中国科学技术大学2009年线性代数期末试题

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《线性代数》期末试卷-A1

3.已知，则的第三行各元素的余子式之和为。
4.已知矩阵，则。
5.已知向量组线性相关，则。
6.若矩阵的秩为2，则。
7.齐次线性方程组的基础解系中所含向量个数是。
8.设向量与正交，则。
9.设为矩阵的特征值，则的特征值为。
10.已知三阶实对称矩阵的特征值，则。
二、选择题：(每小题2分,共10分)
(1) 为线性方程组的解；
（2）。
（C）有唯一解的充要条件是 .
（D）有无穷多个解,则有非零解.
4.如果矩阵的秩 ,则下列结论不正确的是（）。（A）矩阵可逆.（B）中必包含个线性无关的列向量.
（C）线性方程组一定存在非零解.
（D）任意个行向量所组成的向量组一定线性相关.
5.设为阶矩阵，则与对角矩阵相似的充分必要条件的是（）。
（A）为实对称矩阵.
（B）有个互不相同的特征值.
（C）有个线性无关的特征向量.
（D）的属于不同特征值的特征向量相互正交.
三、解答题：(每小题9分,共63分)
1．计算阶行列式。
2．设 , ,求使。
3.设三阶矩阵，且 ,计算行列式。
4.求向量组的极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示。
5.已知线性方程组，讨论：
（1）当取何值时，线性方组有无穷多解，并求出其通解。
6．将 , , 化为标准正交向量组。
7．设矩阵可对角化，求：（1）的值；（2）可逆矩阵，使得为对角矩阵。
四、证明题：(本题共7分)
设矩阵，其中，且线性无关。已知向量，证明：
考试科目：线性代数考核方式：开卷（）闭卷（√）

中科大历年考研数学真题

直线 l1, l2 平行，且 π 与 l1 的距离是 91, 求 π 的方程。
3. 设 A : U → V 为数域 F 上的线性空间 U 到 V 上线性映射. 证明：
dim KerA + dim Im A = dim U
2 −1 1 4. 设 A = 2 2 −1 , 求方阵 P , 使得 P −1AP 为 A 的 Jordan 标准形。
··· ···
(α1, αn)
(α2, αn) ...
,
其中 (αi, αj) 是 V 的内积.
(αn, α1) (αn, α2) · · · (αn, αn)
求证:G 正定的充分必要条件是 α1, · · · , αn 线性无关。
5. 设 A 是无限维线性空间 V 的线性变换，B 是 A 在 ImA 上的限制变换. 求证：
.
a2x1 + x2 + x3 = 1
5.
使线性方程组
x1 + ax2 + x3 = a x1 + x2 + x3 =a2
有解的实数 a 的取值范围是
.
6.
已知实方阵 A 的伴随矩阵 A∗
2.
以曲线
y = x2 z=2
为准线，原点为顶点的锥面方程为
.
3. 以 xOy 平面上的权限 f (x, y) = 0 绕 x 轴旋转所得的旋转面的方程是
.如
果曲线方程是 x2 − y2 − 1 = 0, 由此得到的曲面类型是
.
4. 设 α1, α2α3α4 是线性空间 V 中 4 个线性无关的向量,
为 α1 = (1, 0, −1), α2 = (?, ?, ?), 求矩阵 A 以及使 A 对角化的矩阵 P 7. A 是复方阵，线性变换 T → AX + XA, 证明：如果 A 可对角化，那么 T 也可以对

中国科学技术大学2009-2010学期期末考试试卷

2009－2010学期期末考试试卷考试科目: 天体物理概论（专业型）得分:___________学生所在系:___________ 姓名:__________ 学号:___________1.a)一个动能为4.4eV的电子被一个质子俘获，复合到n=2能级（如2p），然后跃迁到基态。

请问在这个过程可以发出几个光子？光子波长是多少？b)一个处于n=2的激发态的He+离子跃迁到基态，发射出一个光子；请问它的波长是多少？[English Version] a) An electron with kinetic energy of 4.4eV is captured by a proton and recombines into the n=2 energy level (say 2p), and then transits downward to the base level.How many photon(s) can be emitted in the whole process? And calculate the photon wavelength.b) Calculate the wavelength of the photon emitted from the transition of a He+ ion fromn=2 to n=1?如右图所示四个阶段（这四个阶段不一定是连续序列）：a)两个恒星都处于主序阶段；b)质量稍大的恒星（初始质量为2个太阳质量）脱离主序，处于巨星阶段；c)初始质量稍大的恒星演化成了白矮星；而初始质量稍小（1个太阳质量）的恒星吸积伴星物质后质量变为2.4个太阳质量，然后演化、逐渐损失质量并把物质传送给白矮星；d)现在白矮星质量达到Chandrasekhar极限，发生Type 1型超新星爆发。

请大致估计以上4个阶段各自的时标。

In the evolution of a close binary system, thereinclude the following four stages (that may notbe seamlessly sequent):a) Both stars are in main-sequence phase;b) the more massive star (initially 2 solarmasses) evolves away from the main sequenceand begins to lose mass to its companion;c) The initially massive star now becomes awhite dwarf of 0.6 solar mass; the initially less massive star (initially 1 solar mass) has gained mass from the companion and weighs 2.4 solar mass now, then it evolves and begins to lose mass, which will accumulate onto the surface of the white dwarf.d) Now the white dwarf eventually gains the mass up to the Chandrasekhar limit, and soexplodes as a type 1 supernova.Please estimate roughly the time scales of the four stages described above.3. AGN尘埃环（torus）很可能是不均匀的团块状结构。

2008-2009第二学期线性代数试卷及标答(B卷)

12n n n b b b ；12312⎛⎫ ⎪，2⎛武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称:线性代数（ A 卷）一、填空题（每小题3分，共15分）1、2A E +；2、1；3、4；4、3；5、 0.二、选择题（每小题3分，共15分）1、C2、C3、A4、D 5 、B三、解答题（每小题7分，共35分）1、 2212111nn nn i i n b b a b b D a b b a b =+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦+∑ ………………………………………………………（3分） 11n i iaa b a =⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑ ………………………………………………………………（6分）11n n i i a b a -=⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑…………………………………………………………………………………（7分） 2、因为()123240,312402231024A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭……………………………………………………………（2分） 553100444333010444131001222r r ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪−−→−−→- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭………………………………………………（6分）所以 X=55313334262-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭………………………………………………………………（7分） 3、因 22|3|3||T AA A =29||A = ……………………………………………………（5分）2229()a b =+。

……………………………………………………（7分）4、设10,T X α= 即123220x x x ++= ……………………………………… （2分）解得基础解系12221,001ηη--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

……………………………………… （4分）Schmidt 正交化12,ηη，得到222132222252[,]41,[,]501ηααηαηααα⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭即为所求。

中科大：线性代数与解析几何试题期末试题

考试试卷册考试科目线性代数出卷教师使用班级中国科学技术大学教务处中国科学技术大学考试科目:线性代数得分: 学生所在系:姓名:学号:一．填空题（每空4分，共20分）（1）设3阶方阵)3,,2(),,(αγβγβα==B A ，，其中γβα,,为3维列向量。

若1det =A ，则=B det（2）设B A ,为n 阶可逆方阵，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1n I BA （3）设A 为n 阶方阵，3det =A ，*A 为A 的伴随方阵，则=*det A（4）设321,,e e e 为线性空间V 的一组基，则从基132,,e e e 到基213,,e e e 的过渡矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛（5）设实二次型3121232221321 22),,(x x t x x x x x x x x Q ++++=是定正的，则t 的取值范围是二．下列命题是否正确，并简要说明理由。

（每题5分，共20分）（1） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1152376412A 和⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=020000301B 相抵。

（2） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010111A 和⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100110011B 相似。

（3）任意n 阶实方阵B A ,满足BA AB rank rank =。

（4）不存在n 阶实方阵B A ,使得n I BA AB =-。

三．（15分）实数λ取何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++=++221321321321x x x x x x x x x λλλλ无解，有唯一解，或有无穷多解？当方程组有无穷多解时，求其通解。

四．（15分）设3维实线性空间3R 上线性变换✌将向量⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=32010121αα，，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5303α分别映到向量⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=122320021321βββ，，。

求✌在基⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001100010321γγγ，，下的矩阵。

2009-2010学年第一学期线性代数A期末试卷A卷及参考答案

2.（6 分）设 n 阶方阵 A 满足 A2 + 9 A + 7 E = 0, ，求证 A − 2 E 可逆且求其逆．
⎛ 0 1 0 ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎛ 1 −4 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3、（8 分）解矩阵方程 ⎜ 1 0 0 ⎟ X ⎜ 0 0 1 ⎟ = ⎜ 2 0 −1 ⎟ ． ⎜ 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜ 1 −2 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
浙江科技学院 2009-2010 学年第一学期线性代数A考试试卷A卷一、填空题（每小题 4 分，共 20 分）
1. 已知 4 阶行列式 D 的第二行元素分别为 1、2、3、4，与它们对应的余子式依次为 4、 −3 、2、 −1 ，则 D =__________ . 2. 设 A 是三阶方阵, A* 是其伴随矩阵, | A |=
第 3 页
⎛1 0 0 ⎞ ⎛ 1 2 1⎞ ⎜ ⎟ ⎟ −1 5.（8 分）解： A= (α 1 , α 2 , α 3 )= ⎜ 1 2 3 ⎟ ， B= ( β1 , β 2 , β 3 )= ⎜ ⎜- 1 1 3 ⎟， P = A B ， ⎜1 3 4 ⎟ ⎜ 0 1 - 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 1 ⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ 由 ( A, B ) ⎯⎯ →( E , A B ), 求得P = A B = ⎜ 5 1 −14 ⎟ ⎜ −4 −1 10 ⎟ ⎝ ⎠
第 4 页
⎛ 1 0 5 ⎜ ⎜ 令 P = ( p1 , p2 , p3 ) = ⎜ −2 0 5 ⎜ 1 ⎜ 0 ⎝ 2 ⎞ 5⎟ 1 ⎟ ，则 P 为正交矩阵， 5⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎠
从而 x = Py 为正交变换，使 f = − y12 + 2 y2 2 + 4 y32 四、证明题（6 分）证：设 k1α1 + k 2α 2 + k3α 3 + k 4 (α 5 − α 4 ) = 0, 由 R(I)=R(II)=3，得 α 4 可由 α 1 ,α 2 ,α 3 惟一线性表示，设为 α 4 = l1α1 + l2α 2 + l3α 3 , 代入得 (k1 − l1 k 4 )α 1 + (k 2 − l 2 k 4 )α 2 + (k 3 − l3 k 4 )α 3 + k 4α 5 = 0, 因为 α1 , α 2 , α 3 , α 5 线性无关, 所以 k1 − l1 k 4 = k 2 − l 2 k 4 = k 3 − l 3 k 4 = k 4 = 0, 从而 k1 = k 2 = k 3 = k 4 = 0 ,得证。

全国2009年4月高等教育自学考试

全国2009年4月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表示单位矩阵，A 表示方阵A 的行列式，r (A )表示矩阵A 的秩。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．3阶行列式011101110---=ij a 中元素a 21的代数余子式A 21=（） A ．-2B ．-1C ．-1D ．22．设n 阶可逆矩阵A 、B 、C 满足ABC =E ，则B -1=（）A ．A -1C -1B ．C -1A -1 C ．ACD ．CA 3．设3阶矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000100010，则A 2的秩为（） A ．0B ．1C ．2D ．3 4．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛22211211a a a a ，B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++121112221121a a a a a a ，P 1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110，P 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1101，则必有（） A ．P 1P 2A =BB ．P 2P 1A =BC ．AP 1P 2=BD ．AP 2P 1=B5．设向量组α1, α2, α3, α4线性相关，则向量组中（）A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合6．设α1, α2, α3, α4是一个4维向量组，若已知α4可以表为α1, α2, α3,的线性组合，且表示法惟一，则向量组α1, α2, α3, α4的秩为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 7．设α1, α2, α3是齐次线性方程组Ax =0的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是（）A ．α1, α2, α1+α 2B ．α1, α2, α1-α 2C ．α1+α2, α2+α3, α3+α 1D ．α1-α2，α2-α3，α3-α18．设A 为3阶矩阵，且E A 32-=0，则A 必有一个特征值为（）A ．-23 B ．-32 C ．32D ．23 9．设实对称矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--120240002，则3元二次型f (x 1,x 2,x 3)=x T Ax 的规范形为（） A ．21z +22z +23z B ．21z +22z -23zC ．21z +22zD ．21z -22z10．设2元二次型f (x 1,x 2)=x T Ax 正定，则矩阵A 可取为（）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2112 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2112 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1221 D ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛1221 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

线性代数期末试题及答案

第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。

线性代数02198自考2009年~2012年真题试题及答案(新)

2009年7月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数试题课程代码：02198试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵；A *表示A 的伴随矩阵；R （A ）表示矩阵A 的秩；|A |表示A 的行列式；E 表示单位矩阵。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设A ，B ，C 为同阶方阵，下面矩阵的运算中不成立．．．的是（） A ．（A +B ）T =A T +B T B ．|AB |=|A ||B | C ．A （B +C ）=BA +CA D ．（AB ）T =B T A T 2．已知333231232221131211a a a a a a a a a =3，那么333231232221131211222222a a a a a a a a a ---=（） A ．-24 B ．-12 C ．-6D ．123．若矩阵A 可逆，则下列等式成立的是（）A ．A =||1A A *B ．|A |=0C ．（A 2）-1=（A -1）2D ．（3A ）-1=3A -14．若A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-251213，B =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-123214，C =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--213120，则下列矩阵运算的结果为3×2的矩阵的是（） A ．ABC B ．AC T B T C ．CBAD ．C T B T A T5．设有向量组A ：4321,,,αααα，其中α1，α2，α3线性无关，则（）A ．α1，α3线性无关B ．α1，α2，α3，α4线性无关C ．α1，α2，α3，α4线性相关D ．α2，α3，α4线性无关6．若四阶方阵的秩为3，则（） A ．A 为可逆阵B ．齐次方程组Ax =0有非零解C ．齐次方程组Ax =0只有零解D ．非齐次方程组Ax =b 必有解7．已知方阵A 与对角阵B =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---200020002相似，则A 2=（）A ．-64EB ．-EC ．4ED ．64E8．下列矩阵是正交矩阵的是（） A ．⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--100010001B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11001110121 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--θθθθcos sin sin cos D ．⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--336102233660336122 9．二次型f =x T Ax (A 为实对称阵)正定的充要条件是（） A ．A 可逆B ．|A |>0C ．A 的特征值之和大于0D ．A 的特征值全部大于010．设矩阵A =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--4202000k k 正定，则（）A ．k ＞0B ．k ≥0C ．k ＞1D ．k ≥1二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

线性代数期末习题库及答案.docx

一、计算下列行列式: 1、 3、 5、 7、《线性代数》补充练习练习一行列式2、1 -1 1力- -2 1 0 0 01 -1Z + 1 -1 ?4、-211 Z-1 1 -1 —°10 =二？ z + l -11 -10 0 0 -2 11O 10 0-22-1 -1 -1 -12 0-1 -1 A-1 -1 -1 -?6、 0-z A- 1 --1 -1 2-1-1-12-1 -1 -1 2-1k0 1 1 1 1 1 1 =?1 — a a 0 0 00 1 1 … 1 1 -11 — Q a1 0 1 … 1 10 -1 1 — Q a 0 =? 8、D … =11… 1 1-1 1 — Cla1 1 1 … 0 1 0 0 0-1 1 — a111 … 1 0babD 51 0 0 … 0 11 1 0 …0 0 D” =0 1 1 … 0 00 …1 19、 -?10、、若下面的齐次线性方程组有非零解，求2的取值。

兀1 +加3=0 2x l _无 =0 加1 + x 2 =0 x 3 + 2X 4 = 0 三、用克莱姆法则解线性方程组:兀]+ x2+兀 3 =a+b+cax x+ bx2+ cx3=a2 +b2 +c2其中a、b、c为互不相等的常数。

bcx、+ acx2+ abx3=3abc练习二线性方程组一、选择题：(1)设n阶方阵A的秩r<n,则在A的n个行向量中( )(A)必有r个行向量线性无关；(B)任意r个行向量均可构成极大无关组；(C)任意r个行向量均线性无关；(D)任一个行向量均可由其他r个行向量线性表示(2)若向量组a, p, 丫线性无关；a, p, 6线性相关，贝)(A)a必可由B, y, 6线性表示；(B) B必不可由a, y, 6线性表示；(C) 6必可由a, B, 丫线性表示；(D) 6必不可由a, B, 丫线性表示；(3)设有向量组a ]= (1, -1, 2, 4) ,a2= (0, 3, 1, 2) a 3= (3, 0, 7, 14),a 4= (1, -2, 2, 0) ,a 5= (2, 1, 5, 10)则该向量组的极大线性无关组是( )(A) a a 2, a 3(B) a” a 2, a 4(C) a” a 2, a 5 (D) a 1； a 2, a 4, a 5(4)设A为mXn矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是：( )(A)A的列向量线性无关；(B) A的列向量线性相关；(C) A的行向量线性无关；(D) A的行向量线性相关。

中国科技大学2009–2010 学年《同调代数》第一学期考试试卷

中国科学技术大学2009–2010学年第一学期考试试卷考试科目:同调代数得分学生所在系:姓名学号1.一个环R 称为左遗传环，如果R 的任意左理想均为投射模。

证明下述等价：(1)R 为左遗传环；(2)任意左投射R -模的任意一子模为投射模；(3)任意左内射R -模的任一商模为内射模；(4)对任意的左R -模A 和B ，均有Ext 2R (A,B )=0。

2.Abelian 群A 的秩是指A 中线性无关元的个数的极大值。

证明若A 为可数秩Abelian 群且Ext(A,Z )=0，则A 为自由Abelian 群。

3.计算Ext(Q ,Z )以及Hom(Q ,Q /Z )。

4.举例说明下述不恒成立，其中A,B,A j ,B j 为某个环R 上的模。

(1)Hom(∏A j ,B ) ∏Hom(A j ,B )；(2)Hom(∏A j ,B ) ⨿Hom(A j ,B )；(3)Hom(A,⨿B j ) ⨿Hom(A,B j )；(4)Hom(A,⨿B j ) ∏Hom(A,B j )。

5.设A 为环R 上的有限表现模，即存在正合列P 1→P 0→A →0使得P 0和P 1均为有限生成投射模，则A 为平坦模当且仅当A 为投射模。

6.设R 为环，I ▹R 为理想，A 为左R -模。

证明或者否定作为左R -模，R/I ⊗R A ∼=A/IA 。

17.设f:R→R′为环同态，则f自然诱导一个函子f∗:Mod(R′)→Mod(R)，其中Mod(R)和Mod(R′)分别为左R-模范畴和左R′-模范畴。

证明：(1)若R′为投射R-模，则f∗将投射模映到投射模；(2)若R′为平坦R-模，则f∗将内射模映到内射模。

8.设g为李代数，A为一个左g-模。

证明H2(g,A)与M(g,A)一一对应，其中M(g,A)为g关于A的扩张的等价类。

9.设g为有限维半单李代数。

证明对任意有限维g-模A,B，均有Ext1(A,B)=0。

g2。

线性代数2009试题A答案

2009年《线性代数》统考试题参考答案一．填空题（每个小题3分,共15分）二.选择题(每小题3分,共15分)三.（8分）解: 9644129644129644129644122222++++++++++++=d d d d c c c cb b b b a a a a D 062126212621262122222=++++=d d c cb b a a四.（12分）解:由B A AB +=2知B A AB =-2，即B E B A =-)2(，又⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0020202002E B ，显然082≠=-E B ，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--002102102100)2(1E B 而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-101020101)2(1E B B A 。

所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--001010100)(1E A 。

五.（12分）解: 对增广矩阵作初等变换,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=0000061000802103010133707101133110143412),(b A取3x 为自由未知数，1x 、2x 和4x 为非自由未知数，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=+-=68234333231x x x x x x x ，所以方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛608301214321c x x x x 。

六.（10分）证明:A A An T)1(-=-=，由n 是奇数和A A T =得A A -=，整理得02=A ，故0=A 。

七.（10分）解:21ηη-和31ηη-是齐次线性方程组的解，)(23213121ηηηηηηη+-=-+-是齐次线性方程组的解。

齐次方程组的基础解系中含解向量的个数为4-3=1.所以方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54326543k x ，其中k 可取任意常数。

八.（10分）证明:按题设，有111p Ap λ=，212p Ap λ=，故.)(221121p p p p A λλ+=+用反证法，假设21p p +是A 的特征向量，则应存在数λ，使),()(2121p p p p A +=+λ于是221121)(p p p p λλλ+=+，即,0)()(2211=-+-p p λλλλ因21λλ≠，所以1p ，2p 线性无关，故由上式得,021=-=-λλλλ即21λλ=，与题设矛盾。

中科大数值计算方法考试试题2010

2
0 .2 3
· (f (a) + f (b) + 4
1≤i≤m 0 .2 3
f (x2i−1 ) + 2
1≤i≤m−1
f (x2i ) 得
· (5.7 + 5.5 + 4 · (4.6 + 3.7 + 5.2) + 2 · (3.5 + 4.9)) = 5.47 √ 8.（12 分）用牛顿迭代法计算 1 + 5，初值取 2.0000，迭代 3 步. √ 解： 1 + 5 为 f (x) = x4 − 2x2 − 4 = 0 的根。Newton 迭代公式为 xk+1 = xk − x1 = 1.8750， x2 = 1.8576， x3 = 1.8573。 9.（10 分）用形如 xi yi 1.00 0.33
xn+1 xn
解：由 yn+1 = yn +
f (x, y )dx，设
xn+1 xn
f (x, y )dx = α0 f (xn , yn ) + α1 f (xn−1 , yn−1 ) +
α2 f (xn−2 , yn−2 ) 为以 {xn , xn−1 , xn−2 } 为积分节点的数值积分公式，则 xn+1 (x−xn−1 )(x−xn−2 ) 23 α0 = xn (xn −xn−1 )(xn −xn−2 ) dx = 12 h xn+1 (x−xn )(x−xn−2 ) α1 = xn dx = − 4 h (xn−1 −xn )(xn−1 −xn−2 ) 3 x ( x − x )( x − x ) n +1 α = n n−1 dx = 5 h