2014版高中数学复习方略课时提升作业：3.2诱 导 公 式(北师大版)(北师大版·数学理·通用版)

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课时提升作业(十八)
一、选择题
1.(2013·渭南模拟)sin(-π)的值等于( )
(A)(B)-(C)(D)-
2.(2013·汉中模拟)等于( )
(A)sin2-cos2
(B)cos2-sin2
(C)±(sin2-cos2)
(D)sin2+cos2
3.已知sin(α-π)=,且α∈(-,0),则tanα等于( )
(A)(B)-(C)(D)-
4.(2013·安康模拟)sin2(π+α)-cos(π+α)·cos(-α)+1的值为( )
(A)2 (B)2sin2α(C)1 (D)0
5.在△ABC中,sin(-A)=3sin(π-A),且cosA=-cos(π-B),则C等于( )
(A)(B)(C)(D)
6.已知cos(+α)=-,则sin(α-)的值为( )
(A)(B)-(C)(D)-
7.已知cosα=-,角α是第二象限角,则tan(2π-α)等于( )
(A)(B)-(C)(D)-
8.已知f(α)=,则f(-)的值为( )
(A)(B)(C)(D)-
9.已知x∈(0,),则函数f(x)=的最大值为( )
(A)0 (B)(C)(D)1
10.(2013·新余模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(2-x)=f(x),且在[-3,-2]上是减少的,α,β是钝角三角形的两个锐角,则f(sinα)与f(cosβ)的大小关系是( )
(A)f(sinα)>f(cosβ) (B)f(sinα)<f(cosβ)
(C)f(sinα)=f(cosβ) (D)f(sinα)≥f(cosβ)
二、填空题
11.(2013·芜湖模拟)若cos(π+α)=-(<α<2π),则sin(2π-α)= .
12.化简:= .
13.设f(x)=sinx+cosx,f′(x)是f(x)的导数,若f(x)=2f′(x),则
= .
14.(2013·赣州模拟)已知A=+(k∈Z),则A的值构成的集合是.
三、解答题
15.(能力挑战题)已知sinθ,cosθ是关于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的两个根.
(1)求cos3(-θ)+sin3(-θ)的值.
(2)求tan(π-θ)-的值.
答案解析
1.【解析】选C.sin(-)=-sin=-sin(4π-)=-sin(-)=sin=.
【一题多解】sin(-)=-sin=-sin(2π+)=-sin=-sin(π+)=sin=. 【变式备选】给出下列各函数值:
①sin(-1000°);②cos(-2200°);③tan(-10);④.
其中符号为负的是( )
(A)①(B)②(C)③(D)④
【解析】选C.sin(-1000°)=sin80°>0;
cos(-2200°)=cos(-40°)=cos40°>0;
tan(-10)=tan(3π-10)<0;
=,sin>0,tan<0,
∴>0.
2.【解析】选A.原式===
=|sin2-cos 2|.
∵sin2>0,cos2<0,∴sin2-cos2>0,
∴原式=sin2-cos2.
3.【解析】选B.sin(α-π)=sin[-(π-α)]=-sin(π-α)
=-sinα=,∴sinα=-,
∵α∈(-,0),∴cosα==,
∴tanα=-.
4.【解析】选A.原式=(-sinα)2-(-cosα)cosα+1
=sin2α+cos2α+1=2.
5.【思路点拨】将已知条件利用诱导公式化简后可得角A,角B,进而得角C. 【解析】选C.由已知化简得cosA=3sinA. ①
cosA=cosB. ②
由①得tanA=,
又∵0<A<π,∴A=,
由②得cosB=·cos=,
又∵0<B<π,∴B=,
∴C=π-A-B=.
6.【思路点拨】利用+α=+(α-)及诱导公式求解.
【解析】选A.由cos(+α)=cos[+(α-)]
=-sin(α-)=-.
∴sin(α-)=.
7.【解析】选C.∵cosα=-,角α是第二象限角,
故sinα=,
∴tanα=-,而tan(2π-α)=-tanα=.
8.【解析】选B.由已知得f(α)=
==cosα,
故f(-)=cos(-)=cos(8π+)=cos=.
9.【解析】选C.由已知得,f(x)=
=tanx-tan2x=-(tanx-)2+,
∵x∈(0,),∴tanx∈(0,1),
故当tanx=时,f(x)有最大值,且f(x)max=.
10.【思路点拨】由条件知sinα,cosβ都在(0,1)内,可根据函数y=f(x)在[0,1]上的单调性求解.
【解析】选B.由f(2-x)=f(x),f(-x)=f(x)得f(2-x)=f(-x),即f(x+2)=f(x),所以函数y=f(x)是周期为2的函数.又f(x)在[-3,-2]上是减少的,所以y=f(x)在[-1,0]上为减少的,故偶函数y=f(x)在[0,1]上为增加的.由条件知α,β为锐角,且α+β<,故α<-β,所以sinα<sin(-β)=cosβ.
由0<sinα<1,0<cosβ<1知f(sinα)<f(cosβ).
11.【解析】sin(2π-α)=sin(-α)=-sinα,
∵cos(π+α)=-cosα=-.
∴cosα=.
又<α<2π,∴sinα=-,
∴sin(2π-α)=-sinα=.
答案:
12.【解析】原式==cosα-sinα.
答案:cosα-sinα
13.【解析】∵f′(x)=cosx-sinx,
∴sinx+cosx=2(cosx-sinx),
∴3sinx=cosx,∴tanx=,
所求式子化简得,
=tan2x+tanx=+=.
答案:
14.【思路点拨】本题对k进行讨论,在不同的k值下利用诱导公式进行化简.
【解析】当k=2n(n ∈Z)时, A=+=+=2;
当k=2n+1(n ∈Z)时, A=+
=+=-2. 故A 的值构成的集合是{-2,2}.
答案:{-2,2}
【方法技巧】诱导公式中分类讨论的技巧
(1)在利用诱导公式进行化简时经常遇到n π+α(n ∈Z)这种形式的角,因为n 没有说明是偶数还是奇数,所以解题时必须把n 分奇数和偶数两种情形加以讨论.
(2)当所给角所在象限不确定时,要根据角所在的象限讨论.不同象限的角的三角函数值符号不一样,诱导公式的应用和化简的方式也不一样.
15.【思路点拨】先由判别式Δ≥0,求出a 的取值范围,然后利用根与系数的关系及诱导公式求解.
【解析】由已知,原方程的判别式Δ≥0,即(-a)2-4a ≥0,∴a ≥4或a ≤0. 又
(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,
则a 2-2a-1=0,从而a=1-或a=1+(舍去),
因此sin θ+cos θ=sin θcos θ=1-
.
(1)cos 3(-θ)+sin 3(-θ)=sin 3θ+cos 3θ=(sin θ+cos θ)(sin 2θ-sin θ·cos θ+cos 2θ)=(1-)[1-(1-)]=-2. (2)tan(π-θ)-=-tan θ-=-(+)=-
=-=1+.
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