第七章抽样推断

x
2
n


s n n
样本平均数 34 36 38 40 42 44 46 48 50 合计
频数 1 2 3 4 5 4 3 2 1 25
xf E x x f
42 X
2
x
x X f
2
n
f
4
x
32 4 2
抽样平均误差总结
x
分层抽样小于纯随机抽样 纯随机抽样小于整群抽样。
抽样误差的种类
1、抽样实际误差 2、抽样平均误差 3、抽样极限误差
抽样实际误差
x X
pP
抽样实际误差：是指根据一个实际抽取出来的样 本所计算出来的样本统计量与总体参数之间存 在的实际偏差
为什么说：抽样实际误差只是存在于理论上， 在实际工作中是不可能知道的？
2
1057
183 p 91.5% 200
⒉求灯泡使用时间抽样平均误差： 在重复抽样下，抽样平均误差: 53.63 3.79小时 n 200
x
在不重复抽样下，抽样平均误 差
n N 1 3.75小时
x
2 N n
53.63
样本个数M：又称样本可能数目，指从一个总体中所可能抽 取的样本的个数。
（二）总体指标与样本指标 1.总体指标 总体指标（总体参数），是反映总体数量特征的统计指标， 确定且唯一。 包括： 总体平均数、总体成数、总体方差和总体标准差
2、样本指标 样本指标（统计量），是根据样本数据计算的样本指标。数 值决定于样本各单位的标志值，不是唯一的，是个随机变 量。 包括： 样本平均数、样本成数、样本方差和样本标准差。
10000 200 200 10000 1
2
⒊求灯泡合格率的抽样平均误差： 在重复抽样下，抽样平均误差:
p
p1 p n
0.915 0.085 1.97% 200
在重复抽样下，抽样平均误差
p 1 p N n x n N 1 1.95%
2、抽样估计的特点
（1）逻辑上运用归纳推理，而不是演绎推理。 （2）方法上运用不确定的概率估计法，不是运用 确定的数学分析法。 （3）抽样估计存在抽样误差，允许的误差范围越 大，则概率保证程度也越大。
二、参数估计的方法： （一）点估计 点估计的含义：直接以样本统计量作为相应总体 参数的估计量（即令抽样极限误差等于零）。
0.915 0.085 10000 200 200 10000 1
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抽样极限误差的由来：
抽样平均误差是对所有抽样实际误差的平均，只代表平均水平 而在实际过程中，为了控制抽样推断的效果，通常会设定一 个可接受的误差水平。该误差水平即为抽样极限误差（可容 忍的抽样误差---对其实际误差水平进行控制）。 含义：抽样极限误差是指用绝对值形式表示的样本指标与总体 指标之间离差的可能范围。抽样极限误差就是在一定的概率 保证下，用统计量去估计总体参数时的最大允许误差.
n PN
D
A B C E
E
A B C D
考虑顺序时：样本个数M
B C D E
N! 5! 20 (N - n)! 3!
D
A
B
C D E
C
D E
n CN
E E
不考虑顺序时：样本个数M
N! 5! 10 (N - n)!n! 3!2!
第二节 抽样误差
统计误差按产生的来源分类，有系统性误差和代表性误差。 一、抽样误差的概念 抽样误差是指由于抽样的随机性引起的样本指标值与被推 断的总体指标值之间的误差。
M
实际运用的计算公式： （重复抽样）
x
2
n


s n n
例1：某班组5个工人的日工 资为34、38、42、46、50元。
X 42
2 32
现用重复抽样的方法从5人中随机 抽2个构成样本。 共有25个样本。如右图。
样本 34,34 34,38 34,42 34,46 34,50 38,34 38,38 38,42 38,46 38,50 42,34 42,38 42,42 42,46 42,50
é ² ³ é µ Æ Å Ý ¸ ö Ê ý (¸ ö ) 2 4 11 71 84 18 7 3 200
é Ö × Ð Ö µ 875 925 975 1025 1075 1125 1175 1225
⒈求灯泡平均使用时间、标准差和灯泡合格 率（样本）
x
xf

f x x 53.63 n
重复抽样（放回）
例如从A、B、C、D、E五个字母中随机抽取两个作为样本。N=5， n=2 A A A A A B B B B B C C A C B C E C D C D D D D D E E E E E
考虑顺序时：样本个数M N n 52 25
A B C D E B C D E
A
t F t

常用的置信度与置信概率
t F(t)
1
1.96 2 3 4
68.27%
95% 95.45% 99.73% 99.99%
例题：
某灯泡厂生产大量某种型号的灯泡，现采用抽样调查方法抽取500 只灯泡，对其进行质量检验。检查结果如表所示。 试计算平均耐用时间的抽样平均误差
耐用时间（小时 ）
含义：也叫做“无放回抽样”、“不回置抽样”，是从全及总体中抽取第一个 样本单位，记录该单位有关标志表现后，这个样本单位，不再放回全及总体 中参加下一次抽选的方法。
特点：
（1)、每个单位最多只有一次被抽中的机会。 (2)、随着抽中单位的不断增多，剩下的单位被抽中的机会不断增大。 (3)、不重复抽样的误差小于重复抽样的误差。
。
总体
样本 抽取

参数
2
x xf x 、 x n f
p n1 n0 n1
2

s
2
推断 平均数 标准差、方差
x x
n 1
X P
统计量
x s、s 2 p
s
2
、
x x
f
2
f
1
成数
（三）抽样方法 1、重复抽样 含义：每次从总体中抽取的样本单位，经检验之后又重新放回总体， 参加下次抽样 特点是总体中每个样本单位被抽中的概率是相等的。 2、不重复抽样
三、抽样平均误差
抽样平均误差是反映抽样误差一般水平的统计指标，是最有可能出
现的样本指标（样本平均数或样本成数）的标准差，是所有样本指标和 总体指标间抽样实际误差的平均数。 抽样平均数的平均误差： 抽样成数的平均误差： p 理论上的计算公式： x


x
x
M i 1
i
X

2
样本平 均数 X 34 36 38 40 42 36 38 40 42 44 38 40 42 44 46
样本 46,34 46,38 46,42 46,46 46,50 50,34 50,38 50,42 50,46 50,50
来自百度文库
样本平 均数 X 40 42 44 46 48 42 44 46 48 50
X x P p 2 2 s
X X
n 1
2
点估计完全正确的概率几乎为0。 因此，我们更多的是考虑用样本统计量去估计总体 参数的范围 区间估计。
xf x f
926.4, 55.2
样本标准差
由概率保证程度0.9973，查表得概率度t=3 计算抽样极限误差
x
55.2 x n 500 2.47
t x 3 2.47 7.4

⑵p=0.4%
p
p1 p n
0.004 0.996 0.28% 500
例：
Æ Å µ Ý Ê ¹ Ó Ã Ê Ù Ã ü × Ê Á Ï
¹ Ã Ê Ó Ê ±ä ¼ (Ð ¡ Ê ±) 900Ò Ô Ï Â 900~950 950~1000 1000~1050 1050~1100 1100~1150 1150~1200 1200Ò Ô É Ï Ï Æ º ¼
求样本平均数和样本成数的抽样平均误差。
抽样误差是指在遵循了随机原则的条件下，不包括登记误 差和系统性误差在内的，用样本指标代表总体指标而产生 的不可避免的误差 系统性误差：可避免，难以计算难以控制。 抽样误差：不可避免但可控制
二、影响抽样误差的因素 ①抽样单位的数目 ②总体被研究标志的变异程度 ③抽样方法的选择 ④抽样组织方式不同
x 2
n
p

n
p 2
n p1 p n
重复抽样
不重复抽样
x
2 N n
n N 1
p
p1 p N n n N 1
注：现实中，平均数的标准差和成数的标准差都是针对总体而言的，都是未知的。 常用样本平均数代替总体平均数，用样本成数代替总体成数。
B
C
C D E
D D E
E
不考虑顺序时：样本个数M C
n N n 1
6! N n 1! 15 N 1!n! 4!2!
E
不重复抽样： 例如从A、B、C、D、E五个字母中随机抽取两个作为样本。N=5，n=2
A A B C D E B
C D E C
A B
D E
四、抽样涉及的基本概念有： （一）总体与样本 （二）总体指标和样本指标 （三）抽样方法
（一） 总体和样本
1.总体：指所要研究对象的全体，由许多客观存在的具有 某种共同性质的单位构成。 总体单位数用 N 表示。 2.样本：是从总体中按随机原则抽选出来的部分，由抽选 的单位构成。 样本单位数用 n 表示。 3.总体是唯一确定的，样本是不确定的、可变的、随机的 一般n大于30为大样本，小于30为小样本。
x
p
抽样平均误差是反映抽样误差一般水平的指标; 抽样极限误差是反映抽样误差的最大范围的指标.
四、抽样极限误差

x X x
p P p
p t p
x t x
样本指标和总体指标的误差 不超过一定范围的 概率保证程度
抽样极限误差的大小决定抽样推断的置信度（置信概率） t 抽样极限误差是t倍 t t--概率度 的抽样平均误差
组中值x （小时 ）
灯泡数量 f（只 ）
850以下
850-900 900-950
825
875 925
35
127 185 103 42 8
950-1000 975 1000-1050 1025 1050以上 1075 0.9973） 试求：⑴抽样极限误差（概率保证程度
⑵检查500个灯泡中不合格产品占0.4%，试在0.6827概率保证下，计算 抽样极限误差 合计 500
统计抽样法
本章重点： 1、抽样误差的计算及控制 2、总体平均数的区间估计 3、总体成数的区间估计 4、必要样本容量的确定 5、不同抽样组织方式之间的区别
统计抽样法理论
一、统计抽样法的构成 （一）抽样调查：科学获取样本数据的方法
抽样调查是非全面调查，它是按照随机原则从调查对（总体）中抽取 一部分单位进行调查，用调查所得指标数值对调查对象相应指标数值 作出具有一定可靠性的的估计和推断的一种统计调查方法。
（二）抽样推断：根据样本的实际资料计算样本指标，在 一定的概率保证程度下，推断总体相应数量特征的一种统 计方法。是根据样本数据对总体数据进行估计或对总体假 设进行验证的方法。 包括： 1、参数估计 2、假设检验
二、抽样推断的特点 1、由部分推断总体 2、建立在随机原则的基础上，使样本具有代表性 3、运用概率估计法 可靠程度 4、抽样误差可以事先计算并加以控制 三、抽样推断的运用 1、无法进行或没必要进行全面调查时，使用抽样法 可以对总体有较好的认识。 2、使用抽样法对全面调查的结果加以补充或修正。 3、抽样法可用于对产品质量进行实时控制。 4、抽样法可以对假设进行检验，降低实验成本
概率保证程度为0.6827时，t=1
p
1 p 0.28%
第三节 抽样估计
一、抽样估计的概念和特点 1、抽样估计的概念
抽样估计（Sampling estimation）又称参数估计。 它是在抽样调查的基础上所进行的数据推测，即用抽样调 查所得到的一部分单位的数量特征来估计和推算总体的数 量特征。 抽样估计的方法： 点估计和区间估计