工程数学_积分变换(第四版)第3讲

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工程数学_积分变换

1 T2 j n t jn f (t ) lim T fT ( )e d e T T n 2
2p 当n取一切整数时, n =n n 所对应的点便 T 均匀分布在整个数轴上,
如图
2p 2p 2p T T T 2p T
m 1
2
T 2
T an T cos nt d t an 2 2 T 2 2 即 an T fT (t )cos nt d t T 2
T 2
2
同理, 为求bn, 计算[fT(t), sin nt], 即

T 2 T 2

a0 fT (t )sin nt d t T sin nt d t 2 2
t
最常用的一种周期函数是三角函数 fT(t)=Asin(t+j) 其中 A 称为振幅，=2p/T 称为角频率，j 称为初相角
t
而Asin(t+j)又可以看作是两个周期函数sint和cost 的线性组合 Asin(t+j)=asint+bcost
人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的线性组合来逼近.

T 2
T 2
一. Fourier级数
1.Dirichlet条件
若函数在区间[-T/2,T/2]上满足: 1, 连续或只有有限个第一类间断点; 2, 只有有限个极值点
则称函数满足Dirichlet条件. 注: 这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数.
第一类间断点和第二类间断点的区别:
第二类间断点
a0 fT (t ) (an cos nt bn sin nt ) (1.1) 2 n 1 为求出a0 , 计算[ fT ,1], 即

积分变换第03讲

1 = 2π
∫ [πδ (ω ) ] e
−∞ +∞
+∞
jω t
1 dω + 2π
∫
+∞ −∞
1 jω t jω e d ω
1 1 = + 2 2π
cos ω t + j sin ω t dω ∫−∞ jω 1 1 +∞ sin ω t 1 1 +∞ sin ω t = + ∫−∞ ω d ω = 2 + π ∫0 ω d ω 2 2π
+∞
sin ω0t
↔
t
|F(ω)|
π
−ω0
O
π ω0 ω
0, t < 0 例4：证明单位阶跃函数 u (t ) = 的 1, t > 0 1 Fourier 变换为 + πδ (ω ) jω jω t 1 +∞ 1 −1 1 证： F + πδ (ω ) = ∫−∞ jω + πδ (ω ) e d ω jω 2π
−∞ +∞ +∞
及∫ δ (t − t0 ) f (t)dt = f (t0 )
−∞
b、 δ − 函数为偶函数，即 δ (t ) = δ ( − t )
d c、 ∫ δ (τ )dτ = u (t ), u (t ) = δ (t ) −∞ dt 0, t < 0 其中 u (t ) = 称为单位阶跃函数 1, t > 0
−∞
例1 证明：1和2πδ (ω)构成Fourier变换对. 证：若F(ω)=2πδ (ω), 由Fourier逆变换可得
1 +∞ jωt jωt f (t) = ∫−∞ 2πδ (ω)e dω = e ω=0 =1 2π

西安交大工程数学复变函数第四版第三章复变函数的积分

显然曲线 AEBBEAA,AAFBBFA均为封闭曲线.
因为它们的内部全含于D,
故 f (z)dz 0, AEBBEAA
CF A A F
B
f (z)dz 0.
D1 E C1 B
AAF BBFA
︵︵
D
︵
E
︵
︵︵ AEBBEAA AEB BB BEA AA,
︵
︵
AAFBBFA AA AFB BB BFA,
22
2 不定积分 f z 的原函数的一般表达式 F z C（其中C为任意常数），称为 f z 的不定积分，即
f zdz Fz c （其中C为任意常数）
例如 sinzdz cos z c 其中c为任意常数
（换元积分法分部积分法）
例 z sinzdz z d cos z z cos z cos zdz
二、复合闭路定理
设 f z在多连通域D内解析，C是D内的一条简单闭曲线，
C1, C2 , , Cn是在C内部的简单闭曲线，它们互不包含也互
不相交，且以C, C1, C2 , , Cn 为边界的区域全包含于D，
则
n
⑴
f zdz
C
k 1 Ck
f zdz
C1
n
⑵ f zdz f zdz 0
设f z在单连通域B内解析，则F z在B内是一解析函数，
且Fz f z, 即F z为f z的原函数. 证明
24
定理三
设f z在单连通域B内解析，Gz为f z的一个原函数，
则
z1 z0
f
zdz
Gz1 Gz0 .
解析函数的积分计算公式
证
z z0
f zdz,Gz均为f

第三章积分变换法解定解问题PPT课件

办法：
取 f x 上的一段 l x l 为 g x ，将g x 延拓
为以 2 l 为周期的函数后进行付里叶级数展开，然后
取 l ，即得 f x 的付里叶级数展开式
8
结果：
ω为参量
fxA cosxdBsinxd
0
0
非周期函数 f x 实数形式的付里叶积分
A1 fcosd ,B1 fsind
25
函数 f t ，当 t 0 时 f (t) 0
f(p)L [f(t)]f(t)eptdt 0
称为函数 f ( t ) 的拉普拉斯变换，简称拉氏变换（或称为
像函数
f(t) L 1 f(p ) 2 1 π i ii f(p )ep td p , (t 0 )
f t 称为原函数
② 导数 FfxiF,F fx i2F
③ 积分 Fxx0 fdi 1F
④ 相似 Ff ax1aFa
13
⑤ 延迟 F fxx0 e ix0F
⑥ 位移 F eix 0fx F 0
⑦ 卷积 F f 1 x F 1 ,F f2 x F 2
定义卷积 f1xf2xf1f2xd F f1 x f2 x 2F 1 F 2
3
特别是对于无界或半无界的定界问题，用积分变换来求解，最合适不过了．（注明：无界或半无界的定界问题也可以用行波法求解）
用积分变换求解定解问题的步骤为：
第一：根据自变量的变化范围和定解条件确定选择适当
的积分变换；
对于自变量在 (, ) 内变化的定解问题
（如无界域的坐标变量）常采用傅氏变换，而自变量在
L utt= pL ut-u tx,0ppLuux,0 p 2 u
u xx
p2 a2
u

工程数学《复变函数》(第四版)课件 3-1,2,3 西安交大

⑴
⑵
f z dz
C k 1
n
Ck
f z dz
C3
C1

C
f z dz
n
k 1 C

k
f z dz 0

C2
C
D
12
2z 1 在内的任何正 dz, 为包含圆周 z 1 例4 计算 2 z z
向简单闭曲线.
解据复合闭路原理得
2z 1 2z 1 2z 1 dz 2 dz 2 dz 2 z z z z z z c1 c2
0
0 1
C1 C2
C3
z1
2 zdz zdz zdz
C C2 1 C3 1
1 1 tdt 1 it idt i 1 i 0 0 2 2
8
三、积分的性质
i ii iii
f z dz
C
C 1
f z dz

C
4

ux t , yt xt vx t , yt yt dt

i v x t , y t x t u x t , y t yt dt
uxt , yt ivxt , yt xt iyt dt
⑴ 当 f z 是连续函数而C 是光滑曲线时, ⑵
C C C

C
f z 第二型曲线积分 dz一定存在.
C
f z dz u iv d x iy u dx vdy i v dx udy
f z dz可以通过两个二元实变函数的线积分来计算。

积分变换东南大学第四版第二章3节

( 2)
为 Lnz 的一单值函数 , 称为 Lnz 的主值 (主值支 )
故
Lnz = ln z + i 2kπ
(k ∈ Z )
例如当 z = a > 0 Lnz 的主值 ln z = ln a Lnz = ln a + 2π ik k ∈ Z 当 z = a ( a > 0) Lnz 的主值 ln z = ln a + πi Lnz = ln a + ( 2 k + 1)πi 特别 a = 1 ln( 1 ) = ln 1 + π i = π i
双曲正弦和双曲余弦函数的性质
1) shz , chz 都是以 2π i为周期的函数
2)chz 偶函数 , shz 奇函数
3 ) ( chz )' = shz
( shz )' = chz
shz 和chz 在整个复平面内处处解析
4) 由定义 shiy = i sin y chiy = cos y ch( x + iy) = chx cos y + ishx sin y
Ln ( 1 ) = ( 2 k + 1 )π i
1) w = Lnz 不仅对正数有意义 ,对一切非零复数都有意义 .(负数也有对数)
2) 指数函数的周期性导致了对数函数的多值性 ,这与实函数不同 . (2) 对数函数的性质 2 1) Ln( z1 z 2 ) = Lnz 1 + Lnz 2 , 但 Lnz ≠ 2 Lnz
其它三角函数的定义(详见P51) 1 sinz cosz 1 secz = cscz = tanz = cotz = sinz cosz sinz cosz
定义

工程数学-积分变换(第四版)-高等教育出版社-课后答案(1)

再由 Fourier 变换公式得
f (t ) =
1 +∞ 1 +∞ 1 +∞ ω 2 + 2 jω t F ω e d ω = F ω cos ω t d ω = cos ω t dω ( ) ( ) 2 π ∫ −∞ π∫0 π ∫ 0 ω4 + 4 +∞ ω 2 + 2 π −t ∫ 0 ω 4 + 4 cos ω tdω = 2 e cos t
f (t) =
2 +∞ ⎡ +∞ f (τ ) sin ωτ dτ ⎤ sin ω tdω ⎢ ∫0 ⎥ ⎦ π ∫0 ⎣
=
2 +∞ ⎡ +∞ − β t sin ω tdω e sin ωτ dτ ⎤ ∫ ∫ ⎢ ⎥ 0 0 ⎣ ⎦ π
− βτ 2 +∞ ⎡ e ( β sin ωτ − ω cos ω t ) +∞ ⎤ = ∫ ⎢ ⎥ sin ω tdω π 0 ⎣ β 2 + ω2 0 ⎦
=
=
由于 a ( ω ) = a ( −ω ) , b ( ω ) = − b ( −ω ) , 所以
f (t) =
1 +∞ 1 +∞ a ( ω ) cos ω t dω + ∫ b ( ω ) sin ω tdω ∫ 2 −∞ 2 −∞
+∞ +∞ 0 0
= ∫ a ( ω ) cos ω t dω + ∫ b ( ω ) sin ω t dω 2．求下列函数的 Fourier 积分：
2 2 ⎧ ⎪1 − t , t ≤ 1 1）函数 f ( t ) = ⎨ 解：解：1 为连续的偶函数，其 Fourier 变换为 2 0, 1 t > ⎪ ⎩

工程数学-积分变换-第四版-课后习题答案精选全文

可编辑修改精选全文完整版工程数学积分变换（第四版张元林编）课后习题答案编辑者：余小龙第一章：Fourier 变换习题一解答1、证：利用Fourier 积分变换的复数形式，有⎰⎰+∞∞--+∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ωττπωωτd e d e f t f t j j )(21)( ⎰⎰∞+∞-∞+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ωτωτωττπωd e d j f t j )sin )(cos (121[]⎰+∞∞-+-=ωωωωωd t j t jb a )sin (cos )()(21 由于)()(ωω-=a a ， )()(ωω--=b b ，所以⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=ωωωωωωtd b td a t f sin )(21cos )(21)(⎰⎰+∞+∞+=ωωωωωωtd b td a sin )(cos )(0。

注：本题也可以由Fourier 积分公式的三角形式得到证明。

2、解：（1）此题亦可写成⎩⎨⎧-=.0,1)(2t t f .1;1>≤t t 它是一个连续的偶函数，利用Euler 公式和分部积分法，由Fourier 积分公式的复数形式，有 ⎰⎰+∞∞-+∞∞--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ωττπωωτd e d e f t f t j j )(21)(⎰⎰+∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ωτωττπωd e d t j 102cos )1(1ωωωττωωτωωττωωτπωd e tj 1232sin sin 2cos 2sin 1⎰∞+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--==ωωωωωπωd e t j ⎰+∞∞--3)cos (sin 21=⎰+∞∞-+-ωωωωωωωπd t j t )sin (cos cos sin 23ωωωωωωπtd cos cos sin 403⎰+∞-= （2）函数)(t f 为一连续函数，用类似于（1）的方法，有⎰⎰+∞∞-+∞∞--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ωττπωωτd e d e f t f t j j )(21)(⎰⎰+∞∞-+∞--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ωττπωωττd e d e e t j j 02sin 21 ⎰⎰+∞∞-+∞+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ωττπωτωd e d e t j j 0)1(2sin 21 {}()()⎰∞+∞-+∞+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++--+-=ωωττωπωτωd e j j e tj j 02)1(412cos 22sin )1(21 ⎰+∞∞-+-=ωωωπωd e j tj 252212[][]⎰∞+∞-+--+---=ωωωωωωωωωπd t j t j j j )sin (cos 2)5(2)5(2)5(1222⎰∞+∞-+---++-=ωωωωωωωωωωωπd tj t j t t 222224)5(cos 2sin )5(sin 2cos )5(1⎰∞+∞-+-+-=ωωωωωωωπd tt 432625sin 2cos )5(2(3)可以看出)(t f 为奇函数，且-1,0,1为其间断点。

工程数学教学大纲总纲工程数学包括两部分内容

工程数学教学大纲一、总纲《工程数学》包括两部分内容：第一部分“积分变换”，提供一点复变函数的基本知识，并为信号的处理和分析提供必备的数学工具，第二部分“概率统计”，提供概率论的一些基本知识，并为数据的处理和分析提供必备的数学工具。

本课程是广播电视大学工科各专业的必修基础课之一（机械、土建只修概率统计）。

二、内容第一部分复变函数与积分变换第一章复变函数1、复数与复变函数2、可导与解析3、积分概念与积分公式4、极点和留数第二章积分变换1、付氏级数的复数形式2、付氏积分与付氏变换3、付氏变换的性质4、拉氏变换及其性质5、常用拉氏变换公式6、拉氏反变换的求法第二部分概率与数理统计第三章概率基础1、事件与概率随机现象，随机事件，事件的概率，加法公式。

2、条件概率与独立性条件概率，乘法公式，独立性。

3、随机变量概念，概率分布与分布密度。

4、几种常见的分布二项分布与泊松分布，均匀分布与指数分布，正态分布（正态分布密度，正态分布函数，查表方法）。

5、联合分布与独立性联合分布，边缘分布，随机变量的独立性。

6、期望与方差期望值，方差，期望、方差的性质。

7、大数定律与中心极限定理切比雪夫不等式，大数定律，中心极限定理。

第四章统计推断1、基本概念总体、样本，直方图，统计量。

2、参数估计最大似然估计，无偏估计，区间估计（正态总体已知方差的均值估计）。

3、假设检验（正态总体）已知方差的均值检验，未知方差的均值检验（t检验），方差的检验（x2检验），两个下态总体的比较。

4、1→1回归概念，最小二乘估计。

5、检验与预测平方和分解，F检验，预测。

大纲说明一、课程的目的和任务《工程数学》是电大工科各专业（机械和土建只修概率统计）的必修基础课，是为培养适应四个现代化需要的大专层次的应用型工程技术和工程管理人才而设置的目的定为学习电工原理、电路分析、自动控制原理、系统管理工程、工程规划与设计等专业基础课提供必备的基础数学知识和分析方法。

[数学]工程数学复变函数积分变换场论

吴新民
- 11 -
z ; 2 z 1
3)
1 ; 2 z ( z 1)
第五章留数
第一节
留数
4) e
1 z 1
4) z 1 是函数 e
第五章留数
1 z 1
的本性奇点，利用留数的定义
计算函数的留数，由于 1 1 n z ( 1) e z 1 n ! n 0 1 1 1 0 | z 1 | 2 z 1 2( z 1) 所以
第五章留数
所以
1 d m 1 c 1 lim m 1 [( z z0 )m f ( z )] ( m 1)! z z0 dz
即 (5.2.6) 成立，特别 m 1 时，就是 (5.1.5) 式。
吴新民
-8-
第一节
留数
Q( z ) , 其中 P ( z ), Q( z ) 在 z0 处解规则III 设 f ( z ) P(z) 析，且 P ( z0 ) 0, P ( z0 ) 0, Q( z0 ) 0, 则 Q ( z0 ) (5.1.7) Res[ f ( z ), z0 ] P ( z 0 )
Res[ f ( z ), z0 ] c1 1 从而有 Res[ f ( z ), z0 ] f ( z )dz 2 i C (5.1.2) (5.1.3)
内的洛朗级数中的
第五章留数
( z z0 )1 的系数 c1 为函数 f ( z ) 在点 z0 处的留数，
其中 C 为 0 | z z0 | 内的环绕 z0 正向简单闭曲线。
- 17 -
第五章留数
吴新民
第一节
留数
1 1 cos z Res[ ,0] 因此 6! z7 1 cos z dz , 我们又可用高阶导数公式在计算积分 7 z | z | 1 1 cos z 2 i (6) dz (1 cos z ) 7 z 0 6! z | z | 1 2 i 2 i cos z z 0 6! 6!

第一章Fourier变换

Fc () 0 f (t) costdt
叫做 f (t) 的傅立叶余弦变换，而
f (t) 2

0
Fc () costd
叫做 F () 的傅立叶余弦逆变换。
注：若 f (t) 仅在 (0,)上有定义，且满足
Fourier积分存在定理的条件，也可采用奇延拓或偶延拓的方法，得到 f (t) 相应的Fourier 正弦积分展开式或余弦积分展开式。
十八世纪，微积分学中，人们通过微分、积分运算求解物体的运动方程。到了十九世纪，英国著名的无线电工程师海维赛德（Heaviside）为了求解电工学、物理学领域中的线性微分方程，逐步形成了一种所谓的符号法，后来就演变成了今天的积分变换法。即通过积分运算把一个函数变成另一个函数。同时，将函数的微积分运算转化为代数运算，把复杂、耗时的运算简单、快速完成。
积分变换的理论和方法不仅在数学的学多分支中，而且在其它自然科学和各种工程技术邻域中都有着广泛的应用。
第一章 Fourier变换
1.1 Fourier积分
1.1.1 傅立叶级数的复指数形式
设 f (t) 是以 T 为周期的周期函数，如果它在
区间
[
T 2
,
T 2
]
上满足狄利克雷条件：
0 0
它们分别称为傅立叶正弦积分公式和傅立叶
余弦积分公式。
例1 求函数式。
f
(t)

1, 0,
| t | 1 其它
的傅立叶积分表达
解：根据Fourier积分公式的复数形式，有
f (t) 1

[
f ( )e j d ]e jt d
2
1

工程数学之积分变换

工程数学之积分变换
目录
• 积分变换简介 • 傅里叶变换 • 拉普拉斯变换 • Z变换 • 积分变换的数学基础
01
积分变换简介Leabharlann 定义与性质定义积分变换是通过将一个函数的积分作为参数，将该函数从时域转换到频域的过程。常见的积分变换包括傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换等。
性质
积分变换具有线性性、时移性、频移性、共轭性和尺度变换等性质，这些性质使得积分变换在解决复杂的数学问题时具有很大的灵活性和便利性。
性质
拉普拉斯变换具有线性性、时移性、频移性、微分性、积分性等重要性质，这些性质为简化计算提供了便利。
拉普拉斯变换的应用
系统分析
信号处理
在控制工程和电路分析中，通过拉普拉斯变换可以求解线性常微分方程，从而分析系统的动态响应特性。
在信号处理领域，拉普拉斯变换用于分析信号的频谱特性和进行傅里叶变换，从而实现信号的滤波、调制和解调等处理。
时域函数转换为复平面上的函数，可以更容易地分析电路的性能和稳定
性。
02
傅里叶变换
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换的定义
将一个函数转换为一系列不同频率的正弦和余弦函数的加权和。
傅里叶变换的性质
线性性质、位移性质、尺度性质、微分性质、积分性质和周期性质等。
傅里叶变换的逆变换
将一系列正弦和余弦函数的加权和还原为原始函数。
傅里叶变换的应用
信号处理
傅里叶变换用于信号的频谱分析和处理，如滤波、去噪等。
图像处理
傅里叶变换用于图像的频域分析和处理，如图像增强、压缩等。
控制系统
傅里叶变换用于控制系统的分析和设计，如稳定性分析、系统优化等。
数值分析

积分变换第3讲-课件

jw
(w
)
u (t)e -bt
1
b jw
e -bt2
b
e-
w 4
2
b
17
注意第一类间断点处的求导数, 首先有
u(t)
t (t)dt,
-
因此 du(t)(t)
dt
同理d有 u(dt-t t0)(t-t0)
(t)
O
t
u(t)
O
t
18
假设函数f(t)在t0处有一个上升了a 的第一类间断点, 则f(t)可以分为在
-
f (t)e-jwt
jw
f
(t)e-jwtdt
-
-
jwF [ f (t)]
推论
F [f(n)(t)]=(jw)nF [f(t)].
(1.18)
6
同样, 我们还能得到象函数的导数公式, 设
F [f(t)]=F(w), 则
d
dw
F(w)
F
[-jtf(t)].
一般地 , 有
dn
dwn
F(w)
F
[ f (t)] jwF
t -
f
(t)
d
t
9
例2 求微分积分方程 t a x (t) b x (t) cx (t)d t h (t) -
的解, 其中-<t<+, a,b,c均为常数. 根据傅氏变换的微分性质和积分性质, 且记
F [x(t)]=X(w), F [h(t)]=H(w).
同理有
F -1[F(w w0 )] f (t) e jw0t
5
微分性质如果f(t)在(-, +)上连续或只有有限
个可去间断点, 且当|t|+时, f(t)0, 则

积分变换(Fourier)课件与习题

的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的
线性组合来逼近.---- Fourier级数
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
4
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情况即可, 通常研究在闭区间[T/2,T/2]内函数变化的情况.
T T fT (t )为T 周期函数，在 , 上满足 2 2 Dirichlet条件： fT (t )连续或仅有有限个第一类间断点； fT (t )仅有有限个极值点则fT (t )可展开为Fourier级数，且在连续点t处成立： a0 fT (t ) an cos nt bn sin nt 2 n1

18
一般地, 对于周期T
1 T2 j n t cn T fT (t )e dt T 2 1 1 j n t e dt T 1 1 1 1 j n t j n j n e e e Tj n Tj n 1 2 sin n 2 sinc( n ) (n 0,1,2, ) T n T
cos nt
e
int
e 2
int
, sin nt
e
int
e 2i
int
6
级数化为： a0 e int e int e int e int an bn 2 n 1 2 2i a0 a n ibn int a n ibn int e e 2 n 1 2 2
1 从而f (t ) f ( )cos (t )d d 2 1 可得 f (t ) f ( )cos (t )d d ， 0 这就是f (t )的Fourier积分公式的三角形式。

工程数学积分变换答案

工程数学积分变换答案【篇一：复变函数与积分变换是一门内容丰富】建立和发展与解决实际问题的需要联系密切，其理论与方法被广泛应用在自然科学的许多领域，是机械、电子工程、控制工程，理论物理与流体力学，弹性力学等专业理论研究和实际应用中不可缺少的数学工具。

课程包含2部分内容：向量分析与场论，复变函数论与积分变换。

本课程的目的，是使学生掌握向量分析与场论，复变函数论，积分变换的基本理论、基本概念与基本方法，使学生在运用向量分析与场论，复变函数论，积分变换的思想和方法解决实际问题的能力方面得到系统的培养和训练,为在后继专业课程和以后的实际工作打下良好的数学基础向量分析与场论部分第一章向量与向量值函数分析学时：4几何向量，几何向量的加法、数乘、数量积、向量积，向量的混合积与三重向量积，向量值函数的定义，向量值函数的加法、数乘、复合、数量积运算，向量值函数的极限、连续，向量值函数的导数，向量值函数的体积分、曲线积分、曲面积分，高斯公式，斯托克斯公式。

第二章数量场学时：2数量场的等值面，数量场的方向导数、梯度的概念，哈米尔顿算子的用法。

第三章数量场学时：6向量场的向量线，向量场的通量，向量场的散度，向量场的环量，向量场的环量面密度、向量场的旋度，向量场场函数的导数与向量场的散度、旋度及数量场的梯度之间的关系。

第四章三种特殊形式的向量场学时：4保守场，保守场的旋度，保守场的势函数，管形场，管形场的向量势，调和场，调和函数。

复变函数与积分变换部分第一章：复数与平面点集学时：2复数的直角坐标表示法，三角表示法，指数表示法。

复数的模和辐角，复数的四则运算。

平面区域，邻域，聚点，闭集，孤立点，边界点，边界，连通集，区域，单连通区域，多连通区域。

第二章：解析函数学时：6复变函数的概念，复变函数的几何表示。

复变函数的极限，连续性，复变函数可导和解析的概念，复变函数解析的条件，复变初等函数（指数函数，对数函数，幂函数，三角函数）的定义和性质。

积分变换东南大学第四版积分变换第一章2-3节

§1.2 Fourier变换
2. 单位脉冲函数及其傅氏变换
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等. 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数.
e jω0 t ↔ 2πδ (ω − ω0 )
3.微分性质如果f (t)在(−∞, +∞)上连续或只有有限个可去间断点, 且当|t|→+∞时, f(t)→0, 则 ℱ[f '(t)]=j ω ℱ[f (t)]. (4) 证由傅氏变换的定义, 并利用分部积分可得
ℱ [ f ′( t )] =
∫
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电流强度, 引进一称为 (Dirac)的函数, 简单记成δ-函数. 有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量, 例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的量那样, 以统一的方式加以解决.
f(t)
E
单个矩形脉冲的频谱函数为:
F (ω ) = ∫
∞ −∞
f ( t )e
− jω t
d t = ∫−τ E e
2 2
τ
− jω t
−τ/2
τ/2
t
dt
τ
E − jω t e = − jω
2 −
τ
2
=
2E
ω
sin
ωτ
2 sin
则振幅频谱 | F (ω ) |=
2E
ωτ
2
ω

工程数学_积分变换(第四版)第3讲