专题一乘法公式及应用

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初中乘法公式专题教案

教学目标：

1. 理解并掌握乘法公式，包括平方差公式和完全平方公式。

2. 能够运用乘法公式进行简便计算和因式分解。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学重点：

1. 平方差公式的推导及应用。

2. 完全平方公式的推导及应用。

教学难点：

1. 对公式中字母的广泛含义的理解及正确运用。

2. 学生在运用公式进行计算和因式分解时出现的错误。

教学准备：

1. 教师准备相关例题和练习题。

2. 学生准备笔记本和文具。

教学过程：

一、导入（5分钟）

1. 教师通过复习整式乘法，引导学生思考如何简化计算过程。

2. 学生分享自己在计算整式乘法时遇到的问题和困惑。

二、新课讲解（15分钟）

1. 教师介绍平方差公式和完全平方公式的定义和结构。

2. 教师通过示例演示平方差公式的推导过程，让学生理解并掌握公式的运用方法。

3. 教师引导学生观察和总结完全平方公式的特征，让学生自主推导完全平方公式。

三、课堂练习（15分钟）

1. 学生独立完成教师提供的练习题，巩固对乘法公式的理解和运用。

2. 教师选取部分学生的作业进行点评，指出常见的错误和问题，并进行讲解和指导。

四、拓展提高（10分钟）

1. 教师提供一些综合性的题目，让学生运用乘法公式进行计算和因式分解。

2. 学生合作讨论，共同解决问题，教师进行指导和解答。

五、总结与反思（5分钟）

1. 教师引导学生总结乘法公式的特点和运用方法。

2. 学生分享自己在学习过程中的收获和体会。

教学评价：

1. 通过课堂练习和拓展提高环节的题目，评估学生对乘法公式的理解和运用能力。

初中数学乘法公式

乘法公式：(非常重要，重点中的重点)

(1)平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2反之也成立

平方差公式的特点：①左边是两个二项式相乘，且二项式中的两项有一项是相同的，另一项互为相反数

②右边是两项的平方差

③公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式

(2)完全平方公式：(a+b)2=a2+b2+2ab、(a-b)2=a2+b2-2ab

完全平方公式的特点：①记忆口诀;首平方，尾平方，2倍乘积在中央

②公式中的a和b可以是单项，也可以是多项

注意：(1)完全平方公式常见的变形

a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab

(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)

(a+b)2-(a-b)2=4ab

初高中衔接专题讲义一、数与式的运算(4课时)(可编辑修改word版)

专题一、数与式的运算

课时一：乘法公式

一、初中知识

1.实数运算满足如下运算律：

加法交换律，加法结合律，乘法交换律，乘法结合律，乘法对加法的分配律。

2.乘法公式

平方差公式： (a +b)(a -b) =a 2-b 2

完全平方公式： (a ±b)2=a 2± 2ab +b 2

二、目标要求

1.理解字母可以表示数，代数式也可以表示数，并掌握数与式的运算。

2.掌握平方差公式和完全平方公式的灵活运用，理解立方和与差公式，两数和与差的立方

公式以及三数和的完全平方公式。

三、必要补充

根据多项式乘法法则推导出如下乘法公式

（1）(x +a)(x +b) =x 2+ (a +b)x +ab

（2）(ax +b)(cx +d ) =acx2+ (ad +bc)x +bd

（3）立方和公式： (a +b)(a 2-ab +b 2 ) =a3+b3

（4）立方差公式： (a -b)(a 2+ab +b 2 ) =a 3-b3

（5）两数和的立方公式：(a +b)3=a3+ 3a 2b + 3ab2+b3

（6）两数差的立方公式：(a -b)3=a3- 3a 2b + 3ab 2-b3

（7）三数和的平方公式：(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+ 2ab + 2bc + 2ac

四、典型例题

例1、计算：

（1）(x + 2)(x - 5) （3）(2x -1)3（2）(2x + 3)(3x - 2) （4）(2a +b -c)2

例2：已知x +y = 3 ，xy = 8 ，求下列各式的值

（1）x 2y 2；（2）x 2xy y 2；（3）( x y)2；（4）x 3y 3分析：（1）x 2y 2( x y)2 2 xy

专题复习：乘法公式知识点归纳及典例+练习题及答案(师)

专题复习：乘法公式知识点归纳及典例+练习题 一、知识概述 1、平方差公式由多项式乘法得到 (a＋b)(a－b) ＝a －b . 即两个数的和与这两个数的差的积，等于它们的平方差. 2、平方差公式的特征 ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)； ③公式中的 a 和 b 可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对于形如两数和与这两数差相乘的形式，就可以运用上述公式来计算． 3、完全平方公式由多项式乘法得到（a±b）＝a ±2ab＋b 2 2 2 2 2 即两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的 2 倍. 推广形式：（a＋b＋c）＝a ＋b ＋c ＋2ab＋2bc＋2ca 4、完全平方公式的特征 (a＋b) ＝a ＋2ab＋b 与(a－b) ＝a －2ab＋b 都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式． ①两公式的左边：都是一个二项式的完全平方，二者仅有一个符号不同；右边：都是二次三项式，其中有两项是公式左边两项中每一项的平方，中间是左边二项式中两项乘积的 2 倍，两者也仅有一个符号不同． ②公式中的 a、b 可以是数，也可以是单项式或多项式． ③对于形如两数和(或差)的平方的乘法，都可以运用上述公式计算． 5、乘法公式的主要变式（1）a －b ＝(a＋b)(a－b); （2）(a＋b) －(a－b) ＝4ab; （3）(a＋b) ＋(a－b) ＝2(a ＋b )；（4）a ＋b ＝(a＋b) －2ab＝(a－b) ＋2ab （5）a ＋b ＝(a＋b) －3ab(a＋b)．熟悉这些变形公式，明确它们间联系，综合运用，常可简化解题过程．注意：(1)公式中的 a，b 既可以表示单项式，也可以表示多项式. (2)乘法公式既可以单独使用，也可以同时使用. (3)这些公式既可以正用，也可以逆用，因此在解题时应灵活地运用公式，以计算简捷为宜. 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

小专题(一) 乘法公式的综合应用

乘法公式是初中数学中的重要公式,也是中考常见的考点之一.平方差公

式:(a+b )(a-b )=a 2-b 2,公式的左边是两个数的和乘这两个数的差,右边正好是这两个数的平方差,两边都有差的运算,关键要准确把握谁减去谁.完全平方公

式:(a+b )2=a 2+2ab+b 2,(a-b )2=a 2-2ab+b 2,公式的左边是两个数的和(或差)的平方,右边是这两个数的平方和,再加上(或减去)这两个数积的2倍,两边的符号是一致的,要准确把握符号问题.在解决问题时,要注意观察式子的特点,选择合适的方法和解题思路,不要拘泥于公式的形式,而要深刻理解,加以灵活运用.

完全平方公式的常见变形有:

a 2+

b 2=(a+b )2-2ab=(a-b )2+2ab ;

ab=12[(a+b )2-(a 2+b 2)]=14[(a+b )2-(a-b )2]=(

a+b 2)2−(a -b 2

)2; (a+b )2+(a-b )2=2a 2+2b 2.

类型1 直接应用公式

1.计算:(x-3y+2z )(x+3y-2z ).

解:原式=[x-(3y-2z )][x+(3y-2z )]=x 2-(3y-2z )2=x 2-[(3y )2-2×3y×2z+(2z )2]=x 2-9y 2+12yz-4z 2.

类型2 逆用公式

2.(上海中考)计算:(a+1)2-a 2.

解:原式=2a+1.

类型3 变形应用公式

3.(枣庄中考)若m-1m =3,则m 2+1m 2= 11 .

4.若x+y=3,且(x+2)(y+2)=12.

七下数学乘法公式探究专题

乘法公式的探究及应用

1、平方差公式的探究

（1）如左图，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方差的形式）；

（2）如右图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是，长是，面

积是（写成多项式乘法的形式）

（3）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式（用式子表达）

（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：

① 103×97

②（2m + n- p ）(2m - n + p)

（5）拓展运用：

2、图a 是一个长为2 m 、宽为2 n 的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形, 然后按图b 的形状拼成一个正方形. (1)图b 中的阴影部分的面积为或 (2)观察图b 请你写出三个代数式(m+n)2、(m-n)2 、mn 之间的等量关系是 . (3)若x+y=-6,xy=2.75, 求x-y 的值

(4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示.如图c,它表示 .试画出一个

n n n

n m

m m m 图b

m m n n 图a

几何图形,使它的面积能表示(m+n)(m+3n)=m 2+4mn+3n 2.

3．阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到（a ＋2b ）（a ＋b ）＝a 2＋3ab ＋2b 2．

请解答下列问题：

⑴ 写出图2中所表示的数学等式；

⑵ 利用⑴中所得到的结论，解决下面的问题：已知a ＋b ＋c ＝11，ab ＋bc ＋ac ＝38，求a 2＋b 2＋c

2的值；

⑶ 图3中给出了若干个边长为a 和边长为b 的小正方形纸片及若干个边长分别为a 、b 的长方形纸片，请利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得用两种不同的方法计算它的面积时，能够得到数学公式：2a 2＋5ab ＋2b 2＝（2a ＋b ）（a ＋2b ）．

初一数学乘法公式验证及应用专题

乘法公式验证及应用专题

1.(1)如图1所示，若大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部分的面积是;若将图1中的阴影部

分裁剪下来，重新拼成如图2所示的一个长方形，则它的面积是;

(2)由(1)可以得到一个公式：;

(3)利用你得到的公式计算：20192−2020×2018．

2.从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图1)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2)．

(1)上述操作能验证的等式是______.(请选择正确的一个)

A.a2−b2=(a+b)(a−b)

B.a2−2ab+b2=(a−b)2

C.a2+ab=a(a+b)

(2)若x2−y2=16，x+y=8，求x−y的值；

(3)计算：(1−1

22)(1−1

)(1−1

)…(1−1

20182

)(1−1

20192

3.(1)如图1，已知正方形ABCD 的边长为a ，正方形FGCH 的边长为b ，长方形ABGE 和EFHD 为阴影部分，则阴影部分的面积是______(写成平方差的形式)；

(2)将图1中的长方形ABGE 和EFHD 剪下来，拼成图2所示的长方形，则长方形AHDE 的面积是______(写成多项式相乘的形式)；

(3)比较图1与图2的阴影部分的面积，可得乘法公式______．

(4)利用所得公式计算：(1−13)(1+13)(1+132)(1+134)(1+138)+1

316．

4.在学习“乘法公式”时，育红中学七(1)班数学兴趣小组在活动课上进行了这样的操作：作两条互相垂直的线段AB 和CD.把大正方形分成四部分(如图所示)．

专题练习一-乘法公式的综合运用PPT课件

八年级数学上册（华师版）
第十二章整式的乘除专题练习一乘法公式的综合运用
1．下列不能用平方差公式计算的是( A )
A．(a－b－c)(－a＋b＋c)
B．(－2a＋3b)(3b＋2a)
C．(a＋b＋c)(a－b＋c)
D．(－5－a)(a－5)
2．(x＋2)(x－2)(x2＋4)的计算结果是( C )
∵a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，∴2(a2＋b2＋c2－ab －bc－ac)＝0.∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，∴a ＝b＝c.∴该△ABC为等边三角形
12．(1)已知a＋b＝3，ab＝－2，求a4＋b4的值；
12.(1)∵a＋b＝3，∴(a＋b)2＝9，即a2＋b2＋2ab＝9， ∴a2＋b2＝13，∴(a2＋b2)2＝13，即a4＋b4＋2a2b＝169，即a4＋b4＝169－2(ab)2＝169－2×(－2)2＝161
(2)(3x－y)2－(2x＋y)2＋5x(y－x)； (4)(x－y＋z)2－(x＋y－z)2.
－5xy
－4xy＋4xz
Image No
8．运用乘法公式简便计算． (1)(1－212)(1－312)…(1－912)(1－1102)；
11 20
(2)12 3452＋7 6552＋24 690×7 655；
A．x4＋16
B．－x4－16

专题一整式的乘除

整式的乘除法

一、学习目标：

1.掌握与整式有关的概念；

2.掌握同底数幂、幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方法则；

3.掌握单项式、多项式的相关计算；

4.掌握乘法公式：平方差公式，完全平方公式。

5..掌握因式分解的常用方法。

二、知识点总结：

1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。

如：bc a 2

2-的系数为2-，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。

2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。

如：122++-x ab a ，项有2a 、ab 2-、x 、1，二次项为2

a 、a

b 2-，一次项为x ，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。 3、整式：单项式和多项式统称整式。

注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。 4、多项式按字母的升（降）幂排列：如：1223

--+-y xy y x x 5、同底数幂的乘法法则：m

n m n a

a a +=（n m ,都是正整数）

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。如：2

()()()a b a b a b ++=+ 6、幂的乘方法则：mn

m a

a =)(（n m ,都是正整数）

幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：10

53)3(=- 幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn

乘法公式培优专题-2

现在出发，准备好了吗？提问开始，你们都要回答。跟上节奏，启动查克拉。

ARE YOU READY？

LET‘S GO！

初中数学竞赛专题

——乘法公式

石狮一中黄约翰

一、内容提要

1．乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。

公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。

公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。

2．基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。

完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,

平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2

立方和（差）公式：(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b3

3.公式的推广：

①多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd

即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。

②二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3

(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）

（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5）

…………

注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律

③由平方差、立方和（差）公式引伸的公式

（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4

(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5

(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6

八年级数学上册第十二章整式的乘除专题练习一巧用乘法公式课件华东师大版

(2)(3m－4n)(3m＋4n)(9m2＋16n2). 解：81m4－256n4
类型之五逆向应用 6．计算：(1)(x＋y)2－(x－y)2；解：(x＋y)2－(x－y)2＝(x＋y＋x－y)(x＋y－x＋y)＝2x·2y＝4xy (2)(a2－b2)2－(a2＋b2)2；解：(a2－b2)2－(a2＋b2)2＝[(a2－b2)＋(a2＋b2)][(a2－b2)－(a2＋b2)]＝－ 4a2b2 (3)2 0192－2 019×4 036＋2 0182. 解：2 0192－2 019×4 036＋2 0182＝2 0192－2×2 019×2 018＋2 0182＝(2 019－2 018)2＝1
解：9b2－12ab＋4a2
类型之三整体应用 4．计算：(1)(12 m－n－2)2；解：原式＝[(12 m－n)－2]2 ＝14 m2－mn＋n2－2m＋4n＋4
(2)(a－2b＋3c)(a＋2b－3c). 解：原式＝a2－4b2＋12bc－9c2
类型之四连续应用 5．计算：(1)(a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4＋b4)；解：a8－b8
9．已知：x2－y2＝12，x＋y＝3.求2x2－2xy的值．解：∵x2－y2＝12， ∴(x＋y)(x－y)＝12， ∵x＋y＝3①，∴x－y＝4②，①＋②得，2x＝7， ∴2x2－2xy＝2x(x－y)＝7×4＝28
10．已知x2＋y2＝25，x＋y＝7，求xy和x－y的值．解：∵x2＋y2＝(x＋y)2－2xy， ∴25＝72－2xy ∴xy＝12， ∴(x－y)2＝x2－2xy＋y2＝25－2×12＝1， ∴x－y＝±1

乘法公式专题复习

乘法公式

研究目标

1.掌握多项式相乘的方法。

2.学会应用平方差公式及其拓展，特别是逆用该公式。

3.能够理解并应用完全平方公式。

4.灵活理解完全平方公式，包括每一项可以是单项式或多项式。

研究重点

1.理解和应用平方差公式的变形。

2.熟练应用完全平方公式简化计算。

3.培养学生的理解能力、举一反三的能力，以及概括和拓展能力。

4.灵活变形完全平方公式，理解两数的和的平方、两数的差的平方、两数平方和及两数乘积之间的等量关系的变化。

研究难点

1.平方差公式的逆用。

2.解题过程中平方差公式的细节。

3.利用配方法及完全平方的非负性求解相关问题。

4.利用配方法及完全平方的非负性求代数式的最大值与最

小值。

知识梳理

1.整式的乘法：

1) 多项式与多项式相乘：(m+n)(a+b) = ma + mb + na + nb

2) 整式乘法小结：①整式乘法转化为整式加减；②积和。

2.简便运算：

x+a)(x+b) = x + (a+b)x + ab

如(x+1)(x+2) = x + 3x + 2.(m-1)(m-3) = m - 4m + 3

a-2)(a+5)。(y-7)(y+2)

3.平方差公式：(a+b)(a-b) = a^2 - b^2，逆用：a-b =

(a+b)(a-b)

添括号：a-b+c = a+(-b+c)；a-b+c = a-(b-c)

4.完全平方公式：

a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2；(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

逆用：a+2ab+b = (a+b)；a-2ab+b = (a-b)

(完整版)专题训练乘法公式的变形

专题训练(八) 乘法公式的变形

专题引语：乘法公式在整式运算中非常重要，我们除了要熟悉公式的基本特征，掌握其基本运用外，还要关注公式的变形使用，近几年的中考中常有这方面的试题．

基本公式：(1)(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2

；

(2)(a±b)2＝a 2±2ab ＋b 2.

利用乘法公式进行计算时，常把a 2＋b 2，ab ，a ±b 等作为整体．因此，对乘法公式常作以下变形：

1．a 2＋b 2的变形：

(1)a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ；

(2)a 2＋b 2＝(a －b)2＋2ab ；

(3)a 2＋b 2＝12

[(a ＋b)2＋(a －b)2]． 2．ab 的变形：

(1)ab ＝12

[(a ＋b)2－(a 2＋b 2)]； (2)ab ＝12

[(a 2＋b 2)－(a －b)2]； (3)ab ＝14

[(a ＋b)2－(a －b)2]． 3．a ±b 的变形：

(1)a±b＝(a 2－b 2)÷(a ∓b)；

(2)a ＋b ＝±（a －b ）2＋4ab ；

(3)a －b ＝±（a ＋b ）2－4ab.

► 类型一求两数的平方和

1．若m ＋n ＝2，mn ＝1，则m 2＋n 2＝________．

2．已知x －y ＝3，xy ＝8，则x 2＋y 2＝________.

3．已知(x＋y)2＝25，(x－y)2＝9，求x2＋y2的值．

4．已知a＋b＝3，ab＝－12, 求下列各式的值：

(1)a2＋b2；

(2)a2－ab＋b2.

►类型二求两数的积

5．若(m－n)2＝16，(m＋n)2＝4，则mn的值为( )

【精品】乘法公式专题

乘法公式

一、平方差公式：22b a b a b a ))((即两数和与这两数差的积，等于它们的平方差．例1:计算:))()((3932x x x 2

2006200520071．

例2:已知:,,163a b b a 求2244b a 值

例3:求值:.

2222101141131121

1二、完全平方公式：2222b ab a b a )(即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．

变形公式:;

)()(ab b a ab b a b a 222222ab b a b a b a b a b a 42222222)()();()()(例4:计算:22)()(n m n m ．

例5:已知,,72522y x y x 且x ＞y ，则x-y 的值等于__________．例6:已知△ABC 的三边a 、b 、c 满足,0222ac bc ab c b a 试判断△ABC

的形状．

三、综合运用

1、先分组，再用公式例1. 计算：

2、先提公因式，再用公式例2. 计算：

3、先分项，再用公式例3. 计算：

4、先整体展开，再用公式例4. 计算：

5、先补项，再用公式例5. 计算：

6、先用公式，再展开例6. 计算：

7、乘法公式交替用例7. 计算：（a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

寒假七年级第6讲：乘法公式及其应用

第6讲乘法公式综合应用

一、新知探索

1.乘法公式的变形运用：

①22()()4a b a b ab +=-+

②22()()4a b a b ab -=+- ③2222()()2a b a b a b ++-+= ④22

()()4

a b a b ab +--= ⑤2222()2()2a b a b ab a b ab +=+-=-+ ⑥222222()()()()22

a b a b a b a b ab +-+--+==- ⑦2222111()2()2a a a a a a

+=+-=-+ 2.完全平方公式的非负性：

①非负性:2222()0a ab b a b ±+=±≥

②最值定理:a 、b 同号，则：222()a b a b +≤+，当且仅当时a b =时，取等。

二、典例剖析

专题一：平方差公式的应用：

考点一：例1. 1232－124×122

【变式1】22()()x y z x y z -+-+-；

【变式2】计算

22004200420052003

-⨯的值为多少？

【变式3】2244()()()()y x x y x y x y ---+++

【变式4】2222

2210099989721-+-++-…

专题二：完全平方公式的应用：

考点二：整体代换

例3．已知：5,3x y xy +==，求：①22x y +； ②44x y +； ③2()x y -

【变式】（1）2222

12, 2.()=________()a b ab a b a b +==+-已知则；=______.

（2）2224, 2.=()a b ab a b a b +==+-已知则________；=_______.