高二数学上册期末检测考试试题2
最新高二数学上学期期末考试试卷含答案 (2)
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.“∀x>0，2x>sinx”的否定是()A. ∀x>0，2x<sinxB. ∀x>0，2x≤sinxC. ∃x0≤0，2x0≤sinx0D. ∃x0>0，2x0≤sinx0【答案】D【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，“∀x>0，2x>sinx”的否定是∃x0>0，2x0≤sinx0，故选：D．利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．2.抛物线x=4y2的焦点坐标是()A. (0,1)B. (0,−1)C. (−116,0)D. (116,0)【答案】D【解析】解：根据题意，抛物线的方程为x=4y2，则其标准方程为y2=14x，分析可得：其焦点在x轴上，且p=14，故其焦点坐标为(116,0)；故选：D．根据题意，将抛物线的方程变形可得其标准方程，分析可得其焦点在x轴上，且p=14，由焦点坐标公式计算可得答案．本题考查抛物线的几何性质，注意要先将抛物线的方程变形为标准方程．3.已知圆C1：x2+y2−2x−4y−4=0与圆C2：x2+y2+ 4x−10y+4=0相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线的方程为()A. x+y−3=0B. x+y+3=0C. 3x−3y+4=0D.7x+y−9=0【答案】A【解析】解：圆C1：x2+y2−2x−4y−4=0圆心坐标(1,2)与圆C2：x2+y2+4x−10y+4=0圆心坐标(−2,5)，圆C1：x2+y2−2x−4y−4=0与圆C2：x2+y2+4x−10y+4= 0相交于A、B两点，线段AB的中垂线方程就是两个圆的圆心连线方程，∵直线C1C2的斜率为：k=5−2−2−1=−1，∴线段AB 的垂直平分线的方程为：y−2=−(x−1)，即x+y−3= 0．故选：A．由题意可知所求线段AB的中垂线方程就是两个圆的圆心连线方程，求出两个圆的圆心坐标，由此能求解直线方程．本题考查两个圆的位置关系的应用，正确判断所求直线方程与圆的位置关系是解题的关键，是中档题．4.“m=1”是“双曲线x2m −y23=1的离心率为2”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：由双曲线x2m −y23=1的方程得a2=m，(m>0)，b2=3，则c2=3+m，∵双曲线的离心率e=2，∴e2=c2a2= 3+mm=4，即3+m=4m，即3m=3，m=1，则“m=1”是“双曲线x2m −y23=1的离心率为2”的充要条件，故选：C．根据双曲线离心率的定义求出m的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合双曲线的离心率公式是解决本题的关键．5.将35个数据制成茎叶图如图所示.若将数据由大到小编号为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7个数据，则其中数据值落在区间[139,151]的个数为()A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A【解析】解：根据茎叶图中的数据，得；成绩在区间[139,151]上的运动员人数是20，用系统抽样方法从35人中抽取7人，成绩在区间[139,151]上的运动员应抽取7×20=4(人)．故选：35A．根据茎叶图中的数据，结合系统抽样方法的特征，即可求出正确的结论．本题考查了茎叶图和系统抽样的应用问题，是基础题．6.把38化为二进制数为()A. 100110(2)B. 101010(2)C. 110010(2)D. 110100(2)【答案】A【解析】解：38÷2=19…019÷2=9…19÷2=4…14÷2=2…02÷2=1…01÷2=0…1故38(10)=100110(2)故选：A．利用“除k取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键，属于基础题．7.已知直线l：y=√3x+m与圆C：x2+(y−3)2=6相交于A、B两点，若|AB|=2√2，则实数m的值等于()A. −7或−1B. 1或7C. −1或7D. −7或1【答案】C【解析】解：圆心(0,3)到直线l的距离是：d=√3+1=|m−3|2，故(m−3)24+2=6，解得：m=−1或m=7，故选：C．根据点到直线的距离公式以及勾股定理得到关于m的方程，解出即可．本题考查了直线和圆的位置关系，考查勾股定理，是一道基础题．8.从1，2，3，4中任取两个不同的数，则取出的两数之和为5的概率是()A. 16B. 14C. 13D. 12【答案】C【解析】解：从1，2，3，4中任取2个不同的数，基本事件总数n=C42=6，取出的2个数之和为5包含的基本事件有：(1,4)，(2,3)，∴取出的2个数之和为5的概率是p=26= 13．故选：C．基本事件总数n=C42=6，取出的2个数之和为5包含的基本事件有2个，由此能求出取出的2个数之和为5的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9.由直线y=x+2上的点向圆(x−4)2+(y+2)2=1引切线，则切线长的最小值为()A. 4√2B. √31C. √33D. 4√2−1【答案】B【解析】解：要使切线长最小，必须直线y=x+2上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心(4,−2)到直线的距离m，由点到直线的距离公式得m=√2=4√2，由勾股定理求得切线长的最小值为√32−1=√31．故选：B．要使切线长最小，必须直线y=x+2上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心(4,−2)到直线的距离m，求出m，由勾股定理可求切线长的最小值．本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式、勾股定理得应用.解题的关键是理解要使切线长最小，必须直线y=x+2上的点到圆心的距离最小．10.若在区间[−3,3]内任取一个实数m，则使直线x−y+m=0与圆(x−1)2+(y+2)2=4有公共点的概率为()A. 13B. 35C. √23D. 2√23【答案】C【解析】解：∵直线x−y+m=0与圆(x−1)2+(y+2)2=4有公共点，∴√2≤2，解得−1≤m≤3，∴在区间[−3,3]内任取一个实数m，使直线x−y+m=0与圆(x−1)2+(y+2)2=4有公共点的概率为−3+2√2−(−3)6=√23．故选：C．利用圆心到直线的距离小于等于半径可得到直线与圆有公共点，可求出满足条件的m，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．11.已知直线l过点P(3,−2)且与椭圆C：x220+y216=1相交于A，B两点，则使得点P为弦AB中点的直线斜率为()A. −35B. −65C. 65D. 35【答案】C【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则则x1220+y1216=1，x2220+y2216=1，两式相减(x1−x2)(x1+x2)20+(y1−y2)(y1+y2)16=0，∵点P(3,−2)为弦AB中点，∴x1+x2=6，y1+y2=−2，∴k AB=y1−y2x1−x2=6 5．故选：C．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1220+y1216=1，x2220+y2216=1，两式相减，再利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式，属于中档题．12.已知双曲线C：x22−y2=1上任意一点为G，则G到双曲线C的两条渐近线距离之积为()A. 13B. 23C. 1D. 43【答案】B【解析】解：设G(x0,y0)，双曲线C：x22−y2=1的两条渐近线方程分别为x−√2y=0,x+√2y=0，所以G到双曲线C的两条渐近线的距离分别为d1=0√2y0√3，d2=0√2y0√3，所以d1⋅d2=0√2y0√3⋅0√2y0√3=|x02−2y02|3又因为点G在双曲线C：x22−y2=1上，所以x022−y02=1，即x02−2y02=2，代入上式，可得d1⋅d2=|x02−2y02|3=23．故选：B．求出渐近线方程，利用点到直线的距离转化求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数的茎叶图如图所示，则命中率较高的为______．【答案】甲【解析】解：甲命中的数据主要集中在20～30之间，有6个数据，且成单峰分布；乙命中的数据主要集中在10～20之间，有5个数据，且成单峰分布；所以甲的命中率比乙高．故答案为：甲．根据茎叶图中的数据分布情况，结合题意得出命中率高的是甲．本题利用茎叶图考查了数据的分布特点与应用问题，是基础题．14.如果数据x1，x2，…，x n的平均数为x，方差为82，则5x1+2，5x2+2，…，5x n+2的方差为______．【答案】1600【解析】解：数据x1，x2，…，x n的平均数为x，方差为s2=82，则5x1+2，5x2+2，…，5x n+2的平均数是5x+2，方差为52×s2=25×64=1600．故答案为：1600．根据一组数据的平均数和方差的定义与性质，可以写出对应数据的平均数与方差．本题考查了一组数据的平均数与方差的应用问题，是基础题．15.我国元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没有壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的x=0，问一开始输入的x=______斗.遇店添一倍，逢友饮一斗，意思是碰到酒店就把壶里的酒加1倍，碰到朋友就把壶里的酒喝一斗，店友经三处，意思是每次都是遇到店后又遇到朋友，一共是3次．【答案】78【解析】解：第一次输入x=x，i=1执行循环体，x=2x−1，i=2，执行循环体，x=2(2x−1)−1=4x−3，i=3，执行循环体，x=2(4x−3)−1=8x−7，i=4>3，输出8x−7的值为0，解得：x=78，故答案为：78．求出对应的函数关系，由题输出的结果的值为0，由此关系建立方程求出自变量的值即可．解答本题，关键是根据所给的框图，得出函数关系，然后通过解方程求得输入的值.本题是算法框图考试常见的题型，其作题步骤是识图得出函数关系，由此函数关系解题，得出答案．16.双曲线x2b −y2a=1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为______．【答案】√2【解析】解：由双曲线x2b −y2a=1可得渐近线方程为y=±ab x．∵两条渐近线互相垂直，∴−ab×ab=−1，解得a=b．该双曲线的离心率e=√1+a2b=√2．故答案为：√2．由双曲线x2b −y2a=1可得渐近线方程为y=±abx.由于两条渐近线互相垂直，可得−ab ×ab=−1，解得a=b.即可得到该双曲线的离心率e=√1+a2b．本题考查了双曲线的标准方程及其性质，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.求焦点在直线x−y+2=0的抛物线的标准方程．【答案】解：因为是标准方程，所以其焦点应该在坐标轴上，所以其焦点坐标即为直线x−y+2=0与坐标轴的交点所以其焦点坐标为(−2,0)和(0,2)当焦点为(−2,0)时可知其方程中的P=4，所以其方程为y2=−8x，当焦点为(0,2)时可知其方程中的P=4，所以其方程为x2=8y，焦点在直线x−y+2= 0的抛物线的标准方程：y2=−8x或x2=8y．【解析】先根据抛物线是标准方程可确定焦点的位置，再由直线x−y+2=0与坐标轴的交点可得到焦点坐标，根据抛物线的焦点坐标和抛物线的标准形式可得到标准方程．本题主要考查抛物线的标准方程.抛物线的标准方程的焦点一定在坐标轴上且定点一定在原点．18.某校为了解高一实验班的数学成绩，采用抽样调查的方式，获取了n位学生在第一学期末的数学成绩数据，样本统计结果如表：(1)求n的值和实验班数学平均分的估计值；(2)如果用分层抽样的方法从数学成绩小于120分的学生中抽取5名学生，再从这5名学生中选2人，求至少有一个学生的数学成绩是在[110,120)的概率．=200．x=【答案】解：(1)由题意得：n=20+301−(0.1+0.3+0.2+0.15)95×0.1+105×0.1+115×0.3+125×0.2+135×0.15+145×0.15=121.5．(2)设“至少有一个学生的数学成绩在[110,120)”为事件A，分层抽样从[90,100)中抽1人，记为A1，从[100,110)中抽1人，记为A2，从[110,120)中抽3人，记为B1，B2，B3，从这5人中选2人，共有10种不同选法，分别为：(A1,A2)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,B3)，(B1,B2)，(B1,B3)，(B2,B3)，其中，B1，B2，B3中至少有一个抽中的情况有9种，∴至少有一个学生的．数学成绩是在[110,120)的概率P(A)=910【解析】(1)由频率分布表能求出n的值和实验班数学平均分的估计值．(2)设“至少有一个学生的数学成绩在[110,120)”为事件A，分层抽样从[90,100)中抽1人，记为A1，从[100,110)中抽1人，记为A2，从[110,120)中抽3人，记为B1，B2，B3，从这5人中选2人，利用列举法能求出至少有一个学生的数学成绩是在[110,120)的概率．本题考查频率分布表的应用，考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．19.已知圆C的圆心为(1,1)，直线x+y−4=0与圆C相切．(1)求圆C的标准方程；(2)若直线l过点(2,3)，且被圆C所截得弦长为2，求直线l的方程．【答案】解：(1)圆心C(1,1)到直线x+y−4=0的距离d==√2．∵直线x+y−4=0与圆C相切，∴r=d=√2√2．∴圆的标准方程为：(x−1)2+(y−1)2=2．(3)①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程：y−3=k(x−2)，即：，又d2+1=2，∴d=1．解kx−y+3−2k=0，d=2．∴直线l的方程为：3x−4y+6=0．②当l的斜得：k=34率不存在时，x=2，代入圆的方程可得：(y−1)2=1，解得y =1±1，可得弦长=2，满足条件．故l 的方程为：3x −4y +6=0或x =2．【解析】(1)利用点到直线的距离可得：圆心C(1,1)到直线x +y −4=0的距离d.根据直线x +y −4=0与圆C 相切，可得r =d.即可得出圆的标准方程．(3)①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程：y −3=k(x −2)，即：kx −y +3−2k =0，可得圆心到直线l 的距离d ，又d 2+1=2，可得：k.即可得出直线l 的方程．②当l 的斜率不存在时，x =2，代入圆的方程可得：(y −1)2=1，解得y 可得弦长，即可验证是否满足条件．本题考查了直线与圆的相切的性质、点到直线的距离公式、弦长公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20. 某公司为研究某产品的广告投入与销售收入之间的关系，对近五个月的广告投入x(万元)与销售收入y(万元)进行了统计，得到相应数据如表：(1)求销售收入y 关于广告投入x 的线性回归方程y =b ^x +a ^．(2)若想要销售收入达到36万元，则广告投入应至少为多少．参考公式：b ̂=∑(n i=1x i −x)(y i −y)∑(n i=1x i −x)2,a ̂=y −b ̂⋅x 【答案】解：(1)x =9+10+8+11+125=10，y =21+23+21+20+255=22，b ̂=∑(5i=1x i −x)(y i −y)∑(5i=1x i −x)2=710，a ̂=y −b ̂x =22−710×10=15，∴销售收入y 关于广告投入x 的线性回归方程为y ̂=710x +15；(2)在y ̂=710x +15中，取y =36，可得36=710x +15，即x =30．∴若想要销售收入达到36万元，则广告投入应至少为30万元．【解析】(1)由已知求得b ̂,a ̂的值，则线性回归方程可求；(2)在线性回归方程中，取y =36求得x 值，则答案可求．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．21. 阅读如图所示的程序框图，解答下列问题：(Ⅰ)求输入的x 的值分别为−1，2时，输出的f(x)的值．(Ⅱ)根据程序框图，写出函数f(x)(x ∈R)的解析式，并求当关于x 的方程f(x)−k =0有三个互不相等的实数解时，实数k 的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)当输入的x 的值分别为−1时，输出的f(x)=2−1=12；…2分当输入的x 的值分别为2时，输出的f(x)=22−2×2+1=1；…4分(Ⅱ)根据程序框图，可得f(x)={22x x =0x<0x 2−2x +1x >0，…6分当x <0时，f(x)=2x ，此时，f(x)单调递增，且0<f(x)<1；…8分当x =0时，f(x)=2，当x >0时，f(x)=x 2−2x +1=(x −1)2在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，且f(x)≥0…10分结合图象，可知关于x 的方程f(x)−k =0由三个不同的实数解时，实数k 的取值范围为(0,1)…12分【解析】(Ⅰ)代入输入的x 的值分别求解即可．(Ⅱ)根据程序框图，可得f(x)={22x x =0x<0x 2−2x +1x >0，分类讨论即可得解．本题主要考查了程序框图的应用，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题．22. 已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a >b >0)的离心率为12，且椭圆经过点(1,32)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是圆x 2+y 2=7上任一点，由P 引椭圆两条切线PA ，PB 当切线斜率存在时，求证两条切线斜率的积为定值．【答案】解：(1)椭圆离心率为12，且经过点(1,32)，可得{c a =121a +94b =1，解得a =2，b =√3，即椭圆C 的方程为：x 24+y 23=1证明.(2)设P(x 0,y 0)，过点P 的切线方程为y −y 0=k(x −x 0)，代入椭圆方程，可得(3+4k 2)x 2+8k(y 0−kx 0)x +4(kx 0−y 0)2−12=0，∵直线与椭圆相切，∴△=[8k(y 0−kx 0)]2−4(3+4k 2)[4(kx 0−y 0)2−12]=0，∴(4−x02)k2+6x0y0k+3−y02=0∴k1k2=3−y024−x02，∵点P在圆O上，∴x02+y02=7，即y02=7−x02，∴k1×k2=3−(7−x02)4−x02=−1．∴两条切线斜率的积为定值−1．【解析】(1)利用椭圆离心率为12，且经过点(1,32)，建立方程组，求出a，b，即可求椭圆C的方程；(2)设P(x0,y0)，过点P的切线方程为y−y0=k(x−x0)，代入椭圆方程，直线与椭圆相切，利用△=0，结合韦达定理，即可得出结论．本题考查椭圆方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．。
高二数学上学期期末考试试题含解析_1 2(共15页)
HY 疏勒县八一(b ā y ī)中学2021-2021学年高二数学上学期期末考试试题〔含解析〕一．选择题〔答案请写在答题框内〕 1.集合，，那么A.B.C.D.【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得：集合，所以，应选择C考点：集合的运算 2.函数y =+的定义域为〔 〕A.B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】 函数有意义，要求【详解】函数()1233f x x x =-+-有意义，要求故答案(dá àn)为：C.【点睛】这个题目考察了详细函数的定义域问题，对于函数定义域问题，首先分式要满足分母不为0，根式要求被开方数大于等于0，对数要求真数大于0，幂指数要求底数不等于0即可. 3.函数的单调递增区间为( ) A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，然后根据复合函数的单调性满足“同增异减〞的结论求解即可． 【详解】由可得或者， ∴函数的定义域为． 设，那么在上单调递减，又函数为减函数，∴函数在(),2-∞-上单调递增，∴函数()f x 的单调递增区间为(),2-∞-． 应选D ．【点睛】〔1〕复合函数单调性满足“同增异减〞的结论，即对于函数来讲，它的单调性依赖于函数和函数的单调性，当两个函数的单调性一样时，那么函数()()y f g x =为增函数；否那么函数()()y f g x =为减函数．〔2〕解答此题容易出现的错误(cuòwù)是无视函数的定义域，误认为函数的单调递增区间为(),0-∞． 4.，那么的值是( ) A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】 先化简得，再求cos α的值.【详解】由题得1sin =2α-，所以在第三、四象限，所以.应选：D【点睛】此题主要考察诱导公式和同角的平方关系，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度，属于根底题.的图象，只需要将函数的图象〔 〕A. 向左平移个单位B. 向右平移12π个单位C. 向左平移(pínɡ yí)3π个单位 D. 向右平移3π个单位 【答案】B 【解析】 因为函数，要得到函数的图象，只需要将函数4y sin x =的图象向右平移12π个单位。
高二上学期的数学期末考试题目及答案
高二上学期的数学期末考试题目及答案一、选择题（共10题，每题2分，共20分）1. 以下哪个是等差数列？- A. 2, 4, 6, 8- B. 3, 6, 9, 12- C. 1, 3, 9, 27- D. 2, 5, 8, 11答案：A2. 函数y = x^2 + 3x + 2的图像是一个什么形状？- A. 抛物线- B. 直线- C. 双曲线- D. 圆答案：A3. 若a + b = 7，且a^2 + b^2 = 37，则a和b的值分别为多少？- A. a = 4, b = 3- B. a = 3, b = 4- C. a = 5, b = 2- D. a = 2, b = 5答案：B4. 在一个等边三角形中，每个内角是多少度？- A. 60°- B. 90°- C. 120°- D. 180°答案：A5. 已知一个正方形的边长为2cm，那么它的周长是多少？- A. 4cm- B. 6cm- C. 8cm- D. 12cm答案：C6. 若sinθ = 0.5，那么θ的值是多少？- A. 30°- B. 45°- C. 60°- D. 90°答案：B7. 以下哪个是素数？- A. 12- B. 17- C. 20- D. 25答案：B8. 一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，行驶了2小时30分钟，那么它行驶的距离是多少公里？- A. 75公里- B. 100公里- C. 125公里- D. 150公里答案：C9. 若a:b = 3:5，且b:c = 4:7，则a:c的比值是多少？- A. 12:20- B. 9:20- C. 3:7- D. 12:35答案：B10. 一个扇形的半径为5cm，弧长为10πcm，那么它的圆心角是多少度？- A. 36°- B. 54°- C. 72°- D. 90°答案：C二、填空题（共5题，每题4分，共20分）1. 当x = 2时，函数y = 2x^2 + 3x - 1的值为 \_\_\_。
数学期末考试试卷及答案(高二上学期)
数学期末考试试卷及答案（高二上学期）一、选择题（每题4分，共40分）1. 若复数z满足|z-1|=|z+1|，则z在复平面内表示的点位于（）A. 实轴B. 虚轴C. 线段AB的中点D. 圆心O答案：C2. 已知函数f(x)=2x+1，若f(f(x))=3，则x等于（）A. -1B. 0C. 1D. 2答案：A3. 设函数g(x)=x²-4x+c，若g(x)的图象上存在两个点A、B，使得∠AOB=90°（其中O为坐标原点），则c的取值范围是（）A. (-∞, 1]B. [1, +∞)C. (-∞, 3]D. [3, +∞)答案：A4. 已知等差数列{an}的前5项和为25，第5项为15，则该数列的首项为（）A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B5. 若平行四边形ABCD的对角线交于点E，已知BE=4，CE=6，∠DCE=30°，则BD的长度为（）A. 8B. 10C. 12D. 16答案：B6. 已知函数h(x)=x³-3x，若h(x)的图象上存在一个点P，使得∠AOP=90°（其中O为坐标原点），则x的取值范围是（）A. (-∞, 0]B. [0, +∞)C. (-∞, 1]D. [1, +∞)答案：C7. 若等比数列{bn}的前三项分别为1、2、4，则该数列的公比为（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A8. 已知函数p(x)=x²-2x+1，若p(p(x))=0，则x等于（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B9. 设函数q(x)=|x-1|+|x+1|，则q(x)的最小值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C10. 若三角形ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=4，则BC的长度为（）A. 5B. 6C. 7D. 8答案：B二、填空题（每题4分，共40分）11. 若复数z=a+bi（a、b为实数），且|z|=2，则___。
数学期末考试试卷及答案(高二上学期)
数学期末考试试卷及答案（高二上学期）一、选择题（共40分，每小题2分）1. 一次函数y = 2x - 3的图象是直线，下列说法正确的是（）。
A. 过点(-3, 3)B. 过点(0, -3)C. 过点(3, 0)D. 过点(0, 3)答案：C2. 已知函数y = ax² + bx + c的图象经过点(1, 4)，则a + b + c的值为（）。
A. 4B. 6C. 8D. 10答案：B3. 在直角坐标系中，已知点A(2, 3)，点B在x轴上，且AB = 5，则点B的坐标为（）。
A. (2, 0)B. (0, -3)C. (7, 0)D. (-3, 0)答案：A4. 设函数f(x) = 2x + 3，g(x) = x² - 4，则f(g(2))的值为（）。
A. 3B. 7C. 9D. 11答案：C5. 函数y = x² - 6x + 8的图象是一条抛物线，下列说法正确的是（）。
A. 开口向上B. 开口向下C. 与x轴平行D. 与y轴平行答案：A二、解答题（共60分）6. 解方程组：2x - y = 3x + y = 5解答：将第一式两边同时加上第二式得到：2x - y + x + y = 3 + 53x = 8x = 8/3将x的值代入第二式得到：8/3 + y = 5y = 5 - 8/3y = 15/3 - 8/3y = 7/3因此，方程组的解为x = 8/3，y = 7/3。
7. 某商品原价为120元，现在打8折出售，求出售价格。
解答：打8折即为原价乘以0.8，所以出售价格为120元 × 0.8 = 96元。
8. 某数的5倍减去6等于30，求这个数。
解答：设这个数为x，则根据题意可以列出方程：5x - 6 = 305x = 30 + 65x = 36x = 36/5因此，这个数为36/5。
9. 已知等差数列的首项为3，公差为4，求第10项。
解答：第10项可以通过首项加上9倍公差来计算：第10项 = 3 + 9 × 4= 3 + 36= 39因此，第10项为39。
高二数学上学期期末考试试卷 理含解析 试题 2(共17页)
一中2021-2021高二年级第一学期(xuéqī)期末试题高二数学〔理科〕一选择题：在每个小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
1.假设命题：， ,那么命题的否认是〔〕A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】根据特称命题的否认，换量词否结论，不变条件；故得到命题的否认是，.故答案为：C.2.与向量垂直的一个向量的坐标是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】用与四个选项里面的向量求数量积，数量积为零的即是所求.【详解】对于A选项，不符合题意.对于B选项，不符合题意.对于C选项，不符合题意.对于D选项，符合题意，应选D.【点睛】本小题主要考察两个空间向量互相垂直的坐标表示，考察运算求解才能，属于根底题.3.双曲线的渐近线方程(fāngchéng)为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】双曲线实轴在轴上时，渐近线方程为，此题中，得渐近线方程为，应选A.4.抛物线的焦点坐标是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用抛物线的HY方程，转化求解即可．【详解】抛物线y=-x2的开口向下，，所以抛物线的焦点坐标．应选：A．【点睛】此题考察抛物线的简单性质的应用，考察计算才能．5.等比数列中，，，( )A. 32B. 64C. 128D. 256【答案】C【解析】【分析】将转化为的形式，求得的值，由此求得的值.【详解(xiánɡ jiě)】由于数列为等比数列，故，故，应选C.【点睛】本小题主要考察利用根本元的思想求等比数列的根本量个根本量，利用等比数列的通项公式或者前项和公式，结合条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列，进而求得数列其它的一些量的值.6.设变量想x、y满足约束条件为那么目的函数的最大值为( )A. 0B. -3C. 18D. 21【答案】C【解析】【详解】画出可行域如以下图所示，由图可知，目的函数在点处获得最大值，且最大值为.应选C.【点睛】本小题主要考察利用线性规划求线性目的函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画图可行域；其次是求得线性目的函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于根底题.7.假设命题“〞为真命题，那么( )A. 为假命题(mìng tí)B. 为假命题C. 为真命题D. 为真命题【答案】B【解析】【分析】命题“p∧(¬q)〞为真命题,根据且命题的真假判断得到p为真命题，¬q也为真命题,进而得到结果.【详解】命题“p∧(¬q)〞为真命题,根据且命题的真假判断得到p为真命题，¬q也为真命题,那么q为假命题,故B正确；p∨q为真命题；¬p为假命题，¬q为真命题,故得到(¬p)∧(¬q)为假命题.故答案为：B.【点睛】〔1〕由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假假设p且q真，那么p 真，q也真；假设p或者q真，那么p，q至少有一个真；假设p且q假，那么p，q至少有一个假．〔2〕可把“p或者q〞为真命题转化为并集的运算；把“p且q〞为真命题转化为交集的运算．8.在中，，，分别是三个内角、、的对边，，，，那么〔〕A. B. 或者 C. D. 或者【答案】D【解析】【分析】利用正弦(zhèngxián)定理列方程，解方程求得的值，根据特殊角的三角函数值求得的大小.【详解】由正弦定理得，解得，故或者，所以选D.【点睛】本小题主要考察利用正弦定理解三角形，考察特殊角的三角函数值，属于根底题.9.在中，分别为角的对边，假设，那么此三角形一定是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或者直角三角形【答案】A【解析】由正弦定理得sinA=2sinBcosC，即sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，整理得sinBcosC−cosBsinC=sin(B−C)=0，即B=C，那么三角形为等腰三角形，此题选择A选项.10.均为正数，，那么的最小值( )．A. 13B.C. 4D.【答案】D【解析】【分析】通过化简后利用根本不等式求得表达式的最小值.【详解】依题意.应选D.【点睛(diǎn jīnɡ)】本小题主要考察利用“〞的代换的方法，结合根本不等式求表达式的最小值.属于根底题.11.设双曲线的渐近线方程为，那么的值是( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】双曲线的渐近线方程为,所以，应选B.12.有以下三个命题:①“假设，那么互为相反数〞的逆命题;②“假设，那么〞的逆否命题;③“假设，那么〞的否命题. 其中真命题的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】①写出命题的逆命题，可以进展判断为真命题；②原命题和逆否命题真假性一样，而通过举例得到原命题为假，故逆否命题也为假；③写出命题的否命题，通过举出反例得到否命题为假。
【最新】河北省高二数学上学期期末质量检测2套(含答案)
河北省高二数学上学期期末模拟试题（含答案）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 从遂宁市中、小学生中抽取部分学生，进行肺活量调查.经了解，我市小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ） A.简单的随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样2.某班有学生60人，现将所有学生按1，2， 3，…，60随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本（等距抽样），已知编号为3, 33, 48号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为（ ）A ．28B ．23C ．18D ．133.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？ ”人们把此类题目称为“中国剩余定理”.若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为()mod N n m =，例如()112mod3=.现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．21B ．22C ．23D ．244.为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量（单位：kg )分别为12,,,n x x x ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ） A. 12,,,n x x x 的平均数 B. 12,,,n x x x 的标准差 C.12,,,n x x x 的最大值D. 12,,,n x x x 的中位数5.已知直线,m l ,平面,αβ,且,m l αβ⊥⊂，给出下列命题： ①若//αβ，则m l ⊥； ②若αβ⊥，则//m l ； ③若m l ⊥，则αβ⊥；④若//m l ，则αβ⊥.其中正确的命题是（ ） A.①④B.③④C.①②D.②③6.供电部门对某社区1000位居民2017年12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为[)[)[)[)[]0,10,10,20,20,30,30,40,40,50五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是（ ）A.12月份人均用电量人数最多的一组有400人B.12月份人均用电量不低于20度的有500人C.12月份人均用电量为25度D.在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在[)30,40—组的概率为1107.已知,x y 满足条件002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数z x y =+从最小值连续变化到0时，所有满足条件的点(),x y 构成的平面区域的面积为（ ） A ．2 B ．1 C ．12 D ．148.过函数()3213f x x x =-图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为（ ）A ．30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C ．3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．324ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦，9.已知定义在R 上的函数()f x 满足：()1y f x =-的图象关于()1,0点对称，且当0x ≥时恒有()()2f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()1x f x e =-，则()()20162017f f +-=（ ）(其中e 为自然对数的底）A ．1e -B ．1e -C ．1e --D ．1e + 10.已知Rt ABC ∆，点D 为斜边BC 的中点，163,6,2AB AC AE ED ===，则AE EB ⋅等于（ ）A ．14-B ．9-C ．9D ．1411.如图，正方体1111ABCD A B C D -绕其体对角线1BD 旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是（ ）A ．23π B ．34π C ．56π D ．35π 12.在直角坐标系内，已知()3,5A 是以点C 为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点A 分别与圆上不相同的两点（异于点A )重合，两次的折痕方程分别为10x y -+=和70x y +-=，若圆上存在点P ，使得()0MP CP CN ⋅-=，其中点()(),0,0M m N m -、，则m 的最大值为（ ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图所示，有,,,,,A B C D E 5组数据，去掉 组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系.（请用A B C D E 、、、、作答）14.过抛物线214y x =的焦点F 作一条倾斜角为30︒的直线交抛物线于A B 、两点，则AB = ．15.已知12F F 、为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A B 、两点若2212F A F B +=，则AB = ．16.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元， 该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是 万元.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为,,a b c ，120C =︒. （1）若1c =，求ABC ∆面积的最大值； （2） 若2a b =，求 t tan A .18.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了 1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先用2、3、4、5月的4组数据求线性回归方程，再用1月和6月的2组数据进行检验.（1）请根据2、3、4、5月的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？（参考公式：()()()1122211nnii i ii i nniii i xx y yx y nx yb xxxnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-）参考数据：1125132912268161092⨯+⨯+⨯+⨯=， 22221113128498+++=.19.如图，四面体ABCD 中，O E 、分别是BD BC 、的中点，2CA CB CD BD ====,2AB AD ==.（1）求证：//OE 平面ACD ；（2）求直线OC 与平面ACD 所成角的正弦值. 20.遂宁市观音湖港口船舶停靠的方案是先到先停：（1）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表从1，2, 3, 4, 5中各随机选一个数（甲、乙选取的数互不影响），若两数之和为偶数，则甲先停靠；若两数之和为奇数，则乙先停靠，这种规则是否公平？请说明理由.（2）根据以往经验，甲船将于早上7:00〜8:00到达，乙船将于早上7:30〜8:30到达，请求出甲船先停靠的概率.21.如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥.（1）证明：1AC AB =； （2）若11,,3AC AB CBB AB BC π⊥∠==，求二面角111A A B C --的余弦值.22.已知椭圆()2222 0:1x y C a ba b =>>+的右焦点()1,0F ，过点F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于,P Q 两点，当直线PQ 经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60︒. (1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，线段OF 上是否存在点()(),00T t t ≠，使得QP TP PQ TQ ⋅=⋅？若存在，求出实数t 的取值范围；若不存在，说明理由.试卷答案一、选择题1-5: CDCCA 6-10: CBBAD 11、12：AB二、填空题13. D 14.16315. 8 16. 27 三、解答题17. 解：设（1）由余弦定理得222cos1201a b ab +-︒=，22123a b ab ab ab ab ++=≥+=，当且仅当a b =时取等号；解得13ab ≤，故1sin 2ABC S ab C ∆==≤ABC ∆. （2）因为2a b =，由正弦定理得sin 2sin A B =，又120C =︒，故60A B +=︒，∴()sin 2sin 60sin A A A A =︒--，2sin A A =，∴tan A =18.（1）由数据求得11,24x y == 由公式求得187b =再由307a y bx =-=-所以y 关于x 的线性回归方程为183077y x =-（2）当10x =时，1507y =，1502227-<； 同样，当6x =时，787y =，781227-< 所以，该小组所得线性回归方程是理想的.19.（1）证明：连结OE ,∵O E 、分别是BD BC 、的中点.∴//OE CD , 又OE ⊄平面ACD ,CD ⊂平面ACD , ∴//OE 平面ACD（2）法一：连结OC ,∵,BO DO AB AD ==,∴AO BD ⊥. ∵,BO DO BC CD ==,∴CO BD ⊥. 在AOC ∆中，由已知可得1,3AO CO ==.而2AC =,∴222AO CO AC +=,∴AO OC ⊥. ∵BD OC O ⋂=,∴AO ⊥平面BCD .以OB OC OA 、、分别为x y z 、、轴，建立如图所示的直角坐标系 ()()()()0,0,1,1,0,0,0,3,0,1,0,0A B C D -设平面ACD 的法向量(),,x y z η=，由()()1,0,1,1,3,0DA DC ==则有30x z x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1x =-，得31,,13η⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 又因为()0,3,0OC =，所以7sin 7OC OC ηαη⋅==故直线OC 与平面ACD 所成角的正弦值为:77.法二：设O 到平面ACD 的距离为d ，由A ODC O ADC V V --=，有 111111312432322d ⨯⨯=⨯-，得37d =故直线OC 与平面ACD 所成角的正弦值为：7d OC =. 20.（1）这种规则是不公平的设甲胜为事件A ，乙胜为事件B ,基本事件总数为5525⨯=种 . 则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有13个：()()()()()()()()1,1,1,3,1,5,2,2,2,4,3,1,3,3,3,5, ()()()()()4,2,4,4,5,1,5,3,5,5，∴甲胜的概率()1325P A =乙胜的概率()()12125P B P A =-= ∴这种游戏规则不公平.（2）设甲船先停靠为事件C ,甲船到达的时刻为x ,乙船到达的时刻为y ，(),x y 可以看成是平面中的点，试验的全部结果构成的区域为(){},78,7.58.5x y x y Ω=≤≤≤≤，这是一个正方形区域，面积111S Ω=⨯=，事件C 所构成的区域为(){},,78,7.58.5A x y y x x y =>≤≤≤≤，111712228A S =-⨯⨯=，这是一个几何概型，所以()78A S P C S Ω==.21.（1） 连接1BC ,交1BC 于点O ,连接AO ,因为侧面11BB C C 为菱形, 所以11B C BC ⊥，且O 为1B C 及1BC 的中点，又11,AB B C AB BC B ⊥⋂= 所以1B C ⊥平面ABO .由于AO ⊂平面ABO , 故1B C AO ⊥.又1B O CO =,故1AC AB =. （2）因为1AC AB ⊥，且O 为1B C 的中点，. 所以AO CO =.又因为AB BC =, 所以BOA BOC ∆≅∆,故OA OB ⊥, 从而1,,OA OB OB 两两相互垂直，O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，OB 为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -因为13CBB π∠=,所以1CBB ∆为等边三角形，又AB BC =，则()1,1,0,0,,0,A B B C ⎛⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1AB ⎛= ⎝⎭，111,0,A B AB ⎛== ⎝⎭，111,B C BC ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭.设(),,n x y z =是平面11AA B 的法向量，则11100n AB n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即33033303y z x z ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以可取()1,3,3n = 设m 是平面111A B C 的法向量，则11110m A B m B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，同理可取()1,3,3m =-1cos ,7n mn m n m ⋅== 所以二面角111A A B C --的余弦值为17.22.解：（1)由题意知1c =，又tan603bc=︒=23b =， 2224a b c =+=，所以椭圆的方程为：22143x y +=.（2）当0k =时，0t =，不合题意设直线PQ 的方程为：()()1,0y k x k =-≠，代入22143x y +=，得：()22223484120k x k x k +-+-=，故 0∆>，则,0k R k ∈≠ 设()()1122,,,P x y Q x y ，线段PQ 的中点为()00,R x y ，则()2120002243,123434x x k kx y k x k k +===-=-++， 由QP TP PQ TQ ⋅=⋅得: ()()20PQ TQ TP PQ TR ⋅+=⋅=， 所以直线TR 为直线PQ 的垂直平分线，直线TR 的方程为:2223143434k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，令0y =得：T 点的横坐标22213344k t k k ==++， 因为()20,k ∈+∞，所以()2344,k +∈+∞，所以10,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.所以线段OF 上存在点(),0T t ，使得QP TP PQ TQ ⋅=⋅，其中10,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.河北省高二数学上学期期末模拟试题（含答案）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.“2x >”是“260x x +->”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2.曲线32y x x =-在点(1,1)处的切线方程为（ ） A ．20x y +-= B ．540x y --= C ．540x y -+= D ．320x y --=3.已知{}n a 为等比数列，且32a =，78a =，则5a =（ ） A ．22 B ．22± C ．4 D ．4±4.双曲线2214y x -=的一个焦点到渐近线的距离为（ ）A ．1B ．2 C. 3 D ．25.在正方体1111ABCD A B C D -中,,E F N 分别是11,CC BB 和AB 的中点，则异面直线1A E 与NF 所成角的余弦值为（ ）A ．0B ．2 C.3 D ．26.已知,,,a b c d R ∈，且a b >，c d >，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．c d a b < B ．22a b > C.ac bd > D ．a d b c ->- 7.在ABC ∆中，三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，已知4A π=，2a =，b =B =（ ）A ．3πB ．23π C.3π或23π D ．6π或3π8.下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“sin sin αβ>，则αβ>”的逆否命题是真命题B ．命题“0x ∀≥，均有22x x ≥”的否定为“00x ∃≥，使得0202x x <”C.命题“p q ∧”的否定是“p q ⌝∧⌝”D ．命题“若a b >，则33a b >”的否命题为“若a b >，则33a b ≤”9.在平面直角坐标系中，已知定点(0,2)A -，(0,2)B ，直线PA 与直线PB 的斜率之积为4，则动点P 的轨迹方程为（ ）A ．221(0)4y x x +==≠ B ．2214y x += C. 2214y x -= D ．221(0)4y x x -=≠10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，59a =，525S =，则数列11{}n n a a +的前n 项和为（ ）A ．21n n -B ．121n n -+ C. 21n n + D ．221nn +11.已知1(,0)F c -，2(,0)F c 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点和右焦点，抛物线24y cx =与双曲线在第一象限的交点为P ，若1||4PF a c =+，则双曲线的离心率为（ ）A ．3 B12.已知函数1()(12)ln(1)f x a e x x =-+-+有两个零点，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,)+∞B ．1(,)e -∞- C. 1(,)(0,)e -∞-+∞ D ．1(,)2e -∞- 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若,x y 满足约束条件2214y y x x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪+≥-⎩，则z x y =-的最大值为 ．14.已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点的直线交抛物线于,A B 两点，若||6AB =，AB 的中点的横坐标为2，则此抛物线的方程为 ．15.已知0x >，0y >，且3x y xy ++=，则x y +的最小值为 ．16.已知数列1214218421{}:,,,,,,,,,1121241248n a 其中第一项是0022，接下来的两项是100122,22，再接下来的三项是210012222,,222，依此类推，则979899100a a a a +++= ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分.请将解答过程书写在答题卡上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=. （Ⅰ）求C 的大小；（Ⅱ）若22b a ==，求c 的值和ABC ∆的面积.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a ≠，141n n n a a S +=-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）令2na n nb a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，且45DAB ∠=︒，PA AB =，12CD AB =，且//CD AB ，BC CD ⊥.（Ⅰ）求证：平面PBC ⊥平面PAB ； （Ⅱ）求二面角A PD C --的余弦值.20.某粮库拟建一个储粮仓如图所示，其下部是高为2的圆柱，上部是母线长为2的圆锥，现要设计其底面半径和上部圆锥的高，若设圆锥的高1AO 为x ，储粮仓的体积为y .（Ⅰ）求y 关于x 的函数关系式；（圆周率用π表示） （Ⅱ）求1AO 为何值时，储粮仓的体积最大.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点3，离心率为3. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点3(0,)2P ，且||5AB l 的方程.22.设函数()(1)ln f x a x x x =--. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对任意的1x ≥，恒有()0f x ≤成立，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:ABCBD 6-10:DCBDC 11、12：AC 二、填空题13.2 14. 24y x = 15.2 16. 858三、解答题17.解：（Ⅰ）由2cos (cos cos )C a B b A c +=，由正弦定理，得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，则2cos sin()sin C A B C +=. ∵A B C π++=，,,(0,)A B C π∈，∴sin()sin 0A B C +=>， ∴2cos 1C =，1cos 2C =，∵(0,)C π∈，∴3C π=. （Ⅱ）由22b a ==，得1,2a b ==.根据余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-11421232=+-⨯⨯⨯=，∴c =∴11sin 122ABC S ab C ∆==⨯⨯2=18.解：（Ⅰ）由题设，得141n n n a a S +=-，12141n n n a a S +++=-，两式相减得121()4n n n n a a a a +++-=. ∵0n a ≠，∴24n n a a +-=.由题设11a =，12141a a S =-，可得23a =，由24n n a a +-=，知数列奇数项构成的数列{}21m a -是首项为1，公差为4的等差数列，2143m a m -=-. 令21n m =-，则12n m +=，∴()2121n a n n m =-=-. 数列偶数项构成的数列{}2m a 是首项为3，公差为4的等差数列，241m a m =-.令2n m =，则2nm =，∴21(2)n a n n m =-=.∴21()n a n n N *=-∈. （Ⅱ）令2112(21)()42n n n b n n -=-=-⨯.211(1)4(2)422n T =-⨯+-⨯1()42n n ++-⨯. ①214(1)42n T =-⨯31(2)42+-⨯+11()42n n ++-⨯. ②①-②，得123134442n T -=⨯++114()42n n n +++--⨯，即21114(14)34214n n T ---=⨯+-11()42n n +--⨯=1105()436n n +---， 1105()4363n n n T +---=-(1210)10499n n -=⨯+. 19.（Ⅰ）证明：∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA BC ⊥.又CD AB ∥，BC CD ⊥， ∴BC AB ⊥.故BC ⊥平面PAB .又BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PAB .（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，AB BC ⊥，设BC 的方向为x 轴正方向，BA 的方向为y 轴正方向，过点B 作PA 的平行线为z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.不防设2PA AB ==，又∵45DAB ∠=︒，PA AB =，1//2CD AB ， ∴1DC BC ==.连接BD ，又BC CD ⊥，∴2BD =∴BD AD ⊥，∴BD ⊥平面ADP . ∴(0,2,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,2)A C D P ，(1,1,2)DP =-，(0,1,0)CD =，(1,1,0)BD =.设111(,,)n x y z =为平面PDC 的法向量，则00n CD n DP ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即1111020y x y z =⎧⎨-++=⎩，可取(2,0,1)n =.∵()110BD =，，为平面PAD 的法向量，∴10cos ,5||||n BD n BD n BD ==. 又二面角A PD C --的平面角为钝角，∴二面角A PD C --的余弦值为105-. 20.解：（Ⅰ）∵圆锥和圆柱的底面半径24,02r x x =-<<， ∴22123y r r x ππ=⨯+.∴2212(4)(4)3y x x x ππ=-+-，即32142833y x x x ππππ=--++，02x <<.（Ⅱ）2443y x x πππ'=--+，令2443y x x πππ'=--+24(4)03x x π=-+-=，解得14323x =--，24323x =-+.又02x <<，∴14323x =--（舍去）.当x 变化时，,y y '的变化情况如下表：故当1432AO =-时，储粮仓的体积最大. 21.解：（Ⅰ）由题意得2231314c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩.故椭圆C 的方程是2214x y +=. （Ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx t =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立2214y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得222(14)8440k x ktx t +++-=. 则有122814ktx x k -+=+，21224414t x x k-=+. 1212y y kx t kx t +=+++1222()214tk x x t k=++=+.设,A B 的中点为(,)D m n ，则1224214x x kt m k +-==+，122214y y tn k +==+. ∵直线PD 与直线l 垂直，∴312PD m k k m-=-=-，整理得21142t k =-+.∴2142(0)k t t +=-<.又∵221212||(1)[()4]AB k x x x x =++-2222284(44)(1)[()]1414kt t k k k --=+-++22224(1)(14)514k k t k ++-==+， ∴22224(1)(14)514k k t k ++-=+22(23)(2)2t t t t-+--=-，解得1t =-或3t =. ∵3t =与0t <矛盾，∴1t =-.∵21142t k =-+，∴12k =±. 故直线l 的方程为112y x =-或112y x =--.22．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为0x >，()1ln f x a x '=--，若()0f x '=， 则ln 1x a =-，1a x e-=，又∵()f x '是单调递减的，∴当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：∴()f x 在区间1(0,)a e-内为增函数，在区间1(,)a e -+∞内为减函数.（Ⅱ）(1)0f =，()1ln f x a x '=--.当1a ≤时，在1x ≥上，()0f x '≤，故函数()f x 在(1,)+∞上单调递减，()(1)0f x f ≤=. 当1a >时，在1x ≥上，()1ln 0f x a x '=--=，解得111a x e -=>. 又()1ln f x a x '=--在(1,)+∞上单调递减，∴在1(1,)x 上()0f x '>，函数()f x 在1(1,)x 上单调递增，()(1)0f x f ≥=与任意1x ≥，f x≤成立矛盾.恒有()0-∞. 综上，实数a的取值范围为(,1]。
2024学年山东省枣庄市第三中学高二上数学期末学业质量监测试题含解析
可得 a8 a16 16, a8a16 14 ，根据等比数列的性质，可得 a6a18 a4a20 a8a16 14
则 a6a18 a8
a4a20 a16
14 a8
14 a16
14(a8 a16 ) a8a16
16 .
故选：B.
10、B
【解题分析】根据正弦定理直接计算可得答案.
a2 b2
∴ x2 a2b2 c2 ， a2 b2
可得 b2 ac ， c2 ac a2 0 ，即 e2 e 1 0 ，又 e 1
解得 5 1 e 1. 2
故选：C. 8、B 【解题分析】运用不等式的性质及举反例的方法可求解.
详解】对于 A，如 a 5,b 10 ，满足条件，但 b2 a2 不成立，故 A 不正确；
A.54
B.71
C.81
D.80
4．焦点坐标为（1，0） 抛物线的标准方程是（ ）
A.y2=-4x
B.y2=4x
的 C.x2=-4y
D.x2=4y
5．已知 F1 ，F2 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且 PF1 PF2 ，线段 PF1 的垂直平分线过 F2 ，
若椭圆的离心率为 e1 ，双曲线的离心率为 e2 ，则
x y 4
15．若
x,
y
满足约束条件
x
y
2
，则
z
2x
y
的最小值为________.
y 3
16．已知函数 f（x）=ex-2x+a 有零点，则 a 的取值范围是___________ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12
分）已知椭圆 C :
2023最新高二数学上册期末考试试卷及答案
2023最新高二数学上册期末考试试卷及答案试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）1、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则( C )A．p：∃x∈R，sinx≥1⌝B．p：∀x∈R，sinx≥1⌝C．p：∃x∈R，sinx>1⌝D．p：∀x∈R，sinx>1⌝2．等差数列{a n}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于( B )．A ．160B ．180C ．200D ．2203．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ＝3，b ＝4，∠C ＝60°，则c 的值等于( C )．A ．5B ．13C ．13D ．374．若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线x 2a 2y 2b 2的离心率为( D )A. B. C.D. 735443535．在△ABC中，能使sinA ＞成立的充分不必要条件是( C )32A ．A∈ B ．A∈ C ．A∈(0，π3)(π3，2π3)(π3，π2)D ．A∈(π2，5π6)6．△ABC 中，如果＝＝，那么△ABC 是( B )．Aatan Bbtan Cc tan A ．直角三角形B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形7.如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，AF ∶FD 的值为( B )A ．1∶2B ．1∶1C ．3∶1D ．2∶18．如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线A B 1夹角的余弦值为( A )A. B.5553C. D. 255359．当x ＞1时，不等式x ＋≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( D 11-x )．A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3]10．若不等式组，所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋分为⎪⎩⎪⎨⎧4≤ 34 ≥30≥y x y x x ＋＋34面积相等的两部分，则k 的值是( A )．A ．73B ．37C ．43D ．3411．若关于x 的不等式2x 2－8x －4－a ≥0在1≤x ≤4内有解，则实数a 的取值范围是( A )A ．a ≤－4B ．a ≥－4C ．a ≥－12D ．a ≤－1212．定义域为R 的偶函数f (x )满足：对∀x ∈R ，有f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，且当x ∈[2,3]时，f (x )＝－2(x －3)2，若函数y ＝f (x )－log a (x ＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，则a 的取值范围为 ( B )A.B. C. D. (0，22)(0，33)(0，55)(0，66)解析 由于定义为R 的偶函数f (x )满足：对∀x ∈R ，有f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，得f (－1＋2)＝f (－1)－f (1)＝0，即f (1)＝0，故f (x ＋2)＝f (x )，可知f (x )的周期T ＝2，图象以x ＝2为对称轴，作出f (x )的部分图象，如图，∵y ＝log a (x ＋1)的图象与f (x )的图象至少有三个交点，即有log a (2＋1)>f (2)＝－2且0<a <1，解得a ∈。
高二上学期期末数学试卷及答案
高二上学期期末数学试卷及答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 若复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则$z$表示的点在（）A. 实轴上B. 虚轴上C. 单位圆上D. 第一象限答案：C2. 已知函数$f(x)=\sqrt{1-x^2}$，则$f(x)$的定义域为（）A. $[-1,1]$B. $[0,1]$C. $(-1,1)$D. $[1,+\infty)$答案：A3. 若$a$，$b$是方程$x^2+(a+b)x+ab=0$的两根，则实数$a$，$b$满足（）A. $a+b=0$B. $a+b=2$C. $ab=1$D. $a^2+b^2=2$答案：C4. 已知等差数列的前5项和为35，公差为3，首项为（）A. 5B. 8C. 11D. 14答案：B5. 若$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$BC=6$，$\angle BAC=45^\circ$，则$\triangle ABC$的面积为（）A. $9\sqrt{2}$B. $18$C. $9$D. $6\sqrt{2}$答案：A二、填空题（每题5分，共25分）1. 若$f(x)=\ln x$，$g(x)=x^2-2x+1$，则$f(g(2))=______$。
答案：22. 已知函数$f(x)=x^3-3x+1$，则$f'(x)=______$。
答案：$3x^2-3$3. 若$\sin\alpha=\frac{1}{2}$，$\cos\beta=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，且$\alpha$，$\beta$都在第二象限，则$\sin\beta=______$。
答案：$\frac{\sqrt{3}}{2}$4. 若$a$，$b$，$c$是等差数列，且$a+b+c=12$，$a-b=4$，则$b=______$。
答案：45. 若$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$BC=10$，$\angleBAC=60^\circ$，则$\triangle ABC$的周长为______。
上学期高二的数学期末考试试题和答案
上学期高二的数学期末考试试题和答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 若函数f(x) = 2x + 1是单调递增的，则实数a的取值范围是：A. a > -1B. a ≤ -1C. a > 0D. a ≤ 02. 已知函数g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x，则g'(x)的正确表达式是：A. 3x^2 - 12x + 9B. 3x^2 + 12x - 9C. 6x^2 - 12x + 9D. 6x - 123. 设向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的点积为：A. -7B. 7C. -5D. 54. 已知等差数列的前5项和为35，公差为3，首项为：A. 5B. 6C. 7D. 85. 若复数z = 3 + 4i的模为5，则复数z的辐角主值为：A. π/4B. π/2C. 3π/4D. π二、填空题（每题5分，共25分）1. 若函数f(x) = x^3 - 6x在区间（-∞，2）内单调递减，则实数a的取值范围是______。
2. 已知函数g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x，则g'(x)的正确表达式是______。
3. 设向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的点积为______。
4. 已知等差数列的前5项和为35，公差为3，首项为______。
5. 若复数z = 3 + 4i的模为5，则复数z的辐角主值为______。
三、解答题（每题10分，共50分）1. （10分）已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x，求f'(x)并讨论f(x)的单调性。
2. （10分）已知等差数列的首项为a，公差为d，前n项和为S，求证：S = n/2 * (2a + (n - 1)d)。
3. （10分）解方程：x^2 + (a - 2)x + 1 = 0，讨论方程的实数根情况。
4. （10分）已知复数z = a + bi（a, b为实数），且|z| = 5，求复数z的模和辐角主值。
2023-2024学年吉林省长春市高二上册期末数学模拟试题2(含解析)
2023-2024学年吉林省长春市高二上册期末数学模拟试题一、单选题1．一条直线过原点和点()1,1P -，则这条直线的倾斜角是（）A ．4πB ．4π-C ．34πD ．74π【正确答案】C求出直线的斜率，结合倾斜角的取值范围可求得所求直线的倾斜角.【详解】设这条件直线的倾斜角为θ，则10tan 110θ--==--，0θπ≤<，因此，34πθ=.故选：C.2．抛物线22y x =的准线方程是（）A ．12x =-B ．18x =-C ．18y =-D ．12y =-【正确答案】C【分析】依题意将抛物线化为标准式，即可求出抛物线的准线；【详解】解：因为抛物线方程为22y x =，即212x y =，所以122p =，即14p =，所以抛物线的准线为18y =-故选：C3．已知椭圆C 的焦点1F ，2F 在x 轴上，过点1F 的直线与C 交于A ，B 两点，若2ABF △周长为8，则椭圆C 的标准方程可能为（）A ．2211615x y +=B ．22187x y +=C ．22143x y +=D ．22134x y +=【正确答案】C【分析】由椭圆的定义可得2ABF △的周长为48a =，然后可选出答案.【详解】由椭圆的定义可得2ABF △的周长为48a =所以2a =因为椭圆的焦点在x 轴上，所以椭圆C 的标准方程可能为22143x y+=故选：C4．已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，若3a 与9a 方程28200x x --=的两个实根，则11S =（）A ．46B ．44C ．42D ．40【正确答案】B【分析】利用等差数列的性质和前n 项和公式即可求解.【详解】因为3a 与9a 方程28200x x --=的两个实根，所以398a a +=.由等差数列{}n a 的性质可得：119138a a a a +=+=，所以()1111111442a a S +⨯==.故选：B5．经过两条直线23100x y -+=和3420x y +-=的交点，且垂直于直线3240x y -+=的直线方程为（）A ．2320x y ++=B ．3220x y +-=C ．2320x y -+=D ．2320x y +-=【正确答案】D联立直线方程求出交点坐标，利用两直线垂直的条件求出斜率，点斜式写出直线方程.【详解】由231003420x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得22x y =-⎧⎨=⎩因为所求直线与直线3240x y -+=垂直所以所求直线方程：2x +3y ＋c ＝0,代入点(2,2)-可得2c =-，所以所求直线方程为2320x y +-=故选：D方法点睛：本题考查直线方程，确定直线方程一般有两种途径：1.确定直线上不同的两点，通过直线方程的两点式确定；2.确定直线的斜率和直线上的一点，通过直线方程的点斜式确定.6．等比数列{}n a 的各项均为正数，已知向量()45,a a a = ，()76,b a a = ，且4a b ⋅= ，则2122210log log log (a a a ++⋯+=)A ．12B ．10C ．5D ．22log 5+【正确答案】C【分析】利用数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质即可得出．【详解】向量a ＝4a 5a ，b ＝7a 6a ，且a •b＝4，∴47a a +56a a ＝4，由等比数列的性质可得：110a a ＝……＝47a a ＝56a a ＝2，则2122210log log log a a a +++=log 2（12a a 10a ）＝()5521102log log 25a a ==．故选C ．本题考查数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．7．2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n 次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数n 是（）lg 20.3≈lg3.80.6≈A ．40B ．41C ．42D ．43【正确答案】C设对折n 次时，纸的厚度为n a ，则{}n a 是以10.12a =⨯为首项，公比为2的等比数列，求出{}n a 的通项，解不等式460.12381010n n a =⨯≥⨯⨯即可求解【详解】设对折n 次时，纸的厚度为n a ，每次对折厚度变为原来的2倍，由题意知{}n a 是以10.12a =⨯为首项，公比为2的等比数列，所以10.1220.12n nn a -=⨯⨯=⨯，令460.12381010n n a =⨯≥⨯⨯，即122 3.810n ≥⨯，所以lg 2lg 3.812n ≥+，即lg 20.612n ≥+，解得：12.6420.3n ≥=，所以至少对折的次数n 是42，故选：C关键点点睛：本题解题的关键是根据题意抽象出等比数列的模型，求出数列的通项，转化为解不等式即可.8．圆22:890C x y x ++-=上有四个点到双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的一条渐近线的距离为2，则双曲线E 的离心率的取值范围是（）．A ．41,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,7⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．7⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】易得双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为0bx ay -=和圆的圆心()4,0-，半径为5，根据圆C 上有四个点到0bx ay -=的距离为2，由圆心()4,0-到0bx ay -=的距离523d <-=求解.【详解】双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为0bx ay -=，圆22:890C x y x ++-=，圆心()4,0-，半径为5，因为圆C 上有四个点到0bx ay -=的距离为2，所以圆心()4,0-到0bx ay -=的距离523d <-=3<，而222+=a b c ，所以22167c a <，即17e <<故选：C二、多选题9．下列结论中，正确的是（）A ．sincos33ππ'⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．若()21f x x =，则()2327f '=-C ．()x xe e '=D ．()41log ln 4x x '=【正确答案】BCD【分析】根据初等函数的导数逐一判断即可.【详解】A ：因为sin32π=，所以'sin 03π⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此本选项不正确；B ：由()()231'2f x f x x x =⇒=-，所以()2'327f =-，因此本选项正确；C ：因为()'x xe e =，所以本选项正确；D ：因为()41log 'ln 4x x =，所以本选项正确，故选：BCD10．已知曲线22:0C Ax By Dx Ey F ++++=，下列说法正确的是（）A ．若A =B =1，则C 是圆B ．若A =B =0，220D E +>，则C 是直线C ．若A ≠0，B =0，则C 是抛物线D ．若AB <0，D =E =0，0F ≠，则C 是双曲线【正确答案】BD【分析】对于A ：当A =B =1时，则曲线22:0C x y Dx Ey F ++++=，分22+40D E F -=，22+4>0D E F -，22+40D E F -<，分别讨论可判断；对于B ：当A =B =0，则:0C Dx Ey F ++=，且220D E +>，可判断；对于C ：当A ≠0，B =0，则2:0C Ax Dx Ey F +++=，分0E =，0E ≠，讨论可判断；对于D ：当AB <0，D =E =0，0F ≠，则22:0C Ax By F ++=由此可判断.【详解】已知曲线22:0C Ax By Dx Ey F ++++=，对于A ：当A =B =1时，则曲线22:0C x y Dx Ey F ++++=，若22+40D E F -=，则C 是点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；若22+4>0D E F -，则C 是圆；若22+40D E F -<，则C 不存在，故A 不正确；对于B ：当A =B =0，则:0C Dx Ey F ++=，且220D E +>，则C 是直线，故B 正确；对于C ：当A ≠0，B =0，则2:0C Ax Dx Ey F +++=，若0E =，则2:0C Ax Dx F ++=表示一元二次方程，若0E ≠，则2:+0C Ax Dx Ex F ++=表示抛物线，故C 不正确，对于D ：当AB <0，D =E =0，0F ≠，则22:0C Ax By F ++=表示双曲线，故D 正确，故选：BD.11．等差数列{}n a 是递增数列，公差为d ，前n 项和为n S ，满足753a a =，下列选项正确的是（）A ．d ＜0B ．10a <C ．当n ＝5时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为8【正确答案】BD【分析】利用等差数列基本量计算以及等差数列前n 项和公式进行判断.【详解】A ：因为数列递增，故0d >，故A 错；B ：因为753a a =，根据基本量展开，即130a d +=，因为0d >，所以10a <，故B 正确；C ：由130a d +=可知40a =，所以前3项均为负数，故n S 最小时，n 为3或4.故C 错；D ：()17747702a a S a +===，()()188458402a a S a a +==+>，故当0n S >时，n 最小值为8.故选：BD12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为12，焦距为20，左、右焦点分别为12,F F ，下列结论正确的是（）A ．双曲线C 的离心率为53B ．双曲线C 的渐近线方程为34y x=±C ．2F 到一条渐近线的距离是8D ．过2F 的最短弦长为643【正确答案】AC【分析】依题意可知6a =，10c =，8b =，进而由双曲线的几何性质可依次做出判断.【详解】依题意可知6a =，10c =，所以8b =.离心率53c e a==，故A 正确；渐近线方程为43y x =±，故B 错误；2(10,0)F ，不妨设渐近线为430x y +=，则2F 到渐近线的距离8d =，故C 正确；过2F 的最短弦长为212a =，故D 错误.故选：AC.三、填空题13．已知F 为椭圆22143x y +=的左焦点，P 为椭圆上一点，则PF 的取值范围为_________．【正确答案】[1,3]【分析】设出点P 的坐标，由两点间的距离公式求出||PF ，进而根据点在椭圆上将式子化简，最后求出范围.【详解】由题意，()1,0F -，设(),P x y ，则2222313434x y y x +=⇒=-，所以1|||4|2PF x ==+，因为22x -≤≤，所以||PF 的范围是[]1,3.故答案为.[]1,314．函数()2ln f x x x =+在点(1,(1))f 处的切线方程为__________.【正确答案】320x y --=【分析】求出切点和斜率，代入点斜式即可求出结果.【详解】因为()2ln f x x x =+，所以()11=f ，()1'2f x x x=+，()'1213f =+=所以切线方程为13(1)y x -=-，即320x y --=故320x y --=本题考查的是导数的几何意义，考查了运算求解能力，属于一般题目.15．已知实数4，m ，9构成一个等比数列，则圆锥曲线221x y m+=的离心率为________.【正确答案】6【分析】根据等比中项的性质求得m ，由此对m 进行分类讨论，求得圆锥曲线221xy m+=的离心率.【详解】由于实数4,,9m 成等比数列，所以24936m =⨯=，所以6m =±.当6m =时，2216x y +=为椭圆，6c a c a ===.当6m =-时，2216x y +=-为双曲线，1,1a b c =====.所以锥曲线221x y m +=的离心率为6本小题主要考查等比中项的性质，考查椭圆和双曲线的离心率的求法，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.16．已知双曲线2222:1,-=x y C a b且圆22(2):1E x y -+=的圆心是双曲线C 的右焦点.若圆E 与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为____________.【正确答案】2213x y -=【分析】由已知可得双曲线右焦点坐标为(2,0)，再由圆心到渐近线的距离为1，得到,a b 关系，结合2c =，即可求解.【详解】∵2224c a b =⇒+=.①取渐近线0bx ay -=，2213a b =⇒=.②由①②可得23a =，21b =，∴双曲线C 的方程为2213x y -=.故答案为:2213x y -=.本题以圆为背景，考查双曲线的性质，考查计算求解能力，属于基础题.四、解答题17．等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=.(1)求{}n a 的通项公式和前n 项和n S ；(2)设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【正确答案】(1)22n a n =+；23n S n n=+(2)224n n T +=-【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前n 项和公式求解即可；（2）根据条件算出14,2b q ==，再由等比数列的前n 项和公式求解即可.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由1210a a +=，432a a -=可得，1110,2a a d d ++==，解得：14,2a d ==，可得：()42122n a n n =+-=+，()()12422322n n n a a n n S n n +++===+.（2）设等比数列{}n b 的公比为q ，由足23b a =，37b a =，可得：18b q ⋅=，2116b q ⋅=，解得：14,2b q ==，则数列{}n b 的前n 项和n T 为.()24122412n n n T +-==--18．已知圆22:8120C x y y +-+=，直线:20l ax y a ++=．(1)当直线l 与圆C 相交，求a 的取值范围；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB =l 的方程．【正确答案】(1)3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；(2)20x y -+=或7140x y -+=.【分析】（1）根据直线与圆的位置关系，利用几何法可得出关于实数a 的不等式，由此可解得实数a 的取值范围；（2）根据勾股定理求出圆心到直线l 的距离，再利用点到直线的距离公式可得出关于实数a 的值，即可求出直线l 的方程.【详解】（1）解：圆C 的标准方程为()2244x y +-=，圆心为()0,4C ，半径为2r =，因为直线l 与圆C 2<，解得34a <-.（2）解：因为AB =，则圆心C 到直线l 的距离为d由点到直线的距离公式可得d =2870a a ++=，解得1a =-或7-.所以，直线l 的方程为20x y -+=或7140x y -+=.19．已知抛物线C ：24y x =，坐标原点为O ，焦点为F ，直线l ：1y kx =+．（1）若l 与C 只有一个公共点，求k 的值；（2）过点F 作斜率为1的直线交抛物线C 于A 、B 两点，求OAB 的面积．【正确答案】（1）1或0；（2）【分析】（1）将直线方程与抛物线方程联立，由0k =或0∆=即可求解；（2）求出抛物线的焦点坐标，即可得直线方程，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立直线与抛物线方程，根据121||||2OABSOF y y =⋅-及韦达定理即可求解；【详解】解：（1）依题意214y kx y x=+⎧⎨=⎩消去x 得2114y ky =+，即2440ky y -+=，①当0k =时，显然方程只有一个解，满足条件；②当0k ≠时，2(4)440k ∆=--⨯=，解得1k =；综上，当1k =或0k =时直线与抛物线只有一个交点；（2）抛物线C ：24y x =，所以焦点(1,0)F ，所以直线方程为1y x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由214y x y x=-⎧⎨=⎩，消去x 得2440y y --=，所以124y y +=，124y y =-，所以12||y y -==所以1211||||122OABSOF y y =⋅-=⨯⨯=20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，239n n S a =-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若3log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 【正确答案】(1)()13N n n a n +*=∈(2)24n nT n =+【分析】（1）根据数列公式11,1,2n n n a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，结合已知得出19a =与()132n n a n a -=≥，即可根据等比数列定义得出答案；（2）根据对数运算结合小问1通项得出1n b n =+，再得出数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，即可利用裂项相消法得出答案.【详解】（1）由题意得，当1n =时，1112239S a a ==-，解得19a =，当2n ≥时，由239n n S a =-可得，11239n n S a --=-，两式相减并整理得：13n n a a -=，故数列{}n a 是首项为9，公比为3的等比数列，则数列{}n a 的通项公式为.()11933n n n a n -+*=⨯=∈N （2）由小问1知：133log log 31n n n b a n +===+，则()()111111212n n b b n n n n +==-++++，则12231111n n n T b b b b b b +=+++，111111233412n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1122n =-+，24n n =+.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，1,24⎛⎫- ⎪⎝⎭（1）求C 的方程；（2）记C 的左顶点为M ，上顶点为N ，点A 是C 上在第四象限的点，AM ，AN 分别与y 轴，x 轴交于P ，Q 两点，试探究四边形MNQP 的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.【正确答案】（1）22143x y +=；（2）是定值，定值【分析】（1）利用代入法进行求解即可；（2）根据直线二点式方程，结合四边形的面积表达式，通过数学运算进行求解判断即可.【详解】解：（1）依题意，2222191,41451,416a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得224,3a b ==，故C 的方程为22143x y +=.（2）是定值.理由如下：依题意，(2,0),M N -，设()00,A x y ，则22003412x y +=，所以直线0002:02y x AM y x -+=-+，令0020,2P y x y x ==+，则0000022||22P y y NP y x x +===++；直线000x AN x -=-，令0,Q y x =.则22Q MQ x =+=又易知NP MQ ⊥，所以四边形MNQP 的面积为1||||2S NP MQ =⋅012=00002x y y +-=所以四边形MNQP 的面积为关键点睛：根据四边形的面积表达式，通过熟练的数学运算求解是解题的关键.。
河南高二上学期期末数学试题(解析版) (2)
一、单选题1．若的展开式中的常数项为－20，则a =（ ） 6a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ．2B ．－2C ．1D ．－1 【答案】D【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求的展开式的常数项. 【详解】已知的展开式中的通项公式为：，令，求得：，6a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭6621r r r r T C a x -+=⋅⋅620r -=3r =可得展开式的常数项为：，解得：. 63320C a ⋅-=1a =-故选：D.2．设某医院仓库中有10盒同样规格的X 光片，已知其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X 光片的次品率依次为，现从这10盒中任取一111,,101520盒，再从这盒中任取一张X 光片，则取得的X 光片是次品的概率为（ ）A ．0.08B ．0.1C ．0.15D ．0.2 【答案】A【分析】利用条件概率公式即可求解.【详解】以A 1，A 2，A 3分别表示取得的这盒X 光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B 表示取得的X 光片为次品，P =，P =，P =， ()1A 510()2A 310()3A 210P =，P =，P =； ()1|B A 110()2|B A 115()3|B A 120则由全概率公式，所求概率为P =P +P +P()B ()()11|A P B A ()()22|A P B A ()()33|A P B A =×+×+×=0.08. 510110310115210120故选：A3．的值等于0121834521C C C C ++⋯++A ．7351B ．7355C ．7513D ．7315【答案】D 【详解】原式等于，故选D.433344452122......7315C C C C C ++++==4．已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）()2a =12b ⎛= ⎝ a b A ． B ． C ． D ．)()(14⎛ ⎝【答案】A【分析】根据投影向量的公式求解即可【详解】在上投影向量 a b)212a b a b b b⋅=⋅===r r r r r r 故选：A5．曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小.已知椭圆：（）上点处的曲率半径公式为C 22221x y a b+=0a b >>()00,P x y ．若椭圆上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的8倍，则椭圆的离3222220044x y R a b a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C C 心率为（ ）A ．BCD12【答案】C【分析】根据曲率半径的定义可判断何时曲率半径最大，合适曲率半径最小，再由题设可得基本量的关系，从而可求离心率.【详解】因为曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小，故椭圆在处曲率半径最小，则，而椭圆在处曲率半径最大， (),0a ±2minb R a =()0,b ±则，因为，所以，所以，2max a R b =max min 8R R =228a b b a =⨯2a b =e =故选：C.6．已知抛物线的焦点为， 点为抛物线上一点，点，则的最小2:4C y x =F PC ()2,2A PA PF +值为 （ ）A B ．2 C D ．3【答案】D【分析】求出抛物线C 的准线l 的方程，过A 作l 的垂线段，结合几何意义及抛物线定义即可得解.【详解】抛物线的准线l ：，显然点A 在抛物线C 内，过A 作AM ⊥l 于M ，交抛2:4C y x ==1x -物线C 于P ，如图，在抛物线C 上任取不同于点P 的点，过作于点N ，连PF ，AN ，， P 'P 'P N l '⊥,P A P F ''由抛物线定义知，，||||||||||||||||||||PA PF PA PM AM AN P A P N P A P F ''''+=+=<<+=+于是得，即点P 是过A 作准线l 的垂线与抛物线C 的交点时，min (||||)||2(1)3PA PF AM +==--=取最小值，PA PF +所以的最小值为3.PA PF +故选：D7．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，则甲乙两人安排在同一个舱内的概率为（ ）A ．B ．C ．D ． 16141312【答案】A 【分析】分别求出所有的安排情况，再求甲乙两人安排在同一个舱内的情况，最后用古典概率公式可求解.【详解】从甲，乙，丙，丁4名航天员中任选两人去天和核心舱，剩下两人去剩下两个舱位，则有种可能，2242=62=12C A ⋅⨯要使得甲乙在同一个舱内，由题意，甲乙只能同时在天和核心舱，在这种安排下，剩下两人去剩下两个舱位，则有种可能. 22=2A所以甲乙两人安排在同一个舱内的概率. 21126P ==故选：A 8．现要安排六名志愿者去四个不同的场馆参加活动，每名志愿者只能去一个场馆.且每个场馆最少安排一名志愿者，则不同的分配方法有（ ）A ．种B ．种 10201280C ．种D ．种15601680【答案】C【分析】先对志愿者进行分组，然后安排到四个场馆，由此计算出正确答案.【详解】根据题意，若名志愿者以形式分为四个服务小组，6"2,2,1,1"共有种分配方法； 22464422C C A 1080A ⨯=若名志愿者以形式分为四个服务小组，6"3,1,1,1"共有种分配方法.3464C A 480⨯=故共有种分配方法.10804801560+=故选：C9．已知圆，圆，，分别为圆和圆上的动221:2440C x y x y ++++=222:4210C x y x y +-++=M N 1C 2C 点，为直线上的动点，则的最小值为（ ）P :2l y x =+MP NP+A ．B ． CD333-3【答案】A【解析】分析圆与圆的圆心和半径，求出与圆关于直线对称的圆，再设圆上的点1C 2C 1C l C 'C '与圆上点对称，分析可得原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问M '1C M P C '2C 题，据此分析可得答案．【详解】圆，即，圆心为，半径， 221:2440C x y x y ++++=()()22121x y +++=()1,2--1R =圆，即，圆心为，半径， 222:4210C x y x y +-++=()()22214x y -++=()2,1-2r =设点关于直线对称的点为()1,2--:2l y x =+(),a b 则 ，解得：， 21121222b a b a +⎧=-⎪⎪+⎨--⎪=+⎪⎩41a b =-⎧⎨=⎩圆关于直线对称的圆为圆，其圆心为，半径，则其方程为1C :2l y x =+C '()4,1-1R '=， ()()22411x y ++-=设圆上的点与圆上点对称，则有，C 'M '1C M PM PM '=原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题，P C '2C连接，与直线交于点，此时点是满足最小的点，2C C 'l P P PN PM '+此时，即的最小值为，233PN PM C C ''+=-=MP NP +3故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆与圆关于直线的对称问题，解答本题的关键是求出圆直线对称的圆的方程，原问题可以转化为到圆1C :2l y x =+()()22411x y ++-=P 和圆上的动点距离之和最小值问题.C '2C 10．为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测.现有两种检测方式：（1）逐份检测；（2）混合检测：将其中k 份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k 份核酸全为阴性，因而这k 份核酸只要检一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k 份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k 份核酸再逐份检测，此时，这k 份核酸的检测次数总共为次.假1k +设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为，若，运用概率统计的知识判断下面哪个p 值能使得混合检测方式()01p p <<10k =优于逐份检测方式.（参考数据：）（ ）lg 0.7940.1≈-A ．0.1B ．0.3C ．0.4D ．0.5【答案】A【分析】计算混合检测方式，样本需要检测的总次数的期望，又逐份检测方式，样本需要Y ()E Y 检测的总次数，知，利用求解可得p 的范围，即可得出选项. X ()10E X =()()E Y E X <【详解】设混合检测方式，样本需要检测的总次数Y 可能取值为1，11.，， ()()1011P Y p ==-()()101111P Y p ==--故Y 的分布列为： Y1 11 P()101p -()1011p --()()()()10101011111111101E Y p p p ∴=⨯-+⨯--=-⨯⎦-⎡⎤⎣设逐份检测方式，样本需要检测的总次数X ，则()10E X =要使得混合检测方式优于逐份检测方式，需()()E Y E X <即，即，即 ()101110110p -⨯-<()101110p ->0.1011p -->又，lg 0.7940.1≈-，lg0.7941010.794p >=∴-，.0.79.140206p ∴=<-00.206p <<∴故选：A.二、多选题11．已知在直三棱柱中，底面是一个等腰直角三角形，且，E 、F 、G 、111ABC A B C -1AB BC BB ==M 分别为的中点．则（ ）1111B C A B AB BC ，，，A ．与平面B ．与所成角为 1GB 11ACC A 1AB 1BC 3πC ．平面EFBD ．平面⊥平面 1//A M 1AB C 1A MC 【答案】BCD【分析】建系，利用坐标法，根据线面角，线线角的向量求法可判断AB ，根据线面平行的判定定理可判断C ，利用线面垂直的判定定理先证平面，可得，再证平面BC ⊥11ABB A 1BC AB ⊥1AB ⊥，然后根据面面垂直的判定定理即得．1A BC 【详解】如图1，建立空间之间坐标系，设，则有：2AB =，()()()()()()110,2,00,0,02,0,00,1,02,0,20,0,2A B C G C B ，，，，， ∴，，，，，()10,1,2GB =- ()2,2,0AC =- ()10,0,2CC = ()12,0,2BC = ()10,2,2AB =- 设平面ACC 1A 1的法向量为(),,n x y z = 则有，令x ＝1，则， 122020n AC x y n CC z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ()1,1,0n =r 则，111cos ,n GB n GB n GB ⋅=== ∴与平面，A 错误； 1GB 11ACC A∵， 1111111cos ,2BC AB BC AB BC AB ⋅=== ∴AB 1与BC 1所成角的余弦值为，则夹角为，B 正确； 12π3如图2：连接，设，连接OF ，1EF BE B M ，，1BE B M O =E 、M 分别为的中点，则且，11B C BC ，1//B E BM 1B E BM =∴为平行四边形，则O 为的中点，1EMBB 1MB 又∵F 为的中点，则，11A B 1//OF A M平面EFB ，平面EFB ，OF ⊂1A M Ë∴平面EFB ，C 正确；1//A M 由题可知平面即为平面，1A MC 1A BC 由题意可得：，1BC AB BC BB ⊥⊥，又，平面， 1AB BB B Ç=AB ，1BB ⊂11ABB A ∴平面，BC ⊥11ABB A 平面，则，1AB ⊂11ABB A 1BC AB ⊥又∵为正方形，则，11ABB A 11A B AB ⊥又，平面，1BC A B B ⋂=,BC 1A B ⊂1A BC 所以平面，平面，1AB ⊥1A BC 1AB ⊂1AB C ∴平面⊥平面，即平面⊥平面，D 正确.1AB C 1A BC 1AB C 1A MC 故选：BCD ．12．月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐.一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点A ，与半椭圆()3,0F ()0y t t =>交于点B ，则下列结论正确的是（ ）A B ．点关于直线的对称点在半圆上 F 12y x =C ．面积的最大值是 ABF △)914D ．线段AB 长度的取值范围是(0,3+【答案】ACD【分析】由题意可求出半圆和椭圆的方程，即可求得椭圆离心率，判断A ；求出关于直线F的对称点即可判断B ；设坐标，表示出面积，利用基本不等式求得其最大值，12y x =,A B ABF △判断C ；结合半圆的半径以及椭圆的长半轴长，可确定线段AB 长度的取值范围，判断D ；【详解】由题意得半圆的方程为，()22+90x y x =≤设椭圆的方程为， ()222210,0x y a b x a b+=>>≥所以 ，所以， 33b c =⎧⎨=⎩218a =a =所以椭圆的方程为． ()2210189x y x +=≥A ．椭圆的离心率是，故A 正确； c e a ===B ．设关于直线的对称点为， ()3,0F 12y x =(),m n 可得且， 23n m =--113222m n +=⨯解得，即对称点为， 912,55m n ==912,55⎛⎫ ⎪⎝⎭因为半圆的方程为，()22+90x y x =≤所以对称点为不在半圆上，故B 错误； 912,55⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．由题得面积， ABF △1||2S AB t =⨯设，())22111,,9,03A x t x t x t ∴+=∴=<<设 ()22222,,1,189x t B x t x ∴+=∴所以，||AB =所以12S t t =⨯=，当且仅当时等号成立，故C 正确； )914≤=t =D ．当时，时，，0t →||3AB →+3t →||0AB →所以线段AB 长度的取值范围是，故D 正确；(0,3+故选：ACD.三、填空题13．已知双曲线的一条渐近线方程为，且其右焦点为，则双()2222:10,0x y C a b a b-=>>43y x =()5,0曲线的标准方程为__________.C 【答案】 221916x y -=【分析】依题意可得，，即可求出、的值，从而得解. 43b a =5c =a b 【详解】双曲线的渐近线方程为， ()2222:10,0x y C a b a b-=>>43y x =可得，其右焦点为，可得，又， 43b a =()5,05c =222c a b =+解得，，3a =4b =则双曲线的方程为：． C 221916x y -=故答案为：． 221916x y -=14．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若侧面AA 1B 1B 水平放置时，液面恰好过112AA =AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点.当底面ABC 水平放置时，液面高为__________.【答案】9【分析】先根据条件将水的实际体积算出，再根据棱柱的体积公式即可算出当底面ABC 水平放置时，液面高度.【详解】设的面积为x ，底面ABC 水平放置时，液面高为hABC A 则水的体积为 1121294V x x x =-⨯=当底面ABC 水平放置时，水的体积为，解得9V x h x =⋅=9h =故答案为:9 15．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为____________.【答案】 67【分析】设事件为“一瓶是蓝色”，事件为“另一瓶是红色”，事件为“另一瓶是黑色”，事件A B C D为“另一瓶是红色或黑色”，可得，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.D B C =⋃【详解】设事件为“一瓶是蓝色”，事件为“另一瓶是红色”，事件为“另一瓶是黑色”，事件A B C D 为“另一瓶是红色或黑色”，则，且与互斥，D B C =⋃B C 又，，， ()11223225710C C C P A C +==()122515C P AB C ==()11222525C C P AC C ==故. ()()()()()()()()()67P AB P AC P D A P B C A P B A P C A P A P A =⋃=+=+=故答案为：. 67【点睛】方法点睛：求条件概率的常用方法： （1）；()()()P AB P B A P A =（2）；()()()n AB P B A n A =（3）转化为古典概型求解.四、双空题16．已知的展开式中前三项的二项式系数之和为46，_____；展开式中系数()2nn x *⎫+∈⎪⎭N n =最大的项________． 【答案】 9925376x -【分析】由题意得：，得，又二项式的展开式通项为：()0121C C C 1462n n n n n n -++=++=9n =，得即可解决. 9192C rrrr T x -+⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭11991199C 2C 2C 2C 2r r r r r r r r --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩【详解】由题意得：，解得：或，()0121C C C 1462n n n n n n -++=++=9n=10-因为，n *∈N 所以（舍去），从而， 10n =-9n =因为二项式的展开式通项为：， 9192C rrrr T x -+⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭所以系数为，要求其最大值，9C 2rr⋅所以只要满足，即， 11991199C 2C 2C 2C 2r r r r r r r r --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩()()()()()()119!9!22!9!1!10!9!9!22!9!1!8!r r r r r r r r r r r r -+⎧⋅≥⋅⎪---⎪⎨⎪⋅≥⋅⎪-+-⎩解得：， 172033r ≤≤因为， r ∈N 所以，6r =所以系数最大项为69362792C 5376T x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭故答案为：9；925376x -五、解答题17．在平面直角坐标系中，已知圆：．xOy C 22(1)(2)9x y ++-=(1)若直线：恒过圆内一定点，求过点的最短弦所在直线的方程； l 10kx y k -+-=C M M (2)从圆外一点向圆引一条切线，切点为，且有，求的最小值． C ()11,P x y C Q PQ PO=PQ 【答案】(1)； 210x y --=【分析】（1）首先求出直线所过定点，然后分析出最短弦与垂直，求出斜率，写出直l ()1,1M CM 线即可；（2）根据题意得到，即，即，化简22||9PQ PC =-22||9PO PC =-22221111(1)(2)9x y x y +=++--得到的轨迹方程为，求出点到上述直线的距离即为 最小值. P 220x y --=O PO 【详解】（1）直线的方程变形为，l ()()110k x y -+-=令，解得，1010x y -=⎧⎨-=⎩11x y =⎧⎨=⎩所以无论取何值，直线过定点， k l ()1,1M 又因为圆的圆心，C ()1,2C -因为过点的最短弦与垂直，且直线CM 的斜率， M CM 211112CM k -==---所以最短弦所在直线的斜率为，2故最短弦的直线方程为，即；()121y x -=-210x y --=（2）由于，2222||||9PC PQ r PQ =+=+所以，22||9PQ PC =-又，PQ PO =所以，22||9PO PC =-所以，化简得，22221111(1)(2)9x y x y +=++--11220x y --=所以点的轨迹方程为， P 220x y --=因为，PQ PO =所以取得最小值，即取得最小值， PQ PO点到直线的距离 O 220x y --=d即的最小值为．PQ 18．甲，乙，丙三名同学相约一起打乒乓球，已知丙与甲，乙比赛，丙每局获胜的概率分别为，23，每局比赛的结果互不影响，若乙，丙采用“三局两胜制”进行比赛，丙获胜的概率为()01p p <<. 295p (1)求的值；p (2)在甲，乙两名同学中用抽签法随机选择一名同学与丙进行一局比赛，求丙获胜的概率.【答案】(1)35(2) 1930【分析】（1）分情况，丙获胜有两种可能：丙前两局连胜，或者前两局乙，丙各胜一局且第三局丙胜，再根据独立事件的概率公式及互斥事件的概率公式计算可得； （2）根据全概率公式计算可得.【详解】（1）由题知，乙，丙进行比赛，丙每局获胜的概率为，若乙，丙采用“三局两()01p p <<胜制”进行比赛，丙获胜有两种可能：丙前两局连胜，概率为；或者前两局乙，丙各胜一局21=p p 且第三局丙胜，概率为，所以丙获胜的概率为，计算得1222(1)p p p =-C 2122C (1)p p p +-=295p p =. 35（2）设事件为：甲与丙进行比赛，事件为：乙与丙进行比赛，事件为：丙比赛获胜，则1A 2A B ，，，，所以()112P A =()212P A =()123P A B =()235P A B =.()()()()()1122121319==232530P B P A P B A P A P B A =+⨯+⨯19．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为，，且X Y 和的分布列如下表：X YX 0 1 2P 35 110 310Y 012P1231015试对这两名工人的技术水平进行比较． 【答案】乙的技术更稳定．【分析】根据分布列分别求甲和乙的期望和方差，再进行比较. 【详解】【解】工人甲生产出次品数的均值和方差分别为 X ，()3130120.751010E X =⨯+⨯+⨯=．()()()()22231300.710.720.70.8151010D X =-⨯+-⨯+-⨯=工人乙生产出次品数的均值和方差分别为 Y ，()1310120.72105E Y =⨯+⨯+⨯=．()()()()22213100.710.720.70.612105D Y =-⨯+-⨯+-⨯=由知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但，可见乙的技()()E X E Y =()()D X Y D >术更稳定．20．如图，在四棱锥中，平面平面，是P ABCD -PAD ⊥,2,4,ABCD PA AD BD AB ====BD的平分线，且.ADC ∠BD BC ⊥(1)若点为棱的中点，证明：平面；E PC BE A PAD (2)已知二面角的大小为，求平面和平面的夹角的余弦值. P AB D --60 PBD PCD 【答案】(1)证明见解析.(2). 35【分析】(1)延长交于点，连接,证明即可；,CB DA F PF BE PF ∥(2)以的中点为为原点 ，建立空间直角坐标系，用向量法解决问题.AD O 【详解】（1）延长交于点，连接， ,CB DA F PF 在中，CDF A 是的平分线，且， BD Q ADC ∠BD BC ⊥是等腰三角形，点是的中点，∴CDF A B CF 又是的中点，E PC ，BE PF ∴∥又平面平面，PF ⊂,PAD BE ⊄PAD 直线平面.∴BE A PAD（2）在中，， ABD △2,4,AD BD AB ===则，即，90BAD ∠=BA AD ⊥由已知得， 60,8BDC BDA CD ∠∠=== 又平面平面平面 PAD ⊥,ABCD BA ⊂ABCD 所以平面，即，BA ⊥PAD BA PA ⊥所以以为二面角的平面角，PAD ∠P AB D --所以，60PAD ∠= 又，所以为正三角形，2PA AD ==PAD A 取的中点为，连，则平面 AD O OP ,OP AD OP ⊥⊥,ABCD 如图建立空间直角坐标系，则，()()()()(1,0,0,1,,5,,1,0,0,A B C D P --所以，(()(),2,,4,DP BD DC ==--=- 设分别为平面和平面的法向量，则()()111222,,,,,m x y z n x y z ==PBD PCD ，即，取，则，00m DP m BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩1111020x x ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩11y =-)1,1m =-- ，即，取，则，00n DP n DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩2222040x x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩21y=)1n =- 所以.3cos ,5m n m n m n ⋅==⋅则平面和平面所成夹角的余弦值为.PBD PCD 3521．甲､乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表： 甲公司送餐员送餐单数频数表： 送餐单数 38 39 40 41 42 天数 101510105乙公司送餐员送餐单数频数表：送餐单数 38 39 40 41 42 天数 51010205若将频率视为概率，回答下列两个问题：（1）记乙公司送餐员日工资为(单位：元)，求的分布列和数学期望；X X （2）小王打算到甲､乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）推荐小王去乙公司应聘，理由见解析.【解析】（1）本题首先可以设乙公司送餐员送餐单数为，然后依次求出、、a 38a =39a =40a =、、时的工资以及概率，即可列出的分布列并求出数学期望；41a =42a =X p X （2）本题可求出甲公司送餐员日平均工资，然后与乙公司送餐员日平均工资进行对比，即可得出结果.【详解】（1）设乙公司送餐员送餐单数为， a 当时，，； 38a =386228X =⨯=515010p ==当时，，； 39a =396234X =⨯=101505p ==当时，，； 40a =406240X =⨯=101505p ==当时，，； 41a =40617247X =⨯+⨯=202505p ==当时，，， 42a =40627254X =⨯+⨯=515010p ==故的所有可能取值为、、、、， X 228234240247254故的分布列为：XX 228 234 240 247 254P 110 15 1525110故. 11121()228234240247254241.81055510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）甲公司送餐员日平均送餐单数为：，380.2390.3400.2410.2420.139.7⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=则甲公司送餐员日平均工资为元，80439.7238.8+⨯=因为乙公司送餐员日平均工资为元，， 241.8238.8241.8<所以推荐小王去乙公司应聘. 【点睛】关键点点睛：（1）求分布列的关键是根据题意确定随机变量的所有可能取值和取每一个值时的概率，然后列成表格的形式后即可，（2）根据统计数据做出决策时，可根据实际情况从平均数、方差等的大小关系作出比较后得到结论.22．已知点，点M 是圆A ：上任意一点，线段MB 的垂直平分线交半径MA()10B ,()22116x y ++=于点P ，当点M 在圆A 上运动时，记P 点的轨迹为E . (1)求轨迹E 的方程；(2)作轴，交轨迹E 于点Q （Q 点在x 轴的上方），直线与轨迹E 交于BQ x ⊥():,l x my n m n =+∈R C 、D （l 不过Q 点）两点，若CQ 和DQ 关于直线BQ 对称，试求m 的值.【答案】(1)22143x y +=(2) 2m =【分析】（1）利用椭圆定义即可求得轨迹E 的方程；（2）先将直线的方程与轨迹E 的方程联立，再利用设而不求的方法表示，进而得到l 0CQ DQ k k +=的关系式，从而求得m 的值.m n 、【详解】（1）圆的圆心，半径，()22:116A x y ++=()1,0A -4r =点为线段的垂直平分线与半径的交点，，P MB MA PM PB ∴=，42PA PB PA PM AM AB ∴+=+==>=点的轨迹是以､为焦点的椭圆，设其方程为，P ∴E A B ()222210x y a b a b +=>>则，，所以，，24a =22c =2a =1c =b =因此，轨迹的方程为.E 22143x y +=（2）设、，轴，点在轴的上方，()11,C x y ()22,D x y BQ x ⊥ Q x 将代入方程，可得，则， 1x =22143x y +=32y =±31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭联立可得， 223412x my n x y =+⎧⎨+=⎩()2223463120m y mny n +++-=，可得，()()222236123440m n m n ∆=-+->2234n m <+由韦达定可得，. 122634mn y y m +=-+212231234n y y m -=+因为、关于直线对称，则，CQ DQ BQ 0CQ DQ k k +=则，()()1212211233332201101122y y x y x y x x --⎛⎫⎛⎫+=⇒--+--= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭又，，11x my n =+22x my n =+则，()12123213302my y n m y y n ⎛⎫+--+-+= ⎪⎝⎭即， 222312362133034234n mn m n m n m m -⎛⎫⎛⎫⋅+--⋅--+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭化简得： ，即()2328440m n m n +--+=()()23220m m n -+-=则或，2m =3220m n +-=当时，，3220m n +-=312n m =-此时，直线的方程为，l 331122x my m m y ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭直线过点，不合题意.l 31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭综上所述，.2m =。
高二数学上学期期末考试试卷含答案(共3套)
高二上学期期末考试数学试卷含答案（全卷满分：120 分 考试用时：120 分钟）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.某社区有500户家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100户的样本，记作①；某学校高三年级有12名足球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②那么完成上述两项调查宜采用的抽样方法是（ ）A. ①用随机抽样法，②用系统抽样法B. ①用系统抽样法，②用分层抽样法C. ①用分层抽样法，②用随机抽样法D. ①用分层抽样法，②用系统抽样法 2.若直线1:(2)10l m x y ---=与直线2:30l x my -=互相平行，则m 的值为（ ）A. 0或-1或3B. 0或3C. 0或-1D. -1或33.用秦九韶算法求多项式542()42016f x x x x x =++++在2x =-时，2v 的值为（ ）A. 2B.-4C. 4D. -34.执行右面的程序框图，如果输入的3N =，那么输出的S =（ ）A. 1B.32C.53D.525.下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件） 若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为（ ）A. 5，5B. 3，5C. 3，7D. 5，7 6.若点P （3，4）和点Q （a ，b ）关于直线10x y --=对称，则（ ）A.5,2a b ==B. 2,1a b ==-C. 4,3a b ==D. 1,2a b ==-7.直线l 过点（0，2），被圆22:4690c x y x y +--+=截得的弦长为l 的方程是（ ）A.423y x =+ B. 123y x =-+ C. 2y = D. 423y x =+ 或2y = 8.椭圆221169x y +=中，以点(1,2)M 为中点的弦所在直线斜率为（ ）A.932-B.932C.964D.9169.刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（ ）C.12πD.14π10.若椭圆22194x y k+=+的离心率为45，则k 的值为( ) A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或21 11.椭圆221164x y +=上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离是( ) A ．3 B.11 C ．2 2D.1012.2=，若直线:12l y kx k =+-与曲线有公共点，则k 的取值范围是（ ）A.1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. )1,1,3⎛⎤⎡-∞⋃+∞ ⎣⎥⎝⎦ D. ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.命题“20,0x x x ∀>+>”的否定为______________________________ ．14.已知x 与y 之间的一组数据：，已求得关于y 与x 的线性回归方程 1.20.55x =+，则a 的值为______ ．15.若,x y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最小值为______．16.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2c. 若直线y ＝3(x ＋c)与椭圆的一个交点M满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本小题10分）已知直线l 的方程为210x y -+=. （1）求过点A （3，2），且与直线l 垂直的直线1l 的方程； （2）求与直线l 平行，且到点P （3，0）的距离2l 的方程.18.（本小题12分）设命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<（0a >）；命题:q 实数x 满足32x x -+＜0． （1）若1a =且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；（2）若¬q 是¬p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19.(本小题12分)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5），[0.5，1）， …[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中的a 值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由； （3）估计居民月均用水量的中位数．20.（本小题12分）某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x 、y ． 奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶． 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动． （1）求小亮获得玩具的概率；（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．21.（本小题12分）已知曲线方程为：22240x y x y m +--+=． （1）若此曲线是圆，求m 的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线240x y +-=相交于M 、N 两点，且OM⊥ON（O 为坐标原点），求m 的值．22.（本小题12分）已知1(1,0)F -和2(1,0)F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，且点3(1,)2P 在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线:l y kx m =+（m ＞0）与椭圆C 有且仅有一个公共点，且与x 轴和y 轴分别交于点M ，N ，当△OMN 面积取最小值时，求此时直线l 的方程．数学参考答案13.20000,0x x x ∃>+≤14. 2.1515. -5117.（1）设与直线l ：2x -y +1=0垂直的直线1l 的方程为：x +2y +m =0，-------------------------2分把点A （3，2）代入可得，3+2×2+m =0，解得m =-7．-------------------------------4分 ∴过点A （3，2）且与直线l 垂直的直线1l 方程为：x +2y -7=0；----------------------5分（2）设与直线l ：2x -y +1=0平行的直线2l 的方程为：2x -y +c =0，----------------------------7分∵点P （3，0）到直线2l =，解得c =-1或-11．-----------------------------------------------8分∴直线2l 方程为：2x -y -1=0或2x -y -11=0．-------------------------------------------10分18.（1）由x 2-4ax +3a 2＜0得(x -3a )(x -a )＜0，又a ＞0，所以a ＜x ＜3a ，.------------------------------------------------------2分 当a =1时，1＜x ＜3，即p 为真时实数x 的取值范围是1＜x ＜3．由实数x 满足302x x -<+ 得-2＜x ＜3，即q 为真时实数x 的取值范围是-2＜x ＜3．------4分 若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是1＜x ＜3．---------------------------------------------- 6分（2）¬q 是¬p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件 -----------------------------8分由a ＞0，及3a ≤3得0＜a ≤1，所以实数a 的取值范围是0＜a ≤1．-------------------------------------------------12分19.（1）∵1=（0.08+0.16+a +0.40+0.52+a +0.12+0.08+0.04）×0.5，------------------------2分整理可得：2=1.4+2a ，∴解得：a =0.3-----------------------------------------------------------------4分（2）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，又样本容量为30万-----6分 则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万．---------------------------8分 （3）根据频率分布直方图，得0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.40×0.5=0.47＜0.5， 0.47+0.5×0.52=0.73＞0.5，∴中位数应在（2，2.5]组内，设出未知数x ，---------------------------------------10分 令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.4×0.5+0.5×x =0.5， 解得x =0.06；∴中位数是2+0.06=2.06．--------------------------------------------------------12分 20.（1）两次记录的数为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4）， （4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个， ----------------------------2分 满足xy ≤3，有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），共5个， ----------4分∴小亮获得玩具的概率为516； -------------------------------------------------------6分 （2）满足xy ≥8，（2，4），（3，4），（4，2），（4，3），（3，3），（4，4）共6个， ----8分∴小亮获得水杯的概率为616； --------------------------------------------------------9分 小亮获得饮料的概率为5651161616--=，----------------------------------------------11分 ∴小亮获得水杯大于获得饮料的概率．-------------------------------------------------12分21.（1）由曲线方程x 2+y 2-2x -4y +m =0．整理得：（x -1）2+（y -2）2=5-m ，------------------------------------------------2分 又曲线为圆，则5-m ＞0，解得：m ＜5．------------------------------------------------------------------4分（2）设直线x +2y -4=0与圆：x 2+y 2-2x -4y +m =0的交点为M （x 1，y 1）N （x 2，y 2）．则：22240240x y x y x y m +-=⎧⎨+--+=⎩，消去x 整理得：5y 2-16y +8+m =0， 则：1212168,55m y y y y ++==，------------------------------------------------6分 由OM ⊥ON （O 为坐标原点），可得x 1x 2+y 1y 2=0，-------------------------------------8分又x 1=4-2y 1，x 2=4-2y 2，则（4-2y 1）（4-2y 2）+y 1y 2=0．---------------------------------------------------10分 解得：85m =，故m 的值为85．--------------------------------------------------12分 22.（1）∵1(1,0)F -和2(1,0)F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，且点3(1,)2P 在椭圆C 上，∴依题意，1c =，又3242a ==，故2a =．---------------------2分由222b c a +=得b 2=3．-----------------------------------------------------------3分故所求椭圆C 的方程为22143x y +=．-----------------------------------------------4分（2）由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得（4k 2+3）x 2+8kmx +4m 2-12=0，由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，△=64k 2m 2-4（4k 2+3）（4m 2-12）=0，整理得m 2=4k 2+3．-----------------------------6分 由条件可得k ≠0，(,0)mM k-，N （0，m ）． 所以．①------------------------------8分将m 2=4k 2+3代入①，得．因为|k |＞0，所以，-------------------------------10分当且仅当34k k=，则，即时等号成立，S △OMN 有最小值．-----11分因为m 2=4k 2+3，所以m 2=6，又m ＞0，解得．故所求直线方程为或．----------------------------12分高二级第一学期期末质量检测数学试卷本试卷分两部分，共4页，满分150分。
高二数学上学期期末考试试题理含解析试题_2(共18页)
2021-2021学年高二数学上学期期末考试(qī mò kǎo shì)试题理〔含解析〕考前须知：1.答卷前，所有考生必须将本人的姓名、考生号、考场号和座位号填写上在答题卡上.2.答题选择题时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答复非选择题时，将答案写在答题卡上，写在套本套试卷上无效.3.在在考试完毕之后以后，将答题卡交回.一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面只有一项是哪一项符合题目要求的.，那么为〔〕A. B.C. D.【答案】C【解析】【详解】特称命题的否认为全称命题，所以命题的否命题应该为，即此题的正确选项为C.中，假设那么等于〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析(fēnxī)】由正弦定理，求得，再由，且，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，在中，由正弦定理可得，即，又由，且，所以或者，应选D.【点睛】此题主要考察了正弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理，准确运算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.的焦点坐标是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先将抛物线方程化HY方程，进而可得出焦点坐标.【详解】因为可化为，所以，且焦点在轴负半轴，因此焦点坐标为应选C【点睛】此题主要考察由抛物线的方程求焦点问题，熟记抛物线的HY方程即可，属于根底题型.4.，且，那么以下不等式一定成立的是〔〕A. B.C. D.【答案(dá àn)】D【解析】【分析】举出反例即可判断A、B、C选项；由可得，再根据函数的单调性即可判断D选项，即可得解.【详解】当，时，，故A错误；当，时，，故B错误；当，时，，故C错误；由可得，再根据函数的单调性可得即，故D正确. 应选：D.【点睛】此题考察了不等式和不等关系，属于根底题.公差为d,前n项和为,那么“d>0〞是A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由，可知当时，有，即，反之，假设，那么，所以“d>0〞是“S4 + S6>2S5〞的充要条件，选C．【名师点睛】此题考察等差数列的前项和公式，通过套入公式与简单运算，可知，结合充分必要性的判断，假设，那么是的充分条件，假设，那么是的必要条件，该题“〞“〞，故互为充要条件．6.假设(jiǎshè)x,y满足约束条件的取值范围是A. [06]B. [0,4]C. [6,D. [4,【答案】D【解析】解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：目的函数z=x+2y经过C点时，函数获得最小值，由解得C〔2，1〕，目的函数的最小值为：4目的函数的范围是[4，+∞〕．应选D．的前n项和为，，那么A. B. C. D.【答案】A【解析】设公比为q,那么，选A.中，为的中点(zhōnɡ diǎn)，设，，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由空间向量的线性运算法那么可得，再根据平行六面体的性质即可得解.【详解】由题意结合平行六面体的性质可得.应选：A.【点睛】此题考察了空间向量的线性运算，属于根底题.中，分别是角的对边,假设,且，那么的值是( )A. 2B.C.D. 4【答案】A【解析】【分析】由正弦定理，化简求得，解得，再由余弦定理，求得，即可求解，得到答案．【详解(xiánɡ jiě)】在中，因为,且，由正弦定理得，因为，那么，所以，即，解得，由余弦定理得，即，解得，应选A．【点睛】此题主要考察了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，纯熟掌握定理、合理运用是解此题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或者两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或者两边及其夹角时，运用余弦定理求解.，直线与其相交于，两点，假设中点的横坐标为，那么此双曲线的方程是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据点差法得，再根据焦点坐标得，解方程组得，，即得结果.【详解】设双曲线的方程为，由题意可得，设，，那么的中点为，由且，得，，即，联立，解得，，故所求双曲线的方程为．应选D．【点睛】此题主要考察(kǎochá)利用点差法求双曲线HY方程，考察根本求解才能，属于中档题.11.：数列满足，，那么的最小值为A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】B【解析】的左、右焦点分别为，假设椭圆上恰有6个不同的点使得为等腰三角形，那么椭圆的离心率的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】①当点与短轴的顶点重合时，构成以为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰②当构成(gòuchéng)以为一腰的等腰三角形时，根据椭圆的对称性，只要在第一象限内的椭圆上恰好有一点满足为等腰三角形即可，那么或者当时，那么有(是椭圆在短轴上的上边的顶点)，那么，因此，即，那么当时，那么有(是椭圆在长轴上的右边的顶点)，即，那么综上所述，椭圆的离心率取值范围是应选D点睛：解决椭圆的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于，，的方程或者不等式，再根据，，的关系消掉得到，的关系式，建立关于，，的方程或者不等式，要充分利用椭圆的几何性质、点的坐标的范围等.二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分.中，，，且的面积为，那么__________．【答案】【解析】【分析】根据三角形面积公式得到再由余弦定理得到AC长. 【详解】在中，，，且的面积为，由正弦定理的面积公式得到：再由余弦定理得到故得到.故答案(dá àn)为.【点睛】此题主要考察余弦定理的应用以及三角形面积公式;在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要根据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中假如边和正弦、余弦函数穿插出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进展解答.，，且与的夹角为钝角，那么实数的取值范围为________. 【答案】且【解析】【分析】由题意得且与不一共线，即可得，即可得解.【详解】由与的夹角为钝角可得且与不一共线，那么即且.故答案为：且.【点睛】此题考察了利用空间向量数量积解决向量夹角的问题，属于根底题.15.，，是与的等比中项，那么的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】先由得到x+2y=1,再对化简变形，再利用根本不等式求其最小值.【详解(xiánɡ jiě)】由题得.所以=.当且仅当时取等.所以的最小值为.故答案为【点睛】此题主要考察根本不等式求最值，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.的三边长，8，成等差数列，那么该等差数列的公差的取值范围是________. 【答案】【解析】【分析】由题意结合余弦定理可得，再根据三角形三边关系可得，即可得解. 【详解】由题意得且，三角形为钝角三角形，即，即，，又由三角形三边关系可得，即，.故答案为：.【点睛】此题考察了余弦定理的应用和等差数列性质的应用，属于中档题.三、解答题：一共70分.解容许写出文字说明、证明过程(guòchéng)或者演算步骤.p：函数f〔x〕=lg〔ax2-x+16a〕的定义域为R；命题q：不等式3x-9x＜a对任意x∈R恒成立．〔1〕假如p是真命题,务实数a的取值范围；〔2〕假如命题“p或者q〞为真命题且“p且q〞为假命题,务实数a的取值范围．【答案】(1)．(2)．【解析】【分析】(1)命题p是真命题,有a＞0，△＜0,即求解即可．(2)命题q是真命题,不等式3x-9x＜a对一切x∈R均成立,设y=3x-9x,令t=3x＞0,那么y=t-t2,t＞0,通过函数的最值求解a的范围,利用复合命题的真假关系求解即可．【详解】解：(1)命题p是真命题,那么ax2-x+16a＞0恒成立,得到a＞0,△=1-64a2＜0,即a ＞,或者a〔舍去〕,所以a的取值范围为．〔2〕命题q是真命题,不等式3x-9x＜a对一切x∈R均成立,设y=3x-9x，令t=3x＞0，那么y=t-t2,t＞0，当时,,所以．命题“p∨q〞为真命题,“p∧q〞为假命题,那么p,q一真一假．即有或者,综上，实数a的取值范围．【点睛】此题考察命题的真假的判断与应用,换元法以及二次函数的性质的应用,是根本知识的考察．满足.〔1〕求的通项公式；〔2〕求数列(shùliè)的前项和．【答案】(1) ；(2).【解析】【分析】〔1〕利用递推公式,作差后即可求得的通项公式.〔2〕将的通项公式代入,可得数列项和.【详解】〔1〕数列满足时,∴∴当时,,上式也成立∴〔2〕∴数列的前n项和【点睛】此题考察了利用递推公式求通项公式,裂项法求和的简单应用,属于根底题.，〔1〕解关于的不等式；〔2〕假设对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；【答案】〔1〕见解析〔2〕【解析】试题(shìtí)分析：〔1〕利用分类讨论思想分和三种情况，并结合二次函数的图像进展求解，即可求得时，解集为或者，时，解集为时，解集为或者；〔2〕由题意得：恒成立恒成立试题解析：〔1〕时，不等式的解集为或者时，不等式的解集为时，不等式的解集为或者〔2〕由题意得：恒成立，恒成立.易知，的取值范围为：20.的内角的对边分别为，．〔1〕求；〔2〕假设为锐角三角形，且，求面积的取值范围．【答案】(1) ;(2).【解析】【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得.(2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域.【详解(xiánɡ jiě)】(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得．，因为故或者者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.(2)因为是锐角三角形，由〔1〕知，得到，故，解得.又应用正弦定理，，由三角形面积公式有：.又因,故，故.故的取值范围是【点睛】这道题考察了三角函数的根底知识，和正弦定理或者者余弦定理的使用〔此题也可以用余弦定理求解〕，最后考察是锐角三角形这个条件的利用．考察的很全面，是一道很好的考题.21.如图，在长方体中，，，点在棱上挪动.〔1〕证明(zhèngmíng)：；〔2〕当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值；〔3〕等于何值时，二面角为.【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕；〔3〕.【解析】【分析】〔1〕以点D为原点，如图建立空间直角坐标系，设，求出各点的坐标后，利用即可得证；〔2〕由为的中点可得，表示出两直线的方向向量后利用即可得解；〔3〕表示出平面和平面的法向量后，利用解方程即可得解. 【详解】是长方体，以点D为原点，如图建立空间直角坐标系，设，那么，，，，，，〔1〕，,，.〔2〕当为的中点时，，，，，设直线与所成角为，那么(nà me).〔3〕平面为平面，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，，，那么令得.由题意，解得或者〔舍去〕.当时，二面角为.【点睛】此题考察了空间向量的应用，考察了运算才能，属于中档题.的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.〔Ⅰ〕求椭圆的HY方程；〔Ⅱ〕证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.【答案】〔1〕〔2〕【解析】试题分析：〔Ⅰ〕设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；〔Ⅱ〕设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得．设x 轴上的定点为，可得，由定值可得需满足，解得可得定点坐标．试题(shìtí)解析：〔Ⅰ〕依题意，不妨设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，令，解得，故，又，∴，∴，解得．∴椭圆的HY方程为.〔Ⅱ〕证明：由题意设直线的方程为，由消去y整理得，设，，那么，，假设x轴上的定点为，那么.要使其为定值，需满足(mǎnzú)，解得.故定点的坐标为.点睛：解析几何中定点问题的常见解法(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或者曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．内容总结（1）2021-2021学年高二数学上学期期末考试试题理〔含解析〕考前须知：1.答卷前，所有考生必须将本人的姓名、考生号、考场号和座位号填写上在答题卡上.2.答题选择题时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑（2）命题q：不等式3x-9x＜a对任意x∈R恒成立．〔1〕假如p是真命题,务实数a的取值范围。
浙江省杭州2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题含答案
杭州2023学年第一学期高二年级期末数学试卷（答案在最后）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛物线24x y =的准线方程为()A. 1x =-B. 1x = C. 1y =- D. 1y =【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线标准方程即可求解.【详解】由题知，抛物线方程为24x y =，则其准线方程为1y =-.故选：C2.圆2240x y x +-=上的点到直线3490x y -+=的距离的最小值为（）A.1 B.2C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】求出圆的圆心和半径，利用点到直线的距离以及半径关系，求解即可.【详解】由2240x y x +-=，得22(2)4x y -+=，圆心为(2,0)，半径2r =，圆心到直线3490x y -+=的距离3d ==，故圆上的点到直线3490x y -+=的距离的最小值为1d r -=.故选：A3.设平面α内不共线的三点A ，B ，C 以及平面外一点P ，若平面α内存在一点D 满足()2PD xPA x =+- 3PB xPC +，则x 的值为（）A.0B.19-C.13-D.23-【答案】C【解析】【分析】由空间向量共面定理构造方程求得结果.【详解】 空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，231x x x ∴+-+=，解得：13x=-.故选：C4.已知ABC 的三个顶点分别为()1,0,0A ，()0,2,0B ，()2,0,2C ，则BC 边上的中线长为（）A.1B.C.D.2【答案】B 【解析】【分析】利用中点坐标公式与空间两点的距离公式即可得解.【详解】因为()0,2,0B ，()2,0,2C ，所以BC 的中点为()1,1,1，又()1,0,0A ，则BC =.故选：B.5.设{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 是其前n 项和，且10a <，48S S =，则（）A.0d <B.70a = C.120S = D.7n S S ≥【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和前n 项求和公式，结合选项计算依次判断即可.【详解】A ：由48S S =，得1143874822a d a d ⨯⨯+=+，则1112a d =-，又10a <，所以11102a d =-<，得0d >，故A 错误；B ：7111166022a a d d d d =+=-+=>，故B 错误；C ：121121111121266022S a d d d ⨯=+=-⨯+=，故C 正确；D ：7177711135()()22222S a a d d d -=+=-+=，21(1)1222n n n n nS na d d --=+=，由21235n n -≥-，得15n ≤≤或7n ≥，即当15n ≤≤或7n ≥时，有7n S S ≥，故D 错误.故选：C6.用数学归纳法证明：()111212322n n f n +=++++≥ （*n ∈N ）的过程中，从n k =到1n k =+时，()1f k +比()f k 共增加了（）A.1项B.21k -项C.12k +项D.2k 项【答案】D 【解析】【分析】分别计算出()1f k +和()f k 的项数，进而作差即得结论．【详解】因为()1111232n f n =++++ ，所以()1111232k f k =++++ ，共2k 项，则()11111112321221k k k f k +++++++++=+ 共12k +项，所以()1f k +比()f k 共增加了1222k k k +-=项，故选：D7.若数列{}n a 满足递推关系式122nn n a a a +=+，且12a =，则2024a =（）A.11012B.22023C.11011D.22021【答案】A 【解析】【分析】利用取倒数法可得11112n n a a +-=，结合等差数列的定义和通项公式即可求解.【详解】因为122n n n a a a +=+，所以1211122n n n n a a a a ++==+，所以11112n n a a +-=，又12a =，所以1112=a ，故数列1{}na 是以12为首项，以12为公差的等差数列，则1111(1)222n n n a =+-=，得2n a n=，所以20242120241012a ==.故选：A8.设双曲线Γ的中心为O ，右焦点为F ，点B 满足2FB OF =，若在双曲线Γ的右支上存在一点A ，使得OA OF =，且3OAB OBA ∠≥∠，则Γ的离心率的取值范围是（）A.22,77⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.21,7⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦C.31,7⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦D.33,77⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】因为OA OF =，所以A 是以O 为圆心，为OF 半径的圆O 与Γ的交点，根据条件结合双曲线的定义得27480e e --≤求解即可.【详解】不妨设A 在第一象限．因为OA OF =，所以A 是以O 为圆心，为OF 半径的圆O 与Γ的交点．设Γ的左焦点为X ，则4XOA OAB OBA OBA ∠=∠+∠≥∠，122AFO XOA OBA ∠=∠≥∠，即A FAB FB ≥∠∠，FA BF ≤在圆O 上上取一点C ，使FC B F =，则FC FA ≥由双曲线的定义知2CX FC a -≤（a 是实半轴长），即()222224FC aC c C X F +≥=-（c 是半焦距），由2FB OF = ，得212c FB FO ==，得22222242c c c Xa C ⎛⎫+≥=⎭⎛⎫⎪⎝ ⎪⎭-⎝2274202a ac c +-≥，又离心率ce a =，所以27480e e --≤，又1e >，所以21,7e ⎛⎤⎝∈⎥⎦，故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知()f x ，()g x 在R 上连续且可导，且()00'≠f x ，下列关于导数与极限的说法中正确的是（）A.()()()000Δ0ΔlimΔx f x x f x f x x→--'= B.()()()Δ0ΔΔlim2Δh f t h f t h f t h→+--'=C.()()()000Δ03Δlim3Δx f x x f x f x x→+-'= D.()()()()()()000Δ0000Δlim Δx g x x g x g x f x x f x f x →'+-='+-【答案】BCD 【解析】【分析】利用导数的定义逐个求解.【详解】()()()()()000000limlimx x f x x f x f x x f x f x xx∆→∆→+⎡⎤-∆--∆-'=-=-∆-∆⎣⎦，故A 错；()()()()()02limlim22h h f t h f t h f t h f t f t hh∆→∆→+∆--∆+∆-'==∆∆，故B 对；()()()00003lim3x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆，由导数的定义知C 对；()()()()()()()()()()0000000000000limlimlim x x x g x x g x g x x g x g x x f x x f x f x x f x f x x ∆→∆→∆→+∆-'+∆-∆==+∆-'+∆-∆，故D 对；故选：BCD10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，正项等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则（）A.数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B.数列{}3na 是等比数列C.数列{}ln n T 是等差数列D.数列2n n T T +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列【答案】ABD 【解析】【分析】根据等差数列与等比数列的定义及等差数列前n 项和公式为计算即可.【详解】设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则2112222n n S d d d d S n a n n a n ⎛⎫⎛⎫=+-⇒=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1212n n S S d n n n --=≥-是常数，故A 正确；易知()1133323nn n n a a a d a n ---==≥是常数，故B 正确；由()1ln ln ln 2n n n T T b n --=≥不是常数，故C 错误；()221212n n n n n nT T b q n T T b +++-÷==≥是常数，故D 正确.故选：ABD11.已知O 为抛物线()2:20C y px p =>的顶点，直线l 交抛物线于,M N 两点，过点,M N 分别向准线2px =-作垂线，垂足分别为,P Q ，则下列说法正确的是（）A.若直线l 过焦点F ，则以MN 为直径的圆与y 轴相切B.若直线l 过焦点F ，则PF QF⊥C.若,M N 两点的纵坐标之积为28p -，则直线l 过定点()4,0pD.若OM ON ⊥，则直线l 恒过点()2,0p 【答案】BCD 【解析】【分析】根据抛物线的焦半径公式结合条件判断AB ，设直线l 方程为x my b =+，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合条件判断CD.【详解】设()()1122,,,M x y N x y ，选项A ：MN 中点H 即以MN 为直径的圆的圆心横坐标为122x x +，则由抛物线的定义可知12MN MP NQ x x p =+=++，所以梯形PMNQ 的中位线122x x pGH ++=，所以点H 到y 轴的距离为1222x x p GH +-=不等于半径1222x x pMN ++=，A 说法错误；选项B ：由抛物线的定义可知MP MF =，NF NQ =，又根据平行线的性质可得1MPF PFO MFP ∠=∠=∠=∠，2NQF QFO NFQ ∠=∠=∠=∠，因为()212π∠+∠=，所以π122∠+∠=，即PF QF ⊥，B 说法正确；选项C ：由题意可知直线l 斜率不为0，设直线l 方程为x my b =+，联立22x my b y px=+⎧⎨=⎩得2220y pmy pb --=，22480p m pb ∆=+>，所以122y y pb =-，由21228y y pb p =-=-解得4b p =，满足0∆>，所以直线:4l x my p =+过定点()4,0p ，C 说法正确；选项D ：因为OM ON ⊥，所以由0OM ON ⋅= 可得12110x x y y +=，所以221212022y y y y p p⋅+=①，将122y y pb =-，代入①得2b p =，满足0∆>，所以直线:2l x my p =+过定点()2,0p ，D 说法正确；故选：BCD12.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转化成图3所示的几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则（）A.122QC AD AB AA =+- B.若M 为线段CQ 上的一个动点，则BM BD ⋅的最小值为1C.点F 到直线CQ 的距离是3D.异面直线CQ 与1AD 【答案】ABD 【解析】【分析】根据空间向量线性运算法则判断A ，以1A 为坐标原点，1A F 所在直线为x 轴，11A B 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算B 、C 、D .【详解】因为()1112222CQ CB BQ AD BA AD AA AB AB AD AA =+=-+=-+-=--+，所以()112222QC CQ AB AD AA AD AB AA =-=---+=+-，故A 正确；如图以1A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()0,1,1B -，()11,0,0D -，()1,0,1D --，()0,1,1Q -，()1,1,1C --，()0,0,1A -，()1,0,0F ，()1,1,0BD =-- ，()1,2,2CQ =- ，()11,0,1AD =- ，()2,1,1CF =-，对于B ：因为M 为线段CQ 上的一个动点，设CM CQ λ=，[]0,1λ∈，则()()()1,0,01,2,21,2,2BM BC CM λλλλ=+=-+-=--，所以()121BM BD λλλ⋅=--+=+，所以当0λ=时()min1BM BD ⋅= ，故B 正确；对于C ：CF ==63CF CQ CQ ⨯+-⨯-+⨯⋅==，所以点F到直线CQ的距离d ==，故C 错误；对于D：因为111cos ,6CQ AD CQ AD CQ AD ⋅===⋅ ，所以1sin ,6CQ AD ==，所以1tan ,CQ AD =，即异面直线CQ 与1AD ，故D 正确；故选：ABD .第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知()sin exf x =，则()f x '=_____________．【答案】sin e cos x x ⋅【解析】【分析】利用复合函数求导函数方法求解即可.【详解】由()()()sin sin sin c e e e sin os x x x x x x f '=⋅=⋅''=，故答案为：sin e cos x x⋅14.若平面内两定点A ，B 间的距离为3，动点P 满足2PA PB=，则△PAB 面积的最大值为_____________．【答案】3【解析】【分析】首先求点P 的轨迹方程，再利用数形结合求PAB 面积的最大值.【详解】以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设33(,),(,0),(,0)22P x y A B -，因为2PA PB=，即2PA PB =，=，整理为：22542x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则点P 的轨迹是以点5,02⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，半径为2的圆，所以点P 到AB 距离的最大值是2，所以PAB 面积的最大值是13232⨯⨯=.故答案为：315.已知点P 是抛物线24y x =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()1,0-，则PFPA的最小值为________.【答案】2【解析】【分析】过P 做准线的垂线，根据定义可得PF PM =，将所求PFPA最小，转化为sin PM PAM PA =∠的最小，结合图像分析出，当PA 与抛物线相切时，PAM ∠最小，联立直线与抛物线方程，根据判别式求出PA 斜率k ，进而可得PAM ∠的值，代入所求即可。
高二数学上学期期末考试试题2 2(共5页)
一中2021-2021学年(xuénián)上学期高二期末考数学试卷一、选择题〔一共10小题，每一小题5分，一共计50分〕1.的导数是A.0B.1 C2．命题p ：x∈R，的否认是A． B．C． D．3.椭圆上一点P到它一个焦点的间隔是7,那么P到另一个焦点的间隔是A ．B ．C ．D ．4. 准线方程为x=1的抛物线的HY方程是A. B. C. D.5．函数在上A．是增函数 B．是减函数 C．有最大值D．有最小值6.的导数'()y f x=的图像如下图，那么使函数()y f x=获得极大值的的值是A ．B ．C ．D ．yx1 x2 x3 x4 x7.假设(ji ǎsh è)抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，那么的值是A ．B ．C ．D ． 8. 是方程 表示椭圆或者双曲线的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分不必要条件9.一动圆与和都外切,那么动圆圆心的轨迹为 A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线10.一个圆的圆心为椭圆的右焦点，该圆过椭圆的中心且交椭圆于P,直线PF 〔F 1为椭圆的左焦点〕是该圆的切线，那么椭圆的离心率为A ．B ．C ．D ．二、填空题〔一共5小题，每一小题5分，一共计25分〕11. 抛物线的焦点坐标是 _______________。
12. 曲线在点处的切线方程是 _______________。
在〔0，2〕上单调递减，那么实数的取值范围是______。
14.椭圆的焦点为、2F ，点为其上的动点，当∠1F P 2F 为钝角时,点P横坐标的取值范围是_______________。
15．对于(duìyú)椭圆和双曲线有以下命题：①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点;②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点;③双曲线与椭圆一共焦点;④椭圆与双曲线有两个顶点一样.其中真命题．．．的序号是____。
高二数学上学期期末考试试题理试题 2(共10页)
东城区2021-2021学年(xuénián)上学期高二年级期末考试数学试卷〔理科〕本套试卷一共4页，一共100分。
考试时长120分钟。
所有考生必须将答案答在答题卡上，在试卷上答题无效。
在在考试完毕之后以后，将本套试卷和答题卡一起交回。
第一局部〔选择题一共36分〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题3分，一共36分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕1.假设A，B两点的纵坐标相等，那么直线AB的倾斜角为A.0B.C.D.π2.命题，lgx0<0，那么命题为A. ，lgx>0B. ，lg x0>0C. Rx∀∈，lgx≥0 D.0Rx∃∈，lg x0≥03.在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，那么边AB，AC所在直线的斜率之和为A. B.-1 C.0 D.，n表示两条不同的直线，α表示平面，且，那么“m∥n〞是“m∥α〞的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.结晶体的根本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图〔可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体〕，其中白点○代表钠原子，黑点●代表氯原子.建立空间直角坐标系O-xyz后，图中最上层中心的钠原子所在位置的坐标是A. B.(0,0,1) C. D.6.如下(rúxià)图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，四面体A-B1CD1在面AA1D1D上的正投影图形为7.设椭圆 (a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，线段F1F2被点分成3:1的两段，那么此椭圆的离心率为A. B. 12C. D.8.直线l，m和平面α，β，且l⊥α，m∥β，那么以下命题中正确的选项是A.假设α⊥β，那么l∥mB.假设α∥β，那么l⊥mC.假设l∥β，那么m⊥αD.假设l⊥m，那么α∥β9.假设半径为1的动圆与圆(x-1)2+y2=4相切，那么动圆圆心的轨迹方程为A.(x-l)2+y2=9B.(x-l)2+y2=3C.(x-l)2+y2=9或者(x-l)2+y2=1D.(x-1)2+y2=3或者(x-l)2+y2=510.双曲线(a>0,b>0)的焦距为10，点P(2,l)在C的一条渐近线上，那么C 的方程为A. B.C. D.11.平面上动点P到定点F与定直线l的间隔相等，且点F与直线l的间隔为1.某同学建立直角坐标系后，得到点P的轨迹方程为x2=2y-1，那么它的建系方式是12.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N为棱A1D1，AB上的动点，且，那么(nàme)线段MN中点P的轨迹为A.线段B.圆的一局部C.椭圆的一局部D.双曲线的一局部第二局部〔非选择题一共64分〕二、填空题〔本大题一一共6小题，每一小题3分，一共18分〕13.在空间直角坐标系中，点P(2,-1,1)在yOz平面内的射影为Q(x,y,z)，那么x+y+z=________.14.假设直线l与直线2x-y-1=0垂直，且不过第一象限，试写出一个直线l的方程：________.15.直线l：x-y-m=0经过抛物线y2=8x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，那么m=________，________.16.圆(x-l)2+y2=2绕直线kx-y-k=0旋转一周所得的几何体的外表积为________.17.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，B1C1的中点，假设∠CMN=90°，那么异面直线AD1与DM所成的角为________.18.曲线(qūxiàn)C上的任意一点M(x,y)满足到两条直线的间隔之积为12.给出以下关于曲线C的描绘：①曲线C关于坐标原点对称；②对于曲线C上任意一点M(x,y)一定有；③直线y=x与曲线C有两个交点；④曲线C与圆x2+y2=16无交点.其中所有正确描绘的序号是________.三、解答题〔本大题一一共4小题，一共46分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕19.〔此题满分是10分〕直线l过点A(0,4)，且在两坐标轴上的截距之和为1.〔Ⅰ〕求直线l的方程；〔Ⅱ〕假设直线l1与直线l平行，且l1与l间的间隔为2，求直线l1的方程.20.〔此题满分是11分〕圆C：x2+y2+10x+10y+34=0.〔Ⅰ〕试写出圆C的圆心坐标和半径；〔Ⅱ〕圆D的圆心在直线x=-5上，且与圆C相外切，被x轴截得的弦长为10，求圆D 的方程；〔Ⅲ〕过点P(0,2)的直线交〔Ⅱ〕中圆D于E，F两点，求弦EF的中点M的轨迹方程.21.〔此题满分是12分〕如图，在四棱锥(léngzhuī)P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点.〔Ⅰ〕假设PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；〔Ⅱ〕点M在线段PC上，PM=tPC，试确定实数t的值，使PA∥平面MQB；〔Ⅲ〕在〔Ⅱ〕的条件下，假设平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M-BQ-C的大小.22.〔此题满分是13分〕椭圆(a>b>0)的焦点在圆x2+y2=332.〔Ⅰ〕求椭圆C的方程；〔Ⅱ〕过原点O的直线l与椭圆C交于A，B两点，F为右焦点，假设△FAB为直角三角形，求直线l的方程.参考答案一、选择题〔本大题一一共(yīgòng)12小题，每一小题3分，一共36分〕题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A C C D A A C B C D C B二、填空题〔本大题一一共6小题，每一小题3分，一共18分〕题号13 14 15 16 17 18答案02 16 8π90°①③④〔答案不唯一〕注：两个空的填空题第一个空填对得1分，第二个空填对得2分.三、解答题〔本大题一一共4小题，一共46分〕19.〔此题满分是10分〕解：〔Ⅰ〕由直线l过点(0,4)，所以直线l在y轴上的截距为4.由条件可得直线l在x轴上的截距为-3，即直线过点B(-3,0).故直线方程为，即4x-3y+12=0. 4分〔Ⅱ〕由条件设直线l1的方程为4x-3y+m=0，由两条直线间的间隔为2，可得(0,4)到直线l1的间隔为2，那么有，解得m=2或者m=22.故所求直线l1的方程为4x-3y+2=0或者4x-3y+22=0. 10分20.〔此题满分是11分〕解：〔Ⅰ〕将圆的方程改写为(x+5)2+(y+5)2=16，故圆心坐标为(-5,-5)，半径为4. 4分〔Ⅱ〕设圆D的半径为r，圆心纵坐标为b，由条件可得r2=(r-1)2+52，解得r=13.此时(cǐ shí)圆心纵坐标b=r-1=12.所以圆D的方程为(x+5)2+(y-12)2=169. 8分〔Ⅲ〕设M(x,y)，依题意有DM⊥PM.即〔x≠0且x≠-5〕，整理得x2+y2+5x-14y+24=0〔x≠0且x≠-5〕.当x=0时，y=12，符合题意，当x=-5时，y=2，符合题意.故所求点M的轨迹方程为x2+y2+5x-14y+24=0. 11分21.〔此题满分是12分〕证明：〔Ⅰ〕连接BD.因为AD=AB，∠BAD=60°，所以△ABD为正三角形.因为Q为AD的中点，所以AD⊥BQ.因为PA=PD，Q为AD中点，所以AD⊥PQ.又BQ∩PQ=Q，所以AD⊥平面PQB.因为，所以平面PQB⊥平面PAD. 4分〔Ⅱ〕连接(liánjiē)AC，交BQ于点N.由AQ∥BC，可得△ANQ∽△CNB，所以.因为PA∥平面MQB，，平面PAC∩平面MQB=MN，所以PA∥MN.所以，即，所以. 8分〔Ⅲ〕由PA=PD=AD=2，Q为AD的中点，那么PQ⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD.以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP所在的直线为x，y，z轴，建立如下图的坐标系，那么A(1,0,0)，，Q(0,0,0)，.，.设平面MQB的法向量为n=(x,y,z)，可得因为PA∥MN，所以即令z=1，那么，y=0.于是.取平面ABCD的法向量m=(0,0,l)，所以.故二面角M-BQ-C的大小为60°. 12分22.〔此题满分(mǎn fēn)是13分〕解：〔Ⅰ〕因为椭圆的焦点在x轴上，所以焦点为圆x2+y2=3与x轴的交点，即，.所以.又离心率，所以a=2.故所求椭圆方程为. 4分〔Ⅱ〕当△FAB为直角三角形时，显然直线l斜率存在，可设直线l方程为y=kx，设A(x1,y1)，B(x2,y2).〔ⅰ〕当FA⊥FB时，，.由消y得(4k2+1)x2-4=0.那么x1+x2=0，.解得.此时直线l的方程为. 8分〔ⅱ〕当FA与FB不垂直时，根据椭圆的对称性，不妨设.所以(suǒyǐ)解得所以此时直线l的方程为22y x =.综上，直线l的方程为24y=或者22y=. 13分内容总结（1）东城区2021-2021学年上学期高二年级期末考试数学试卷〔理科〕本套试卷一共4页，一共100分。
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黑龙江省高二数学上册期末模拟试题（含答案）一、选择题：（每题5分，共60分）1．命题“ 2,210x x R x ∀∈+-<” 的否定是（ ）A ．2,210x x R x ∀∈+-≥B ．2,210x x R x ∃∈+-<C ．2,210x x R x ∃∈+-≥D ．2,210x x R x ∃∈+->2．已知回归直线∧∧∧+=a x b y 的∧a 估计值为0.2，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（ ）A 、2.02.1-=x yB 、2.02.1+=x yC 、2.12.0+=x yD 、2.02.0+=x y 3．袋中装有3个黑球，2个白球，1个红球，从中任取两个，互斥而不对立的事件是（ ）A ．“至少有一个黑球”和“没有黑球”B ．“至少有一个白球”和“至少有一个红球”C ．“至少有一个白球”和“红球黑球各有一个”D ．“恰有一个白球”和“恰有一个黑球”4．如右图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是（ ） A ．16 B ．2524 C ．34 D ．11125．某次运动会甲、乙两名射击运动员成绩如右图所示，甲、乙的平均数分别为x 甲、x 乙，方差分别为2s 甲，2s 乙，则由图观察知（ ） A ．22x x s s >>甲乙甲乙， B ．22x x s s ><甲乙甲乙， C ．22x x s s <>甲乙甲乙， D ．22x x s s <<甲乙甲乙，6．在二项式42x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为（ ）A ．8B ．4C ．6D ．12()()()既不充分也不必要条件充要条件必要不充分条件充分不必要条件相切”的与圆”是“直线“....8343.722D C B A y a x x y a =-+-+==8.某电视台的一个综艺栏目对6个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能 排甲，则不同的排法有（ ）A.240种B.216种C.192种D.288种()()的取值范围是的离心率曲线是锐角三角形，则该双两点，轴的直线与双曲线交于且垂直于过是该双曲线的右顶点，的左焦点，是双曲线已知e ABE B A x F E b a by a x F ∆>>=-,0,01.92222()()()()2,1.21,2.21,1.,1.D C B A +++∞10．如图所示，1OA =，在以O 为圆心，以OA 为半径的半圆弧上随机取一点B ，则AOB∆的面积小于14的概率为（ ） A ．12 B ．14 C ． 13 D ．1611．已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品。
2022-2023学年浙江省舟山市高二上册期末数学质量检测试题(含解析)
2022-2023学年浙江省舟山市高二上册期末数学质量检测试题一、单选题1．已知向量(1,2,1),(3,,)a b x y =-= ，且a b，那么xy =（）A ．18-B ．9C ．9-D ．18【正确答案】D【分析】a b，则R λ∃∈，使得a b λ= ，据此计算即可.【详解】依题意，由a b 可知，R λ∃∈，使得a b λ= ，于是1321x yl l l ì-=ïï=íï=ïî，解得1363x y l ì=-ïïï=-íï=-ïïî于是18xy =.故选：D.2．已知O 为原点，点()2,2A -，以OA 为直径的圆的方程为()A ．()()22112x y -++=B ．()()22118x y -++=C ．()()22112x y ++-=D ．()()22118x y ++-=【正确答案】A【分析】求圆的圆心和半径，根据圆的标准方程即可求解﹒【详解】由题知圆心为()11-，，半径12r OA ＝，∴圆的方程为22(1)(1)2x y -＋＋＝﹒故选：A ﹒3．已知双曲线221x y m-=的渐近线方程为12y x =±，则实数m 的值为（）A ．14B ．4C ．4-D ．14-【正确答案】B【分析】利用双曲线方程得出0m >，再利用渐近线定义得12y x =±=，解方程求出m 值.【详解】已知方程221x y m-=表示的曲线为双曲线，所以0m >，该双曲线的渐近线为12y x =±=，又0m > ，得出4m =故选：B.4．若抛物线22(0)y px p =>的焦点与椭圆22195x y +=的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（）A ．=1x -B ．1x =C ．2x =D ．2x =-【正确答案】D【分析】先求出椭圆的焦点坐标即是抛物线的焦点坐标，即可求出准线方程.【详解】∵椭圆22195x y +=的右焦点坐标为(2,0)，∴抛物线的焦点坐标为(2,0)，∴抛物线的准线方程为2x =-，故选：D.5．已知直线l 过点(3,1)A -，且与直线230x y -+=垂直，则直线l 的一般式方程为（）A ．230x y ++=B ．250x y ++=C ．210x y +-=D ．220x y +-=【正确答案】B【分析】由题意设直线l 方程为20x y m ++=，然后将点()3,1-坐标代入求出m ，从而可求出直线方程【详解】因为直线l 与直线230x y -+=垂直，所以设直线l 方程为20x y m ++=，因为直线l 过点()3,1-，所以610m -++=，得5m =，所以直线l 方程为250x y ++=，故选：B.6．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点A 到平面QGC 的距离是（）A ．14B ．12C．2D【正确答案】C【分析】建立空间直角坐标系，求平面QGC 的法向量，用点到平面的距离公式计算即可.【详解】建立空间直角坐标系如图所示：则(0,2,0)C ，()1,0,2Q ，(0,0,2)G ，(1,1,0)A ，(1,2,2)QC =-- ，(1,0,0),(1,1,0)QG AC =-=-，设平面QGC 的法向量为(,,)n x y z = ，则00n QC n QG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0220x x y z -=⎧⎨-+-=⎩，则平面QGC 的一个法向量为(0,1,1)n = ，则点A 到平面QGC的距离2n AC d n⋅== .故选：C7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱CD 上的动点．则下列结论不正确的是（）A ．1//D E 平面11AB BA B ．11EB AD ⊥C ．直线AE 与11B D 所成角的范围为(,)42ππD ．二面角11E A B A --的大小为4π【正确答案】C【分析】由平面11//CDD C 平面11A B BA ，1D E ⊂平面11CDD C ，即可判断A ；建立空间直角坐标系计算11EB AD ⋅即可判断选项B ；求11|cos(,)|AE B D 的范围即可判断选项C ；先找出二面角的平面角为1DA A∠即可判断选项D ，进而可得正确选项．【详解】对于选项A ：因为平面11//CDD C 平面11A B BA ，1D E ⊂平面11CDD C ，所以1//D E 平面11A B BA ，故选项A 正确；如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则(1,0,0)A ，(0,,0),01E m m ≤≤，1(1,1,1)B ，1(0,0,1)D ，1(1,0,1)A ，对于选项B ：1(1,1,1)EB m =- ，1(1,0,1)AD =-，因为11(1,1,1)(1,0,1)1010EB AD m ⋅=-⋅-=-++= ，所以11EB AD ⊥，即11EB AD ⊥，故选项B 正确；对于选项C ：(1,,0)AE m =- ，11(1,1,0)B D =--，设直线AE 与11B D 所成角为θ，则11cos |cos ,|AE B D θ=〈〉=，当0m =，此时θ最小为4π，当1m =时cos θ最小等于0，此时θ最大为2π，所以,42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即直线AE 与11B D 所成角的范围为,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选项C 不正确；对于选项D ：二面角11E A B A --即二面角11D A B A --，因为111DA A B ⊥，111AA A B ⊥，1DA ⊂平面11E AB ，1AA ⊂平面11AA B ，所以1DA A ∠即为二面角11E A B A --的平面角，在正方形11ADD A 中，14DA A π∠=，所以二面角11E A B A --的大小为4π，故选项D 正确，故选：C.8．设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0q <”是“对任意正整数n ，212n n a a ->”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断．【详解】{}n a 是首项为正数的等比数列，若公比0q <，则数列中奇数项为正，偶数项为负，一定有212n n a a ->，充分性满足，但是01q <<时，数列各项均为正，2212n n n a a q a -=<，也就是说221n n a a -<时，得不出0q <，不必要．故选：A ．9．在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =+上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是（）A ．43-B ．54-C ．35-D ．53-【正确答案】A【分析】化圆C 的方程为22(4)1x y -+=，求出圆心与半径，由题意，只需22(4)4x y -+=与直线2y kx =+有公共点即可．【详解】解： 圆C 的方程为228150x y x +-+=，整理得：22(4)1x y -+=，即圆C 是以(4,0)为圆心，1为半径的圆；又直线2y kx =+上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆22:(4)4C x y '-+=与直线2y kx =+有公共点即可．设圆心(4,0)C 到直线2y kx =+的距离为d ，则2d =，即234k k - ，403k ∴- ．k ∴的最小值是43-．故选：A ．本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“22(4)4x y -+=与直线2y kx =+有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．10．已知曲线2:||44C x x y +=，点F ，下面有四个结论：①曲线C 关于x 轴对称；②曲线C 与y 轴围成的封闭图形的面积不超过4；③曲线C 上任意点P 满足||2PF ≥；④曲线C 与曲线(22)(22)0x y x y --+-=有5个不同的交点．则其中所有正确结论的序号是（）A ．②③B ．①④C ．①③④D ．①②③【正确答案】D【分析】根据点对称即可判断①；根据椭圆的几何性质可判断②；根据双曲线和椭圆上的点到)F 的距离可做出判断③；由直线与曲线的关系可判断④.【详解】①：(),x y 在C 上时，(),x y -也在C 上，∴曲线C 关于x 轴对称，故①对；②：当220,44x x y >+=，此时曲线是椭圆的右半部分.矩形ABCD 的面积为4,∴封闭图形面积不超过4,故②对；③：当0x ≥时，2214x y +=，)02PF x ===≤≤，当2x =时，min2PF=，当0x <时，2214x y -=，2PF >综上，可知曲线C 上任意点P 满足2PF ≥，故③对.④：220x y --=与曲线相交于点(2,0),(0,1)-，220x y +-=与曲线相交于点(2,0),(0,1)，当0x <时，2214x y -=，此时双曲线的渐近线方程为12y x =±，与220x y --=，220x y +-=平行，故不会有交点.所以共有3个交点，故④错.故选：D.二、填空题11．已知等比数列{}n a 中，1231,27a a a ==，则数列{}n a 的前5项和5S =____________．【正确答案】121【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由条件结合等比数列通项公式列方程求q ，利用等比数列求和公式求5S ．【详解】设等比数列{an }的公比为q ，因为181a =，2327a a =，所以23127q ⨯=，解得3q =，则数列{}n a 的前5项和()5511312113S -==-.故121．12．已知圆22:(1)(1)4C x y -++=，若直线1y kx =+与圆C 相交得到的弦长为则k =____________．【正确答案】34-##-0.75【分析】根据圆的标准方程求出圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式和几何法求出圆的弦长，列出关于k 的方程，解之即可.【详解】由圆22:(1)(1)4C x y -++=，得圆心(1,1)C -，半径2r =，则圆心(1,1)C -到直线1y kx =+即10kx y -+=的距离为d 222()2d r +=，有21=，解得34k =-.故答案为.34-13．已知椭圆22219x y b +=(03)b <<的两个焦点分别为12,F F P 在椭圆上，若120PF PF ⋅=，则12PF F △的面积为____________．【正确答案】3【分析】根据已知可得3a =，c 12F F =根据椭圆的定义有126PF PF +=，根据120PF PF ⋅=有221224PF PF +=.即可求出126PF PF ⋅=，进而求出三角形的面积.【详解】由已知可得，3a =，c e a ==c 12F F =.因为点P 在椭圆上，由椭圆的定义可得，126PF PF +=，所以()222121212236PF PF PF PF PF PF +=++⋅=.又120PF PF ⋅= ，所以12PF F △为直角三角形，则222121224PF PF F F +==，所以126PF PF ⋅=，所以1212132PF F S PF PF =⋅=△.故3.14．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M ，N 分别是棱BC ，C 1D 1的中点，点P 在平面1111D C B A内，点Q 在线段A 1N 上，若PM =PQ 长度的最小值为____.-1【分析】取11B C 的中点O ，连接,OM OP ，得到MO OP ⊥，求得11A N OP ==，得到点P 在以O 为圆心，1为半径的半圆上，在平面图形1111D C B A 中，求得1A NOS，结合11322A N OH ⋅=，即可求解.【详解】如图所示，取11BC 的中点O ，连接,OM OP ，则MO ⊥平面1111D C B A ，所以MO OP ⊥，因为PM =，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，N 是11D C 的中点，所以11A N OP ==，所以点P 在以O 为圆心，1为半径的位于平面1111D C B A 内的半圆上，单独画出平面1111D C B A 及相关点、线，如图所示，所以点O 到1A N 的距离减去半径就是PQ 长度的最小值，连接1,A O ON ，作1OH A N ⊥交1A N 于H ，则11113221111212222A NOS =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，所以11322A N OH ⋅=，解得355OH =所以PQ 长度的最小值为3515-.故答案为.3515-三、双空题15．角谷猜想又称冰雹猜想，是指任取一个正整数，如果它是奇数，就将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421→→→．如取正整数6m =，根据上述运算法则得出63105168421→→→→→→→→，共需要经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”），已知数列{}n a 满足：1a m =（m 为正整数），1,,231,,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时①若13m =，则使得1n a =至少需要_______步雹程；②若91a =；则m 所有可能取值的和为_______．【正确答案】9385【分析】根据题目所给的步骤逐步计算即可.【详解】m =13，依题意，314020105168421m +=→→→→→→→→，共9共步骤；若91a =，872,4a a ==，68a =或61a =，若68a =，2143215214321128,25632,6421,421620,405,103,6a a a a a a a a a a a a a ⎧==⎧==⎨⎪==⎪⎩=⎨==⎧⎪==⎨⎪==⎩⎩若61a =，132154321328,1652,41,2,4a a a a a a a a a ⎧=⎧==⎨⎪===⎨⎩⎪===⎩1a 的集合为{}256,42,40,6,32,5,4，其和为385；故9,385.四、解答题16．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10110S =，且124,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1(1)(1)n n n b a a =-+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【正确答案】（1）2n a n =；（2）11(1)221n -+【分析】（1）根据{}n a 为等差数列，前n 项和为n S ，10110S =，且124,,a a a 成等比数列．利用公式即可求解公差和首项，可得数列{}n a 的通项公式；（2）将n a 的带入求解{}n b 的通项公式，利用“裂项求和”即可得出．【详解】（1）根据{}n a 为等差数列，0d ≠．前n 项和为n S ，且10110S =，即11101045a d =+，…①∵124,,a a a 成等比数列．可得：2214a a a =⋅．∴2111()(3)a d a a d +=+…②由①②解得：122a d =⎧⎨=⎩，∴数列{}n a 的通项公式为2n a n=（2）由()()n n 111n b a a =-+，即()()12n 12n 1n b =-+=11122n 12n 1⎛⎫- ⎪-+⎝⎭．那么：数列{}n b 的前n 项和12n n T b b b =+++ 111111(1)23352121n n =-+-++--+ 11(1)221n =-+.本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．如图.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点．(1)求证：1//BD 平面ACE ；(2)求直线AD 与平面ACE 所成角的正弦值．【正确答案】(1)证明见详解6【分析】（1）连连接BD 与AC 交于点O ，根据中位线定理可知1//OE BD ，然后根据线面平行的判定定理可得.（2）建立空间直角坐标系，计算AD ，平面ACE 的一个法向量，然后根据空间向量的夹角公式计算即可.【详解】（1）如图所示：，连接BD 与AC 交于点O ，因为O ，E 为中点，所以1//OE BD ,又OE ⊂平面ACE ，1BD ⊄平面ACE ，所以1//BD 平面ACE ；（2）建立如图所示的空间直角坐标系令2AB =，所以()()()()0,0,0,0,2,0,2,2,,0,0,2,1A D C E ()()()0,2,0,2,2,0,0,2,1AD AC AE === 设平面ACE 的一个法向量为(),,n x y z = 所以2200200x y n AC y z n AE ⎧+=⎧⋅=⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎩，令1,1,2y x z =-==所以()1,1,2n =- ，所以直线AD 与平面ACE 所成角的正弦值6n AD n AD ⋅=⋅ 18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，ABC 是边长为2的正三角形，13,,AA D E =分别为,AB BC 的中点．(1)求证：CD ⊥平面11AA B B ．(2)求二面角1B AE B --的余弦值．【正确答案】(1)证明见解析10【分析】（1）证明CD AB ⊥，1AA CD ⊥，进而根据判定定理即可证明；（2）取11A B 的中点为F ，连接DF ，证明DF AB ⊥，CD AB CD DF ⊥⊥，，进而建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，利用坐标法求解即可；【详解】（1）解：在三棱柱111ABC A B C -中，因为1AA ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以1AA CD ⊥．又ABC 为等边三角形，D 为AB 的中点，所以CD AB ⊥．因为11,,AB AA A AB AA =⊂ 平面11AA B B ，所以CD ⊥平面11AA B B ．（2）解：取11A B 的中点为F ，连接DF ，因为在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AA B B 为平行四边形，,D F 分别为11,AB A B 的中点，所以1//DF AA ，因为1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以1AA AB⊥所以DF AB ⊥．由（1）知CD AB CD DF ⊥⊥，，故建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，由题意得111(1,0,0),(1,0,0),(1,3,0),(1,3,0),,22A B C A B E⎛⎫--- ⎪⎪⎝⎭所以，13,0,,(2,3,0)22AE AB⎛=-=-⎝⎭．设平面1AB E的法向量(,,)n x y z=，则1302230n AE xn AB x y⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩，令1x=，则2,3y z==21,3n⎛=⎝．由题意可知，平面BAE的一个法向量1(0,3,0).AA=因为111cos,10AA nAA nAA n⋅==⋅．由已知可得二面角1B AE B--为锐角，所以二面角1B AE B--19．已知椭圆C：()222210x y a ba b+=>>的离心率为12，且经过点31,2⎛⎫--⎪⎝⎭，（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点()1,0作直线l与椭圆相较于A，B两点，试问在x轴上是否存在定点Q，使得两条不同直线QA，QB恰好关于x轴对称，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【正确答案】（1）22143x y+=；（2）存在(4,0)Q，使得两条不同直线QA，QB恰好关于x轴对称.（1）将点坐标代入方程，结合离心率公式及222a b c=+，即可求出2,a b==，进而可求得椭圆C的标准方程；（2）设直线l的方程为1x my=+，与椭圆联立，可得12y y+，12y y的表达式，根据题意可得，直线QA，QB的斜率互为相反数，列出斜率表达式，计算化简，即可求出Q点坐标.【详解】（1）有题意可得22222191412a bcaa b c⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2,1a b c===，所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）存在定点(4,0)Q ，满足直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称，设直线l 的方程为1x my =+，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，联立得22(43)690m y my ++-=，22(6)4(43)(9)0m m ∆=-⨯+⨯->，设1122(,),(,)A x y B x y ，定点(,0)Q t ，由题意得12,t x t x ≠≠，所以12122269,4343m y y y y m m +=-=-++，因为直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称，所以直线QA ，QB 的斜率互为相反数，所以12120y y x t x t+=--，即1221()()0y x t y x t -+-=，所以11221)1()(0y y my t my t +-++-=，即1212(1)()02y y t y m y +-+=，所以22962((1)()04343m m t m m⋅-+--=++，即6(4)0m t --=，所以当4t =时，直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称，即(4,0)Q .综上，在x 轴上存在定点(4,0)Q ，使直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称.本题考查椭圆的方程及几何性质，考查直线与椭圆的位置关系问题，解题的关键是将条件：直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称，转化为直线QA ，QB 的斜率互为相反数，再根据韦达定理及斜率公式，进行求解，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.20．已知抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，A (2，y 0)是E 上一点，且|AF |＝2.（1）求E 的方程；（2）设点B 是E 上异于点A 的一点，直线AB 与直线y ＝x －3交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交E 于点M ，证明：直线BM 过定点.【正确答案】（1）x 2＝4y ；（2）证明见解析.（1）利用抛物线的定义与性质求得p 的值，即可写出抛物线方程；（2）设点()11,B x y 、()22,M x y ，由直线BM 的方程和抛物线方程联立，消去y ，利用韦达定理和A 、P 、B 三点共线，化简整理可得BM 的方程，从而求出直线BM 所过的定点．【详解】（1）由题意得002224p AF y py ⎧=+=⎪⎨⎪=⎩，解得021p y =⎧⎨=⎩，所以，抛物线E 的标准方程为24x y =.（2）证明：设点()11,B x y 、()22,M x y ，设直线BM 的方程为y kx b =+，联立24y kx b x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得2440x kx b --=，由韦达定理得124x x k +=，124x x b =-，由MP x ⊥轴以及点P 在直线3y x =-上，得()22,3P x x -，则由A 、P 、B 三点共线，得21214122x kx b x x -+-=--，整理得()()()12121241260k x x k x b x b ---++--=，将韦达定理代入上式并整理得()()12230x k b -+-=，由点B 的任意性，得230k b +-=，得32b k =-，所以，直线BM 的方程为()2323y kx k k x =-+=-+，即直线BM 过定点()2,3.本题考查了抛物线的性质，直线和抛物线的位置关系，以及直线过定点的应用问题，利用韦达定理处理由A 、P 、B 三点共线是解第二问的关键，是中档题．21．已知有限数列12:,,,m A a a a 为单调递增数列．若存在等差数列121:,,,m B b b b + ，对于A 中任意一项i a ，都有1i i i b a b +≤<，则称数列A 是长为m 的Ω数列．（1）判断下列数列是否为Ω数列（直接写出结果）：①数列1，4，5，8；②数列2，4，8，16．（2）若(,,)a b c a b c R <<∈，证明：数列a ，b ，c 为Ω数列；（3）设M 是集合{|063}x N x ∈≤≤的子集，且至少有28个元素，证明：M 中的元素可以构成一个长为4的Ω数列．【正确答案】（1）①数列1，4，5，8是Ω数列；②数列2，4，8，16是Ω数列；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）由数列的新定义，可直接判定，得到答案；（2）分当b a c b -=-，b a c b -<-和b a c b ->-三种情况讨论，结合数列的新定义，即可求解；（3）假设M 中没有长为4的Ω数列，先考虑集合{16,161,,1615}k M k k k =++L ，得到存在一个k ，使得kM中没有一个元素属于M ，再考虑集合,{164,1641,k j M k j k j =+++1642,1643}k j k j ++++，得到存在一个j ，使得,k j M 中没有一个元素属于M ，进而证得集合M 中至多有27个元素，即可得到结论.【详解】（1）由数列的新定义，可得数列1，4，5，8是Ω数列；数列2，4，8，16是Ω数列．（2）①当b a c b -=-时，令1b a =，2b b =，3b c =，42b c b =-，所以数列1b ，2b ，3b ，4b 为等差数列，且1234b a b b b c b <<<≤≤≤，所以数列a ，b ，c 为Ω数列．②当b a c b -<-时，令12b b c =-，2b b =，3b c =，42b c b =-，所以数列1b ，2b ，3b ，4b 为等差数列，且1234b a b b b c b <<<≤≤≤．所以数列a ，b ，c 为Ω数列．③当b a c b ->-时，令1b a =，22a c b +=，3b c =，432c a b -=，所以数列1b ，2b ，3b ，4b 为等差数列，且1234b a b b b c b <<<≤≤≤．所以数列a ，b ，c 为Ω数列．综上，若a b c <<，数列a ，b ，c 为Ω数列．（3）假设M 中没有长为4的Ω数列，考虑集合{16,161,,1615}k M k k k =++L ，0k =，1，2，3．因为数列0，16，32，48，64是一个共有5项的等差数列，所以存在一个k ，使得k M 中没有一个元素属于M ．对于其余的k ，再考虑集合,{164,1641,1642,1643}k j M k j k j k j k j =+++++++，0j =，1，2，3．因为164k j +，1644k j ++，1648k j ++，16412k j ++，16416k j ++是一个共有5项的等差数列，所以存在一个j ，使得,k j M 中没有一个元素属于M ．因为,k j M 中4个数成等差数列，所以每个,k j M 中至少有一个元素不属于M ．所以集合{|063}x x ∈N ≤≤中至少有16431937+⨯+⨯=个元素不属于集合M ．所以集合M 中至多有643727-=个元素，这与M 中至少有28个元素矛盾．所以假设不成立．所以M 中的元素必能构成长为4的Ω数列．1、数列新定义问题的特点：通过给出一个新的数列概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情境，要求考生再阅读理解的基础上，以及题目提供的信息，联系所学知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到数列的心定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决.。
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西安市第一中学
2010-2011学年度第一学期高二年级期末考试
文科数学试题
一.选择题（10小题，每题4分。
共40分）
1．全称命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定（ ） A ．所有被5整除的整数都不是奇数 B ．所有奇数都不能被5整除 C ．存在一个被5整除的整数不是奇数 D ．存在一个奇数，不能被5整除 2. 已知
()2f x x =，则()3f '等于（ ）
A ．0
B ．6
C ． 2x
D ．9
3. 已知椭圆
116
252
2=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为 3，则P 到另一焦点距离为（ ）
A ．2
B ．3
C ．5
D ．7 4. 已知两定点1(5,0)F ，2(5,0)F -，曲线上的点P 到1F 、2F 的距 离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为（ ）
A.
221916x y -= B.221169x y -= C.2212536x y -= D. 22
12536
y x -= 5.若抛物线2
2y px =的焦点与椭圆22162
x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 6.函数 的导数是 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7. 方程2
2520x
x -+=的两个根可分别作为（ ）
Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率
Ｄ．两椭圆的离心率
8.若函数
c bx x x f ++=2)(的图象的顶点在第四象限，则函数)('x f 的图象是（ ）
x x 12
-2
21x x +221x
x -221x x -x
x y 12-=
9.双曲线与椭圆
136
272
2=+y x 有相同焦点，且经过点(15,4)，则双曲线的方程为（ ）
A ．15422=-y x
B ．14522=-x y
C ． 15422=-x y
D ．14
52
2=-y x 10.抛物线2x y =上到直线042=--y x 的距离最短的点的坐标是
（ ）
A ．（1，1）
B ．（
4
1,21） C ．)49
,23(
D ．（2，4）
二. 填空题（5小题，每题4分。
共20分）
11．经过点(3,0)P -，(0,2)Q -的椭圆的标准方程是
12.物体的运动方程是
523
123
-+=t t s 则物体在t=3时的瞬时速度为_ _____. 13．已知
()ln f x x x =+，则(1)f '=
14.双曲线
116
92
2=-y x 的离心率等于 15.半径为r 的圆的面积()2
S r r π=,周长()2C r r π=,若将r 看成()0,+∞上的变量,则
()2
2r r ππ'=①，①式
可用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看成()0,+∞上的变量，请你写出类似于①的式子：______________________②，②式可用语言叙述为_______________ 三．解答题（5小题，共40分）
16．把命题“对顶角相等”写成“若p 则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题，再判断这四个命题的真假． 17．已知曲线
32y x x =-上一点(1,1)P --，求：
（1）点P 处的切线方程;
（2）点P 处的切线与x 轴、y 轴所围成的平面图形的面积. 18.已知
]2,1[12)(23-∈+-=x x x x f ，求()f x 的最值 (要有详细的解题过程)
19. 已知(4,2)是直线l 被椭圆 x 236＋y 2
9＝1所截得的线段的中点，求直线l 的方程.
20.已知椭圆的两焦点为)0,3(),0,3(21F F -,P 为椭圆上一点,且421=+PF PF
(1)求此椭圆方程. (2)若3
21π
=∠PF F ,求21PF F ∆的面积(要有详细的解题过程)
2010-2011学年度第一学期高二年级期末考试
文科数学试题答案
一.选择题（10小题，每题4分。
共40分） 题号 1
2
3 4 5 6 7 8 9 10 答案
C B
D
A
D
B
A
A
C
A
二. 填空题（5小题，每题4分。
共20分）
11．14
92
2=+y x 12 . 21 13．23 1 4. 35
15.半径为r 的球的体积334)(r r V π=
,表面积2
4)(r r S π=,若将r 看成()0,+∞上的变量,则234)'3
4(r r ππ=②，②式可用语言叙述为:球的体积函数的导数等于球的表面积函数． 三．解答题（5小题，共40分）
16．若两个角是对顶角，则这两个角相等． 逆命题：若两个角相等，则这两个角是对顶角．（假命题） 否命题：若两个角不是对顶角，则这两个角不相等．（假命题） 逆否命题：若两个角不相等，则这两个角不是对顶角．（真命题） 17．解：(1) 223y x '=-
1)1(32|'21-=-⨯-=∴-=x y ∴ 切线方程为(1)[(1)]y x --=--- 即 20x y ++=
(2)切线20x y ++=在x 轴、y 轴上的截距都是2-，故切线与x 轴、y 轴所围成的平面图形为直角三角
形，其面积为2|2||2|2
1
=-⨯-⨯=
S . 18.求
]
2,1[12)(23-∈+-=x x x x f 的最值
,1)2()0()(max ===f f x f 2
)1()(min -=-=f x f
19.解: 设l 与椭圆的交点为 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则有⎩⎨⎧
x 2136＋y 21
9
＝1，x 22
36＋y
22
9＝1.
两式相减，得k AB ＝y 1－y 2
x 1－x 2
＝－9(x 1＋x 2)36(y 1＋y 2)＝－2×44×2×2＝－12.
∴l 的方程为：y －2＝－1
2(x －4)，
即x ＋2y －8＝0.
20.已知椭圆的两焦点为)0,3(),0,3(21F F -
,P 为椭圆上一点,且421=+PF PF
(1)椭圆方程 11
42
2=+y x (2)3
21π
=
∠PF F ,21PF F ∆的面积
3
3。