福建福州数学-2014初中毕业学业考试试卷

二O一四年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考试
数学试卷
（全卷共4页，三大题，22小题，满分150分；考试时间120分钟）
友情提示：所有答案都必须填涂在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效。

毕业学校姓名考生号
一、选择题（共10小题，每题4分，满分40分；每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂）1．-5的相反数是
A．-5 B．5 C．1
5
D．-
1
5
【答案】B
2．地球绕太阳公转的速度约是110000千米/时，将110000用科学记者数法表示为
A．11⨯104B．1.1⨯105C．1.1⨯104D．0.11⨯106
【答案】B
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体是
A．三棱柱B．长方体C．圆柱D．圆锥
【答案】D
4．下列计算正确的是
A．x4·x4=x16B．(a3)2=a5C．(ab2)3=ab6D．a+2a=3a
【答案】D
5．若7名学生的体重（单位：kg）分别是：40，42，43，45，47，47，58，则这组数据的平均数是A．44 B．45 C．46 D．47
【答案】C
6．下列命题中，假命题是
A．对顶角相等B．三角形两边的和小于第三边
C．菱形的四条边都相等D．多边形的外角和等于360︒
【答案】B
7．若(m-1)2+0，则m+n的值是
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
8．某工厂现在平均每天比原计算多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同.设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是
A．
600450
50
x x
=
+
B．
600450
50
x x
=
-
C．600450
50
x x
=
+
D．
600450
50
x x
=
-
【答案】A
9．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为A．45︒B．55︒C．60︒D．75︒
【答案】C
10．如图，已知直线y=-x+2分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线y=k
x
交于E，F两点，若AB=2EF，
则k的值是
A．-1 B．1 C．1
2
D．
3
4
【答案】D
二、填空题（共5小题，每题4分，满分20分；请将正确答案填在答题卡相应位置）
11．分解因式：ma+mb=.
【答案】m(a+b)
12．若5件外观相同的产品中有1件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，则抽到不合格产品的概率是.
【答案】1 5
13．计算：+1）-1）=.
【答案】1
14．如图，在□ABCD中，DE平分∠ADC，AD=6，BE=2，则□ABCD的周长是.
【答案】20
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90︒，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF=1
2 BC.若
AB=10，则EF的长是.
【答案】5
三、解答题（满分90分；请将正确答案及解答过程填在答题卡相应位置.作图或添加辅助线用铅笔画完，再用黑色签字笔描黑）
16．（每小题7分，共14分）
（1+
1
2014
⎛⎫
⎪
⎝⎭
0+|-1|.
【答案】解：原式=3+1+1=5.
（2）先化简，再求值：(x+2)2+x(2-x)，其中x=1 3 .
【答案】解：原式=x2+4x+4+2x-x2 =6x+4.
当x=1
3
时，
原式=6⨯1
3
+4=6.
17．（每小题7分，共14分）
（1）如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C.求证：∠A=∠D.
【答案】证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF
即BF=CE.
又∵AB=DC，∠B=∠C，
∴△ABF≌△DCE.
∴∠A=∠E.
（2）如图，在边长为1个单位长度的小正方形所组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上.
①sin B的值是；
②画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（A与A1，B与B1，C与C1相对应）.连接AA1，BB1，并计算梯形AA1B1B
的面积.
【答案】①3
5
；
②如图所示.
由轴对称的性质可得，AA 1=2，BB 1=8，高是4. ∴1
1
AA B B S 梯形=
1
2
(AA 1+BB 1)⨯4=20.
18．（满分12分）设中学生体质健康综合评定成绩为x 分，满分为100分.规定：85≤x ≤100为A 级，75≤x <85
为B 级，60≤x <75为C 级，x <60为D 级.现随机抽取福海中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了名学生，a =%； （2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中C 级对应的圆心角为度；
（4）若该校共有2000名学生，请你估计该校D 级学生有多少名？ 【答案】解：（1）50，24； （2）如图所示； （3）72；
（4）该校D 级学生有：2000⨯
4
50
=160人.
19．（满分12分）现有A ，B 两种商品，买2件A 商品和1件B 商品用了90元，买3件A 商品和2件B 商品共
用了160元.
（1）求A ，B 两种商品每件多少元？
（2）如果小亮准备购买A ，B 两种商品共10件，总费用不超过350元，且不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？ 【答案】解：（1）设A 商品每件x 元，B 商品每件y 元. 依题意，得29032160.x y x y +=⎧⎨+=⎩，
解得2050.x y =⎧⎨=⎩
，
答：A 商口每件20元，B 商品每件50元.
（2）设小亮准备购买A 商品a 件，则购买B 商品(10-a )件. 依题意，得2050(10)3002050(10)350.a a a a +-≥⎧⎨+-≤⎩
，
解得5≤a ≤6
23
. 根据题意，a 的值应为整数，所以a =5或a =6.
方案一：当a =5时，购买费用为20⨯5+50⨯(10-5)=350元； 方案二：当a =6时，购买费用为20⨯6+50⨯(10-6)=320元. ∵350>320，
∴购买A 商品6件，B 商品4件的费用最低.
答：有两种购买方案，方案一：购买A 商品5件，B 商品5件；方案二：购买A 商品6件，B 商品4件.其中方案二费用最低.
20．（满分11分）如图，在△ABC 中，∠B =45︒，∠ACB =60︒，AB =，点D 为BA 延长线上的一点，且∠D =∠ACB ，⊙O 为△ACD 的外接圆. （1）求BC 的长； （2）求⊙O 的半径.
【答案】解：（1）过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E . ∴∠AEB =∠AEC =90︒. 在Rt △ABE 中，∵sin B =
AE
AB
，
∴AB =AB ·sin B =·sin45︒==3. ∵∠B =45︒， ∴∠BAE =45︒.
∴BE =AE =3.
在Rt △ACE 中，∵tan ∠ACB =AE
EC
，
∴EC =
3
tan tan 60AE ACB ===∠︒
∴BC =BE +EC =3
（2）由（1）得，在Rt △ACE 中，∵∠EAC =30︒，EC
∴AC =解法一：连接AO 并延长交⊙O 于M ，连接CM .
∵AM 为直径， ∴∠ACM =90︒.
在Rt △ACM 中，∵∠M =∠D =∠ACB =60︒，sin M =AC
AM
，
∴AM =
sin AC M =4. ∴⊙O 的半径为2.
解法二：连接OA ，OC ，过点O 作OF ⊥AC ，垂足为F ，
则AF =
1
2
AC . ∵∠D =∠ACB =60︒， ∴∠AOC =120︒. ∴∠AOF =
1
2
∠AOC =60︒. 在Rt △OAF 中，sin ∠AOF =AF
AO
， ∴AO =
sin AF
AOF
∠=2，即⊙O 的半径为2.
21．（满分13分）如图1，点O 在线段AB 上，AO =2，OB =1，OC 为射线，且∠BOC =60︒，动点P 以每秒2个
单位长度的速度从点O 出发，沿射线OC 做匀速运动，设运动时间为t 秒.
（1）当t =
1
2
秒时，则OP =，S △ABP =；
（2）当△ABP 是直角三角形时，求t 的值；
（3）如图2，当AP =AB 时，过点A 作AQ ∥BP ，并使得∠QOP =∠B ，求证：AQ ·BP =3.
【答案】解：（1）1； （2）①∵∠A <∠BOC =60︒， ∴∠A 不可能是直角. ②当∠ABP =90︒时， ∵∠BOC =60︒， ∴∠OPB =30︒.
∴OP =2OB ，即2t =2. ∴t =1.
③当∠APB =90︒时，作PD ⊥AB ，垂足为D ，则∠ADP =∠PDB =90︒. ∵OP =2t ，
∴OD =t ，PD ，AD =2+t ，BD =1-t （△BOP 是锐角三角形）.
解法一：∴BP 2=（1-t ）2+3t 2，AP 2=(2+t )2+3t 2. ∵BP 2+AP 2=AB 2，
∴(1-t )2+3t 2+(2+t )2+3t 2=9， 即4t 2+t -2=0.
解得t 1t 2. 解法二：∵∠APD +∠BPD =90︒，∠B +∠BPD =90︒， ∴∠APD =∠B . ∴△APD ∽△PBD .
∴
.AD PD
PD BD
= ∴PD 2=AD ·BD .
于是)2=(2+t )(1-t )，即4t 2+t -2=0.
解得t1t2.
综上，当△ABP为直角三角形时，t=1
（3）解法一：∵AP=AB，
∴∠APB=∠B.
作OE∥AP，交BP于点E，
∴∠OEB=∠APB=∠B.
∵AQ∥BP，
∴∠QAB+∠B=180︒.
又∵∠3+∠OEB=180︒，
∴∠3=∠QAB.
又∵∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP，
已知∠B=∠QOP，
∴∠1=∠2.
∴△QAO∽△OEP.
∴AQ AO
EO EP
=，即AQ·EP=EO·AO.
∵OE∥AP，
∴△OBE∽△ABP.
∴
1
3 OE BE BO
AP BP BA
===.
∴OE=1
3
AP=1，BP=
3
2
EP.
∴AQ·BP=AQ·3
2
EP=
3
2
AO·OE=
3
2
⨯2⨯1=3.
解法二：连接PQ，设AP与OQ相交于点F. ∵AQ∥BP，
∴∠QAP=∠APB.
∵AP=AB，
∴∠APB=∠B.
∴∠QAP=∠B.
又∵∠QOP=∠B，
∴∠QAP=∠QOP.
∵∠QF A=∠PFO，
∴△QF A∽△PFO.
∴FQ FA
FP FO
=，即
FQ FP
FA FO
=.
又∵∠PFQ=∠OF A，
∴△PFQ ∽△OF A . ∴∠3=∠1.
∵∠AOC =∠2+∠B =∠1+∠QOP ， 已知∠B =∠QOP ， ∴∠1=∠2. ∴∠2=∠3.
∴△APQ ∽△BPO . ∴
AQ AP
BO BP
=
. ∴AQ ·BP =AP ·BO =3⨯1=3.
22.（满分14分）如图，抛物线y =
1
2
(x -3)2-1与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D 了.
（1）求点A ，B ，D 的坐标； （2）连接CD ，过原点O 作OE ⊥CD ，垂足为H ，OE 与抛物线的对称轴交于点E ，连接AE ，AD .求证：∠AEO =∠ADC ；
（3）以（2）中的点E 为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P ，过点P 作⊙E 的切线，切点为Q ，当PQ 的长最小时，求点P 的坐标，并直接写出点Q 的坐标.
【答案】（1）顶点D 的坐标为（3，-1）. 令y =0，得
1
2
(x -3)2-1=0，
解得x 1=3，x 2=3∵点A 在点B 的左侧，
∴A 点坐标(3，0)，B 点坐标（3，0）. （2）过D 作DG ⊥y 轴，垂足为G . 则G （0，-1），GD =3.
令x=0，则y=7
2
，∴C点坐标为（0，
7
2
）.
∴GC=7
2
-(-1)=
9
2
.
设对称轴交x轴于点M.
∵OE⊥CD，
∴∠GCD+∠COH=90︒.
∵∠MOE+∠COH=90︒，∴∠MOE=∠GCD.
又∵∠CGD=∠OMN=90︒，∴△DCG∽△EOM.
∴
9
3
2
3
CG DG
OM EM EM
==
，即.
∴EM=2，即点E坐标为(3，2)，ED=3.
由勾股定理，得AE2=6，AD2=3，
∴AE2+AD2=6+3=9=ED2.
∴△AED是直角三角形，即∠DAE=90︒.
设AE交CD于点F.
∴∠ADC+∠AFD=90︒.
又∵∠AEO+∠HFE=90︒，
∴∠AFD=∠HFE，
∴∠AEO=∠ADC.
（3）由⊙E的半径为1，根据勾股定理，得PQ2=EP2-1. 要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小.
设P坐标为（x，y），由勾股定理，得EP2=(x-3)2+(y-2)2.
∵y=1
2
(x-3)2-1，
∴(x-3)2=2y+2.
∴EP2=2y+2+y2-4y+4
=(y-1)2+5.
当y=1时，EP2最小值为5.
把y=1代入y=1
2
(x-3)2-1，得
1
2
(x-3)2-1=1，
解得x1=1，x2=5.
又∵点P在对称轴右侧的抛物线上，∴x1=1舍去.
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西安恒谦教育科技股份有限公司 第11页 ∴点P 坐标为(5，1).
此时Q 点坐标为（3，1）或(191355
，
).。