高中数学 第二章 统计 2_3 变量间的相关关系教案 新人教A版必修3

《变量间的相关关系》

一、教学目标

1、知识与技能：

利用散点图判断线性相关关系，了解最小二乘法的思想及2回归方程系数公式的推导过程，利用电子表格求出回归直线的方程并对实际问题进行分析和预测，通过实例加强对回归直线方程含义的理解

2 、过程与方法：

①通过自主探究体会数形结合、类比、及最小二乘法的数学思想方法。②通过动手操作培养学生观察、分析、比较和归纳能力，引出利用计算机等现代化教学工具的必要性。

3、情感、态度与价值观：

类比函数的表示方法，使学生理解变量间的相关关系，增强应用回归直线方程对实际问题进行分析和预测的意识。利用计算机让学生动手操作，合作交流激发学生的学习兴趣。

二、教学重点、难点

重点：利用散点图直观认识两个变量之间的线性相关关系，了解最小二乘法的思想并利用此思想借助电子表格求出回归方程。

教学内容的难点：对最小二乘法的数学思想和回归方程的理解

教学实施过程中的难点：根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。

三、教学过程

（一）、创设情境导入新课

1、相关关系的理解

师：我们曾经研究过两个变量之间的函数关系：一个自变量对应着唯一的一个函数值，这两者之间是一种确定关系。生活中的任何两个变量之间是不是只有确定关系呢？让学生举例，教师总结如：

生：不是。师：能否举出反例？比如，年龄与身高。生：身高与体重

生：教师水平与学生成绩。生：网速与下载文件所需时间

师：不妨以教师水平与学生成绩为例，学生成绩与教师水平有关吗？

生：有，一般来说，教师水平越高，学生成绩越好

师：即“名师出高徒”，名师一定出高徒吗？生：不一定。

师：即学生成绩与教师水平之间存在着某种联系，但又不是必然联系，对于学生成绩与教师水平之间的这种不确定关系，我们称之为相关关系。这就是我们这节课要共同探讨的内容变量间的相关关系。（板书）

生活中还有很多描述相关关系的成语，如：“虎父无犬子”，“瑞雪兆丰年”

设计意图：通过学生熟悉的函数关系，引导学生关注生活中两个变量之间还存在的相关关系。让学生体会研究变量之间相关关系的重要性。感受数学来源于生活。

（二）、初步探索，直观感知

1、根据样本数据利用电子表格作出散点图，直观感知变量之间的相关关系

师：在研究相关关系前，同学们先回忆一下：函数的表示方法有哪些？

生：列表，画图象，求解析式。

师：下面我们就用这些方法来研究相关关系。请同学们看这样一组数据：

探究: 在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据: 根据上述数据,人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？

生：随着年龄增长，脂肪含量在增加师：有没有更直观的方式？生：画图

师生：用x轴表示年龄，y轴表示脂肪。一组样本数据就对应着一个点。由于数据比较多，我们借用电子表格来作图，请大家注意观察。

教师演示作图方法，学生观察

散点图

师：这个图跟我们所学过的函数图象有区别，它叫作散点图。

2、判断正、负相关、线性相关 学生观察，比较，讨论，

师：请同学们观察这4幅图，看有什么特点？

生：图1呈上升趋势，图2呈下降趋势。 师生：这就像函数中的增函数和减函数。即一个变量从小到大，另一个变量也从小到大，或从大到小。对于图1中的两个变量的相关关系，我们称它为正相关。图2中的两个变量的相关关系，称为

负相关。师：我们还可以判断出：年龄与身高是正相关，网速与下载文件所需时间是负相关。 生：后面两个图很乱，前面两个图中点的分布呈条状。

25.9

图

1

2

图图

3图4

师：从数学的角度来解释：即图1、2中的点的分布从整体上看大致在一条直线附近。我们称图1、2中的两个变量具有线性相关关系。这条直线叫做回归直线。图3、4中的两个变量是非线性相关关系

师：这节课我们重点研究线性相关关系。（板书） 设计意图 （三）、循序渐进、延伸拓展 1、找回归直线

师：下面我们再来看一下年龄与脂肪的 如果可以求出回归直线的方程，我们就可以清楚地了解年龄与体内脂肪含量的相关性。这条直线可以作为两个变量具有线性相关关系的代表。同学们能否画出这条直线？请完成数学实验1、画出回归直线。（学生在计算机上用电子表格画回归直线） 数学实验1： 画出回归直线

学生方案一 学生方案二

生总结： 第二种方法好，因为所有的点离这条直线最近。

学生方案三

师：即，从整体上看，各点与此直线的距离和最小。

2、 利用最小二乘法推导回归系数公式。 师：我们现在来求距离和。怎么求？ 生：利用点到直线的距离公式

师生共同：只要求出使距离和最小的a 、b 即可。但是，我们知道点到直线的距离公式计算复杂。怎么办呢？以样本数据点A 为例， 可以看出： 在RT △ABC 中，（教师动画演示）

按照一对一的关系，直角边AC 越小，斜边AB

当AC 无限小时，AB 跟AC 可近似看作相等。

求AC 麻烦，不妨求AB 生：B A AB y y =-师：它表示自变量x 的一组数据：11(,)x y 22(,)x y ……(,)n n x y 。当自变量x 取i x （i =1，2，……，n ）时，可以得到

ˆi y

bx a =+（i =1，2，……，n ），它与实际收集到的i y 之间的偏差是 ˆ()i i i i y y

y bx a -=-+（i =1，2，……，n ） 这样用n 个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的。总的偏差为

1

ˆ()n

i

i

i y y

=-∑，偏差有正有负，易抵消，所以采用绝对值

1

ˆn

i

i

i y y

=-∑，由于带绝对值计算不方便所以换成平方，

2

22221122331

ˆ()()()()()n

i i n n i Q y y

y bx a y bx a y bx a y bx a ==-=--+--+--+⋅⋅⋅+--∑现在的问题就归结为：当a ，b 取什么值时Q 最小。

将上式展开、再合并，就可以得到可以求出Q 取最小值时

2

2

2

1221221

111()()()()()()()()()n

n

i i i i n n i i i i n n i i i i i i x x y y x x y y Q n a y bx x x b y y x x x x ======⎡⎤⎡⎤----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥=--+---+-⎣⎦⎢⎥--⎢⎥⎣⎦

∑∑∑∑∑∑