三角形与坐标系压轴题

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专题21 三角形压轴题之线段数量与位置关系(解析版)

1专题21 三角形压轴题之线段数量与位置关系知识对接考点一、利用三角形全等判断线段的关系的方法两条线段的关系要从数量关系和位置关系两个方面考虑.1.数量关系一般是相等,可通过证明三角形全等得到;位置关系一般是平行或垂直,从图中可直接看出.2.证线段平行时,通常转化为证明同位角相等、内错角相等或同旁内角互补,这些角的关系一般根据全等三角形的性质得到;证明线段垂直的方法通常是证明线段所在直线所夹的角是90°.专项训练一、单选题1．（2021·北京东城·九年级二模）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为2，点A （1，3与⊙O 的位置关系是（） A ．在⊙O 上 B ．在⊙O 内 C ．在⊙O 外 D ．不能确定【答案】A 【分析】根据点A 的坐标，求出OA =2，根据点与圆的位置关系即可做出判断．【详解】解：⊙点A 的坐标为（13， ⊙由勾股定理可得：OA ()221+3，又⊙⊙O 的半径为2， ⊙点A 在⊙O 上．故选：A ．【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，点和圆的位置关系是由点到圆心的距离d 和圆的半径r 间的大小关系确定的：（1）当d r 时，点在圆外；（2）当d r =时，点在圆上；（3）当d r <时，点在圆内．2．如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB =，4cos 5A =，以点B 为圆心，r 为半径作B ，当3r =时，B 与AC 的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定【答案】B 【分析】根据Rt ABC ∆中，90C ∠=︒， 4cos 5A =，求出AC 的值，再根据勾股定理求出BC 的值，比较BC 与半径r 的大小，即可得出B 与AC 的位置关系．【详解】解：⊙Rt ABC ∆中，90C ∠=︒， 4cos 5A =， ⊙cosA=45AC AB = ⊙5AB =， ⊙AC=43当3r =时，B 与AC 的位置关系是：相切故选：B 【点睛】本题考查了由三角函数解直角三角形，勾股定理以及直线和圆的位置关系等知识，利用勾股定理解求出BC 是解题的关键．3．（2021·陕西西安·交大附中分校九年级）如图，点A 的坐标为（2，1），将线段OA 绕O 点顺时针旋转90°．得到线段OB ．若正比例函数y ＝kx 图象经过点B ，则k 的值为（）A ．2B ．1C ．﹣1D ．﹣2【答案】D 【分析】如图，过A 点作AC ⊙x 轴于C ，过B 点作BD ⊙x 轴于D ，先证明AOC △⊙OBD ，得到OD3＝AC ＝1，BD ＝OC ＝2，则B 点坐标可求，最后将点B 的坐标代入函数y kx =，即可求解．【详解】解：如图，过A 点作AC ⊙x 轴于C ，过B 点作BD ⊙x 轴于D ，⊙点A 的坐标为（2，1）， ⊙OC ＝2，AC ＝1，⊙线段OA 绕O 点顺时针旋转90°得到线段OB ， ⊙OA ＝OB ，⊙AOB ＝90°， ⊙⊙AOC +⊙BOD ＝90°， ⊙AC ⊙x 轴， BD ⊙x 轴， ⊙⊙ACO ＝⊙BDO ＝90°， ⊙⊙AOC +⊙OAC ＝90°， ⊙⊙BOD ＝⊙OAC ．在AOC △和OBD 中ACO BDO OAC BOD OA BO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ⊙AOC △⊙OBD （AAS ）， ⊙OD ＝AC ＝1，BD ＝OC ＝2，又⊙点B 在第四象限， ⊙B 点坐标为（1，﹣2），将点B 的坐标代入函数y ＝kx ，得：﹣2＝k ，解得：k ＝﹣2，故选：D ．【点睛】本题考查的是旋转的性质，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，证明AOC △⊙OBD 是解答此题的关键．4．（2021·江门市第二中学九年级）如图，在矩形ABCD 中，AB =10，BC =12，点M ，N 分别在AD ，BC 上，且AM BN =，3AD AM =，E 为BC 边上一动点，连接DE ，将DCE∆沿DE 所在直线折叠得到⊙DC E '，当C '点恰好落在线段MN 上时，NE 的长为( )A ．B ．5C ．3D ．【答案】A 【分析】设CE =x ，则C ′E =x ，证明四边形MNCD 是矩形，由矩形的性质得出⊙DMN =⊙MNC =90°，MN =CD =10，由折叠的性质得出C ′D =CD =10，求出6MC '=，则4NC '=,在Rt NEC '中，由勾股定理得出222(8)4x x --=，解方程可得出答案．【详解】解：设CE =x ，则C ′E =x ， ⊙矩形ABCD 中，AB =10，⊙CD =AB =10，AD =BC =12，AD∥BC ，⊙点M ，N 分别在AD ，BC 上，且3AM =AD ，BN =AM ， ⊙DM =CN =8，⊙四边形CDMN 为平行四边形， ⊙⊙NCD =90°，⊙四边形MNCD 是矩形，⊙⊙DMN =⊙MNC =90°，MN =CD =10，由折叠知，C ′D =CD ,10，⊙6MC '==， ⊙1064CN '=-=， ⊙EN =CN -CE =8-x ， ⊙C ′E 2-NE 2=C ′N 2， ⊙222(8)4x x --=，解得，5x =，即853NE CN CE =-=-=．故选：C ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，一元一次方程的应用，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．55．（2021·江苏九年级）已知线段a ，b ，c ，求作：ABC ，使BC a =，AC b =，AB c =．下面的作图顺序正确的是（）⊙以点A 为圆心，以b 为半径画弧，以点B 为圆心，以a 为半径画弧，两弧交于C 点； ⊙作线段AB 等于c ；⊙连接AC ，BC ，则ABC 就是所求作图形． A ．⊙⊙⊙ B ．⊙⊙⊙ C ．⊙⊙⊙ D ．⊙⊙⊙【答案】C 【分析】先画AB c =，确定A 、B 点位置，然后通过画弧确定C 点位置，从而得到ABC ．【详解】⊙先作线段AB 等于c ，⊙再以点A 为圆心，以b 为半径画弧，以点B 为圆心，以a 为半径画弧，两弧交于C 点，⊙然后连接AC ，BC ，则ABC 就是所求作图形．故选：C ．【点睛】本题考查了作图，作一个三角形，使这个三角形的三边等于已知的三条线段，其实质是作一条线段等于已知线段，原理是全等三角形的边边边判定定理．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图问题分解成基本作图来解决． 6．（2021·河北九年级）在平面直角坐标系中，点()3,4A ，()2,B m -，当线段AB 最短时，m 的值为（） A ．5 B ．3 C ．4 D ．0【答案】C 【分析】根据两点之间的距离公式即可求得m 的值．【详解】解：根据两点之间的距离公式得 222(32)(4)(4)25AB m m ++-=-+⊙当4m =时，AB 最小故答案为C ．【点睛】此题考查了平面直角坐标系中动点问题，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． 7．（2021·山东九年级模拟预测）如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：⊙作线段AB ，分别以A ，B 为圆心，以AB 长为半径作弧，两弧的交点为C ；⊙以C 为圆心，仍以AB 长为半径作弧交AC 的延长线于点D ；⊙连接BD ，BC ．下列结论不正确的是（）A ．30CBD ∠=︒B ．点C 是ABD △的外心C ．2ABDSAB =D ．22sin cos 1A D +=【答案】D 【分析】根据等边三角形的判定方法，直角三角形的判定方法以及等边三角形的性质，直角三角形的性质一一判断即可．【详解】解：由作图可知：AC AB BC ==， ⊙ABC 是等边三角形，60A ABC ∠=∠=︒，由作图可知：CB CA CD ==，⊙点C 是ABD △的外心，90ABD ∠=︒，BD =，⊙30D CBD ∠=∠=︒，2ABD S AB =△，⊙AC CD =，⊙2BDC S AB =△，⊙22223sin cos 2A D +=+=⎝⎭⎝⎭，故A 、B 、C 正确，不符合题意；D 不正确，符合题意，故选：D ．【点睛】此题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角函数，三角形面积的求法等，根据作图找到相应的边角条件是解题的关键．8．（2021·山东九年级）如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝2，AB ，⊙B 是锐角，AE ⊙BC 于点E ，F 是AB 的中点，连接DF ，EF ．若⊙EFD ＝90°，则线段AE 的长为（）7A ．2B ．1C 3D 5【答案】D 【分析】延长EF 交DA 的延长线于Q ，连接DE ，设BE x =，首先证明2DQ DE x ==+，利用勾股定理构建方程即可求解．【详解】解：如图，延长EF 交DA 的延长线于Q ，连接DE ，设BE x =，四边形ABCD 是平行四边形， //DQ BC ∴，Q BEF ∴∠=∠,,AF EB AFQ BFE =∠=∠， ()QFA EFB AAS ∴≌， ,AQ BE x QF EF ∴===， 90,EFD DF QE ∠=︒∴⊥， 2DQ DE x ∴==+， ,//AE BC BC AD ⊥，,90AE AD AEB EAD ∴⊥∠=∠=︒，22222AE DE AD AB BE =-=-， 22(2)46x x ∴+-=-，解得：121,3x x ==-（舍去）1BE ∴=，22615AE AB BE ∴--=故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，解题的关键是：掌握相关知识点，添加辅助线、构造全等三角形来解决问题．9．（2021·浙江九年级期末）如图，在边长为2的菱形ABCD中，按以下步骤作图：⊙以点B 为圆心，适当的长为半径作弧，交AB，BD于E，F两点；⊙分别以点E和点F为圆心，以大于12EF的长为半径作弧，两弧交于点P；⊙作射线BP，交线段AD于点M．此时点M恰好是线段AD的中点，则CM的长为（）A B C．D．3【答案】B【分析】根据作图证明⊙ABD为等腰三角形，根据菱形的性质证明⊙ABD为等边三角形，再证明MBC∆是直角三角形,根据勾股定理求解即可．【详解】解：由作图步骤⊙⊙⊙步可得：BP为⊙ABD的平分线，又⊙M为AD的中点，⊙⊙ABD为等腰三角形，AB=BD⊙四边形ABCD是菱形，且边长为2⊙AB=BC=CD=DA=2⊙⊙ABD为等边三角形，⊙⊙ABD=⊙BAD=60°⊙⊙ABM=⊙DBM=30°，⊙DBC=60°⊙⊙MBC=⊙MBD+⊙DBC=30°+60°=90°又⊙AD=2，M为AD的中点，⊙ABD为等边三角形⊙AM=11 2AD=⊙BM在Rt⊙MBC中，CM==故选：B．【点睛】9此题主要考查了菱形的性质、等腰三角形和等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明⊙ABD 为等边三角形是解答此题的关键．10．（2021·广东广州·执信中学九年级模拟预测）如图，一次函数2y x =的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，把直线AB 绕点B 顺时针旋转30交x 轴于点C ，则线段AC 长为（）A 62B ．32C ．23D 32【答案】A 【分析】根据一次函数表达式求出点A 和点B 坐标，得到⊙OAB 为等腰直角三角形和AB 的长，过点C 作CD ⊙AB ，垂足为D ，证明⊙ACD 为等腰直角三角形，设CD =AD =x ，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD ，得到关于x 的方程，解之即可．【详解】解：⊙一次函数2y x =的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，令x =0，则y 2y =0，则x =2 则A （2-，0），B （02，则⊙OAB 为等腰直角三角形，⊙ABO =45°， ⊙AB ()()2222+，过点C 作CD ⊙AB ，垂足为D ， ⊙⊙CAD =⊙OAB =45°，⊙⊙ACD 为等腰直角三角形，设CD =AD =x ， ⊙AC 22AD CD +2， ⊙旋转， ⊙⊙ABC =30°， ⊙BC =2CD =2x ，⊙BD 22BC CD -3，又BD =AB +AD =2+x ， ⊙2+x 3，解得：x 3，x）⊙AC故选A．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．二、填空题11．（2021·江苏省天一中学九年级）如图，直线y＝x+b（b>0)与x轴、y轴分别交于点A、B，点P在第一象限内，⊙OPB=45o，则线段OP、AP、BP满足的数量关系式为______．【答案】BP2+2OP2=AP2【分析】以OP为边作等腰直角三角形OPQ，证明⊙AOP⊙⊙BOQ，得到AP=BQ，证明⊙BPQ为直角三角形，得到BP2+PQ2=BQ2，再利用等量代换即可得到结论．【详解】解：如图，以OP为边作等腰直角三角形OPQ，则OP=OQ，⊙POQ=90°，⊙OPQ=⊙OQP=45°=PQ，⊙直线y=x+b与x轴、y轴分别交于点A、B，令x=0，则y=b，令y=0，则x=-b，即A（-b，0），B（0，b），即OA=OB=b，⊙⊙OAB是等腰直角三角形，⊙OAB=⊙OBA=45°，⊙⊙AOB+⊙POB=⊙POQ+⊙POB，即⊙AOP=⊙BOQ，OA=OB，OP=OQ，11⊙⊙AOP ⊙⊙BOQ （SAS ）， ⊙AP =BQ ， ⊙⊙OPB =45°，⊙⊙BPQ =⊙OPB +⊙OPQ =90°， ⊙在⊙BPQ 中，BP 2+PQ 2=BQ 2， ⊙BP 2+2OP 2=AP 2，故答案为：BP 2+2OP 2=AP 2．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，有一定难度，解题的关键是添加辅助线，构造出全等三角形． 12．（2021·清远市清新区凤霞中学九年级一模）如图，点D 是锐角AOB ∠内一点，DE OA ⊥于点E ，点F 是线段OE 的一个动点，点G 是射线OB 的一个动点，连接DF 、FG 、GD ，当DFG 的周长最小时，FDG ∠与AOB ∠的数量关系式是________．【答案】2180FDG AOB ∠+∠=︒ 【分析】作D 关于OA 的对称点D ′，作D 关于OB 的对称得D ″，连接D ′D ″，交OA 、OB 于F 、G ，此时⊙DFG 的周长最小，最小值为D ′D ″，连OD 、OD ′、OD ″，根据轴对称的性质得出⊙GOD ⊙⊙GOD ″，⊙FOD ⊙⊙FOD ′，即可得出⊙BOD =⊙BOD ′，⊙ODG =⊙OD ″G ，⊙DOA =⊙AOD ′，⊙ODF =⊙ODF ′，由⊙D ′OD ″=2⊙AOB ，⊙GDF =⊙ODF ′+⊙ODG ″根据三角形内角和定理即可得出2⊙AOB +⊙GDF =180°．【详解】解：作D关于OA的对称点D′，作D关于OB的对称得D″，连接D′D″，交OA、OB于F、G，此时⊙DFG的周长最小，最小值为D′D″，连OD、OD′、OD″，由轴对称的性质可知，⊙GOD⊙⊙GOD″，⊙FOD⊙⊙FOD′，⊙⊙BOD=⊙BOD″，⊙ODG=⊙OD″G，⊙DOA=⊙AOD′，⊙ODF=⊙OD′F，⊙⊙D′OD″=2⊙AOB，⊙GDF=⊙OD′F+⊙OD″G，⊙⊙D′OD″+⊙OD′F+⊙OD″G=180°，⊙2⊙AOB+⊙GDF=180°，故答案为2⊙AOB+⊙GDF=180°．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．13．（2021·石家庄市第二十八中学九年级）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP再将PCQ△，ADQ△分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．请完成下列探究：（1）AD与BC所在直线的位置关系______；（2）PAQ的大小为______°；（3）当四边形APCD是平行四边形时，ABQR的值为______．【答案】//AD BC30° 【分析】13（1）根据折叠性质和平角定义证得180D C ∠+∠=︒，再根据平行线的判定可得AD 与BC 所在直线的位置关系；（2）根据折叠性质和平角定义证得90B AQP ∠=∠=︒，再根据平行线的性质证得90B DAB ∠=∠=︒，进而由DAQ QAP PAB ∠=∠=∠求解即可；（3）根据折叠性质和平行四边形的性质证得AR PR =，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证得12QR AP =，然后根据直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求得2AP PB =， PB QR =，223AB AP PB PB -，进而求解即可．【详解】解：（1）由折叠的性质可得：B AQP ∠=∠，DAQ QAP PAB ∠=∠=∠，DQA AQR ∠=∠，CQP PQR ∠=∠，D ARQ ∠=∠，C QRP ∠=∠，⊙180QRA QRP ∠+∠=︒， ⊙180D C ∠+∠=︒， ⊙//AD BC ，故答案是：AD ⊙BC ；（2）⊙180DQR CQR ∠+∠=︒，DQA AQR ∠=∠，CQP PQR ∠=∠， ⊙90DQA CQP ∠+∠=︒， ⊙90AQP ∠=︒， ⊙90B AQP ∠=∠=︒，由（1）结论知180B DAB ∠+∠=︒， ⊙90DAB ∠=︒，⊙30DAQ QAP PAB ∠=∠=∠=︒，故答案为：30；（2）由折叠的性质可得：AD AR =，CP PR =， ⊙四边形APCD 是平行四边形， ⊙AD PC =， ⊙AR PR =，又⊙90AQP ∠=︒，⊙12QR AP =， ⊙30PAB ∠=︒，90B ∠=︒， ⊙2AP PB =， ⊙PB QR =，⊙AB =，⊙AB ABQR PB==【点睛】本题考查折叠性质、平行线的判定与性质、平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、平角定义，熟练掌握折叠性质和相关知识的联系是解答的关键．14．（2021·连云港市新海实验中学九年级）如图，正方形ABCD 中，AB =O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE =4，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，连接AE 、CF ，则线段OF 长的最小值为_____【答案】4．【分析】连接DO ，将线段DO 绕点D 逆时针旋转90°得DM ，连接OF ，FM ，OM ，证明⊙EDO ⊙⊙FDM ，可得FM ＝OE ＝4，由条件可得OM ＝OF +MF ≥OM ，即可得出OF 的最小值．【详解】解：如图，连接DO ，将线段DO 绕点D 逆时针旋转90°得DM ，连接OF ，FM ，OM ， ⊙⊙EDF ＝⊙ODM ＝90°， ⊙⊙EDO ＝⊙FDM ， ⊙DE ＝DF ，DO ＝DM ， ⊙⊙EDO ⊙⊙FDM （SAS ）， ⊙FM ＝OE ＝4，⊙正方形ABCD 中，AB ＝O 是BC 边的中点，⊙OC ＝15⊙OD 22(45)(25)+10， ⊙OM 221010+102 ⊙OF +MF ≥OM ， ⊙OF ≥24，⊙线段OF 长的最小值为1024．故答案为：1024．【点睛】本题考查了图形旋转，全等三角形的判定和性质、正方形的性质和两点之间距离，熟练掌握并准确应用是解题的关键．15．（2021·哈尔滨市虹桥初级中学校九年级）已知．在ABC 中，42AB =45ABC ∠=︒，5AC =，则线段BC 的长为___________．【答案】7或1 【分析】作AD ⊙BC 于点D ，分类讨论点C 在BD 延长线上或BD 上，通过勾股定理进行求解即可．【详解】解：作AD ⊙BC 于点D ，⊙当点C 在BD 延长线上时， ⊙45ABC ∠=︒，90ADB ∠=︒， ⊙ABD △为等腰直角三角形，⊙222AD BD AB +=，即(22242AD =， ⊙4=AD ，在Rt ACD △中，由勾股定理得：2222543CD AC AD -=-，⊙7BC BD CD =+=；⊙当点C '在BD 上时，同⊙可得：4AD BD ==，3C D '=， ⊙1BC BD C D ''=-=．故答案为：7或1．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，无图形时注意考虑是否需要分类讨论．三、解答题16．（2021·江苏南通市·）（1）甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的1.5倍，两厂各加工600套防护服，甲厂比乙厂要少用4天．求甲、乙两厂每天各加工多少套防护服？（2）如图，点C ，D 在线段AB 上，CE ⊙AB ，DF ⊙AB ，AC =BD ，AE =BF ，点G 为AB ，EF 的交点，求证CD 与EF 互相平分．【答案】（1）甲厂每天加工75套防护服，乙厂每天加工50套防护服；（2）见解析【分析】（1）利用甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的1．5倍设乙厂每天加工x 套防护服，则甲厂每天加工1.5x 套防护服，根据等量关系是乙工作量除以以的工作效率-甲工作量除以甲工作效率=4天列方程解之即可；（2）连结ED ，CF ，CE ⊙AB ，DF ⊙AB ，可得⊙ECA =⊙FDB ，可证⊙ACE ⊙⊙BDF （HL ）可得CE =DF ,且CE∥DF ,可证四边形CFDE 为平行四边形，可得CD 与EF 互相平分．【详解】（1）解：设乙厂每天加工x 套防护服，则甲厂每天加工1.5x 套防护服，根据题意，得60060041.5x x-=，解得x ＝50，经检验：x ＝50是所列方程的解，则1.5x ＝75．答：甲厂每天加工75套防护服，乙厂每天加工50套防护服．17（2）证明：连结ED ，CF ， ⊙CE ⊙AB ，DF ⊙AB ， ⊙⊙ECA =⊙FDB =90°，在Rt ⊙ACE 与Rt ⊙BDF 中，AC BDAE BF =⎧⎨=⎩， ⊙⊙ACE ⊙⊙BDF （HL ）， ⊙CE =DF ，又⊙⊙ECD =⊙FDC =90°， ⊙CE∥DF ，⊙四边形CFDE 为平行四边形， ⊙CD 与EF 互相平分．【点睛】本题考查列分式方程解应用题，与三角形全等判定与性质，平行四边形判定与性质，掌握列分式方程解应用题，与三角形全等判定与性质，平行四边形判定与性质是解题关键． 17．（2021·河南郑州外国语中学九年级）在ABC 中，3AC BC ==120ACB ∠=︒，在ADE 中，90DAE ∠=︒，30AED ∠=︒，1AD =，连接BD ，BE ，点F 是BD 的中点，连接CF ．（1）如图1，当顶点D 在边AB 上时，线段BE 与线段CF 的数量关系是______，线段BE 与线段CF 的位置关系是；（2）将ADE 绕点A 旋转，转到图2的位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；（3）在ADE 绕点A 旋转的过程中，线段AF 的最大值为______；当//DE CF 时，线段CF 的长为______．【答案】（1）BE =，BE CF ⊥；（2）仍然成立，见解析；（3）12,2或1【分析】（1）过点A 作AG AB ⊥，交BC 延长线与点G ，连接GD 并延长交BE 于点H ，证明ADG⊙AEB ，得BE ABGD AG=AGD ABE ∠=∠，再证明CF 为BGD 的中位线即可证明结论；（2）与（1）同理可证明结论仍然成立；（3）延长AF 到点K ，使FK AF =，连接BK ，通过SAS 证明AFD ⊙KFB ，得1BK AD ==，在ABK 中，利用第三边小于两边之和，得AK AB BK <+，求出AK 最大为4，则AF 最大为2即可，当//DE CF 时，由（1）中证明可知//DG CF ，则G ，D ，E 三点共线，分点E 在D 下方，或点E 在点D 上方两种情形，分别画图进行计算即可．【详解】解：（1）过点A 作AG AB ⊥，交BC 延长线与点G ，，连接GD 并延长交BE 于点H ，AC BC =，120ACB ∠=︒， 30CAB CBA ∴∠=∠=︒，60GAC AGC ∴∠=∠=︒， AC CG BC ∴==，∴点C 为BG 的中点，AG AD AB AE == 且DAG EAB ∠=∠，ADG ∴⊙AEB ，BE ABGD AG∴==AGD ABE ∠=∠，193BE DG ∴=，点C ，F 分别是BG ，BD 的中点，CF ∴为BGD 的中位线，//CF GD ∴，12CF GD =，3BE CF ∴=，又ADG BDH ∠=∠，90BHD GAD ∴∠=∠=︒， GH BE ∴⊥， //CF GD ， CF BE ∴⊥，故答案为：23BE CF =，CF BE ⊥，（2）（1）中结论仍然成立，过点A 作AG AB ⊥，交BC 延长线与点G ，，连接GD 并延长交BE 于点H ，设GD 交AB 于点O ，由（1）同理可证ADG ⊙AEB ， 3BE ABGD AG∴∴==AGD ABE ∠=∠， 3BE DG ∴=，点C ，F 分别是BG ，BD 的中点，CF ∴为BGD 的中位线，//CF GD ∴，12CF GD =，3BE CF ∴=，又AOG BOH ∠=∠，90BHD GAO ∴∠=∠=︒， GH BE ∴⊥， //CF GD ， CF BE ∴⊥，故答案为：BE =，CF BE ⊥，（3）如图，延长AF 到点K ，使FK AF =，连接BK ，DF BF =，AF FK =，AFD BFK ∠=∠， AFD ∴⊙KFB ， 1BK AD ∴==，在ABK 中， AK AB BK <+，4AK ∴<，∴当4AK =时，AF 最大为2，当//DE CF 时，由（2）中证明可知//DG CF ，G ∴，D ，E 三点共线，如图，当点E 在点D 下方时，AG AE ==30E ∠=︒，3GE ∴=，211GD ∴=，1122CF DG ∴==，当点E 与G 重合时，此时//DE CF ，112CF DE ∴==，综上：1CF =或12，故答案为：2，1或12．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了含30角的直角三角形，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线定理等知识，是作辅助线，构造三角形相似或者全等是解题的关键，综合性较强，难度较大．18．（2021·长沙市北雅中学）（1）如图1，正方形ABCD 和正方形DEFG （其中AB DE >），连接CE ，AG 交于点H ，请直接写出线段AG 与CE 的数量关系________，位置关系________；（2）如图2，矩形ABCD 和矩形DEFG ，2AD DG =，2AB DE =，AD DE =，连接AG ，CE 交于点H ，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AG ，CE 的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）矩形ABCD 和矩形DEFC ，26AD DG ==，28AB DE ==，直线AG ，CE 交于点H ，当点E 与点H 重合时，请直接写出线段AE 的长．【答案】（1）相等，垂直；（2）不成立，CE=2AG，AG⊙CE，理由见解析；（3）16 5【分析】（1）根据正方形的性质，证明⊙GDA⊙⊙EDC即可得到打啊；（2）证明⊙GDA⊙⊙EDC，即可求解；（3）分⊙当点E在线段AG上时；⊙当G在线段AE上时；两种情况进行讨论求解即可.【详解】解：（1）在正方形ABCD和正方形DEFG中，⊙ADC=⊙EDG=90°，⊙⊙ADE+⊙EDG=⊙ADC+⊙ADE，即⊙ADG=⊙CDE，⊙DG=DE，DA=DC，⊙⊙GDA⊙⊙EDC（SAS），⊙AG=CE，⊙GAD=⊙ECD，⊙⊙COD=⊙AOH，⊙⊙AHO=⊙CDO=90°，⊙AG⊙CE，故答案为：相等，垂直；（2）不成立，CE=2AG，AG⊙CE，理由如下：设AD与CE交于M，由（1）知⊙ADE+⊙EDG=⊙ADC+⊙ADE，即⊙ADG=⊙EDC，⊙AD=2DG，AB=2DE，AD=DE，又⊙四边形ABCD是矩形，⊙AB=CD，⊙12 DG DE DEAD AB CD===，⊙⊙GDA⊙⊙EDC，23⊙12AD AG CD CE ==，⊙ECD =⊙GAD ， ⊙CE =2AG ， ⊙⊙CMD =⊙AMH ， ⊙⊙AHM =⊙CDM =90°， ⊙AG ⊙CE ；（3）⊙当点E 在线段AG 上时，如图所示， ⊙AD =2DG =6，AB =2DE =8， ⊙DG =3，ED =4， ⊙四边形DEFG 是矩形， ⊙⊙EDG =90°，⊙225EG DG DE +=，过点D 作DP ⊙AG 于P ，⊙⊙DPG =⊙EDG =90°，⊙DGP =⊙EGD ， ⊙⊙DGP ⊙⊙EGD ， ⊙DG PG PDEG DG DE==即3534PG PD ==，⊙95PG =，125PD =，⊙22621AP AD PD =-=⊙62116AE AG GE AP GP GE -=-=+-=⊙当G 在线段AE 上时，如图所示，过点D 作DP ⊙AG 于P ，⊙DPG =⊙EDG =90°，⊙DGP =⊙EGD ，同理得125PD =，AP =由勾股定理得165PE ==⊙AE AP PE =+=综上所述：AE =【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.19．（2021·扬州中学教育集团树人学校）如图1，在⊙ABC 中，⊙ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，M 为AB 的中点．D 是射线BC 上一个动点，连接AD ，将线段AD 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AE ，连接ED ，N 为ED 的中点，连接AN ，MN ．（1）当BD ＝1时，AN ＝，NM 与AB 的位置关系是；（2）当2＜BD ＜4时，⊙依题意补全图2；⊙判断（1）中NM 与AB 的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；（3）连接ME ，在点D 运动的过程中，当BD 的长为何值时，ME 的长最小？最小值是多少？请直接写出结果．25【答案】（110（2）⊙画图见分析；⊙不会发生变化，证明见分析；（3）BD 的长为3时，ME 的长最小，最小值为1．【分析】（1）根据已知条件得到1CD =，根据勾股定理得到22125AD +到ADE 是等腰直角三角形，求得10DE =根据直角三角形的性质得到1102AN DE ==122AM AB ==ACD AMN ∽，根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）⊙根据题意补全图形即可；⊙根据等腰直角三角形的性质得到45CAB B ∠=∠=︒，求得45CAN NAM ∠+∠=︒，根据旋转的性质得到AD AE =，90DAE ∠=︒，推出ACD AMN ∽，由相似三角形的性质得到AMN ACD ∠=∠，即可得到结论；（3）连接ME ，EB ，过M 作MG EB ⊥于G ，过A 作AK AB ⊥交BD 的延长线于K ，得到AKB △是等腰直角三角形，推出ADK ABE △≌△，根据全等三角形的性质得到45ABE K ∠=∠=︒，证得BMG △是等腰直角三角形，求出2BC =，22AB =2MB ，由ME MG ≥，于是得到当ME MG =时，ME 的值最小，根据等量代换即可得到结论．【详解】解：（1）⊙90ACB ∠=︒，2AC BC ==，1BD =， ⊙2CD =，⊙225AD AC CD +⊙将线段AD 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AE ， ⊙ADE 是等腰直角三角形， ⊙210DE AD == ⊙N 为ED 的中点， ⊙1102AN DE ==⊙M 为AB 的中点，⊙12AM AB ==⊙AN AD ==，AM AC = ⊙AN AMAD AC=， ⊙45CAB DAN ∠=∠=︒， ⊙CAD BAN ∠=∠， ⊙ACD AMN ∽， ⊙90AMN C ∠=∠=︒， ⊙MN AB ⊥．（2）⊙补全图形如下图所示；⊙（1）中NM 与AB 的位置关系不会发生变化．理由如下：⊙90ACB ∠=︒，AC BC =， ⊙45CAB B ∠=∠=︒， ⊙45CAN NAM ∠+∠=︒，⊙将线段AD 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AE ， ⊙AD AE =，90DAE ∠=︒， ⊙N 为ED 的中点，⊙1452DAN DAE ∠=∠=︒，AN DE ⊥，⊙45CAN DAC ∠+∠=︒ ⊙NAM DAC ∠=∠，在Rt AND △中，452AN cos DAN cos AD =∠=︒=，同理45AC cos AB =︒，27⊙AC ANAB AD=， ⊙45DAC CAN MAN ∠=︒-∠=∠， ⊙ACD AMN ∽， ⊙AMN ACD ∠=∠， ⊙D 在BC 的延长线上， ⊙18090ACD ACB ∠=︒-∠=︒， ⊙90AMN∠=︒，⊙MN AB ⊥．（3）连接ME ，EB ，过M 作MG EB ⊥于G ，过A 作AK AB ⊥交BD 的延长线于K ，则AKB △是等腰直角三角形，在ADK △与ABE △中，AK ABKAD BAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ⊙ADK ABE △≌△， ⊙45ABE K ∠=∠=︒， ⊙BMG △是等腰直角三角形， ⊙2BC =，⊙22AB =2MB ⊙451MG cos MB =︒=， ⊙90G ∠=︒， ⊙ME MG ≥，⊙当ME MG =时，ME 的值最小， ⊙1ME BE ==， ⊙1DK BE ==， ⊙2CK BC ==， ⊙1CD =， ⊙3BD =，⊙BD 的长为3时，ME 的长最小，最小值为1．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 20．（2021·湖北十堰市·九年级）如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC 、BE ，点P 为DC 的中点．（1）观察图1，猜想线段AP 与BE 的数量关系是______，位置关系是______；（2）把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论是否仍然成立，若成立请证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由；（3）把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若6DE =，10BC =，请直接写出线段AP 长的取值范围．【答案】（1）12AP BE =，AP BE ⊥；（2）12AP BE =，AP BE ⊥仍成立，理由见解析；（3）AP ≤ 【分析】（1）证明⊙BAE ⊙⊙CAD ，继而结合直角三角形中斜边中线的性质即可得答案；（2）延长PA 交BE 于N ，延长AP 到M 使PM AP =，连接CM ，用三角形全等推出12AP BE =，再得到//AD CM ，用平行线的性质和判定就可以证明AP BE ⊥．（3）利用三角形三边关系求出AM 的范围即可确定线段AP 长的取值范围．【详解】（1）12AP BE =，AP BE ⊥；理由如下： ⊙AB =AC ，⊙BAE =⊙CAD =90°，AD =AE ， ⊙⊙BAE ⊙⊙CAD ， ⊙BE =CD ，⊙ABE =⊙ACD ，又⊙P 为CD 中点， ⊙AP =CP =12CD ，29⊙12AP BE =，⊙ACD =⊙CAP ， ⊙⊙ABE +⊙AEB =90°， ⊙⊙CAP +⊙AEB =90°， ⊙⊙ANE =90°， ⊙AP BE ⊥（2）成立．12AP BE =，AP BE ⊥．理由如下：延长PA 交BE 于N ，延长AP 到M 使PM AP =，连接CM ，DPA CPM ∠=∠，⊙点P 为DC 的中点，⊙DP PC = 则ADP MCP ≅△△，⊙AD CM AE ==，DAP M ∠=∠， ⊙//AD CM ，⊙M DAP ∠=∠，180DAC ACM ∠+∠=︒．又⊙90BAC DAE ∠=∠=︒， ⊙180DAC BAE ∠+∠=︒， ⊙ACM BAE ∠=∠，又⊙AB AC =， ⊙BAE ACM ≅△△，⊙M AEB DAP ∠=∠=∠，BE AM =， ⊙12AP AM =， ⊙12AP BE =．又⊙90EAN DAP ∠+∠=︒， ⊙90EAN AEB ∠+∠=︒， ⊙90ENA ∠=︒，即AP BE ⊥．（3）⊙⊙AED ，⊙ABC 都是等腰直角三角形，6DE =，10BC =，⊙AD =AE ，AC =AB ，又由（2）知，CM =AD ⊙AM ≤⊙AM ≤ ⊙12AP AM =，AP ≤ 【点睛】此题考查的是三角形的旋转和相似三角形的综合题，熟悉掌握三角形旋转和相识三角形的性质和灵活的作品辅助线是解题的关键．21．（2021·北京市三帆中学）已知点P 为线段AB 上一点，将线段AP 绕点A 逆时针旋转α，得到线段AC ；再将线段BP 终点B 逆时针旋转180α︒-，得到线段BD ；连接AD ，取AD 中点M ，连接BM ，CM ．（1）当60a =︒．⊙如图1，点P 为AB 中点时，补全图形，直接写出线段BM 与CM 的位置关系______．数量关系______．⊙如图2，当点P 不为AB 中点时，写出线段BM 与CM 的数量关系与位置关系，并证明．（2）如图3，当45α=︒，点P 为AB 中点时，直接写出线段AP ，BP ，BC 的数量关系______．【答案】（1）⊙BM ⊙CM ；；⊙BM ⊙CM ；，见解析；（2）22222BC BC AP BP ==+【分析】（1）⊙延长BM到点E，使得BM=ME，连接AE，CE，DE，通过证明⊙CAE⊙⊙CPB，证明⊙CEB是等边三角形，利用等腰三角形三线合一思想计算即可；⊙的结论不变，证明方法与⊙类似；（2）延长BM到点G，使得BM=MG，连接AG，CG，DG，证明三角形ACG是等腰直角三角形即可【详解】（1）⊙如图1, 延长BM到点E，使得BM=ME，连接AE，CE，DE，⊙M是AD的中点，⊙AM=MD，⊙BM=ME，⊙四边形AEDB是平行四边形，⊙AE=BD，AE∥BD，⊙PB=BD，⊙PB=AE，⊙⊙CAP=60°，AC=AP，⊙⊙APC是等边三角形，⊙AC=PC，⊙ACP=⊙APC=60°，⊙⊙CPB=120°，⊙⊙CAP=60°，⊙⊙PBD=120°，⊙⊙BAE=60°，⊙⊙CAE=120°，⊙⊙CAE=⊙CPB，⊙⊙CAE⊙⊙CPB，⊙CE=CB，⊙ACE=⊙PCB，⊙⊙ACE+⊙PCE=⊙PCB+⊙PCE，⊙⊙ACP=⊙BCE=60°，⊙⊙CEB是等边三角形，⊙BM=ME，31⊙BM⊙CM，⊙tan60°=CM BM，⊙CM；故答案为：BM⊙CM；CM；⊙关系为：BM⊙CM；CM；理由如下：如图2, 延长BM到点F，使得BM=MF，连接AF，CF，DF，⊙M是AD的中点，⊙AM=MD，⊙BM=MF，⊙四边形AFDB是平行四边形，⊙AF=BD，AF∥BD，⊙PB=BD，⊙PB=AF，⊙⊙CAP=60°，AC=AP，⊙⊙APC是等边三角形，⊙AC=PC，⊙ACP=⊙APC=60°，⊙⊙CPB=120°，⊙⊙CAP=60°，⊙⊙PBD=120°，⊙⊙BAF=60°，⊙⊙CAF=120°，⊙⊙CAF=⊙CPB，⊙⊙CAF⊙⊙CPB，⊙CF=CB，⊙ACF=⊙PCB，⊙⊙ACF+⊙PCF=⊙PCB+⊙PCF，⊙⊙ACP=⊙BCF=60°，⊙⊙CFB是等边三角形，33⊙BM =MF ，⊙BM ⊙CM ， ⊙tan 60°=CMBM， ⊙CM 3；（2）如图3, 延长BM 到点G ，使得BM =MG ，连接AG ，CG ，DG ， ⊙M 是AD 的中点， ⊙AM =MD ， ⊙BM =MG ，⊙四边形AGDB 是平行四边形， ⊙AG =BD ，AG∥BD ， ⊙PB =BD ， ⊙PB =AG ， ⊙AP =PB =AC⊙AP =PB =AG =AC =BD ， ⊙⊙CAP =45°， ⊙⊙PBD =135°， ⊙⊙BAG =45°， ⊙⊙CAG =90°，⊙⊙CAN =⊙GAN ，⊙ANC =90°，⊙AN =NC =NG ， ⊙在直角三角形BCN 中， 222CN BN BC +=，⊙222))PB PB BC ++=，⊙22222BC BC AP BP ==【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角函数，熟练运用上面的知识，准确推理是解题的关键．22．（2021·河南信阳·）在ABC ∆中，BD AC ⊥于点D ，点Р为射线BD 上任一点（点B 除外）连接AP ，将线段PA 绕点Р顺时针方向旋转α︒，ABC α=∠，得到PE ，连接CE ．（1）（观察发现）如图1，当BA BC =，且60ABC ∠=︒时，BP 与CE 的数量关系是___________，BC 与CE 的位置关系是___________．（2）（猜想证明）如图2，当BA BC =，且90ABC ∠=︒时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（请选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）（3）（拓展探究）在（2）的条件下，若8AB =，AP =CE 的长．【答案】（1）BP CE =，BC CE ⊥；（2）BC CE ⊥成立，BP CE =不成立，BP 与CE 的关系为CE =，见解析；（3）2或14 【分析】（1）连接AE ，证明⊙ABC 、⊙APE 为等边三角形，再证明ABP ACE ∆∆≌，根据全等三角形的性质可得BP=CE ，ABP ACE ∠=∠，再求得30ABP ACE ∠=∠=︒，即可得90ACE ACB ∠+∠=︒，所有BC CE ⊥．（2）BC CE ⊥成立，BP CE =不成立，BP 与CE 的关系为CE =．选图2证明：连接AE ，易证BAP CAE ∆∆∽，根据相似三角形的性质可得CE CABP BA==ACE ABP ∠=∠，根据等腰直角三角形的性质可得45ABD CBD ACB ACE ∠==︒∠∠==∠，由此可得3590BCE BCA ACE ∠=∠+∠=︒，结论可证；选图3证明，类比图2的证明方法即可；（3）分图2和图3两种情况求CE 的长即可．【详解】（1）如图，连接AE ，⊙BA BC =，且60ABC ∠=︒， ⊙⊙ABC 为等边三角形，⊙60ABC BAC ACB ∠=∠=∠=︒，AB =AC ， ⊙PE PA =，且60APE α∠==︒， ⊙⊙APE 为等边三角形， ⊙60PAE ∠=︒，AP =AE ，⊙BAC PAC PAE PAC ∠-∠=∠-∠， ⊙BAP CAE ∠=∠；在⊙BAP 和⊙CAE 中， AB AC BAP CAE AP AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ⊙ABP ACE ∆∆≌，⊙BP=CE ，ABP ACE ∠=∠，⊙BD AC ⊥，BA BC =， 60ABC ∠=︒， ⊙⊙ABP =30°，⊙30ABP ACE ∠=∠=︒， ⊙90ACE ACB ∠+∠=︒， ⊙BC CE ⊥．故答案为：BP CE =，BC CE ⊥．（2）BC CE ⊥成立，BP CE =不成立，BP 与CE 的关系为2CE BP =．理由如下：选图2证明：连接AE ，。

解三角形压轴题

解三角形压轴题
【实用版】
目录
一、解三角形压轴题
1.介绍解三角形压轴题的概念。

2.分析解三角形压轴题的难点和重点。

3.提出解决解三角形压轴题的思路和方法。

4.总结解三角形压轴题的解题技巧。

正文
一、解三角形压轴题的概念
解三角形压轴题是数学中的一种题型，主要考察学生的空间想象能力、解题能力和推理能力。

它通常涉及三角形的边长、角度、周长等参数，需要学生运用几何、代数等知识来解决。

二、解三角形压轴题的难点和重点
解三角形压轴题的难点在于需要学生具备扎实的数学基础和较强的
解题能力，需要学生结合三角形的性质和几何图形的特点进行推导和分析。

重点在于掌握解三角形的基本方法和解题技巧，能够灵活运用数学知识解决实际问题。

三、解决解三角形压轴题的思路和方法
1.确定三角形的边长和角度，建立方程式。

2.利用三角函数、勾股定理等知识进行求解。

3.结合几何图形的特点进行推导和分析，解决复杂的几何问题。

4.注意方程式的求解方法和计算细节，避免出现错误。

四、解三角形压轴题的解题技巧
1.认真审题，分析题目中的条件和问题，确定解题思路。

2.运用基础知识，建立方程式并进行求解。

3.注意计算细节，避免出现错误。

4.结合几何图形的特点进行推导和分析，提高解题效率。

初二数学：三角形知识点总结及压轴题练习(附答案解析)

初二三角形所有知识点总结和常考题知识点：1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13.公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.⑶多边形内角和公式：n边形的内角和等于(2)n-·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.⑸多边形对角线的条数：①从n边形的一个顶点出发可以引(3)n-条对角线，把多边形分成(2)n-个三角形.②n边形共有(3)2n n-条对角线.常考题：一．选择题（共13小题）1．已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm2．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90°B．100°C．130° D．180°3．已知如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A．315°B．270° C．180° D．135°4．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A．B．C．D．5．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（）A．90°﹣αB．90°+αC．D．360°﹣α6．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（）A．40°B．30°C．20°D．10°7．如图，在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE相交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC=（）A．150°B．130°C．120° D．100°8．如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA=15米，OB=10米，A、B间的距离不可能是（）A．20米B．15米C．10米D．5米9．将一个n边形变成n+1边形，内角和将（）A．减少180°B．增加90°C．增加180°D．增加360°10．一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（）A．27 B．35 C．44 D．5411．一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（）A．内角和增加360°B．外角和增加360°C．对角线增加一条 D．内角和增加180°12．一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形13．如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（）A．13 B．14 C．15 D．16二．填空题（共13小题）14．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是．15．如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了米．16．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为度．17．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为．18．若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形边数是．19．如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=．20．一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是．21．若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是．22．在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C满足∠B﹣∠A=∠C﹣∠B，则∠B=度．23．如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013=度．24．如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF=度．25．用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC=度．26．平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2=．三．解答题（共14小题）27．如图，直线DE交△ABC的边AB、AC于D、E，交BC延长线于F，若∠B=67°，∠ACB=74°，∠AED=48°，求∠BDF的度数．28．如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A=35°，∠D=42°，求∠ACD的度数．29．已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF．30．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，（1）若∠ABE=25°，∠BAD=50°，则∠BED的度数是度．（2）在△ADC中过点C作AD边上的高CH．（3）若△ABC的面积为60，BD=5，求点E到BC边的距离．31．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度数；（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明．32．如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E，∠AFD=158°，求∠EDF的度数．33．如图，AD平分∠BAC，∠EAD=∠EDA．（1）∠EAC与∠B相等吗？为什么？（2）若∠B=50°，∠CAD：∠E=1：3，求∠E的度数．34．（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A=30°，则∠ABC+∠ACB=，∠XBC+∠XCB=．（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ 仍然分别经过B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．35．已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON 上的动点（A、B、C不与点O 重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．（1）如图1，若AB∥ON，则①∠ABO的度数是；②当∠BAD=∠ABD时，x=；当∠BAD=∠BDA时，x=．（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．36．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD 是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．37．如下几个图形是五角星和它的变形．（1）图（1）中是一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E．（2）图（2）中的点A向下移到BE上时，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化说明你的结论的正确性．（3）把图（2）中的点C向上移到BD上时（1）如图（3）所示，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有无变化说明你的结论的正确性．38．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2=°；（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：；（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：．39．如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．40．将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．（1）如果A′落在四边形BCDE的内部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．（2）如果A′落在四边形BCDE的BE边上，这时图1中的∠1变为0°角，则∠A′与∠2之间的关系是．（3）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由．初二三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．（2008•福州）已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm【分析】此题首先根据三角形的三边关系，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值．【解答】解：根据三角形的三边关系，得：第三边应大于两边之差，且小于两边之和，即9﹣4=5，9+4=13．∴第三边取值范围应该为：5＜第三边长度＜13，故只有B选项符合条件．故选：B．【点评】本题考查了三角形三边关系，一定要注意构成三角形的条件：两边之和＞第三边，两边之差＜第三边．2．（2013•河北）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90°B．100°C．130° D．180°【分析】设围成的小三角形为△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角，再利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解．【解答】解：如图，∠BAC=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1，∠ABC=180°﹣60°﹣∠3=120°﹣∠3，∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2，在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2=180°，∴∠1+∠2=150°﹣∠3，∵∠3=50°，∴∠1+∠2=150°﹣50°=100°．故选：B．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角是解题的关键，也是本题的难点．3．（2010•西藏）已知如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A．315°B．270° C．180° D．135°【分析】利用三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和解答．【解答】解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，即∠1+∠2=2∠C+（∠3+∠4），∵∠3+∠4=180°﹣∠C=90°，∴∠1+∠2=2×90°+90°=270°．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．4．（2015•长沙）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．【解答】解：为△ABC中BC边上的高的是A选项．故选A．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．5．（2014•达州）如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD 的平分线交于点P，则∠P=（）A．90°﹣αB．90°+αC．D．360°﹣α【分析】先求出∠ABC+∠BCD的度数，然后根据角平分线的性质以及三角形的内角和定理求解∠P的度数．【解答】解：∵四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D）=360°﹣α，∵PB和PC分别为∠ABC、∠BCD的平分线，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠BCD）=（360°﹣α）=180°﹣α，则∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（180°﹣α）=α．故选：C．【点评】本题考查了多边形的内角和外角以及三角形的内角和定理，属于基础题．6．（2009•荆门）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A 落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（）A．40°B．30°C．20°D．10°【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠A′DB=∠CA'D ﹣∠B，又折叠前后图形的形状和大小不变，∠CA'D=∠A=50°，易求∠B=90°﹣∠A=40°，从而求出∠A′DB的度数．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，∴∠B=90°﹣50°=40°，∵将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠CA'D=∠A，∵∠CA'D是△A'BD的外角，∴∠A′DB=∠CA'D﹣∠B=50°﹣40°=10°．故选：D．【点评】本题考查图形的折叠变化及三角形的外角性质．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．解答此题的关键是要明白图形折叠后与折叠前所对应的角相等．7．（2004•陕西）如图，在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE相交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC=（）A．150°B．130°C．120° D．100°【分析】根据垂直的定义和四边形的内角和是360°求得．【解答】解：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADC=∠AEB=90°，∴∠BPC=∠DPE=180°﹣50°=130°．故选B．【点评】主要考查了垂直的定义以及四边形内角和是360度．注意∠BPC与∠DPE 互为对顶角．8．（2009•黑河）如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA=15米，OB=10米，A、B间的距离不可能是（）A．20米B．15米C．10米D．5米【分析】根据三角形的三边关系，第三边的长一定大于已知的两边的差，而小于两边的和，求得相应范围，看哪个数值不在范围即可．【解答】解：∵15﹣10＜AB＜10+15，∴5＜AB＜25．∴所以不可能是5米．故选：D．【点评】已知三角形的两边，则第三边的范围是：＞已知的两边的差，而＜两边的和．9．（2014•临沂）将一个n边形变成n+1边形，内角和将（）A．减少180°B．增加90°C．增加180°D．增加360°【分析】利用多边形的内角和公式即可求出答案．【解答】解：n边形的内角和是（n﹣2）•180°，n+1边形的内角和是（n﹣1）•180°，因而（n+1）边形的内角和比n边形的内角和大（n﹣1）•180°﹣（n﹣2）•180=180°．故选：C．【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要识记的内容．10．（2015•莱芜）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（）A．27 B．35 C．44 D．54【分析】设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法，即可解答．【解答】解：设这个内角度数为x°，边数为n，∴（n﹣2）×180﹣x=1510，180n=1870+x=1800+（70+x），∵n为正整数，∴n=11，∴=44，故选：C．【点评】此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，属于需要识记的知识．11．（2011春•滨城区期末）一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（）A．内角和增加360°B．外角和增加360°C．对角线增加一条 D．内角和增加180°【分析】利用多边形的内角和定理和外角和特征即可解决问题．【解答】解：因为n边形的内角和是（n﹣2）•180°，当边数增加一条就变成n+1，则内角和是（n﹣1）•180°，内角和增加：（n﹣1）•180°﹣（n﹣2）•180°=180°；根据多边形的外角和特征，边数变化外角和不变．故选：D．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和特征．先设这是一个n 边形是解题的关键．12．（2012•滨州）一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【分析】已知三角形三个内角的度数之比，根据三角形内角和定理，可求得三角的度数，由此判断三角形的类型．【解答】解：三角形的三个角依次为180°×=30°，180°×=45°，180°×=105°，所以这个三角形是钝角三角形．故选：D．【点评】本题考查三角形的分类，这个三角形最大角为180°×＞90°．本题也可以利用方程思想来解答，即2x+3x+7x=180，解得x=15，所以最大角为7×15°=105°．13．（2014•毕节市）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（）A．13 B．14 C．15 D．16【分析】根据多边形内角和公式，可得新多边形的边数，根据新多边形比原多边形多1条边，可得答案．【解答】解：设新多边形是n边形，由多边形内角和公式得（n﹣2）180°=2340°，解得n=15，原多边形是15﹣1=14，故选：B．【点评】本题考查了多边形内角与外角，多边形的内角和公式是解题关键．二．填空题（共13小题）14．（2015•资阳）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是8．【分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意，得（n﹣2）•180=3×360，解得n=8．则这个多边形的边数是8．【点评】已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．15．（2006•镇江）如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了120米．【分析】由题意可知小亮所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和即可求出答案．【解答】解：∵360÷30=12，∴他需要走12次才会回到原来的起点，即一共走了12×10=120米．故答案为：120．【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°．16．（2014•随州）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为75度．【分析】根据三角形三内角之和等于180°求解．【解答】解：如图．∵∠3=60°，∠4=45°，∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°．故答案为：75．【点评】考查三角形内角之和等于180°．17．（2013•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为30°．【分析】根据已知一个内角α是另一个内角β的两倍得出β的度数，进而求出最小内角即可．【解答】解：由题意得：α=2β，α=100°，则β=50°，180°﹣100°﹣50°=30°，故答案为：30°．【点评】此题主要考查了新定义以及三角形的内角和定理，根据已知得出β的度数是解题关键．18．（2013•遂宁）若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形边数是9．【分析】根据多边形内角和定理及其公式，即可解答；【解答】解：∵一个多边形内角和等于1260°，∴（n﹣2）×180°=1260°，解得，n=9．故答案为9．【点评】本题考查了多边形的内角定理及其公式，关键是记住多边形内角和的计算公式．19．（2015•北京）如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°．【分析】首先根据图示，可得∠1=180°﹣∠BAE，∠2=180°﹣∠ABC，∠3=180°﹣∠BCD，∠4=180°﹣∠CDE，∠5=180°﹣∠DEA，然后根据三角形的内角和定理，求出五边形ABCDE的内角和是多少，再用180°×5减去五边形ABCDE的内角和，求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于多少即可．【解答】解：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=（180°﹣∠BAE）+（180°﹣∠ABC）+（180°﹣∠BCD）+（180°﹣∠CDE）+（180°﹣∠DEA）=180°×5﹣（∠BAE+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA）=900°﹣（5﹣2）×180°=900°﹣540°=360°．故答案为：360°．【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）n边形的内角和=（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）．（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．20．（2014•自贡）一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是9．【分析】多边形的内角和比外角和的3倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是3×360°+180°．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个多边形的边数是n，得到方程，从而求出边数．【解答】解：根据题意，得（n﹣2）•180°=3×360°+180°，解得：n=9．则这个多边形的边数是9．故答案为：9．【点评】考查了多边形内角与外角，此题只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解．21．（2015•徐州）若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是 9 ．【分析】首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数．【解答】解：∵正多边形的一个内角是140°，∴它的外角是：180°﹣140°=40°，360°÷40°=9．故答案为：9．【点评】此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数．22．（2013•黔东南州）在△ABC 中，三个内角∠A 、∠B 、∠C 满足∠B ﹣∠A=∠C ﹣∠B ，则∠B= 60 度．【分析】先整理得到∠A +∠C=2∠B ，再利用三角形的内角和等于180°列出方程求解即可．【解答】解：∵∠B ﹣∠A=∠C ﹣∠B ，∴∠A +∠C=2∠B ，又∵∠A +∠C +∠B=180°，∴3∠B=180°，∴∠B=60°．故答案为：60．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，是基础题，求出∠A +∠C=2∠B 是解题的关键．23．（2013•达州）如图，在△ABC 中，∠A=m°，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2；…∠A 2012BC 和∠A 2012CD的平分线交于点A 2013，则∠A 2013= 度．【分析】利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证∠A 1=∠A ，进而可求∠A 1，由于∠A 1=∠A ，∠A 2=∠A 1=∠A ，…，以此类推可知∠A 2013=∠A=°．【解答】解：∵A 1B 平分∠ABC ，A 1C 平分∠ACD ，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CA=∠ACD，∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC，即∠ACD=∠A1+∠ABC，∴∠A1=（∠ACD﹣∠ABC），∵∠A+∠ABC=∠ACD，∴∠A=∠ACD﹣∠ABC，∴∠A1=∠A，∴∠A1=m°，∵∠A1=∠A，∠A2=∠A1=∠A，…以此类推∠A2013=∠A=°．故答案为：．【点评】本题考查了角平分线性质、三角形外角性质，解题的关键是推导出∠A1=∠A，并能找出规律．24．（2012春•金台区期末）如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF=74度．【分析】利用三角形的内角和外角之间的关系计算．【解答】解：∵∠A=40°，∠B=72°，∴∠ACB=68°，∵CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，∴∠BCE=34°，∠BCD=90﹣72=18°，∵DF⊥CE，∴∠CDF=90°﹣（34°﹣18°）=74°．故答案为：74．【点评】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）三角形的内角和是180度，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；（3）三角形的一个外角＞任何一个和它不相邻的内角．注意：垂直和直角总是联系在一起．25．（2006•临安市）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC= 36度．【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题．【解答】解：∵∠ABC==108°，△ABC是等腰三角形，∴∠BAC=∠BCA=36度．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质．n边形的内角和为：180°（n﹣2）．26．（2015•河北）平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2=24°．【分析】首先根据多边形内角和定理，分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形的每个内角的度数是多少，然后分别求出∠3、∠1、∠2的度数是多少，进而求出∠3+∠1﹣∠2的度数即可．【解答】解：正三角形的每个内角是：180°÷3=60°，正方形的每个内角是：360°÷4=90°，正五边形的每个内角是：（5﹣2）×180°÷5=3×180°÷5=540°÷5=108°，正六边形的每个内角是：（6﹣2）×180°÷6=4×180°÷6=720°÷6=120°，则∠3+∠1﹣∠2=（90°﹣60°）+（120°﹣108°）﹣（108°﹣90°）=30°+12°﹣18°=24°．故答案为：24°．【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）n边形的内角和=（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）．（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．三．解答题（共14小题）27．（2013春•临清市期末）如图，直线DE交△ABC的边AB、AC于D、E，交BC延长线于F，若∠B=67°，∠ACB=74°，∠AED=48°，求∠BDF的度数．【分析】先根据三角形的内角和定理求出∠A的度数，再根据三角形外角的性质求出∠BDF的度数．【解答】解：因为∠A+∠B+∠ACB=180°，所以∠A=180°﹣67°﹣74°=39°，所以∠BDF=∠A+∠AED=39°+48°=87°．【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是外角和内角的关系．28．（2013•湖州校级模拟）如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB 于F交AC于E，∠A=35°，∠D=42°，求∠ACD的度数．【分析】根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答．【解答】解：∵∠AFE=90°，∴∠AEF=90°﹣∠A=90°﹣35°=55°，∴∠CED=∠AEF=55°，∴∠ACD=180°﹣∠CED﹣∠D=180°﹣55°﹣42°=83°．答：∠ACD的度数为83°．【点评】三角形外角与内角的关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形内角和定理：三角形的三个内角和为180°．29．（2015秋•全椒县期中）已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE 平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF．【分析】题目中有两对直角，可得两对角互余，由角平分线及对顶角可得两对角相等，然后利用等量代换可得答案．【解答】证明：∵∠ACB=90°，∴∠1+∠3=90°，∵CD⊥AB，∴∠2+∠4=90°，又∵BE平分∠ABC，∴∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵∠4=∠5，∴∠3=∠5，即∠CFE=∠CEF．【点评】本题考查了三角形角平分线、中线和高的有关知识；正确利用角的等量代换是解答本题的关键．30．（2010春•横峰县校级期末）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，（1）若∠ABE=25°，∠BAD=50°，则∠BED的度数是度．（2）在△ADC中过点C作AD边上的高CH．（3）若△ABC的面积为60，BD=5，求点E到BC边的距离．【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，∠BED=∠ABE+∠BAE=75°；（2）三角形高的基本作法：用圆规以一边两端点为圆心，任意长为半径作两段弧，交于角的两边，再以交点为圆心，用交轨法作两段弧，找到两段弧的交点，连接两个交点，并过另一端点作所成直线的平行线，叫该边所在直线一点，连接该点和另一端点，则为高线；（3）我们通过证明不难得出三角形中线将三角形分成面积相等的两个三角形，那么可依据D是BC中点，E是AD中点，求出三角形BED的面积．三角形BDE 中，E到BD的距离就是BD边上的高，有了三角形BDE的面积，BD的长也容易求得．那么高就求出来了．【解答】解：（1）∠BED=∠ABE+∠BAE=75°；（2）CH为所求的高．（3）解：如图，过点E作EF⊥BD于点F，∵AD是BC的中线∴BD=CD=S△ACD==×60=30∴S△ABD=S△ABE==×30=15同理S△BED又∵S=BD•EF=×5EF=15△BED∴EF=6即点E到BC边的距离为6．【点评】本题主要考查了基本作图中，三角形高的作法，三角形的内角和外角等知识点．31．（2015春•单县期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度数；（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明．【分析】（1）中，首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠DAC的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出∠ADC的度数，进一步求得∠E的度数；（2）中，根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系．【解答】解：（1）∵∠B=35°，∠ACB=85°，∴∠BAC=60°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=30°，∴∠ADC=65°，∴∠E=25°；（2）．设∠B=n°，∠ACB=m°，∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2=∠BAC，∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，∵∠B=n°，∠ACB=m°，∴∠CAB=（180﹣n﹣m）°，∴∠BAD=（180﹣n﹣m）°，∴∠3=∠B+∠1=n°+（180﹣n﹣m）°=90°+n°﹣m°，∵PE⊥AD，∴∠DPE=90°，∴∠E=90°﹣（90°+n°﹣m°）=（m﹣n）°=（∠ACB﹣∠B）．【点评】运用了三角形的内角和定理以及角平分线的定义．特别注意第（2）小题，由于∠B和∠ACB的大小不确定，故表达式应写为两种情况．32．（2010春•朝阳区期末）如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E，∠AFD=158°，求∠EDF的度数．【分析】要求∠EDF的度数，只需求出∠BDE和∠FDC的度数即可，由FD⊥BC，得∠FDC=90°；而∠BDE在Rt△BDE中，故只需求出∠B的度数．因∠B=∠C，只需求出∠C的度数即可．因∠AFD是△CDF的外角，∠AFD=158°∴∠C=∠AFD﹣∠FDC=158°﹣90°=68°．【解答】解：∵FD⊥BC，所以∠FDC=90°，∵∠AFD=∠C+∠FDC，∴∠C=∠AFD﹣∠FDC=158°﹣90°=68°，∴∠B=∠C=68°．∵DE⊥AB，∵∠DEB=90°，∴∠BDE=90°﹣∠B=22°．又∵∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°，∴∠EDF=180°﹣∠BDE﹣∠FDC=180°﹣22°﹣90°=68°．【点评】考查三角形内角和定理，外角性质，垂直定义等知识．33．（2014春•岱岳区期末）如图，AD平分∠BAC，∠EAD=∠EDA．（1）∠EAC与∠B相等吗？为什么？（2）若∠B=50°，∠CAD：∠E=1：3，求∠E的度数．【分析】（1）由于AD平分∠BAC，根据角平分线的概念可得∠BAD=∠CAD，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，结合已知条件可得∠EAC 与∠B相等；（2）若设∠CAD=x°，则∠E=3x°．根据（1）中的结论以及三角形的内角和定理及其推论列方程进行求解即可．【解答】解：（1）相等．理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．又∠EAD=∠EDA，∴∠EAC=∠EAD﹣∠CAD=∠EDA﹣∠BAD=∠B；。

八年级全等三角形压轴题

全等三角形压轴题复习1、如图，已知A（－2，3），B（－5，0），C（－1，0），△ABC和△A1B1C1关于x轴对称，（1）作△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，直接写出点A1坐标；（2）在y轴上有一点P使AP＋A1P最小，直接写出点P的坐标；（3）请直接写出点A关于直线x=m（直线上各点的横坐标都为m）对称的点的坐标．知识点一、全等三角形的常见模型与辅助线【知识梳理】1、常见辅助线：（1）角平分线： .（2）垂直平分线： .（3）中线： .（4）等腰三角形： .（5）线段和（差）： .2、常见的模型：（1）三垂直：（2）手拉手：（3）夹半角：（4）对角互补：（5）脚拉脚：【例题精讲一】最短路径1、平面直角坐标系中，已知A(4，3)、B(2，1)，x轴上有一点P，要使PA－PB最大，则P点坐标为___________。

2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，AD平分∠CAB交BC于D，点E、F分别是AD、AC 上的动点，点O为AB中点，点M在AB上，且AM＝AC，则CE＋EF的最小值等于（）A．点O到点C的距离B．点M到点C的距离C．点O到BC边上的距离 D．点C到AB的距离（第2题）（第3题）（第5题）3、如图，在四边形ABCD中，DA⊥AB，DA＝6 cm，∠B＋∠C＝150°．CD与BA延长交于E点，点A刚好是BE的中点，P、Q分别是线段CE、BE上的动点，则BP＋PQ最小值是 .4、已知A（3,1），B（5,2），点P（a，0）在x轴上，当PBPA 达到最大值时，a = 。

5、如图，等边△ABC中，BF是AC边上中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，∠CFE的大小是 .【课堂练习】1、如图，已知∠MON＝40°，P为△MON内一点，A为OM上的点，B为ON上的点．当△PAB的周长取最小值时，则∠APB的度数为___________。

2020年中考数学第三轮冲刺专题复习：三角形压轴题练习(含答案)

四川省渠县崇德实验学校2020年中考数学第三轮冲刺专题复习：三角形压轴题练习1、如图，等腰直角三角形△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AC边上一点，∠CBD＝30°，点E是BD边上一点，且CE＝12 AB．（1）如图①，若AB＝，求S△CBE（2）如图②，过点E作EQ⊥BD交BC于点Q，求证：AC＝12BD+2EQ．2、如图，等边三角形ABC中，E是线段AC上一点，F是BC延长线上一点．连接BE，AF．点G是线段BE的中点，BN∥AC，BN与AG延长线交于点N．（1）若∠BAN＝15°，求∠N；（2）若AE＝CF，求证：2AG＝AF．3、已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB中点，连接CD．点E为边AC上一点，过点E作EF∥AB，交CD于点F，连接EB，取EB的中点G，连接DG、FG．（1）求证：EF＝CF；（2）求证：FG⊥DG．4、△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB交CD于F，CH⊥EF于H，连接DH，求证：（1）EH＝FH；（2）∠CAB＝2∠CDH．5、如图，在△ABC中，AD平分∠CAB交BC于点D，过点C作CE⊥AD于E，CE的延长线交AB于点F，点G是BF的中点，连接EG．（1）求证：EG∥BC；（2）若△ACD∽△AEC，且AE•AD＝16，AB＝4，求EG的长．6、如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2＝AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD＝4，AB＝6，求ACAF的值．7、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，M是CD中点，且∠AMD＝∠BMD，AP∥CD交BC延长线于P点，延长BM交P A于N点，且PN＝AN．（1）求证：MN＝MA；（2）求证：∠CDA＝2∠ACD．8、如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，点D在边AB上，点E在边AC的左侧，连接AE．（1）求证：AE＝BD；（2）试探究线段AD、BD与CD之间的数量关系；（3）过点C作CF⊥DE交AB于点F，若BD：AF＝1：，CD，求线段AB的长．9、如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长线上，且BD＝DE．（1）若点D是AC的中点，如图1，求证：AD＝CE．（2）若点D不是AC的中点，如图2，试判断AD与CE的数量关系，并证明你的结论：（提示：过点D作DF∥BC，交AB于点F．）（3）若点D在线段AC的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，给予证明；如果不成立，请说明理由．10、在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC上一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，D为AB上一点，且满足AE＝AD，过点A作AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M，求证：BG＝AF+FG．11、如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，点D，E分别为AB，BC上一点，BD＝BE，连接DE，DC，AC＝CD．（1）如图1，若AC＝DE＝EC的长；（2）如图2，连接AE交DC于点F，点M为EC上一点，连接AM交DC于点N，若AE＝AM，求证：2DE＝MC；（3）在（2）的条件下，若∠ACB＝45°，直接写出线段AD，MC，AC的等量关系．12、把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠C＝∠F＝45°，AB＝DE ＝4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．（1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证△APD∽△CDQ．此时AP•CQ的值为．将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，则AP•CQ的值是否会改变？答：．（填“会”或“不会”）此时AP•CQ的值为．（不必说明理由）（2）在（1）的条件下，设CQ＝x，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．（图2、图3供解题用）（3）在（1）的条件下，PQ能否与AC平行？若能，求出y的值；若不能，试说明理由．14、已知：△ABC与△ABD中，∠CAB＝∠DBA＝β，且∠ADB+∠ACB＝180°．提出问题：如图1，当∠ADB＝∠ACB＝90°时，求证：AD＝BC；类比探究：如图2，当∠ADB≠∠ACB时，AD＝BC是否还成立？并说明理由．综合运用：如图3，当β＝18°，BC＝1，且AB⊥BC时，求AC的长．15、已知△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，在△ADE中，AD＝AE，连接BD、CE，若∠DAE＝∠BAC，求证：BD＝CD；（2）如图2，在△ADE中，AD＝AE，连接BE、CE，若∠DAE＝∠BAC＝60°，CE⊥AD于点F，AE＝4，AC=7，求BE的长；（3）如图3，在△BCD中，∠CBD＝∠CDB＝45°，连接AD，若∠CAB＝45°，求AD AB的值．16、已知等边△ABC和等腰△CDE，CD＝DE，∠CDE＝120°．（1）如图1，点D在BC上，点E在AB上，P是BE的中点，连接AD，PD，则线段AD与PD之间的数量关系为；（2）如图2，点D在△ABC内部，点E在△ABC外部，P是BE的中点，连接AD，PD，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若点D在△ABC内部，点E和点B重合，点P在BC下方，且PB+PC为定值，当PD最大时，∠BPC的度数为．参考答案1、【解答】（1）解：如图①中，作CH ⊥BD 于H ．∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，AB ＝∴AC ＝BC ＝2，在Rt △BCH 中，∵∠CBH ＝30°，∴CH ＝12BC ＝1，BH ，∵CE ＝12AB ，∴HE 1，∴BE ﹣1，∴S △CBE ＝12•BE •CH ＝12•1）•1＝2．（2）证明：如图②中，连接DQ 、作CH ⊥BD 于H ．∵=CE CH AB BC ＝12，∠CHE ＝∠ACB ＝90°， ∴△CHE ∽△ACB ，∴∠CEH ＝∠ABC ＝45°，∵∠DCQ ＝∠DEQ ＝90°，∴∠DCQ +∠DEQ ＝180°，C 、D 、E 、Q 四点共圆，∴∠CQD ＝∠CED ＝45°，∴△CDQ 是等腰直角三角形，∴CD ＝CQ ，AD ＝BQ ，∵AC ＝CD +AD ，CQ ＝CQ ＝12BD ，BQ ＝2EQ ， ∴AC ＝12BD +2EQ ． 2、【解答】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∵AC∥BN，∴∠NBC＝∠ACB＝60°，∴∠ABN＝∠ABC+∠NBC＝120°，∴在△ABN中，∠N＝180°﹣∠ABN﹣∠BAN＝180°﹣120°﹣15°＝45°；（2）∵AC∥BN，∴∠N＝∠GAE，∠NBG＝∠AEG，又∵点G是线段BE的中点，∴BG＝EG，∴△NBG≌△AEG（AAS），∴AG＝NG，AE＝BN，∵AE＝CF，∴BN＝CF，∵∠ACB＝60°，∴∠ACF＝180°﹣∠ACB＝120°，∴∠ABN＝∠ACF，又∵AB＝AC，∴△ABN≌△ACF（SAS），∴AF＝AN，∵AG＝NG＝12 AN，∴AF＝2AG．3、【解答】证明：（1）如图，∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 为AB 中点， ∴CD 是斜边AB 上的中线，∴CD ＝AD ＝BD ＝12AB ．又EF ∥AB ， ∴=EF CF AD CD， ∴=EF AD CF CD ＝1， ∴EF ＝CF ；（2）如图，延长DG 交BC 于点M ，连接GM∴DM 为△BAC 的中位线，GM 为△BEC 的中位线，DG 为△BAE 的中位线； ∴DG ＝2AE ，GM ＝2EC ， ∴+==1+DM AE EC EC DG AE AE，又EF ∥AB ，易证得=EC FC AE DF， ∴+=1+=1+==DM EC FC DF FC DF DG AE DF DF FC ，在△DGF 与△DMC 中，有∠FDG=∠CDM ，=DM DC DG DF；故△DGF ∽△DMC ；所以∠FGD ＝∠CMD ；又∠CMD ＝180°﹣∠ACB ＝90°，∴∠FGD ＝90°，∴FG ⊥DG ．4、【解答】解：（1）∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，∴∠CAE +∠AEC ＝∠DAF +∠AFD ＝90°，∴∠AFD ＝∠AEC ，∵∠AFD ＝∠CFE ，∴∠CFE ＝∠CEF ，∴CF ＝CE ，∵CH ⊥EF ，∴HE ＝HF ；（2）∵∠ADF ＝∠CHF ＝90°，∠AFD ＝∠CFH ，∴△ADF ∽△CFH ， ∴=CF HF AF DF，∵∠AFC ＝∠DFH ，∴△AFC ∽△DFH ，∴∠CAF ＝∠CDH ，∵∠CAD ＝2∠CAF ，∴∠CAB ＝2∠CDH ．5、【解答】证明：（1）∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAE ＝∠F AE ．∵CE ⊥AD ，∴∠CEA ＝∠FEA ＝90°．在△ACE 和△AFE 中，∠CAE=∠FAE ，AE=AE ，∠CEA=∠FEA=90°， ∴△ACE ≌△AFE ．∴CE ＝FE ．又∵G 是BF 的中点，∴EG ∥BC ．（2）∵△ACD ∽△AEC ，CE ⊥AD ，∴∠ACD ＝∠AEC ＝90°，且=AC AE AD AC． ∴AC 2＝AE •AD ＝16．∴AC＝4．在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，由勾股定理得：BC8．∵EG是△FBC的中位线，∴EG＝11=8=4 22×BC．6、【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC＝AC：AB，∴AC2＝AB•AD；（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE＝12AB＝AE，∴∠EAC＝∠ECA，∵∠DAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD；（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE＝AF：CF，∵CE＝12 AB，∴CE＝12×6＝3，∵AD＝4，∴4=3AFCF，∴7=4ACAF．7、【解答】证明：（1）∵AP∥CD，∴∠AMD＝∠MAN，∠BMD＝∠MNA，∵∠AMD＝∠BMD，∴∠MAN＝∠MNA，∴MN＝MA．（2）如图，连接NC，∵AP∥CD，且PN＝AN．∴＝＝，∴MC＝MD，∴CN为直角△ACP斜边AP的中线，∴CN＝NA，∠NCA＝∠NAC，∵AP∥CD，∴∠NCM＝2∠ACD，∵∠CMN＝∠DMB，∠DMA＝∠BMD，∴∠CMD＝∠DMA，在△CMN和△DMA中，CM=MD，∠CMN=∠DMA，MN=MA，∴△CMN≌△DMA（SAS），∠ADM＝∠NCM＝2∠ACD．即：∠CDA＝2∠ACD．8、【解答】（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝90°∴∠ACB﹣∠ACD＝∠ECD﹣∠ACD∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD．（2）解：由（1）得△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝∠CBD，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠CBA＝∠CAE＝45°，∴∠EAD＝90°，在Rt△ADE中，AE2+AD2＝ED2，且AE＝BD，∴BD2+AD2＝ED2，∵ED CD，（3）解：连接EF ，设BD ＝x ，∵BD ：AF ＝1：，则AF ＝x ，∵△ECD 都是等腰直角三角形，CF ⊥DE ，∴DF ＝EF ，由（1）、（2）可得，在Rt △F AE 中，EF ＝3x ，∵AE 2+AD 2＝2CD 2∴222x +=2（），解得x ＝1，∴AB ＝+4．9、【解答】（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，AB ＝AC ＝BC ，∵D 为AC 中点，∴∠DBC ＝30°，AD ＝DC ，∵BD＝DE，∴∠E＝∠DBC＝30°∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∴∠CDE＝30°＝∠E，∴CD＝CE，∵AD＝DC，∴AD＝CE；（2）成立，如图2，过D作DF∥BC，交AB于F，则∠ADF＝∠ACB＝60°，∵∠A＝60°，∴△AFD是等边三角形，∴AD＝DF＝AF，∠AFD＝60°，∴∠BFD＝∠DCE＝180°﹣60°＝120°，∵DF∥BC，∴∠FDB＝∠DBE＝∠E，在△BFD和△DCE中，∠FDB=∠E，∠BFD=∠DCE，BD=DE，∴△BFD≌△DCE，∴CE＝DF＝AD，即AD＝CE．（3）（2）中的结论仍成立，如图3，过点D作DP∥BC，交AB的延长线于点P，∵△ABC是等边三角形，∴△APD也是等边三角形，∴AP＝PD＝AD，∠APD＝∠ABC＝∠ACB＝∠PDC＝60°，∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠DEC，∵DP∥BC，∴∠PDB＝∠CBD，∴∠PDB＝∠DEC，在△BPD和△DCE中，∠FDB=∠DEC，∠P=∠DCE=60°，DB=DE，∴△BPD≌△DCE，∴PD＝CE，∴AD＝CE．10、【解答】（1）解：如图1中，在AB上取一点M，使得BM＝ME，连接ME．在Rt△ABE中，∵OB＝OE，∴BE＝2OA＝2，∵MB＝ME，∴∠MBE＝∠MEB＝15°，∴∠AME＝∠MBE+∠MEB＝30°，设AE＝x，则ME＝BM＝2x，AM，∵AB2+AE2＝BE2，∴（2x）2+x2＝22，（负根已经舍弃），∴x＝2∴AB＝AC＝（•2∴BC AB．（2）作CQ⊥AC，交AF的延长线于Q，∵AD＝AE，AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ABE＝∠ACD，∵∠BAC＝90°，FG⊥CD，∴∠AEB＝∠CMF，∴∠GEM＝∠GME，∴EG＝MG，∵∠ABE＝∠CAQ，AB＝AC，∠BAE＝∠ACQ＝90°，∴△ABE≌△CAQ（ASA），∴BE＝AQ，∠AEB＝∠Q，∴∠CMF＝∠Q，∵∠MCF＝∠QCF＝45°，CF＝CF，∴△CMF≌△CQF（AAS），∴FM＝FQ，∴BE＝AQ＝AF+FQ＝AF＝FM，∵EG＝MG，∴BG＝BE+EG＝AF+FM+MG＝AF+FG．11、解：（1）如图1，过点C作CG⊥AB于G，∴∠AGC＝∠AGB＝90°，∵AC＝CD，∴AG＝DG，设DG＝a，∵BD＝BE，∠ABC＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD ＝DE ＝∴BG ＝BD +DG ＝+a ，在Rt △BGC 中，∠BCG ＝90°﹣∠ABC ＝30°，∴BC ＝2BG ，CG ＝，在Rt △DGC 中，CD ＝AC ＝根据勾股定理得，CG 2+DG 2＝CD 2，∴（）2+a 2＝90，∴a ＝2或a ＝2（舍）， ∴BC ＝EC +BE ＝EC +BD ，∴EC +BD ＝2（BD +DG ），∴EC ＝BD +2DG ＝2+2a ＝2+2×＝9﹣；（2）如图2，在MC 上取一点P ，使MP ＝DE ，连接AP ，∵△BDE 是等边三角形，∴∠BED ＝60°，BE ＝DE ，∴∠DEC ＝120°，BE ＝PM ，∵AE ＝AM ，∴∠AEM ＝∠AME ，∴∠AEB ＝∠AMP ，∴△ABE ≌△APM （SAS ），∴∠APM＝∠ABC＝60°，∴∠APC＝120°＝∠DEC，过点M作AC的平行线交AP的延长线于Q，∴∠MPQ＝∠APC＝120°＝∠DEC，∵AC＝CD，∴∠ADC＝∠DAC，∴∠CDE＝180°﹣∠BDE﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣∠DAC＝120°﹣∠DAC，在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠DAC＝120°﹣∠DAC＝∠CDE，∵MQ∥AC，∴∠PMQ＝∠ACB，∴∠PMQ＝∠EDC，∴△MPQ≌△DEC（ASA），∴MQ＝CD，∵AC＝MQ，∴△APC≌△QPM（AAS），∴CP＝MP，∴CM＝MP+CP＝2DE；（3）如备用图，在MC上取一点P，使PM＝DE，由（2）知，MC＝2CP＝2DE，由（2）知，△ABE≌△APM，∴AB＝AP，∵∠ABC＝60°，∴△ABP是等边三角形，∴BP＝AB，∵BE＝BD，∴PE＝AD，∴BC＝BE+PE+CP＝DE+PE+DE＝2DE+AD＝MC+AD，过点A作AH⊥BC于H，设BH＝m，在Rt△ABH中，AH，在Rt△ACH中，∠ACB＝45°，∴∠CAH＝90°﹣∠ACB＝45°＝∠ACB，∴CH＝AH，AC AH m，∵MC+AD＝BC＝BH+CH＝m m＝（m，∴MC+AD．12、【解答】解：（1）8，不会，8；∵∠A＝∠C＝45°，∠APD＝∠QDC＝90°，∴△APD ∽△CDQ ．∴AP ：CD ＝AD ：CQ ．∴即AP ×CQ ＝AD ×CD ，∵AB ＝BC ＝4，∴斜边中点为O ，∴AP ＝PD ＝2，∴AP ×CQ ＝2×4＝8；将三角板DEF 由图1所示的位置绕点O 沿逆时针方向旋转，设旋转角为α． ∵在△APD 与△CDQ 中，∠A ＝∠C ＝45°，∠APD ＝180°﹣45°﹣（45°+a ）＝90°﹣a ，∠CDQ ＝90°﹣a ，∴∠APD ＝∠CDQ ．∴△APD ∽△CDQ ． ∴=AP CD AD CQ， ∴AP •CQ ＝AD •CD ＝AD 2＝（12AC ）2＝8．（2）当0°＜α≤45°时，如图2，过点D 作DM ⊥AB 于M ，DN ⊥BC 于N ， ∵O 是斜边的中点，∴DM ＝DN ＝2，∵CQ ＝x ，则AP ＝8x，∴S △APD ＝12•8x •2＝8x ，S △DQC ＝12x ×2＝x ， ∴y ＝8﹣8x﹣x （2≤x ＜4），当45°＜α＜90°时，如图3，过点D 作DG ⊥BC 于G ，DG ＝2∵CQ ＝x ，∴AP ＝8x， ∴BP ＝8x ﹣4 ∵=BP BM DG MG，即82-x =2MG MG，MG ＝2x 4-x ∴MQ ＝2x 4-x +（2﹣x ）＝2x -4x+84-x∴y ＝2x -4x+84-x（0＜x ＜2）；（3）在图（2）的情况下，∵PQ ∥AC 时，BP ＝BQ ，∴AP ＝QC∴x ＝8x，解得x ＝， ∴当x ＝时，y ＝8﹣＝8﹣．14、【解答】提出问题：解：在△DBA和△CAB中，∠ADB=∠ACB，∠CAB=∠DBA，AB=BA ∴△DBA≌△CAB（AAS），∴AD＝BC；类比探究：结论仍然成立．理由：作∠BEC＝∠BCE，BE交AC于E．∵∠ADB+∠ACB＝∠AEB+∠BEC＝180°，∴∠ADB＝∠AEB．∵∠CAB＝∠DBA，AB＝BA，∴△DBA≌△EAB（AAS），∴BE＝AD，∵∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE，∴AD ＝BC ．综合运用：作∠BEC ＝∠BCE ，BE 交AC 于E ．由（2）得，AD ＝BC ＝BE ＝1．在Rt △ACB 中，∠CAB ＝18°，∴∠C ＝72°，∠BEC ＝∠C ＝72°．由∠CFB ＝∠CAB +∠DBA ＝36°， ∴∠EBF ＝∠CEB ﹣∠CFB ＝36°，∴EF ＝BE ＝1．在△BCF 中，∠FBC ＝180°﹣∠BFC ﹣∠C ＝72°， ∴∠FBC ＝∠BEC ，∠C ＝∠C ，∴△CBE ∽△CFB ． ∴=CB CF CE CB，令CE ＝x ， ∴1＝x （x +1）．解得，x∴CF ．由∠FBC ＝∠C ，∴BF ＝CF ．又AF ＝BF ，∴AC ＝2CF ．15、【解答】（1）证明：如图1中，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠EAC＝∠DAB，∵AE＝AD，AC＝AB，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴EC＝BD．（2）解：如图2中，连接BD．∵AE＝AD，∠EAD＝60°，∴△AED是等边三角形，∴∠DEA＝∠CDE＝60°，∵EF⊥AD，∴∠FEA＝12∠DEA＝30°∵∠DAE＝∠BAC，∴∠EAC＝∠DAB，∵AE＝AD，AC＝AB，∴∠BDA＝∠AEC＝30°，EC＝BD，∴∠EDB＝90°，∵AE＝4，AF＝2，AC，∠EF A＝∠AFC＝90°，∴EF CF，∴EC＝BD＝∴BE（3）解：如图3中，作CM⊥CA，使得CM＝CA，连接AM，BM．∵CA＝CM，∠ACM＝90°，∴∠CAM＝45°，∵∠CAB＝45°，∴∠MAB＝45°+45°＝90°，设AB＝AC＝m，则AM m，BMm，∵∠ACM＝∠BCD＝90°，∴∠BCM＝∠ACD，∵CA＝CM，CB＝CD，∴AD ＝BM ，∴AD AB ． 16、【解答】解：（1）结论：AD ＝2PD ．理由：如图1中，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝60°，∵∠EDC ＝120°，∴∠EDB ＝180°﹣120°＝60°， ∴∠B ＝∠EDB ＝∠BED ＝60°， ∴△BDE 是等边三角形，∵BP ＝PE ，∴DP ⊥AB ，∴∠APD ＝90°，∵DE ＝DC ，DE ＝DB ，∴BD ＝CD ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，∴∠P AD＝12∠BAC＝30°，∴AD＝2PD．（2）结论成立．理由：延长DP到N，使得PN＝PD，连接BN，EN，延长ED到M，使得DM＝DE，连接BD，BM，CM．∵DE＝DC＝DM，∠MDC＝180°﹣∠EDC＝60°，∴△DCM是等边三角形，∵CA＝CB，CM＝CD，∠DCM＝∠ACB＝60°，∴∠BCM＝∠ACD，∴△BCM≌△ACD（SAS），∴AD＝BM，∵PB＝PE，PD＝PN，∴四边形BNED是平行四边形，∴BN∥DE，BN＝DE，∵DE＝DM，∴BN＝DM，BN∥DM，∴四边形BNDM是平行四边形，∴BM＝DN＝2PD，∴AD＝2PD．（3）如图3中，作∠PDK＝∠BDC＝120°，且PD＝PK，连接PK，CK．∵DB＝DC，DP＝DK，∠BDC＝∠PDK，∴∠BDP＝∠CDK，∴△PDB≌△KDC（SAS），∴PB＝CK，∵PB+PC＝PC+CK＝定值，∴P，C，K共线时，PK定值最大，此时PD的值最大，此时，∠DPB＝∠DKP＝∠DPK＝30°，∠PBC＝∠DPB+∠DPK＝60°．故答案为60°．。

初二数学全等三角形压轴题

人教版数学八年级上册第十二章全等三角形压轴题训练1.已知，是等腰直角三角形，，点在轴负半轴上，直角顶点在轴上，点在轴左侧．如图，若的坐标是，点的坐标是，求点的坐标；如图，若点的坐标为，与轴交于点，求线段的长；如图，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于点，则、、间有怎样的数量关系？并说明理由．2.如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于、两点，且，满足，且，是常数．直线平分，交轴于点．若的中点为，连接交于，求证：；如图，过点作，垂足为，猜想与间的数量关系，并证明你的猜想；如图，在轴上有一个动点在点的右侧，连接，并作等腰，其中，连接并延长交轴于点，当点在运动时，的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．3.如图，点，分别在直线，上，，顶点在点右侧的两边分别交线段于，直线于，，，交直线于点．若平分，求证：；已知的平分线与的平分线交于点请把图形补完整，并证明：．4.解答下列问题：如图，，射线在这个角的内部，点、分别在的边、上，且，于点，于点求证：如图，点、分别在的边、上，点、都在内部的射线上，、分别是、的外角已知，且求证：如图，在中，，点在边上，，点、在线段上，若的面积为，求与的面积之和．5.在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于点与点，以为边作直角三角形，并且．如图，若点在第三象限，请构造全等，求出点的坐标；若点不在第三象限，请直接写出所有满足条件的点的坐标；在的条件下，过点作交轴于点，求证：．6.已知，点在上以的速度由点向点运动，同时点在上由点向点运动．它们运动的时间为．如图，，，若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系；如图，将图中的“，”为改“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由．7.如图，点，将一个的角尺的直角顶点放在点处，角尺的两边分别交轴、轴正半轴于，即，求证：平分；作的平分线交于点，过点作轴于，求的值；把角尺绕点旋转时，的值是否会发生变化？若发生变化请说明理由；若不变请求出这个值．8.画，并画的平分线．图图图将一块足够大的三角尺的直角顶点落在射线的任意一点上，并使三角尺的一条直角边与垂直，垂足为点，另一条直角边与交于点如图证明：；把三角尺绕点旋转，三角尺的两条直角边分别交、于点、如图，与相等吗？请直接写出结论：_____填，，；若点在的反向延长线上，其他条件不变如图，与相等吗？若相等请进行证明，若不相等请说明理由．9.如图，，点是的中点，直线于点，点在直线上，直线点以每秒个单位长度的速度，从点沿路径向终点运动，运动时间设为秒．如图，当时，作直线于点，此时与全等吗请说明理由．如图，当点在上时，作于点，于点．是否存在或与全等的时刻若存在，求出的值若不存在，请说明理由．连接，当时，求的长．10.如图，已知在四边形中，，点、分别是边、上的点，连接、、，．直接写出、、三者之间的数量关系____________________；若，猜想线段、、三者之间有怎样的数量关系？并加以证明；如图，若点、分别是、延长线上的点，且，其它条件不变时，猜想线段、、三者之间有怎样的数量关系？并加以证明．11.如图：在四边形中，，，，，分别是，上的点，且探究图中线段，，之间的数量关系。

与相似三角形有关的压轴题

(六) 与相似三角形有关的压轴题1．(08苏州)如图，帆船A和帆船B在太湖湖面上训练，O为湖面上的一个定点，教练船静候于O点．训练时要求A、B两船始终关于O点对称．以O为原点．建立如图所示的坐标系，x轴、y轴的正方向分别表示正东、正北方向．设A、B两船可近似看成在双曲线4yx=上运动，湖面风平浪静，双帆远影优美．训练中当教练船与A、B两船恰好在直线y x=上时，三船同时发现湖面上有一遇险的C船，此时教练船测得C船在东南45°方向上，A船测得AC与AB的夹角为60°，B船也同时测得C船的位置（假设C船位置不再改变，A、B、C三船可分别用A、B、C三点表示)．(1)发现C船时，A、B、C三船所在位置的坐标分别为A( ，)、B( ，)和C( ，)；(2)发现C船，三船立即停止训练，并分别从A、O、B 三点出发沿最短路线同时前往救援，设A、B两船的速度相等，教练船与A船的速度之比为3：4，问教练船是否最先赶到?请说明理由。

2．（08湖州）已知：在矩形AOBC中，4OB=，3OA=．分别以OB OA，所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与B C，重合），过F点的反比例函数(0)ky kx=>的图象与AC边交于点E．（1）求证：AOE△与BOF△的面积相等；（2）记OEF ECFS S S=-△△，求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点F，使得将CEF△沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．如图1，已知双曲线y=xk (k>0)与直线A ，B 两点，点A 在第一象限.试解答下列问A 的坐标为(4，2).则点B 的坐标A 的横坐标为m ，则点B 的坐标可表示2，过原点O 作另一条直线l ，交双曲线于P ，Q 两点，点P 在第一象限.①说明四边A.P 的横坐标分别APBQ 可能是短形吗?可能是正方形吗?mn 应满足的条件；若不可能，请说5．(08德州)（1）探究新知：如图1，已知△ABC 与△ABD 的面积相等，试判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由．（2）结论应用：① 如图2，点M ，N 在反比例函数xky =（k ＞0）的图象上，过点M 作ME ⊥y 轴，过点N 作NF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ．试证明：MN ∥EF ．② 若①中的其他条件不变，只改变点M ，N 的位置如图3所示，请判断 MN 与EF 是否平行．6． (08内江)如图，一次函数y kx b =+的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数图象相交于A B ，两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，OB =B 横坐标是点B 纵坐标的2倍．（1）求反比例函数的解析式；（2）设点A 横坐标为m ，ABO △面积为S，求S 与m 的函数关系式，并求出自变量的取值范围．ABDC图 17．（07常州）已知A（－1，m）与B（2，m＋3 3 ）是反比例函数y＝kx图象上的两个点．（1）求k的值；（2）若点C（－1，0），则在反比例函数y＝kx图象上是否存在点D，使得以A、B、C、D四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．8．（07济宁）（1）已知矩形A的长、宽分别是2和1，那么是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是矩形A的周长和面积的2倍？对上述问题，小明同学从“图形”的角度，利用函数图象给予了解决，小明论证的过程开始是这样的：如果用x、y分别表示矩形的长和宽，那么矩形B满足x＋y＝6，xy＝4．请你按照小明的论证思路完成后面的论证过程．（2）已知矩形A的长和宽分别是2和1，那么是否存在一个矩形C，它的周长和面积分别是矩形A的周长和面积的一半？小明认为这个问题是肯定的，你同意小明的观点吗？为什么？第（1）题图第（2）题图9．（07长春）如图，在平面直角坐标系中，A 为y 轴正半轴上一点，过A 作x 轴的平行线，交函数2(0)y x x=-<的图象于B ，交函数6(0)y x x =>的图象于C ，过C 作y 轴的平行线交BD 的延长线于D ．（1）如果点A 的坐标为（0，2），求线段AB 与线段CA 的长度之比．（2）如果点A 的坐标为（0，a ），求线段AB 与线段CA 的长度之比．（3）在（2）的条件下，四边形AODC 的面积与．10．（07上海）如图，在直角坐标平面内，函数m y x=（0x >，m 是常数）的图象经过A （1，4），B（a ，b ），其中1a >．过点A 作x 轴垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴垂线，垂足为D ，连结AD ，DC ，CB ．（1）若△ABD 的面积为4，求点B 的坐标；（2）求证：DC//AB ；（3）当AD=BC 时，求直线AB 的函数解析式．y。

(精心整理)三角形与坐标系压轴题

三角形与坐标系压轴题解：（1）等腰三角形，证明略. …………3′（2）解法一：设BC交y轴于K，过A作AN⊥y轴于N，易证AN=CK=BK，△ANG≌△BKG，∴AG=BG，又易证AG=OG，故设∠OAG=∠AOG=x，∠GOB=∠GBO=y，∴2x+2y=180°，x+y=90°，∴AO⊥BO.解法二：连BC，∵B、C关于y轴对称，AC//y轴，∴AC⊥BC，易证△COD≌△BOE（HL），∴∠DCO=∠ABO，∴∠BAC+∠BOC=180°，设∠BAO=∠CAO=x，∠OBC=∠OCB=y，∴2x+∠BOC=180°，又2y+∠BOC=180°，∴x=y，故∠OAC=∠OBC，∴∠AOB=∠ACB=90°，∴AO⊥OB. …………7′（3）连BC，则∠ACB=90°，∵∠ACM=45°，∴CM平分∠ACB ，又AM 平分∠BAC ，∴BM 平分∠ABC ，设∠ABM=∠CBM=z ，由（2）可得∠OMB=x+z ， ∠OBM=y+z=x+z ∴∠OMB=∠OBM ，∴OM=OB 故△OBM 为等腰直角△，作MG ⊥x 轴于G ，BH ⊥x 轴于H ，易证△OMG ≌△OBH ，∴OG=BH=1，MG=OH=3∴M(-1，3). ……12′3.如图1，在平面直角坐标系中，△AOB 为等腰直角三角形，A （4，4）（1）求B 点坐标；（2）如图2，若C 为x 轴正半轴上一动点，以AC 为直角边作等腰直角△ACD ，∠ACD=90°连OD ，求∠AOD 的度数；（3）如图3，过点A 作y 轴的垂线交y 轴于E ，F 为x 轴负半轴上一点，G 在EF 的延长线上，以EG 为直角边作等腰Rt △EGH ，过A 作x 轴垂线交EH 于点M ，连FM ，等式OFFM AM =1是否成立？若成立，请证明：若不成立，说明理由.解：（1）作AE ⊥OB 于E ，∵A （4，4），∴OE=4，∵△AOB 为等腰直角三角形，且AE ⊥OB ，∴OE=EB=4，∴OB=8，∴B （8，0）；（2）作AE ⊥OB 于E ，DF ⊥OB 于F ，∵△ACD 为等腰直角三角形，∴AC=DC ，∠ACD=90°即∠ACF+∠DCF=90°，∵∠FDC+∠DCF=90°，∴∠ACF=∠FDC ，又∵∠DFC=∠AEC=90°，∴△DFC ≌△CEA ，∴EC=DF ，FC=AE ，∵A （4，4），∴AE=OE=4，∴FC=OE ，即OF+EF=CE+EF ，∴OF=CE ，∴OF=DF ，∴∠DOF=45°，∵△AOB 为等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，∴∠AOD=∠AOB+∠DOF=90°；方法一：过C 作CK ⊥x 轴交OA 的延长线于K ，则△OCK 为等腰直角三角形，OC=CK ，∠K=45°，又∵△ACD 为等腰Rt △，∴∠ACK=90°-∠OCA=∠DCO ，AC=DC ，∴△ACK ≌△DCO （SAS ），∴∠DOC=∠K=45°，∴∠AOD=∠AOB+∠DOC=90°；（3）OFFM AM =1 成立，理由如下：在AM 上截取AN=OF ，连EN ．∵A （4，4），∴AE=OE=4，又∵∠EAN=∠EOF=90°，AN=OF ，∴△EAN ≌△EOF （SAS ），∴∠OEF=∠AEN ，EF=EN ，又∵△EGH 为等腰直角三角形，∴∠GEH=45°，即∠OEF+∠OEM=45°，∴∠AEN+∠OEM=45°又∵∠AEO=90°，∴∠NEM=45°=∠FEM ，又∵EM=EM ，∴△NEM ≌△FEM （SAS ），∴MN=MF ，∴AM-MF=AM-MN=AN ，∴AM-MF=OF ，即 OFFM AM -=1；方法二：在x 轴的负半轴上截取ON=AM ，连EN ，MN ，则△EAM ≌△EON （SAS ），EN=EM ，∠NEO=∠MEA ，即∠NEF+∠FEO=∠MEA ，而∠MEA+∠MEO=90°，∴∠NEF+∠FEO+∠MEO=90°，而∠FEO+∠MEO=45°，∴∠NEF=45°=∠MEF ，∴△NEF ≌△MEF （SAS ），∴NF=MF ，∴AM=OF=OF+NF=OF+MF ，即 OFFM AM -=1．注：本题第（3）问的原型：已知正方形AEOP ，∠GEH=45°，将∠GEH 的顶点E 与正方形的顶点E 重合，∠GEH 的两边分别交PO 、AP 的延长线于F 、M ，求证：AM=MF+OF ．。

三角形(五大压轴题专练)(解析版)-2023-2024学年八年级数学上册单元速记巧练(人教版)

三角形（五大压轴题专练）【题型一三角形中高线的综合问题】(1)如图1，连接AB 、AC ，求ABC 的面积；(2)如图2，延长BA 交直线m 交于点D ，在CD 上存在点P 坐标；(3)请在备用图中画图探究：若点P 是直线m 上的一个动点，连接1CMP BCM S S -=△时，直接写出点Ｍ的坐标．【答案】(1)3(2)点P 的坐标(3,2)或(9,2)，(3)点M 的坐标为2(,0)3或2(,0)3-【分析】（1）根据点A 、B 、C 的坐标得2,OA OC OB ===（2）设(,2),(,2)D m P n ，根据BCD △的面积：113322m ⨯=⨯113(6)3(6)2222n n ⨯-⨯-⨯-⨯=，或11(6)3(6)22n n ⨯-⨯-⨯-（3）设(,2),(,2)D m P n ，根据+PCB BCM PCM S S S =△△△得132⨯1CMP BCM S S -=△得111231223t t ⨯⨯-⨯⨯=，计算得2t =，则BCD △的面积：11322m ⨯=⨯6m =，∵12ABP ABC S S =△△，∴11(6)3(6)22n n ⨯-⨯-⨯-⨯解得，3n =或9n =，∴点P 的坐标(3,2)或(9,2)；（3）解：如图3中，设(D m +PCB BCM PCM S S S =△△△，111332222t a t ⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯，13a t =，∵1CMP BCM S S -=△，(1)在题干的基础上，①如图2，点P 为BC 上一点，作PM AB ⊥，PN AC ⊥，设②如图3，当点P 在CB 延长线上时，猜想1d 、2d 之间又有什么样的数量关系，请证明你的猜想；(2)如图4，在ABC 中，10AB AC ==，12BC =，ABC S △点B 作BE BC ⊥，点P 是直线BE 上一动点，点Q 是直线值．【答案】(1)①见解析；②猜想：213412d d -=，证明见解析222∴124312d d +=②猜想：213412d d -=理由如下：，作PM AB ⊥，PN （2）作点D 关于直线BE 的对称点∴PD PD '=，PD PQ PD PQ'+=+∵点D 在BC 延长线上，则D ¢、B 、【点睛】本题考查了三角形高的定义，垂线段最短，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键．3．在平面直角坐标系中，有点(),0A a ，(0,B 单位得到线段CD ．(1)直接写出=a ______，b =______；(2)如图1，点E 为线段CD 上任意一点，点F 为线段AB 上任意一点，，求则OP CD AB ∥∥，∴180DEO EOP ∠+∠=︒，∴DEO EOP AFO ∠+∠+∠即33135360x y ++︒=︒，∴75x y +=︒，过G 作GH CD ∥，则GH ∴EGH DEG x ∠=∠=，∵6k =，∴()0,3C ，()6,6D ，设(),3K n ，∵BCK ABC ACK S S S =+△△△，∴1116663222n n ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯，【题型二三角形中中线的综合问题】【深入探究】（1）如图2，点D 在ABC 的边BC 上，点P 在AD 上．①若AD 是ABC 的中线，求证：APB APC S S =△△；②若3BD DC =，则:APB APC S S =△△______．【拓展延伸】∵点A、B、C、D分别为∴AG，BC，CE，∴12 GAH GADS S S==∴12 ADC ADGS S S==(1)如图2，延长ABC 的边BC 到点D ，使CD BC =，连接DA ．若ACD 的面积为1S ，则1S =代数式表示）；(2)如图3，延长ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD BC =，AE CA =，连接DE ．若面积为2S ，则2S =（用含a 的代数式表示）；(3)在图3的基础上延长AB 到点F ，使BF AB =，连接FD ，FE ，得到DEF （如图4）．若阴影部分的面积为3S ，则3S =（用含a 的代数式表示）；拓展应用：(4)如图5，点D 是ABC 的边BC 上任意一点，点E ，F 分别是线段AD ，CE 的中点，且ABC 的面积为延长ABC 的边BC ∴12ACD AED ECD S S S ∆∆∆==22ECD ABC S S a ∆∆∴==，即22S a =；（3）由（2）得ECD S ∆同理：2EFA ABC S S ∆∆=3ECD EFA S S S ∆∆∴=++（4）2BEF S a =△，理由如下：理由：∵点E 是线段∴ABE BDE S S = ，S △∴12BCE ABC S S = ．=，连接FD，FE，得到(3)在图3的基础上延长AB到点F，使BF AB积为3S，则3S=___________；（用含a的代数式表示）拓展与应用：(4)如图5，已知四边形ABCD的面积是a，E、F、G、H分别是AB、BC【答案】(1)a；(2)2a；(3)6a；(4)12 a．延长ABC∆的边BC∴12ACD AED ECD S S S∆∆∆==22ECD ABCS S a∆∆∴==，（4）解：如图5所示，连接则1,2AEO ABO S S S ∆∆=∴AEO AHO S S S ∆∆∆++【点睛】此题考查了阅读与理解：三角形中线的性质即等底同高的三角形面积相等，灵活运用这个结论并适当添加辅助线是解答此题的关键．【题型三三角形中角平分线的综合问题】1.已知，AB DE ∥，点C 是直线AB ，DE 下方一点，连接BC ，DC ．【点睛】本题考查平方数、二次根式的非负性，利用面积法求点的坐标，角平分线的定义，三角形内角和定理等，难度一般，解第二问的关键是熟练运用数形结合思想，解第三问的关键是利用角度等量代换．【题型四三角形内角和与外角和的综合问题】1.在ABC 中，点E 是CA 延长线上一点．(1)如图1，过点B 作BD BC ⊥，交CE 于点F ，D C ∠=∠．①若36C ∠=︒，则DAF ∠=______°；②试写出DAF ∠与C ∠的数量关系，并说明理由；③当DAF D ∠=∠时，求C ∠的度数；④若D ABD ∠=∠，请说明BA CF ⊥；(2)如图2，BD 交CE 于点F ，D C ∠=∠，直接写出DAC ∠、C ∠与DBC ∠之间的数量关系．【答案】(1)①18；②290DAF C ∠+∠=︒，理由见解析；③30C ∠=︒；④见解析(2)2DAC C DBC∠=∠+∠【分析】（1）①根据180BFC C DBC ∠=︒-∠-∠，DAF BFC D ∠=∠-∠，即可求得答案．②根据180BFC C DBC ∠=︒-∠-∠，DAF BFC D ∠=∠-∠，结合等量代换，即可求得答案．③根据②的结论，采用等量代换即可求得答案．④根据2+18090DAF C DAF D ABD FAB ∠+∠=∠+∠∠=︒-∠=︒，即可求得FAB ∠的度数，问题即可得证．（2）延长BA 至K ，根据DAC DAK CAK ∠=∠+∠，结合三角形的外角的性质可求得答案．【详解】（1）①∵0910********BFC C DBC ∠︒=︒-∠-∠=︒-︒=︒-，∴543618DAF BFC D ∠︒=︒-∠-==∠︒．故答案为：18．②290DAF C ∠+∠=︒．理由如下：∵DAK D DBA∠∠=∠+∠，CAK∴DAC DAK CAK D∠=∠+∠=∠+【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、三角形的外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），牢记三角形的外角的性质是解题的关键．中，点2．（1）如图①所示，ABC，不用说明理由，直接填空．（2）如图③所示，13OBC DBC ∠=∠，13OCB ECB ∠=∠，若A α∠=，则BOC ∠填空并说明理由．【答案】（1）902α︒+，1203α︒+．；（2）1203α︒-1(1)如图1，若AD BC ∥，求证：AC BD ∥；(2)如图2，若BD BC ⊥，垂足为B ，BD 交CE 于点G ，请探究DAE ∠论，并说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，过点D 作DF BC ∥交射线CE 于点F ，当(1)如图1，如果点F 在线段AE 上，且50C ∠=︒，30B ∠=︒，则EFD ∠=______．(2)如果点F 在ABC 的外部，分別作出CAE ∠和EDF ∠的角平分线，交于点K ，请在图2中补全图形，探究AKD ∠、C ∠、B ∠三者之间的数量关系，并说明理由：(3)如图3，若点F 与点A 重合，PE 、PC 分别平分AEC ∠和ABC 的外角ACM ∠，连接PA PG BC ⊥交BC 延长线于点G ，PH AB ⊥交BA 的延长线于点H ，若EAD CAD ∠=∠，且44（3）解：设EAD CAD ∠=∠=∵AE 平分BAC ∠，∴BAE CAE EAD ∠=∠=+∠∠∴6BAD α∠=，∵AD BC⊥【题型五多边形的内角和与外角和综合问题】1.【感知】如图1所示，在四边形AEFC 中，EB FD 、分别是边AE CF 、的延长线，我们把BEF DFE ∠∠、称为四边形AEFC 的外角，若220A C ∠+∠=︒，则BEF DFE ∠+∠=___________；【探究】如图2所示，在四边形AECF 中，EB FD 、分别是边AE AF 、的延长线，我们把BEC DFC ∠∠、称为四边形AECF 的外角，试探究A C ∠∠、与BEC DFC ∠∠、之间的数量关系，并说明理由；【应用】如图3所示，FM EM 、分别是四边形AEFC 的外角DFE BEF ∠∠、的平分线，若200A C ∠+∠=︒，则M ∠的度数为___________．【答案】（感知）220︒；（探究）A C BEC DFC∠+∠=∠+∠，理由见解析；（应用）【分析】（感知）根据四边形的内角和和邻补角的定义即可求出答案．（探究）根据四边形的内角和和邻补角的定义即可求出答案．（应用）根据四边形的内角和和邻补角定义可求出BEF DFE∠+∠的度数，结合角平分线的定义即可求出∠的度数．MFE MEF∠+∠度数，最后利用三角形内角和即可求出M①如图1，若B C ∠=∠，则C ∠=________︒；②如图2，若ABC ∠的平分线BE 交DC 于点E 、且BE AD ∥，则C ∠=③如图3，若ABC ∠和BCD ∠的平分线相交于点E ，则BEC ∠=________(2)如图3，当A D αβ∠=∠=，时，若ABC ∠和BCD ∠的平分线交于点数量关系．∵,BE CE 平分,ABC ∠∴111,222ABC ∠=∠∠=∴112(2ABC ∠+∠=∠∴在BCE 中，BEC ∠故答案为：110︒．（2）解：在四边形ABCD ∴360ABC BCD ∠+∠=∵ABC ∠和BCD ∠的平分线交于点∴111,222ABC ∠=∠∠=、两外角平分线所成的(1)如图2，在四边形ABCD 中，BP 、CP 分别平分ABC ∠和BCD ∠，则(2)如图3，在四边形ABCD 中，BM 、CM 分别平分EBC ∠和BCF ∠，请探究并说明理由.(3)在四边形ABCD 中，F ∠为ABC ∠的平分线与边CD 和BC 延长线所成角的平分线所在的直线构成的锐角，若设A α∠=，D β∠=，则F ∠=.（用α、β表示）【答案】(1)()1P A D ∠=∠+∠BF 平分ABC ∠，CF 平分12CBF ABC ∴∠=∠，DCF ∠180DCG BCD ∠=︒-∠ ，。

专题04 有关全等三角形的常见压轴题(原卷版)-【聚焦压轴】2022届中考数学压轴大题专项训练

专题4 有关全等三角形的常见压轴题1．（2021·杏花岭·山西实验中学九年级月考）如图，平面直角坐标系中()2,0A ，()0,1D ，过O 作OB AD ⊥于点E ，B 为第一象限的点，过点B 作BC y ⊥轴于点C ，连接BC 、BA ．（1）求直线AD 的解析式；（2）若CD BC =，求证：OBC ADO ≌△△；（3）在第（2）问条件下，若点M 是直线AD 上的一个动点，在x 轴上存在另一个点N ，且以O 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N 的坐标． 2．（2021·甘肃兰州十一中九年级月考）如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的一条角平分线，AN 为△ABC 的外角∠BAM 的平分线，BE ⊥AN ，垂足为E ．已知AD ＝4，BD ＝3．（1）求证：四边形ADBE 是矩形；（2）如图2，延长AD 至点F ，使AF ＝AB ，连接BF ，G 为BF 的中点，连接EG ，DG ．求EG 的长．（3）如图3，在（2）问的条件下，P 为BE 边上的一个动点，连接PG 并延长交AD 延长线于点Q ，连接CQ ，H 为CQ 的中点，求点P 从E 点运动到B 点时，点H 所经过的路径长．3．（2021·合肥市第四十八中学九年级开学考试）如图1，A ，B 分别在射线OM ，ON 上，且MON ∠为钝角，现以线段OA ，OB 为斜边向MON ∠的外侧作等腰直角三角形，分别是OAP △，OBQ △，点C ，D ，E 分别是OA ，OB ，AB 的中点．（1）求证：PCE EDQ ≌△△．（2）延长PC ，QD 交于点R ．①如图2，若150MON ∠=︒，求证：ABR △为等边三角形．②如图3，若ARB PEQ ∽△△，求MON ∠大小和AB PQ的值．4．（2021·辽宁建昌·九年级期末）已知在矩形ABCD 中，∠ADC 的平分线DE 与BC 交于点E ，点P 是线段DE 上一定点（其中EP ＜PD ）（1）如图1，若点F 在CD 边上（不与C ，D 重合），将∠DPF 绕点P 逆时针旋转90°后，角的两边PD ，PF 分别交射线DA 于点H ，G ．①直接写出PG 与PF 之间的数量关系；②猜想DF ，DG ，DP 的数量关系，并证明你的结论．（2）如图2，若点F 在CD 的延长线上（不与D 重合），将PF 绕点P 逆时针旋转90°，交射线DA 于点G ，判断（1）②中DF ，DG ，DP 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请直接写出它们所满足的数量关系式．5．（2021·佛山市华英学校九年级期末）已知正方形ABCD ，45MAN ∠=︒，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC 于点M 、N ，AH MN ⊥于点H ．（1）如图①，当BM DN =时，可以通过证明≌ADN ABM ，得到AH 与AB 的数量关系，这个数量关系是___________；（2）如图②，当BM DN ≠时，（1）中发现的AH 与AB 的数量关系还成立吗？说明理由；（3）如图③，已知AMN 中，45MAN ∠=︒，AH MN ⊥于点H ，3MH =，7=NH ，求AH 的长．6．（2021·沭阳县怀文中学九年级月考）已知：AOB ∆和COD △均为等腰直角三角形，90AOB COD ∠=∠=︒，连接AD ，BC ，点H 为BC 中点，连接OH ．（1）如图1所示，点C 、D 分别在边OA 、OB 上，求证：12OH AD =且OH AD ⊥；（2）将COD △绕点O 旋转到图2所示位置时，线段OH 与AD 又有怎样的关系，证明你的结论．（3）如图3所示，当8AB =，2CD =时，求OH 长的取值范围．7．（2021·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数132y x =-+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 的坐标为()2,0-，抛物线经过A ，B ，C 三点．（1）求抛物线的解析式；（2）直线AD 与y 轴负半轴交于点D ，且BAO DAO ∠=∠，求证：OB OD =；（3）在（2）的条件下，若直线AD 与抛物线的对称轴l 交于点E ，连接BE ，在第一象限内的抛物线上是否存在一点P ，使四边形BEAP 的面积最大？若存在，请求出点P 的坐标及四边形BEAP 面积的最大值；若不存在，请说明理由．8．（2021·广州市黄埔华南师范大学附属初级中学九年级期中）在正方形ABCD 中，M 是BC 边上一点，且点M 不与B 、C 重合，点P 在射线AM 上，将线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ，连接BP ，DQ ．（1）依题意补全图1，并求证：ABP ADQ ≌△△．（2）连接DP ，若点P ，Q ，D 恰好在同一条直线上，求证：2222DP DQ AB +=． 9．（2021·哈尔滨市第十七中学校九年级二模）已知AB 、AC 是⊙O 的两条弦，OA 为半径，∠OAB ＝∠OAC ．（1）如图（1），求证：AB ＝AC ；（2）如图（2），延长AO 交⊙O 于点D ，点E 是BC 延长线上的一点，EF 切⊙O 于点F ，连DF 交BC 于点G ，求证：EF ＝EG ；（3）如图（3），在（2）的条件下，设DF 交AC 于点H ，若DF ∥AB ，tan E ＝43，CH 352求DG 长．10．（2021·河南平顶山·九年级期中）（1）阅读理解如图1，在正方形ABCD中，若E，F分别是CD，BC边上的点，∠EAF＝45°，则我们常常会想到：把∆ADE绕点A顺时针旋转90°，得到∆ABG．易证∆AEF≌，得出线段BF，DE，EF之间的关系为；（2）类比探究如图2，在等边∆ABC中，D，E为BC边上的点，∠DAE＝30°，BD＝1，EC＝2．求线段DE的长；（3）拓展应用如图3，在∆ABC中，AB＝AC＝62+，∠BAC＝150°，点D，E在BC边上，∠DAE＝75°，若DE是等腰ADE的腰，请直接写出线段BD的长．11．（2021·辽宁立山·九年级期中）已知：∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB，OC＝OD．（OC22>OA）（1）如图1：连AC、BD，判断：AC与BD之间的关系；并说明理由．（2）若将△COD绕点O逆时针旋转，①如图2，当点C恰好在AB边上时，请写出AC、BC、OC之间数量关系；并说明理由．②当点B 、D 、C 在同一条直线上时，若OB ＝6，OC ＝5，求AC 的长．12．（2021·广西河池·中考真题）如图，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，4AB =，3AC =，D ，E 分别是AB ，BC 边上的动点，以BD 为直径的圆O 交BC 于点F ．（1）当AD DF =时，求证：CFD CAD ∆≅∆；（2）当CED ∆是等腰三角形且DEB ∆是直角三角形时，求AD 的长．13．（2021·辽宁锦州·中考真题）在△ABC 中，AC ＝AB ，∠BAC ＝α，D 为线段AB 上的动点，连接DC ，将DC 绕点D 顺时针旋转α得到DE ，连接CE ，BE ．（1）如图1，当α＝60°时，求证：△CAD ≌△CBE ；（2）如图2，当tan α＝34时， ①探究AD 和BE 之间的数量关系，并说明理由；②若AC ＝5，H 是BC 上一点，在点D 移动过程中，CE ＋EH 是否存在最小值？若存在，请直接写出CE ＋EH 的最小值；若不存在，请说明理由．14．（2021·辽宁丹东·中考真题）已知,在正方形ABCD 中,点M ､N 为对角线AC 上的两个动点,且45MBN ∠=︒,过点M 、N 分别作AB ､BC 的垂线相交于点E ,垂足分别为F ､G ,设AFM △的面积为1S ,NGC ∆的面积为2S ,MEN ∆的面积为3S ．（1）如图（1）,当四边形EFBG 为正方形时,①求证:CGN AFM ∆≅∆;②求证:312S S S =+;（2）如图（2）,当四边形EFBG 为矩形时,写出1S ,2S ,3S 三者之间的数量关系,并说明理由; （3）在（2）的条件下,若()::BG GC m n m n =>,请直接写出:AF FB 的值．15．（2021·山东潍坊·中考真题）如图1，在△ABC 中，∠C =90°，∠ABC =30°，AC =1，D 为△ABC 内部的一动点（不在边上），连接BD ，将线段BD 绕点D 逆时针旋转60°，使点B 到达点F 的位置；将线段AB 绕点B 顺时针旋转60°，使点A 到达点E 的位置，连接AD ，CD ，AE ，AF ，BF ，EF ．（1）求证：△BDA ≌△BFE ；（2）①CD +DF +FE 的最小值为；②当CD +DF +FE 取得最小值时，求证：AD ∥BF ．（3）如图2，M ，N ，P 分别是DF ，AF ，AE 的中点，连接MP ，NP ，在点D 运动的过程中，请判断∠MPN 的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．。

专题21 与三角形四边形相关的压轴题-2022年中考数学真题分项汇编(全国通用)(第2期)(解析版)

专题21 与三角形、四边形相关的压轴题解答题1．（2022·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 的边AB 在x 轴上，顶点D 在y 轴的正半轴上，M 为BC 的中点，OA 、OB 的长分别是一元二次方程27120x x -+=的两个根()OA OB <，4tan 3DAB ∠=，动点P 从点D 出发以每秒1个单位长度的速度沿折线DC CB -向点B 运动，到达B 点停止．设运动时间为t 秒，APC △的面积为S ．(1)求点C 的坐标；(2)求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；(3)在点P 的运动过程中，是否存在点P ，使CMP 是等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)点C 坐标为()7,4 (2)()()14207149871255t t S t t ⎧-≤<⎪=⎨-<≤⎪⎩(3)存在点P ()4,4或9,42⎛⎫ ⎪⎝⎭或59,412⎛⎫ ⎪⎝⎭，使CMP 是等腰三角形【分析】（1）先求出方程的解，可得3OA =，4OB =，再由4tan 3DAB ∠=，可得4OD =，然后根据四边形ABCD 是平行四边形，可得CD =7，90ODC AOD ∠=∠=︒，即可求解；（2）分两种情况讨论：当07t <时，当712t <时，过点A 作AF BC ⊥交CB 的延长线于点F ，即可求解；（3）分三种情况讨论：当CP =PM 时，过点M 作MF ⊥PC 于点F ；当52PC CM ==时；当PM =CM 时，过点M 作MG ⊥PC 于点G ，即可求解．(1)解：27120x x -+=，解得13x =，24x =，∵OA OB <，∴3OA =，4OB =， ∵4tan 3DAB ∠=， ∴43OD OA =， ∴4OD =，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴347DC AB ==+=，DC AB ∥，∴点C 坐标为()7,4；(2)解：当07t <时，()117414222S CP OD t t =⋅=-⋅=-，当712t <时，过点A 作AF BC ⊥交CB 的延长线于点F ，如图，5AD ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴5BC AD ==，∵BC AF AB OD ⋅=⋅，∴574AF ⋅=⨯， ∴285AF =， ∴()11281498722555S CP AF t t =⋅=-⋅=-， ∴()()14207149871255t t S t t ⎧-≤<⎪=⎨-<≤⎪⎩；(3)解：存在点P ，使CMP 是等腰三角形，理由如下：根据题意得：当点P 在CD 上运动时，CMP 可能是等腰三角形，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠C =∠BAD ，BC =AD =5， ∴4tan tan 3C DAB =∠=， ∵点M 为BC 的中点，∴52CM =，当CP =PM 时，过点M 作MF ⊥PC 于点F ，∴3,22CF FM ==，设PC =PM =a ，则PD =7-a ，32PF a =-， ∵PF 2+FM 2=PM 2， ∴222322a a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得：2512a =， ∴59712DP PC =-=， ∴此时点P 59,412⎛⎫ ⎪⎝⎭；当52PC CM ==时，∴972PD PC =-=， ∴此时点P 9,42⎛⎫ ⎪⎝⎭；当PM =CM 时，过点M 作MG ⊥PC 于点G ，则32CG =，∴23PC CG ==，∴PD =7-PC =4，∴此时点P ()4,4；综上所述，存在点P ()4,4或9,42⎛⎫ ⎪⎝⎭或59,412⎛⎫ ⎪⎝⎭，使CMP 是等腰三角形【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，并利用数形结合思想解答是解题的关键．2．（2022·贵州黔东南）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：如图，ABC 和BDE 都是等边三角形，点A 在DE 上．求证：以AE 、AD 、AC 为边的三角形是钝角三角形．(1)【探究发现】小明通过探究发现：连接DC ，根据已知条件，可以证明DC AE =，120ADC =∠︒，从而得出ADC 为钝角三角形，故以AE 、AD 、AC 为边的三角形是钝角三角形．请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．(2)【拓展迁移】如图，四边形ABCD 和四边形BGFE 都是正方形，点A 在EG 上．①试猜想：以AE 、AG 、AC 为边的三角形的形状，并说明理由．②若2210AE AG +=，试求出正方形ABCD 的面积．【答案】(1)钝角三角形；证明见详解(2)①直角三角形；证明见详解；②S 四边形ABCD =5【分析】（1）根据等边三角形性质得出，BE =BD ，AB =CB ，∠EBD =∠ABC =60°，再证△EBA ≌△DBC （SAS ）∠AEB =∠CDB =60°，AE =CD ，求出∠ADC =∠ADB +∠BDC =120°，可得△ADC 为钝角三角形即可；（2）①以AE 、AG 、AC 为边的三角形是直角三角形，连结CG ，根据正方形性质，得出∠EBG =∠ABC ，EB =GB ，AB =CB ，∠BEA =∠BGE =45°，再证△EBA ≌△GBC （SAS ）得出AE =CG ，∠BEA =∠BGC =45°，可证△AGC 为直角三角形即可；②连结BD ，根据勾股定理求出AC面积公式求解即可．(1)证明：∵△ABC 与△EBD 均为等边三角形，∴BE =BD ，AB =CB ，∠EBD =∠ABC =60°，∴∠EBA +∠ABD =∠ABD +∠DBC ，∴∠EBA =∠DBC ，在△EBA 和△DBC 中，EB DB EBA DBC AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBA ≌△DBC （SAS ），∴∠AEB =∠CDB =60°，AE =CD ，∴∠ADC =∠ADB +∠BDC =120°，∴△ADC 为钝角三角形，∴以AE 、AD 、AC 为边的三角形是钝角三角形．(2)证明：①以AE 、AG 、AC 为边的三角形是直角三角形．连结CG ，∵四边形ABCD 和四边形BGFE 都是正方形，∴∠EBG =∠ABC ，EB =GB ，AB =CB ，∵EG 为正方形的对角线，∴∠BEA =∠BGE =45°，∴∠EBA +∠ABG =∠ABG +∠GBC =90°，∴∠EBA =∠GBC ，在△EBA 和△GBC 中，G EB B EBA GBC AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBA ≌△GBC （SAS ），∴AE =CG ，∠BEA =∠BGC =45°，∴∠AGC =∠AGB +∠BGC =45°+45°=90°，∴△AGC 为直角三角形，∴以AE 、AG 、AC 为边的三角形是直角三角形；②连结BD ，∵△AGC 为直角三角形，2210AE AG +=，∴AC∴四边形ABCD 为正方形，∴AC =BD∴S 四边形ABCD =211522AC BD AC ⋅==．【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，正方形的性质，勾股定理，掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，正方形的性质，勾股定理是解题关键．3．（2022·海南）如图1，矩形ABCD 中，6,8AB AD ==，点P 在边BC 上，且不与点B 、C 重合，直线AP 与DC 的延长线交于点E ．(1)当点P 是BC 的中点时，求证：ABP ECP △≌△；(2)将APB △沿直线AP 折叠得到APB '，点B '落在矩形ABCD 的内部，延长PB '交直线AD 于点F ． ①证明FA FP =，并求出在（1）条件下AF 的值；②连接B C '，求PCB '△周长的最小值；③如图2，BB '交AE 于点H ，点G 是AE 的中点，当2EAB AEB ∠=∠''时，请判断AB 与HG 的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)①见解析；132AF =；②12,；③2AB HG =，见解析【分析】（1）根据矩形的性质得到AB DE ∥，再结合P 是BC 的中点证明ABP ECP △≌△；（2）①设FA x =，在Rt AB F '中，表示出三角形的其他两边，再由勾股定理列方程计算即可； ②当点B '恰好位于对角线AC 上时，CB AB '+'最小，利用勾股定理计算即可；③过点B '作B M DE '∥，交AE 于点M ，证明B M EM AB AB ===''，再由11()22HG AG AH AE AM EM =-=-=即可得到12HG AB =． (1)解：如图9-1，在矩形ABCD 中，AB DC ，即AB DE ∥，∴1,2E B ∠=∠∠=∠．∵点P 是BC 的中点，∴BP CP =．∴(AAS)ABP ECP △≌△．(2)①证明：如图9-2，在矩形ABCD 中，AD BC ∥，∴3FAP ∠=∠．由折叠可知34∠=∠，∴4FAP ∠=∠．∴FA FP =．在矩形ABCD 中，8BC AD ==，∵点P 是BC 的中点， ∴118422BP BC ==⨯=．由折叠可知6,4AB AB PB PB ==='='，90B AB P AB F ∠=∠=∠=''︒．设FA x =，则FP x =．∴4FB x '=-．在Rt AB F '中，由勾股定理得222AF B A B F '+'=，∴2226(4)x x =+-，∴132x =，即132AF =． ②解：如图9-3，由折叠可知6A B B A '==，B P BP '=．∴8PCB C CP PB CB CB CB CB '''=+'+=+=+'△．由两点之间线段最短可知，当点B '恰好位于对角线AC 上时，CB AB '+'最小．连接AC ，在Rt ADC 中，90D ∠=︒，∴10AC ==，∴1064CB AC AB =-'='-=最小值， ∴88412PCB C CB '=+'=+=最小值．③解：AB 与HG 的数量关系是2AB HG =．理由是：如图9-4，由折叠可知16,,AB AB BB AE ∠=∠=⊥''．过点B '作B M DE '∥，交AE 于点M ，∵AB DE ∥，∴AB DE B M '∥∥，∴165AED ∠=∠=∠=∠．∴AB B M AB ''==，∴点H 是AM 中点．∵2EAB AEB ∠=∠''，即628∠=∠，∴528∠=∠．∵578∠=∠+∠，∴78∠=∠．∴B M EM '=．∴B M EM AB AB ===''．∵点G 为AE 中点，点H 是AM 中点， ∴11,22AG AE AH AM ==． ∴11()22HG AG AH AE AM EM =-=-=． ∴12HG AB =． ∴2AB HG =．【点睛】此题考查了矩形的性质、折叠问题、勾股定理、全等三角形的判定、等腰三角形的性质，关键是作出辅助线，根据等腰三角形的性质证明．4．（2022·吉林）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，6cm =AB ．动点P 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿边AB 向终点B 匀速运动．以PA 为一边作120APQ ∠=︒，另一边PQ 与折线AC CB -相交于点Q ，以PQ 为边作菱形PQMN ，点N 在线段PB 上．设点P 的运动时间为(s)x ，菱形PQMN 与ABC 重叠部分图形的面积为2()cm y ．(1)当点Q 在边AC 上时，PQ 的长为 cm ；（用含x 的代数式表示）(2)当点M 落在边BC 上时，求x 的值；(3)求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．【答案】(1)2x(2)1(3)22201312332x y x x ⎧⎪≤≤⎪⎪=-+-≤⎨⎪⎪-+≤≤⎪⎩＜【分析】（1）先证明∠A =∠AQP =30°，即AP =PQ ，根据题意有AP =2x ，即PQ =2x ；（2）当M 点在BC 上，Q 点在AC 上，在（1）中已求得AP =PQ =2x ，再证明△MNB 是等边三角形，即有BN =MN ，根据AB =6x =6cm ，即有x =1（s ）；（3）分类讨论：当01x ≤＜时，此时菱形PQMN 在△ABC 的内部，此时菱形PQMN 与△ABC 重叠的面积即是菱形PQMN 的面积，过Q 点作QG ⊥AB 于G 点，求出菱形的面积即可；当x ＞1，且Q 点在线段AC 上时，过Q 点作QG ⊥AB 于G 点，设QM 交BC 于F 点，MN 交BC 于E 点，过M 点作NH ⊥EF 于H 点，先证明△ENB 是等边三角形、△MEF 是等边三角形，重叠部分是菱形PQMN 的面积减去等边△MEF 的面积，求出菱形PQMN 的面积和等边△MEF 的面积即可，此时需要求出当Q 点在C 点时的临界条件；当332x ≤＜时，此时Q 点在线段BC 上，此时N 点始终与B 点重合，过Q 点作QG ⊥AB 于G 点，重叠部分的面积就是△PBQ 的面积，求出等边△PBQ 的面积即可．(1)当Q 点在AC 上时，∵∠A =30°，∠APQ =120°，∴∠AQP =30°，∴∠A =∠AQP ，∴AP =PQ ，∵运动速度为每秒2cm ，运动时间为x 秒，∴AP =2x ，∴PQ =2x ；(2)当M 点在BC 上，Q 点在AC 上，如图，在（1）中已求得AP =PQ =2x ，∵四边形QPMN 是菱形，∴PQ =PN =MN =2x ，PQ MN ∥，∵∠APQ =120°，∴∠QPB =60°，∵PQ MN ∥，∴∠MNB =∠QPB =60°，∵在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，∴∠B =60°，∴△MNB 是等边三角形，∴BN =MN ，∴AB =AP +PN +BN =2x ×3=6x =6cm ，∴x =1（s ）；(3)当P 点运动到B 点时，用时6÷2=3（s ），即x 的取值范围为：03x ≤≤，当M 点刚好在BC 上时，在（2）中已求得此时x =1，分情况讨论，即当01x ≤＜时，此时菱形PQMN 在△ABC 的内部，∴此时菱形PQMN 与△ABC 重叠的面积即是菱形PQMN 的面积，过Q 点作QG ⊥AB 于G 点，如图，∵∠APQ =120°，∴∠QPN =60°，即菱形PQMN 的内角∠QPN =∠QMN =60°，∴QG =PQ ×sin ∠QPN =2x ，∴重叠的面积等于菱形PQMN 的面积为，即为：22y PN QG x =⨯==；当x ＞1，且Q 点在线段AC 上时，过Q 点作QG ⊥AB 于G 点，设QM 交BC 于F 点，MN 交BC 于E 点，过M 点作NH ⊥EF 于H 点，如图，∵PQ MN ∥，∴∠MNB =∠QPN =60，∵∠B =60°，∴△ENB 是等边三角形，同理可证明△MEF 是等边三角形∴BN =NE ，∠MEF =60°，ME =EF ，∵AP =PQ =PN =MN =2x ，AB =6，∴BN =6-AN =6-4x ，∴ME =MN -NE =2x -BN =6x -6，∵MH ⊥EF ，∴MH =ME ×sin ∠MEH =(6x -6)×sin60°=(3x -∴△MEF 的面积为：2(3311(66)1)22MEF S EF MH x x x =⨯⨯=-⨯-⨯=-△，QG =PQ ×sin ∠QPN =2x ，∵菱形PQMN 的面积为22PN QG x ⨯==，∴重叠部分的面积为2221)MEF PQMN y S S x =-=--=-+-△菱形当Q 点与C 点重合时，可知此时N 点与B 点重合，如图，∵∠CPB =∠CBA =60°，∴△PBC 是等边三角形，∴PC =PB ，∵AP =PQ =2x ，∴AP =PB =2x ，∴AB =AP +PB =4x =6，则x =32，即此时重合部分的面积为：2y =-+-312x ≤＜；当332x ≤＜时，此时Q 点在线段BC 上，此时N 点始终与B 点重合，过Q 点作QG ⊥AB 于G 点，如图，∵AP =2x ，∴PB =AB -AP =6-2x ，∵∠QPB =∠ABC =60°，∴△PQB 是等边三角形，∴PQ =PB ，同时印证菱形PQMN 的顶点N 始终与B 点重合，∴QG =PQ ×sin ∠QPN =(6-2x )x -，∴211(62))22PBQ S x PB QG x =⨯⨯=⨯---=+△∴此时重叠部分的面积2PBQ y S ==-+△综上所述：22201312332x y x x ⎧⎪≤≤⎪⎪=-+-≤⎨⎪⎪-+≤≤⎪⎩＜．【点睛】本题考查了一次函数的应用、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，理清运动过程中Q 点的位置以及菱形PQMN 的位置是解答本题的关键．解答本题需要注意分类讨论的思想．5．（2022·黑龙江牡丹江）在菱形ABCD 和正三角形BGF 中，60ABC ∠=︒，P 是DF 的中点，连接PG 、PC ．(1)如图1，当点G 在BC 边上时，写出PG 与PC 的数量关系．（不必证明）(2)如图2，当点F 在AB 的延长线上时，线段PC 、PG 有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给予证明；(3)如图3，当点F 在CB 的延长线上时，线段PC 、PG 又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）．【答案】(1)PG =(2)PG =，证明见解析(3)PG =【分析】（1）延长GP 交DC 于点E ，利用()PED PGF SAS △≌△，得出PE PG =，DE FG =，得到CE CG =，CP 是EG 的中垂线，在Rt CPG 中，60PCG ∠=︒，利用正切函数即可求解；（2）延长GP 交DA 于点E ，连接EC ，GC ，先证明()DPE FPG ASA △≌△，再证明()CDE CBG SAS △≌△，利用在Rt CPG 中，60PCG ∠=︒，即可求解；（3）延长GP 到H ，使PH PG =，连接CH ，CG ，DH ，作FE ∥DC ，先证GFP HDP △≌△，再证HDC GBC ≌△△，利用在Rt CPG 中，60PCG ∠=︒，即可求解．(1)解：如图1，延长GP 交DC 于点E ，∵P 是DF 的中点，∴PD=PF ，∵BGF 是正三角形，∴60BGF ∠=︒，∵60ABC ∠=︒，∴BGF ABC ∠=∠，∴AB GF ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB CD ，∴CD GF ∥，∴CDP PFG ∠=∠，在PED 和PGF 中，DPE FPG DP PFCDP PFG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()PED PGF SAS △≌△，∴PE PG =，DE FG =，∵BGF 是正三角形，∴FG BG =，∵四边形ABCD 是菱形，∴CD CB =，CE CG ∴=，CP ∴是EG 的中垂线，在Rt CPG 中，60PCG ∠=︒，tan tan 60PG PCG PC PC ∴=∠⋅=︒⋅= ．(2)解：PG =，理由如下：如图2，延长GP 交DA 于点E ，连接EC ，GC ，60ABC ∠=︒，BGF 正三角形，∴GF BC AD ，EDP GFP ∴∠=∠，在DPE 和FPG 中，EDP GFP DP FPDPE FPG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()DPE FPG ASA ∴△≌△PE PG ∴=，DE FG BG ==，60CDE CBG ∠=∠=︒，CD CB =，在CDE △和CBG 中，60CD CB CDE CBG CD CB =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()CDE CBG SAS ∴△≌△CE CG ∴=，DCE BCG ∠=∠，120ECG DCB ∴∠=∠=︒，PE PG =，CP PG ∴⊥，1602PCG ECG ∠=∠=︒(3)解：猜想：PG = ．证明：如图3，延长GP 到H ，使PH PG =，连接CH ，CG ，DH ，作FE DC ，P 是线段DF 的中点，FP DP ∴=，GPF HPD ∠=∠，GFP HDP ∴△≌△，GF HD ∴=，GFP HDP ∠=∠，120GFP PFE ∠+∠=︒，PFE PDC ∠=∠，120CDH HDP PDC ∴∠=∠+∠=︒，四边形ABCD 是菱形，CD CB ∴=，60ADC ABC ∠=∠=︒，点A 、B 、G 又在一条直线上，120GBC ∴∠=︒，四边形BEFG 是菱形，GF GB ∴=，HD GB ∴=，HDC GBC ∴△≌△，CH CG ∴=，DCH BCG ∠=∠，120DCH HCB BCG HCB ∴∠+∠=∠+∠=︒，即120HCG ∠=︒CH CG =，PH PG =，PG PC ∴⊥，60GCP HCP ∠=∠=︒，【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形． 6．（2022·内蒙古呼和浩特）下面图片是八年级教科书中的一道题：如图，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点，90AEF ∠=︒，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ．求证AE EF =．（提示：取AB 的中点G ，连接EG ．）(1)请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件：；(2)如图1，若点E 是BC 边上任意一点（不与B 、C 重合），其他条件不变．求证：AE EF =；(3)在（2）的条件下，连接AC ，过点E 作EP ⊥AC ，垂足为P ．设=BE k BC，当k 为何值时，四边形ECFP 是平行四边形，并给予证明．【答案】(1)AG=CE (2)过程见解析(3)13，证明过程见解析【分析】对于（1），根据点E 是BC 的中点，可得答案；对于（2），取AG=EC ，连接EG ，说明△BGE 是等腰直角三角形，再证明△GAE ≌△CEF ，可得答案；对于（3），设BC=x ，则BE =kx ，则GE =，(1)EC k x =-，再利用等腰直角三角形的性质表示EP 的长，利用平行四边形的判定得只要EP=FC ，即可解决问题．(1)解：∵E 是BC 的中点，∴BE=CE ．∵点G 是AB 的中点，∴BG=AG ，∴AG=CE ．故答案为：AG=CE ；(2)取AG=EC ，连接EG ．∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB=BC ，∠B =90°．∵AG=CE ，∴BG=BE ，∴△BGE 是等腰直角三角形， ∴∠BGE=∠BEG=45°，∴∠AGE =135°．∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BCD=90°．∵CF 是正方形ABCD 外角的平分线， ∴∠DCF=45°，∴∠ECF=90°+45°=135°． ∵AE ⊥EF ，∴∠AEB +∠FEC =90°．∵∠BAE +∠AEB =90°，∴∠BAE=∠CEF ，∴△GAE ≌△CEF ，∴AE=EF ；(3)当13k =时，四边形PECF 是平行四边形．如图．由（2）得，△GAE ≌△CEF ， ∴CF=EG ．设BC=x ，则BE =kx ，∴GE =，(1)EC k x =-． ∵EP ⊥AC ，∴△PEC 是等腰直角三角形，∴∠PEC=45°，∴∠PEC+∠ECF =180°，)PE k x =-． ∴PE CF ∥，当PE=CF 时，四边形PECF 是平行四边形，)k x -=，解得13k =．【点睛】这是一道关于四边形的综合问题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定等知识．7．（2022·福建）已知ABC DEC ≌△△，AB ＝AC ，AB ＞BC ．(1)如图1，CB 平分∠ACD ，求证：四边形ABDC 是菱形；(2)如图2，将（1）中的△CDE 绕点C 逆时针旋转（旋转角小于∠BAC ），BC ，DE 的延长线相交于点F ，用等式表示∠ACE 与∠EFC 之间的数量关系，并证明；(3)如图3，将（1）中的△CDE 绕点C 顺时针旋转（旋转角小于∠ABC ），若BAD BCD ∠=∠，求∠ADB 的度数．【答案】(1)见解析(2)180ACE EFC ∠+∠=︒，见解析(3)30°【分析】（1）先证明四边形ABDC 是平行四边形，再根据AB ＝AC 得出结论；（2）先证出ACF CEF ∠=∠，再根据三角形内角和180CEF ECF EFC ∠+∠+∠=︒，得到180ACF ECF EFC ∠+∠+∠=︒，等量代换即可得到结论；（3）在AD 上取一点M ，使得AM ＝CB ，连接BM ，证得ABM CDB △△≌，得到MBA BDC ∠=∠，设BCD BAD α∠=∠=，BDC β∠=，则ADB αβ∠=+，得到α+β的关系即可．(1)∵ABC DEC ≌△△，∴AC ＝DC ，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，AB ＝DC ，∵CB 平分∠ACD ，∴ACB DCB ∠=∠，∴ABC DCB ∠=∠，∴AB CD ∥，∴四边形ABDC 是平行四边形，又∵AB ＝AC ，∴四边形ABDC 是菱形；(2)结论：180ACE EFC ∠+∠=︒．证明：∵ABC DEC ≌△△，∴ABC DEC ∠=∠，∵AB ＝AC ，∴A ABC CB =∠∠，∴ACB DEC ∠=∠，∵180ACB ACF DEC CEF ∠+∠=∠+∠=︒，∴ACF CEF ∠=∠，∵180CEF ECF EFC ∠+∠+∠=︒，∴180ACF ECF EFC ∠+∠+∠=︒，∴180ACE EFC ∠+∠=︒；(3)在AD 上取一点M ，使得AM ＝CB ，连接BM ，∵AB ＝CD ，BAD BCD ∠=∠，∴ABM CDB △△≌，∴BM ＝BD ，MBA BDC ∠=∠，∴ADB BMD ∠=∠，∵BMD BAD MBA ∠=∠+∠，∴ADB BCD BDC ∠=∠+∠，设BCD BAD α∠=∠=，BDC β∠=，则ADB αβ∠=+，∵CA ＝CD ，∴2CAD CDA αβ∠=∠=+，∴2BAC CAD BAD β∠=∠-∠=， ∴()1180902ACB BAC β∠=︒-∠=︒-， ∴()90ACD βα∠=︒-+，∵180ACD CAD CDA ∠+∠+∠=︒，∴()()9022180βααβ︒-+++=︒，∴30αβ+=︒，即∠ADB ＝30°．【点睛】本题考查了菱形的判定定理、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等，灵活运用知识，利用数形结合思想，做出辅助线是解题的关键．8．（2022·湖南衡阳）如图，在菱形ABCD 中，4AB =，60BAD ∠=︒，点P 从点A 出发，沿线段AD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动，过点P 作PQ AB ⊥于点Q ，作PM AD ⊥交直线AB 于点M ，交直线BC 于点F ，设PQM 与菱形ABCD 重叠部分图形的面积为S （平方单位），点P 运动时间为t （秒）．(1)当点M 与点B 重合时，求t 的值；(2)当t 为何值时，APQ 与BMF 全等；(3)求S 与t 的函数关系式；(4)以线段PQ 为边，在PQ 右侧作等边三角形PQE ，当24t ≤≤时，求点E 运动路径的长．【答案】(1)2t = (2)4t =或43t =(3)())220224t S t ≤≤=⎨⎪+-<≤⎪⎩【分析】（1）画出图形，根据30°直角三角形求解即可；（2）根据全等的性质计算即可，需要注意分类讨论；（3）利用面积公式计算即可，需要根据M 在B 点左边和右边分类讨论；（4）先确定E 点的运动轨迹是一条直线，再根据24t ≤≤求点E 运动路径的长．(1)M 与B 重合时，∵60A ∠=︒， ∴122PA AB ==， ∴2t =.(2)①当02t ≤≤时，∵2AM t =，∴42BM t =-，∵APQ BMF △≌△，∴AP BM =，∴42t t =-， ∴43t =. ②当24t <≤，∵2AM t =，∴24BM t =-，∵APQ BMF △≌△，∴AP BM =，∴24t t =-，∴4t =.∴4t =或43t =.(3)①当02t ≤≤时，PQ =， ∴32MQ t =，∴2PQM S S ==△. ②当24t <≤时，∵2BF t =-，)2MF t -，∴22)BFM S t =-△，∴2PQM BFM S S S =-=+-△△∴22,0224t S t ≤≤=⎨⎪+-<≤⎪⎩. (4)连接AE .∵PQE 为正三角形，∴PE =，在Rt △APE 中，2tan PE PAE PA t ∠=== ∴PAE ∠为定值.∴E 的运动轨迹为直线，AE =，当2t =时AE =当4t =时=AE∴E 的运动路径长为=【点睛】本题属于四边形的综合问题，考查了菱形的性质，30°直角三角形的性质，全等三角形的性质，锐角三角函数等知识，综合程度较高，考查学生灵活运用知识的能力．9．（2022·浙江金华）如图，在菱形ABCD 中，310,sin 5AB B ==，点E 从点B 出发沿折线B C D --向终点D 运动．过点E 作点E 所在的边（BC 或CD ）的垂线，交菱形其它的边于点F ，在EF 的右侧作矩形EFGH ．(1)如图1，点G 在AC 上．求证：FA FG =．(2)若EF FG =，当EF 过AC 中点时，求AG 的长．(3)已知8FG =，设点E 的运动路程为s ．当s 满足什么条件时，以G ，C ，H 为顶点的三角形与BEF 相似（包括全等）？【答案】(1)见解析(2)7AG=或5(3)1s=或3225s=或327s=或1012s≤≤【分析】（1）证明△AFG是等腰三角形即可得到答案；（2）记AC中点为点O．分点E在BC上和点E在CD上两种情况进行求解即可；（3）过点A作AM BC⊥于点M，作AN CD⊥于点N．分点E在线段BM上时，点E在线段MC上时，点E 在线段CN上，点E在线段ND上，共四钟情况分别求解即可．(1)证明：如图1，∵四边形ABCD是菱形，∴BA BC=，∴BAC BCA∠=∠．∵FG BC，∴FGA BCA∠=∠，∴BAC FGA∠=∠，∴△AFG是等腰三角形，∴FA FG=．(2)解：记AC中点为点O．①当点E在BC上时，如图2，过点A作AM BC⊥于点M，∵在Rt ABM 中，365AM AB ==，∴8BM ==．∴6,2FG EF AM CM BC BM ====-=，∵,OA OC OE AM =∥， ∴112122CE ME CM ===⨯=， ∴1AF ME ==，∴167AG AF FG =+=+=．②当点E 在CD 上时，如图3，过点A 作AN CD ⊥于点N ．同理，6,2FG EF AN CN ====，112AF NE CN ===， ∴615AG FG AF =-=-=．∴7AG =或5．(3)解：过点A 作AM BC ⊥于点M ，作AN CD ⊥于点N ．①当点E 在线段BM 上时，08s <≤．设3EF x =，则4,3BE x GH EF x ===，ⅰ）若点H 在点C 的左侧，810s +≤，即02s <≤，如图4，10(48)24CH BC BH x x =-=-+=-．∵GHC FEB △∽△， ∴GH CH EF BE =， ∴GH EF CH BE =， ∴33244x x =-，解得14x =，经检验，14x =是方程的根， ∴41s x ==．∵GHC BEF △∽△， ∴GH CH BE EF =， ∴GH BE CH EF =， ∴34243x x =-，解得825x =，经检验，825x =是方程的根， ∴32425s x ==． ⅰ）若点H 在点C 的右侧，810s +>，即28s <≤，如图5，(48)1042CH BH BC x x =-=+-=-．∵GHC FEB △∽△， ∴GH CH EF BE =， ∴GH EF CH BE =， ∴33424x x =-，此方程无解．∵GHC BEF △∽△， ∴GH CH BE EF =， ∴GH BE CH EF =， ∴34423x x =-，解得87x =，经检验，87x =是方程的根， ∴3247s x ==． ②当点E 在线段MC 上时，810s <≤，如图6，6,8,EF EH BE s ===．∴8,2BH BE EH s CH BH BC s =+=+=-=-．∵GHC FEB △∽△， ∴GH CH EF BE =， ∴GH EF CH BE =， ∴662s s=-，此方程无解．∵GHC BEF △∽△， ∴GH CH BE EF =， ∴GH BE CH EF =， ∴626s s =-，解得1s =经检验，1s =∵810s <≤，∴1s =±③当点E 在线段CN 上时，1012s ≤≤，如图7，过点C 作⊥CJ AB 于点J ，在Rt BJC △中，10,6,8BC CJ BJ ===．8,EH BJ JF CE ===，∴BJ JF EH CE +=+，∴CH BF =，∵,90GH EF GHC EFB =∠=∠=︒，∴GHC EFB △≌△，符合题意，此时，1012s ≤≤．④当点E 在线段ND 上时，1220s <<，∵90EFB ∠>︒，∴GHC 与BEF 不相似．综上所述，s 满足的条件为：1s =或3225s =或327s =或1012s ≤≤．【点睛】此题考查了相似三角形的性质、菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、矩形的性质、锐角三角函数等知识，分类讨论方法是解题的关键．10．（2022·四川南充）如图，在矩形ABCD 中，点O 是AB 的中点，点M 是射线DC 上动点，点P 在线段AM 上（不与点A 重合），12OP AB =．(1)判断ABP △的形状，并说明理由．(2)当点M 为边DC 中点时，连接CP 并延长交AD 于点N ．求证：PN AN =．(3)点Q 在边AD 上，85,4,5AB AD DQ ===，当90CPQ ∠=︒时，求DM 的长．【答案】(1)ABP △为直角三角形，理由见解析(2)见解析 (3)43或12 【分析】（1）由点O 是AB 的中点，12OP AB =可知OP OA OB ==，由等边对等角可以推出90APB APO BPO ∠=∠+∠=︒；（2）延长AM ，BC 交于点E ，先证EC BC =，结合（1）的结论得出PC 是直角BPE 斜边的中线，推出12PC BE CE ==，进而得到34∠=∠，再通过等量代换推出21∠=∠，即可证明PN AN =；（3）过点P 作AB 的平行线，交AD 于点F ，交BC 于点G ，得到两个K 型，证明BPG FAP ∆∆，CPG PQF ∆∆，利用相似三角形对应边成比例列等式求出QF ，FP ，再通过AFP ADM ∆∆即可求出DM ．(1)解：ABP △为直角三角形，理由如下：∵点O 是AB 的中点，12OP AB =， ∴OP OA OB ==，∴APO PAO ∠=∠，BPO PBO ∠=∠，∵ 180APO PAO BPO PBO ∠+∠+∠+∠=︒， ∴1180=902APO BPO ∠+∠=⨯︒︒， ∴90APB ∠=︒，∴ABP △为直角三角形；(2)证明：如图，延长AM ，BC 交于点E ，由矩形的性质知：//AD BE ，90ADM ECM ∠=∠=︒，∴14∠=∠，∵ 点M 为边DC 中点，∴DM CM =，在ADM △和ECM 中，14ADM ECM DM CM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(AAS)ADM ECM ≅△△，∴EC AD =，∵BC AD =，∴EC BC =，即C 点为BE 的中点，由（1）知90APB ∠=︒，∴90BPE ∠=︒，即BPE 为直角三角形， ∴12PC BE CE ==， ∴34∠=∠，又∵23∠∠=，14∠=∠，∴21∠=∠，∴PN AN =；(3)解：如图，过点P 作AB 的平行线，交AD 于点F ，交BC 于点G ，由已知条件85,4,5AB AD DQ ===，设QF a =，FP x =，则8124455GB AF DQ QF a a ==--=--=-，5PG x =-，85CG a =+． ∵AB AD ⊥，AB BC ⊥，//FG AB ，∴FG AD ⊥，FG BC ⊥，∴90AFP PGB ∠=∠=︒，∴90FAP FPA ∠+∠=︒，∵90APB ∠=︒，∴90BPG FPA ∠+∠=︒，∴BPG FAP ∠=∠，∴BPG FAP ∆∆， ∴GB PG FP AF =，即1255125a x x a --=-， ∴212(5)()5x x a -=-．同理，∵ 90QFP ∠=︒，∴90FQP FPQ ∠+∠=︒，∵90CPQ ∠=︒，∴90CPG FPQ ∠+∠=︒，∴CPG FQP ∠=∠，∴CPG PQF ∆∆， ∴CG PG FP QF =，即855a x x a+-=， ∴8(5)()5x x a a -=+． ∴2128()()55a a a -=+，解得910a =， ∴12352AF a =-=，将910a =代入8(5)()5x x a a -=+得989(5)()10510x x -=⨯+，整理得242090x x -+=，解得12x =或92x =． ∵FAP DAM ∠=∠，AFP ADM ∠=∠，∴AFP ADM ∆∆， ∴FP AF DM AD =，即324x DM =， ∴83DM x =， ∴当12x =时，814323DM =⨯=，当92x =时，891232DM =⨯=，此时点M 在DC 的延长线上，综上，DM 的长为43或12．【点睛】本题考查矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的判定与性质等，第3问有一定难度，解题关键是作辅助线构造K 字模型．11．（2022·湖北武汉）已知CD 是ABC 的角平分线，点E ，F 分别在边AC ，BC 上，AD m =，BD n =，ADE 与BDF 的面积之和为S ．(1)填空：当90ACB ∠=︒，DE AC ⊥，DF BC ⊥时，①如图1，若45B ∠=︒，m =n =_____________，S =_____________；②如图2，若60B ∠=︒，m =n =_____________，S =_____________；(2)如图3，当90ACB EDF ∠=∠=︒时，探究S 与m 、n 的数量关系，并说明理由：(3)如图4，当60ACB ∠=︒，120EDF ∠=︒，6m =，4n =时，请直接写出S 的大小．【答案】(1)①25；②4；(2)S =12mn(3)S =【分析】（1）①先证四边形DECF 为正方形，再证△ABC 为等腰直角三角形，根据CD 平分∠ACB ，得出CD ⊥AB ，且AD =BD =m ,然后利用三角函数求出BF=BD cos45°=5，DF =BD sin45°=5，AE =AD cos45°=5即可；②先证四边形DECF 为正方形，利用直角三角形两锐角互余求出∠A =90°-∠B =30°，利用30°直角三角形先证求出DE =1122AD =⨯=AE =ADcos 30°=6，DF =DE =BF =DF tan30°=2，BD =DF ÷sin60°=4即可；（2）过点D 作DH ⊥AC 于H ，DG ⊥BC 于G ，在HC 上截取HI =BG ，连接DI ，先证四边形DGCH 为正方形，再证△DFG ≌△DEH （ASA ）与△DBG ≌△DIH （SAS ），然后证明∠IDA =180°-∠A -∠DIH =90°即可；（3）过点D 作DP ⊥AC 于P ，DQ ⊥BC 于Q ，在PC 上截取PR =QB ，连接DR ，过点A 作AS ⊥DR 于S ，先证明△DQF ≌△DPE ，△DBQ ≌△DRP ，再证△DBF ≌△DRE ，求出∠ADR =∠ADE +∠BDF =180°-∠FDE =60°即可．(1)解：①∵90ACB ∠=︒，DE AC ⊥，DF BC ⊥，CD 是ABC 的角平分线，∴四边形DECF 为矩形，DE =DF ，∴四边形DECF 为正方形，∵45B ∠=︒，∴∠A =90°-∠B =45°=∠B ，∴△ABC 为等腰直角三角形，∵CD 平分∠ACB ，∴CD ⊥AB ，且AD =BD =m ,∵m =∴BD =n =∴BF =BDcos 45°=5，DF =BDsin 45°=5，AE =ADcos 45°=5，ED =DF =5，∴S = 1155552522ADE BDF S S ∆+=⨯⨯+⨯⨯=；故答案为25；②∵90ACB ∠=︒，DE AC ⊥，DF BC ⊥，CD 是ABC 的角平分线，∴四边形DECF 为矩形，DE =DF ，∴四边形DECF 为正方形，∵60B ∠=︒，∴∠A =90°-∠B =30°，∴DE =1122AD =⨯AE =AD cos30°=6，DF =DE = ∵∠BDF =90°-∠B =30°，∴BF =DF tan30°=2，∴BD =DF ÷sin60°=4，∴BD =n =4，∴S=116222ADE BDF S S ∆+=⨯+⨯⨯ 故答案为：4；(2)解：过点D 作DH ⊥AC 于H ，DG ⊥BC 于G ，在HC 上截取HI =BG ，连接DI ，∴∠DHC =∠DGC =∠GCH =90°，∴四边形DGCH 为矩形，∵CD 是ABC 的角平分线，DH ⊥AC ，DG ⊥BC ，∴DG =DH ，∴四边形DGCH 为正方形，∴∠GDH =90°，∵90EDF ∠=︒，∴∠FDG +∠GDE =∠GDE +∠EDH =90°，∴∠FDG =∠EDH ，在△DFG 和△DEH 中，FDG EDH DG DHDGF DHE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△DFG ≌△DEH （ASA ）∴FG =EH ，在△DBG 和△DIH 中，DG DH DGB DHI BG IH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DBG ≌△DIH （SAS ），∴∠B =∠DIH ，DB =DI =n ，∵∠DIH +∠A =∠B +∠A =90°，∴∠IDA =180°-∠A -∠DIH =90°，∴S △ADI =1122AD DI mn ⋅=， ∴S =12ADE BDF ADE HDI ADI S S SS S mn ∆∆∆+=+==；(3)过点D 作DP ⊥AC 于P ，DQ ⊥BC 于Q ，在PC 上截取PR =QB ，连接DR ，过点A 作AS ⊥DR 于S ， ∵CD 是ABC 的角平分线，DP ⊥AC ，DQ ⊥BC ，∴DP =DQ ，∵∠ACB=60°∴∠QDP =120°，∵120EDF ∠=︒，∴∠FDQ +∠FDP =∠FDP +∠EDP =120°，∴∠FDQ =∠EDP ，在△DFQ 和△DEP 中，FDQ EDP DQ DPDQF DPE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△DFQ ≌△DEP （ASA ）∴DF =DE ，∠QDF =∠PDE ，在△DBQ 和△DRP 中，DQ DP DQB DPR BQ RP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DBQ ≌△DRP （SAS ），∴∠BDQ =∠RDP ，DB =DR ，∴∠BDF =∠BDQ +∠FDQ =∠RDP +∠EDP =∠RDE ，∵DB =DE ，DB =DR ，∴△DBF ≌△DRE ，∴∠ADR =∠ADE +∠BDF =180°-∠FDE =60°，∴S =S △ADR=111sin 6064222AS DR AD DR ⋅=︒⨯=⨯=．【点睛】本题考查等腰直角三角形判定与性质，正方形判定与性质，三角形全等判定与性质，直角三角形判定，三角形面积，角平分线性质，解直角三角形，掌握等腰直角三角形判定与性质，正方形判定与性质，三角形全等判定与性质，直角三角形判定，三角形面积，角平分线性质，解直角三角形是解题关键． 12．（2022·山东临沂）已知ABC 是等边三角形，点B ，D 关于直线AC 对称，连接AD ，CD ．(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)在线段AC 上任取一点Р（端点除外），连接PD ．将线段PD 绕点Р逆时针旋转，使点D 落在BA 延长线上的点Q 处．请探究：当点Р在线段AC 上的位置发生变化时，DPQ ∠的大小是否发生变化？说明理由．(3)在满足（2）的条件下，探究线段AQ 与CP 之间的数量关系，并加以证明．【答案】(1)见解析(2)DPQ ∠大小不变，理由见解析(3)CP AQ =，证明见解析【分析】（1）连接BD ，由等边三角形的性质可得AC 垂直平分BD ，继而得出AB BC CD AD ===，便可证明；（2）连接PB ，过点P 作PE CB ∥交AB 于点E ，PF ⊥AB 于点F ，可证明APE 是等边三角形，由等腰三角形三线合一证明APF EPF ∠=∠，QPF BPF ∠=∠，即可求解；（3）由等腰三角形三线合一的性质可得AF = FE ，QF = BF ，即可证明．(1)连接BD ， ABC 是等边三角形，AB BC AC ∴==，点B ，D 关于直线AC 对称，∴AC 垂直平分BD ，,DC BC AD AB ∴==，AB BC CD AD ∴===，∴四边形ABCD 是菱形；(2)当点Р在线段AC 上的位置发生变化时，DPQ ∠的大小不发生变化，始终等于60°，理由如下：将线段PD 绕点Р逆时针旋转，使点D 落在BA 延长线上的点Q 处，PQ PD ∴=， ABC 是等边三角形，,60AB BC AC BAC ABC ACB ∴==∠=∠=∠=︒，连接PB ，过点P 作PE CB ∥交AB 于点E ，PF ⊥AB 于点F ，则60,60APE ACB AEP ABC ∠=∠=︒∠=∠=︒，60APE BAC AEP ∴∠=∠=︒=∠，APE ∴是等边三角形，AP EP AE ∴==，PF AB ⊥，APF EPF ∴∠=∠，点B ，D 关于直线AC 对称，点P 在线段AC 上，∴PB = PD ，∠DP A =∠BP A ，∴PQ = PD ，PF AB ⊥，QPF BPF ∴∠=∠，∴∠QPF -∠APF =∠BPF -∠EPF ，即∠QP A = ∠BPE ，∴∠DPQ =∠DP A - ∠QP A =∠BP A -∠BPE = ∠APE = 60°；(3)AQ = CP ，证明如下：AC = AB ，AP = AE ，∴AC - AP = AB – AE ，即CP = BE ，AP = EP ，PF ⊥AB ，∴AF = FE ，PQ = PD ，PF ⊥AB ，∴QF = BF ，∴ QF - AF = BF – EF ，即AQ = BE ，∴AQ = CP ．【点睛】本题考查了图形的旋转，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，菱形的判定等，熟练掌握知识点是解题的关键．13．（2022·江西）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板()90,60PEF P F ∠=︒∠=︒的一个顶点放在正方形中心O 处，并绕点O 逆时针旋转，探究直角三角板PEF 与正方形ABCD 重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．(1)操作发现：如图1，若将三角板的顶点P 放在点O 处，在旋转过程中，当OF 与OB 重合时，重叠部分的面积为__________；当OF 与BC 垂直时，重叠部分的面积为__________；一般地，若正方形面积为S ，在旋转过程中，重叠部分的面积1S 与S 的关系为__________；(2)类比探究：若将三角板的顶点F 放在点O 处，在旋转过程中，,OE OP 分别与正方形的边相交于点M ，N ． ①如图2，当BM CN =时，试判断重叠部分OMN 的形状，并说明理由；②如图3，当CM CN =时，求重叠部分四边形OMCN 的面积（结果保留根号）；(3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O 处，该锐角记为GOH ∠（设GOH α∠=），将GOH ∠绕点O 逆时针旋转，在旋转过程中，GOH ∠的两边与正方形ABCD 的边所围成的图形的面积为2S ，请直接写出2S 的最小值与最大值（分别用含α的式子表示），（参考数据：sin15tan152︒=︒=︒= 【答案】(1)1,1，114S S =(2)①OMN 1 (3)tan ,1tan 4522αα⎛⎫-︒- ⎪⎝⎭ 【分析】（1）如图1，若将三角板的顶点P 放在点O 处，在旋转过程中，当OF 与OB 重合时，OE 与OC重合，此时重叠部分的面积=△OBC的面积=14正方形ABCD的面积=1；当OF与BC垂直时，OE⊥BC，重叠部分的面积=14正方形ABCD的面积=1；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为S1=14S．利用全等三角形的性质证明即可；（2）①结论：△OMN是等边三角形．证明OM=ON，可得结论；②如图3中，连接OC，过点O作OJ⊥BC于点J．证明△OCM≌△OCN（SAS），推出∠COM=∠CON=30°，解直角三角形求出OJ，即可解决问题；（3）如图4-1中，过点O作OQ⊥BC于点Q，当BM=CN时，△OMN的面积最小，即S2最小．如图4-2中，当CM=CN时，S2最大．分别求解即可．(1)如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，OE与OC重合，此时重叠部分的面积=△OBC的面积=14正方形ABCD的面积=1；当OF与BC垂直时，OE⊥BC，重叠部分的面积=14正方形ABCD的面积=1；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为S1=14 S．理由：如图1中，设OF交AB于点J，OE交BC于点K，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N．∵O是正方形ABCD的中心，∴OM=ON，∵∠OMB=∠ONB=∠B=90°，∴四边形OMBN是矩形，∵OM=ON，∴四边形OMBN是正方形，∴∠MON=∠EOF=90°，∴∠MOJ=∠NOK，∵∠OMJ=∠ONK=90°，∴△OMJ≌△ONK（AAS），∴S△PMJ=S△ONK，∴S四边形OKBJ=S正方形OMBN=14S正方形ABCD，∴S1=14 S．故答案为：1，1，S1=14 S．(2)①如图2中，结论：△OMN是等边三角形．理由：过点O作OT⊥BC，∵O是正方形ABCD的中心，∴BT=CT，∵BM=CN，∴MT=TN，∵OT⊥MN，∴OM=ON，∵∠MON=60°，∴△MON是等边三角形；②如图3中，连接OC，过点O作OJ⊥BC于点J．。

七年级数学直角坐标系综合运用(压轴题)

坐标系综合运用（压轴）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图①，在平面直角坐标系中，(),0A a ，(),4C b ，且满足()240a ++=，过C 作CB x ⊥轴于B ．（1）求三角形ABC 的面积；（2）若线段AC 与y 轴交于点()0,2Q ，在y 轴上是否存在点P ，使得三角形ABC 和三角形QCP 的面积相等，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．（3）若过B 作//BD AC 交y 轴于D ，且AE ，DE 分别平分CAB ∠，ODB ∠，如图①，求AED ∠的度数．2．如图①，在平面直角坐标系中，等边ABC ∆的顶点A ，B 的坐标分别为()5,0，()9,0，点D 是x 轴正半轴上一个动点，连接CD ，将ACD ∆绕点C 逆时针旋转60︒得到BCE ∆，连接DE ．（1）并判断CDE ∆的形状，说明理由．（2）如图①，当D 在线段AB 上运动时，BDE ∆的周长随D 点的移动而变化，求出BDE ∆的最小周长．（3）当BDE ∆是直角三角形时，直接写出点D 的坐标．3．如图，平面直角坐标系中，ABCD 为长方形，其中点A 、C 坐标分别为（﹣4，2）、（1，﹣4），且AD①x 轴，交y 轴于M 点，AB 交x 轴于N ．（1）求B 、D 两点坐标和长方形ABCD 的面积；（2）一动点P 从A 出发（不与A 点重合），以12个单位/秒的速度沿AB 向B 点运动，在P 点运动过程中，连接MP 、OP ，请直接写出①AMP 、①MPO 、①PON 之间的数量关系；（3）是否存在某一时刻t ，使三角形AMP 的面积等于长方形面积的13？若存在，求t 的值并求此时点P 的坐标；若不存在请说明理由．4．如图1，在平面直角坐标系中，点,A B 的坐标分别为(),0A a ，(),0B b ，且,a b 满足|3|0a +=，现同时将点,A B 分别向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，分别得到点,A B 的对应点,C D ，连接AC ，BD ．（1）请求出,C D 两点的坐标；（2）如图2，点P 是线段AC 上的一个动点，点Q 是线段CD 的中点，连接PQ ，PO ，当点P 在线段AC 上移动时（不与,A C 重合），请找出PQD ∠，OPQ ∠，BOP ∠的数量关系，并证明你的结论；（3）在坐标轴上是否存在点M ，使三角形MAD 的面积与三角形ACD 的面积相等？若存在直接写出点M 的坐标；若不存在，试说明理由．5．如图1，C 点是第二象限内一点, CB y ⊥轴于B ，且()0,B b 是y 轴正半轴上一点，(),0A a 是x 轴负半x 轴上一点，且()2230, 9AOBC a b S ++-==四边形.（1）A （），B （）（2）如图2，设D 为线段OB 上一动点，当AD AC ⊥时，ODA ∠的角平分线与CAE ∠的角平分线的反向延长线交于点P ,求APD ∠的度数: (注: 三角形三个内角的和为180)（3）如图3,当D 点在线段OB 上运动时，作DM AD ⊥交CB 于,,M BMD DAO ∠∠的平分线交于N ,当D 点在运动的过程中，N ∠的大小是否变化?若不变，求出其值;若变化，请说明理由.6．如图，在平面直角坐标系中，已知(,0)A a ，(,0)B b ，其中,a b 2(3)0b -=．（1）填空：a =_______，b =________；（2）若在第三象限内有一点(2,)M m -，用含m 的式子表示ABM 的面积；（3）在（2）条件下，当32m =-时，点P 是坐标轴上的动点，当满足PBM 的面积是ABM 的面积的2倍时，求点P 的坐标．7．如图，()0,A a ，(),0C c ，且()2182140c a -+-=，将点C 向上平移7个单位长度再向左平移4个单位长度，得到对应点B .（1）求点A ，点B ，点C 的坐标；（2）若点P 从点C 以2个单位长度/秒的速度沿CO 方向移动，同时点Q 从点O 以每秒1个单位长度的速度沿OA 方向移动，设移动的时间为t 秒（07t <<）.①李超在解题过程中发现：P ，Q 移动过程中四边形QOPB 的面积与移动的时间t 无关.你同意她的结论吗？请说明理由；①是否存在一段时间，使2OQB OPBA S S ∆<四边形，若存在，求出t 的取值范围；若不存在，请说明理由.8．如图，在平面直角坐标系中，点A （a ，0）在x 轴负半轴上，点C （2,0）在x 正半轴上，点B （0，b ）在y 轴正半轴上，并且a 、b 是方程组2356a b a b +=-⎧⎨+=⎩的解，连接AB 、BC ．（1）a =________，b =________；（2）经过计算AB=10，动点M 从点A 出发，沿射线AB 以每秒2个单位长度的速度匀速运动，连接MC ，设点M 的运动时间为t （t>0）秒，用含t 的式子表示①BCM 的面积S ，并直接写出t 的取值范围；（3）在（2）的条件下，点N 在线段BC 上，且BN=2CN ，连接MN.当三角形BMN 的面积为8时，求t 值，并直接写出点M 的坐标.9．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0）是x轴负半轴上一点，C是第三象限内一点，CB①y轴交y轴负半轴于B（0，b），且|a+3|+（b+4）2＝0，S四边形AOBC＝16．（1）求点C的坐标；（2）如图2，设D为线段OB上一动点，当AD①AC时，①ODA的平分线与①CAN的平分线的反向延长线交于点E，求①AED的度数（点N在x轴的负半轴）；（3）如图3，当点D在线段OB上运动时，作DP①AD交BC于P点，①BPD、①DAO的平分线交于Q点，则点D 在运动过程中，①Q的大小是否会发生变化？若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．10．如图，A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（﹣3，0），D为x轴上的一个动点且不与B，O重合，将线段AD 绕点A逆时针旋转90°得线段AE，使得AE①AD，且AE＝AD，连接BE交y轴于点M．（1）如图，当点D在线段OB的延长线上时，①若D点的坐标为（﹣5，0），求点E的坐标．①求证：M为BE的中点．①探究：若在点D运动的过程中，OMBD的值是否是定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（2）请直接写出三条线段AO，DO，AM之间的数量关系（不需要说明理由）．11．在平面直角坐标系中，已知A(a ，0)，B(b ，0)，C(0，4)，D(6，0)．点P(m ，n)为线段CD 上一点（不与点C 和点D 重合）．（1）利用三角形COP 、三角形DOP 及三角形COD 之间的面积关系，求m 与n 之间的数量关系；（2）如图1，若a ＝﹣2，点B 为线段AD 的中点，且三角形ABC 的面积等于四边形AOPC 面积，求m 的值；（3）如图2，设a ，b ，m 满足230325a b m a b m ++=⎧⎨++=-⎩，若三角形ABP 的面积小于5，求m 的取值范围．12．如图1，在平面直角坐标系中，点()2,0A -，()5,0B -，点C 在第三象限，已知AC AB ⊥，且AB AC =．（1）求点C 的坐标；图1（2）如图2，N 为线段AC 上一动点（端点除外），P 是y 轴负半轴的一点，连接BP 、CP ，射线BN 与ACP ∠的角平分线交于D ，若45BDC ABD ∠-∠=︒，求点P 的坐标；图2（3）在第（2）问的基础上，如图3，点Q 与点P 关于x 轴对称，E 是射线PC 上一个动点，连接QE ，EF 平分QEC ∠，QM 平分EQP ∠，射线//QH EF ．试问MQH ∠的度数是否发生改变？若不变，请求其度数：若改变，请指出其变化范围．图313．在下面直角坐标系中，已知A （0，a ）、B （b ，0）、C （b ，c ）三点，其中a 、b 、c 满足关系式|a ﹣2|+（b ﹣3）2＝0，（c ﹣4）2≤0．（1）a ＝；b ＝；c ＝；（2）在第二象限内，是否存在点P （m ，12），使四边形ABOP 的面积与①ABC 的面积相等？若存在，求出点m 的值；若不存在，请说明理由；（3）D 为线段OB 上一动点，连接CD ，过D 作DE ①CD 交y 轴于点E ，EP 、CP 分别平分①DEO 和①DCB ，当点D 在OB 上运动的过程中，①P 的度数是否变化，若不变，请求出①P 的度数；若变化，请说明理由．14．如图，在平面直角坐标系中，已知A(﹣2，0)，B(3，0)，C(﹣1，2)．（1）在x轴正半轴上存在一点M使S三角形COM=S三角形ABC，求出点M的坐标．（2）在坐标轴的其他位置是否存在点M，使S三角形COM=13ABCS恒成立？若存在，请写出符合条件的点M的坐标．15．如图，已知长方形ABC O中，边AB=12，BC=8．以点0为原点，O A、OC所在的直线为y轴和x轴建立直角坐标系．（1）点A的坐标为（0，8），写出B．C两点的坐标；（2）若点P从C点出发，以3单位/秒的速度向C O方向移动（不超过点O），点Q从原点O出发，以2单位/秒的速度向O A方向移动（不超过点A），设P、Q两点同时出发，在它们移动过程中，四边形OPBQ的面积是否发生变化?若不变，求其值；若变化，求变化范围．16．如图 1，在平面直角坐标系中，已知点A(a,0)，B(b,0)，C(2,7)，连接 AC ，交y 轴于 D ，且a =25=．（1）求点D 的坐标．（2）如图 2，y 轴上是否存在一点P ，使得①ACP 的面积与①ABC 的面积相等？若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由．（3）如图 3，若 Q(m,n)是 x 轴上方一点，且QBC 的面积为20，试说明：7m ＋3n 是否为定值，若为定值，请求出其值，若不是，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，已知点 (0, 3)A ，(5,0)B ，(5,4)C 三点．（1）在平面直角坐标中画出ABC ∆，求ABC ∆的面积（2）在x 轴上是否存在一点M 使得BCM ∆的面积等于ABC ∆的面积？若存在，求出点M 坐标；若不存在，说明理由．（3）如果在第二象限内有一点(, 1)P a ，用含a 的式子表示四边形ABOP 的面积；（4）且四边形ABOP 的面积是ABC ∆的面积的三倍，是否存在点P ，若存在，求出满足条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知(4,0)A ，将线段OA 平移至CB ，点D 在x 轴正半轴上，(,)C a b ，且|3|0b -=．连接OC ，AB ，CD ，BD ．（1）写出点C 的坐标为；点B 的坐标为；（2）当ODC △的面积是ABD △的面积的3倍时，求点D 的坐标；（3）设OCD ∠=α，DBA ∠=β，BDC θ∠=，判断α、β、θ之间的数量关系，并说明理由．19．如图1，点A 的坐标为()0,2，将点A 向右平移m 个单位得到点B ，其中关于x 的一元一次不等式152mx x -<-的解集为1x >，过点B 作BC x ⊥轴于C 得到长方形ABCO ，（1）求B 点坐标______及四边形AOCB 的面积_______；（2）如图2，点Q 从O 点以每秒1个单位长度的速度在y 轴上向上运动，同时点P 从C 点以每秒2个单位长度的速度匀速在x 轴上向左运动，设运动的时间为t 秒()02t <<，问是否存在一段时间，使得BOQ ∆的面积不大于BOP ∆的面积，若存在，求出t 的取值范围；若不存在，说明理由；（3）在（2）的条件下，四边形BPOQ 的面积是否发生变化，若不变化，请求出其值；若变化，说明理由．20．如图1，在平面直角坐标系中，点A （a ，0），B （b ，3），C （c ，0）+6a b -++2(4)c -=0．（1）分别求出点A ，B ，C 的坐标及三角形ABC 的面积．（2）如图2．过点C 作CD AB ⊥于点D ，F 是线段AC 上一点，满足FDC FCD ∠=∠，若点G 是第二象限内的一点，连接DG ，使ADG ADF ∠=∠，点E 是线段AD 上一动点（不与A 、D 重合），连接CE 交DF 于点H ，点E在线段AD 上运动的过程中，DHC ACECED∠+∠∠的值是否会变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．（3）如图3，若线段AB 与y 轴相交于点F ，且点F 的坐标为（0，32），在坐标轴上是否存在一点P ，使三角形ABP和三角形ABC 的面积相等？若存在，求出P 点坐标．若不存在，请说明理由．（点C 除外）21．如图1，在平面直角坐标系中，A （a ，0）是x 轴正半轴上一点，C 是第四象限内一点，CB①y 轴交y 轴负半轴于B （0，b ），且|a ﹣3|+（b+4）2＝0，S 四边形AOBC ＝16．（1）求点C 的坐标．（2）如图2，设D 为线段OB 上一动点，当AD①AC 时，①ODA 的角平分线与①CAE 的角平分线的反向延长线交于点P ，求①APD 的度数；（点E 在x 轴的正半轴）．（3）如图3，当点D 在线段OB 上运动时，作DM①AD 交BC 于M 点，①BMD 、①DAO 的平分线交于N 点，则点D 在运动过程中，①N 的大小是否会发生变化？若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．22．如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(a，0)，B(b，0)，且a，b满足|a2|0+=，点C的坐标为(0，3).(1)求a，b的值及S三角形ABC；(2)若点M在x轴上，且S三角形ACM＝13S三角形ABC，试求点M的坐标.23．如图，在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴上、y轴上，CB//OA，OA=8，若点B的坐标为(a,b)，且b=4.（1）直接写出点A、B、C的坐标；（2）若动点P从原点O出发沿x轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，当直线PC把四边形OABC分成面积相等的两部分停止运动，求P点运动时间；（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点Q，连接PQ，使三角形CPQ的面积与四边形OABC的面积相等？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由.24．如图，以直角三角形AOC 的直角顶点O 为原点，以OC 、OA 所在直线为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，点()0,A a ，(),0C b 20b -=．()1则C 点的坐标为______；A 点的坐标为______．()2已知坐标轴上有两动点P 、Q 同时出发，P 点从C 点出发沿x 轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q点从O 点出发以2个单位长度每秒的速度沿y 轴正方向移动，点Q 到达A 点整个运动随之结束.AC 的中点D 的坐标是()1,2，设运动时间为(0)t t >秒.问：是否存在这样的t ，使ODPODQS S=？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．()3点F 是线段AC 上一点，满足FOC FCO ∠=∠，点G 是第二象限中一点，连OG ，使得.AOG AOF ∠=∠点E是线段OA 上一动点，连CE 交OF 于点H ，当点E 在线段OA 上运动的过程中，OHC ACEOEC∠+∠∠的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．25．如图1，在平面直角坐标系中，点A 为x 轴负半轴上一点，点B 为x 轴正半轴上一点，C(0，a)，D(b ，a)，其中a ，b 满足关系式：|a+3|+(b -a+1)2=0.（1）a=___，b=___，①BCD 的面积为______；（2）如图2，若AC①BC ，点P 线段OC 上一点，连接BP ，延长BP 交AC 于点Q ，当①CPQ=①CQP 时，求证:BP 平分①ABC ；（3）如图3，若AC①BC ，点E 是点A 与点B 之间一动点，连接CE,CB 始终平分①ECF,当点E 在点A 与点B 之间运动时，BECBCO∠∠的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由.26．如图，在平面直角坐标系中，已知(,0)A a ，(,0)B b ，其中a ，b |1|0a +=，点M 为第三象限内一点.（1）若(2,210)M m m --到坐标轴的距离相等，MN AB ，且NM AB =，求N 点坐标（2）若M 为(2,)m -，请用含m 的式子表示ABM ∆的面积.（3）在（2）条件下，当1m =-时，在y 轴上有点P ，使得ABP ∆的面积是ABM ∆的面积的2倍，请求出点P 的坐标.27．如图1，在平面直角坐标系中，A （m ，0），B （n ，0），C （﹣1，2），且满足式|m +2|+（m +n ﹣2）2＝0．（1）求出m ，n 的值．（2）①在x 轴的正半轴上存在一点M ，使①COM 的面积等于①ABC 的面积的一半，求出点M 的坐标；①在坐标轴的其它位置是否存在点M ，使①COM 的面积等于①ABC 的面积的一半仍然成立，若存在，请直接在所给的横线上写出符合条件的点M 的坐标；（3）如图2，过点C 作CD ①y 轴交y 轴于点D ，点P 为线段CD 延长线上一动点，连接OP ，OE 平分①AOP ，OF ①OE ，当点P 运动时，OPDDOE∠∠的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由．28．如图①，在平面直角坐标系中，点A 、B 在x 轴上，AB ①BC ，AO ＝OB ＝2，BC ＝3 （1）写出点A 、B 、C 的坐标．（2）如图①，过点B 作BD ①AC 交y 轴于点D ，求①CAB +①BDO 的大小．（3）如图①，在图①中，作AE 、DE 分别平分①CAB 、①ODB ，求①AED 的度数．29．如图①，在平面直角坐标系中，A ()0a ，，C ()2b ，，且满足()220a +=，过点C 作CB①x 轴于点B ．(1)__________ABCa b S===，，；(2)在y 轴上是否存在点P ，使得三角形ABC 和三角形ACP 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图①，若过点B 作BD①AC 交y 轴于点D ，且AE 、DE 分别平分①CAB 、①ODB ，求①AED 的度数.30．如图，在平面直角坐标系中，A （a ，0），C （b ，2），且满足（a+b ）2+|a -b+4|=0，过点C 作CB①x 轴于B ，（1）如图1，求①ABC 的面积.（2）如图2，若过B 作BD①AC 交y 轴于D ，在①ABC 内有一点E ，连接AE.DE ，若①CAE+①BDE=①EAO+①EDO ，求①AED 的度数.（3）如图3，在（2）的条件下，DE 与x 轴交于点M ，AC 与y 轴交于点F ，作①AME 的角平分线MP ，在PE 上有一点Q ，连接QM ，①EAM+2①PMQ=45°，当AE=2AM ，FO=2QM 时，求点E 的纵坐标.31．如图，在平面直角坐标系中,()()()A 1,0,B 3,0,C 0,2-，CD//x 轴，CD=AB ．(1)求点D 的坐标：(2)四边形OCDB 的面积S 四边形OCDB ；(3)在y 轴上是否存在点P ，使S ①PAB =S 四边形OCDB ；若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.32．如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点A(a,0)，B(b,0)在坐标轴上，C的纵坐标是2,且a,b满足式子:b-=40(1)求出点A、B、C的坐标．(2)连接AC，在y轴上是否存在点M，使①COM的面积等于①ABC的面积，若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．(3)若点P是边CD上一动点，点Q是CD与y轴的交点，连接OP，OE平分①AOP交直线CD于点E，OF①OE交直线CD于点F，当点P运动时，探究①OPD和①EOQ之间的数量关系，并证明.33．如图，直角坐标系中，A点是第二象限内一点，AB①x轴于B，且C(0，2)是y轴正半轴上一点，OB-OC=2，AB=4．(1)求A点坐标；(2)设D为线段OB上一动点，当①CDO=①A时，CD与AC之间存在怎么样的位置关系？证明你的结论；(3)当D点在线段OB上运动时，作DE①CD交AB于E，①BED，①DCO的平分线交于M，现在给出两个结论：①①M 的大小不变；①①BED+①CDO的大小不变．其中有且只有一个是正确的，请你选出正确结论，并给予证明．34．如图，在直角坐标系xOy 中，己知()0A ，()6B ，将线段OA 平移至CB ，点D 在x 轴正半轴上（不与点A 重合），连接OC ，AB ，CD ，BD ．（1）直接写出点C 的坐标；（2）当①ODC 的面积是①ABD 的面积的2倍时，求点D 的坐标；（3）若①OCD=25°，①DBA=15°，求①BDC ．并说明理由．35．如图，在直角坐标系xoy 中，点A 、B 的坐标分别是A （-1，0），B （3,0），将线段AB 向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到线段DC ，点A 、B 的对应点分别是D 、C ，连接AD 、BC ．（1）直接写出点C ，D 的坐标；（2）求四边形ABCD 的面积；（3）点P 为线段BC 上任意一点（与点B 、C 不重合），连接PD ，PO ．求证：①CDP+①BOP=①OPD ．36．如图，以直角①AOC 的直角顶点O 为原点，以OC ，OA 所在直线为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，点A （0，a ），C （b ，080b +-=．（1）点A 的坐标为________；点C 的坐标为________．（2）已知坐标轴上有两动点P ，Q 同时出发，P 点从C 点出发沿x 轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q 点从O 点出发沿y 轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，点P 到达O 点整个运动随之结束．AC 的中点D 的坐标是（4，3），设运动时间为t 秒．问：是否存在这样的t ，使得①ODP 与①ODQ 的面积相等？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，若①DOC=①DCO ，点G 是第二象限中一点，并且y 轴平分①GOD ．点E 是线段OA 上一动点，连接接CE 交OD 于点H ，当点E 在线段OA 上运动的过程中，探究①GOA ，①OHC ，①ACE 之间的数量关系，并证明你的结论（三角形的内角和为180°可以直接使用）．37．如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，4），C是第一象限内一点，且BC①x轴．（1）连接AC，当S①ABC＝6时，求点C的坐标；（2）设D为y轴上一动点，连接AD，CD，作①BCD、①DAO的平分线相交于点P，在点D的运动过程中，试判断等式①CPA＝2①CDA是否始终成立，并说明理由．。

三角形中考压轴题(带答案)

中考专题-------三角形一．选择题（共3小题）1．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）A．2B．a2C．a2D．a2a考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质．专题：几何图形问题；压轴题．分析：过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，△EPM≌△EQN，利用四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积求解．解答：解：过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，又∵∠EPM=∠EQN=90°，∴∠PEQ=90°，∴∠PEM+∠MEQ=90°，∵三角形FEG是直角三角形，∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°，∴∠PEM=∠NEQ，∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC=∠EQC=90°，∴EP=EQ，四边形PCQE是正方形，在△E PM和△EQN中，∴△EPM≌△EQN（ASA）∴S△EQN=S△EPM，∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积∵正方形ABCD的边长为a，∴AC=a，∵EC=2AE，∴EC=a，22∴EP=PC=a，∴正方形PCQE的面积=a×a=a，∴四边形EMCN的面积=a，故选：D．点评：本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是作出辅助线，证出△EPM≌△EQN．2．如图∠A=∠ABC=∠C=45°，E、F分别是AB、BC的中点，则下列结论，①EF⊥BD，②EF=BD，③∠ADC=∠BEF+∠BFE，④AD=DC，其中正确的是（）A．①②③④B．①②③C．①②④D．②③④考点：三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质．题：压轴题．专分析：根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边”同时利用三角形的全等性质求解．解答：解：如下图所示：连接AC ，延长BD 交AC 于点M，延长AD 交BC 于Q，延长CD 交AB 于P．∵∠ABC= ∠C=45°∴CP⊥AB ∵∠ABC= ∠A=45 °∴AQ⊥BC点D 为两条高的交点，所以BM 为AC 边上的高，即：BM ⊥AC ．由中位线定理可得EF∥AC ，EF= AC∴BD⊥EF，故①正确．∵∠DBQ+ ∠DCA=45 °，∠DCA+ ∠CAQ=45 °，∴∠DBQ= ∠CAQ ，∵∠A= ∠ABC ，∴AQ=BQ ，∵∠BQD= ∠AQC=90 °，∴根据以上条件得△AQC ≌△BQD，∴BD=AC ∴EF= AC ，故②正确．∵∠A=∠ABC= ∠C=45°∴∠DAC+ ∠DCA=180 °﹣（∠A+ ∠ABC+ ∠C）=45°∴∠ADC=180 °﹣（∠DAC+ ∠DCA ）=135°=∠BEF+∠BFE=180 °﹣∠ABCA D=CD ，故④错误．故选B．故③∠ADC= ∠BEF+ ∠BFE 成立；无法证明点评：本题考点在于三角形的中位线和三角形全等的判断及应用．3．四边形ABCD 中，AC 和BD 交于点E，若AC 平分∠DAB ，且AB=AE ，AC=AD ，有以下四个命题：①AC⊥BD；②BC=DE ；③∠DBC= ∠DAB ；④AB=BE=AE ．其中命题一定成立的是（）A ．①②B．②③C．①③D．②④考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．题：压轴题．专项选分析：根据等腰三角形的性质，等边三角形的判定，圆内接四边形的性质，全等三角形的性质判断各是否正确即可．解答：解：∵AB=AE ，一个三角形的直角边和斜边一定不相等，∴AC 不垂直于BD ，①错误；利用边角边定理可证得△ADE ≌△ABC ，那么BC=DE ，②正确；由△A DE ≌△ABC 可得∠ADE= ∠ACB ，那么A，B，C，D 四点共圆，∴∠DBC= ∠DAC= ∠DAB ，③正确；△ABE 不一定是等边三角形，那么④不一定正确；②③正确，故选B．应边相等；等边点评：此题主要考查了全等三角形的性质，以及直角三角形中斜边最长；全等三角形的对三角形的三边相等．二．填空题（共6小题）4．如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，⋯如此继续下去，结果如下表，则a n= 3n+1 （用含n 的代数式表示）．所剪次数 1 2 3 4 ⋯n正三角形个数 4 7 10 13 ⋯a n考点：等边三角形的性质．．型专题：压轴题；规律出n 代表所剪次数，a n 代表小正三角形的个数，也可以根据图形找出规律加分析：根据图跟表我们可以看以求解．解答：解：由图可知没剪的时候，有一个三角形，以后每剪一次就多出三个，所以总的个数3n+1．故答案为：3n+1．能力．点评：此题主要考验学生的逻辑思维能力以及应变5．如图，在△ABC 中，AC=BC ＞AB ，点P 为△ABC 所在平面内一点，且点P 与△A BC 的任意两个顶点构成△PAB，△PBC，△PAC 均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P 的个数为 6 个．考点：等腰三角形的判定与性质．题：压轴题．专△ABC 的外分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出AB 的垂直平分线，首先心满足，再根据圆的半径相等，以点 C 为圆心，以AC 长为半径画圆，AB 的垂直平分线相交于两点，分别以点A、B 为圆心，以AC 长为半径画圆，与AB 的垂直平分线相交于一点，再分别以点A 、B 为圆心，以AB 长为半径画圆，与⊙C相交于两点，即可得解．A B 的垂直平分线，①△ABC 的外心P1 为满足条件的一个点，解答：解：如图所示，作②以点C 为圆心，以AC 长为半径画圆，P2、P3 为满足条件的点，③分别以点A、B 为圆心，以AC 长为半径画圆，P4 为满足条件的点，④分别以点A、B 为圆心，以AB 长为半径画圆，P5、P6 为满足条件的点，综上所述，满足条件的所有点P 的个数为6．故答案为：6．点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质，主要利用了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等直观．的性质，三角形的外心到三个顶点的距离相等，圆的半径相等的性质，作出图形更形象6．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC的中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记为S1，取BE的中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF．得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2，S2012=．照此规律，则考点：等边三角形的性质；三角形中位线定理．题：压轴题；规律型．专分析：求出△ABC的面积是，求出DE是三角形ABC的中位线，根据相似三角形的性质得出==，求出S△CDE=×，S△BEF=×，求出S1=×，同理S2=×S△BEF=××，S3=×××S4=××××，推出S2012=×××⋯××（2011个），即可得出答案．解答：解：∵BC的中点E，ED∥AB，∴E为BC中点，∴DE=AB，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴==（）2=，∵△ABC的面积是×1×=∴S△CDE=×，推理=，∴S△BEF=×∴S1=﹣×﹣×=×，同理S2=×S△BEF=××，S3=×××S4=××××，⋯，S2012=×××⋯××（2011个），==，故答案为：．结出规律，题总点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质的应用，解此题的关键是．目比较好，但是有一定的难度7．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，如果AE=4，EF=3，AF=5，那么正方形ABCDn ．的面积等于考点：勾股定理的逆定理；解分式方程；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：根据△ABE ∽△ECF，可将AB 与BE 之间的关系式表示出来，在Rt△ABE 中，根据勾股定理2 2 2，可将正方形ABCD 的边长AB 求出，进而可将正方形ABCD 的面积求出．AB +BE =AC解答：解：设正方形的边长为x，BE 的长为 a∵∠AEB+ ∠BAE= ∠AEB+ ∠CEF=90 °∴∠BAE= ∠CEF∵∠B=∠C∴△ABE ∽△ECF∴= ，即= 解得x=4a①在Rt△ABE 中，AB 2 +BE 2 =AE 2 2 2 2∴x+a =4 ②将①代入②，可得：a=2 2∴正方形ABCD 的面积为：x =16a = ．点评：本题是一道根据三角形相似和勾股定理来求正方形的边长结合求解的综合题．隐含了整体的数学思2 2 2 2 2 想和正确运算的能力．注意后面可以直接这样x+a =4 ②，∴x +（）=4 2 2 2 2 2，x ，x+ x =4 =16，2x = ．无需算出算出x．8．已知a，b，c 是直角三角形的三条边，且a＜b＜c，斜边上的高为h，则下列说法中正确的是②．（只填序号）2 2①a b +h 4 2 2 2 4 2 2 2 2；②b ；③由可以构成三角形；④直角三角形的=（a +b +1）h +c h =b c面积的最大值是．考点：勾股定理的逆定理；勾股定理．专题：计算题；压轴题．分析：根据直角三角形的面积公式和勾股定理将各式化简，等式成立者即为正确答案．解答：解：根据直角三角形的面积的不同算法，有a b= ch，解得h= ．2 2 4 2 2 2 2 2，得 a①将h= 代入a b +h =（a +b +1）h b +（）4 2 2=（a +b +1）（）2，2 2得ab +（）4 2=（c +1）（）2 2 2，得ab +（）4 2 2 4=a b + ，即（）= ，2 2 2a b =c，不一定成立，故本选项错误；4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4，得 b （），b②将h= 代入b +c h =b c +c =b c +b 2 2 2 2 4 2 2 2 2，整理得b﹣ba =bc +b a c =0，2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2（b﹣c）=0，∵b﹣c（b﹣c）=0 成立，故本选项正确；b +a +a =0，∴b +a2 2 2 2 2 2 2 2③∵b +a =c +（）=（），（）=a+b，（）=c，∴不能说明（）+（）故本选项错误；2，④直角三角形的面积为ab，随ab的变化而变化，所以无最大值，故本选项错误．故答案为②．．点评：此题不仅考查了勾股定理，还考查了面积法求直角三角形的高，等式变形计，要仔细复杂算较9．如图，A、B、C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积7．考点：三角形的面积．题．专题：压轴分析：连接A B1，BC1，CA1，根据等底等高的三角形的面积相等求出△ABB1，△A1AB1的面积，从而求出△A1BB1的面积，同理可求△B1CC1的面积，△A1AC1的面积，然后相加即可得解．A B1，BC1，CA1，解答：解：如图，连接∵A、B分别是线段A1B，B1C的中点，∴S△ABB1=S△ABC=1，S△A1AB1=S△ABB1=1，∴S△A1BB1=S△A1AB1+S△ABB1=1+1=2，同理：S△B1CC1=2，S△A1AC1=2，∴△A1B1C1的面积=S△A1BB1+S△B1CC1+S△A1AC1+S△ABC=2+2+2+1=7．故答案为：7．点评：本题考查了三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线把三角形进行分割．是解题的关键5小题）三．解答题（共10．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接C F．（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF；②AC=CF+CD；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，；请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由写出AC、CF、CD之（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接间存在的数量关系．考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；菱形的性质．题：几何综合题；压轴题．专分析：（1）根据已知得出AF=AD，AB=BC=AC，∠BAC=∠DAF=60°，求出∠BAD=CAF，证△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可；（2）求出∠BAD=∠CAF，根据SAS证△B AD≌△CAF，推出BD=CF即可；（3）画出图形后，根据SAS证△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可．解答：（1）证明：∵菱形AFED，∴AF=AD，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=60°=∠DAF，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF，∴CF=BD，∴CF+CD=BD+CD=BC=AC，即①BD=CF，②AC=CF+CD．（2）解：AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之间存在的数量关系是AC=CF﹣C D，理由是：由（1）知：AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°，∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC，即∠BAD=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF，∴BD=CF，∴CF﹣C D=BD﹣C D=BC=AC，即AC=CF﹣C D．C F．理由是：（3）AC=CD﹣∵∠BAC=∠DAF=60°，∴∠DAB=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴CF=BD，∴CD﹣C F=CD﹣B D=BC=AC，即AC=CD﹣C F．生的推要考查学点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，菱形的性质的应用，主中．度适理能力，注意：证明过程类似，题目具有一定的代表性，难11．如图，△ABC中AB=AC，BC=6，，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C 出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中（2）如图②，过点P作直线BC的垂线垂足明理由；是否存在长度保持不变的线段？请说考点：等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质．题：几何综合题；压轴题；分类讨论．专分析：（1）过点P做PF平行与AQ，由平行我们得出一对同位角和一对内错角的相等，再由AB=AC，根据等边对等角得角B和角ACB的相等，根据等量代换的角B和角PFB的相等，根据等角对等边得BP=PF，又因点P和点Q同时出发，且速度相同即BP=CQ，等量代换得PF=CQ，在加上对等角的相等，证得三角形PFD和三角形QCD的全等，根据全等三角形的对应边边相等得出DF=CD=CF，而又因P是AB的中点，PF∥AQ得出F是BC的中点，进而根据已知的BC的长，求出CF，即可得出CD的长．（2）分两种情况讨论，第一种情况点P在线段AB上，根据等腰三角形的三线合一得BE=EF，再又第一问的全等可知DF=CD，所以ED=，得出线段DE的长为定值；第二种情况，P在BA的延长线上，作PM平行于AC交BC的延长线于M，根据两直线平行，同位角相等推出角PMB等于角ACB，而角ACB等于角ABC，根据等量代换得到角ABC等于角PMB，根据等角对等边得到PM等于PB，根据三线合一，得到BE等于EM，同理可得△PMD全等于△QCD，为BC加CM的一半，化简后得值为定值．得到CD等于DM，根据DE等于EM减DM，把EM换解答：解：（1）如图，过P点作PF∥AC交BC于F，∵点P和点Q同时出发，且速度相同，∴BP=CQ，∵PF∥AQ，∴∠PFB=∠ACB，∠DPF=∠CQD，又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠PFB，∴BP=PF，∴PF=CQ，又∠PDF=∠QDC，∴证得△PFD≌△QCD，∴DF=CD=CF，又因P是AB的中点，PF∥AQ，∴F是BC的中点，即FC=BC=3，∴CD=CF=；（2）分两种情况讨论，得ED为定值，是不变的线段如图，如果点P在线段A B上，过点P作PF∥AC交BC于F，∵△PBF为等腰三角形，∴PB=PF，BE=EF，∴PF=CQ，∴FD=DC，∴ED=，∴ED为定值，同理，如图，若P在BA的延长线上，作PM∥AC的延长线于M，∴∠PMC=∠ACB，又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠PMC，∴PM=PB，根据三线合一得BE=EM，同理可得△PMD≌△QCD，所以CD=DM，，E D的长度保持不变．综上所述，线段综，是一道点评：此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判断与性质，考查了分类讨论的数学思想合题．12．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接A D，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段B C上时（与点B不重合），如图2，线段C F、BD所在直线的位置关系为垂C F、BD的数量关系为相等；直，线段②当点D在线段B C的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；B C上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段F不重合），并说明理由．考点：全等三角形的判定与性质．题：压轴题；开放型．专．由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，分析：（1）当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立所以CF=BD，∠ACF=∠ABD．结合∠BAC=90°，AB=AC，得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．点G，则∠GAC=90°，可推出（2）当∠ACB=45°时，过点A作AG⊥AC交CB的延长线于∠ACB=∠AGC，所以AC=AG，由（1）①可知CF⊥BD．解答：证明：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，又∵AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∠B=∠ACF，∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD．②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90度．∵∠BAC=90°，∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAB=∠FAC，又∵AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=45°，∴∠ACF=45°，∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度．即CF⊥BD．（2）当∠ACB=45°时，CF⊥BD（如图）．理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC=90°，∵∠ACB=45°，∠AGC=90°﹣∠ACB，∴∠AGC=90°﹣45°=45°，∴∠ACB=∠AGC=45°，∴AC=AG，∵∠DAG=∠FAC（同角的余角相等），AD=AF，∴△GAD≌△CAF，∴∠ACF=∠AGC=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即CF⊥BC．：SSS、SAS、点评：本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．13．如图1，将两个完全相同的三角形纸片A BC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段D E与AC的位置关系是DE∥AC；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是S1=S2．（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．考点：全等三角形的判定与性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）①根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD=60°，然后根据内错角相等，两直线平行解答；②根据等边三角形的性质可得AC=AD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=AB，然后求出AC=BD，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；（2）根据旋转的性质可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角边”证明△ACN 和△DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；（3）过点D作DF1∥BE，求出四边形BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点，过点D作DF2⊥BD，求出∠F1DF2=60°，从而得到△DF1F2是等边三角形，然后求出DF1=DF2，再求出∠CDF1=∠CDF2，利用“边角边”证明△CDF1和△CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，然后在等腰△BDE 中求出BE的长，即可得解．解答：解：（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC=CD，∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，又∵∠CDE=∠BAC=60°，∴∠ACD=∠CDE，∴DE∥AC；②∵∠B=30°，∠C=90°，∴CD=AC=AB，∴BD=AD=AC，根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；D E∥AC；S1=S2；故答案为：（2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC=CE，AC=CD，∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，∴∠ACN=∠DCM，∵在△ACN和△DCM中，，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN=DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此时S△DCF1=S△BDE；过点D作DF2⊥BD，∵∠ABC=60°，F1D∥BE，∴∠F2F1D=∠ABC=60°，∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30°，∠F2DB=90°，∴∠F1DF2=∠ABC=60°，∴△DF1F2是等边三角形，∴DF1=DF2，∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°，∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°，∴∠CDF1=∠CDF2，∵在△CDF1和△CDF2中，，∴△CDF1≌△CDF2（SAS），∴点F2也是所求的点，∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，又∵BD=4，∴BE=×4÷cos30°=2÷=，∴BF1=，BF2=BF1+F1F2=+=，故BF的长为或．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形，（3）要注意符合条件的点F有两个．键的面积相等是解题的关14．已知两个共一个顶点的等腰R t△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接A F，M是AF的中点，M B、ME．连接（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；：BM=ME．（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证考点：三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．．专题：压轴题1a所示，延长AB交CF于点D，证明BM为△ADF的中位线即可；分析：（1）证法一：如答图1b所示，延长BM交EF于D，根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互证法二：如答图相平行可得AB∥EF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAM=∠DFM，根据中点定义可得AM=MF，然后利用“角边角”证明△ABM和△FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，然后求出BE=DE，从而得到△BDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠EBM=45°，从而得到∠EBM=∠ECF，再根据同位角相等，两直线平行证明MB∥CF即可，（2）解法一：如答图出BM、ME是两条中位线；2a所示，作辅助线，推解法二：先求出BE的长，再根据全等三角形对应边相等可得BM=DM，根据等腰三角形三线合一的性质可得EM⊥BD，求出△BEM是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可；出BM、ME是两条中位线：BM=DF，ME=AG；（3）证法一：如答图3a所示，作辅助线，推然后证明△ACG≌△DCF，得到DF=AG，从而证明BM=ME；3b所示，延长BM交CF于D，连接B E、DE，利用同旁内角互补，两直线平行求证法二：如答图出AB∥CF，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BAM=∠DFM，根据中点定义可得AM=MF，然后利用“角边角”证明△ABM和△FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，BM=DM，再根据“边角边”证明△BCE和△DFE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DE，全等三角形对应角相等可得∠BEC=∠DEF，然后求出∠BED=∠CEF=90°，再根据等腰直角三角形的性质证明即可．解答：（1）证法一：△ABC与△B CD均为等腰直角三角形，∴AB=BC=BD，如答图1a，延长AB交CF于点D，则易知∴点B为线段A D的中点，A F的中点，∴BM为△ADF的中位线，∴BM∥CF．又∵点M为线段证法二：1b，延长BM交EF于D，如答图∵∠ABC=∠CEF=90°，∴AB⊥CE，EF⊥CE，∴AB∥EF，∴∠BAM=∠DFM，∵M是AF的中点，∴AM=MF，在△ABM和△FDM中，，∴△ABM≌△FDM（ASA），∴AB=DF，∵BE=CE﹣B C，DE=EF﹣D F，∴BE=DE，∴△BDE是等腰直角三角形，∴∠EBM=45°，∵在等腰直角△CEF中，∠ECF=45°，∴∠EBM=∠ECF，∴MB∥CF；（2）解法一：如答图2a所示，延长AB交CF于点D，则易知△BCD与△ABC为等腰直角三角形，∴AB=BC=BD=a，AC=CD=a，∴点B为AD中点，又点M为AF中点，∴BM=DF．...F E与CA交于点G，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，分别延长∴CE=EF=GE=2a，CG=CF=a，∴点E为FG中点，又点M为AF中点，∴ME=AG．∵CG=CF=a，CA=CD=a，∴AG=DF=a，∴BM=ME=×a=a．1b．解法二：如答图∵CB=a，CE=2a，∴BE=CE﹣C B=2a﹣a=a，∵△ABM≌△FDM，∴BM=DM，又∵△BED是等腰直角三角形，∴△BEM是等腰直角三角形，∴BM=ME=BE=a；（3）证法一：△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，D F，则易知如答图3a，延长A B交CE于点D，连接∴AB=BC=BD，AC=CD，∴点B为AD中点，又点M为AF中点，∴BM=DF．A G，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，F E与CB交于点G，连接延长∴CE=EF=EG，CF=CG，∴点E为FG中点，又点M为AF中点，∴ME=AG．在△A CG与△DCF中，，∴△ACG≌△DCF（SAS），∴DF=AG，∴BM=ME．证法二：3b，延长B M交CF于D，连接B E、DE，如答图∵∠BCE=45°，∴∠ACD=45°×2+45°=135°∴∠BAC+∠ACF=45°+135°=180°，∴AB∥CF，∴∠BAM=∠DFM，∵M是AF的中点，∴AM=FM，在△ABM和△FDM中，，∴△ABM≌△FDM（ASA），∴AB=DF，BM=DM，∴AB=BC=DF，在△B CE和△DFE中，，∴△BCE≌△DFE（SAS），∴BE=DE，∠BEC=∠DEF，∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF=90°，∴△BDE是等腰直角三角形，又∵BM=DM，∴BM=ME=BD，故BM=ME．...点评：本题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出中位线、全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．。

解三角形压轴题

解三角形压轴题摘要：一、引言二、解三角形压轴题的常规方法1.利用正弦定理2.利用余弦定理3.利用和差公式三、解三角形压轴题的技巧1.寻找直角三角形2.利用面积公式3.构造辅助图形四、解三角形压轴题的注意事项1.审题仔细2.合理运用公式3.细心计算五、结论正文：一、引言解三角形压轴题是中学数学竞赛和高考数学中常见的一种题型，它主要考察学生对解三角形方法的掌握和运用能力。

解三角形的方法有很多种，包括正弦定理、余弦定理、和差公式等。

在解题过程中，学生需要灵活运用这些方法，并注意审题、合理计算。

二、解三角形压轴题的常规方法1.利用正弦定理正弦定理是解三角形中最常用的方法之一。

在解三角形压轴题时，如果已知两边及它们之间的夹角，可以尝试利用正弦定理求解。

2.利用余弦定理余弦定理主要用于求解三角形中的角度，特别是求解不能直接用正弦定理求解的角度问题。

在解三角形压轴题时，如果已知两边及其中一角，可以尝试利用余弦定理求解。

3.利用和差公式和差公式是解三角形中一种非常实用的方法。

在解三角形压轴题时，如果已知两角及它们之间的夹角，可以尝试利用和差公式求解。

三、解三角形压轴题的技巧1.寻找直角三角形在解三角形压轴题时，如果题目中给出的条件较难处理，可以尝试寻找直角三角形。

因为直角三角形的三个角分别为90度、45度和45度，便于计算。

2.利用面积公式面积公式是解三角形中一种非常实用的方法。

在解三角形压轴题时，如果已知两边及它们之间的夹角，可以尝试利用面积公式求解。

3.构造辅助图形在解三角形压轴题时，如果题目条件较复杂，可以尝试构造辅助图形。

通过辅助图形，可以简化题目条件，便于求解。

四、解三角形压轴题的注意事项1.审题仔细解三角形压轴题时，首先要仔细阅读题目，明确题目所求，以免出现偏差。

2.合理运用公式在解题过程中，要根据题目条件选择合适的解三角形方法，并合理运用公式。

3.细心计算解三角形压轴题往往涉及到复杂的计算，因此，在解题过程中要细心，避免出现计算错误。

初中数学三角形压轴题

初中数学三角形压轴题
哎呀！一提到初中数学三角形的压轴题，我的脑袋都要大啦！那可真是让人又爱又恨呐！
还记得有一次，数学考试的时候，最后那几道三角形的压轴题，就像拦路虎一样横在我面前。

我瞪大眼睛，死死地盯着题目，心里不停地念叨：“这到底是要闹哪样啊？”
题目说有一个三角形，三个角的度数好像在和我捉迷藏，怎么都找不到规律。

还有那些边的长度，一会儿这个比例，一会儿那个关系，搞得我晕头转向。

我就像在黑暗中摸索的人，怎么都找不到那一丝光明。

我看看旁边的同学，他们有的眉头紧皱，有的咬着笔头，看来大家都被这难题给难住啦！我心想：“难道就这么被它打败？不行，我得加油！”
我深吸一口气，重新把题目看了一遍又一遍。

突然，我好像发现了一点线索，就像在沙漠中找到了一滴水。

我赶紧拿起笔，在草稿纸上写写画画。

这时候，我的同桌凑过来，小声问我：“这题你会吗？”我摇摇头，说：“还没完全搞明白呢，你呢？”他一脸无奈：“我也是，感觉这题就是故意刁难人的！”
我继续埋头苦想，脑子里不断回忆老师讲过的知识点。

“三角形内角和是180 度，对呀！”我兴奋地叫了起来。

这一叫，把周围同学都吓了一跳，他们都用奇怪的眼神看着我。

经过一番苦苦思索，我终于算出了答案。

那一刻，我高兴得差点跳起来，心里就像吃了蜜一样甜。

我觉得啊，做三角形的压轴题就像爬山。

一开始，你觉得山好高好难爬，但是只要你坚持，一步一步往上走，总会到达山顶，看到美丽的风景。

虽然过程很辛苦，但是当你成功的那一刻，所有的付出都值得啦！所以，遇到难题别害怕，勇敢去挑战，说不定就能成功呢！。

八年级全等三角形压轴题

全等三角形压轴题复习1、如图，已知A(—2,3),B(—5,0),C(—1,0),△ABC和4A^1c l关于x轴对称，(1)作4ABC关于x轴对称的^A1B1C1,直接写出点A1坐标；(2)在y轴上有一点P使AP+A1P最小，直接写出点P的坐标；(3)请直接写出点A关于直线x=m(直线上各点的横坐标都为m)对称的点的坐标.知识点一、全等三角形的常见模型与辅助线【知识梳理】1、常见辅助线：(1)角平分线：^(2)垂直平分线：^(3)中线：^(4)等腰三角形：^(5)线段和(差)：^2、常见的模型：(1)三垂直：(2)手拉手：(3)夹半角：(4)对角互补：(5)脚拉脚：【例题精讲一】最短路径1、平面直角坐标系中，已知A（4,3）、B（2,1）,x轴上有一点P,要使PA-PB最大，则P点坐标为2、如图，在Rt^ABC中，N ACB=90°,AC>BC,AD平分N CAB交BC于口，点E、F分别是AD、AC上的动点，点O为AB中点，点M在AB上，且AM=AC,则CE+EF的最小值等于（）A.点O到点C的距离B.点M到点C的距离C.点O到BC边上的距离D.点C到AB的距离（第2题）（第3题）（第5题）3、如图，在四边形ABCD中，DA，AB,DA=6cm,Z B+Z C=150°.CD与BA延长交于E点，点A刚好是BE的中点，P、Q分别是线段CE、BE上的动点，则BP+PQ最小值是^4、已知A（3,1）,B（5,2）,点P（a,0）在x轴上，当PA—PB达到最大值时，a=。

5、如图，等边△ABC中，BF是AC边上中线，点D在BF上，连接AD,在AD的右侧作等边△ADE,连接£尸，当4AEF周长最小时，N CFE的大小是^【课堂练习】1、如图，已知N MON=40°,P为^MON内一点，A为OM上的点，B为ON上的点.当△PAB的周长取最小值时，则N APB的度数为。

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三角形与坐标系压轴题
解：（1）等腰三角形，证明略. …………3′
（2）解法一：设BC交y轴于K，过A作AN⊥y轴于N，
易证AN=CK=BK，△ANG≌△BKG，∴AG=BG，
又易证AG=OG，故设∠OAG=∠AOG=x，
∠GOB=∠GBO=y，∴2x+2y=180°，x+y=90°，
∴AO⊥BO.
解法二：连BC，∵B、C关于y轴对称，AC//y轴，∴AC⊥BC，
易证△COD≌△BOE（HL），∴∠DCO=∠ABO，
∴∠BAC+∠BOC=180°，设∠BAO=∠CAO=x，
∠OBC=∠OCB=y，∴2x+∠BOC=180°，
又2y+∠BOC=180°，∴x=y，故∠OAC=∠OBC，
∴∠AOB=∠ACB=90°，∴AO⊥OB. …………7′
（3）连BC，则∠ACB=90°，∵∠ACM=45°，∴CM平分∠ACB，又AM平分∠BAC，∴BM 平分∠ABC，设∠ABM=∠CBM=z，由（2）可得∠OMB=x+z，∠OBM=y+z=x+z ∴∠OMB=
∠OBM，∴OM=OB 故△OBM为等腰直角△，作MG⊥x轴于G，BH⊥x轴于H，易证△
OMG≌△OBH，∴OG=BH=1，MG=OH=3∴M(-1，3). ……12′
3.如图1，在平面直角坐标系中，△AOB 为等腰直角三角形，A （4，4）
（1）求B 点坐标；
（2）如图2，若C 为x 轴正半轴上一动点，以AC 为直角边作等腰直角△ACD ，∠ACD=90°连OD ，求∠AOD 的度数；
（3）如图3，过点A 作y 轴的垂线交y 轴于E ，F 为x 轴负半轴上一点，G 在EF 的延长线上，以EG 为直角边作等腰Rt △EGH ，过A 作x 轴垂线交EH 于点M ，连FM ，等式
OF FM AM -=1是否成立？若成立，请证明：若不成立，说明理由.
解：（1）作AE ⊥OB 于E ，
∵A （4，4），∴OE=4，
∵△AOB 为等腰直角三角形，且AE ⊥OB ，
∴OE=EB=4，∴OB=8，∴B （8，0）；
（2）作AE ⊥OB 于E ，DF ⊥OB 于F ，
∵△ACD 为等腰直角三角形，∴AC=DC ，∠ACD=90°
即∠ACF+∠DCF=90°，
∵∠FDC+∠DCF=90°，∴∠ACF=∠FDC ，
又∵∠DFC=∠AEC=90°，∴△DFC ≌△CEA ，
∴EC=DF ，FC=AE ，
∵A （4，4），∴AE=OE=4，
∴FC=OE ，即OF+EF=CE+EF ，∴OF=CE ，∴OF=DF ，∴∠DOF=45°，
∵△AOB 为等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，
∴∠AOD=∠AOB+∠DOF=90°；
方法一：过C 作CK ⊥x 轴交OA 的延长线于K ，
则△OCK 为等腰直角三角形，OC=CK ，∠K=45°，
又∵△ACD 为等腰Rt △，
∴∠ACK=90°-∠OCA=∠DCO ，AC=DC ，
∴△ACK ≌△DCO （SAS ），∴∠DOC=∠K=45°，
∴∠AOD=∠AOB+∠DOC=90°；
（3）OF
FM AM -=1 成立，理由如下：在AM 上截取AN=OF ，连EN ． ∵A （4，4），∴AE=OE=4，
又∵∠EAN=∠EOF=90°，AN=OF ，
∴△EAN ≌△EOF （SAS ），
∴∠OEF=∠AEN ，EF=EN ，
又∵△EGH 为等腰直角三角形，
∴∠GEH=45°，即∠OEF+∠OEM=45°，
∴∠AEN+∠OEM=45°
又∵∠AEO=90°，∴∠NEM=45°=∠FEM ，
又∵EM=EM ，∴△NEM ≌△FEM （SAS ），∴MN=MF ，
∴AM-MF=AM-MN=AN ，∴AM-MF=OF ，
即 OF
FM AM -=1；方法二：在x 轴的负半轴上截取ON=AM ，连EN ，MN ，
则△EAM ≌△EON （SAS ），EN=EM ，∠NEO=∠MEA ，
即∠NEF+∠FEO=∠MEA ，而∠MEA+∠MEO=90°，
∴∠NEF+∠FEO+∠MEO=90°，而∠FEO+∠MEO=45°，
∴∠NEF=45°=∠MEF ，∴△NEF ≌△MEF （SAS ），∴NF=MF ，
∴AM=OF=OF+NF=OF+MF ，即 OF
FM AM -=1．注：本题第（3）问的原型：已知正方形AEOP ，∠GEH=45°，将∠GEH 的顶点E 与正方形的顶点E 重合，∠GEH 的两边分别交PO 、AP 的延长线于F 、M ，求证：AM=MF+OF ．。

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