回路矩阵与割集矩阵

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1 0 0 1 1 1 e3 e1 e5
T T 则C f ( I , C f 12 ), 其中 C f 12 B11 B12 ,
1 1 因为 B11 1 0 0 0
1 计算得 B12
1 1 0
0 1 0 0 ， 1， B12 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 ， 故 1 0
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设G的全部边为e1, e2, …, em ，则初 级回路Ci 对应向量(ci1, ci2, …, cim ), 其 中
1, C i 含边ek 且ek的方向与C i 一致 cik － 1, C i 含边ek 但ek的方向与C i 相反 0, C 不含边e i k
将G的全部初级回路对应的向量构成 一个矩阵，这就是G的完全回路矩阵Ce。
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2 . 割集矩阵及其性质 (1)定义 设S是有向图G =(V,E)的边子集，若 1、G’=(V,E-S)比G的连通支数多1 (去掉这S 包含的边集后，图G 恰好多1个分枝). 2、对任意S’S, G与G’’=(G,E-S’)的连通支 数一样(少去一条边，仍是连通的) 则称S为割集。
有向割集的方向
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定理3 有向连通图G的完全回路矩阵Ce 的秩是m-n+1.
证明：由于基本回路矩阵Cf 是完全回路矩阵 的Ce 的子阵, 而Cf 的秩是m-n+1, 故 秩( Ce)>=m-n+1. 由Sylvester定理, 若有AnmDms= 0, 则 秩(A) +秩(D) <=m. 由定理1和定理2，BCeT=0，秩(B) ＝n-1，故由 秩(B) +秩(Ce) <=m, (m为边数) 知 秩(Ce) <=m-n+1，从而 秩(Ce) =m-n+1。
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例(p.46) 求右 图的完全回路 矩阵.
V2
C1 C2 C3 Ce C4 C5 C6 C7 e1 1 1 0 0 0 1 1
V1 e1
e2 e4
e2 1 0 0 1 1 0 1
c5 c7
e3
V3 e6
C4 c3
e5
c6
e5 0 1 1 0 1 0 1 e6 0 0 1 1 0 1 1
(任意规定的一个方向)
连通
某连通支
连通
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例：S1={e2,e3,e4} 和 S2={e4,e5}是割集,而 S3={e6,e7}不是割集。
V1 e1 e2 e3
e5 S2 S1 V3 e4 S3
V2
V4
e6 e7
V5 V6
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(2) 完全割集矩阵 有向图G的全部割集组成的矩阵，称为 完全割集矩阵，记作Se，其元素的定义： Sij= 1, ej在Si中且方向一致; Sij= -1, ej在Si中且方向相反; Sij= 0，其它.
1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 C f 12 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1
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可使前m-n+1阶子方阵成为单位矩阵I。 因此，可设Cf = ( I C12) 。 由定理2 知BkCfT=0，即
B11
I T B12 T 0 , 即 B11 B12C12 0 , C12
T 1 T 1 T 故 C12 B12 B11，C12 B11 B12 。
V4
e3 e4 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0
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一个图的初级回路很多，其中哪些是 最基本的呢？或者说, Ce中哪些行构成全 部行的极大无关组呢？
定义 设T是图G的一棵支撑树，则T 以外的每条边对应的回路(一条边恰好对 应一个回路，回路的方向规定为此边的 方向)均称为基本回路，全部m-n+1个基 本回路构成的矩阵Cf ，称为G的基本回 路矩阵。 •支撑树Ｔ的余边: Ｔ以外的任何一边
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T 的边 非T 的边
(4) 割集矩阵及性质 定理1 当有向连通图G的完全回路矩阵Ce和 完全割集矩阵Se的边次序一致时，有SeCeT=0. 证明: 设Se的第i 行为(si1, si2, …, sim) ，Ce的第j 行为(cj1, cj2, …, cjm) ，则 SeCeT中第i 行第j 个元 素为 dij=si1cj1+ si2cj2+ …+simcjm. 因为Se的第i 行对应割集Si， Ce的第j 行对应 回路Cj 。 Si 当Cj 与Si不相交时，对于Sj 经过 的边ek (Cj不经过)，有sikcjk=1×0 Cj ＝0 ; 对于Cj 经过的边ek (Sj 不经 过)，有sikcjk=0×1＝0 ; 因此dij =0. 26
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必要性. 将这m-n+1列换到最前面(通过重新 对边编号)，则C=(C11,C12)。 现在只需证明C12 对应G的一棵支撑树。 如果C12 对应边不是树，则其中必含有回路， 从而必含有一个初级回路。即有一个初级回路 C’，全由C12中的某些列的对应边构成。 于是在回路矩阵C 前m-n+1列(即C11)中，初 级回路C’对应的那行全为0，所以 det(C11) = 0, 这与题设矛盾。
T外各边对应列
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重新排列行和列的顺序(相当于对各 回路和各边重新编号)，可以得到一个 含m-n+1阶单位矩阵(对应于T以外的 各边)新基本回路矩阵，而新矩阵的秩 不变。 e2 e3 e4 e1 e5 e6
C1 1 0 0 1 1 1 C f C2 0 1 0 1 1 0 . C3 0 0 1 0 1 1
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定理2 有向连通图G 的关联矩阵B 与完全 回路矩阵Ce 的边次序一致时，恒有 BCeT=0。 证明: 设B的第i 行为(bi1, bi2, …, bim) ，Ce的 第j 行为(cj1, cj2, …, cjm) ，则 BCeT中第i 行第j 个元素为 dij=bi1cj1+ bi2cj2+ …+bimcjm. 因为B的第i 行对应结点vi， Ce的第j 行对应 回路Cj 。当Cj 不经过vi时,对于满足bik≠0的k,必 有cjk=0，因此dij =0; 当Cj 经过vi时,恰有Cj的两 条边ek,el 经过vi(不妨设一进一出)，则 dij= bikcjk+ bilcjl =1×1＋1×(-1)＝0 .
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定义 给定有向连通图的一棵树T， 则由全部基本割集组成的矩阵为基本 割集矩阵，记作Sf .
e1
' S1 ' S Sf 2 ... ' Sn 1
e2
... em
• 对于不同的支撑树T，其对应的基本 割集矩阵Sf 会不同。
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V1
e2 e1 e4
s2
T外各边对应列 T各边对应列
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(2) 基本回路矩阵和完全回路矩阵的秩 定理1 有向连通图的基本回路矩阵 秩是m-n+1. 证：设Cf 是对应于支撑树T 的基本回 路矩阵，则T的一条余边仅在其对应基 本回路中出现，而不会在别的基本回路 中出现。换言之，全部余边在矩阵Cf中 对应的列构成的子阵中，每行每列恰含 一个1，其余元素均为0。 因为Cf 共m-n+1行，而以上证明其行 向量组线性无关，故它的秩是m-n+1 。
e1 e2 ... em S1 S2 Se ... Sp
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S1 S2 S3 Se S4 S5 S6
0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 S7 e e e e e e 2 3 4 5 6 1
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V1 例(p.46) 对图G的支 e1 撑树T={e1,e5,e6}，求其基 e e3 2 C C2 1 本回路矩阵。 V3 e 5 e4 C T的余边e2,e3,e4, 分别 3 对应回路C1,C2,C3 , 故 V2 V4 e6
e1 e2
e3
e4
e5
e6
C1 1 1 0 0 1 1 C f C2 1 0 1 0 1 0 . C3 0 0 0 1 1 1
V3
e3 e5
V2
e6
s5
V4
0 0 0 1 1 1 S1 1 0 0 1 0 1 S2 0 1 0 1 1 0 S3 0 0 1 0 1 1 Se S4 1 1 0 0 1 1 S5 s4 1 0 1 1 1 0 S6 0 1 1 1 0 1 S7 e1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6
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• 已知基本关联矩阵Bk ，求基本回路矩阵Cf 定理5 若已知有向连通图的基本关联矩阵 Bk =(B11,B12)，其中B12是非奇异方阵，则可得 基本回路矩阵 Cf = ( I C12) ，其中C12=-B11TB12-1T. 这里 Cf 与Bk的边次序一致。 证明:由定理4 知B11对应G的一个余树, 即B12 各列对应一棵支撑树T。因此T对应的基本回 路矩阵Cf前m-n+1列构成的子方阵中，每行每 列恰含一个1，其余元素为0。 重排各行顺序(即给各基本回路重新编号)，
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(3) 回路矩阵 定义 由连通图G的有m-n+1个互相独 立的回路组成的矩阵，称为G的回路矩阵， 记为C。
性质:(1) 基本回路矩阵Cf 是回路矩阵。 (2) BCT=0 (B与C中边的顺序排列一致) (3) C=PCf，P是某个满秩方阵。 (C与Cf 中边的顺序排列一致)
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• G的余树与回路矩阵间的关系 定理4 连通图G 的回路矩阵C 的任一m-n+1 阶子阵行列式非零，当且仅当这些列对应于G 的某一棵余树(删去这些列的对应边后，所得图 是一棵树)。 证明：充分性. 已知G的某支撑树T, 使得此子 阵中那些列对应的全部边就是T 以外的全部边。 于是，T 的基本回路矩阵中这些边对应的各 列，适当重排顺序后为m-n+1 阶单位矩阵，故 该子阵的行列式非零。