2017-2018学年高中数学考点17解三角形应用举例(含2017年试题)

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2018届高考数学(理)热点题型：三角函数与解三角形(含答案)

三角函数与解三角形热点一三角函数的图象和性质注意对基本三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y ＝Asin (ωx＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解.【例1】已知函数f(x)＝sin x －23sin 2x 2. (1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值. (1)解因为f(x)＝sin x ＋3cos x － 3.＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－ 3. 所以f(x)的最小正周期为2π.(2)解因为0≤x≤2π3，所以π3≤x ＋π3≤π. 当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f(x)取得最小值. 所以f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－ 3. 【类题通法】求函数y ＝Asin (ωx＋φ)＋B 周期与最值的模板第一步：三角函数式的化简，一般化成y ＝Asin (ωx＋φ)＋h 或y ＝Acos (ωx＋φ)＋h 的形式；第二步：由T ＝2π|ω|求最小正周期；第三步：确定f(x)的单调性；第四步：确定各单调区间端点处的函数值；第五步：明确规范地表达结论.【对点训练】设函数f(x)＝32－3sin 2ωx －sin ωxcos ωx (ω＞0)，且y ＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4. (1)求ω的值； (2)求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值. 解 (1)f(x)＝32－3sin 2ωx －sin ωxcos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx－π3. 因为y ＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，故该函数的周期T ＝4×π4＝π.又ω＞0，所以2π2ω＝π，因此ω＝1. (2)由(1)知f(x)＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 设t ＝2x －π3，则函数f(x)可转化为y ＝－sin t. 当π≤x ≤3π2时，5π3≤t ＝2x －π3≤ 8π3，如图所示，作出函数y ＝sin t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，8π3 上的图象，由图象可知，当t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，8π3时，sin t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，故－1≤－sin t ≤32，因此－1≤f(x)＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤32. 故f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 热点二解三角形高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主.其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题.【例2】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cos Aa＋cos Bb＝sin Cc.(1)证明：sin Asin B＝sin C；(2)若b2＋c2－a2＝65bc，求tan B.(1)证明在△ABC中，根据正弦定理，可设asin A＝bsin B＝csin C＝k(k>0).则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C.代入cos Aa＋cos Bb＝sin Cc中，有cos Aksin A＋cos Bksin B＝sin Cksin C，变形可得sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B). 在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，所以sin Asin B＝sin C.(2)解由已知，b2＋c2－a2＝65bc，根据余弦定理，有cos A＝b2＋c2－a22bc＝35.所以sin A＝1－cos2A＝45 .由(1)知，sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，所以45sin B＝45cos B＋35sin B，故tan B＝sin Bcos B＝4.【类题通法】(1)①在等式中既有边长又有角的正余弦时，往往先联想正弦定理；②出现含有边长的平方及两边之积的等式，往往想到应用余弦定理.(2)正余弦定理与两角和(差)角公式的活用是求解该类问题的关键.【对点训练】四边形ABCD的内角A与C互补，且AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.(1)求角C的大小和线段BD的长度；(2)求四边形ABCD的面积.解(1)设BD＝x，在△ABD中，由余弦定理，得cos A＝1＋4－x2 2×2×1，在△BCD中，由余弦定理，得cos C＝9＋4－x2 2×2×3，∵A＋C＝π，∴cos A＋cos C＝0.联立上式，解得x＝7，cos C＝1 2 .由于C∈(0，π).∴C＝π3，BD＝7.(2)∵A＋C＝π，C＝π3，∴sin A＝sin C＝32.又四边形ABCD的面积SABCD ＝S△ABD＋S△BCD＝12AB·ADsin A＋12CB·CDsin C＝32×(1＋3)＝23，∴四边形ABCD的面积为2 3.热点三三角函数与平面向量结合三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题.【例3】已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m＝(cos B，cos C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，求a＋c的范围.解(1)∵m＝(cos B，cos C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n，∴(2a ＋c)cos B ＋bcos C ＝0，∴cos B(2sin A ＋sin C)＋sin Bcos C ＝0，∴2cos Bsin A ＋cos Bsin C ＋sin Bcos C ＝0.即2cos Bsin A ＝－sin(B ＋C)＝－sin A.∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0，∴cos B ＝－12. ∵0＜B ＜π，∴B ＝2π3. (2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2accos 23π＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c)2－ac≥(a＋c)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝34(a ＋c)2，当且仅当a ＝c 时取等号.∴(a ＋c)2≤4，故a ＋c≤2.又a ＋c>b ＝3，∴a ＋c∈(3，2].即a ＋c 的取值范围是(3，2].【类题通法】向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.【对点训练】已知向量a ＝(m ，cos 2x)，b ＝(sin 2x ，n)，函数f(x)＝a·b，且y ＝f(x)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g(x)的图象，若y ＝g(x)图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g(x)的单调递增区间. 解 (1)由题意知f(x)＝a·b＝msin 2x ＋ncos 2x.因为y ＝f(x)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝msin π6＋ncos π6，－2＝msin 4π3＋ncos 4π3，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1. (2)由(1)知f(x)＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 由题意知g(x)＝f(x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6. 设y ＝g(x)的图象上符合题意的最高点为(x 0，2)，由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2).将其代入y ＝g(x)得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2φ＋π6＝1，因为0<φ<π，所以φ＝π6，因此g(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x. 由2kπ－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z. 所以函数y ＝g(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z.。

2017高考理科解三角形试题预测及高真题(含答案解析)

4 3.【2014 高考北京理第 15 题】如图，在 ABC 中， B , AB 8 ，点 D 在 BC 边上，且 CD 2 ，
3 cos ADC 1 .
7 （1）求 sin BAD ；
（2）求 BD ， AC 的长.
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4.【2014 高考湖南理第 18 题】如图 5,在平面四边形 ABCD 中, AD 1, CD 2, AC 7 . (1)求 cos CAD 的值;
（5）解三角形的常用途径： ①化边为角；②化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．
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考点交汇展示： (1)与三角函数的图像与性质的交汇
【2015
高考山东，理
16】设
f
x
sin
x
cos
x
cos2
x
4
.
（Ⅰ）求 f x 的单调区间；
（Ⅱ）在锐角 ABC 中，角
A,
B, C
2 b(sin A sin B) (c b) sin C ，则 ABC面积的最大值为____________．
2.【2014 高考安徽卷第 16 题】（本小题满分 12 分）设 ABC 的内角 A, B,C 所对边的长分别是 a,b, c ，且
b 3,c 1, A 2B.
（1）求 a 的值；（2）求 sin( A ) 的值.
_______________（结果用反三角函数值表示）.
5.在△ABC 中，a＝ 2 3 ，b＝ 2 2 ，B＝45°，则 A 等于（
）
A．30°
B．60°
C．60°或 120° D． 30°或 150°
二、利用正余弦定理判断三角形形状
1.【2014 全国 1 高考理第 16 题】已知 a,b, c 分别为 ABC三个内角 A, B,C 的对边， a 2 ，且

2017_2018学年高考数学大题精做03三角函数与解三角形的综合问题含解析文新人教A版

精做03 三角函数与解三角形的综合问题1．在△ΑΒC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、.已知3cos()16cos cos --=B C B C .（1）求cos A ；（2）若3=a ，△ΑΒC 的面积为22，求、. 【答案】（1）13；（2）2,3==b c 或3,2==b c .由面积公式得1sin 222=bc A ，则6=bc ①. 由余弦定理得2222291cos 2123+-+-===b c a b c A bc ，则2213+=b c ②. 联立①②，可得2,3==b c 或3,2==b c .2．设△ΑΒC 的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，，且12cos =+bcC b a ．（1）求角A 的大小；（2）若1=a ，求△ΑΒC 的周长的取值范围．【答案】（1）π3；（2）(23]，.【解析】（1）由已知得1cos 2a C c b +=，即1sin cos sin sin 2A C CB +=，又sin sin()sin cos cos sin B AC A C A C =+=+，1sin cos sin 2C A C =∴． 1sin 0cos 2C A ≠=∵，∴．又(0π)A ∈∵，，π3A =∴．（2）由正弦定理得sin 22sin sin sin 33a Bb Bc C A ===，，π1sin 162B ⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦∴，．故△ΑΒC 的周长的取值范围是(23]，．3．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos c A a C =. （1）求角C 的大小；（2π3cos()4A B -+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．【答案】（1）π4；（2）最大值为2，此时π5π,.312A B ==【解析】（1）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C = 因为0π,A <<所以sin 0.A >从而sin cos .C C =又cos 0,C ≠所以tan 1,C =则π4C =. （2）由（1）知3π.4B A =- 于是π3sin cos()3sin cos(π)4A B A A -+=--π3sin cos 2sin().6A A A =+=+3π0,4A <<ππ11π,6612A ∴<+< 从而当ππ,62A +=即π3A =时，π2sin()6A +取最大值2．综上所述，π3sin cos()4A B -+的最大值为2，此时π5π,.312A B ==4．已知c b a ,,分别是△ΑΒC 的三个内角C B A ,,所对的边，且满足A c C a b cos cos )2(⋅=⋅-.（1）求角C 的大小；（2）设)sin(22sin342B C Ay -+-=，求y 的最大值并判断当y 取得最大值时△ΑΒC 的形状. 【答案】（1）3π；（2）最大值为322-，此时△ΑΒC 为直角三角形..（2）)sin(22sin342B C Ay -+-= 23(1cos )2sin()3π=--+-A AA A A cos 3sin )cos 1(32-+--= 32cos 3sin -+=A A2sin 233（）π=+-A ，由2(0,)3π∈A 得，当6π=A 时，y 取得最大值322-，此时△ΑΒC 为直角三角形. 5．在ABC △中，，，分别是角A ，B ，C 的对边，且()3cos cos tan tan 11A C A C ⋅⋅⋅-=. （1）求5πsin 26B ⎛⎫-⎪⎝⎭的值；（2）若332a c +=，3b =，求ABC △的面积. 【答案】（1）746- ；（2）152.（2）由余弦定理得()22222cos 22cos b a c ac B a c ac ac B =+-⋅=+--⋅，∵332a c +=，3b =， ∴27132243ac ac =--⨯，即4532ac =，6，函数()f x的图象关于直线=πx对称.（1）求函数()f x的最小正周期；（2）在△ΑΒC中，角,,A B C的对边分别为,,a b c，求△ΑΒC面积的最大值.【答案】（1（2【解析】（1（2）()15sin ,236f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭311sin ,5264f A A π⎛⎫⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，50,,666A A πππ<<π∴-<-<,,663A A ∴-== 221,12a b c bc bc bc bc =∴=+-≥-=，即1,bc ≤当且仅当b c 时等号成立.133sin 244ABC S bc A bc ∴==≤△， △∴ABC 面积的最大值为34.7．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知21sin sin sin 24B C B C -+=．（1）求角A 的大小；（2）若7a =，ABC △的面积为32，求b c +的值．【答案】（1）2π3A =；（2）3. 【解析】（1）由已知得()1cos 1sin sin 24B C B C --+=，所以b ＋c ＝3．8．在△ΑΒC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＋b 22=c 2.（1）求C ；（2）设cos A cos B 322cos()cos()2cos A B ααα++=tan α的值．【答案】（1）3π4；（2）1或4. 【解析】（1）因为a 2＋b 22=c 2，所以由余弦定理有cos C =222222a b c ab ab +--==，故3π4C =.因为3π4C =，所以A ＋B =π4，所以sin(A ＋B )=2. 因为cos(A ＋B )=cos A cos B −sin A sin B ，即325－sin A sin B =22，则sin A sin B =32225210-=. 代入①得tan 2α−5tan α＋4=0，解得tan α=1或tan α=4. 9．设()2sin cos cos 4π⎛⎫=-+⎪⎝⎭f x x x x . （1）求()f x 的单调区间；（2）在锐角△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求△ABC 面积的最大值. 【答案】（1）(),44ππ⎡⎤-+π+π∈⎢⎥⎣⎦k k k Z （2）234+.【解析】（1）由题意知()1cos2sin2222π⎛⎫++⎪⎝⎭=-xxf xsin21sin21sin2222x xx-=-=-.由222,22ππ-+π≤≤+π∈k x k k Z，可得,44ππ-+π≤≤+π∈k x k k Z；由3222,22ππ+π≤≤+π∈k x k k Z，可得3,44ππ+π≤≤+π∈k x k k Z.所以函数()f x的单调递增区间是(),44ππ⎡⎤-+π+π∈⎢⎥⎣⎦k k k Z；所以△ABC23+10．在△ΑΒC中，内角A B C，，的对边分别为a b c，，，已知()()3sin cos3sin cosB BC C--=4cos cosB C.（1）求角A的大小；（2）若sin sin B p C =,且△ΑΒC 是锐角三角形，求实数p 的取值范围．【答案】（1）3π；（2）1(,2)2.∴实数p 的取值范围是1(,2)2.11．在△ΑΒC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos cos a B b A =.（1）判断△ΑΒC 的形状；（2）求sin cos 6π⎛⎫++⎪⎝⎭B A 的取值范围. 【答案】（1）等腰三角形；（2）1,12⎛⎤⎥⎝⎦. 【解析】（1）由cos cos a B b A =及正弦定理，得sin cos sin cos A B B A =，即()sin 0A B -=.在△ΑΒC 中，有-π<-<πA B ，所以0A B -=，即A B =. 所以△ΑΒC 是等腰三角形. （2）由（1）知A B =, 则3113sin cos sin cos sin sin cos sin 622223⎛⎫ππ⎛⎫⎛⎫++=+-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B A A A A A A A ，因为A B =，所以02π<<A ，则5336πππ<+<A ，所以1sin 123π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭A ，于是sin cos 6π⎛⎫++ ⎪⎝⎭B A 的取值范围是1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦. 12．已知函数()3sin 2cos2f x x x ωω=-的图象关于直线π3x =对称，其中ω∈15()22-，. （1）求函数f (x )的解析式；（2）在ABC △中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，锐角B 满足π25()212B f +=，b =2，求ABC △面积的最大值．【答案】（1）f (x )＝2sin π(2)6x -；（2）5.（2）由（1）知π25()2sin 2123B f B +==，所以sin B =53，因为B 为锐角，所以0＜B ＜π2，所以2cos 3B =，因为222cos 2a c b B ac+-=，所以222223a c b ac +-=，所以2242223ac a c ac =+-≥-，所以ac ≤3，当且仅当a =c =3时，ac 取到最大值3，所以ABC △面积的最大值为12ac sin B =12×3×53=52.13．（2017·天津卷文）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知sin 4sin a A b B =，2225()ac a b c =--．（1）求cos A 的值；（2）求sin(2)B A -的值．【答案】（1）55-；（2）255-．于是4sin 22sin cos 5B B B ==，23cos 212sin 5B B =-=，故4532525sin(2)sin 2cos cos 2sin (55B A B A B A -=-=⨯-=．【名师点睛】（1）利用正弦定理进行“边转角”可寻求角的关系，利用“角转边”可寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系可求角，利用两角和差的三角公式及二倍角公式可求三角函数值．（2）利用正、余弦定理解三角形是高考的高频考点，常与三角形内角和定理、三角形面积公式等相结合，利用正、余弦定理进行解题．14．（2016·浙江卷文）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b +c =2a cos B .（1）证明：A =2B ；（2）若cos B =23，求cos C 的值．【答案】（1）证明详见解析；（2）22cos 27C =.故1cos 9A =-，45sin 9A = 22cos cos()cos cos sin sin 27C AB A B A B =-+=-+=. 【思路点睛】（1）用正弦定理将边转化为角，进而用两角和的正弦公式转化为含有Α，Β的式子，根据角的范围可证2ΑΒ=；（2）先用同角三角函数的基本关系及二倍角公式可得cos 2Β，进而可得cos Α和sin Α，再用两角和的余弦公式可得cos C ．15．（2016·天津卷文）在ABC △中，内角C B A ,,所对的边分别为a ,b ,c ，已知sin 23sin a B b A =.（1）求B ；（2）若1cos 3A =，求sin C 的值.【答案】（1）π6B =；（2. 【解析】（1）在ABC △中，由B b A a sin sin =，可得A b B a sin sin =，又由A b B a sin 32sin =，得B a A b B B a sin 3sin 3cos sin 2==，所以23cos =B ，得π6B =；（2）由31cos =A ，可得322sin =A ，则sin sin[()]sin()C A B A B =π-+=+πsin()6A =+6162cos 21sin 23+=+=A A . 【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数基本关系、两角和与差的公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证.。

全国版2017版高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.7应用举例课件理

2.(必修5P24复习参考题A组T5改编)如图, 从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C 的俯角分别为67°,30°,此时气球的高度是46m,则河流的宽度BC约等于 m.(用四舍五
入法将结果精确到个位.参考数据:sin67°≈0.92,
cos67°≈0.39,sin37°≈0.60,cos 37°≈0.80,
能到达的电视塔的高度,选择甲、乙两观
测点.在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°,30°,在水平面上测得电视塔与甲
地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°,甲、乙两
地相距500m,则电视塔的高度是 ( )
A.100
m
B.400m
C.200
m
D.500m
2
3
【解析】选D.设塔高为xm,则由已知可得BC=xm,BD= xm,由余弦定理可得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD,
需要测量的元素
∠ACB=α BC=a ∠ACB=α ∠ADB=β CD=a
解法解直角三角形 AB=atanα 解两个直角三角形
AB=
atantan tan tan
求AB 山两求侧水平距离河两岸
图形
需要测量的元素 ∠ACB=α AC=b BC=a ∠ACB=α ∠ABC=β CB=a
≈1.73)
3
【解析】记气球的高度为AD,交CB延长线于D,
在Rt△ACD中,AC=92m,在△ABC中,
BC=
92 答案 0.92 :60
AC 〓 0.60=60(m). sin ABC
·sin∠BAC=
92 sin 67
·sin37°≈
感悟考题
试一试
3.(2016·西安模拟)如图,要测量底部不

【课标通用】2018届高考数学(理)一轮课件：17-解三角形(含答案)

【解】 (1)由已知可得 tan A=- 3,所以 A= . 在△ABC 中,由余弦定理得 28=4+c
2
2
即 c2+2c-24=0.解得 c=-6(舍去),c=4. π (2)由题设可得∠CAD= , 所以∠BAD=∠BAC-∠CAD= . 故△ABD 面积与△ACD
1 2 π 6
2π -4ccos , 3
2π 3
1 π �� · �� · sin 6 面积的比值为2 1 =1. �� 2��·
又△ABC 的面积为 × 4× 2sin∠BAC=2 3, 所以△ABD 的面积为 3.
考点37
考点38
考点39
试做真题
高手必备萃取高招对点精练
【答案】 1
1 2 π 6
1 2
π 6
.
5π 6 5π B= , 6 �� π,解得 sin6
【解析】由 sin B= 解得 B= 或 B= . 根据三角形内角和定理,舍去所以 B= ,A= .
�� 根据正弦定理 sin�� π 6 2π 3
=
�� 3 ,得 2 π sin�� sin
sin�� sin��
2 2 1 1 (1)S△ABD= AB· ADsin∠BAD,S△ADC= AC· ADsin∠CAD. 2 2
=
��
= .
1 2
考点37
考点38
考点39
试做真题
高手必备萃取高招对点精练
正弦、余弦定理
定理正弦定理

2017-2018学年高中数学学业水平测试课件：专题十解三角形第36讲解三角形的综合应用

解析：(1)由题意知，在△PMN 中，PM＝68 海里，∠ MPN＝75°＋45°＝120°，∠MNP＝45°.
MN 68 由正弦定理，得＝，解得 MN＝34 6海 sin 120° sin 45° 34 6 17 6 里，故这只船航行的速度为＝海里/小时． 4 2 (2)在△PAB 中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60， sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 2 3 2 1 6－ 2 30°＝ × － × ＝， 2 2 2 2 4
△ADC 的周长的最大值为 8＋4 3. 答案：8＋4 3
剖析：三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题．
1．在相距 2 km 的 A，B 两点处测量目标点 C，若 ∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则 A，C 两点之间的距离为( ) A. 6 km C. 3 km B. 2 km D．2 km
解析：如图，在△ABC 中，由已知可得∠ACB＝45°， AC 2 3 ∴ ＝，∴AC＝2 2× ＝ 6. 2 sin 60° sin 45°
答案：A
2．一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40°的方向直线航行，30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70°，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65°，那么 B，C 两点间的距离是( A．10 2 海里 C．20 3 海里 )
2
x2－25 3 3 . 25 42 9 －＋ 25 x 5
＝
3 3 ＝ 40 625 1－ x ＋ 2 x

2017_2018学年高考数学大题精做04解三角形的实际应用(含解析)文新人教A版

精做04 解三角形的实际应用1．如图，港口A 北偏东30°方向的C 处有一检查站，港口正东方向的B 处有一轮船，距离检查站31海里，该轮船从B 处沿正西方向航行20海里后到达D 处观测站，已知观测站与检查站距离21海里，问此时轮船离港口A 还有多远？【答案】15海里.代入并计算得15=AD ，即此时轮船距港口A 还有15海里．2．如图，一山顶有一信号塔CD （CD 所在的直线与地平面垂直），在山脚A 处测得塔尖C 的仰角为α，沿倾斜角为的山坡向上前进米后到达B 处，测得C 的仰角为β.AE DCBαβθ（1）求BC 的长；（2）若24,45,75,30l αβθ====，求信号塔CD 的高度.【答案】（1）sin()sin()l --αθβα；（2）2483-.【名师点睛】解三角形应用题的一般步骤：（1）读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系．（2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型．（3）选择正弦定理或余弦定理求解．（4）将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．3．如图，有一段河流，河的一侧是以O 为圆心，半径为103米的扇形区域OCD ，河的另一侧是一段笔直的河岸l ，岸边有一烟囱AB （不计B 离河岸的距离），且OB 的连线恰好与河岸l 垂直，设OB 与圆弧CD 的交点为E ．经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C ，点O 和点E 处测得烟囱AB 的仰角分别为45︒，30︒和60︒．（1）求烟囱AB 的高度；（2）如果要在CE 间修一条直路，求CE 的长．【答案】（1）15米；（2）10米．答：CE 的长为10米．4．如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，他在西江南岸找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C .并测量得到数据：90ACD ∠=，60ADC ∠=，30ACB ∠=，105BCE ∠=，45,CEB ∠=DC =CE =2（百米）．（1）求CDE △的面积；（2）求A ，B 之间的距离．【答案】（1）2平方百米；（2）2532-百米.【解析】（1）连接DE ，在CDE △中，=3609030105=135DCE ∠---，则112sin 222222CDE S DC CE DCE =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△（平方百米）.则235221220-=-=AB （百米）.5．为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，,,A B C 三地位于同一水平面上，这种仪器在C 地进行弹射实验，观测点,A B 两地相距100米，60BAC ∠=，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚217秒，在A 地测得该仪器至最高点H 处的仰角为30.（1）求,A C 两地的距离；（2）求这种仪器的垂直弹射高度HC （已知声音的传播速度为340米/秒）. 【答案】（1）420米；（2）1403米．【解析】（1）设BC x =，由条件可知23404017AC x x =+⨯=+，在△ABC 中，由余弦定理，可得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⨯∠，即2221100(40)2100(40)2x x x =++-⨯⨯+⨯，解得380x =. 所以38040420AC =+=（米）. 故,A C 两地的距离为420米．（2）在ACH △中，420AC =米，30,903060HAC AHC ∠=︒∠=︒-︒=︒，由正弦定理，可得sin sin AC HC AHC HAC =∠∠，即420sin 60sin 30HC=︒︒，所以14202140332HC ⨯==（米），故这种仪器的垂直弹射高度为1403米．6．海岛B 上有一座高为10米的塔，塔顶的一个观测站A ，上午11时测得一游船位于岛北偏东15°方向上，且俯角为30°的C 处，一分钟后测得该游船位于岛北偏西75°方向上，且俯角45°的D 处（假设游船匀速行驶）.（1）求该船行驶的速度（单位：米/分钟）；（2）又经过一段时间后，游船到达海岛B 的正西方向E 处，问此时游船距离海岛B 多远. 【答案】（1）20米/分钟；（2）65米.故又经过一段时间后，游船到达海岛B 的正西方向E 处，此时游船距离海岛65米. 7．如图，某城市有一条公路从正西方AO 通过市中心O 后转向东偏北α角方向的OB ．位于该市的某大学M 与市中心O 的距离313km OM =，且AOM ∠=β．现要修筑一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段，且经过大学M ．其中tan 2=α，3cos 13=β，15km AO =．（1）求大学M 与站A 的距离AM ；（2）求铁路AB 段的长．【答案】（1）62km ;（2）302km .【解析】（1）在AOM △中，15AO =，AOM β∠=且3cos 13=β，313OM = 由余弦定理得，2222cos AM OA OM OA OM AOM =+-⋅⋅∠223(313)1523131513=+-⨯⨯⨯ 13915152315372.=⨯+⨯-⨯⨯⨯=62AM ∴=，即大学M 与站A 的距离AM 为62km ；（2）3cos 13=β，且β为锐角， 2sin 13∴=β，在AOM △中，由正弦定理得，sin sin AM OM MAO=∠β,即623132sin 13MAO =∠，2sin 2MAO ∴∠=， π4MAO ∴∠=，π4ABO ∴∠=-α， tan 2=α，2sin 5∴=α，1cos 5=α， π1sin sin()410ABO ∴∠=-=α，又πAOB ∠=-α，2sin sin(π)5AOB ∴∠=-=α，在AOB △中，15AO =，由正弦定理得，sin sin AB AOAOB ABO=∠∠，即1521510AB =， 302AB ∴=，即铁路AB 段的长为302km ．8．如图所示，PAQ ∠是某海湾旅游区的一角，其中120PAQ ∠=，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸AP 和AQ 上分别修建观光长廊AB 和AC ，其中AB 是宽长廊，造价是800元/米，AC 是窄长廊，造价是400元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段BC 上靠近点B 的三等分点D 处建一个观光平台，并建水上直线通道AD （平台大小忽略不计），水上通道的造价是1000元/米．（1）若规划在三角形ABC 区域内开发水上游乐项目，要求ABC △的面积最大，那么AB 和AC 的长度分别为多少米？（2）在（1）的条件下，建直线通道AD 还需要多少钱？【答案】（1）AB 和AC 的长度分别为750米和1500米;（2）50万元.（2）解法一：在（1）的条件下，750m,1500m AB AC ==．由2133AD AB AC =+得222133AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22441999AB AB AC AC =+⋅+224411750750150015009929⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯-+⨯ ⎪⎝⎭ 250000=. 所以500AD =，所以1000500500000⨯=元，即建水上通道AD 还需要50万元．解法二：在ABC △中，222cos120BC AB AC AB AC =+-⋅22750150027501500cos120=+-⨯⨯7507= 在ABC △中，222cos 2AB BC AC B AB BC +-=⋅2227507507150027507507+-⨯⨯27=所以()250,2503D . 所以()()22250025030AD =-+- 500=.所以1000500500000⨯=元，即建水上通道AD 还需要50万元．9．（2014·上海卷理）如图，某公司要在AB 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米.设点AB 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为βα和.（1）设计中CD 是铅垂方向，若要求βα2≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差.现在实测得，，45.1812.38==βα求CD 的长（结果精确到0.01米）.【答案】（1）28.28米；（2）26.93米．【解析】（1）∵2αβ≥，且022βαπ<≤<， tan tan 20αβ∴≥>，即24003516400CDCD CD ≥>-，10．（2013·江苏卷）如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min ，在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35. （1）求索道AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【答案】（1）1 040 m ；（2）3537；（3）1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）在ABC △中，因为cos A =1213，cos C =35，所以sin A =513，sin C =45. 从而sin B =sin[π－(A ＋C )]=sin(A ＋C )=sin A cos C ＋cos A sin C =531246313513565⨯+⨯=. 由正弦定理sin sin AB AC C B =，得12604sin =1040(m)63sin 565AC AB C B =⨯=⨯．所以索道AB 的长为1 040 m.设乙步行的速度为v m/min ，由题意得5007103350v -≤-≤，解得12506254314v ≤≤，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦(单位：m/min)范围内．。

2017年高考数学—三角函数(解答+答案)

2017年高考数学—三角函数（解答+答案）1.（17全国1理17．（12分））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin sin B C ;（2）若6cos cos 1,3B C a ==，求△ABC 的周长.2.（17全国2理17.（12分））ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，已知2sin()8sin 2B AC +=，（1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求b ．3.（17全国3理17．（12分））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin 0,2A A a b +===（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．4.（17北京理（15）（本小题13分））在ABC ∆中，360,7A c a ∠==o（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）若7a =，求ABC ∆的面积.已知函数())2sin cos 3f x x x x π=--（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求证：当[,]44x ππ∈-时，1()2f x ≥-6.（17山东理16）设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<.已知()06f π=. （Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值.7.（17山东文（17）（本小题满分12分））在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=3，6AB AC =-u u r u u u rg ,3ABC S ∆=，求A 和a 。

8.（17天津理15.（本小题满分13分））在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =. （Ⅰ）求b 和sin A 的值；（Ⅱ）求πsin(2)4A +的值.在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，2225()ac a b c =--.（I ）求cos A 的值；（II ）求sin(2)B A -的值.10.（17浙江18．（本题满分14分））已知函数22()sin cos 23sin cos ()f x x x x x x R =--∈（Ⅰ）求2()3f π的值. （Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.11.（17江苏16. （本小题满分14分））已知向量(cos ,sin ),(3,3),[0,]a x x b x π==-∈. （1）若//a b ，求x 的值；（2）记,求()f x 的最大值和最小值以及对应x 的值参考答案：1.解：（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin ac B A=由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =故2sin sin 3B C =。

高考数学专题—解三角形

高考数学专题——解三角形一、基本知识要求正弦定理：asin A =bsin B=Csin C=2R（边角互化常用公式)余弦定理变形式：cos A=b2+c2−a22bccos B=a2+c2−b22accos C=a2+b2−c2三角形面积公式：S=12ab sin C=12ac sin B=12bc sin A二、常考题型要求常考题型：共5种大题型（包含最值问题，取值范围问题，弦切问题，数形结合问题，探究性问题）（1）求周长、面积最值：第一种为对称结构最值问题，例如面积、周长等；第二种为非对称结构问题例如求a+2b的最值问题等。

对称结构最值：常用均值不等式解决。

例1、【2020年高考全国II卷理数】中，sin2A－sin2B－sin2C= sin B sin C．（1）求A；（2）若BC=3，求周长的最大值．【解析】（1）由正弦定理和已知条件得，①由余弦定理得，②由①，②得.因为，所以.（2）由正弦定理及（1）得，从而，.故.又，所以当时，周长取得最大值.例2、【2020·广东省高三其他（理）】在中，已知内角所对的边分别为，向量，向量，且，角为锐角.（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值.【解析】（1）解法一：由得，即，所以，为锐角，，，即解法二：由得，即所以即，，即为锐角，所以.（2）解法一：，由余弦定理，得又代入上式得，当且仅当时取等号成立.，故的面积最大值为.解法二：，由正弦定理，得，所以，，由.因为，则当即时，，故的面积最大值为.例3、【2013·全国2·理T17】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csinB.(1)求B;(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.【解析】(1)由已知及正弦定理得sin A=sin Bcos C+sin Csin B. ①又A=π-(B+C),故sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C. ②由①②和C ∈(0,π)得sin B=cos B, 又B ∈(0,π),所以B=π4.(2)△ABC 的面积S=12acsin B=√24ac.由已知及余弦定理得4=a 2+c 2-2accos π4.又a 2+c 2≥2ac,故ac ≤2−√2,当且仅当a=c 时,等号成立.因此△ABC 面积的最大值为√2+1.非对称结构下的最值例4、【2016·北京,理15】在△ABC 中,a 2+c 2=b 2+ac.(1)求B 的大小; (2)求cos A+cos C 的最大值.【解析】(1)由余弦定理及题设得cos B=a 2+c 2−b 22ac=√2ac2ac=√22又因为0<B<π,所以B=π4.(2)由(1)知A+C=3π4.√2cos A+cos C=√2cos A+cos (34π−A) =√2cos A-√22cos A+√22sin A=√22cos A+√22sin A=cos (A −π4).因为0<A<3π4,所以当A=π4时,√2cos A+cos C 取得最大值1.例5、【2011·全国·理T16】在△ABC 中,B=60°,AC=,则AB+2BC 的最大值为___________.【答案】2√7【解析】令AB=c,BC=a,则由正弦定理得a sin A =c sin C =AC sin 13=√3√32=2，则c=2sin C,a=2sinA,且A+C=120°, AB+2BC=c+2a=2sin C+4sin A=2sin C+4sin(120°-C)=2sin C+4（√32cos C +12sin C ）=4sin C+2√3cos C=2√7sin(C+φ)(tan φ=√32).故当C+φ=90°时,AB+2BC 取最大值2√7.（2）求边长、角度：此类问题较为简单，但一定要注意题中暗含条件。

2017年高考数学真题分类之三角函数

1. 【2017新课标【1】】【理】9.已知曲线1cos C y x =：，22πsin 23C yx ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭：，则下面结正确的是（）.A.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2C B.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C2. 【2017新课标【3】】【理】6.设函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（）. A ．()f x 的一个周期为2-πB ．()y f x =的图像关于直线83x π=对称 C ．()f x +π的一个零点为6x π=D ．()f x 在π,2⎛⎫π⎪⎝⎭单调递减 3. 【2017天津】【理】4.设θ∈R ，则“ππ1212θ-<”是“1sin 2θ<”的（）. A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4. 【2017天津】【理】7.设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若528f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，08f 11π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（）.A.23ω=，12ϕπ= B.23ω=，12ϕ11π=- C.13ω=，24ϕ11π=- D.13ω=，24ϕ7π= 5. 【2017江苏】5.若1tan =46απ⎛⎫-⎪⎝⎭，则tan α= . 6. 【2017北京】【理】12.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y轴对称.若1sin 3α=，()cos αβ-=___________. 7. 【2017新课标【2】】【理】14.函数()23sin 0,42f x x x x ⎛π⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是． 8. 【2017上海】11. 设1a 、2a ∈R ，且121122sin 2sin(2)αα+=++，则12|10|παα--的最小值等于9. 【2017浙江】18.已知函数()()22sin cos cos f x x x x x x =--∈R （1）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值（2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.10. 【2017江苏】16. 已知向量()cos ,sin x x =a ，(3,=b ，[]0,x ∈π. （1）若//a b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值11. 【2017山东】【理】16.设函数()sin sin 62f x x x ωωππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中03ω<<.已知06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求ω；（2）将函数()y f x =的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图像，求()g x 在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值.12. 【2017上海】18. 已知函数221()cos sin 2f x x x =-+，(0,)x π∈. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求△ABC 的面积.。

2017-2018学年高中数学人教B版必修5 模块复习精要复

复习课(一) 解三角形以求边或角的取值范围为主，以解三角形与三角函数的结合为命题热点，试题多以大题的形式出现，难度中等．[考点精要]解三角形的常见类型及方法(1)已知三边：先由余弦定理求出两个角，再由A ＋B ＋C ＝π，求第三个角．(2)已知两边及其中一边的对角：先用正弦定理求出另一边的对角，再由A ＋B ＋C ＝π，求第三个角，最后利用正弦定理或余弦定理求第三边．(3)已知两边及夹角：先用余弦定理求出第三边，然后再利用正弦定理或余弦定理求另两角．(4)已知两角及一边：先利用内角和求出第三个角，再利用正弦定理求另两边． [典例] 设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且有a ＝2b sin A . (1)求B 的大小；(2)若a ＝33，c ＝5，求b . [解] (1)由a ＝2b sin A ，根据正弦定理得sin A ＝2sin B sin A ，所以sin B ＝12，由于△ABC 是锐角三角形，所以B ＝π6.(2)根据余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝27＋25－45＝7，所以b ＝7. [类题通法]利用正、余弦定理来研究三角形问题时，一般要综合应用三角形的性质及三角函数关系式，正弦定理可以用来将边的比和对应角正弦值的比互化，而余弦定理多用来将余弦值转化为边的关系．[题组训练]1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sinB ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选A 由正弦定理可知c ＝23b ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，所以A ＝30°，故选A.2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932C.332D ．3 3解析：选C ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .② 由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B＝________.解析：依题意得，由正弦定理知：1sinπ6＝3sin B ，sin B ＝32，又0<B <π，b >a ，可得B ＝π3或2π3. 答案：π3或2π34．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)；(2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值．解：(1)证明：∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.由正弦定理得sin A＋sin C＝2sin B.∵sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，∴sin A＋sin C＝2sin(A＋C)．(2)∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.由余弦定理得cos B＝a2＋c2－b22ac＝a2＋c2－ac2ac≥2ac－ac2ac＝12，当且仅当a＝c时等号成立．∴cos B的最小值为1 2 .为选择题、解答题，难度中等．[考点精要]三角形中的常用结论(1)A＋B＝π－C，A＋B2＝π2－C2.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．[典例] 在△ABC中，a，b，c分别表示三个内角A，B，C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断该三角形的形状．[解] ∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，∴a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2a2cos A sin B＝2b2sin A cos B.法一：(化边为角)由正弦定理得2sin2A cos A sin B＝2sin2B sin A cos B，即sin 2A·sin A sin B＝sin 2B·sin A sin B.∵0<A<π，0<B<π，∴sin 2A＝sin 2B，∴2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．法二：(化角为边)2a2cos A sin B＝2b2cos B sin A，由正弦、余弦定理得a 2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a ·a 2＋c 2－b 22ac，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，即(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0. ∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． [类题通法]根据所给条件判断三角形的形状的途径(1)化边为角．(2)化角为边，转化的手段主要有： ①通过正弦定理实现边角转化； ②通过余弦定理实现边角转化； ③通过三角变换找出角之间的关系；④通过对三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性来确定三角形的形状．[题组训练]1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：选D ∵c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，∴由正弦定理得sin C －sinA cosB ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A－sin B cos A ，∴cos A (sin B －sin A )＝0，∴cos A ＝0或sin B ＝sin A ，∴A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)．故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．2．在△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且A ，B ，C 成等差数列，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选C ∵A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，即3B ＝π，解得B ＝π3.∵3b ＝23a sinB ，∴根据正弦定理得3sin B ＝23sin A sinB ．∵sin B ≠0，∴3＝23sin A ，即sin A＝32，即A ＝π3或2π3，当A ＝2π3时，A ＋B ＝π不满足条件．∴A ＝π3，C ＝π3.故A ＝B ＝C ，即△ABC 的形状为等边三角形．3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解：(1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴bc ＝－2bc cos A ，cos A ＝－12.又0<A <π，∴A ＝2π3. (2)由(1)知sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ， ∴sin 2A ＝(sinB ＋sinC )2－sin B sin C . 又sin B ＋sin C ＝1，且sin A ＝32，∴sin B sin C ＝14，因此sin B ＝sin C ＝12. 又B ，C ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，故B ＝C .所以△ABC 是等腰的钝角三角形.题以解答题为主，难度一般．[考点精要](1)仰角与俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的． (2)利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置． [典例] 如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值．[解] (1)依题意，∠BAC ＝120°，AB ＝12海里，AC ＝10×2＝20(海里)，∠BCA ＝α. 在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC ＝28海里．∴渔船甲的速度为BC2＝14(海里/小时)．(2)在△ABC 中，AB ＝12海里，∠BAC ＝120°，BC ＝28海里，∠BCA ＝α，由正弦定理，得ABsin α＝BCsin 120°.即sin α＝AB sin 120°BC＝12×3228＝3314.故sin α的值为33 14.[类题通法]应用解三角形知识解决实际问题的步骤(1)读题．分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)图解．根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)建模．将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)验证．检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．[题组训练]1.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，如图，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为( )A．10 2 m B．20 mC．20 3 m D．40 m解析：选D 设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝3x.在△BCD中，根据余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝40或x＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.2．北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10 6 m，则旗杆的高度为________m.解析：设旗杆高为h m，最后一排为点A，第一排为点B，旗杆顶端为点C，则BC＝hsin 60°＝233h.在△ABC 中，AB ＝106，∠CAB ＝45°，∠ABC ＝105°，所以∠ACB ＝30°，由正弦定理，得106sin 30°＝233h sin 45°，故h ＝30(m)．答案：303.某高速公路旁边B 处有一栋楼房，某人在距地面100米的32楼阳台A 处，用望远镜观测路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东15°方向上，且俯角为30°的C 处，10秒后测得该客车位于楼房北偏西75°方向上，且俯角为45°的D 处．(假设客车匀速行驶)(1)如果此高速路段限速80千米/小时，试问该客车是否超速？(2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向E 处，问此时客车距离楼房多远？解：(1)在Rt △ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝100米，则BC ＝1003米．在Rt △ABD 中，∠BAD ＝45°，AB ＝100米，则BD ＝100米．在△BCD 中，∠DBC ＝75°＋15°＝90°，则DC ＝BD 2＋BC 2＝200米，所以客车的速度v ＝CD10＝20米/秒＝72千米/小时，所以该客车没有超速．(2)在Rt △BCD 中，∠BCD ＝30°，又因为∠DBE ＝15°，所以∠CBE ＝105°，所以∠CEB ＝45°.在△BCE 中，由正弦定理可知EB sin 30°＝BCsin 45°，所以EB ＝BC sin 30°sin 45°＝506米，即此时客车距楼房506米．1．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝3，c ＝8，则其面积等于( ) A ．12B.212解析：选D 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋82－722×3×8＝12，所以sin A ＝32，则S △ABC＝12bc sin A ＝12×3×8×32＝6 3. 2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2A sin 2A 的值为( )A.19B.13C ．1D.72解析：选D 由正弦定理可得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2b 2－a 2a 2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2－a2a 2＝72. 3．在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝5，△ABC 的面积为4，若∠ABC ＝θ，则cos θ等于( ) A.35 B ．－35C ．±35D ．±45解析：选C ∵S △ABC ＝12AB ·BC sin ∠ABC ＝12×2×5×sin θ＝4.∴sin θ＝45.又θ∈(0，π)，∴cos θ＝±1－sin 2θ＝±35.4．某人从出发点A 向正东走x m 后到B ，向左转150°再向前走3 m 到C ，测得△ABC 的面积为334m 2，则此人这时离开出发点的距离为( )A ．3 m B. 2 m C ．2 3 mD. 3 m解析：选D 在△ABC 中，S ＝12AB ×BC sin B ，∴334＝12×x ×3×sin 30°，∴x ＝ 3. 由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos B ＝3＋9－9＝3(m)． 5．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝32，则边BC 的边长为( ) A. 3B ．3解析：选 A ∵S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝32，∴AC ＝1，由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3，即BC ＝ 3.6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选B ∵b cos C ＋c cos B ＝b ·b 2＋a 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac ＝b 2＋a 2－c 2＋c 2＋a 2－b 22a＝2a22a＝a ＝a sin A ， ∴sin A ＝1.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π2，即△ABC 是直角三角形．7．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 的形状为____________．解析：由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即ac ＝a 2＋c 2－ac ，∴(a －c )2＝0，∴a ＝c .又∵B ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．答案：等边三角形8．在△ABC 中，a ＝b ＋2，b ＝c ＋2，又知最大角的正弦等于32，则三边长为________．解析：由题意知a 边最大，sin A ＝32，∴A ＝120°， ∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .∴a 2＝(a －2)2＋(a －4)2＋(a －2)(a －4)． ∴a 2－9a ＋14＝0，解得a ＝2(舍去)或a ＝7. ∴b ＝a －2＝5，c ＝b －2＝3. 答案：a ＝7，b ＝5，c ＝39．已知三角形ABC 的三边为a ，b ，c 和面积S ＝a 2－(b －c )2，则cos A ＝________. 解析：由已知得S ＝a 2－(b －c )2＝a 2－b 2－c 2＋2bc ＝－2bc cos A ＋2bc . 又S ＝12bc sin A ，∴12bc sin A ＝2bc －2bc cos A .∴4－4cos A ＝sin A ，平方得17cos 2A －32cos A ＋15＝0. ∴(17cos A －15)(cos A －1)＝0. ∴cos A ＝1(舍去)或cos A ＝1517.答案：151710．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A＝23，sin B＝5cos C.(1)求tan C的值；(2)若a＝2，求△ABC的面积．解：(1)因为0<A<π，cos A＝2 3，所以sin A＝1－cos2A＝5 3，又5cos C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝53cos C＋23sin C，所以253cos C＝23sin C，tan C＝ 5.(2)由tan C＝5得sin C＝56，cos C＝16，于是sin B＝5cos C＝56 .由a＝2及正弦定理asin A ＝csin C得c＝3，所以△ABC的面积S△ABC＝12ac sin B＝12×2×3×56＝52.11.如图，在△ABC中，∠B＝π3，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝17 .(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．解：(1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝1 7，所以sin∠ADC＝437.所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B) ＝sin∠ADC cos B－cos∠ADC sin B＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD中，由正弦定理得BD＝AB·sin∠BADsin∠ADB＝8×3314437＝3.在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC＝7.12．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，c＝2，C＝π3，求△ABC的面积．解：(1)证明：∵m∥n，∴a sin A＝b sin B，∴a·a＝b·b，即a2＝b2，a＝b，∴△ABC为等腰三角形．(2)由m⊥p，得m·p＝0，∴a(b－2)＋b(a－2)＝0，∴a＋b＝ab.由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C，得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，解得ab＝4(ab＝－1舍去)，∴S△ABC＝12ab sin C＝12×4×sinπ3＝ 3.。

第四章三角函数与解三角形专题17 解三角形-2018高考

2018高考考场高招大全专题十七解三角形考点37 正弦定理与余弦定理考场高招1 应用正、余弦定理的解题技巧 1.解读高招2.典例指引1(1)△ABC 的三个内角A ,B ,C 对边的长分别为a ,b ,c ,若a sin A sin B+b cos 2A=a ,则等于( )A.2B.2C.D.(2)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边长分别为a ,b ,c ,已知a 2-c 2=b ,且sin(A-C )=2cos A sin C ,则b 等于( ) A.6B.4C.2D.1(3)已知△ABC 的三边a ,b ,c 成等比数列,a ,b ,c 所对的角依次为A ,B ,C ,则sin B+cos B 的取值范围是( ) A.B.C.(1,] D.(4)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且满足a sin B=b cos A.若a=4,则△ABC 周长的最大值为(2)(角化边)由题意,得sin A cos C-cos A sin C=2cos A sin C ,即sin A cos C=3cos A sin C ,由正、余弦定理,得a ·=3c ·,整理得2(a 2-c 2)=b 2. ① 又a 2-c 2=b ,②联立①②得b=2,故选C . (3)设y=sin B+cos B=sin.∵a ,b ,c 成等比数列,∴b 2=ac ,∴cos B=,∴0<B<<sin ≤1,1<sin ,故选C .(4)由正弦定理,可将a sin B=b cos A 化为sin A sin B=sin B cos A.∵在△ABC 中,sin B>0, ∴sin A=cos A ,即tan A=.∵0<A<π,∴A=.由余弦定理,得a 2=16=b 2+c 2-2bc cos A=(b+c )2-3bc ≥(b+c )2-3,则(b+c )2≤64,即b+c ≤8(当且仅当b=c=4时等号成立),所以△ABC 的周长=a+b+c=4+b+c ≤12,即最大值为12.【答案】 (1)D (2)C (3)C (4)12 3.亲临考场1.(2016天津,理3)在△ABC 中,若,BC=3,∠C=120°,则AC=( ) A.1B.2C.3D.4【答案】 A 由余弦定理得13=9+AC 2+3AC ⇒AC=1.故选A .2.(2016课标Ⅱ,理13)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos A=,cos C=,a=1,则b= .【答案】2113【解析】因为cos A=,cos C=,且A ,C 为△ABC 的内角,所以sin A=,sin C=,sin B=sin[π-(A+C )]=sin(A+C )=sin A cos C+cos A sin C=.又因为,所以b=.3.(2015广东,理11)设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若a=,sin B=,C=,则b= .考点38 解三角形及其应用考场高招2 判断三角形形状问题的规律1.解读高招2.典例指引2(1)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,(b+c+a)(b+c-a)=3bc,则△ABC的形状是() A.直角三角形 B.等腰非等边三角形C.等边三角形D.钝角三角形(2)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若=2c,则△ABC的形状是()A.等边三角形B.锐角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形(2)∵=2c ,∴由正弦定理可得=2sin C ,而≥2=2,当且仅当sin A=sin B 时取等号.∴2sin C ≥2,即sin C ≥1. 又sin C ≤1,故可得sin C=1,∴∠C=90°.又∵sin A=sin B ,∴A=B ,故三角形为等腰直角三角形,故选C. 【答案】 (1)C (2)C 3.亲临考场1.在△ABC 中，若sin B ·sin C ＝cos 2A2，且sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【答案】D【解析】sin B ·sin C ＝1＋cos A2，∴2sin B ·sin C ＝1＋cos A ＝1－cos(B ＋C )， ∴cos(B －C )＝1，∵B 、C 为三角形的内角，∴B ＝C ，又sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ，∴b 2＋c 2＝a 2，综上，△ABC 为等腰直角三角形．2.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不确定考场高招3 解三角形应用题的规律 1.解读高招2.典例指引3(1)如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ,C 的俯角分别为75°,30°,此时气球的高度是60 m,则河流的宽度BC 等于( ) A.240(-1) m B.180(-1) m C.120(-1) m D.30(+1) m(2)(2016广东佛山一模)如图,为了测量河对岸A ,B 两点之间的距离,观察者找到一个点C ,从C 点可以观察到点A ,B ;找到一个点D ,从D 点可以观察到点A ,C ;找到一个点E ,从E 点可以观察到点B ,C ;并测量得到:CD=2,CE=2,∠D=45°,∠ACD=105°,∠ACB=48.19°,∠BCE=75°,∠E=60°,则A ,B 两点之间的距离为.(2)依题意知,在△ACD中,∠A=30°,由正弦定理得AC==2,在△BCE中,∠CBE=45°,由正弦定理得BC==3.∵在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC cos∠ACB=10,∴AB=.3.亲临考场1.(2017浙江,11)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6= .【答案】【解析】将正六边形分割为6个等边三角形,则S6=6×.2.(2015湖北,理13)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= m.【答案】100考场高招4 三角形与不等式相结合解题的规律1.解读高招≥22.典例指引4(1)(2017广东湛江调研)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=2b,△ABC的面积记作S,则下列结论一定成立的是()A.B>30°B.A=2BC.c<bD.S≤b2(2)(2017广西南宁、梧州摸底联考)已知△ABC中,角B, C,A成等差数列,且△ABC的面积为 ,则AB边的最小值是.(3)在等腰三角形ABC中,AB=AC,AC边上的中线BD长为6,则当△ABC的面积取得最大值时,AB的长为.【解析】 (1)由a=2b,得sin A=2sin B≤1,则sin B≤,∵B不是最大角,∴B≤30°,故A错;sin A=2sin B与A=2B没有关系,故B错;若a=4,b=2,c=5,符合a=2b,但c>b,所以C错;三角形面积S=ab sin C=b2sin C≤b2,故选D.(2)∵B,C,A成等差数列,∴A+B=3C.又∵A+B+C=π,∴C=,由S△ABC=ab sin C=1+,得ab=2(2+).∵c2=a2+b2-2ab cos C=a2+b2-ab,a2+b2≥2ab,∴c2≥(2-)ab=4,解得c≥2,∴c的最小值为2.(3)根据题意,可设AB=AC=2x,则AD=x(2<x<6),由余弦定理,得cos A=,∴sin A=,∴S△ABC=AB·AC sin A=×4x2=2≤24,当x2=20,即x=2时等号成立,所以当△ABC的面积取得最大值时,AB的长为4.【答案】(1)D(2)2(3)43.亲临考场1.(2015课标Ⅰ,理16)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是.【答案】()2.(2014课标Ⅰ,理16)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边, a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为【答案】。

高考数学考点汇总考点17 解三角形应用举例(含解析)

考点17 解三角形应用举例一、选择题1.（2014·浙江高考文科·Ｔ10）如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面的射击线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角）。

若15AB m =，25AC m =，30BCM ∠=︒则tan θ的最大值（）A ．305B ．3010C ．439 D．539【解析】选D. 由勾股定理可得，20BC =，过P 作PP BC '⊥，交BC 于P '，连结AP '，则tan PP AP θ'='，设CP x '=，则3tan 30PP CP x''==o 在Rt △ABC 中，AB=15m ，AC=25m ，所以BC=20m所以4cos 5BCA ∠=，所以246252255AP x x '=+-⨯⨯240625x x =-+所以222333333tan 406252549406251()525x x x x x θ===-+-+-+当2545x=，即1254x=时，tanθ取得最大值为3533395=2.（2014·四川高考文科·Ｔ8）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75o，30o，此时气球的高是60cm，则河流的宽度BC等于（）A．240(31)m- B．180(21)m- C．120(31)m- D．30(31)m+【解题提示】先求AC，再由正弦定理求BC即可．【解析】选C.记气球的高度为AD，交CB延长线于D，在Rt ACD∆中，120AC=m，在ABC∆中，由正弦定理知，120sin sin45sin sin75ACBC BACABC=⋅∠=⋅∠oo602sin(3045)⨯=+o o120(31)=-m.二、填空题：3. （2014·浙江高考理科·Ｔ17）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练. 已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值【解析】由勾股定理可得，20BC=，过P作PP BC'⊥，交BC于P'，连结AP'，则tanPPAPθ'='，设CP x'=，则3tan30PP CP x''==o在Rt△ABC中，AB=15m，AC=25m，所以BC=20m所以4cos5BCA∠=，所以246252255AP x x'=+-⨯⨯240625x x=-+，所以222333333tan406252549406251()525xx xx x xθ===-+-+-+当2545x=，即1254x=时，tanθ取得最大值为3533395=答案：5394. （2014·四川高考理科·Ｔ13）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67,30o o，此时气球的高度是46m，则河流的宽度BC约等于 m.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin670.92≈o，cos670.39≈o，sin370.60≈o，cos370.80≈o，3 1.73≈）【解题提示】先求AC，再由正弦定理求BC即可．【解析】记气球的高度为AD，交CB延长线于D，在Rt ACD∆中，92AC=m，在ABC∆中，9292sin sin370.6060sin sin670.92ACBC BACABC=⋅∠=⋅=⨯=∠oom.答案：60三解答题5. （2014·湖南高考文科·Ｔ19）（本小题满分13分）如图4，在平面四边形ABCD中，32,2,7,1,π=∠===⊥ADCEAECDEABDA, 3π=∠BEC（1）求CED∠sin的值；（2）求BE的长【解题提示】利用正余弦定理，和三角变换公式求解。

高三数学天天练17 解三角形及其应用

天天练17 解三角形及其应用一、选择题1．在△ABC 中，如果sin A ：sin B ：sin C ＝2：3：4，那么cos C 等于( )A .23B ．－23C ．－13D ．－142．(·河西五市二联)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(b －a)sin A ＝(b －c)(sin B ＋sin C)，则角C 等于( )A .π3B .π6C .π4D .2π33．在△ABC 中，若c ＝2a cos B ，则△ABC 是 ( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形4．(·大连双基)△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，B ＝60°，则cos C ＝( )A .33B ．±63C ．－63D .635．(·新课标全国卷Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A .31010B .1010C ．－1010D ．－310106．(·天津，3)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．47．(·太原五中检测)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若sin A ＝223，a ＝2，S △ABC ＝2，则b 的值为( )A . 3B .322C ．2 2D ．238．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且cos 2B＋cos B ＋cos (A －C)＝1，则( )A ．a ，b ，c 成等差数列B ．a ，b ，c 成等比数列C ．a ，c ，b 成等差数列D ．a ，c ，b 成等比数列二、填空题9．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2A sin C ＝__________.10．(·长沙一模)△ABC 的周长等于2(sin A ＋sin B ＋sin C)，则其外接圆半径等于__________．11．某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为300米和500米，测得灯塔A 在观察站C 北偏东30°方向，灯塔B 在观察站C 正西方向，则两灯塔A 、B 间的距离为__________米．三、解答题12．(·山东，16)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知2(tan A ＋tan B)＝tan A cos B ＋tan B cos A .(1)证明：a ＋b ＝2c ；(2)求cos C 的最小值．天天练17 解三角形及其应用1．D 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 可知a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ＝2：3：4，设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝4k 2＋9k 2－16k 22×2k ×3k＝－14，答案选D. 2．A 由题意得，(b －a )a ＝(b －c )(b ＋c )，∴ab ＝a 2＋b 2－c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝π3，故选A.3．B 根据题意，结合着正弦定理，可知sin C ＝2sin A cos B ，即。

(完整)解三角形高考真题汇总,推荐文档

π A． 12
π B． 6
π C． 4
π D． 3
4.（2016 全国卷 2 理科） ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c
sin( A C) 8sin2 B ． 2
(1)求 cos B
,已知
7．（2017 全国卷 3 文科）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c。已知n(
B)
sin2 B 。
3
3
(Ⅰ)求角 A 的值； (Ⅱ)若 ABAAC 12, a 2 7 ，求 b, c （其中
b c ）。
15.在 ABC 中， BC 5, AC 3,sin C 2sin A
（Ⅰ）求 AB 的值。
（Ⅱ）求 sin(2A ) 的值。 4
12.（2017 浙江高考题）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2. 点 D 为 AB 延长线上一点，BD=2，连结 CD，则△BDC 的面积是___________,
cos∠BDC=__________.
14.设 ABC 是锐角三角形， a,b, c 分别是内角 A, B,C 所对边长，并且
sin 2
本文下载后请自行对内容编辑修改删除，上传更多的专业资已知a b ，a 5,c 6，sin B 3 .（Ⅰ）求b 和sin A 的值； 5
13.在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若
（Ⅱ）求 sin(2A π ) 的值. 4
AB AC BA BC k(k R).
6．（2017 全国卷 3 理科）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知
（Ⅰ）求 sinC 的值；
sinA+ 3 cosA=0，a=2 7 ,b=2．