华中科技大学材料力学课件(李国清)教材
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材料力学 ppt课件
2
y
2
2 x
0
1 2
ar
cPtPaTn课件x
2 x
y
17
（3）应力圆
E
y
x
2
O
A2 B 2
y
D 2
D 1
2 0
CF
B1 A1
x 1
PPT课件
18
5、四个常用强度理论
强度理论的统一形式： r [ ]
• 第一强度理论： • 第二强度理论： • 第三强度理论： • 第四强度理论：
180 []
π
2
材料在拉伸和压缩时的力学性质
低碳钢试件的应力--应变曲线( -- 图)
PPT课件
3
轴向拉压杆的应变能计算：
若 N=P为常量,则Δl= N l EA
PA A
l
P
∴有 U =
1 P·Δl =
1 N 2l
2
2 EA
B
Δl
O Δl B Δl
P
比能单位：J/m3
对于等截面直杆引入比能概念：单位体积内所蓄存的变形能
7
3、图示空心圆截面轴，外径D=40mm， 内径d=20mm，扭矩T=1kN•m。试计算横 截面上的最大、最小扭转切应力，以及A 点处（ρ A=15mm）的扭转切应力。
华科材料力学教材课后习题答案第九章
即： 如果F力为方向向外，杆BD为压杆。 失稳时有：
即：
9-6 在图示结构中，横梁AD为刚性杆，杆（1）与杆（2）均为直径d=10cm的圆杆，材料均为Q235钢，规定的稳定安
全系数 n st 6.5 。试由杆（1）的稳定性确定许可F。
2m 2m
E
(2) F
A
B
C
D
(1)
F
2m
2m
2m
9-7 图示桁架由两根材料、截面均相同的细长杆组成，试由稳定性要求确定F为最大时的 角（ π / 2）。
9-1 如图所示各压杆的直径d均相同，且d=16cm，材料均为Q235钢。试判断哪一种压杆的临界载荷Fcr最大?
解：
故压杆 C 的临界载荷Fcr最大
9-2 某柴油机的圆截面顶杆为两端铰支，其杆长 =257mm，直径d=8mm，材料的E=210GPa，
p =220MPa，a=304MPa，b=1.12MPa， s =240MPa，顶杆所受最大工作压力 Fmax 1.76kN，规定的
度时杆将失去稳定？已知材料的热膨胀系数 12.5106 / C，E=210GPa， p =200MPa。
5m
9-5 9-5 图示正方形桁架，各杆EI相同且均为细长杆。试求当F为何值时结构将失稳?如果F力改为方向向外， 结果又如何？ 解：杆AB、BC、CD、AD为压杆，所受压力相等为F`。 失稳时有：
即：
9-6 在图示结构中，横梁AD为刚性杆，杆（1）与杆（2）均为直径d=10cm的圆杆，材料均为Q235钢，规定的稳定安
全系数 n st 6.5 。试由杆（1）的稳定性确定许可F。
2m 2m
E
(2) F
A
B
C
D
(1)
F
2m
2m
2m
9-7 图示桁架由两根材料、截面均相同的细长杆组成，试由稳定性要求确定F为最大时的 角（ π / 2）。
9-1 如图所示各压杆的直径d均相同，且d=16cm，材料均为Q235钢。试判断哪一种压杆的临界载荷Fcr最大?
解：
故压杆 C 的临界载荷Fcr最大
9-2 某柴油机的圆截面顶杆为两端铰支，其杆长 =257mm，直径d=8mm，材料的E=210GPa，
p =220MPa，a=304MPa，b=1.12MPa， s =240MPa，顶杆所受最大工作压力 Fmax 1.76kN，规定的
度时杆将失去稳定？已知材料的热膨胀系数 12.5106 / C，E=210GPa， p =200MPa。
5m
9-5 9-5 图示正方形桁架，各杆EI相同且均为细长杆。试求当F为何值时结构将失稳?如果F力改为方向向外， 结果又如何？ 解：杆AB、BC、CD、AD为压杆，所受压力相等为F`。 失稳时有：
材料力学课件PPT
应力与变形
应力
探讨物体所受力的影响。
塑性变形
讲解材料在超出弹性范围时的塑性行为。
弹性变形
解析材料的弹性性质和应变量。
断裂
探索材料的破裂过程和强度。
杆件的轴向受力
拉力
描述由拉力引起的变形和破坏。
压力
研究由压力引起的压缩变形和破坏。
剪力
解释由剪切力引起的变形和破坏。
扭矩
探讨由扭转力引起的变形和破坏。
材料力学课件PPT
材料力学课件PPT是一个全面的教学工具，涵盖了力学基础、应力与变形、杆 件的轴向受力、梁的剪力与弯矩、梁的挠度、杆件的稳定性以及结构稳定裂 解和破坏形态。
力学基础
1
牛顿力学原理
解释物体运动和力的相互作用。
2
力的向量和标量
了解力量的方向和大小。
3
运动和加速度
讨论物体的运动和加速度。
介绍杆件的稳定性和失稳行为。
2
纯压杆件
研究纯压杆件的稳定性和临界长度。
3
压弯杆件
探讨压弯杆件的稳定性和稳定方程。
结构稳定裂解和破坏形态
稳定性裂解
解释结构在突然失去稳定性时的裂解过程。
破坏形态
研究结构破坏的各种形态。
梁的剪力与弯矩
1
梁的剪力
解析剪力对梁的影响和剪切应力。
2
材料力学全套ppt课件
灰口铸铁的显微组织 球墨铸铁的显微组织
目录
12
§1.2 变形固体的基本假设
2、均匀性假设： 认为物体内的任何部分，其力学性能相同 普通钢材的显微组织 优质钢材的显微组织
目录
13
§1.2 变形固体的基本假设
3、各向同性假设： 认为在物体内各个不同方向的力学性能相同
（沿不同方向力学性能不同的材料称为各向异性 材料。如木材、胶合板、纤维增强材料等）
构件的分类：杆件、板壳*、块体*
材料力学主要研究杆件
{ 直杆—— 轴线为直线的杆 曲杆—— 轴线为曲线的杆
{等截面杆——横截面的大小 形状不变的杆
变截面杆 ——横截面的大小 或形状变化的杆
等截面直杆 ——等直杆
目录
11
§1.2 变形固体的基本假设
在外力作用下，一切固体都将发生变形， 故称为变形固体。在材料力学中，对变形固体 作如下假设： 1、连续性假设： 认为整个物体体积内毫无空隙地充满物质
m F4
m
F3
F4
F3
目录
17
§1.4 内力、截面法和应力的概念 例如
F
a
a
F
M FS
FS＝F M Fa
目录
18
§1.4 内力、截面法和应力的概念
例 1.1 钻床 求：截面m-m上的内力。
目录
12
§1.2 变形固体的基本假设
2、均匀性假设： 认为物体内的任何部分，其力学性能相同 普通钢材的显微组织 优质钢材的显微组织
目录
13
§1.2 变形固体的基本假设
3、各向同性假设： 认为在物体内各个不同方向的力学性能相同
（沿不同方向力学性能不同的材料称为各向异性 材料。如木材、胶合板、纤维增强材料等）
构件的分类：杆件、板壳*、块体*
材料力学主要研究杆件
{ 直杆—— 轴线为直线的杆 曲杆—— 轴线为曲线的杆
{等截面杆——横截面的大小 形状不变的杆
变截面杆 ——横截面的大小 或形状变化的杆
等截面直杆 ——等直杆
目录
11
§1.2 变形固体的基本假设
在外力作用下，一切固体都将发生变形， 故称为变形固体。在材料力学中，对变形固体 作如下假设： 1、连续性假设： 认为整个物体体积内毫无空隙地充满物质
m F4
m
F3
F4
F3
目录
17
§1.4 内力、截面法和应力的概念 例如
F
a
a
F
M FS
FS＝F M Fa
目录
18
§1.4 内力、截面法和应力的概念
例 1.1 钻床 求：截面m-m上的内力。
材料力学PPT课件
典型例题-1
已知：G,a,b,l,画梁AB内力图
解：1〉求A,B支座反力( a+b=l )
FAy
Gb l
FBy
Ga l
2〉求x截面内力 a) 0<x<a
FQ1 FAy Gb l
b) a<x<l
M1 FAy x Gb x l
FQ2 FAy G Gb G Ga l l
• FNx使杆件延x方向产生轴向拉压变形，称为轴力 • FQy,FQz使杆件延y,z方向产生剪切变形，称为剪力 • Mx 使杆件绕x轴发生扭转变形，称为扭矩 • My、Mz使得杆件分别绕y z轴产生弯曲变形，称为弯矩
横截面上内力计算--截面法
截面法求内力步骤 将杆件在欲求内力的截面处假想的切开； 取其中任一部分并在截面上画出相应内力； 由平衡条件确定内力大小。
例：左图 左半部分： ∑Fx=0 FP=FN 右半部分：, , ∑Fx=0 FP =FN
例13-1
已知小型压力机机架受力F的作用，如图，试求立柱截面
m-n上的内力
解： 1、假想从m-n面将机架截 开（如图）； 2、取上部，建立如图坐标 系，画出内力FN，MZ （方 向如图示）。
（水平部分/竖直部分的变形？）
A点：x1 0 M1A 0； C点：x1 a M1C 5 q a 2 6
材料力学PPT课件
2)分别求1-1、2-2、3-3截面上的扭矩， 即为BC,CA,AD段轴的扭矩（内力）如图 a)、b)、c);均有∑Mx=0 得： T1+MB=0 MB+MC+T2=0 MD-T3=0
3)画出扭矩图如 d)
弯曲梁的内力
弯曲梁的概念及其简化
❖ 杆件在过杆轴线的纵向平面内，受到力偶或受到 垂直于轴线的横向力作用时，杆的轴线将由直线 变为曲线，杆件的这种以轴线变弯为主要特征的 变形称为弯曲；以弯曲为主要变形的杆简称为梁。
即：τ=Gγ
此为剪切胡克定律，G为切变模量，常用单位：GPa
钢与合金钢 铝与合金铝 木材
E=200-220GPa E=70-80GPa E=0.5-1GPa
G=75-80GPa G=26-30GPa 橡胶
轴向拉压杆件的内力
定义
❖ 以轴向伸长或缩短为主要特征的变形形式，称为 轴向拉伸或压缩
内力的计算
❖ 当： 0≤x3≤a时（原点在B点，方 D点x： 3a,M3D7 6qa2M2D
向向左），M3为直线
B点x： 30,M3Bqa2M
M3=qa23/6;
典型例题-1
已知：G,a,b,l,画梁AB内力图
解：1〉求A,B支座反力( a+b=l )
FAy
Gb l
FBy
Ga l
2〉求x截面内力 a) 0<x<a
3)画出扭矩图如 d)
弯曲梁的内力
弯曲梁的概念及其简化
❖ 杆件在过杆轴线的纵向平面内，受到力偶或受到 垂直于轴线的横向力作用时，杆的轴线将由直线 变为曲线，杆件的这种以轴线变弯为主要特征的 变形称为弯曲；以弯曲为主要变形的杆简称为梁。
即：τ=Gγ
此为剪切胡克定律，G为切变模量，常用单位：GPa
钢与合金钢 铝与合金铝 木材
E=200-220GPa E=70-80GPa E=0.5-1GPa
G=75-80GPa G=26-30GPa 橡胶
轴向拉压杆件的内力
定义
❖ 以轴向伸长或缩短为主要特征的变形形式，称为 轴向拉伸或压缩
内力的计算
❖ 当： 0≤x3≤a时（原点在B点，方 D点x： 3a,M3D7 6qa2M2D
向向左），M3为直线
B点x： 30,M3Bqa2M
M3=qa23/6;
典型例题-1
已知：G,a,b,l,画梁AB内力图
解：1〉求A,B支座反力( a+b=l )
FAy
Gb l
FBy
Ga l
2〉求x截面内力 a) 0<x<a
材料力学课件第一章绪论1-2
内力的法向，切向分解
F1
⊿FS
n
⊿F
F 法向，切向分解 F FN FS
2 2 2
⊿A
⊿FN
FN 垂直面积A FS 切与面积A 内
F2
n
应力的法向，切向分解(重点掌握)
F1
τ
n
p
FS dFS lim A0 A dA
σ
n
FN dFN lim A 0 A dA
小结
6 ．内力是指在外力作用下，物体内部各部分 之间的相互作用； 显示和确定内力可用截面法； 应力是单位面积上的内力； 点的应力可用正应力与切应力表示。
7 ．对于构件任一点的变形，只有线变形和角 变形两种基本变形。
作业
看书: 第二章：P9－12、P19
弹性体—内力特点 内力是变形引起的物体内部附加 力，内力不能是任意的，与外力引起 的变形有关，还必须满足平衡条件。
（3）分布内力系向截面的形心简化得 截面的合内力主矢FR与主矩MC。
m
z
x
C m
y
内力主矢FR与内力主矩MC按一定的坐标系 （空间）分解成内力分量FN（ MX矢量表示）与 截面垂直，FSy, FSz （ My , Mz矢量表示）与截 面相切。
重点掌握： σ =dFN/dA
垂直于截面的应力称为正应力(Normal stress)，它引起材料的分离破坏。正应力反映 在截面上的点受拉伸（或压缩）作用的大小程 度。正应力拉为正，压为负。
(精品)材料力学(全套752页PPT课件)
高压电线塔
毁坏的高压电线塔
Page14
码头吊塔
Page15
单梁式导弹翼面 1－辅助梁；2－翼肋；3－桁条；4－蒙皮；5－副翼；6－后墙； 7－翼梁；8－主接头；9－辅助接头
Page16
➢ 材料力学的基本假设 材料力学研究材料的宏观力学行为 材料力学主要研究钢材等金属材料
关于材料的基本假设： 连续性假设：认为材料无空隙地充满于整个构件。
gA
L
FN
+
x
g
x
A
为什么要研究材料的力学性能并进行构件的力学分析？ 材料力学来源于工程实践，服务于工程实践
Page2
赵州桥（公元600年前
后）
应县木塔 (1056年)
斗拱
Page3
埃菲尔铁塔
铁塔承受风载 的计算简图
铁塔变形示意图
Page4
重庆綦江彩虹桥 （使用不到4年）
新建的重庆綦江彩虹桥
Page5
Tacoma 海峡大桥1940年破 坏
材料力学在现代的发展
19~20世纪，高速车辆、飞机、铁路桥梁等的出现， 减轻自重问题突出，薄壁件、细长件大量采用，大大 推动了材料力学的发展； 超高强度材料和焊接结构的广泛使用，促进了对低应 力脆断和疲劳问题的研究 20世纪，各种新型材料(复合材料、高分子材料等) 广泛应用，实验水平、计算方法不断提高；
第三章 材料力学课件
MA
已知
MD
M A = 1592 N • m
D
B
C A
M B = M C = 477.5 N • m M D = 637 N • m
955N·m 477.5N·m + T
637N·m
作扭矩图如左图示。 作扭矩图如左图示。
已知：一传动轴， =300r/min， 已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入
:切应变
γ
γ
横截面上没有正应力。
直角的改变量
γ
ϕ
2、各纵向线仍为直线， 但都倾斜了同一角度 γ，原来的小矩形变 成平行四边形。
横截面上必有τ存在，其 方向垂直于圆筒半径。 每个小矩形的切应变都等于纵向线倾斜的角度γ，故圆筒 表面上每个小矩形侧面上的τ均相等。
Me
n
Me
n
T
τdA
n n
τ r ∫A dA•r = T
τ −45 = 0
0
τ
τ τ
α = 450
σ45 = σmin = −τ
0
σmin
τ
τ 45 = 0
0
σmax
扭转破坏试验
低碳钢试件： 沿横截面断开。 先发生屈服，试件表面横向和纵 向出现滑移。 铸铁试件： 沿与轴线约成45°的螺旋线 断开。
强度条件
τ max ≤ [τ ]
已知
MD
M A = 1592 N • m
D
B
C A
M B = M C = 477.5 N • m M D = 637 N • m
955N·m 477.5N·m + T
637N·m
作扭矩图如左图示。 作扭矩图如左图示。
已知：一传动轴， =300r/min， 已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入
:切应变
γ
γ
横截面上没有正应力。
直角的改变量
γ
ϕ
2、各纵向线仍为直线， 但都倾斜了同一角度 γ，原来的小矩形变 成平行四边形。
横截面上必有τ存在，其 方向垂直于圆筒半径。 每个小矩形的切应变都等于纵向线倾斜的角度γ，故圆筒 表面上每个小矩形侧面上的τ均相等。
Me
n
Me
n
T
τdA
n n
τ r ∫A dA•r = T
τ −45 = 0
0
τ
τ τ
α = 450
σ45 = σmin = −τ
0
σmin
τ
τ 45 = 0
0
σmax
扭转破坏试验
低碳钢试件： 沿横截面断开。 先发生屈服，试件表面横向和纵 向出现滑移。 铸铁试件： 沿与轴线约成45°的螺旋线 断开。
强度条件
τ max ≤ [τ ]
材料力学ppt课件
材料力学课件
§2-1 概 述
〖水鉄回文〗拉（压）杆概念 有诗曰： 疏水流急流水窄，截流水缓水流宽； 拔铁材细材铁长，镦材铁粗铁材短。 受力特点：等直杆的两端受到一对大小相等、 方向相反、作用线与其轴线重合的外力F 作用 （F 是合力）。 变形特点：杆件发生纵向伸长或缩短。 F F F 轴向拉力 轴向压力 F
〖工程技术〗
受拉
AB
立柱受拉
〖文学艺术〗白居易：《琵琶行（节选）》 千呼万唤始出来，犹抱琵琶半遮面。 转轴拨弦三两声，未成曲调先有情。 弦弦掩抑声声思，似诉平生不得志。 低眉信手续续弹，说尽心中无限事。 轻拢慢捻抹复挑，初为《霓裳》后《六幺》。 大弦嘈嘈如急雨，小弦切切如私语。 嘈嘈切切错杂谈，大珠小珠落玉盘。 间关莺语花底滑，幽咽泉流水下滩。 水泉冷涩弦凝绝，凝绝不通声渐歇。 别有幽愁暗恨生，此时无声胜有声。 银瓶乍破水浆迸，铁骑突出刀枪鸣。 曲终收拨当心画，四弦一声如裂帛。
(a)
F F
m m m FN m x m m
F
F F N
(b)
(c)
FN
F
(a)
F F
m m m FN m x
F
F F N
(b)
(c)
FN m
m
F
注意：为了使 FN 计算结果的正负号（即代数意 义的正负号）与规定的正负号（即变形意义的 正负号）一致，可预先假设 FN 的指向背离横截 面（即预先假设 FN 为拉力）。
§2-1 概 述
〖水鉄回文〗拉（压）杆概念 有诗曰： 疏水流急流水窄，截流水缓水流宽； 拔铁材细材铁长，镦材铁粗铁材短。 受力特点：等直杆的两端受到一对大小相等、 方向相反、作用线与其轴线重合的外力F 作用 （F 是合力）。 变形特点：杆件发生纵向伸长或缩短。 F F F 轴向拉力 轴向压力 F
〖工程技术〗
受拉
AB
立柱受拉
〖文学艺术〗白居易：《琵琶行（节选）》 千呼万唤始出来，犹抱琵琶半遮面。 转轴拨弦三两声，未成曲调先有情。 弦弦掩抑声声思，似诉平生不得志。 低眉信手续续弹，说尽心中无限事。 轻拢慢捻抹复挑，初为《霓裳》后《六幺》。 大弦嘈嘈如急雨，小弦切切如私语。 嘈嘈切切错杂谈，大珠小珠落玉盘。 间关莺语花底滑，幽咽泉流水下滩。 水泉冷涩弦凝绝，凝绝不通声渐歇。 别有幽愁暗恨生，此时无声胜有声。 银瓶乍破水浆迸，铁骑突出刀枪鸣。 曲终收拨当心画，四弦一声如裂帛。
(a)
F F
m m m FN m x m m
F
F F N
(b)
(c)
FN
F
(a)
F F
m m m FN m x
F
F F N
(b)
(c)
FN m
m
F
注意：为了使 FN 计算结果的正负号（即代数意 义的正负号）与规定的正负号（即变形意义的 正负号）一致，可预先假设 FN 的指向背离横截 面（即预先假设 FN 为拉力）。
华中科技大学材料力学课件(李国清)剖析
这种分析方法叫做梁的逐段刚化法。
梁的刚度条件
在工程设计中，除了要保证梁的强度条件外，还要保证其刚度 条件，即梁的变形不能超过允许的限度。即
y max y
max
此两式称为梁的刚度条件。
式中[y]、[]分别为构件的许可挠度和许可转角， 对不同构件有不同的要求，如： 吊车梁:[y]=(1/400~1/750)l，（l为跨长）； 机械中的一般轴，[y]=（0.0003～0.0005）l； 机械中的精密轴，[y]=（0.0001～0.0002）l； 轴上齿轮，[]=（0.001～0.002）rad（弧度）。
位移的连续条件
y1 (a ) y2 (a ) ( a ) y2 (a ) 1 (a ) 2 (a )或y1
在梁的各部分挠曲线y连续，挠度y连续一阶导数连续（光滑）
积分法求梁的变形 对于等刚度梁，梁挠曲线的二阶微分方程可写为
Ely '' M ( x)
设a b
则 x0
f max
L2 b 2 3
Pb v( x0 ) ( L2 b 2 )3 q 3EI z L
当P力作用在跨中央时，fmax发生在梁中央。 当P力无限接近端点B时，即b0时
1 x0 L 0.577L 接近0.5L 3
L 简支梁无论P作用在何处用 f ( )代替 f max 2
材料力学(全套483页PPT课件)-精选全文
是低碳钢的重要强度指标
(3)强化阶段
b 强度极限
是低碳钢的重要强度指标
e
cd b
f
a
b e
s
P1
p
o d g
f h
图
卸载后，重新加载，加载路线沿卸载路线，这样，
材料的比例极限有所提高，但塑性降低。这种现象
叫做冷作硬化。
(4)局部变形阶段
延伸率： l1 l 100%
l
是低碳钢的塑性指标
截面收缩率： A A1 100%
2.均匀性假设
假设变形体内各点的力学性能完全相同。这样，如果从固体 中任意取出一部分，不论从何处取出，也不论大小，力学性能 总是一样。
6
3.各向同性假设
假设在变形固体在各个方向具有相同的力学性质。根据这一假 设，在研究了材料任一方向的力学性质后，就可以认为其结论 对其它方向也都适用。
4.小变形假设
24
§2-3 截面上的应力
25
目录
26
目录
一、拉、压时横截面上的应力
平面假设：变形前原为平面的 横截面，变形后仍保持为平面 且仍垂直于轴线。
由平面假设，可知横截面 P 上只有正应力，且均匀分布在 横截面上。故：σ为常量。
N AdA A dA A P
N
A
拉为正 压为负
即轴向拉伸时横截面上的 P 应力计算公式。
(3)强化阶段
b 强度极限
是低碳钢的重要强度指标
e
cd b
f
a
b e
s
P1
p
o d g
f h
图
卸载后，重新加载，加载路线沿卸载路线，这样，
材料的比例极限有所提高，但塑性降低。这种现象
叫做冷作硬化。
(4)局部变形阶段
延伸率： l1 l 100%
l
是低碳钢的塑性指标
截面收缩率： A A1 100%
2.均匀性假设
假设变形体内各点的力学性能完全相同。这样，如果从固体 中任意取出一部分，不论从何处取出，也不论大小，力学性能 总是一样。
6
3.各向同性假设
假设在变形固体在各个方向具有相同的力学性质。根据这一假 设，在研究了材料任一方向的力学性质后，就可以认为其结论 对其它方向也都适用。
4.小变形假设
24
§2-3 截面上的应力
25
目录
26
目录
一、拉、压时横截面上的应力
平面假设：变形前原为平面的 横截面，变形后仍保持为平面 且仍垂直于轴线。
由平面假设，可知横截面 P 上只有正应力，且均匀分布在 横截面上。故：σ为常量。
N AdA A dA A P
N
A
拉为正 压为负
即轴向拉伸时横截面上的 P 应力计算公式。
华中科技大学材料力学答案PPT学习教案
B
lBD
FNBD EA2
1/ 3 FlBD
Ed
2 2
/
4
3
8100 103 2.5
210 109 252 10 6
m
1.62mm
4100 103 2.5
3 210 109 182 10 6
m
1.56mm
第12页/共45页
2-20 刚性梁用两根钢杆和悬挂着，受铅垂力F=100kN作用。已知钢杆AC 和BD 的
l 3EA 0
4EA
第6页/共45页
2-11图示托架，水平杆BC 的长度 l 保持不变，斜杆AB 的长度可随夹角 θ 的变化
而改变。两杆皆为同质等直杆，且拉伸强度和压缩强度亦相同相等。若要使两杆
具有等强度、且制作的材料最省，则两杆的夹角 θ 、两杆横截面面积之比各为若
干。
解：求各杆内力及应力
FNAB
第3页/共45页
2-5 图示杆件由两根木杆粘接而成。欲使其在受拉时，粘接面上的正应力为其切应 力的2倍，试问粘接面的位置应如何确定？
解：本题实质上是要考察斜截面上的应力。由斜截面应力公式，有：
cos2
2
sin 2
由题义，要 2
求：
则有 cos2 2 sin 2 tan 1
：
积 分 别 为 A1=400mm2 和 A2=200mm2 ； 许 用 应 力 [σt]=160MPa ， 许 用 压 应 力 [σc]=100MPa 。试校核两杆的强度。
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假定AB段刚化，研究自由端C对截面B的相对
挠度，即考虑图（b）
yc1
P( l )3 2
3EI
Pl 3
24 EI
()
解除AB段的刚化并令BC段刚化考虑图（C）
y B2
P( 3
l )3 2 2EI
1 2
pl ( l ) 2
2 2EI
2
5Pl 3 96 EI
()
B2
P(
l 2
)2
r(x) (1 y2 )3/2
y 小变形条件： (1 y2 )3/2 1
1
r(x)
(1
y y2 )3/2
y
d2y dx 2
M (x) EI
梁的挠曲线二阶微分方程的适用性和近似性ห้องสมุดไป่ตู้什么？
梁的挠曲线的其它形式
EIy M (x) EIy Q(x) EIy'''' q(x) EIy M (x)
EI M (x)dx C1 EIy M (x)dx C1x C2
d2y dx 2
M (x) EI
梁的（2阶）弯矩方程
梁的（3阶）剪力方程
梁的（4阶）弯矩方程
梁的（2阶）挠曲线方程 梁的转角方程
梁的挠度方程
求解以上微分方程分别需要几个边界条件？
梁的边界条件
固定铰支座和可动铰支座
固定端
L 250
试设计截面。
q
A
B
h
L
b
解：(1) 按强度条件设计
最大弯矩发生在A截面，A截面为危险截面
强度条件
M max [ ]
Wz
Wz
M max
[ ]
M max
1 2
qL2
1 2
10103
32
45103
N
m
Wz
bh2 6
4b3 6
2b3 3
(h 2b)
代入强度条件：
2 b3 45 103 3 120 106
3.6 梁的弹塑性弯曲
分析：只有当整个截面上的材料都进入了屈服阶段，梁才 能丧失承载能力。梁可能承受的最大载荷称为极限载荷。
理想弹塑性简化
此时梁的变形仍为弹性变形，故有
Ms
sIz
ymax
sWz
Ms称为梁的屈服弯矩。
Mu A1 s ydA1 A2 ( s y)dA2 s[A1 ydA1 A2 (y)dA2]
s (S1 S2)
Mu称为梁的极限弯矩，也称为塑性弯矩。也可改写为 M u sWp Wp=S1+S2称为梁的塑性抗弯截面模量
3.6 梁的弹塑性弯曲
弹性阶段， (My/Iz) ~ e(y/r)
临界状态1
Ms
sIz
ymax
sWz
Ms称为梁的屈服弯矩 弹塑性阶段， 弹性区A1 ( y<y1) 塑性区A2 (y1 < y<h/2)
自由端
滑动固定端
自由端
固定和可动铰支座 固定端 滑动固定端
y=0 =~ y=0 =0 y= ~ =0
位移条件
Q= M=0 ~
Q= M= ~~
Q=0 M= 静力~条件
梁的连续条件
位移的连续条件
相邻梁段的交接处，相邻两截面应具有相同的挠度 与转角，即满足连续、光滑条件
EIy1 M1(x)
EIy2 M 2 (x)
支承条件
Bx
xa xa
v1 v2 v1 v2
连续条件 光滑条件
利用边界条件解得
C1
C2
Pb (L2 6L
b2 )
D1 D2 0
Pb (L2 b2 3x2 ) 0 x a
6EI z L
Pb [( L2 b2 3x2 ) 3L (x-a)2
6EI z L
b
axL
Pbx (L2 b2 x2 ) 0 x a 6EI z L
M u sWp
Wp=S1+S2称为梁的塑性抗弯截面模量
Mu称为梁的极限弯矩,也称为塑性弯矩
3.7 梁的变形
梁的强度 保证梁的具有足够抵抗破坏的能力 梁的刚度 保证梁不发生过大的变形
过大的变形的危害 ➢例1：车床主轴变形过大，影响其加工精度。
切削力
➢例2：高层建筑上部变形过大， 会使其中的居民产生不安全感。
叠加法求梁的变形
叠加原理
运 用 条 件
在几个载荷共同作用下引起的 某一力学量等于各载荷单独作 用下所引起的此量的代数和
小变性条件
材料遵循胡克定律
例3.13 试用叠加法求图（a）所示阶梯形变截面悬臂梁自由端C的挠 度
由于梁的抗弯刚度EI在B处不连续，若由挠 曲线微分方程积分求解，须分段进行，工作 量较大。可用叠加法求解。
吊车梁:[y]=(1/400~1/750)l，（l为跨长）； 机械中的一般轴，[y]=（0.0003～0.0005）l； 机械中的精密轴，[y]=（0.0001～0.0002）l； 轴上齿轮，[]=（0.001～0.002）rad（弧度）。
例6－7 已知: q=10kN/m ，L=3m，
[ ] 120Mpa , E 200Gpa , [ f ] 1 , h 2b
由于梁的抗弯刚度EI在B处不连续，若由挠
曲线微分方程积分求解，须分段进行，工作
量较大。可用叠加法求解。
假定AB段刚化，研究自由端C对截面B的相对
挠度，即考虑图（b）
yc1
P( l )3 2
3EI
Pl 3
24 EI
()
解除AB段的刚化并令BC段刚化考虑图（c）
y B2
P(
l )3 2
3 2EI
1 2
2 2EI
1 2
Pl
l 2
2EI
3Pl 2 16 EI
由梁的变形连续条件，直线BC因AB段的弯曲变
形而移位到 B'C '的位置，使C点有相应的挠度
Ely'(x) M (x)dx c1 Ely(x) M (x)dxdx c1x c2
利用边界条件确定上面二式中的积分常数 C1、C2，即可得梁的挠度方程和转角方程
例3.11 求图所示受载的悬臂梁的挠曲线方程及转角方程，并 求自由端B的挠度和转角。
梁内弯矩方程: 连续积分两次得
利用两个边界条件:
3
b
4
310103 33 250 8 200109 2
8.92cm
h 2b 17.84cm
综合考虑强度和刚度条件，可取
h 18cm b 9cm
2.提高梁的刚度的措施
所谓提高梁的刚度，即尽量降低梁的 最大挠度和转角。梁的最大挠度和转角，除 与 荷 载 大 小 有 关 外 ， 还 与 Ln 成 正 比 ， 与 EIz 成反比。因此，在不改变荷载的情况下，要 减小梁的变形可采用以下两方面的措施。
最大误差2.65%
叠加法求梁的变形 叠加原理 在几个载荷共同作用下引起的某一力学量等于
各载荷单独作用下所引起的此量的代数和
适用条件 小变性条件（几何线性）
材料遵循胡克定律（物理线性）
P1 P2
小变性条件：计算P2的作用时， 忽略P1的作用对几何尺寸的影响。
例3.13 试用叠加法求图（a）所示阶梯形变截面悬臂梁自由端C的挠 度
M (x) 1 qx2 qlx 1 ql 2
2
2
Ely'' (x) 1 qx2 qlx 1 ql 2
Ely
'
(
x)
21 6
qx
3
1 2
qlx
2 2
1 2
ql
2
x
c1
Ely(x)
1 24
qx4
1 6
qlx 3
1 4
ql
2
x2
c1x
c2
y x0 x0 0
求得c1、c2都为零。将其代入挠曲线方程和转角方程:
面向21世纪课程教材
材料力学
李国清
华中科技大学 力学系
copyright, 2000,2002 (c) Dept. Mech., HUST , China 版权所有, 2000,2002 (c) 华中理工大学力学系
第三章 梁的弯曲
3.1 梁的内力 3.2 平面弯曲梁的正应力 3.3 梁的弯曲剪应力 3.4 梁的强度计算 3.5 梁的合理强度设计 3.6 梁的弹塑性弯曲 3.7 梁的变形
v
Pb [x(L2 b2 x2 ) L (x-a)3 ] a x L
EI z L
b
最大转度，显然在支座处
A
(0)
Pab 6EI z
(L
b)
B
(L)
Pab 6EI z
(L
a)
a b max B
a b max A
从AB， 中间必经过0
最大挠度
令 dv 0 dx
x0
y(x) qx2 (x2 4lx 6l 2 )
自由端的挠度和转角最大
24EL
(x) qx2 (x2 3lx 3l 2 )
y y(l) ql 4 (向下)
max
8EI
6EL
(l) ql3 (顺时针）
max
6EI
例312 图示抗弯刚度为EIz的简支梁受集 中力P作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方 程，并确定最大挠度和最大转角。
A y
P
a
b
C
L
Bx
解：利用平衡方程易求得两个支反力
RA
pb L
RB
pa L
显然，AC段与CB段弯矩方程的表达式不一样。
分别列出AC、CB段弯矩方程并积分
RA a
P
RB
b
A
C
L
Bx
y
AC段
CB段
M1(x) RAx
pb x L
0
xa
E I z v1
M1(x)
pbx L
EI zv1
pbx2 2L
a
M1(x) RAx
M2(x) RAx P(x a)
位移的连续条件
y1(a ) y2 (a )
1(a ) 2 (a )或y1(a ) y2 (a )
在梁的各部分挠曲线y连续，挠度y连续一阶导数连续（光滑）
积分法求梁的变形
对于等刚度梁，梁挠曲线的二阶微分方程可写为
Ely'' M (x) 对此方程连续积分两次，可得
yc
y c1
yc2
Pl 3 24 EI
7Pl 3 48EI
3Pl 3 16 EI
()
这种分析方法叫做梁的逐段刚化法。
梁的刚度条件
在工程设计中，除了要保证梁的强度条件外，还要保证其刚度 条件，即梁的变形不能超过允许的限度。即
y y max
max
此两式称为梁的刚度条件。
式中[y]、[]分别为构件的许可挠度和许可转角， 对不同构件有不同的要求，如：
b3
3 45103 2 120 106
8.25102 m 8.25cm
h 2b 16.5cm
(2) 按刚度条件设计
刚度条件为
qL4 fmax 8EIz
fmax [ f ] LL
fmax qL3 L 8EIz
bh3 b(2b)3 2b4
I z 12
12
3
代入刚度条件可得
10103 33 1 8 200109 2 b4 250
v(x0 )为极值。
设a b
则 x0
L2 b2 3
Pb fmax v(x0 ) q 3EI z L
(L2 b2 )3
当P力作用在跨中央时，fmax发生在梁中央。
当P力无限接近端点B时，即b0时
x0
1 L 0.577 L 3
接近0.5L
简支梁无论P作用在何处用
f ( L)代替 2
fmax
弹性阶段， (My/Iz) ~ e(y/r)
临界状态1
Ms
sIz
ymax
sWz
Ms称为梁的屈服弯矩 弹塑性阶段， 弹性区A1 ( y<y1) 塑性区A2 (y1 < y<h/2)
Mu A1 s ydA1 A2 ( s y)dA2
s[ A1 ydA1 A2 ( y)dA2 ]
s (S1 S2)
Mu A1 s ydA1 A2 ( s y)dA2
s[ A1 ydA1 A2 ( y)dA2 ]
s (S1 S2)
M u sWp
Wp=S1+S2称为梁的塑性抗弯截面模量
Mu称为梁的极限弯矩,也称为塑性弯矩
3.6 梁的弹塑性弯曲
O
e
理想弹塑性应力-应变关系
理想弹塑性简化
3.6 梁的弹塑性弯曲
横截面的形心在垂 直于轴线（x轴） 方向的线位移，称 为挠度，用y表示
横截面在xy平面的 角位移，称为转角， 用θ表示
挠度和转角是度量梁弯曲变形的两个基本量
3.7.2 梁的挠曲线微分方程
梁的(近似)挠曲线二阶微分方程
1M
r EI
1 M (x)
r(x) EI
细长梁(l/h>4)横力弯 曲近似适用纯弯曲公 司
3.7 梁的变形
内容提要
➢如何用积分法计算梁的变形？ ➢如何用叠加法计算梁的变形？ ➢如何进行梁的刚度计算？
3.7 梁的变形
3.7.1 梁的挠度和转角
几个重要概念
➢挠曲线 ➢挠曲线方程,即y=y(x) ➢挠度 ➢转角
挠曲线
挠曲线-梁变形后的轴线，称为挠曲线 是一条位于载荷平面内的光滑连续曲线
tg y
pl
( l )2 2
2 2EI
5Pl 3 96 EI
()
B2
P( l )2 2
2 2EI
1 2
Pl
l 2
3Pl
2
2EI 16EI
由梁的变形连续条件，直线BC因AB段的弯曲变 形而移位，使C点有相应的挠度
yc2
y B2
B2
l 2
7Pl 3 48EI
()
将图3.46（b）和（c）两种情况的变形叠加 后，即可求得自由端C的挠度
C1
M2 (x) RAx p(x a) a x L
E I z v2
pbx L
p(x
a)
EI zv2
pbx2 2L
p(x a)2 2
C2
EI zv1
pbx3 6L
C1x
D1
EI zv2
pbx3 6L
p(x a)3 6
C2 x D2
边界条件： A
P
a
b
LC
y
x0 xL
v1 0 v2 0