1.2命题及充要条件

§1.2命题及充要条件

2014高考会这样考 1.考查四种命题的意义及相互关系；2.考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解，主要以客观题的形式出现；3.在解答题中考查命题或充要条件．复习备考要这样做 1.在解与命题有关的问题时，要理解命题的含义，准确地分清命题的条件与结论；2.注意条件之间关系的方向性、充分条件与必要条件方向正好相反；3.注意等价命题的应用．

1．命题的定义

能够判断真假，用文字或符号表述的语句叫做命题．

2．四种命题及相互关系

原命题是真命题，则它的逆否命题是真命题．

3．充分条件与必要条件

(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；

(2)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件．

[难点正本疑点清源]

1．等价命题和等价转化

(1)逆命题与否命题互为逆否命题；

(2)互为逆否命题的两个命题同真假；

(3)当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假．

2．集合与充要条件

设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有

(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件；

(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件；

(3)若A＝B，则p是q的充要条件；

(4)若A⃘B，且B⃘A，则p是q的既不充分也不必要条件．

1． 下列命题：

①“全等三角形的面积相等”的逆命题； ②“若ab ＝0，则a ＝0”的否命题；

③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题． 其中真命题的序号是________． 答案 ②③

解析 ①“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题；②“若ab ＝0，则a ＝0”的否命题为“若ab ≠0，则a ≠0”，而由ab ≠0，可得a ，b 都不为零，故a ≠0，所以该命题是真命题；③因为原命题“正三角形的三个角均为60°”是一个真命题，故其逆否命题也是一个真命题． 2． “x >2”是“1x <1

2

”的________条件．

答案 充分不必要

解析 ①x >2⇒2x >0⇒x 2x >22x ⇒1x <1

2，

∴“x >2”是“1x <1

2”的充分条件．

②1x <1

2

⇒x <0或x >2D ⇒/x >2. ∴“x >2”是“1x <1

2

”的不必要条件．

3． 已知a ，b ∈R ，则“a ＝b ”是“a ＋b

2

＝ab ”的____________条件．

答案 必要不充分

解析 因为若a ＝b <0，则a ＋b 2≠ab ，所以充分性不成立；反之，因为a ＋b

2＝ab ⇔a ＝

b ⇔a ＝b ≥0，所以必要性成立，故“a ＝b ”是“a ＋b

2＝ab ”的必要不充分条件．

4． (2011·天津改编)设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则

“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的______________条件． 答案 充要

解析 因为A ＝{x |x －2>0}＝{x |x >2}＝(2，＋∞)， B ＝{x |x <0}＝(－∞，0)，

所以A ∪B ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)， C ＝{x |x (x －2)>0}＝{x |x <0或x >2} ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)．

即A∪B＝C.故“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件.

5．(2012·天津改编)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的______________条件．

答案充分不必要

解析若φ＝0，则f(x)＝cos x是偶函数，

但是若f(x)＝cos(x＋φ)是偶函数，则φ＝π也成立．

故“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分不必要条件.

题型一四种命题及真假判断

例1已知命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是________．(填序号)

①否命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”是真命题；

②逆命题“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”是假命题；

③逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”是真命题；

④逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．

思维启迪：根据四种命题的定义判断一个原命题的逆命题、否命题、逆否命题的表达格式．当命题较简单时，可直接判断其真假，若命题本身复杂或不易直接判断时，可利用其等价命题——逆否命题进行真假判断．

答案④

解析命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．

探究提高(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)认真仔细读题，必要时举特例．

有下列四个命题：

①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；

④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．

其中真命题的序号为________．

答案①③

解析①的逆命题是“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真；②的否命题是“不全等