高三数学理一轮总复习课时跟踪检测：53最值、范围、证明问题(江苏专用)(含答案解析)

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江苏省南京市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题(含答案)

南京市2025届高三年级学情调研数学2024.09注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.已知集合{}30A x x =->，{}2540B x x x =-+>，则A B = （）A.(,1)-∞ B.(,3)-∞ C.(3,)+∞ D.(4,)+∞2.已知4xa =，log 3a y =，则x ya +=（）A.5B.6C.7D.123.已知||a = ，||1b = .若(2)a b a +⊥，则cos ,a b = （）A.32-B.33-C.33D.324.已知数列{}n a 为等差数列，前n 项和为n S .若36S =，63S =，则9S =（）A.18- B.9- C.9D.185.若α是第二象限角，4sin 2tan αα=，则tan α=（）A. B.77-C.776.甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名（没有并列名次）.甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”.从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为（）A.4B.6C.8D.127.若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（）A.24B.32C.96D.1288.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，点Q 在l 上.若2PF QF =，PF QF ⊥，则PFQ △的面积为（）A.254 B.25 C.552D.55二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.9.已知复数z ，下列命题正确的是（）A.若1z +∈R ，则z R ∈B.若i z +∈R ，则z 的虚部为1-C.若||1z =，则1z =± D.若2z ∈R ，则z ∈R10.对于随机事件A ，B ，若2()5P A =，3()5P B =，()14P B A =，则（）A.3()20P AB =B.()16P A B =C.9()10P A B +=D.1()2P AB =11.设函数18()|sin ||cos |f x x x =+，则（）A.()f x 的定义域为π,2k x x k ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭Z B.()f x 的图象关于π4x =对称C.()f x 的最小值为D.方程()12f x =在(0,2π)上所有根的和为8π三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上12.01x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项是___________.13.与圆柱底面成45°角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该几何体的体积为___________.14.已知椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，直线2BF 与C 相交于另一点A .当1cos F AB ∠最小时，C 的离心率为___________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）小王早晨7：30从家出发上班，有A ，B 两个出行方案供其选择，他统计了最近100天分别选择A ，B 两个出行方案到达单位的时间，制成如下表格：8点前到（天数）8点或8点后到（天数）A 方案2812B 方案3030（1）判断并说明理由：是否有95%的把握认为在8点前到单位与方案选择有关；（2）小王准备下周一选择A 方案上班，下周二至下周五选择B 方案上班，记小王下周一至下周五这五天中，8点前到单位的天数为随机变量X .若用频率估计概率，求()3P X =.附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++，()0P x χ≥0.100.050.0250.0100.0110x 2.7063.8415.0246.63510.82816.（本小题满分15分）如图，在四面体ABCD 中，ACD △是边长为3的正三角形，ABC △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，E ，F 分别为线段AB ，BC 的中点，2AM MD = ，2CN ND =.（1）求证：//EF 平面MNB ；（2）若平面ACD ⊥平面ABC ，求直线BD 与平面MNB 所成角的正弦值.17.（本小题满分15分）已知数列{}n a ，{}n b ，(1)2n n n a =-+，1(0)n n n b a a λλ+=->，且{}n b 为等比数列.（1）求λ的值；（2）记数列{}2n b n ⋅的前n 项和为n T .若()*2115N i i i T T T i ++⋅=∈，求i 的值.18.（本小题满分17分）已知1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，12F F =点T 在C 上.（1）求C 的方程（2）设直线l 过点(1,0)D ，且与C 交于A ，B 两点.①若3DA DB =，求12F F A △的面积；②以线段AB 为直径的圆交x 轴于P ，Q 两点，若||2PQ =，求直线l 的方程.19.（本小题满分17分）已知函数2()e31x af x ax ax -=+-+，a ∈R .（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处切线的方程；（2）当1a >时，试判断()f x 在[1,)+∞上零点的个数，并说明理由；（3）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.南京市2025届高三年级学情调研数学参考答案2024.09一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.12345678DDABACCB二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.91011ABBCDACD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.12.24013.3π14.33四、解答题：本大题共5小题，共77分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）解：（1）假设0:8H 点前到单位与方案选择无关，则22100(28301230)40604258χ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯.8003.94 3.841203=≈>，所以有95%的把握认为8点前到单位与路线选择有关.（2）选择A 方案上班，8点前到单位的概率为0.7，选择B 方案上班，8点前到单位的概率为0.5.当3X =时，则分两种情况：①若周一8点前到单位，则22214210.7C (10.5)0.580P =⨯-⨯=.（2）若周一8点前没有到单位，则33246(10.7)(10.5)0.580P C =-⨯-⨯=.综上，1227(3)80P X P P ==+=.16.（本小题满分15分）解：（1）因为E ，F 分别为线段AB ，BC 中点，所以//EF AC .因为2AM MD = ，2CN ND = ，即13DM DN DA DC ==，所以//MN AC ，所以//EF MN .又MN ⊂平面MNB ，EF ⊄平面MNB ，所以//EF 平面MNB .（2）取AC 中点O ，连接DO ，OE 因为ACD △为正三角形，所以DO AC ⊥.因为平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面ABC AC =，DO ⊂平面ACD ，所以DO ⊥平面ABC .因为O ，E 分别为AC ，AB 中点，则//OE BC .又因为AC BC ⊥，所以OE AC ⊥.以O 为坐标原点，OE ，OC ，OD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则330,0,2D ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，33,,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,2M ⎛- ⎝，10,2N ⎛ ⎝，故(3,BM =-- ，(0,1,0)MN = ，3333,,22BD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ .设平面MNB 的法向量为(,,)n x y z =，直线BD 与平面MNB 所成角为θ，则0,0,n BM n MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即320,0.x y y ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩取n = .则332sin cos ,8BD n BD n BD nθ⋅===，所以BD 与平面MNB 所成角的正弦值为28.17.（本小题满分15分）解：（1）因为(1)2nnn a =-+，则11a =，25a =，37a =，417a =.又1n n n b a a λ+=-，则1215b a a λλ=-=-，23275b a a λλ=-=-，343177b a a λλ=-=-.因为{}n b 为等比数列，则2213b b b =⋅，所以2(75)(5)(177)λλλ-=--，整理得220λλ--=，解得1λ=-或2.因为0λ>，故2λ=.当2λ=时，1112(1)22(1)2n n n nn n n b a a +++⎡⎤=-=-+--+⎣⎦11(1)(1)22(1)23(1)n n n n n ++=-⨯-+-⨯--=-⨯-.则113(1)13(1)n n nn b b ++-⨯-==--⨯-，故{}n b 为等比数列，所以2λ=符合题意.（2）223(1)n n b n n ⋅=-⨯-⋅当n 为偶数时，222222223123456(1)n T n n ⎡⎤=-⨯-+-+-+---+⎣⎦33(12)(1)2n n n =-⨯+++=-+ 当n 为奇数时221133(1)(1)(2)3(1)(1)22n n n T T b n n n n n n ++=-+=-++++=+.综上，3(1),, 23(1),. 2n n n n T n n n ⎧+⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩为奇数为偶数因为20i i T T +⋅>，又2115i i i T T T ++⋅=，故10i T +>，所以i 为偶数.所以333(1)(2)(3)15(1)(2)222i i i i i i ⎡⎤⎡⎤-+⋅-++=⨯++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，整理得23100i i +-=，解得2i =或5i =-（舍），所以2i =.18.（本小题满分17分）解：（1）由题意可知c =，点T 在C 上，根据双曲线的定义可知122TF TF a -=，即24a =-=，所以2a =，则2222b c a =-=，所以C 的方程为22142x y -=.（2）①设()00,B x y ，()001,DB x y =-.因为3DA DB = ，所以()0033,3DA x y =-，所以A 点坐标为()0032,3x y -，因为A ，B 在双曲线C 上，所以()()220022001,423231,42x y x y ⎧-=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩解得03x =，0102y =±，所以A点坐标为7,2⎛± ⎝⎭，所以121211222F F A A S y F F =⨯=⨯⨯=△②当直线l 与y 轴垂直时，此时4PQ =不满足条件.设直线l 的方程为1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，(),0P P x ，(),0Q Q x .直线l 与C 联立221,421,x y x ty ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消去x ，得()222230t y ty -+-=，所以12222t y y t +=--，12232y y t =--.由()22241220,20.t t t ⎧∆=+->⎪⎨-≠⎪⎩，得232t >且22t ≠.以AB 为直径的圆方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--=，令0y =，可得()21212120x x x x x x y y -+++=，则P x ，Q x 为方程的两个根，所以12P Q x x x x +=+，1212P Q x x x x y y =+，所以P Q PQ x x =-======2==.解得22t =-（舍）或253t =，即153t =±，所以直线l 的方程为：330x ±-=.19.（本小题满分17分）解：（1）当1a =时，12()e31x f x x x -=+-+，则1()e 23x f x x -=+-，所以曲线()y f x =在1x =处切线的斜率(1)0k f '==.又因为(1)0f =，所以曲线()y f x =在1x =处切线的方程为0y =.（2）1(1)e21af a -=-+，()e 23x a f x ax a -'=+-，则1(1)e a f a -'=-，当1a >时，()e 20x af x a -''=+>，则()f x '在(1,)+∞上单调递增.因为111(1)ee 10af a --'=-<-=，2()123(21)(1)0f a a a a a '=+-=-->，所以存在唯一的0(1,)x a ∈，使得()00f x '=.当()01,x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在[)01,x 上单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()0,x +∞上单调递增.又因为10(1)e21e 210af a -=-+<-+=，所以()0(1)0f x f <<.又因为3(3)e10af -=+>，所以当1a >时，()f x 在[1,)+∞上有且只有一个零点.（3）①当1a >时，10(1)e 21e 210af a -=-+<-+=，与当0x ≥时，()0f x ≥矛盾，所以1a >不满足题意.②当1a ≤时，(0)e10af -=+>，()e 23x a f x ax a -'=+-，()e 2x a f x a -''=+，(0)e 2a f a -''=+.记函数()e 2xq x x -=+，1x ≤，则()e2xq x -'=-+，当(ln 2,1)x ∈-时，()0q x '>，所以()q x 在(ln 2,1)-单调递增；当(,ln 2)x ∈-∞-时，()0q x '<，所以()q x 在(,ln 2)-∞-单调递减，所以()(ln 2)22ln 20q x q ≥-=->，所以(0)0f ''>.又因为()f x ''在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)0f x f ''''≥>，所以()f x '在[0,)+∞上单调递增.（i ）若(0)e30af a -'=-≥，则()(0)0f x f ''≥≥，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增，则()(0)0f x f ≥>，符合题意；（ii ）若(0)e30af a -'=-<，可得0a >，则01a <≤.因为1(1)e 0af a -'=-≥，且()f x '在[0,)+∞上单调递增，所以存在唯一的1(0,1]x ∈，使得()10f x '=.当()10,x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()10,x 上单调递减，当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()1,x +∞上单调递增，其中1(0,1]x ∈，且11e 230x a ax a -+-=.所以()12111()e 31x af x f x ax ax -≥=+-+()22211111113231531531a ax ax ax ax ax a a x x =-+-+=-++=-++，因为1(0,1]x ∈，所以21153[1,3)x x -+∈-.又因为(0,1]a ∈，所以()211531a x x -+≥-，所以()0f x ≥，满足题意.结合①②可知，当1a ≤时，满足题意.综上，a 的取值范围为(,1]-∞.。

高三数学(理)一轮总复习课时跟踪检测(五十三) 最值、范围、证明问题 Word版含解析

课时跟踪检测（五十三）最值、范围、证明问题一保高考，全练题型做到高考达标．如图所示，椭圆：＋＝(＞＞)的左焦点为，右焦点为，过的直线交椭圆于，两点，△的周长为，且△面积最大时，△为正三角形．()求椭圆的方程；()设动直线：＝＋与椭圆有且只有一个公共点，且与直线＝相交于点，证明：点()在以为直径的圆上．解：()因为点，都在椭圆上，所以根据椭圆的定义有＋＝且＋＝，又因为△的周长为，所以＋＋＝＋＋＋＝＝，所以＝.因为椭圆是关于，轴，原点对称的，所以△为正三角形，当且仅当为椭圆的短轴端点，则＝⇒＝，＝－＝，故椭圆的方程为＋＝.()证明：由题意得，动直线为椭圆的切线，故不妨设切点(，)，因为直线的斜率存在且为，所以≠，则直线：＝(－)＋，联立方程组(\\(＝(－(＋，,()＋()＝))消去，得＋[(－)＋]－＝，由Δ＝⇒＝－.则直线的方程为＋＝，联立直线与直线＝得到点，则·＝(－)(－)＋(－)＝－(－)＋(－)＝，所以⊥，即点在以为直径的圆上．．设椭圆：＋＝(＞)的右焦点为，直线：＝与轴交于点，若＝(其中为坐标原点)．()求椭圆的方程；()设是椭圆上的任意一点，为圆：＋(－)＝的任意一条直径(，为直径的两个端点)，求·的最大值．解：由题意知，点，，由＝，得＝，解得＝.所以椭圆的方程为＋＝. ()设圆：＋(－)＝的圆心为点，则点的坐标为()，则·＝(―→－)·(－)＝(－－)·(－)＝－＝－，从而求·最大值转化为求的最大值．因为是椭圆上的任意一点，设(，)，所以＋＝，即＝－.因为点的坐标为()，所以＝＝＋(－)＝－(＋)＋.因为点(，)在椭圆上，则∈[－，]，所以当＝－时，取得最大值，所以·的最大值为.．(·无锡期末)已知长轴在轴上的椭圆的离心率＝，且过点()．()求椭圆的方程；()若点(，)为圆＋＝上任一点，过点作圆的切线交椭圆于，两点，求证：⊥(为坐标原点)．解：()由题意可设椭圆方程为＋＝(>>)．由题意得＝，则＝.又＝＋，所以＝.因为()在椭圆上，所以＋＝，解得＝，＝.所以椭圆的方程为＋＝.()证明：由题意得切线方程为＋＝.①若＝，则切线方程为＝或＝－，所以()，(，－)或(－)，(－，－)，所以⊥；。

(江苏专版)高考数学一轮复习课时跟踪检测(五十三)复数理(含解析)苏教版

（江苏专版）高考数学一轮复习课时跟踪检测（五十三）复数理（含解析）苏教版课时跟踪检测（五十三）复数一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．若z ＝3－2i ，则iz －2＝________. 解析：由z ＝3－2i ，得z ＝3＋2i. 则iz －2＝i 3＋2i －2＝i 1－2i 1＋2i 1－2i ＝25＋15i. 答案：25＋15i2．(2018·淮安调研)复数z ＝i(1－2i)(i 是虚数单位)的实部为________．解析：因为z ＝i(1－2i)＝2＋i ，所以复数z 的实部为2. 答案：23．(2018·泰州中学高三学情调研)已知复数z ＝(a －i)(1＋i)(a ∈R ，i 是虚数单位)是实数，则a ＝________.解析：因为z ＝(a －i)(1＋i)＝a ＋1＋(a －1)i ，所以a －1＝0，所以a ＝1. 答案：14．(2019·徐州调研)已知(1＋3i)(a ＋b i)＝10i ，其中i 为虚数单位，a ，b ∈R ，则ab 的值为________．解析：∵(1＋3i)(a ＋b i)＝10i ，∴a －3b ＋(3a ＋b －10)i ＝0，∴a －3b ＝3a ＋b －10＝0，解得a ＝3，b ＝1，则ab ＝3. 答案：35．(2018·苏州一调)若复数(a ＋i)2对应的点在y 轴的负半轴上(其中i 是虚数单位)，则实数a 的值是________．解析：因为(a ＋i)2＝a 2－1＋2a i ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，2a ＜0，从而a ＝－1.答案：－16．已知复数z 满足(1＋i)z ＝i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部为________．解析：因为(1＋i)z ＝i ，所以z ＝i 1＋i ＝i 1－i 1＋i 1－i ＝i ＋12，所以z 的实部为12.答案：12二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·南京名校联考)若i 是虚数单位，复数z 满足(1－i)z ＝1，则|2z －3|＝________.解析：由(1－i)z ＝1得z ＝11－i ＝1＋i2，则|2z －3|＝|－2＋i|＝ 5. 答案： 52．(2019·常熟高三学情调研)已知i 为虚数单位，则复数z ＝21－i 的共轭复数对应的点位于第________象限．解析：∵z ＝21－i ＝21＋i1－i 1＋i＝1＋i ，∴z ＝1－i.则z 对应的点的坐标为(1，－1)，位于第四象限．答案：四3．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋i －i 2i ＝0的复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在第________象限．解析：由题意得，2z i －[－i(1＋i)]＝0，则z ＝－i 1＋i 2i ＝－12－12i ，所以z ＝－12＋12i ，其在复平面内对应的点在第二象限．答案：二4．(2019·金陵中学检测)若z ＝21＋i ，则z 100＋z 50＋1的值是________．解析：∵z ＝21＋i ，∴z 2＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋i 2＝－i. 又∵i 2＝－1，i 3＝－i ，i 4＝1， ∴z 100＋z 50＋1＝i 50－i 25＋1＝－i. 答案：－i5．若复数z 满足(z －1)i ＝－1＋i ，其中i 是虚数单位，则复数z 的模是________．解析：因为z ＝1＋－1＋i i ＝2＋i ，所以|z |＝22＋12＝ 5.答案： 56．已知复数z 满足：(1－i)z ＝4＋2i(i 为虚数单位)，则z 的虚部为________．解析：由(1－i)z ＝4＋2i ，得z ＝4＋2i 1－i ＝4＋2i1＋i1－i 1＋i＝1＋3i ，∴z 的虚部为3. 答案：37．已知复数z 满足z ＋2z －2＝i(其中i 是虚数单位)，则|z |＝________. 解析：由z ＋2z －2＝i 知，z ＋2＝z i －2i ，即z ＝－2－2i 1－i ，所以|z |＝|－2－2i||1－i|＝222＝2. 答案：28．(2019·苏州一模)已知i 是虚数单位，复数1＋a i2－i的实部与虚部互为相反数，则实数a 的值为________．解析：∵1＋a i 2－i ＝1＋a i2＋i 2－i 2＋i ＝2－a 5＋2a ＋15i 的实部与虚部互为相反数，∴2－a5＋2a ＋15＝0，即a ＝－3.答案：－39．(2018·常州期末)已知x ＞0，若(x －i)2是纯虚数(其中i 为虚数单位)，则x ＝________.解析：因为(x －i)2＝x 2－2x i ＋i 2＝x 2－1＋2x i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x ≠0，x ＞0，解得x＝1.答案：110．(2018·南京、盐城二模)若复数z 满足z (1－i)＝2i(i 是虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.解析：因为z ·z ＝|z |2，且|z |＝|2i||1－i|＝22＝2，所以z ·z ＝2.答案：211．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．解：由条件得OC ―→＝(3，－4)，OA ―→＝(－1,2)，OB ―→＝(1，－1)，根据OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2.所以λ＋μ＝1. 12．计算：(1)－1＋i2＋ii3；(2)1＋2i 2＋31－i2＋i；(3)1－i 1＋i2＋1＋i 1－i2；(4)1－3i 3＋i2.解：(1)－1＋i2＋i i3＝－3＋i－i＝－1－3i. (2)1＋2i 2＋31－i 2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i 2＋i＝i2－i 5＝15＋25i. (3)1－i1＋i2＋1＋i1－i2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i 2＝－1. (4)1－3i 3＋i2＝3＋i－i3＋i2＝－i3＋i＝－i3－i4＝－14－34i.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·扬州期末)若复数(a －2i)(1＋3i)是纯虚数，则实数a 的值为________．解析：∵(a －2i)(1＋3i)＝(a ＋6)＋(3a －2)i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋6＝0，3a －2≠0，即a ＝－6.答案：－62．已知复数z 1＝cos 15°＋sin 15°i 和复数z 2＝cos 45°＋sin 45°i，则z 1·z 2＝________.解析：z 1·z 2＝(cos 15°＋sin 15°i)(cos 45°＋sin 45°i)＝(cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°)＋ (sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)i＝cos 60°＋sin 60°i＝12＋32i. 答案：12＋32i3．(2019·淮安调研)已知复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)． (1)若z ·z 0＝2z ＋z 0，求复数z 0的共轭复数；(2)若z 是关于x 的方程x 2－mx ＋5＝0的一个虚根，求实数m 的值．解：(1)∵复数z ＝1－2i ，z ·z 0＝2z ＋z 0， ∴z 0(z －1)＝2z ， ∴z 0＝2z z －1＝21－2i －2i＝2＋i ， ∴复数z 0的共轭复数z 0 ＝2－i.(2)∵复数z ＝1－2i 是关于 x 的方程x 2－mx ＋5＝0的一个虚根， ∴(1－2i)2－(1－2i)m ＋5＝0，整理，得2－m ＋(2m －4)i ＝0，解得m ＝2.。

2024届高三数学模拟检测(江苏专用,2024新题型)(考试版)

2024年高考第三次模拟考试
高三数学（江苏专用）
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
所成角的大小．
分）某中学对该校学生的学习兴趣和预习情况进行长期调查，学习兴趣分为兴趣高和
预习分为主动预习和不太主动预习两类，设事件
1 4，
4
()
5 P B=．
的值，并判断A与B是否为独立事件；
为验证学习兴趣与主动预习是否有关，该校用分层抽样的方法抽取了一个容量为
．为提高检验结论的可靠性，
的把握认为学习兴趣与主动预习有关，试确定
)，其中n a b c d
=+++．。

立体几何专题检测——江苏省2023届高三数学一轮总复习

江苏省2023届高三数学一轮总复习专题检测立体几何一、选择题：本题共8小题，每小题5分共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、下列命题正确的是A 、正方形的直观图是正方形B 、用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台C 、各个面都是三角形的几何体是三棱锥D 、圆锥有无数条母线2、设,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，则下列结论中正确的是A 、若m α⊥，m n ⊥，则 n α∥B 、若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥C 、若n α∥，m n ⊥，则m α⊥D 、若αβ∥，m ⊂α，n ⊂β，则m n ∥3、已知圆锥的高为6，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为A ．2 2B ．2 3C ．2 6D ．4 24、正多面体共有5种，统称为柏拉图体，它们分别是正四面体､正六面体（即正方体）､正八面体､正十二面体､正二十面体.连接正方体中相邻面的中心，可以得到另一个柏拉图体.已知该柏拉图体的体积为323，则生成它的正方体的棱长为（） A. 2 B. 322 C. 324 D. 45、南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m ．时，相应水面的面积为21400km ．；水位为海拔1575m ．时，相应水面的面积为21800km ．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m ．上升到1575m ．7 2.65≈）（） A. 931.010m ⨯B. 931.210m ⨯C. 931.410m ⨯D.931.610m ⨯6、在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为 1 的正方形，侧棱1113,60AA A AD A AB ︒=∠=∠=，则1AC =（）.A 22 .B 10 .C 3 .D 177、如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,,,E F G H 分别是所在棱上的动点，且满足1DH BG AE CF +=+=，则以下四个结论正确的是（）A ．,,,E G F H 四点一定不共面B ．若四边形EGFH 为矩形，则DH CF =C ．若四边形EGFH 为菱形，则,E F 一定为所在棱的中点D ．若四边形EGFH 为菱形，则四边形EFGH 周长的取值范围为[4,25]8. 足球运动成为当今世界上开展最广、影响最大、最具魅力、拥有球迷数最多的体育项目之一，2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球赛．比赛于2022年11月21日至12月18日在卡塔尔境内7座城市中的12座球场举行．已知某足球的表面上有四个点A ，B ，C ，D 满足2dm AB BC AD BD CD =====，二面角A BD C --的大小为23π，则该足球的体积为（） A.342dm 27πB.3352dm 27πC.314dm 27πD.32dm 27π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9、已知直线l 与平面α相交于点P ，则( ) A ．α内不存在直线与l 平行 B ．α内有无数条直线与l 垂直C ．α内所有直线与l 是异面直线D ．至少存在一个过l 且与α垂直的平面 10、已知正方体1111ABCD A B C D -，则（） A. 直线1BC 与1DA 所成的角为90︒ B. 直线1BC 与1CA 所成的角为90︒ C. 直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为45︒D. 直线1BC 与平面ABCD 所成的角为45︒11、在一个圆锥中，D 为圆锥的顶点，O 为圆锥底面圆的圆心，P 为线段DO 的中点，AE 为底面圆的直径，△ABC 是底面圆的内接正三角形，AB ＝AD ＝3，则下列说法正确的是 A ．BE ∥平面PACB ．PA ⊥平面PBCC ．在圆锥侧面上，点A 到DB 中点的最短距离为32D ．记直线DO 与过点P 的平面α所成的角为θ，当cos θ∈(0，33)时，平面α与圆锥侧面的交线为椭圆12、已知圆台1OO 上､下底面的半径分别为2和4，母线长为4.正四棱台上底面1111D C B A 的四个顶点在圆台上底面圆周上，下底面ABCD 的四个顶点在圆台下底面圆周上，则（） A. 1AA 与底面所成的角为60° B. 二面角1A ABC 小于60°C. 正四棱台1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为64πD. 设圆台1OO 的体积为1V ，正四棱台1111ABCD A B C D -的体积为2V ，则12V V π=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13、已知正四棱锥P ABCD -32，则正四棱锥P ABCD -的侧面积为14、已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，圆台的高为23cm ，母线与轴的夹角为30︒，则这个圆台的轴截面的面积等于 2.cm 15、已知,,,A B C D 在球O 的球面上，ABC 为等边三角形且其面积为33，AD ⊥平面,2ABC AD =，则球O 的表面积为 .16、在等腰梯形ABCD 中，22AB CD ==，3DAB CBA π∠=∠=，O 为AB 的中点．将BOC∆沿OC 折起，使点B 到达点B '的位置，则三棱锥B ADC '-外接球的表面积为；当3B D '=B ADC '-外接球的球心到平面B CD '的距离为．四、解答题：本题共6小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，2CD AB =，AC 与BD 相交于点M ，点N 在线段AP 上，AN AP λ=（0λ>），且//MN 平面PCD . （I ）求实数λ的值；（Ⅱ）若1AB AD DP ===，2PA PB ==，60BAD ︒∠=，求点N 到平面PCD 的距离.18．（本小题满分12分）如图，在以P ，A ，B ，C ，D 为顶点的五面体中，四边形ABCD 为等腰梯形，AB CD ∥，12AD CD AB ==，平面PAD ⊥平面PAB ，PA PB ⊥．（1）求证：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）若二面角P AB D --的余弦值为33，求直线PD 与平面PBC 所成角的大小．19．（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，1A BC 的面积为2．（1）求A 到平面1A BC 的距离；（2）设D 为1A C 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值．20．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDP 中，ABC 是边长为2的等边三角形，,22PA AB BD CD ===，22PC PB ==，点E 是BC 中点，平面ABC ⊥平面BCD .(1) 求证：//DE 平面PAC ；(2) F 是直线BC 上的一点，若二面角F DA B --为直二面角，求BF 的长.21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD BC ∥点M 在棱PB 上，2PM MB =点N 在棱PC 上，223PA AB AD BC ====. （1）若2CN NP =，Q 为PD 的中点，求证：A ，M ，N ，Q 四点共面；（2）求直线PA 与平面AMN 所成角的正弦的最大值.22．（本小题满分12分）如图1，在平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝33，∠ABC ＝30º，AE ⊥BC ，垂足为E ．以AE 为折痕把△ABE 折起，使点B 到达点P 的位置，且平面PAE 与平面AECD 所成的角为90º(如图2)．（1）求证：PE ⊥CD ；（2）若点F 在线段PC 上，且二面角F －AD －C 的大小为30º，求三棱锥F －ACD 的体积．补充练习：1、如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AD BC ，AD AB ⊥，122AA AD BC ===，2AB E 在棱11A D 上，平面1BC E 与棱1AA 交于点F ．（1）求证：1BD C F ⊥；（2）若BE 与平面ABCD 所成角的正弦值为45，试确定点F 的位置．【解答】（1）证明：在直四棱柱中1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，1AA BD ∴⊥，连接AC ，2tan 2AB ADB AD ∠==，2tan 2CB CAB AB ∠==， ADB CAB ∴∠=∠，AC BD ∴⊥， 1AA ，AC ⊂平面11ACC A ，1AA AC A =，BD ∴⊥平面11ACC A ，1C F ⊂平面11ACC A ，1BD C F ∴⊥．（2）以A 为坐标原点，AD 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0A ，0，0)，(0B 20)，(1C 20)，1(1C 22)，平面ABCD 的法向量为(0n =，0，1)，(BE x =，2-2)，0x >，则242|cos ,|56BE n x =<>=+，解得12x =，则1(2E ，0，2)，1(2BE =，22)，11(2C E =-，2-0)，设(0F ，0，)z ，1(1C F =-，2-2)z -，则(1-，2-12)(2z m -=，2-12)(2n +-，2-0)，∴11122222m n m n ⎧-=-⎪⎨⎪--=-⎩，解得12m =-，32n =，1z =，(0F ∴，0，1)，F ∴为棱1AA 的中点．参考答案1、D2、B3、A4、D5、C6、D7、D8、A 8、【详解】根据题意，三棱锥A BCD -如图所示，图中点O 为线段BD 的中点，,N M 分别是线段,AO CO 上靠近点O 的三等分点，因为2dm AB BC AD BD CD =====，所以ABD △和CBD 均为等边三角形，因为点O 为线段BD 的中点，所以,AO BD CO BD ⊥⊥，所以AOC ∠为二面角A BD C --的平面角，所以23AOC π∠=，因为ABD △和CBD 均为等边三角形，点O 为线段BD 的中点，所以,AO CO 分别为ABD △和CBD 的中线，因为,N M 分别是线段,AO CO 上靠近点O 的三等分点，所以,N M 分别为ABD △和CBD 的外心，过,N M 分别作平面ABD 和平面CBD 的垂线,EN EM ，交于点E ，则点E 为三棱锥A BCD -外接球的球心，即为足球的球心，所以线段EB 为球的半径，因为,AO BD CO BD ⊥⊥，2dm AB BC AD BD CD =====，所以6dm 2AO CO ==，则6dm 6NO MO ==，因为,,90AO CO EO EO ENO EMO ==∠=∠=︒，所以ENO △≌EMO △，所以123EON EMO AOC π∠=∠=∠=，在直角EMO △中，2tan32EM OM π==，因为EM ⊥平面BCD ，BM ⊂平面BCD ，所以BM EM ⊥，因为M 是CBD 的外心，所以63BM =，所以2276EB EM BM =+=, 所以3344774233627V EB πππ⎛⎫=⋅== ⎪ ⎪⎝⎭，所以足球的体积为742dm 27π，故选：A9、ABD 10、ABD 11、BD 12、AC12、【详解】如图，过1A 作1A P AO ⊥，作出截面11ACC A 的平面图，易知11ACC A 为等腰梯形，且1,O O 为11,AC A C 中点，易得1114,8,4AC AC AA ===，1122AC AC AP -==，故22114223OO A P ==-=即圆台的高3h =111122,4222A B AB ====2242 选项A ：易得1A AO ∠即为1AA 与底面所成角，则111cos 2AP A AO AA ∠==，故13A AO π∠=，正确；选项B ：过P 作PQ AB ⊥于Q ，连接1A Q ，由1A P AB ⊥，1A P PQ P ⋂=，故AB ⊥面1A PQ ，1AQ ⊂面1A PQ ，故1AB A Q ⊥， 1A QP ∠即为二面角1A AB C 的平面角，111sin A P AQP A Q ∠=，111sin A PA AP A A∠=，又11A Q A A <，故11sin sin AQP A AP ∠>∠，即160AQP ∠>，B 错误；选项C ：设外接球半径为R ，球心到下底距离为x ，在11ACC A 的平面图中，2O 为球心，则221,23O O x O O x ==，112,4O C OC ==，212O C O C R ==，故()2222164234R x R R x ⎧-=⎪⇒=⎨-=⎪⎩，故表面积2464S R ππ==，正确；选项D ：()2215632482333V ππ=++⨯=，()21112383216233V =++⨯=然12V V π≠，错误. 故选：AC.13、8 14、3 15、8π 16、4π313． 16、解：等腰梯形ABCD 中，22AB CD ==，3DAB CBA π∠=∠=，O 为AB 的中点，BOC ∴∆，ADO ∆，DOC ∆为等边三角形，1OA OB OC OD ====，∴三棱锥B ADC '-处接球的球心为O ，半径为1，414S ππ∴=⨯=，连接BD 与OC 交于M ，则OC MD ⊥，OC MB ⊥，OC MB ⊥'，B MD ∴∠'是二面角的平面角，3BM DM B D =='=，3B MD π∴∠'=， B ∴'到平面COD 的距离为3334h π'==，在△B CD '中，1B C '=，3B D '=1CD =，2133391()24B CDS '=-=，设球心O 到平面B CD '的距离为h ，由O B CD B COD V V ''--=，得1133B CDCOD Sh S h '∆'⋅=⋅， ∴139133334h =，解得313h ，∴三棱锥B ADC '-外接球的球心到平面B ADC '-处接球的球心到平面B CD '的距离为31313．故答案为：4π；31313．17、【详解】分析：解法一：（1）由平行线的性质可得13AM AC =，结合线面平行的性质定理有//MN PC ．据此可得13λ=． (2) 由题意可知ABD ∆为等边三角形，则1BD AD ==，结合勾股定理可知PD BD ⊥且PD DA ⊥，由线面垂直的判断定理有PD ⊥平面ABCD ，进一步有平面PCD ⊥平面ABCD ．作ME CD ⊥于E ，则ME ⊥平面PCD ． ME 即为N 到平面PCD 的距离．结合比例关系计算可得N 到平面PCD 3解法二：（1）同解法一．（2）由题意可得ABD ∆为等边三角形，所以1BD AD ==，结合勾股定理可得PD BD ⊥且PD DA ⊥，则PD ⊥平面ABCD ．设点N 到平面PCD 的距离为d ，利用体积关系：2233N PCD A PCD P ACD V V V ---==，即2193ACDPCDPD Sd S ⋅=⋅．求解三角形的面积然后解方程可得N 到平面PCD 3 详解：解法一：（1）因为//AB CD ,所以1,2AM AB MC CD ==即13AM AC =．因为//MN 平面PCD ，MN ⊂平面PAC ，平面PAC ⋂平面PCD PC =，所以//MN PC ．所以13AN AM AP AC ==，即13λ=．(2) 因为0,60AB AD BAD =∠=，所以ABD ∆为等边三角形，所以1BD AD ==，又因为1PD =，2PA PB ==，所以222PB PD BD =+且222PA PD AD =+，所以PD BD ⊥且PD DA ⊥，又因为DA DB D ⋂=，所以PD ABCD ⊥平面因PD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面ABCD ．作ME CD ⊥于E ，因为平面PCD ⋂平面=ABCD CD ，所以ME ⊥平面PCD ．又因为//MN 平面PCD ，所以ME 即为N 到平面PCD 的距离．在△ABD 中，设AB 边上的高为h ，则3h =因为23MD MC BD AC ==，所以233ME h ==N 到平面PCD 3 解法二、（1）同解法一．（2）因为0,60AB AD BAD =∠=，所以ABD ∆为等边三角形，所以1BD AD ==，又因为1PD =，2PA PB ==，所以222PB PD BD =+且222PA PD AD =+，所以PD BD ⊥且PD DA ⊥，又因为DA DB D ⋂=，所以PD ⊥平面ABCD ．设点N 到平面PCD 的距离为d ，由13AN AP =得23NP AP =，所以2233N PCD A PCD P ACD V V V ---==，即2193ACDPCDPD S d S ⋅=⋅．因为1322ACDS AD DC sin ADC =⋅⋅∠=，112PCDS PD CD =⋅=，1PD =，所以23193d =，解得3d =N 到平面PCD 318、【1】因为平面PAD ⊥平面PAB ，平面PAD 平面PAB PA =，PA PB ⊥，PB ⊂平面PAB ，所以PB ⊥平面PAD ，又因为PB ⊂平面PBC ，所以平面PAD ⊥平面PBC ．【2】过D 作DH PA ⊥，⊥DO AB ，垂足分别为H ，O ，连接HO ，因为平面PAD ⊥平面PAB ，平面PAD 平面PAB PA =，DH PA ⊥，DH ⊂平面PAD ，所以DH ⊥平面PAB ，又AB 平面PAB ，所以DH AB ⊥，又⊥DO AB ，且DO DH D =，DO ，DH ⊂平面DHO ，所以AB ⊥平面DHO ，因为HO ⊂平面DHO ，所以AB HO ⊥，即DOH ∠即为二面角P AB D --的平面角，不妨设4AB =，则可知2AD CD BD ===，且1AO =，3OD =因为3cos DOH ∠=1OH =，所以4BAP π∠=，过O 作OM ⊥平面PAB ，以{},,OA OH OM 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,1,2D ，()1,2,0P -，()3,0,0B -，(2C -，所以(1,2PD =-，()2,2,0BP =，(1,1,2CP =-，设平面PBC 的法向量为(),,m x y z =，则22020m BP x y m CP x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，则1y =-，0z =，所以()1,1,0m =-，设直线PD 与平面PBC 所成角为θ，则2sin 211112m PD m PDθ⋅===+⋅++⋅，即4πθ=.19、【1】在直三棱柱111ABC A B C -中，设点A 到平面1A BC 的距离为h ，则111111112211433333A A BC A A ABC A ABC AB BC C C B V S h h V S A A V ---=⋅===⋅==，解得2h =所以点A 到平面1A BC 2；【2】取1A B 的中点E ,连接AE ,如图，因为1AA AB =，所以1AE A B ⊥, 又平面1A BC ⊥平面11ABB A ，平面1A BC平面111ABB A A B =，且AE ⊂平面11ABB A ，所以AE ⊥平面1A BC ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，由BC ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面ABC 可得AE BC ⊥，1BB BC ⊥，又1,AE BB ⊂平面11ABB A 且相交，所以BC ⊥平面11ABB A ，所以1,,BC BA BB 两两垂直，以B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得2AE =12AA AB ==，122A B =2BC =，则()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0A A B C ,所以1A C 的中点()1,1,1D ，则()1,1,1BD =，()()0,2,0,2,0,0BA BC ==,设平面ABD 的一个法向量(),,m x y z =，则020m BD x y z m BA y ⎧⋅=++=⎪⎨⋅==⎪⎩，可取()1,0,1m =-，设平面BDC 的一个法向量(),,n a b c =，则020m BD a b c m BC a ⎧⋅=++=⎪⎨⋅==⎪⎩，可取()0,1,1n =-，则11cos ,222m n m n m n⋅===⨯⋅，所以二面角A BD C --21312⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 20、(1)ABC 是边长为2的等边三角形，则2PA AB AC ===，又22PC PB ==股定理知,PA AB PA AC ⊥⊥，故PA ⊥平面ABC ，BD CD =，点E 是BC 中点，则DE BC ⊥，由于平面ABC ⊥平面BCD 知DE ⊥平面ABC ，则//DE PA ，//DE 平面PAC (2) 以点E 为原点，EC 方向为x 轴，EA 方向为y 轴，ED 方向为z 轴建系则(0,0,1),3,0),(1,0,0)D A B -，设(,0,0)F a平面FDA 内，(0,3,1),(,0,1)DA DF a =-=-，法向量(3,3)m a a = 平面BDA 内，(0,3,1),(1,0,1)DA DB =-=--，法向量(3,1,3)m =-设直二面角F DA B --的平面角θ，则37cos 0,430,,44m n a a BF θ==-===21、【1详】解：以A 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，如图所示，则()0,0,0A ，()0,1,1Q ，42,0,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，24,1,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则42,0,33AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,1,1AQ Q =，24,1,33AN ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设AN x AM y AQ =+，则243314233x y x y ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得1,12x y ==，则12AN AM AQ =+，即A ，M ，N ，Q 四点共面.【2】解：由（1）中的空间直角坐标系，可得(0,0,2)P ，()2,3,0C ，()0,0,2AP =，设PN PC =λ，（其中01λ≤≤），且(),,N x y z ，则()(),,22,3,2x y z λ-=-，解得()2,3,22N λλλ-，可得42(,0,)33AM =()2,3,22AN λλλ=-设平面AMN 的法向量为(),,n a b c =，由4203323(22)0n AM a c n AN a b c λλλ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=++-=⎩，取1a =，可得42,23b c λ=-=-，所以41,2,23n λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭设直线AP 与平面AMN 所成角为θ，则225sin 4523AP n AP nθλ⋅==≤⎛⎫+- ⎪⎝⎭，当且仅当23λ=时等号成立. 直线PA 与平面AMN 25.22、解：（1）方法1在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC ，所以AE ⊥PE ．因为平面PAE 与平面AECD 所成的角为90º，即平面PAE ⊥平面AECD ． ················· 2分又因为平面PAE ∩平面AECD ＝AE ，PE ⊂平面PAE ，所以PE ⊥平面AECD ．因为CD ⊂平面AECD ，所以PE ⊥CD ． ············································································ 4分方法2在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC ，所以AE ⊥PE ，AE ⊥CE ，所以∠PEC 为平面PAE 与平面AECD 所成角的平面角．因为平面PAE 与平面AECD 所成的角为90º，所以∠PEC ＝90º，即PE ⊥CE ． ········· 2分又PE ⊥AE ，AE ∩CE ＝E ，AE ⊂平面AECD ，CE ⊂平面AECD ，所以PE ⊥平面AECD ．因为CD ⊂平面AECD ，所以PE ⊥CD ． ············································································ 4分（2）方法1由（1）得PE ⊥平面AECD ，AE ⊥EC ，故以{EA →，EC →，EP →}为正交基底，建立空间直角坐标系．易得A (1，0，0)，C (0，23，0)，D (1，33，0)，P (0，0，3)，所以PC →＝(0，23，－3)，AP →＝(－1，0，3)，AD →＝(0，33，0)． ································································································· 5分设PF →＝λPC →＝(0，23λ，－3λ)，λ∈[0，1]，则AF →＝AP →＋PF →＝(－1，23λ，3－3λ)． ······························································ 6分设平面FAD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧AD →·n ＝0，AF →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，－x ＋23λy ＋(3－3λ)z ＝0，取z ＝1，得x ＝3－3λ，则平面FAD 的一个法向量为n ＝(3－3λ，0，1)． ·················································· 8分又因为平面AECD 的一个法向量为m ＝(0，0，1)，且二面角F －DA －C 的大小为30º，所以|cos ＜m ，n ＞|＝|m ·n |m |·|n ||＝|1(3－3λ)2＋1|＝32，整理得9λ2－18λ＋8＝0，即(3λ－2)(3λ－4)＝0，解得λ＝23或λ＝43(舍去)，故PF →＝23PC →． ................................................................................ 10分因为S △ACD ＝12×33×1＝332，所以V F －ACD ＝13V P －ACD ＝13S △ACD ×13PE ＝12． ............................................................................... 12分方法2在△PEC 中，过F 作FG ∥EC ，交PE 于点G ．因为EC ∥AD ，所以FG ∥AD ，因此A ，D ，F ，G 共面．在平行四边形ABCD 中，易知AD ⊥AE ．由（1）得PE ⊥平面AECD ，因为AD ⊂平面AECD ，所以AD ⊥PE ．又PE ∩AE ＝E ，AE ，PE ⊂平面PAE ，所以AD ⊥平面PAE ．因为AG ⊂平面PAE ，所以AD ⊥AG ．所以∠GAE 为二面角F －AD －C 的平面角，所以∠GAE ＝30º． ································· 8分在Rt △AEG 中，∠AEG ＝90º，∠GAE ＝30º，AE ＝1，所以EG ＝33． ···················· 10分因为FG ∥AD ，FG ⊄平面AECD ，AD ⊂平面AECD ，所以FG ∥平面AECD ．因此V F －ACD ＝V G －ACD ＝13×(12×33×1)×33＝12．······················································ 12分。

2018-2019学年高中新三维一轮复习理数江苏专版：课时

课时跟踪检测（三十三）基本不等式及其应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．“a ＞b ＞0”是“ab ＜a 2＋b 22”的________条件．解析：由a ＞b ＞0得，a 2＋b 2＞2ab ；但由a 2＋b 2＞2ab 不能得到a ＞b ＞0，故“a ＞b ＞0”是“ab ＜a 2＋b 22”的充分不必要条件．答案：充分不必要 2．当x ＞0时，f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________．解析：因为x ＞0，所以f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．答案：13．若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋4a b的最小值为______．解析：因为a ，b 都是正数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b≥5＋2b a ·4ab＝9，当且仅当b ＝2a 时取等号．答案：94．当3＜x ＜12时，函数y ＝x －－xx的最大值为________．解析：y ＝x －－x x＝－x 2＋15x －36x＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋36x ＋15≤－2 x ·36x＋15＝3.当且仅当x ＝36x，即x ＝6时，y max ＝3.答案：35．(2018·扬州中学测试)已知a >b >1且2log a b ＋3log b a ＝7，则a ＋1b －1的最小值为________．解析：因为2log a b ＋3log b a ＝7，所以2(log a b )2－7log a b ＋3＝0，解得log a b ＝12或log a b＝3，因为a >b >1，所以log a b ∈(0,1)，故log a b ＝12，从而b ＝a ，因此a ＋1b 2－1＝a ＋1a －1＝(a －1)＋1a －1＋1≥3，当且仅当a ＝2时等号成立．答案：36．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．解析：每批生产x 件，则平均每件产品的生产准备费用是800x元，每件产品的仓储费用是x 8元，则800x ＋x 8≥2 800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时“＝”成立，所以每批生产产品80件．答案：80二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·启东中学调研)已知ab ＝14，a ，b ∈(0,1)，则11－a ＋21－b 的最小值为________．解析：由题意得b ＝14a ，所以0<14a <1，即a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，得11－a ＋21－b ＝11－a ＋8a 4a －1＝11－a ＋24a －1＋2. 4(1－a )＋(4a －1)＝3，记S ＝11－a ＋24a －1，则S ＝44－4a ＋24a －1＝13[(4－4a )＋(4a －1)]⎝ ⎛⎭⎪⎫44－4a ＋24a －1＝2＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－4a 4a －1＋a －4－4a≥2＋423，当且仅当4－4a 4a －1＝a －4－4a时等号成立，所以所求最小值为4＋423.答案：4＋4232．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n 的最小值是________．解析：由题意知ab ＝1，所以m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b＝2a ，所以m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab＝4，当且仅当a ＝b ＝1时取等号．答案：43．若2x＋2y＝1，则x ＋y 的取值范围是________．解析：因为2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y(当且仅当2x ＝2y 时等号成立)，所以2x ＋y≤12，所以2x ＋y≤14，得x ＋y ≤－2. 答案：(－∞，－2]4．(2018·湖北七市(州)协作体联考)已知直线ax ＋by －6＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值是________．解析：将圆的一般方程化为标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心坐标为(1,2)，半径r ＝5，故直线过圆心，即a ＋2b ＝6，所以a ＋2b ＝6≥2a ·2b ，可得ab ≤92，当且仅当a＝2b ＝3时等号成立，即ab 的最大值是92.答案：925.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑到防洪堤的坚固性及水泥用料等因素，要求设计其横断面的面积为9 3 m 2，且高度不低于 3 m ，记防洪堤横断面的腰长为x m ，外周长(梯形的上底与两腰长的和)为y m ，若要使堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x ＝________.解析：设横断面的高为h ，由题意得AD ＝BC ＋2·x 2＝BC ＋x ，h ＝32x ，所以93＝12(AD ＋BC )h ＝12(2BC ＋x )·32x ，故BC ＝18x －x2，由⎩⎪⎨⎪⎧h ＝32x ≥ 3，BC ＝18x －x2>0，得2≤x <6，所以y ＝BC ＋2x ＝18x＋3x2(2≤x <6)，从而y ＝18x ＋3x2≥218x ·3x2＝63，当且仅当18x ＝3x2(2≤x <6)，即x ＝23时等号成立．答案：2 36．(2018·苏州期末)已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为________．解析：令x ＋2＝a ，y ＋1＝b ，则a ＋b ＝4(a ＞2，b ＞1)，所以4x ＋2＋1y ＋1＝4a ＋1b ＝14(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4b a ＋a b ≥14(5＋4)＝94，当且仅当a ＝83，b ＝43，即x ＝23，y ＝13时取等号．则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为94. 答案：947．(2017·南通三模)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，则y x ＋4y的最小值是________．解析：因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，所以y x ＋4y ＝yx＋x ＋y y ＝y x ＋4xy ＋4≥2y x ·4xy＋4＝8，当且仅当y x ＝4x y ，即x ＝13，y ＝23时取“＝”，所以y x ＋4y的最小值是8. 答案：88．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则x ＋y 的最大值为________．解析：因为x 2＋y 2－xy ＝1，所以x 2＋y 2＝1＋xy .所以(x ＋y )2＝1＋3xy ≤1＋3×⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2≤4，解得－2≤x ＋y ≤2. 当且仅当x ＝y ＝1时右边等号成立．所以x ＋y 的最大值为2. 答案：29．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x－2x的最大值．解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32.当x <32时，有3－2x >0，所以3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.(2)因为0<x <2，所以2－x >0，所以y ＝x－2x＝2·x－x≤ 2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号，所以当x ＝1时，函数y ＝x－2x 的最大值为 2.10．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，又x ＞0，y ＞0，则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立．所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y (x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x≥10＋22xy·8yx＝18.当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立，所以x ＋y 的最小值为18.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·淮安高三期中)在锐角三角形ABC 中，9tan A tan B ＋tan B tan C ＋tan C tanA 的最小值为________．解析：不妨设A ＝B ，则C ＝π－2A ，因为三角形ABC 是锐角三角形，所以π4＜A ＜π2，所以tan A ＞1，所以9tan A tan B ＋tan B tan C ＋tan C tan A ＝9tan 2A ＋2tan A tan C ＝9tan 2A ＋2tan A tan(π－2A )＝9tan 2A －2tan A tan 2A ＝9tan 2A －4tan 2A 1－tan 2A ＝9tan 2A ＋4－41－tan 2A＝9(tan 2A －1)＋4tan 2A －1＋13≥25⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当tan 2A ＝53时等号成立，所以9tan A tanB ＋tan B tanC ＋tan C tan A 的最小值为25.答案：252．(2018·苏北四市联考)已知对满足x ＋y ＋4＝2xy 的任意正实数x ，y ，都有x 2＋2xy ＋y 2－ax －ay ＋1≥0，则实数a 的取值范围为________．解析：法一：由x ＋y ＋4＝2xy ≤x ＋y22得(x ＋y )2－2(x ＋y )－8≥0，又x ，y 是正实数，得x ＋y ≥4.原不等式整理可得(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0，令x ＋y ＝t ，t ≥4，则t 2－at ＋1≥0，t ∈[4，＋∞) (*)恒成立，当Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，(*)式恒成立；当a <－2时，对称轴t ＝a 2<－1，(*)式恒成立；当a >2时，对称轴t ＝a2，要使(*)式恒成立，则a 2<4，且16－4a ＋1≥0，得2<a ≤174.综上可得(*)式恒成立时，a ≤174，则实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，174.法二：由x ＋y ＋4＝2xy ≤x ＋y22得(x ＋y )2－2(x ＋y )－8≥0，又x ，y 是正实数，得x ＋y ≥4.原不等式整理可得(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0，令x ＋y ＝t ，t ≥4，则t 2－at ＋1≥0，t ∈[4，＋∞) (*)恒成立，则a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t min ＝174，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，174.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1743．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x＋10 000x－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式． (2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解：(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元，依题意得：当0＜x ＜80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－13x 2－10x －250＝－13x 2＋40x －250.当x ≥80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－51x －10 000x＋1 450－250＝1 200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x .所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋40x －250，0＜x ＜80，1 200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x ，x ≥80.(2)当0＜x ＜80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950.此时，当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950万元．当x ≥80时，L (x )＝1 200－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x≤1 200－2x ·10 000x＝1 200－200＝1 000.此时x ＝10 000x，即x ＝100时，L (x )取得最大值1 000万元．由于950＜1 000，所以，当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为1 000万元．。

高考数学总复习 53 课时跟踪练习文(含解析)

课时知能训练一、选择题1．(2012·东莞模拟)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2－a 5＝0，则S 4S 2＝( ) A ．5 B ．8 C ．－8 D ．152．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1，若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m ＝( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．123．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( ) A.152 B.314 C.334 D.1724．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n}的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5 C.3116 D.1585．在公比q ＜1的等比数列{a n }中，a 2a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( ) A.56 B.65 C.23 D.32 二、填空题6．(2012·珠海模拟)已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝________.7．等比数列{a n }的公比q ＞0，已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝________.8．数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________.三、解答题9．(2012·中山质检)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n＋c . (1)求c 的值并求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝S n ＋2n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 10．已知数列满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *) (1)求证数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求{a n }的通项公式及{a n }的前n 项和S n .11．(2011·湖北高考)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列{S n ＋54}是等比数列．答案及解析1．【解析】 ∵8a 2－a 5＝0， ∴8a 1q ＝a 1q 4，∴q 3＝8，即q ＝2.∴S 4S 2＝1－q 41－q2＝1＋q 2＝5. 【答案】 A2．【解析】 ∵a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝q ·q 2·q 3·q 4＝q 10＝a 1q 10， ∴m ＝11. 【答案】 C3．【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 21q 4＝1a 11＋q ＋q 2＝7，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝1a 11＋q ＋q 2＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12a 1＝4.∴S 5＝4[1－125]1－12＝314. 【答案】 B4．【解析】设等比数列的公比为q ，当公比q ＝1时，由a 1＝1得，9S 3＝9×3＝27，而S 6＝6，故不合题意．当公比q ≠1时，由9S 3＝S 6及a 1＝1，得： 9×1－q 31－q ＝1－q 61－q，解得q ＝2.所以数列{1a n }的前5项和为1＋12＋14＋18＋116＝3116.【答案】 C5．【解析】 ∵a 2a 8＝a 4a 6＝6，a 4＋a 6＝5，∴a 4，a 6是方程x 2－5x ＋6＝0的两实根，又公比q ＜1，∴a 4＝3，a 6＝2， ∴q 2＝23，∴a 5a 7＝1q 2＝32.【答案】 D6．【解析】由(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)得a ＝5，因此等比数列{a n }的首项为4，公比q ＝a ＋1a －1＝64＝32. ∴a n ＝4×(32)n －1.【答案】 4×(32)n －17．【解析】 ∵a n ＋2＋a n ＋1＝a n q 2＋a n q ＝6a n ， ∴q 2＋q －6＝0，又q ＞0，∴q ＝2，由a 2＝a 1q ＝1得a 1＝12，∴S 4＝121－241－2＝152. 【答案】1528．【解析】 a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1－2n1－2＝2n －1. 【答案】 2n－19．【解】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2＋c ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n－2n －1＝2n －1，∴a n ＝{ 2＋c ，n ＝1，2n －1，n ≥2.∵数列{a n }为等比数列， ∴a 1＝2＋c ＝1，∴c ＝－1. ∴数列{a n }的通项公式a n ＝2n －1.(2)∵b n ＝S n ＋2n ＋1＝2n＋2n ，∴T n ＝(2＋22＋ (2))＋2(1＋2＋…＋n ) ＝2(2n－1)＋n (n ＋1)＝2n ＋1－2＋n 2＋n .10．【解】 (1)由a n ＋1＝2a n ＋1得a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)又a 1＋1≠0，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝2. ∴数列{a n ＋1}为公比是2的等比数列． (2)由(1)知a n ＋1＝(a 1＋1)q n －1，即a n ＝(a 1＋1)qn －1－1＝2·2n －1－1＝2n－1.故S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2＋22＋ (2))－n ＝21－2n 1－2－n ＝2n ＋1－n －2.11．【解】 (1)设等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，有(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)．故{b n }的第3项为5，公比为2.由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，则数列{b n }的通项公式b n ＝54·2n －1＝5·2n －3.(2)S n ＝541－2n1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2.因此数列{S n ＋54}是以52为首项，公比为2的等比数列．。

(红对勾)2020届高考一轮数学(理数)课时作业本：53 含答案解析

课时作业53 椭圆1．已知三点P (5,2)，F 1(－6,0)，F 2(6,0)，那么以F 1，F 2为焦点且经过点P 的椭圆的短轴长为( B )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：因为点P (5,2)在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 2|＝5，|PF 1|＝55，所以2a ＝65，即a ＝35，c ＝6，则b ＝3，故椭圆的短轴长为6，故选B.2．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( B )A.514 B ．513 C.49D ．59 解析：由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2. 设线段PF 1的中点为M ，则有OM ∥PF 2， ∵OM ⊥F 1F 2，∴PF 2⊥F 1F 2， ∴|PF 2|＝b 2a ＝53.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， ∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133， ∴|PF 2||PF 1|＝53×313＝513，故选B.3．已知点P 是椭圆x 24＋y 23＝1上一点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为△PF 1F 2的内心，若S △MPF 1＝λS △MF 1F 2－S △MPF 2成立，则λ的值为( D )A.32 B ．12 C.22D ．2解析：设内切圆的半径为r ，因为S △MPF 1＝λS △MF 1F 2－S △MPF 2，所以S △MPF 1＋S △MPF 2＝λS △MF 1F 2；由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，所以ar ＝λcr ，c ＝a 2－b 2，所以λ＝aa 2－b2＝2.4．(2019·安徽宣城一模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为M ，上顶点为N ，右焦点为F ，若NM →·NF →＝0，则椭圆的离心率为( D )A.32 B ．2－12 C.3－12D ．5－12解析：由题意知，M (－a,0)，N (0，b )，F (c,0)， ∴NM →＝(－a ，－b )，NF →＝(c ，－b )． ∵NM →·NF →＝0，∴－ac ＋b 2＝0，即b 2＝ac . 又知b 2＝a 2－c 2，∴a 2－c 2＝ac . ∴e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－12或e ＝－5－12(舍)． ∴椭圆的离心率为5－12，故选D.5．(2019·湖北重点中学联考)已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 2且垂直于长轴的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 1内切圆的半径为( D )A.43 B ．1 C.45D ．34解析：法一：不妨设A 点在B 点上方，由题意知，F 2(1,0)，将F 2的横坐标代入椭圆方程x 24＋y 23＝1中，可得A 点纵坐标为32，故|AB |＝3，所以内切圆半径r ＝2S C ＝68＝34(其中S 为△ABF 1的面积，C 为△ABF 1的周长)，故选D.法二：由椭圆的通径公式得|AB |＝2b 2a ＝3，则S △ABF 1＝12×2×3＝3，又易得△ABF 1的周长C ＝4a ＝8，则由S △ABF 1＝12C ·r 可得r ＝34.故选D.6．(2019·豫南九校联考)已知两定点A (－1,0)和B (1,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( A )A.55 B ．105 C.255D ．2105解析：不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a ＞1)，与直线l 的方程联立得⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，y ＝x ＋3，消去y 得(2a 2－1)x 2＋6a 2x ＋10a 2－a 4＝0，由题意易知Δ＝36a 4－4(2a 2－1)(10a 2－a 4)≥0，解得a ≥5，所以e ＝c a ＝1a ≤55，所以e 的最大值为55.故选A.7．(2019·河北衡水中学模拟)设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |－|PF 1|的最小值为－5 .解析：由椭圆的方程可知F 2(3,0)，由椭圆的定义可得|PF 1|＝2a －|PF 2|，∴|PM |－|PF 1|＝|PM |－(2a －|PF 2|)＝|PM |＋|PF 2|－2a ≥|MF 2|－2a ，当且仅当M ，P ，F 2三点共线时取得等号，又|MF 2|＝(6－3)2＋(4－0)2＝5,2a ＝10， ∴|PM |－|PF 1|≥5－10＝－5，即|PM |－|PF 1|的最小值为－5.8．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于22 .解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，① x 22a 2＋y 22b2＝1.② ①、②两式相减并整理得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.结合已知条件得，－12＝－b 2a 2×22， ∴b 2a 2＝12，故椭圆的离心率e ＝1－b 2a 2＝22.9．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且∠F 1PF 2＝60°，S △PF 1F 2＝33，则b ＝ 3 .解析：由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，又∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos60°＝|F 1F 2|2，所以(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|＝4c 2，所以3|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2，所以|PF 1||PF 2|＝43b 2，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin60°＝12×43b 2×32＝33b 2＝33，所以b ＝3. 10．椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆M 上任一点，且|PF 1|·|PF 2|的最大值的取值范围是[2b 2,3b 2]，椭圆M 的离心率为e ，则e －1e 的最小值是－22 .解析：由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2， ∴2b 2≤a 2≤3b 2，即2a 2－2c 2≤a 2≤3a 2－3c 2， ∴12≤c 2a 2≤23，即22≤e ≤63. 令f (x )＝x －1x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，63上是增函数， ∴当e ＝22时，e －1e 取得最小值22－2＝－22.11．已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点．当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解：(1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1 得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k 2－3)＞0，即k 2＞34时， x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1.从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积 S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t ＞0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ＞0，所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为 y ＝72x －2或y ＝－72x －2.12．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B两点，求椭圆E 的方程．解：(1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c2＝bca ，由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，可得离心率c a ＝32. (2)解法一：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10.易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k (2k ＋1)1＋4k 2，x 1x 2＝4(2k ＋1)2－4b 21＋4k 2.由x 1＋x 2＝－4，得－8k (2k ＋1)1＋4k 2＝－4，解得k ＝12.从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝10(b 2－2).由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1. 解法二：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2. ②依题意，点A ，B 关于圆心M (－2,1)对称，且|AB |＝10. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0. 易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2，所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12. 因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0. 所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2|＝ 52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2). 由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.13．设F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，P 是C 上的点，圆x 2＋y 2＝a 29与线段PF 交于A ，B 两点，若A ，B 是线段PF 的两个三等分点，则椭圆C 的离心率为( D )A.33 B ．53 C.104D ．175解析：如图所示，设线段AB 的中点为D ，连接OD ，OA ，设椭圆C 的左、右焦点分别为F ，F 1，连接PF 1.设|OD |＝t ，因为点A ，B 是线段PF 的两个三等分点，所以点D 为线段PF 的中点，所以OD ∥PF 1，且|PF 1|＝2t ，PF 1⊥PF . 因为|PF |＝3|AB |＝6|AD |＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32－t 2，根据椭圆的定义，得|PF |＋|PF 1|＝2a ， ∴6⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32－t 2＋2t ＝2a ，解得t ＝a5或t ＝0(舍去)．所以|PF |＝8a 5，|PF 1|＝2a5.在Rt △PFF 1中，|PF |2＋|PF 1|2＝|FF 1|2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 52＝(2c )2，得c 2a 2＝1725，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝175.14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，若椭圆上存在点M 使得sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c ，则该椭圆离心率的取值范围为( D )A ．(0，2－1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1C.⎝⎛⎭⎪⎫0，22D ．(2－1,1)解析：在△MF 1F 2中，|MF 2|sin ∠MF 1F 2＝|MF 1|sin ∠MF 2F 1，而sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c ， ∴|MF 2||MF 1|＝sin ∠MF 1F 2sin ∠MF 2F 1＝a c .①又M 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点， ∴|MF 1|＋|MF 2|＝2a .②由①②得，|MF 1|＝2ac a ＋c ，|MF 2|＝2a 2a ＋c .显然|MF 2|＞|MF 1|， ∴a －c ＜|MF 2|＜a ＋c ，即a －c ＜2a 2a ＋c＜a ＋c ，整理得c 2＋2ac －a 2＞0，∴e 2＋2e －1＞0，又0＜e ＜1，∴2－1＜e ＜1，故选D.15．过椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的动点M 作圆x 2＋y 2＝b22的两条切线，切点分别为P 和Q ，直线PQ 与x 轴和y 轴的交点分别为E 和F ，则△EOF 面积的最小值是 b 34a .解析：设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则直线MP 和MQ 的方程分别为x 1x ＋y 1y ＝b 22，x 2x ＋y 2y ＝b 22.因为点M 在MP 和MQ 上，所以有x 1x 0＋y 1y 0＝b 22，x 2x 0＋y 2y 0＝b 22，则P ，Q 两点的坐标满足方程x 0x ＋y 0y ＝b 22，所以直线PQ 的方程为x 0x ＋y 0y ＝b 22，可得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22x 0，0和F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 22y 0，所以S △EOF ＝12·|OE ||OF |＝b 48|x 0y 0|，因为b 2y 20＋a 2x 20＝a 2b 2，b 2y 20＋a 2x 20≥2ab |x 0y 0|，所以|x 0y 0|≤ab 2，所以S △EOF ＝b 48|x 0y 0|≥b 34a ，当且仅当b 2y 20＝a 2x 20＝a 2b 22时取“＝”，故△EOF 面积的最小值为b 34a .16．(2019·山东济宁一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1(a ＞2)，直线l ：y ＝kx ＋1(k ≠0)与椭圆C 相交于A ，B 两点，点D 为AB 的中点．(1)若直线l 与直线OD (O 为坐标原点)的斜率之积为－12，求椭圆C 的方程；(2)在(1)的条件下，y 轴上是否存在定点M ，使得当k 变化时，总有∠AMO ＝∠BMO (O 为坐标原点)？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由⎩⎨⎧x 2a 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1(k ≠0)得(4＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx －3a 2＝0，显然Δ＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－2a 2k 4＋a 2k 2，x 1x 2＝－3a 24＋a 2k 2， ∴x 0＝－a 2k 4＋a 2k 2，y 0＝－a 2k 24＋a 2k 2＋1＝44＋a 2k 2， ∴k ·y 0x 0＝k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a 2k ＝－12， ∴a 2＝8.∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1. (2)假设存在定点M 符合题意，且设M (0，m )，由∠AMO ＝∠BMO 得k AM ＋k BM ＝0.∴y 1－m x 1＋y 2－m x 2＝0.即y 1x 2＋y 2x 1－m (x 1＋x 2)＝0，∴2kx 1x 2＋x 1＋x 2－m (x 1＋x 2)＝0.由(1)知x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－61＋2k 2， ∴－12k 1＋2k 2－4k 1＋2k 2＋4mk 1＋2k 2＝0， ∴－16k ＋4mk 1＋2k 2＝0，即4k (－4＋m )1＋2k 2＝0， ∵k ≠0，∴－4＋m ＝0，∴m ＝4. ∴存在定点M (0,4)，使得∠AMO ＝∠BMO .。

(江苏专版)高考数学一轮复习课时跟踪检测(三十五)基本不等式及其应用理(含解析)苏教版

（江苏专版）高考数学一轮复习课时跟踪检测（三十五）基本不等式及其应用理（含解析）苏教版课时跟踪检测（三十五）基本不等式及其应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·连云港调研)若x ＞0，y ＞0，且log 2x ＋log 2y ＝2，则1x ＋2y的最小值为________．解析：∵x ＞0，y ＞0，且log 2x ＋log 2y ＝log 2xy ＝2， ∴xy ＝4， ∴1x ＋2y ≥22xy＝2，当且仅当1x ＝2y且xy ＝4，即x ＝2，y ＝22时取等号，∴1x ＋2y的最小值为 2. 答案： 22．当x ＞0时，f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________．解析：因为x ＞0，所以f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．答案：13．(2018·苏州期末)已知a ＞0，b ＞0，且1a ＋1b ＝1，则3a ＋2b ＋ba的最小值为________．解析：∵a ＞0，b ＞0，且1a ＋1b＝1，∴3a ＋2b ＋b a＝3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋2b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋ba＝5＋3a b ＋3b a≥5＋29＝11，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴3a ＋2b ＋b a的最小值为11. 答案：114．当3＜x ＜12时，函数y ＝x －312－xx的最大值为________．解析：y ＝x －312－xx＝－x 2＋15x －36x＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋36x ＋15≤－2x ·36x＋15＝3.当且仅当x ＝36x，即x ＝6时，y max ＝3. 答案：35．(2018·通州期末)若log 4(a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是________．解析：∵log 4(a ＋4b )＝log 2ab ，∴log 2a ＋4b ＝log 2ab ，a ＋4b ＞0，ab ＞0. ∴a ＋4b ＝ab ，即a ＋4b ＝ab ， ∴1b ＋4a＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋4a ＝5＋a b ＋4b a≥5＋2a b ·4ba＝9，当且仅当a ＝2b ＝6时取等号． ∴a ＋b 的最小值是9. 答案：96．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．解析：每批生产x 件，则平均每件产品的生产准备费用是800x元，每件产品的仓储费用是x 8元，则800x ＋x 8≥2 800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时“＝”成立，所以每批生产产品80件．答案：80二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·盐城调研)若x ＞0，y ＞0，且x ＋1x ＋y ＋4y ≤9，则1x ＋4y的最大值为________．解析：令x ＋y ＝n ，1x ＋4y＝m ，∴m ·n ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝5＋y x ＋4x y≥9.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ·n ≥9，m ＋n ≤9⇒9≥m ＋n ≥m ＋9m.∴m 2－9m ＋9≤0，解得9－352≤m ≤9＋352.∴1x ＋4y 的最大值为9＋352. 答案：9＋3522．已知ab ＝14，a ，b ∈(0,1)，则11－a ＋21－b 的最小值为________．解析：由题意得b ＝14a ，所以0＜14a ＜1，即a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，得11－a ＋21－b ＝11－a ＋8a 4a －1＝11－a ＋24a －1＋2. 4(1－a )＋(4a －1)＝3，记S ＝11－a ＋24a －1，则S ＝44－4a ＋24a －1＝13[(4－4a )＋(4a －1)]⎝⎛⎭⎪⎫44－4a ＋24a －1＝2＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－4a 4a －1＋24a －14－4a ≥2＋423，当且仅当4－4a 4a －1＝24a －14－4a 时等号成立，所以所求最小值为4＋423.答案：4＋4233．(2018·连云港期末)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋4y＝4，则2x ＋1y的最小值是________．解析：∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋4y＝4， ∴4＝2x＋4y≥22x ＋2y，即x ＋2y ≤2，∴2x ＋1y ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y (x ＋2y )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋4y x ＋x y≥12⎝⎛⎭⎪⎫4＋24y x·x y ＝4，当且仅当x ＝2y 时等号成立， ∴2x ＋1y的最小值是4.答案：44．(2019·湖北七市(州)协作体联考)已知直线ax ＋by －6＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值是________．解析：将圆的一般方程化为标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心坐标为(1,2)，半径r ＝5，故直线过圆心，即a ＋2b ＝6，所以a ＋2b ＝6≥2a ·2b ，可得ab ≤92，当且仅当a＝2b ＝3时等号成立，即ab 的最大值是92.答案：925．某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑到防洪堤的坚固性及水泥用料等因素，要求设计其横断面的面积为9 3 m 2，且高度不低于 3 m ，记防洪堤横断面的腰长为x m ，外周长(梯形的上底与两腰长的和)为y m ，若要使堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x ＝________.解析：设横断面的高为h ，由题意得AD ＝BC ＋2·x 2＝BC ＋x ，h ＝32x ，所以93＝12(AD ＋BC )h ＝12(2BC ＋x )·32x ，故BC ＝18x －x2，由⎩⎪⎨⎪⎧h ＝32x ≥ 3，BC ＝18x －x 2＞0，得2≤x ＜6，所以y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x2(2≤x ＜6)，从而y ＝18x ＋3x2≥218x ·3x2＝63，当且仅当18x ＝3x2(2≤x ＜6)，即x ＝23时等号成立．答案：2 36．(2018·苏州期末)已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为________．解析：令x ＋2＝a ，y ＋1＝b ，则a ＋b ＝4(a ＞2，b ＞1)，所以4x ＋2＋1y ＋1＝4a ＋1b ＝14(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4b a ＋a b ≥14(5＋4)＝94，当且仅当a ＝83，b ＝43，即x ＝23，y ＝13时取等号．则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为94. 答案：947．(2018·南通三模)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，则y x ＋4y 的最小值是________．解析：因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，所以y x ＋4y ＝y x＋4x ＋y y＝y x＋4xy＋4≥2y x ·4x y＋4＝8，当且仅当y x ＝4x y ，即x ＝13，y ＝23时取“＝”，所以y x ＋4y的最小值是8. 答案：88．(2018·扬州期末)已知正实数x ，y 满足x ＋y ＝xy ，则3x x －1＋2y y －1的最小值为________．解析：∵x ＋y ＝xy ， ∴3x x －1＋2y y －1＝3x y －1＋2y x －1x －1y －1 ＝5xy －3x －2y xy －x －y ＋1＝5x ＋5y －3x －2yx ＋y －x －y ＋1＝2x ＋3y .又∵x ＋y ＝xy 可化为1y ＋1x＝1，∴2x ＋3y ＝(2x ＋3y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋1x＝2x y ＋3yx＋5≥22x y·3y x＋5＝26＋5，当且仅当2x 2＝3y 2时取等号，∴3x x －1＋2y y －1的最小值为26＋5. 答案：26＋59．(1)当x ＜32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0＜x ＜2，求函数y ＝x 4－2x的最大值．解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32.当x ＜32时，有3－2x ＞0，所以3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.(2)因为0＜x ＜2，所以2－x ＞0，所以y ＝x 4－2x ＝2·x 2－x ≤ 2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号，所以当x ＝1时，函数y ＝x4－2x的最大值为 2.10．(2019·泰州调研)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝4. (1)求xy 的最大值及相应的x ，y 的值； (2)求9x ＋3y的最小值及相应的x ，y 的值．解：(1)因为4＝2x ＋y ≥22xy ⇒xy ≤2，所以xy 的最大值为2，当且仅当2x ＝y ＝2，即x ＝1，y ＝2时取“＝”． (2)因为9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y＝18，所以9x ＋3y的最小值为18，当且仅当9x ＝3y，即2x ＝y ＝2⇒x ＝1，y ＝2时取“＝”．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·启东期中)已知α为锐角，则2tan α＋3tan 2α的最小值为________．解析：∵α为锐角，∴tan α＞0， ∴2tan α＋3tan 2α＝2tan α＋31－tan 2α2tan α＝32tan α＋tan α2≥232tan α·tan α2＝3，当且仅当tan α＝ 3，即α＝π3时取得等号，∴2tan α＋3tan 2α的最小值为 3.答案： 32．(2018·苏北四市联考)已知对满足x ＋y ＋4＝2xy 的任意正实数x ，y ，都有x 2＋2xy ＋y 2－ax －ay ＋1≥0，则实数a 的取值范围为________．解析：法一：由x ＋y ＋4＝2xy ≤x ＋y22得(x ＋y )2－2(x ＋y )－8≥0，又x ，y 是正实数，得x ＋y ≥4.原不等式整理可得(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0，令x ＋y ＝t ，t ≥4，则t 2－at ＋1≥0，t ∈[4，＋∞) (*)恒成立，当Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，(*)式恒成立；当a ＜－2时，对称轴t ＝a 2＜－1，(*)式恒成立；当a ＞2时，对称轴t ＝a2，要使(*)式恒成立，则a 2＜4，且16－4a ＋1≥0，得2＜a ≤174.综上可得(*)式恒成立时，a ≤174，则实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，174.法二：由x ＋y ＋4＝2xy ≤x ＋y22得(x ＋y )2－2(x ＋y )－8≥0，又x ，y 是正实数，得x ＋y ≥4.原不等式整理可得(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0，令x ＋y ＝t ，t ≥4，则t 2－at ＋1≥0，t ∈[4，＋∞) (*)恒成立，则a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t min ＝174，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，174.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1743．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x＋10 000x－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式． (2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解：(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元，依题意得：当0＜x ＜80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－13x 2－10x －250＝－13x 2＋40x －250.当x ≥80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－51x －10 000x＋1 450－250＝1 200－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x.所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋40x －250，0＜x ＜80，1 200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x ，x ≥80.(2)当0＜x ＜80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950.此时，当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950万元．当x ≥80时，L (x )＝1 200－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x≤1 200－2 x ·10 000x＝1 200－200＝1 000.此时x ＝10 000x，即x ＝100时，L (x )取得最大值1 000万元．由于950＜1 000，所以，当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为1 000万元．。

(江苏专版)2020版高考数学(理)一轮复习：课时跟踪检测(12套,含答案)

( )5 25
25
则 g(t)max＝g 2 ＝ 8 ，所以 a≥ 8 ；
( ) 1 5 1 5 25 t＋记 h(t)＝2t2＋2t＝2 2 2－ 8 ，
则 h(t)min＝h(2)＝7，所以 a≤7， 25
综上所述， 8 ≤a≤7.
[ ] 25 ，7 所以实数 a 的取值范围是 8 .
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
3 k＋α＝2.
3 答案：2
2．(2019·连云港调研)若函数 f(x)＝－x2＋2(a－1)x＋2 在(－∞，4)上为增函数，
则 a 的取值范围是________．
解析：∵f(x)＝－x2＋2(a－1)x＋2 的对称轴为 x＝a－1，
f(x)＝－x2＋2(a－1)x＋2 在(－∞，4)上为增函数，
＝2x＋b 的“关联区间”是[－3,0]，则 b 的取值范围是________．
1 解析：由题意设 m(x)＝f(x)－g(x)＝3x3－x2－3x－b，则 m′(x)＝x2－2x－3，
由 m′(x)＝0，得 m＝－1 或 m＝3.
∵f(x)与 g(x)在[－3,0]上是“关联函数”，
∴x＝－1 是函数 m(x)在[－3,0]上的极大值，同时也是最大值．
________．
解析：不等式 x2－4x－2－a＞0 在区间(1,4)内有解等价于 a＜(x2－4x－2)max，令 f(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，
所以 f(x)＜f(4)＝－2，所以 a＜－2.
答案：(－∞，－2)
4．(2018·泰州中学调研)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x＜0 时，f(x)
1．(2019·金陵中学期中)设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若

高考数学一轮总复习课时跟踪检测(五十三) 最值、范围

课时跟踪检测(五十三) 最值、范围、证明问题一保高考，全练题型做到高考达标1．(2015·贵阳期末)已知椭圆C 的两个焦点是(0，－3)和(0，3)，并且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1，抛物线E 的顶点在坐标原点，焦点恰好是椭圆C 的右顶点F . (1)求椭圆C 和抛物线E 的标准方程；(2)过点F 作两条斜率都存在且互相垂直的直线l 1，l 2，l 1交抛物线E 于点A ，B ，l 2交抛物线E 于点G ，H ，求u u u r AG ·u u u rHB 的最小值．解：(1)设椭圆C 的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，焦距为2c ，则由题意得c ＝3，2a ＝34＋1＋32＋34＋1－32＝4，∴a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1， ∴椭圆C 的标准方程为y 24＋x 2＝1.∴右顶点F 的坐标为(1,0)．设抛物线E 的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)， ∴p2＝1,2p ＝4， ∴抛物线E 的标准方程为y 2＝4x .(2)设l 1的方程：y ＝k (x －1)，l 2的方程：y ＝－1k(x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，G (x 3，y 3)，H (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x 消去y 得：k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，∴Δ＝4k 4＋16k 2＋16－4k 4＞0，x 1＋x 2＝2＋4k2，x 1x 2＝1.同理x 3＋x 4＝4k 2＋2，x 3x 4＝1，∴u u u r AG ·u u u r HB ＝(u u u r AF ＋u u u r FG )·(u u u r HF ＋u u r FB )＝u u u r AF ·u u u r HF ＋u u u r AF ·u u r FB ＋u u u r FG ·u u u r HF ＋u u ur FG ·u u r FB＝|u u u r AF |·|u u r FB |＋|u u u r FG |·|u u u rHF |＝|x 1＋1|·|x 2＋1|＋|x 3＋1|·|x 4＋1|＝(x 1x 2＋x 1＋x 2＋1)＋(x 3x 4＋x 3＋x 4＋1) ＝8＋4k2＋4k 2≥8＋24k2·4k 2＝16，当且仅当4k2＝4k 2，即k ＝±1时，u u u r AG ·u u u rHB 有最小值16.2．(2015·福建高考)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．解：(1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.因为|AF |＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)法一：因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±2 2.由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝22x －1，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2.又G (－1,0)，所以k GA ＝22－02－－1＝223，k GB ＝－2－012－－1＝－223，所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．法二：设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r . 因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±2 2. 由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝22x －1，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1,0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0，从而r ＝|22＋22|8＋9＝4 217.又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0，所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r . 这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．3．如图所示，已知直线l 过点M (4,0)且与抛物线y 2＝2px (p ＞0)交于A ，B 两点，以弦AB 为直径的圆恒过坐标原点O .(1)求抛物线的标准方程；(2)设Q 是直线x ＝－4上任意一点，求证：直线QA ，QM ，QB 的斜率依次成等差数列．解：(1)设直线l 的方程为x ＝ky ＋4，代入y 2＝2px 得y 2－2kpy －8p ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 1＋y 2＝2kp ，y 1y 2＝－8p ，而u u r OA ·u u u rOB ＝0，故0＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ky 1＋4)(ky 2＋4)－8p ＝k 2y 1y 2＋4k (y 1＋y 2)＋16－8p ，即0＝－8k 2p ＋8k 2p ＋16－8p ，得p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .(2)设Q (－4，t )由(1)知y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－16，所以y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k 2＋32.因为k QA ＝y 1－t x 1＋4＝y 1－t y 214＋4＝4y 1－t y 21＋16，k QB ＝y 2－t x 2＋4＝y 2－t y 224＋4＝4y 2－t y 22＋16，k QM ＝t－8，所以k QA ＋k QB ＝4y 1－t y 21＋16＋4y 2－t y 22＋16＝4×y 1－ty 22＋16＋y 2－t y 21＋16y 21＋16y 22＋16＝4×y 1y 22＋16y 1－ty 22－16t ＋y 2y 21＋16y 2－ty 21－16t y 21y 22＋16y 21＋y 22＋16×16 ＝－t y 21＋y 22－32t 8×16＋4y 21＋y 22＝－t 16k 2＋32－32t8×16＋416k 2＋32 ＝－t4＝2k QM . 所以直线QA ，QM ，QB 的斜率依次成等差数列．4．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ＝33，直线l ：y ＝x ＋2与以原点为圆心，以椭圆C 1的短半轴长为半径的圆O 相切．(1)求椭圆C 1的方程；u u rOA(2)抛物线C 2：y 2＝2px (p ＞0)与椭圆C 1有公共焦点，设C 2与x 轴交于点Q ，不同的两点R ，S 在C 2上(R ，S 与Q 不重合)，且满足QR u u u r ·RS u u u r ＝0，求|QS u u u r|的取值范围．解：(1)由直线l ：y ＝x ＋2与圆x 2＋y 2＝b 2相切，得|0－0＋2|2＝b ，即b ＝ 2. 由e ＝33，得b 2a 2＝1－e 2＝23，所以a ＝ 3.所以椭圆C 1的方程是x 23＋y 22＝1.(2)由p2＝1，可得p ＝2.故抛物线C 2的方程为y 2＝4x .易知Q (0,0)，设R ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，S ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2，则QR u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，RS u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22－y 214，y 2－y 1.由QR u u u r ·RS u u ur ＝0得y 214·y 22－y 214＋y 1(y 2－y 1)＝0.∵y 1≠y 2， ∴y 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋16y 1，∴y 22＝y 21＋162y 21＋32≥2y 21·162y 21＋32＝64.当且仅当y 21＝162y 21，即y 1＝±4时等号成立．又∵|QS u u u r|＝y 4216＋y 22＝14y 22＋82－64，∵y 22≥64， ∴当y 22＝64，即y 2＝±8时，|QS u u u r|min ＝8 5.故|QS u u u r|的取值范围是[85，＋∞)．二上台阶，自主选做志在冲刺名校(2016·广东十二校联考)如图所示，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，△ABF 2的周长为8，且△AF 1F 2面积最大时，△AF 1F 2为正三角形．(1)求椭圆E 的方程；(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q ，证明：点M (1,0)在以PQ 为直径的圆上．解：(1)因为点A ，B 都在椭圆上，所以根据椭圆的定义有|AF 1|＋|AF 2|＝2a 且|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，又因为△ABF 2的周长为8，所以|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝8，所以a ＝2.因为椭圆是关于x ，y 轴，原点对称的，所以△AF 1F 2为正三角形，当且仅当A 为椭圆的短轴端点，则a ＝2c ⇒c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3，故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：由题意得，动直线l 为椭圆的切线，故不妨设切点P (x 0，y 0)，因为直线l 的斜率存在且为k ，所以y 0≠0，则直线l ：y ＝k (x －x 0)＋y 0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －x 0＋y 0，x 24＋y23＝1消去y ，得3x 2＋4[k (x －x 0)＋y 0]2－12＝0，由Δ＝0⇒k ＝－3x 04y 0.则直线l 的方程为x 0x 4＋y 0y3＝1，联立直线l 与直线x ＝4得到点Q ⎝⎛⎭⎪⎫4，31－x 0y 0，则PM u u u u r ·QM u u u u r ＝(1－x 0)(1－4)＋(－y 0)⎝ ⎛⎭⎪⎫－31－x 0y 0＝－3(1－x 0)＋3(1－x 0)＝0，所以PM u u u u r ⊥QM u u u ur ，即点M 在以PQ 为直径的圆上．。

《三维设计》高三数学湘教(文)一轮复习配套WORD文档：课时跟踪检测53最值、范围、证明问题

课时跟踪检测(五十三) 最值、范围、证明问题(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页)第Ⅰ卷：夯基保分卷1. 已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)，其焦点F 到准线的距离为12. (1)试求抛物线C 的方程；(2)设抛物线C 上一点P 的横坐标为t (t ＞0)，过P 的直线交C 于另一点Q ，交x 轴于M ，过点Q 作PQ 的垂线交C 于另一点N ，若MN 是C 的切线，求t 的最小值．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点是F (1,0)，且离心率为12. (1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点P (0，y 0)，求y 0的取值范围．3.(2013·南京二模) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P (0,1)，Q (0,2)，设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T .求证：点T 在椭圆C 上．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2014·石家庄模拟)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－1,0)、F 2(1,0)，过F 1作与x 轴不重合的直线l 交椭圆于A 、B 两点．(1)若△ABF2为正三角形，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的离心率满足0＜e＜5－12，O为坐标原点，求证：|OA|2＋|OB|2＜|AB|2.2. (2013·西安质检)如图，已知中心为坐标原点O，焦点在x轴上的椭圆的两个短轴端点和左右焦点连线所组成的四边形是面积为2的正方形．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点P(0,2)的直线l与椭圆交于A，B两点，当△OAB面积最大时，求直线l的方程．答案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．解：(1)因为焦点F 到准线的距离为12，所以p ＝12.故抛物线C 的方程为x 2＝y . (2)设P (t ，t 2)，Q (x ，x 2)，N (x 0，x 20)，则直线MN 的方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)．令y ＝0，得M ⎝⎛⎭⎫x 02，0，所以k PM ＝t 2t －x 02＝2t 22t －x 0，k NQ ＝x 20－x 2x 0－x ＝x 0＋x . 因为NQ ⊥QP ，且两直线斜率存在，所以k PM ·k NQ ＝－1，即 2t 22t －x 0·(x 0＋x )＝－1，整理，得x 0＝2t 2x ＋2t 1－2t 2.① 又Q (x ，x 2)在直线PM 上，则MQ 与MP 共线，得x 0＝2xt x ＋t，② 由①②，得2t 2x ＋2t 1－2t 2＝2xt x ＋t(t ＞0)，所以t ＝－x 2＋13x，所以t ≥23或t ≤－23(舍去)．所以所求t 的最小值为23. 2．解：(1)设椭圆C 的半焦距为c .依题意，得c ＝1.因为椭圆C 的离心率为e ＝12，所以a ＝2c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)当MN ⊥x 轴时，显然y 0＝0.当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，消去y 并整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点为Q (x 3，y 3)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2. 所以x 3＝x 1＋x 22＝4k 23＋4k 2， y 3＝k (x 3－1)＝－3k 3＋4k 2. 线段MN 的垂直平分线的方程为y ＋3k 3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4k 23＋4k 2. 在上述方程中，令x ＝0，得y 0＝k 3＋4k 2＝13k＋4k . 当k ＜0时，3k＋4k ≤－43，当且仅当3k ＝4k ，k ＝－32时等号成立；当k ＞0时，3k ＋4k ≥43，当且仅当3k ＝4k ，k ＝32时等号成立．所以－312≤y 0＜0或0＜y 0≤312. 综上，y 0的取值范围是⎣⎡⎦⎤－312，312. 3．解：(1)由题意知椭圆C 的短半轴长为圆心到切线的距离，即b ＝22＝ 2. 因为离心率e ＝c a ＝32，所以b a ＝ 1－⎝⎛⎭⎫c a 2＝12.所以a ＝2 2.所以椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1. (2)由题意可设M ，N 的坐标分别为(x 0，y 0)，(－x 0，y 0)，则直线PM 的方程为 y ＝y 0－1x 0x ＋1, ① 直线QN 的方程为y ＝y 0－2－x 0x ＋2.② 设T 点的坐标为(x ，y )．联立①②解得x 0＝x2y －3，y 0＝3y －42y －3. 因为x 208＋y 202＝1，所以18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y －32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3y －42y －32＝1. 整理得x 28＋(3y －4)22＝(2y －3)2，所以x 28＋9y 22－12y ＋8＝4y 2－12y ＋9，即x 28＋y 22＝1. 所以点T 的坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上．第Ⅱ卷：提能增分卷1．解：(1)由椭圆的定义知|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|，∵|AF 2|＝|BF 2|，∴|AF 1|＝|BF 1|，即F 1F 2 为边AB 上的中线，∴F 1F 2⊥AB .在Rt △AF 1F 2中，cos 30°＝2c 4a 3，则c a ＝33， ∴椭圆的离心率为33. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵0＜e ＜5－12，c ＝1，∴a ＞1＋52.①当直线AB 与x 轴垂直时，1a 2＋y 2b 2＝1， y 2＝b 4a 2，OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝1－b 4a 2＝－a 4＋3a 2－1a 2＝－⎝⎛⎭⎫a 2－322＋54a 2， ∵a 2＞3＋52，∴OA ·OB ＜0， ∴∠AOB 恒为钝角，∴|OA |2＋|OB |2＜|AB |2.②当直线AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程为：y ＝k (x ＋1)，代入x 2a 2＋y 2b2＝1，整理得，(b 2＋a 2k 2)x 2＋2k 2a 2x ＋a 2k 2－a 2b 2＝0，∴x 1＋x 2＝－2a 2k 2b 2＋a 2k 2，x 1x 2＝a 2k 2－a 2b 2b 2＋a 2k 2， OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝x 1x 2(1＋k 2)＋k 2(x 1＋x 2)＋k 2＝(a 2k 2－a 2b 2)(1＋k 2)－2a 2k 4＋k 2(b 2＋a 2k 2)b 2＋a 2k 2＝k 2(a 2＋b 2－a 2b 2)－a 2b 2b 2＋a 2k 2＝k 2(－a 4＋3a 2－1)－a 2b 2b 2＋a 2k 2令m (a )＝－a 4＋3a 2－1，由①可知m (a )＜0，∴∠AOB 恒为钝角，∴恒有|OA |2＋|OB |2＜|AB |2.2．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝c ，12×2b ×2c ＝2a 2＝b 2＋c 2，，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝2，b 2＝1，c 2＝1.所以所求椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)根据题意可知直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 22＋y 2＝1.，消去y 得关于x 的方程(1＋2k 2)x 2＋8kx ＋6＝0. 由直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，则有Δ＞0，即64k 2－24(1＋2k 2)＝16k 2－24＞0，解得k 2＞32. 由一元二次方程的根与系数的关系，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8k 1＋2k 2，x 1·x 2＝61＋2k 2，故|AB |＝|x 1－x 2|·1＋k 2＝16k 2－242k 2＋1·1＋k 2. 又因为原点O 到直线l 的距离 d ＝|k ×0－0＋2|1＋k 2＝21＋k 2，故△AOB 的面积为S △AOB ＝12|AB |·d ＝16k 2－241＋2k 2＝22×2k 2－31＋2k 2. 令m ＝2k 2－3(m ＞0)，则2k 2＝m 2＋3，所以S △AOB ＝22m m 2＋4≤22m 24m 2＝22，当且仅当m ＝2时等号成立，14此时k＝±2，直线l的方程为±14x－2y＋4＝0.。

高考数学一轮复习全程复习构想·数学(文)课时作业53 圆锥曲线的最值、范围及探索性问题练习

课时作业53 圆锥曲线的最值、范围及探索性问题[基础落实练]1．已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)过点⎝⎛⎭⎫1，32 ，椭圆C 的左焦点为A ，右焦点为B ，点P 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，且|AP |＋|BP |＝4，直线AP ，BP 与直线y ＝3分别交于G ，H 两点．求(1)椭圆C 的方程；(2)线段GH 长度的最小值．2．[2023·上海徐汇区位育中学模拟]已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b2 ＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且椭圆上存在一点P ，满足PF 1＝72 ，cos ∠F 1F 2P ＝23. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知A 、B 分别是椭圆C 的左、右顶点，过F 1的直线交椭圆C 于M 、N 两点，记直线AM ，BN 的交点为T ，是否存在一条定直线l ，使点T 恒在直线l 上？3．[2023·福建高三月考]已知椭圆E ：x 2a 2 ＋y 2b2 ＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A (0，－3 )，直线AF 2的倾斜角为60°，原点O 到直线AF 2的距离是34a 2.(1)求E 的方程；(2)过E 上任一点P 作直线PF 1，PF 2分别交E 于M ，N (异于P 的两点)，且F 1M ＝mPF 1，F 2N ＝nPF 2，探究1m ＋1n是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．4.[2023·宁夏银川一中高三模拟]已知离心率为63 的椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b2 ＝1(a >b >0)经过点P (3，1).(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设点P 关于x 轴的对称点为Q ，过点P 斜率为k 1，k 2的两条不重合的动直线与椭圆C 的另一交点分别为M ，N (M ，N 皆异于点Q ).若k 1k 2＝13，求点Q 到直线MN 的距离的取值范围．[素养提升练]5．[2023·长沙市湖南师大附中模拟]在平面直角坐标系xOy 中，已知F (1，0)，动点P 到直线x ＝6的距离等于2|PF |＋2.动点P 的轨迹记为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)已知A (2，0)，过点F 的动直线l 与曲线C 交于B ，D 两点，记△AOB 和△AOD 的面积分别为S 1和S 2，求S 1＋S 2的最大值．6．[2022·上海市控江中学高三开学考试]在平面直角坐标系xOy 中，抛物线Γ：y 2＝4x ，点C (1，0)，A ，B 为Γ上的两点，A 在第一象限，满足OA → ·OB → ＝－4.(1)求证：直线AB 过定点，并求定点坐标；(2)设P 为Γ上的动点，求|OP ||CP |的取值范围； (3)记△AOB 的面积为S 1，△BOC 的面积为S 2，求S 1＋S 2的最小值．。

高考数学课标通用(理科)一轮复习课时跟踪检测：53Word版含解析

课时追踪检测 (五十三 )[高考基础题型得分练 ]1 ．已知抛物线： 2＝x 的焦点为 F ，A(x ，y 是 C 上一点，|AF|C y 00)5)＝ x 0，则 x 0＝(4A ．4B ．2C ．1D ．8答案： C分析：由 y 2＝x ，得 2p ＝1，即 p ＝1，所以焦点 F 1，0 ，准线方2 41程为 l ：x ＝－ 4.设点 A 到准线的距离为 d ，由抛物线的定义可知 d ＝|AF|，进而1 5x 0＋4＝4x 0，解得 x 0＝1，应选 C.2 ．·山西运城期末] 已知抛物线2＝ay 与直线 y ＝2x －2 订交[2017x于 M ，N 两点，若 MN 中点的横坐标为3，则此抛物线方程为 ()232 A ．x ＝2y B ．x ＝6y C ．x 2＝－ 3yD ．x 2＝3y答案： D 分析：设点 M(x 1， 1 ， 2 ， 2 ．y ) N(x y )x 2＝ay ，由消去 y ，得y ＝2x －2x 2－2ax ＋2a ＝0，所以x1＋x2＝22a2 ＝3，即a＝3，所以所求的抛物线方程是x2＝3y.3．[2017 ·吉林长春一模 ]过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F 且倾斜|AF|角为 120°的直线 l 与抛物线在第一、四象限分别交于A，B 两点，则|BF|＝()12A.3B.334C.4D.3答案： A分析：记抛物线 y2＝2px 的准线为 l ′，如图，作 AA1⊥l′，BB1⊥l′，AC⊥BB1，垂足分别是 A1，B1，C，|BC| |BB 1|－|AA 1|则有 cos ∠ABB ＝＝1|AB||AF|＋|BF||BF|－|AF| ＝，|AF|＋|BF||BF|－|AF| 1 ，由此得 |AF| 1.即 cos 60 ＝°＝＝ |AF|＋|BF| 2 |BF| 3224．已知抛物线 y 2＝2px(p ＞0)的焦点 F 与双曲线x－y＝1 的右焦4 5点重合，抛物线的准线与 x 轴的交点为 K ，点 A 在抛物线上且 |AK|＝ 2|AF|，则点A 的横坐标为()A ．22B ．3C ．23D ．4答案：B分析：记抛物线的焦点为p 2，0，准线为px ＝－ 2.双曲线的右焦点为 (3,0)，所以 p2＝3，即 p ＝6，即 y 2＝12x.过 A 作准线的垂线，垂足为 M ，则 |AK|＝ 2|AF|＝ 2|AM|，即 |KM|＝|AM|，设 A(x ，y)，则 y ＝x ＋3，代入 y 2＝12x ，解得 x ＝3.5．[2017 ·北京密云模拟 ]已知两点 A(1,0)，B(b,0)．假如抛物线 y 2 ＝4x 上存在点 C ，使得△ ABC 为等边三角形，那么实数 b ＝________.1答案： 5 或－3b＋1分析：依题意，线段 AB 的垂直均分线 x＝2(b>－1)与抛物线y2＝4x 的交点 C b＋12，n知足 |CA|＝|AB|＝|b－1|(此中 n2＝2(b＋1))，于是有b＋1222，2－1＋n ＝(b－1)b＋12＋2(b＋1)＝(b－1)2，即－ 12化简得 3b2－14b－5＝0，即 (3b＋1)(b－5)＝0，1解得 b＝5 或 b＝－3.6．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱桥离水面 2 m，水面宽 4 m，水位降落 1 m 后，水面宽 ________m.答案：2 6分析：成立以下图的平面直角坐标系，A，B 是抛物线与水面的交点．由题意，得点 A 的坐标为 (－2，－ 2)．设抛物线的方程为x2＝ay，把 A 的坐标代入，得 a＝－ 2，即抛物线的方程为 x2＝－ 2y.当水位降落 1(单位： m)时，水面的纵坐标为－3，把 y＝－ 3 代入抛物线的方程，得x＝± 6.∴水位降落 1 m 后，水面宽为 2 6 m.7．已知点－是坐标平面内必定点，若抛物线y2＝2x 的焦M(3,2)点为 F ，点 Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ|－ |QF|的最小值是________．答案：521分析：抛物线的准线方程为x＝－2，当 MQ∥x 轴时， |MQ|－|QF|获得最小值，此时点 Q 的纵坐标 y＝2，代入抛物线方程y2＝2x 得 Q 的横坐标1 5x＝2，则 |MQ|－|QF|＝|2＋3|－ 2＋2＝2.8．已知一条曲线 C 在 y 轴右侧， C 上每一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1.(1)求曲线 C 的方程；(2)能否存在正数 m，关于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A，→ →B 的任向来线，都有 FA·FB＜0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明原因．解： (1)设 P(x，y)是曲线 C 上随意一点，那么点P(x，y)知足22x－1 ＋y －x＝1(x＞0)．(2)设过点 M(m,0)(m＞0)的直线 l 与曲线 C 的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)．设 l 的方程为 x＝ty＋m，x＝ty＋m，由得 y2－4ty－4m＝0，y2＝4x，＝16(t2＋m)＞0，于是y1＋y2＝4t，①y1y2＝－ 4m.→→→ →又 FA＝(x1－1，y1)，FB＝(x2－1，y2)，FA·FB＜0. (x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＜0.②又 x＝y2，于是不等式②等价于y12y22y12y22＋1＜0，44·＋y1y2－4＋442即y161y2＋y1y2－14[(y1＋y2)2－2y1y2] ＋1＜0.③由①式，不等式③等价于m2－6m＋1＜4t2.④对随意实数 t,4t2的最小值为 0，所以不等式④关于全部t 成立等价于 m2－6m＋1＜0，即 3－2 2＜m＜3＋2 2.由此可知，存在正数m，关于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A，B 的任向来线，都有→ →2)．·＜0，且 m 的取值范围是 (3－2 2，3＋2FA FB[ 冲刺名校能力提高练 ]1．已知抛物线 x2＝4y 上一点 A 的纵坐标为4，则点 A 到抛物线焦点的距离为 ()A.10B．4C.15D．5答案： D分析：由题意知，抛物线的准线方程为y＝－ 1，所以由抛物线的定义知，点 A 到抛物线焦点的距离为 5.2．已知抛物线：2＝8x 的焦点为 F，准线为 l ，P 是 l 上一点，C y→→Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若 FP＝4FQ，则 |QF|＝() 75A. 2B.2C．3D．2答案： C分析：过点 Q 作 QQ′⊥l交 l 于点 Q′，→→由于 FP＝4FQ，所以 |PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦点 F 到准线 l 的距离为 4，所以 |QF|＝|QQ ′|＝3.3．设 F 为抛物线 y 2＝6x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点．若→→ → → →→＋FB ＋FC ＝0，则 |FA ＋＋＝) FA| |FB| |FC| (A ．4B ．6C ．9D ．12答案： C分析：由题意得，抛物线的焦点为 F3， 0，准线方程为＝－ 32 x2.设 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，→ → →∵FA ＋FB ＋FC ＝0，∴点F 是△ABC 的重心，9∴x 1＋x 2＋ x 3＝2.由抛物线的定义，可得33 |FA|＝x 1－－2 ＝x 1＋2，3 3|FB|＝x 2－－2 ＝x 2＋2，33|FC|＝x 3－－2 ＝x 3＋2，→→ →33 3∴|FA|＋ |FB|＋|FC|＝x 1＋2＋x 2＋2＋x 3＋2＝9.4．过抛物线 y 2＝4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A ，B 两点， O 为坐标原点．若 |AF|＝3，则△ AOB 的面积为 ________．3 2答案： 2分析：由题意设 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(y 1＞0，y 2＜0)，以下图，|AF|＝x 1＋1＝3，∴x 1＝2，y 1＝2 2.设 AB 的方程为 x －1＝ty ，y 2＝4x ，由x －1＝ty ，消去 x 得 y 2－4ty －4＝0.∴y 1y 2＝－ 4，∴y 2＝－ 2，∴ △ ＝1×1×|y －＝3 2S AOB21 y 2|2.2 2双曲线 y2－x＝1(a>0)的离心率为5，抛物线 C ：x 2＝2py(p>0)5.a 4的焦点在双曲线的极点上．(1)求抛物线 C 的方程；(2)过 M(－1,0)的直线 l 与抛物线 C 交于 E ，F 两点，又过 E ，F作抛物线 C 的切线 l 1，l 2，当 l 1⊥l 2 时，求直线 l 的方程．4解： (1)双曲线的离心率 e ＝1＋a 2＝ 5，又 a>0，∴ a ＝1，双曲线的极点为 (0,1)，又 p>0，∴抛物线的焦点为 (0,1)，∴抛物线 C 的方程为 x 2＝4y.(2)由题意知，直线 l 的斜率必存在，设直线 l 的方程为 y ＝k(x ＋1)，E(x 1，y 1)，F(x 2，y 2)，∵ y ＝14x 2，∴ y ′＝ 12x ，x 1 x 2∴切线 l 1，l 2 的斜率分别为 2 ， 2 ，当 l 1⊥l 2 时，x 1 x 2＝－ 4，2 · ＝－ 1，∴ x 1x 22y ＝k x ＋1 ，得 x 2－4kx －4k ＝0，由x 2＝4y ，∴ ＝(－4k)2－4(－4k)>0，∴ k<－1 或 k>0.①由根与系数的关系，得 x 1x 2＝－ 4k ＝－ 4，∴ k ＝1，知足①，即直线 l 的方程为 x －y ＋1＝0.6．已知抛物线 y 2＝4x ，直线 l ：y ＝－21x ＋b 与抛物线交于 A ，B两点．(1)若以 AB 为直径的圆与 x 轴相切，求该圆的方程；(2)若直线 l 与 y 轴负半轴订交，求△ AOB(O 为坐标原点 )面积的最大值．1解： (1)联立y ＝－ 2x ＋b ，y 2＝4x ，消去 x 并化简整理，得y2＋8y－8b＝0.依题意有＝64＋32b＞0，解得 b＞－ 2.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1＋y2＝－ 8， y1y2＝－ 8b，设圆心 Q(x0，y0)，则应有 x0＝x1＋x2，y0＝y1＋y2＝－ 4.22由于以 AB 为直径的圆与 x 轴相切，则圆的半径为r＝|y＝，0| 4又 |AB|＝ x1－x22＋ y1－y22＝1＋4 y1－y22＝5[ y1＋ y22－4y1y2]＝ 5 64＋32b .所以 |AB|＝2r＝ 5 64＋32b ＝8，8解得 b＝－5.48所以 x1＋x2＝2b－2y1＋2b－2y2＝4b＋16＝5，24所以圆心为5，－4.故所求圆的方程为x－2452＋(y＋4)2＝16.(2)由于直线 l 与 y 轴负半轴订交，所以b＜0，又 l 与抛物线交于两点，由 (1)知 b＞－ 2，所以－ 2＜b＜0，直线1l：y＝－2x＋ b，整理得 x＋2y－2b＝0，点 O 到直线 l 的距离 d＝|－2b|＝－2b，551所以 S△AOB＝2|AB|d＝－ 4b 2· 2＋b＝4 2· b3＋2b2.令 g(b)＝b3＋2b2，－ 2＜b＜0，g′(b)＝3b2＋4b＝3b b＋4，3当 b 变化时， g′(b)，g(b)的变化状况以下表：b－2，－4－4－4，0333 g′(b)＋0－g(b)极大值432由上表可得 g(b)的最大值为 g －3＝27.故 S△AOB≤42×32＝32 3.2794323所以当 b＝－3时，△ AOB 的面积获得最大值9.。

2022届高考数学统考一轮复习课时作业53证明最值范围存在性问题文含解析新人教版

课时作业53 证明、最值、范围、存在性问题[基础达标]．[2020·浙江卷]如图，已知椭圆C 1：x 22＋y 2＝1，抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)，点A 是椭圆C 1与抛物线C 2的交点，过点A 的直线l 交椭圆C 1于点B ，交抛物线C 2于点M (B ，M 不同于A )．1)若p ＝116，求抛物线C 2的焦点坐标； 2)若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．．[2019·北京卷]已知抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)．1)求抛物线C 的方程及其准线方程；2)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y ＝－1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．．[2021·沈阳市教学质量监测]已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点A (2,2)，点B 在抛物线C 上，且满足OF →＝FB →－2F A →(O 为坐标原点)．1)求抛物线C 的方程；2)过焦点F 任作两条相互垂直的直线l 与l ′，直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，直线l ′与抛物线C 交于M ，N 两点，△OPQ 的面积记为S 1，△OMN 的面积记为S 2，求证：1S 21＋1S 22为定值．．[2021·河北省九校高三联考试题]椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，短轴长为23，右顶点为A ，上顶点为B ，△ABF 的面积为332. 1)求椭圆的标准方程；2)过A 作直线l 与椭圆交于另一点M ，连接MF 并延长交椭圆于点N ，当△AMN 的面积最大时，求直线l 的方程．.[2021·黄冈中学、华师附中等八校联考]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)过点(2,1)，且离心率e ＝32. 1)求椭圆C 的方程；2)已知斜率为12的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点A ，B ，点P 的坐标为(2,1)，设直线P A 与PB 的倾斜角分别为α，β，证明：α＋β＝π.[能力挑战]．[2021·山西省八校高三联考]已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2，左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l (不与x 轴重合)交椭圆于A ，B 两点．1)若点A 恰好为椭圆的上顶点，且|AB |＝52|F 1B |，求椭圆E 的标准方程； 2)若点A 关于点F 2的对称点为点C ，且点C 恰好在椭圆上，求点B 的横坐标的取值范围．．[2021·大同市高三学情调研测试试题]已知半圆x 2＋y 2＝4(y ≥0)，动圆与此半圆相切(内切或外切如图)，且与x 轴相切．1)求动圆圆心的轨迹方程，并画出其轨迹图形．2)是否存在斜率为13的直线l ，它与(1)中所得轨迹的曲线由左至右顺次交于A ，B ，C ，D 四点，且满足|AD |＝2|BC |，若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由．课时作业53．解析：(1)由p ＝116得C 2的焦点坐标是⎝⎛⎭⎫132，0. 2)由题意可设直线l ：x ＝my ＋t (m ≠0，t ≠0)，点A (x 0，y 0)．直线l 的方程代入椭圆C 1：x 22＋y 2＝1得 m 2＋2)y 2＋2mty ＋t 2－2＝0，以点M 的纵坐标y M ＝－mt m 2＋2. 直线l 的方程代入抛物线C 2：y 2＝2px 得y 2－2pmy －2pt ＝0，以y 0y M ＝－2pt ，解得0＝2p (m 2＋2)m，此x 0＝2p (m 2＋2)2m 2. x 202＋y 20＝1得1p 2＝4⎝⎛⎭⎫m ＋2m 2＋2⎝⎛⎭⎫m ＋2m 4≥160，以当m ＝2，t ＝105时，p 取到最大值1040. ．解析：(1)由抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)，得p ＝2.以抛物线C 的方程为x 2＝－4y ，其准线方程为y ＝1.2)抛物线C 的焦点为F (0，－1)．直线l 的方程为y ＝kx －1(k ≠0)．⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx －1，x 2＝－4y 得x 2＋4kx －4＝0.M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1x 2＝－4.线OM 的方程为y ＝y 1x 1x . y ＝－1，得点A 的横坐标x A ＝－x 1y 1. 理得点B 的横坐标x B ＝－x 2y 2. 点D (0，n )，则DA →＝⎝⎛⎭⎫－x 1y 1，－1－n ，DB →＝⎝⎛⎭⎫－x 2y 2，－1－n ， ·DB →＝x 1x 2y 1y 2＋(n ＋1)2 x 1x 2⎝⎛⎭⎫－x 214⎝⎛⎭⎫－x 224＋(n ＋1)2 16x 1x 2＋(n ＋1)2 －4＋(n ＋1)2.DA →·DB →＝0，即－4＋(n ＋1)2＝0，得n ＝1或n ＝－3.上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0，－3)．．解析：(1)由OF →＝FB →－2F A →，得OF →＋F A →＝FB →－F A →，即OA →＝AB →，点A 为OB 的中点，又A (2,2)，∴B (4,4)，点B 在抛物线C 上，将其坐标代入y 2＝2px ，解得p ＝2，所求抛物线的方程为y 2＝4x .2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，△OPQ 的面积S 1＝12·|OF |·|y 1－y 2|＝12|y 1－y 2|. OMN 的面积S 2＝12|OF |·|y 3－y 4|＝12|y 3－y 4|. 直线l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，则直线l ′的方程为x ＝－1my ＋1.立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0，Δ＝(－4m )2－4×(－4)＝16m 2＋16＞0，故y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝4m 2＋1，S 1＝2m 2＋1. 理，可得|y 3－y 4|＝4⎝⎛⎭⎫－1m 2＋1＝4m 2＋1|m |，S 2＝2m 2＋1|m |.⎝⎛⎭⎫将m 换成－1m 即可得到|y 3－y 4|关于m 的表达式以1S 21＋1S 22＝14(m 2＋1)＋m 24(m 2＋1)＝14，为定值．．解析：(1)根据短轴长知b ＝3，S △ABF ＝12(a ＋c )·3＝332， a ＋c ＝3，因为b 2＝a 2－c 2，所以a －c ＝1，a ＝2，c ＝1，则椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. 2)当直线MN 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，(x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，S △AMN ＝12|AF |·|y 1－y 2|＝32(y 1＋y 2)2－4y 1y 2，① ⇒(3＋4k 2)y 2－6ky －9k 2＝0，1＋y 2＝6k 3＋4k 2，y 1·y 2＝－9k 23＋4k 2，入①式得S △AMN ＝32⎝⎛⎭⎫6k 3＋4k 22＋36k 23＋4k 2＝18 k 2＋k 4(3＋4k 2)2， t ＝3＋4k 2，则t ＞3，k 2＝t －34， △AMN＝18t 2－2t －316t 2＝921－2t －3t 2＜92. 直线MN 的斜率不存在时，S △AMN ＝92. 当△AMN 的面积最大时，MN 垂直于x 轴，此时直线l 的斜率为±12，直线l 的方程为y ＝±12(x －2)．．解析：(1)由题意得⎩⎨⎧ 4a 2＋1b 2＝1e ＝ 1－b 2a 2＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝8b 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1. 2)设直线l ：y ＝12x ＋m ，联立方程，得⎩⎨⎧ y ＝12x ＋m x 28＋y 22＝1，消去y ，得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0，Δ＝4m 2－8m 2＋16＞0，解得－2＜m ＜2. m ＝0时，直线l ：y ＝12x (点P 在直线l 上，舍去)， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝2m 2－4，题意，易知直线P A 与PB 的斜率均存在，所以α，β≠π2. 直线P A 与PB 的斜率分别为k 1，k 2，tan α＝k 1，tan β＝k 2，要证α＋β＝π，即证tan α＝tan(π－β)＝－tan β，只需证k 1＋k 2＝0，为k 1＝y 1－1x 1－2，k 2＝y 2－1x 2－2，以k 1＋k 2＝y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝(y 1－1)(x 2－2)＋(y 2－1)(x 1－2)(x 1－2)(x 2－2)， y 1＝12x 1＋m ，y 2＝12x 2＋m ，以(y 1－1)(x 2－2)＋(y 2－1)(x 1－2)＝⎝⎛⎭⎫12x 1＋m －1(x 2－2)＋⎝⎛⎭⎫12x 2＋m －1(x 1－2)＝x 1·x 2＋(m －2)(x 1＋x 2)－4(m －1)＝2m 2－4＋(m －2)(－2m )－4(m －1)＝0，以k 1＋k 2＝0，故α＋β＝π.．解析：(1)由题意得，F 1(－1,0)，A (0，b )，设B (x 0，y 0)，|AB |＝52|F 1B |可得AF 1→＝32F 1B →，于是得(－1，－b )＝32(x 0＋1，y 0)，以⎩⎨⎧ －1＝32x 0＋32－b ＝32y 0，得⎩⎨⎧ x 0＝－53y 0＝－23b .为点B 在椭圆上，所以259a 2＋4b 29b 2＝1，得a 2＝5，以b 2＝5－1＝4，椭圆E 的标准方程为x 25＋y 24＝1. 2)由题意及椭圆的对称性，得AC 为椭圆的通径．妨设点A (1，y 1)(y 1＞0)，点B (x B ，y B )，点A 的坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得1a 2＋y 21b 2＝1，得y 1＝b 2a ，是直线l 的斜率为b 2a －01－(－1)＝b 22a，直线l 的方程为y ＝b 22a (x ＋1)．立方程，得⎩⎨⎧ y ＝b 22a (x ＋1)x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y ，整理得(a 2＋3)x 2＋2(a 2－1)x －3a 2－1＝0，根与系数的关系，得1·x B ＝－3a 2＋1a 2＋3，是，x B ＝－3a 2＋1a 2＋3. a 2＝t (t >1)，则x B ＝－3t ＋1t ＋3＝－3＋8t ＋3， f (t )＝－3＋8t ＋3， f (t )在(1，＋∞)上单调递减，所以当t ＞1时，x B ＝－3＋8t ＋3的取值范围为(－3，－1)，点B 的横坐标的取值范围是(－3，－1)．．解析：(1)设动圆圆心M (x ，y )，作MN ⊥x 轴于N .若动圆与半圆外切，则|MO |＝2＋|MN |，x 2＋y 2＝y ＋2，边平方，得x 2＋y 2＝y 2＋4y ＋4，简，得y ＝14x 2－1(y >0)．若动圆与半圆内切，则|MO |＝2－|MN |，x 2＋y 2＝2－y ，边平方，得x 2＋y 2＝4－4y ＋y 2，简，得y ＝－14x 2＋1(y >0)．轨迹图形为2)假设直线l 存在，可设l 的方程为y ＝13x ＋b ，依题意，可得其与曲线y ＝14x 2－1(y >0)交于A ，D 两点，与曲线y ＝－14x 2＋1(y >0)交于B ，C 两点，立，得⎩⎨⎧ y ＝13x ＋by ＝14x 2－1与⎩⎨⎧ y ＝13x ＋b y ＝－14x 2＋1，理可得3x 2－4x －12b －12＝0 ①与3x 2＋4x ＋12b －12＝0 ②.A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，C (x C ，y C )，D (x D ，y D )，则x A ＋x D ＝43，x A x D ＝－12b －123，x B ＋x C ＝－43，x B x C ＝12b －123. |AD |＝1＋⎝⎛⎭⎫132|x A －x D |，|BC |＝1＋⎝⎛⎭⎫132|x B －x C |，|AD |＝2|BC |，|x A －x D |＝2|x B －x C |，即(x A ＋x D )2－4x A x D ＝4[(x B ＋x C )2－4x B x C ]，⎝⎛⎭⎫432＋4(12b ＋12)3＝ ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－432－4(12b －12)3，解得b ＝23. b ＝23代入方程①，得x A ＝－2，x D ＝103.曲线y ＝14x 2－1(y >0)的横坐标的范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，这样的直线l 不存在．。

高考数学一轮总复习课时作业56 最值、范围、证明问题(含解析)苏教版-苏教版高三全册数学试题

课时作业56 最值、X 围、证明问题1．已知A (0，2)，B (3，1)是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的两点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设O 为坐标原点，M 为椭圆C 上一动点，点P (3,0)，线段PM 的垂直平分线交y 轴于点Q ，求|OQ |的最小值．解：(1)由题意知代入A ，B 两点坐标，得2b 2＝1，3a 2＋1b2＝1，解得a 2＝6，b 2＝2，所以椭圆C 的标准方程为x 26＋y 22＝1. (2)根据题意知直线PM ，QN 的斜率均存在且不为0.设M 坐标为(x 0，y 0)，则x 206＋y 202＝1，即x 20＝6－3y 20. ① 线段PM 的中点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋32，y 02，k PM ·k QN ＝－1，即k QN ＝3－x 0y 0，所以直线l QN ：y －y 02＝3－x 0y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 0＋32. 令x ＝0，并结合①式得y Q ＝y 02＋x 20－92y 0＝y 02＋－3－3y 202y 0＝－3－2y 202y 0， |OQ |＝|y Q |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3－2y 202y 0＝32|y 0|＋|y 0| ≥232|y 0|·|y 0|＝6，当且仅当32|y 0|＝|y 0|，即y 0＝±62时取等号，所以|OQ |的最小值为 6.2．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．(1)O 为坐标原点，求证：OA →·OB →＝－3；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．解：(1)证明：依题意得，F (1,0)，且直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4my －4＝0 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.x 1x 2＝(my 1＋1)(my 2＋1)＝m 2y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＋1＝1，故OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－3.(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB ．由(1)知2S △AOB ＝2×12|OF ||y 1－y 2| ＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝41＋m 2，所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4.3．(2020·某某阶段性测试)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的点到右焦点F (c,0)的最大距离是2＋1，且1，2a,4c 成等比数列．(1)求椭圆的方程；(2)过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M (m,0)，某某数m 的取值X 围．解：(1)由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2＋1，1×4c ＝2a 2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1，c ＝1，所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)由题意得F (1,0)，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)．与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－2＝0，y ＝k (x －1)，消去y 可得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－2k1＋2k 2. 可得线段AB 的中点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2. 当k ＝0时，直线MN 为y 轴，此时m ＝0.当k ≠0时，直线MN 的方程为y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2，化简得ky ＋x －k 21＋2k 2＝0.令y ＝0，得m ＝k 21＋2k 2. 所以m ＝k 21＋2k 2＝11k 2＋2∈⎝⎛⎭⎫0，12. 综上所述，m 的取值X 围为⎣⎡⎭⎫0，12. 4．(2020·某某市监测考试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 为短轴的上端点，MF 1→·MF 2→＝0，过F 2垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝ 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点(2，－1)且不经过点M 的直线l 与椭圆C 相交于G ，H 两点，若k 1，k 2分别是直线MG ，MH 的斜率，求k 1＋k 2的值．解：(1)由MF 1→·MF 2→＝0，得b ＝c ，将x ＝c 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1中，得y ＝±b 2a，因为|AB |＝2，所以2b 2a＝2，又因为a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，b ＝1，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)由椭圆C 的方程x 22＋y 2＝1与点(2，－1)，设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即y ＝kx －2k －1，将y ＝kx －2k －1代入x 22＋y 2＝1中，得 (1＋2k 2)x 2－4k (2k ＋1)x ＋8k 2＋8k ＝0，由题意知Δ＝－16k (k ＋2)>0，得－2<k <0，设G (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k (2k ＋1)1＋2k 2，x 1x 2＝8k 2＋8k 1＋2k2， k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1－2k －2x 1＋kx 2－2k －2x 2＝2k －(2k ＋2)×4k (2k ＋1)1＋2k 28k 2＋8k1＋2k 2＝2k －(2k ＋1)＝－1，所以k 1＋k 2＝－1.5．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，且椭圆M 的离心率为22. (1)求椭圆M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．解：(1)易知椭圆M 的右焦点为(3，0)．则c ＝ 3.离心率e ＝c a ＝3a ＝22，则a ＝6，故b 2＝a 2－c 2＝3. 所以椭圆M 的方程为x 26＋y 23＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎨⎧ x ＝433，y ＝－33或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3，因此|AB |＝463. 由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n (－533<n <3)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0，于是x 3,4＝－2n ±2(9－n 2)3.因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2. 由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝8699－n 2.当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863. 所以四边形ACBD 面积的最大值为863. 6．(2020·某某某某模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，且椭圆C 过点⎝⎛⎭⎫32，22. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 分别相交于A ，B 两点，且与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于E ，F 两点，求|AB |·|EF |2的取值X 围．解：(1)由题意得c a ＝33，所以a 2＝32b 2，所以椭圆的方程为x 232b 2＋y 2b 2＝1，将点⎝⎛⎭⎫32，22代入方程得b 2＝2，即a 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 23＋y 22＝1. (2)由(1)可知，椭圆的右焦点为(1,0)，①若直线l 的斜率不存在，直线l 的方程为x ＝1，则A ⎝⎛⎭⎫1，233，B ⎝⎛⎭⎫1，－233，E (1,1)，F (1，－1)，所以|AB |＝433，|EF |2＝4，|AB |·|EF |2＝1633. ②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 22＝1，y ＝k (x －1)，可得(2＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0，则x 1＋x 2＝6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2，所以|AB |＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2 ＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 22＋3k 22－4×3k 2－62＋3k 2 ＝43(k 2＋1)2＋3k 2. 因为圆心O (0,0)到直线l 的距离d ＝|k |k 2＋1，所以|EF |2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫2－k 2k 2＋1＝4(k 2＋2)k 2＋1，所以|AB |·|EF |2＝43(k 2＋1)2＋3k 2·4(k 2＋2)k 2＋1 ＝163(k 2＋2)2＋3k 2＝1633·k 2＋2k 2＋23＝1633⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋43k 2＋23. 因为k 2∈[0，＋∞)，所以|AB |·|EF |2∈⎝⎛⎦⎤1633，163. 综上，|AB |·|EF |2∈⎣⎡⎦⎤1633，163.。

2020版新设计一轮复习数学(理)江苏专版课时跟踪检测(五十三) 复数含解析

课时跟踪检测（五十三）复数一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．若z ＝3－2i ，则iz －2＝________. 解析：由z ＝3－2i ，得z ＝3＋2i. 则iz －2＝i 3＋2i －2＝i (1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝25＋15i. 答案：25＋15i2．(2018·淮安调研)复数z ＝i(1－2i)(i 是虚数单位)的实部为________．解析：因为z ＝i(1－2i)＝2＋i ，所以复数z 的实部为2. 答案：23．(2018·泰州中学高三学情调研)已知复数z ＝(a －i)(1＋i)(a ∈R ，i 是虚数单位)是实数，则a ＝________.解析：因为z ＝(a －i)(1＋i)＝a ＋1＋(a －1)i ，所以a －1＝0，所以a ＝1. 答案：14．(2019·徐州调研)已知(1＋3i)(a ＋b i)＝10i ，其中i 为虚数单位，a ，b ∈R ，则ab 的值为________．解析：∵(1＋3i)(a ＋b i)＝10i ，∴a －3b ＋(3a ＋b －10)i ＝0，∴a －3b ＝3a ＋b －10＝0，解得a ＝3，b ＝1，则ab ＝3. 答案：35．(2018·苏州一调)若复数(a ＋i)2对应的点在y 轴的负半轴上(其中i 是虚数单位)，则实数a 的值是________．解析：因为(a ＋i)2＝a 2－1＋2a i ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，2a ＜0，从而a ＝－1.答案：－16．已知复数z 满足(1＋i)z ＝i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部为________．解析：因为(1＋i)z ＝i ，所以z ＝i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝i ＋12，所以z 的实部为12.答案：12二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·南京名校联考)若i 是虚数单位，复数z 满足(1－i)z ＝1，则|2z －3|＝________. 解析：由(1－i)z ＝1得z ＝11－i＝1＋i 2，则|2z －3|＝|－2＋i|＝ 5.2．(2019·常熟高三学情调研)已知i 为虚数单位，则复数z ＝21－i的共轭复数对应的点位于第________象限．解析：∵z ＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋i ， ∴z ＝1－i.则z 对应的点的坐标为(1，－1)，位于第四象限．答案：四3．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋i －i 2i ＝0的复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在第________象限．解析：由题意得，2z i －[－i(1＋i)]＝0，则z ＝－i (1＋i )2i ＝－12－12i ，所以z ＝－12＋12i ，其在复平面内对应的点在第二象限．答案：二4．(2019·金陵中学检测)若z ＝21＋i，则z 100＋z 50＋1的值是________．解析：∵z ＝21＋i，∴z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2＝－i.又∵i 2＝－1，i 3＝－i ，i 4＝1， ∴z 100＋z 50＋1＝i 50－i 25＋1＝－i. 答案：－i5．若复数z 满足(z －1)i ＝－1＋i ，其中i 是虚数单位，则复数z 的模是________．解析：因为z ＝1＋－1＋ii＝2＋i ，所以|z |＝22＋12＝ 5. 答案： 56．已知复数z 满足：(1－i)z ＝4＋2i(i 为虚数单位)，则z 的虚部为________．解析：由(1－i)z ＝4＋2i ，得 z ＝4＋2i 1－i ＝(4＋2i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋3i ，∴z 的虚部为3. 答案：37．已知复数z 满足z ＋2z －2＝i(其中i 是虚数单位)，则|z |＝________.解析：由z ＋2z －2＝i 知，z ＋2＝z i －2i ，即z ＝－2－2i 1－i ，所以|z |＝|－2－2i||1－i|＝222＝2.8．(2019·苏州一模)已知i 是虚数单位，复数1＋a i2－i 的实部与虚部互为相反数，则实数a 的值为________．解析：∵1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2－a 5＋2a ＋15i 的实部与虚部互为相反数，∴2－a 5＋2a ＋15＝0，即a ＝－3.答案：－39．(2018·常州期末)已知x ＞0，若(x －i)2是纯虚数(其中i 为虚数单位)，则x ＝________. 解析：因为(x －i)2＝x 2－2x i ＋i 2＝x 2－1＋2x i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x ≠0，x ＞0，解得x ＝1.答案：110．(2018·南京、盐城二模)若复数z 满足z (1－i)＝2i(i 是虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.解析：因为z ·z ＝|z |2，且|z |＝|2i||1－i|＝22＝2，所以z ·z ＝2. 答案：211．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→(λ，μ∈R )，求λ＋μ的值．解：由条件得OC ―→＝(3，－4)，OA ―→＝(－1,2)，OB ―→＝(1，－1)，根据OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2.所以λ＋μ＝1.12．计算：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3；(2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ；(3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2； (4)1－3i (3＋i )2.解：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3＝－3＋i－i＝－1－3i.(2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i2＋i ＝i (2－i )5＝15＋25i.(3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i2＝－1.(4)1－3i (3＋i )2＝(3＋i )(－i )(3＋i )2＝－i 3＋i ＝(－i )(3－i )4＝－14－34i.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·扬州期末)若复数(a －2i)(1＋3i)是纯虚数，则实数a 的值为________．解析：∵(a －2i)(1＋3i)＝(a ＋6)＋(3a －2)i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋6＝0，3a －2≠0，即a ＝－6. 答案：－62．已知复数z 1＝cos 15°＋sin 15°i 和复数z 2＝cos 45°＋sin 45°i ，则z 1·z 2＝________.解析：z 1·z 2＝(cos 15°＋sin 15°i)(cos 45°＋sin 45°i)＝(cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°)＋ (sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)i ＝cos 60°＋sin 60°i ＝12＋32i.答案：12＋32i3．(2019·淮安调研)已知复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)． (1)若z ·z 0＝2z ＋z 0，求复数z 0的共轭复数；(2)若z 是关于x 的方程x 2－mx ＋5＝0的一个虚根，求实数m 的值．解：(1)∵复数z ＝1－2i ，z ·z 0＝2z ＋z 0， ∴z 0(z －1)＝2z ， ∴z 0＝2zz －1＝2(1－2i )－2i＝2＋i ， ∴复数z 0的共轭复数z 0 ＝2－i.(2)∵复数z ＝1－2i 是关于 x 的方程x 2－mx ＋5＝0的一个虚根， ∴(1－2i)2－(1－2i)m ＋5＝0，整理，得2－m ＋(2m －4)i ＝0，解得m ＝2.。