华中科技大学材料力学课件(李国清)教材

假定AB段刚化，研究自由端C对截面B的相对
挠度，即考虑图（b）
yc1
P( l )3 2
3EI
Pl 3
24 EI
()
解除AB段的刚化并令BC段刚化考虑图（C）
y B2
P( 3
l )3 2 2EI
1 2
pl ( l ) 2
2 2EI
2
5Pl 3 96 EI
()
B2
P(
l 2
)2
r(x) (1 y2 )3/2
y 小变形条件： (1 y2 )3/2 1
1
r(x)
(1
y y2 )3/2
y
d2y dx 2
M (x) EI
梁的挠曲线二阶微分方程的适用性和近似性ห้องสมุดไป่ตู้什么？
梁的挠曲线的其它形式
EIy M (x) EIy Q(x) EIy'''' q(x) EIy M (x)
EI M (x)dx C1 EIy M (x)dx C1x C2
d2y dx 2
M (x) EI
梁的（2阶）弯矩方程
梁的（3阶）剪力方程
梁的（4阶）弯矩方程
梁的（2阶）挠曲线方程 梁的转角方程
梁的挠度方程
求解以上微分方程分别需要几个边界条件？
梁的边界条件
固定铰支座和可动铰支座
固定端
L 250
试设计截面。
q
A
B
h
L
b
解：(1) 按强度条件设计
最大弯矩发生在A截面，A截面为危险截面
强度条件
M max [ ]
Wz
Wz
M max
[ ]
M max
1 2
qL2
1 2
10103
32
45103
N
m
Wz
bh2 6
4b3 6
2b3 3
(h 2b)
代入强度条件：
2 b3 45 103 3 120 106
3.6 梁的弹塑性弯曲
分析：只有当整个截面上的材料都进入了屈服阶段，梁才 能丧失承载能力。梁可能承受的最大载荷称为极限载荷。
理想弹塑性简化
此时梁的变形仍为弹性变形，故有
Ms
sIz
ymax
sWz
Ms称为梁的屈服弯矩。
Mu A1 s ydA1 A2 ( s y)dA2 s[A1 ydA1 A2 (y)dA2]
s (S1 S2)
Mu称为梁的极限弯矩，也称为塑性弯矩。也可改写为 M u sWp Wp=S1+S2称为梁的塑性抗弯截面模量
3.6 梁的弹塑性弯曲
弹性阶段， (My/Iz) ~ e(y/r)
临界状态1
Ms
sIz
ymax
sWz
Ms称为梁的屈服弯矩 弹塑性阶段， 弹性区A1 ( y<y1) 塑性区A2 (y1 < y<h/2)
自由端
滑动固定端
自由端
固定和可动铰支座 固定端 滑动固定端
y=0 =~ y=0 =0 y= ~ =0
位移条件
Q= M=0 ~
Q= M= ~~
Q=0 M= 静力~条件
梁的连续条件
位移的连续条件
相邻梁段的交接处，相邻两截面应具有相同的挠度 与转角，即满足连续、光滑条件
EIy1 M1(x)
EIy2 M 2 (x)
支承条件
Bx
xa xa
v1 v2 v1 v2
连续条件 光滑条件
利用边界条件解得
C1
C2
Pb (L2 6L
b2 )
D1 D2 0
Pb (L2 b2 3x2 ) 0 x a
6EI z L
Pb [( L2 b2 3x2 ) 3L (x-a)2
6EI z L
b
axL
Pbx (L2 b2 x2 ) 0 x a 6EI z L
M u sWp
Wp=S1+S2称为梁的塑性抗弯截面模量
Mu称为梁的极限弯矩,也称为塑性弯矩
3.7 梁的变形
梁的强度 保证梁的具有足够抵抗破坏的能力 梁的刚度 保证梁不发生过大的变形
过大的变形的危害 ➢例1：车床主轴变形过大，影响其加工精度。
切削力
➢例2：高层建筑上部变形过大， 会使其中的居民产生不安全感。
叠加法求梁的变形
叠加原理
运 用 条 件
在几个载荷共同作用下引起的 某一力学量等于各载荷单独作 用下所引起的此量的代数和
小变性条件
材料遵循胡克定律
例3.13 试用叠加法求图（a）所示阶梯形变截面悬臂梁自由端C的挠 度
由于梁的抗弯刚度EI在B处不连续，若由挠 曲线微分方程积分求解，须分段进行，工作 量较大。可用叠加法求解。
吊车梁:[y]=(1/400~1/750)l，（l为跨长）； 机械中的一般轴，[y]=（0.0003～0.0005）l； 机械中的精密轴，[y]=（0.0001～0.0002）l； 轴上齿轮，[]=（0.001～0.002）rad（弧度）。
例6－7 已知: q=10kN/m ，L=3m，
[ ] 120Mpa , E 200Gpa , [ f ] 1 , h 2b
由于梁的抗弯刚度EI在B处不连续，若由挠
曲线微分方程积分求解，须分段进行，工作
量较大。可用叠加法求解。
假定AB段刚化，研究自由端C对截面B的相对
挠度，即考虑图（b）
yc1
P( l )3 2
3EI
Pl 3
24 EI
()
解除AB段的刚化并令BC段刚化考虑图（c）
y B2
P(
l )3 2
3 2EI
1 2
2 2EI
1 2
Pl
l 2
2EI
3Pl 2 16 EI
由梁的变形连续条件，直线BC因AB段的弯曲变
形而移位到 B'C '的位置，使C点有相应的挠度
Ely'(x) M (x)dx c1 Ely(x) M (x)dxdx c1x c2
利用边界条件确定上面二式中的积分常数 C1、C2，即可得梁的挠度方程和转角方程
例3.11 求图所示受载的悬臂梁的挠曲线方程及转角方程，并 求自由端B的挠度和转角。
梁内弯矩方程: 连续积分两次得
利用两个边界条件:
3
b
4
310103 33 250 8 200109 2
8.92cm
h 2b 17.84cm
综合考虑强度和刚度条件，可取
h 18cm b 9cm
2.提高梁的刚度的措施
所谓提高梁的刚度，即尽量降低梁的 最大挠度和转角。梁的最大挠度和转角，除 与 荷 载 大 小 有 关 外 ， 还 与 Ln 成 正 比 ， 与 EIz 成反比。因此，在不改变荷载的情况下，要 减小梁的变形可采用以下两方面的措施。
最大误差2.65%
叠加法求梁的变形 叠加原理 在几个载荷共同作用下引起的某一力学量等于
各载荷单独作用下所引起的此量的代数和
适用条件 小变性条件（几何线性）
材料遵循胡克定律（物理线性）
P1 P2
小变性条件：计算P2的作用时， 忽略P1的作用对几何尺寸的影响。
例3.13 试用叠加法求图（a）所示阶梯形变截面悬臂梁自由端C的挠 度
M (x) 1 qx2 qlx 1 ql 2
2
2
Ely'' (x) 1 qx2 qlx 1 ql 2
Ely
'
(
x)
21 6
qx
3
1 2
qlx
2 2
1 2
ql
2
x
c1
Ely(x)
1 24
qx4
1 6
qlx 3
1 4
ql
2
x2
c1x
c2
y x0 x0 0
求得c1、c2都为零。将其代入挠曲线方程和转角方程:
面向21世纪课程教材
材料力学
李国清
华中科技大学 力学系
copyright, 2000,2002 (c) Dept. Mech., HUST , China 版权所有, 2000,2002 (c) 华中理工大学力学系
第三章 梁的弯曲
3.1 梁的内力 3.2 平面弯曲梁的正应力 3.3 梁的弯曲剪应力 3.4 梁的强度计算 3.5 梁的合理强度设计 3.6 梁的弹塑性弯曲 3.7 梁的变形
v
Pb [x(L2 b2 x2 ) L (x-a)3 ] a x L
EI z L
b
最大转度，显然在支座处
A
(0)
Pab 6EI z
(L
b)
B
(L)
Pab 6EI z
(L
a)
a b max B
a b max A
从AB， 中间必经过0
最大挠度
令 dv 0 dx
x0
y(x) qx2 (x2 4lx 6l 2 )
自由端的挠度和转角最大
24EL
(x) qx2 (x2 3lx 3l 2 )
y y(l) ql 4 (向下)
max
8EI
6EL
(l) ql3 (顺时针）
max
6EI
例312 图示抗弯刚度为EIz的简支梁受集 中力P作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方 程，并确定最大挠度和最大转角。
A y
P
a
b
C
L
Bx
解：利用平衡方程易求得两个支反力
RA
pb L
RB
pa L
显然，AC段与CB段弯矩方程的表达式不一样。
分别列出AC、CB段弯矩方程并积分
RA a
P
RB
b
A
C
L
Bx
y
AC段
CB段
M1(x) RAx
pb x L
0
xa
E I z v1
M1(x)
pbx L
EI zv1
pbx2 2L
a
M1(x) RAx
M2(x) RAx P(x a)
位移的连续条件
y1(a ) y2 (a )
1(a ) 2 (a )或y1(a ) y2 (a )
在梁的各部分挠曲线y连续，挠度y连续一阶导数连续（光滑）
积分法求梁的变形
对于等刚度梁，梁挠曲线的二阶微分方程可写为
Ely'' M (x) 对此方程连续积分两次，可得
yc
y c1
yc2
Pl 3 24 EI
7Pl 3 48EI
3Pl 3 16 EI
()
这种分析方法叫做梁的逐段刚化法。
梁的刚度条件
在工程设计中，除了要保证梁的强度条件外，还要保证其刚度 条件，即梁的变形不能超过允许的限度。即
y y max
max
此两式称为梁的刚度条件。
式中[y]、[]分别为构件的许可挠度和许可转角， 对不同构件有不同的要求，如：
b3
3 45103 2 120 106
8.25102 m 8.25cm
h 2b 16.5cm
(2) 按刚度条件设计
刚度条件为
qL4 fmax 8EIz
fmax [ f ] LL
fmax qL3 L 8EIz
bh3 b(2b)3 2b4
I z 12
12
3
代入刚度条件可得
10103 33 1 8 200109 2 b4 250
v(x0 )为极值。
设a b
则 x0
L2 b2 3
Pb fmax v(x0 ) q 3EI z L
(L2 b2 )3
当P力作用在跨中央时，fmax发生在梁中央。
当P力无限接近端点B时，即b0时
x0
1 L 0.577 L 3
接近0.5L
简支梁无论P作用在何处用
f ( L)代替 2
fmax
弹性阶段， (My/Iz) ~ e(y/r)
临界状态1
Ms
sIz
ymax
sWz
Ms称为梁的屈服弯矩 弹塑性阶段， 弹性区A1 ( y<y1) 塑性区A2 (y1 < y<h/2)
Mu A1 s ydA1 A2 ( s y)dA2
s[ A1 ydA1 A2 ( y)dA2 ]
s (S1 S2)
Mu A1 s ydA1 A2 ( s y)dA2
s[ A1 ydA1 A2 ( y)dA2 ]
s (S1 S2)
M u sWp
Wp=S1+S2称为梁的塑性抗弯截面模量
Mu称为梁的极限弯矩,也称为塑性弯矩
3.6 梁的弹塑性弯曲
O
e
理想弹塑性应力-应变关系
理想弹塑性简化
3.6 梁的弹塑性弯曲
横截面的形心在垂 直于轴线（x轴） 方向的线位移，称 为挠度，用y表示
横截面在xy平面的 角位移，称为转角， 用θ表示
挠度和转角是度量梁弯曲变形的两个基本量
3.7.2 梁的挠曲线微分方程
梁的(近似)挠曲线二阶微分方程
1M
r EI
1 M (x)
r(x) EI
细长梁(l/h>4)横力弯 曲近似适用纯弯曲公 司
3.7 梁的变形
内容提要
➢如何用积分法计算梁的变形？ ➢如何用叠加法计算梁的变形？ ➢如何进行梁的刚度计算？
3.7 梁的变形
3.7.1 梁的挠度和转角
几个重要概念
➢挠曲线 ➢挠曲线方程,即y=y(x) ➢挠度 ➢转角
挠曲线
挠曲线-梁变形后的轴线，称为挠曲线 是一条位于载荷平面内的光滑连续曲线
tg y
pl
( l )2 2
2 2EI
5Pl 3 96 EI
()
B2
P( l )2 2
2 2EI
1 2
Pl
l 2
3Pl
2
2EI 16EI
由梁的变形连续条件，直线BC因AB段的弯曲变 形而移位，使C点有相应的挠度
yc2
y B2
B2
l 2
7Pl 3 48EI
()
将图3.46（b）和（c）两种情况的变形叠加 后，即可求得自由端C的挠度
C1
M2 (x) RAx p(x a) a x L
E I z v2
pbx L
p(x
a)
EI zv2
pbx2 2L
p(x a)2 2
C2
EI zv1
pbx3 6L
C1x
D1
EI zv2
pbx3 6L
p(x a)3 6
C2 x D2
边界条件： A
P
a
b
LC
y
x0 xL
v1 0 v2 0