余弦3.1."2两角和与差的正弦3."1.3两角和与差的正切3.2二倍角的三角函数3.3几个三角恒等式-----------------------------------必修5-----------------------------------第1章解三角形1．"1正弦定理1．"2余弦定理1．"3正弦定理、余弦定理的应用第2章数列2．"1数列2．"2等差数列2."2.1等差数列的概念2."2.2等差数列的通项公式2.2."3等差数列的前n项和2．"3等比数列2."3.1等比数列的概念2."3.2等比数列的通项公式2.3."3等比数列的前n项和第3章不等式3．1不等关系3．2一元二次不等式3．3二元一次不等式组与简单的线性规划问题3.3."1二元一次不等式表示的平面区域3."3.2二元一次不等式组表示的平面区域3.3."3简单的线性规划问题3．4基本不等式ab a b(a0,b0)3."4.1基本不等式的证明23.4."2基本不等式的应用-----------------------------------选修1-1----------------------------------- 第1章常用逻辑用语1．1命题及其关系1."1.1四种命题1."1.2充分条件和必要条件1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词1."3.1量词1."3.2含有一个量词的命题的否定第2章圆锥曲线与方程2．1圆锥曲线2．2椭圆2."2.1椭圆的标准方程2."2.2椭圆的几何性质2．3双曲线2."3.1双曲线的标准方程2."3.2双曲线的几何性质2．4抛物线2."4.1抛物线的标准方程2."4.2抛物线的几何性质2．5圆锥曲线的共同性质第3章导数及其应用3．1导数的概念3."1.1平均变化率3."1.2瞬时变化率——导数3．2导数的运算3."2.1常见函数的导数3."2.2函数的和、差、积、商的导数3．3导数在研究函数中的应用3."3.1单调性3."3.2极大值和极小值3.3."3最大值和最小值3．4导数在实际生活中的应用-----------------------------------选修1-2----------------------------------- 第1章统计案例1．1独立性检验1．2回归分析第2章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2."1.1合情推理2."1.2演绎推理2."1.3推理案例欣赏2．2直接证明与间接证明2."2.1直接证明2."2.2间接证明第3章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充3．2复数的四则运算3．3复数的几何意义第4章框图4．1流程图4．2结构图-----------------------------------选修2-1-----------------------------------第1章常用逻辑用语1．"1命题及其关系1."1.1四种命题1."1.2充分条件和必要条件1．"2简单的逻辑联结词1．"3全称量词与存在量词1."3.1量词1."3.2含有一个量词的命题的否定第2章圆锥曲线与方程2．"1圆锥曲线2．"2椭圆2."2.1椭圆的标准方程2."2.2椭圆的几何性质2．"3双曲线2."3.1双曲线的标准方程2."3.2双曲线的几何性质2．"4抛物线2."4.1抛物线的标准方程2."4.2抛物线的几何性质2．"5圆锥曲线的统一定义2．"6曲线与方程2."6.1曲线与方程2."6.2求曲线的方程2."6.3曲线的交点第3章空间向量与立体几何3．"1空间向量及其运算3."1.1空间向量及其线性运算3."1.2共面向量定理3.1."3空间向量基本定理3."1.4空间向量的坐标表示3."1.5空间向量的数量积3．"2空间向量的应用3."2.1直线的方向向量与平面的法向量3.2."2空间线面关系的判定3."2.3空间的角的计算-----------------------------------选修2-2-----------------------------------第一章导数及其应用1．"1导数的概念1."1.1平均变化率1."1.2瞬时变化率——导数1．"2导数的运算1."2.1常见函数的导数1."2.2函数的和、差、积、商的导数1.2."3简单复合函数的导数1．"3导数在研究函数中的应用1."3.1单调性1."3.2极大值和极小值1.3."3最大值和最小值1．"4导数在实际生活中的应用1．"5定积分1."5.1曲边梯形的面积1."5.2定积分1."5.3微积分基本定理第二章推理与证明2．"1合情推理与演绎推理2."1.1合情推理2."1.2演绎推理2."1.3推理案例欣赏2．"2直接证明与间接证明2."2.1直接证明2."2.2间接证明2．"3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3．"1数系的扩充3．"2复数的四则运算3．"3复数的几何意义-----------------------------------选修2-3-----------------------------------第一章计数原理1．"1两个基本原理1．"2排列1．"3组合1．"4计数应用题1．"5二项式定理1."5.1二项式定理1."5.2二项式系数的性质及用第二章概率2．1随机变量及其概率分布2．2超几何分布2．3独立性2."3.1条件概率2."3.2事件的独立性2．4二项分布2．5随机变量的均值与方差5.1离散型随机变量的均值2.5."2离散型随机变量的方差与标准差2．6正态分布第三章统计案例3．1独立性检验3．2回归分析-----------------------------------选修4-1----------------------------------- 1.1相似三角形的进一步认识1.1."1平行线分线段成比例定理1.1."2相似三角形1.2圆的进一步认识1.2."1圆周角定理1.2."2圆的切线1.2."3圆中比例线段2."4圆内接四边形1.3圆锥截线1.3."1球的性质1.3."2圆柱的截线1.3."3圆锥的截线学习总结报告-----------------------------------选修4-2----------------------------------- 2.1二阶矩阵与平面向量2.1."1矩阵的概念2.1."2二阶矩阵与平面列向量的乘法2.2几种常见的平面变换2.2."1恒等变换2.2."2伸压变换2."3反射变换2.2."4旋转变换2.2."5投影变换2.2."6切变变换2.3变换的复合与矩阵的乘法2.3."1矩阵乘法的概念2.3."2矩阵乘法的简单性质2."4逆变换与逆矩阵2.4."1逆矩阵的概念2.4."2二阶矩阵与二元一次方程组2.5特征值与特征向量2.6矩阵的简单应用学习总结报告-----------------------------------选修4-4-----------------------------------4.1直角坐标系4.1."1直角坐标系4.1."2极坐标系4.1."3球坐标系与柱坐标系4.2曲线的极坐标方程4.2."1曲线的极坐标方程的意义4.2."2常见曲线的极坐标方程4.3平面坐标系中几种常见变换4.3."1平面直角坐标系中的平移变换4.3."2平面直角坐标系中的伸缩变换4.4参数方程4.4."1参数方程的意义4.4."2参数方程与普通方程的互化4.4."3参数方程的应用4.4."4平摆线与圆的渐开线学习总结报告-----------------------------------选修4-5-----------------------------------5.1不等式的基本性质5.2含有绝对值的不等式5.2."1含有绝对值的不等式的解法5.2."2含有绝对值的不等式的证明5.3不等式的证明5.3."1比较法5.3."2综合法和分析法5.3."3反证法5.3."4放缩法5.4几个著名的不等式5.4."1柯西不等式5.4."2排序不等式5.4."3算术-几何平均值不等式5.5运用不等式求最大（小）值5.5."1运用算术-几何平均值不等式求最大（小）值5.5."2运用柯西不等式求最大（小）值5."6运用数学归纳法证明不等式学习总结报告。
高中数学第2章统计2.3总体特征数的估计名师导航学案苏教版必修3
2.3 总体特征数估计名师导航三点剖析在初中我们知道，总体平均数(又称为总体期望值)描述了一个总体平均水平，由于对很多总体来说，它平均数不易求得，常用容易求得样本平均数:)(121n x x x n x +++= 对它进展估计，而且常用两个样本平均数大小去近似地比拟相应两个总体平均数大小.一、平均数1．平均数定义假设给定一组数据x 1，x 2，…，x n ，那么称 (i=1，2，3，…，n)为这组数据x 1，x 2，…，x n 平均数(或均值).通常用样本平均数来估计总体平均数.当所给数据中没有重复数据时，我们一般用此公式来求这组数据平均数.这里(x 1+x 2+…+x n ).平均数反映了一组数据集中趋势，我们常用一组数据平均数来衡量这组数据水平.当一组数据中重复数据过多时，假设用上面公式求这组数据平均数，其过程就会显得比拟复杂与冗长，为了简化计算过程，我们引入下面这种计算平均数方法:一般地，假设取值为x 1，x 2，…，x n 频率分别为p 1，p 2，…，p n ，那么其平均数为x 1p 1+x 2p 2+…+x n p n .这一公式实质上就是公式一个变形，它主要用于含有重复数据数据组求平均数.除此之外，当所给数据在某一常数a 上下波动时，我们也可利用公式:a +'=x x ,其中 (x 1′+x 2′+…+x n ′)，x1′=x1-a,x2′=x2-a,x3′=x3-a，…，x n′=x n-a；常数a通常取接近于这组数据平均数较“整〞数.例如:求数据70，71，72，73平均数时，我们可以先求出0，1，2，3平均数，然后将此平均数加上70即得该组数据平均数.2．平均数性质(1)假设给定一组数据x1，x2，…，x n平均数为x，那么ax1，ax2，…，ax n平均数为a x；(2)假设给定一组数据x1，x2，…，x n平均数为x，那么ax1+b，ax2+b，…，ax n+b平均数为a x+b；二、极差、方差与标准差在初中我们知道，极差、方差与标准差是描述一个样本与总体波动大小特征数.1．极差定义一组数据最大值与最小值差叫极差.极差也可以对两组数据集中程度进展比照，且比拟简单.但两组数据集中程度差异不大时，利用它就不易得出结论了.而且它只利用了数据中最大值与最小值，对极值过于敏感.但由于只涉及到了两个数据，便于得到.所以极差在实际中也经常用到.例如:数据:25,41,37,22,14,19,39,21,42,40中最大值为42，最小值为14，它极差为42-14=28．2．方差定义在一组数据x1,x2,…,x n中，各数据与它们平均数x差平方平均数，叫做这组数据方差，记作s2,即假设给定一组数据x1，x2，…，x n，那么s2=.为了更好地比拟两组数据集中程度,我们可以利用这两组数据方差对两组数据进展比拟.方差较大数据波动较大；方差较小数据波动较小.当所给数据有单位时，所求得平均数与原数据单位一样，不要漏写单位.方差单位为所给数据单位平方.3．方差性质(1)假设给定一组数据x1，x2，…，x n，方差为s2，那么ax1，ax2，…，ax n方差为a2s2；(2)假设给定一组数据x1，x2，…，x n，方差为s2，那么ax1+b，ax2+b，…，ax n+b方差为a2s2,特别地，当a=1时，那么有x1+b，x2+b，…，x n+b方差为s2，这说明将一组数据每一个数据都减去一样一个常数，其方差是不变，即不影响这组数据波动性；(3)方差刻画了数据相对于均值平均偏离程度.对于不同数据集，当离散程度越大时，方差越大；(4)方差单位是原始测量数据单位平方，对数据中极值较为敏感.4．标准差刻画数据离散程度度量，其理想形式应满足以下三条原那么:(1)应充分利用所得到数据，以便提供更确切信息；(2)仅用一个数值来刻画数据离散程度；(3)对于不同数据，当离散程度大时，该数值也大.我们上面提到极差显然不满足第一条原那么，因为它只利用了数据中最大与最小两个值.方差虽然满足上面三条原那么，然而它有局限性:方差单位是原始数据单位平方，而刻画离散程度一种理想度量应与原始观测数据具有一样单位.解决这一局限性方法就是取方差算术平方根.方差算术平方根称作标准差，记作s，即标准差单位与原始测量数据单位一样，可以减弱极值影响.问题探究问题1:甲、乙两台机床同时生产直径为40㎜零件.为了检验产品质量，从两台机床生产产品中各抽取10件进展了测量，结果如下:39．839．939．839．8甲/mm39．939．939．9乙/mm能用几种方法比拟这两台机床性能？探究:经简单计算可以得出:甲、乙两台机床生产这10件产品直径平均数都为40mm.所以，不能从平均数这一角度来比拟这两台机床性能,即不能从数据平均水平上来比拟，只能从数据离散程度上进展比拟.要从数据离散程度上进展比拟,常见方法有以下几种:方法一:利用初中所学折线统计图.由折线统计图我们可以直观地表示出这两组数据离散程度，甲机床生产产品波动幅度比乙大.所以，乙机床性能好于甲.方法二:利用这两组数据极差进展比拟.甲:40.2-39．8=0.04；乙:40.1-39．9=0.02．显然，乙组数据极差小于甲组数据极差.所以，乙机床性能好于甲.2=0.026(mm2)，标准差为s甲=0.161(mm)；乙方差为s乙甲2=0.006(mm2)，标准差为s乙=0.077(mm).由上可知:不管是方差还是标准差甲均比乙大，这就说明乙机床生产产品要更标准些.所以，乙机床性能好于甲.问题2:某校拟派一名跳高运发动参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运发动进展了8次选拔比赛，他们成绩(单位:m)如下:甲:1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.73,1.68,1.67；乙:1.60,1.73,1.72,1.61,1.62,1.71,1.70,1.75．经预测，跳高就很可能获得冠军.该校为了获取冠军，可能选哪位选手参赛？假设预测跳高1.70 m方可获得冠军呢？探究:参加比赛选手成绩得突出，且成绩稳定,这就需要比拟这两名选手平均成绩与成绩方差.甲平均成绩与方差如下:(1.70+1.65+1.68+1.69+1.72+1.73+1.68+1.67)=1.69,1［(1.70-1.69)2+(1.65-1.69)2+…+(1.67-1.69)2］=0.000 s甲2=86．乙平均成绩与方差如下:(1.60+1.73+1.72+1.61+1.62+1.71+1.70+1.75)=1.68,1［(1.60-1.68)2+(1.73-1.68)2+…+(1.75-1.68)2］=0.003 s乙2=815．显然，甲平均成绩好于乙平均成绩，而且甲方差小于乙方差，说明甲成绩比乙稳定.由于甲平均成绩高于乙，且成绩稳定，所以假设跳高1.70 m以上，虽然乙平均成绩不如甲，成绩稳定性也不如甲，假设跳高方可获得冠军时，应派乙参加比赛.精题精讲例1．在去年足球甲A联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数标准差为1.1；二队每场比赛平均失球数为2.1，全年比赛失球个数标准差为0.4．你认为以下说法中哪一种是正确？(1)平均说来一队比二队技术好；(2)二队比一队技术水平更稳定；(3)一队有时表现很差，有时表现又非常好；(4)二队很少不失球.思路解析此题主要考察对平均数与标准差概念理解.平均数反映了一组数据平均水平，而方差那么反映了一组数据波动性大小.一队每场比赛平均失球数比二队每场比赛平均失球数少，说明一队技术比二队技术好；一队全年比赛失球个数标准差较大，说明一队表现时好时坏，起伏较大；二队平均失球数多，全年比赛失球个数标准差很小，说明二队表现较稳定，经常失球.答案:(1)(2)(3)(4)都正确.例2．下面是某一个工厂所有工作人员在某个月工资，总经理6 000元，技术工人甲900元，技术工作人员乙800元，杂工640元，效劳员甲700元，效劳员乙640元，会计820元.(1)计算所有工作人员平均工资.(2)去掉总经理后，再计算平均工资.(3)在(1)与(2)中两种平均工资哪一种能代表一般工人收入水平，为什么？思路解析计算平均工资是用工资总数除以领工资人数即可.答案:(1)所有工作人员平均工资为(6 000+900+800+640+700+640+820)=1 500(元).(2)去掉总经理后平均工资为(900+800+640+700+640+820)=750(元).(3)能代表一般工人收入水平是去掉总经理后平均工资750元.因为除去总经理之外，工作人员工资均在900元以下，因此不能以1 500元来代表职工平均工资水平.绿色通道一般地，在一组数据中，平均数、众数、中位数能够反映该组数据集中趋势与平均水平，但有时需要去掉极端值(极大值或极小值),这样计算平均数那么更能反映平均水平，这就是有些比赛活动中往往会去掉一个最大值与一个最小值再去计算平均成绩原因.例3．甲、乙两工人同时加工一种圆柱零件，在他们所加工零件中各抽取10个进展直径检测，测得数据如下(单位:mm):甲:19.9，19.7，19.8，20.0，19.9，20.2，20.1，20.3，20.2，20.1；乙:20.0，20.2，19.8，19.9，19.7，20.2，20.1，19.7，20.2，20.4．(1)分别计算上面两个样本平均数与方差；(2)假设零件规定直径为20.0±0.5(mm)，根据两个样本平均数与方差，说明谁加工零件质量较稳定.思路解析利用平均数与方差计算公式进展计算，再比拟谁零件质量较稳定.由于方差能说明一组数据波动性大小，那么可通过比拟这两个样本方差大小来比拟两人加工零件稳定性.答案:(1)x甲=20.02，x乙=20.02,利用s2＝,可得s甲2=0.033 6,s乙2=0.041 6．∵s甲2＜s乙2，∴甲工人加工零件质量比拟稳定.绿色通道比拟两人加工零件质量稳定性，这里通过平均数比拟不出来，需要使用方差来比拟，方差越大说明波动性较大，质量越不稳定.一般地，方差与标准差通常用来反映一组数据波动大小.在统计中，样本方差与标准差通常用来估计总体数据波动大小.例4．从2001年2月21日0时起，中国电信执行新收费标准，其中本地网营业区内通话费是:前3min为0.2元(缺乏3min按3min 计算)，以后每分钟加收0.1元(缺乏1min按1min计算).某星期天，一位学生调查了A、B、C、D、E五位同学某天打本地网营业区内通话时间情况，原始数据如表1．表1表2(1)问D同学这天通话费是多少？(2)设通话时间为t min，试根据表1填写频数(落在某一时间段上通话次数)分布表(表2).(3)调整前执行原收费标准是:每3 min为0.2元(缺乏3 min 按3 min计算).问:这五位同学这天实际平均通话费与用原收费标准算出平均通话费相比，是增多了，还是减少了？假设增多，多多少？假设减少，少多少？思路解析在解答此题时,要认真分析题中所给条件,分清不同时间段话费情况,再进一步结合所学数学知识,这样就不难求出结果.答案:(1)0.2+0.1+0.2+2×0.1+0.2=0.9(元)，∴D同学这天通话费是0.9元.(2)表2时间段频数累计频数0<t≤323<t≤454<t≤525<t≤61(3)设这五位同学这天实际平均通话费为x元，按原收费标准算出平均通话费为x'元，1(2×0.2+5×0.3+2×0.4+0.5)=0.64，那么x=51(2×0.2+8×0.4)=0.72，x'=5x'－x=0.72－0.64=0.08(元).∴这五位同学这天实际平均通话费比按原标准算出平均通话费减少了0.08元.绿色通道统计学习重在应用，要学会从实际生活之中抽取数据，处理数据，解决实际问题.此题中对于收费方式正确理解是解决问题关键.。
2019-2020年高中数学第2章统计2.3总体特征数的估计2.3.2方差与标准差教学案苏教版必修3
2019-2020年高中数学第2章统计2.3总体特征数的估计2.3.2方差与标准差教学案苏教版必修31．什么叫一组数据的极差、方差、标准差？ 2．一组数据的方差和标准差具有什么作用？[新知初探]1．极差、方差、标准差(1)极差：一组数据的最大值与最小值的差． (2)方差与标准差：设一组样本数据x 1，x 2，…，x n ，其平均数为x ，则称s 2＝1n ∑i ＝1n(x i －x )2为这个样本的方差，其算术平方根s ＝1n ∑i ＝1nx i －x 2为样本的标准差．2．方差与标准差的作用标准差与方差描述一组数据围绕平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．方差、标准差刻画了一组数据的稳定程度．[小试身手]1．数据0,1,3,4,7的极差为________，方差为________． 答案：7 62．一组数据1,2,3,4，a 的平均数是3，则数据的方差为________，标准差为________． 答案：223．若1,2,3，x 的平均数是5，而1,3,3，x ，y 的平均数是6，则1,2,3，x ，y 的方差是________． 解析：由5＝1＋2＋3＋x4得x ＝14.同理y ＝9.由s 2＝15(12＋22＋32＋142＋92)－5.82＝24.56.答案：24.56[典例] 甲、乙两机床同时加工直径为100 cm 的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据(单位：cm)为：甲：99 100 98 100 100 103； 乙：99 100 102 99 100 100. (1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定． [解] (1)x 甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，x 乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.s 2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73. s 2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又s 2甲＞s 2乙， 所以乙机床加工零件的质量更稳定．(1)方差常用计算公式有两个①基本公式s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．②简单计算公式：s 2＝1n [(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－n x 2]或写成s 2＝1n (x 21＋x 22＋…＋x 2n )－ x 2，即方差等于原数据平方和的平均数减去平均数的平方．(2)在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，因此还要研究样本数据偏离平均数的离散程度(即方差或标准差)，标准差大说明样本数据分散性大，标准差小说明样本数据分散性小或者样本数据集中稳定． 方差、标准差的计算及应用[活学活用]某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品，称其重量(单位：g)是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据茎叶图如下图：根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对稳定．解：设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为x 甲、x 乙，方差分别为s 2甲、s 2乙，则x 甲＝122＋114＋113＋111＋111＋1076＝113，x 乙＝124＋110＋112＋115＋108＋1096＝113，s 2甲＝16[(122－113)2＋(114－113)2＋(113－113)2＋(111－113)2＋(111－113)2＋(107－113)2]＝21，s 2乙＝16[(124－113)2＋(110－113)2＋(112－113)2＋(115－113)2＋(108－113)2＋(109－113)2]＝2913，由于s 2甲＜s 2乙，所以甲车间的产品的重量相对稳定.[典例] 设数据x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2，求下列各组数据的方差． (1) x 1＋b ，x 2＋b ，…，x n ＋b ； (2)ax 1, ax 2，…，ax n ； (3)ax 1＋b, ax 2＋b ，…，ax n ＋b .[解] 设数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ， 则数据x 1＋b ，x 2＋b ，… ，x n ＋b 的平均数为x ＋b ， 数据ax 1，ax 2，…，ax n 的平均数为a x ，数据ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的平均数为a x ＋b ， 设数据x 1＋b ，x 2＋b ，…， x n ＋b 的方差为s 21，方差的性质数据ax1，ax2，…，ax n的方差为s22，数据ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的方差为s 23， (1) s 21＝1n [(x 1＋b －x －b )2＋(x 2＋b －x －b )2＋…＋(x n ＋b －x －b )2] ＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]＝s 2， (2)s 22＝1n [(ax 1－a x )2＋(ax 2－a x )2＋…＋(ax n －a x )2] ＝a 2·1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]＝a 2s 2，(3)s 23＝1n [(ax 1＋b －a x －b )2＋(ax 2＋b －a x －b )2＋…＋(ax n ＋b －a x －b )2] ＝1n [(ax 1－a x )2＋(ax 2－a x )2＋…＋(ax n －a x )2] ＝a 2·1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]＝a 2s 2.(1)数据x 1，x 2，…，x n 与数据x 1＋b ，x 2＋b ，…，x n ＋b 的方差相等； (2)若x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2，则ax 1，ax 2，…，ax n 的方差为a 2s 2； (3)若x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2，则ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的方差为a 2s 2.反映了方差的性质，利用这些性质可比较方便地求一些数据的方差．[活学活用]1．已知一组数据x 1，x 2，…，x 8的平均数是2，方差为6，则数据x 1－1，x 2－1，…，x 8－1的平均数是________，方差是________．答案：1 62．已知一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均数是－2，方差是4，则数据2x 1＋3,2x 2＋3，…，2x n ＋3的平均数是________，方差是________．答案：－1 16[典例] (广东高考)某工厂36名工人的年龄数据如下表.统计图表中的方差问题(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据．(2)计算(1)中样本的均值x 和方差s 2.(3)36名工人中年龄在x －s 与x ＋s 之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)?[解] (1)36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以它在组中的编号为2，所以所有样本数据的编号为4n －2(n ＝1,2，…，9)， 其年龄数据为：44,40,36,43,36,37,44,43,37. (2)由均值公式知：x ＝44＋40＋…＋379＝40，由方差公式知：s 2＝19[(44－40)2＋(40－40)2＋…＋(37－40)2]＝1009.(3)因为s 2＝1009，s ＝103，所以36名工人中年龄在x －s 和x ＋s 之间的人数等于年龄在区间[37,43]上的人数， 即40,40,41，…，39，共23人．所以36名工人中年龄在x －s 和x ＋s 之间的人数所占的百分比为2336×100%≈63.89%.[活学活用]从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125]分组频数62638228(1)在下表中作出这些数据的频率分布直方图：(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？解：(1)如图所示：(2)质量指标值的样本平均数为x＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0．38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定．层级一学业水平达标1．给出下列说法：①一组数据不可能有两个众数；②一组数据中的方差必须是正数；③将一组数据中的每一个数据加上或减去同一常数后，方差恒不变；④在频率分布直方图中，每个小长方形的面积等于相应小组的频率，其中错误的个数有________个．答案：22．某老师从星期一到星期五收到电子邮件数分别是10,6,8,5,6，则该组数据的方差s2＝________.解析：5个数据的平均数x＝10＋6＋8＋5＋65＝7，所以s2＝15×[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝3.2.答案：3.23．抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________．解析：易知均值都是90，甲的方差为s2甲＝15×[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4.乙的方差为s2乙＝15×[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2.∴s2甲＞s2乙答案：24.如图是某市歌手大奖赛七位评委为某位选手打出分数的茎叶图，若去掉一个最高分和一个最低分，则剩余分数的方差为________．解析：去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据为84,84,84,86,87，其均值为85，方差为s 2＝15[(84－85)2×3＋(86－85)2＋(87－85)2]＝85.答案：855．从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下(单位：cm)： 甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40 问：(1)哪种玉米苗长得高？ (2)哪种玉米苗长得齐？解：(1)∵x 甲＝110(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝110×300＝30(cm)，x 乙＝110(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝110×310＝31(cm)．∴x 甲＜x 乙，即乙种玉米苗长得高． (2)s 2甲＝110[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝110(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144)＝110×1 042＝104.2， s 2乙＝110(2×272＋3×162＋3×402＋2×442)－312 ＝128.8，∴s 2甲＜s 2乙，即甲种玉米苗长得齐．层级二 应试能力达标1．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差见表：则参加奥运会的最佳人选应为________．解析：由平均数及方差的定义知，丙的平均成绩较高且较稳定． 答案：丙2．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是________．①这种抽样方法是一种分层抽样； ②这种抽样方法是一种系统抽样；③这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差； ④该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数．解析：对①，分层抽样要求男女生总人数之比等于男女生抽样人数之比，所以①错．对②，系统抽样要求先对个体进行编号再抽样，所以②错．对③，男生方差为8，女生方差为6，所以③正确．对④，抽取的样本平均成绩不能代表总体平均成绩．所以④错．答案：③3．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x 2＋y 2的值为________．解析：由15(x ＋y ＋10＋11＋9)＝10，15[(x －10)2＋(y －10)2＋0＋1＋1]＝2，联立解得x 2＋y 2＝208.答案：2084．若10个正数的平方和是370，方差是33，则平均数为________． 解析：由s 2＝110(x 21＋x 22＋…＋x 210)－x 2，得33＝110×370－x 2，解得x ＝2. 答案：25．样本容量为10的一组数据，它们的平均数是5，频率条形图如图，则其标准差等于________．解析：由条形图知2与8的个数相等，且多于5的个数，于是这10个数分别为2,2,2,2,5,5,8,8,8,8.∵x ＝5，∴s 2＝110[(2－5)2＋(2－5)2＋(2－5)2＋(2－5)2＋(5－5)2＋(5－5)2＋(8－5)2＋(8－5)2＋(8－5)2＋(8－5)2]＝110×8×9＝365.∴s ＝655.答案：6556．甲、乙两名同学在五次考试中的数学成绩统计用茎叶图表示如图所示，则成绩的方差较小的为________.解析：x 甲＝15(98＋99＋105＋115＋118)＝107，x 乙＝15(95＋106＋108＋112＋114)＝107.s 2甲＝15[(98－107)2＋(99－107)2＋(105－107)2＋(115－107)2＋(118－107)2]＝66.8. s 2乙＝15[(95－107)2＋(106－107)2＋(108－107)2＋(112－107)2＋(114－107)2]＝44. ∴成绩的方差较小的为乙． 答案：乙7．一组数据的每一个数据都减去80，得到一组新数据，若求得的新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来的数据的平均数和方差分别是________．解析：由平均数与方差的性质知原来数据的平均数1.2＋80＝81.2.方差不变． 答案：81.2,4.48．为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得的数据分别绘制成频率分布直方图(如图所示)，记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s 1，s 2，s 3，则它们的大小关系为________．解析：由直方图容易求得甲、乙、丙三个社区“家庭每月日常消费额”的平均值分别为2 200 元、2 250 元、2 150 元，又由直方图可知甲的数据偏离平均值最大，故标准差最大，乙的数据偏离平均值最小，故标准差最小，即标准差的大小关系是s 1＞s 3>s 2.故填s 1＞s 3＞s 2.答案：s 1＞s 3>s 29．对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(m/s)的数据如下表：甲273830373531乙332938342836(1)(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、中位数、标准差，并判断选谁参加比赛更合适．解：(1)画茎叶图如图所示，中间数为数据的十位数.从这个茎叶图中可以看出，甲、乙的得分情况都是分布均匀的，只是乙更好一些；乙的中位数是33.5，甲的中位数是33.因此，乙发挥比较稳定，总体得分情况比甲好．(2)可求x甲＝33，x乙＝33，s甲≈3.96，s乙≈3.56，甲的中位数是33，乙的中位数是33.5，综合比较，乙参加比赛较合适．10．总体的各个个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5，求使该总体的方差最小时a，b的取值．解：∵数据共有10个，且总体的中位数为10.5，∴a＋b＝21，经计算，此时样本数据的平均数是10，∴使该总体的方差最小，则只要(a－10)2＋(b－10)2最小即可，而(a－10)2＋(b－10)2＝(a－10)2＋(a－11)2＝2a2－42a＋221，由二次函数的图象可知当a＝10.5时，该总体的方差最小，此时b＝10.5..。
高中数学第2章统计2.3总体特征数的估计2.3.1平均数及其估计教案苏教版必修3
2.3.1 平均数及其估计整体设计教材分析教科书中着重介绍了利用频率分布直方图估计总体众数，总体中位数与总体平均数，为我们提供了估计总体分布数字特征新思路.在教学过程中，结合实际问题要着重分析引导学生注意对样本平均数概念理解.与众数与中位数相比，平均数代表了数据更多信息.如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大极端值；反之，说明数据中存在许多较小极端值.在实际应用中如果同时知道样本中位数与样本平均数，可以使我们了解样本数据中极端数据信息.三维目标1.通过具体事例体会平均数意义，掌握平均数等数据代表概念，能根据所给信息求出相应数据代表.2.能用样本平均数估计总体平均数,并结合实际,对问题作出合理判断,制定解决问题有效方法.3.通过观察事例与解决实际问题过程，让学生感知样本特征数据，引出概念，并在这一根底上培养学生正确认识客观世界，使学生体会知识之间有机联系，感受数学整体性，激发学生学习兴趣.4.通过对有关数据搜集、整理、分析、判断，培养学生“实事求是〞科学态度与严谨工作作风.5初步体会、领悟“用数据说话〞统计思想方法.重点难点教学重点：1.对样本平均数意义理解,及如何用样本数据计算其平均值.2.根据实际问题在样本数据中提取根本数据特征并作出合理解释，估计总体根本数字特征.教学难点：体会样本数字特征随机性.课时安排1课时教学过程导入新课设计思路一：〔实例导入〕某校高一(1)班同学在教师布置下，用单摆进展测试，以检查重力加速度.全班同学两人一组，在一样条件下进展测试，得到以下实验数据〔单位：m/s2〕:问题：怎样利用这些数据对重力加速度进展估计？设计思路二：〔情境导入〕根据课本第2.2节开头数据，还可以求出北京地区近年来7月25日至8月10日日最高气温样本平均值为34.02，我们可将其作为北京地区近年来7月25日至8月10日日最高气温平均值估计.推进新课新知探究我们常用算术平均数〔其中a i(i=1,2,…，n)为n个实验数据〕作为重力加速度“最理想〞近似值，它依据是什么呢？处理实验数据原那么是使这个近似值与实验数据之间离差最小.设这个近似值为x ，那么它与n 个实验数据a i (i=1,2,…,n)离差分别为x －a 1，x －a 2，x －a 3，…，x －a n .由于上述离差有正有负，故不宜直接相加.可以考虑离差平方与，即〔x-a 1〕2+(x-a 2)2+…+(x -a n )2.因为(x －a 1)2+(x －a 2)2+…+(x －a n )2=nx 2－2(a 1+a 2+…+a n )x+a 12+a 22+…+a n 2，所以当x=时，离差平方与最小，故可用作为表示这个物理量理想近似值.假设给定一组数据x 1,x 2,…,x n ，那么称x =(i=1,2,…，n)为这组数据x 1,x 2,…,x n 平均数〔average 〕或均值〔mean 〕.当所给数据中没有重复数据时，我们一般用此公式来求这组数据平均数.这里=n 1 (x 1+x 2+…+x n ).平均数反映了一组数据集中趋势，我们常用一组数据平均数来衡量这组数据水平.当一组数据中重复数据过多时，假设用上面过程求这组数据平均数，其过程就会显得比拟复杂与冗长，为了简化计算过程，我们引入下面这种计算平均数方法：一般地，假设取值为x 1,x 2,…,x n 频率分别为p 1,p 2,…,p n ，那么其平均数为x 1p 1+x 2p 2+…＋x n p n .这一公式实质上就是公式一个变形，它主要用于含有重复数据数据组求平均数.应用例如例 1 如果a,b,c,d 平均值为10，那么数据2a+1,2b+1,2c+1,2d+1平均值为________________.分析：根据平均数定义可求得.解：因为，所以a+b+c+d=40，又2144)(2412)12()12(12=++++=+++++++d c b a d c b a ×40+1=21. 答案：21点评：由此可推得平均数一些性质：数据x 1,x 2,…,x n 平均数为x . 〔1〕数据x 1－a,x 2－a,…,x n －a 平均数为x －a.〔2〕数据kx 1,kx 2,…,kx n 平均数为k x .〔3〕数据kx 1+b,kx 2+b,…,kx n +b 平均数为k x +b.例2 某校高一年级甲、乙两个班级〔均为50人〕语文测试成绩如下〔总分：150分〕，试确定这次考试中，哪个班语文成绩更好一些.甲班分析：我们可用一组数据平均数衡量这组数据集中水平，因此，分别求出甲、乙两个班平均分即可.解：用计算器分别求出甲班平均分为101.1, 乙班平均分为105.4,故这次考试乙班成绩要好于甲班.点评：此例是应用数学理论进展统计分析第一个实例〔前面内容没有充分表达数学知识与方法在统计分析中作用〕，要让学生充分感受这一点.例3 下面是某校学生日睡眠时间抽样频率分布表(单位:h),试估计该学生日平均睡眠时间.分析：要确定这100名学生平均睡眠时间，就必须计算其总睡眠时间，由于每组中个体睡眠时间只是一个范围，可以用各组区间组中值近似地表示.解法一：总睡眠时间约为6.25×5+6.75×17+7.25×33+7.75×37+8.25×6+8.75×2=73 9〔h〕，故平均睡眠时间约为7.39 h.解法二：求组中值与对应频率之积与6.25×0.05+6.75×0.17+7.25×0.33+7.75×0.37+8.25×0 .06+8.75×0.02=7.39〔h〕.答：估计该校学生日平均睡眠时间约为7.39 h.点评：通过此例介绍“组中值〞概念，使学生掌握在连续型分布问题中，用样本估计总体方法.教学时要由频率分布直方图作密度曲线方法，启发学生发现用“组中值〞对某区间段进展估计思路.同时，还应让学生了解，“组中值〞只是一种近似估计.此例作为连续型分布平均水平估计实例，实际上是对用“积分〞研究统计问题思想方法渗透，教师对此应有认识.例4 某单位年收入〔单位：元〕在10 000到15 000、15 000到20 000、20 000到25 000、25 000到30 000、30 000到35 000、35 000到40 000及40 000到50 000元之间职工所占比分别为10%，15%，20%，25%，15%，10%与5%，试估计该单位职工平均年收入.分析：上述百分比就是各组频率.解：估计该单位职工平均年收入为12 500×10%+17500×15%+22 500×20%+27 500×25%+32 500×15%+37 500×10%+45 000×5%=26 125(元).答：估计该单位人均年收入约为26 125元.点评：充分体会利用第二个求平均数公式简便之处.例5 个体户李某经营一家快餐店，下面是快餐店所有工作人员8月份工资表：〔1〕计算所有人员8月份平均工资；〔2〕计算出平均工资能否反映打工人员这个月收入一般水平？为什么？〔3〕去掉李某工资后，在计算平均工资时，这能代表打工人员当月收入水平吗？〔4〕根据以上计算，以统计观点，你对〔3〕结果有什么看法？分析：此题与生活关系比拟密切，所以由学生自主讨论.解：〔1〕平均工资74103203204003504503000++++++=x=464.3〔元〕；〔2〕计算出平均工资不能反映打工人员这个月收入一般水平，可以看出，打工人员工资都低于该平均工资，因为这7个值中有一个异常值〔李某工资特别高〕，所以他工资对总平均工资影响较大，同时他也不是打工人员.〔3〕去掉李某平均工资(450+350+400+320+320+410)=375〔元〕.该平均工资能代表一般打工人员当月收入水平.〔4〕从此题计算可见，个别特殊值对平均数有很大影响，因此在选择样本时，样本中尽量不用特殊数据.点评：由本例可知选择样本要注意一般性.知能训练课本本节练习解答：1.留给学生去探究.2.估计这批灯泡平均使用寿命为：500×1%+600×4%+700×8%+800×15%+900×20%+1000×24%+1 100×18%+1 200×7%+1 300×2%+1 400×1%=947(h).3. (102+105+…+98+97)=108.25.4.〔1〕2 〔2〕2 〔3〕2课堂小结1.能根据实际问题需要合理地选取样本，从样本数据中提取根本数字特征〔平均数〕，会用样本根本数字特征估计总体根本数字特征；2.平均数对数据有“取齐〞作用，代表一组数据平均水平；3.形成对数据处理过程进展初步评价意识.作业课本习题2.3 1、2、4、6.设计感想此概念学生比拟熟悉，所以需教师点拨之处不多，只要在“处理实验数据原那么是使这个近似值与实验数据之间离差最小.设这个近似值为x，那么它与n个实验值a i(i=1,2,…,n)离差分别为x－a1，x －a2，x－a3，…，x－a n.由于上述离差有正有负，故不宜直接相加.可以考虑离差平方与，即(x－a1)2+(x－a2)2+…+(x－a n)2=nx2－2(a1+a2+…＋a n)x+a12+a22+…+a n2，所以当x=时，离差平方与最小，此处需教师加以解释，其他根本上可以以学生自主学习为主.。
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2.3.1 平均数及其估计
一览众山小
诱学·导入
材料：在一些大型的赛事中，主持人公布某位选手最后成绩的时候经常会说，去掉一个最高分，去掉一个最低分，这位选手最后得分××分.大家都知道，在大赛中衡量一位选手的成绩如何，经常使用的是多个评委给分的平均数，这样用一个数值就可以综合说明各位评委对选手的综合评价，这也是平均数这种数字特征的一个重要应用.生活中类似的基本数字特征我们学过的还有中位数、众数、方差等.
问题：为什么统计比赛成绩的时候经常要“去掉一个最高分，去掉一个最低分”再求平均数来表示最后结果呢？这样做有什么好处吗？除了这些数字特征外还有哪些呢？
导入点拨：由平均数的计算方法可知，样本中的任何一个数据对其都有直接影响，尤其是一些极端数据对平均数的影响更大.怎样减少样本中一些极端数据对平均数的影响是我们在统计中经常遇到的一个问题.而“去掉一个最高分，去掉一个最低分”正是减少此类影响的一个常用办法.统计学中和平均数类似的数字特征还有方差、标准差等，我们本节就是要学习这些基本的数字特征及其作用和意义.
温故·知新
1.初中学过的数字特征有哪些？
平均数、众数、中位数、方差等.
2.平均数和方差是怎样求的？二者有何区别？ 平均数n x x x x n +++=
21， 方差为s 2=n
1［(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2］. 前者描述数据的大体水平，而后者主要体现数据的波动大小.。