统计学第六章

N
i
X
N
第 i 个单位 的变量值
总体单 位总数
总体算术 平均数
【例A】某售货小组5个人，某天的销售额分别为440元、480元、 520元、600元、750元，求该售货小组销售额的平均差。
解：
X
N
440 480 520 600 750 2790 558 元 5 5
i
A D
X X

（二）变量与算术平均数计算的方差小于变量与任何其他常 数的方差 （三）两个独立随机变量和的方差，等于这两个随机变量方 差的和 2 2 2
( x y ) x y
（四）变量线性变换的方差等于变量的方差乘以变量系数的 平方 2 2 2
y a bx, y b x
第二节 全距、分位差和平均差 一、全距 指所研究的数据中，最大值与最小值之差， 又称极差。
R X max X min
最大变量值或最 高组上限或开口 组假定上限 最小变量值或最 低组下限或开口 组假定下限
【例A】某售货小组5人某天的销售额分别为 440元、480元、520元、600元、750元，则
4. 反映了中间50%数据的离散程度;
5. 不受极端值的影响;
甲城市家庭对住房状况评价的频数分布 甲城市 回答类别 户数 (户) 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意 24 108 93 45 30 累计频数 24 132 225 270 300 —
解：设非常不满意为 1,不满意为2, 一般为 3, 满意为 4, 非常满 意为5 。 已知
一、离中趋势的涵义 指总体中各单位标志值背离 离中趋势 分布中心的规模或程度，用 标志变异指标来反映。
反映统计数据差异程度的综 合指标，也称为标志变动度
从另一个侧面说明集中趋势测度值的代表程度。
不同类型的数据有不同的离散程度测度值.
二、变异指标的作用
衡量和比较平均数代表性的大小；
变异指标值越大，平均指标的代表性越小； 变异指标值越小，平均指标的代表性越大。
统计学
STATISTICS
第六章 变异指标
【学习目标】通过本章的学习和习题演算，掌握变异指标 的意义和作用；标准差和标准差系数的计算和应用。了解变异 指标的分布特性；极差、平均差和四分位差的概念、计算公式 和特点；分布的偏度与峰度。 第一节 变异指标的基本理论 第二节 全距、分位差和平均差 第三节 标准差和标准差系数 第四节 偏度与峰度 第五节 变异指标的应用
②受个别极端值的影响过于显著， 不符合稳 健性和耐抗性的要求。
二、分位差 从变量数列中，剔除了一部分极端值后 计算的类似于极差的指标。 四分位差 十六分位差 八分位差 三十二分位差 十分位差 百分位差
Q3 Q1 Q.D 2 下四 上四
分位 数 分位 数
1. 对顺序数据离散程度的测度;
2. 也称为内距或四分间距; 3. 上四分位数与下四分位数之差;

X
N i 1
i
X

2
N

440 558 2 750 558 2
5
60080 109 .62元 5
标准差 ⑵ 加权标准差——适用于分组资料

X
m i 1
i m
X fi

2
fi

i 1
第i 组的变量 值或组中值
第i 组变量值 出现的次数
X
f
208 314 382 456 305 237 78 20 2 000
250 350 450 550 650 750 850 950 —
250 208 950 20 1045900 解： X 522 .95元 2000 2000
X X A D f
即该公司职工月工资的标准差为167.9元。 （比较：其工资的平均差为138.95元）
标准差的特点
不易受极端数值的影响，能综合反映全部单
位标志值的实际差异程度； 用平方的方法消除各标志值与算术平均数离 差的正负值问题，可方便地用于数学处理和统 计分析运算.
由同一资料计算的标准差的结果一般要略大于平均差。
X
i 1
X
440 558 750 558 5
N
468 93 .6元 5 即该售货小组5个人销售额的平均差为93.6元。
⑵ 加权平均差——适用于分组资料
X 1 X f1 X m X f m f1 f m
A D

X
i 1
【 例 】某管理局抽查了所属的8家企业，其产品销售数 据如表。试比较产品销售额与销售利润的离散程度
某管理局所属8家企业的产品销售数据
企业编号 1 2 3 4 5 6 7 8
产品销售额（万元） x1 170 220 390 430 480 650 950 1000
销售利润（万元） x2 8.1 12.5 18.0 22.0 26.5 40.0 64.0 69.0

X
N i 1
i
X

2
N
第 i 个单位 的变量值
总体单 位总数
总体算术 平均数
【例A】某售货小组5个人，某天的销售额分别为440 元、480元、520元、600元、750元，求该售货小组 销售额的标准差。
解：
440 480 520 600 750 2790 X 558元 5 5
证明：当a,b,c≥0时，有
a 2 b2 c2 a b c 3 3
方差与标准差用于测度数据的离散程度，其 作用实质上是一样的，但标准差的计量单位 于所测度数据的计量单位相同，计算结果的 实际意义要比方差更容易理解，因此，在社 会经济现象的统计分析中，标准差比方差的 应用更为普遍，经常被用作测度数据与均值 差距的标准尺度。
i 1 i
m
f

250 522 .95 208 950 522 .95 20 2000
277893 .6 138 .95元 2000
即该公司职工月工资的平均差为138.95元。
平均差的特点
优点:不易受极端数值的影响，能综合反映
全部单位标志值的实际差异程度；
R X max X min 750 440 310 元
【例B】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下：
计划完成程度 （﹪） 组中值 （﹪） 企业数 （个） 计划产值 （万元）
90以下 90～100 100～110 110以上
合计
85 95 105 115
—
2 3 10 3
是进行质量控制的基础；
衡量现象的均衡性、稳定性
是衡量风险程度的尺度。
例如：某车间有两个生产小组，各有7名 工人，各人日产量如下: 甲组：20，40，60，70，80，100，120 乙组：67，68，69，70，71，72，73
X 甲 X乙 70件
供货计划完成百分比(%)
季度总供货计划 执行结果
集中趋势反映了统计数据聚集的中心所在，但是 变异是统计数据天然的特性，各个数据总是以不 同的程度偏离它们的分布中心。对于一组数据， 不仅要研究其分布的中心位置，概括反映这组数 据的整体水平高低，还要测度数据的离散程度， 反映数据之间的差异程度，测度离散程度的指标 称为变异指标。
第一节 变异指标的基本理论
标准差的简捷计算 目的: 避免离差平方和计算过程的出现 变量值平方 的平均数
X X
2

2
2
变量值平均 数的平方

2
简单标准差 加权标准差

X
N
2
X N

X f f
Xf f

2
标准差的数学性质： （一）变量的方差等于变量平方的平均数减变量平均数的平 方 2 2 2
800 2 500 17 200 4 400
18
24 900
解：R X max X min 110 10 90 10 120 80 40 ﹪
全距的特点 优点:计算方法简单、易懂；
缺点:
①仅取决于两个极端值的水平，不能反映其 间的变量分布情况；
m
i
X fi
i
f
i 1
m
第 i 组的变量 第 i 组变量值 总体算术 出现的次数 值或组中值 平均数
【例B】计算下表中某公司职工月工资的平均差。
月工资 （元） 300以下 300～400 400～500 500～600 600～700 700～800 800～900 900以上 合计 组中值（元） 职工人数（人）
（五）资料分组的情况下
2 i2 2
2
各单位标志值队总平均数所计算的方差 ——总方差 第i组标志值和组平均数所计算的方差 i2——第i组的组 内方差 各组平均数对总平均数所计算的方差
2 ——组间方差
标准差系数
应用:
V

X
100﹪
用来对比不同水平的同类现象，特别是不 同类现象总体平均数代表性的大小 ——标准差系数小的总体，其平均数的代 表性大；反之，亦然。
缺点:用绝对值的形式消除各标志值与算术
平均数离差的正负值问题，不便于作数学处理 和参与统计分析运算。实际应用较少。
第三节 标准差和标准差系数
标准差 是各个数据与其算术平均数的离差平方的 算术平均数的开平方根，用 来表示；标 准差的平方又叫作方差，用 2来表示。
计算公式：
⑴ 简单标准差——适用于未分组资料
x1 536.25(万元) s1 309.19(万元)
309.19 =0.577 v 1= 536.25