二次函数图象与各项字母系数之间关系

合集下载

专题05_二次函数与各系数之间的关系(知识点串讲)(解析版)

专题05 二次函数与各系数之间的关系重点突破抛物线中，与函数图像的关系（灵活掌握）⏹二次项系数二次函数中，作为二次项系数，显然．⑴当时，抛物线开口向上，越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；⑵当时，抛物线开口向下，越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．【总结起来】决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．⏹一次项系数在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．⑴在的前提下，当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧（a、b同号）；当时，，即抛物线的对称轴就是轴；当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧（a、b异号）．⑵在的前提下，结论刚好与上述相反，即当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧（a、b异号）；当时，，即抛物线的对称轴就是轴；当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧（a、b同号）．【总结起来】在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．⏹常数项⑴当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；⑵当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；⑶当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．【总结起来】决定了抛物线与轴交点的位置．总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．考查题型考查题型一根据二次函数的图像判断各系数、各式子符号典例1（2019·莆田市期中）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a+b ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④a ﹣b+c ＞0，其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【详解】①∵抛物线对称轴是y 轴的右侧，∴ab ＜0，∵与y 轴交于负半轴，∴c ＜0，∴abc ＞0，故①正确；②∵a ＞0，x=﹣2ba ＜1，∴﹣b ＜2a ，∴2a+b ＞0，故②正确；③∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，故③正确；④当x=﹣1时，y ＞0，∴a ﹣b+c ＞0，故④正确．故选D ．变式1-1．（2019·深圳市末）如图，已知二次函数()2y ax bx c a 0=++≠的图象如图所示，有下列5个结论 abc 0>①；b a c ->②；4a 2b c 0++>③；3a c >-④；()a b m am b (m 1+>+≠⑤的实数).其中正确结论的有( )A ．①②③B ．②③⑤C ．②③④D ．③④⑤【答案】B【提示】由抛物线对称轴的位置判断ab 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所给结论进行判断即可．【详解】 ①对称轴在y 轴的右侧，ab 0∴<，由图象可知：c 0>，abc 0∴<，故①不正确；②当x 1=-时，y a b c 0=-+<，b ac ∴->，故②正确；③由对称知，当x 2=时，函数值大于0，即y 4a 2b c 0=++>，故③正确；b x 12a=-=④， b 2a ∴=-，a b c 0-+<，a 2a c 0∴++<，3a c <-，故④不正确；⑤当x 1=时，y 的值最大.此时，y a b c =++，而当x m =时，2y am bm c =++，所以()2a b c am bm c m 1++>++≠，故2a b am bm +>+，即()a b m am b +>+，故⑤正确，故②③⑤正确，故选B ．【名师点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数2y ax bx c =++系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键．变式1-2．（2019·济南市期中）如图，若二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）图象的对称轴为x=1，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、点B （﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c ；②a ﹣b+c ＜0；③b 2﹣4ac ＜0；④当y ＞0时，﹣1＜x ＜3，其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】详解：①∵二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）图象的对称轴为x=1，且开口向下，∴x=1时，y=a+b+c ，即二次函数的最大值为a+b+c ，故①正确；②当x=﹣1时，a ﹣b+c=0，故②错误；③图象与x 轴有2个交点，故b 2﹣4ac ＞0，故③错误；④∵图象的对称轴为x=1，与x 轴交于点A 、点B （﹣1，0），∴A （3，0），故当y ＞0时，﹣1＜x ＜3，故④正确．故选B ．名师点睛：此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A 点坐标是解题关键．变式1-3．（2018·福州市期中）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图，下列结论正确的是( )A ．a <0B ．b 2－4ac <0C ．当－1<x <3时，y >0D ．－2b a=1 【答案】D【解析】试题提示：根据二次函数的图象和性质进行判断即可.解：∵抛物线开口向上，∴0a >∴A 选项错误，∵抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac ->∴B 选项错误，由图象可知，当－1<x <3时，y <0∴C 选项错误，由抛物线的轴对称性及与x 轴的两个交点分别为（－1，0）和（3，0）可知对称轴为1x =即－＝1，∴D 选项正确，故选D.变式1-4．（2019宁波市期中）如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc ＜0；②b ＜a+c ；③4a+2b+c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a+b ＜m （am+b ）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（）A ．①②③B ．①③④C ．③④⑤D ．②③⑤【答案】B【解析】试题提示：由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．试题解析：①由图象可知：a ＜0，b ＞0，c ＞0，abc ＜0，故此选项正确；②当x=-1时，y=a-b+c ＜0，即b ＞a+c ，错误；③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c ＞0，故此选项正确；④当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c ＜0，且x=-2b a =1，即a=-2b ，代入得9（-2b ）+3b+c ＜0，得2c ＜3b ，故此选项正确； ⑤当x=1时，y 的值最大．此时，y=a+b+c ，而当x=m 时，y=am 2+bm+c ，所以a+b+c ＞am 2+bm+c ，故a+b ＞am 2+bm ，即a+b ＞m （am+b ），故此选项错误．故①③④正确．故选B ．变式1-5．（2019·泉州市期末次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列结论中正确的是( )① 0abc < ②240b ac -< ③2a b > ④22()a c b +<A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A 【提示】由函数图象可知a ＜0，对称轴-1＜x ＜0，20b a ->；0b <，图象与y 轴的交点c ＞0，函数与x 轴有两个不同的交点；△=b 2-4ac ＞0；再由图象可知当x=1时，y ＜0，即a+b+c ＜0；当x=-1时，y ＞0，即a-b+c ＞0；即可求解．【详解】解：由函数图象可知0a <，对称轴10x -<<，图象与y 轴的交点0c >，函数与x 轴有两个不同的交点， ∴2b a >，0b <；③错误240b ac ∆=->；②错0abc >；①错误当1x =时，0y <，即0a b c ++<；当1x =-时，0y >，即0a b c -+>；∴()()0a b c a b c ++-+<，即22()a c b +<；∴只有④是正确的；故选：A ．【名师点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数的图象及性质，能够通过图象获取信息，推导出a ，b ，c ，△，对称轴的关系是解题的关键．考查题型二一次函数与二次函数的综合判定典例2（2018·烟台市期末）如图,函数221y ax x =-+和y ax a =-(a 是常数,且0a ≠)在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】详解：A ．由一次函数y =ax ﹣a 的图象可得：a ＜0，此时二次函数y =ax 2﹣2x +1的图象应该开口向下．故选项错误；B ．由一次函数y =ax ﹣a 的图象可得：a ＞0，此时二次函数y =ax 2﹣2x +1的图象应该开口向上，对称轴x =﹣22a-＞0．故选项正确； C ．由一次函数y =ax ﹣a 的图象可得：a ＞0，此时二次函数y =ax 2﹣2x +1的图象应该开口向上，对称轴x =﹣22a-＞0，和x 轴的正半轴相交．故选项错误； D ．由一次函数y =ax ﹣a 的图象可得：a ＞0，此时二次函数y =ax 2﹣2x +1的图象应该开口向上．故选项错误．故选B ．名师点睛：本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y =ax ﹣a 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．变式2-1．（2018·陇南市期中）当ab ＞0时，y ＝ax 2与y ＝ax +b 的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【详解】∵ab ＞0，∴a 、b 同号．当a ＞0，b ＞0时，抛物线开口向上，顶点在原点，一次函数过一、二、三象限，没有图象符合要求；当a ＜0，b ＜0时，抛物线开口向下，顶点在原点，一次函数过二、三、四象限，B 图象符合要求．故选B ．变式2-2．（2020·无锡市期末）在同一坐标系内，一次函数y ax b =+与二次函数2y ax 8x b =++的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】C【提示】x=0，求出两个函数图象在y 轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a ＞0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解．【详解】x=0时，两个函数的函数值y=b，所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，所以，a＞0，所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限，所以，A选项错误，C选项正确．故选C．变式2-3．（2018·巴彦淖尔市期中）在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】D【提示】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误；当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A错误，D选项正确；故选D．【名师点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y 轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．变式2-4．（2018·成都市期末）同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【提示】本题可先由二次函数y=ax 2+bx+c 图象得到字母系数的正负，再与一次函数y=ax+b 的图象相比较看是否一致．【详解】A 、由抛物线可知，a ＜0，x=﹣2b a＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＜0，b ＜0，故本选项正确； B 、由抛物线可知，a ＞0，由直线可知，a ＜0，故本选项错误； C 、由抛物线可知，a ＞0，x=﹣2b a ＞0，得b ＜0，由直线可知，a ＞0，b ＞0，故本选项错误； D 、由抛物线可知，a ＞0，由直线可知，a ＜0，故本选项错误．故选A ．考查题型三用待定系数法求二次函数解析式典例3（2018·合肥市期末）已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（）A ．y =-6x 2+3x +4B ．y =-2x 2+3x -4C ．y =x 2+2x -4D ．y =2x 2+3x -4【答案】D【提示】利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．【详解】解：设所求函数的解析式为y =ax 2+bx +c ，把（-1，-5），（0，-4），（1，1）分别代入，得：541a b c c a b c -+-⎧⎪-⎨⎪++⎩＝＝＝解得234a b c ⎧⎪⎨⎪-⎩＝＝＝所求的函数的解析式为y =2x 2+3x -4．故选：D【名师点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识．变式3-1．（2019·青岛市期末）如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（）A ．y=x 2﹣x ﹣2B ．y=﹣12x 2﹣12x+2C ．y=﹣12x 2﹣12x+1D ．y=﹣x 2+x+2 【答案】D【提示】根据开口方向、顶点坐标、对称轴逐项提示即可.【详解】A 、由图象可知开口向下,故a ＜0, 故A 错误；B 、抛物线过点（﹣1,0）,（2,0）,根据抛物线的对称性,顶点的横坐标是12, 而211222y x x =--+的顶点横坐标是﹣12, 故B 错误； C 、211122y x x =--+的顶点横坐标是﹣12, 故C 错误； D 、22y x x =-++的顶点横坐标是12,并且抛物线过点（﹣1,0）,（2,0），故D 正确．故选D.【名师点睛】本题考察了二次函数的图像和性质，对于二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0），当a >0时，抛物线开口向上，当a <0时，抛物线开口向下；其对称轴是直线：2b x a =-；若抛物线与轴的两个交点是A (x 1，0)，B (x 2，0)，则抛物线的对称轴是：122x x x +=. 变式3-2．（2018·海淀区期末）在平面直角坐标系xOy 中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是（）A ．y 1B ．y 2C ．y 3D ．y 4【答案】A【提示】由图象的点的坐标，根据待定系数法求得解析式即可判定．【详解】由图象可知：抛物线y 1的顶点为（-2，-2），与y 轴的交点为（0，1），根据待定系数法求得y 1=34（x+2）2-2；抛物线y 2的顶点为（0，-1），与x 轴的一个交点为（1，0），根据待定系数法求得y 2=x 2-1；抛物线y 3的顶点为（1，1），与y 轴的交点为（0，2），根据待定系数法求得y 3=（x-1）2+1；抛物线y 4的顶点为（1，-3），与y 轴的交点为（0，-1），根据待定系数法求得y 4=2（x-1）2-3；综上，解析式中的二次项系数一定小于1的是y 1故选A ．【名师点睛】本题考查了二次函数的图象，二次函数的性质以及待定系数法求二次函数的解析式，根据点的坐标求得解析式是解题的关键．变式3-3．（2018·庆阳市期中）已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）A ．22(1)8y x =++B ．218(1)8y x =+-C ．22(1)89y x =-+ D ．22(1)8y x =-- 【答案】D【提示】顶点式：y=a （x-h ）2+k （a ，h ，k 是常数，a≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标．【详解】解：由图知道，抛物线的顶点坐标是（1，-8）故二次函数的解析式为y=2（x-1）2-8故选：D ．【名师点睛】本题考查由顶点坐标式看出抛物线的顶点坐标，y=a （x-h ）2+k 的顶点坐标是（h ，k ）．变式3-4．（2018·庆阳市期末）顶点在点M(﹣2，1)，且图象经过原点的二次函数解析式是( )A ．y ＝(x ﹣2)2+1B ．y ＝﹣14(x+2)2+1C ．y ＝(x+2)2+1D ．y ＝14(x ﹣2)2+1 【答案】B【提示】二次函数图象的顶点在点M （-2,1）,可设函数的解析式是y =a （x +2）2+1,再将原点的坐标代入求出a 的值即可．【详解】解：∵二次函数图象的顶点在点M （-2,1）,可设函数的解析式是y =a （x +2）2+1,把点（0,0）代入得,4a +1=0,得：a =-14, 则此二次函数的解析式是y =-14（x +2）2+1, 故选B.【名师点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式,解决本题的关键是要熟练掌握待定系数法求二次函数解析式.变式3-5．（2019·吉林市期中）已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）A ．2 23y x x =-+B ．2 23y x x =--C ．2 23y x x =+-D ．2 23y x x =++【答案】B【提示】根据题意，把抛物线经过的三点代入函数的表达式，列出方程组，解出各系数则可．【详解】根据题意，图象与y 轴交于负半轴，故c 为负数，又四个选项中，B 、C 的c 为-3，符合题意，故设二次函数的表达式为y=ax 2+bx+c ，抛物线过（-1，0），（0，-3），（3，0），所以0{3930a b c c a b c -+-++＝＝＝，解得a=1，b=-2，c=-3，这个二次函数的表达式为y=x 2-2x-3．故选：B ．【名师点睛】本题考查了用待定系数法求函数表达式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识，是比较常见的题目．。

二次函数图象与字母系数的关系

①当b²-4ac＞0时，与x轴有两个不同交点； ②当b²-4ac=0时，与x轴只有一个交点（顶点在x 轴上）； ③当b²-4ac＜0时，抛物线与x轴无交点；
(5)抛物线上几个特殊点的坐标所决定的代数式的正负：
（1，a+b+c）, （-1，a-b+c）,
（2，4a+2b+c）, （-2，4a-2b+c）,
(6)判断2a+b与2a-b的正负经常由对称轴与±1的关系决定；
已知如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，判断以下各式的值与0的关系 (1)a；(2)b；(3)c；(4)b2－4ac；(5)2a＋b； (6)a＋b＋c；(7)a－b＋c．
例3 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所
示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；
③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个
数是 ( D )
A．1
B．2
C．3
D．4
如图，已知二次函数y ax2 bx c的图像经过点（1，2），下列结论：①2a b 0 ②abc 0③a c 1④b2 8a 4ac,其中正确的有
二次函数图象与字母系数的关系
1.关于抛物线与a、b、c以及b²-4ac的符号关系： (1)开口方向由a决定；
(2)对称轴位置由a、b决定，“左同右异”：
对称轴在y轴左侧时，a、b同号，
对称轴在y轴右侧时，a、b异号；
(3)与y轴的交点由c决定，“上正下负”，
c为0时图象经过原点. (4)抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点由b²-4ac决定：
若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx-3的大致图象是 ( C )

人教版九年级上二次函数的图像和字母系数之间的关系(20张ppt)

当堂检测
1．抛物线 y＝x2－6x＋5 的顶点坐标为 A．(3，－4) B．(3，4) C．(－3，－4) D．(－3，4)
(A )
解析配方：y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，所以顶点坐标为(3，－4)，故选 A.
当堂检测
1．抛物线 y＝x2－6x＋5 的顶点坐标为 A．(3，－4) B．(3，4) C．(－3，－4) D．(－3，4)
抛物线有最低点，当 x 抛物线有最高点，当 x＝
最值＝－2ba时，y 有最小值，－2ba时，y 有最大值，
y 最小值＝4ac4－a b2.
y 最大值＝4ac4－a b2.
字母
关键点回顾
1.a>0 时，开口向上；2.a<0 时，开口向下. a
|a|越大，抛物线的开口程度___越__小___，|a|越小，抛物线的开口程度___越__大___.
y
1、点（1,a+b+c） a+b+c>0
2、点 (-1,a-b+c) a-b+c=0
●
-2 -1 o 1 2
x
3、点 (2,4a+2b+c) 4a+2b+c>0
4、点 (-2,4a-2b+c) 4a-2b+c<0
…………… ……………
已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
的图象如图所示，下列结论：
() A．1 B．2 C．3 D．4
C
由－12<0，得抛物线开口向下，①正确；关系式写成了顶点形式，因此对称轴为直线 x＝－1，顶点坐标
为(－1，3)，②错误；③正确；由－12<0，当 x>1>－1 时， y 随 x 的增大而减小，④正确．故选 C.

二次函数的图像性质与字母系数

下）它还决定开口的大小。也就是说，，当二次函数ｎ的
简析：由于抛物线
一ｃ的顶点在轴上，＋则
绝对值相同时，这些抛物线的形状完全相同，反之也成立。因此抛物线ｙ。６＋ ≠ ＝＋ｃ可以由抛物线 ’ 僦。，＝
≠Ｄ平行移动得到。＿｝２．常数项ｃ的意义。
（）于轴对称。１关
全一致，开口方向相反，只是故所求的抛物线解析式为：
＝卅
丢）ａ２２４一＋＋ｃ４ｂ。－
例５求抛物线ｙ一一关于其顶点为中心对称３
的抛物线的解析式 Байду номын сангаас
四、二次函数的对称性与字母系数
由于关于某直线对称或关于某点对称的两个图形
二、二次函数图像的顶点坐标与字母系数
是全等形，故关于两标轴对称或关于抛物线顶点对称的
对于二次函数ｙａｂ＋（＃Ｏ，图像顶点坐标＝ｘ＋ｘｃａ）其
是（一ｂ
４ｂａ
－
两个抛物线的形状大小也是一样的，只是它们的开口方向或顶点坐标、对称轴或它们与两坐标轴的交点不同而
经过原点。反过来，当抛物线与时，抛物线经过原点。反
过来，当抛物线与Ｙ轴的交点坐标已知时，其二次函数
解析式中的常数项Ｃ的值也就决定了。
３．一次项系数ｂ的意义。
例３求当ｍ取什么值时，抛物线＝ｍ一）（１一
２ｘｍ２与轴有两个不同的交点。ｍ＋一

专题训练(二) 二次函数系数a,b,c与图象的关系

专题训练(二)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的系数a,b,c与图象的关系知识储备二次函数y=ax2+bx+c的图象与字母系数a,b,c 之间的关系:项目字母字母的符号图象的特征a a>0 开口向上a<0 开口向下bb=0 对称轴为y轴ab>0(b与a同号) 对称轴在y轴左侧ab<0(b与a异号) 对称轴在y轴右侧c c=0 经过原点c>0 与y轴正半轴相交c<0 与y轴负半轴相交b2-4ac b2-4ac=0与x轴有一个交点(顶点)b2-4ac>0 与x轴有两个交点b2-4ac<0 与x轴没有交点特殊关系当x=1时,y=a+b+c;当x=-1时,y=a-b+c当x=2时,y=4a+2b+c;当x=-2时,y=4a-2b+c若a+b+c>0,则当x=1时,y>0若a-b+c>0,则当x=-1时,y>0当对称轴为直线x=1时,2a+b=0;当对称轴为直线x=-1时,2a-b=0;判断2a+b的值大于还是小于0,看对称轴与直线x=1的位置关系;判断2a-b的值大于还是小于0,看对称轴与直线x=-1的位置关系▶类型一利用二次函数图象考查以上表格中的问题1.[2020·宁波江北区期末]二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图1所示,则下列关系式错误的是()A.a<0B.b>0C.b2-4ac>0D.a+b+c<0图 1 图22.[2020·宁波]如图2,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴正半轴交于点C,它的对称轴为直线x=-1.则下列选项中正确的是A.abc<0 B.4ac-b2>0C.c-a>0D.当x=-n2-2(n为实数)时,y≥c3.在同一平面直角坐标系内,二次函数y=ax2+bx+b(a≠0)与一次函数y=ax+b的图象可能是()图 3▶类型二利用二次函数图象考查ma+nc或mb+nc(m,n为非零整数)与0的关系4.如图4,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1.给出下列结论:①ac<0;②b2-4ac>0;③2a-b=0;④a-b+c=0.其中,正确的结论有()图4A.1个B.2个C.3个D.4个5.[2020·遵义改编]抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=-2,抛物线与x轴的一个交点在点(-4, 0)和点(-3,0)之间,其部分图象如图5所示,下列结论中正确的有()①4a-b=0;②c≤3a;③关于x的方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根;④b2+2b>4ac.图5A.1个B.2个C.3个D.4个▶类型三利用二次函数图象考查am2+bm+c(a≠0,a,b,c为常数)与a+b+c的关系6.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为直线x=1,其图象如图6所示,现有下列结论:①abc>0,②b-2a<0,③a-b+c>0,④a+b>n(an+b)(n ≠1),⑤2c<3b.其中正确的是()A.①③B.②⑤C.③④D.④⑤图6 图77.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的一部分如图7所示,与x轴的一个交点坐标为(4,0),抛物线的对称轴是直线x=1,有下列结论:①abc>0;②2a+b=0;③方程ax2+bx+c=3有两个不相等的实数根;④抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(-2,0);⑤若点A(m,n)在该抛物线上,则am2+bm+c≤a+b+c.其中正确的有() A.5个B.4个C.3个D.2个▶类型四利用二次函数图象解一元二次方程或不等式8.若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y轴的直线,则关于x的方程x2+bx=5的解为()A.x1=0,x2=4B.x1=1,x2=5C.x1=1,x2=-5D.x1=-1,x2=59.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图8所示,则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解是()图8A.x<-1B.x>3C.-1<x<3D.x<-1或x>3▶类型五利用一次函数、二次函数的图象解一元二次方程或不等式10.如图9所示,一次函数y1=kx+n(k≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象相交于A(-1,5),B(9,2)两点,则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解为()图9A.-1≤x≤9B.-1≤x<9C.-1<x≤9D.x≤-1或x≥911.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函数y=23x的图象如图10所示,则方程ax2+（32b x+c=0的两根之和()图10A.大于0B.等于0C.小于0D.不能确定专题二教师详解详析1.D[解析] 抛物线开口向下,则a<0,所以A选项的关系式正确;抛物线的对称轴在y轴的右侧,a,b异号,则b>0,所以B选项的关系式正确;抛物线与x轴有2个交点,则b2-4ac>0,所以C选项的关系式正确;当x=1时,y>0,则a+b+c>0,所以D选项的关系式错误.故选D.2.D[解析] ∵二次函数图象的对称轴为直线x=-1,∴-b2a=-1,∴b=2a.又∵a>0,∴b>0.∵抛物线与y轴正半轴交于点C,∴c>0,∴abc>0,故A错误;∵抛物线与x轴有两个不同的交点,∴b2-4ac>0,∴4ac-b2<0,故B错误;∵b=2a,∴当x=-1时,y=a-b+c=c-a<0,故C 错误;当x=-n2-2(n为实数)时,y=a(-n2-2)2+b(-n2-2)+c=a(-n2-2)2+2a(-n2-2)+c=a( n2+1)2-a+c.∵n为实数,∴n2≥0,(n2+1)2≥1.又∵a>0,∴a(n2+1)2-a≥0,∴y≥c,故D正确,因此本题选D.3.C4.C[解析] ∵抛物线开口向下,∴a<0.∵抛物线交y轴于正半轴,∴c>0,∴ac<0,故①正确;∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,故②正确;∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴-b2a=1,∴-b=2a,∴2a+b=0,故③错误;∵抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称,∴点(3,0)关于直线x=1的对称点为(-1,0),即抛物线经过点(-1,0),∴a-b+c=0,故④正确.综上可知,正确的结论有①②④,共3个.5.C[解析] 由-b2a=-2,得4a-b=0,故①正确;由抛物线与x轴的一个交点在点(-4,0)和点(-3,0)之间,当x≤-2时,y随x的增大而增大,可知当x=-3时,y>0,由抛物线的对称性可知,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0.又4a=b,∴a-4a+c>0,即c>3a.故②错误; 由图象得,关于x的方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根正确; 由4ac-b24a=3,得4ac-b2=12a,∴4ac=12a+b2=3b+b2.易知a<0,b<0,c<0,∴4ac<2b+b2 ,故④正确.故选C.6.D[解析] ①由图象可知:a<0,b>0,c>0,∴abc<0,故此选项错误;②当x=-2时,y=4a-2b+c<0,即b-2a>c2>0,故此选项错误;③当x=-1时,y=a-b+c<0,故此选项错误;④当x=1时,y的值最大,此时,y=a+b+c,而当x=n 时,y=an2+bn+c,所以a+b+c>an2+bn+c(n≠1),故a+b>an2+bn,即a+b>n(an+b)(n≠1),故此选项正确.⑤由抛物线的对称性可知当x=3时函数值小于0,即y=9a+3b+c<0.∵抛物线的对称轴为直线x=-b2a=1,∴a=-b2,代入9a+3b+c<0,得9-b2 +3b+c<0,得2c<3b,故此选项正确;故④⑤正确.因此本题选D.7.B8.D9.D[解析] 根据图象可知,当y=0时,对应的x的值分别为x1=-1,x2=3.当y>0时,函数的图象在x轴的上方,由左边一段图象可知x<-1,由右边一段图象可知x>3.因此,当函数值y>0时,x的取值范围是x<-1或x>3.故选D.10.A[解析] 由图象可以看出:二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)和一次函数y1=kx+n(k≠0)的图象的交点的横坐标分别为-1,9.而当y1≥y2时,对应的图象正好在两交点之间,所以-1≤x≤9.故选A.11.A。

小专题(四) 二次函数图象信息题归类

小专题(四) 二次函数图象信息题归类小专题(四)二次函数图象信息题归类抛物线y=ax2+bx+c的图象与字母系数a,b,c 之间的关系:(1)当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下.(2)若对称轴在y轴的左侧,则a,b同号;若对称轴在y轴的右侧,则a,b异号.(3)若抛物线与y轴的正半轴相交,则c>0;若抛物线与y轴的负半轴相交,则c<0;若抛物线经过原点,则c=0.(4)当x=1时,y=ax2+bx+c=a+b+c;当x=-1时,y=ax2+bx+c=a-b+c;当x=2时,y=ax2+bx+c=4a+2b+c;当x=-2时,y=ax2+bx+c=4a-2b+c,…(5)当对称轴x=1时,2a+b=0;当对称轴x=-1时,2a-b=0;判断2a+b大于或者等于0,看对称轴与1的大小关系;判断2a-b大于或者等于0,看对称轴与-1的大小关系.(6)当b2-4ac>0时,抛物线与横轴有两个交点;当b2-4ac=0时,抛物线与横轴有一个交点;当b2-4ac<0时,抛物线与横轴没有交点.A.b≥5B.b≥1或b≤-14C.b≥2D.1≤b≤25.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列解析式不正确的是(C)A.a<0B.abc>0C.a+b+c>0D.b2-4ac>06.如图,二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)的图象与x轴正半轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,对称轴为直线x=2,且OA=OC,则下列结论:①abc>0;②9a+3b+c<0;③-1<c<0;④关于x的方.其中正确的结程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为-1a论有(C)A.1个B.2个C.3个D.4个7.(恩施中考)抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n的图象如图所示,下列判断中:①abc<0;②a+b+c>0;③5a-c=0;④当x<12或x>6时,y 1>y 2,其中正确的个数为(C )A.1B.2C.3D.4 类型3 利用二次函数图象求二次函数解析式8.如图,一个二次函数的图象经过A ,B ,C 三点,点A的坐标是(-1,0),点C 的坐标是(0,5),且OA ∶OB=1∶4,则这个二次函数的解析式是 y=-54x 2+154x+5 . 类型4 利用二次函数图象求一元二次方程的根9.(苏州中考)已知二次函数y=x 2-3x+m (m 为常数)的图象与x 轴的一个交点为(1,0),则关于x 的一元二次方程x 2-3x+m=0的两实数根是(B )A.x 1=1,x 2=-1B.x 1=1,x 2=2C.x 1=1,x 2=0D.x 1=1,x 2=310.若二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象如图所示,且关于x的方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实根,则常数k的取值范围是(D)A.0<k<4B.-3<k<1C.k<-3或k>1D.k<4类型5利用二次函数图象解不等式11.二次函数y=x2-x-2的图象如图所示,则不等式x2-x-2<0的解集是(C)A.x<-1B.x>2C.-1<x<2D.x<-1或x>212.如图,二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx 的图象交于点A和原点O,点A的横坐标为-4,点A和点B关于抛物线的对称轴对称,点B的横坐标为1,则满足0<y1<y2的x的取值范围是(A)A. -4<x<-3B.-4<x<0C.-3<x<0D.-4<x<113.如图是二次函数y=-x2+2x+4的图象,使y≤1成立的x的取值范围是x≤-1或x≥3.14.如图,二次函数y=(x+2)2+m的图象与y轴交于点C,点B在抛物线上,且与点C关于抛物线的对称轴对称,已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A(-1,0)及点B.(1)求二次函数与一次函数的解析式;(2)根据图象,写出满足(x+2)2+m≥kx+b的x的取值范围.解:(1)二次函数的解析式为y=(x+2)2-1=x2+4x+3,一次函数的解析式为y=-x-1.(2)x≤-4或x≥-1.。

二次函数知识点总结和题型总结

二次函数知识点总结和题型总结y=ax^2+bx+c，则最值为-(b^2-4ac)/(4a)）二次函数是高中数学中的重要内容之一，它的基本形式为y=ax^2+bx+c。

其中，a、b、c均为常数，且a不等于0.二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向和顶点坐标与a的符号有关。

当a大于0时，抛物线开口向上，顶点坐标为(-b/2a。

c-b^2/4a)，对称轴为x=-b/2a；当a小于0时，抛物线开口向下，顶点坐标为(-b/2a。

c-b^2/4a)，对称轴为x=-b/2a。

而最值则可以根据解析式直接求出。

除了基本形式外，二次函数还有其他形式，如y=a(x-h)^2+k和y=ax^2+c。

它们的图像形态、顶点坐标、对称轴和最值也有相应的规律。

对于二次函数的题目，需要根据题目中给出的条件确定函数的具体形式，然后再利用对称轴、顶点、最值等性质解决问题。

练时要多做一些不同形式的二次函数题目，熟练掌握各种形式的性质和解题方法。

同时，也要注意二次函数的概念、基本形式和常见变形的记忆，以便在解题时能够迅速确定函数的形式。

1.若二次函数y=ax^2+bx+c的最值为k，则a>0且最值点为(-b/2a,k)。

2.已知抛物线经过坐标原点，即y=0时，x=0，则代入抛物线方程可得m=0.3.抛物线y=x^2+3x的顶点坐标为(-3/2,-9/4)，位于第二象限。

4.代入点(2,0)可得a=3/2，顶点坐标为(2/3,-1/4)，距离原点的距离为14/3.5.若直线y=ax+b不经过二、四象限，则抛物线y=ax^2+bx+c开口向上，对称轴是y轴。

6.二次函数y=mx^2+(m-1)x+m-1的最小值为1/4，代入可得m=3/2.7.平移步骤：确定抛物线的顶点坐标，然后根据平移规律进行平移。

8.抛物线y=x^2+4x+9的对称轴为x=-2，开口向上，顶点坐标为(-2,1)。

9.抛物线y=2x^2-12x+25的开口向上，顶点坐标为(3,1)。

湖南省汨罗市罗江镇天井中学2019届九年级数学复习课件：二次函数的图像与字母系数的关系(共12张PPT)

考点专题：二次函数的图像与字母系数的关系
授课教师：许敏
牛刀小试：
❖ 1. 已知二次函数（a≠0）的图象
❖ 如图所示，那么a、b、c的符号为（ D ）
❖ A.a＞0，b＞0，c＞0；
y
❖ B.a＜0，b＜0，c＜0；
❖ C.a＜0，b＞0，c＞0；
O
x
❖ D.a＜0Байду номын сангаасb＜0，c＞0.
❖ 2. y=x2-2x-1与x轴的交点个数为___2___个
图象可能是
（D ）
❖ 例3. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）交x轴于
❖ A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C． ❖ （1）b= ， C= ；（只用含a的式子表示） ❖ （2）当△ABC是等腰三角形时，求二次函数解析式．
❖ 结：分享本节你的收获！
分层练习（B组）
2.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是 x=﹣1．且过点( ，0)，有下列结论：①abc＞0；② a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；
(4)b2 -4ac > 0 抛物线与x轴有2 个交点; b2 -4ac = 0 抛物线与x轴有1 个交点; b2 -4ac < 0 抛物线与x轴无交点
(5)当x= 1时,y=ax2+bx+c= a+b+c ; 当x=-1时,y=ax2+bx+c= a-b+c ; 要比较a + b + c与0的大小,只需看抛物线中
❖ A. -1, -2 B.1, -2 ❖ C.-1, 2 D.1, 2
分层练习（A组）

谈谈初中数学二次函数中系数a、b、c的作用及相互之间的关系

谈谈初中数学二次函数中系数a、b、c的作用及相互之间的关系作者：张志忠来源：《新课程·中学》2019年第09期摘要：根据人教版教材，学习二次函数，并从中讨论以下各系数的作用，以及之间的相互关系，更深入地去了解二次函数。

通过运用合适的方法来解决二次函数。

二次函数作为初中的难点还是重点。

需要多练习，总结二次函数的性质及特点尤为重要。

关键词：系数的作用;系数之间的联系;韦达定理二次函数的核心在于图象，只要图象画出来那么二次函数的题就会轻而易举地拿下。

决定二次函数图象的就是系数。

二次函数图象的顶点、对称轴以及交点都是由各个系数所决定。

更深入地了解二次函数各系数的关系以及所起到的作用。

二次函数是初中阶段主要学习的函数，也是较难掌握的一种函数。

解析式中的系数与其图象和性质间存在很大的联系，通过本文探讨学生可以更加深刻地理解函数、应用函数的图象和性质，从而解决更多关于函数的问题。

一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数），则称y为x的二次函数。

顶点式：y=a （x-h）2+k（a≠0，a、h、k为常数）。

交点式（与x轴）：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0，a、x1、x2为常数），x1、x2为二次函数与x轴的两交点。

它们之间可以相互转换①一般式和顶点式：对于二次函数y=ax2+bx+c，其顶点即h=一元二次方程求根公式）。

我们大多情况下用的是一般式y=ax2+bx+c，其中a≠0，等式右边的最高系数为2，可以没有一次项和常数项，但是不能没有二次项。

三个字母a代表二次项系数，b代表一次项系数，c 为常数项。

a，b，c各有各的作用。

首先是a的作用，它是控制二次函数图像即抛物线的开口方向，如果a>0，开口向上并往上无限延伸，如果a<0，开口向下并往下无限延伸，a越大，開口越小。

b单独作用并没有很大用处，在大多数情况下与对称轴合起来使用。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0），这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax+c （a≠0）。

二次函数的图像与字母a、b、c的关系

课次教学计划教学过程：一、知识要点二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号的确定：（1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞0；否则a ＜0．（2）b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．（3）c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞0；否则c ＜0．（4）b 2-4ac 的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2-4ac ＞0；1个交点，b 2-4ac=0；没有交点，b 2-4ac ＜0．（5）当x=1时，可确定a+b+c 的符号，当x=-1时，可确定a-b+c 的符号．（6）由对称轴公式x=，可确定2a+b 的符号．二、基础练习1、已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ D ） A 、a ＞0 B 、b ＜0 C 、c ＜0 D 、a+b+c ＞02、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b 2＞4ac ； ②abc ＞0；③2a+b=0； ④a+b+c ＞0；⑤a-b+c ＜0，则正确的结论是（ D ） A 、①②③④ B 、②④⑤ C 、②③④ D 、①④⑤3、如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（21，1），下列结论：①ac ＜0；②a+b=0；③4ac-b 2=4a ；④a+b+c ＜0．其中正确结论的个数是（ C ）1\2\3A 、1B 、2C 、3D 、4任课教师学科版本年段辅导类型上课时间学生签名数学北师大初三课题二次函数y=a 2x +bx+c 系数符号的确定方法课次教学目标掌握二次函数中字母 a 、b 、c 三者与图象之间的关系。

教学策略教学重点、难点：利用图形的性质与特殊性来确定字母a 、b 、c 三者之间的关系。

4、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（B ）A 、ac ＞0B 、方程ax 2+bx+c=0的两根是x 1=-1，x 2=3 C 、2a-b=0 D 、当x ＞0时，y 随x 的增大而减小5、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）的图象如图所示，有下列结论： ①abc ＞0，②2b -4ac ＜0，③a-b+c ＞0，④4a-2b+c ＜0，其中正确结论的个数是（A4 ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、46、（如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b 2-4ac ＞0；（2）c ＞1；（3）2a-b ＜0；（4）a+b+c ＜0．你认为其中错误的有（D2） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、1个7、抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列说法正确的是（C ） A 、b 2-4ac ＜0 B 、abc ＜0 C 、 -a2b＜-1 D 、a-b+c ＜08、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①b 2-4ac ＞0 ②a ＞0 ③b ＞0 ④c ＞0 ⑤9a+3b+c ＜0，则其中结论正确的个数是（B ）1/2/5 A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个9、已知二次函数y=ax 2的图象开口向上，则直线y=ax-1经过的象限是（D ） A 、第一、二、三象限 B 、第二、三、四象限 C 、第一、二、四象限 D 、第一、三、四象限10、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（D ）A 、a ＜0，b ＜0，c ＞0，b 2-4ac ＞0B 、a ＞0，b ＜0，c ＞0，b 2-4ac ＜0C 、a ＜0，b ＞0，c ＜0，b 2-4ac ＞0D 、a ＜0，b ＞0，c ＞0，b 2-4ac ＞011、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（B ） A 、ac ＜0 B 、a-b+c ＞0C 、b=-4aD 、关于x 的方程a 2x +bx+c=0的根是x 1=-1，x 2=512、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则a ，b ，c 满足（A ）A 、a ＜0，b ＜0，c ＞0，2b -4ac ＞0 B 、a ＜0，b ＜0，c ＜0，2b -4ac ＞0C 、a ＜0，b ＞0，c ＞0，2b -4ac ＜0D 、a ＞0，b ＜0，c ＞0，2b -4ac ＞013、已知二次函数y=2ax +bx+c （a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论，其中正确的结论是（B ） A 、abc ＞0 B 、b ＞a+c C 、2a-b=0 D 、2b -4ac ＜014、已知二次函数y=2ax +bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论： ①ac ＞0；②a-b+c ＜0；③当x ＜0时，y ＜0；④方程2ax +bx+c=0（a ≠0）有两个大于-1的实数根．其中错误的结论有（C ） A 、②③ B 、②④ C 、①③ D 、①④15、如图所示为二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象，在下列选项中错误的是（C ） A 、ac ＜0 B 、x ＞1时，y 随x 的增大而增大C 、a+b+c ＞0D 、方程ax 2+bx+c=0的根是1x =-1，2x =316、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论错误的是（B ） A 、ab ＜0 B 、ac ＜0C 、当x ＜2时，函数值随x 增大而增大；当x ＞2时，函数值随x 增大而减小D 、二次函数y=2ax +bx+c 的图象与x 轴交点的横坐标就是方程2ax +bx+c=0的根17、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（D ）A 、a ＞0B 、c ＜0C 、b 2-4ac ＜0 D 、a+b+c ＞018、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论①a ，b 异号；②当x=1和x=3时，函数值相等； ③4a+b=0；④当y=4时，x 的取值只能为0，结论正确的个数有（ C ）个．1/2/3A 、1B 、2C 、3D 、4三、能力练习1.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图 l －2－2所示，则a 、b 、c 满足（） A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＜0C ．a ＜0，b ＞0，c ＞0D ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 2.已知二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0）且a ＜0，a －b+c ＞0，则一定有（）A ．b 2－4ac ＞0B ．b 2－4ac ＝0C ．b 2－4ac ＜0D ．b 2－4ac ≤03.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图1－2－10，则点（b ，ca）在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则ac_____0（“＜”“＞”或“=”）第4题图 5．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图 1－2－14所示，则下列关于a 、b 、c 间的关系判断正确的是（） A ．ab ＜0 B 、bc ＜0 C ．a+b ＋c ＞0 D ．a －b 十c ＜0四、知识小结：函数二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，图像 a>0a<0y0 xy0 x性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=ab2-，顶点坐标是（a b 2-，ab ac 442-）；（3）在对称轴的左侧，即当x<a b2-时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>ab2-时，y 随x 的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当x=ab2-时，y 有最小值，（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=ab2-，顶点坐标是（a b 2-，ab ac 442-）；（3）在对称轴的左侧，即当x<ab2-时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>ab2-时，y 随x的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当x=ab2-时，y 有最大值，例题．已知抛物线c bx ax y ++=2过三点（－1，－1）、（0，－2）、（1，l ）．（1）求抛物线所对应的二次函数的表达式；（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？五、中考真题回顾：（09佛山）19．（1）请在坐标系中画出二次函数22y x x =-+的大致图象；（2）在同一个坐标系中画出22y x x =-+的图象向上平移两个单位后的图象；（3）直接写出平移后的图象的解析式.注：图中小正方形网格的边长为1.（1）画图（略）注：基本反映图形的特征（如顶点、对称性、变化趋势、平滑）给2分，满足其中的两至三项给1分，满足一项以下给0分；（2）画图、写解析式（略）注：画图满分2分，同（1）的标准；写解析式2分（无过程不扣分）．（11·佛山）21.如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像经过A （－1，－1）、B （0，2）、C （1，3）；（1）求二次函数的解析式；（2）画出二次函数的图像；【答案】解：（1）根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝－1c ＝2a ＋b ＋c ＝3 ………………2分解得a ＝－1，b ＝2，c ＝2………………4分ab ac y 442-=最小值ab ac y 442-=最大值xy O第19题图xyoABC1所以二次函数的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋2………………5分（2）二次函数的图象如图………………8分给分要点：顶点、对称、光滑（各1分）（12佛山）22.(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数c bx ax y ++=2的解析式； ①y 随x 变化的部分数值规律如下表：②有序数对()0,1-、()4,1、()0,3满足c bx ax y ++=2； ③已知函数c bx ax y ++=2的图象的一部分（如图）． (2)直接写出二次函数c bx ax y ++=2的三个性质．解析：（1）方法一：由可得：C=3，0=+-c b a ，4=++c b a ，所以1-=a ，2=b ，C=3，所以二次函数解析式为：322++-=x x y方法二：由②可得：0=+-c b a ，4=++c b a ，039=++c b a ，解之得：1-=a ，2=b ，C=3，所以二次函数解析式为：322++-=x x y 方法三：由③可得：C=3，0=+-c b a ，12=-ab，解之得：1-=a ，2=b ，C=3，所以二次函数解析式为：322++-=x x y （三种选其一即可）（2）1、对称轴为1=x ， 2、开口向下 3、与x 轴有2个交点x -1 0 1 2 3 y343xyoABC14、交y轴正半轴考察知识：待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质及图像（2013•佛山）24．如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）．分析：（1）把点A、B、C代入抛物线解析式y=ax2+bx+c利用待定系数法求解即可；（2）把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；（3）根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积，列式进行计算即可得解．解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3），∴，解得，所以抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3；（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2；（3）如图，∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），∴PP′=1，阴影部分的面积等于平行四边形A′APP′的面积，平行四边形A′APP′的面积=1×2=2，∴阴影部分的面积=2．点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，（3）根据平移的性质，把阴影部分的面积转化为平行四边形的面积是解题的关键．。

【赛教教案】新北师版九年级数学下册课题9：二次函数的图象与字母系数之间的关系教学设计

课题：二次函数的图象与字母系数之间的关系【学习目标】让学生掌握二次函数的图象与字母系数之间的关系．【学习重点】掌握二次函数的图象与字母系数之间的关系．【学习难点】二次函数的图象与字母系数之间的关系是本节的难点．情景导入生成问题旧知回顾：函数 y ＝ax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 为常数，a ≠0)图象 a>0 a<0开口向上向下对称轴 x ＝－b 2a x ＝－b 2a顶点坐标 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a 最值当x ＝－b 2a 时，y 取最小值4ac －b 24a . 当x ＝－b 2a 时，y 取最大值4ac －b 24a. 增减性在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大. 在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小.思考：二次函数的图象与系数a 、b 、c 之间还有怎样的关系呢？自学互研生成能力知识模块一二次函数的图象与a 、b 、c 之间的关系【合作探究】典例：已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则有( C )A ．a>0，b>0B ．a>0，c>0C ．b>0，c>0D ．a ，b ，c 都小于0归纳：a 的符号由抛物线的开口方向决定，图象开口向上，a>0，图象开口向下，a<0；b的符号由抛物线的对称轴位置决定，当对称轴在y轴的左侧时，a、b同号，对称轴在y轴的右侧时，a、b异号，对称轴在y轴，b＝0；c的符号由图象与y轴的交点位置决定．在y轴的正半轴时，c>0，在y轴的负半轴时，c<0，在原点时，c＝0．知识模块二二次函数的图象与b2－4ac之间的关系【合作探究】范例：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的Δ的情况是( C )A．Δ<0 B．Δ＝0C．Δ>0 D．Δ≥0变例：若抛物线y＝x2＋2x＋a的顶点在x轴的下方，则a的取值范围是( B ) A．a>1 B．a<1 C．a≥1 D．a≤1归纳：抛物线与x轴有两个交点时，b2－4ac>0；抛物线与x轴只有一个交点时，b2－4ac＝0；抛物线与x轴没有交点时，b2－4ac<0．知识模块三二次函数的图象与a＋b＋c、a－b＋c之间的关系【合作探究】典例：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(c≠0)的图象如图所示，下列结论①b<0；②4a ＋2b＋c<0；③a－b＋c>0；④(a＋b)2<b2.其中正确的结论是( C )A．①② B．①③ C．①③④D．①②③④归纳：直线x＝1与抛物线y＝ax2＋bx＋c交点在x轴上，a＋b＋c＝0；交点在x 轴上方，a＋b＋c>0；交点在x轴下方，a＋b＋c<0.根据直线x＝－1与抛物线交点的位置可以确定a－b＋c的符号．知识模块四二次函数的图象与2a＋b、2a－b之间的关系【合作探究】典例：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc>0；②2a＋b<0；③a－b＋c<0；④a＋c>0，其中正确结论的个数为( C )A．4个 B．3个C．2个 D．1个归纳：若抛物线的对称轴是直线x＝1，则－b2a＝1，即b＋2a＝0；若抛物线的对称轴是直线x＝－1，则－b2a＝－1，即b－2a＝0．也经常利用对称轴大于或者小于±1，确定2a＋b或者2a－b与0的关系．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一二次函数的图象与a、b、c之间的关系知识模块二二次函数的图象与b2－4ac之间的关系知识模块三二次函数的图象与a＋b＋c、a－b＋c之间的关系知识模块四二次函数的图象与2a＋b、2a－b之间的关系当堂检测达成目标【当堂检测】1．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(c≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( D )A．a>0 B．b<0 C．c<0 D．a＋b＋c>0(第1题图)) (第2题图))(第3题图))2．图为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，则下列说法：①a>0；②2a＋b＝0；③a＋b＋c>0；④当－1<x<3时，y>0.其中正确的个数为( C )A．1 B．2 C．3 D．43．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y轴的直线，若点P(4，0)在该抛物线上，则4a－2b＋c的值为0．【课后检测】见学生用书课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。

二次函数的图像与字母系数的关系

作者：刘昌盛
作者机构：甘肃会宁县老君中学,730714
出版物刊名：中学教学参考
页码： 88-88页
年卷期： 2011年第4期
主题词：图像信息二次函数字母系数解决问题的能力初中数学直观形象数形结合学生
摘要：二次函数是初中数学的重点内容之一,它的图像与字母系数的关系非常密切,其图像是一种直观形象的交流语言,为考查学生的＂数形结合的思想＂和应用图像信息解决问题的能力,二次函数图像信息已成为近年中考的热点,现将二次函数的图像与字母系数的关系归纳如下：。

小专题(六) 二次函数的图象与字母系数之间的关系

小专题(六)二次函数图象与字母系数之间的关系抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象与字母系数a，b，c之间的关系：(1)当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下；(2)若对称轴在y轴的左边，则a，b同号，若对称轴在y轴的右边，则a，b异号；(3)若抛物线与y轴的正半轴相交，则c>0，若抛物线与y轴的负半轴相交，则c<0，若抛物线经过原点，则c ＝0；(4)当x＝1时，y＝ax2＋bx＋c＝a＋b＋c；当x＝－1时，y＝ax2＋bx＋c＝a－b＋c；当x＝2时，y＝ax2＋bx＋c ＝4a＋2b＋c；当x＝－2时，y＝ax2＋bx＋c＝4a－2b＋c；…(5)当对称轴x＝1时，x＝－b2a＝1，所以－b＝2a，此时2a＋b＝0；当对称轴x＝－1时，x＝－b2a＝－1，所以b＝2a，此时2a－b＝0；判断2a＋b大于或等于0，看对称轴与1的大小关系；判断2a－b大于或等于0，看对称轴与－1的大小关系；(6)b2－4ac>0⇔二次函数与横轴有两个交点；b2－4ac＝0⇔二次函数与横轴有一个交点；b2－4ac<0⇔二次函数与横轴无交点．1．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列选项正确的是(C)A．a>0 B．c>0C．ac>0 D．bc<02．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，给出以下结论：①a＞0；②b＞0；③c＜0；④b2－4ac＞0，其中所有正确结论的序号是(A)A．②④B．①③C．③④D．①②③3．(陕西中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是(D)A．c>－1 B．b>0C．2a＋b≠0 D．9a＋c>3b4．(龙岩中考)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则|a－b＋c|＋|2a＋b|＝(D)A．a＋b B．a－2bC．a－b D．3a5．(孝感中考)如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a－b＋c>0；②3a＋b＝0；③b2＝4a(c－n)；④一元二次方程ax2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是(C)A．1 B．2C．3 D．46．(扬州中考)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y轴的直线，若点P(4，0)在该抛物线上，则4a－2b＋c的值为0．。

9 课题：二次函数的图象与字母系数之间的关系

课题：二次函数的图象与字母系数之间的关系【学习目标】让学生掌握二次函数的图象与字母系数之间的关系．【学习重点】掌握二次函数的图象与字母系数之间的关系．【学习难点】二次函数的图象与字母系数之间的关系是本节的难点．【导学流程】一、情景导入感受新知完成下表格：问题：二次函数的图象与系数a，b，c之间还有怎样的关系呢？二、自学互研生成新知【自主探究】典例：已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则有(C)A．a>0，b>0B．a>0，c>0C．b>0，c>0D．a，b，c都小于0归纳：a的符号由抛物线的开口方向决定，图象开口向上，a>0，图象开口向下，a<0；b的符号由抛物线的对称轴位置决定，当对称轴在y轴的左侧时，a，b同号，对称轴在y轴的右侧时，a，b异号，对称轴在y轴，b＝0；c的符号由图象与y轴的交点位置决定．在y轴的正半轴时，c>0，在y轴的负半轴时，c<0，在原点时，c＝0．师生活动：①明了学情：了解学生能否根据图象确定a，b，c的符号．②差异指导：根据学情适时对学生进行点拨．③生生互助：小组合作、交流，讨论形成共识．三、典例剖析运用新知【合作探究】典例：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的Δ的情况是(C) A．Δ<0B．Δ＝0C．Δ>0 D．Δ≥0变式1：若抛物线y＝x2＋2x＋a的顶点在x轴的下方，则a的取值范围是(B)A．a>1 B．a<1C．a≥1 D．a≤1变式2：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(c≠0)的图象如图所示，下列结论①b<0；②4a＋2b＋c<0；③a－b＋c>0；④(a＋b)2<b2.其中正确的结论是(C)A．①②B．①③C．①③④D．①②③④变式3：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc>0；②2a＋b<0；③a－b＋c<0；④a＋c>0，其中正确结论的个数为(C)A．4个B．3个C．2个D．1个师生活动：①明了学情：观察学生在解题时有什么困难．②差异指导：对于学生的疑惑之处适时个别或分类点拨．③生生互助：小组交流、讨论、纠错，并寻找错因．四、课堂小结回顾新知①抛物线与x轴有两个交点时，b2－4ac＞0；抛物线与x轴只有一个交点时，b2－4ac＝0；抛物线与x轴没有交点时，b2－4ac＜0．②直线x＝1与抛物线y＝ax2＋bx＋c交点在x轴上，a＋b＋c＝0；交点在x轴上方，a＋b＋c＞0；交点在x 轴下方，a＋b＋c＜0.根据直线x＝－1与抛物线交点的位置可以确定a－b＋c的符号．③若抛物线的对称轴是直线x＝1，则－b2a＝1，即b＋2a＝0；若抛物线的对称轴是直线x＝－1，则－b2a＝－1，即b－2a＝0．也经常利用对称轴大于或者小于±1，确定2a＋b或者2a－b与0的关系．五、检测反馈落实新知1．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(c≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是(D) A．a>0B．b<0C．c<0D．a＋b＋c>0,(第1题图)),(第2题图)),(第3题图))2．图为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，则下列说法：①a>0；②2a＋b＝0；③a＋b＋c>0；④当－1<x<3时，y>0.其中正确的个数为(C)A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y轴的直线，若点P(4，0)在该抛物线上，则4a－2b＋c的值为0．六、课后作业巩固新知(见学生用书)。