2020学年高中数学第三章导数及其应用阶段复习课学案苏教版选修1-1

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高中数学第3章《导数及其应用》复习精品导学案2 苏教版选修1-1

江苏省响水中学高中数学第3章《导数及其应用》复习2导学案苏教版选修1-1复习要求：1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间.2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值．课前预习：1．知识要点回顾：(1)函数的导数与单调性的关系：(2)函数的极值与导数：(3)函数的最值与导数①函数f(x)在[a ，b]上有最值的条件：如果在区间[a ，b]上函数y ＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．②求y ＝f(x )在[a ，b]上的最大(小)值的步骤：（4）若函数f(x)在定义域A 上存在最大值与最小值，则①对任意x ∈A ，f(x)＞0⇔ ＞0；②存在x ∈A ，f(x)＞0⇔ ＞0.2．判断： (1)函数f(x)在区间(a ，b)内单调递增，则f′(x)>0；( )(2)函数的极大值一定比极小值大；( )(3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件；( )(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值。

( )3．函数f(x)＝x ＋4x的单调减区间是 4.函数f(x)＝xex 的极小值点是5．已知f(x)＝x3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则a 的最大值是课堂探究：2.已知函数f(x)＝x－alnx．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．3.已知函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6a x.(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)若|a|>1，求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值．变式：已知函数f(x)＝(x－k)ex(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．3.设函数f(x)＝x3－3ax＋b (a≠0)．(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(x))处与直线y＝8相切，求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．4. 设L为曲线C：y＝ln xx在点(1,0)处的切线．(1)求L的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方．教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

2019-2020学年高中数学第3章《导数及其应用》导数在实际生活中的应用导学案1苏教版选修1-1

2019-2020学年苏教版数学精品资料高中数学第3章《导数及其应用》导数在实际生活中的应用导学案苏教版选修1-1学习目标1.通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用.2.在解决具体问题的过程中,体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.课前预学：问题1:一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.只要利用导数求出函数y=f(x)的所有,再求出端点的函数值,进行比较,就可以得出函数的最大值和最小值.问题2:生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为问题.导数是求函数最大(小)值的有力工具,可以运用导数解决一些生活中的优化问题.问题3:利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各个量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);(2)求函数的,解方程f'(x)=0;(3)比较函数在区间端点和点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.问题4:解决生活中的优化问题应当注意的问题确定函数关系式中自变量的区间,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际问题的值应舍去.课堂探究：一．利润最大问题某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=错误！未找到引用源。

+10(x-6)2,其中3<x<6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.(1)求a的值;(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售量价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.三．成本最低问题：如图,某工厂拟建一座平面图为矩形,且面积为200平方米的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16米.如果池四周壁建造单价为每米400元,中间两条隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,无盖.(1)写出总造价y(元)与污水处理池的长x(米)的函数关系式,并指出其定义域;(2)污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求出最低总造价.。

高中数学第三章导数单元复习导学案苏教版选修1-1

课题：导数及其应用单元复习教学目标1.知识与技能理解导数的定义及其产生的背景（几何意义和物理意义）；熟记初等函数的求导公式和求导法则；会用导数求函数的单调性；会用导数求函数的极大值、极小值及函数在闭区间上的最大值、最小值. 2.过程与方法通过本课例题的分析与解答，培养学生的发散思维能力和逐步形成运用导数知识解决实际问题的能力．3.情感、态度与价值观通过本节的学习，体会导数的方法在研究函数性质中的一般性和有效性.通过对函数的极值与最值得对比，体会知识间的联系与区别，逐步提高科学地分析、解决问题的能力. 教学重点：导数的应用．教学难点：导数与单调区间的关系、导数与极值点的关系、极值与最值的关系. 教学过程：一、基础知识回顾：1. 平均变化率的定义：2. 导数的定义：3. 导数的几何意义和物理意义：4. 基本初等函数的导数和求导法则：基本初等函数的求导公式：（1）'___C =(C 为常数)；（2）()'______nx =；（3）(sin )'____x =；（4）(cos )'_____x =；（5）(ln )____'x =；（6）(log )_____'a x =; （7）(e )____'x=; （8）()______'xa =.求导法则：法则1 '''[()()]()()f x g x f x g x ±=±．法则2 ''[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '=+.法则3：'2()'()()()'()()(()()0)f x f x g x f x g x g g g x x x ⎛⎫-=⎪⎭≠ ⎝ （5）导数与单调性的关系：（6）导数与极值的关系：二、例题讲解：解题回顾: 练习1：1. 质点运动的位移S 关于时间t 的方程是23S t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度是____________.2. 当h →0时，()()2f x h f x h +-→,那么当h →0时，(2)()f x h f x h+-→ ____.3. 已知质点运动的方程为24105S t t =++，则该质点在4t =时的瞬时速度为_________,瞬时加速度为________.练习2：1.求下列函数的导数（1）223y x x =++ ；（2）ln xy e x = ；（3）cos 2xxy =.2．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时,()()0,f x xf'x +<且(4)0f -=，则不等式()0xf x >的解集为_______________.[]()1()362()33()3.f x f x f x x f x x ==例1已知函数（）求在，上的平均变化率；（）利用导数的定义求在处的导数；（）求函数的图象在处的切线方程.例2. （1）在点(1,1)-处作抛物线21y x x =++的切线，则这条切线方程为________________；（2）经过点(1,0)-作抛物线21y x x =++的切线，求该切线的方程.解题回顾：例3.求函数f (x )=2x 3-6x 2+7的单调区间.解题回顾：练习3.1.已知函数f （x ）= -x 3+12x ，则它的单调减区间为_______________；2.设f (x )=kx 3-x 2+x -5在R 上是单调增函数，则实数k 的取值范围是____________. 练习4.“函数f （x ）可导，且在x 0处的导数 f ∕ (x 0）=0”是“f （x ）在该点处取得极值” 的 _______________条件.例4.求函数214y x x=+(0)x >的极值.例5．已知函数f (x )=-x 3+3x 2+9x +a 在区间[-2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.解题回顾：一表三用：三、巩固提高：设函数f (x )= ln x -x +a , x ∈(0,2]. ⑴求f (x )的单调区间；⑵若不等式f (x )<a 2-3 对于任意x ∈(0,2]恒成立，求实数a 的取值范围.四、课堂总结：。

苏教版高中数学选修1-1第三章3.1.2导数与导函数的概念教案

3.1.2导数与导函数的概念教学目标：1、知识与技能：理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法；理解导数的几何意义；理解导函数的概念和意义；2、过程与方法：先理解概念背景，培养解决问题的能力；再掌握定义和几何意义，培养转化问题的能力；最后求切线方程，培养转化问题的能力3、情感态度及价值观；让学生感受事物之间的联系，体会数学的美。

教学重点：1、导数的求解方法和过程；2、导数符号的灵活运用教学难点：1、导数概念的理解；2、导函数的理解、认识和运用教学过程：一、情境引入在前面我们解决的问题：1、求函数2)(x x f =在点（2，4）处的切线斜率。

x xx f x f x y ∆+=∆-∆+=∆∆4)()2(，故斜率为4 2、直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是12-=t V ，求o t t =时的瞬时速度。

t t tt v t t v t V o o o ∆+=∆-∆+=∆∆2)()(，故斜率为4 二、知识点讲解上述两个函数)(x f 和)(t V 中，当x ∆(t ∆)无限趋近于0时，t V ∆∆(x V ∆∆)都无限趋近于一个常数。

归纳：一般的，定义在区间（a ，b ）上的函数)(x f ，)(b a x o ，∈，当x ∆无限趋近于0时，xx f x x f x y o o ∆-∆+=∆∆)()(无限趋近于一个固定的常数A ，则称)(x f 在o x x =处可导，并称A 为)(x f 在o x x =处的导数，记作)('o x f 或o x x x f =|)('，上述两个问题中：（1）4)2('=f ，（2）o o t t V 2)('=三、几何意义：我们上述过程可以看出)(x f 在0x x =处的导数就是)(x f 在0x x =处的切线斜率。

四、例题选讲例1、求下列函数在相应位置的导数（1）1)(2+=x x f ，2=x （2）12)(-=x x f ，2=x（3）3)(=x f ，2=x例2、函数)(x f 满足2)1('=f ，则当x 无限趋近于0时，（1）=-+xf x f 2)1()1( （2）=-+x f x f )1()21( 变式:设f(x)在x=x 0处可导，（3）xx f x x f ∆-∆+)()4(00无限趋近于1，则)(0x f '=___________ （4）xx f x x f ∆-∆-)()4(00无限趋近于1，则)(0x f '=________________ （5）当△x 无限趋近于0，x x x f x x f ∆∆--∆+)2()2(00所对应的常数与)(0x f '的关系。

高中数学(苏教版)选修1-1讲学案第三章 3.4 导数在实际生活中的应用

3.4导数在实际生活中的应用1．导数在实际生活中有着广泛的应用．如用料最省、利润最大、效率最高等问题一般可以归结为函数的最值问题，从而可以用导数来解决．2．利用导数解决优化问题的流程：解决生活中的优化问题的思路：(1)审题：阅读理解文字表达的题意、分清条件和结论．(2)建模：利用数学知识建立相应的数学模型．(3)解模：把数学问题转化为函数求解．(4)检验．[对应学生用书P56][例1] 用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图所示)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？[思路点拨] 设出所截正方形的边长为x，则该容器的底面边长和高均可用x表示，得到容积关于x的函数，用导数法求解．[精解详析] 设容器的高为x cm，容器的体积为V(x) cm3.则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4 320x(0<x<24)．V′(x)＝12x2－552x＋4 320＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)(0<x<24)．令V′(x)＝0，得x1＝10，x2＝36(舍去)．当0<x<10时，V′(x)>0，V(x)是增函数；当10<x<24时，V′(x)<0，V(x)是减函数．因此，在定义域(0,24)内函数V(x)只有当x＝10时取得最大值，其最大值为V(10)＝10×(90－20)×(48－20)＝19 600(cm3)．即当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积是19 600 cm3.[一点通] 解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积、容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．如果在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义，该极值点也是最值点．1．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为________cm.解析：设该漏斗的高为x cm ，则底面半径为202－x 2 cm ，其体积为V ＝13πx(202－x 2)＝13π(400x －x 3)(0<x<20)，则V ′＝13π(400－3x 2)．令V ′＝0，解得x 1＝2033，x 2＝－2033(舍去)．当0<x<2033时，V ′>0；当2033<x<20时，V ′<0，所以当x ＝2033时，V 取得最大值．答案：20332．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？解：设广告的高和宽分别为x cm ，y cm ，则每栏的高和宽分别为x －20，y －252，其中x>20，y>25.两栏面积之和为2(x －20)·y －252＝18 000，由此得y ＝18 000x －20＋25.广告的面积S ＝xy ＝x(18 000x －20＋25)＝18 000xx －20＋25x ，∴S ′＝18 000[(x －20)－x](x －20)2＋25＝－36 0000(x －20)2＋25.令S ′>0，得x>140，令S ′<0，得20<x<140.∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减， ∴S(x)的最小值为S(140)．当x ＝140时，y ＝175.即当x ＝140，y ＝175时，S 取得最小值24 500，故当广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小.[例2] 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为y 万元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？[思路点拨] 解答本题可先根据题目条件写出函数关系式，再利用导数方法求最值．[精解详析] (1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝mx－1.所以y ＝f(x)＝256n ＋(n ＋1)(2＋x)x＝256⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m x －1＋m x (2＋x)x＝256m x ＋mx ＋2m －256.(2)由(1)知，f ′(x)＝－256m x 2＋12mx －12＝m 2x 2(x 32－512)．令f ′(x)＝0，得x 32＝512，所以x ＝64.当0＜x ＜64时，f ′(x)＜0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64＜x ＜640时，f ′(x)＞0，f(x)在区间(64,640)内为增函数．所以f(x)在x ＝64处取得最小值．此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小．[一点通] 用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际问题做答．3．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．解析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则V ＝27π＝πr 2h ，∴h ＝27r2，若用料最省，则表面积最小，设表面积为S ，则S ＝πr 2＋2πr ·h ＝πr 2＋2π27r ＝πr 2＋54πr，S ′＝2πr －54πr 2＝2π(r 3－27)r 2，令S ′＝0，得r ＝3.∵当0<r<3时，S ′<0，S(r)为减函数， r>3时，S ′>0，S(r)为增函数． ∴当r ＝3时，S 取最小值，即用料最省．答案：34．某工厂要围建一个面积为512 m 2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：m)________．解析：要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短．设场地宽为x 米，则长为512xm ，因此新墙总长L ＝2x ＋512x (x>0)，则L ′＝2－512x 2.令L ′＝0，得x ＝16或x ＝－16(舍去)．此时长为51216＝32(m)，可使L 最短．答案：32,16[例3] 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：kg)与销售价格x(单位：元/kg)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2.其中3＜x ＜6，a 为常数．已知销售价格为5元/kg 时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/kg ，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．[思路点拨] (1)根据“销售价格为5元/kg 时，每日可售出该商品11 kg ”可知销售函数图像过点(5,11)将其代入可求得a 的值；(2)利润为y ＝(每件产品的售价－每件产品的成本)×销量，表示出函数解析式后，可借助导数求最值．[精解详析] (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量 y ＝2x －3＋10(x －6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)＝(x －3)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2x －3＋10(x －6)2＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6.从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/kg时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．[一点通](1)利润(收益)＝销售额－成本，在有关利润(收益)的问题中，注意应用此公式列出函数关系式，然后利用导数的知识并结合实际问题求出相应最值．(2)在实际问题中，若某函数在所给区间上只有一个极值，则该极值即为相应的最值．这是实际问题中求最值的常用方法．5．已知某生产厂家的年利润y(单元：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________万件．解析：因为y′＝－x2＋81，所以当x＞9时，y′＜0；当x∈(0,9)时，y′＞0，所以函数y＝－13x3＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x＝9处取得最大值．答案：96．已知某工厂生产x件产品的成本为c＝25 000＋200x＋140x2(元)．问：(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？解：(1)设平均成本为y元，则y＝25 000＋200x＋140x2x＝25 000x＋200＋x40(x>0)，y′＝－25 000x2＋140，令y′＝0，得x＝1 000或x＝－1 000(舍去)．当0<x<1 000时，y′<0；当x>1 000时，y′>0，故当x＝1 000时，y取极小值，而只有一个点使y′＝0，故函数在该点处取得最小值，因此要使平均成本最低，应生产1 000件产品．(2)利润函数为S(x)＝500x －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫25 000＋200x ＋x 240＝300x －25 000－x 240，S ′(x)＝300－x20，令S ′(x)＝0，得x ＝6 000，当0<x<6 000时，S ′(x)>0，当x>6 000时，S ′(x)<0，故当x ＝6 000时，S(x)取极大值，而只有一个点使S ′(x)＝0，故函数在该点取得最大值，因此，要使利润最大，应生产6 000件产品．用导数解应用题求最值的方法与步骤：[对应课时跟踪训练(二十二)]1．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________．解析：设该公司在甲地销x 辆，那么乙地销15－x 辆，利润L(x)＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x)＝－0.15x 2＋3.06x ＋30.由L ′(x)＝－0.3x ＋3.06＝0，得x ＝10.2.且当x ＜10.2时，L ′(x)＞0，x ＞10.2时，L ′(x)＜0，∴x ＝10时，L(x)取到最大值，这时最大利润为45.6万元．答案：45.6万元2．如图，将直径为d 的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x 的积成正比(强度系数为k ，k>0)．要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x 应为________．解析：设断面高为h ，则h 2＝d 2－x 2.设横梁的强度函数为f(x)，则f(x)＝kxh 2＝kx(d 2－x 2)，0<x<d.令f ′(x)＝k(d 2－3x 2)＝0，解得x ＝±33d(舍去负值)．当0<x<33d 时，f ′(x)>0，f(x)单调递增；当33d<x<d 时，f ′(x)<0，f(x)单调递减．所以函数f(x)在定义域(0，d)内只有一个极大值点x ＝33d.所以x ＝33d 时，f(x)有最大值．答案：33d3．将长为l 的铁丝剪成2段，各围成长与宽之比为2∶1及3∶2的矩形，则两矩形面积之和的最小值为________．解析：如图所示，设边长之比为2∶1的矩形周长为x ，则边长之比为3∶2的矩形周长为l －x ，两矩形面积之和为S ＝2x 6·x6＋3(l －x )10·2(l －x )10＝x 218＋350(l －x)2，0<x<l.由S ′＝x 9＋325(x －l)＝0，得x ＝2752l.当x变化时，S ′，S 的变化情况如下表：由上表可知，当x ＝2752l 时，S 的最小值为3104l 2.答案：3l 21044．如图，已知一罐圆柱形红牛饮料的容积为250 mL ，则它的底面半径等于________时(用含有π的式子表示)，可使所用的材料最省．解析：设圆柱的高为h，表面积为S ，容积为V ，底面半径为r ，则表面积S＝2πrh ＋2πr 2，而V ＝250＝πr 2h ，得h ＝250πr 2，则S ＝2πr ·250πr 2＋2πr 2＝500r ＋2πr 2，S ′＝－500r2＋4πr ，令S ′＝0得r ＝53π2π，因为S 只有一个极值，所以当r ＝53π2π时，S 取得最小值，即此时所用的材料最省．答案：53π2π5．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km 处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________km 处．解析：依题意可设每月土地占用费y 1＝k 1x ，每月库存货物的运费y 2＝k 2x ，其中x 是仓库到车站的距离，k 1，k 2是比例系数．于是由2＝k 110得k 1＝20；由8＝10k 2得k 2＝45.因此，两项费用之和为y ＝20x ＋4x 5(x ＞0)，y ′＝－20x 2＋45，令y ′＝0，得x＝5，或x ＝－5(舍去)．当0＜x ＜5时，y ′＜0；当x ＞5时，y ′＞0.因此，当x ＝5时，y 取得极小值，也是最小值．故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．答案：56．某品牌电视生产厂家有A ，B 两种型号的电视机参加了家电下乡活动，若厂家对A ，B 两种型号的电视机的投放金额分别为p ，q 万元，农民购买电视机获得的补贴分别为110p ，25ln q 万元，已知A ，B 两种型号的电视机的投放总额为10万元，且A ，B 两种型号的电视机的投放金额均不低于1万元，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出最大值．(精确到0.1，参考数据：ln 4≈1.4)解：设B 型号电视机的投放金额为x 万元(1≤x ≤9)，农民得到的补贴为y 万元，则A 型号的电视机的投放金额为(10－x)万元，由题意得y ＝110(10－x)＋25ln x ＝25ln x －110x ＋1,1≤x ≤9， ∴y ′＝25x －110，令y ′＝0得x ＝4，由y ′>0得1≤x<4，由y ′<0得4<x ≤9，故y 在[1,4)上单调递增，在(4,9]上单调递减，∴当x ＝4时，y 取得最大值，且y max ＝25 ln 4－110×4＋1≈1.2，这时，10－x＝6.故厂家对A ，B 两种型号的电视机的投放金额分别为6万元和4万元时，农民得到的补贴最多，最多补贴约1.2万元．7．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E 、F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x(cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)．由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x)，0＜x ＜30.(1)S ＝4ah ＝8x(30－x)＝－8(x －15)2＋1 800，所以当x ＝15时，S 取得最大值． (2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x(20－x)．由V ′＝0，得x ＝0(舍)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′＞0；当x ∈(20,30)时，V ′＜0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值．此时h a ＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.8.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(L)关于行驶速度x(km/h)的函数解析式可以表示为：y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0＜x ≤120)．已知甲、乙两地相距100 km.(1)当汽车以40 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少L? (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少L? 解：(1)当x ＝40 km/h 时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5 h ，要耗油⎝⎛⎭⎪⎪⎫1128 000×403－380×40＋8×2.5＝17.5(L)． ∴当汽车以40 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5 L.(2)当速度为x km/h 时，汽车从甲地到乙地行驶了100x h ，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8·100x ＝11 280x 2＋800x －154(0＜x ≤120)，则h ′(x)＝x640－800x 2＝x 3－803640x 2(0＜x ≤120)．令h ′(x)＝0，得x ＝80，当x ∈(0,80)时，h ′(x)＜0，h(x)是单调递减函数；当x ∈(80,120)时，h ′(x)＞0，h(x)是单调递增函数． ∴当x ＝80时，h(x)取到极小值，h(80)＝11.25. ∵h(x)在(0,120]上只有一个极值，且h(120)＝856>h(80)．∴当x ＝80时函数取得最小值．∴当汽车以80 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25 L.[对应学生用书P58]一、导数的概念1．导数函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导，称常数A为函数f(x)在点x＝x0处的导数，记作f′(x0)．2．导函数若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f′(x)在各点的导数中随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数．记作f′(x)．二、导数的几何意义1．f′(x0)是函数y＝f(x)在x0处切线的斜率，这是导数的几何意义．2．求切线方程：常见的类型有两种：一是函数y＝f(x)“在点x＝x0处的切线方程”，这种类型中(x0，f(x0))是曲线上的点，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．二是函数y＝f(x)“过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定为切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，又y1＝f(x1)，由上面两个方程可解得x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．三、导数的运算1．基本初等函数的导数 (1)f(x)＝c ，则f ′(x)＝0；(2)f(x)＝x α，则f ′(x)＝α·x α－1；(3)f(x)＝a x (a>0且a ≠1)，则f ′(x)＝a x ln a.(4)f(x)＝log a x ，则f ′(x)＝1xln a； (5)f(x)＝sin x ，则f ′(x)＝cos x ； (6)f(x)＝cos x ，则f ′(x)＝－sin x ； 2．导数四则运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f ′(x)±g ′(x)； (2)[f(x)g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x)； (3)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x ).四、导数与函数的单调性利用导数求函数单调区间的步骤：(1)求导数f ′(x)；(2)解不等式f ′(x)>0或f ′(x)<0； (3)写出单调增区间或减区间．特别注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．五、导数与函数的极值利用导数求函数极值的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域；(2)求方程f ′(x)＝0的根；(3)检验f ′(x)＝0的根的两侧的f ′(x)的符号，若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值．若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值，否则此根不是f(x)的极值点．六、求函数f(x)在闭区间[a ，b]上的最大值、最小值的方法与步骤 (1)求f(x)在(a ，b)内的极值；(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．特别地，①当f(x)在[a ，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f(x)在(a ，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以判断f(x)在该点处取得最大(或最小)值，这里(a ，b)也可以是(－∞，＋∞)．七、导数的实际应用利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题：(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去．(2)在实际问题中，由f ′(x)＝0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x 的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值． ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤对应阶段质量检测(三) 见8开试卷(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上)1．在Δx 无限趋近于0时，f (x 0)－f (x 0＋Δx )Δx 无限趋近于1，则f ′(x 0)＝________.解析：由已知得Δx 无限趋近于0时，f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于－1，则f ′(x 0)＝－1. 答案：－12．若函数f(x)＝xsin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝________.解析：∵f(x)＝xsin x ＋cos x ， ∴f ′(x)＝(xsin x ＋cos x)′ ＝(xsin x)′＋(cos x)′ ＝sin x ＋xcos x －sin x ＝xcos x.∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2cos π2＝0.答案：03．设f(x)＝xln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝________.解析：f ′(x)＝ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，得ln x 0＋1＝2. ∴x 0＝e. 答案：e4．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b)处的切线方程是x －y ＋1＝0，则a ＝________，b ＝________.解析：∵y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝a＝1.又(0，b)在x－y＋1＝0上，故0－b＋1＝0，得b＝1.答案：1 15．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x＋18在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，因此Δ＝4a2－12≤0⇒－3≤a≤3，所以实数a的取值范围是[－3，3]．答案：[－3，3]6．用长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制的底面的一边比另一边长0.5 m，那么容器的最大容积为________m3.解析：设容器底面短边长为x m，则另一边长为(x＋0.5)m，高为(3.2－2x)m.由3.2－2x>0，x>0，得0<x<1.6.设容器的容积为y m3，则有y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)(0<x<1.6)，整理得y＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，y′＝－6x2＋4.4x＋1.6，令y′＝0，解得x1＝1，x2＝－415(舍去)．从而，定义域(0,1.6)内只有在x＝1处有y′＝0，由题意，若x过小(接近0)或x过大(接近1.6)时，y值很小，因此，当x＝1时，y max＝1.8，此时高1.2 m，所以当容器的高为1.2 m时，容积最大，最大容积为1.8 m3.答案：1.87．已知使函数y ＝x 3＋ax 2－43a 的导数为0的x 值也使y 值为0，则常数a的值为________．解析：∵y ′＝3x 2＋2ax ，由3x 2＋2ax ＝0，得x ＝0或x ＝－2a3.又当x ＝0时，y ＝0，∴－4a3＝0.∴a ＝0.经验证a ＝0符合题意．答案：08．已知函数f(x)＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝________.解析：f ′(x)＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)，∴f(x)在[－3，－2]，[2,3]上单调递增，在[－2,2]上单调递减．f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，故M ＝24，m ＝－8，则M －m ＝32.答案：329．已知函数f(x)＝x 3－3x 2＋3＋a 的极大值为5，则实数a ＝________. 解析：∵f ′(x)＝3x 2－6x ；由f ′(x)＝0得x ＝0或x ＝2；由f ′(x)>0得x<0或x>2，则f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(2，＋∞)；由f ′(x)<0得0<x<2，则f(x)的单调递减区间为(0,2)．当x ＝0时函数取得极大值，∴f(0)＝3＋a ＝5，∴a ＝2.答案：210．设f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x<0时，f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x)>0，且g(3)＝0.则不等式f(x)g(x)<0的解集是________．解析：设F(x)＝f(x)g(x)，则F(x)为奇函数，F(0)＝0. ∵x<0时，F ′(x)>0，且F(－3)＝－F(3) ＝－f(3)g(3)＝0， ∴F(x)示意图如图：当x ∈(－∞，－3)或(0,3)时，F(x)<0.答案：(－∞，－3)∪(0,3)11．函数y ＝1＋ln xx的单调递增区间是________．解析：y ′＝(ln x )′x －ln xx 2＝1－ln x x 2.令y ′>0，得1－ln x>0，∴0<x<e. 故增区间为(0，e) 答案：(0，e)12．已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)＝2xf ′(e)＋ln x(e 为自然对数的底数)，则f ′(e)＝________.解析：由f(x)＝2xf ′(e)＋ln x ，得f ′(x)＝2f ′(e)＋1x ，则f ′(e)＝2f ′(e)＋1e⇒f ′(e)＝－1e.答案：－1e13．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99＝________.解析：由于y ′⎪⎪x ＝1＝n ＋1，∴曲线在点(1,1)处的切线为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝x n ＝nn ＋1，∴a n ＝lg nn ＋1，∴原式＝lg 12＋lg 23＋…＋lg 99100＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12×23×…×99100＝lg 1100＝－2. 答案：－214．若函数f(x)＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．解析：∵f ′(x)＝4x －1x ＝4x 2－1x ，x>0，∴当0<x<12时，f ′(x)<0，f(x)为减函数，当x>12时，f ′(x)>0，f(x)为增函数，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧0≤k －1<12，12<k ＋1，k －1<k ＋1.∴1≤k<32.答案：⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫1，32二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ax 2－43ax ＋b ，f(1)＝2，f ′(1)＝1；(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在(1,2)处的切线方程．解：(1)f ′(x)＝2ax －43a.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝2a －43a ＝1，f (1)＝a －43a ＋b ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝52.∴f(x)＝32x 2－2x ＋52.(2)函数f(x)在(1,2)处的切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.16．(本小题满分14分)设函数f(x)＝－13x 3＋x 2＋(m 2－1)x(x ∈R)，其中m>0. (1)当m ＝1时，求曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率；(2)求函数的单调区间与极值．解：(1)当m ＝1时，f(x)＝－13x 3＋x 2，f ′(x)＝－x 2＋2x ，故f ′(1)＝1.所以曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为1.(2)f ′(x)＝－x 2＋2x ＋m 2－1，令f ′(x)＝0，得到x ＝1－m ，x ＝1＋m ，因为m>0，所以1＋m>1－m.当x 变化时，f(x)，f ′(x)的变化情况如下表：f(x)在(－∞，1－m)和(1＋m ，＋∞)内为减函数，在(1－m,1＋m)内为增函数．函数f(x)在x ＝1＋m 处取得极大值f(1＋m)，且f(1＋m)＝23m 3＋m 2－13，函数f(x)在x ＝1－m 处取得极小值f(1－m)，且f(1－m)＝－23m 3＋m 2－13.17．(本小题满分14分)某造船公司年造船量是20艘，已知造船x 艘的产值函数为R(x)＝3 700x ＋45x 2－10x 3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x －5 000(单位：万元)．(1)求利润函数P(x)；(提示：利润＝产值－成本)(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？解：(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x3＋45x2＋3 700x－(460x－5 000)＝－10x3＋45x2＋3 240x＋5 000(x∈N*，且1≤x≤20)．(2)P′(x)＝－30x2＋90x＋3 240＝－30(x－12)(x＋9)，由P′(x)＝0，得x＝12，x＝－9(舍去)．当0<x<12时，P′(x)>0，P(x)单调递增；当x>12时，P′(x)<0，P(x)单调递减．∴当x＝12时，P(x)取得极大值，也为最大值．∴当年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大．18．(本小题满分16分)已知x＝1是函数f(x)＝13ax3－32x2＋(a＋1)x＋5的一个极值点．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝2x＋m有三个交点，求实数m的取值范围．解：(1)依题意f′(x)＝ax2－3x＋a＋1，由f′(1)＝0得a＝1，∴函数f(x)的解析式为f(x)＝13x3－32x2＋2x＋5.(2)曲线y＝f(x)与直线y＝2x＋m有三个交点，即13x3－32x2＋2x＋5－2x－m＝0有三个实数根，令g(x)＝13x 3－32x 2＋2x ＋5－2x －m ＝13x 3－32x 2＋5－m ，则g(x)有三个零点．由g ′(x)＝x 2－3x ＝0得x ＝0或x ＝3.令g ′(x)>0得x<0或x>3；令g ′(x)<0得0<x<3.∴函数g(x)在(－∞，0)上为增函数，在(0,3)上为减函数，在(3，＋∞)上为增函数．∴函数在x ＝0处取得极大值，在x ＝3处取得极小值．要使g(x)有三个零点，只需⎩⎪⎨⎪⎧g (0)>0，g (3)<0，解得12<m<5.∴实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，5.19．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝(x －k)e x ， (1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．解：(1)f ′(x)＝(x －k ＋1)e x .令f ′(x)＝0，得x ＝k －1.当x 变化时，f(x)与f ′(x)的变化情况如下：所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k.当0<k－1<1，即1<k<2时，由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1.当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.20．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a＝3，b＝－9时，若函数f(x)＋g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k 的取值范围．解：(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b.因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)，即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b，解得a＝3，b＝3.(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)，当a＝3，b＝－9时，h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1.h(x)与h′(x)在(－∞，2]上的变化情况如下：22－3由此可知：当k≤－3时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为h(－3)＝28；当－3<k<2时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值小于28.因此，k的取值范围是(－∞，－3]．§4 二项分布1．掌握独立重复试验的概念及意义，理解事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式．(重点)2．理解n次独立重复试验的模型，并能用于解一些简单的实际问题．(难点) 3．了解二项分布与超几何分布的关系．(易混点)[基础·初探]教材整理二项分布阅读教材P48～P50，完成下列问题．1．n次独立重复试验进行n次试验，如果满足以下条件：(1)每次试验只有两个相互________的结果，可以分别称为“________”和“________”；(2)每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为；(3)各次试验是相互独立的，则这n次试验称为n次独立重复试验．【答案】(1)对立成功失败(2)1－p2．二项分布(1)若用随机变量X 表示n 次独立重复试验的次数，则P(X ＝k)＝________(k ＝0,1,2，…，n)．(2)若一个随机变量X 的分布列如(1)所述，则称X 服从参数为n ，p 的二项分布，简记为X ～________.【答案】 (1)C k np k (1－p)n －k (2)B(n ，p)1．独立重复试验满足的条件是________．(填序号) ①每次试验之间是相互独立的； ②每次试验只有发生和不发生两种情况；③每次试验中发生的机会是均等的； ④每次试验发生的事件是互斥的．【解析】由n 次独立重复试验的定义知①②③正确．【答案】 ①②③2．一枚硬币连掷三次，只有一次出现正面的概率为________．【解析】抛掷一枚硬币出现正面的概率为12，由于每次试验的结果不受影响，故由独立重复试验可知，所求概率为P ＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＝38.【答案】38[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)：(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．【精彩点拨】由于5次预报是相互独立的，且结果只有两种(即准确或不准确)，符合独立重复试验．【自主解答】(1)记预报一次准确为事件A，则P(A)＝0.8.5次预报相当于5次独立重复试验，2次准确的概率为P＝C25×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P＝C05×(0.2)5＋C15×0.8×0.24＝0.006 72≈0.01.所以所求概率为1－P＝1－0.01＝0.99.所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99.(3)说明第1,2,4,5次中恰有1次准确．所以概率为P＝C14×0.8×0.23×0.8＝0.02 048≈0.02，所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.独立重复试验概率求法的三个步骤1．判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验．2．分拆：判断所求事件是否需要分拆．3．计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．[再练一题]1．(1)甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为23，没有平局．若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率为________．(2)在4次独立重复试验中，事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中出现的概率为________．【解析】 (1)“甲获胜”分两类：①甲连胜两局；②前两局中甲胜一局，并胜最后一局．即P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232＋C 12×23×13×23＝2027.(2)由题意知，C 04p 0(1－p)4＝1－6581，p ＝13. 【答案】 (1)2027 (2)13一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列．【精彩点拨】 (1)首先判断ξ是否服从二项分布，再求分布列．(2)注意“首次遇到”“或到达”的含义，并明确η的取值．再求η取各值的概率．【自主解答】 (1)ξ～B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫5，13，ξ的分布列为P(ξ＝k)＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫235－k ，k ＝0,1,2,3,4,5.(2)η的分布列为P(η＝k)＝P(前k 个是绿灯，第k ＋1个是红灯)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23k ·13，k ＝0,1,2,3,4；P(η＝5)＝P(5个均为绿灯)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫235.故η的分布列为!1．本例属于二项分布，当X 服从二项分布时，应弄清X ～B(n ，p)中的试验次数n 与成功概率p.2．解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式P(X ＝k)＝C k np k (1－p)n －k (k ＝0,1,2，…，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次．[再练一题]2．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做每道题的可能性均为12，且各人的选择相互之间没有影响．(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第15题的人数为ξ名，求ξ的分布列．【解】 (1)设事件A 表示“甲选做14题”，事件B 表示“乙选做14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“AB ＋A －B －”，且事件A ，B 相互独立．∴P(AB ＋A －B －)＝P(A)P(B)＋P(A )P(B ) ＝12×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12＝12.(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫4，12.∴P(ξ＝k)＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12k ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－124－k＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124(k ＝0,1,2,3,4)． ∴随机变量ξ的分布列为[探究共研型]探究1 王明在做一道单选题时，从A ，B ，C ，D 四个选项中随机选一个答案，他做对的结果数服从二项分布吗？两点分布与二项分布有何关系？【提示】做一道题就是做一次试验，做对的次数可以为0次、1次，它服从二项分布．两点分布就是一种特殊的二项分布，即是n ＝1的二项分布．探究2 王明做5道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对的道数服从二项分布吗？为什么？【提示】服从二项分布．因为每道题都是随机选一个答案，结果只有两个：对与错，并且每道题做对的概率均相等，故做5道题可以看成“一道题”重复做了5次，做对的道数就是5次试验中“做对”这一事件发生的次数，故他做对的“道数”服从二项分布．探究3 王明做5道单选题，其中2道会做，其余3道均随机选一个答案，他做对的道数服从二项分布吗？如何判断一随机变量是否服从二项分布？【提示】不服从二项分布．因为会做的两道题做对的概率与随机选取一个答案做对的概率不同，不符合二项分布的特点，判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是否是n 次独立重复试验，随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．(2016·泰兴高二检测)甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．(1)求随机变量ξ的分布列；(2)用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)．。

新高中数学第三章导数及其应用3-1导数的概念学案苏教版选修1_1

新高中数学第三章导数及其应用3-1导数的概念学案苏教版选修1_13．1.1 平均变化率某病人吃完退烧药，他的体温变化如下：问题1：试比较时间x 从0 min 到20 min 和从20 min 到30 min 体温变化情况，哪段时间体温变化较快？提示：从20 min 到30 min 变化快．问题2：如何刻画体温变化的快慢？提示：用平均变化率．问题3：平均变化率一定为正值吗？提示：不一定．可正、可负、可为零．1．平均变化率一般地，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为f x 2－f x 1x 2－x 1.2．平均变化率与曲线变化关系平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．对平均变化率的理解(1)由平均变化率的定义知，平均变化率可正、可负、可为零． (2)平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．[对应学生用书P39][例1] 已知函数f (x )＝2x 2＋1.(1)求函数f (x )在区间[1,1.1]上的平均变化率； (2)求函数f (x )在区间[2,2.01]上的平均变化率． [思路点拨] 直接利用平均变化率的定义求解即可． [精解详析] (1)f－f 1.1－1＝2×1.12－2×120.1＝0.420.1＝4.2.(2)f－f2.01－2＝2×2.012－2×220.01＝8.080 2－80.01＝0.080 20.01＝8.02.[一点通] 求函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率的步骤：第一步：求x 2－x 1；第二步：求f (x 2)－f (x 1)；第三步：由定义得出f x 2－f x 1x 2－x 1.1．求函数y ＝sin x 在0到π6之间和π3到π2之间的平均变化率．解：在0到π6之间的平均变化率为sin π6－sin 0π6－0＝3π；在π3到π2之间的平均变化率为sin π2－sinπ3π2－π3＝－3π.2.如图是函数y ＝f (x )的图像，则：(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________；(2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．解析：(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f－f －1－－＝2－12＝12. (2)由函数f (x )的图像知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f－f 2－0＝3－322＝34.答案：(1)12 (2)34[例2] 已知气球的体积为V (单位：L)与半径r (单位：dm)之间的函数关系是V (r )＝43πr 3.(1)求半径r 关于体积V 的函数r (V )；(2)比较体积V 从0 L 增加到1 L 和从1 L 增加到2 L 时半径r 的平均变化率，哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？[思路点拨] 首先由球的体积公式变形得到函数r (V )的解析式，再根据求平均变化率的步骤运算．[精解详析] (1)∵V ＝43πr 3，∴r 3＝3V 4π，r ＝ 33V 4π，∴r (V )＝ 33V4π.(2)函数r (V )在区间[0,1]上的平均变化率约为r－r 1－0＝33×14π－01≈0.62(dm/L)．函数r (V )在区间[1,2]上的平均变化率约为r－r 2－1＝－33×24π－33×14π≈0.16(dm/L)．显然体积V 从0 L 增加到1 L 时，半径变化快，这说明随着体积的增加，气球的半径增加的越来越慢．[一点通] 平均变化率在实际问题中有很大作用，要把实际问题中的量与函数中的量对应起来，从而能利用平均变化率的定义来解决实际问题．3．已知某一细菌分裂的个数随时间t s 的变化满足函数关系式f (t )＝3t＋1，分别计算该细菌在[1,2]，[3,4]，[5,6]时间段内分裂个数的变化率，由此你能得出什么结论？解：细菌分裂的个数在[1,2]内的平均变化率为f－f 2－1＝32－3＝6，细菌分裂的个数在[3,4]内的平均变化率为f－f 4－3＝34－33＝54.细菌分裂的个数在[5,6]内的平均变化率为f－f 6－5＝36－35＝486.由此得出随时间的增加，细菌分裂的个数增加速度越来越快．4．一底面半径为r cm ，高为h cm 的倒立圆锥形容器，若以n cm 3/s 的速率向容器里注水，求注水时前t s 水面上升的平均速率，并说明由此得出什么结论．解：设注水t s 时，水面高度为y cm ，此时水面半径为x cm.则y h ＝xr ，∴x ＝r hy ，由题意知nt ＝π3x 2y ＝πr 2y33h 2，∴y ＝33nh 2πr2·3t ，在[0，t ]内水面上升的平均速率为：v －＝y t －y t －0＝33nh 2πr 2·3t －0t －0＝33nh 2πr 2t2(cm 3/s)，可见当t 越来越大时，水面上升的平均速率将越来越小．平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势，平均变化率的绝对值反映了曲线在给定的区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，曲线在该区间上的变化越快；反之则慢．[对应课时跟踪训练(十五)]1．函数f (x )＝1x在x ＝1到x ＝2之间的平均变化率为________．解析：f－f 2－1＝12－11＝－12.答案：－122．某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c (单位：mg/mL)来表示，它是时间t (单位：min)的函数，表示为c ＝c (t )，下表给出了c (t )的一些函数值：服药后30～70 min 这段时间内，药物浓度的平均变化率为________．解析：c－c 70－30＝0.90－0.9840＝－0.002.答案：－0.0023．一棵树2011年1月1日高度为4.5 m,2012年1月1日高度为4.98 m ，则这棵树2011年高度的月平均变化率是________．解析：4.98－4.512＝0.04.答案：0.044．在曲线y ＝x 2＋1的图像上取一点(1,2)及邻近一点(1.1,2.21)，则该曲线在[1,1.1]上的平均变化率为________．解析：2.21－21.1－1＝0.210.1＝2.1.答案：2.15．如图显示物体甲、乙在时间0到t 1范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是________．①在0到t 0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ②在0到t 0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度； ③在t 0到t 1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ④在t 0到t 1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度．解析：在0到t 0范围内，甲、乙的平均速度都为v －＝s 0t 0，故①②错误；在t 0到t 1范围内，甲的平均速度为s 2－s 0t 1－t 0，乙的平均速度为s 1－s 0t 1－t 0.因为s 2－s 0>s 1－s 0，t 1－t 0>0，所以s 2－s 0t 1－t 0>s 1－s 0t 1－t 0，故③正确，④错误．答案：③6．已知正弦函数y ＝sin x ，求该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2内的平均变化率，比较平均变化率的大小，并说明含义．解：当自变量从0变到π3时，函数的平均变化率为k 1＝sin π3－sin 0π3－0＝32π3＝3 32π.当自变量从π3变到π2时，函数的平均变化率为k 2＝sin π2－sin π3π2－π3＝1－32π6＝－32π.易知 3 3>6(2－3)，∴k 1>k 2，即函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3内的平均变化率大于在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2内的平均变化率，说明函数y ＝sin x 的图像在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3内比较陡峭，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2内比较平缓．7．路灯距地面8 m ，一个身高为1.6 m 的人以84 m/min 的速度在地面上从路灯在地面上射影点C 沿某直线离开路灯．(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式； (2)求人离开路灯的第一个10 s 内身影的平均变化率．解：(1)如图所示，设人从C 点运动到B 处的路程为x m ，AB 为身影长度，AB 的长度为y m ，由于CD ∥BE ，则AB AC ＝BECD，即yy ＋x ＝1.68，所以y ＝f (x )＝14x . (2)在[0,10]上身影的平均变化率为：f－f 10－0＝14×10－14×010＝14.即人离开路灯的第一个10 s 内身影的平均变化率为14.8．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗？解：山路从A 到B 高度的平均变化率为h AB ＝10－050－0＝15，山路从B 到C 高度的平均变化率为h BC ＝15－1070－50＝14，∴h BC >h AB .∴山路从B 到C 比从A 到B 要陡峭的多．3．1.2 瞬时变化率——导数你登过泰山吗？登山过程中，你会体验到“六龙过万壑”的雄奇，感受到“会当凌绝顶，一览众山小”的豪迈，当爬到“十八盘”时，你感觉怎样？问题1：陡峭程度能反映山坡高度变化的快与慢吗？提示：能．问题2：从数学的角度如何量化曲线的“陡峭”程度呢？提示：用曲线的切线的斜率表示．割线逼近切线的方法设曲线C 上有一点P ，Q 是曲线C 上的另一点，则直线PQ 称为曲线C 的割线；当点Q 沿曲线C 向点P 运动时，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C .当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 称为曲线在点P 处的切线．问题1：探究在y ＝12gt 2中，怎样求在t ＝3这一时刻的速度？提示：物体在t ＝3临近时间间隔内的平均速度可以看做物体在t ＝3这一时刻速度的近似值．取一小段时间[3,3＋Δt ]，在这段时间Δt 内，物体位置的改变量Δs ＝12g (3＋Δt )2－12g ·32＝g 2(6＋Δt )Δt ，相应的平均速度v ＝Δs Δt＝g2＋Δt Δt Δt＝g2(6＋Δt )．问题2：下表是Δt 选取不同数值时相应的平均速度.上表的平均速度中最接近t ＝3时这一时刻的速度的是哪一个？提示：Δt →0时的平均速度即这一时刻的速度，v ＝3.005 g .瞬时速度与瞬时加速度要刻画物体在某一时刻的运动速度，通常先计算物体的位移s (t )的平均变化率s t0＋Δt －s t 0Δt ，当Δt 无限趋近于0时，s t 0＋Δt －s t 0Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时速度．一般地，我们计算运动物体速度的平均变化率v t 0＋Δt －v t 0Δt，如果Δt 无限趋近于0时，v t 0＋Δt －v t 0Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时加速度，瞬时加速度就是速度对于时间的瞬时变化率．在庆祝建国60周年阅兵式上，最后出场的教练机梯队以“零米零秒”的误差通过天安门上空．问题1：通过天安门上空那一时刻的速度用什么描述？提示：瞬时速度．问题2：瞬时变化率是导数吗？提示：是．1．导数的概念设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，当Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f x 0＋Δx －f x 0Δx无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在点x ＝x 0处可导．并称该常数A 为函数f (x )在点x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．可用符号“→”表示“无限趋近于”2．导函数的概念 (1)导函数的定义：若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )．在不引起混淆时，导函数f ′(x )也简称为f (x )的导数． (2)f ′(x 0)的意义：f (x )在点x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值．1．求曲线上一点处的切线的关键是利用割线逼近切线的方法求出切线的斜率． 2．瞬时速度为位移函数相对于时间的瞬时变化率；瞬时加速度是速度函数相对于时间的瞬时变化率．3．“函数f (x )在点x 0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别：“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，是针对x 0而言的，与给定的函数及x 0的位置有关，而与Δx 无关；“导函数”简记为“导数”，是一个函数，它是对于一个区间而言的，是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x ，Δx 无关．[对应学生用书P42][例1] 已知曲线y ＝x ＋1x 上的一点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52，用切线斜率定义求： (1)点A 处的切线的斜率； (2)点A 处的切线方程． [思路点拨] 先计算f＋Δx －fΔx，再求其在Δx 趋近于0时无限逼近的值．[精解详析] (1)∵Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2＋Δx ＋12＋Δx －⎝⎛⎭⎪⎫2＋12＝－Δx＋Δx＋Δx ，∴Δy Δx ＝－Δx 2Δx ＋Δx ＋Δx Δx＝－1＋Δx＋1.当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx 无限趋近于34，即点A 处的切线的斜率是34.(2)切线方程为y －52＝34(x －2)，即3x －4y ＋4＝0.[一点通] 根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线过某点的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数．1．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则A 处的切线斜率等于________．解析：∵y ＝2x 3， ∴Δy Δx＝＋Δx 3－2·13Δx＝2(Δx 2＋3Δx ＋3) ＝2(Δx )2＋6Δx ＋6.当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于常数6，因而A 处切线斜率为6. 答案：62．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线的斜率为16，则P 点坐标为________．解析：设P 点坐标为(x 0，y 0)，则f x 0＋Δx －f x 0x 0＋Δx －x 0＝Δx2＋4x 0Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4＋2Δx .当Δx 无限趋近于0时，4x 0＋4＋2Δx 无限趋近于4x 0＋4，因此4x 0＋4＝16，即x 0＝3，所以y 0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30. 即P 点坐标为(3,30)．答案：(3,30)3．求曲线C ：y ＝13x 3＋43在x ＝2处的切线方程．解：把x ＝2代入y ＝13x 3＋43，得y ＝4，所以切点为P (2,4)，又Δy Δx＝13＋Δx3＋43－13×23－43Δx＝4＋2Δx ＋13(Δx )2，当Δx 趋近于0时，Δy Δx趋近于4.即切线斜率k ＝4.所以所求切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.[例2] 以初速度v 0(v 0>0)竖直上抛的物体，经过时间t 高度为s (t )＝v 0t －12gt 2.求物体在t 0时刻的瞬时速度．[思路点拨] 先求Δs ，再根据定义，当Δt →0时，ΔsΔt 趋近于常数来求．[精解详析] 由已知得：Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫v 0t 0－12g t 20＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2，Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt . 当Δt 趋近于0时，ΔsΔt 趋近于v 0－gt 0.∴物体在时刻t 0时的瞬时速度为v 0－gt 0. [一点通](1)求瞬时速度的步骤：①求位移增量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)； ②求平均速度v －＝ΔsΔt；③求瞬时速度：当Δt 趋近于0时，ΔsΔt 趋近于v .(2)求瞬时加速度的步骤与上述求瞬时速度的步骤类似．4．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则此物体在t ＝2时的瞬时速度为________．解析：由于Δs ＝3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－22) ＝－Δt －(Δt )2，所以Δs Δt ＝－Δt －Δt 2Δt＝－1－Δt .当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于常数－1.故物体在t ＝2时的瞬时速度为－1. 答案：－15．已知物体运动速度v 与时刻t 的关系为v (t )＝t 2＋t .求物体在t ＝2时的瞬时加速度．解：∵Δv ＝(2＋Δt )2＋(2＋Δt )－(22＋2)＝(Δt )2＋5Δt ， ∴ΔvΔt＝Δt ＋5. 当Δt 趋近于0时，ΔvΔt 趋近于常数5.∴物体在t ＝2时的瞬时加速度为5.[例3] 求函数f (x )＝1x2＋2在点x ＝1处的导数．[思路点拨] 法一：求Δy ―→ΔyΔx―→Δx →0―→得导数法二：求导函数―→求导函数的函数值 [精解详析] 法一：由已知得 Δy ＝1＋Δx 2＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫112＋2 ＝1＋Δx2－1＝－Δx 2－2Δx＋Δx2，∴Δy Δx ＝－2－Δx ＋Δx2. ∴Δx →0时，ΔyΔx →－2.∴f ′(1)＝－2. 法二：Δy ＝⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋Δx2＋2－(1x2＋2)＝－2x Δx －Δx2x ＋Δx 2·x 2，∴Δy Δx ＝－2x －Δx x ＋Δx 2·x 2. ∴f ′(x )＝－2x3.∴f ′(1)＝－2. [一点通]求函数在x ＝x 0处的导数的方法：确定y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数．一般有两种方法，一是应用导数定义法，二是导函数的函数值法，求解时，Δy 要求准确，Δx 可正可负．6．求函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数．解：法一：Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3)＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ，∴Δy Δx＝Δx2＋16ΔxΔx＝2Δx ＋16.当Δx →0时，2Δx ＋16→16. ∴f ′(3)＝16. 法二：Δy Δx ＝x ＋Δx2＋x ＋Δx －x 2＋4xΔx＝4x ·Δx ＋Δx 2＋4ΔxΔx＝4x ＋2Δx ＋4，当Δx →0,4x ＋2Δx ＋4→4x ＋4， ∴f ′(x )＝4x ＋4， ∴f ′(3)＝4×3＋4＝16.7．已知函数f (x )＝ax 2＋2x 在x ＝1处的导数为6，求a 的值．解：Δy Δx＝f ＋Δx －fΔx＝a ＋Δx 2＋＋Δx －a ＋Δx＝aΔx2＋a ＋Δx Δx＝a ·(Δx )＋2(a ＋1)．当Δx →0时，ΔyΔx →2a ＋2，∴f ′(1)＝2a ＋2.由条件知f ′(1)＝6， ∴2a ＋2＝6，∴a ＝2.[例4] 已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2，求由直线l 1、l 2和x 轴所围成的三角形的面积．[思路点拨] 解答本题可先求l 1、l 2的方程，并求其交点，然后求围成的三角形面积． [精解详析] ΔyΔx ＝x ＋Δx2＋x ＋Δx －2－x 2－x ＋2Δx＝2x ·Δx ＋Δx 2＋ΔxΔx＝2x ＋Δx ＋1，∵Δx →0时，2x ＋Δx ＋1→2x ＋1，∴f ′(x )＝2x ＋1，由题意知，(1,0)在曲线上，∴f ′(1)＝2＋1＝3，l 1的方程为y ＝3x －3.设l 2过曲线上的点(b ，b 2＋b －2)，∴f ′(b )＝2b ＋1，则l 2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b 2－2. 由l 1⊥l 2，得2b ＋1＝－13，b ＝－23，∴l 2的方程为y ＝－13x －229.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝－52.∴直线l 1与l 2的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫16，－52，l 1，l 2与x 轴交点的坐标分别为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，0，故所求三角形的面积为S ＝12×253×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52＝12512.[一点通] 解决与导数的几何意义有关的综合题时，其关键是设出切点的横坐标，然后根据导数的几何意义，求出切线斜率，写出切线方程，然后综合有关知识解答．8．过曲线y ＝x 2上哪一点的切线， (1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)与x 轴成135°的倾斜角？解：设P ()x 0，y 0是满足条件的点， Δy ＝(x 0＋Δx )2－x 20＝2x 0Δx ＋Δx 2， ΔyΔx＝2x 0＋Δx ，当Δx →0时，ΔyΔx →2x 0，即f ′(x 0)＝2x 0.(1)∵切线与直线y ＝4x －5平行，∴2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即P (2,4)是满足条件的点． (2)∵切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直， ∴2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94是满足条件的点． (3)∵切线与x 轴成135°的倾斜角，∴其斜率为－1，即2x 0＝－1，得x 0＝－12，y 0＝14，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14是满足条件的点．若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的导数f ′(x 0)不存在，就是切线与y 轴平行或是y 轴或不存在；若f ′(x 0)>0，切线与x 轴正方向夹角是锐角；若f ′(x 0)<0，则切线与x 轴正方向夹角为钝角；f ′(x 0)＝0，切线与x 轴平行或是x 轴．[对应课时跟踪训练(十六)]1．一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度为________．解析：∵当Δt 无限趋近于0时，－3Δt －6无限趋近于常数－6，∴该质点在t ＝1时的瞬时速度为－6.答案：－62．曲线f (x )＝x 2＋3x 在点A (2,10)处的切线的斜率k 为________．解析：∵f (x )＝x 2＋3x ， ∴Δy Δx＝＋Δx2＋＋Δx －10Δx＝Δx ＋7，∴当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于7，从而A 点处的切线斜率k ＝7. 答案：73．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为________. 解析：Δy Δx ＝f ＋Δx －fΔx＝a ＋Δx2＋c －a ×12－cΔx＝2a ＋a Δx ，当Δx →0时，ΔyΔx →2a ，∴2a ＝2，a ＝1.答案：14．已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由题意知f ′(1)＝12，f (1)＝12＋2＝52，所以f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.答案：35．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，则在点P 处的切线的倾斜角为________．解析：∵y ＝12x 2－2，∴Δy Δx ＝12x ＋Δx 2－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2Δx＝12Δx2＋x ·ΔxΔx ＝x ＋12Δx .∴当Δx →0时，ΔyΔx→x .∴y ′|x ＝1＝1，∴在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32处的切线斜率为1，切线倾斜角为45°. 答案：45°6．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程．解：∵＋Δx2－＋Δx ＋2－2－4×1＋Δx＝2Δx ＋Δx 2Δx＝2＋3Δx ，∴当Δx 无限趋近于0时，2＋3Δx 无限趋近于2， ∴f ′(1)＝2，所以直线的斜率为2，所以直线方程为y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0.7．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h 时，原油的温度(单位：℃)为f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．求函数y ＝f (x )在x ＝6处的导数f ′(6)，并解释它的实际意义．解：当x 从6变到6＋Δx 时，函数值从f (6)变到f (6＋Δx )，函数值y 关于x 的平均变化率为：f＋Δx －fΔx＝＋Δx2－＋Δx ＋15－2－7×6＋Δx＝5Δx ＋Δx 2Δx＝5＋Δx .当x 趋近于6时，即Δx 无限趋近于0，平均变化率趋近于5，所以f ′(6)＝5，导数f ′(6)＝5表示当x ＝6 h 时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度．也就是说，如果保持6 h 时温度的变化速度，每经过1 h 时间，原油温度将升高5 ℃.8．已知曲线y ＝x 2＋1，问是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线？若存在求出实数a 的取值范围，若不存在，说明理由．解：存在．设切点为(t ，t 2＋1)，则Δy Δx＝t ＋Δx 2＋1－t 2＋Δx＝Δx ＋2t ，当Δx 趋于0时，ΔyΔx 趋于2t ，即切线斜率k ＝f ′(t )＝2t ，所以切线方程为y －(t 2＋1)＝2t (x －t )，将(1，a )代入得t 2－2t ＋(a －1)＝0，因为有两条切线，所以Δ＝(－2)2－4(a －1)>0，解得a <2.。

高中数学第三章导数及其应用 3.3.1 单调性学案苏教版选修1-1-苏教版高二选修1-1数学学

3．3.1 单调性学习目标 1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间．知识点函数的单调性与导函数正负的关系思考1 观察下列各图，完成表格内容函数及其图象切线斜率k正负导数正负单调性[1，＋∞)上单调正______R上单调________(0，＋∞)上单调负______(0，＋∞)上单调______(－∞，0)上单调______思考2 依据上述分析，可得出什么结论？梳理(1)导数值切线的斜率倾斜角曲线的变化趋势函数的单调性>0________0______角单调______ <0________0______角单调______(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：函数的单调性导数单调递________f′(x) ≥0，且f′(x)在(a，b)的任何子区间上都不恒为零单调递________f′(x)≤0，且f′(x)在(a，b)的任何子区间上都不恒为零常函数f′(x)＝0类型一求函数的单调区间命题角度1 求不含参数的函数的单调区间例1 求f(x)＝3x2－2ln x的单调区间．反思与感悟求函数y＝f(x)的单调区间的步骤(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，函数在定义域内的解集上为增函数；(4)解不等式f′(x)<0，函数在定义域内的解集上为减函数．跟踪训练1 求函数f(x)＝e xx－2的单调区间．命题角度2 求含参数的函数的单调区间例2 讨论函数f(x)＝x2－a ln x(a≥0)的单调性．引申探究若将本例改为f(x)＝ax2－ln x(a∈R)呢？反思与感悟(1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f′(x)的符号，否则会产生错误．(2)分类讨论是把整个问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素就变成了确定性因素，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了．跟踪训练2 已知函数f(x)＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1，其中x∈R，t∈R.当t≠0时，求f(x)的单调区间．类型二证明函数的单调性问题例3 证明：函数f (x )＝sin x x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减．反思与感悟关于利用导数证明函数单调性的问题：(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行． (2)f ′(x )>(或<)0，则f (x )为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f (x )为单调递增(或递减)函数，则f ′(x )≥(或≤)0.跟踪训练3 证明：函数f (x )＝ln xx在区间(0，e)上是增函数．类型三已知函数的单调性求参数范围例4 已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，常数a ∈R )．若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围．反思与感悟已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题，一般地，函数f (x )在区间I 上单调递增(或减)，转化为不等式f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)在区间I 上恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围．跟踪训练4 已知函数f (x )＝13x 3－12ax 2－(a ＋1)x ＋2在区间[1,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．1．关于函数f(x)＝1－x－sin x，下列说法正确的是________．(填序号)①在(0,2π)上是增函数；②在(0,2π)上是减函数；③在(0，π)上是增函数，在(π，2π)上是减函数；④在(0，π)上是减函数，在(π，2π)上是增函数．2．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是________．3．函数f(x)＝ln x－ax(a>0)的单调增区间为________．4．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)上单调递减，则实数a的取值范围为________．5．求函数f(x)＝(x－k)e x的单调区间．1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．提醒：完成作业第3章§3.3 3.3.1答案精析问题导学知识点思考1 正递增正正递增负递减负负递减负负递减思考2 一般地，设函数y ＝f (x )，在区间(a ，b )上， ①如果f ′(x )>0，则f (x )在该区间上单调递增； ②如果f ′(x )<0，则f (x )在该区间上单调递减．梳理 (1)> 锐上升递增 < 钝下降递减 (2)增减题型探究例1 解 f (x )＝3x 2－2ln x 的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝6x －2x ＝23x 2－1x＝23x －13x ＋1x，由x >0，解f ′(x )>0，得x >33；由x <0，解f ′(x )<0，得0<x <33. 所以函数f (x )＝3x 2－2ln x 的单调递增区间为(33，＋∞)，单调递减区间为(0，33)．跟踪训练1 解函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． f ′(x )＝exx －2－e x x －22＝e x x －3x －22.因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以e x>0，(x －2)2>0. 由f ′(x )>0，得x >3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)；由f ′(x )<0，得x <3.又函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．例2 解函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －a x ＝2x 2－ax.设g (x )＝2x 2－a ，由g (x )＝0，得2x 2＝a .当a ＝0时，f ′(x )＝2x >0，函数f (x )在区间(0，＋∞)上为增函数；当a >0时，由g (x )＝0，得x ＝2a 2或x ＝－2a 2(舍去)．当x ∈(0，2a2)时，g (x )<0，即f ′(x )<0；当x ∈(2a2，＋∞)时，g (x )>0，即f ′(x )>0.所以当a >0时，函数f (x )在区间(0，2a 2)上为减函数，在区间(2a 2，＋∞)上为增函数．综上，当a ＝0时，函数f (x )的单调增区间是(0，＋∞)；当a >0时，函数f (x )的单调增区间是(2a 2，＋∞)，单调减区间是(0，2a2)．引申探究解 f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x，当a ≤0时，且x ∈(0，＋∞)，f ′(x )<0， ∴函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数；当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝2a 2a 或－2a2a (舍去)．当x ∈(0，2a2a)时，f ′(x )<0， ∴f (x )为减函数；当x ∈(2a2a，＋∞)时，f ′(x )>0， ∴f (x )为增函数．综上所述，当a ≤0时，函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数；当a >0时，f (x )在(0，2a 2a )上为减函数，在(2a 2a，＋∞)上为增函数．跟踪训练2 解 f ′(x )＝12x 2＋6tx －6t 2＝6(x ＋t )(2x －t )，令f ′(x )＝0，得x 1＝－t ，x 2＝t2.当t <0，x ∈(t2，－t )时，f ′(x )<0，此时f (x )为减函数；当x ∈(－∞，t2)时，f ′(x )>0，此时f (x )为增函数，同理当x ∈(－t ，＋∞)时，f (x )也为增函数．∴当t <0时，f (x )的增区间为(－∞，t2)和(－t ，＋∞)，f (x )的减区间为(t2，－t )；当t >0，x ∈(－t ，t2)时，f ′(x )<0，此时f (x )为减函数，当x ∈(－∞，－t )和x ∈(t2，＋∞)时，f ′(x )>0，此时f (x )为增函数，∴当t >0时，f (x )的增区间为(－∞，－t )，(t2，＋∞)，f (x )的减区间为(－t ，t2)．综上所述，①当t <0时，f (x )的单调增区间是(－∞，t 2)，(－t ，＋∞)，单调减区间是(t2，－t )．②当t >0时，f (x )的单调增区间是(－∞，－t )，(t 2，＋∞)，单调减区间是(－t ，t2)．例3 证明 f ′(x )＝x cos x －sin xx 2，又x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos x <0，sin x >0，∴x cos x －sin x <0，∴f ′(x )<0，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上是减函数．跟踪训练3 证明 ∵f (x )＝ln xx，∴f ′(x )＝x ·1x －ln xx 2＝1－ln xx 2.又0<x <e ，∴ln x <ln e ＝1.∴f ′(x )＝1－ln xx2>0，故f (x )在区间(0，e)上是增函数．例4 解 f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－a x 2.要使f (x )在[2，＋∞)上单调递增，则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立，即2x 3－ax2≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立．∵x 2>0，∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)时恒成立． ∴a ≤(2x 3)min .∵当x ∈[2，＋∞)时，y ＝2x 3是单调递增的， ∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.当a ＝16时，f ′(x )＝2x 3－16x2≥0(x ∈[2，＋∞))，有且只有f ′(2)＝0， ∴a 的取值范围是(－∞，16]．跟踪训练4 解方法一 f ′(x )＝x 2－ax －(a ＋1)，因为函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，所以f ′(x )≤0，即x 2－ax －(a ＋1)≤0，解得a ≥x －1. 因为在[1,2]上，a ≥x －1恒成立，所以a ≥(x －1)max ＝1.所以a 的取值范围是[1，＋∞)．方法二 f ′(x )＝(x ＋1)[x －(a ＋1)]，由于函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，所以f ′(x )≤0，当a >－2时，解得－1≤x ≤a ＋1，即减区间为[－1，a ＋1]，则[1,2]⊆[－1，a ＋1]，得a ≥1. 当a ≤－2时，解得减区间为[a ＋1，－1]，则函数f (x )不可能在[1,2]上为减函数，故a ≥1. 所以实数a 的取值范围是[1，＋∞)．当堂训练1．② 2.④ 3.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 4.[3，＋∞) 5．解 f ′(x )＝e x ＋(x －k )e x＝(x －k ＋1)e x ，当x <k －1时，f ′(x )<0；当x >k －1时，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递减区间是(－∞，k －1)，单调递增区间为(k －1，＋∞)．。

高中数学第3章《导数及其应用》复习导学案1 苏教版选修1-1

江苏省响水中学高中数学第3章《导数及其应用》复习1导学案苏教版选修1-1复习要求：1.了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义.3.能根据导数的定义求简单的多项式、分式函数的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．课前预习：1．知识要点回顾：(1)导数的概念：（2）导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y ＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率．相应地，切线方程为（3）基本初等函数的导数公式：（4）导数的运算法则（5）曲线y ＝f(x)“在点P(x 0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：2．判断：(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同；( )(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)；( )(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个交点；( )(4)若f(a)＝a3＋2ax －x2，则f′(a)＝3a2＋2x 。

( )3．某汽车的路程函数是s(t)＝2t3－12gt2，g ＝10 m/s2，则当t ＝2 s 时，汽车的加速度= 4．下列函数求导运算正确的个数为( )①(3x)′＝3xlog3e ；②(log2x)′＝1x·ln 2；③⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3；④⎝⎛⎭⎫1ln x ′＝x.2.已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为1的曲线的切线方程．3.(1)若曲线y＝x2＋ax＋b在点P(0，b)处的切线方程为x－y＋1＝0，求a,b的值.(2)直线y＝12x＋b与曲线y＝－12x＋ln x相切，求b的值。

江苏省响水中学高中数学第3章《导数及其应用》复习导学案1 苏教版选修1-1

江苏省响水中学高中数学第3章《导数及其应用》复习1导学案苏教版选修1-1 复习要求：1.了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义.3.能根据导数的定义求简单的多项式、分式函数的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．课前预习：1．知识要点回顾：(1)导数的概念：（2）导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y ＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率．相应地，切线方程为（3）基本初等函数的导数公式：（4）导数的运算法则（5）曲线y ＝f(x)“在点P(x 0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：2．判断：(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同；( )(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)；( )(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个交点；( )(4)若f(a)＝a3＋2ax －x2，则f′(a)＝3a2＋2x 。

( )3．某汽车的路程函数是s(t)＝2t3－12gt2，g ＝10 m/s2，则当t ＝2 s 时，汽车的加速度= 4．下列函数求导运算正确的个数为( )①(3x)′＝3xlog3e ；②(log2x)′＝1x·ln 2；③⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3；④⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x ′＝x.2. 已知曲线y ＝13x3＋43. (1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为1的曲线的切线方程．3.(1)若曲线y＝x2＋ax＋b在点P(0，b)处的切线方程为x－y＋1＝0，求a,b的值.(2)直线y＝12x＋b与曲线y＝－12x＋ln x相切，求b的值。

2020—2021数学苏教版选修1-1课件：第3章导数及其应用章末专题整合

恒成立问题一些求题中参数取值范围的问题，常转化为恒成立问题．利用f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a和f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a的思想解题．
已知函数f(x)＝ax－ln x，若f(x)>1在区间(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．
已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11,g(x)＝3x2＋6x＋12，直线m：y＝kx＋9，又f′(－1)＝0. (1)求a的值； (2)是否存在实数k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是y ＝g(x)的切线？如果存在,求出k的值;如果不存在,说明理由.
利用导数研究函数的单调性
x1 (x1，x2) x2 (x2，＋∞)
0
－
0
＋
极大单调递减值
极小值
单调递增
利用导数研究函数的极值和最值
利用导数研究函数的极值和最值是导数的另一主要应用． (1)可导函数极值与导数的关系点是极值点的充分条件是在该点两侧的导数异号，点是极值点的必要条件是在该点的导数为0. (2)求函数极值的一般步骤： ①确定函数f(x)的定义域； ②解方程f′(x)＝0的根； ③检验f′(x)＝0根的两侧f′(x)的符号．若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；
是切点,常见的类型有两种,一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得; 另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定
是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝ f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得 y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)．① 又y1＝f(x1)，② 由①②求出x1，y1的值．即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．

苏教版高中数学选修(1-1)-3.4《导数及其应用》单元复习课件

过 (2, 3) 的切线方程为 y 3 3(x 2) 即 3x y 3 0
所以，所求的切线方程为 x y 1 0 或 3x y 3 0 .
讲评：本题考查利用导数的几何意义求抛物线的切线方程，
注意先设切点再求解，本题中点 ( 1, 0) 不在曲线上，如果
的瞬时速度为____5_0____,瞬时加速度为____5____.
求导公式与求导法则——
几种常见初等函数的导数：
C ' 0 ( C 为常数)； ( xn )' nxn1 ；
(sin x)' cos x ；
(cos x)' sin x ；
(ln x)
1 x
； (loga
例1.已知函数f (x)= x 1.
（1）求f (x)在3，6上的平均变化率；
（2）利用导数的定义求f (x)在x 3处的导数；（3）求函数f (x)的图象在x 3处的切线方程.
说明: （1）导数的定义是运用了“割线逼近切线”思想方法；（2）在处理含根号的分式时，常用“分子有理化”解题方法.
(2)经过点 (1, 0) 作抛物线 y x2 x 1 的切线，求
该切线的方程.
分析： 1.求切线的方程关键是确定切点，切点是联系切线和曲线的纽带，故可以据此列出方程组先求切点再求切线的斜率; 2.审题时注意关键词“在”和“经过”的区别.
解：设切点为 ( x0 , y0 ) ，则在该点处切线的斜率为 y 2x0 1,(Fra bibliotek)算平均变化率:
y x
=
f
(x

x) x

f
(x)
(3)无限逼近:令x 0,则 y A(x) x

2020版高中数学第三章导数及其应用习题课导数的应用学案苏教版选修1_1

习题课导数的应用学习目标 1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用．知识点一函数的单调性与其导数的关系定义在区间(a ，b )内的函数y ＝f (x )f ′(x )的正负 f (x )的单调性f ′(x )>0 单调递________ f ′(x )<0单调递________知识点二求函数解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时，(1)如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极大值． (2)如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极小值．知识点三函数y ＝f (x )在[a ，b ]上最大值与最小值的求法 1．求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值．2．将函数y ＝f (x )的________与端点处的函数值________比较，其中________的一个是最大值，________的一个是最小值．类型一数形结合思想的应用例 1 已知f ′(x )是f (x )的导函数，f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象只可能是________．反思与感悟解决函数极值与函数、导函数图象的关系时，应注意：(1)对于导函数的图象，重点考查导函数的值在哪个区间上为正，在哪个区间上为负，在哪个点处与x 轴相交，在交点附近导函数值是怎样变化的．(2)对于函数的图象，函数重点考查递增区间和递减区间，进而确定极值点．跟踪训练1 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是________．类型二构造函数求解命题角度1 比较函数值的大小例2 已知定义域为R 的奇函数y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，当x ≠0时，f ′(x )＋f xx<0，若a ＝12f (12)，b ＝－2f (－2)，c ＝(ln 12)f (ln 12)，则a ，b ，c 的大小关系是________．反思与感悟本例中根据条件构造函数g (x )＝xf (x )，通过g ′(x )确定g (x )的单调性，进而确定函数值的大小，此类题目的关键是构造出恰当的函数．跟踪训练2 设a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则a ，b ，c 的大小关系是________．命题角度2 求解不等式例3 定义域为R 的可导函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )，满足f (x )<f ′(x )，且f (0)＝2，则不等式f (x )>2e x的解集为________．反思与感悟根据所求结论与已知条件，构造函数g (x )＝f xex，通过导函数判断g (x )的单调性，利用单调性得到x 的取值范围．跟踪训练3 设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f ′(x )为其导函数．当x >0时，f (x )＋x ·f ′(x )>0，且f (1)＝0，则不等式x ·f (x )>0的解集为________．命题角度3 利用导数证明不等式例4 已知x >1，证明不等式x －1>ln x .反思与感悟利用函数的最值证明不等式的基本步骤 (1)将不等式构造成f (x )>0(或<0)的形式；(2)利用导数将函数y ＝f (x )在所给区间上的最小值(或最大值)求出；(3)证明函数y ＝f (x )的最小值(或最大值)大于零(或小于零)即可证得原不等式成立．跟踪训练4 证明：当x >0时，2＋2x <2e x. 类型三利用导数研究函数的极值与最值例5 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b 的图象上一点P (1,0)，且在点P 处的切线与直线3x ＋y ＝0平行．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在区间[0，t ](0<t <3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x 的方程f (x )＝c 在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c 的取值范围．反思与感悟 (1)求极值时一般需确定f ′(x )＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点． (2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．跟踪训练5 已知函数f (x )＝ax 3＋(a －1)x 2＋48(a －2)x ＋b 的图象关于原点成中心对称． (1)求a ，b 的值；(2)求f (x )的单调区间及极值； (3)当x ∈[1,5]时，求函数的最值．1．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断： ①函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫－3，－12内单调递增；②函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3内单调递减； ③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； ⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．则上述判断中正确的是________．(填序号)2．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，则此函数在[－2,2]上的最小值为________． 3．已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a 的取值范围为________． 4．设f (x )、g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时，下列式子判断正确的是________． ①f (x )g (x )>f (b )g (b )；②f (x )g (a )>f (a )g (x )； ③f (x )g (b )>f (b )g (x )；④f (x )g (x )>f (a )g (a )． 5．已知x >0，求证：x >sin x .导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决．不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法．提醒：完成作业第3章习课题答案精析知识梳理知识点一增减知识点二(1)f ′(x )>0 f ′(x )<0 (2)f ′(x )<0 f ′(x )>0 知识点三2．极值 f (a )，f (b ) 最大最小题型探究例1 ④ 跟踪训练1 ① 例2 b <c <a 跟踪训练2 a >b >c 例3 (0，＋∞) 跟踪训练3 (1，＋∞)例4 证明设f (x )＝x －1－ln x ，x ∈(1，＋∞)，则f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，因为x ∈(1，＋∞)，所以f ′(x )＝x －1x>0，即函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数，又x >1，所以f (x )>f (1)＝1－1－ln 1＝0，即x －1－ln x >0，所以x －1>ln x . 跟踪训练4 证明设f (x )＝2＋2x －2e x，则f ′(x )＝2－2e x ＝2(1－e x)．当x >0时，e x >e 0＝1， ∴f ′(x )＝2(1－e x)<0.∴函数f (x )＝2＋2x －2e x在(0，＋∞)上是减函数， ∴f (x )<f (0)＝0，x ∈(0，＋∞)．即当x >0时，2＋2x －2e x<0， ∴2＋2x <2e x.例5 解 (1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ，曲线在P (1,0)处的切线斜率为f ′(1)＝3＋2a ，即3＋2a ＝－3，a ＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b ＝0，b ＝2.所以a ＝－3，b ＝2，f (x )＝x 3－3x 2＋2. (2)由f (x )＝x 3－3x 2＋2，得f ′(x )＝3x 2－6x .由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.①当0<t ≤2时，在区间(0，t )上，f ′(x )<0，f (x )在[0，t ]上是减函数，所以f (x )max ＝f (0)＝2，f (x )min ＝f (t )＝t 3－3t 2＋2.②当2<t <3时，当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：x 0 (0,2) 2 (2，t ) tf ′(x ) 0 － 0 ＋＋f (x )2↘－2↗t 3－3t 2＋2f (x )min ＝f (2)f (x )max 为f (0)与f (t )中较大的一个．因为f (t )－f (0)＝t 3－3t 2＝t 2(t －3)<0，所以f (x )max ＝f (0)＝2.(3)令g (x )＝f (x )－c ＝x 3－3x 2＋2－c ，则g ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．当x ∈[1,2)时，g ′(x )<0；当x ∈(2,3]时，g ′(x )>0. 要使g (x )＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，则⎩⎪⎨⎪⎧g 1≥0，g 2<0，g 3≥0，解得－2<c ≤0.即实数c 的取值范围为(－2,0]．跟踪训练5 解 (1)∵函数f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即－ax 3＋(a －1)x 2－48(a －2)x ＋b ＝－ax 3－(a －1)x 2－48(a －2)x －b ，于是2(a －1)x 2＋2b ＝0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，b ＝0，解得a ＝1，b ＝0.(2)由(1)得f (x )＝x 3－48x ，∴f ′(x )＝3x 2－48＝3(x ＋4)(x －4)，令f ′(x )＝0，得x 1＝－4，x 2＝4；令f ′(x )<0，得－4<x <4；令f′(x)>0，得x<－4或x>4.∴f(x)的递减区间为(－4,4)，递增区间为(－∞，－4)和(4，＋∞)，∴f(x)极大值＝f(－4)＝128，f(x)极小值＝f(4)＝－128.(3)由(2)知，函数在[1,4]上单调递减，在[4,5]上单调递增，则f(4)＝－128，f(1)＝－47，f(5)＝－115，∴函数的最大值为－47，最小值为－128.当堂训练1．③ 2.－37 3.(－∞，12) 4.③5．证明设f(x)＝x－sin x(x>0)，则f′(x)＝1－cos x≥0对x∈(0，＋∞)恒成立，∴函数f(x)＝x－sin x在(0，＋∞)上是单调增函数，又f(0)＝0，∴f(x)>0对x∈(0，＋∞)恒成立，∴x>sin x(x>0)．。

高中数学第三章导数及其应用章末复习课学案苏教版选修1-1

(1) 讨论函数 f ( x) 的单调性；
21
(2)
设函数
f ( x) 在区间
(
－
3，－
) 3
内是减函数，求
a 的取值范围．
反思与感悟 (1) 关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间． (2) 已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价．
3 / 14
(3) 分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集．
所以函数 f ( x) 在 ( －∞，
3
) 和(
3
，＋∞ ) 内是增函数；
－a－ a2－ 3 － a＋ a2－3
在(
3
，
3
) 内是减函数．
21 (2) 若函数在ห้องสมุดไป่ตู้间 ( －，－ ) 内是减函数，
33
则 f ′（x) ＝ 3x2＋2ax＋ 1 的两根在区间
21
(
－ 3，－
) 3
外，
2 f ′ － ≤0，
类型一导数几何意义的应用
例1
设函数
f
(
x)
＝
1 3x
3
＋
ax2－
9x－
1(
a>0)
，直线
l
是曲线
y＝ f ( x) 的一条切线，当
l 的斜
率最小时，直线 l 与直线 10x＋ y＝ 6 平行．
(1) 求 a 的值； (2) 求 f ( x) 在 x＝ 3 处的切线方程．
2 / 14
反思与感悟利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为