高考数学课时跟踪检测(四十) 直线、平面平行的判定及其性质(重点高中)
直线与平面平行的判定及其性质 测试题(答案)

直线与平面平行的判定和性质年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____一、选择题(共26题,题分合计130分)1.直线a //平面M ,直线b ⊂/M ,那么a //b 是b //M 的 条件. A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要 D.不充分也不必要2.已知l 、m 、n 为两两垂直且异面的三条直线,过l 作平面α与m 垂直,则直线n 与平面α的关系是A.n //αB.n //α或n ⊂αC.n ⊂α或n 不平行于αD.n ⊂α3.能保证直线a 与平面α平行的条件是A.b a b a //,,αα⊂⊄B.b a b //,α⊂C.c a b a c b //////,,,αα⊂D.b D b C a B a A b ∈∈∈∈⊂,,,,α且BD AC =4.如果直线a 平行于平面α,则A.平面α内有且只有一直线与a 平行B.平面α内无数条直线与a 平行C.平面α内不存在与a 平行的直线D.平面α内的任意直线与直线a 都平行5.如果两直线a ∥b ,且a ∥平面α,则b 与α的位置关系A.相交B.α//bC.α⊂bD.α//b 或α⊂b6.下列命题正确的个数是(1)若直线l 上有无数个点不在平面α内,则l ∥α(2)若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一直线平行(3)两条平行线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行 (4)若一直线a 和平面α内一直线b 平行,则a ∥α A.0个 B.1个 C.2个 D.3个7.若直线a ⊥b ,且a ∥平面α,则直线b 与平面α的位置关系是A.b ⊂αB.b ∥αC.b ⊂α或b ∥αD.b 与α相交或b ∥α或b ⊂α都有可能8.已知α、β是两个不同的平面,在下列条件中,可判断平面α与平面β平行的是A.α、β都垂直于平面γB.a 、b 是α内两条直线,且a ∥β,b ∥βC.α内不共线的三个点到β的距离相等D.a 、b 为异面直线,且a ∥α,b ∥α,a ∥β,b ∥β9.下列命题正确的个数是①若直线l 上有无数个点不在平面α内,则l ∥α②若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条直线也与这个平面平行 ④若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个10.b 是平面α外的一条直线,下列条件中可得出b ∥α是A.b 与α内的一条直线不相交B.b 与α内的两条直线不相交C.b 与α内的无数条直线不相交D.b 与α内的所有直线不相交11.已知直线l 1、l 2,平面α,l 1∥l 2,l 1∥α,则l 2与α的位置关系是A.l 2∥αB.l 2⊂αC.l 2∥α或l 2⊂αD.l 2与α相交12.已知两条相交直线a 、b ,a ∥平面α,则b 与α的位置关系A.b ∥αB.b 与α相交C.b ⊂αD.b ∥α或b 与α相交13.下列命题中正确的是①过一点,一定存在和两条异面直线都平行的平面②垂直于同一条直线的一条直线和一个平面平行③若两条直线没有公共点,则过其中一条直线一定有一个平面与另一条直线平行 A.① B.③ C.①③ D.①②③14.a、b为平面M外的两条直线,在a∥M的前提下,a∥b是b∥M的A.充要条件B.充分条件C.必要条件D.以上情况都不15.α和β是两个不重合的平面,在下列条件中可判定平面α与β平行的是A.α、β都垂直于平面γB.α内不共线的三点到β的距离相等C.l,m是α平面内的直线,且l∥β,m∥βD.l、m是两条异面直线且l∥α,m∥α,m∥β,l∥β16.在空间中,下述命题正确的A.若直线a∥平面M,直线b⊥直线a,则直线b⊥平面MB.若平面M∥平面N,则平面M内任意一条直线a∥平面NC.若平面M与平面N的交线为a,平面M内的直线b⊥直线a,则直线b⊥平面ND.若平面N内的两条直线都平行于平面M,则平面N∥平面M17.设直线a在平面M内,则直线M平行于平面N是直线a平行于平面N的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件18.设a、b是平面α外的任意两条直线,则"a、b长相等"是"a、b在平面α内的射影长相等"的A.既不充分也不必要条件B.充分必要条件C.必要但不充分条件D.充分但不必要条件19.如果平面α和直线l满足l和α内两条平行直线垂直,则A.l αB.l∥αC.l与α相交D.以上都不对20.如果一条直线和一个平面平行,为了使夹在它们之间的两条线段的长相等,以下结论正确的是A.其充分条件是这两条线段平行B.其必要条件是这两条线段平行C.其充要条件是这两条线段平行D.其必要条件是这两条线段平行21.直线a∥平面α,平面α内有n条直线交于一点,那么这几条直线中与直线a平行的A.至少有一条B.至多有一条C.有且只有一条D.不可能有22.若直线m平面α,则“平面α∥平面β”是“直线m∥平面β”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件23.平行于同一个平面的两条直线的位置关系是A.平行B.相交C.异面D.平行或相交或异面24.下列四个命题中假命题的个数是①两条直线都和同一个平面平行,则这两条直线平行②两条直线没有公共点,则这两条直线平行③两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线平行④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点,则这条直线和这个平面平行A.4B.3C.2D.125.如果一条直线和一个平面平行,为了使夹在它们之间的两条线段的长相等,以下结论正确的是A.其充分条件是这两条线段平行B.其必要条件是这两条线段平行C.其充要条件是这两条线段平行D.其必要条件是这两条线段平行26.直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.任意一条直线都不相交D.无数条直线不相交二、填空题(共6题,题分合计25分)1.如图,空间四边形ABCD 中,E 、H 分别是AB 、AD 的中点,F 、G 分别是CB 、CD 上的点.且32==CD CG CB CF ,若BD =6 cm ,梯形EFGH 的面积为28 cm 2,则平行线EH 与FG 间的距离为_______.2.一条直线与平面α相交于点A ,在平面α内不过A 点的直线与这条直线所成角的最大值为_________.3.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 为DD 1的中点,则BD 1与过点A 、E 、C 的平面的位置关系是__________.4.几何体ABCD -A 1B 1C 1D 1是棱长为A 的正方体,M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点,P 是上底面的棱AD 上的一点,AP =31a ,过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ,Q 在CD 上,则PQ =___________.5.如果两条直线a 与b 互相平行,且a ∥平面α,那么b 与α的位置关系是 .6.直线a ∥平面α,直线b 、c 都在α 内且a ∥b ∥c ,若a 到b , c 的距离分别为d 1、d 2,且d 1>d 2,则直线a 到α 的距离d 的取值范围是___________.三、解答题(共12题,题分合计112分)1.求证:若直线l与平面α有一个公共点,且l平行于α内的一条直线,则l α..2.如图,P是△ABC所在平面外一点,M∈PB,试过AM作一平面平行于BC,并说明画法的理论依据Array3.设AB、CD为夹在两个平行平面α、β之间线段,且直线AB、CD为异面直线,М、P分别为AB、CD的中点,求证:MP ∥α.4.ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,(1)画出过A、C、B1的平面与下底面的交线l;(2)求l与直线AC的距离.5.正方体ABCD-A1B1C1D1中,侧面对角线AB1、BC1分别有E、F,且B1E=C1F,求证:EF∥平面ABCD.6.平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,那么另一条直线也平行于这个平面.7.设a、b是异面直线,自AB的中点O作平面α与a、b分别平行,M、N分别是a、b上的任意两点,MN与α交于点P,求证:P是MN的中点.8.求证:如果一条直线和两个相交的平面都平行,那么这条直线和它们的交线平行.9.α∩β=c,α∩γ=b,β∩γ=a,若直线a∥直线b,你能得到什么结论?10.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E在AB1上,F在BD上,且B1E=BF.求证:EF∥平面BB1C1C.11.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点N在BD上,点M在B1C上,并且CM=DN.求证:MN∥平面AA1B1B.12.如图,平面EFGH分别平行于CD、AB,E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上,且CD=a,AB=b,CD⊥AB.(1)求证:EFGH是矩形.(2)点E在什么位置时,EFGH的面积最大.直线与平面平行的判定和性质答案一、选择题(共26题,合计130分)1.答案:A2.答案:A3.答案:A4.答案:B5.答案:D6.答案:A7.答案:D8.答案:B9.答案:B10.答案:D11.答案:C12.答案:D13.答案:B14.答案:B15.答案:D16.答案:B17.答案:A18.答案:A19.答案:D20.答案:A21.答案:B22.答案:A23.答案:D24.答案:A25.答案:A26.答案:C二、填空题(共6题,合计25分)1.答案:8 cm2.答案:90°3.答案:BD1∥平面AEC4.答案:a2 325.答案:b∥α或b α6.答案:) ,0(2 d三、解答题(共12题,合计112分)1.答案:见注释2.答案:见注释3.答案:见注释4.答案:. 26 a5.答案:见注释6.答案:见注释7.答案:见注释8.答案:见注释9.答案:见注释10.答案:见注释11.答案:见注释12.答案:(1)见注释(2)E为BD的中点时。
2022高三总复习数学 直线、平面平行的判定与性质(含解析)

直线、平面平行的判定与性质A 级——基础达标1.(2021·宁夏大学高三模拟)设m ,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且m ⊂α,n ⊂α,则“α∥β ”是“m ∥β且n ∥β ”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A m ,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且m ⊂α,n ⊂α,则“α∥β ”得“m ∥β且n ∥β ”,根据面面平行的判定定理得“m ∥β且n ∥β ”不能得到“α∥β ”,所以“α∥β ”是“m ∥β且n ∥β ”的充分不必要条件.故选A .2.在空间四边形ABCD 中,E ,F 分别是AB 和BC 上的点,若AE ∶EB =CF ∶FB =1∶2,则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是( )A .平行B .相交C .在平面内D .不能确定解析:选A 如图,由AE EB =CF FB 得AC ∥EF .又因为EF ⊂平面DEF ,AC⊄平面DEF ,所以AC ∥平面DEF .3.下列四个正方体中,A ,B ,C 为所在棱的中点,则能得出平面ABC ∥平面DEF 的是( )解析:选B 在B 中,如图,连接MN ,PN ,∵A ,B ,C 为正方体所在棱的中点,∴AB ∥MN ,AC ∥PN ,∵MN ∥DE ,PN ∥EF ,∴AB∥DE,AC∥EF,∵AB∩AC=A,DE∩EF=E,AB,AC⊂平面ABC,DE,EF⊂平面DEF,∴平面ABC∥平面DEF.4.已知P为△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,且α分别交线段PA,PB,PC于点A′,B′,C′.若PA′∶AA′=2∶3,则S△A′B′C′∶S△ABC=()A.2∶3 B.2∶5C.4∶9 D.4∶25解析:选D∵平面α∥平面ABC,∴AB∥平面α.又∵平面α∩平面PAB=A′B′,∴A′B′∥A B.∵PA′∶AA′=2∶3,∴PA′∶PA=2∶5,∴A′B′∶AB=2∶5,∴S△A′B′C′S△ABC=⎝⎛⎭⎫A′B′AB2=425,故选D.5.(多选)(2021·山东济南质检)下列四个命题中正确的是()A.如果一条直线不在某个平面内,那么这条直线就与这个平面平行B.过直线外一点有无数个平面与这条直线平行C.过平面外一点有无数条直线与这个平面平行D.过空间一点必存在某个平面与两条异面直线都平行解析:选BC A.如果一条直线不在某个平面内,那么这条直线就与这个平面平行或相交,故A错误;B.过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行,过这条直线有无数个平面与已知直线平行,故B正确;C.过平面外一点有无数条直线与这个平面平行,且这无数条直线在同一平面内,故C 正确;D.过空间一点不一定存在某个平面与两条异面直线都平行,当此点在其中一条直线上时平面最多只能与另一条直线平行,故D错误.故选B、C.6.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点,下列四个推断中正确的是()A.FG∥平面AA1D1DB.EF∥平面BC1D1C.FG∥平面BC1D1D.平面EFG∥平面BC1D1解析:选AC连接AD1、A1C1(图略),因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G 分别是A1B1,B1C1,BB1的中点,所以FG∥BC1,因为BC1∥AD1,所以FG∥AD1,因为FG⊄平面AA1D1D,AD1⊂平面AA1D1D,所以FG∥平面AA1D1D,故A项正确;因为EF∥A1C1,A1C1与平面BC1D1相交,所以EF与平面BC1D1相交,故B项错误;因为E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点,所以FG∥BC1,因为FG⊄平面BC1D1,BC1⊂平面BC1D1,所以FG∥平面BC1D1,故C项正确;因为EF与平面BC1D1相交,所以平面EFG 与平面BC1D1相交,故D项错误.故选A、C.7.(2021·浙江省镇海中学高三模拟)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,E为AD的中点,点F在CD上,若EF∥平面AB1C,则EF=________.解析:根据题意,因为EF∥平面AB1C,所以EF∥AC.又E是AD的中点,所以F是CD的中点.因此在Rt△DEF中,DE=DF=1,故EF= 2.答案: 28.如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为________.解析:因为平面ABFE∥平面DCGH,又平面EFGH∩平面ABFE=EF,平面EFGH∩平面DCGH=HG,所以EF∥HG.同理,EH∥FG,所以四边形EFGH是平行四边形.答案:平行四边形9.设α,β,γ是三个平面,a,b是两条不同直线,有下列三个条件:①a∥γ,b⊂β;②a∥γ,b∥β;③b∥β,a⊂γ.如果命题“α∩β=a,b⊂γ,且________,则a∥b”为真命题,则可以在横线处填入的条件是________(填序号).解析:由面面平行的性质定理可知,①正确;当b ∥β,a ⊂γ时,a 和b 在同一平面内,且没有公共点,所以平行,③正确.故应填入的条件为①或③.答案:①或③10.在正四面体S -ABC 中,M ,E ,F 分别是SA ,AB ,AC 的中点,当点P 在线段EF 上运动时,直线MP 与平面SBC 的位置关系是________.解析:连接ME ,MF (图略),因为M ,E ,F 分别是SA ,AB ,AC 的中点,所以ME ∥SB ,MF ∥SC ,而ME ∩MF =M ,SB ∩SC =S ,ME ,MF ⊂平面MEF ,SB ,SC ⊂平面SBC ,所以平面MEF ∥平面SBC ,又点P 在线段EF 上,即MP 在平面MEF 内,所以由面面平行的性质定理可得MP ∥平面SBC ,故直线MP 与平面SBC 的位置关系是平行.答案:平行11.如图,E ,F ,G ,H 分别是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BC ,CC 1,C 1D 1,AA 1的中点.求证:(1)EG ∥平面BB 1D 1D ;(2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明:(1)如图,取B 1D 1的中点O ,连接GO ,OB ,因为OG綊12B 1C 1,BE 綊12B 1C 1,所以BE 綊OG ,所以四边形BEGO 为平行四边形,故OB ∥EG ,因为OB ⊂平面BB 1D 1D ,EG ⊄平面BB 1D 1D ,所以EG ∥平面BB 1D 1D .(2)由题意可知BD ∥B 1D 1.连接HB ,D 1F ,因为BH 綊D 1F ,所以四边形HBFD 1是平行四边形,故HD 1∥BF .又B 1D 1∩HD 1=D 1,BD ∩BF =B ,所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .12.如图所示,四棱锥A -BCDE 中,BE ∥CD ,BE ⊥平面ABC ,CD=32BE ,点F 在线段AD 上. (1)若AF =2FD ,求证:EF ∥平面ABC ;(2)若△ABC 为等边三角形,CD =AC =3,求四棱锥A -BCDE 的体积.解:(1)证明:取线段AC 上靠近C 的三等分点G ,连接BG ,GF .因为AG AC =AF AD =23, 则GF =23CD =BE . 而GF ∥CD ,BE ∥CD ,故GF ∥BE .故四边形BGFE 为平行四边形,故EF ∥BG .因为EF ⊄平面ABC ,BG ⊂平面ABC ,故EF ∥平面ABC .(2)因为BE ⊥平面ABC ,BE ⊂平面BCDE ,所以平面ABC ⊥平面BCDE .所以四棱锥A -BCDE 的高即为△ABC 中BC 边上的高.易求得BC 边上的高为32×3=332. 故四棱锥A -BCDE 的体积V =13×12×(2+3)×3×332=1534. B 级——综合应用13.如图,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点M ,P ,Q 分别为棱AB ,CD ,BC 的中点,若平行六面体的各棱长均相等,给出下列说法:①A 1M ∥D 1P ;②A 1M ∥B 1Q ;③A 1M ∥平面DCC 1D 1;④A 1M ∥平面D 1PQB 1. 则以上说法中正确的个数为( )A.1 B.2C.3 D.4解析:选C连接PM(图略),因为M,P分别为AB,CD的中点,故PM平行且等于AD.由题意知AD平行且等于A1D1,故PM平行且等于A1D1,所以四边形PMA1D1为平行四边形,所以A1M∥D1P,故①正确.显然A1M与B1Q为异面直线,故②错误.由①知A1M∥D1P,由于D1P既在平面DCC1D1内,又在平面D1PQB1内,且A1M既不在平面DCC1D1内,又不在平面D1PQB1内,所以A1M∥平面DCC1D1,A1M∥平面D1PQB1,故③④正确.则正确说法的个数为3,故选C.14.(多选)(2021·高密市高三模拟)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2,侧棱AA1=1,P为上底面A1B1C1D1上的动点,给出下列四个选项,其中正确的为() A.若PD=3,则满足条件的P点有且只有一个B.若PD=3,则点P的轨迹是一段圆弧C.若PD∥平面ACB1,则DP长的最小值为2D.若PD∥平面ACB1,且PD=3,则平面BDP截正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球所得平面图形的面积为9π4解析:选ABD如图,∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2,∴B1D1=22,又侧棱AA1=1,∴DB1=(22)2+12=3,则P与B1重合时PD=3,此时P点唯一,故A正确;∵PD=3∈(1,3),DD1=1,则PD1=2,即点P的轨迹是一段圆弧,故B正确;连接DA1,DC1,可得平面A1DC1∥平面ACB1,则当P为A1C1中点时,DP有最小值为(2)2+12=3,故C错误;由C知,平面BDP即为平面BDD1B1,平面BDP截正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球所得平面图形为外接球的大圆,其半径为1222+22+12=32,面积为9π4,故D正确.故选A、B、D.15.(2021·烟台模拟)如图,在矩形ABCD和矩形ABEF中,AF=AD,AM=DN,矩形ABEF可沿AB任意翻折.(1)求证:当点F,A,D不共线时,线段MN总平行于平面FAD;(2)“不管怎样翻折矩形ABEF,线段MN总与线段FD平行”这个结论正确吗?如果正确,请证明;如果不正确,请说明能否改变个别已知条件使上述结论成立,并给出理由.解:(1)证明:在平面图形中,连接MN(图略),设MN与AB交于点G.当点F,A,D不共线时,如图,MG∥AF,NG∥AD.又MG∩NG=G,AD∩AF=A,∴平面GNM∥平面ADF.又MN⊂平面GNM,∴MN∥平面ADF.故当点F,A,D不共线时,线段MN总平行于平面FAD.(2)这个结论不正确.要使上述结论成立,M,N应分别为AE和DB的中点.理由如下:当点F,A,D共线时,如题图,∵四边形ABCD和四边形ABEF都是矩形,AD=AF,∴AD∥BE且AD=BE,∴四边形ADBE是平行四边形,∴AE∥D B.又AM=DN,∴四边形ADNM是平行四边形,∴MN∥AD,∴MN∥FD.当点F,A,D不共线时,由(1)知平面MNG∥平面FDA,则要使MN∥FD 总成立,根据面面平行的性质定理,只要FD与MN共面即可.若要使FD与MN共面,连接FM(图略),只要FM与DN相交即可.∵FM⊂平面ABEF,DN⊂平面ABCD,平面ABEF∩平面ABCD=AB,∴若FM与DN相交,则交点只能为点B,此时只有M,N分别为AE,DB的中点才满足.由FM∩DN=B,可知它们确定一个平面,即F,D,N,M四点共面.∵平面FDNM∩平面MNG=MN,平面FDNM∩平面FDA=FD,平面MNG∥平面FDA,∴MN∥FD.C级——迁移创新16.如图所示,侧棱与底面垂直,且底面为正方形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,AB=1,M,N分别在AD1,BC上移动,始终保持MN∥平面DCC1D1,设BN=x,MN=y,则函数y=f(x)的图象大致是()解析:选C过M作MQ∥DD1,交AD于点Q,连接QN.∵MN∥平面DCC1D1,MQ∥平面DCC1D1,MN∩MQ=M,∴平面MNQ∥平面DCC1D1.又平面ABCD与平面MNQ和DCC1D1分别交于QN和DC,∴NQ∥DC,可得QN=CD=AB=1,AQ=BN=x,∵MQ AQ =DD1AD=2,∴MQ=2x.在Rt△MQN中,MN2=MQ2+QN2,即y2=4x2+1,∴y2-4x2=1(x≥0,y≥1),∴函数y=f(x)的图象为焦点在y轴上的双曲线上支的一部分.故选C.。
高中数学高考总复习---直线、平面平行的判定和性质知识讲解及考点梳理

例 1、【高清课堂:直线、平面平行的判定与性质例 1】 如图所示,已知 P、Q 是单位正方体 ABCD-A1B1C1D1 的面 A1B1BA 和面 ABCD 的中心。 证明:PQ//平面 BCC1B1
【证明】方法一:如图,取 B1B 中点 E,BC 中点 F,连接 PE、QF、EF, 因为在三角形 A1B1B 中,P、E 分别是 A1B 和 B1B 的中点,
举一反三: 【变式】(2015 春 澄城县期末)如图所示的多面体中,ABCD 是菱形,BDEF 是矩形, ED⊥面 ABCD,连结 AC,AC∩BD=O, (Ⅰ)求证:面 BCF∥面 AED; (Ⅱ)求证:AO 是四棱锥 A﹣BDEF 的高.
【证明】(Ⅰ)在矩形 BDEF 中,FB∥ED, ∵FB 不包含于平面 AED,ED 平面 AED, ∴FB∥平面 AED, 同理,BC∥平面 AED, 又 FB∩BC=B, ∴平面 FBC∥平面 EDA. (Ⅱ)解:∵ABCD 是菱形,∴AC⊥BD, ∵ED⊥面 ABCD,AC 面 ABCD,
2
如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行.
2、 符号语言: 3、 面面平行的另一性质: 如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.
符号语言:
.
要点诠释:
平面与平面平行的判定与性质,同直线与平面平行的判定与性质一样,体现了转化与化
归的思想。三种平行关系如图:
性质过程的转化实施,关键是作辅助平面,通过作辅助平面得到交线,就可把面面平行 化为线面平行并进而化为线线平行,注意作平面时要有确定平面的依据。 【典型例题】
。
考点四、平面与平面平行的性质 4、 平行平面的性质定理:
如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行.
高考数学考点归纳之 直线、平面平行的判定与性质

高考数学考点归纳之 直线、平面平行的判定与性质一、基础知识1.直线与平面平行的判定定理和性质定理⎣⎢⎡⎦⎥⎤❶应用判定定理时,要注意“内”“外”“平行”三个条件必须都具备,缺一不可. 2.平面与平面平行的判定定理和性质定理⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤❷如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线,那么这两个平面互相平行.符号表示:a ⊂α,b ⊂α,a ∩b =O ,a ′⊂β,b ′⊂β,a ∥a ′,b ∥b ′⇒α∥β. 二、常用结论平面与平面平行的三个性质(1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. (2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等.(3)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.考点一 直线与平面平行的判定与性质考法(一) 直线与平面平行的判定[典例] 如图,在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中,点M ,N 分别为线段A 1B ,AC 1的中点.求证:MN ∥平面BB 1C 1C .[证明] 如图,连接A 1C .在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中,侧面AA 1C 1C 为平行四边形.又因为N 为线段AC 1的中点,所以A 1C 与AC 1相交于点N ,即A 1C 经过点N ,且N 为线段A 1C 的中点.因为M 为线段A 1B 的中点,所以MN ∥BC . 又因为MN ⊄平面BB 1C 1C ,BC ⊂平面BB 1C 1C , 所以MN ∥平面BB 1C 1C .考法(二)线面平行性质定理的应用[典例](2018·豫东名校联考)如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,E为线段AD上的任意一点(不包括A,D两点),平面CEC1与平面BB1D交于FG.求证:FG∥平面AA1B1B.[证明]在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,BB1∥CC1,BB1⊂平面BB1D,CC1⊄平面BB1D,所以CC1∥平面BB1D.又CC1⊂平面CEC1,平面CEC1与平面BB1D交于FG,所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1,所以BB1∥FG.因为BB1⊂平面AA1B1B,FG⊄平面AA1B1B,所以FG∥平面AA1B1B.[题组训练]1.(2018·浙江高考)已知平面α,直线m,n满足m⊄α,n⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A∵若m⊄α,n⊂α,且m∥n,由线面平行的判定定理知m∥α,但若m⊄α,n⊂α,且m∥α,则m与n有可能异面,∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件.2.如图,在四棱锥PABCD中,AB∥CD,AB=2,CD=3,M为PC上一点,且PM =2MC.求证:BM ∥平面P AD .证明:法一:如图,过点M 作MN ∥CD 交PD 于点N ,连接AN . ∵PM =2MC ,∴MN =23CD .又AB =23CD ,且AB ∥CD ,∴AB 綊MN ,∴四边形ABMN 为平行四边形, ∴BM ∥AN .又BM ⊄平面P AD ,AN ⊂平面P AD , ∴BM ∥平面P AD .法二:如图,过点M 作MN ∥PD 交CD 于点N ,连接BN . ∵PM =2MC ,∴DN =2NC , 又AB ∥CD ,AB =23CD ,∴AB 綊DN ,∴四边形ABND 为平行四边形, ∴BN ∥AD .∵BN ⊂平面MBN ,MN ⊂平面MBN ,BN ∩MN =N , AD ⊂平面P AD ,PD ⊂平面P AD ,AD ∩PD =D , ∴平面MBN ∥平面P AD .∵BM ⊂平面MBN ,∴BM ∥平面P AD .3.如图所示,四边形ABCD 是平行四边形,点P 是平面ABCD 外一点,M 是PC 的中点,在DM 上取一点G ,过G 和P A 作平面P AHG 交平面BMD 于GH .求证:P A ∥GH .证明:如图所示,连接AC 交BD 于点O ,连接MO , ∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴O 是AC 的中点,又M 是PC 的中点,∴P A ∥MO . 又MO ⊂平面BMD ,P A ⊄平面BMD , ∴P A ∥平面BMD .∵平面P AHG ∩平面BMD =GH , P A ⊂平面P AHG , ∴P A ∥GH .考点二平面与平面平行的判定与性质[典例]如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:(1)B,C,H,G四点共面;(2)平面EF A1∥平面BCHG.[证明](1)∵GH是△A1B1C1的中位线,∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC,∴B,C,H,G四点共面.(2)∵E,F分别为AB,AC的中点,∴EF∥BC,∵EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB,∴四边形A1EBG是平行四边形,∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF=E,∴平面EF A1∥平面BCHG.[变透练清]1.(变结论)在本例条件下,若D1,D分别为B1C1,BC的中点,求证:平面A1BD1∥平面AC1D.证明:如图所示,连接A1C,AC1,设交点为M,∵四边形A1ACC1是平行四边形,∴M是A1C的中点,连接MD,∵D为BC的中点,∴A1B∥DM.∵DM⊄平面A1BD1,A1B⊂平面A1BD1,∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知D1C1綊BD,∴四边形BDC1D1为平行四边形,∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1,BD1⊂平面A1BD1,∴DC1∥平面A1BD1,又∵DC1∩DM=D,DC1⊂平面AC1D,DM⊂平面AC1D,∴平面A1BD1∥平面AC1D.2.如图,四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点,求证:(1)BE∥平面DMF;(2)平面BDE∥平面MNG.证明:(1)如图,连接AE,设DF与GN的交点为O,则AE必过DF与GN的交点O.连接MO,则MO为△ABE的中位线,所以BE∥MO.又BE⊄平面DMF,MO⊂平面DMF,所以BE∥平面DMF.(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点,所以DE∥GN.又DE⊄平面MNG,GN⊂平面MNG,所以DE∥平面MNG.又M为AB中点,所以MN为△ABD的中位线,所以BD∥MN.又BD⊄平面MNG,MN⊂平面MNG,所以BD ∥平面MNG .又DE ⊂平面BDE ,BD ⊂平面BDE ,DE ∩BD =D , 所以平面BDE ∥平面MNG .[课时跟踪检测]A 级1.已知直线a 与直线b 平行,直线a 与平面α平行,则直线b 与α的关系为( ) A .平行 B .相交C .直线b 在平面α内D .平行或直线b 在平面α内解析:选D 依题意,直线a 必与平面α内的某直线平行,又a ∥b ,因此直线b 与平面α的位置关系是平行或直线b 在平面α内.2.若平面α∥平面β,直线a ∥平面α,点B ∈β,则在平面β内且过B 点的所有直线中( )A .不一定存在与a 平行的直线B .只有两条与a 平行的直线C .存在无数条与a 平行的直线D .存在唯一与a 平行的直线解析:选A 当直线a 在平面β内且过B 点时,不存在与a 平行的直线,故选A. 3.在空间四边形ABCD 中,E ,F 分别是AB 和BC 上的点,若AE ∶EB =CF ∶FB =1∶2,则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是( )A .平行B .相交C .在平面内D .不能确定解析:选A 如图,由AE EB =CFFB 得AC ∥EF .又因为EF ⊂平面DEF ,AC ⊄平面DEF , 所以AC ∥平面DEF .4.(2019·重庆六校联考)设a ,b 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则α∥β的一个充分条件是( )A .存在一条直线a ,a ∥α,a ∥βB .存在一条直线a ,a ⊂α,a ∥βC .存在两条平行直线a ,b ,a ⊂α,b ⊂β,a ∥β,b ∥αD .存在两条异面直线a ,b ,a ⊂α,b ⊂β,a ∥β,b ∥α解析:选D 对于选项A ,若存在一条直线a ,a ∥α,a ∥β,则α∥β或α与β相交,若α∥β,则存在一条直线a ,使得a ∥α,a ∥β,所以选项A 的内容是α∥β的一个必要条件;同理,选项B 、C 的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件;对于选项D ,可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中,成为相交直线,则有α∥β,所以选项D 的内容是α∥β的一个充分条件.故选D.5.如图,透明塑料制成的长方体容器ABCD A 1B 1C 1D 1内灌进一些水,固定容器底面一边BC 于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下面四个命题:①没有水的部分始终呈棱柱形;②水面EFGH 所在四边形的面积为定值; ③棱A 1D 1始终与水面所在平面平行; ④当容器倾斜如图所示时,BE ·BF 是定值. 其中正确命题的个数是( ) A .1 B .2 C .3D .4解析:选C 由题图,显然①是正确的,②是错误的; 对于③,∵A 1D 1∥BC ,BC ∥FG ,∴A 1D 1∥FG 且A 1D 1⊄平面EFGH ,FG ⊂平面EFGH , ∴A 1D 1∥平面EFGH (水面). ∴③是正确的;对于④,∵水是定量的(定体积V ), ∴S △BEF ·BC =V ,即12BE ·BF ·BC =V .∴BE ·BF =2VBC(定值),即④是正确的,故选C.6.如图,平面α∥平面β,△P AB 所在的平面与α,β分别交于CD ,AB ,若PC =2,CA =3,CD =1,则AB =________.解析:∵平面α∥平面β,∴CD ∥AB , 则PC P A =CDAB ,∴AB =P A ×CD PC =5×12=52. 答案:527.设α,β,γ是三个平面,a ,b 是两条不同直线,有下列三个条件: ①a ∥γ,b ⊂β;②a ∥γ,b ∥β;③b ∥β,a ⊂γ.如果命题“α∩β=a ,b ⊂γ,且________,则a ∥b ”为真命题,则可以在横线处填入的条件是________(填序号).解析:由面面平行的性质定理可知,①正确;当b ∥β,a ⊂γ时,a 和b 在同一平面内,且没有公共点,所以平行,③正确.故应填入的条件为①或③.答案:①或③8.在三棱锥P ABC 中,PB =6,AC =3,G 为△P AC 的重心,过点G 作三棱锥的一个截面,使截面平行于PB 和AC ,则截面的周长为________.解析:如图,过点G 作EF ∥AC ,分别交P A ,PC 于点E ,F ,过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ,过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ,连接MN ,则四边形EFMN 是平行四边形(平面EFMN 为所求截面),且EF =MN =23AC =2,FM =EN =13PB =2,所以截面的周长为2×4=8.答案:89.如图,E ,F ,G ,H 分别是正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱BC ,CC 1,C 1D 1,AA 1的中点.求证:(1)EG ∥平面BB 1D 1D ; (2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明:(1)如图,取B 1D 1的中点O ,连接GO ,OB , 因为OG 綊12B 1C 1,BE 綊12B 1C 1,所以BE 綊OG ,所以四边形BEGO 为平行四边形, 故OB ∥EG ,因为OB ⊂平面BB 1D 1D , EG ⊄平面BB 1D 1D , 所以EG ∥平面BB 1D 1D . (2)由题意可知BD ∥B 1D 1.连接HB ,D 1F ,因为BH 綊D 1F , 所以四边形HBFD 1是平行四边形, 故HD 1∥BF .又B 1D 1∩HD 1=D 1,BD ∩BF =B , 所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .10.(2019·南昌摸底调研)如图,在四棱锥P ABCD 中,∠ABC = ∠ACD =90°,∠BAC =∠CAD =60°,P A ⊥平面ABCD ,P A =2,AB =1.设M ,N 分别为PD ,AD 的中点.(1)求证:平面CMN ∥平面P AB ; (2)求三棱锥P ABM 的体积.解:(1)证明:∵M ,N 分别为PD ,AD 的中点, ∴MN ∥P A ,又MN ⊄平面P AB ,P A ⊂平面P AB , ∴MN ∥平面P AB .在Rt △ACD 中,∠CAD =60°,CN =AN , ∴∠ACN =60°.又∠BAC =60°,∴CN ∥AB . ∵CN ⊄平面P AB ,AB ⊂平面P AB , ∴CN ∥平面P AB . 又CN ∩MN =N , ∴平面CMN ∥平面P AB .(2)由(1)知,平面CMN ∥平面P AB ,∴点M 到平面P AB 的距离等于点C 到平面P AB 的距离. ∵AB =1,∠ABC =90°,∠BAC =60°,∴BC =3,∴三棱锥P ABM 的体积V =V M P AB =V C P AB =V P ABC =13×12×1×3×2=33.B 级1.如图,四棱锥P ABCD 中,P A ⊥底面ABCD ,AD ∥BC ,AB =AD =AC =3,P A =BC =4,M 为线段AD 上一点,AM =2MD ,N 为PC 的中点.(1)求证:MN ∥平面P AB ; (2)求四面体N BCM 的体积. 解:(1)证明:由已知得AM =23AD =2.取BP 的中点T ,连接AT ,TN , 由N 为PC 的中点知TN ∥BC , TN =12BC =2.又AD ∥BC ,故TN 綊AM ,四边形AMNT 为平行四边形,于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面P AB ,MN ⊄平面P AB , 所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ,N 为PC 的中点,所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .取BC 的中点E ,连接AE .由AB =AC =3,得AE ⊥BC ,AE =AB 2-BE 2= 5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5,故S △BCM =12×4×5=2 5. 所以四面体N BCM 的体积V N BCM =13×S △BCM ×P A 2=453.2.如图所示,几何体E ABCD 是四棱锥,△ABD 为正三角形,CB =CD ,EC ⊥BD .(1)求证:BE =DE ;(2)若∠BCD =120°,M 为线段AE 的中点,求证:DM ∥平面BEC . 证明:(1)如图所示,取BD 的中点O ,连接OC ,OE .∵CB =CD ,∴CO ⊥BD .又∵EC ⊥BD ,EC ∩CO =C ,∴BD ⊥平面OEC ,∴BD ⊥EO .又∵O 为BD 中点.∴OE 为BD 的中垂线,∴BE =DE .(2)取BA 的中点N ,连接DN ,MN .∵M 为AE 的中点,∴MN ∥BE .∵△ABD 为等边三角形,N 为AB 的中点,∴DN ⊥AB .∵∠DCB =120°,DC =BC ,∴∠OBC =30°,∴∠CBN =90°,即BC ⊥AB ,∴DN ∥BC .∵DN ∩MN =N ,BC ∩BE =B ,∴平面MND ∥平面BEC .又∵DM ⊂平面MND ,∴DM ∥平面BEC .。
高考专题练习: 直线、平面平行的判定与性质

1.直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)因为l∥a,a⊂α,l⊄α,所以l∥α性质定理一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)因为l∥α,l⊂β,α∩β=b,所以l∥b2.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)因为a∥β,b∥β,a∩b=P,a⊂α,b⊂α,所以α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行因为α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,所以a∥b常用结论1.三种平行关系的转化线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想.2.平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b.(3)平行于同一个平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α.()(2)若直线l在平面α外,则l∥α.()(3)若直线l∥b,直线b⊂α,则l∥α.()(4)若直线l∥b,直线b⊂α,那么直线l平行于平面α内的无数条直线.()答案:(1)×(2)×(3)×(4)√二、易错纠偏常见误区|(1)对空间平行关系的相互转化条件理解不够;(2)忽略线面平行、面面平行的条件.1.如果直线a∥平面α,那么直线a与平面α内的()A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线都不相交解析:选D.因为a∥平面α,直线a与平面α无公共点,因此a和平面α内的任意一条直线都不相交,故选D.2.如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为________.解析:因为平面ABFE∥平面DCGH,又平面EFGH∩平面ABFE=EF,平面EFGH∩平面DCGH=HG,所以EF∥HG.同理EH∥FG,所以四边形EFGH 是平行四边形.答案:平行四边形与线、面平行相关命题的判定(师生共研)(1)设m,n表示不同直线,α,β表示不同平面,则下列结论中正确的是()A.若m∥α,m∥n,则n∥αB.若m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α∥βC.若α∥β,m∥α,m∥n,则n∥βD.若α∥β,m∥α,n∥m,n⊄β,则n∥β(2)(2020·沈阳市教学质量监测(一))已知a,b为两条不同的直线,α,β,γ为三个不同的平面,则下列说法中正确的是()①若a∥α,α∥β,则a∥β;②若α∥β,β∥γ,则α∥γ;③若a⊥α,b⊥α,则a∥b;④若α⊥γ,β⊥γ,则α⊥β.A.①③B.②③C.①②③D.②③④【解析】(1)A错误,n有可能在平面α内;B错误,平面α可能与平面β相交;C错误,n也有可能在平面β内;D正确,易知m∥β或m⊂β,若m⊂β,又n∥m,n⊄β,所以n∥β,若m∥β,过m作平面γ交平面β于直线l,则m∥l,又n∥m,所以n∥l,又n⊄β,l⊂β,所以n∥β.(2)若a∥α,α∥β,则a可能平行于β,也可能在β内,故①不正确;若α∥β,β∥γ,则由面面平行的性质知α∥γ,故②正确;若a⊥α,b⊥α,则由线面垂直的性质知a∥b,故③正确;若α⊥γ,β⊥γ,则α与β可能平行也可能相交,故④不正确.综上所述,②③正确,故选B.【答案】(1)D(2)B解决线、面平行关系应注意的问题(1)注意判定定理与性质定理中易忽视的条件,如线面平行的条件中线在面外易被忽视.(2)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断.(3)会举反例或用反证法推断命题是否正确.1.下列命题中正确的是()A.若a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面B.若直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直线平行C.平行于同一条直线的两个平面平行D.若直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,则b∥α解析:选D.A错误,a可能在经过b的平面内;B错误,a与α内的直线平行或异面;C错误,两个平面可能相交;D正确,由a∥α,可得a平行于经过直线a的平面与α的交线c,即a∥c,又a∥b,所以b∥c,b⊄α,c⊂α,所以b∥α.2.设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是()A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α,β平行于同一条直线D.α,β垂直于同一平面解析:选B.对于A,C,D选项,α均有可能与β相交,故排除A,C,D 选项,选B.线面平行的判定与性质(多维探究)角度一线面平行的证明在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是BC,CC1,C1D1,A1A的中点.求证:(1)BF∥HD1;(2)EG∥平面BB1D1D.【证明】(1)如图所示,取BB1的中点M,连接MH,MC1,易证四边形HMC 1D 1是平行四边形,所以HD 1∥MC 1.又因为在平面BCC 1B 1中,BM ∥=FC 1, 所以四边形BMC 1F 为平行四边形, 所以MC 1∥BF ,所以BF ∥HD 1. (2)取BD 的中点O ,连接EO ,D 1O , 则OE ∥DC 且OE =12DC ,又D 1G ∥DC 且D 1G =12DC ,所以OE ∥=D 1G , 所以四边形OEGD 1是平行四边形,所以GE ∥D 1O . 又D 1O ⊂平面BB 1D 1D ,GE ⊄平面BB 1D 1D , 所以EG ∥平面BB 1D 1D .证明直线与平面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义.(2)利用线面平行的判定定理:关键是找到平面内与已知直线平行的直线,可先直观判断题中是否存在这样的直线,若不存在,则需作出直线,常考虑利用三角形的中位线、平行四边形的对边平行或过已知直线作一平面,找其交线进行证明.角度二 线面平行性质定理的应用如图,在五面体ABCDFE 中,底面ABCD 为矩形,EF ∥AB ,过BC的平面交棱FD 于点P ,交棱F A 于点Q .证明:PQ ∥平面ABCD .【证明】 因为底面ABCD 为矩形,所以AD ∥BC ,⎭⎪⎬⎪⎫AD ∥BCAD ⊂平面ADF BC ⊄平面ADF ⇒BC ∥平面ADF ,⎭⎪⎬⎪⎫BC ∥平面ADFBC ⊂平面BCPQ 平面BCPQ ∩平面ADF =PQ ⇒BC ∥PQ ,⎭⎪⎬⎪⎫PQ ∥BCPQ ⊄平面ABCD BC ⊂平面ABCD ⇒PQ ∥平面ABCD .应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线.该定理的作用是由线面平行转化为线线平行.1.(一题多解)(2021·河南中原名校联考)如图,已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点,E ,F 分别是P A ,BD 上的点且PE ∶EA =BF ∶FD ,求证:EF ∥平面PBC .证明:方法一:如图,连接AF ,并延长交BC 于点G ,连接PG ,因为BC ∥AD ,所以FG F A =FBFD , 又因为PE EA =BFFD ,所以PE EA =GFF A ,所以EF ∥PG .又因为PG ⊂平面PBC ,EF ⊄平面PBC , 所以EF ∥平面PBC .方法二:如图,过点F 作FM ∥AD ,交AB 于点M ,连接EM ,因为FM ∥AD ,AD ∥BC ,所以FM ∥BC ,又因为FM ⊄平面PBC ,BC ⊂平面PBC , 所以FM ∥平面PBC . 由FM ∥AD 得BM MA =BFFD ,又因为PE EA =BF FD ,所以PE EA =BMMA ,所以EM ∥PB . 因为PB ⊂平面PBC ,EM ⊄平面PBC , 所以EM ∥平面PBC ,因为EM ∩FM =M ,EM ,FM ⊂平面EFM ,所以平面EFM∥平面PBC,因为EF⊂平面EFM,所以EF∥平面PBC.2.如图,几何体E-ABCD是四棱锥,△ABD为正三角形,CB=CD,EC⊥BD.(1)求证:BE=DE;(2)若∠BCD=120°,M为线段AE的中点,求证:DM∥平面BEC.证明:(1)取BD的中点O,连接CO,EO.由于CB=CD,所以CO⊥BD.又EC⊥BD,EC∩CO=C,又因为CO,EC⊂平面EOC,所以BD⊥平面EOC,因此BD⊥EO,又O为BD的中点,所以BE=DE.(2)取AB的中点N,连接DN,MN,因为M是AE的中点,N是AB的中点,所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC,BE⊂平面BEC,所以MN∥平面BEC.因为△ABD为正三角形,所以∠BDN=30°,又CB=CD,∠BCD=120°,因此∠CBD=30°,所以DN∥BC.又DN⊄平面BEC,BC⊂平面BEC,所以DN∥平面BEC.又MN∩DN=N,故平面DMN∥平面BEC,又DM⊂平面DMN,所以DM∥平面BEC.面面平行的判定与性质(典例迁移)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:(1)B,C,H,G四点共面;(2)平面EF A1∥平面BCHG.【证明】(1)因为G,H分别是A1B1,A1C1的中点,所以GH∥B1C1,又B1C1∥BC,所以GH∥BC,所以B,C,H,G四点共面.(2)在△ABC中,E,F分别为AB,AC的中点,所以EF∥BC,因为EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,所以EF∥平面BCHG.又因为G,E分别为A1B1,AB的中点,所以A1G∥=EB,所以四边形A1EBG是平行四边形,所以A1E∥GB.因为A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,所以A1E∥平面BCHG.又因为A1E∩EF=E,所以平面EF A1∥平面BCHG.【迁移探究1】(变条件)在本例条件下,若D为BC1的中点,求证:HD∥平面A1B1BA.证明:如图所示,连接HD,A1B,因为D为BC1的中点,H为A1C1的中点,所以HD∥A1B,又HD⊄平面A1B1BA,A1B⊂平面A1B1BA,所以HD∥平面A1B1BA.【迁移探究2】(变条件)在本例条件下,若D1,D分别为B1C1,BC的中点,求证:平面A1BD1∥平面AC1D.证明:如图所示,连接A1C交AC1于点M,因为四边形A1ACC1是平行四边形,所以M是A1C的中点,连接MD,因为D为BC的中点,所以A1B∥DM.因为A1B⊂平面A1BD1,DM⊄平面A1BD1,所以DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知,D1C1∥=BD,所以四边形BDC1D1为平行四边形,所以DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1,BD1⊂平面A1BD1,所以DC1∥平面A1BD1,又因为DC1∩DM=D,DC1,DM⊂平面AC1D,所以平面A1BD1∥平面AC1D.1.如图,AB∥平面α∥平面β,过点A,B的直线m,n分别交α,β于点C,E和点D,F,若AC=2,CE=3,BF=4,则BD的长为()A.65B.75C.85D.95解析:选C.由AB∥α∥β,易证ACCE=BDDF.即AC AE =BDBF,所以BD=AC·BFAE=2×45=85.2.(一题多解)如图,四边形ABCD是正方形,ED⊥平面ABCD,AF⊥平面ABCD.证明:平面ABF∥平面DCE.证明:方法一:因为DE⊥平面ABCD,AF⊥平面ABCD,所以DE∥AF.因为AF⊄平面DCE,DE⊂平面DCE,所以AF∥平面DCE.因为四边形ABCD是正方形,所以AB∥CD.因为AB⊄平面DCE,CD⊂平面DCE,所以AB∥平面DCE.因为AB∩AF=A,AB⊂平面ABF,AF⊂平面ABF,所以平面ABF∥平面DCE.方法二:因为DE⊥平面ABCD,AF⊥平面ABCD,所以DE∥AF.因为四边形ABCD为正方形,所以AB∥CD.又AF∩AB=A,DE∩DC=D,所以平面ABF∥平面DCE.方法三:因为DE⊥平面ABCD,所以DE⊥AD,在正方形ABCD中,AD⊥DC.又DE∩DC=D,所以AD⊥平面DEC.同理AD⊥平面ABF.所以平面ABF∥平面DCE.[A级基础练]1.已知α,β表示两个不同的平面,直线m是α内一条直线,则“α∥β”是“m∥β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A.由α∥β,m⊂α,可得m∥β;反过来,由m∥β,m⊂α,不能推出α∥β.综上,“α∥β”是“m∥β”的充分不必要条件.2.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是()A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面解析:选D.A项,α,β可能相交,故错误;B项,直线m,n的位置关系不确定,可能相交、平行或异面,故错误;C项,若m⊂α,α∩β=n,m∥n,则m∥β,故错误;D项,假设m,n垂直于同一平面,则必有m∥n,所以原命题正确,故D项正确.3.(2021·合肥模拟)已知a,b,c为三条不同的直线,α,β,γ为三个不同的平面,则下列说法正确的是()A.若a∥b,b⊂α,则a∥αB.若a⊂α,b⊂β,a∥b,则α∥βC.若α∥β,a∥α,则a∥βD.若α∩β=a,β∩γ=b,α∩γ=c,a∥b,则b∥c解析:选D.若a∥b,b⊂α,则a∥α或a⊂α,故A不正确;若a⊂α,b ⊂β,a∥b,则α∥β或α与β相交,故B不正确;若α∥β,a∥α,则a∥β或a⊂β,故C不正确;如图,由a∥b可得b∥α,又b⊂γ,α∩γ=c,所以b∥c,故D正确.4.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是()解析:选A.对于选项B,如图所示,连接CD,因为AB∥CD,M,Q分别是所在棱的中点,所以MQ∥CD,所以AB∥MQ,又AB⊄平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C,D中均有AB∥平面MNQ.故选A.5.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,过A1B1的平面与平面ABC交于DE,则DE与AB的位置关系是()A.异面B.平行C.相交D.以上均有可能解析:选B.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1.因为AB⊂平面ABC,A1B1⊄平面ABC,所以A1B1∥平面ABC.因为过A1B1的平面与平面ABC交于DE,所以DE∥A1B1,所以DE∥AB.6.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度为________.解析:因为EF∥平面AB1C,EF⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面AB1C=AC,所以EF∥AC,所以点F为DC的中点.故EF=12AC= 2.答案: 27.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱AA1的中点,过C,M,D1作正方体的截面,则截面的面积是________.解析:由面面平行的性质知截面与平面AB1的交线MN是△AA1B的中位线,所以截面是梯形CD1MN,其面积为12×(2+22)×(5)2-⎝⎛⎭⎪⎫222=92.答案:9 28.如图所示,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M只需满足条件________时,就有MN∥平面B1BDD1.(注:请填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑全部可能情况)解析:连接HN,FH,FN,则FH∥DD1,HN∥BD,FH∩HN=H,DD1∩BD =D,所以平面FHN∥平面B1BDD1,只需M∈FH,则MN⊂平面FHN,所以MN∥平面B1BDD1.答案:点M在线段FH上(或点M与点H重合)9.如图,在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,P A⊥平面ABCD,P A=2,AB=1.设M,N分别为PD,AD的中点.(1)求证:平面CMN∥平面P AB;(2)求三棱锥P-ABM的体积.解:(1)证明:因为M,N分别为PD,AD的中点,所以MN∥P A,又MN⊄平面P AB,P A⊂平面P AB,所以MN∥平面P AB.在Rt△ACD中,∠CAD=60°,CN=AN,所以∠ACN=60°.又∠BAC=60°,所以CN∥AB.因为CN⊄平面P AB,AB⊂平面P AB,所以CN∥平面P AB.又CN∩MN=N,所以平面CMN∥平面P AB.(2)由(1)知,平面CMN∥平面P AB,所以点M到平面P AB的距离等于点C到平面P AB的距离.因为AB=1,∠ABC=90°,∠BAC=60°,所以BC=3,所以三棱锥P-ABM的体积V=V MP AB=V CP AB=V PABC=13×12×1×3×2=33.10.如图所示,已知四边形ABCD是正方形,四边形ACEF是矩形,AB=2,AF=1,M是线段EF的中点.(1)求证:AM∥平面BDE;(2)若平面ADM∩平面BDE=l,平面ABM∩平面BDE=m,试分析l与m 的位置关系,并证明你的结论.解:(1)证明:如图,记AC与BD的交点为O,连接OE.因为O,M分别是AC,EF的中点,四边形ACEF是矩形,所以四边形AOEM是平行四边形,所以AM∥OE.又因为OE⊂平面BDE,AM⊄平面BDE,所以AM∥平面BDE.(2)l∥m,证明如下:由(1)知AM∥平面BDE,又AM⊂平面ADM,平面ADM∩平面BDE=l,所以l∥AM,同理,AM∥平面BDE,又AM⊂平面ABM,平面ABM∩平面BDE=m,所以m ∥AM ,所以l ∥m .[B 级 综合练]11.如图,在四面体ABCD 中,若截面PQMN 是正方形,则在下列说法中,错误的为( )A .AC ⊥BDB .AC =BD C .AC ∥截面PQMND .异面直线PM 与BD 所成的角为45° 解析:选B .因为截面PQMN 是正方形, 所以PQ ∥MN ,QM ∥PN ,则PQ ∥平面ACD ,QM ∥平面BDA , 所以PQ ∥AC ,QM ∥BD ,由PQ ⊥QM 可得AC ⊥BD ,故A 正确; 由PQ ∥AC 可得AC ∥截面PQMN ,故C 正确; 由BD ∥PN ,所以∠MPN 是异面直线PM 与BD 所成的角,且为45°,D 正确; 由上面可知:BD ∥PN ,MN ∥AC . 所以PN BD =AN AD ,MN AC =DN AD ,而AN 与DN 关系不确定,PN =MN , 所以BD 与AC 关系不确定.B 错误.故选B .12.在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,O 为底面ABCD 的中心,P 是DD 1的中点,设Q 是CC 1上的点,则点Q 满足条件________时,有平面D 1BQ ∥平面P AO .解析:如图所示,设Q 为CC 1的中点,因为P 为DD 1的中点,所以QB ∥P A .连接DB ,因为P ,O 分别是DD 1,DB 的中点,所以D 1B ∥PO ,又D 1B ⊄平面P AO ,QB ⊄平面P AO ,PO ⊂平面P AO ,P A ⊂平面P AO ,所以D 1B ∥平面P AO ,QB ∥平面P AO ,又D 1B ∩QB =B ,所以平面D 1BQ ∥平面P AO .故Q 为CC 1的中点时,有平面D 1BQ ∥平面P AO .答案:Q 为CC 1的中点13.(2021·烟台模拟)如图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =AD =2,AA 1=1.一平面截该长方体,所得截面为OPQRST ,其中O ,P 分别为AD ,CD 的中点,B 1S =12,则AT =________.解析:设AT =x ,则A 1T =1-x ,由面面平行的性质得,PO ∥SR ,TO ∥QR ,TS ∥PQ , 所以△DOP ∽△B 1RS .因为DP =OD =1,所以B 1S =B 1R =12, 所以A 1S =C 1R =32.由△ATO ∽△C 1QR ,可得AO AT =C 1RC 1Q ,即1x =32C 1Q ,故C 1Q =3x2.由△A 1TS ∽△CQP ,可得CQ CP =A 1TA 1S ,即1-3x 21=1-x 32,解得x =25.答案:2514.(2020·高考全国卷Ⅱ)如图,已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是正三角形,侧面BB 1C 1C 是矩形,M ,N 分别为BC ,B 1C 1的中点,P 为AM 上一点.过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ,交AC 于F .(1)证明:AA 1//MN ,且平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ;(2)设O 为△A 1B 1C 1的中心.若AO =AB =6,AO //平面EB 1C 1F ,且∠MPN =π3,求四棱锥B -EB 1C 1F 的体积.解:(1)证明:因为M ,N 分别为BC ,B 1C 1的中点,所以MN ∥CC 1.又由已知得AA 1∥CC 1,故AA 1∥MN .因为△A 1B 1C 1是正三角形,所以B 1C 1⊥A 1N .又B 1C 1⊥MN ,故B 1C 1⊥平面A 1AMN .又因为B 1C 1⊂平面EB 1C 1F ,所以平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F .(2)AO ∥平面EB 1C 1F ,AO ⊂平面A 1AMN ,平面A 1AMN ∩平面EB 1C 1F =PN ,故AO ∥PN .又AP ∥ON ,故四边形APNO 是平行四边形,所以PN =AO =6,AP=ON =13AM =3,PM =23AM =23,EF =13BC =2.因为BC ∥平面EB 1C 1F ,所以四棱锥B -EB 1C 1F 的顶点B 到底面EB 1C 1F 的距离等于点M 到底面EB 1C 1F 的距离.如图,作MT ⊥PN ,垂足为T ,则由(1)知,MT ⊥平面EB 1C 1F ,故MT =PM sin ∠MPN =3.底面EB 1C 1F 的面积为12×(B 1C 1+EF )·PN =12×(6+2)×6=24.所以四棱锥B -EB 1C 1F 的体积为13×24×3=24.[C 级 提升练]15.如图,四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是直角梯形,AB ∥CD ,AB ⊥AD ,AB =2CD =2AD =4,侧面P AB 是等腰直角三角形,P A =PB ,平面P AB ⊥平面ABCD ,点E ,F 分别是棱AB ,PB 上的点,平面CEF ∥平面P AD .(1)确定点E ,F 的位置,并说明理由;(2)求三棱锥F -DCE 的体积.解:(1)因为平面CEF ∥平面P AD ,平面CEF ∩平面ABCD =CE ,平面P AD ∩平面ABCD =AD ,所以CE ∥AD ,又AB ∥DC ,所以四边形AECD 是平行四边形,所以DC =AE =12AB ,即点E 是AB 的中点.因为平面CEF ∥平面P AD ,平面CEF ∩平面P AB =EF ,平面P AD ∩平面P AB =P A ,所以EF ∥P A ,又点E 是AB 的中点,所以点F 是PB 的中点.综上,E ,F 分别是AB ,PB 的中点.(2)连接PE ,由题意及(1)知P A =PB ,AE =EB ,所以PE ⊥AB ,又平面P AB ⊥平面ABCD ,平面P AB ∩平面ABCD =AB , 所以PE ⊥平面ABCD .又AB ∥CD ,AB ⊥AD ,所以V F DEC =12V P DEC =16S △DEC ×PE =16×12×2×2×2=23.。
高考数学一轮复习课时跟踪检测直线、平面垂直的判定及其性质理

课时跟踪检测(四十三)直线、平面垂直的判定及其性质(一)普通高中适用作业A级一一基础小题练熟练快1 .设a,卩为两个不同的平面,直线I ? a ,则“ I丄卩”是“ a丄卩”成立的()A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D .既不充分也不必要条件解析:选A依题意,由I丄卩,I ? a可以推出a丄卩;反过来,由a丄卩,I ? a 不能推出I丄卩.因此“ I丄卩”是“ a丄卩”成立的充分不必要条件,故选 A.2. 设a为平面,a, b为两条不同的直线,则下列叙述正确的是()A.若a//a, b//a,贝U a// b B .若a 丄a, a// b,贝U b丄aC.若a丄a, a丄b,贝U b/ a D .若a/a, a丄b,贝U b丄a解析:选B若a// a , b// a,则a与b相交、平行或异面,故A错误;易知B正确;若a丄a , a 丄b,贝y b// a或b? a,故C错误;若a//a, a丄b,贝U b / a或b? a或b与a相交,故D错误.3. (2018 •广州一模)设m n是两条不同的直线, a ,卩是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A. 若n? 3 , a丄卩,贝y mL aB. 若ml a , n/ n, n // 3 ,贝U a 丄3C. 若ml n, n? a , n? 3,贝U a丄3D. 若 a / 3 , m? a , n? 3 ,贝U m/ n解析:选B A中m与a的位置关系不能确定,故A错误;T mL a , m〃n,:n 丄a,又n// 3 ,「・a丄3,故B正确;若ml n, m? a , n? 3 ,则a与3的位置关系不确定,故C错误;若a// 3,m? a , n? 3,则m与n平行或异面,故D错误.选B.4.(2018 •天津模拟)设I是直线,a , 3是两个不同的平面,则下列说法正确的是()A.若I // a , I // 3 ,则 a / 3 B .若I // a , I 丄 3 ,贝a 丄3C.若 a L 3 ,I 丄a,贝U I // 3 D .若 a 丄3,I 〃a,则I 丄3解析:选B对于A,若I // a , I // 3 ,贝U a // 3或a与3相交,故A错;易知B 正确;对于C,若a L 3 , I丄a,贝U I //3或I? 3,故C错;对于D,若a丄3 , I // a , 则I与3的位置关系不确定,故D 错.选B.5. 如图,在三棱锥D-ABC中,若AB= CB AD= CD E是AC的中点,则下列命题中正确的是()/ '■*、A. 平面ABC平面ABDB. 平面ABD平面BCDC. 平面ABC平面BDE且平面ACD_平面BDED. 平面ABCL平面ACD且平面ACD_平面BDE解析:选C 因为AB= CB且E是AC的中点,所以BE! AC同理,DEI AC由于DEH BE=E,于是ACL平面BDE因为AC?平面ABC所以平面ABCL平面BDE又AC?平面ACD所以平面ACD_平面BDE故选C.6.(2018 •广州模拟)如图是一个几何体的平面展开图,其中四边形ABCD^正方形,E, F分别为PA PD的中点,在此几何体中,给出下面四个结论:①直线BE与直线CF异面;②直线BE与直线AF异面;③直线EF//平面PBC④平面BCEL平面PAD其中正确结论的个数是()A. 1C. 3解析:选B画出该几何体,如图所示,①因为E, F分别是PAPD的中点,所以EF// AD所以EF/ BC直线BE与直线CF是共面直线,故①不正确;②直线BE与直线AF满足异面直线的定义,故②正确;③ 由E, F分别是PA PD的中点,可知EF/ AD所以EF/ BC因为EF?平面PBC BC?平面PBC所以直线EF/平面PBC故③正确;④因为BE与PA的关系不能确定,所以不能判定平面BCEL平面PAD故④不正确•所以正确结论的个数是 2.7.如图,已知/ BAC= 90°,PC L平面ABC则在△ ABC △ PAC的边所在的直线中,与PC垂直的直线有_________________ ;与AP垂直的直线有解析:••• PC L平面ABC••• PC垂直于直线AB BC AC••• ABL AC,AB丄PC A8 PC= C,• ABL平面PAC又AF?平面PAC• ABLAP,与AP垂直的直线是AB答案:AB BC, ACAB&若a ,卩是两个相交平面,m为一条直线,则下列命题中,所有真命题的序号为①若mLa,则在②若mLa,则在③若m?a,则在④若m?a,则在解析: :对于①,若内一定不存在与m平行的直线;内一定存在无数条直线与m垂直;内不一定存在与m垂直的直线;内一定存在与m垂直的直线.mL a ,如果a ,卩互相垂直,则在平面卩内存在与m平行的直线,故①错误;对于②,若mi a ,则m垂直于平面a内的所有直线,故在平面卩内一定存在无数条直线与m垂直,故②正确;对于③④,若n? a ,则在平面卩内一定存在与m垂直的直线,故③错误,④正确.答案:②④9.在直三棱柱ABGABC中,平面a与棱AB AC, AC, AB分别交于点E, F, G H且直线AA//平面a .有下列三个命题:①四边形EFG是平行四边形;②平面 a // 平面BCCB;③平面a丄平面BCFE其中正确命题的序号是____________解析:如图所示,因为AA //平面a ,平面a门平面AABB= EH所以AA/ EH同理AA/ GF,所以EH// GF又ABGA B C是直三棱柱,易知EH= GF= AA,所以四边形EFGH是平行四边形,故①正确;若平面 a //平面BBCQ,由平面a门平面A B i C i = GH平面BCCB门平面A i B C = BC , 知GH/ B i C i ,而GH/ B C不一定成立,故②错误;由AA丄平面BCFE结合AA / EH知EHL平面BCFE又EH?平面a ,所以平面a丄平面BCFE故③正确.答案:①③1 0.(20 1直线进行翻折,在翻折的过程中,给出下列结论:①存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直;②存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直;③存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直.其中正确结论的序号是AEL BD 解析:①假设AC与BD垂直,过点A作AEL BD于E,连接CE则ACL BD ? BDAE n AC= A 丄平面AEC BDL CE而在平面BCD中 , EC与BD不垂直,故假设不成立,①错误.②假设AE L CD T A吐AD ADH CD= D,••• ABL 平面 ACD••• ABLAC 由 AB <BC 可知,存在这样的等腰直角三角形, 使ABL CD 故假设成立,②正确. ③假设AD L BC•/ DC L BC • BC L 平面 ADC• BC L AC 即厶ABC 为直角三角形,且 AB 为斜边, 而A 扌BC 故矛盾,假设不成立,③错误. 答案:②B 级一一中档题目练通抓牢ABGABC 中,/ BAC= 90°, BC L AC 贝U C 在)B.直线BC 上C. 直线AC 上D. A ABC 内 部解析:选 A 连接 AC (图略),由AC L AB ACL BC , ABA BC = B 得 ACL 平面 ABC vAC ?平面ABC 二平面ABC L 平面 ABC • C 在平面ABC 上的射影 H 必在两平面的交线 AB 上.2.如图所示,在四边形 ABCD 中 , AD// BC AD= AB / BCD= 45°, / BAD= 90° .将厶ADE 沿 BD 折起,使平面 ABDL 平面BCD 构成三棱锥 A BCD 则在三棱锥 A BCD 中,下列结论正确的是()ABCD 中 , AD// BC AD= AB / BCD= 45°, / BAD= 90° ,BD L CD又平面ABDL 平面BCD 且平面 ABD A 平面BCD= BD 故CDL 平面ABD 贝U CDL AB又 AD L AB AD A CD= D, AD ?平面 ADC CD ?平面 ADC 故 ABL 平面 ADC 又AB ?平面ABC •平面ADCL 平面ABC1.如图,在斜三棱柱 底面ABC 上的射影H 必在(A.直线AB 上A.平面 ABDL 平面 ABC B .平面ADCL 平面BDC C.平面 ABC L 平面BDCD .平面ADCL 平面 ABC解析:选D •••在四边形3.如图,在直二棱柱ABC - ABC中,侧棱长为2, AC= BC= 1,/ ACB=90°, D是AB的中点,F是BB上的动点,AB, DF交于点E要使AB丄平面CDF贝熾段BF的长为()1A.2C.2解析:选 A 设BF= x,因为AB丄平面CDF DF?平面CDF,所以AB丄DF.由已知可得AB =护,1设Rt△ AAB斜边AB上的高为h,贝U D吕尹又2X ,-'2= h ;22+—2一2,所以h=孚,Dm#.在Rt△ DBE 中,BE=寸¥ 2—芈2=罟.由面积相等得普x2+卑2=乌彳,解得x=2.4.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PAL底面ABCD且底面各边都要填写一个你认为是正确的条件即可)相等,M是PC上的一动点,当点M满足 _____ 时,平面MB L平面PCD只解析:连接AC则AC L BD•/ PAL底面ABCD 二PA! BD又PA O AC= A,「. BD丄平面PAC••• BDL PC•••当DML PC或BM L PC时,即有PC丄平面MBD而PC?平面PCD•平面MB!平面PCD答案:DM L PC(或BM L PC5. (2018 •兰州实战考试)a ,卩是两平面,AB CD是两条线段,已知 a O卩=EF, ABL a于B, CDL a于D,若增加一个条件,就能得出BDL EF.现有下列条件:① ACL卩;②AC与a ,卩所成的角相等;③ AC与CD在卩内的射影在同一条直线上;④ AC// EF其中能成为增加条件的序号是___________ .解析:由题意得,AB// CD • A, B, C, D四点共面.①中,••• AC L 3 , EF? 3 , • AC L EF,又T ABL a , EF? a ,••• ABL EF,T ABH AC= A,A EF丄平面ABCD又••• BD?平面ABCD:BD L EF,故①正确;②不能得到BD L EF,故②错误;ABC L 卩,又AE L a , AB③中,由AC与CD在卩内的射影在同一条直线上可知平面平面ABCD二平面ABC丄a . •平面ABC丄a ,平面ABC L卩,a H卩=EF, • EF丄平面ABCD又BD?平面ABCD •- BD L EF,故③正确;④中,由①知,若BD L EF,则EFL平面ABCD则EFL AC故④错误,故填①③答案:①③6. (2017 •全国卷I )如图,在四棱锥P-ABCD中 , AB// CD且/ BAF^Z CD2 90°.(1) 证明:平面PABL平面PAD(2) 若PA= PD= AB= DC Z APD= 90°,且四棱锥R ABCD勺体8积为3,求该四棱锥的侧面积.解:⑴证明:由Z BAP=Z CDP= 90° ,得ABL AP CDL PD因为AB// CD所以AB± PD又APH PD= P,所以ABL平面PAD又A田平面PAB所以平面PABL平面PAD⑵如图所示,在平面PAD内作PEL AD垂足为E由(1)知,AB L平面PAD故ABL PE可得PEL平面ABCD设AB= x,则由已知可得AD= :2X , PE=~22X.故四棱锥P-ABCD勺体积1 1 3V P-ABCD= A D・ PE= 3X3.1 8由题设得3X3= 3,故X = 2.3 3从而PA= PD= AB= DC= 2 , AD= BC= 2 2 , PB= PC= 2_:2.可得四棱锥P-ABC啲侧面积为2P A- PD^ 2P A- AB^ ^PD- DO *BC sin 60 ° = 6+ 2:3.7. (2017 •山东高考)由四棱柱 ABCDAiBCD 截去三棱锥 C -BCD 后得到的几何体如图⑵设M 是OD 的中点,证明:平面 AEML 平面BCD.因为ABCDA i B i CD 是四棱柱,所以 AO // OC A i O = OC因此四边形AOCC 为平行四边形,所以 AO// OC,因为OC ?平面BCD, AC ?平面BCD ,所以A i O//平面BCD .⑵ 因为E, M 分别为AD OD 的中点,所以EM/ AO因为AOL BD,所以EM L BD又AE 丄平面 ABCD BD ?平面ABCD所以A i E L BD因为 B i D // BD ,所以 EM L B i D , A i E L B i D ,又 A i E ?平面 A i EM EM ?平面 A i EM A i E H EM= E ,所以B i D 丄平面A EM又B i D ?平面B CD ,所以平面A i EM L 平面B CD .C 级一一重难题目自主选做i .(20 i 8 •湖北七市(州)联考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中将底面为直角三角形的直棱柱称为堑堵,将底面为矩形的棱台称为刍童.在如图所示的堑堵 ABMDCP 与刍童ABCDA i B i C D所示.四边形 ABC [为正方形, E 为AD 的中点, AE 丄平面ABCD(1)证明: AO//平面O 为AC 与 BD 的交点,证明:(1)取BD 的中点1 d_________的组合体中,AB= AD AB = AD.台体体积公式:V= g S'+{§飞+ S)h,其中S', S分别为台体上、下底面的面积,h为台体的高.⑴证明:直线BC L平面MAC(2)若AB= 1, AD = 2, MA=73,三棱锥A-ABD的体积V'= 辔,求该组合体的体积.解:⑴ 证明:由题意可知ABMDCP是底面为直角三角形的直棱柱,•••AC L平面MAB ••• AD丄MA又MA_ AB ADn AB- A, AD?平面ABCD AB?平面ABCD•MAL平面ABCD •- MAL BD又AB= AD •四边形ABC西正方形,• BD L AC又MA C AC=代 MA 平面MAC AC?平面MAC•BC丄平面MAC⑵设刍童ABCDABCD的高为h ,则三棱锥A-ABD的体积V'= 3x l x 2X 2X h=3 2• h= ;3 ,故该组合体的体积V= l x i x .:3X 1+ 3x(12+ 22+,讦X22)x .'3 = ¥ + 号=卫討.2.如图,已知三棱柱ABCA' B' C'的侧棱垂直于底面,AB= AC,/ BAC= 90°,点M N分别为A B和B C'的中点.(1) 证明:MN/平面AA C C;(2) 设AB=入AA ,当入为何值时,CNL平面A MN试证明你的结论.解:(1)证明:如图,取A B'的中点E,连接ME NE因为M, N分别为A B和B C的中点,所以NE/ A C , ME // AA'.又A ' C' ?平面AA C' C, AA' ?平面AA C C,所以M曰平面AA C C, NE//平面AA' C C,又因为M C NE=E,所以平面MN/平面AA' C' C,因为MN平面MNE所以M/平面AA C' C⑵连接BN设AA = a,贝U AB=入AA'=入a,由题意知BC=®a, CN k BN^、J a2+ ?入2a2,因为三棱柱ABCA' B' C的侧棱垂直于底面,所以平面A B C丄平面BB' C C.因为AB= AC,点N是B C的中点,所以A B = A C , A N丄B C ,所以A NX平面BB C C,所以CNL A N要使CNL平面A MN只需CNL BN即可,所以CN+ BN= BC,即卩2 a2+1 入2a2= 2 入2a2, 解得入=2,故当入=,2时,CNL平面A MN。
届数学一轮总复习46直线平面平行的判定及其性质含解析苏教版

课时作业46 直线、平面平行的判定及其性质一、选择题1.如果直线a∥平面α,那么直线a与平面α内的(D) A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交 D.任意一条直线都不相交解析:因为直线a∥平面α,所以直线a与平面α无公共点,所以直线a和平面α内的任意一条直线都不相交,故选D。
2.(2020·福州质检)下列说法中,错误的是(D)A.一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个平面相交B.平行于同一平面的两个不同平面平行C.若直线l与平面α平行,则过平面α内一点和直线l平行的直线在α内D.若直线l不平行于平面α,则在平面α内不存在与l平行的直线解析:如果已知直线与另一个平面不相交,则有两种情形:直线在平面内或与平面平行,不管哪种情形都得出这条直线与第一个平面不能相交,出现矛盾,即A中说法正确;选项B是两个平面平行的一种判定方法,即B中说法正确;由线面平行的性质定理知C中说法正确;选项D中说法是错误的,事实上,直线l不平行于平面α,可能有l⊂α,则α内有无数条直线与l平行.故选D。
3.(2019·全国卷Ⅱ)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是(B)A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α,β平行于同一条直线D.α,β垂直于同一平面解析:对于A,α内有无数条直线与β平行,当这无数条直线互相平行时,α与β可能相交,所以A不正确;对于B,根据两平面平行的判定定理与性质知,B正确;对于C,平行于同一条直线的两个平面可能相交,也可能平行,所以C不正确;对于D,垂直于同一平面的两个平面可能相交,也可能平行,如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面,但它们是相交的,所以D不正确.综上可知选B.4.已知α,β,γ是三个不重合的平面,l是直线.给出下列命题:①若l上两点到α的距离相等,则l∥α;②若l⊥α,l∥β,则α⊥β;③若α∥β,l⊄β,且l∥α,则l∥β.其中正确的命题是(D)A.①②B.①②③C.①③D.②③解析:对于①,若直线l在平面α内,l上有两点到α的距离为0,相等,此时l不与α平行,所以①错误;对于②,因为l ∥β,所以存在直线m⊂β使得l∥m,因为l⊥α,所以m⊥α,又m⊂β,所以β⊥α,所以②正确;对于③,l∥α,故存在m⊂α,使得l∥m,因为α∥β,所以m∥β,因为l∥m,l⊄β,所以l∥β,③正确.故选D.5.在如图所示的三棱柱ABC。
备考2020年高考数学一轮复习:40 直线、平面平行的判定及其性质

备考2020年高考数学一轮复习:40 直线、平面平行的判定及其性质一、单选题(共12题;共24分)1.(2分)若平面α//平面β,直线m⊂α ,n⊂β,则关于直线m、n的位置关系的说法正确的是()A.m∥n B.m、n异面C.m⊥n D.m、n没有公共点2.(2分)平面a与平面β平行的条件可以是()A.a内有无穷多条直线都与β平行B.直线a∥a,a∥B,且直线a不在a内,也不在β内C.直线a ⊂a,直线b ⊂B,且a∥B,b∥aD.a内的任何直线都与β平行3.(2分)在三棱锥P-ABC中,E为线段AB(不包括端点)上一点,则错误的是()A.一定存在唯一的平面a经过点E,使得平面a∥平面PACB.一定存在唯一的平面a经过点E,使得平面a⊥平面PACC.一定存在唯一的平面a经过点E,使得平面a⊥PAD.在平面ABC内,一定存在唯一的直线l经过点E,使得l∥平面PAC4.(2分)如图,L、M、N分别为正方体对应棱的中点,则平面LMN与平面PQR的位置关系是()A.垂直B.相交不垂直C.平行D.重合5.(2分)已知m,n是不重合的直线,α,β是不重合的平面,有下列命题:①若m⊂α,n//α,则m//n;②若m//α,m//β,则α//β;③若α∩β=n,m//n,则m//α且m//β;④若m⊥α,m⊥β,则α//β.其中真命题的个数是()A.0B.1C.2D.36.(2分)在下列条件中,可判定平面α与平面β平行的是()A.,都平行于直线B.内存不共线的三点到的距离相等C.,是内的两条直线,且,D.,是两条异面直线,且,,,7.(2分)下列四面体中,直线EF与MN可能平行的是()A.B.C.D.8.(2分)如图,空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,则EF与平面BCD的位置关系是()A.相交B.平行C.在平面内D.不能确定9.(2分)如图,四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN∥平面PAD,则()A.MN∥PD B.MN∥PAC.MN∥AD D.以上均有可能10.(2分)下列四个命题中,正确的是()①夹在两条平行线间的平行线段相等;②夹在两条平行线间的相等线段平行;③如果一条直线和一个平面平行,那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等;④如果一条直线和一个平面平行,那么夹在这条直线和平面间的相等线段平行A.①③B.①②C.②③D.③④11.(2分)平面α与△ABC的两边AB,AC分别交于点D,E,且AD︰DB=AE︰EC,如图,则BC与α的位置关系是()A.平行B.相交C.平行或相交D.异面12.(2分)下列说法中正确的个数是()①平面α与平面β,γ都相交,则这三个平面有2条或3条交线;②如果a,b是两条直线,a∥b,那么a平行于经过b的任何一个平面;③直线a不平行于平面α,则a不平行于α内任何一条直线;④如果α∥β,a∥α,那么a∥β.A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题(共4题;共4分)13.(1分)下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在的棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是14.(1分)α、β是两个平面,m、n是两条直线,有下列四个命题:①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n. ③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β. ④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号)15.(1分)如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论中:①PB⊥AE;②平面ABC⊥平面PBC;③直线BC∥平面PAE;④∠PDA=45°.其中正确的有(把所有正确的序号都填上).16.(1分)三棱锥S-ABC中,G为△ABC的重心,E在棱SA上,且AE=2ES,则EG与平面SBC 的关系为.三、解答题(共5题;共45分)17.(10分)如图,四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形,M为PC中点.(1)(5分)求证:BA∥平面PCD;(2)(5分)求证:AP∥平面MBD.18.(10分)如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:(1)(5分)GH∥面ABC(2)(5分)平面EFA1∥平面BCHG.19.(10分)如图所示,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别为AB,PC的中点,平面PAD ∩平面PBC=l.(1)(5分)求证:BC∥l;(2)(5分)MN与平面PAD是否平行?试证明你的结论.20.(5分)在四棱锥P−ABCD中,底面ABCD是菱形,且PB=PD,若平面PBC与平面PAD的交线为l.求证:BC∥l.21.(10分)如图1是图2的三视图,在三棱锥B-ACD中,E,F分别是棱AB,AC的中点.(1)(5分)求证:BC//平面DEF;(2)(5分)求三棱锥A-DEF的体积.答案解析部分1.【答案】D【解析】【解答】解:若平面α∥平面β,直线m⊂α,,直线n⊂β,则α,β无公共点,即m∥n或m,n异面,即m,n没有公共点。
高考数学一轮复习课时跟踪检测(四十二)直线、平面平行的判定及其性质理(重点高中)

课时跟踪检测(四十二)直线、平面平行的判定及其性质(二)重点高中适用作业A级——保分题目巧做快做1.(2017·全国卷Ⅰ)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( )解析:选A 法一:对于选项B,如图所示,连接CD,因为AB∥CD,M,Q分别是所在棱的中点,所以MQ∥CD,所以AB∥MQ.又AB⊄平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C、D中均有AB∥平面MNQ.故选A.法二:对于选项A,设正方体的底面对角线的交点为O(如图所示),连接OQ,则OQ∥AB.因为OQ与平面MNQ有交点,所以AB与平面MNQ有交点,即AB与平面MNQ不平行,根据直线与平面平行的判定定理及三角形的中位线性质知,选项B、C、D中AB∥平面MNQ.故选A.2.(2018·湘中名校联考)已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,下列命题中正确的是( )A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m∥α,m∥β,则α∥βC.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βD.若m⊥α,n⊥α,则m∥n解析:选D A中,两直线可能平行、相交或异面;B中,两平面可能平行或相交;C 中,两平面可能平行或相交;D中,由线面垂直的性质定理可知结论正确,故选D.3.(2018·合肥质检)若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形,则该三棱锥中与平面α平行的棱有( )A.0条B.1条C.2条 D.0条或2条解析:选 C 因为平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形,所以该三棱锥中与平面α平行的棱有2条,故选C.4.(2018·陕西西安中学月考)已知m ,n 是两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列四个命题中正确的是( )A .若m ⊥α,n ⊥β,m ⊥n ,则α⊥βB .若m ∥α,n ∥β,m ⊥n ,则α∥βC .若m ⊥α,n ∥β,m ⊥n ,则α∥βD .若m ⊥α,n ∥β,α∥β,则m ∥n解析:选A 借助于长方体模型解决.过直线m ,n 作平面γ,可以得到平面α,β所成的二面角为直二面角,如图(1),故α⊥β,A 正确;B 的反例如图(2);C 的反例如图(3);D 中由m ⊥α,α∥β可得m ⊥β,过n 作平面γ可得n 与γ与β的交线g 平行,则m ⊥g ,故m ⊥n ,D 错误,故选A.5.设l ,m ,n 表示不同的直线,α,β,γ表示不同的平面,给出下列三个命题: ①若m ∥l ,且m ⊥α,则l ⊥α;②若α∩β=l ,β∩γ=m ,γ∩α=n ,则l ∥m ∥n ;③若α∩β=m ,β∩γ=l ,γ∩α=n ,且n ∥β,则l ∥m .其中正确命题的个数是( )A .0B .1C .2D .3解析:选C ①正确;②中三条直线也可能相交于一点,故错误;③正确,所以正确的命题有2个.6.如图,在四棱锥V ABCD 中,底面ABCD 为正方形,E ,F 分别为侧棱VC ,VB 上的点,且满足VC =3EC ,AF ∥平面BDE ,则VBFB=________.解析:连接AC 交BD 于点O ,连接EO ,取VE 的中点M ,连接AM ,MF ,由VC =3EC ⇒VM =ME =EC .又AO =CO ⇒AM ∥EO ⇒AM ∥平面BDE .又由题意知AF ∥平面BDE ,∴平面AMF ∥平面BDE ⇒MF ∥平面BDE ⇒MF ∥BE ⇒VF =FB ⇒VB FB =2. 答案:2 7.如图是长方体被一平面截得的几何体,四边形EFGH 为截面,则四边形EFGH 的形状为________. 解析:∵平面ABFE ∥平面DCGH ,平面EFGH ∩平面ABFE =EF ,平面EFGH ∩平面DCGH =HG ,∴EF ∥HG .同理,EH ∥FG ,∴四边形EFGH是平行四边形.答案:平行四边形8.如图所示,设正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,点P 是棱AD 上一点,且AP =a 3,过B 1,D 1,P 的平面交平面ABCD 于PQ ,Q 在直线CD 上,则PQ =________.解析:∵平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ,而平面B 1D 1P ∩平面ABCD =PQ ,平面B 1D 1P ∩平面A 1B 1C 1D 1=B 1D 1,∴B 1D 1∥PQ .又∵B 1D 1∥BD ,∴BD ∥PQ ,设PQ ∩AB =M ,∵AB ∥CD ,∴△APM ∽△DPQ .∴PQ PM =PD AP=2,即PQ =2PM .又知△APM ∽△ADB , ∴PM BD =AP AD =13, ∴PM =13BD ,又BD =2a ,∴PQ =223a . 答案:223a 9.如图,四边形ABCD 与四边形ADEF 为平行四边形,M ,N ,G 分别是AB ,AD ,EF 的中点,求证:(1)BE ∥平面DMF ;(2)平面BDE ∥平面MNG .证明:(1)如图,连接AE ,设DF 与GN 的交点为O ,则AE 必过DF 与GN 的交点O .连接MO ,则MO 为△ABE 的中位线,所以BE ∥MO .又BE ⊄平面DMF ,MO ⊂平面DMF ,所以BE ∥平面DMF .(2)因为N ,G 分别为平行四边形ADEF 的边AD ,EF 的中点,所以DE ∥GN .又DE ⊄平面MNG ,GN ⊂平面MNG ,所以DE ∥平面MNG .又M 为AB 中点,所以MN 为△ABD 的中位线,所以BD ∥MN .又BD ⊄平面MNG ,MN ⊂平面MNG ,所以BD ∥平面MNG .又DE ⊂平面BDE ,BD ⊂平面BDE ,DE ∩BD =D ,所以平面BDE ∥平面MNG .10.如图,四棱锥P ABCD 中,AB ∥CD ,AB =2CD ,E 为PB 的中点.(1)求证:CE ∥平面PAD .(2)在线段AB 上是否存在一点F ,使得平面PAD ∥平面CEF ?若存在,证明你的结论,若不存在,请说明理由.解:(1)证明:取PA 的中点H ,连接EH ,DH ,因为E 为PB 的中点,所以EH ∥AB ,EH =12AB , 又AB ∥CD ,CD =12AB , 所以EH ∥CD ,EH =CD ,因此四边形DCEH 是平行四边形,所以CE ∥DH ,又DH ⊂平面PAD ,CE ⊄平面PAD ,因此CE ∥平面PAD .(2)存在点F 为AB 的中点,使平面PAD ∥平面CEF ,证明如下:取AB 的中点F ,连接CF ,EF ,所以AF =12AB , 又CD =12AB ,所以AF =CD , 又AF ∥CD ,所以四边形AFCD 为平行四边形,因此CF ∥AD ,又AD ⊂平面PAD ,CF ⊄平面PAD ,所以CF ∥平面PAD ,由(1)可知CE ∥平面PAD ,又CE ∩CF =C ,故平面CEF ∥平面PAD ,故存在AB 的中点F 满足要求.B 级——拔高题目稳做准做1.如图,在四面体ABCD 中,若截面PQMN 是正方形,则下列结论中错误的是( )A .AC ⊥BDB .AC ∥截面PQMNC .AC =BDD .异面直线PM 与BD 所成的角为45°解析:选C ∵MN ∥PQ ,MN ⊂平面ACD ,PQ ⊄平面ACD ,∴PQ ∥平面ACD .又平面ACD ∩平面ABC =AC ,∴PQ ∥AC ,从而AC ∥截面PQMN ,B 正确;同理可得MQ ∥BD ,∵MQ ⊥PQ ,PQ ∥AC ,∴AC ⊥BD ,A 正确;∵MQ ∥BD ,∠PMQ =45°,∴异面直线PM 与BD 所成的角为45°,故D 正确;根据已知条件无法得到AC ,BD 长度之间的关系,故C 错误.2.在如图所示的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别为棱AB 和棱AA 1的中点,点M ,N 分别为线段D 1E ,C 1F 上的点,则与平面ABCD 平行的直线MN 有( )A .无数条B .2条C .1条D .0条解析:选A 法一:取BB 1的中点H ,连接FH,则FH∥C1D1,连接HE,D1H,在D1E上任取一点M,取D1E的中点O,连接OH,在平面D1HE中,作MG平行于HO,交D1H于G,连接DE,取DE的中点K,连接KB,OK,则易证得OH∥KB.过G作GN∥FH,交C1F于点N,连接MN,由于GM∥HO,HO∥KB,KB⊂平面ABCD,GM⊄平面ABCD,所以GM∥平面ABCD,同理,NG∥平面ABCD,又GM∩NG=G,由面面平行的判定定理得,平面MNG∥平面ABCD,则MN∥平面ABCD.由于M为D1E上任意一点,故与平面ABCD平行的直线MN有无数条.故选A.法二:因为直线D1E,C1F与平面ABCD都相交,所以只需要把平面ABCD向上平移,与线段D1E的交点为M,与线段C1F的交点为N,由面面平行的性质定理知MN∥平面ABCD,故有无数条直线MN∥平面ABCD,故选A.3.(2018·郑州质检)如图,在直三棱柱ABCA′B′C′中,△ABC是边长为2的等边三角形,AA′=4,E,F,G,H,M分别是边AA′,AB,BB′,A′B′,BC的中点,动点P在四边形EFGH内部运动,并且始终有MP∥平面ACC′A′,则动点P的轨迹长度为( )A.2 B.2πC.2 3 D.4解析:选D 连接MF,FH,MH,因为M,F,H分别为BC,AB,A′B′的中点,所以MF ∥AC,FH∥AA′,所以MF∥平面AA′C′C,FH∥平面AA′C′C,因为MF∩FH=F,所以平面MFH∥平面AA′C′C,所以M与线段FH上任意一点的连线都平行于平面AA′C′C,所以点P的运动轨迹是线段FH,其长度为4,故选D.4.如图,矩形ABCD中,E为边AB的中点,将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点,则在△ADE翻转过程中,正确的命题是________.①MB是定值;②点M在圆上运动;③一定存在某个位置,使DE⊥A1C;④一定存在某个位置,使MB∥平面A1DE.解析:取DC中点N,连接MN,NB,则MN∥A 1D,NB∥DE,∴平面MNB ∥平面A 1DE ,∵MB ⊂平面MNB ,∴MB ∥平面A 1DE ,④正确;∠A 1DE =∠MNB ,MN =12A 1D =定值,NB =DE =定值,根据余弦定理得,MB 2=MN 2+NB 2-2MN ·NB ·cos ∠MNB ,所以MB 是定值,①正确;B 是定点,所以M 是在以B 为圆心,MB 为半径的圆上,②正确;当矩形ABCD 满足AC ⊥DE 时存在,其他情况不存在,③不正确.所以①②④正确.答案:①②④5.如图,已知平行四边形ABCD 与直角梯形ABEF 所在的平面互相垂直,且AB =BE =12AF =1,BE ∥AF ,AB ⊥AF ,∠CBA =π4,BC =2,P 为DF 的中点.(1)求证:PE ∥平面ABCD ;(2)求三棱锥A BCE 的体积.解:(1)证明:取AD 的中点M ,连接MP ,MB ,∵P 为DF 的中点,∴MP 綊12AF . 又BE 綊12AF ,∴BE 綊MP , ∴四边形BEPM 是平行四边形,∴PE ∥MB .又PE ⊄平面ABCD ,MB ⊂平面ABCD .∴PE ∥平面ABCD .(2)在△ABC 中,由余弦定理可得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC cos ∠CBA =1+(2)2-2×1×2×cos π4=1,∴AC =1,∴AC 2+AB 2=BC 2,∴AC ⊥AB .∵平面ABCD ⊥平面ABEF ,平面ABCD ∩平面ABEF =AB ,∴AC ⊥平面ABEF .∵S △ABE =12BE ·AB =12×1×1=12, ∴V A BCE =V C ABE =13S △ABE ×AC =13×12×1=16. 6.(2018·黑龙江一模)如图,在三棱锥P ABC 中,D ,E 分别为PA ,AC 的中点.(1)求证:DE ∥平面PBC ;(2)试问在线段AB上是否存在点F,使得过D,E,F三点的平面内的任一条直线都与平面PBC平行?若存在,指出点F的位置并证明;若不存在,请说明理由.解:(1)证明:因为E为AC的中点,D为PA的中点,所以DE∥PC.又DE⊄平面PBC,PC⊂平面PBC,所以DE∥平面PBC.(2)存在,当点F是线段AB的中点时,过D,E,F三点的平面内的任一条直线都与平面PBC平行.证明如下:如图,取AB的中点F,连接EF,DF.由(1)可知DE∥平面PBC.因为E是AC的中点,F为AB的中点,所以EF∥BC.又EF⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以EF∥平面PBC.又DE∩EF=E,所以平面DEF∥平面PBC,所以平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行.故当点F是线段AB的中点时,过D,E,F三点的平面内的任一条直线都与平面PBC平行.。
高中数学专题-直线、平面平行的判定及其性质

直线、平面平行的判定及其性质一、线线平行的证明方法(一)利用平行四边形;(二)利用三角形或梯形的中位线或平移;(三)如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行;(线面平行的性质定理)(四)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行;(面面平行的性质定理)(五)如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行;(线面垂直的性质定理)(六)平行于同一条直线的两条直线平行;(七)夹在两个平行平面之间的平行线段相等。
(需证明)二、线面平行的证明方法(一)定义法:直线与平面没有公共点;(二)如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行;(线面平行的判定定理)(三)两个平面平行,其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。
三、面面平行的证明方法(一)定义法:两平面没有公共点;(二)如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行;(面面平行的判定定理)(三)平行于同一平面的两个平面平行;(四)经过平面外一点,有且只有一个平面和已知平面平行;(五)垂直于同一直线的两个平面平行。
相关例题1.通过“平移”再利用平行四边形的性质① 如图,四棱锥P -ABCD 的底面是平行四边形,点E 、F 分别为棱AB 、 PD 的中点.求证:AF ∥平面PCE ;② 如图,已知直角梯形ABCD 中,AB ∥CD,AB ⊥BC,AB =1,BC =2,CD =1+3,过A 作AE ⊥CD,垂足为E,G 、F分别为AD 、CE 的中点,现将△ADE 沿AE 折叠,使得DE ⊥EC.(Ⅰ)求证:BC ⊥面CDE ; (Ⅱ)求证:FG ∥面BCD ;③ 已知直三棱柱ABC -A1B1C1中,D, E, F 分别为AA1, CC1, AB 的中点, M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证:(Ⅰ)C1D ⊥BC ; (Ⅱ)C1D ∥平面B1FM.DA 1AF(第1题图)④如图所示, 四棱锥P-ABCD底面是直角梯形,,,ADCDADBA⊥⊥CD=2AB, E为PC的中点, 证明://EB PAD平面;【相关点拨】①取PC的中点G,连EG.,FG,则易证AEGF是平行四边形;②取DB的中点H,连GH,HC则易证FGHC是平行四边形;③连EA,易证C1EAD是平行四边形,于是MF//EA;④取PD的中点F,连EF,AF则易证ABEF是平行四边形2.利用三角形、梯形中位线的性质①如图,已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点,求证:AM∥平面EFG。
高中数学直线、平面平行的判定与性质

例2 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B1,A1D1 的中点,E,F分别为B1C1,C1D1的中点.
(1)求证:四边形BDFE为梯形; (2)求证:平面AMN∥平面EFDB.
解题导引
1 (1)在△B1D1C1中得EF∥B1D1且EF= 2 B1D1 在正方体中得 1 BD������ B1D1 EF∥BD且EF= BD 四边形BDFE为梯形 2
证明 证法一:如图所示,作PM∥AB交BE于M,作QN∥AB交BC于N,连接 MN. ∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB,∴AE=BD. 又AP=DQ,∴PE=QB, 又PM∥AB∥QN, ∴ = = = ,∴ = , 又AB=DC, ∴PM������ QN,∴四边形PMNQ为平行四边形, ∴PQ∥MN. 又MN⊂平面BCE,PQ⊄平面BCE, ∴PQ∥平面BCE.§8Leabharlann 4直线、平面平行的判定与性质
知识清单
考点 直线、平面平行的判定与性质
1.判定直线与直线平行的方法
(1)平行公理:a∥b,b∥c⇒① a∥c ; (2)线面平行的性质定理:a∥β,a⊂α,α∩β=b⇒② a∥b ;
(3)面面平行的性质定理:α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b⇒③ a∥b ;
(4)垂直于同一个平面的两条直线④ 平行 ; (5)如果一条直线与两个相交平面都平行,那么这条直线必与它们的交 线平行.
∴ = ,
∴MQ∥AD,又AD∥BC, ∴MQ∥BC,∴MQ∥平面BCE,又PM∩MQ=M,
∴平面PMQ∥平面BCE,
又PQ⊂平面PMQ,∴PQ∥平面BCE.
方法 2 判定或证明面面平行的方法
1.利用面面平行的定义(此法一般伴随反证法证明). 2.利用面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于 另一个平面,那么这两个平面平行. 3.证明两个平面都垂直于同一条直线. 4.证明两个平面同时平行于第三个平面.
(完整版)直线与平面平行的判定和性质经典练习及详细答案

直线、平面平行的判定及其性质1. 下列命题中,正确命题的是 ④ 。
①若直线l 上有无数个点不在平面α内,则l ∥α;②若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一条直线都平行; ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条直线也与这个平面平行;④若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点。
2. 下列条件中,不能判断两个平面平行的是 (填序号)。
①一个平面内的一条直线平行于另一个平面 ②一个平面内的两条直线平行于另一个平面 ③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 答案 ①②③3. 对于平面α和共面的直线m 、n,下列命题中假命题是 (填序号). ①若m ⊥α,m ⊥n,则n ∥α ②若m ∥α,n ∥α,则m ∥n ③若m ⊂α,n ∥α,则m ∥n④若m 、n 与α所成的角相等,则m ∥n 答案 ①②④ 4. 已知直线a ,b,平面α,则以下三个命题: ①若a ∥b,b ⊂α,则a ∥α; ②若a ∥b ,a ∥α,则b ∥α; ③若a ∥α,b ∥α,则a ∥b 。
其中真命题的个数是 . 答案 05. 直线a //平面M ,直线b ⊂/M ,那么a //b 是b //M 的 条件。
A.充分而不必要 B.必要而不充分 C 。
充要 D 。
不充分也不必要6. 能保证直线a 与平面α平行的条件是 A 。
b a b a //,,αα⊂⊄ B 。
b a b //,α⊂ C.c a b a c b //////,,,αα⊂D 。
b D b C a B a A b ∈∈∈∈⊂,,,,α且BD AC =7. 如果直线a 平行于平面α,则A.平面α内有且只有一直线与a 平行B.平面α内无数条直线与a 平行C.平面α内不存在与a 平行的直线D.平面α内的任意直线与直线a 都平行8. 如果两直线a ∥b ,且a ∥平面α,则b 与α的位置关系A 。
高考数学一轮复习课时跟踪检测四十直线平面平行的判定与性质含解析

课时跟踪检测(四十) 直线、平面平行的判定与性质1.(2019·西安模拟)设α,β是两个平面,直线a ⊂α,则“a ∥β”是“α∥β”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选B 依题意,由a ⊂α,a ∥β不能推出α∥β,此时平面α与β可能相交;反过来,由α∥β,a ⊂α,可得a ∥β.综上所述,“a ∥β”是“α∥β”的必要不充分条件,选B.2.(2019·四川名校联考)如图,正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,M ,N 分别为A 1B 和AC 上的点,A 1M =AN =23a ,则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A .相交B .平行C .垂直D .不能确定解析:选B 由题可得A 1M =13A 1B ,AN =13AC ,所以分别取BC ,BB 1上的点P ,Q ,使得CP =23BC ,B Q =23BB 1,连接M Q ,NP ,P Q ,则M Q 綊23B 1A 1,NP 綊23AB ,又B 1A 1綊AB ,故M Q 綊NP ,所以四边形M Q PN 是平行四边形,则MN ∥Q P ,Q P ⊂平面BB 1C 1C ,MN ⊄平面BB 1C 1C ,则MN ∥平面BB 1C 1C ,故选B.3.(2019·枣庄诊断)如图,直三棱柱ABC A ′B ′C ′中,△ABC 是边长为2的等边三角形,AA ′=4,点E ,F ,G ,H ,M 分别是边AA ′,AB ,BB ′,A ′B ′,BC 的中点,动点P 在四边形EFGH 内部运动,并且始终有MP ∥平面ACC ′A ′,则动点P 的轨迹长度为( )A .2B .2πC .2 3D .4解析:选D 连接MF ,FH ,MH ,因为M ,F ,H 分别为BC ,AB ,A ′B ′的中点,所以MF ∥平面AA ′C ′C ,FH ∥平面AA ′C ′C ,所以平面MFH ∥平面AA ′C ′C ,所以M 与线段FH 上任意一点的连线都平行于平面AA ′C ′C ,所以点P 的运动轨迹是线段FH ,其长度为4,故选D.4.(2019·成都模拟)已知直线a ,b 和平面α,下列说法中正确的是( )A .若a ∥α,b ⊂α,则a ∥bB .若a ⊥α,b ⊂α,则a ⊥bC .若a ,b 与α所成的角相等,则a ∥bD.若a∥α,b∥α,则a∥b解析:选B 对于A,若a∥α,b⊂α,则a∥b或a与b异面,故A错;对于B,利用线面垂直的性质,可知若a⊥α,b⊂α,则a⊥b,故B正确;对于C,若a,b与α所成的角相等,则a与b相交、平行或异面,故C错;对于D,由a∥α,b∥α,则a,b之间的位置关系可以是相交、平行或异面,故D错.5.(2017·全国卷Ⅰ)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MN Q不平行的是( )解析:选A 法一:对于选项B,如图所示,连接CD,因为AB∥CD,M,Q分别是所在棱的中点,所以M Q∥CD,所以AB∥M Q .又AB⊄平面MN Q,M Q⊂平面MN Q,所以AB∥平面MN Q.同理可证选项C、D中均有AB∥平面MN Q.故选A.法二:对于选项A,设正方体的底面对角线的交点为O(如图所示),连接O Q,则O Q∥AB.因为O Q与平面MN Q有交点,所以AB与平面MN Q有交点,即AB与平面MN Q不平行,根据直线与平面平行的判定定理及三角形的中位线性质知,选项B、C、D中AB∥平面MN Q.故选A.6.已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中正确的是( )A.若α⊥γ,α⊥β,则γ∥βB.若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥βC.若m∥n,m⊥α,n⊥β,则α∥βD.若m∥n,m∥α,则n∥α解析:选C 对于A,若α⊥γ,α⊥β,则γ∥β或γ与β相交;对于B,若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥β或α与β相交;易知C正确;对于D,若m∥n,m∥α,则n∥α或n在平面α内.故选C.7.如图所示,三棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形,设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD,则A1D∶DC1的值为________.解析:设BC 1∩B 1C =O ,连接OD .∵A 1B ∥平面B 1CD 且平面A 1BC 1∩平面B 1CD =OD ,∴A 1B ∥OD ,∵四边形BCC 1B 1是菱形,∴O 为BC 1的中点,∴D 为A 1C 1的中点,则A 1D ∶DC 1=1.答案:18.已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1,下列结论中,正确的是________(只填序号). ①AD 1∥BC 1;②平面AB 1D 1∥平面BDC 1;③AD 1∥DC 1;④AD 1∥平面BDC 1.解析:连接AD 1,BC 1,AB 1,B 1D 1,C 1D ,BD ,因为AB 綊C 1D 1,所以四边形AD 1C 1B 为平行四边形,故AD 1∥BC 1,从而①正确;易证BD ∥B 1D 1,AB 1∥DC 1,又AB 1∩B 1D 1=B 1,BD ∩DC 1=D ,故平面AB 1D 1∥平面BDC 1,从而②正确;由图易知AD 1与DC 1异面,故③错误;因为AD 1∥BC 1,AD 1⊄平面BDC 1,BC 1⊂平面BDC 1,故AD 1∥平面BDC 1,故④正确.答案:①②④9.在三棱锥P ABC 中,PB =6,AC =3,G 为△PAC 的重心,过点G 作三棱锥的一个截面,使截面平行于PB 和AC ,则截面的周长为________.解析:如图,过点G 作EF ∥AC ,分别交PA ,PC 于点E ,F ,过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ,过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ,连接MN ,则四边形EFMN 是平行四边形(平面EFMN 为所求截面),且EF =MN =23AC =2,FM =EN =13PB =2,所以截面的周长为2×4=8. 答案:810.(2019·南宁毕业班摸底)如图,△ABC 中,AC =BC =22AB ,四边形ABED 是边长为1的正方形,平面ABED ⊥底面ABC ,G ,F 分别是EC ,BD 的中点.(1)求证:GF ∥底面ABC ;(2)求几何体ADEBC 的体积.解:(1)证明:如图,取BC 的中点M ,AB 的中点N ,连接GM ,FN ,MN .∵G ,F 分别是EC ,BD 的中点,∴GM ∥BE ,且GM =12BE ,NF ∥DA ,且NF =12DA .又四边形ABED 为正方形,∴BE ∥AD ,BE =AD ,∴GM ∥NF 且GM =NF .∴四边形MNFG 为平行四边形.∴GF ∥MN ,又MN ⊂平面ABC ,GF ⊄平面ABC ,∴GF ∥平面ABC .(2)连接CN ,∵AC =BC ,∴CN ⊥AB ,又平面ABED ⊥平面ABC ,CN ⊂平面ABC ,∴CN ⊥平面ABED .易知△ABC 是等腰直角三角形,∴CN =12AB =12, ∵C ABED 是四棱锥,∴V C ABED =13S 四边形ABED ·CN =13×1×12=16. 11.如图,四边形ABCD 与四边形ADEF 为平行四边形,M ,N ,G 分别是AB ,AD ,EF 的中点,求证:(1)BE ∥平面DMF ;(2)平面BDE ∥平面MNG .证明:(1)如图,连接AE ,设DF 与GN 的交点为O ,则AE 必过DF 与GN 的交点O .连接MO ,则MO 为△ABE 的中位线,所以BE ∥MO .又BE ⊄平面DMF ,MO ⊂平面DMF ,所以BE ∥平面DMF .(2)因为N ,G 分别为平行四边形ADEF 的边AD ,EF 的中点,所以DE ∥GN .又DE ⊄平面MNG ,GN ⊂平面MNG ,所以DE ∥平面MNG .又M 为AB 的中点,所以MN 为△ABD 的中位线,所以BD ∥MN .又BD ⊄平面MNG ,MN ⊂平面MNG ,所以BD ∥平面MNG .又DE ⊂平面BDE ,BD ⊂平面BDE ,DE ∩BD =D ,所以平面BDE ∥平面MNG .12.(2019·河南八市联考)如图,在矩形ABCD 中,AB =1,AD=2,PA ⊥平面ABCD ,E ,F 分别为AD ,PA 的中点,点Q 是BC 上一个动点.(1)当Q 是BC 的中点时,求证:平面BEF ∥平面PD Q ;(2)当BD ⊥F Q 时,求B Q Q C的值. 解:(1)证明:∵E ,Q 分别是AD ,BC 的中点,∴ED =B Q ,ED ∥B Q ,∴四边形BED Q 是平行四边形,∴BE ∥D Q.又BE ⊄平面PD Q ,D Q ⊂平面PD Q ,∴BE ∥平面PD Q ,又F 是PA 的中点,∴EF ∥PD ,∵EF ⊄平面PD Q ,PD ⊂平面PD Q ,∴EF ∥平面PD Q ,∵BE ∩EF =E ,BE ⊂平面BEF ,EF ⊂平面BEF ,∴平面BEF ∥平面PD Q.(2)如图,连接A Q ,∵PA ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,∴PA ⊥BD .∵BD ⊥F Q ,PA ∩F Q =F ,PA ⊂平面PA Q ,F Q ⊂平面PA Q ,∴BD ⊥平面PA Q ,∵A Q ⊂平面PA Q ,∴A Q ⊥BD ,在矩形ABCD 中,由A Q ⊥BD 得△A Q B 与△DBA 相似,∴AB 2=AD ×B Q ,又AB =1,AD =2,∴B Q =12,Q C =32,∴B Q Q C =13.。
高考数学一轮总复习 课时跟踪检测(四十五) 直线、平面平行的判定及其性质 理 新人教版-新人教版高三

课时跟踪检测(四十五) 直线、平面平行的判定及其性质一抓基础,多练小题做到眼疾手快1.设α,β是两个不同的平面,m,n是平面α内的两条不同直线,l1,l2是平面β内的两条相交直线,则α∥β的一个充分不必要条件是( )A.m∥l1且n∥l2B.m∥β且n∥l2C.m∥β且n∥β D.m∥β且l1∥α解析:选A 由m∥l1,m⊂α,l1⊂β,得l1∥α,同理l2∥α,又l1,l2相交,所以α∥β,反之不成立,所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一个充分不必要条件.2.设m,n是不同的直线,α,β是不同的平面,且m,n⊂α,则“α∥β”是“m ∥β且n∥β”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析:选A 若m,n⊂α,α∥β,则m∥β且n∥β;反之若m,n⊂α,m∥β且n ∥β,则α与β相交或平行,即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件.3.下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )A.①③ B.②③C.①④ D.②④解析:选C 对于图形①,平面MNP与AB所在的对角面平行,即可得到AB∥平面MNP;对于图形④,AB∥PN,即可得到AB∥平面MNP;图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行.4.若平面α∥平面β,直线a∥平面α,点B∈β,则在平面β内且过B点的所有直线中( )A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线C.存在无数条与a平行的直线D.存在唯一与a平行的直线解析:选A 当直线a在平面β内且过B点时,不存在与a平行的直线,故选A.5.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,则点Q满足条件________时,有平面D1BQ∥平面PAO.解析:如图所示,假设Q为CC1的中点,因为P为DD1的中点,所以QB∥PA.连接DB,因为P,O分别是DD1,DB的中点,所以D1B∥PO,又D1B⊄平面PAO,QB⊄平面PAO,所以D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO,又D1B∩QB=B,所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q满足条件Q为CC1的中点时,有平面D1BQ∥平面PAO.答案:Q为CC1的中点二保高考,全练题型做到高考达标1.已知直线a,b,平面α,则以下三个命题:①若a∥b,b⊂α,则a∥α;②若a∥b,a∥α,则b∥α;③若a∥α,b∥α,则a∥b.其中真命题的个数是( )A.0 B.1C.2 D.3解析:选A 对于①,若a∥b,b⊂α,则应有a∥α或a⊂α,所以①是假命题;对于②,若a∥b,a∥α,则应有b∥α或b⊂α,因此②是假命题;对于③,若a∥α,b∥α,则应有a∥b或a与b相交或a与b异面,因此③是假命题.综上,在空间中,以上三个命题都是假命题.2.(2016·某某模拟)已知直线a,b异面,给出以下命题:①一定存在平行于a的平面α使b⊥α;②一定存在平行于a的平面α使b∥α;③一定存在平行于a的平面α使b⊂α;④一定存在无数个平行于a的平面α与b交于一定点.则其中论断正确的是( )A.①④ B.②③C.①②③ D.②③④解析:选D 对于①,若存在平面α使得b⊥α,则有b⊥a,而直线a,b未必垂直,因此①不正确;对于②,注意到过直线a,b外一点M分别引直线a,b的平行线a1,b1,显然由直线a1,b1可确定平面α,此时平面α与直线a,b均平行,因此②正确;对于③,注意到过直线b上的一点B作直线a2与直线a平行,显然由直线b与a2可确定平面α,此时平面α与直线a平行,且b⊂α,因此③正确;对于④,在直线b上取一定点N,过点N 作直线c与直线a平行,经过直线c的平面(除由直线a与c所确定的平面及直线c与b所确定的平面之外)均与直线a平行,且与直线b相交于一定点N,因此④正确.综上所述,②③④正确.3.平面α∥平面β的一个充分条件是( )A.存在一条直线a,a∥α,a∥βB.存在一条直线a,a⊂α,a∥βC.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥αD.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α解析:选D 若α∩β=l,a∥l,a⊄α,a⊄β,则a∥α,a∥β,故排除A.若α∩β=l,a⊂α,a∥l,则a∥β,故排除B.若α∩β=l,a⊂α,a∥l,b⊂β,b∥l,则a ∥β,b∥α,故排除C.故选D.4.(2016·襄阳模拟)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是( )A.MN与CC1垂直 B.MN与AC垂直C.MN与BD平行 D.MN与A1B1平行解析:选D 如图所示,连接C 1D ,BD ,则MN ∥BD ,而C 1C ⊥BD ,故C 1C ⊥MN ,故A 、C 正确,D 错误,又因为AC ⊥BD ,所以MN ⊥AC ,B 正确.5.(2015·某某模拟)在三棱锥S ABC 中,△ABC 是边长为6的正三角形,SA =SB =SC =15,平面DEFH 分别与AB ,BC ,SC ,SA 交于D ,E ,F ,H ,D ,E 分别是AB ,BC 的中点,如果直线SB ∥平面DEFH ,那么四边形DEFH 的面积为( )A .452B .4532C .45D .45 3解析:选A 取AC 的中点G ,连接SG ,BG .易知SG ⊥AC ,BG ⊥AC ,故AC ⊥平面SGB ,所以AC ⊥SB .因为SB ∥平面DEFH ,SB ⊂平面SAB ,平面SAB ∩平面DEFH =HD ,则SB ∥HD .同理SB ∥FE .又D ,E 分别为AB ,BC 的中点,则H ,F 也为AS ,SC 的中点,从而得HF 綊12AC 綊DE , 所以四边形DEFH 为平行四边形.又AC ⊥SB ,SB ∥HD ,DE ∥AC ,所以DE ⊥HD ,所以四边形DEFH 为矩形,其面积S =HF ·HD =⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12SB =452. 6.α,β,γ是三个平面,a ,b 是两条直线,有下列三个条件:①α∥γ,b ⊂β;②a ∥γ,b ∥β;③b ∥β,a ⊂γ.如果命题“α∩β=a ,b ⊂γ,且________,则a ∥b ”为真命题,则可以在横线处填入的条件是________(填上你认为正确的所有序号).解析:①α∥γ,α∩β=a ,β∩γ=b ⇒a ∥b (面面平行的性质).②如图所示,在正方体中,α∩β=a ,b ⊂γ,a ∥γ,b ∥β,而a ,b 异面,故②错.③b ∥β,b ⊂γ,β∩γ=a ⇒a ∥b (线面平行的性质).答案:①③7.正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1 cm ,过AC 作平行于对角线BD 1的截面,则截面面积为________cm 2.解析:如图所示,截面ACE ∥BD 1,平面BDD 1∩平面ACE =EF ,其中F 为AC 与BD 的交点,∴E 为DD 1的中点,∴S △ACE =12×2×32=64 (cm 2).答案:648.过三棱柱ABC A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB 1A 1 平行的直线共有________条.解析:过三棱柱ABC A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线,记AC ,BC ,A 1C 1,B 1C 1的中点分别为E ,F ,E 1,F 1,则直线EF ,E 1F 1,EE 1,FF 1,E 1F ,EF 1均与平面ABB 1A 1平行,故符合题意的直线共有6条.答案:69.如图所示,在三棱柱ABC A 1B 1C 1中,侧棱AA 1⊥底面ABC ,AB⊥BC ,D 为AC 的中点,AA 1=AB =2.(1)求证:AB 1∥平面BC 1D ;(2)设BC =3,求四棱锥B DAA 1C 1的体积.解:(1)证明:连接B 1C ,设B 1C 与BC 1相交于点O ,连接OD ,如图所示.∵四边形BCC 1B 1是平行四边形,∴点O 为B 1C 的中点.∵D 为AC 的中点,∴OD 为△AB 1C 的中位线,∴OD ∥AB 1.∵OD ⊂平面BC 1D ,AB 1⊄平面BC 1D ,∴AB 1∥平面BC 1D .(2)∵AA 1⊥平面ABC ,AA 1⊂平面AA 1C 1C ,∴平面ABC ⊥平面AA 1C 1C .∵平面ABC ∩平面AA 1C 1C =AC ,连接A 1B ,作BE ⊥AC ,垂足为E ,则BE ⊥平面AA 1C 1C .∵AB =AA 1=2,BC =3,AB ⊥BC ,∴在Rt △ABC 中,AC =AB 2+BC 2=4+9=13,∴BE =AB ·BC AC =613, ∴四棱锥B AA 1C 1D 的体积V =13×12(A 1C 1+AD )·AA 1·BE =16×3213×2×613=3. 10.(2016·某某名校联考)如图,AB 为圆O 的直径,点E ,F在圆O 上,且AB ∥EF ,矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直,且AD =EF =AF =1,AB =2.(1)求证:平面AFC ⊥平面CBF ;(2)在线段CF 上是否存在一点M ,使得OM ∥平面DAF ?并说明理由.解:(1)证明:∵平面ABCD ⊥平面ABEF ,CB ⊥AB ,平面ABCD ∩平面ABEF =AB ,∴CB ⊥平面ABEF ,∵AF ⊂平面ABEF ,∴AF ⊥CB ,又∵AB 为圆O 的直径,∴AF ⊥BF ,∵CB ∩BF =B ,∴AF ⊥平面CBF .∵AF ⊂平面AFC ,∴平面AFC ⊥平面CBF .(2)取CF 中点记作M ,设DF 的中点为N ,连接AN ,MN , 则MN 綊12CD , 又AO 綊12CD , 则MN 綊AO ,∴MNAO 为平行四边形,∴OM∥AN,又AN⊂平面DAF,OM⊄平面DAF,∴OM∥平面DAF.即存在一点M为CF的中点,使得OM∥平面DAF.三上台阶,自主选做志在冲刺名校1.(2016·揭阳一模)设平面α,β,直线a,b,a⊂α,b⊂α,则“a∥β,b∥β”是“α∥β”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选B 由平面与平面平行的判定定理可知,若直线a,b是平面α内两条相交直线,且有“a∥β,b∥β”,则有“α∥β”;当“α∥β”,若a⊂α,b⊂α,则有“a∥β,b∥β”,因此“a∥β,b∥β”是“α∥β”的必要不充分条件.2.如图所示,在三棱锥PABC中,平面PAC⊥平面ABC,PA⊥AC,AB⊥BC.设D,E分别为PA,AC的中点.(1)求证:DE∥平面PBC.(2)在线段AB上是否存在点F,使得过三点D,E,F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行?若存在,指出点F的位置并证明;若不存在,请说明理由.解:(1)证明:∵点E是AC中点,点D是PA的中点,∴DE∥PC.又∵DE⊄平面PBC,PC⊂平面PBC,∴DE∥平面PBC.(2)当点F是线段AB中点时,过点D,E,F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行.取AB的中点F,连接EF,DF.由(1)可知DE∥平面PBC.∵点E是AC中点,点F是AB的中点,∴EF∥BC.又∵EF⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,∴EF∥平面PBC.又∵DE∩EF=E,∴平面DEF∥平面PBC.∴平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行.故当点F是线段AB中点时,过点D,E,F所在平面内的任一条直线都与平面PBC平行.。
高中数学课时跟踪检测十直线与平面平面与平面平行的判定含解析新人教A版必修

课时跟踪检测(十)直线与平面、平面与平面平行的判定一、题组对点训练对点练一直线与平面平行的判定1.能保证直线a与平面α平行的条件是( )A.b⊂α,a∥bB.b⊂α,c∥α,a∥b,a∥cC.b⊂α,A、B∈a,C、D∈b,且AC∥BDD.a⊄α,b⊂α,a∥b解析:选D 由线面平行的判定定理可知,D正确.2.如果两直线a∥b,且a∥α,则b与α的位置关系是( )A.相交B.b∥αC.b⊂α D.b∥α或b⊂α解析:选D 由a∥b,且a∥α,知b与α平行或b⊂α.3.如图,在四面体ABCD中,若M、N、P分别为线段AB、BC、CD的中点,则直线BD与平面MNP的位置关系为( )A.平行B.可能相交C.相交或BD⊂平面MNPD.以上都不对解析:选A 因为N、P分别为线段BC、CD的中点,所以NP∥BD,又BD⊄平面MNP,NP⊂平面MNP,所以BD∥平面MNP.4.正方体ABCDA1B1C1D1中,E为DD1的中点,则BD1与过A,C,E三点的平面的位置关系是________.解析:如图所示,连接BD交AC于点O.在正方体中容易得到点O为BD的中点.又因为E为DD1的中点,所以OE∥BD1.又因为OE⊂平面ACE,BD1⊄平面ACE,所以BD1∥平面ACE.答案:平行5.直三棱柱ABCA1B1C1中,D是AB的中点.证明:BC1∥平面A1CD.证明:如图,连接AC1交A1C于点F,则F为AC1的中点.又D是AB的中点,连接DF,则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD,BC1⊄平面A1CD,所以BC1∥平面A1CD.对点练二 平面与平面平行的判定6.已知三个平面α,β,γ,一条直线l ,要得到α∥β,必须满足下列条件中的( ) A .l ∥α,l ∥β,且l ∥γ B .l ⊂γ,且l ∥α,l ∥β C .α∥γ,且β∥γ D.l 与α,β所成的角相等解析:选C⎭⎪⎬⎪⎫α∥γ⇒α与γ无公共点β∥γ⇒β与γ无公共点⇒α与β无公共点⇒α∥β.7.平面α与平面β平行的条件可以是( ) A .α内有无穷多条直线与β平行 B .直线a ∥α,a ∥βC .直线a ⊂α,直线b ⊂β,且a ∥β,b ∥αD .α内的任何直线都与β平行解析:选D 当α内有无穷多条直线与β平行时,α与β可能平行,也可能相交,故不选A.当直线a ∥α,a ∥β时,α与β可能平行,也可能相交,故不选B.当直线a ⊂α,直线b ⊂β,且a ∥β,b ∥α时,α与β可能平行,也可能相交,故不选C.当α内的任何直线都与β平行时,由两个平面平行的定义可得,这两个平面平行,故选D.8.如图,三棱锥P ABC 中,E ,F ,G 分别是AB ,AC ,AP 的中点.证明:平面GFE ∥平面PCB .证明:因为E ,F ,G 分别是AB ,AC ,AP 的中点, 所以EF ∥BC ,GF ∥CP .因为EF ,GF ⊄平面PCB ,BC ,CP ⊂面PCB . 所以EF ∥平面PCB ,GF ∥平面PCB . 又EF ∩GF =F ,所以平面GFE ∥平面PCB .9.如图,在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,M ,N ,P 分别是AD 1,BD ,B 1C 的中点.求证:(1)MN ∥平面CC 1D 1D ; (2)平面MNP ∥平面CC 1D 1D . 证明:(1)如图,连接AC ,CD 1.因为四边形ABCD 为正方形,N 为BD 的中点,所以N 为AC 的中点. 又M 为AD 1的中点,所以MN ∥CD 1.因为MN⊄平面CC1D1D,CD1⊂平面CC1D1D,所以MN∥平面CC1D1D.(2)连接BC1,C1D,因为四边形B1BCC1为正方形,P为B1C的中点,所以P为BC1的中点.又N为BD的中点,所以PN∥C1D.因为PN⊄平面CC1D1D,C1D⊂平面CC1D1D,所以PN∥平面CC1D1D.由(1)知MN∥平面CC1D1D,且MN∩PN=N,所以平面MNP∥平面CC1D1D.二、综合过关训练1.在正方体ABCDA1B1C1D1中,M是棱CD上的动点,则直线MC1与平面AA1B1B的位置关系是( )A.相交B.平行C.异面 D.相交或平行解析:选B MC1⊂平面DD1C1C,而平面AA1B1B∥平面DD1C1C,故MC1∥平面AA1B1B.2.点E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,则空间四面体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是( )A.0 B.1C.2 D.3解析:选C 如图,由线面平行的判定定理可知,BD∥平面EFGH,AC∥平面EFGH.3.给出下列说法:①若直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α;②若直线a在平面α外,则a∥α;③若直线a∥b,直线b⊂α,则a∥α;④若直线a∥b,直线b⊂α,则直线a平行于平面α内的无数条直线.其中正确说法的个数为( )A.1 B.2C.3 D.4解析:选A 对于①,虽然直线l与平面α内的无数条直线平行,但l可能在平面α内,所以l不一定平行于α,所以错误;对于②,因为直线a在平面α外,包括两种情况:a∥α和a与α相交,所以a和α不一定平行,所以错误;对于③,因为直线a∥b,b⊂α,只能说明a和b无公共点,但a可能在平面α内,所以a不一定平行于平面α,所以错误;对于④,因为a∥b,b⊂α,所以a⊂α或a∥α,所以a与平面α内的无数条直线平行,所以正确.综上,正确说法的个数为1.4.如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,矩形对角线交点为O,M为PB的中点.给出五个结论:①OM∥PD;②OM∥平面PCD;③OM∥平面PDA;④OM∥平面PBA;⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数为( )A.1 B.2C.3 D. 4解析:选C 因为矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,所以点O为BD的中点.在△PBD 中,因为点M是PB的中点,所以OM是中位线,OM∥PD.所以OM∥平面PCD,且OM∥平面PDA.因为M∈PB,所以OM与平面PBA、平面PBC相交.故①②③正确.5.已知a,b,c为三条不重合的直线,α,β,γ为三个不重合的平面,现给出六个命题:①a∥c,b∥c⇒a∥b;②a∥γ,b∥γ⇒a∥b;③c∥α,c∥β⇒α∥β;④c∥α,a ∥c⇒a∥α;⑤a∥γ,α∥γ⇒a∥α.正确命题是________(填序号).解析:直线平行能传递,故①正确,②中,可能a与b异面或相交;③中α与β可能相交;④中可能a⊂α;⑤中,可能a⊂α,故正确命题是①.答案:①6.如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中,①BM∥平面DE;②CN∥平面AF;③平面BDM∥平面AFN;④平面BDE∥平面NCF.以上四个命题中,正确命题的序号是________.解析:以ABCD为下底面还原正方体,如图.则易判定四个命题都是正确的.答案:①②③④7.如图在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,M,N分别为棱AB,CC1,AA1,C1D1的中点.求证:平面CEM∥平面BFN.证明:因为E,F,M,N分别为其所在各棱的中点,如图连接CD1,A1B,易知FN ∥CD 1.同理,ME ∥A 1B .易证四边形A 1BCD 1为平行四边形,所以ME ∥NF . 连接MD 1,同理可得MD 1∥BF .又BF ,NF 为平面BFN 中两相交直线,ME ,MD 1为平面CEM 中两相交直线, 故平面CEM ∥平面BFN .8.在如图所示的多面体中,四边形ABB1A 1和ACC 1A 1都为矩形.设D ,E 分别是线段BC ,CC 1的中点,在线段AB 上是否存在一点M ,使直线DE ∥平面A 1MC ?请证明你的结论.解:取线段AB 的中点M ,连接A 1M ,MC ,A 1C ,AC 1,设O 为A 1C ,AC 1的交点. 由已知,O 为AC 1的中点.连接MD, OE, 则MD, OE 分别为△ABC, △ACC 1的中位线,所以,MD 綊12AC ,OE 綊12AC ,因此MD 綊OE .连接OM ,从而四边形MDEO 为平行四边形,则DE ∥MO . 因为直线DE ⊄平面A 1MC ,MO ⊂平面A 1MC , 所以直线DE ∥平面A 1MC .即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点),使直线DE ∥平面A 1MC .。
高考数学一轮复习课后限时集训42 直线、平面平行的判定及其性质

课后限时集训(四十二)直线、平面平行的判定及其性质建议用时:40分钟一、选择题1.若直线l不平行于平面α,且l⊄α,则()A.α内的所有直线与l异面B.α内不存在与l平行的直线C.α与直线l至少有两个公共点D.α内的直线与l都相交B[∵l⊄α,且l与α不平行,∴l∩α=P,故α内不存在与l平行的直线.故选B.]2.如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中,过A1B1的平面与平面ABC交于DE,则DE与AB的位置关系是()A.异面B.平行C.相交D.以上均有可能B[由面面平行的性质可得DE∥A1B1,又A1B1∥AB,故DE∥AB.所以选B.]3.(多选)(2020·山东济宁期末)已知m,n为两条不重合的直线,α,β为两个不重合的平面,则下列说法正确的是()A.若m∥α,n∥β且α∥β,则m∥nB.若m∥n,m⊥α,n⊥β,则α∥βC.若m∥n,n⊂α,α∥β,m⊄β,则m∥βD.若m∥n,n⊥α,α⊥β,则m∥βBC [A.若m ∥α,n ∥β且α∥β,则可能m ∥n ,m ,n 异面,或m ,n 相交,A 错误;B .若m ∥n ,m ⊥α,则n ⊥α,又n ⊥β,故α∥β,B 正确;C .若m ∥n ,n ⊂α,则m ∥α或m ⊂α,又α∥β,m ⊄β,故m ∥β,C 正确;D .若m ∥n ,n ⊥α,则m ⊥α,又α⊥β,则m ∥β或m ⊂β,D 错误. 故选BC.]4.(多选)设m ,n ,l 为三条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下面结论不正确的是( )A .若m ⊂α,n ⊂β,α∥β,则m ∥nB .若m ∥α,n ∥β,m ⊥n ,则α⊥βC .若m ⊥α,n ⊥β,α⊥β,则m ⊥nD .若m ∥α,n ∥α,l ⊥m ,l ⊥n ,则l ⊥αABD [A 选项中,m ,n 还可能异面;B 选项中,α,β可能平行或相交;易知C 正确;D 选项中,只有m ,n 相交才可推出l ⊥α.]5.如图,AB ∥平面α∥平面β,过A ,B 的直线m ,n 分别交α,β于C ,E 和D ,F ,若AC =2,CE =3,BF =4,则BD 的长为( )A.65 B .75C.85D .95C [由AB ∥α∥β,易证ACCE =BDDF ,即AC AE =BD BF,所以BD=AC·BFAE=2×45=85.]6.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形,则该三棱锥与平面α平行的棱有()A.0条B.1条C.2条D.0条或2条C[如图,设平面α截三棱锥所得的四边形EFGH是平行四边形,则EF∥GH,EF⊄平面BCD,GH⊂平面BCD,所以EF∥平面BCD,又EF⊂平面ACD,平面ACD∩平面BCD=CD,则EF∥CD,EF⊂平面EFGH,CD⊄平面EFGH,则CD∥平面EFGH,同理AB∥平面EFGH,所以该三棱锥与平面α平行的棱有2条,故选C.]二、填空题7.设α,β,γ是三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,在命题“α∩β=m,n⊂γ,且________,则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题.①α∥γ,n⊂β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m⊂γ.可以填入的条件有________.①和③[由面面平行的性质定理可知,①正确;当n∥β,m⊂γ时,n和m在同一平面内,且没有公共点,所以平行,③正确.]8.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD 的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于________.2[在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,∴AC=22.又E 为AD 中点,EF ∥平面AB 1C ,EF ⊂平面ADC , 平面ADC ∩平面AB 1C =AC ,∴EF ∥AC ,∴F 为DC 中点,∴EF =12AC =2.]9.棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 是棱AA 1的中点,过C ,M ,D 1作正方体的截面,则截面的面积是________.92[如图,由面面平行的性质知截面与平面ABB 1A 1的交线MN 92.]是△AA 1B 的中位线,所以截面是梯形CD 1MN ,易求其面积为三、解答题10.(2020·徐州模拟)如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,E ,F分别为A 1C 1和BC 的中点,M ,N 分别为A 1B 和A 1C 的中点.求证:(1)MN ∥平面ABC ; (2)EF ∥平面AA 1B 1B .[证明] (1)∵M 、N 分别是A 1B 和A 1C 的中点. ∴MN ∥BC ,又BC ⊂平面ABC ,MN ⊄平面ABC , ∴MN ∥平面ABC .(2)如图,取A 1B 1的中点D ,连接DE ,BD . ∵D 为A 1B 1的中点,E 为A 1C 1中点, ∴DE ∥B 1C 1且DE =12B 1C 1,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧面BCC 1B 1是平行四边形,∴BC ∥B 1C 1且BC =B 1C 1,∵F 是BC 的中点,∴BF ∥B 1C 1且BF =12B 1C 1,∴DE ∥BF 且DE =BF ,∴四边形DEFB 是平行四边形,∴EF ∥BD , 又BD ⊂平面AA 1B 1B ,EF ⊄平面AA 1B 1B , ∴EF ∥平面AA 1B 1B .11.如图,在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中,E ,F 分别是AB ′,BC ′的中点.(1)若M 为BB ′的中点,证明:平面EMF ∥平面ABCD ; (2)在(1)的条件下,当正方体的棱长为2时,求三棱锥M -EBF 的体积.[解] (1)证明:∵在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中,E ,F 分别是AB ′,BC ′的中点,M 为BB ′的中点,∴ME ∥AB ,MF ∥B ′C ′∥BC ,∵ME ∩MF =M ,AB ∩BC =B ,ME ,MF ⊂平面MEF ,AB ,BC ⊂平面ABCD ,∴平面EMF ∥平面ABCD .(2)∵E ,F 分别是AB ′,BC ′的中点,M 为BB ′的中点,∴ME 綊12AB =1,MF 綊12BC =1,BM ⊥平面MEF ,BM =1, ∵AB ⊥BC ,∴EM ⊥MF ,∴S △MEF =12×ME ×MF =12×1×1=12,∴三棱锥M -EBF 的体积:V M -EBF =V B -MEF =13×S △EMF ×BM =13×12×1=16.1.(多选)如图,在棱长均相等的四棱锥P -ABCD 中,O 为底面正方形的中心,M ,N 分别为侧棱P A ,PB 的中点,则下列结论正确的有( )A .PD ∥平面OMNB .平面PCD ∥平面OMNC .直线PD 与直线MN 所成角的大小为90° D .ON ⊥PBABD [选项A ,连接BD (图略),显然O 为BD 的中点,又N 为PB 的中点,所以PD ∥ON ,又ON ⊂平面OMN ,PD ⊄平面OMN ,由线面平行的判定定理可得,PD ∥平面OMN ,A 正确;选项B ,由M ,N 分别为侧棱P A ,PB 的中点,得MN ∥AB ,又底面为正方形,所以MN ∥CD ,又MN ⊂平面OMN ,CD ⊄平面OMN ,由线面平行的判定定理可得,CD ∥平面OMN ,又选项A 中得PD ∥平面OMN ,CD ⊂平面PCD ,PD ⊂平面PCD ,CD ∩PD =D ,由面面平行的判定定理可得,平面PCD ∥平面OMN ,B 正确;选项C ,因为MN ∥CD ,所以∠PDC 为直线PD 与直线MN 所成的角,又因为四棱锥中所有棱长都相等,所以∠PDC =60°,故直线PD 与直线MN 所成角的大小为60°,C 错误;选项D ,因为底面为正方形,所以AB 2+AD 2=BD 2,又所有棱长都相等,所以PB 2+PD 2=BD 2,故PB ⊥PD ,又PD ∥ON ,所以ON ⊥PB ,D 正确.故选ABD.]2.在三棱锥S -ABC 中,△ABC 是边长为6的正三角形,SA=SB=SC=12,平面DEFH分别与AB,BC,SC,SA交于D,E,F,H,且它们分别是AB,BC,SC,SA的中点,那么四边形DEFH的面积为()A.18 B.183C.36 D.363A[因为D,E,F,H分别是AB,BC,SC,SA的中点,所以DE∥AC,FH∥AC,DH∥SB,EF∥SB,则四边形DEFH是平行四边形,且HD=12SB=6,DE=12AC=3.如图,取AC的中点O,连接OB、SO,因为SA=SC=12,AB=BC=6,所以AC⊥SO,AC⊥OB,又SO∩OB=O,所以AO⊥平面SOB,所以AO⊥SB,则HD⊥DE,即四边形DEFH是矩形,所以四边形DEFH的面积S=6×3=18,故选A.]3.如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,P为平面ABC外一点,E,F分别是P A,PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l,试判断直线l与平面P AC的位置关系,并加以证明.[解]直线l∥平面P AC,证明如下:因为E,F分别是P A,PC的中点,所以EF∥AC.又EF⊄平面ABC,且AC⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.而EF⊂平面BEF,且平面BEF∩平面ABC=l,所以EF∥l.因为l⊄平面P AC,EF⊂平面P AC,所以l∥平面P AC.1.如图所示,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H 分别是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M 在四边形EFGH及其内部运动,则M只需满足条件________时,就有MN∥平面B1BDD1.(注:请填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑全部可能情况)点M在线段FH上(或点M与点H重合)[连接HN,FH,FN(图略),则FH∥DD1,HN∥BD,∴平面FHN∥平面B1BDD1,只需M∈FH,则MN⊂平面FHN,∴MN∥平面B1BDD1.]2.如图,四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E为PB 的中点.(1)求证:CE∥平面P AD.(2)在线段AB上是否存在一点F,使得平面P AD∥平面CEF?若存在,证明你的结论,若不存在,请说明理由.[解](1)证明:如图,取P A的中点H,连接EH,DH,因为E为PB的中点,所以EH∥AB,EH=12AB,又AB∥CD,CD=12AB,所以EH∥CD,EH=CD,因此四边形DCEH为平行四边形,所以CE∥DH,又DH⊂平面P AD,CE⊄平面P AD,因此CE∥平面P AD.(2)存在点F为AB的中点,使平面P AD∥平面CEF,证明如下:取AB的中点F,连接CF,EF,则AF=12AB,因为CD=12AB,所以AF=CD,又AF∥CD,所以四边形AFCD为平行四边形,因此CF∥AD.又AD⊂平面P AD,CF⊄平面P AD,所以CF∥平面P AD,由(1)可知CE∥平面P AD,又CE∩CF=C,故平面CEF∥平面P AD,故存在AB的中点F满足要求.。
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课时跟踪检测(四十)直线、平面平行的判定及其性质(二)重点高中适用作业A级——保分题目巧做快做1.(2017·全国卷Ⅰ)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是()解析:选A法一:对于选项B,如图所示,连接CD,因为AB∥CD,M,Q分别是所在棱的中点,所以MQ∥CD,所以AB∥MQ.又AB⊄平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C、D中均有AB∥平面MNQ.故选A.法二:对于选项A,设正方体的底面对角线的交点为O(如图所示),连接OQ,则OQ∥AB.因为OQ与平面MNQ有交点,所以AB与平面MNQ有交点,即AB与平面MNQ不平行,根据直线与平面平行的判定定理及三角形的中位线性质知,选项B、C、D中AB∥平面MNQ.故选A.2.(2018·湘中名校联考)已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,下列命题中正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m∥α,m∥β,则α∥βC.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βD.若m⊥α,n⊥α,则m∥n解析:选D A中,两直线可能平行、相交或异面;B中,两平面可能平行或相交;C 中,两平面可能平行或相交;D中,由线面垂直的性质定理可知结论正确,故选D.3.(2018·合肥质检)若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形,则该三棱锥中与平面α平行的棱有()A.0条B.1条C.2条D.0条或2条解析:选C因为平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形,所以该三棱锥中与平面α平行的棱有2条,故选C.4.(2018·陕西西安中学月考)已知m,n是两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列四个命题中正确的是()A.若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥βB.若m∥α,n∥β,m⊥n,则α∥βC.若m⊥α,n∥β,m⊥n,则α∥βD.若m⊥α,n∥β,α∥β,则m∥n解析:选A借助于长方体模型解决.过直线m,n作平面γ,可以得到平面α,β所成的二面角为直二面角,如图(1),故α⊥β,A正确;B的反例如图(2);C的反例如图(3);D中由m⊥α,α∥β可得m⊥β,过n作平面γ可得n与γ与β的交线g平行,则m⊥g,故m⊥n,D错误,故选A.5.设l,m,n表示不同的直线,α,β,γ表示不同的平面,给出下列三个命题:①若m∥l,且m⊥α,则l⊥α;②若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,则l∥m∥n;③若α∩β=m,β∩γ=l,γ∩α=n,且n∥β,则l∥m.其中正确命题的个数是()A.0 B.1C.2 D.3解析:选C①正确;②中三条直线也可能相交于一点,故错误;③正确,所以正确的命题有2个.6.如图,在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD为正方形,E,F分别为侧棱VC,VB上的点,且满足VC=3EC,AF∥平面BDE,则VBFB=________.解析:连接AC交BD于点O,连接EO,取VE的中点M,连接AM,MF,由VC=3EC⇒VM=ME=EC.又AO=CO⇒AM∥EO⇒AM ∥平面BDE.又由题意知AF∥平面BDE,∴平面AMF∥平面BDE⇒MF ∥平面BDE ⇒MF ∥BE ⇒VF =FB ⇒VBFB=2.答案:27.如图是长方体被一平面截得的几何体,四边形EFGH 为截面,则四边形EFGH 的形状为________.解析:∵平面ABFE ∥平面DCGH ,平面EFGH ∩平面ABFE =EF ,平面EFGH ∩平面DCGH =HG ,∴EF ∥HG .同理,EH ∥FG ,∴四边形EFGH 是平行四边形.答案:平行四边形8.如图所示,设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,点P 是棱AD 上一点,且AP =a3,过B 1,D 1,P 的平面交平面ABCD 于PQ ,Q 在直线CD 上,则PQ =________.解析:∵平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ,而平面B 1D 1P ∩平面ABCD =PQ ,平面B 1D 1P ∩平面A 1B 1C 1D 1=B 1D 1,∴B 1D 1∥PQ .又∵B 1D 1∥BD ,∴BD ∥PQ , 设PQ ∩AB =M ,∵AB ∥CD ,∴△APM ∽△DPQ . ∴PQ PM =PDAP=2,即PQ =2PM . 又知△APM ∽△ADB , ∴PM BD =AP AD =13,∴PM =13BD ,又BD =2a ,∴PQ =223a .答案:223a 9.如图,四边形ABCD 与四边形ADEF 为平行四边形,M ,N ,G 分别是AB ,AD ,EF 的中点,求证:(1)BE ∥平面DMF ;(2)平面BDE ∥平面MNG .证明:(1)如图,连接AE ,设DF 与GN 的交点为O , 则AE 必过DF 与GN 的交点O .连接MO ,则MO 为△ABE 的中位线,所以BE ∥MO .又BE ⊄平面DMF ,MO ⊂平面DMF , 所以BE ∥平面DMF .(2)因为N ,G 分别为平行四边形ADEF 的边AD ,EF 的中点,所以DE ∥GN . 又DE ⊄平面MNG ,GN ⊂平面MNG , 所以DE ∥平面MNG . 又M 为AB 中点,所以MN 为△ABD 的中位线, 所以BD ∥MN .又BD ⊄平面MNG ,MN ⊂平面MNG , 所以BD ∥平面MNG .又DE ⊂平面BDE ,BD ⊂平面BDE ,DE ∩BD =D , 所以平面BDE ∥平面MNG .10.如图,四棱锥P -ABCD 中,AB ∥CD ,AB =2CD ,E 为PB 的中点.(1)求证:CE ∥平面PAD .(2)在线段AB 上是否存在一点F ,使得平面PAD ∥平面CEF ?若存在,证明你的结论,若不存在,请说明理由.解:(1)证明:取PA 的中点H ,连接EH ,DH ,因为E 为PB 的中点, 所以EH ∥AB ,EH =12AB ,又AB ∥CD ,CD =12AB ,所以EH ∥CD ,EH =CD , 因此四边形DCEH 是平行四边形,所以CE∥DH,又DH⊂平面PAD,CE⊄平面PAD,因此CE∥平面PAD.(2)存在点F为AB的中点,使平面PAD∥平面CEF,证明如下:取AB的中点F,连接CF,EF,所以AF=12AB,又CD=12AB,所以AF=CD,又AF∥CD,所以四边形AFCD为平行四边形,因此CF∥AD,又AD⊂平面PAD,CF⊄平面PAD,所以CF∥平面PAD,由(1)可知CE∥平面PAD,又CE∩CF=C,故平面CEF∥平面PAD,故存在AB的中点F满足要求.B级——拔高题目稳做准做1.如图,在四面体ABCD中,若截面PQMN是正方形,则下列结论中错误的是()A.AC⊥BDB.AC∥截面PQMNC.AC=BDD.异面直线PM与BD所成的角为45°解析:选C∵MN∥PQ,MN⊂平面ACD,PQ⊄平面ACD,∴PQ∥平面ACD.又平面ACD∩平面ABC=AC,∴PQ∥AC,从而AC∥截面PQMN,B正确;同理可得MQ∥BD,∵MQ⊥PQ,PQ∥AC,∴AC⊥BD,A正确;∵MQ∥BD,∠PMQ=45°,∴异面直线PM 与BD所成的角为45°,故D正确;根据已知条件无法得到AC,BD长度之间的关系,故C错误.2.在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB和棱AA1的中点,点M,N分别为线段D1E,C1F上的点,则与平面ABCD平行的直线MN有()A.无数条B.2条C.1条D.0条解析:选A法一:取BB的中点H,连接FH,则FH∥C1D1,连接HE,D1H,在D1E上任取一点M,取D1E的中点O,连接OH,在平面D1HE中,作MG平行于HO,交D1H于G,连接DE,取DE的中点K,连接KB,OK,则易证得OH∥KB.过G作GN∥FH,交C1F于点N,连接MN,由于GM∥HO,HO∥KB,KB⊂平面ABCD,GM⊄平面ABCD,所以GM∥平面ABCD,同理,NG∥平面ABCD,又GM∩NG=G,由面面平行的判定定理得,平面MNG∥平面ABCD,则MN∥平面ABCD.由于M为D1E上任意一点,故与平面ABCD平行的直线MN有无数条.故选A.法二:因为直线D1E,C1F与平面ABCD都相交,所以只需要把平面ABCD向上平移,与线段D1E的交点为M,与线段C1F的交点为N,由面面平行的性质定理知MN∥平面ABCD,故有无数条直线MN∥平面ABCD,故选A.3.(2018·郑州质检)如图,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,△ABC是边长为2的等边三角形,AA′=4,E,F,G,H,M分别是边AA′,AB,BB′,A′B′,BC的中点,动点P在四边形EFGH内部运动,并且始终有MP∥平面ACC′A′,则动点P的轨迹长度为()A.2 B.2πC.2 3 D.4解析:选D连接MF,FH,MH,因为M,F,H分别为BC,AB,A′B′的中点,所以MF∥AC,FH∥AA′,所以MF∥平面AA′C′C,FH∥平面AA′C′C,因为MF∩FH=F,所以平面MFH∥平面AA′C′C,所以M与线段FH上任意一点的连线都平行于平面AA′C′C,所以点P的运动轨迹是线段FH,其长度为4,故选D.4.如图,矩形ABCD中,E为边AB的中点,将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点,则在△ADE翻转过程中,正确的命题是________.①MB是定值;②点M在圆上运动;③一定存在某个位置,使DE⊥A1C;④一定存在某个位置,使MB∥平面A1DE.解析:取DC 中点N ,连接MN ,NB ,则MN ∥A1D ,NB ∥DE ,∴平面MNB ∥平面A 1DE ,∵MB ⊂平面MNB ,∴MB ∥平面A 1DE ,④正确;∠A 1DE =∠MNB ,MN =12A 1D =定值,NB =DE =定值,根据余弦定理得,MB 2=MN 2+NB 2-2MN ·NB ·cos ∠MNB ,所以MB 是定值,①正确;B 是定点,所以M 是在以B 为圆心,MB 为半径的圆上,②正确;当矩形ABCD 满足AC ⊥DE 时存在,其他情况不存在,③不正确.所以①②④正确.答案:①②④5.如图,已知平行四边形ABCD 与直角梯形ABEF 所在的平面互相垂直,且AB =BE =12AF =1,BE ∥AF ,AB ⊥AF ,∠CBA =π4,BC =2,P 为DF 的中点.(1)求证:PE ∥平面ABCD ; (2)求三棱锥A -BCE 的体积.解:(1)证明:取AD 的中点M ,连接MP ,MB , ∵P 为DF 的中点, ∴MP 綊12AF .又BE 綊12AF ,∴BE 綊MP ,∴四边形BEPM 是平行四边形, ∴PE ∥MB .又PE ⊄平面ABCD ,MB ⊂平面ABCD . ∴PE ∥平面ABCD .(2)在△ABC 中,由余弦定理可得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC cos ∠CBA =1+(2)2-2×1×2×cos π4=1,∴AC =1,∴AC 2+AB 2=BC 2,∴AC ⊥AB .∵平面ABCD ⊥平面ABEF ,平面ABCD ∩平面ABEF =AB , ∴AC ⊥平面ABEF .∵S △ABE =12BE ·AB =12×1×1=12,∴V A -BCE =V C -ABE =13S △ABE ×AC =13×12×1=16. 6.(2018·黑龙江一模)如图,在三棱锥P -ABC 中,D ,E 分别为PA ,AC 的中点.(1)求证:DE∥平面PBC;(2)试问在线段AB上是否存在点F,使得过D,E,F三点的平面内的任一条直线都与平面PBC平行?若存在,指出点F的位置并证明;若不存在,请说明理由.解:(1)证明:因为E为AC的中点,D为PA的中点,所以DE∥PC.又DE⊄平面PBC,PC⊂平面PBC,所以DE∥平面PBC.(2)存在,当点F是线段AB的中点时,过D,E,F三点的平面内的任一条直线都与平面PBC平行.证明如下:如图,取AB的中点F,连接EF,DF.由(1)可知DE∥平面PBC.因为E是AC的中点,F为AB的中点,所以EF∥BC.又EF⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以EF∥平面PBC.又DE∩EF=E,所以平面DEF∥平面PBC,所以平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行.故当点F是线段AB的中点时,过D,E,F三点的平面内的任一条直线都与平面PBC 平行.。