二次函数专题讲解

二次函数专题讲解

一、知识综述：

1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2

++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数c bx ax y ++=2

用配方法可化成：()

k h x a y +-=2

的形式，其中a

b a

c k a b h 4422

-=-=，。

3.求抛物线的顶点、对称轴的方法

（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222

2

-+⎪

⎭⎫ ⎝

⎛

+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2

的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直

线h x =.

4.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2

；③()2

h x a y -=；④()k h x a y +-=2

；

⑤c bx ax y ++=2

. 它们的图像特征如下：

开口大小与｜a ｜成反比，｜a ｜越大，开口越小；｜a ｜越小，开口越大。 5.用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：c bx ax y ++=2

.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2

.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 6.二次函数图象的平移

左加右减（对X ），上加下减（对Y ）。 二、考点分析及例题解析

考点一：二次函数的概念

例1：如果函数1)3(2

32

++-=+-mx x m y m m 是二次函数，那么m 的值为 。

考点二：二次函数的图象

例2（2016年广东省广州市）已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋2．

（1）该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标 ；

（2）选取适当的数据填入下表，并在图7的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；

x … … y

…

…

（3）若该抛物线上两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）的横坐标满足x 1＞x 2＞1，试比较y 1与y 2的大小．

例3 (2016年安徽省芜湖市)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，反比例函数y ＝ a

x 与正比例函数y ＝（b ＋c ）x

在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）

例4 (2016年兰州市)抛物线c bx x y ++=2

图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为

322--=x x y ，则b 、c 的值为（ ）

A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2 例5.（2006，大连）右图是二次函数y 1=ax 2+bx+c 和一次函数y 2=mx+n 的图像，•观察图像写出y 2≥y 1时，x 的取值范围_______．

变式训练：

1、在同一坐标系中，直线b ax y +=和抛物线c bx ax y ++=2

的图象只可能是（ ）

2、（山西）抛物线y=－2x 2－4x －5经过平移得到y=－2x 2，平移方法是（ ） A ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位

-5-4-3-2-1O 12345

x

y

-1

1

Y O X Y

O X Y O X

Y O X

B ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位

C ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位

D ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位

考点三：确定二次函数的解析式

例4：（2016年宁波市）如图，已知二次函数c bx x y ++-=2

2

1的图象经过A （2，0）

、B （0，－6）两点。 （1）求这个二次函数的解析式

（2）设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ， 连结BA 、BC ，求△ABC 的面积。

解：（1）把A （2，0）、B （0，－6）代入c bx x y ++-

=2

2

1 得：⎩

⎨

⎧-==++-60

22c c b

解得⎩⎨⎧-==6

4c b

∴这个二次函数的解析式为642

12

-+-=x x y （2）∵该抛物线对称轴为直线4)

2

1(24

=-⨯-=x

∴点C 的坐标为（4，0）

∴224=-=-=OA OC AC ∴6622

1

21=⨯⨯=⨯⨯=∆OB AC S ABC 变式训练：

1、已知：函数c bx ax y ++=2

的图象如图：那么函数解析式为（ ） （A ）322

++-=x x y （B ）322

--=x x y （C ）322

+--=x x y （D ）322

---=x x y

考点四：最值问题

例5：矩形ABCD 的边AB =6 cm ，BC =8 cm ，在BC 上取一点P ，在CD 边上取一点Q ，使∠APQ 成直角，设BP =x cm ，CQ =y cm ，试以x 为自变量，写出y 与x 的函数关系式.并求出CQ 的最大值。

例6：如图，抛物线的对称轴是直线x=1，它与x 轴交于A,B 两点，与y 轴交于C 点。点

y

x

C

A

O

B

第4题

3

o

-1

3 y x

A

D Q