分式-中考复习

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备战九年级中考数学一轮复习第3课分式(全国通用)

由题知x≠0，当x＝2时，x－ 4x 4 ＝0
x
∴x的值只能取1.当x＝1时，原式＝
1
1
2
＝－1
14．(202X·贵州)计算： x 2 ＝____1____. x2 x2
15．化简：x2 1 x 1 ＝___x－__1___. xx
c 16．计算： c2 a2c ＝___2_a_3___.
B. x ＜ y 33
D．－3x＜－3y
考点3 分式化简求值
4
11.(202X·湘潭)若 y 3 ，则 x y ＝___7_____.
x7
x
12.【例3】(202X·深圳)先化简，再求值：
a2
a
1 2a 1
2
3a a 1
，其中，a＝2.
解：原式
a 1
a 12
2a
23 a 1
a
a 1
a 12
x2 4xy 4 y2
yx
1
x 2y2
x 2y x2 y2
x2y x yx y
1 x 2y 2x 3y
xy xy
由题x＝cos 30°×12 －2
＝3
2
×23
2
3+＝33，2y＝(π－3)013－1
32
将x＝3，y＝－2代入，得原式＝
＝0.
＝1－3＝
2a94＝.(210952X，·滨a5州＝)12视16察，下…列，各根式据：其a中1＝的23规，律a可2＝得53an，＝a_n3_2＝_2_1n_70_11_，_n1
是__x_≠_－__1__.
考点2 分式的基本性质
9.【例2】(202X·河北)若a≠b，则下列分式化简正确的是( D )

2021年中考复习数与式-第04讲分式(教师版)A4

分式一．分式的概念及性质1．分式分概念：一般地，用A，B表示两个整式A B÷就可以表示成AB的形式．如果B中含有字母，式子AB就叫做分式．（1）分式有意义的条件：分式的分母不为零．（2）分式的值为零的条件：分式的分子为零且分母不为零．（3）分式值为正的条件分式的分子分母符号相同（两种情况）．（4）分式值为负的条件：分式的分子分母符号不同（两种情况）．2．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变用式子表示A A CB B C⋅=⋅，A A CB B C÷=÷(0C≠)，其中A,B,C为整式．二．分式的综合运算1．分式的乘除法（1）分式的乘除法：b d bda c ac⋅=，b d bc bca c a d ad÷=⋅=．（a、b、c、d既可以表示数，也可以表示单项式/多项式等）（2）分式的约分和通分：关键是先分解因式．分式的约分：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，分式的值不变．最简分式：分子与分母没有公因式．分式的通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，把几个异分母的分式化成同分母的分式，不改变分式的值．最简公分母：“各个分母”和“所有因式”的最高次幂的积．（3）分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．2．分式的加减法：（1）同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减，a b a bc c c±±=．（2）异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减，b d bc ad bc ada c ac ac ac±±=±=．3．分式的综合运算法则：先乘方，再乘除，最后加减，遇到括号先算括号里面的．知识精讲三．分式的化简与求值分式的化简求值分为有条件和无条件两类．有条件化简求值指导思想：瞄准目标，抓住条件，依据条件推导目标，根据目标变换条件．方法点拨1．分式的化简与求值常用方法和技巧：（1）分步或者分组通分；（2）拆项相消或拆分变形；（3）整体代入；（4）取倒数或者利用倒数关系；（5）换元；（6）先约分后通分2．通分技巧：分步通分，分组通分，先约分后再通分，换元后通分等．一．考点：分式的性质、分式的混合运算及化简求值二．重难点：分式的混合运算及化简求值三．易错点：1．分式的分母中含有根号时，根号下的代数式一定是负的．题模一：分式的基本知识例1.1.1要使3x -+121x -有意义，则x 应满足（）A ．12≤x ≤3B ．x ≤3且x ≠12C ．12＜x ＜3D ．12＜x ≤3 【答案】D 【解析】根据题意得：30210x x -≥⎧⎨->⎩，解得：12＜x≤3．故选D ．例1.1.2若分式21-2x x a+无论x 取何值时，分式的值恒为正，则a 的取值范围是_________．【答案】1a >【解析】分式值为正的条件：分式的分子分母符号相同，因分子为1，所以分母2-2x x a +也一定为正时满足条件，将式子2-2x x a +变形为2-21-1x x a ++（）（），因2210x x -+≥，即当10a ->时，分式的值恒为正例1.1.3当x ____时，分式1412x x 有意义；当x ____时，分式1111x 无意义；当x ____时，分式2224x x x x 的值为0【答案】2x ≠且6x ≠；2x =或1x =；0x =或1x =【解析】该题考查的是分式的性质．分式有意义要求分母不为0，无意义要求分母为0，分式值为0要求分母不为0且分子为0，三点剖析题模精讲分式1412xx 有意义，则410220x x ⎧-≠⎪-⎨⎪-≠⎩，即4122x x ⎧≠⎪-⎨⎪≠⎩，即242x x -≠⎧⎨≠⎩，解得62x x ≠⎧⎨≠⎩；分式1111x 无意义，则1101x -=-或10x -=，即111x =-或1x =，解得2x =或1x =；分式()()()()()()22+22114222x x x x x x x x x x x x -+--==--+-的值为0，则()1020x x x ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩，解得0x =或1x =．例1.1.4x 为何值时，分式2||656x x x ---:（1）值为零；（2）分式无意义？【答案】(1)6x =-（2）1x =-或6x =【解析】（1）分式值为0则60x -=且2560x x --≠，得6x =-；（2）要使分式无意义，则分母2560x x --=，得1x =-或6x =题模二：分式的运算及化简求值例1.2.1化简2244xy yx x --+的结果是（）A ．2x x +B ．2x x -C ．2y x + D ．2y x - 【答案】D 【解析】2244xy y x x --+=2?(2)(2)y x x --=2yx -，故选D ．例1.2.2解答下列各题：（1）解方程：；（2）先化简，再求值：，其中a 满足a 2+2a ﹣7＝0【解答】解：（1）∵，∴（x ﹣2）2＝（x +2）2+16，∴x 2﹣4x +4＝x 2+4x +4+16，∴﹣4x ＝4x +16，∴x ＝﹣2，经检验，x ＝﹣2是方程的增根，故原分式方程无解．（2）原式＝[﹣]•＝•＝，∵a 2+2a ﹣7＝0，∴a 2+2a ＝7，∴原式＝例1.2.3先化简，再求值：（），其中x=2．【答案】【解析】原式=[+]÷[﹣]=÷=÷=•=，当x=2时，原式==．例1.2.4已知实数a 满足a 2+2a-15=0，求11a +-221a a +-÷2(1)(2)21a a a a ++-+的值．【答案】18【解析】11a +-221a a +-÷2(1)(2)21a a a a ++-+=11a +-2(1)(1)a a a ++-•2(1)(1)(2)a a a -++=11a +-21(1)a a -+=22(1)a +， ∵a 2+2a -15=0，∵（a+1）2=16，∵原式=216=18．例1.2.5化简计算（式中a ，b ，c 两两不相等）222222a b c b c a c a ba ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab ------++--+--+--+．【答案】0【解析】()()()()()()()()()()()()1111110a b a c b c b a c a c b a b a c b c b a c a c b a c a b b a b c c b c a-+--+--+-++=+++++=------------随练1.1使代数式213x x--有意义的x 的取值范围是____．【答案】x≥12且x≠3 【解析】根据题意得，2x -1≥0且3-x≠0，解得x≥12且x≠3．故答案为：x≥12且x≠3．随练1.2如果分式2127a a +-的值是正数，那么a 的取值范围是________．【答案】72a >【解析】该题考察的是分式的性质．∵因为21a +恒0>，又∵分式2127a a +-的值是正随堂练习数，∴270a ->，解得：72a > ，故答案是72a >．随练1.3先化简，再求值：÷（﹣），其中a=．【答案】6﹣4【解析】原式=÷[﹣]=÷=•=（a ﹣2）2，∵a=，∵原式=（﹣2）2=6﹣4随练 1.4x 取值时,112122x +++有意义；当x 的值为，分式223-1244x x x ++的值为0．【答案】592,,;24x x x ≠-≠-≠-2【解析】分式有意义则分母不为零，所以20x +≠且1202x +≠+，且120122x +≠++，所以592,,;24x x x ≠-≠-≠-分式值为零，则分子为零，且分母不为零，即()22312340x x -=-=且()224420x x x ++=+≠，故2x =．随练1.5当x 取何值时，分式2256x x x --+有意义？【答案】2x ≠±且3x ≠±【解析】间接考虑2560x x -+=，然后排除2560x x -+=的情形即可.()()256230x x x x -+=--=得20x -=或30x -=，2x =±或3x =±故要是分式有意义2x ≠±且3x ≠±即可．随练1.6若1abc =，求111a b cab a bc b ca c ++++++++的值．【答案】1 【解析】原式=11111111a ab abc a ab a ab ab a abc ab a abca abc ab ab a ab a a ab ab a ++++=++==++++++++++++++随练1.7已知a ，b ，c 为实数，16ab a b =+，18bc b c =+，110ca c a =+，求分式abcab bc ca++的值．【答案】112【解析】由16ab a b =+，18bc b c =+，110ca c a =+知a ，b ，c 均不为零，故116a b +=，118b c+=，1110c a +=，解得14a =，12b =，16c =，故原式=1111112a b c=++随练1.8若使分式1-1m 的值为整数，这样的m 有几个？若使分式1-1m m +的值为整数，这样的m 有几个？【答案】2，4【解析】若使分式1-1m 为整数，只需满足1m -为1的因数即可，即11m -=±，结果为0m =或2m =；分式11m m +-为整数，需要将式子整理为-12-1-1m m m +，即只要2-1m 为整数，11,2m -=±±，因此0,2,1,3m =-．随练1.9已知：y=22699x x x ++-÷233x x x+--x+3，试说明不论x 为任何有意义的值，y 值均不变．【答案】见解析【解析】本题主要考查了分式的混合运算能力．先把分子分母分解因式再化简约分即可．证明：y=22699x x x ++-÷233x x x+--x+3=2(3)(3)(3)x x x ++-×(3)3x x x -+-x+3=x -x+3=3．故不论x 为任何有意义的值，y 值均不变．随练1.10已知0abc ≠，0a b c ++=，则代数式222a b c bc ca ab++的值为__________．【答案】3【解析】由0a b c ++=得()a b c =-+，()b a c =-+，()c a b =-+代入原代数式可得原式()()()22263b c a c a b b c a c b abccaabc b c a a b+++=++=++++++= 作业1若a 使分式241312a a a-++没有意义，那么a 的值是（）A ．0B ．13-或0 C ．2±或0 D ．15-或0【答案】D【解析】要使分式无意义，则分母为零即可，故13102a a ++=或20a =，所以15a =-或0a =，故答案为D 选项．作业2要使分式11x x-有意义，则x 的取值范围是_________．【答案】0x ≠且1x ≠±【解析】对于多重分式，必须要满足每一重的分母都不为0，首先0x ≠，得0x ≠；其次10x x-≠，课后作业得1x ≠±；故x 的取值范围是0x ≠且1x ≠±作业3化简：()()()222222x yz y zx z xyx y z x yz y z x y zx z x y z xy +-++++--+++---．【答案】0【解析】因为()()()2x y z x yz x y x z +--=+-，()()()2y z x y zy x y y z +++=++()()()2z x y z xy y z z x ---=+-，所以原式=()()()()()()()()()2220x yz y z y zx z x z xy x y x y y z z x -+++--+++=++-．作业4化简：÷﹣的结果为（）A ．B ．C ．D ．a【答案】C 【解析】原式=×﹣=﹣=，作业5已知()22221111x x A B Cx x x x x +-=++--，其中A 、B 、C 为常数，求A B C ++的值．【答案】13【解析】原式右边=()()()()()()()22222211211111Ax x B x Cx A C x B A x B x x x x x x x x -+-+++--+-==---，得2A C +=，1B A -=，11B -=-，解得10A =，11B =，8C =-，从而13A B C ++=作业6先化简，再求值：222x x x+-2212x x x -++÷211x x -+，其中x 为0＜x 的整数．【答案】14【解析】原式=2(2)x x x +-2(1)2x x -+•1(1)(1)x x x ++-=2(2)x x x +-12x x -+=(2)x x x +=12x +，∵x 为0＜x 的整数，∵x=1（舍去）或x=2，则x=2时，原式=14．作业7阅读下面材料，并解答问题．材料：将分式42231x x x 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．由分母为-x 2+1，可设-x 4-x 2+3=（-x 2+1）（x 2+a ）+b则-x 4-x 2+3=（-x 2+1）（x 2+a ）+b=-x 4-ax 2+x 2+a+b=-x 4-（a-1）x 2+（a+b ）∵对应任意x ，上述等式均成立，∴113a a b ，∴a=2，b=1∴42231x x x =222(1)(2)11x x x =222(1)(2)1x x x +211x =x 2+2+211x这样，分式42231x x x 被拆分成了一个整式x 2+2与一个分式211x 的和．解答：（1）将分式422681x x x 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．（2）当x ∈（-1，1），试说明422681x x x 的最小值为8．【答案】（1）x 2+7+211x （2）见解析【解析】（1）由分母为-x 2+1，可设-x 4-6x 2+8=（-x 2+1）（x 2+a ）+b则-x 4-6x 2+8=（-x 2+1）（x 2+a ）+b=-x 4-ax 2+x 2+a+b=-x 4-（a -1）x 2+（a+b ）∵对应任意x ，上述等式均成立，∵168a ab ，∵a=7，b=1，∵422681x x x =222(1)(7)11x x x =222(1)(7)1x x x +211x =x 2+7+211x这样，分式422681x x x 被拆分成了一个整式x 2+7与一个分式211x 的和．（2）由422681x x x =x 2+7+211x 知，对于x 2+7+211x ，当x=0时，这两个式子的和有最小值，最小值为8，即422681x x x 的最小值为8．作业8设x ，y ，z 为互不相等的三个非零实数，且111x y z y z x+=+=+，求xyz 的值．【答案】1± 【解析】由已知111x y z y z x +=+=+，11x y y z +=+，11y zx y z y zy--=-=得y z zy x y -=-，同理可得，z x zx y z -=-，x y xy z x-=-，所以1y z z x x y zy zx xy x y y z z x ---⋅⋅=⋅⋅=---，即()21xyz =，故1xyz =±。

计算专题——分式综合 2023年九年级数学中考复习

计算专题——分式综合九年级数学中考复习1．阅读下列材料学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于x 的分式方程14ax =-的解为正数，求a 的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于x 的方程，得到方程的解为4x a =+，由题目可得40a +>，所以4a >-，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须0a ≠才行．（1）请回答：的说法是正确的，正确的理由是．完成下列问题：（2）已知关于x 的方程233m xx x-=--的解为非负数，求m 的取值范围；（3）若关于x 的方程322133x nx x x --+=---无解，求n 的值．2．阅读下列材料：关于x 的方程11x c x c +=+的解是1211,(x c x x c==，2x 表示未知数x 的两个实数解，下同）；22x c x c +=+的解是122,x c x c ==；33x c x c +=+的解是123,x c x c==．请观察上述方程与解的特征，比较关于x 的方程(0)m mx c m x c+=+≠与它们的关系，猜想它的解是．由上述的观察、比较、猜想，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解．请用这个结论解关于x 的方程：（1）1265x x +=；（2）2211x a x a +=+--；（3）2131462a a x x a+++=-．3．我们把形如(mnx m n m x+=+，n 不为零），且两个解分别为1x m =，2x n =的方程称为“十字分式方程”．例如65x x +=为十字分式方程，可化为2323x x ⨯+=+，12x ∴=，23x =．再如78x x +=-为十字分式方程，可化为(1)(7)(1)(7)x x-⨯-+=-+-． 11x ∴=-，27x =-．应用上面的结论解答下列问题：（1）若107x x+=-为十字分式方程，则1x = ，2x = ．（2）若十字分式方程45x x -=-的两个解分别为1x a =，2x b =，求1b aa b++的值．（3）若关于x 的十字分式方程232321k k x k x --=--的两个解分别为1x ，212(3,)x k x x >>，求124x x +的值．4．新定义：对非负实数x “四舍五入”到个位数的值记为x <> 即：当n 为非负整数时，如果1122n x n -+，则x n <>=．反之，当n 为非负整数时，如果x n <>=，则1122n x n -<+ 例如：00.480<>=<>=，0.64 1.491<>=<>=，22<>=， 3.5 4.124<>=<>=，⋯ 试解决下列问题：填空：①π<>= (π为圆周率）；②如果13x <->=，则实数x 的取值范围为；③若关于x 的不等式组24130x x a x -⎧-⎪⎨⎪<>->⎩的整数解恰有4个，求a 的取值范围；④关于x 的分式方程112221m x x x -<>+=--有正整数解，求m 的取值范围； ⑤求满足65x x <>=的所有非负实数x 的值．5．定义：若分式M 与分式N 的和等于它们的积，即M +N ＝MN ，则称分式M 与分式N 互为“关联分式”．如21x x +与21x x -，因为()222422111(1)11x x x x x x x x x x x +==⋅+-+-+-所以21xx +与21xx -互为“关联分式”，其中一个分式是另外一个分式的“关联分式”．（1）分式221a + 分式221a -的“关联分式”（填“是”或“不是”）；（2）求分式()02aab a b≠-的“关联分式”；（3）若分式224ab a b -是分式22aa b+的“关联分式”，ab ≠0，求分式222a b ab -的值．6．阅读材料：对于非零实数a ，b ，若关于x 的分式()()x a x b x--的值为零，则解得1x a =，2x b =．又因为2()()()()x a x b x a b x ab abx a b x x x---++==+-+，所以关于x 的方程()ab x a b x +=+，的解为1x a =，2x b =．（1）理解应用：方程22233x x +=+的解为：1x = ，2x = ；（2）知识迁移：若关于x 的方程35x x+=的解为1x a =，2x b =，求22a b +的值；（3）拓展提升：若关于x 的方程41k x x =--的解为1x ，2x ，且121x x =，求k 的值．7．由完全平方公式222()2a b a ab b -=-+可知，222()2a b a b ab +=-+，而2()0a b -，所以，对所有的实数a ，b 都有：222a b ab +，且只有当a b =时，才有等号成立：222a b ab +=．应用上面的结论解答下列问题：（1）计算21()x x-= ，由此可知221x x + 2（填不等号）；（2）已知m ，n 为不相等的两正数，试比较：(1%)(1%)m n ++与(1%)(1%)22m n m n++++的大小；（3）试求分式24224x x x -+的最大值．8．如果两个分式M 与N 的和为常数k ，且k 正整数，则称M 与N 互为“和整分式”，常数k 称为“和整值”．如分式1x M x =+，11N x =+，111x M N x ++==+，则M 与N 互为“和整分式”，“和整值” 1k =．（1）已知分式72x A x -=-，22696x x B x x ++=+-，判断A 与B 是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值” k ；（2）已知分式342x C x -=-，24G D x =-，C 与D 互为“和整分式”，且“和整值” 3k =，若x 为正整数，分式D 的值为正整数t ．①求G 所代表的代数式； ②求x 的值；（3）在（2）的条件下，已知分式353x P x -=-，33mx Q x-=-，且P Q t +=，若该关于x 的方程无解，求实数m 的值．9．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如21,11x x x x -+-这样的分式就是假分式；再如：232,11xx x ++这样的分式就是真分式类似的，假分式也可以化为带分式（即:整式与真分式的和的形式）．如：1(1)221111x x x x x -+-==-+++；再如：2211(1)(1)1111111x x x x x x x x x -++-+===++----．解决下列问题：（1）下列分式中属于“真分式”的有；（填序号）①2x ；②211x x -+；③211x x x -+-（2）将假分式22x x +化为带分式的形式；（3）如果211x x -+的值为整数，求x 的整数值．10．对于形如kx m x+=的分式方程，若k ab =，m a b =+，容易检验1x a =，2x b =是分式方程ab x a b x +=+的解，所以称该分式方程为“易解方程”．例如：23x x+=可化为1212x x ⨯+=+，容易检验11x =，22x =是方程的解，∴23x x +=是“易解方程”：又如65x x +=-可化为(2)(3)23x x --+=--，容易检验13x =-，22x =-是方程的解，∴65x x+=-也是“易解方程”．根据上面的学习解答下列问题：（1）判断56x x+=-是不是“易解方程”，若是“易解方程”，求该方程的解1x ，212()x x x <；若不是，说明理由．（2）若1x m =，2x n =是“易解方程” 34x x -=的两个解，求11m n+的值；（3）设n 为自然数，若关于x 的“易解方程” 223352n nx n x ++=+-的两个解分别为1x ，212()x x x <，求211x x -的值．答案版： 1【解答】解：（1）分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0，∴小聪说得对，分式的分母不能为0；（2）233m xx x-=--， 233m xx x +=--， 2(3)m x x +=-， 6x m =+，解为非负数，60m ∴+，即6m -，又30x -≠，63m ∴+≠，即3m ≠-，6m ∴-且3m ≠-；（3）322133x nx x x --+=---， 322(3)x nx x -+-=--， (1)2n x -=，原方程无解， 10n ∴-=或3x =，①当10n -=时，解得1n =； ②当3x =时，解得53n =；综上所述：当1n =或53n =时原方程无解． 2．【解答】解：11x c x c +=+的解是121,x c x c==； 22x c x c +=+的解是122,x c x c ==； 33x c x c +=+的解是123,x c x c==； ∴(0)m m x c m x c +=+≠的解是1x c =，2mx c=，故答案为：1x c =，2m x c=；（1）1265x x +=， 1155x x ∴+=+， 15x ∴=，215x =；（2）2211x a x a +=+--， 221111x a x a ∴-+=-+--， 11x a ∴-=-或211x a -=- 1x a ∴=，211a x a +=-；（3）2131462a a x x a +++=-， 2131223a a x x a ++∴+=-， 112323x a x a∴+=++-，112323x a x a∴-+=+-， 23x a ∴-=或123x a-=， 132a x +∴=，2312a x a +=．3．【解答】（1）解：方程107x x+=-是十字分式方程，可化为： (2)(5)(2)(5)x x-⨯-+=-+-， 12x ∴=-，25x =-，故答案为：2-，5-．（2）解：十字分式方程45x x-=-的两个解分别为：1x a =，2x b =， 4ab ∴=-，5a b +=-，∴1b a a b++ 221b a ab+=+，2()21a b ab ab +-=+， 2()21a b ab +=-+， 2(5)14-=--， 294=-．（3）解：方程232321k k x k x --=--是十字分式方程，可化为： (23)1(23)1k k x k k x --+=+--，当3k >时，2330k k k --=->，关于x 的十字分式方程232321k k x k x --=--的两个解分别为：1x ，212(3,)x k x x >>，1123x k ∴-=-，21x k -=， 122x k ∴=-，21x k =+ ，∴124224222(1)2111x k k k x k k k +-+++====+++． 4．【解答】解：①由题意可得：3n <>=；故答案为：3， ②13x <->=， 2.51 3.5x ∴-<， 3.5 4.5x ∴<；故答案为：3.5 4.5x <； ③解不等式组得：1x a -<<>，由不等式组整数解恰有4个得，23a <<>，故2.5 3.5a <； ④解方程得22x m =-<>， 2m -<>是整数，x 是正整数，21m ∴-<>=或2， 21m -<>=时，2x =是增根，舍去． 22m ∴-<>=， 0m ∴<>=， 00.5m ∴<． ⑤0x ，65x 为整数，设65x k =，k 为整数，则56x k =， 56k k ∴<>=， 151262k k k ∴-+，0k ， 03k ∴， 0k ∴=，1，2，3 则0x =，56，53，52． 5．【解答】解：（1）+ ＝＝＝＝， ∴分式是分式的“关联分式”；故答案为：是；（2）设分式的“关联分式”为N，则有，∴，∴，∵ab≠0，∴，∴分式的“关联分式”为；（3）∵分式是分式的“关联分式”，∴∵ab≠0，∴b2＝8a2∴，∴．6．【解答】解：（1）abx a bx+=+的解为1x a=，2x b=，∴222233xxx x+=+=+的解为3x=或23x=，故答案为：3，23；（2）35xx+=，5a b∴+=，3ab=，222()225619a b a b ab∴+=+-=-=；（3）41k xx=--可化为2(1)40x k x k-+++=，121x x=，41k∴+=，3k∴=-．7．【解答】解：（1）4222121()x x x x x -+-=， 2212x x ∴+，故答案为：42221x x x -+，；（2）(1%)(1%)1%%%%m n m n m n ++=+++⋅， 2(1%)(1%)12%(%)2222m n m n m n m n ++++++=+⋅+，2222()()24242m n m mn n m n mn mn +--=++-=，又m n ≠， (1%)(1%)(1%)(1%)22m n m n m n ++∴++<++；（3）当0x =时，242024x x x =-+，当0x ≠时，242222211442422x x x x x x x ==-+-++-，()22242242,x x x x x +==当时等号成立， ∴2421124422x x x =-+-， ∴224212,242x x x x =-+当时的最大值为． 8．【解答】解：（1）72x A x -=-，22696x x B x x ++=+-， ∴2227697(3)732(2)2262(3)(2)222x x x x x x x x A B x x x x x x x x x -++-+-+-+=+=+=+==-+--+----．A ∴与B 是互为“和整分式”，“和整值” 2k =；（2）①342xC x -=-，24GD x =-， ∴2(34)(2)328(2)(2)(2)(2)(2)(2)x x G x x G C D x x x x x x -++-++=+=-+-+-+， C 与D 互为“和整分式”，且“和整值” 3k =， 223283(2)(2)312x x G x x x ∴+-+=-+=-， 2231232824G x x x x ∴=---+=--；②22(2)24(2)(2)2G x D x x x x -+===--+--，且分式D 的值为正整数t ．x 为正整数， 21x ∴-=-或22x -=-， 1(0x x ∴==舍去）；（3）由题意可得：2212t D ==-=-， ∴353233x mx P Q x x --+=+=--， ∴35323x mx x --+=-， (3)226m x x ∴--=-，整理得：(1)4m x -=-，方程无解， 10m ∴-=或方程有增根3x =，解得：1m =，当10m -≠，方程有增根3x =， ∴431m -=-，解得：73m =，综上：m 的值为：1或73． 9．【解答】解：（1）由题意可得：①是“真分式”；②③都是“假分式”．故答案为：①；（2）2244(2)(2)4422222x x x x x x x x x -++-+===-+++++；（3）212(1)332111x x x x x -+-==-+++， 211x x -+的值为整数， ∴31x +的值为整数， 3∴是(1)x +的倍数， x ∴的整数值为4-、2-、0、2． 10．【解答】解：（1）56x x +=-是“易解方程”，理由： 56x x +=-可化为(5)(1)51x x --+=--， 51-<-， ∴56x x +=-是“易解方程”． ∴方程的解为15x =-，21x =-；（2）1x m =，2x n =是“易解方程” 34x x -=的两个解，3mn ∴-=，4m n =+，则114433n m m n mn ++===--；（3）设2y x =-，方程可化为(23)23n n y n n y ++=++，2232332n n x n x +-+=+-是“易解方程”， n ∴和23n +是这个方程的解， n 为自然数， 23n n ∴<+， ∴必有12x n -=，2223x n -=+， 12x n ∴=+，225x n =+， ∴21125122x n x n -+-==+．。

2022年中考数学二轮复习攻略专题04 分式、分式方程及一元二次方程

专题04分式、分式方程及一元二次方程复习考点攻略考点01 分式相关概念1、分式的定义一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式。

【注意】A 、B 都是整式，B 中含有字母，且B ≠0。

2、分式的基本性质分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。

A A CB BC ⋅=⋅；A A CB B C÷=÷（C≠0）。

3、分式的约分和通分（1）约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。

（2）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。

（3）最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。

（4）最简公分母：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。

【注意1】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式。

【注意2】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母。

4、分式的乘除①乘法法则：db ca d cb a ⋅⋅=⋅。

分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

②除法法则：cb d acd b a d c b a ⋅⋅=⋅=÷。

分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

③分式的乘方：nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭。

分式乘方要把分子、分母分别乘方。

④整数负指数幂：1nn aa-=。

5、分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。

①同分母分式的加减：a b a bc c c±±=；②异分母分式的加法：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=。

【注意】不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。

6、分式的混合运算（1）含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．（2）混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．【例1】若分式21xx-在实数范围内无意义，则x的取值范围是（）A．x≠1 B．x=1 C．x=0 D．x＞1【例2】若分式11x+的值不存在，则x=__________．【例3】分式52xx+-的值是零，则x的值为（）A．5B．2C．－2D．－5 【例4】下列变形正确的是（）A．ab=22ab++B．0.220.1a b a bb b++=C．ab–1=1ab-D．ab=22(1)(1)a mb m++考点02 分式方程相关概念1．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母。

第3节分式-中考数学一轮知识复习PPT课件

3．通分：
(1)定义：把几个异分母的分式化为同___分__母__分式的过程叫做分式的通分．通分的关键是确定各分母的_最__简__公___分__母__．
(2)确定最简公分母的方法： ①取各分母系数的最小公倍数，作为最简公分母的系数；取各分母所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母的因式． ②若分母是多项式，则应先把各个分母分解因式，再确定最简公分母．温馨提示
2．分式有、无意义和值为 0 的条件：条件
分式AB 有意义
__B__≠_0__
分式AB 无意义
__B_＝__0__
分式AB 的值为 0
__A_＝__0__且 B≠0
3.最简分式：分子与分母没有_公__因__式__的分式．
分式的基本性质
1．基本性质：分式的分子与分母都_乘__或___除__以___同一个不等
B．缩小 10 倍
C．是原来的23
D．不变
☞命题点3 分式的运算 A
1 x＋1
8．(2020·随州)x2－2 4
1 ÷x2－2x
的计
算结果为( B )
A.x＋x 2
B．x＋2x2
C．x－2x2
2 Dx（x＋2）
☞命题点4 分式的化简及求值(8年7考)
9.(2018·广东 18 题 6 分)先化简，再求值：
6．(2020·花都区一模)计算：x＋x 1 ＋x＋1 1 =___1__．
7．(12020·黄冈)计算：x2－y y2 ÷1－x＋x y 的结果是_____x_－__y____．
8．(2020·东莞一模)先化简：1＋a2－1 1
a ÷a－1
，
请在－1，0，1，2，3 当中选一个合适的数代入求值．
3

中考复习---分式

中考复习――分式一、中考调研（一）考情播报（1）（2009广东3分）函数1x y x =-自变量x 的取值范围是 .(2) （2010广东6分）先化简，再求值 ()x x x x x 224422+÷+++ ，其中 x =2 ．（3）（2011广东3分）．使2-x 在实数范围内有意义的x 的取值范围是______ ____．（4）（2012广东 9分）有三张正面分别写有数字﹣2，﹣1，1的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡片北背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为x 的值，放回卡片洗匀，再从三张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为y 的值，两次结果记为（x ，y ）．（1）用树状图或列表法表示（x ，y ）所有可能出现的结果；（2）求使分式+有意义的（x ，y ）出现的概率；（3）化简分式+，并求使分式的值为整数的（x ，y ）出现的概率．考点：列表法与树状图法；分式有意义的条件；分式的化简求值. （二）命题动向1、分值：3－5分2、题型：分式相关题型大多为选择、填空、计算题3、考点：分式意义、分式的运算，二、知识梳理概念整式――－分解因式提公因式方法（一）有理式公式法概念分式性质约分运算－通分分式混合运算（二）、考点知识梳理 1、分式概念:形如A B(A 、B 是整式，B 中含有字母，且B ≠0)的式子叫做分式.(1)分式有无意义: B ≠0时,分式有意义; B =0时,分式没有意义. (2)分式的值为0: A =0且 B ≠0时, 分式的值为02、分式性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示为：(0)b m b m a ma⨯=≠⨯ ；(0)b m bm a ma÷=≠÷ . 3、约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。

(关键是确定分子分母中的公因式)4、通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.（关键是确定n 个分母的最简公分母）5、分式运算; 分式加减：（1）同分母的分式加减：分母不变，把分子相加减即a b cc ±= . （2）异分母的分式加减：先通分，变为同分母的分式，然后相加减即a c bd±= .分式的乘除法(1)分式乘以分式：用分子的积作分子，分母的积作分母，即a cb d ∙= (2)分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘即ac b d÷=分式的乘方法则: 把分子、分母各自乘方即()kn m= (0)m ≠分式的混合运算:应先算乘方，再算乘除，进行约分化简后，最后进行加减，遇到有括号的，先算括号里面的，运算结果必须是最简分式或整式.三、中考典例分析例1.若分式15x -有意义,则x 的取值范围是 ( )A. x ≠5B. x >5C. x >-5D. x ≠-5 2.已知114,a b -=则2227a ab b a b ab---+的值等于 ( )A. 6B. -6C. 215D. 27-3.计算22()ab a b-的结果是 . 4.已知分式11x x +-的值为0,那么x 的值为 .变式训练1、(2010玉溪中考)若分式22123b b b ---的值为0,则b 的值为 ( )A.1B.-1C.±1D.2变式训练2、填写下列等式中未知的分子或分母2( (1)()(...........)a b x aba bx x y +-==-类型之二：分式化简与求值例2.(1)化简：26193x x +-+（2）先化简再求值：22142a a a -+-+，其中3a = （3）先化简再求值：231()11x x x x x x--⋅-+，其中2x =变式训练：（2010红河中考）先化简再求值：22453262a a a a a --÷-+++，选一个使原代数式有意义的数代入求值。

分式与分式方程复习精讲经典中考题目

分式考点1：分式的概念一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成B A 的形式，如果B 中含有字母，式子BA就叫做分式。

其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。

分式和整式通称为有理式。

1. （ 2011重庆江津， 2，4分）下列式子是分式的是( )A.2x B.1+x x C. y x +2 D. 3x考点2：分式的性质（1）分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

基本性质：a b =ambm（m ≠0）（2）分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。

符号法则：ab a b a b -=-=-考点3：分式有意义、值为0的条件1．分式有意义的条件：分母不等于0.2．分式值为0的条件：分子等于0且分母不等于0.1. （2011浙江省舟山，11，4分）当x 时，分式x-31有意义． 2. （2011浙江杭州，15，4）已知分式235x x x a--+，当x ＝2时，分式无意义，则a ＝，当a <6时，使分式无意义的x 的值共有个． 3. （2011福建泉州，14，4分）当x = 时，分式22+-x x 的值为零. 4. （2011四川南充市，8，3分）当8、分式21+-x x 的值为0时，x 的值是（）（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）－25. （2011四川内江，15，5分）如果分式23273x x --的值为0，则x 的值应为．考点4：与分式有关的变形求值题1. （2011江苏苏州，7,3分）已知2111=-b a ，则b a ab -的值是A.21 B.－21C.2D.－2 2. （2011江苏南通，10，3分）设m ＞n ＞0，m 2＋n 2＝4mn ，则22m n mn-的值等于A. B. C. D. 3 3. （2011四川乐山15，3分）若m 为正实数，且13m m -=，221m m-则=考点5：分式的运算分式的运算法则-----------分式乘法：a c acb d bd⨯=，分式除法：a c a d adb d bc bc÷=⨯=，分式乘方 ()nn n a a b b= ，（n 为正整数）同分母分式相加：;c b a c b c a ±=± 异分母分式相加：bdbcad d c b a ±=±1.（2010湖北孝感，6，3分）化简x y x yy x x ⎛⎫--÷ ⎪⎝⎭的结果是____________.2. （2011山东威海，8，3分）计算：211(1)1mm m +÷⋅--的结果是____________. 4. （2011山东临沂，5，3分）化简（x －x 1-x 2）÷（1－x1）的结果是____________.5.（2011四川重庆，21，10分）先化简，再求值：(x －1x －x －2x ＋1)÷2x 2－xx 2＋2x ＋1，其中x 满足x 2－x －1＝0．6 （2011湖南常德，19，6分）先化简，再求值. 221211, 2.111x x x x x x x ⎛⎫-+-+÷= ⎪+-+⎝⎭其中7. （2011四川广安，22，8分）先化简22()5525x x x x x x -÷---，然后从不等组23212x x --⎧⎨⎩ ≤的解集中，选取一个你认为符合题意．．．．的x 的值代入求值．8. （2011贵州贵阳，16，8分）在三个整式x 2-1，x 2+2x +1，x 2+x 中，请你从中任意选择两个，将其中一个作为分子，另一个作为分母组成一个分式，并将这个分式进行化简，再求当x =2时分式的值．9.（2011重庆市潼南,21,10分）先化简，再求值：2121(1)1a a a a++-⋅+，其中a10.（2011湖北宜昌，16，7分）先将代数式11)(2+⨯+x x x 化简，再从-1，1两数中选取一个适当的数作为x 的值代入求值.11、201１四川广元，17，7分）请先化简（23x x -－3x x +）÷29xx -，再选取一个你喜欢的数代入求值．12、2011内蒙古包头，17，3分）化简122144112222-++÷++-⋅-+a a a a a a a ，其结果是 .分式方程一、填空：1、有一项工程，甲独做x 天完成，乙独做比甲多用4天完成任务，那么乙独做需要______天完成。

中考数学专题复习题：分式的基本性质

中考数学专题复习题：分式的基本性质一、单项选择题（共7小题）1．下列各式是最简分式的是（）A．13B．1x−2C．x2y2xD．2a82．下列各分式的化简正确的是（）A．x6x3=x3B．a+xb+x=abC．x2x2=0D．a2−1a−1=a−13．若分式2aba+b 中a，b都扩大到原来的3倍，则分式2aba+b的值是（）A．扩大3倍B．缩小3倍C．不变D．扩大6倍4．下列各式中，正确的是（）A．a+12a+3=25B．ab=a2abC．−a+1a=−a+1aD．a2−4(a−2)2=a+2a−25．下列等式成立的是（）A．1a +2b=3a+bB．abab−b2=aa−bC．22a+b=1a+bD．a−a+b=−aa+b6．若代数式a+1a−1在实数范围内有意义，则实数a的取值范围是（）A．a≥1B．a≠1C．a<1D．a=−17．如果把分式x−2y+zxyz中的正数x，y，z都扩大2倍，则分式的值（）A．不变B．扩大为原来的两倍C．缩小为原来的14D．缩小为原来的18二、填空题（共4小题）8．分式14x2yz 和16xy2的最简公分母是________．9．不改变分式的值，化简：−0.03x+0.1−0.04x−0.03＝________．10．已知y>3，则y2−6y+93−y=________．11．把分式2xx+y中的x、y都扩大两倍，则分式的值________．三、解答题（共4小题）12．不改变分式的值，将下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数：（1）x−0.2y0.8x−5y；（2）m2+n32m 5−2n3．13．根据分式的基本性质填空：(1)x+32x =( )2x2；(2)−am−n=a( )．14．已知a,b实数满足ab=1，若M=11+a +11+b，N=a1+a+b1+b，请你猜想M与N的数量关系，并证明．15．写出下列等式中所缺的分子或分母：（1）1ab =( )ab2c(c≠0)括号内应填入__________；（2）ma−b =( )a2−b2（a≠−b）括号内应填入__________；（3）xx(x−y)=1( )括号内应填入__________．。

中考数学一轮复习专题解析—分式的运算

中考数学一轮复习专题解析—分式的运算复习目标1.了解分式的概念2.会利用分式的基本性质进行约分和通分。

3.会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算4.能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程5.会解简单的可化为一元一次方程的分式方程；考点梳理一、分式的有关概念及性质1．分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.2.分式的基本性质（M为不等于零的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.【归纳总结】分式的概念需注意的问题：（1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．（4）分式有无意义的条件：在分式中，①当B ≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B ≠0．②当B =0时，分式无意义；当分式无意义时，B =0．③当B ≠0且A =0时，分式的值为零．例1、若把x ，y 的值同时缩小x 为原来的13倍，则下列分式的值保持不变的是（）A ．xy x y+B ．22y x ++C ．()22x y x +D ．222x y x -【答案】C 【解析】A.1111333==11333x y xyxy x y x y x y⨯⨯+++，选项说法错误，不符合题意；B.61263=3616233y y x x y x +++=+++，选项说法错误，不符合题意；C.22222222111()()()33311()()33x y x y x y x x x ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭==，选项说法正确，符合题意；D.22222213112261())(33()3xx xy x y x y x ⨯==---⨯，选项说法错误，不符合题意故选C二、分式的运算1．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算±=同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.（2）乘法运算两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（4）乘方运算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分别乘方．2．零指数.3．负整数指数4．分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．5．约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．6．通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．例2、计算22111m mm m----的结果是（）A．1m+B．1m-C．2m-D．2m--【答案】B【解析】解：()222121211 1111mm m m m mm m m m---+-===-----；故选B．【归纳总结】约分需明确的问题：(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积．【特别提醒】通分注意事项(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积．(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．(3)确定最简公分母的方法：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.三、分式方程及其应用1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．4．分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．【特别提醒】1.解分式方程注意事项(1)去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；(2)解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．2.列分式方程解应用题的基本步骤(1)审——仔细审题，找出等量关系；(2)设——合理设未知数；(3)列——根据等量关系列出方程；(4)解——解出方程；(5)验——检验增根；(6)答——答题．例3、随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周6000件提高到8400件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（）A．6000x＝840080x+B．6000x+80＝8400xC．8400x＝6000x﹣80D．6000x＝840080x-【答案】A【解析】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则更换交通工具后平均每人每周投递快件（x+80）件，依题意得：6000x＝840080x+，故选：A．综合训练1．（2022·全国九年级课时练习）若代数式13x x -+有意义，则x 的取值范围是（）A ．3x ≠B ．1x ≠C ．3x ≥-D ．3x ≠-【答案】D【分析】根据分式有意义的条件分析即可．【详解】数式13x x -+有意义，30x ∴+≠，解得3x ≠-．故选D ．2．（2022·老河口市教学研究室九年级月考）化简2b a ba a a ⎛⎫+-÷ ⎪⎝⎭的结果是（）A ．-a bB ．a b +C ．1a b-D ．1a b+【答案】A【分析】直接将括号里面通分，进而分解因式，再利用分式的除法运算法则计算得出答案．【详解】解：2b a ba a a ⎛⎫+-÷⎪⎝⎭=22a b aa a b-⨯+=()()a b a b aaa b+-⨯+=-a b ．故选：A ．3．（2022·厦门市第九中学九年级二模）港珠澳大桥是我国桥梁建筑史上的又一伟大奇迹，东接香港，西接珠海、澳门，全程55千米．通车前需走水陆两路共约170千米，通车后，约减少时间3小时，平均速度是原来的2.5倍，如果设原来通车前的平均时速为x 千米/小时，则可列方程为（）A ．1705532.5x x-=B ．5517032.5x x-=C ．17055 2.53x x ⨯-=D ．1705532.5x x-=【答案】D【分析】设原来通车前的平均时速为x 千米/小时，所以通车后，的平均时速为2.5x 千米/小时，根据它们行驶的时间差为3小时列出分式方程．【详解】解：设原来通车前的平均时速为x 千米/小时，所以通车后，的平均时速为2.5x 千米/小时，依题意得：1705532.5x x-=故选D ．4．（2022·哈尔滨市第十七中学校）分式方程1x x +12x +-＝1的解是（）A ．x ＝1B ．x ＝﹣1C ．x ＝3D ．x ＝﹣3【答案】A【分析】观察可得最简公分母是x （x ﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解即可．【详解】解：112x x x ++-＝1，去分母，方程两边同时乘以x （x ﹣2）得：（x +1）（x ﹣2）+x ＝x （x ﹣2），x 2﹣x ﹣2+x ＝x 2﹣2x ，x ＝1，经检验，x ＝1是原分式方程的解．故选：A ．5．（2022·四川九年级期中）关于x 的方程244x ax x -=++有增根，则a 的值为（）A ．－4B ．－6C ．0D ．3【答案】B【分析】将分式方程转化为整式方程，根据方程有增根求得4x =-，代入整式方程即可．【详解】解：244x ax x -=++两边同时乘4x +得：2x a -=①∵244x ax x -=++有增根∴4x =-代入方程①得：6a =-故答案为B ．6．（2022·全国）已知实数a ，b 满足1a b ⋅=，那么221111a b +++的值为（）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C【分析】把所求分式通分，再把已知条件代入求解．【详解】解：∵•1a b =，∴()2221a b ab ==，∴22222222112111a b a b a b b a +++=+++++2222211a b b a ++=+++1=．故选：C ．7．（2022·日照市田家炳实验中学九年级一模）已知关于x 的方程2222x mm x x+=--无解，则m 的值是___．【答案】12或1【分析】分方程有增根，增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母20x -=，得到2x =，然后代入化为整式方程的方程算出m 的值和方程没有增根两种情况进行讨论.【详解】解：①当方程有增根时方程两边都乘2x -，得22(2)x m m x -=-，∴最简公分母20x -=，解得2x =，当2x =时，1m =故m 的值是1，②当方程没有增根时方程两边都乘2x -，得22(2)x m m x -=-，解得221mx m =-，当分母为0时，此时方程也无解，∴此时210m -=，解得12m =，∴综上所述，当12m =或1时，方程无解.故答案为：12或1.8．（2022·山东滨州市·九年级其他模拟）已知关于x 的分式方程3522x mx x=+--的解为非负数，则m 的取值范围为______．【答案】10m ≥-且6≠-m 【分析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，可得答案．【详解】解：3522x m x x=+--去分母，得：35(2)x m x =-+-，移项、合并，得：210x m=+系数化为1得：102mx +=∵分式方程的解为非负数，∴1002m +≥且1022m +≠，解得：10m ≥-且6≠-m ，故答案为：10m ≥-且6≠-m ．9．（2022·云南九年级期末）先化简，再求值：212(1)11x x x ++÷+-，其中2x =．【答案】x -1，1【分析】根据分式的混合运算法则化简原式然后代值计算即可．【详解】解：原式=2111()12x x x x ++-⨯++=2(1)(1)12x x x x x ++-⨯++=1x -，∵2x =，∴原式=211-=．10．（2022·河南三门峡市·）下面是小锐同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．229216926x x x x x -+-+++()()()()23321233x x x x x +-+=-++…第一步()321323x x x x -+=-++…第二步()()()23212323x x x x -+=-++…第三步()()262123x x x --+=+…第四步()262123x x x --+=+…第五步526x =-+…第六步（1）填空：①以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，通分的依据是______；②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是__________．（2）请从出现错误的步骤开始继续进行该分式的化简；（3）除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需注意的事项给其他同学提一条建议．【答案】（1）①三，分式的基本性质；②五，括号前面是“-”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号；（2）见解析；（3）最后结果应化为最简分式或整式【分析】（1）①分式的通分是把异分母的分式化为同分母的分式，通分的依据是分式的基本性质，据此即可进行判断；②根据分式的运算法则可知：第五步开始出现错误，然后根据去括号法则解答即可；（2）根据分式的混合运算法则解答；（3）可从分式化简的最后结果或通分时应注意的事项等进行说明．【详解】解：（1）①在以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质（或分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变）；②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是：括号前面是“-”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号；（2）原式()262172326x x x x ---==-++；（3）答案不唯一．如：最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式的基本性质进行变形；分式化简不能与解分式方程混淆等．。

中考复习《分式》

《五》分式1. 分式：整式A 除以整式B ，可以表示成 A B的形式，如果除式B 中含有，那么称 A B 为分式．若，则 A B 有意义；若，则 A B 无意义；若，则 A B＝0. 2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的．用式子表示为 .3. 约分：把一个分式的分子和分母的约去，这种变形称为分式的约分．4．通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为的分式，这一过程称为分式的通分.6、分式的概念二、例题讲解例1：（1）（2008南平）当x = 时，分式12x -没有意义（2）（2007天津）若分式11||--x x 的值为零，则x 的值等于。

例2：（2009长沙）分式111(1)a a a +++的计算结果是（） A ．11a + B ．1a a + C ．1a D ．1a a+例3：⑴ 已知 31=-x x ，则221xx + ＝ . ⑵已知113x y -=，则代数式21422x xy y x xy y----的值为 . 例4：（2008黑河）先化简：224226926a a a a a --÷++++，再任选一个你喜欢的数代入求值．三、课堂练习1、（2007黄冈）下列运算中，错误．．的是（） A 、(0)a ac c b bc =≠ B 、1a b a b--=-+ C 、0.55100.20.323a b a b a b a b ++=-- D 、x y y x x y y x --=++2、要使分式11x +有意义，则x 应满足的条件是（） A ．1x ≠ B ．1x ≠- C ．0x ≠ D ．1x >3、（2009陕西）化简2b a a a a b ⎛⎫- ⎪-⎝⎭ 的结果是（） A ．a b - B ．a b + C ．1a b - D ．1a b+ 4、10、（2009天津）若分式22221x x x x --++的值为0，则x 的值等于． 5、先化简，再求值：(1)（212x x -－2144x x -+）÷222x x-，其中x ＝1．⑵221111121x x x x x +-÷+--+，其中1x =.（3）1x 11x x 31x 3x 32--+÷--，其中x ＝2。

(中考复习)第5讲分式

x2＋4x＋4－x2－2x 2（x＋2） 2 ＝＝ . （x＋2）（x－2）（x＋2）（x－2） x－2
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1．分式的运算应注意以下三点：(1)正确运用运算法则和因式分解；(2)灵活运用运算律；(3)运算结果要化简，结
果应为最简分式或整式；
2．通分、约分的依据都是分式的基本性质．
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3．分式的符号法则
－a －a a －a a a a ＝＝－＝－，＝－＝ . b －b b b －b －b b
4．约分
把一个分式的分子与分母的公因式 ______约去，叫做分式的约分；约分的关键是确定分子、分母的公因式，找公
因式的方法与因式分解中提公因式法找公因式的方法
指数一起作为公分母的因式；通分的根据是连同它的_________________________
分式的基本性质． ______________ 【即时应用1】要使分式有意义，x的取值范围满足( A．x＝0 B．x≠0 )
C．x＞0
答案 B
D．x＜0
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4．分式的混合运算加减；若 (1)运算顺序：先算____ ，再算____ 乘方乘除，最后算____ 有括号，先算括号里面的． (2)运算结果必须是________ 最简分式或整式．
x 2 【即时应用 2】计算：＋＝________. x－2 2－x
D．x＝－4

2024年中考数学一轮复习提高讲义：分式及其运算

分式及其运算知识梳理1.分式的概念表示两个整式相除，且除式中含有字母，像这样的代数式就是分式.注意：分式中字母的取值不能使分母为零.当分母的值为零时，分式没有意义.2.分式的基本性质和变号法则(1)分式的基本性质：AB =A×MB×M=A÷MB÷M(2)分式的变号法则：−a−b =−−a+b=−a−b=ab3.分式的运算(1)分式的乘除:①分式的乘法：ab ⋅cd=acbd②分式的除法：ab ÷cd=ab⋅dc=adbc当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分.(2)分式的加减①同分母分式相加减：ac ±bc=a±bc②异分母分式相加减：ba ±dc=bcac±adac=bc±adac(3)分式的乘方：应把分子分母各自乘方，即(ab )′′=a nb n(n为正整数).4.分式求值(1)先化简,再求值.(2)由化简后的形式直接代入所求分式的值.(3)式中字母表示的数隐含在方程等题设条件中.典型例题例 1分式x2−4x+2的值为0,则( ).A. x=-2B. x=±2C. x=2D. x=0分析分式的值为0的条件：分子等于0，且分母不等于0. 解由题意，得x²−4=0,且x+2≠0,解得x=2.故选 C.例 2若ab+a-b-1=0,试判断1a−1,1b+1是否有意义.分析要判断1a−1,1b+1是否有意义，须看其分母是否为零，由条件中等式左边因式分解，即可判断a-1,b+1与零的关系.解因为ab+a-b-1=0,所以a(b+1)-(b+1)=0,即(b+1)(a-1)=0,所以b+1=0或a-1=0,所以1a−1,1b+1中至少有一个无意义.例3计算：1+n−mm−2n ÷m2−n2m2−4mn+4n2.分析分式运算时，若分子或分母是多项式，应先因式分解.解原式=1−m−nm−2n ⋅(m−2n)2 (m+n)(m−n)=1−m−2nm+n =m+n−m+2nm+n=3nm+n例 4已知 abc=1,求 a ab+a+1+b bc+b+1+cac+c+1的值.分析若先通分，计算就复杂了，我们可以用abc 替换待求式中的“1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了. 解原式 =a ab+a+1+ab abc+ab+a +abca 2bc+abc+ab =a ab+a+1+ab 1+ab+a +abca+1+ab =a+ab+1ab+a+1 =1 双基训练1.下列代数式中： x π,12x −√a−b √a+b x 2−y 2x+y ,1x+y x−y,是分式的有 . 2.下列式子中是分式的是( ).A. x/2B. 2x C.x π D.x+y 23.下列分式中，最简分式有( ).a 33x 2,x−yx 2+y 2,m 2+n 2m 2−n 2,m+1m 2−1,a 2−2ab+b 2a 2−2ab−b 2A. 2个B. 3 个C. 4 个D. 5 个 4.下列变形不正确的是( ). A.2−a −a−2=a−2a+2B.1x+1=x−1x 2−1(x ≠1) C.x+1x 2+2x+1=12 D.6x+33y−6=2x+1y−25.若2x+y=0,则x 2+xy+y 22xy−x 2的值为( ).A.−15B.−35C. 1D.无法确定 6.若把分式 x+yxy 中的x 和y 都扩大2倍，那么分式的值( ). C.缩小为原来的 12 D.缩小为原来的 14A.扩大 2倍 B. 不变7.若x+y=1,且x≠0,则(x+2xy+y2x )÷x+yx的值为 .8.已知分式2x+1x−2,当x= 时，分式没有意义；当. x=时，分式的值为0；当x=-2时,分式的值为 .9. 分式1x−1,1x,2x2−2x+1的最简公分母是 .10.某校组织学生春游，有m 名师生租用n座的大客车若干辆，共有3个空座位，那么租用大客车的辆数是 (用m，n 的代数式表示).11. 化简.(1)a2−4a2+2a−8÷(a2−4)⋅a2−4a+4a−2;(2)x2−1x2−4x+4÷(x+1)⋅x2−3x+2x−1.12. 当x 取何值时,式|x|−2x2+3x+2有意义?当x取什么数时，该式的值为零?13. 先化简(1x−1−1x+1)÷x2x2−2,再求当x=2时的分式值.14.有一道题：“先化简，再求值：(x−2x+2+4xx2−4)÷1x2−4其中，x=-3”.小玲做题时把“x=−3”错抄成了x=3”,但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事?15. 已知3x²+xy−2y²=0(x≠0,y≠0),求xy −yx−x2+y2xy的值.16.已知实数 m,n 满足关系1m+n +1m−n=nm2−n2,求2mn+n2m2的值.17.课堂上，李老师给大家出了这样一道题：当x=3,5−2√2,7+√3时，求代数式x2−2x+1x2−1÷2x−2x+1的值.小明一看，说：“太复杂了，怎么算呢?”你能帮小明解决这个问题吗?请你写出具体的解题过程.18.先化简: (3x+1−x+1)÷x2−4x+4x+1,然后从-1≤x≤2中选一个合适的整数作为x的值代入求值.19.已知:非零实数a,b,c 满足1a −1b=1b−1c,求证:ab+bc=2ac.20.已知分式: A=2x2−1,B=1x+1+11−x.(x≠±1).有下面三个结论：①A，B 相等；②A，B 互为相反数；③A，B 互为倒数.上述结论中哪个正确?为什么?能力提升21.已知Mx2−y2=2xy−y2x2−y2+x−yx+y,则M=.22.已知分式x−5x2−4x+a,当x=55时，分式的值为零，求a 的取值范围；当x 取任何值时，这个分式一定有意义，求a 的取值范围 .23.如果记 y =x 21+x2=f (x ),并且f(1) 表示当x=1时y 的值,即 f (1)=121+12=12; f (12)表示当 x =12时y 的值，即f (12)=(12)21+(12)2=15; 那么f (1)+f (2)+f (12)+f (3)+f (13)+⋯+f (n )+f (1n)=¯(结果用含n 的代数式表示).24. 若 a²+b²=3ab,则 (1+2b 3a 3−b 3)÷(1+2ba−b )的值等于( ). A. 12B.0C. 1D.2325.若 P =12012−12013,Q =20112012−20102011,R =20122013−20112012,那么 P,Q,R 的大小关系为( ).A. P>Q>RB. P<Q<RC. P=R>QD. P=R<Q 26.已知:方程 a x−3=1x 的解为x=-3,求 a a−1−1a 2−a 的值.27.已知:a+b+c=0, abc=8,求证: 1a +1b +1c <0.28.已知 a²−6a +9与|b-1|互为相反数，求代数式 (4a 2−b2+a+bab 2−a 2b)÷a 2+ab−2b 2a 2b+2ab 2+ba的值.29.若 A =99991111+199992222+1,B =99992222+199993333+1,试比较A 与B 的大小.30.设a,b,c,d 都不等于 0,并且 ab =cd ≠1,按照下面的步骤探究 a+ba−b 和 c+dc−d 之间的关系.(1) 请你任意取3组a,b,c,d 的值,通过计算猜想a+ba−b 和c+dc−d之间的关系.(2)证明你的猜想. 拓展资源31.已知a,b,c 为实数,且aba+b =13,bcb+c=14,cac+a=15,那么abcab+bc+ca的值是多少?32.当x 的值变化时，求分式8−2(x+1)2+1的最小值.33.已知4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0,xyz≠0,求x+y−zx−y+2z的值.34.(1) 已知恒等式x³−x²−x+1=(x−1)(x²+kx−1),求 k 的值.(2)若x 是整数,求证x3−x2−x+1x2−2x+1是整数.35.解答一个问题后，将结论作为条件之一，提出与原问题有关的新问题，我们把它称为原问题的一个“逆向”问题.例如，原问题是“若矩形的两边长分别为3和4，求矩形的周长”，求出周长等于14后，它的一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为14，且一边长为3，求另一边的长”；也可以是“若矩形的周长为14，求矩形面积的最大值”，等等.(1) 设A=3xx−2−xx+2,B=x2−44,求 A 与 B 的积.(2)提出(1)的一个“逆向”问题，并解答这个问题.第二十二讲1.x2−y2x+y ,1x+yx−y2. B3. C4. C5. B6. C7.18.2,- 12, 349. x(x-1)²10.m+3n11.(1) 原式=a2−4(a−2)(a+4)⋅1a2−4⋅(a−2)2a−2=1a+4.(2) 原式=(x+1)(x−1)(x−2)2⋅1x+1⋅(x−1)(x−2)x−1=x−1x−2,12. 由x²+3x+2=(x+1)(x+2)=0,得x=-1或-2所以,当x≠-1和x≠-2时,原分式有意义.由分子|x|-2=0得x=±2,当x=2时,分母x²+3x+2≠0;当x=-2时,分母x²+3x+2=0,原分式无意义. 所以当x=2时, |x|−2x2+3x+2的值为零.13. 原式=x+1−x+1(x+1)(x−1)÷x2(x+1)(x−1)=x+1−x+1(x+1)(x−1)⋅2(x+1)(x−1)x=4x,当x=2时,原式=2.14.原式计算的结果等于x²+4,所以不论x 的值是+3还是-3结果都为13.15.先化简，得原式=−2yx,又因3x²+xy−2y²=0,所以(3x-2y)(x+y)=0,所以x=23y或x=-y,当x=23y时,原式=-3;当x=-y时,原式=2.16. 由1m+n +1m−n=nm2−n2可得:n=2m;则2mn+n2m2=2nm+n2m2=4+4=8.17. 原式=(x−1)2(x+1)(x−1)⋅x+12(x−1)=12.由于化简后的代数中不含字母x，故不论x取任何值，所求的代数式的值始终不变.所以当x=3,5−2√2,7+√3时，代数式的值都是12.18.化简得原式=x+22−x,当x=1时,原式=3.19. 因为1a −1b=1b−1c,所以b−aab=c−bbc,所以c(b-a)=a(c-b),所以bc-ac=ac-ab,所以ab+bc=2ac.20.②的结论正确.理由如下：因为B=1x+1+11−x=x−1(x+1)(x−1)−x+1(x+1)(x−1)=(x−1)−(x+1)(x+1)(x−1)=−2x2−1=−A所以 A，B互为相反数.21. x² 22. a≠-5,a>4 23.n−1224. A 2 5. D26. 因为方程ax−3=1x的解为.x=-3.所以a−3−3=−13,解得a=2,所以aa−1−1a2−a=a2a(a−1)−1a(a−1)=(a+1)(a−1)a(a−1)=a+1a;当a=2时,原式=2+12=32.27.证明:因为a+b+c=0,)所以( (a+b+c)²=0,即a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=0,所以ab+bc+ac=−12(a2+b2+c2),又因为1a +1b+1c=bc+ac+ababc=−116(a2+b2+c2),且已知abc=8,所以a,b,c均不为零, 所以a²+b²+c²>0,所以1a +1c+1c<0.28. 由已知得a--3=0,b-1=0,解得a=3,b=1.原式 =[4(a+b )(a−b )+a+b ab (b−a )]÷a 2+ab−2b 2ab (a+2b )+ba=[−(a−b )2ab (a−b )(a+b )]÷a 2−b 2+ab−b 2ab (a+2b )+ba=−(a−b )2ab (a−b )(a+b )⋅ab (a+2b )(a−b )(a+2b )+ba=−1a+b +ab把a=3,b=1代入得:原式 =114.29. 设a=9999¹¹¹¹,则 A =a+1a 2+1,B =a 2+1a 3+1 所以 A −B =a+1a 2+1−a 2+1a 3+1=a 4+a 3+a+1−a 4−2a 2−1(a 2+1)(a 3+1)=a (a−1)2(a 2+1)(a 3+1)>0所以 A>B.30.(1) 可取a=1,b=2,c=2,d=4;a=1,b=2,c=3,d=6;a=2,b=3,c=6,d=9,再分别代入 a+b a−b和c+d c−d中进行计算，由计算结果可得到 a+b a−b 利 c+dc−d 的关系是相等.(2) 证明:因为a,b,c,d 都不等于0,并且 a b =cd ≠1, 所以 a =cd ⋅b,所以 a+ba−b =cd ⋅b+b cd⋅b−b =c d +1c d−1=c+dc−d .31.由已知条件得： 1a +1b =3,1b +1c =4,1c +1a =5.所以 2(1a +1b +1c )=12即 1a +1b +1c =6,又因为ab+bc+caabc=1c+1b +1a =6,所以 abc ab+bc+ca =16. 32. 因为( (x +1)²≥0,所以( (x +1)²+1的最小值为1，所以 2(x+1)2+1的最大值为2，所以 8−2(x+1)2+1的最小值为6.33. 因为4x-3y-6z=0①,x+2y-7z=0②由①,②解得 {x =3z y =2z,所以 x+y−z x−y+2z =3z+2z−z 3z−2z+2z =43.34.(1) 由题设知, (x −1)(x²+kx −1)=x³+(k −1)x²−(k +1)x +1,所以 x³−x²−x +1=x³+(k −1)x²−(k +1)x +1,从而有k-1=-1,-k-1=-1,解得k=0. (2) 由(1)知k=0,则 x³−x²−x +1=(x −1)(x²−1)=(x −1)²(x +1), 所以 x 3−x 2−x+1x 2−2x+1=(x−1)2(x+1)(x−1)2=x +1.又因为x 是整数，所以x+1是整数.所以x 3−x 2−x+1x 2−2x+1是整数.35.(1)A ⋅B =(3x x−2−xx+2)⋅x 2−4x=2x (x+4)(x−2)(x+2)⋅x 2−4x=2x +8;(2)“逆向问题”:已知 A ⋅B =2x +8,B =x 2−44,求 A. 解答： A =(A ⋅B )÷B =2x +8xx 2−4=2x 2+8x x 2−4.。

中考复习分式整式化简求值初三

一.教学目标：1、分式的化简求值,理解分式的化简步骤,以及在化简过程中的注意事项2、整式的化简求值,了解整式化简的步骤,以及在化过程中的注意事项1.教学重难点：1分式的约分和通分化简以及化简过程中的方法技巧2整式幂的运算,合并同类项以及化简过程中的方法技巧分式的化简求值一、分式的概念一般地,如果A,B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子AB叫作分式．分式会AB中A叫作分子,B叫作分母．注意：1判断一个式子是否为分式,关键是看分母中是否有字母．2分式与整式的根本区别：分式的分母中含有字母,如12,2x是整式,而2x是分式．3分式有无意义的条件：①若0B≠,则分式AB有意义；②若0B=,则分式AB无意义．4分式的值为零的条件：若{00A B=≠,则分式A B的值为零,反之也成立．二、分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以同一个不等于0的整式,分式的值不变．用式子表示是：A A MB B M⋅=⋅,()0A A MMB B M÷=≠÷,其中A,B,M是整式．课题分式整式的化简求值学生姓名年级初三日期注意：1分式的基本性质可类比分数的基本性质去理解记忆．利用分式的基本性质,可以在不改变分式的值的条件下,对分式作一系列的变形．2当分式的分子或分母是多项式,运用分式的基本性质时,要先把分式的分子或分母用括号括上．再将分子与分母同乘或除以相同的整式．三、约分、最简分式及通分的概念1．约分根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫作分式的约分．说明：约分的关键是准确找出分子与分母的公因式,找公因式的方法：1当分子和分母都是单项式时,先找出它们系数的最大公约数,再确定相同字母的最低次幂,它们的乘积就是分子与分母的公因式．2当分子、分母是多项式时,先将分子、分母因式分解,把分子、分母化为几个因式的积后,再找出分子、分母的公因式．约分应注意一定要把公因式约尽,还应注意分子、分母的整体都要除以同一个公因式．当分子或分母是多项式时,要用分子、分母的公因式去除整个多项式,不能只除某一项,更不能减去某一项．例如2233a x a b x b+=+是错误的． 2.最简分式分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式．判断一个分式是否为最简分式,关键是确定其分子与分母是否有公因式1除外．分式的约分,一般要约去分子和分母的所有公因式,使所得结果成为最简分式或整式．注意：1最简分式与小学学过的最简分数类似．2最简分式是对一个独立的分式而言的,最大的特点是只有一条分数线．形如322x y ++,233ax y ++的分式都不是最简分式． 3.通分根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫作分式的通分．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．4最简公分母：各分母所有因式的最高次幂的积,叫作最简公分母．注意：确定最简公分母的一般方法：1如果各分母都是单项式,确定最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母,连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的．这样得到的积就是最简公分母．学科网2如果各分母都是多项式,就要把它们分解因式,再按照分母是单项式求最简公分母的方法,从系数、相同因式、不同因式三个方面去求．方法技巧归纳方法技巧一应用分式概念解题的规律1．分式的判别方法根据定义判定式子A B 是否为分式要注意两点：一是A ,B 都是整式,二是B 中含字母且0B ≠．判断一个代数式是否为分式,还应注意不能把原式变形如约分等,而只能根据它的最初形式进行判断．如根据()()()()22222a b a b a b a b a b a b +---==++,判定()222a b a b -+不是分式,这是错误的． 2．对分式有无意义或值为0的条件判断二分式基本性质的应用分式的基本性质是分式恒等变形和分式运算的理论依据,正确理解和熟练掌握这一性质是学好分式的关键．利用分式的基本性质可将分式恒等变形,化简分式,简化计算等．1．约分参考三12．通分参考三3三分式值的特殊情况拓展1．分式的值为1或1-的讨论若分成()10A B B =≠,则A B =,反之也成立；若分式()10A B B=-≠,则A 与B 互为相反数,反之也成立．2．分式的值为正数的讨论分式的值为正数时,分式的分子与分母同号,利用这一关系构造不等式组可求出待定字母的取值范围．3．分式的值为负数的讨论分式的值为负数时,分式的分子与分母异号,利用这一关系构造不等式组可求出待定字母的取值范范围．4．分式的值为整数的讨论若分式的值为整数,则分母必为分子的约数,利用这一关系可对分母进行讨论．四、分式的乘除法分式的乘除法与分数的乘除法类似,法则如下：1乘法法则：分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母,用式子表示是：a c a c b d b d⋅⋅=⋅． 2除法法则：分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘,用式子表示是：ac ad a d b d b c b c⋅÷=⋅=⋅． 3分式的乘方：分式乘方要把分子、分母分别乘方,用式子表示是：n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭n 是正整数．注意：1法则中的字母a ,b ,c ,d 所代表的可以是单项式,也可以是多项式． 2运算的结果必须是最简分式或整式．五、分式的加减法1．同分母分式加减法的法则与同分母的分数加减法类似,同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减．用式子表示是：a b a b c c c ±±=．注意：1“同分母分式相加减”是把各个分式的“分子的整体”相加减,即当分子是多项式时,应将各分子加括号,括号不能省略,2运算结果必须化为最简分式或整式．2．异分母分式加减法的法则与异分母的分数加减法类似,异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减．用式子表示是：ac ad bc ad bc b d bd bd bd±±=±=．六、分式的混合运算分式的混合运算的顺序是：先乘方,再乘除,最后算加减；遇到括号,先算括号内的；在同级运算中,从左向右依次进行．注意：1实数的运算律对分式同样适用,注意灵活运用,提高解题的质量和速度．2结果必须化为最简分式或整式．3分子或分母的系数是负数时,要把“－”提到分数线的前边．4对于分式的乘除混合运算,应先将除法运算转化为乘法运算,分子、分母是多项式时,可先将分子、分母分解因式,再相乘．方法技巧归纳方法技巧一分式的乘除法及乘方运算的解题技巧1．分式的乘除法分式的乘除运算可以统一成乘法运算,分式的乘法一般情况下是先约分再相乘,这样做省时简单易行,又不易出错；当除式或被除式是整式时,可以看作分母是1的式子,然后再按分式的乘除法则计算．2．分式的乘方做分式乘方时,一是注意养成先确定结果的符号,再做其他运算的良好习惯；二是注意运算顺序,先乘方,再乘除,最后加减．二分式加减运算的解题技巧分式的加减法与分数的加减法的运算法则实质是相同的,分为同分母加减法和异分母加减法,所不同的是分式的加减运算比分数的加减运算要复杂得多,它是整式运算、因式分解和分式运算的综合运用．分式加减运算需要运用较多的基础知识,运算步骤增多,符号变换复杂,解题方法灵活多样．三分式化简、求值的解题技巧分式的化简、求值问题,一是化简要求值的分式,只要能化简就考虑化简；二是化简已知条件,化到最简后,再考虑代入求值．四分式混合运算的解题技巧分式的混合运算,除了掌握运算顺序外,在运算过程中,可灵活运用交换律、结合律、分配律使运算简化,值得提醒的是最后结果必须是最简分式或整式．五分式通分的解题技巧分式的加减运算,分同分母分式相加减和异分母分式相加减,对于异分母分式的加减法,有时直接通分会很繁琐,我们可以根据式子的特点,灵活的采用不同的方法通分,从而起到事半功倍的效果．1．分组通分2．逐项通分3．公式()11111n n n n =-++的运用核心考点分式的化简求值分式化简求值是中考的热点,常以解答题的题型进行考查,主要考查分式的运算能力．在考查时经常运用分式的基本性质进行运算,解题时要充分运用分式运算法则进行求解．经典示例化简分式：2223442x x x x x ---+-÷234x x --,并从1,2,3,4这四个数中取一个合适的数作为x 的值代入求值．答题模板第一步,化简：化简运算过程中要注意约分、通分时分式的值保持不变．第二步,运算：由已知条件,根据分式的基本性质,适当把分式进行变形,使变形后的分式出现已知条件的形式,然后把已知条件代入变形后的分式,来求分式的值．第三步,求解：分式的化简求值题,关键是要准确地运用分式的运算法则,然后代入求值．四步,反思：查看关键点、易错点,要注意分清运算顺序,先乘除,后加减,如果有括号,先进行括号内的运算．．模拟训练先化简,再求值：22214()244a a a a a a a a +--+÷--+,其中011(3)()2a -=π+. 1．2017·湖南常德先化简,再求值：243133x x x x -+---22212322x x x x x -+--+-,其中x =4． 2．2017·湖北襄阳先化简,再求值：2111()x y x y xy y +÷+-+,其中x 52,y 5－2.3．2017·吉林某学生化简分式21211x x ++-出现了错误,解答过程如下：原式=12(1)(1)(1)(1)x x x x ++-+-第一步 =12(1)(1)x x ++-第二步 =231x -．第三步 1该学生解答过程是从步开始出错的,其错误原因是； 2请写出此题正确的解答过程．4．先化简,再求值：22124)(1)442a a a a a a a -+-÷--+-,其中a 满足不等式组7223a a ->⎧⎨>⎩的整数解.5．先化简,再求值：221a a +－2142a a +÷1－2414a a +,其中a 是不等式x －413x -＞1的最大整数解．6．已知1A x +－3B x -＝5(1)(3)x x x ++- 其中A ,B 为常数,求A 2 018B 的值．整式的化简求值一、整式的概念1．单项式和多项式1单项式的概念：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式,单独一个数或字母也叫做单项式,如0,1,a …2单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；3单项式的次数：一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数；注①单个字母的系数是1,如a 的系数是1；②只含字母因数的代数式的系数是1或1,如ab 的系数是1,a 3b 的系数是1． 4多项式的概念：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式；5多项式的项：在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项；6多项式的次数：次数最高的项的次数就是这个多项式的次数；学科网 7常数项：代数式中不含字母的项叫做常数项,如6x 22x 7中的常数项是7． 2. 同类项多项式中,所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项,叫做同类项所有常数项也看做同类项．3．合并同类项1定义：把同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变． 2理论依据：逆用乘法分配律．3法则：把同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变．注①如果两个同类项的系数互为相反数,合并同类项后结果为0；②不是同类项的不能合并,不能合并的项,在每步运算中都要写上；③只要不再有同类项,就是最后结果,结果还是代数式．（4）合并同类项的步骤：第一步：观察多项式中各项,准确找出同类项,项数比较多时,不同的同类项可以给出不同的标记；第二步：利用乘法的分配律,把同类项的系数加在一起用小括号,字母和字母的指数不变；第三步：写出合并后的结果．4．去括号法则去括号规律要准确理解,去括号应对括号的每一项的符号都予以考虑,做到要变都变；要不变,则谁也不变；法则顺口溜：去括号,看符号,是“+”号,不变号；是“-”号,全变号．另外,括号内原有几项去掉括号后仍有几项．注如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．二、整式的计算1．整式的加减法整式的加减实质上就是合并同类项,若有括号,要先用“去括号法则”去掉括号,然后合并同类项．注1两个整式相减时,减数一定要先用括号括起来；2整式加减的最后结果中：不能含有同类项；一般按照某一字母的降幂或升幂排列；不能出现带分数,带分数要化成假分数．2．幂的运算1同底数幂的乘法同底数幂运算法则：同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即()m n m n a a a m n +⋅=、为正整数m 、n 均为正整数．学科网推导公式：同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘,即 ()m n p m n p a a a a m n p ++⋅⋅=、、为正整数．底数互换关系 22()()n n a b b a -=- ,2121()()n n b a a b ++-=--注同底数幂的乘法中,首先要找出相同的底数,运算时,底数不变,直接把指数相加,所得的和作为积的指数．在进行同底数幂的乘法运算时,如果底数不同,先设法将其转化为相同的底数,再按法则进行计算．2幂的乘方的运算性质运算性质：幂的乘方,底数不变,指数相乘,即()m n mn a a =m 、n 均为正整数．注幂的乘方的底数是指幂的底数,而不是指乘方的底数.指数相乘是指幂的指数与乘方的指数相乘,一定要注意与同底数幂相乘中“指数相加”区分开．3积的乘方的运算性质运算性质：积的乘方,把积中各个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,即：()n n n ab a b =n 为正整数．补充：()p m n mp np a b a b = m 、n 、p 是正整数．注运用积的乘方法则时,数字系数的乘方,应根据乘方的意义计算出结果．运用积的乘方法则时,应把每一个因式都分别乘方,不要遗漏其中任何一个因式．3．整式的乘除1 单项式乘单项式法则：单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式里的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.注计算时要运用乘法交换律,乘法结合律2单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘,因单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加注运用乘法分配律转化成单项式乘单项式3多项式乘多项式法则：多项式与多项式相乘,先用多项式的每一项乘里一个多项式的每一项,再把所得的积相加．4．乘法公式1完全平方公式：a+b2=a2+2ab+b2, ab2=a22ab+b2解读：()222首尾首首尾尾,公式中的a、b可以是单独的数字,字母,单+=+⨯⨯+2项式或多项式2平方差公式：a+bab=a2b2核心考点整式的化简求值1．整式化简求值在广东省中考中,在解答题部分,大多以先化简再求值的题型出现,要求熟悉乘法公式的特点,看清项数及公式形式中的a、b,准确进行计算；2．要准确认识平方差和完全平方公式,可以结合面积法证明这两个公式,这种证明方法在初中数学中体现了数形结合的思想；3．在化简求值时要注意：当字母是负数时,代入后应加上括号；当字母是分数时,遇到乘方也要加括号．经典示例先化简,再求值：2()()2a b a b a +-+,其中1a =,2b =．答题模板第一步,计算：利用整式乘法和除法法则或乘法公式进行展开．第二步,化简：利用整式的加减法法则合并同类项化简．第三步,求值：把字母的值代入化简结果计算．第四步,反思：反思回顾,查看关键点、易错点,对结果进行估算,检查规范性．模拟训练1.计算：(3)(1)(2)a a a a +-+-．2. 先化简,再求值．()()223234(1)(2)x x x x x +---+-,其中3x =-．1．2017·浙江宁波先化简,再求值：2215x xx x ,其中32x . 2．2017·湖南怀化先化简,再求值：2212112a a a a a ,其中21a .3．2017·江苏无锡计算：a +ba ﹣b ﹣aa ﹣b4．2017·浙江嘉兴化简：(2)(2)33m m m m +--⨯． 5．2017·河南先化简,再求值： 2(2)()()5()x y x y x y x x y ++-+--,其中21x =,21y =．。

2025年武汉市中考数学一轮复习：分式(附答案解析)

【分析】根据分式的基本性质解答即可．
�
��
【解答】解：A、当 c≠0 时， = ，原变形错误，不符合题意；
�
��
B、
0.5�−�
0.2�−0.3�
C、
−�−�
�+�
�−�
=
=
5�−10�
2�−3�
−(�+�)
�+�
�−�
，原变形错误，不符合题意；
=−1，正确，符合题意；
D、
=−
，原变形错误，不符合题意．
17．先化简，再求值．(1 + �) ÷
�2
18．化简( �+1 − �) ÷
�2−1
2
，其中� = ．
�+1
2
�
，从 1，﹣1，2 中选一个适合的数作为 a 的值代入求值．
�2−1
第 2页（共 15页）
2
�2 −2�
19．已知：� = (1 − �+2 ) ÷ 2
．
� −4�+4
（1）化简 A；
【专题】分式；数感．
【答案】B
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含
有字母则不是分式．
�2
5+� �+� 1
�+� 1
【解答】解：在 + 1，
，
，中，是分式的：
，，共 2 个．
�−� �
�−� �
3
�
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式定义，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以
1−�
C．
2−�
1
A．

中考复习——分式的有关概念(解析版)

中考复习——分式的有关概念一、选择题 1、分式13x -可变形为（）．A. 13x +B. -13x+C.13x - D. -13x - 答案：D 解答：分式13x -可变形为：-13x -．选D.2、当x =1时，下列分式没有意义的是（）．A.1x x+ B.1x x - C.1x x- D.1x x + 答案：B解答：当x =1时，x -1=0，故分式1xx -没有意义，其余分式都有意义．选B. 3、若分式12x -有意义，则x 的取值范围是（）．A. x ＞2B. x ≠2C. x ≠0D. x ≠-2答案：B解答：分式分母不为0，所以x -2≠0，即x ≠2．选B.4、下列式子中正确的是（）． A. a 2-a 3=a 5 B. （-a ）-1=aC. （-3a ）2=3a 2D. a 3+2a 3=3a 3答案：D解答：A 选项：a 2和a 3不是同类项，不能合并，选项错误； B 选项：（-a ）-1=-1a，选项错误； C 选项：（-3a ）2=9a 2，选项错误；D选项：a3+2a3=3a3，选项正确．选D.5、下列运算中正确的是（）．A. （a2）3=a5B. （12）-1=-2C. （0=1D. a3·a3=2a6答案：C解答：A选项：（a2）3=a6，故A错误；B选项：（12）-1=2，故B错误；C选项：（0=1，正确；D选项：a3·a3=a6，故D错误．选C.6、如果分式11x+在实数范围内有意义，则x的取值范围（）．A. x≠-1B. x＞-1C. 全体实数D. x=-1答案：A解答：由题意可知：x+1≠0，x≠-1．选A.7、函数y=1x-中自变量x的取值范围是（）．A. x≥-2且x≠1B. x≥-2C. x≠1D. -2≤x＜1答案：A解答：根据二次根式有意义，分式有意义得：x+2≥0且x-1≠0，解得：x≥-2且x≠1．选A.8、下列运算正确的是（）．A. B. （12）-1=-2C. （-3a）3=-9a3D. a6÷a3=a3（a≠0）答案：D解答：A，故A错误；B选项：（12）-1=2，故B错误；C选项：（-3a）3=-27a3，故C错误；D选项：a6÷a3=a6-3=a3（a≠0），故D正确．选D.9、分式52xx+-的值是零，则x的值为（）．A. 2B. 5C. -2D. -5答案：D解答：52xx+-=0，即（x+5）（x-2）=0，x1=-5，x2=2，经检验x=2不是原方程的解，x=-5是原方程的解，故x=-5．选D.10有意义的x的取值范围是（）．A. x≥4B. x＞4C. x≤4D. x＜4答案：D解答：有意义，则：4-x＞0，解得：x＜4，即x的取值范围是：x＜4．选D.11、分式211xx-+=0，则x的值是（）．A. 1B. -1C. ±1D. 0答案：A解答：∵分式211x x -+=0，∴x 2-1=0且x +1≠0，解得：x =1．选A.12在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（）． A. x ≥1且x ≠2 B. x ≤1C. x ＞1且x ≠2D. x ＜1答案：A解答：依题意，得x -1≥0且x ≠2，解得x ≥1且x ≠2，选A.13、函数y =13x -的自变量x 的取值范围是（）． A. x ≥2，且x ≠3 B. x ≥2C. x ≠3D. x ＞2，且x ≠3答案：A解答：依题意可得x -3≠0，x -2≥0，解得x ≥2，且x ≠3．选A.14、函数y 的自变量x 的取值范围是（）． A. x ≠5 B. x ＞2且x ≠5C. x ≥2D. x ≥2且x ≠5答案：D解答：由题意得：2050x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得：x ≥2且x ≠5．故答案选D.15、若代数式13xx+-有意义，则实数x的取值范围是（）．A. x=-1B. x=3C. x≠-1D. x≠3答案：D解答：13xx+-有意义，分母不为0，x-3≠0，x≠3．选D.二、填空题16、若分式1xx-的值为0，则x的值等于______．答案：1解答：分式1xx-的值为0，即分子为0且x≠0，x-1=0，x=1．故x=1．17、要使51x+有意义，则x的取值范围是______．答案：x≠-1解答：分式有意义，则分母不为零，所以x+1≠0，x≠-1，故x的取值范围为x≠-1．18、若式子1-11x-在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．答案：x≠1解答：分式有意义，则x-1≠0，解得x≠1．故答案为：x≠1．19、若代数式17x-有意义，则实数x的取值范围是______．答案：x≠7解答：若17x-有意义，x≠7，故实数x的取值范围为x≠7，故答案为：x≠7．20、函数y=16x-中，自变量x的取值范围是______．答案：x≠6解答：由题意得，x-6≠0，解得x≠6．故答案为：x≠6．21、计算：（14）-1=______．答案：4解答：（14）-1=114=4，故答案为：4．22、要使分式21xx+-有意义，则x应满足条件______．答案：x≠1解答：由分式有意义的条件，得x≠1．23、若分式22x xx-的值为0，则x的值是______．答案：2解答：∵分式22x xx-的值为0∴x2-2x=0，且x≠0，解得：x=2．故答案为：2．24、若分式11x+的值不存在，则x=______．答案：-1解答：∵分式11x+的值不存在，解得：x=-1，故答案为：-1．25在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．答案：x＞3解答：由题意得：2x-6＞0，解得：x＞3，故答案为：x＞3．26、函数y的自变量x取值范围是______．答案：x≥1且x≠3解答：根据题意得：1030xx-≥⎧⎨-≠⎩.，解得x≥1，且x≠3，即：自变量x取值范围是x≥1，且x≠3．27、若分式121x-有意义，则x的取值范围是______．答案：x≠1 2解答：根据题意得，2x-1≠0，解得x≠12．28有意义，则x的取值范围是______．答案：x＞2解答：由题意得，x-2＞0，解得x＞2．故答案为：x＞2．29、函数y______．答案：x＞3解答：得x ≥3，由分母不为0得x -3≠0，x ≠3，综上x ＞3． 30、分式22xx -与282x x-的最简公分母是______，方程22822x x x x ---=1的解是______．答案：x （x -2）；x =-4 解答：∵x 2-2x =x （x -2），∴分式22xx -与282x x -的最简公分母是x （x -2），方程22822x x x x---=1，去分母得：2x 2-8=x （x -2），去括号得：2x 2-8=x 2-2x ，移项合并得：x 2+2x -8=0，变形得：（x -2）（x +4）=0，解得：x =2或-4，检验：∵当x =2时，x （x -2）=0，当x =-4时，x （x -2）≠0， ∴x =2是增根，x =-4是方程的根， ∴方程的解为：x =-4．故答案为：x （x -2）；x =-4．。

分式、二次根式知识点(中考复习专用)

分式、二次根式知识点 1、形如A B 的式子，其中A 、B 为整式，除式B 中且叫做分式。

分式A B 有意义：分式A B 无意义：分式A B 值为零：分式A B 值为正数：分式A B 值为负数：
2、分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（除以）分式的值不变。

3、分式的符号法则：分式的、及三个符号，任意两项同时变号，分式的值不变。

4、最简公分母确定：先分解因式，再系数找，字母找，字母的指数取。

5、若分式的分子与分母是多项式，须把分子与分母，再进行约分通分等运算。

6、科学记数法：a ╳10n ，其中a 的取值范围是
7、分式的拆分：1n(n+1)= 1n(n+3)=
8、二次根式：式子√a 叫做二次根式。

9、最简二次根式：必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含； ⑶分母中不含。

10、同类二次根式：二次根式化成后，若相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

11、二次根式的性质：
（1）（√a ）2= （）；（2）√a 2= ={ ( )
( ) ( )
（3）双重非负性：，
12、二次根式的运算：
⑴加减运算：先把二次根式化成，然后即可。

⑵乘除运算：√ab = （）； √a b = (
)。

中考复习_分式

分式一、选择题1.（2011重庆江津4分）下列式子是分式的是A 、2xB 、1x x +C 、2xy+D 、xπ【答案】B 。

【考点】分式的定义。

【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式：∵2x ，2x y+，x π的分母中均不含有字母，∴它们是整式，而不是分式；1xx +分母中含有字母，因此是分式。

故选B 。

2.（2011浙江金华、丽水3分）计算111aa a ---的结果为A 、11a a +-B 、1aa -- C 、﹣1D 、2【答案】C 。

【考点】分式的加减法。

【分析】根据同分母的分式加减，分母不变，分子相加减的运算法则，得111111a a a a a --==----。

故选C 。

3.（2011广西来宾3分）计算11x x y--的结果是A 、()y x x y -- B 、()2x y x x y +- C 、()2x y x x y -- D 、()y x x y -【答案】A 。

【考点】分式的加减法。

【分析】首先通分，然后根据同分母的分式加减运算法则求解即可求得答案：()()()11x y x y x x y x x y x x y x x y --=-=-----。

故选A 。

4.（2011江苏苏州3分）已知1112a b -=，则ab a b -的值是A ．12B ．－12 C ．2 D ．－2【答案】D 。

【考点】代数式变形。

【分析】观察已知和所求的关系，容易发现把已知通分后，再求倒数即可：1111222b a ab a b ab a b --=⇒=⇒=--。

故选D 。

5.（2011江苏南通3分）设0m >n >，224m n mn +=，则22m n mn -＝A ．2 3B ． 3C ． 6D ．3 【答案】A 。

【考点】代数式变换，完全平方公式，平方差公式，根式计算。

【分析】由224m nmn +=有()()2262m n mn m n mn+=-= ，，因为0m >n >，所以m n +，m n - ，则()()22m n m n m n mn mn +--==A 。