讲课用《定积分在物理中应用

s
b
v(t)dt
v
a
v v(t)
利用定积分求变速直线运
t
动的位移，其积分变量是 时间，被积函数是速度对
分割O→近a似代替ti→求和→取b极限
时间的函数
1. 变速直线运动的路程
我们知道 ,作变速直线运动的物体所经过的路
程s等于其速度函数v vtvt 0在时间区
间a,
10
40
60
s 3tdt 30dt (1.5t 90)dt =1350m
0
10
40
答:汽车汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m.
解 由速度 时间曲线可知:
3t,
0 t 10; v(m/s)
vt 30,
10 t 40; 30 A
B
1.5t 90,40 t 60.
b
W F (x)dx
F
a
y F(x)
利用定积分求变力所作的功，
x
其积分变量是位移， 被积 O a xi
b
函数是力对位移的函数.
例2 如图1.7 4,在弹性限
度内, 将一弹簧从平衡位置
拉到离平衡位置l m处,求弹
力所作的功.
解：在弹性限度内，拉伸
Q
l
（或压缩）弹簧所需的力Ｆ （x）与弹簧拉伸（或压缩）
思考题 把一个带 q电量的点电荷放在 r 轴上坐标原点
b
s a v(t)dt
原理2（求变力所作的功）： 1.如果物体在变力F(x)的作用下做直线 运动，则物体沿着与F(x)相同的方向从x ＝a移动到x＝b(a＜b)所作的功为:
b
W a F (x)dx
2.利用定积分求变速直线运动的位移， 其积分变量是时间，被积函数是速度对 时间的函数；利用定积分求变力所作的 功，其积分变量是位移，被积函数是力 对位移的函数.
练一练
1、一物体在力F(x)=3x+4(单位:N)的作用下,沿着 与力F相同的方向,从x=0处运动到 x=4处(单位:m),
求F(x)所作的功. 40
2.一物体沿直线以v=2t+3(t的单位为s,v的单位为 m/s)的速度运动,求该物体在3~5s间行进的路程.
5
S 3 (2t 3)dt 22m
下列判断中一定正确的是
A．在 t1 时刻，甲车在乙车前面 B．t1 时刻后，甲车在乙车后面
C．在 t0 时刻，两车的位置相同
D． t0时刻后，乙车在甲车前面
【解析】由图像可知，曲线v甲比v乙在0～t0、0～t1与x轴所围 成图形面积大，则在t0 、t1时刻，甲车均在乙车前面，选A。
二、变力沿直线所作的功
因此汽车在这1min 行驶的路
程是 :150+900+300=1350
答 汽车在这1min行驶的路程是1350m.
C 60 t(s)
应用问题——定积分
（广东理8）
已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假
定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为 v甲和v乙
（如图2所示）．那么对于图中给定的 t0和t1
图1.7 4 F
的长度x成正比．即：F(x)=kx
由变力作功公式得
W
答

L
F(x)dx
L kxdx 1kx2
0
0
克服弹力所作的功为1
KL2
J
2
.
|0L
1 kL2 2
2
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练习：已知一弹簧长25cm，若加以100N的力，则弹簧 伸长到30cm，求使弹簧由25cm伸长到40cm所作的功。
0
0.15 0

22.5(J)
答：使弹簧由25cm伸长到40cm所需作的功为22.5 J。
小结
1.在物理中，定积分主要应用于求变速 直线运动的位移和变力所作的功，其基 本原理如下： 原理1（求变速直线运动的位移）： 若物体运动的速度函数v(t)(v(t)≥0) ， 则物体在a≤t≤b时段内的位移是:
b上的定积分,即
s

b
a
vt
dt.
例题
例 1:一辆汽车的速度一时间曲线如图所示，求汽 车在这 1 min 行驶的路程.
解:由速度──时间曲线可知:
3t
(0 ≤ t ≤10)
v t 30
(10 ≤ t ≤ 40)
-1.5t 90(40 ≤ t ≤ 60)
∴汽车在这 1 min 行 驶的路程是:
解：设使弹簧拉伸（或压缩） xm所需的力为F(x)， 则F (x) =kx，其中k为弹簧的弹性系数 ∵依题意可得100=k(0.30-0.25)，解得k=2000 ∴F (x) =2000x ∵弹簧由25cm伸长到40cm共伸长了15cm，即0.15m ∴所需作的功为:
W
0.15 2000xdx 1000x2
1.7.2 定积分在物理中的应用
复习引入
一般地，如果物体做变速直线运动，速度函
数为 v v t ，那么我们也可以采用分割、近似代
替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”
的方法及无限逼近的思想，求出它在 a≤ t ≤b 内
所作的位移 S ．
一、变速直线运动的路程
设物体运动的速度vv(t) (v(t)≥0) ，则此 物体在时间区间[a, b]内运动的距离s为
解 由速度 时间曲线可知:
3t,
0 t 10; v(m/s)
vt 30,
10 t 40; 30 A
B
1.5t 90,40 t 60.
3t2 ,
0 t 10; O 10
40
2
s t 150 30(t 10),
10 t 40;
150 900 3 (t 40)2 90(t 40), 40 t 60. 4
因此汽车在这1min 行驶的路
程是 :
O 10
C 40 60 t(s)
S
10
3tdt
40
30dt
60

1.5t

90
dt
0
10
40

3 t2 10 20
30t 40 10

3 t2 4
60
90t 40
1350 m .
答 汽车在这1min行驶的路程是1350m.
1、恒力作功
由物理学知道，如果物体在作直线运动的
过程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且
这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在
物体移动了距离 s时，力 F 对物体所作的功为
W F s.
2、变力所做的功
问题：物体在变力F(x)的作用下做直线运动，
并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到 x= b点，则变力F(x) 所做的功为: