博弈论第二章 1

第二章完全信息静态博弈完全信息静态博弈即各博弈方同时决策，且所有博弈方对各方收益都了解的博弈。

囚徒的困境、齐威王田忌赛马、猜硬币、石头剪子布、古诺产量决策都属于这种博弈。

完全信息静态博弈属于非合作博弈最基本的类型。

本章介绍完全信息静态博弈的一般分析方法、纳什均衡概念、各种经典模型及其应用等。

第二章完全信息静态博弈§1、博弈的标准式和纳什均衡§2、应用举例§3、混合策略和纳什均衡的存在性§4、二人零和博弈§1、博弈的标准式和纳什均衡一、博弈的标准式表述二、重复剔除严格劣战略三、纳什均衡1、标准式的三要素(1)参与人(或称为博弈方）(2)每个参与人可选择的战略集(3)收益：针对所有参与人可选择的战略组合，每一个参与人获得的收益一、博弈的标准式表述10:39:535假设一个博弈有n 个博弈方，博弈方i 的策略集(又称策略空间)为S i (i=1,2,…,n)，用s ij ∈S i 表示博弈方i 的第j 个策略；若s i ∈S i (i=1,2,…,n),称s=(s 1,s 2,…,s n )为一个策略组合；若用s -i =(s 1,s 2,…,s i-1,s i+1,…,s n ),则s =(s i ,s -i )。

2、博弈的数学表述一、博弈的标准式表述10:39:5362、博弈的数学表述⇔用u i (s)=u i (s 1,s 2, …,s n ) (i=1,2,…,n)表示博弈方i在策略组合s=(s 1,s 2, …,s n )的得益, u i 是策略集S 1×S 2×…×S n 上的多元函数。

⇔定义：若一个N 人博弈的策略空间为S i ,得益函数为：u i (s)=u i (s 1,s 2, …,s n )(i=1,2,…,n),则该博弈表示为：G={N,S 1,S 2, …,S n ；u 1,u 2,…,u n }。

一、博弈的标准式表述←3、举例：囚徒困境（用双变量矩阵来描述）双变量矩阵可由任意多的行和列组成，“双变量”指的是在两个博弈方的博弈中，每一个单元格有两个数字，分别表示两个参与者的收益。

-5，-50，-8-8，0-1，-1坦白不坦白坦白不坦白囚徒2囚徒1一、博弈的标准式表述←3、举例（2）：斗鸡博弈一、博弈的标准式表述退BA进退进独木桥-3，-32，00，20，0横行代表囚徒1的收益，在两个数字中放在前面；列行代表囚徒2的收益，在两个数字中放在后面。

3，-31，-11，-11，-1-1, 11，-11，-13，-31，-11，-11，-1-1, 11，-1-1,13，-31，-11，-11，-1-1,11，-11，-13，-31，-11，-11，-11，-11，-1-1,13，-31，-11，-11，-1-1,11，-11，-13，-3一、博弈的标准式表述3、举例（3）：齐王田忌赛马齐王上中下上下中中上下中下上下上中下中上上中下上下中中上下中下上下上中下中上田忌4、注：①同时选择战略，不意味着行动必须是同时的；②标准式不仅可用来描述静态博弈，也可以用来描述序贯行动的动态博弈，只不过在分析问题时，扩展式博弈更常用。

一、博弈的标准式表述1、占优均衡如果一个博弈的某个策略组合中的所有策略都是各个博弈方各自的上策，那么这个策略组合肯定是所有博弈方都愿意选择的，必然是该博弈比较稳定的结果。

我们称这样的策略组合为该博弈的一个“占优均衡”（Dominant-strategy Equilibrium）。

←占优均衡是博弈分析中最基本的均衡概念之一，占优均衡分析是最基本的博弈分析方法。

←囚徒的困境博弈中的（坦白，坦白）实际上就是一个占优均衡。

二、重复剔除严格劣战略2、占优均衡分析的局限性←并非每个博弈方都有这种绝对偏好的上策，而且常常是所有博弈方都没有上策，因为博弈方的最优策略随其他博弈方的策略而变化正是博弈问题的根本特征，是博弈关系相互依存性的主要表现形式。

←因此占优均衡不是普遍存在的。

←例如斗鸡博弈，赛马博弈就没有占优均衡，因为各个博弈方的任何策略都不是绝对最优的，每个博弈方都没有绝对偏好的上策。

所以，占优均衡并不能解决所有的博弈问题，最多只是在分析少数博弈时有效。

二、重复剔除严格劣战略3、重复剔除严格劣战略←（1）、思路和原理←反思占优均衡分析的思路，不难发现占优均衡分析釆用的决策思路是一种选择法的思路，是在所有可选择策略中选出最好一种。

←剔除法与选择法在思路上正好相反，它是通过对可选策略的相互比较，把不可能采用的较差策略排除掉，从而筛选出较好的策略，或者至少缩小候选策略的范围。

这种剔除法的思路导出了博弈分析中的重复剔除严格劣战略法（Iterated Elimination of Strictly Dominated Strategies）。

二、重复剔除严格劣战略←（2）定义一般地，如果在一个博弈中，不管其他博弈方的策略如何变化，一个博弈方的某种策略给他带来的得益，总是比另一种策略给他带来的得益要小，那么我们称前一种策略为相对于后一种策略的一个“严格劣策略”。

二、重复剔除严格劣战略←（3）、举例为了说明重复剔除严格劣策略法与占优均衡分析的区别，我们用一个例子来说明。

首先看下图中这个抽象掉现实问题内容的，两个博弈方分别有三种和两种策略的不对称博弈问题。

博弈方1博弈方21, 01, 30, 10, 40, 22, 0上下左中右博弈方1博弈方21, 01, 30, 40, 2上下左中博弈方1博弈方21, 01, 3上左中博弈方21, 3上中二、重复剔除严格劣战略(4)重复剔除严格劣策略法的缺陷←重复剔除严格劣策略也不能解决所有博弈的分析问题。

因为在许多博弈问题中，上述相对意义上的严格劣策略往往不存在。

如猜硬币、齐威王田忌赛马、石头，剪子，布等赌胜博弈，没有任何博弈方的任何策略是相对其他策略的严格劣策略。

←此外，在策略数较多的博弈中，重复剔除严格劣策略法只能消去其中的部分策略，不能消去的策略组合并不惟一，因此仍然不能完全解决这些博弈问题。

二、重复剔除严格劣战略如果消去的弱劣战略，不是严格劣战略，则消去顺序会影响结果⇔例：博弈G如下图：1 , 81 , 62 ,8 80 ,80 ,8 0 , 91 , 50 , 80 , 6博弈方ⅡL M RU博弈方ⅠSD二、重复剔除严格劣战略10:39:53181 , 81 , 62 ,8 80 ,8 0 ,8 0 , 91 , 50 ,8 0 ,6 ⇔解：1）博弈方Ⅱ的策略“L”和“M”都是策略“R”的弱劣策略(不是严格劣策略)，消去策略“L”和“M”后为：US D0 , 90 , 81 , 8R博弈方Ⅰ的策略“S”和“D”都是策略“U”的严格劣策略，消去策略“S”和“D” 后剩下唯一策略组合（U,R ）。

L M R U S D10:39:53191 , 81 , 62 ,8 80 ,8 0 ,8 0 , 91 , 50 ,8 0 ,6 2）博弈方Ⅰ的策略“S”和“D”都是策略“U”的弱劣策略(不是严格劣策略)，消去策略“S”和“D” 后为:博弈方Ⅱ的策略“M”和“R”都是策略“L”的弱劣策略(不是严格劣策略) ，消去策略“M”和“L”后剩下唯一策略组合（U,L ）。

L M RU S D1 , 81 , 62 ,8L M R U(重复提出弱劣策略会把纳什均衡剔除掉，保留下来的也未必是纳什均衡)4、划线法（1）思想在具有策略和利益相互依存性的博弈问题中，各个博弈方的收益既取决于自己选择的策略，还与其他博弈方选择的策略有关，因此博弈方在决策时必须考虑其他博弈方的存在和策略选择。

根据这种思想，科学的决策思路应该是：先找出自己针对其他博弈方每种策略的最佳对策，即自己的可选策略中与其他博弈方的策略配合，给自己带来最大收益的策略（这种相对最佳对策总是存在的，不过不一定惟一），然后在此基础上，通过对其他博弈方策略选择的判断，包括对其他博弈方对自已策略判断的判断等，预测博弈的可能结果和确定自己趵最优策略。

二、重复剔除严格劣战略（2）举例博弈方1博弈方21, 01, 30, 10, 40, 22, 0上下左中右二、重复剔除严格劣战略例1-5，-50，-8-8，0-1，-1坦白不坦白坦白不坦白囚徒2囚徒1划线法分析囚徒困境二、重复剔除严格劣战略例2←划线法是一种非常简便的博弈分析方法，由于它以策略之间的相对优劣关系为基础，因此在分析用收益矩阵表示的博弈问题时具有普遍适用性。

←当然，这并不意味着每个用收益矩阵表示的博弈都可以用划线法求出确定性的博弈结果。

←事实上，许多博弈根本不存在确定性的结果，当然也就无法用划线法找出这种结果。

我们通过一些例子来说明。

二、重复剔除严格劣战略-1，11，-11，-1-1，1正面反面正面反面猜硬币方盖硬币方例3、猜硬币博弈二、重复剔除严格劣战略2，10，00，01，3时装足球时装足球丈夫妻子划线法分析夫妻之争二、重复剔除严格劣战略例4、夫妻博弈二、重复剔除严格劣战略此外，划线法还可以解决三人博弈问题,只是随着决策者人数和策略的增多，用策略式表述越来越复杂例 5 投票博弈假定三个参与人1，2，3要在三个项目A,B,C中投票选择一个。

规则是同时投票且不允许弃权，得票数最多的项目当选。

如果得票数相同，即每个项目一票，则项目A当选。

再假设不同项目当选时，三个博弈方的收益表示如下：123123123()()()2()()()1()()()0u A u B u C u B u C u A u C u A u B ===⎧⎪===⎨⎪===⎩二、重复剔除严格劣战略解：该博弈共有27种可能的策略组合，需要用三个标准式来描述：2，0，11，2，02，0，12，0，1AB A B参与人2参与人1参与人3选A2，0，10，1，22，0，12，0，12，0，1C C二、重复剔除严格劣战略1，2，01，2，02，0，11，2，0A B A B参与人2参与人1参与人3选B1，2，00，1，22，0，11，2，02，0，1C C二、重复剔除严格劣战略2，0，11，2，00，1，20，1，2AB A B参与人2参与人1参与人3选C0，1，20，1，22，0，12，0，10，1，2C C←通过划线法找出的具有稳定性的策略组合，不管是否惟一，都有一个共同的特性，即其中每个博弈方的策略都是针对其他博弈方策略或策略组合的最佳对策。

←在两人博弈的情况下，就是“给定你的策略,我的策略是我最好的策略；给定我的策略，你的策略也是你最好的策略”。

事实上，具有这种性质的策略组合，正是非合作博弈理论中最重要的一个解概念，即博弈中的“纳什均衡”（Nash Equilibrium ）。