河口区一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

河口区一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 直线l 将圆x 2+y 2﹣2x+4y=0平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程是（ ）
A ．x ﹣y+1=0，2x ﹣y=0
B ．x ﹣y ﹣1=0，x ﹣2y=0
C ．x+y+1=0，2x+y=0
D ．x ﹣y+1=0，x+2y=0
2． 一个椭圆的半焦距为2，离心率
e=，则它的短轴长是（ ）
A ．3
B
．
C ．
2
D ．6
3． 已知实数[1,1]x ∈-，[0,2]y ∈，则点(,)P x y 落在区域20
210220x y x y x y +-⎧⎪
-+⎨⎪-+⎩
……… 内的概率为（ ）
A.3
4 B.38 C. 14
D. 18
【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查数形结合思想及基本运算能力. 4． 下列四组函数中表示同一函数的是（ ） A ．()f x x =
，2()g x = B ．2()f x x =，2()(1)g x x =+ C
．()f x =
()||g x x = D ．()0f x =
，()g x =
1111]
5． 已知命题p ：∀x ∈R ，32x+1＞0，有命题q ：0＜x ＜2是log 2x ＜1的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）
A ．￢p
B ．p ∧q
C ．p ∧￢q
D ．￢p ∨q
6． 集合{}1,2,3的真子集共有（ ）
A ．个
B ．个
C ．个
D ．个 7． 如图，一个底面半径为R 的圆柱被与其底面所成角是30°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的离心率是（ ）
A
． B
． C
． D
．
8． 已知是虚数单位，若复数)(3i a i +-（R a ∈）的实部与虚部相等，则=a （ ）
A ．1-
B ．2-
C ．
D ． 9． 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是，，，BH 为AC 边上的高，5BH =，若
2015120aBC bCA cAB ++=，则H 到AB 边的距离为（ ）
A ．2
B ．3 C.1 D ．4
10．“
”是“
”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
11．设l ，m ，n 表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ∥l ，m ⊥α，则l ⊥α； ②若m ∥l ，m ∥α，则l ∥α；
③若α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n ，则l ∥m ∥n ； ④若α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n ，n ∥β，则l ∥m ． 其中正确命题的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．单位正方体（棱长为1）被切去一部分，剩下部分几何体的三视图如图所示，则（ ）
A ．该几何体体积为
B ．该几何体体积可能为
C ．该几何体表面积应为+
D ．该几何体唯一
二、填空题
13．执行如图所示的程序框图，输出的所有值之和是 .
【命题意图】本题考查程序框图的功能识别，突出对逻辑推理能力的考查，难度中等. 14．已知随机变量ξ﹣N（2，σ2），若P（ξ＞4）=0.4，则P（ξ＞0）=．
15．已知实数x，y满足
2
330
220
y
x y
x y
≤
⎧
⎪
--≤
⎨
⎪+-≥
⎩
，目标函数3
z x y a
=++的最大值为4，则a=______．
【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力．
16．命题“∃x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为．
17．等比数列{a n}的前n项和S n＝k1＋k2·2n（k1，k2为常数），且a2，a3，a4－2成等差数列，则a n＝________．三、解答题
18．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲．
如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于E，过E的切线与AC交于D. （1）求证：CD＝DA；
（2）若CE＝1，AB＝2，求DE的长．
19．已知椭圆E 的长轴的一个端点是抛物线y 2=4x 的焦点，离心率是
．
（1）求椭圆E 的标准方程；
（2）已知动直线y=k （x+1）与椭圆E 相交于A 、B 两点，且在x 轴上存在点M ，使得与k 的取值无
关，试求点M 的坐标．
20．（本小题满分16分）
已知函数()133x x a
f x b
+-+=+．
（1） 当1a b ==时，求满足()3x f x =的的取值； （2） 若函数()f x 是定义在R 上的奇函数
①存在R t ∈，不等式(
)()2222f t t f t k -<-有解，求的取值范围；111]
②若函数()g x 满足()()()1
2333x
x
f x
g x -⋅+=-⎡⎤⎣⎦，若对任意x R ∈,不等式
(2)()11g x m g x ⋅-≥恒成立，求实数m 的最大值.
21．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知tanA=，c=
．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若三角形△ABC 的面积为，求角C ．
22．已知椭圆C ： +
=1（a ＞b ＞0）与双曲线
﹣y 2
=1的离心率互为倒数，且直线x ﹣y ﹣2=0经过椭圆
的右顶点．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）设不过原点O 的直线与椭圆C 交于M 、N 两点，且直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围．
23．（文科）（本小题满分12分）
我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟 确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分 按议价收费，为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）， 将数据按照[)[)[)0,0.5,0.5,1,
,4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中的值；
（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用量不低于3吨的人数，并说明理由；
（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由．
24．某中学为了普及法律知识，举行了一次法律知识竞赛活动．下面的茎叶图记录了男生、女生各10名学生在该次竞赛活动中的成绩（单位：分）．
已知男、女生成绩的平均值相同．
（1）求的值；
（2）从成绩高于86分的学生中任意抽取3名学生，求恰有2名学生是女生的概率．
河口区一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：圆x2
+y2﹣2x+4y=0化为：圆（x﹣1）2+（y+2）2=5，圆的圆心坐标（1，﹣2），半径为，直线l将圆
x2+y2﹣2x+4y=0平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l经过圆心与坐标原点．或者直线经过圆心，直线的斜率为﹣1，
∴直线l的方程是：y+2=﹣（x﹣1），2x+y=0，即x+y+1=0，2x+y=0．
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线的截距式方程的求法，考查计算能力，是基础题．
2．【答案】C
【解析】解：∵椭圆的半焦距为2，离心率e=，
∴c=2，a=3，
∴b=
∴2b=2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．属基础题．
3．【答案】B
【解析】
4．【答案】C
【解析】
试题分析：A定义域值域均不相同，B对应法则不相同，D定义域不相同，故选C.
考点：定义域与值域．
5．【答案】C
【解析】解：∵命题p：∀x∈R，32x+1＞0，∴命题p为真，
由log2x＜1，解得：0＜x＜2，∴0＜x＜2是log2x＜1的充分必要条件，
∴命题q为假，
故选：C．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查了对数，指数函数的性质，是一道基础题．
6．【答案】C
【解析】
考点：真子集的概念.
7．【答案】A
【解析】解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，
则这个椭圆的短半轴为：R，长半轴为：=，
∵a2=b2+c2，∴c=，
∴椭圆的离心率为：e==．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆离心率的求法，注意椭圆的几何量关系的正确应用，考查计算能力．
8．【答案】A
考点：复数运算．
9．【答案】D
【解析】
考点：1、向量的几何运算及平面向量基本定理；2、向量相等的性质及勾股定理.
【方法点睛】本题主要考查向量的几何运算及平面向量基本定理、向量相等的性质及勾股定理，属于难题，平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点，当出现线性运算问题时，注意两个向量的差
+=（D点是AB的中点）,另外，要选好基底
OA OB OD
OA OB BA
-=，这是一个易错点，两个向量的和2
AB AC，当涉及到向量数量积时，要记熟向量数量积的公式、坐标公式、几向量，如本题就要灵活使用向量,
何意义等.
10．【答案】B
【解析】解：，解得或x＜0，
∴“”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
11．【答案】B
【解析】解：∵①若m∥l，m⊥α，
则由直线与平面垂直的判定定理，得l⊥α，故①正确；
②若m∥l，m∥α，则l∥α或l⊂α，故②错误；
③如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
平面ABB1A1∩平面ABCD=AB，
平面ABB1A1∩平面BCC1B1=BB1，
平面ABCD∩平面BCC1B1=BC，
由AB、BC、BB1两两相交，得：
若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n不成立，故③是假命题；
④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，n∥β，
则由α∩γ=n知，n⊂α且n⊂γ，由n⊂α及n∥β，α∩β=m，
得n∥m，同理n∥l，故m∥l，故命题④正确．
故选：B．
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
12．【答案】C
【解析】解：由已知中三视图可得该几何体是由一个边长为1的正方体，截掉一个角（三棱锥）得到 且该三棱锥有条过同一顶点且互相垂直的棱长均为1
该几何体的表面积由三个正方形，有三个两直角边为1的等腰直角三角形和一个边长为的正三角形组成
故其表面积S=3•（1×1）+3•（×1×1）+•（
）2
=
．
故选：C ．
【点评】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据三视图分析出该几何的形状及各边边长是解答本题的关键．
二、填空题
13．【答案】54
【解析】根据程序框图可知循环体共运行了9次，输出的x 是1，3，5，7，9，11，13，15， 17中不是3的倍数的数，所以所有输出值的和54171311751=+++++. 14．【答案】 0.6 ．
【解析】解：随机变量ξ服从正态分布N （2，σ2
）， ∴曲线关于x=2对称，
∴P （ξ＞0）=P （ξ＜4）=1﹣P （ξ＞4）=0.6， 故答案为：0.6．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．
15．【答案】3-
【解析】作出可行域如图所示：作直线0l ：30x y +=，再作一组平行于0l 的直线l ：3x y z a +=-，当直线
l 经过点5(,2)3M 时，3z a x y -=+取得最大值，∴max 5()3273
z a -=⨯+=，所以max 74z a =+=，故
a=-．
3
16．【答案】﹣2≤a≤2
【解析】解：原命题的否定为“∀x∈R，2x2﹣3ax+9≥0”，且为真命题，
则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立，
只需△=9a2﹣4×2×9≤0，解得：﹣2≤a≤2．
故答案为：﹣2≤a≤2
【点评】存在性问题在解决问题时一般不好掌握，若考虑不周全、或稍有不慎就会出错．所以，可以采用数学上正难则反的思想，去从它的反面即否命题去判定．注意“恒成立”条件的使用．
17．【答案】
【解析】当n＝1时，a1＝S1＝k1＋2k2，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝（k1＋k2·2n）－（k1＋k2·2n－1）＝k2·2n－1，∴k1＋2k2＝k2·20，即k1＋k2＝0，①
又a2，a3，a4－2成等差数列．
∴2a3＝a2＋a4－2，
即8k2＝2k2＋8k2－2.②
由①②联立得k1＝－1，k2＝1，
∴a n＝2n－1.
答案：2n－1
三、解答题
18．【答案】
【解析】解：（1）证明：
如图，连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
AC，DE均为⊙O的切线，
∴∠AEC＝∠AEB＝90°，
∠DAE＝∠DEA＝∠B，
∴DA＝DE.
∠C＝90°－∠B＝90°－∠DEA＝∠DEC，∴DC＝DE，
∴CD＝DA.
（2）∵CA是⊙O的切线，AB是直径，∴∠CAB＝90°，
由勾股定理得CA2＝CB2－AB2，
又CA2＝CE×CB，CE＝1，AB＝2，∴1·CB＝CB2－2，
即CB2－CB－2＝0，解得CB＝2，
∴CA2＝1×2＝2，∴CA＝ 2.
由（1）知DE＝1
2CA＝
2 2，
所以DE的长为2
2.
19．【答案】
【解析】解：（1）由题意，椭圆的焦点在x轴上，且a=，…1分
c=e•a=×=，
故b===，…4分
所以，椭圆E的方程为，即x2+3y2=5…6分
（2）将y=k（x+1）代入方程E：x2+3y2=5，得（3k2+1）x2+6k2x+3k2﹣5=0；…7分
设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0），则
x1+x2=﹣，x1x2=；…8分
∴=（x1﹣m，y1）=（x1﹣m，k（x1+1）），=（x2﹣m，y2）=（x2﹣m，k（x2+1））；
∴=（k2+1）x1x2+（k2﹣m）（x1+x2）+k2+m2
=m 2+2m ﹣﹣
，
要使上式与k 无关，则有6m+14=0，解得m=﹣； ∴存在点M （﹣，0）满足题意…13分
【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，也考查了椭圆的标准方程及其几何性质，考查了一定的计算能力，属于中档题．
20．【答案】（1） 1x =- （2） ①()1,-+∞，②6 【解析】
试题分析：（1）根据+1333x x =⋅ ，可将方程()3x
f x =转化为一元二次方程：()2
332310x x ⋅+⋅-=，再根据指
数函数范围可得1
33
x
=
，解得1x =- （2） ①先根据函数奇偶性确定a b ，值：1,3a b ==，再利用单调性定义确定其单调性：在R 上递减．最后根据单调性转化不等式()()22
22f t t f t k -<-为2222t t t k ->-即
（2） 因为()f x 是奇函数，所以()()0f x f x -+=，所以1
133033x x x x a a
b b
-++-+-++=++ 化简并变形得：()()333260x x
a b ab --++-=
要使上式对任意的成立，则30260a b ab -=-=且
解得：1133a a b b ⎧==-⎧⎪
⎨⎨==-⎪⎩⎩
或，因为()f x 的定义域是R ，所以13a b =-⎧⎨=-⎩舍去
所以1,3a b ==， 所以()1
31
33
x x f x +-+=+ ………………………………………6分 ①()131********x x x f x +-+⎛⎫
==-+ ⎪++⎝⎭
1111]
对任意1212,,x x R x x ∈<有：
()()()()21
12
12
121222333331313131x x x x x x f x f x ⎛⎫-⎛⎫
⎪-=-=
⎪ ⎪++++⎝⎭
⎝⎭
因为12x x <，所以21330x x ->，所以()()12f x f x >，
因此()f x 在R 上递减． ………………………………………8分
因为()()
22
22f t t f t k -<-，所以2222t t t k ->-，
即220t t k +-<在R t ∈时有解 所以440t ∆=+>，解得：1t >-，
所以的取值范围为()1,-+∞ ………………………………………10分 ②因为()()()12333x x
f x
g x -⋅+=-⎡⎤⎣⎦，所以()()3323x x g x f x --=-
即()33x x g x -=+ ………………………………………12分
令()9h t t t =+，()291h t t
=-′，
()2,3t ∈时，()0h t <′，所以()h t 在()2,3上单调递减
()3,t ∈+∞时，()0h t >′，所以()h t 在()3,+∞上单调递增
所以()()min 36h t h ==，所以6m ≤
所以，实数m 的最大值为6 ………………………………………16分 考点：利用函数性质解不等式，不等式恒成立问题
【思路点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题。

21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意知，tanA=，
则=，即有sinA﹣sinAcosC=cosAsinC，
所以sinA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB，
由正弦定理，a=b，则=1；…
（Ⅱ）因为三角形△ABC的面积为，a=b、c=，
所以S=absinC=a2sinC=，则，①
由余弦定理得，=，②
由①②得，cosC+sinC=1，则2sin（C+）=1，sin（C+）=，
又0＜C＜π，则C+＜，即C+=，
解得C=…．
【点评】本题考查正弦定理，三角形的面积公式，以及商的关系、两角和的正弦公式等，注意内角的范围，属于中档题．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵双曲线的离心率为，所以椭圆的离心率，
又∵直线x﹣y﹣2=0经过椭圆的右顶点，
∴右顶点为（2，0），即a=2，c=，b=1，…
∴椭圆方程为：．…
（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：y=kx+m•（k≠0，m≠0），M（x1，y1）、N（x2，y2）
联立消去y并整理得：（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0…
则，
于是…
又直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列．
∴…
由m ≠0得：
又由△=64k 2m 2﹣16（1+4k 2）（m 2﹣1）=16（4k 2﹣m 2+1）＞0，得：0＜m 2
＜2 显然m 2
≠1（否则：x 1x 2=0，则x 1，x 2中至少有一个为0，
直线OM 、ON 中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾） … 设原点O 到直线的距离为d ，则
∴故由m 的取值范围可得△OMN 面积的取值范围为（0，1）…
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，弦长公式以及三角形的面积的表式，考查转化思想以及计算能力．
23．【答案】（1）0.3a =；（2）3.6万；（3）2.9. 【解析】
（3）由图可得月均用水量不低于2.5吨的频率为：
()0.50.080.160.30.40.520.7385%⨯++++=<；
月均用水量低于3吨的频率为：
()0.50.080.160.30.40.520.30.8885%⨯+++++=>；
则0.850.73
2.50.5 2.90.30.5
x -=+⨯
=⨯吨．1 考点：频率分布直方图．
24．【答案】（１） 7a =；（２） 310
P =． 【解析】
试题分析： （１）由平均值相等很容易求得的值；（２）成绩高于86分的学生共五人，写出基本事件共10个，可得恰有两名为女生的基本事件的个数，则其比值为所求．
其
中恰有2名学生是女生的结果是(96,93,87)，(96,91,87)，(96,90,87)共3种情况． 所以从成绩高于86分的学生中抽取了3名学生恰有2名是女生的概率310
P =．1 考点：平均数；古典概型．
【易错点睛】古典概型的两种破题方法：（1）树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求．另外在确定基本事件时，),(y x 可以看成是有序的，如()1,2与()2,1不同；有
时也可以看成是无序的，如)1,2)(2,1(相同．（2）含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，考虑其反面，即对立事件，应用)(1)(A P A P -=求解较好．。