大学物理第三章动量守恒定律和能量守恒定律
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第三章动量和能量守恒定律
r u
m
M vr13
（2）
无摩擦
x
( M ? m ) v车对地 1 ? mv 人对地 ? 0
v人对地 ? - u + v车对地 1
v车对地
1?
M
mu ? 2m
Mv 车对地 2 ? mv 人对地 ? ( M ? m ) v车对地 1
v人对地 ? - u + v车对地 2
v2
?
v 车对地
2
?
M
m u? ? 2m
v 2. v ? ln M0 , M0 大
大
MM
这对燃料的携带来说不合适，用多级火箭可避免这一困难。
火箭在燃料燃烧时所获推力
17
以喷出的气体dm为研究对象，它在dt 时间内的动量变化率为
dm?(v ? dv ? u) ? v?? ? u dm 由牛二定律，该变化率即为喷
dt
dt 出气体所受推力,有
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律 1
3-1 质点和质点系的动量定理 3-2 动量守恒定律 3-3* 系统内质量移动问题
3-4 动能定理 3-5 保守力与非保守力 势能 3-6 功能原理 机械能守恒定律
3-7 完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞 3-8 能量守恒定律 3-9* 质心 质心运动定律
3-1 质点和质点系的动量定理
B A
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
t t 时刻,系统的动量为： pt t m - m v v mv v u
u
v v
t t t 时间间隔内 ,系统的动量的增量为： p pt t - pt
3－2 动量守恒定律
一、质点系动量守恒定律
1.系统的动量守恒定律
ex 当系统所受合外力为零，即F ＝ 0 时，系统的总动量的增量：
系统的总动量保持不变，即
i 1
p - p0 0
n p m i vi 恒矢量
当系统所受的合外力为零时，系统的总动量将保持不变。
2.动量守恒定律的分量式 p x mi vix C1 Fxex 0
t2
I I x i I y j Iz k
3
6.动量、冲量方向的确定 (1)动量方向—由速度的方向确定。 (2)冲量方向—由物体始、末动量矢量差的方向确定。
I p p2 p1 m v2 m v1 m v
F
7.冲力 在极短的时间内、量值很
三、课堂讨论—“船行八面风”
I p 2 p1 p
6
例1 一质量为0.05 kg、速率为10 m· s-1的刚球，以与钢 板法线呈45º 角的方向撞击在钢板上，并以相同的速率 和角度弹回来。设碰撞时间为0.05 s。求在此时间内钢 板所受到的平均冲力。
u
v v
t t t 时间间隔内 ,系统的动量的增量为： p pt t - pt
3－2 动量守恒定律
一、质点系动量守恒定律
1.系统的动量守恒定律
ex 当系统所受合外力为零，即F ＝ 0 时，系统的总动量的增量：
系统的总动量保持不变，即
i 1
p - p0 0
n p m i vi 恒矢量
当系统所受的合外力为零时，系统的总动量将保持不变。
2.动量守恒定律的分量式 p x mi vix C1 Fxex 0
t2
I I x i I y j Iz k
3
6.动量、冲量方向的确定 (1)动量方向—由速度的方向确定。 (2)冲量方向—由物体始、末动量矢量差的方向确定。
I p p2 p1 m v2 m v1 m v
F
7.冲力 在极短的时间内、量值很
三、课堂讨论—“船行八面风”
I p 2 p1 p
6
例1 一质量为0.05 kg、速率为10 m· s-1的刚球，以与钢 板法线呈45º 角的方向撞击在钢板上，并以相同的速率 和角度弹回来。设碰撞时间为0.05 s。求在此时间内钢 板所受到的平均冲力。
第三章-动量守恒定律与能量守恒定律
t1
t2
对于碰撞、打击、爆炸 等过程，物体之间的相 互作用力
称为冲力，其特点是峰 值大，变化大， ∆t短，在某时刻其值 难准确确定。在该过程 中，可忽略物体所受的 其它力（如重
力、弹力）。一般用平 均力替代变力。
I = ∫ F dt = F (t 2 − t1 ) = mv2 − mv1
t1
t2
如果
b b b
= A1 + A2 + ... + An
dt时间内, 位移为ds , 作功dA
dA = F ⋅ ds = F cosθds
dA F cosθds P= = = F cos θv = F ⋅ v dt dt ( w)
Aab = ∫a F cosθ ds = ∫a Fτ ds a • dv b b = ∫a maτ ds = ∫a m ds dt v 2 2 = ∫v mvdv = 1 mvb − 1 mva 2 2
水平冲量 垂直冲量
质点系动量定理 研究系统 — n个质点 第i个质点： ∫ Fi外 dt + ∫ f i内dt = mi vi 2 − mi vi1 求和：
t2 t2
∫ ∑F
t2 t1
t1
t1
i外
dt + ∫
t2
t1
∑f
0
i内
dt = ∑ mi vi 2 − ∑ mi vi1
t2
对于碰撞、打击、爆炸 等过程，物体之间的相 互作用力
称为冲力，其特点是峰 值大，变化大， ∆t短，在某时刻其值 难准确确定。在该过程 中，可忽略物体所受的 其它力（如重
力、弹力）。一般用平 均力替代变力。
I = ∫ F dt = F (t 2 − t1 ) = mv2 − mv1
t1
t2
如果
b b b
= A1 + A2 + ... + An
dt时间内, 位移为ds , 作功dA
dA = F ⋅ ds = F cosθds
dA F cosθds P= = = F cos θv = F ⋅ v dt dt ( w)
Aab = ∫a F cosθ ds = ∫a Fτ ds a • dv b b = ∫a maτ ds = ∫a m ds dt v 2 2 = ∫v mvdv = 1 mvb − 1 mva 2 2
水平冲量 垂直冲量
质点系动量定理 研究系统 — n个质点 第i个质点： ∫ Fi外 dt + ∫ f i内dt = mi vi 2 − mi vi1 求和：
t2 t2
∫ ∑F
t2 t1
t1
t1
i外
dt + ∫
t2
t1
∑f
0
i内
dt = ∑ mi vi 2 − ∑ mi vi1
大学物理动量守恒定律和能量守恒定律
实例分析
自由落体运动
当一个物体在真空中自由落体时，它 的势能转化为动能。根据能量守恒定 律，总能量保持不变，即势能和动能 之和保持不变。
电路
在电路中，电能可以转化为热能、光 能等其他形式的能量。根据能量守恒 定律，电路中的总能量保持不变，即 电源提供的电能等于各元件消耗的能 量之和。
03
动量守恒与能量守恒的综合 应用
未来能源利用的发展需要解决环 境问题和能源短缺问题，动量守 恒定律和能量守恒定律将在新能 源技术、节能技术等领域发挥关
键作用。
感谢您的观看
THANKS
04
动量守恒定律和能量守恒定 律的意义与影响
在物理学中的地位
基础定律
动量守恒定律和能量守恒定律是物理学中的两个基础定律，它们 在理论物理学和实验物理学中都占据着重要的地位。
理论基石
这两个定律为物理学理论体系提供了基石，许多物理理论和公式都 是基于这两个定律推导出来的。
验证实验
许多实验通过验证动量守恒定律和能量守恒定律的正确性，来检验 实验的准确性和可靠性。
对未来科技发展的影响
推动科技发展
动量守恒定律和能量守恒定律作 为物理学的基础定律，将继续在 未来的科技发展中发挥重要作用，
推动科技的不断进步和创新。
探索宇宙奥秘
随着人类对宇宙的探索不断深入， 动量守恒定律和能量守恒定律将 在宇宙学、天文学等领域发挥更 大的作用，帮助人类揭示更多宇
动量守恒定律与能量守恒定律
动量守恒定律要求系统是封闭的，即 系统中的物质不能离开或进入系统。
系统内力的矢量和为零
系统内力的矢量和为零意味着系统内 部相互作用力的总和为零，不会改变 系统的总动量。
动量守恒定律的应用实例
碰撞问题
动量守恒定律可以用来研究物体 之间的碰撞问题，例如两球碰撞、
子弹打入木块等。
行星运动
行星绕太阳的运动也遵循动量守恒 定律，因为行星之间的相互作用力 和太阳对行星的引力都可以忽略不 计。
动量守恒定律与能量守恒定律
contents
目录
• 动量守恒定律 • 能量守恒定律 • 动量守恒与能量守恒的关系 • 动量守恒定律与能量守恒定律在现实生
活中的应用 • 深入理解动量守恒定律与能量守恒定律
的意义
01 动量守恒定律
定义与公式
定义
动量守恒定律是物理学中的基本定律之一，它指出在没有外 力作用的情况下，一个封闭系统的总动量保持不变。
化学能守恒
在化学反应中，反应前后物质所具有的化学能总 和相等，即化学能守恒。例如，燃烧反应、化学 键的合成与断裂等。
03 动量守恒与能量守恒的关 系
动量与能量的联系
动量与能量都是描述物体运动状态的物理量，它们之间存 在一定的联系。
动量是物体质量和速度的乘积，表示物体运动的惯性大小； 能量是物体运动状态的另一种度量，包括动能和势能等形 式。
大学物理第三章动量守恒定律和能量守恒定律
动量守恒定律的表述
总结词
动量守恒定律表述为系统不受外力或所 受外力之和为零时，系统总动量保持不 变。
VS
详细描述
动量守恒定律是自然界中最基本的定律之 一，它表述为在一个封闭系统中，如果没 有外力作用或者外力之和为零，则系统总 动量保持不变。也就是说，系统的初始动 量和最终动量是相等的。
动量守恒定律的适用条件
粒子物理
在粒子物理实验中，动量守恒和能量守恒是研究粒子相互作用和衰变的基本原理 。
在工程设计中的应用
机械工程
在机械设计中，动量守恒定律可以用于分析旋转机械的平衡和稳定性问题，如风力发电机和涡轮机的 设计。
能源工程
能量守恒定律在能源转换和利用中具有广泛应用，如热能、电能等能源转换过程的效率和优化。
THANKS
总结词
动量守恒定律适用于宏观低速领域，即物体运动速度远小于光速的情况。
详细描述
动量守恒定律适用于宏观低速领域，这是因为在相对论效应中，当物体运动速 度接近光速时，质量会发生变化，动量的定义也会发生变化。因此，在处理高 速运动或相对论问题时，需要使用相对论动量。
动量守恒定律的推导
总结词
通过牛顿第三定律和力的作用是相互的原理，可以推导出动量守恒定律。
动量守恒与能量守恒的相互推导
根据牛顿第二定律，力对时间的累积等于动量的 变化，即FtFra Baidu bibliotekΔp。
大学物理第三章动量守恒定律和能量守恒定律
守恒定律的意义
强调了守恒定律在物理学中的重要地位，以及在解决实际问题中的应 用价值。
对动量守恒定律和能量守恒定律的思考
守恒的哲学思考
探讨了守恒定律在哲学上的意义，以及它们 对宇宙观的影响。
守恒定律的局限性
分析了守恒定律在极端条件下的适用性，以 及它们在量子力学和相对论中的地位。
对未来学习的展望
深入学习相对论和量子力学
展望了未来在学习相对论和量子力学中，对动量守恒定律和能量守恒定律的更深入理解 和应用。
探索其他守恒定律
鼓励了对其他守恒定律的探索，如角动量守恒定律、电荷守恒定律等。
THANKS
感谢观看
总结词：明确阐述
详细描述：动量是质量与速度的乘积，表示物体运动的剧烈程度。计算公式为 P=mv，其中P表示动量，m表示质量，v表示速度。
动量守恒定律的表述和推导
总结词：详细解释
详细描述：动量守恒定律表述为在没有外力作用的情况下，系统内各物体动量之和保持不变。推导过 程基于牛顿第三定律和力的作用相互性原理，即系统内相互作用的物体所受的力大小相等、方向相反 。
能量守恒定律的表述和推导
表述
在一个孤立系统中，能量既不会凭空 产生也不会凭空消失，只会从一种形 式转化为另一种形式，总能量保持不 变。
推导
基于牛顿力学、热力学和电磁学的基 本原理，通过数学推导得到能量守恒 定律。
强调了守恒定律在物理学中的重要地位，以及在解决实际问题中的应 用价值。
对动量守恒定律和能量守恒定律的思考
守恒的哲学思考
探讨了守恒定律在哲学上的意义，以及它们 对宇宙观的影响。
守恒定律的局限性
分析了守恒定律在极端条件下的适用性，以 及它们在量子力学和相对论中的地位。
对未来学习的展望
深入学习相对论和量子力学
展望了未来在学习相对论和量子力学中，对动量守恒定律和能量守恒定律的更深入理解 和应用。
探索其他守恒定律
鼓励了对其他守恒定律的探索，如角动量守恒定律、电荷守恒定律等。
THANKS
感谢观看
总结词：明确阐述
详细描述：动量是质量与速度的乘积，表示物体运动的剧烈程度。计算公式为 P=mv，其中P表示动量，m表示质量，v表示速度。
动量守恒定律的表述和推导
总结词：详细解释
详细描述：动量守恒定律表述为在没有外力作用的情况下，系统内各物体动量之和保持不变。推导过 程基于牛顿第三定律和力的作用相互性原理，即系统内相互作用的物体所受的力大小相等、方向相反 。
能量守恒定律的表述和推导
表述
在一个孤立系统中，能量既不会凭空 产生也不会凭空消失，只会从一种形 式转化为另一种形式，总能量保持不 变。
推导
基于牛顿力学、热力学和电磁学的基 本原理，通过数学推导得到能量守恒 定律。
第三章动量守恒定律和能量守恒定律_图文
正功表示作用力对物体做功；负功表示 物体克服作用力做功. （3） 功的单位： J（焦耳）
（4）合力的功，等于各分力的功的代数和 即
3 功率 1） 平均功率 2）（瞬时）功率
功率的单位：W （瓦特）
例.一个质点在恒力 下的位移为 位移过程中所作的功。
解：
作用 ,求此力在该
注:
例. 一质点在如图所示的坐标平面内作圆运动，
打击时间很短，
, 因此
鸡蛋掉在杯中.
例（P83 习题3-8）.
的合外力
作用在质量
的物体上，试求：1）在
开始2s内此力的冲量；2）若冲量
此力作用的时间；3)若物体的初速度 v1=10 m·s-1，方向与Fx相同 ，在t=6.86 s时物体的速 度v2．
分析：1）由冲量的定义 的冲量；
求出变力
3）根据动量定理求物体的速度.
式中
所作的功只与质点的 始、末位置有关，与 路径无关．
2 重力作功
D
A
C B
所作的功只与质点的 始、末位置有关，与路径 无关．
若回到初始位置，即环 绕一周，则所作的功为
D
A
C B
3 弹性力作功
坐标系如图，弹簧原长o点处为原点-平衡位置 弹性力
弹性力作功的图示：W=梯形面积 F
dW
弹性力作功只与弹
(3)对一系统,若外力作功为零,则动量和机 械能必定同时守恒。 机械能守恒 动量守恒
（4）合力的功，等于各分力的功的代数和 即
3 功率 1） 平均功率 2）（瞬时）功率
功率的单位：W （瓦特）
例.一个质点在恒力 下的位移为 位移过程中所作的功。
解：
作用 ,求此力在该
注:
例. 一质点在如图所示的坐标平面内作圆运动，
打击时间很短，
, 因此
鸡蛋掉在杯中.
例（P83 习题3-8）.
的合外力
作用在质量
的物体上，试求：1）在
开始2s内此力的冲量；2）若冲量
此力作用的时间；3)若物体的初速度 v1=10 m·s-1，方向与Fx相同 ，在t=6.86 s时物体的速 度v2．
分析：1）由冲量的定义 的冲量；
求出变力
3）根据动量定理求物体的速度.
式中
所作的功只与质点的 始、末位置有关，与 路径无关．
2 重力作功
D
A
C B
所作的功只与质点的 始、末位置有关，与路径 无关．
若回到初始位置，即环 绕一周，则所作的功为
D
A
C B
3 弹性力作功
坐标系如图，弹簧原长o点处为原点-平衡位置 弹性力
弹性力作功的图示：W=梯形面积 F
dW
弹性力作功只与弹
(3)对一系统,若外力作功为零,则动量和机 械能必定同时守恒。 机械能守恒 动量守恒
03 动量守恒定律和能量守恒定律
dW F dl Fdl Fn 0 Fdl Fds t t t
W Ft ds
s1 s2
3-4
例1. 一质点 m 沿一曲线从 P 到 Q ，计算此过程中 重力所作的功，设 P 、 Q 坐标均为已知。 解：
W x Fx dx y Fy dy z Fz dz
1
p2
1
I p （积分形式）
3-1
一. 冲量
1. 元冲量：
dI Fdt
总冲量： I
t Fdt
t2
1
说明：当力为恒力时，
I t Fdt F t dt F t
t2
1
t2
1
即中学学过的冲量的定义其实是特例。
二. 动量
p mv
3-1
三. 质点的动量定理
1. 定理：
I p
2
a axi ay j az k
b bxi by j bz k
a b axbx ayby azbz F Fx i Fy j Fz k dl dxi dyj dzk
dW F dl Fx dx Fy dy Fz dz
F1
F21 F12
m1
F2
m2
3-1
五. 质点系的动量定理
1. 定理：
大学物理-第三章-动量守恒定律和能量守恒定律
22
二、动能定理 (theorem of kinetic energy)
1、动能 将牛顿定律
F
m
dv
两边点积dr
vdt
F
dr
m
dv
dt vdt
F
dr
mv
dv
d v2
d
v
dvt
dv
v
v
dv
2v
动到B点的半圆内，动量的增量应为：
（（AC））22mmvvij
（B） （D）
2mvj 2mvi
Y vA
BO
A
vB
动量的增量为
P mv2 mv1
X
mvB j mv A j
2mvj
答（B）
8
４、动量定理的应用
平均冲力概念
f
F
1
t2
解：根据功的定义
A
Q F dr
0
Q 0
(Fxdx Fydy)
Q 0
(2xydx 3x2dy)
将 x2＝9y 代入上式得
A
第3章-动量守恒定律和能量守恒定律
代入数据计算得 pN 1.36 10 22 kg m s1
arctan pe 61.9
pν
16
3-2 动量守恒定律
例 2 一枚返回式火箭以 2.5 103 m·s-1 的速率相对惯性 系 S 沿 Ox 轴正向飞行. 设空气阻力不计. 现由控制系统 使火箭分离为两部分, 前方部分是质量为 100kg 的仪器 舱, 后方部分是质量为 200kg 的火箭容器. 若仪器舱相对 火箭容器的水平速率为 1.0 103 m·s-1 . 求仪器舱和火箭 容器相对惯性系的速度 .
1） 万有引力作功
以m'为参考系，m的位置矢量为 r .
m'对m 的万有引力为：
F
G
m' m r2
er
r 方向单
位矢量
m
A
r (t)
dr
m' r(t dt)
m移动 dr时，F 作元功为
O
dW
F
dr
G
m' m r2
er
dr
B
28
3-5 保守力和非保守力 势能
W
F dr
B
A
0
则
v2
v
m1 m1 m2
v'
v2 2.17 103 m s1
(m1 m2 )v m1v1 m2v2 v1 3.17 103 m s1
大学普通物理第三章
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
§3-2 动量守恒定律
质点系动量定理
若质点系所受的合外力
则系统的总动量不变
F外 力 0,
P
n
mivi 恒矢量
i 1
动量守恒定律：一个质点系所受的合外力为零时, 这一质点系的总动量将保持不变.
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
讨论
m
l
v
v0
(
ml Mm
)t
（3）若人以变速率运动, 上述结论如何？
v
v0
m M
m
u
t
s 0 v d t
t
0 (v0
mu )d t Mm
v0t
m M
m
l
m u
vo
M
x
O
l v
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
例2 质量为m1 和m2的两个小孩,在光滑水平冰面上 用绳彼此拉对方.开始时静止,相距为L.问他们将在
F外 力 0,
n
mivi 恒矢量
i 1
(1) 系统的总动量不变,但系统内任一物体的
动量是可变的．
(2) 守恒条件:合外力为零．
当外力作用远小于内力作用时,可近似认为 系统的总动量守恒.（如:碰撞,打击等）
§3-2 动量守恒定律
质点系动量定理
若质点系所受的合外力
则系统的总动量不变
F外 力 0,
P
n
mivi 恒矢量
i 1
动量守恒定律：一个质点系所受的合外力为零时, 这一质点系的总动量将保持不变.
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
讨论
m
l
v
v0
(
ml Mm
)t
（3）若人以变速率运动, 上述结论如何？
v
v0
m M
m
u
t
s 0 v d t
t
0 (v0
mu )d t Mm
v0t
m M
m
l
m u
vo
M
x
O
l v
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
例2 质量为m1 和m2的两个小孩,在光滑水平冰面上 用绳彼此拉对方.开始时静止,相距为L.问他们将在
F外 力 0,
n
mivi 恒矢量
i 1
(1) 系统的总动量不变,但系统内任一物体的
动量是可变的．
(2) 守恒条件:合外力为零．
当外力作用远小于内力作用时,可近似认为 系统的总动量守恒.（如:碰撞,打击等）
大学物理第三章动量守恒定律和能量守恒定律
F
Fm F
o t1
t
t2 8
第三章 教学基§本3要.1求.2 质第点三系章动动量量守恒定定理律和能量守恒定律
（theorem of momentum of particle system）
1、两个质点组成的质点系
内 外力 力： ：FF112、、FF22；1;
F1
F12
F2
F21
初始速度 vg0 vb0 0 mb 2mg 则
推开后速度 vg 2vb
推开前后系统动量不变
且方向p相反p0则
p0 0 p 0
13
第三章 教学基§本3要-1求. 2质第点三系章的动量动守量恒定定律理和能量守恒定律
甲队
乙队
例如：两队运动员拔河，有的人说甲队力气大， 乙队力气小，所以甲队能获胜，这种说法是否正 确?
3、质点系动量定理的微分形式：
根据：
I
p
p0
在无限小的时间间隔内：
4、说明：F外dt
dp
1）只有外力对系统动量的增量有贡献；
2）系统内力不改变系统总动量，但可使 系统内各质点的动量变化。
12
第三章 教学基§本3要-1求.2 质第点三系章的动量动守量恒定定律理和能量守恒定律
注意
内力不改变质点系的动量
14
大学物理动量守恒定律和能量守恒定律
a
Fx dx Fy dy
F 2 y i 4 j(N )
F
z
d
z
4yx6
Y
2.25 1
x2 4y
W1
x2,y2 x1,y1
(FxdxFydy)
x22ydx
x1
y24dy
y1
2
O
3X
3
x2 dx
9d(x2)10.8J
2 2
4
W2
x2 2ydx
x1
y2 4dy
y1
3 1(x6)dx
W Fdr0
可见，万有引力作功与路 径无关，仅与初、末位置
M ra
dr
r F m
有关。
a
二、保守力和耗散力
W F d r0
力对质点做功的大小只与质点的始末位置有关，而与 路径无关。这种力称为保守力。
典型的保守力： 重力、万有引力、弹性力、静电场 力等。
与保守力相对应的是非保守力或耗散力 典型的耗散力： 摩擦力
功的单位：焦耳(J)
力的空间积累效应
直角坐标系中功的表达式
F F x i F yj F z k d r d i x d j y d kz
dW F xdxF ydyF zdz
b
W a
FxdxFydyFzdz
x
y
z
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
基本要求
1.掌握动量、冲量的概念，明确它们的区别和关系。
2.熟练应用动量定理和动量守恒定律求解力学问题。
3.掌握功和动能的概念，会计算变力的功。
4.理解保守力作功的特点及势能的概念，会计算重力、弹性力、和万有引力势能。
5.熟练运用动能定理、功能原理和机械能守恒定律求解力学问题。
基本概念及规律
一、动量定理和动量守恒定律
动量定理 合外力的冲量等于质点（或质点系）的增量。
动量定理 21Fdt P P =- ， 质点系 21i i i i
Fdt P P =-∑∑ 。 动量守恒定律 当一个质点所受合外力为零时，这一质点的总动量保持不变。
0F =∑ 外时， i i i P m v ==∑∑ 恒矢量
在直角坐标系中：
0x F
=∑时， i ix x m v P ==∑常量； 0y F
=∑时，i iy y m v P ==∑常量； 0z F =∑时， i iz z m v P ==∑常量。
二、功的定义
元功 cos dw F dr Fdr ϕ=⋅=
有限运动的功 B
AB A w F dr =⋅⎰
三、动能、动能定理
动能：是描述物体运动状态的单值函数，反映物体运动时具有作功的本领。
212
k E mv = 动能定理：合外力对质点做的功等于质点动能的增量。
AB KB KA w E E =-
四、保守力、势能、功能原理
保守力 某力所作的功与受力质点所经过的具体路径无关，而只决定于质点的始、末位置，则这个力称为保守力。例如：重力、引力、弹性力等。
势能 以保守力相互作用的物体系统在一定的位置状态所具有的能量，叫势能。物体系统内部物体间相对位置变化时，保守力作功等于势能增量的负值，即：
大学物理 第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
O
y
y
F m1 g yg
ex
m2
O
质点系的总动量 p y v
质点系动量定理
m1 y
y
dp F ex dt
dy dt
2
yg dt d( yv)
dt dy
y g dy y d( yv)
g y 3 ( y )2 d[ ] 0 3 2
2 v gy 3
§3.2 动量守恒定律
A
例 1：一质量为 m 的小球竖直 落入水中， 刚接触水面时其 速率为 v0。设此球在水中所受 的浮力与重力相等，水的阻力 为 Fr = – b v, b 为一常量。 求阻力对球作的功与时间的 函数关系。 解：建立如右图所示的坐标系
o
v0
x
dW 阻力瞬时功率 P Fr v -bv 2 dt
t1
讨论
动量定理
I p
1) 特征：过程量＝状态量的增量 冲量矢量是过程量，动量矢量是状态量 2) 矢量关系 3) 分量形式
I x Fx ( t ) dt p2 x p1 x
t1 t2
p2
I
p1
4) 只适用于惯性系
5) 估算合外力的平均作用力 t F (t )dt t F , t t 2 t1
mi
F ji
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若只有保守内力作功，则质点系的
动能和势能相互转换，机械能保持
不变
例 1：雪橇从高 h=50 m 的山顶 A点沿冰道 由静止下滑, 坡道 AB 长为 s′=500 m。滑 至点 B 后，又沿水平冰道继续滑行，滑行 若干米后停止在 C 处。μ=0.050。求雪橇 沿水平冰道滑行的路程 s。
解：应用功能原理
y 0
势能零点： 地面或末态
万有引力势能
G m m EP r
EP
r
0
势能零点： 无穷远处
§3.6 功能原理 机械能守恒定律
一.质点系的动能定理
对第 i 个质点应用动能定理 Wiex Wiin Eki Eki0
外力功 内力功
m1
Fiex
m2 Fiin mi
• 质点系的总动能 Ek Ek1 Ek2 ... EkN • 质点系的动能定理 W ex W in Ek Ek0
质点系动量定理： t
动量守恒定律：F
t0 ex
F
ex
0
dt
p p
p0 p0
分量形式：若某方向合外力为零， 则沿此方向动量守恒。
Fxex 0 px px0
讨论 (1) 系统的总动量保持不变，但系统内
任一物体的动量是可变的
(2) 守恒条件：合外力为零 外力 << 内力(碰撞、爆炸)时 动量近似守恒。
pe(电子)
pN
pν(中微子)
1.361022(SI)
图中 arctan( pe / pν ) 61.9o
例2：返回式火箭以速率 v=2.5103 m/s
相对惯性系 S 水平飞行。空气阻力不计。
现使火箭分离为两部分, 前方的仪器舱
质量为 m1=100 kg，后方的火箭容器质量 为 m2= 200 kg，仪器舱相对火箭容器的 水平速率 v′= 1.0103 m/s。
B
保守力：重力、弹力、静电力、浮力… 非保守力：摩擦力…
例：正压力 B
FN
恒定时滑动摩擦力做功
B
W A Ff dr A FN ds
B
W FN s
做功与路径有关
A
dr
Ff μ FN et
三.势能
保守力 F 作功只与始末位置有关
固E定PA 参考AP点0 FP0，dr定义(积任分意路一径点任A意的)势能：
讨论 W ex W in Ek Ek0
• 内力可以改变质点系的总动能
• 计算质点系的功时，需考虑所有的力， 包括内力和外力，和它们的作用路径。
• 通常将内力分为保守内力和非保守内力
W
in
Wcin
W in nc
非保守内力 做的功
二.质点系的功能原理
W
ex
Wcin
W in nc
Ek
Ek 0
2
F
(
t
)dt
t
F
,
t1
t t2 t1
动量定理
平均力
F
p
t
平均力的分量
Fx
px t
Fx
固定 I, 延长作用时间
缓冲
Fx
I
t
0 t1
t2
例1：质量为0.05 kg、速率为 10 m·s-1的刚球，以与钢板法线 呈45º角的方向撞击在钢板上， x 并以相同的速率和角度弹回来。 设碰撞时间为0.05 s。求在此 时间内钢板所受到的平均冲力。
dr
0
l
v
FT
dr
P
dW P d r Pdy 积分
W mgy mgl (cos cos0 )
由动能定理
W
1 2
mv2
1 2
mv02
得 v 2gl(cos cos0 ) 1.53 ms1
0
l
v
FT
dr
P
x
y
§3.5 保守力与非保守力 势能
一.弹力和万有引力做的功
弹力 作功与路径无关 dW F dx kx dx
p
(动量定理)
• 冲量：力的时间积累 I
t
2
F
(
t
)dt
t1
讨论
动量定理
I p
1) 特征：过程量＝状态量的增量
冲量矢量是过程量，动量矢量是状态量
2) 矢量关系 3) 分量形式
p2
I
p1
I x
t2 t1
Fx
(
t
)
dt
p2 x
p1 x
4) 只适用于惯性系
5) 估算合外力的平均作用力
t
F钢板 F
14.1 i (N)
(压力)
例：逆风行舟
显示动量定理的矢量性
水
F阻 龙骨 F横
F
F横
F纵
m t
v风 (1 - cos )
【思考】逆风行舟中， 能否顶风前进？
前进方向
V
v1
F纵
m F帆对风
帆
v2
p1 p
p2
v2 v1
二.质点系的动量定理 Fi
1. 质点系 (研究对象)：
与参考系无关；势能差与势能 零点选取无关
例：下列各物理量中，与参照系有关的 物理量是哪些？(不考虑相对论效应) (1) 质量 (2)动量 (3)冲量 (4) 动能 (5)势能 (6)功
答：动量、动能、功
四.势能曲线
弹力势能
重力势能
EP
1 2
kx 2
EP mgy
EP
EP
x
0
势能零点： 弹簧原长处
• 保守力从 A 到 B 做的功 = EPA – EPB
B F dr
P0
F
dr
P0
F
dr
A
A
B
讨论
EPA
P0
F
dr ,
A
B A F dr EPA EPB
1) 只有保守力才有相应的势能； 2) 势能属于整个体系，是状态的函数； 3) 保守力做功以损失势能为代价； 4) 势能大小与势能零点的选取有关，
牛顿第二定律
Ft
m
dv dt
dW m dv ds m dv
dt
A v1 dr
θ B
F
(合外力)
v2
W
v2 mv dv
v1
1 2
mv22
1 2
mv12
质点动能
EK
1 2
m 2
W
1 2
mv22
1 2
mv12
Ek 2
Ek1
质点的动能定理：合外力对质点所作的功，
等于质点动能的增量
• 功是过程量，动能是状态量；
求仪器舱和火箭 容器相对 S 系的
ys
v
y' s' v
速度 v1, v2
m2 m1
o
o'
x x'
z
z'
解：水平方向动量守恒
(m1 m2 )v m1v1 m2v2
速度变换
v1 v2 v'
ys
v
y' s' v
m2 m1
v2
v
m1v' m1 m2
z
o
o' z'
x x'
2.17 103 m/s
180o F
, dr
dW
dW
0
0
dr
F
ds dr
2) 瞬时功率：功随时间的变化率
P dW
Fv
dt
P Fvcos
讨论
W
B F dr
A
1) 功是过程量，反映力的空间积累； 数值一般与路径、参考系有关
平均功率：P
W t
(做功的快慢)
2) 功的单位：焦耳 1 J 1 N m 功率的单位：瓦特 1 W 1 J s1 1 kW 103 W
2rdr d(r 2 ) d(r r ) d r r r dr 2r dr
二.保守力与非保守力
保守力：作功与路径无关，只与始、末位置 有关的力
保守力的等价表述：
F dr 0
沿任意闭合路径做功为零的力 L
A
F dr F dr F dr
L
ACB
ADB
C
D
定 理
力(矩)的空间积累(功)引起动能的变化。
能量、动量和角动量的守恒定律是自然界 的基本规律，适用范围远超出牛顿力学。
思路：单个质点 质点系
§3.1 质点和质点系的动量定理
一.力的冲量，质点的动量定理
牛顿第二定律
F
dp
dt
Fdt dp 两边对时间积分
t
2
F
(
t
)dt
t1
p2
p1
mv1
O mv2
y
解：先由动量定理计算钢板对球的平均冲力
p2
m2
m( cos
i
sin
j)
p1 m1 m( cos i sin j ) x
动量定理
mv1
O mv2
F t p2 p1 2m cos i
F
2mv cos
i
14.1
i
(N)
t
F m g 可忽略重力
y
(3) 动量守恒定律比牛顿定律更普遍更基本， 在宏观和微观领域都适用
例1：某静止的原子核衰变辐射出一个电子
e和一个中微子 后成为一个新原子核 N。
求pe p1N.2
1022
?
(SI),
pν
解：p e
pν
pN
0
pN ( pe2 pν2 )1 2
6.4 1023 (SI),
pe pν
解：以整段链条为系统，建立坐标系
F ex m1g yg 质点系的总动量 p y v
质点系动量定理
dp F exdt
yg dt d( yv)
dy
dt
dt dy
y2 g dy y d( yv)
g y3 ( y )2
d[
] 0
32
m2
O
m1
y
y
v 2gy 3
§3.2 动量守恒定律
讨论 外力和内力 内力仅能改变系统内某个物体的动量， 但不能改变系统的总动量
例2：链条长为 l，单位长度的
质量为，放在有小孔的桌上。
m2
O
链条一端由小孔稍伸下，其余
部分堆在小孔周围。由于某种
m1
y
扰动，链条因自身重量开始
下落。忽略所有摩擦，且认为
y
链条软得可以自由伸开。
求链条下落速度 v 与 y 之间的关系。
第三章 动量守恒定律和 能量守恒定律
§3.1 质点和质点系的动量定理 §3.2 动量守恒定律 §3.4 动能定理 §3.5 保守力与非保守力 势能 §3.6 功能原理 机械能守恒定律
作业 3-8；3-9；3-12；3-19； 3-20；3-26
本章基本要求
• 理解动量、冲量概念，掌握动量定理 和动量守恒定律
v1 3.17103 m/ s
§3.4 动能定理
一.力的功
F
恒力作用，直线运动 W F r cos F
r
r
变元力功作dW用， 曲F 线 d运r 动
B ຫໍສະໝຸດ Baidu
dr
B F
W A F d r
A
讨论
dW
F
dr
F
cos
ds
1) 元功的正负
0o 90o , dW 0
90o
90o
N 个质点组成的系统 过程中包括的质点不变
外力 Fi : 系统外部对质点 i 的力
内力：Fi j Fj i
mi
Fi j
ri
Fji
mj
o rj
惯性系
Fj
系统内部各质点间的力，成对出现
2.质点系的动量定理
Fi
对质点 i 应用牛顿第二定律
ji
Fi j
Fi
d dt
pi
对质点求和：
N
• 能计算变力的功，理解保守力作功的 特点及势能的概念，会计算万有引力、 重力和弹性力的势能
• 掌握动能定理、功能原理和机械能守恒 定律，掌握运用动量和能量守恒定律 分析力学问题的思想和方法
基本物理量：动量、角动量、能量 动量描述平动，角动量描述转动。
运 力的时间积累(冲量)引起动量的变化；
动 力矩的时间积累 引起角动量的变化。
N d N
i 1
Fi j
ji
Fi
i 1
dt
i 1
pi
所有内力 之和＝0
合 外力 F ex
总动量 p
mi
Fi j Fji
mj
Fj
F ex
F1
F2
FN
pdpmF1ex1(质m点2系2动量...定m理N的N 微分形式)
dt
I ex
t
F
ex
dt
t0
p
p0
质点系动量定理：作用于系统的
合外力冲量等于系统动量的增量
• 功和动能依赖于惯性系的选取， 但对不同惯性系动能定理形式相同
例 2：质量为 m=1.0 kg 的小球系
在长为 l=1.0 m 细绳下端，绳的
上端固定在天花板上。起初
把绳子放在与竖直线成 30°
角处，然后放手使小球沿圆弧
下落。试求绳与竖直线成 10°
角时小球的速率
解：dW
F
d
r
FT
dr
P
W xB(kx)dx xA
F k x
1 2
k
x
2 A
1 2
k
xB2
O xA xB x
引力作功与路径无关
B
W A F dr
B
A
Gm r3
m
r
dr
rB rA
Gm r2
m
dr
G m m (rB1 rA1 )
B
dr
r dr
m F
r
m′
A
F
Gm m r3
r
rdr r dr
解：建立如右图所示的坐标系
o
v0
x
阻力瞬时功率
P
dW dt
Fr
v
-bv 2
W b t 2dt 0
bv02
e dt t
2b m
t
0
m 2
v02
(1
e
2b m
t
)
(负功)
m d b
dt
(§2. 4 例 5)
v
v0
e
b m
t
o
v0
x
二.质点的动能定理
dW F dr Ft dr Ft ds
保守力做功等于势能降：Wcin EP0 EP
W ex Wnicn (Ek Ep ) (Ek0 Ep0 )
引入机械能 E Ek Ep
质点系的功能原理 W ex Wnicn E E0
三.机械能守恒定律
W ex Wnicn E E0
W ex
0
&
W in nc
0
E
E0
Ek Ep
3) 对质点，各力作功之和等于合力作的功
Wi
i
i
L
Fi
dr
L
F合
dr
4) 功的计算
F
Fx
i
Fy
j
Fz
k
dr dx i dy j dz k
W
B F dr
A
A（B Fx dx Fy dy Fz dz）
例 1：一质量为 m 的小球竖直 落入水中， 刚接触水面时其 速率为 v0。设此球在水中所受 的浮力与重力相等，水的阻力 为 Fr = – b v, b 为一常量。 求阻力对球作的功与时间的 函数关系。