2017_2018学年高中数学专题3.1变化率与导数课时同步试题新人教A版选修1_1

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2018_2019学年高中数学第三章导数及其应用3-1变化率与导数课时作业新人教A版选修1_1

3.1.1 变化率问题3.1.2 导数的概念3.1.3 导数的几何意义1.设函数y=f(x),当自变量由x0变到x0+Δx时,函数值的改变量Δy为( D )(A)f(x0+Δx) (B)f(x0)+Δx(C)f(x0)Δx (D)f(x0+Δx)-f(x0)解析:函数值的改变量为f(x0+Δx)-f(x0),所以Δy=f(x0+Δx)-f(x0).故选D.2.已知一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是m,t的单位是s,那么物体在时间[3,3+Δt]s内的平均速度是( A )(A)(5+Δt)(m/s) (B)[5+(Δt)2](m/s)(C)[5(Δt)2+Δt](m/s) (D)5(Δt)2(m/s)解析:因为Δs=1-(3+Δt)+(3+Δt)2-(1-3+32)=(Δt)2+5Δt,所以物体在时间[3,3+Δt]s内的平均速度是==Δt+5.故选A.3.(2018·延安高二月考)函数f(x)在x0处可导,则( B )(A)与x0,h都有关(B)仅与x0有关,而与h无关(C)仅与h有关,而与x0无关(D)与x0,h均无关解析:因为f′(x0)=,所以f′(x0)仅与x0有关,与h无关.故选B.4.(2018·徐州高二检测)曲线f(x)=3x+x2在点(1,f(1))处的切线方程为( A )(A)y=5x-1 (B)y=-5x+1(C)y=x+1 (D)y=-x-1解析:k==5.f(1)=4.由点斜式得y-4=5(x-1),即y=5x-1.故选A.5.(2018·长春高二检测)一质点运动的方程为s=5-3t2,若该质点在t=1到t=1+Δt这段时间内的平均速度为-3Δt-6,则该质点在t=1时的瞬时速度是( D )(A)-3 (B)3 (C)6 (D)-6解析:当Δt趋近于0时,-3Δt-6趋近于-6,即t=1时该质点的瞬时速度是-6.故选D.6.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率是.解析:===-1.答案:-17.已知f′(x0)=,f(3)=2,f′(3)=-2,则的值是.解析:===-3+=-3f′(3)+=-3f′(3)+2=8.答案:88.已知直线l1为曲线y=x2+x-2在(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2.。

人教新课标A版选修1-1数学3.1变化率与导数同步检测A卷

人教新课标A版选修1-1数学3.1变化率与导数同步检测A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共15题；共30分)1. （2分）若，则A .B .C .D .2. （2分）已知函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，且则的值为（）A . f'(x0)B . 2f'(x0)C . -2f'(x0)D . 03. （2分）已知点P在曲线上,为曲线在点P处的切线的倾斜角,则取值范围（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高二下·清流期中) 设f（x）是可导函数，且则 =（）A .B . ﹣1C . 0D . ﹣25. （2分）已知函数f(x)的导函数为f,(x)，且满足，则=（）A . -eB . eC . 1D . -16. （2分）下面说法正确的是（）A . 若不存在，则曲线在点处没有切线B . 若曲线在点处有切线，则必存在C . 若不存在，则曲线在点处的切线斜率不存在D . 若曲线在点处没有切线，则有可能存在7. （2分）若函数的图象上任意点处切线的倾斜角为，则的最小值是（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高二下·临海月考) 函数在区间上的平均变化率等于（）A . 4B .C .D . 4x9. （2分） (2015高二下·集宁期中) 设函数y=f（x）可导，则等于（）A . f'（1）B . 3f'（1）C .D . 以上都不对10. （2分）一质点沿直线运动，如果由始点起经过t称后的位移为，那么速度为零的时刻是（）A . 0秒B . 1秒末C . 2秒末D . 1秒末和2秒末11. （2分） (2018高二上·榆林期末) 一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的方程为s＝ t2 ，则t＝2时，此木块水平方向的瞬时速度为（）．A . 2B . 1D .12. （2分） (2019高一下·黑龙江月考) 已知某物体的运动方程是，则当时的瞬时速度是（）A .B .C .D .13. （2分）一个物体的运动方程为,其中的单位是米,的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A . 3米/秒B . 6米/秒C . 5米/秒D . 4米/秒14. （2分）曲线在点处的切线方程是（）A . y=7x+4B . y=7x+2C . y=x-4D . y=x-215. （2分）已知函数，则的值为（）B .C .D .二、填空题 (共10题；共10分)16. （1分）(2018·益阳模拟) 分别在曲线与直线上各取一点与，则的最小值为________．17. （1分）(2017·长宁模拟) 若数列{an}的所有项都是正数，且 + +…+ =n2+3n（n∈N*），则（）=________．18. （1分） (2017高二下·平顶山期末) 曲线y=xex+2x+1在点（0，1）处的切线方程为________．19. （1分）=________20. （1分）(2016高三上·新津期中) 对定义域内的任意实数x都有（其中△x表示自变量的改变量），则a的取值范围是________．21. （1分）在曲线y=x2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1+Δx，2+Δy），则为________．22. （1分）已知f（x）= ，则的值是________．23. （1分）函数在2到之间的平均变化率为________．24. （1分）过点的函数图象的切线斜率为________.25. （1分）(2014·上海理) 设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1= （a3+a4+…an），则q=________．参考答案一、选择题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共10题；共10分) 16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、21-1、22-1、23-1、24-1、25-1、。

人教新课标A版高中选修1-1数学3.1变化率与导数同步检测A卷

人教新课标A版选修1-1数学3.1变化率与导数同步检测A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共15题；共30分)1. （2分）函数在处的导数的几何意义是（）A . 在点处的斜率B . 在点处的切线与轴所夹的锐角的正切值C . 曲线在点处切线的斜率D . 点与点连线的斜率2. （2分） (2017高二上·四川期中) 已知函数的图象上一点及邻近点，则（）A . 2B .C .D .3. （2分）若对任意的x有f'(x)=4x3且f(1)=-1，则此函数的解析式是（）A . f(x)=x4B . f(x)=x4+2C . f(x)=x4-2D . f(x)=x4-14. （2分） (2015高二下·集宁期中) 设函数y=f（x）可导，则等于（）A . f'（1）B . 3f'（1）C .D . 以上都不对5. （2分）(2013·浙江理) 已知函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，且x0∈（a，b）则的值为（）A . f’(x0)B . 2 f’(x0)C . -2 f’(x0)D . 06. （2分）若，则（）A .B .C .D .7. （2分）已知函数的导函数的图象如图所示，则关于函数，下列说法正确的是（）A . 在x=1处取得最大值B . 在区间上是增函数C . 在区间上函数值均小于0D . 在x=4处取得极大值8. （2分）已知函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，且则的值为（）A . f'(x0)B . 2f'(x0)C . -2f'(x0)D . 09. （2分）若，则（）A . -3B . -12C . -9D . -610. （2分） (2018高二下·中山月考) 函数在区间上的平均变化率为（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高二上·定州期末) 如图，一个正六角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，直到全部露出水面为止，记时刻薄片露出水面部分的图形面积为，则导函数的图象大致为（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高二下·哈尔滨月考) 已知一个物体的运动方程为，其中位移的单位是，时间的单位是，则物体的初速度为（）A .B .C .D .13. （2分）一个物体的运动方程为,其中s的单位是米,t的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A . 3米/秒B . 6米/秒C . 5米/秒D . 4米/秒14. （2分）已知曲线在点处的切线经过点，则的值为（）A .B . 1C . eD . 1015. （2分） (2018高二下·龙岩期中) 设是可导函数，当时，则 =（）A . 2B .C . -2D .二、填空题 (共10题；共10分)16. （1分） (2020高二上·兰州期末) 已知函数的图象在点M（1 ,f（1））处的切线方程是+2,则的值等于________17. （1分）已知数列{an}和{bn}的通项公式分别是，，其中a、b是实常数，若,，且a，b，c成等差数列，则c的值是________18. （1分）(2018·益阳模拟) 分别在曲线与直线上各取一点与，则的最小值为________．19. （1分） (2017高二上·浦东期中) 如果，则实数a的取值范围是________．20. （1分）设n∈N* ，圆的面积为Sn ，则=________ ．21. （1分） (2018高二上·榆林期末) 设是可导函数，且，则 ________．22. （1分）若函数f（x）=ex﹣ax在（1，+∞）上单调增，则实数a的最大值为________23. （1分）若函数f（x）=x2-x+1在其定义域内的一个子区间内存在极值，则实数的取值范围是________．24. （1分）函数在2到之间的平均变化率为________．25. （1分）(2012·重庆理) =________．参考答案一、选择题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共10题；共10分) 16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、21-1、22-1、23-1、24-1、25-1、。

人教新课标A版选修1-1数学3.1变化率与导数同步检测同步测试

人教新课标A版选修1-1数学3.1变化率与导数同步检测同步测试共 25 题一、选择题1、若f'(x0)=-3 ，则（）A.-3B.-12C.-9D.-62、设 f(x) 是可导函数，且，则f'(x0)= （）A. B.-1C.0D.-23、曲线在点(1，－1)处的切线方程为（）．A.y＝x-2B.y＝xC.y＝x+2D.y＝-x-24、设f(x)为可导函数，且满足条件，则曲线y=f(x) 在点 (1,f(1)) 处的切线的斜率为（）A. B.3C.6D.无法确定5、一物体的运动方程为s＝3＋t2，则在时间段[2,2.1]内相应的平均速度为（）．A. 4.11B. 4.01C. 4.0D. 4.16、已知函数y＝f(x)的图象如图，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是（）．A.f'(xA）>f'(x B)B.f′(x A)<f′(x B)C.f′(x A)＝f′(x B)D.不能确定7、若函数y=f(x) 在区间(a,b) 内可导,且, 则的值为（）A.f'(x0)B.2f'(x0)C.-2f'(x0)D.08、水以匀速注入如图容器中，试找出与容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图象（）A. B.C. D.9、若函数f（x）=2x2﹣1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+△x ， 1+△y），则等于（）A.4B.4xC.4+2△xD.4+2△x210、若当，则f′(x0)等于（）．A. B.C.－D.-11、设函数 y=f(x) 在 R 上可导，则等于（）A. B.C. D.以上都不对12、如图，函数 y=f(x) 在 A ， B 两点间的平均变化率是（）A.1B.-1C.2D.-213、曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为（）．A.y＝3x-1B.y＝-3x+5C.y＝3x+5D.y＝2x14、已知函数 f(x) 在 x=1 处的导数为1，则（）A.3B.C. D.15、一物体运动的方程是s＝2t2，则从2s到(2＋d)s这段时间内位移的增量为（）．A.8B.8＋2dC.8d＋2d2D.4d＋2d2二、填空题16、如果函数，则的值等于________．17、若函数 y=f(x) 的导函数在区间 [a,b] 上是增函数，则函数 y=f(x) 在区间 [a,b] 上的图像可能是下列中的________.18、曲线y＝x2＋2在点P(1,3)处的切线方程为________．19、设函数 y=f(x) ，当自变量由 x0变到时，函数的改变量________.20、曲线f(x)＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率为________．21、质点运动规律s＝2t2＋1，则从t＝1到t＝1＋d时间段内运动距离对时间的变化率为________．22、抛物线y＝x2＋x＋2上点(1,4)处的切线的斜率是________，该切线方程为________．23、若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程为x－y＋1＝0，则a，b的值分别为________，________.24、若曲线y=x2﹣1的一条切线平行于直线y＝4x﹣3，则这条切线方程为________．25、已知函数y=ax2+bx ，则 =________．参考答案一、选择题1、【答案】B【解析】【解答】因为，所以，选B；【分析】本题主要考查了导数的概念，解决问题的关键是根据导数的概念进行分析计算即可.2、【答案】B【解析】【解答】因为所以，故选B.【分析】本题主要考查了导数的概念，解决问题的关键是根据导数的概念进行计算即可.3、【答案】A【解析】【解答】＝＝，当Δx→0时，→1.曲线在点(1，－1)处的切线的斜率为1，切线方程为y＋1＝1(x－1)，即y＝x－2.选A。

2017_2018学年高中数学专题3.1变化率与导数课时同步试题新人教A版选修1_120171227

3.1 变化率与导数一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在平均变化率的定义中，自变量x在x处的增量x应满足A．x0 B．xC．x0 D．x【答案】D2．某物体的位移公式为s s(t)，从t到tt这段时间内，下列理解正确的是0 0A．(t0 t ) t0 称为函数值增量B．t称为函数值增量C．s s(t 0 t ) s(t0 ) 称为函数值增量D．st称为函数值增量【答案】C【解析】由自变量的增量、函数值的增量、平均变化率的概念易得C正确．故选C．3．如图所示，函数y f(x) 的图象在点P处的切线方程是yx 8 ，则f (5) f (5)A．12B．1C．2 D．0【答案】C【解析】易知f (5) 58 3 ．由导数的几何意义知f (5) 1．故f (5) f (5) 31 2 ．故选C．4．已知函数f(x ) 2x 2 1的图象上一点(1, 1) 及邻近一点(1x ,1y) ，则yx A．4 B．4 2x等于C．4 x D．4x (x)21【答案】B【解析】因为 f (x )2x 2 1，所以 f (1 x ) 2(1 x ) 2 1 2(x ) 2 4x 1，f (1)1，则yf (1 x ) f (1) f (1 x ) f (1) 2( x )4 x 1 124 2 xx 1x 1xx，故选 B ．5．甲、乙两厂污水的排放量 W 与时间 t 的关系如图所示，则治污效果较好的是A ．甲B ．乙C ．相同D ．不确定【答案】B6．已知2 ax 1 lim () 2xx x 13，则 aA ．1B ．2C ．3D ．6【答案】D 【解析】原式 =5 a1a2 3( 1)( 1) (5)1x axxaxa xx xa 22limlimlim2，3 ( 1)3 2 33 3x xx x3x x xx解得a 6 ．故选D．7．已知曲线y f(x) x2 在点P处的切线斜率为k，则当k2时，点P的坐标为A．(2,8) B．(1,1)21 1 C ． (1, 1) D ． ( , )2 8【答案】C 【解析】设点P 的坐标为(x 0，y 0 ) ，则f (xx ) f (x )(xx )x22k f (x ) limlim0 0xxxxlim ( 2 ) 2 ，即x x xx 02x2，则x，此时2 21 y 0x 0 1 1，故点 P 的坐标为(1, 1) ．故选 C ．二、填空题：请将答案填在题中横线上． 8．已知函数 f (x ) 2x 1，则 f (x ) 在区间[0 , 2]上的平均变化率为______________．【答案】2f (2) f (0) 512【解析】由平均变化率的定义得．2 0 2f (1) f (1 x)9．设函数 f (x ) 满足 lim1，则 f (1)______________．xx【答案】1【解析】由题意可得 ff (1 x ) f (1) (1) lim 1．xx10．已知曲线 yf (x ) 2x 2 1在点M 处的瞬时变化率为 4，则点M 的坐标为______________．【答案】 (1, 3)11．曲线 f (x )2在点 (2,1)处的切线方程为______________．x【答案】x 2y 4 0【解析】点(2,1)在曲线f(x) 2上．x因为f 2(1)f ( 2 x ) f (2) 2 x 11( 2) lim lim limx x 2 x2x 0 x 0 x0，3所以切线方程为1y x，即x2y 4 0．1 ( 2)2三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1s(t) gt，其中g＝10m/s212．已知2．2（1）求t从3秒到3.1秒的平均速度；（2）求t从3秒到3.01秒的平均速度；（3）求t＝3秒时的瞬时速度．【答案】（1）30.5(m / s) ；（2）30.05(m / s) ；（3）30(m / s) ．【解析】（1）t 3.1 3 0.1(s)，1 1s s(3.1) s(3) g 3.1 g 3 3.05(m) ，2 22 2s 3.05v30.5(m /s)则．1t0.1（2）t 3.01 3 0.01(s)，1 1s s(3.01) s(3) g 3.01 g 3 0.300 5(m)，2 22 2s0.300 5v30.05(m /s)则．2t0.01（3）由瞬时速度的定义，可知1 1 12 2 2 ，2 2 2s s(3 t) s(3) g(3 t) g3 3g t g( t)s 1s3g g t v lim 3g30(m / s)，则瞬时．t 2 tt0120T(t) 15，其中T(t)（单位：°C） 13．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，已知关系式为t 5为蜥蜴的体温，t（单位：min）为太阳落山后的时间．（1）从t0到t10，蜥蜴的体温下降了多少?（2）从t0到t10，蜥蜴体温的平均变化率是多少?它代表什么实际意义?（3）求T'(5) ，并解释它的实际意义．【答案】（1）16°C；（2）1.6°C，它表示从t0到t10这段时间内，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6°C；（3）T'(5) 1.2 ，它表示t5时，蜥蜴体温下降的速度为1.2 °C/min．4120120 15 (15) T (5 Δt ) T (5) 5Δt 55 512 Δt Δt10Δt（3）12 当 Δt 趋近于 0时， 10 Δt趋近于 1.2，即T '(5)1.2 ，它表示t5时，蜥蜴体温下降的速度为1.2°C/min ．，14．设函数1f (x ) ax (a ,b Z ) ，曲线 y f (x ) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 y 3． x b（1）求函数 f (x ) 在 x x 处的导数；（2）求函数 f (x ) 的解析式；（3）证明：曲线 yf (x ) 上任一点的切线与直线 x 1和直线 y x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值．1a【答案】（1）2(xb )；（2）f (x )xx1 1；（3）证明见解析．f '(2) 0（2）由曲线 yf (x ) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 y 3，得，f(2) 31f(x) a又由（1）可知0 2(x b)1a 0(2 b)2，于是，解得12a 32 ba 1或b 19a48b3．5因为 a ，b ∈Z ，所以f (x )x1．x 11(x , x )（3）在曲线上任取一点 0x1．1f (x ) 1由2(x1)知，过此点的切线方程为xx 211y 0x x[1 ]( )x1(x1)2．令 x 1得yxx1 x1，则切线与直线 x1的交点为(1,)1 x1．令 x y 得yx ，则切线与直线 y x 的交点为 ( x2x ) ． 2 121,1又直线 x 1与直线 y x 的交点为 (1, 1) ，从而所围三角形的面积为11 12x | 1| | 2 1 1| 2 22x||| x|2 x 12 x1．所以，所围成的三角形的面积为定值 2．6。

2017-2018学年高中数学选修1-1 练习_3-1变化率与导数第一课时-1、3-1-2 含答案精品

第三章 3.1 3.1.1 3.1.2A 级基础巩固一、选择题1．(2016·山东枣庄高二月考)在物体运动变化过程中，自变量的改变量Δx 的取值为导学号 03624637( D )A ．Δx >0B ．Δx <0C ．Δx ＝0D ．Δx ≠0[解析] Δx 可正也可负，但是不可以为0，故选D ．2．对于函数y ＝1x，当Δx ＝1时，Δy 的值是导学号 03624638( D )A ．1B ．－1C ．0D ．不能确定[解析] 函数值的改变量是指函数在某一点附近的改变量，因而要求Δy 必须指明在哪一点处．3．函数f (x )在x ＝x 0处的导数可表示为导学号 03624639( A ) A ．f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0ΔxB ．f ′(x 0)＝lim Δx →0[f (x 0＋Δx )－f (x 0)]C ．f ′(x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)D ．f ′(x 0)＝f x 0＋Δx －f x 0Δx[解析] B 中lim Δx →0[f (x 0＋Δx )－f (x 0)]表示函数值的变化量的极限；C 中f (x 0＋Δx )－f (x 0)表示函数值的变化量；D 中f x 0＋Δx －f x 0Δx表示函数的平均变化率．4．(2016·山西临汾高二质检)一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，若该质点在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是导学号 03624640( D )A ．－3B ．3C ．6D ．－6[解析] 当Δt 趋近于0时，－3Δt －6趋近于－6，即t ＝1时该质点的瞬时速度是－6.5．已知f (x )＝x 2－3x ，则f ′(0)＝导学号 03624641( C ) A ．Δx －3 B ．(Δx )2－3Δx C ．－3D ．0[解析] f ′(0)＝lim Δx →0 0＋Δx 2－3 0＋Δx －02＋3×0Δx＝lim Δx →0 Δx 2－3ΔxΔx ＝lim Δx →0(Δx －3)＝－3.故选C ．6．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则导学号 03624642( C )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b[解析] ∵f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0 a Δx ＋b Δx 2Δx ＝lim Δx →0(a ＋b Δx )＝a .∴f ′(x 0)＝a . 二、填空题7．已知函数y ＝x 3－2，当x ＝2时，Δy Δx ＝__(Δx )2＋6Δx ＋12__.导学号 03624643[解析] ∵Δy ＝(2＋Δx )3－2－6＝(Δx )3＋6(Δx )2＋12Δx ，∴Δy Δx ＝(Δx )2＋6Δx ＋12.8．在自由落体运动中，物体位移s (单位：m)与时间t (单位：s)之间的函数关系式s ＝12gt 2(g ＝9.8 m/s 2)，试估计t ＝3s 时物体下落的瞬时速度是__29.4_m/s__.导学号 03624644[解析] 从3s 到(3＋Δt )s 这段时间内位移的增量： Δs ＝s (3＋Δt )－s (3)＝4.9(3＋Δt )2－4.9×32＝29.4Δt ＋4.9(Δt )2，从而，Δs Δt ＝29.4＋4.9Δt .当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于29.4 m/s.三、解答题9．一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，求此物体在t ＝2时的瞬时速度.导学号 03624645[解析] 由于Δs ＝3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－22)＝3Δt －4Δt －Δt 2＝－Δt －Δt 2， ∴Δs Δt ＝－Δt －Δt 2Δt ＝－1－Δt . ∴v ＝lim Δt →0 ΔsΔt ＝lim Δt →0 (－1－Δt )＝－1.∴物体在t ＝2时的瞬时速度为－1.B 级素养提升一、选择题1．质点运动规律为s ＝2t 2＋5，则在时间(3,3＋Δt )中，相应的平均速度等于导学号 03624646( C )A ．6＋ΔtB ．12＋Δt ＋9ΔtC ．12＋2ΔtD ．12[解析] Δs Δt ＝[2 3＋Δt 2＋5]－ 2×32＋5Δt＝12＋2Δt .2．(2016·山东聊城高二月考)做直线运动的物体，其位移s 和时间t 的关系是：s ＝3t －t 2，则它的初速度是导学号 03624647( B )A ．0B ．3C ．－2D ．3－2t[解析] 初速度即为t ＝0时的瞬时速度，Δs Δt ＝s 0＋Δt －s 0 Δt ＝3Δt －Δt 2Δt ＝3－Δt 2. 当Δt 趋近于0时，ΔsΔt趋近于3，故它的初速度为3.3．(2016·浙江台州检测)若f (x )在x ＝x 0处存在导数，则lim h →0f x 0＋h －f x 0h导学号 03624648( B )A ．与x 0，h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0，h 都无关[解析] 由导数的定义可知，函数在x ＝x 0处的导数只与x 0有关，故选B ．4．(2016·安徽淮北高二检测)设f (x )＝ax 3＋2，若f ′(－1)＝3，则a ＝导学号 03624649( C )A ．－1B ．12C ．1D ．13[解析] ∵f ′(－1)＝lim Δx →0f －1＋Δx －f －1Δx＝lim Δx →0a Δx －1 3＋a Δx ＝3a ，∴3a ＝3，解得a ＝1.故选C ．5．若lim h →0f x 0＋h －f x 0 h ＝1，则lim h →0f x 0－h －f x 02h ＝导学号 03624650( D )A ．1B ．－1C ．12 D ．－12[解析] lim h →0f x 0－h －f x 0 2h ＝12lim h →0 f x 0－h －f x 0h＝12lim h →0－f x 0－h －f x 0 －h ＝－12lim h →0 f x 0－h －f x 0－h ＝－12.故选D ．二、填空题6．已知物体的运动方程是S ＝－4t 2＋16t (S 的单位为m ；t 的单位为s)，则该物体在t ＝2s 时的瞬时速度为__0_m/s__.导学号 03624651[解析] ΔS ＝－4(2＋Δt )2＋16(2＋Δt )＋4×22－16×2＝－4Δt 2， ∴ΔS Δt ＝－4Δt 2Δt ＝－4Δt ， ∴v ＝lim Δt →0 ΔSΔt ＝lim Δt →0(－4Δt )＝0.∴物体在t ＝2s 时的瞬时速度为0 m/s.7．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为 28π3.导学号 03624652 [解析] ∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3，∴Δy Δx ＝28π32－1＝28π3.三、解答题8．求函数f (x )＝3x －2x在x ＝1处的导数.导学号 03624653[解析] Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝3(1＋Δx )－21＋Δx －1＝2＋3Δx －21＋Δx ＝3Δx ＋2Δx1＋Δx ，Δy Δx ＝3Δx ＋2Δx 1＋Δx Δx ＝3＋21＋Δx， ∴lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(3＋21＋Δx )＝5，∴f ′(1)＝5.C 级能力提高1．(北京高考)已知f (x )＝13x 3＋2x ＋1，则f ′(－1)的值是__3__.导学号 03624654[解析] f ′(－1)＝lim Δx→0f －1＋Δx －f －1Δx＝lim Δx→0⎣⎢⎡⎦⎥⎤13 －1＋Δx 3＋2 －1＋Δx ＋1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤13× －1 3－2＋1Δx＝3.2．一物体的运动方程如下：(单位：m ，时间：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 t ≥329＋3 t －3 20≤t <3 .求：(1)物体在t ∈[3,5]时的平均速度； (2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度.导学号 03624655[解析] (1)∵物体在t ∈[3,5]时的时间变化量为Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]时的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3,5]时的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f 0＋Δt －f 0 Δt＝29＋3[ 0＋Δt －3]2－29－3 0－3 2Δt ＝3Δt －18，∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为 lim Δt →0 ΔsΔt ＝lim Δt →0 (3Δt －18)＝－18，即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f 1＋Δt －f 1 Δt＝29＋3[ 1＋Δt －3]2－29－3 1－3 2Δt＝3Δt －12，∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为lim Δt →0 ΔsΔt ＝lim Δt →0 (3Δt －12)＝－12，即物体在t ＝1时的瞬时速率为－12 m/s.。

2017-2018学年人教A版数学选修1-1课时达标检测十三变

课时达标检测（十三）变化率问题导数的概念一、选择题1．当自变量从x 1变到x 2时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )A ．在区间[x 1，x 2]上的平均变化率B ．在x 1处的变化率C ．在x 2处的变化量D ．在区间[x 1，x 2]上的导数解析：选A 平均变化率是指函数值的变化量与相应自变量的变化量之比．2．质点运动规律s ＝t 2＋3，则在时间[3,3＋Δt ]中，相应的平均速度等于( )A ．6＋ΔtB ．6＋Δt ＋9ΔtC ．3＋ΔtD ．9＋Δt 解析：选A v －＝Δs Δt ＝[(3＋Δt )2＋3]－(32＋3)Δt＝6Δt ＋(Δt )2Δt＝6＋Δt . 3．如果质点M 按照规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( )A ．6B ．18C ．54D ．81 解析：选B v ＝li m Δt →0 s (3＋Δt )－s (3)Δt＝li m Δt →03(3＋Δt )2－27Δt ＝li m Δt →018Δt ＋3(Δt )2Δt ＝18. 4．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1＞k 2B ．k 1＜k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定解析：选D k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0＋Δx ，k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx＝x 20－(x 0－Δx )2Δx＝2x 0－Δx .因为Δx 可大于零也可小于零，所以k 1与k 2的大小不确定．5．设函数在x ＝1处存在导数，则li m Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)3Δx＝( ) A ．f ′(1) B ．3f ′(1)C.13f ′(1) D ．f ′(3)解析：选C li m Δx →0f (1＋Δx )－f (1)3Δx ＝13li m Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝13f ′(1)．二、填空题6．将半径为R 的球加热，若半径从R ＝1到R ＝m 时球的体积膨胀率(体积的变化量与半径的变化量之比)为28π3，则m 的值为________．解析：∵ΔV ＝4π3m 3－4π3×13＝4π3(m 3－1)， ∴ΔV ΔR ＝4π3(m 3－1)m －1＝28π3，即m 2＋m ＋1＝7，解得m ＝2或m ＝－3(舍去)．答案：27．如图是函数y ＝f (x )的图象，则函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．解析：由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以，函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34. 答案：348．当h 无限趋近于0时，lim h →0(3＋h )2－32h ＝________. 解析：lim h →0 (3＋h )2－32h ＝lim h →0 6h ＋h 2h ＝lim h →0(6＋h )＝6. 答案：6三、解答题9．已知函数f (x )＝13－8x ＋2x 2，且f ′(x 0)＝4，求x 0的值．解：∵f ′(x 0)＝li m Δx →0 Δy Δx＝li m Δx →0[13－8(x 0＋Δx )＋2(x 0＋Δx )2]－(13－8x 0＋2x 20)Δx ＝li m Δx →0 －8Δx ＋2 2x 0Δx ＋2(Δx )2Δx ＝li m Δx →0(－8＋2 2x 0＋2Δx ) ＝－8＋2 2x 0，∴－8＋2 2x 0＝4.∴x 0＝3 2.10．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移：m ，时间：s)．(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度；(3)求t ＝0到t ＝2时的平均速度．解：(1)初速度v 0＝li m Δt →0 s (Δt )－s (0)Δt＝li m Δt →03Δt －(Δt )2Δt ＝li m Δt →0(3－Δt )＝3(m/s)．即物体的初速度为3 m/s.(2)v ＝li m Δt →0 s (2＋Δt )－s (2)Δt＝li m Δt →03(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－4)Δt＝li m Δt →0－(Δt )2－Δt Δt ＝li m Δt →0(－Δt －1)＝－1(m/s)．即此物体在t ＝2时的瞬时速度为1 m/s ，方向与初速度相反．(3)v ＝s (2)－s (0)2－0＝6－4－02＝1(m/s)．即t ＝0到t ＝2时的平均速度为1 m/s.。

高中数学 3.1变化率与导数同步练习新人教A版选修1-1

人教新课标版（A ）选修1-1 3.1 变化率与导数同步练习题【基础演练】题型一：变化率问题与导数概念一般地，()()1212x x x f x f x f --=△△我们称为平均变化率，如果0x →△时，()()x x f x x f limx flim000x 0x △△△△△△-+=→→存在，称此极限值为函数()x f y =在0x 处的导数，记作()0x f '，请根据以上知识解决以下1~5题。

1. 一质点运动的方程为2t 35s -=，则在一段时间[]t 1,1△+内相应的平均速度为 A. 6t 3+△ B. 6t 3+-△ C. 6t 3-△ D. 6t 3--△2. 将半径为R 的球加热，若球的半径增加△R ，则球的体积增加△y 约等于A.R R 343△πB. R R 42△πC. 2R 4πD. R R 4△π3. 已知函数1x y +=2的图象上一点（1，2）及邻近一点()y 2,x 1△△++，则xy△△等于A. 2B. 2xC. 2+△xD. 2+△2x4. 自变量0x 变到1x 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数A. 在区间[]10x ,x 上的平均变化率B. 在0x 处的变化率C. 在1x 处的变化量D. 在区间[]10x ,x 上的导数5.若函数()x f 在a x =处的导数为A ，求()()x2x a f x a f lim 0x △△△△--+→。

题型二：导数的物理意义在物体的运动规律中，如果()t s s =，那么物体的瞬时速度()()tt s t t s limt s limv 0t 0t △△△△△△-+==→→；如果()t v v =，那么物体的加速度()()t t v t t v lim t v lim a 0t 0t △△△△△△-+==→→，请根据以上知识解决以下6~7题。

6. 若一物体运动方程如下：()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<≤+=3t 3t 3293t 02t 3s 22 求物体在1t =或3t =时的速度。

高考数学一轮复习第三章导数及其应用 3.1 变化率与导数、导数的计算真题演练集训理新人教A版

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数的计算真题演练集训理新人教A版1．[2014·大纲全国卷]曲线y＝x e x－1在点(1，1)处切线的斜率等于（）A．2e B．eC．2 D．1答案:C解析：y′＝e x－1＋x e x－1＝(x＋1)e x－1，故曲线在点（1,1）处的切线斜率为y′｜x＝1＝2.2．[2014·新课标全国卷Ⅱ]设曲线y＝ax－ln（x＋1）在点（0,0）处的切线方程为y＝2x,则a＝( ）A．0 B．1C．2 D．3答案：D解析：y′＝a－错误!，由题意得y′｜x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3.3．[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知f（x)为偶函数,当x＜0时，f（x）＝ln（－x)＋3x，则曲线y＝f(x）在点(1，－3)处的切线方程是________．答案：y＝－2x－1解析：由题意可得，当x>0时,f（x）＝ln x－3x，则f′（x）＝错误!－3，f′（1)＝－2，则在点（1，－3）处的切线方程为y＋3＝－2（x－1),即y＝－2x－1.4．[2016·新课标全国卷Ⅱ］若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线,也是曲线y＝ln(x ＋1)的切线,则b＝________。

2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案：第三章3.1变化率与导数含答案

第1课时变化率问题、导数的概念［核心必知］1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P72~P76的内容,回答下列问题．（1）气球膨胀率气球的体积V(单位：L）与半径r（单位：dm）之间的函数关系是V（r）＝错误!πr3，如果将半径r表示为体积V的函数，那么r （V）＝错误!。

①当空气容量V从0增加到1 L时，气球的平均膨胀率是多少?提示：错误!≈0。

62（dm/L）．②当空气容量V从1 L增加到2 L时，气球的平均膨胀率是多少？提示：错误!≈0。

16（dm/L)．③当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率又是多少？提示：错误!．（2)高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后时间t（单位：s）存在函数关系h(t）＝－4。

9t2＋6.5t＋10。

①在0≤t≤0.5这段时间里，运动员的平均速度v是多少？提示：v＝错误!＝4.05（m/s)．②在1≤t≤2这段时间里，运动员的平均速度v是多少？提示：v＝错误!＝－8.2(m/s)．③在t1≤t≤t2这段时间里，运动员的平均速度v又是多少？错误!提示：v＝错误!．2．归纳总结，核心必记（1)函数的平均变化率对于函数y＝f（x），给定自变量的两个值x1和x2,当自变量x从x1变为x2时,函数值从f（x1）变为f(x2)，我们把式子错误!称为函数y ＝f(x)从x1到x2的平均变化率．习惯上用Δx表示x2－x1,即Δx＝x2－x1,可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地,Δy＝f（x2)－f(x1）．于是，平均变化率可表示为错误!．(2）瞬时速度①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．②若物体运动的路程与时间的关系式是s＝f（t），当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率错误!趋近于常数,我们就把这个常数叫做物体在t0时刻的瞬时速度．（3）导数的定义一般地,函数y＝f（x)在x＝x0处的瞬时变化率是:，我们称它为函数y＝f(x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′(x0）＝=．［问题思考］(1）设A(x1，f(x1）)，B(x2，f(x2）)是曲线y＝f(x）上任意不同的两点，则函数y＝f（x）的平均变化率错误!＝错误!＝错误!表示什么？提示：表示割线AB的斜率．(2)Δx，Δy的值一定是正值吗?平均变化率是否一定为正值？提示：Δx，Δy可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为0,平均变化率错误!可正、可负、可为零．(3）在高台跳水中，如何求在［1，1＋Δt]这段时间内的平均速度v?当Δt趋近于0时，平均速度v有什么样的变化趋势？提示：v＝错误!。

高中数学第三章导数及其应用 3.1 变化率与导数课时作业新人教A版选修1-1

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题3.1 变化率与导数3.1.1 变化率问题3.1.2 导数的概念3.1.3 导数的几何意义1.设函数y=f(x),当自变量由x0变到x0+Δx时,函数值的改变量Δy为( D )(A)f(x0+Δx) (B)f(x0)+Δx(C)f(x0)Δx (D)f(x0+Δx)-f(x0)解析:函数值的改变量为f(x0+Δx)-f(x0),所以Δy=f(x0+Δx)-f(x0).故选D.2.已知一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是m,t的单位是s,那么物体在时间[3,3+Δt]s内的平均速度是( A )(A)(5+Δt)(m/s) (B)[5+(Δt)2](m/s)(C)[5(Δt)2+Δt](m/s) (D)5(Δt)2(m/s)解析:因为Δs=1-(3+Δt)+(3+Δt)2-(1-3+32)=(Δt)2+5Δt,所以物体在时间[3,3+Δt]s内的平均速度是==Δt+5.故选A.3.(2018·延安高二月考)函数f(x)在x0处可导,则( B )(A)与x0,h都有关(B)仅与x0有关,而与h无关(C)仅与h有关,而与x0无关(D)与x0,h均无关解析:因为f′(x0)=,所以f′(x0)仅与x0有关,与h无关.故选B.4.(2018·徐州高二检测)曲线f(x)=3x+x2在点(1,f(1))处的切线方程为( A )(A)y=5x-1 (B)y=-5x+1(C)y=x+1 (D)y=-x-1解析:k==5.f(1)=4.由点斜式得y-4=5(x-1),即y=5x-1.故选A.5.(2018·长春高二检测)一质点运动的方程为s=5-3t2,若该质点在t=1到t=1+Δt这段时间内的平均速度为-3Δt-6,则该质点在t=1时的瞬时速度是( D )(A)-3 (B)3 (C)6 (D)-6解析:当Δt趋近于0时,-3Δt-6趋近于-6,即t=1时该质点的瞬时速度是-6.故选D.6.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率是.解析:===-1.答案:-17.已知f′(x0)=,f(3)=2,f′(3)=-2,则的值是.解析:===-3+=-3f′(3)+=-3f′(3)+2=8.答案:88.已知直线l1为曲线y=x2+x-2在(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程.(2)求由直线l1,l2和x轴围成的三角形的面积.解:(1)y′===(2x+Δx+1)=2x+1.y′x=1=2×1+1=3,所以直线l1的方程为y=3(x-1),即y=3x-3.设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点B(b,b2+b-2),则l2的方程为y=(2b+1)x-b2-2.因为l1⊥l2,则有2b+1=-,b=-.所以直线l2的方程为y=-x-.(2)解方程组得所以直线l1和l2的交点坐标为(,-).l1,l2与x轴交点的坐标分别为(1,0),(-,0).所以所求三角形的面积S=××-=.【能力提升】9.(2018·杭州高二检测)设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围是[0,],则点P横坐标的取值范围为( A )(A)[-1,-] (B)[-1,0](C)[0,1] (D)[,1]解析:设点P(x0,y0),则f′(x0)====(2x0+2+Δx)=2x0+2.结合导数的几何意义可知0≤2x0+2≤1,解得-1≤x0≤-.故选A.10.已知函数f(x)=x2+2bx的图象在点A(0,f(0))处的切线l与直线x+y+3=0垂直,若数列{}的前n项和为S n,则S2 018的值为( A )(A)(B)(C)(D)解析:由题意可得A(0,0),函数f(x)=x2+2bx的图象在点A(0,0)处的切线l的斜率k==2b,由l与直线x+y+3=0垂直,可得2b·(-1)=-1,所以b=.因为f(n)=n2+2bn=n2+n=n(n+1),所以=-,故数列{}的前n项和为S n=(1-)+(-)+(-)+…+(-)=1-,所以S2 018=1-=.故选A.11.(2018·甘肃质检)若点P是抛物线y=x2上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为.解析:由题意可得,当点P到直线y=x-2的距离最小时,点P为抛物线y=x2的一条切线的切点,且该切线平行于直线y=x-2,设P(x0,),由导数的几何意义知y′==2x0=1,得x0=,所以P(,),故点P到直线y=x-2的最小距离d==.答案:12.已知曲线C:y=x3.(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程;(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点?解:(1)将x=1代入曲线C的方程得y=1,所以切点为P(1,1).因为y′====[3x2+3xΔx+(Δx)2]=3x2,所以y′=3.所以过P点的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.(2)由可得(x-1)(x2+x-2)=(x-1)2(x+2)=0,解得x1=1,x2=-2.从而求得公共点为(1,1)或(-2,-8).说明切线与曲线C的公共点除了切点P外,还有另外的点(-2,-8).【探究创新】13.(2018·银川高二月考)设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0).若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,则a的值为.解析:设曲线y=f(x)与斜率最小的切线相切于点(x0,y0),因为Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=(x0+Δx)3+a(x0+Δx)2-9(x0+Δx)-1- (+a-9x0-1)=(3+2ax0-9)Δx+(3x0+a)(Δx)2+(Δx)3,所以=3+2ax0-9+(3x0+a)Δx+(Δx)2.当Δx无限趋近于零时,无限趋近于3+2ax0-9. 即f′(x0)=3+2ax0-9.所以f′(x0)=3(x0+)2-9-.当x0=-时,f′(x0)取最小值-9-.因为斜率最小的切线与12x+y=6平行,所以该切线斜率为-12.所以-9-=-12.解得a=±3.又a<0,所以a=-3.答案:-3。

高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.1变化率问题课时作业(含解析)新人教A版

课时作业21一、选择题1．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A. 0.40 B. 0.41 C. 0.43D. 0.44解析：∵x ＝2，Δx ＝0.1，∴Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝f (2.1)－f (2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41.答案：B2．某物体的运动规律是s ＝s (t )，则该物体在t 到t ＋Δt 这段时间内的平均速度是( )A.v ＝Δs Δt ＝st ＋Δt －s tΔtB.v ＝s ΔtΔtC.v ＝s ttD.v ＝s t ＋Δt －s ΔtΔt解析：由平均速度的定义可知，物体在t 到t ＋Δt 这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比，所以v ＝Δs Δt ＝s t ＋Δt －s tΔt，故选A.答案：A3．已知函数f (x )＝2x 2＋3的图象上一点(1,5)与邻近一点(1＋Δx ，f (1＋Δx ))，则Δy Δx 等于( )A ．4＋2ΔxB ．4＋(2Δx )2C ．4xD ．4解析：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2＋3－(2×12＋3)＝4Δx ＋2(Δx )2， ∴Δy Δx ＝4Δx ＋Δx 2Δx ＝4＋2Δx ，故选A.答案：A4．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1>k 2B ．k 1<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定解析：由定义可知k 1＝2x 0＋Δx ，k 2＝2x 0－Δx ，因为Δx 可正、可负但不可为0，所以k 1与k 2大小不确定．故选D.答案：D 二、填空题5．质点运动规律s ＝12gt 2，则在时间区间(3,3＋Δt )内的平均速度等于________(g ＝10m/s 2)．解析：Δs ＝12g ×(3＋Δt )2－12g ×32＝12×10×[6Δt ＋(Δt )2]＝30Δt ＋5(Δt )2，v ＝ΔsΔt＝30＋5Δt . 答案：30＋5Δt6．汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如下图，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为______．解析：由平均速度的定义结合图象知v 3>v 2>v 1. 答案：v 3>v 2>v 17．[2014·济宁高二月考]若正方体的棱长从x ＝1到x ＝a 时正方体的体积膨胀率为21，则a 的值为________．解析：ΔV ＝a 3－1，∴ΔV Δx ＝a 3－1a －1＝a 2＋a ＋1＝21.∴a 2＋a －20＝0. ∴a ＝4或a ＝－5(舍)．答案：4 三、解答题8．已知f (x )＝x 2－3x ＋5，求函数f (x )从1到2的平均变化率．解：Δx ＝2－1＝1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (2)－f (1)，＝22－3×2＋5－(12－3×1＋5)＝0. ∴ΔyΔx＝0.∴函数f (x )从1到2的平均变化率为0.9．某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．解：从出生到第3个月的时间变化量Δt ＝3－0＝3，从出生到第3个月的体重变化量ΔW ＝6.5－3.5＝3，则从出生到第3个月的体重的平均变化率ΔW Δt ＝33＝1.从第6个月到第12个月的时间变化量Δt ＝12－6＝6，从第6个月到第12个月的体重变化量ΔW ＝11－8.6＝2.4，则从第6个月到第12个月的体重平均变化率 ΔW Δt ＝2.46＝0.4.。

高中数学 3.1 变化率与导数检测试题新人教A版选修11

3.1 变化率与导数一、选择题1.已知函数y=,当x由2变为1.5时,函数值y的增量为( )A.1B.2C.D.答案:C解析:Δy=-1=.2.已知一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是m,t的单位是s,那么物体在时间[3,3+Δt] s内的平均速度是( )A.5+Δt(m/s)B.5+(Δt)2(m/s)C.5(Δt)2+Δt(m/s)D.5(Δt)2(m/s)答案:A解析:由定义有=5+Δt.3.设f'(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线( )A.不存在B.与x轴平行或重合C.与x轴垂直D.与x轴斜交答案:B解析:f'(x0)=0的几何意义为在点(x0,f(x0))处的切线的斜率为0,因此切线应为与x轴平行或重合的直线.4.在x=1附近取Δx=0.3,在四个函数①y=x,②y=x2,③y=x3,④y=中,平均变化率最大的是( )A.④B.③C.②D.①答案:B解析:①的平均变化率为1,②的平均变化率为2.3,③的平均变化率为3.99,④的平均变化率约为-0.77,故选B.5.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示,治污效果较好的是( )A.甲B.乙C.相同D.不确定答案:B解析:在t0处,虽然W1(t0)=W2(t0),W1(t0-Δt)<W2(t0-Δt),但,所以,在相同时间Δt内,甲厂比乙厂的平均治污率小.所以乙厂治污效果较好.二、填空题6.已知函数y=3,则其导函数y'=.答案:0解析:=0,y'==0.7.若质点A的运动方程为s=2t2(其中s表示位移,t表示时间),则t=3时的瞬时速度为.答案:12解析:瞬时速度v===12.8.给出下列四个命题:①若函数f(x)=,则f'(0)=0;②若函数f(x)=2x2+1的图象上点(1,3)邻近的一点为(1+Δx,3+Δy),则=4+2Δx;③瞬时速度是动点位移函数s(t)对时间t的导数;④曲线y=x3在点(0,0)处没有切点.其中正确的命题是.答案:②③解析:①f(x)=在x=0处导数不存在;④y=x3在点(0,0)处存在切点(0,0).②③正确.三、解答题9.求函数y=f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率,并求出在该点处的导数.解:=3-Δx,f'(-1)==(3-Δx)=3.10.已知曲线y=上两点P(2,-1),Q.求:(1)曲线在点P处、点Q处的切线的斜率;(2)曲线在点P,Q处的切线方程.解:将P(2,-1)代入y=,得t=1,∴y=.y'===.(1)曲线在点P处的切线斜率为y'|x=2==1.曲线在点Q处的切线斜率为y'|x=-1=.(2)曲线在点P处的切线方程为y-(-1)=x-2,即x-y-3=0,曲线在点Q处的切线方程为y-[x-(-1)],即x-4y+3=0.。

高中数学第三章.1变化率问题3.1.2导数的概念课时达标训练含解析新人教A版选修72.doc

3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念课时达标训练1.在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的增量Δx应满足( )A.Δx>0B.Δx<0C.Δx=0D.Δx≠0【解析】选D.在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的增量Δx要求Δx≠0.2.函数y=f(x),当自变量x由x0改变到x0+Δx时,Δy=( )A.f(x0+Δx)B.f(x0)+ΔxC.f(x0)·ΔxD.f(x0+Δx)-f(x0)【解析】选D.Δy看作相对于f(x0)的“增量”,可用f(x0+Δx)-f(x0)代替.3.函数在某一点的导数是( )A.在该点的函数值的增量与自变量的增量的比值B.一个函数C.一个常数,不是变数D.函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率【解析】选C.由导数定义可知,函数在某一点的导数,就是平均变化率的极限值.即它是一个常数,不是变数.4.若函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,且x0∈(a,b),若f′(x0)=4,则的值为( )A.2B.4C.8D.12【解析】选C.=2=2=2f′(x0)=8.5.如图是函数y=f(x)的图象,则函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________.【解析】由函数f(x)的图象知,f(x)=所以,函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为==.答案:6.已知函数f(x)=13-8x+x2,且f′(x0)=4,求x0的值.【解析】因为f′(x0)====(-8+2x0+Δx)=-8+2x0,所以-8+2x0=4.所以x0=3.7.用导数在某一点处的定义,求函数y=f(x)=在x=1处的导数.【解析】因为Δy=f(1+Δx)-f(1)=-==,所以=,所以===-, 所以y′|x=1=f′(1)=-.。

高中数学 3.1 第1课时变化率问题与导数的概念练习新人教A版选修11

【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.1 第1课时变化率问题与导数的概念练习新人教A 版选修1-1一、选择题1．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ；②y ＝x 2；③y ＝x 3；④y ＝1x中．平均变化率最大的是( )A ．④B ．③C ．②D ．①[答案] B[解析] ①的平均变化率为1，②的平均变化率为2.3，③的平均变化率为3.99，④的平均变化率为－0.77.2．已知函数y ＝2x，当x 由2变为1.5时，函数的增量为( )A ．1B ．2C ．13D ．32[答案] C[解析] Δy ＝21.5－22＝13.3．设函数f (x )在x ＝1处存在导数，则lim Δx →0 f 1＋Δx －f 13Δx＝( )A ．f ′(1)B ．3f ′(1)C ．13f ′(1) D ．f ′(3)[答案] C [解析] lim Δx →0 f 1＋Δx －f 13Δx＝13lim Δx →0f 1＋Δx －f 1Δx ＝13f ′(1)．4．质点M 的运动规律为s ＝4t ＋4t 2，则质点M 在t ＝t 0时的速度为( ) A ．4＋4t 0 B ．0 C ．8t 0＋4 D ．4t 0＋4t 2[答案] C[解析] Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝4Δt 2＋4Δt ＋8t 0Δt ，ΔsΔt＝4Δt ＋4＋8t 0， lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(4Δt ＋4＋8t 0)＝4＋8t 0. 5．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b[答案] C[解析] ∵f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0 a Δx ＋b Δx 2Δx＝lim Δx →0(a ＋b Δx )＝a . ∴f ′(x 0)＝a .6．函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是( )A ．2B ．52C ．1D ．0[答案] D[解析] Δy ＝(Δx ＋1)＋1Δx ＋1－1－1＝Δx ＋－ΔxΔx ＋1，Δy Δx ＝1－1Δx ＋1， lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1Δx ＋1＝1－1＝0， ∴函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数为0.二、填空题7．函数y ＝1x2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为________．[答案] －2x 0＋Δxx 0＋Δx 2x 22[解析] ∵Δy ＝1x 0＋Δx2－1x 20，∴y ＝1x2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为Δy Δx＝1x 0＋Δx2－1x 20Δx＝－2x 0＋Δxx 0＋Δx 2x 20.8．若f ′(x 0)＝2，则lim k →0 f x 0－k －f x 02k的值为________．[答案] －1 [解析] lim k →0 f x 0－k －f x 02k＝－12lim k →0f x 0－k －f x 0－k＝－12f ′(x 0)＝－12×2＝－1.9．已知函数f (x )＝2x －3，则f ′(5)＝________. [答案] 2[解析] ∵Δy ＝f (5＋Δx )－f (5) ＝[2(5＋Δx )－3]－(2×5－3)＝2Δx ， ∴ΔyΔx＝2， ∴f ′(5)＝lim Δx →0 ΔyΔx＝2. 三、解答题10．一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，求此物体在t ＝2时的瞬时速度．[解析] 由于Δs ＝3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－22) ＝3Δt －4Δt －Δt 2＝－Δt －Δt 2， ∴Δs Δt ＝－Δt －Δt 2Δt ＝－1－Δt . ∴v ＝lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (－1－Δt )＝－1. ∴物体在t ＝2时的瞬时速度为－1.一、选择题11．一个物体的运动方程是s ＝2t 2＋at ＋1，该物体在t ＝1的瞬时速度为3，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．7[答案] A[解析] Δs ＝2(1＋Δt )2＋a (1＋Δt )＋1－(2＋a ＋1)＝Δt 2＋(4＋a )Δt ，由条件知lim Δt →0 ΔsΔt ＝lim Δt →0 (Δt ＋4＋a )＝4＋a ＝3， ∴a ＝－1.12．质点运动规律为s ＝2t 2＋5，则在时间(3,3＋Δt )中，相应的平均速度等于( ) A ．6＋Δt B ．12＋Δt ＋9ΔtC ．12＋2ΔtD ．12[答案] C[解析] Δs Δt＝[23＋Δt 2＋5]－2×32＋5Δt＝12＋2Δt .13．f (x )在x ＝a 处可导，则lim h →0 f a ＋3h －f a －h2h等于( )A ．f ′(a )B ．12f ′(a ) C ．4f ′(a ) D ．2f ′(a )[答案] D [解析] lim h →0 f a ＋3h －f a －h2h＝lim h →0f a ＋3h －f a ＋f a －f a －h2h＝32lim h →0fa ＋3h －f a 3h ＋12lim h →0 f a －f a －hh＝32f ′(a )＋12f ′(a )＝2f ′(a )．二、填空题14．若f ′(x )＝3，则lim Δx →0 f x ＋2Δx －f xΔx＝________.[答案] 6 [解析] lim Δx →0 f x ＋2Δx －f xΔx＝lim Δx →02·f x ＋2Δx －f x2Δx＝2lim Δx →0f x ＋2Δx －f x2Δx＝2f ′(x )＝6.15．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为________．[答案]28π3[解析] ∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3，∴Δy Δx ＝28π32－1＝28π3. 三、解答题16．求导数f (x )＝3x －2x在x ＝1处的导数．[解析] Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝3(1＋Δx )－21＋Δx －1＝2＋3Δx －21＋Δx ＝3Δx ＋2Δx1＋Δx ，Δy Δx ＝3Δx ＋2Δx 1＋Δx Δx ＝3＋21＋Δx ， ∴lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 (3＋21＋Δx)＝5，∴f ′(1)＝5. 17．一物体的运动方程如下：(单位：m ，时间：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2t ≥329＋3t －32 0≤t <3.求：(1)物体在t ∈[3,5]时的平均速度； (2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．[解析] (1)∵物体在t ∈[3,5]时的时间变化量为Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]时的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物体在t ∈[3,5]时的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)． (2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为Δs Δt ＝f 0＋Δt －f 0Δt＝29＋3[0＋Δt －3]2－29－30－32Δt＝3Δt －18，∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(3Δt －18)＝－18，即物体的初速度为－18m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为Δs Δt ＝f 1＋Δt －f 1Δt＝29＋3[1＋Δt －3]2－29－31－32Δt＝3Δt －12，∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(3Δt －12)＝－12，即物体在t ＝1时的瞬时速率为－12m/s.。

高中数学第三章 3.1.13.1.2变化率与导数课时作业新

3.1.1 变化率问题3.1.2 导数的概念课时目标1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．2．导数的概念：一般地，函数y =f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是0limx →ΔyΔx＝____________，我们称它为函数y =f (x )在x ＝x 0处的，记为或即f ′(x 0) ＝0lim x →ΔyΔx一、选择题1．当自变量从x 0变到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )A ．在[x 0，x 1]上的平均变化率B ．在x 0处的变化率C ．在x 1处的变化率D ．以上都不对2．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx ，f (1＋Δx ))，则Δy Δx等于( )A ．4B ．4＋2ΔxC ．4＋2(Δx )2D ．4x3．如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是 ( )A ．1B ．－1C ．2D ．－24．设f(x)在x ＝x 0处可导，则0lim x f x 0－Δx －f x 0Δx 等于 ( )A ．－f ′(x 0)B ．f ′(－x 0)C ．f ′(x 0)D ．2f ′(x 0)5．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( )A ．3B ．－3C ．2D ．－26．一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是( )A ．at 0B ．－at 0 C.1at 0 D ．2at 0题号 1 2 3 4 5 6 答案 7．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为________．8．过曲线y ＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为________．9．已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v (t )＝t 2＋2t ＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt ]内的平均加速度是________，在t ＝1时的瞬时加速度是________．三、解答题10．已知函数f (x )＝x 2－2x ，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．11．用导数的定义，求函数y＝f(x)＝1x在x＝1处的导数．能力提升12．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则f1f′0的最小值为________．13．枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a＝5×105m/s2，枪弹从枪口射出时所用的时间为1.6×10－3 s．求枪弹射出枪口时的瞬时速度．1．做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s ＝s (t )描述，设Δt 为时间改变量，在t 0＋Δt 这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)，那么位移改变量Δs 与时间改变量Δt 的比就是这段时间内物体的平均速度v ，即v ＝ΔsΔt＝s t 0＋Δt －s t 0Δt.2．由导数的定义可得求导数的一般步骤(三步法)：(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率Δy Δx ；0 Δy Δx .→0 ΔyΔx.第三章导数及其应用 §3.1 变化率与导数 3．1.1 变化率问题 3．1.2 导数的概念答案知识梳理1．f x 2－f x 1x 2－x 1 lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx2．lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx 导数 f ′(x 0) y ′|x ＝x 0 lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx作业设计 1．A2．B [∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2×12＋1＝4Δx ＋2(Δx )2，∴Δy Δx ＝4Δx ＋2Δx 2Δx＝4＋2Δx .] 3．B [Δy Δx ＝f 3－f 13－1＝1－32＝－1.]4．A [lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0－f x 0－f x 0－ΔxΔx＝－lim Δx →0f x 0－f x 0－ΔxΔx＝－f ′(x 0)．]5．B [∵Δy Δx ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32Δx ＝－Δx －3，∴lim Δx →0Δy Δx＝－3.] 6．A [∵Δs Δt ＝s t 0＋Δt －s t 0Δt ＝12a Δt ＋at 0，∴lim Δt →0 Δs Δt ＝at 0.] 7．0.41 8．1解析由平均变化率的几何意义知k ＝2－11－0＝1.9．4＋Δt 4解析在[1,1＋Δt ]内的平均加速度为Δv Δt ＝v 1＋Δt －v 1Δt＝Δt ＋4，t ＝1时的瞬时加速度是li m Δt →0 ΔvΔt ＝li m Δt →0(Δt ＋4)＝4. 10．解函数f (x )在[－3，－1]上的平均变化率为： f －1－f －3－1－－3＝[－12－2×－1]－[－32－2×－3]2＝－6.函数f (x )在[2,4]上的平均变化率为：f 4－f 24－2＝42－2×4－22－2×22＝4.11．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －11＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝－Δx1＋Δx ·1＋1＋Δx ，∴Δy Δx ＝－11＋Δx ·1＋1＋Δx ， ∴lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0－11＋Δx ·1＋1＋Δx ＝－11＋0·1＋1＋0＝－12，∴y ′|x ＝1＝f ′(1)＝－12.12．2解析由导数的定义，得 f ′(0) ＝lim Δx →0 f Δx －f 0Δx＝lim Δx →0 a Δx 2＋b Δx ＋c －c Δx＝lim Δx →0[a ·(Δx )＋b ]＝b . 又⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≤0a >0，∴ac ≥b 24，∴c >0.∴f 1f ′0＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2bb＝2.13．解运动方程为s ＝12at 2.因为Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2，所以Δs Δt ＝at 0＋12a Δt .所以0 Δv Δt＝li m Δt →0 Δs Δt ＝at 0. 由题意知，a ＝5×105 m/s 2，t 0＝1.6×10－3s ，所以at 0＝8×102＝800 (m/s)．即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.。

人教A版高中数学选修1-1课后习题 3.1 变化率与导数

第三章导数及其应用3.1 变化率与导数课后篇巩固提升1.已知函数y=f(x)=x2+1,则在x=2,Δx=0.1时,Δy的值为( )A.0.40B.0.41C.0.43D.0.44-f(x)=f(2+0.1)-f(2)=(2.1)2+1-(22+1)=0.41.2.已知函数f(x)=ax+3,若f'(1)=3,则a等于( )A.2B.-2C.3D.-3f'(x)=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δx=lim Δx→0a(x+Δx)+3-(ax+3)Δx=a,故f'(1)=a=3.3.设f(f(1)-f(1-x)2x=-1,则f'(1)为( )A.2B.-1C.1D.-2lim x→0f(1)-f(1-x)2x=1 2limx→0f(1)-f(1-x)1-(1-x)=12f'(1)=-1,所以f'(1)=-2,故选D.4.设曲线y=ax 2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a 等于( ) A.1 B.12C.-12D.-1y'|a (1+Δx )2-a×12Δx=(2a+aΔx)=2a, 所以2a=2,故a=1.5.已知函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程是x-2y+1=0,则f(1)+2f'(1)的值是( ) A.12B.1C.32D.2(1,f(1))在直线x-2y+1=0上,∴1-2f(1)+1=0,∴f(1)=1.又f'(1)=12,∴f(1)+2f'(1)=1+2×12=2.6.质点A 做直线运动,已知其位移与时间的关系是s(t)=3t 2,则在t 0=2时的瞬时速度为 .,t0=2时的瞬时速度即为s'(2),根据导数的定义,ΔsΔt=s(2+Δt)-s(2)Δt=12+3Δt,所以,s'(2)=limΔt→0ΔsΔt=limΔt→0(12+3Δt)=12.7.已知函数f(x)=2x-3,则f'(5)= .Δy=f(5+Δx)-f(5)=[2(5+Δx)-3]-(2×5-3)=2ΔΔyΔx=2.8.已知f(x)=x2+ax,f'(1)=4,则曲线f(x)在f(x+Δx)-f(x)Δx=lim Δx→0[(x+Δx)2+a(x+Δx)]-(x2+ax)Δx=2x+a,f'(1)=2+a=4,得a=2.故f(1)=1+a=3,所以曲线f(x)在x=1处的切线方程为y-3=4(x-1),即4x-y-1=0.9.利用导数的定义求函数f(x)=√x+2在x=2处的导数.√(2+Δx)+2−√2+2=√4+Δx-2,Δy Δx =√4+Δx-2Δx=√4+Δx-√4+Δx+2Δx(√4+Δx+2)=√4+Δx+2,∴f'(2)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0√4+Δx+2=14.10.求曲线f(x)=1x和g(x)=x 2在交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积.{y =1x ,y =x 2,得曲线的交点是A(1,1). 对曲线f(Δy Δx=−1x (x+Δx )=-1x2.曲线y=1x在点A 处的切线斜率k 1=f'(1)=-1,切线方程是l 1:y=-(x+Δx )2-x 2Δx=lim Δx →0(2x+Δx)=2x.曲线y=x 2在点A 处的切线斜率k 2=g'(1)=2,切线方程是l 2:y=2x-1. 又l 1,l 2与x 轴的交点坐标分别为(2,0),(12,0).所以它们与x 轴所围成的三角形的面积 S=12×(2-12)×1=34.。