高三三模考试数学试题(理科)2017.6
2017年河南省郑州市高考数学三模试卷(理科)(解析版)
2017年河南省郑州市高考数学三模试卷(理科)(解析版)2017年河南省郑州市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.设命题p：∀x＞，log2x＜2x+3，则￢p为（）A。
∀x＞，log2x≥2x+3B。
∃x＞，log2x≥2x+3C。
∃x＞，log2x＜2x+3D。
∀x＜，log2x≥2x+32.已知复数m=4﹣xi，n=3+2i，若复数m+n∈R，则实数x的值为（）A。
﹣6B。
6C。
7D。
53.已知双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$，焦点在y 轴上，若焦距为4，则a等于（）A。
$\sqrt{13}$B。
$\sqrt{15}$C。
5D。
$\sqrt{17}$4.已知$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，$\frac{x}{b}+\frac{y}{a}=1$，则$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$的值等于（）A。
2B。
1C。
$\frac{1}{2}$D。
05.设集合A={x1，x2，x3，x4}，$x_i∈\{-1，1\}$，$i\in\{1，2，3，4\}$，那么集合A中满足条件“$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2≤3$”的元素个数为（）A。
60B。
65C。
80D。
816.如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A。
48B。
72C。
96D。
1207.设实数x，y满足$x^2+y^2=25$，$xy=12$，则$x+y$的最大值为（）A。
25B。
49C。
12D。
248.已知等比数列{an}，且$a_6+a_8=\frac{\pi^2}{2}$，则2xy的最大值为（）A。
$\pi^2$B。
$4\pi^2$C。
$8\pi^2$D。
$16\pi^2$9.若实数$a$、$b$、$c∈R^+$，且$ab+ac+bc+2\sqrt{(abc)^2}=1$，则$2a+b+c$的最小值为（）A。
2017年高考全国三卷理科数学试卷.doc
2017年普通高等学校招生全国统一考试（III卷）2017.6理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2 y2 B x y y x1. 已知集合 A {( x, y) | x 1}，{( , ) | } ，则A∩B 中元素的个数为A. 3B. 2C. 1D. 02. 设复数z 满足(1 + i) z = 2i，则| z | =A. 12B.22C. 2D. 23. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014 年1 月至2016 年12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图。
根据该折线图，下列结论错误的是A. 月接待游客量逐月增加B. 年接待游客量逐年增加C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7、8 月D. 各年 1 月至6 月的月接待游客量相对于7 月至12 月，波动性更小，变化比较平稳5 3 3的展开式中x4. (x + y)(2x - y)y 的系数为A. -80B. -40C. 40D. 802 2x y5. 已知曲线C：1(a 0,b 0)2 2a b5的一条渐近线方程为y x22 y 2x，且与椭圆1有公共焦点，则12 3C 的方程为2 y2xA. 18 102 y2x1B.4 52 y2xC. 15 42 y2xD. 14 36. 设函数 f (x) cos(x ) ，则下列结论错误的是3A. f (x) 的一个周期为 2B. y f ( x) 的图象关于直线8x 对称3C. f (x) 的一个零点为xD. f ( x) 在( , ) 单调递减6 2理科数学第 1 页（共 4 页）7. 执行右面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A. 5B. 4C. 3D. 28. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A. B. 3 4C. D.2 49. 等差数列{a n} 的首项为1，公差不为0，若a2、a3、a6 成等比数列，则{a n} 前6 项的和为A. -24B. -3C. 3D. 82 2x y10. 已知椭圆C：1(a b 0)2 2a b的左、右顶点分别为A1、A2，且以线段A1A2 为直径的圆与直线bx ay 2ab 0相切，则 C 的离心率为A.63B.33C.23D.132 x a x 1 x 111. 已知函数 f (x) x 2 (e e ) 有唯一零点，则 a =A. 12B.13C.12D. 112. 在矩形ABCD 中，AB = 1，AD = 2，动点P 在以点 C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AP AB AD，则的最大值为A. 3B. 2 2C. 5D. 2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017高考全国3卷理科数学试题与答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国）理科数学（试题及答案解析）一、选择题：（本题共12小题，每小题 5分，共 60分）1．已知集合 A ( x, y) x 2 y 2 1 ， B( x, y) y x ，则 AB 中元素的个数为（）A ． 3B ． 2C ． 1D ． 0【答案】 B221 上所有点的集合， B 表示直线 yx 上所有点的集合，【解析】 A 表示圆 x y 故 A B 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即 A B 元素的个数为2，故选 B.2．设复数 z 满足 (1 i) z 2i ，则 z （）1 B ．2 C ． 2D ． 2A ．22【答案】 C2i 2i 1 i 2i 2 122 ，故选 C.【解析】由题， z1 i 1 ii 1 ，则 z 121 i23．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014 年 1 月至2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月份D ．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳【答案】 A【解析】由题图可知， 2014年8月到 9月的月接待游客量在减少，则 A 选项错误，故选 A.4． ( x y)(2 x y)5 的展开式中 x 3 y 3 的系数为（）A ．B ．C ． 40D ． 80【答案】 C【解析】由二项式定理可得，原式展开中含x 3 y3的项为x 22 x 23y 33240x 333 3C 5y C 5 2xyy，则 x y 的系数为 40，故选 C.225x ，且与椭圆5．已知双曲线C ：x2y 2 1（ a 0 ， b 0 ）的一条渐近线方程为 yx 2 y 2ab21 有公共焦点．则 C 的方程为（）123A ． x 2 y 2 1B ． x 2 y 21C ． x 2 y 21D ． x 2 y 218104 55443【答案】 B【解析】 ∵双曲线的一条渐近线方程为y5 x ，则 b5 ① 又∵ 椭圆x 2y 22 a21 与双曲线有公共焦点，易知 c 3 ，则 a 2b 2 c29 ②123x2y2由①② 解得 a 2,b5 ，则双曲线 C 的方程为1，故选 B.456．设函数 f ( x)πcos(x) ，则下列结论错误的是（）38πA ． f (x) 的一个周期为2πB ． y f ( x) 的图像关于直线 x对称3C ． f ( xπ π ) 的一个零点为 xD ． f (x) 在 ( , π) 单调递减【答案】 D 62【解析】函数 fx cos xπ的图象可由 y cosx 向左平移π个单位得到，3 3 如图可知， f x在 π, π 上先递减后递增， D 选项错误，故选 D.2y- Ox67．执行右图的程序框图，为使输出S 的值小于 91，则输入的正整数N的最小值为（） A ． 5 B ．4 C ．3 D ． 2【答案】 D【解析】程序运行过程如下表所示：SM t 初始状态 0 100 1 第1次循环结束 100 10 2 第2次循环结束 90 1 3此时 S 90 91 首次满足条件，程序需在 t 3 时跳出循环，即 N2 为满足条件的最小值，故选 D.8．已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A ．πB ．3π ππ4C ．D ．【答案】 B２41 2【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径23 ， r122则圆柱体体积 Vπ 23πrh，故选 B.49．等差数列 a n 的首项为 1，公差不为 0．若 a 2 ， a 3 ， a 6 成等比数列，则a n前 6项的和为（）A ． 24B ． 3C ． 3D ． 8【答案】 A【解析】 ∵ a n为等差数列，且 a 2 , a 3 , a 6 成等比数列，设公差为 d .则 a 32 a 2 a 6 ，即 a 12d 2a 1 d a 15d又∵ a 1 1 ，代入上式可得 d 2 2d 0又∵ d 0 ，则 d 2∴ S 66a 1 6 5 d 1 6 6 5 224 ，故选 A.2 222xya b 0A 1A 2A 1 A 210．已知椭圆 C : a 2 b 21（ ）的左、右顶点分别为， ，且以线段 为直径的圆与直线 bx ay 2ab 0 相切，则 C 的离心率为（）A ．6B ．3C ．21 33D ．３3【答案】 A【解析】 ∵ 以 A 1 A 2 为直径为圆与直线 bx ay2ab 0 相切，∴圆心到直线距离d 等于半径，∴ d2aba22又∵ a0,b0 ，则上式可化简为 a 2 3b 2 ∵ b 2 a 2c 2，可得 a 23 a2c2，即 c22a 23∴ ec 6，故选Aa311．已知函数 f ( x) x 2 2xa(e x 1e x 1 ) 有唯一零点，则a（）1 1 1A ． ２B ． 3C ． 2D ． 1【答案】 C【解析】由条件，f ( x) 22xx 1e x 1x a(e) ，得：f (2x) (2 x) 2 2(2x) a(e 2 x 1e (2 x ) 1 )x 2 4 x 4 42x a(e 1 x e x 1 )22 x x 1e x 1x a(e ) ∴ f (2x) f (x) ，即 x 1 为 f (x) 的对称轴，由题意， f (x) 有唯一零点，∴ f ( x) 的零点只能为 x 1 ，即 f (1) 12 2 1 a(e 1 1e 1 1) 0 ，解得 a 1．212．在矩形 ABCD 中， AB 1， AD2 ，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上．若APABAD ，则的最大值为（）yA ． 3B ． 2 2P gC ． 5D ． 2BC【答案】 A【解析】由题意，画出右图．设 BD 与 C 切于点 E ，连接 CE ．E以 A 为原点， AD 为 x 轴正半轴，xA(O)DAB 为y轴正半轴建立直角坐标系，则 C 点坐标为 (2,1) ． ∵|CD| 1，|BC | 2．22．∴BD 1 25 ∵ BD 切 C 于点 E ．∴CE ⊥BD ．∴ CE 是 Rt △ BCD 中斜边 BD 上的高 ．1 |BC| |CD|2 S △ BCD 22 2 2|EC ||BD | 5 5|BD |5即 C 的半径为 25 ．5∵P 在 C 上．∴ P 点的轨迹方程为 ( x 2)2( y 1)245 ．设 P 点坐标(x 0, y 0)，可以设出 P 点坐标满足的参数方程如下：2x 0 2 5 cos 2y 0 15 sin而 AP (x 0 , y 0 ) ， AB (0,1) ， AD (2,0) ．∵ AP AB AD (0,1) (2,0) (2 , )∴115，y 01 2 5 sin ．x 05cos52两式相加得：1 2 5sin15cos552( 2 5 )2 ( 5 )2 sin( )5 5 2 sin( ) ≤ 3(其中 sin5， cos2 5 )55当且仅当π2 k π， kZ 时，取得最大值 3．2二、填空题：（本题共4小题，每小题 5分，共 20分）x y ≥ 0,13．若 x ， y 满足约束条件xy 2 ≤ 0, 则 z 3x 4 y 的最小值为 ________．y ≥ 0,【答案】 1【解析】由题，画出可行域如图：目标函数为 z 3 x 4 y ，则直线 3 zz 值越小．yx 纵截距越大， 由图可知： z 在 A 1,1 4 4处取最小值，故 z min 3 1 4 1 1 ．x y 2 0yA(1,1)B x(2,0)x y 014．设等比数列 a n满足 a 1 a 21 ， a 1 a 33 ，则 a4 ________．【答案】 8【解析】a n 为等比数列，设公比为 q ．a 1 a 2 1a 1 a 1 q 1 ① a 1 a 33 ，即 a 1 a 1 q 2 3 ② ， 显然 q 1， a 1 0 ，②得 1 q3 ，即 q2 ，代入 ① 式可得 a 1 1 ，①a 4 a 1q 3 138 ．2f (x)x 1,x ≤ 0, f ( x1115．设函数 2x , x 0,则满足 f (x))的 x 的取值范围是 ________．2【答案】1 ,4【解析】fxx 1,x ≤ 0， f x f x1 1 1 1 f x2 x , x 02，即 f x2由图象变换可画出yf x1 与 y1 fx的图象如下：2yyf (x 1)2( 1,1)4 4x1 122y 1 f (x)由图可知，满足 f x1 1 1 f x 的解为,.2416． a ， b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边①当直线 AB 与 a 成②当直线 AB 与 a 成AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论： 60 角时， AB 与 b 成 30 角；60 角时， AB 与 b 成 60 角；③直线 AB 与 a 所成角的最小值为45 ； ④直线 AB 与 a 所成角的最大值为60 ．其中正确的是 ________（填写所有正确结论的编号）【答案】 ②③【解析】由题意知， a 、 b 、AC 三条直线两两相互垂直，画出图 形如图 ．不妨设图中所示正方体边长为 1，故|AC| 1， AB2，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心， 1为半径的圆 ．以 C 为坐标原点，以 CD 为 x 轴正方向， CB 为 y 轴正方向，CA 为 z 轴正方向建立空间直角坐标系．则 D(1,0,0) ， A(0,0,1) ，直线 a 的方向单位向量 a(0,1,0) ， | a | 1 ．B 点起始坐标为 (0,1,0) ，直线 b 的方向单位向量 b (1,0,0) ， | b | 1 ．设 B 点在运动过程中的坐标B (cos ,sin,0) ， 其中 为 BC 与CD 的夹角， [0,2 π) ． 那么 AB '在运动过程中的向量 AB ( cos, sin ,1) ， | AB | 2 ．设 AB 与 a 所成夹角为[0, π] ，2则cos 故设AB( cos , sin ,1) (0,1,0)2| sin| [0,2] ．a AB22π π[ ,] ，所以③正确，④错误．4 2与 b 所成夹角为π[0, ]，2AB bcosb AB(cos,sin,1) (1,0,0) .b AB2| cos |2当AB与 a 夹角为60π时，即3，sin2cos 2 cos 2 12 ．∵ cos2sin 2322 1，∴ | cos| 2 ．2∴ cos2| cos| 1 ．22π∵[0, ]． 2π∴=，此时AB与b夹角为60．3∴② 正确，①错误．三、解答题：（共70分．第 17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22， 23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分．17．（ 12分）ABC 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A 3 cos A 0 ，a 2 7 ，b 2．（ 1）求 c；（ 2）设D为 BC 边上一点，且AD AC ，求△ ABD 的面积．【解析】（1）由 sin A 3 cos A0 得2sin A π0 ，3即 A πkπk Z ，又A0, π，3∴ A ππ，得A2π33.1由余弦定理222.又∵a 27, b 2,cosAa b c 2 bc cos A代入并整理22得 c25 ，故c 4 .1（2）∵ AC2, BC27, AB 4 ，2 2 22 7 .由余弦定理 cosCab c2ab 7∵ AC AD ，即 △ACD 为直角三角形，则 ACCD cosC ，得 CD 7 .由勾股定理 AD CD 223 .AC 又 A2π DAB2π π π，则32 ，36 S △ ABD1AD AB sinπ3 .2618．（ 12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4元，售价每瓶 6元，未售出的酸奶降价处理， 以每瓶 2元的价格当天全部处理完． 根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间 20 ，25 ，需求量为 300瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 10 ，1515 ，2020 ，25 25 ，3030 ，3535 ，40天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（ 1）求六月份这种酸奶一天的需求量 X （单位：瓶）的分布列； （ 2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y （单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量 n （单位：瓶）为多少时， Y 的数学期望达到最大值？【解析】 ⑴易知需求量 x 可取 200,300,500P X 2 16 1200 3 530 P X 36 2300 3 530 P X 25 7 4 2500 3 .30 5则分布列为：X 200 300 500P122555⑵① 当 n ≤ 200 时： Y n 6 4 2n ，此时 Y max 400 ，当 n 200 时取到 .②当 2004 2n 1 2 n 200 2 n ≤ 300 时： Y 2005 58 800 2n 6n 800n5 55此时 Y max 520 ，当 n 300 时取到 .③当 300n ≤ 500 时，Y1200 2n200223002n 30022n 25553200 2n5此时 Y 520.④当 n ≥ 500 时，易知 Y 一定小于 ③ 的情况 .综上所述：当 n 300 时， Y 取到最大值为 520 .19．（12分）如图，四面体 ABCD 中，△ABC 形．?ABD ?CBD ，AB= BD．（1）证明：平面 ACD ^ 平面 ABC ；（2）过 AC 的平面交BD于点E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分．求二面角D- AE- C的余弦值．是正三角形，△ACD 是直角三角DECB【解析】⑴取 AC 中点为 O ，连接 BO ， DO ；A DABC 为等边三角形∴ BO AC E∴ AB BC CAB BCOBD BD ABDCBD .B ABDDBC∴ AD CD ,即ACD 为等腰直角三角形，ADC A为直角又 O 为底边 AC 中点∴DO AC令 AB a ，则 AB AC BC BD a易得：OD 2， OB3 a a22222∴ OD OB BD由勾股定理的逆定理可得DOB2即OD OBOD ACOD OB z AC OBO OD平面 ABC D AC平面 ABCOB平面 ABC又∵OD 平面ADC平面 ADC C E由面面垂直的判定定理可得平面 ABC ⑵由题意可知V D ACE V B ACE即B , D 到平面ACE的距离相等即E为 BD中点以 O 为原点， OA 为x轴正方向，OB 为y轴正方向， OD 为 z 轴正方向，设 AC a ，建立空间直角坐标系，则O 0,0,0 ， Aa a3,0,0 ， D 0,0,，B 0,a,0222OB yAx3 a，E 0, a,44a3a a a a易得： AE,a,， AD,0, ， OA,0,0244222设平面 AED的法向量为 n1，平面 AEC 的法向量为n2，AE n 1 03,1, 3则n 1 ，解得 n 1 ADAE n 2 0 0,1, 3OA n 2，解得 n 2若二面角 D AE C 为，易知为锐角，则 cosn 1 n 27n 1 n 272lC于 A ，B 两点，圆 M 是以2012分）已知抛物线 C : y = 2x2 0）的直线 交 ．（，过点（ ， 线段 AB 为直径的圆．（ 1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上；（ 2）设圆 M 过点 P （ 4， - 2 ），求直线 l 与圆 M 的方程．【解析】 ⑴显然，当直线斜率为 0 时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设 l : x my 2 ， A( x 1 , y 1 ) ， B( x 2 , y 2 ) ， 联立：y 22 x得 y 22my 40 ，x my24 m216 恒大于 0 ， y 1 y 22m ， y 1 y 24 ．uuruuurOA OBx 1 x 2 y 1 y 2(my 1 2)( my 2 2)(m 2 1)y 1 y 2 2m( y 1 y 2 ) 4 uur uuur 4( m 2 1) 2 m(2 m) 4∴ OA OB ，即O 在圆 M 上．uuur uur⑵若圆 M 过点 P ，则 AP BP(x 1 4)( x 2 4) ( y 1 2)( y 2 2) 0(my 1 2)( my 2 2) ( y 1 2)( y 2 2) 0(m 2 1)y 1 y 2 (2 m 2)( y 1y 2 ) 8 02m 10 解得 m 1或 1化简得 2m21①当 m时， l : 2xy4 0 圆心为 Q(x 0 , y 0 ) ，2y 0y 1y 2 1， x 01y 0 29 ，22249 22半径 r|OQ |142则圆 M : ( x 9 )2 ( y 1 )2 854 2 16②当 m 1 时， l : x y 2 0 圆心为 Q(x 0 , y 0 ) ，y 0 y 1 y 2 1 ， x 0 y 0 2 3 ， 2半径 r|OQ |32 12则圆 M : ( x 3)2 ( y 1)21021．（ 12分）已知函数 f (x)x 1 a ln x ．（ 1）若 f (x) ≥ 0 ，求 a 的值；（ 2）设 m 为整数，且对于任意正整数 n ， (1 + 1 1 1m ，求 m 的最)(1 + 2 ) 鬃?(1 n ) <2 2 2小值．【解析】 ⑴ f (x) x 1 a ln x ， x 0则 f ( x)1 a xa，且 f (1) 0当 a ≤ 0 x x上单调增， 所以 0x 1时， f x 0 ， f x 在 0 ， 时， f x0 ，不满足题意；当 a 0 时，当 0 x a 时， f (x) 0 ，则 f (x) 在 (0, a) 上单调递减；当 x a 时， f ( x) 0 ，则 f (x) 在 (a,) 上单调递增．①若 a 1 ， f (x) 在 (a,1) 上单调递增 ∴ 当 x (a,1) 时 f ( x) f (1) 0 矛盾 ②若 a 1 ， f (x) 在 (1,a) 上单调递减 ∴ 当 x (1,a) 时 f ( x)f (1) 0 矛盾③若 a1 ， f ( x) 在 (0,1) 上单调递减， 在 (1,) 上单调递增 ∴ f (x) ≥ f (1)0 满足题意综上所述 a 1 ．⑵ 当 a 1 时 f ( x) x 1 ln x ≥ 0 即 ln x ≤ x 1则有 ln( x 1) ≤ x 当且仅当 x0 时等号成立∴ ln(11 1 ， kN *k)k22一方面： ln(11 ) ln(11 ... ln(11 1 1 ...1 1 ，2 2 )n )22n 1n 122222即 (111 1e ．)(122 )...(12 n)2另一方面： (11 11 (1 1 1 )(1 1 1352)(1 2 )...(1 2 n ) )(1 2 2 3 ) 642 2 2 2 当 n ≥3 时， (1 1 1 1 (2,e))(1 2 2 )...(12 n )2 ∵ m *(1 1 1 1 m ，N ， )(1 2 )...(1 2 n )2 2∴ m 的最小值为 3 ．22． [选修 4-4：坐标系与参数方程 ] （ 10分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l的参数方程为x t ,（ t 为参数），直线l的参数方程ykt,xm,为m（ m 为参数），设 l 与 l 的交点为 P ，当 k 变化时， P 的轨迹为曲线 C ．y,k（ 1）写出 C 的普通方程：（ 2）以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 设 l : cos( nis ) ，M 为 l 与 C 的交点，求 M 的极径．【解析】 ⑴将参数方程转化为一般方程l 1 : y k x 2⋯⋯ ① l 2 : y1 x2 ⋯⋯ ②k① ② 消 k 可得： x 2y 24即 P 的轨迹方程为 x 2 y 2 4 ； ⑵将参数方程转化为一般方程l 3 : x y 2 0⋯⋯ ③联立曲线 C 和 l 3x y2x2y24x3 22解得2y2x cos5 由sin 解得y即 M 的极半径是 5 ．23． [选修 4-5：不等式选讲 ]（10分）已知函数 f ( x) | x | | x | ．（ 1）求不等式 f ( x) 的解集；（ 2）若不等式 f ( x) x x m 的解集非空，求 m 的取值范围．3, x ≤ 1【解析】 ⑴ f x| x1| | x2| 可等价为 f x2x 1, 1x 2 .由 f x ≥ 1 可得：3,x ≥ 2①当 x ≤ 1 时显然不满足题意； ②当 1 x 2时， 2x 1≥1 ，解得 x ≥1 ；③当 x ≥ 2 时， f x 3 ≥ 1 恒成立 .综上， f x1的解集为 x | x ≥ 1 .⑵不等式 f x ≥ x 2x m 等价为 f xx 2x ≥ m ，令 g xf xx 2 x ，则 g x ≥ m 解集非空只需要g xmax ≥ m .x 2 x 3, x ≤ 1而 g xx 2 3 x 1, 1 x 2 .2x 3, x ≥ 2x①当 x ≤ 1 时， gxmaxg13 1 15 ；2②当 1 x 2 时， g xmaxg 333 3 1 5 ；222 4③当 x ≥ 2 时， g x maxg 22 22 3 1 .综上， g xmax5，故 m5 .44。
山东省青岛市2017届高三第三次模拟考试数学理试题含答案
2017年青岛市高三自主检测数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分。
考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0。
5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0。
5毫米黑色签字笔(中性笔）作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题:本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|110,N},{|}A x x x B x x a A =<<∈==∈，则A B = A ．{1,2,3} B ．{|13}x x << C ．{2,3} D．{|1x x <2．若复数z 满足24z=-，则复数z 的实部为A ．2C ．2- D ．0 3．某高校调查了2000.1制成了如图所示的频率分布直 方图，其中自习时间的范围是[17.530]，，样本数据分组为 [17.520)，，[2022.5)，， [) 22.5,25,[2527.5)，， [27.530]，。
则这200名学生中每周的自习时间不低于25小时的人数为A ．30B ．60C ．80D ．1204．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆 及每个圆中两条相互垂直的半径，若该几何体的体 积是283π,则三视图中圆的半径为A ．2B ．3C ．4D ．65．在边长为4的正三角形ABC 中，12AD DB =,M 是BC 的中点，则AM CD ⋅=A ．16B ． C.- D ．8- 6．已知函数()f x 满足()()f x f x π-=，当02x π≤≤时，()cos 1f x x =-，则当0x π≤≤时，()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积为 A.2π-B 。
哈尔滨2017年高三第三次模拟考试数学试题(理)含答案
______（其中 VP ABE 、 VP CDF 分别为四面体 P — ABE 、 P — CDF 的体积）.
15.已知数列
an 满足 an n2 4n cos nπ ，则 an 的前 50 项的和为______.
2 2 M 2,3 16.已知圆 C : x y 25 ，过点 作直线 l 交圆 C 于 A ， B 两点，分别过 A ， B 两
（Ⅰ）求 m 值和
2017 年高三第三次模拟考试
理科数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条 形码区域内。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写， 字体工整、笔记清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草 稿纸、试题卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第Ⅰ卷（选择题共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.）
的离心率 e2 的范围是（
3 5 , A. 2 3 5 ,2 B. 3
）
2,3 C.
3 ,3 D. 2
ABC
2 ， P 在面 ABC 的射影为
11.三棱锥 P ABC 中，底面 ABC 满足 BA BC ，
9 AC 的中点，且该三棱锥的体积为 2 ，当其外接球的表面积最小时， P 到面 ABC 的距离为 （ ）
2017年高考仿真试题(三)数学理科试题(含答案)word版
2017年普通高考理科数学仿真试题(三)本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页,满分150分,考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“Z x ∈∃使022≤++m x x ”的否定是A.Z x ∈∃使m x x ++22＞0B.不存在Z x ∈使m x x ++22＞0C.对Z x ∈∀使022≤++m x xD.对Z x ∈∀使m x x ++22＞02.已知集合(){}{x y y B x x y x A x ,2,2lg 2==-==＞}0，R 是实数集，则A.[]1,0B.(]1,0C.(]0,∞-D.以上都不对 3.设i 为虚数单位，则1+i+i 2+i 3+…+i 10=A.iB.—iC.2iD.—2i4.若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B 等于A.7B.15C.31D.635.已知直线⊥l 平面α，直线⊂m 平面β，给出下列命题：①;//m l ⊥⇒βα②;//m l ⇒⊥βα ③βα⊥⇒m l // ④.//βα⇒⊥m l其中正确命题的序号是A.①②③B.②③④C.①③D.②④6.ABC ∆的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知1sin =B ，向量()().2,1,,==q b a p 若q p //，则C ∠的大小为 A.6π B.3π C.2π D.32π 7.将1，2，3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大.当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法为A.6种B.12种C.18种D.24种8.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示：（单位：m ）则该几何体的体积为 A.337m B.329m C.327m D.349m 9.函数())(⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤≤-+=20cos ,011πx x x x x f 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为 A.23 B.1 C.2 D.21 10.已知数列{}n a 各项均为正数.若对于任意的正整数p 、q 总有q p q p a a a ⋅=+且8a =16，则=10aA.16B.32C.48D.6411.已知双曲线12222=-by a x （a ＞b ＞0），直线t x y l +=:交双曲线于A 、B 两点，△OAB 的面积为S （O 为原点），则函数()t f S =的奇偶性为A.奇函数B.偶函数C.不是奇函数也不是偶函数D.奇偶性与a 、b 有关 12.定义一种运算：⎩⎨⎧≤=⊗ab b a a b a ,,,令()()45sin cos 2⊗+=x x x f ，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，则函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-2πx f 的最大值是 A.45 B.1 C.—1 D.45-第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树林的底部周长（单位：cm ）.根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如右图），那么在这100株树林中，底部周长小于110cm 的株数是___________.＜ ＞b.14.从抛物线x y 42=上一点P 引抛物线准备线的垂线，垂足为M ，且5=PM ，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为_______.15.若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤≤-≤-01,21,042y x y x x 表示的平面区域为()14,22≤+-y x M 表示的平面区域为N ，现随机向区域M 内抛一点，则该点落在平面区域N 内的概率是________.16.请阅读下列材料：若两个正实数21,a a 满足12221=+a a ，那么.221≤+a a证明：构造函数()()()()1222122221++-=-+-=x a a x a x a x x f ，因为对一切实数x ，恒有()0≥x f ，所以0≤∆，从而得()084221≤-+a a ，所以.221≤+a a 根据上述证明方法，若n 个正实数满足122221=+⋅⋅⋅++n a a a 时，你能得到的结论为_______________.三、解答题：本大题共6小题，共74分.17.（本小题满分12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，()(),cos ,cos ,2,C B n c a b m =-=且m//n.（I ）求角B 的大小；（II ）设()(ωωωx B x x f sin 2cos +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=＞)0，且()x f 的最小正周期为π，求()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值和最小值.18.（本小题满分12分）在一次食品卫生大检查中，执法人员从抽样中得知，目前投放某市的甲、乙两种食品的合格率分别为90%和80%.（I ）今有三位同学聚会，若每人分别从两种食品中任意各取一件，求恰好有一人取到两件都是不合格品的概率.（II ）若某消费者从两种食品中任意各购一件，设ξ的分布列，并求其数学期望.19.（本小题满分12分）如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为矩形，俯视图为直角梯形（尺寸如图所示）（I ）求证：AE//平面DCF ；（II ）当AB 的长为29，。
2017年高考全国三卷理科数学试卷
B. -40
C. 40
D. 80
理科数学 第 1 页（共 4 页）
5.
已知曲线 C：
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的一条渐近线方程为
y
5 x ，且与椭圆 x2 y2 1有公共焦点，
2
12 3
则 C 的方程为
A. x2 y2 1 8 10
B. x2 y2 1 45
22. [选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
x 2 t,
在直角坐标系
xOy
中，直线
l1
的参数方程为
y
kt,
(t为参数) ，直线 l2 的参数方程为
x 2 m,
y
m k
,
(m为参数) ，设 l1 与 l2 的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C。
根据该折线图，下列结论错误的是
A. 月接待游客量逐月增加
B. 年接待游客量逐年增加
C. 各年的月接待游客量高峰期大致在 7、8 月
D. 各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳
4. (x + y)(2x - y)5 的展开式中 x3y3 的系数为
A. -80
已知函数 f (x) x 1 a ln x 。
（1）若 f (x) 0 ，求 a 的值；
（2）设
m
为整数，且对于任意正整数
n，
(1
1 2
)(1
1 22
)L
(1
1 2n
)
河北省2017届高考第三次模拟考试数学试题(理)有答案
唐山市2016-2017学年度高三年级第三次模拟考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（ ）{}220A x x x =-<(){}log 1B x y x ==-A B = A. B. C. D.()0,+∞()1,2()2,+∞(),0-∞2.已知为虚数单位，，则复数的共轭复数为（ ）i ()211z i i -=+z A. B. C. D. 1355i--1355i +1355i-+1355i -3.总体由编号为01，02，03，…，49，50的50个个体组成，利用随机数表（以下选取了随机数表中的第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的4个个体的编号为（ ）A.05B.09C.11D.204.已知双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（ ）()2222:10,0x y C a b a b -=>>20x y +=CC.25555.执行下图程序框图，若输出，则输入的为（ ）4y =xA.或或1B.C.3-2-2-或1D.12-6.数列是首项，对于任意，有，则前5项和（ ）{}n a 11a =*,m n N ∈3n m n a a m +=+{}n a 5S =A.121 B.25C.31D.357.某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（ ）A.4B.8C.D.43838.函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（ ）()()11x x e f x x e +=-eAB C D9.若，则（ ）()92901291x a a x a x a x -=++++…1239a a a a ++++=…A.1B.513C.512D.51110.函数（）在内的值域为，则的取值范围是（ ）()cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0ω>[]0,π3⎡-⎢⎣ωA. B. C. D.35,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦53,62⎡⎤⎢⎣⎦5,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭55,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.抛物线的焦点为，为准线上一点，为轴上一点，为直角，若线段的中点2:4C y x =F N M y MNF ∠MF 在抛物线上，则的面积为（ ）E C MNF △D.2323212.已知函数有两个极值点，()32f x x ax bx =++12,x x且，若，函数，则（ ）12x x <10223x x x +=()()()0g x f x f x =-()g x A.恰有一个零点 B.恰有两个零点C.恰有三个零点D.至多两个零点第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，，则在方向上的投影为 ．()3,1=-a ()2,1=b a b 14.直线的三个顶点都在球的球面上，，若三棱锥的体积为2，则该球的表ABC △O 2AB AC ==O ABC -面积为 ．15.已知变量满足约束条件，目标函数的最小值为，则实数.,x y 102100x y x y x y a -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩2z x y =+5-a =16.数列的前项和为，若，则 ．{}n a n n S ()*2142n n n S a n N -+=-∈na=三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，角，，所对应的边分别为，，，.ABC △A B C a b c cos a b b C -=（1）求证：；sin tan C B =（2）若，为锐角，求的取值范围.1a =C c 18.某学校用简单随机抽样方法抽取了100名同学，对其日均课外阅读时间（单位：分钟）进行调查，结果如下：t[)0,15[)15,30[)30,45[)45,60[)60,75[)75,90男同学人数711151221女同学人数89171332若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”.（1）将频率视为概率，估计该校4000名学生中“读书迷”有多少人？（2）从已抽取的8名“读书迷”中随机抽取4位同学参加读书日宣传活动.（i ）求抽取的4位同学中既有男同学又有女同学的概率；（ii ）记抽取的“读书迷”中男生人数为，求的分布列和数学期望.X X 19.如图，平行四边形中，，ABCD 24BC AB ==，，，分别为，的中点，60ABC ∠=︒PA AD ⊥E F BC PE 平面.AF ⊥PED（1）求证：平面；PA ⊥ABCD （2）求直线与平面所成角的正弦值.BF AFD 20.已知椭圆经过点.()2222:10x y a b a b Γ+=>>13,2E ⎫⎪⎭3（1）求椭圆的方程；Γ（2）直线与圆相切于点，且与椭圆相交于不同的两点，，求的最大值.l 222:O x y b +=M ΓA B AB 21.已知函数，.()()2ln 1f x x ax =++0a >（1）讨论函数的单调性；()f x （2）若函数在区间有唯一零点，证明：.()f x ()1,0-0x 2101e x e --<+<22.点是曲线上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以P ()221:24C x y -+=O x 极点为中心，将点逆时针旋转得到点，设点的轨迹方程为曲线.O P 90︒Q Q 2C （1）求曲线，的极坐标方程；1C 2C （2）射线与曲线，分别交于，两点，定点，求的面积.()03πθρ=>1C 2C A B ()2,0M MAB △23.已知函数.()21f x x a x =++-（1）若，解不等式；1a =()5f x ≤（2）当时，，求满足的的取值范围.0a ≠()1g a f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭()4g a ≤a唐山市2016—2017学年度高三年级第三次模拟考试理科数学参考答案一．选择题：BACCD DBDAC BA 二．填空题：（13（14）（15）（16）544π3-12n n -三．解答题：（17）解：（Ⅰ）由根据正弦定理得，cos a b b C -=sin sin sin cos A B B C -=即，()sin sin sin cos B C B B C +=+，sin cos cos sin sin sin cos B C B C B B C +=+，sin cos sin C B B =得．sin tan C B =（Ⅱ）由余弦定理得，()222222cos 4428c a b ab C b b b =+-=+-=+-由知，cos a b b C -=21cos 1cos a b C C==++由为锐角，得，所以.C 0cos 1C <<12b <<从而有.218c <<所以的取值范围是.c (1,22（18）解：（Ⅰ）设该校4000名学生中“读书迷”有人，则，解得.x 81004000x=320x =所以该校4000名学生中“读书迷”约有320人.（Ⅱ）（ⅰ）抽取的4名同学既有男同学，又有女同学的概率：.454813114C P C =-=（ⅱ）可取0，1，2，3.X ，，()45481014C P X C ===()133548317C C P X C ===，，()223548327C C P X C ===()3155481314C C P X C ===的分布列为：X X 0123P1143737114.()1331301231477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（19）解：（1）连接，因为平面，平面，所以，AE AF ⊥PED ED ⊂PED AF ED ⊥PF EDCBA在平行四边形中，，，ABCD 24BC AB ==60ABC ∠=︒所以，，2AE =23ED =从而有，222AE ED AD +=所以，AE ED ⊥又因为，AF AE A = 所以平面，平面，ED ⊥PAE PA ⊂PAE 从而有，ED PA ⊥又因为，，PA AD ⊥AD ED D = 所以平面.PA ⊥ABCD （2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，E则，，，()0,2,0A ()23,0,0D ()3,1,0B -因为平面，所以，AF ⊥PED AF PE ⊥又因为为中点，所以，F PE 2PA AE ==所以，，()0,2,2P ()0,1,1F ，，，()0,1,1AF =- ()3,2,0AD =- ()3,0,1BF =设平面的法向量为，AFD (),,n x y z =由，得，，0AF n ⋅= 0AD n ⋅= 0320y z y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩令，得.1x =(3,3n =设直线与平面所成的角为，则：BF AFD θ，2321sin cos ,27BF n BF n BF n θ⋅=<>==⨯ 即直线与平面.BF AFD 21（20）解：（Ⅰ）由已知可得，解得，，223114a b+=223a b -=2a =1b =所以椭圆Γ的方程为．2214x y +=（Ⅱ）当直线垂直于轴时，由直线与圆：相切，l x l O 221x y +=可知直线的方程为，易求l 1x =±3AB =当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，l x l y kx m =+由直线与圆，即l 22:1O x y +=211m k =+，221m k =+将代入，整理得，y kx m =+2214x y +=()222148440k x kmx m +++-=设，，则，，()11,A x y ()22,B x y 122814kmx x k -+=+21224414m x x k -=+()222121214AB x k x x x x =-=++-2222144114k m k k +-==++又因为，221m k =+所以，()2222231431214k k kk AB k +++=≤=+，即231k k =+2k =综上所述，的最大值为2.AB （21）解：（Ⅰ），，()21221'211ax ax f x ax x x ++=+=++1x >-令，，()2221g x ax ax =++()24842a a a a ∆=-=-若，即，则，0∆<02a <<()0g x >当时，，单调递增，()1,x ∈-+∞()'0f x >()f x 若，即，则，仅当时，等号成立，0∆=2a =()0g x ≥12x =-当时，，单调递增.()1,x ∈-+∞()'0f x ≥()f x 若，即，则有两个零点0∆>2a >()g x ()12a a a x ---=()22a a a x -+-=由，得，()()1010g g -==>102g ⎛⎫-< ⎪⎝⎭121102x x -<<-<<当时，，，单调递增；()11,x x ∈-()0g x >()'0f x >()f x 当时，，，单调递减；()12,x x x ∈()0g x <()'0f x <()f x 当时，，，单调递增.()2,x x ∈+∞()0g x >()'0f x >()f x 综上所述，当时，在上单调递增；02a <≤()f x ()1,-+∞当时，在和上单调递增，2a >()f x ()2a a a ⎛--- - ⎝()2a a a ⎫-+-⎪+∞⎪⎭在上单调递减.()2a a a -+-（Ⅱ）由（1）及可知：仅当极大值等于零，即时，符合要求.()00f =()10f x =此时，就是函数在区间的唯一零点.1x ()f x ()1,0-0x 所以，从而有，202210ax ax ++=()00121a x x =-+又因为，所以，()()2000ln 10f x x ax =++=()()00ln 1021x x x +-=+令，则，01x t +=1ln 02t t t--=设，则，()11ln 22h t t t =+-()221'2t h t t-=再由（1）知：，，单调递减，102t <<()'0h t <()h t 又因为，，()22502e h e --=>()1302e h e --=<所以，即.21e t e --<<2101e x e --<+<（22）解：（Ⅰ）曲线的极坐标方程为．1C 4cos ρθ=设，则，则有．(),Q ρθ,2P πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭4cos 4sin 2πρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以，曲线的极坐标方程为． 2C 4sin ρθ=（Ⅱ）到射线的距离为M 3πθ=2sin33d π==，()4sin cos 23133B A AB ππρρ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭则1332S AB d =⨯=（23）解：（Ⅰ）,()21f x x x =++-所以表示数轴上的点到和1的距离之和，x 2-因为或2时，3x =-()5f x =依据绝对值的几何意义可得的解集为． ()5f x ≤{}32x x -≤≤（Ⅱ），()1121g a a a a=++-当时，，等号当且仅当时成立，所以无解；0a <()2215g a a a=--+≥1a =-()4g a ≤当时，，01a <≤()221g a a a=+-由得，解得，又因为，所以；()4g a ≤22520a a -+≤122a ≤≤01a <≤112a ≤≤当时，，解得，1a >()214g a a =+≤312a <≤综上，的取值范围是．a 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
河北省2017届高考第三次模拟考试数学试题(理)含答案
（1）求证： sin C tan B ；
（2）若 a 1 ， C 为锐角，求 c 的取值范围 .
18. 某学校用简单随机抽样方法抽取了 100 名同学，对其日均课外阅读时间（单位：分钟）
进行调查，结果如下：
t
0,15
15,30
30,45
45,60
60,75
75,90
男同学人 7
11
15
12
2
1
数
女同学人 8
D. 3 2
12. 已知函数 f x x 3 ax2 bx 有两个极值点 x1, x2 ，且 x1 x2 ，若 x1 2 x0 3x2 ，函数
g x f x f x0 ，则 g x （ ）
A. 恰有一个零点
B. 恰有两个零点
C.恰有三个零点
D.至多两个零点
第Ⅱ卷（共 90 分）
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
C. 4
3
ex x ex
1 1
（其中
e 为自然对数的底数）的图象大致为（
D. 8 3
）
A
B
C
9. 若 1
9
x
a0
a1 x
a2x2
…
a9 x9 ，则 a1
a2
a3 … a9
（
D ）
A.1
B.513
C.512
D.511
10. 函数 f x cos x
（
6
0 ）在 0, 内的值域为
1, 3 ，则 的取值范围是 2
1,0
有唯一零点
x0 ，证明：
2
e
1
x0 1 e .
22. 点 P 是曲线 C1 : x
2017年山东省青岛市高考数学三模试卷及答案(理科)
2017年山东省青岛市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|1＜x＜10，x∈N}．B={x|x=，n∈A}．则A∩B=（）A．{1，2，3}B．{x|1＜x＜3}C．{2，3}D．{x|1＜x＜}2．（5分）若复数z满足z2=﹣4，则复数z的实部为（）A．2 B．1 C．﹣2 D．03．（5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．则这200名学生中每周的自习时间不低于25小时的人数为（）A．30 B．60 C．80 D．1204．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径，若该几何体的体积是，则三视图中圆的半径为（）A．2 B．3 C．4 D．65．（5分）边长为4的正三角形ABC中，点D在边AB上，=，M是BC的中点，则•=（）A．16 B．C．D．﹣86．（5分）已知函数f（x）是R上的奇函数，且满足f（π﹣x）=f（x），当0≤x ≤时，f（x）=cosx﹣1，则当0≤x≤π时，f（x）的图象与x轴所围成图形的面积为（）A．π﹣2 B．2π﹣4 C．3π﹣6 D．4π﹣87．（5分）已知△ABC中，AC=，∠ACB=，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC=，则CD=（）A．B．C．3 D．8．（5分）已知x∈R，则“|x﹣3|﹣|x﹣1|＜2”是“x＞3”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）当实数x，y满足不等式组时，目标函数z=ax+y的最大值为3，则实数a的值为（）A．B．C．2 D．310．（5分）已知点P是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）左支上一点，F1、F2是双曲线的左、右两个焦点，且PF1⊥PF2，PF2与两条渐近线相交M，N两点（如图），点N恰好平分线段PF2，则双曲线的离心率是（）A．B．C．2 D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5和2，则输出的n=．12．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）=1，则a=．13．（5分）过点M（2，1）的直线与圆：（x+1）2+（y﹣5）2=9相切于点N，则|MN|=．14．（5分）二项式（x﹣）6展开式中的常数项是．15．（5分）已知函数y=f（x）图象关于y轴对称的图象对应的函数为y=F（x），当函数y=f（x）和y=F（x）在区间[a，b]同时递增或同时递减时，区间[a，b]叫做函数y=f（x）的“不动区间”．若区间[1，2]为函数y=|2x﹣t|的“不动区间”，则实数t的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）已知函数f（x）=Msin（ωx+φ）图象上的一个最高点为，函数f（x）图象与y轴交点为（0，1）．（Ⅰ）求M，ω，φ的值；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．17．（12分）某押运公司为保障押运车辆运行安全，每周星期一到星期五对规定尾号的押运车辆进行保养维护，具体保养安排如下：该公司下属的某分公司有车牌尾号分别为0、5、6的汽车各一辆，分别记为A、B、C．已知在非保养日，根据工作需要每辆押运车每天可能出车或不出车，A、B、C三辆车每天出车的概率依次为、、，且A、B、C三车是否出车相互独立；在保养日，保养车辆不能出车．（Ⅰ）求该分公司在星期四至少有一辆车外出执行押运任务的概率；（Ⅱ）设X表示该分公司在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X的分布列及其数学期望E（X）．18．（12分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，前n项和为S n，且满足S4=16，a2，a5，a14成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=3an+（﹣1）n•a n，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面ABC⊥平面APC，AB=BC=AP=PC=，∠ABC=∠APC=90°．（Ⅰ）求证：AC⊥PB；（Ⅱ）若点M在棱BC上，且二面角M﹣PA﹣C的余弦值为，求BM的长．20．（13分）已知动点P到双曲线的左、右焦点F1、F2的距离之和为4．（Ⅰ）求动点P的轨迹E的标准方程；（Ⅱ）若过点F1的直线l交轨迹E于A，B两个不同的点，试问：在x轴上能否存在一个定点M，使得为定值λ？若存在，请求出定点M与定值λ；若不存在，请说明理由．21．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣x2+x．（I）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤（﹣1）x2+ax﹣1恒成立，求整数a的最小值；（Ⅲ）若正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+2（x+x）+x1x2=0，证明x1+x2≥．2017年山东省青岛市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|1＜x＜10，x∈N}．B={x|x=，n∈A}．则A∩B=（）A．{1，2，3}B．{x|1＜x＜3}C．{2，3}D．{x|1＜x＜}【解答】解：∵A={x|1＜x＜10，x∈N}={2，3，4，5，6，7，8，9}，B={x|x=，n∈A}={，，2，，，，2，3}，∴A∩B={2，3}，故选：C．2．（5分）若复数z满足z2=﹣4，则复数z的实部为（）A．2 B．1 C．﹣2 D．0【解答】解：由z2=﹣4，得z2=（±i）2．∴z=±2i．则复数z的实部为：0．故选：D．3．（5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．则这200名学生中每周的自习时间不低于25小时的人数为（）A．30 B．60 C．80 D．120【解答】解：自习时间不低于25小时的频率为：（0.08+0.04）×2.5=0.3，故自习时间不低于25小时的频率为：0.3×200=60，故选：B4．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径，若该几何体的体积是，则三视图中圆的半径为（）A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：由三视图可知：该几何体为球去掉，余下的几何体．设三视图中圆的半径为r，则=，解得r=2．故选：A．5．（5分）边长为4的正三角形ABC 中，点D 在边AB 上，=，M 是BC 的中点，则•=（ ） A ．16 B ． C ．D ．﹣8【解答】解：∵，∴，∴==﹣，∵M 是BC 的中点，∴=+，∴•=（+）•（﹣）=﹣﹣，∵三角形ABC 是边长为4的正三角形， ∴=16，=4×4×cos60°=8，∴﹣﹣==﹣8，故选：D ．6．（5分）已知函数f （x ）是R 上的奇函数，且满足f （π﹣x ）=f （x ），当0≤x ≤时，f （x ）=cosx ﹣1，则当0≤x ≤π时，f （x ）的图象与x 轴所围成图形的面积为（ ） A ．π﹣2B ．2π﹣4C ．3π﹣6D ．4π﹣8【解答】解：由f （π﹣x ）=f （x ）得f （x +π）=f （﹣x ）=﹣f （x ）， 当0≤x ≤，由已知得到f （x ）=cosx ﹣1，∵f （x ）是R 上的奇函数， ∴当＜x ≤π时，0＜π﹣x ≤，所以由f （π﹣x ）=f （x ）=cos （π﹣x ）﹣1=﹣cosx ﹣1，所以f（x）=，所以当0≤x≤π时，f（x）的图象与x轴所围成图形的面积﹣==（x﹣sinx）|+（sinx+x）|=π﹣2；故选A．7．（5分）已知△ABC中，AC=，∠ACB=，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC=，则CD=（）A．B．C．3 D．【解答】解：如图，在△ABC中，由余弦定理得：AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos∠ACB ∴，∴△ABC是等腰三角形，即，在△ADC中，由正弦定理得，即DC=故选：B8．（5分）已知x∈R，则“|x﹣3|﹣|x﹣1|＜2”是“x＞3”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：根据绝对值得几何意义可得|x﹣3|﹣|x﹣1|＜2的解为x＞2或x＜0∴“|x﹣3|﹣|x﹣1|＜2”是“x＞3”必要不充分条件．故选：B．9．（5分）当实数x，y满足不等式组时，目标函数z=ax+y的最大值为3，则实数a的值为（）A．B．C．2 D．3【解答】解：作出实数x，y满足不等式组的可行域如图：目标函数z=ax+y的最大值为3，就是直线z=ax+y经过（0，3）点，可知a＞0，目标函数的最优解是A，由解得A（1，0）目标函数在A（1，0）处取最大值3，a=3．解得a=3故选：B．10．（5分）已知点P是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）左支上一点，F1、F2是双曲线的左、右两个焦点，且PF1⊥PF2，PF2与两条渐近线相交M，N两点（如图），点N恰好平分线段PF2，则双曲线的离心率是（）A．B．C．2 D．【解答】解：在三角形F1F2P中，点N恰好平分线段PF2，点O恰好平分线段F1F2，∴ON∥PF1，又ON的斜率为，∴tan∠PF1F2=，在三角形F1F2P中，设PF2=bt．PF1=at，根据双曲线的定义可知|PF2|﹣|PF1|=2a，∴bt﹣at=2a，在直角三角形F1F2P中，|PF2|2+|PF1|2=4c2，∴b2t2+a2t2=4c2，又c2=a2+b2，则t=2a，即b=2a，∴双曲线的离心率是==，故选D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5和2，则输出的n=4．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=5，b=2，n=1a=，b=4不满足条件a≤b，执行循环体，n=2，a=，b=8不满足条件a≤b，执行循环体，n=3，a=，b=16不满足条件a≤b，执行循环体，n=4，a=，b=32满足条件a≤b，退出循环，输出n的值为4．故答案为：4．12．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）=1，则a=3．【解答】解：若a＜2，由f（a）=1，得﹣log2（3﹣a）=1得log2（3﹣a）=﹣1，即3﹣a=，得a=不成立，若a≥2，由f（a）=1，得2a﹣2﹣1=1得2a﹣2=2，即a﹣2=1，得a=3成立，故答案为：313．（5分）过点M（2，1）的直线与圆：（x+1）2+（y﹣5）2=9相切于点N，则|MN|=4．【解答】解：如图，设圆心为C（﹣1，5），连接CN，则CN⊥MN，∵|MC|2=（﹣1﹣2）2+（5﹣1）2=25，r2=9，∴|MN|=．故答案为：4．14．（5分）二项式（x﹣）6展开式中的常数项是15．【解答】解：设展开式中第r+1项是常数项，即T r=x6﹣r（﹣）r=（﹣1）r为常数，+1令=0解得r=4，因此T5==15．故答案为：15．15．（5分）已知函数y=f（x）图象关于y轴对称的图象对应的函数为y=F（x），当函数y=f（x）和y=F（x）在区间[a，b]同时递增或同时递减时，区间[a，b]叫做函数y=f（x）的“不动区间”．若区间[1，2]为函数y=|2x﹣t|的“不动区间”，则实数t的最大值为2．【解答】解：∵函数y=f（x）与y=F（x）的图象关于y轴对称，∴F（x）=f（﹣x）=|2﹣x﹣t|，∵区间[1，2]为函数f（x）=|2x﹣t|的“不动区间”，∴函数f（x）=|2x﹣t|和函数F（x）=|2﹣x﹣t|在[1，2]上单调性相同，∵y=2x﹣t和函数y=2﹣x﹣t的单调性相反，∴（2x﹣t）（2﹣x﹣t）≤0在[1，2]上恒成立，即1﹣t（2x+2﹣x）+t2≤0在[1，2]上恒成立，即2﹣x≤t≤2x在[1，2]上恒成立，即有≤t≤2；即实数t的最大值为2；故答案为：2．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）已知函数f（x）=Msin（ωx+φ）图象上的一个最高点为，函数f（x）图象与y轴交点为（0，1）．（Ⅰ）求M，ω，φ的值；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）图象上的一个最高点为可得：M=2…（2分）∵函数图象与y轴交点为（0，1），∴f（0）=2sin（0+φ）=1，又∵，∴，…（4分）∵点在函数f（x）图象上，∴，，∴，k∈Z，∵0＜ω＜3，∴…（6分）（Ⅱ）由（2a﹣c）cosB=bcosC，得2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC即2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，∵0＜A＜π，∴sinA≠0，，．…（8分）由（Ⅰ）得：∴∵A+B+C=π∴…（10分）．∴，∴．∴函数f（A）的取值范围为（1，2）…（12分）17．（12分）某押运公司为保障押运车辆运行安全，每周星期一到星期五对规定尾号的押运车辆进行保养维护，具体保养安排如下：该公司下属的某分公司有车牌尾号分别为0、5、6的汽车各一辆，分别记为A、B、C．已知在非保养日，根据工作需要每辆押运车每天可能出车或不出车，A、B、C三辆车每天出车的概率依次为、、，且A、B、C三车是否出车相互独立；在保养日，保养车辆不能出车．（Ⅰ）求该分公司在星期四至少有一辆车外出执行押运任务的概率；（Ⅱ）设X表示该分公司在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X的分布列及其数学期望E（X）．【解答】解：（Ⅰ）设该分公司A、B、C三辆押运车在星期四出车的事件分别为A4、B4、C4，该分公司在星期四至少有一辆押运车外出执行任务的事件为D，则=；…（6分）（Ⅱ）由题意知X的可能取值为0，1，2，3；，，，；…（10分）所以随机变量X的分布列为数学期望为．…（12分）18．（12分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，前n项和为S n，且满足S4=16，a2，a5，a14成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=3an+（﹣1）n•a n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）因为{a n}为等差数列，S4=16，所以，即2a1+3d=8①又因为a2，a5，a14成等比数列，则整理得②…（4分）由①②且d≠0得a1=1，d=2，所以a n=2n﹣1…（6分）（Ⅱ）∵．∴，当n为偶数时，…（9分）当n为奇数时，…（12分）19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面ABC⊥平面APC，AB=BC=AP=PC=，∠ABC=∠APC=90°．（Ⅰ）求证：AC⊥PB；（Ⅱ）若点M在棱BC上，且二面角M﹣PA﹣C的余弦值为，求BM的长．【解答】解：（Ⅰ）如图（1）取AC中点O，连结OB，OP因为AB=BC，所以OB⊥AC，因为AP=PC，所以OP⊥AC，∵OB∩OP=O，∴AC⊥面POB∵PB⊂面POB∴AC⊥PB…（4分）（Ⅱ）∵平面ABC⊥平面APC，平面ABC∩平面APC=AC，由（Ⅰ）可知OP⊥AC，∴OP⊥平面ABC，∵OB⊂平面ABC，∴OB⊥OP以O为坐标原点，OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立如图（2）所示空间直角坐标系．因为，∠ABC=∠APC=90°，所以OB=OC=OP=1，从而O（0，0，0），A（0，﹣1，0），B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，1），…（6分）由题意可得：是平面PAC的一个法向量，设，M（m，n，0）由，，得：m=1﹣λ，n=λ，∴M（1﹣λ，λ，0）…（8分）设平面PAM的法向量为，则，，由⇒，令z=1，则y=﹣1，，∴…（10分）设二面角M﹣PA﹣C的平面角为θ，则，∴∴，∴…（12分）20．（13分）已知动点P到双曲线的左、右焦点F1、F2的距离之和为4．（Ⅰ）求动点P的轨迹E的标准方程；（Ⅱ）若过点F1的直线l交轨迹E于A，B两个不同的点，试问：在x轴上能否存在一个定点M，使得为定值λ？若存在，请求出定点M与定值λ；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵F1、F2是双曲线的左、右焦点，∴，，∵动点P到F1、F2的距离之和为4，∴动点P的轨迹E是以F1、F2为焦点，以4为长轴长的椭圆，∴动点P的轨迹E的标准方程为：；（Ⅱ）①当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0）．由，得．∴，．=（m﹣x1）（m﹣x2）+y1y2====．由，得，∴对任意k∈R均成立．∴，解得．∴当直线l的斜率存在时，存在定点满足条件，此时定值；②当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：．由，解得或．不妨取．对于定点，则．∴当直线l的斜率不存在时，定点也满足条件，此时定值．综上可知：存在定点满足条件，此时定值．21．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣x2+x．（I）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤（﹣1）x2+ax﹣1恒成立，求整数a的最小值；（Ⅲ）若正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+2（x+x）+x1x2=0，证明x1+x2≥．【解答】解：（Ⅰ）（x＞0）；∴x≥1时，f′（x）≤0；∴f（x）的单调减区间为[1，+∞）；（Ⅱ）令；所以=；（1）当a≤0时，因为x＞0，所以g′（x）＞0；∴此时g（x）在（0，+∞）上是递增函数；又g（1）=；∴g（x）≤0不能恒成立，即关于x的不等式f（x）≤不能恒成立；∴这种情况不存在；（2）当a＞0时，；∴当x时，g′（x）＞0；当时，g′（x）＜0；∴函数g（x）的最大值为=；令；∵h（1）=，h（2）=，又h（a）在a∈（0，+∞）上是减函数；∴当a≥2时，h（a）＜0；所以整数a的最小值为2；（Ⅲ）证明：由f（x1）+f（x2）；即；从而；令t=x1x2，则由h（t）=t﹣lnt得，h′（t）=；可知，h（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增；∴h（t）≥h（1）=1；∴，又x1+x2＞0；因此成立．。
2017年三模参考答案(理科数学)
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2017届高三下学期第三次摸底考试数学(理科)试卷(附答案与解析)
可取平面 BDA 的一个法向量为 0,1,0，
所以 cos u,
uu
41 5 82
82 10 ，
所以二面角 B AD O 的正弦值为 3 2 ． 10
19．解：(1)易知对于每次划拳比赛基本事件共有 3 3 9个，其中小华赢（或输）包含三个基本事件上，他
们平局也为三个基本事件，不妨设事件“第i i N * 次划拳小华赢”为 A ；事件“第i 次划拳小华平”为 B ；
B． 1,+
2．
zC
，若
z
z
1
2i ，则
z 1
i
等于（
A．
7 4
1i 4
B．
7 4
14i1
11
C．
1, 2
23
）
1 C． 4 4i4
D．
23,1
D． i 4
3．数列a 为正项等比数列，若 a 3，且 a 2a 3a n N ,n 2，则此数列的前 5 项和 S 等于
n
3
n1
n
所以 cosBAC cosBAC B
sin BsinBAC cosBcosBAC
25 2 5
2 25 2 5
10 ． 10
18．解：(1)依题易知，圆锥的高为h 5 2 2 52 5 ，又圆柱的高为 AB 6.4 ， AO AD ，
所以 OD2 OA2 AD2 ，
因为 AB BD ，所以 AD2 AB2 BD2 ，
B． 2 2
C． 6
D．2
5．在 ABC 中，“ sin A sin B cosB cosA”是“ A B ”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
高三数学第三次模拟考试试题理(1)word版本
2017年高三年级第三次模拟考试数学（理科）本试卷分试题卷和答题卡两部分。
试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共4页；答题卡共6页。
满分为150分，考试时间为120分钟。
考生作答时，请按要求把答案涂、写在答题卡规定的范围内，超出答题框或答在试题卷上的答案无效。
考试结束只收答题卡。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A＝{ x｜＜1}，B＝{ x｜－4x－12＞0}，则（C R A）∩B＝A．[－3，－2） B．（－∞，－3]C．[－3，－2）∪（6，＋∞） D．（－3，－2）∪（6，＋∞）2．已知复数z满足i·z＝，则复数z在复平面内对应的点在A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限3．已知随机变量X＋Y＝10，若X～B（10，0．6），则E（Y），D（Y）分别是A． 6和2．4 B．4和5．6 C．4和2．4 D．6和5．64．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为A． B．C． D．5．在如图的程序框图中，任意输入一次x（0≤x≤1）与y（0≤y≤1），则能输出“恭喜中奖!”的概率为A．B．C．D．6．若sin（－α）＝，则cos（＋2α）＝A． B．－C． D．－7．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12．6（立方寸），则图中的x值为A． 1．2 B．2．4 C．1．8 D．1．68．已知实数x，y满足且ax－y＋1－a＝0，则实数a的取值范围是A．[－，1） B．[－1，] C．（－1，] D．[－，]9．已知函数f（x）＝Asin（ωx＋）＋B（A＞0，ω＞0，｜｜＜）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移m（m>0）个单位后，得到的图象关于点（，－1）对称，则m的最小值是A．B．C．D．10．已知函数y＝f（x＋1）的图象关于直线x＝－1对称，且当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝｜｜，若a＝f（），b＝f（－4），c＝f（2），则a，b，c之间的大小关系是A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜c＜b11．已知向量＝（3，1），＝（－1，3），＝m－n（m＞0，n＞0），若m＋n ∈[1，2]，则｜｜的取值范围是A．[，2）B．[，2] C．（，） D．（，2]12．已知函数f（x）＝lnx＋，则下列结论正确的是A．若x1，x2（x1＜x2）是f（x）的极值点，则f（x）在区间（x1，x2）内是增函数B．若x1，x2（x1＜x2）是f（x）的极值点，则f（x）在区间（x1，x2）内是减函数C．＞0，且x≠1，f（x）≥2D．＞0，f（x）在（，＋∞）上是增函数第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
辽宁省沈阳市2017届高三第三次模拟考试-数学(理).doc
辽宁省沈阳市 2017 届高三第三次模拟考试 - 数学 ( 理).doc2017 年沈阳市高中三年级教课质量监测（三）数学(理科 )第Ⅰ卷 (共 60 分)选择题:（本大题共12 小题，每题 5 分，共60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的）若会合A x | x 0，且 A B B ，则会合B可能是（）A. D.1,2B.x | x 1C.1,0,1 R设 i 为虚数单位，则知足z i|12i |的复数z在复平面内所对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限x2y21 ，则其焦距为（已知双曲线 94）A.5 B. 25 C.13 D. 2 13已知向量 a 与 b 不共线， AB a mb ，AC na b(m, n R) ，则 AB 与AC共线的充要条件是（）A. D.m n0B. m n 0C. mn 1 0 mn 10若sin3sin() 0，则 cos2的值为开2（）输入 aS0 334i 1A. 5B. 5C. 54S S i D. 5i i1按右图所示的程序框图，若输入 a 81 ，S a ? 否则输出的i =（）输是A.14B.17C.19结i D.21《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体（如图）：面 ABCD 为矩形，棱EF AB.若此几何体中，AB4, EF2 ，ADE和BCF都是边长为2的等边三角形，则此几何体的表面积为（）A.83B.883C.62 23D.862 23在如下图的矩形中随机扔掷30000 个点，则落在曲线 C 下方（曲线 C 为正态散布N(1,1)的正态曲线）的点的个数的预计值为（）A.4985B. 8185C. 9970D.24555附：正态变量在区间( , ),( 2,2),(3, 3 )内取值的概率分别是 0.683,0.954,0.997 .已知直线3x y30 与抛物线 y24x交于 A，B 两点（ A 在 x 轴上方），与 x 轴交于 F 点，OF OA OB ，则（）1111 A.2 B. 2 C. 3 D.3已知某三棱锥的三视图如下图，图中的 3 个直角三角形的直角边长度已经标出，则在该三棱锥中，最短的棱和最长的棱所在直线的成角余弦值为（）1512A. 3B. 5C. 2D. 3数列{ a n }的前n项和为S n ，a11，a n a n 1 3 2n 1，则 S2017=（）A.22018 1B. 220181C. 22017 1D. 220171已知函数 f ( x) ln(1 x) ln(1x) ，给出以下四个命题：①x1,1 ，有 f ( x) f (x) ；x 1, x 21,1f ( x 1 ) f ( x 2 )x 1 x 2x 1 x 2②且，有；③x 1, x20,1，有f ( x 12x2 )f ( x 1 ) 2f ( x 2 )；④ x1,1 ， | f (x) | 2 | x |.此中全部真命题的序号是（）A. ①②B ．③④C ．①②③D ．①②③④第Ⅱ卷 (共 90 分)本卷包含必考题和选考题两部分，第13 题～第21 题为必考题，每个试题考生都一定做答．第22 题～第 23 题为选考题，考生依据要求做答．填空题： (本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20分．把答案填在答题纸上 )log 2 x, xf ( x)1) x, x 0f [ f ( 1)]( ，则已知函数3 4 =___________.(12x)3 (1x)4睁开式中 x 2 的系数为 ___________.某班共 46 人，从 A ，B ，C ，D ，E 五位候选人中选班长，全班每人只投一票， 且每票只选一人。
2017高考全国3卷理科数学试题及答案
2017年一般高等学校招生全国一致考试（全国）理科数学（试题及答案分析）一、选择题：（此题共12小题，每题5分，共 60分）1．已知会合 A ( x, y) x 2 y 2 1 ， B( x, y) y x ，则 A I B 中元素的个数为（）A ． 3B ． 2C ． 1D ． 0【答案】 B221 上所有点的会合， B 表示直线 y x 上所有点的会合，【分析】 A 表示圆 xy 故 A I B 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为 2，即 A I B 元素的个数为2，应选 B.2．设复数 z 知足 (1 i) z 2i ，则 z （）1B ．2 C ． 2D ． 2A ．22【答案】 C【分析】由题， 2i 2i 1 i 2i 2，则 z 12122 ，应选 C.z1 i 1 ii 11 i23．某城市为认识旅客人数的变化规律，提升旅行服务质量，采集并整理了2014 年 1 月至2016 年 12 月时期月招待旅客量（单位：万人）的数据，绘制了下边的折线图．依据该折线图，以下结论错误的选项是A ．月招待旅客量逐月增添B ．年招待旅客量逐年增添C ．各年的月招待旅客量顶峰期大概在 7,8 月份D ．各年 1 月至 6 月的月招待旅客量相对7 月至 12 月，颠簸性更小，变化比较安稳【答案】 A 【分析】由题图可知， 2014年8月到 9月的月招待旅客量在减少，则 A 选项错误，应选 A. 4． ( x y)(2 x y)5 的睁开式中 x 3 y 3 的系数为（）A ．B ．C ． 40D ． 80【答案】 C【分析】由二项式定理可得，原式睁开中含x 3 y3的项为x 22 x 23y 33240x 333 3C 5y C 5 2xyy，则 x y 的系数为 40，应选 C.225x ，且与椭圆5．已知双曲线C ：x2y 2 1（ a 0 ， b 0 ）的一条渐近线方程为 yx 2 y 2ab21 有公共焦点．则 C 的方程为（）123A ． x 2 y 2 1B ． x 2 y 21C ． x 2 y 21D ． x 2 y 218104 55443【答案】 B【分析】 ∵双曲线的一条渐近线方程为y5 x ，则 b5 ① 又∵ 椭圆x 2y 22 a21 与双曲线有公共焦点，易知 c 3 ，则 a 2b 2 c29 ②123x2y2由①② 解得 a 2,b5 ，则双曲线 C 的方程为1，应选 B.456．设函数 f ( x)πcos(x) ，则以下结论错误的选项是（）38πA ． f (x) 的一个周期为2πB ． y f ( x) 的图像对于直线 x对称3C ． f ( xπ π ) 的一个零点为 xD ． f (x) 在 ( , π) 单一递减【答案】 D 62【分析】函数 fx cos xπ的图象可由 y cosx 向左平移π个单位获得，3 3 如图可知， f x在 π, π 上先递减后递加， D 选项错误，应选 D.2ygx- O67．履行右图的程序框图，为使输出 S 的值小于 91，则输入的正整数 N的最小值为（） A ． 5 B ．4 C ．3D ． 2【答案】 D【分析】程序运转过程以下表所示：SM t 初始状态 0 100 1 第1次循环结束 100 10 2 第2次循环结束 90 1 3此时 S 90 91 初次知足条件，程序需在 t 3 时跳出循环，即 N2 为知足条件的最小值，应选 D.8．已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A ． πB ．3 π ππ4C ．D ．【答案】 B２41 2【分析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径23 ， r122则圆柱体体积 Vπr 2h3π，应选 B.49．等差数列 a n 的首项为 1，公差不为 0．若 a 2 ， a 3 ， a 6 成等比数列，则 a n前 6项的和为（）A ． 24B ． 3C ． 3D ． 8【答案】 A【分析】 ∵ a n为等差数列，且 a 2 , a 3 , a 6 成等比数列，设公差为 d .则 a 32 a 2 a 6 ，即 a 12d 2a 1 d a 15d又∵ a 1 1 ，代入上式可得 22d 0 d 又∵ d 0 ，则 d 2∴ S 66a 1 6 5 d 1 6 6 5 2 24 ，应选 A.2 222xya b 0A 1A 2A 1 A 210．已知椭圆 C : a 2b21（ ）的左、右极点分别为， ，且以线段 为直径的圆与直线 bx ay 2ab0 相切，则 C 的离心率为（）A ．6B ．3C ．21 33D ．３3【答案】 A【分析】 ∵ 以 A 1 A 2 为直径为圆与直线 bx ay2ab0 相切，∴圆心到直线距离d 等于半径，∴ d2aba22a b又∵ a0,b0 ，则上式可化简为 a 2 3b 2∵b 2a 2c 2，可得 a 23 a2c2，即 c22a 23∴ ec 6，应选Aa311．已知函数 f ( x) x 2 2x a(e x 1e x 1 ) 有独一零点，则 a （）111A ． ２B ． 3C ． 2【答案】 C【分析】由条件，f ( x) 22xx 1e x 1x a(e) ，得：f (2x) (2 x) 2 2(2 x) a(e 2 x 1e (2 x ) 1 )x 2 4 x 44 2x a(e 1 x e x 1 )x 2 2 x a(e x 1 e x 1) ∴ f (2x) f (x) ，即 x 1 为 f (x) 的对称轴，由题意， f (x) 有独一零点，∴ f ( x) 的零点只好为 x 1 ，即 f (1) 12 2 1 a(e 1 1e 1 1) 0 ，解得 a 1．212．在矩形 ABCD 中， AB 1， AD2 ，动点 P 在以点 C 为圆心且与uuuruuuruuurAP ABAD ，则的最大值为（）yA ． 3B ． 2 2C ． 5D ． 2 B【答案】 A 【分析】由题意，画出右图 ．设 BD 与 e C 切于点 E ，连结CE ．以 A 为原点， AD 为 x 轴正半轴，AB 为y轴正半轴成立直角坐标系，A(O)则 C 点坐标为 (2,1) ．∵|CD| 1，|BC | 2．22．∴BD 1 25 ∵ BD 切 e C 于点 E ．∴CE ⊥BD ．∴ CE 是 Rt △ BCD 中斜边 BD 上的高 ．2 1 |BC| |CD|2 2 2 S △ BCD 2|EC ||BD | 5 5|BD |5即 e C 的半径为 25 ．5∵ P 在e C上 ．224( x 2) ( y1)5 ．∴ P 点的轨迹方程为设 P 点坐标(x 0, y 0)，能够设出 P 点坐标知足的参数方程以下：D ． 1BD 相切的圆上．若P gCEDx2x02 5 cos2y01 5 sinuuur uuur uuur而 AP(x0 , y0 ) ， AB(0,1) ， AD(2,0) ．uuur uuur uuur(0,1)(2,0)(2,)∵ AP AB AD∴115，y012．x05cos 5 sin25两式相加得：125sin15cos552(25)2(5)2 sin() 552sin() ≤ 3(此中 sin5， cos2 5 ) 55当且仅当π2 kπ， k Z 时，获得最大值 3．2二、填空题：（此题共4小题，每题 5分，共 20分）x y ≥ 0,13．若 x， y知足拘束条件 x y 2 ≤ 0, 则 z3x 4 y 的最小值为 ________．y≥ 0,【答案】1【分析】由题，画出可行域如图：目标函数为 z 3 x 4 y ，则直线3zz 值越小．yx纵截距越大，由图可知： z 在 A 1,144处取最小值，故 z min 3 1 4 1 1 ．x y 2 0yA(1,1)B x(2,0)x y 014．设等比数列a n知足 a1a2 1 ， a1 a3 3 ，则 a4 ________．【答案】 8【分析】 Q a n为等比数列，设公比为q ．a1a21a1a1 q 1 ①a1a3 3 ，即a1a1 q2 3 ②，明显 q1， a10 ，②得 1q 3，即 q2，代入①式可得 a1 1 ，①a 4 a 1q 3 1 38 ．215．设函数 f (x)x 1,x ≤ 0,f ( x 1 1 的 x 的取值范围是 ________．2 x, x 0,则知足 f (x))2【答案】1 ,4【分析】 Q fxx 1,x ≤ 0， fxf x1 1 ，即 f1 1 f x2 x , x 0 2x2由图象变换可画出yf x1 与y1 fx的图象以下：2yy1 )f (x2(1, 1) gg4 4gx1 122y 1f (x)由图可知，知足 f x1 1 1 f x 的解为,.2416． a ， b 为空间中两条相互垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边①当直线 AB 与 a 成②当直线 AB 与 a 成AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有以下结论： 60 角时， AB 与 b 成 30 角；60 角时， AB 与 b 成 60 角；③直线 AB 与 a 所成角的最小值为45 ；④直线 AB 与 a 所成角的最大值为60 ．此中正确的选项是 ________（填写所有正确结论的编号）【答案】 ②③ 【分析】由题意知， a 、 b 、AC 三条直线两两相互垂直，画出图 形如图 ．不如设图中所示正方体边长为 1，故|AC| 1， AB2 ，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，则 A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心， 1为半径的圆 ．以 C 为坐标原点，以 uuuruuurCD 为 x 轴正方向， CB 为 y 轴正方向， uuur CA 为 z 轴正方向成立空间直角坐标系．则 D(1,0,0) ， A(0,0,1) ，rr1 ． 直线 a 的方向单位向量 a (0,1,0) ， | a | B 点开端坐标为 (0,1,0) ， rr 直线 b 的方向单位向量 b (1,0,0) ， | b | 1 ．设 B 点在运动过程中的坐标 B (cos ,sin ,0) ，此中 为 BC 与CD 的夹角，[0,2 π) ． uuur 那么 AB '在运动过程中的向量 uuurAB ( cos , sin ,1) ， | AB | 2 ．uuur r [0, π设AB 与 a 所成夹角为 ] ，2则 cos ( cos , sin ,1) (0,1,0) 2| sin | [0, 2 ] ．r uuura AB 22 故 [ π π, 2 ] ，因此 ③正确， ④错误 ． 4uuur r [0, π 设AB 与 b 所成夹角为 ] ，uuur r 2cos AB br uuur b AB( cos ,sin,1) (1,0,0).r uuurb AB22| cos |uuurrπ 当AB 与 a 夹角为 60 时，即3 ，sin2cos 2 cos212 ． ∵ cos2sin 23221 ，∴ | cos |2 ．2∴ cos2 | cos | 1 ． 2 2∵ π[0, ] ．2 uuur r∴ = π，此时 AB 与 b 夹角为 60．3∴② 正确， ①错误 ．三、解答题：（共 70分．第 17-20 题为必考题，每个试题考生都一定作答．第22， 23题为选考题，考生依据要求作答）（一）必考题：共 60分．17．（ 12分）ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 sin A3 cos A 0 ，a2 7 ，b 2 ．（ 1）求 c ；（ 2）设 D 为 BC 边上一点，且AD AC ，求 △ ABD 的面积．【分析】 （1）由 sin A3 cos A π 0 ，0 得 2sin A3即 Aπk πk Z ，又 A0, π ，3∴ Aπ π，得 A 2π3.31 由余弦定理22c2cos A .又∵ a 2 7, b 2,cos Aab 2bc 代入并整理22得 c 25 ，故 c 4 .1 （2）∵ AC2, BC2 7, AB 4 ，2 2 22 7 .由余弦定理 cosCab c2ab 7∵ AC AD ，即 △ACD 为直角三角形，则 ACCD cosC ，得 CD 7 .由勾股定理 AD CD 223 .AC 又 A2π DAB2π π π，则32 ，36 S△ ABD1AD AB sinπ3 .2618．（ 12分）某商场计划按月订购一种酸奶，每日进货量同样，进货成本每瓶 4元，售价每瓶 6元，未售出的酸奶降价办理， 以每瓶 2元的价钱当日所有办理完． 依据早年销售经验，每日需求量与当日最高气温（单位：℃）相关．假如最高气温不低于25，需求量为 500 瓶；假如最高气温位于区间 20 ，25 ，需求量为 300瓶；假如最高气温低于 20，需求量为 200瓶，为了确立六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下边的频数散布表：最高气温10 ，1515 ，20 20 ，25 25 ，3030 ，3535 ，40天数 2 16 36 25 74以最高气温位于各区间的频次取代最高气温位于该区间的概率．（ 1）求六月份这类酸奶一天的需求量 X （单位：瓶）的散布列； （ 2）设六月份一天销售这类酸奶的收益为 Y （单位：元）．当六月份这类酸奶一天的进货量 n （单位：瓶）为多少时， Y 的数学希望达到最大值？【分析】 ⑴易知需求量 x 可取 200,300,500P X200 2 16 130 35P X30036 230 3 5P X50025 74230 3.5则散布列为：X200 300 500 P 12 2555⑵① 当 n ≤ 200 时：Yn 6 4 2n ，此时 Y max 400 ，当 n 200 时取到 .4 2n 1 2 n 200 2 ②当 200 n ≤ 300 时： Y200 5 58 800 2n 6n 800n555此时 Y max 520 ，当 n 300 时取到 .③当 300 n ≤ 500 时，Y1200 2n 200223002n 30022n 25553200 2n5此时 Y520 .④当 n ≥ 500 时，易知 Y 必定小于 ③ 的状况 .综上所述：当 n 300 时， Y 取到最大值为520 .2017高考全国3卷理科数学试题及答案19．（12分）如图，四周体 ABCD 中， △ABC形．?ABD ?CBD ， AB= BD ．（ 1）证明：平面 ACD ^ 平面 ABC ；（ 2）过 AC 的平面交 BD 于点 E ，若平面 AEC 把四周体 ABCD 分红体积相等的两部分．求二面角 D- AE- C 的余弦值．是正三角形，△ACD 是直角三角DECB【分析】 ⑴取 AC 中点为 O ，连结 BO ， DO ；ADQ ABC 为等边三角形∴ BO ACE∴ AB BCCAB BCOBDBD ABDCBD .BABDDBC∴ AD CD ,即 ACD 为等腰直角三角形， ADCA为直角又 O 为底边 AC 中点∴ DO AC令 ABa ，则 ABAC BC BD a易得： OD2， OB3 aa22 222∴ OD OBBD由勾股定理的逆定理可得DOB2即OD OBOD ACOD OBzACI OB O OD平面 ABCDAC 平面 ABCOB平面 ABC又∵ OD 平面ADC平面 ADC CE由面面垂直的判断定理可得 平面 ABC⑵由题意可知 V B ACE即 B , D 到平面 ACE 的距离相等即E 为 BD 中点uuuruuur以 O 为原点， OA 为 x轴正方向， OB 为 y轴正方uuura ，成立空间直向， OD 为 z 轴正方向，设 AC角坐标系，则 O 0,0,0 ， Aa a 3,0,0 ， D 0,0,，B 0,a,0222OByAx3 a， E 0, a,4 4 uuur a3 a uuur a ,0, a uuura,0,0易得： AE, a, ， AD ， OA 2 4 4 2 22ur uur设平面 AED 的法向量为 n 1 ，平面 AEC 的法向量为 n 2 ，V D ACE2017高考全国3卷理科数学试题及答案uuur uur 0 uurAE n 1 3,1, 3则 uuur uur 0 ，解得 n 1AD n 1 uuur uur 0 uur AE n 2 0,1, 3uuur uur ，解得 n 2OA n 2 0 若二面角 D AE C 为 ，易知 为锐角，uur uur 7则 cos n 1 n 2uur uur 7n 1 n 22lC于 A ，B 两点，圆 M 是以2012分）已知抛物线 C : y = 2x2 0）的直线 交 ．（，过点（ ， 线段 AB 为直径的圆．（ 1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上；（ 2）设圆 M 过点 P （ 4， - 2 ），求直线 l 与圆 M 的方程．【分析】 ⑴明显，当直线斜率为 0 时，直线与抛物线交于一点，不切合题意．设 l : x my 2 ， A( x 1 , y 1 ) ， B( x 2 , y 2 ) ， 联立：y 22 x2 2my 40 ，x my 得 y222m ， y 1 y 24 ．4 m16 恒大于 0 ， y 1 y 2uuruuurOA OBx 1 x 2 y 1 y 2(my 1 2)( my 2 2)(m 2 1)y 1 y 22m( y 1 y 2 ) 4uur uuur 4( m 2 1) 2 m(2 m) 4∴ OA OB ，即O 在圆 M 上．uuur uur⑵若圆 M 过点 P ，则 AP BP(x 1 4)( x 2 4) ( y 1 2)( y 2 2) 0(my 1 2)( my 2 2) ( y 1 2)( y 2 2) 0(m 2 1)y 1 y 2(2 m 2)( y 1 y 2 ) 8 0化简得 2m 10 解得 m 1或 12m2①当 m1 时， l : 2xy4 0 圆心为 Q(x 0 , y 0 ) ，2y 0y 1 y 2 1， x 01y 0 29 ，2 2249 22半径 r|OQ |1429 )1 ) 则圆 M : ( x( y 85224 216②当 m 1 时， l : x y 2 0 圆心为 Q(x 0 , y 0 ) ，y 0y 1 y 21 ， x 0y 0 2 3 ，2半径 r |OQ |32 12则圆 M : ( x 3)2 ( y 1)21021．（ 12分）已知函数f (x)x 1 a ln x ．（ 1）若 f (x) ≥ 0 ，求 a 的 ；（ 2） m 整数，且 于随意正整数n ， (1 + 1 1 1m ，求 m 的最)(1 + 2 ) 鬃?(1 n ) <2 2 2小 ．【分析】 ⑴ f (x)x 1 a ln x ， xf ( x)1 a xa，且 f (1) 0当 a ≤ 0 x x上 增， 因此 0x 1， f x 0 ， f x 在 0 ， ， f x0 ，不 足 意；当 a 0 ，当 0 x a ， f (x) 0 ， f (x) 在 (0, a) 上 减；当 x a ， f ( x) 0 ， f (x) 在 (a,) 上 增．①若 a 1 ， f (x) 在 (a,1) 上 增 ∴ 当 x (a,1) f ( x) f (1) 0 矛盾②若 a 1 ， f (x) 在 (1,a) 上 减 ∴ 当 x (1,a)f ( x)f (1) 0 矛盾③若 a1 ， f ( x) 在 (0,1) 上 减， 在 (1,) 上 增 ∴ f (x) ≥ f (1)足 意上所述 a 1 ．⑵ 当 a 1 f ( x) x 1ln x ≥ 0 即 ln x ≤ x 1有 ln( x 1) ≤ x 当且 当 x0 等号成立∴ ln(111， kN *k)k22一方面： ln(11 ) ln(11 ... ln(11 1 1 ...1 1 ，2 2 )n )22n 1n 122222即 (111 1e ．)(122 )...(12 n)2另一方面： (11 11 (1 1 1 )(1 1 1352)(1 2 )...(1 2 n ) )(1 2 2 3 )642 2 2 2 当 n ≥3 ， (1 1 1 1 (2,e))(1 2 2 )...(12 n )2 ∵ m *(1 1 1 1 m ，N ， )(1 2 )...(1 2 n )2 2∴ m 的最小 3 ．22． [ 修 4-4：坐 系与参数方程] （ 10分）在直角坐 系 xOy 中，直 l的参数方程x t , （ t 参数），直l 的参数方程ykt,xm,m（ m 参数）， l 与 l的交点 P ，当 k 化 ， P 的 迹 曲 C ．y,k（ 1）写出 C 的一般方程：（ 2）以坐 原点 极点， x 正半 极 成立极坐 系， l : (cos sin ) ，Ml 与 C 的交点，求 M 的极径． 【分析】 ⑴将参数方程 化 一般方程l 1 : y k x 2⋯⋯ ① l 2 : y1 x2 ⋯⋯ ②k① ② 消 k 可得： x 2y 24即 P 的 迹方程x 2 y 24 ；⑵将参数方程 化 一般方程l 3 : x y 2 0⋯⋯ ③ 立曲 C 和 l 3x y 2x2y24x3 22解得2y2x cos5 由sin 解得y即 M 的极半径是5 ．23． [ 修 4-5：不等式 ]（10 分）已知函数 f ( x) | x | | x | ．（ 1）求不等式 f ( x) 的解集；（ 2）若不等式 f ( x) x x m 的解集非空，求 m 的取 范 ．3, x ≤1【分析】 ⑴ f x | x1| | x2| 可等价 f x2x 1, 1 x 2 .由 f x ≥ 1 可得：3,x ≥ 2①当 x ≤ 1 然不 足 意；②当 1 x 2 ， 2x 1≥1 ，解得 x ≥1 ；③当 x ≥ 2 ， fx3 ≥ 1 恒成立 . 上， fx 1的解集 x | x ≥ 1 .⑵不等式 f x ≥ x 2x m 等价 f xx 2x ≥ m ，令 g xf xx 2x ， g x ≥ m 解集非空只要要 g xmax ≥ m .x 2 x 3, x ≤ 1而 g xx 23 x 1, 1 x x2x3, x ≥ 2 ①当 x ≤ 1 ，g xmax2 .g13 1 1 5 ；33 235 ；②当 1 x 2 ， g xmaxg 3 122 2 4③当 x ≥ 2 ， g x maxg22 22 31 .上， g x5，故 m5 .max44。
2017年高考理科数学(3卷)答案详解
2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学III 卷 答案详解一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．已知集合A ＝{}22(,)1x y x y +=│，B ＝{}(,)x y y x =│，则A I B 中元素的个数为 A ．3B ．2C ．1D ．0【解析】方法一：联立方程组{221+==x y x y，解得2222⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y 或2222⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y ，∴A B I 中元素的个数为2. 方法二：集合A 表示的是一个圆心在原点的单位圆，集合B 表示的是直线y ＝x ，二者的图象有两个交点，∴A B I 中元素的个数为2.图A1【答案】B2．设复数z 满足(1＋i )z ＝2i ，则∣z ∣＝ A ．12B ．22C ．2D ．2【解析】22(1)2211(1)(1)2-+====+++-i i i i z i i i i ，∴||2=z . 【答案】C3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【解析】由折线图可知：2014年8月到9月、10月到11月等月接待游客量都是减少的，所以A 错误. 【答案】A4．(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为 A ．－80B ．－40C ．40D ．80【解析】5(2)-x y 展开式的通项为555155(2)()2(1)---+=-=-rrrr r r r r r T C x y C x y ，∴ (x ＋y )(2x －y )5的展开式中含有x 3y 3的单项式为2323352(1)-C x y 和3233352(1)-C x y ， 故展开式中x 3y 3的系数为232233552(1)2(1)40-+-=C C .【答案】C5．已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为52y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 【解析】椭圆221123x y +=的焦点坐标为(3,0)±， 则双曲线C 的焦点坐标为(3,0)±，即c ＝3；∵ 双曲线C 的一条渐近线方程为52y x =， ∴ 52=b a ，即2222222954--===b c a a a a a ，解得224,5==a b ； ∴ C 的方程为22145x y -=. 【答案】B6．设函数f (x )＝cos(x ＋3π)，则下列结论错误的是 A ．f (x )的一个周期为−2πB ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝83π对称 C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝6π D ．f (x )在(2π,π)单调递减 【解析】方法一：由三角函数的性质逐条判断：A. f (x )的周期是2k π，故其中一个周期为−2π，故A 正确；B. 881(π)cos(ππ)cos3π1333=+==-f ，即y ＝f (x )在8π3=x 时取到最小值，故y ＝f (x )的图像关于直线x ＝83π对称；故B 正确； C. 当π6=x 时，πππ3π(π)cos(π)cos 06632+=++==f ，故x ＝6π是f (x ＋π)的一个零点，故C正确； D. 当ππ2<<x 时，5ππ4π633<+<x ，此时函数f (x )不是单调函数，故D 错误. 方法二：直接画出函数f (x )＝cos(x ＋3π)的图象，f (x )＝cos(x ＋3π)的图象可由f (x )＝cos x 向左平移π3个单位得到，如图所示。
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部分学校高三仿真试题
理 科 数 学
本试卷，分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．共4页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若
i i
ai
212-=-，则=a A ．5 B ．5- C ．5i D ．5i -
2．已知集合{}
2
|0=-<A x x x ，{}|=<B x x a ,若A B A = ，则实数a 的取值范
围是
A ．(]1-∞，
B ．()1-∞，
C ．[)1+∞，
D ．()1+∞， 3．已知等比数列{}n a 满足14=a ，2641
4
a a a =-，则2a = A ．2 B ．1 C ．
12 D ．1
8
4．直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于,M N 两点，若MN ≥则k 的取值范围是
A ．3
[,0]4
- B ．[ C ．[ D ．2[,0]3
-
5．下列四个结论中错误的个数是
①若0.40.433,log 0.5,log 0.4===a b c ，则>>a b c
②“命题p 和命题q 都是假命题”是“命题∧p q 是假命题”的充分不必要条件 ③若平面α内存在一条直线a 垂直于平面β内无数条直线，则平面α与平面β垂直 ④已知数据12,,, n x x x 的方差为3，若数据()121,1,1,0,R n ax ax ax a a +++>∈ 的方差为12,则a 的值为2
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A ．8(4)π+
B ．8(8)π+
C ．16(
π+ D ．
7．
B D k 值是
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 9．若直线)2(+=x k y 上存在点(),x y 满足
011-≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
x y x y y ，则实数k 的取值范围是 A ．⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡--41,1 B ．⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-51,1 C ．(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+-∞-，，511 D ．⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-5
1,41
10．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足2()2()=--f x x f x ．当(,0)
x ∈-∞时，()2'<f x x ；若(2)()44+--≤+f
m
f m m ，则实数m 的取值范围是
A ．(]1，
-∞- B ．(]2，-∞- C ．[1,)-+∞ D ．[2,)-+∞
第Ⅱ卷(共100分)
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．在区间[]
0,1上随机选取两个数x 和y ，则满足20-<x y 的概率为 ． 12．观察下列各式：3
1=1，3321+2=3，33321+2+3=6，333321+2+3+4=10，…，由此推得：33331+2+3+n = ．
13．6个人站成一排，若甲、乙两人之间恰有2人，则不同的站法种数为 ． 14．已知()lg
2x f x x =-，若()()0f a f b +=，则41
a b
+的最小值是 ． 15．设双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12,A A ，过
F 做x 轴的垂线交双曲线于,B C 两点，若12A B A C ⊥，则双曲线的离心率为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．（本小题满分12分）
如图，在ABC ∆中，M 是边BC
的中点，cos BAM ∠=
, tan AMC ∠=． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若角6
BAC π
∠=
，BC 边上的中线AM
ABC ∆的面积．
17．（本小题满分12分）
如图，已知三棱锥O ABC -的三条侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，ABC ∆为等边三角形， M 为ABC ∆内部一点，点P 在OM 的延长线上，且PA PB =． （Ⅰ）证明：OB OA =； （Ⅱ）证明：AB OP ⊥；
（Ⅲ）
若::AP PO OC =，求二面角B OA P --的余弦值．
18．(本小题满分12分)
在标有“甲”的袋中有4个红球和3个白球，这些球除颜色外
完全相同． （Ⅰ）若从袋中依次取出3个球，求在第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率；
（Ⅱ）现从甲袋中取出个2红球，1个白球，装入标有“乙”的空袋．若从甲袋中任取2球，乙袋中任取1球，记取出的红球的个数为X ，求X 的分布列和数学期望EX ．
O
B
C
P
M
∙
19．(本小题满分12分)
已知数列{}n a 和{}n b 满足1232(N*)n b
n a a a a n =∈ ．若{}n a 是各项为正数的等比数
列，且14a =，326b b =+． （Ⅰ）求n a 与n b ； （Ⅱ）设1
n n
c b =
-，记数列{}n c 的前n 项和为n S ． ①求n S ；②求正整数k ，使得对任意N *n ∈，均有n k S S ≥． 20．（本小题满分13分）
已知抛物线2:4C y x =，点M 与抛物线C 的焦点F 关于原点对称，过点M 且斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于不同两点B ,A ，线段AB 的中点为P ，直线PF 与抛物线C 交于两点D ,E ．
（Ⅰ）判断是否存在实数k 使得四边形AEBD 为平行四边形．若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由； （Ⅱ）求
2
2PM
PF 的取值范围．
21．（本小题满分14分）
已知λ∈R ，函数()ln x
f x e x x λ=-（ 2.71828e = 是自然对数的底数）．
（Ⅰ）若()10f =，证明：曲线()y f x =没有经过点2
,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
的切线； （Ⅱ）若函数()f x 在其定义域上不单调，求λ的取值范围； （Ⅲ）是否存在正整数n ，当1
1,n n ne λ++⎡⎫
∈+∞⎪⎢
⎣⎭
时，函数()f x 的图象在x 轴的上方，若存在，求n 的值；若不存在，说明理由．。